Nella pratica, gli ingegneri possono incontrare diversi tipi di elementi finiti (dai semplici elementi monodimensionali tipo asta a elementi solidi 3D più complessi) utilizzati in numerose applicazioni per l'analisi e il progetto di elementi strutturali. Una caratteristica comune alla maggior parte dei calcoli nella pratica è il comportamento lineare dei modelli, i cui vantaggi sono senza dubbio la rapidità, la chiarezza e semplicemente il fatto che, per un'ampia varietà di problemi, questa soluzione è del tutto sufficiente.

Specialmente nel mondo delle strutture in calcestruzzo, accade spesso che l'approccio lineare non sia sufficiente, semplicemente perché dopo la comparsa delle prime fessure nell'elemento caricato le tensioni si ridistribuiscono e il problema diventa significativamente non lineare.

In questi casi è necessario scegliere uno degli approcci più sofisticati. Per i casi 1D si trovano spesso metodi analitici definiti direttamente nelle normative. Ad esempio, i diffusi modelli Puntone e Tirante possono essere costruiti per elementi piani 2D e regioni di discontinuità (regioni D), oppure si può utilizzare il più sofisticato metodo dei campi di tensione implementato in IDEA StatiCa Detail, il CSFM.

Tuttavia, se l'ingegnere si trova di fronte a un problema che non può essere semplificato in un comportamento piano, le opzioni sono molto limitate. Naturalmente è possibile costruire un modello Puntone e Tirante 3D oppure utilizzare software semi-scientifici per un'analisi accurata. Queste procedure richiedono spesso molto tempo, non sono conformi alle normative e richiedono un ingegnere esperto nei metodi di modellazione avanzati.

Per questo motivo, IDEA StatiCa ha sviluppato e implementato il CSFM 3D (Metodo del Campo di Tensioni Compatibile) nell'applicazione Detail. Il CSFM 3D estende il consolidato CSFM alla terza dimensione, offrendo una soluzione rapida e conforme alle normative, applicabile principalmente dall'ingegnere nella pratica quotidiana, al quale offre una nuova ed esclusiva capacità di affrontare in sicurezza i dettagli complessi delle strutture in calcestruzzo.

Il CSFM 3D definisce il comportamento del calcestruzzo sulla base della teoria della plasticità di Mohr-Coulomb modificata per carichi monotoni. Il metodo considera le tensioni principali di compressione nel calcestruzzo e le tensioni nell'armatura (σ_sr) in corrispondenza delle fessure, trascurando la resistenza a trazione del calcestruzzo (troncamento a trazione), ad eccezione del suo effetto di irrigidimento sull'armatura (Irrigidimento a trazione).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Le barre di armatura sono collegate agli elementi finiti volumetrici del calcestruzzo mediante elementi di aderenza, che consentono lo scorrimento tra calcestruzzo e armatura. Si noti che il CSFM 3D non è adatto per simulare il calcestruzzo semplice a causa dell'assenza di trazione, che può portare a deformazioni non realistiche e alla divergenza del modello. In generale, la teoria di Mohr-Coulomb comprende due proprietà fondamentali che governano l'evoluzione della superficie di plasticità in compressione e parzialmente in trazione: l'angolo di attrito interno φ e il parametro di coesione c. Il CSFM 3D assume un angolo di attrito interno nullo (Fig. 1.2.1e), il che porta a un progetto conservativo poiché la superficie di plasticità assomiglia al modello di Tresca, che è indipendente dal primo invariante delle tensioni.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

Calcestruzzo 

Il modello di materiale presentato è un modello di plasticità a superfici multiple, dato dalla combinazione dei modelli di Mohr-Coulomb e di Rankine per carichi monotoni. È importante notare che questo modello non tratta lo scarico; pertanto le variabili di stato non vengono memorizzate, come invece avviene nei modelli classici di plasticità utilizzati per i carichi ciclici.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

Come già menzionato, il modello di materiale è destinato all'uso in applicazioni che calcolano la risposta del calcestruzzo armato (non è adatto al calcestruzzo semplice). Ciò è dovuto all'esclusione del calcestruzzo teso. Pertanto, il modello non è adatto nemmeno per gli elementi strutturali in cui non sono rispettate le regole di progetto per il calcestruzzo armato, quali il rapporto minimo di armatura, l'interasse massimo delle barre, ecc. Si aggiunge inoltre che, per ragioni di stabilità numerica, nel modello è definita una capacità a trazione molto ridotta. La parte tesa è limitata da piani corrispondenti al modello di Rankine.

Il CSFM 3D in IDEA StatiCa Detail non considera un criterio di rottura esplicito in termini di deformazioni per il calcestruzzo compresso (ovvero considera un ramo plastico infinito dopo il raggiungimento della tensione di picco). Questa semplificazione non consente di verificare la capacità di deformazione delle strutture che giungono a rottura per compressione. Tuttavia, la loro capacità ultima è prevista correttamente quando l'aumento della fragilità del calcestruzzo al crescere della resistenza viene considerato mediante il fattore di riduzione 𝜂_𝑓𝑐 definito nel fib Model Code 2010 come segue:

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

dove:

f_c è la resistenza caratteristica cilindrica del calcestruzzo (in MPa per la definizione di $\eta_{fc}$).

Il valore f_c,red viene quindi confrontato con la Tensione Principale Equivalente σ_c,eq nel calcestruzzo, che sarà definita più avanti, ovviamente tenendo conto di tutti i coefficienti di sicurezza prescritti dalla norma.

Una descrizione dettagliata del modello del calcestruzzo è disponibile al seguente link:

• Modello di materiale del calcestruzzo per 3D Detail

Armatura

Il diagramma tensione-deformazione bilineare per le barre di armatura, come definito dalle norme di progetto (Fig. 1.2.1d), rappresenta un modello idealizzato. Questo modello richiede la conoscenza, in fase di progetto, delle proprietà di base dell'armatura, in particolare della classe di resistenza e di duttilità. In alternativa, l'utente ha la possibilità di definire una relazione tensione-deformazione personalizzata.

L'irrigidimento a trazione viene considerato modificando la relazione tensione-deformazione della barra d'armatura nuda, in modo da rappresentare la rigidezza media delle barre immerse nel calcestruzzo (ε_m) (Fig 1.2.1b).

Ancoraggio

Lo scorrimento per aderenza tra armatura e calcestruzzo viene introdotto nel modello a elementi finiti considerando la relazione costitutiva semplificata rigido-perfettamente plastica presentata in (Fig. 1.2.1f), dove f_bd è il valore di progetto (valore fattorizzato) della tensione di aderenza ultima specificata dalla norma di progetto per le specifiche condizioni di aderenza.

Si tratta di un modello semplificato, il cui unico scopo è verificare le prescrizioni sull'aderenza secondo le norme di progetto (ovvero l'ancoraggio dell'armatura). La riduzione della lunghezza di ancoraggio in caso di uso di ganci, anelli e forme di barra analoghe può essere considerata definendo una certa capacità all'estremità dell'armatura, come verrà descritto più avanti.

Ancoranti

L'elemento ancorante è definito in modo da poter trasferire forze normali di trazione o di compressione, nonché forze di taglio, considerando la rigidezza flessionale. 

Sono disponibili i seguenti tipi di ancoranti:

• Ancoranti gettati in opera

  • Armatura
  • Piastra rondella
  • Piolo con testa
• Armatura gettata in opera

  • Armatura
  • Barre filettate

Gettato in opera - Armatura

Modellato come armatura ad aderenza migliorata immersa nel calcestruzzo. La resistenza di aderenza viene calcolata secondo le regole della norma selezionata, allo stesso modo dell'armatura standard. All'estremità dell'ancorante è possibile definire un Tipo di ancoraggio, che funziona in modo identico all'armatura: viene applicata una molla di ancoraggio con il fattore β impostato secondo la norma scelta. Sono disponibili tre forme geometriche: Rettilinea, a L, a U.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

Gettato in opera - Piastra rondella e piolo con testa

La piastra rondella e la testa del piolo con testa sono modellate come un elemento guscio-piastra, realizzato con il materiale corrispondente e collegato direttamente al gambo dell'ancorante. Esso trasferisce il carico al calcestruzzo mediante un contatto reagente solo a compressione. Forme disponibili: circolare e quadrata (solo circolare per il piolo con testa), con dimensioni personalizzabili. Il modello della piastra rondella e della testa è elastico e non viene verificato a resistenza. 

A livello del modello a elementi finiti, viene verificato direttamente lo sfilamento dell'ancorante. Il contatto a compressione ha criteri di arresto impostati in modo da non poter trasferire al calcestruzzo una tensione di contatto superiore a quella prescritta dalla norma selezionata. In termini pratici, ciò significa che, se l'ancorante fosse caricato con una forza non conforme alla verifica di sfilamento, il risultato sarebbe l'interruzione prematura del calcolo, poiché questo criterio di arresto verrebbe superato durante l'ulteriore incremento del carico.

Il gambo dell'ancorante ha resistenza di aderenza nulla: tutto il carico viene trasferito al calcestruzzo attraverso la piastra o la testa.

Post-installato - Armatura e barra filettata

Progettato come barre installate in fori trapanati e incollate con adesivo. L'ingegnere specifica direttamente la resistenza di aderenza di progetto in base alla scheda tecnica del prodotto adesivo.

Modello di materiale degli ancoranti realizzati in materiale da bullone

Per gli ancoranti realizzati in materiale da bullone (barre filettate e ancoranti con piastre rondella), due proprietà del modello di materiale differiscono dai valori nominali del materiale del bullone: il modulo di elasticità e la duttilità. Entrambe descrivono il comportamento dell'assemblaggio del bullone e la geometria dei provini sui quali vengono misurati i valori nominali. Non dipendono dalla norma di progetto, quindi vengono applicate in modo identico per tutte le norme di progetto. Sia il diagramma tensione-deformazione nominale del materiale del bullone, sia il diagramma modificato dai coefficienti C_E e C_A sono visualizzati nella scheda Materiali (Fig. 1.2.4).

Rigidezza elastica. Il modulo di elasticità del materiale del bullone viene ridotto mediante il coefficiente C_E:

$$E_{b} = C_{E} \cdot E , C_E=0.8$$

• E - modulo di elasticità del bullone
• E_b - modulo di elasticità dell'ancorante utilizzato nell'analisi

Questo approccio è stato adottato sulla base delle ricerche più recenti (non ancora pubblicate; il riferimento sarà aggiunto dopo la pubblicazione), nelle quali il modulo di elasticità efficace dell'assemblaggio del bullone è stato calibrato mediante analisi agli elementi finiti rispetto a un ampio database di prove su bulloni. Ciò è confermato dai risultati sperimentali già pubblicati da Janković et al. (2025): in 66 prove di trazione su barre filettate lunghe 1000 mm (da M20 a M30, classi 8.8 e 10.9), la rigidezza iniziale misurata corrispondeva a 0,8·E·A_s/L_b, con un rapporto medio tra rigidezza prevista e misurata pari a 0,98 e un coefficiente di variazione del 7,9 %. In barre di questa lunghezza, l'influenza dei dadi e dell'impegno della filettatura è trascurabile, pertanto la riduzione rappresenta un modulo di elasticità efficace della barra filettata stessa. Per inciso, lo stesso fattore è contenuto nella rigidezza di un bullone teso nella EN 1993-1-8 (coefficiente 1,6 per una fila di bulloni composta da due bulloni).

Duttilità. La duttilità del materiale del bullone è caratterizzata dall'allungamento percentuale dopo la rottura A, tipicamente pari a circa il 10 %. Questi valori sono misurati su provini corti, nei quali la strizione locale costituisce gran parte dell'allungamento misurato. La lunghezza della zona di strizione non dipende dalla lunghezza del provino, quindi l'allungamento percentuale diminuisce all'aumentare della lunghezza del provino. Per gli ancoranti annegati per diverse centinaia di millimetri nel calcestruzzo, esso è sostanzialmente inferiore al valore specificato. L'applicazione utilizza pertanto la duttilità ridotta:

$$A_{red} = A/C_A$$

$$C_{A} = L_s / (0.177 \cdot L_s + 2.19)$$

• A - allungamento percentuale dopo la rottura del materiale del bullone
• A_red - duttilità ridotta, utilizzata come criterio di arresto in termini di deformazione dell'ancorante
• C_A - coefficiente di riduzione della duttilità
• L_s - lunghezza di annegamento dell'ancorante [mm]

Quando la deformazione nell'ancorante raggiunge A_red, il criterio di arresto è soddisfatto e l'analisi viene interrotta, allo stesso modo degli altri criteri di arresto del CSFM 3D.

L'equazione è stata adottata sulla base delle ricerche più recenti (non ancora pubblicate; il riferimento sarà aggiunto dopo la pubblicazione), che forniscono un'approssimazione della deformazione plastica di un bullone alla sua resistenza ultima, calibrata su un ampio database di prove su bulloni: Δ_u,p = A · (0.177 · L + 2.19), dove L è la lunghezza deformabile del bullone in mm. Il termine proporzionale alla lunghezza rappresenta l'allungamento uniforme della barra, mentre il termine costante rappresenta il contributo locale della strizione. Nell'applicazione, come tale lunghezza viene assunta la lunghezza di annegamento dell'ancorante L_s, e dividendo Δ_u,p per L_s si ottiene la deformazione A/C_A. Il coefficiente C_A aumenta con la lunghezza e tende al limite 1/0,177 = 5,65. Per lunghezze di annegamento di 200 mm e superiori, esso supera 5,3, quindi la duttilità dell'ancorante è ridotta a circa un quinto del valore nominale, ad es. dal 12 % a circa il 2,2 % per L_s = 300 mm.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.4\qquad Stress-strain diagram of the bolt material in the Materials tab: nominal diagram and the diagram modified by the coefficients C_E and C_A}}}\]

Ulteriori informazioni sul collegamento dei singoli tipi di ancorante alla piastra di base o alla piastra annegata sono riportate nel capitolo Tipi di elementi finiti - Dispositivi di trasferimento del carico. 

Nel capitolo seguente vedremo come viene implementata la teoria di Mohr-Coulomb nel CSFM 3D. Spiegheremo come viene considerato l'effetto di confinamento (tensione triassiale) e come viene calcolata la Tensione Principale Equivalente σ_c,eq, utilizzata per determinare la capacità portante dal punto di vista del calcestruzzo.

Introduzione alla teoria

La teoria di Mohr–Coulomb è un modello matematico che descrive la risposta dei materiali fragili alla tensione di taglio e alla tensione normale. La maggior parte dei materiali ingegneristici classici segue questa regola almeno in una parte del proprio inviluppo di rottura a taglio. In generale, la teoria si applica ai materiali per i quali la resistenza a compressione supera di gran lunga la resistenza a trazione.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.1\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}$$

Nell' ingegneria strutturale, viene utilizzata per determinare il carico di rottura e l'angolo di frattura per lo spostamento della superficie di frattura nel calcestruzzo e in materiali simili. L'ipotesi di attrito di Coulomb viene utilizzata per determinare la combinazione di tensione tangenziale e tensione normale che provoca la frattura del materiale. Il cerchio di Mohr viene utilizzato per determinare quali tensioni principali producono tale combinazione di tensione tangenziale e normale e l'angolo del piano in cui essa si verifica. In base al principio di normalità, la tensione che si sviluppa a rottura è perpendicolare alla linea che descrive la condizione di frattura. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.2\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}$$

Si può dimostrare che un materiale che giunge a rottura secondo l'ipotesi di attrito di Coulomb presenta uno spostamento a rottura che forma con la linea di frattura un angolo pari all' angolo di attrito. Ciò rende determinabile la resistenza del materiale confrontando il lavoro meccanico esterno introdotto dallo spostamento e dal carico esterno con il lavoro meccanico interno introdotto dalla deformazione e dalla tensione lungo la linea di rottura. Per la conservazione dell'energia, la somma di questi lavori deve essere nulla, e ciò consente di calcolare il carico di rottura della costruzione.

Implementazione nel CSFM 3D

In generale, per un dato angolo di attrito interno del calcestruzzo, pari a circa φ = 30-40° nei riferimenti [1], [2], [3], [4], i cerchi di Mohr corrispondenti alle resistenze a trazione e a compressione del calcestruzzo possono essere costruiti come in Figura 1.3.3.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.3\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

Dove f_c è la resistenza a compressione del calcestruzzo, f_ct è la resistenza a trazione del calcestruzzo, φ è l'angolo di attrito interno e σ_c1, σ_c3 sono le tensioni principali del calcestruzzo in compressione triassiale.

Si può notare che all'aumentare della tensione principale σ_c3, aumenta anche la massima differenza possibile tra i valori di σ_c3 e σ_c1, che definiamo come σ_c,eq massima (vedere sotto). Tale differenza corrisponde al doppio della tensione deviatorica, definita in letteratura come raggio dei cerchi di Mohr.

Nel CSFM 3D implementato in IDEA StatiCa Detail, l'angolo di attrito interno è considerato pari a φ = 0°, come mostrato in Figura 7.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.4\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

La conseguenza pratica di questa implementazione è che la differenza massima tra σ_c3 e σ_c1 rimane costante all'aumentare di σ_c3. 

La Tensione Principale Equivalente esprime la tensione uniassiale equivalente per un generico stato tensionale triassiale.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Il valore di σ_c,eq può quindi essere confrontato direttamente con i limiti di resistenza uniassiale previsti dalle normative.

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Dove σ_c,lim è la resistenza uniassiale di progetto (ridotta con i coefficienti parziali) del calcestruzzo f_c.

Confrontando la Figura 1.3.3, in cui viene utilizzato l'angolo di attrito interno reale, e la Figura 1.3.4, che mostra l'implementazione della teoria di Mohr-Coulomb con angolo di attrito interno nullo, si può notare che l'approccio scelto per i calcoli in Detail è molto conservativo per la valutazione dello stato tensionale triassiale.

Per comprendere meglio le aree interessate dalla tensione di compressione triassiale, nell'applicazione IDEA StatiCa Detail è stata aggiunta l'espressione dell'incremento della resistenza efficace del materiale dovuto alla compressione triassiale, sotto forma del rapporto σ_c3/σ_c,lim. Questo rapporto è disponibile nella verifica normativa della resistenza.

Nei risultati ausiliari, l'utente può inoltre trovare il fattore κ, che descrive la triassialità in un modo diverso. 

$$\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}$$

La verifica della resistenza del calcestruzzo può quindi essere riscritta come:

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Da quanto precede deriva che, se l'elemento è soggetto a tensione idrostatica - σ_c3=σ_c2=σ_c1, la Tensione Principale Equivalente σ_c,eq assume valore nullo e il fattore kappa tende all'infinito.

Maggiori informazioni sono disponibili qui: Tensione triassiale – l'effetto di confinamento attivo

Equazioni di equilibrio

La teoria delle piccole deformazioni consente di formulare l'equazione di equilibrio sul volume indeformato mediante un approccio del primo ordine. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.1\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}$$

Equazioni di compatibilità

Un corpo solido è costituito da volumi infinitesimi o punti materiali, ciascuno dei quali è collegato agli altri senza vuoti né sovrapposizioni. Quando un corpo continuo subisce una deformazione, devono essere rispettate condizioni matematiche che impediscano la formazione di vuoti o sovrapposizioni.

Equazioni costitutive

Le equazioni costitutive che governano il comportamento degli elementi 3D svolgono un ruolo fondamentale nell'analisi del comportamento dei materiali nella meccanica strutturale. Tali equazioni sono formulate per descrivere il comportamento isotropo non lineare, valido per gli elementi solid block in IDEA StatiCa Detail. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.2\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}$$

Il CSFM 3D considera campi di tensione continui nel calcestruzzo (elementi finiti 3D), integrati da elementi discreti a “barra” che rappresentano l'armatura (elementi finiti 1D). Pertanto, l'armatura non è inglobata in modo diffuso negli elementi finiti 3D del calcestruzzo, ma è modellata esplicitamente e collegata ad essi. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.1.1\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}$$

Il modello di analisi non lineare (anelastica) agli elementi finiti è costituito da diversi tipi di elementi finiti utilizzati per modellare il calcestruzzo, l'armatura e l'aderenza tra di essi. Gli elementi del calcestruzzo e dell'armatura vengono dapprima discretizzati in modo indipendente e poi collegati tra loro mediante vincoli multi-punto (elementi MPC). Ciò consente di posizionare l'armatura in qualsiasi punto, senza essere limitata ai nodi della mesh tetraedrica. Per verificare la lunghezza di ancoraggio, tra l'armatura e gli elementi MPC vengono inseriti elementi di aderenza ed elementi molla di estremità di ancoraggio.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.1\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}$$

Calcestruzzo

Il calcestruzzo viene analizzato mediante elementi tetraedrici misti con rotazioni nodali. Gli elementi tetraedrici consentono di discretizzare regioni di qualsiasi topologia, mentre la formulazione implementata garantisce risultati accurati in termini di deformazione (senza tensioni tangenziali spurie, note come effetto di shear locking) anche con una mesh grossolana, che non sarebbe adatta alla formulazione degli elementi tetraedrici lineari. 

Viene utilizzata l'integrazione completa. Ciò significa che ogni elemento è dotato di quattro punti di integrazione situati all'interno del volume. Tale integrazione fornisce un campo di deformazioni e tensioni preciso, che consente una valutazione e una rappresentazione adeguate dei risultati sull'intero volume. Successivamente, i criteri di arresto vengono stabiliti in base al valore nel punto di integrazione.

Armatura

Le barre d'armatura sono modellate mediante elementi 1D “rod” a due nodi (CROD), che possiedono soltanto rigidezza assiale. Questi elementi sono collegati a speciali elementi di “aderenza” (bond), sviluppati per modellare il comportamento di scorrimento tra una barra d'armatura e il calcestruzzo circostante. Tali elementi di aderenza sono a loro volta collegati, tramite elementi MPC (vincolo multi-punto), alla mesh che rappresenta il calcestruzzo. Questo approccio consente la discretizzazione indipendente di armatura e calcestruzzo, mentre il loro collegamento viene garantito in un secondo momento.

Elementi di aderenza

La lunghezza di ancoraggio viene verificata implementando nel modello agli elementi finiti le tensioni tangenziali di aderenza tra gli elementi del calcestruzzo (3D) e gli elementi delle barre d'armatura (1D). A tale scopo è stato sviluppato il tipo di elemento finito “bond”.

L'elemento di aderenza è definito come un elemento finito di tipo shell, collegato agli elementi che rappresentano l'armatura tramite il primo strato e alla mesh del calcestruzzo tramite il secondo strato, mediante vincoli multi-punto (elementi MPC). Si noti che in questo articolo l'elemento di aderenza è sempre rappresentato con un'altezza diversa da zero, la quale, tuttavia, è definita come infinitesima nel modello.

Il comportamento di questo elemento è descritto dalla tensione di aderenza, τ_b, come funzione bilineare dello scorrimento tra i nodi superiori e inferiori, δu, vedere (Fig. 2.2.2).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.2\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}$$

Il modulo di rigidezza elastica della relazione aderenza-scorrimento, Gb, è definito come segue:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

k_g            coefficiente dipendente dalla superficie della barra d'armatura (per default kg = 0,2)

E_c            modulo di elasticità del calcestruzzo (assunto pari a Ecm nel caso di EN)

Ø             il diametro della barra d'armatura

I valori di progetto (valori fattorizzati) della tensione tangenziale ultima di aderenza, f_bd, forniti dalle normative di progetto selezionate, EN 1992-1-1 o ACI 318-19, sono utilizzati per verificare la lunghezza di ancoraggio. L'incrudimento del ramo plastico è calcolato per default come Gb/105.

Molla di ancoraggio

La presenza di estremità di ancoraggio nelle barre d'armatura (ovvero piegature, ganci, anelli…), che soddisfano le prescrizioni delle normative di progetto, consente di ridurre la lunghezza di ancoraggio di base delle barre (l_b,net) di un certo fattore β (di seguito denominato “coefficiente di ancoraggio”). Il valore di progetto della lunghezza di ancoraggio (lb) è quindi calcolato come segue:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.3\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}$$

La riduzione della lunghezza di ancoraggio è inclusa nel modello agli elementi finiti mediante un elemento molla all'estremità della barra (Fig. 2.2.3a), definito dal modello costitutivo mostrato in (Fig. 2.2.3b). La forza massima trasmessa da questa molla (F_au) è:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

dove:

β             il coefficiente di ancoraggio in base al tipo di ancoraggio

A_s            la sezione trasversale della barra d'armatura

f_yd           il valore di progetto (valore fattorizzato) della resistenza a snervamento dell'armatura

Piastra di base

La piastra di base è modellata come elemento shell elastico. Il materiale in acciaio utilizzato per le piastre di base è definito nella scheda Materials. L'unica proprietà fisica è il modulo di elasticità E.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.1\qquad The base plate material definition}}}$$

La piastra di base può essere caricata mediante carichi puntuali (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) e mediante un gruppo di forze (Fx, Fy, Fz), utilizzato principalmente per caricare i modelli esportati da IDEA StatiCa Connection. Si noti che i carichi puntuali e i momenti puntuali caricano direttamente il nodo corrispondente della piastra di base. Ciò significa che non vi è alcuna ridistribuzione, se non quella dovuta alla rigidezza della piastra di base. 

Questa implementazione consente di importare da IDEA StatiCa Connection gli effetti del carico applicati alla piastra di base in corrispondenza dei singoli elementi finiti di saldatura, con valore e direzione determinati dalla tensione generale di tale elemento finito di saldatura. Maggiori dettagli sono riportati nel capitolo corrispondente di questo documento.

La seconda opzione di carico è lo Stub, che rappresenta un breve tratto del pilastro al di sopra della piastra di base. Lo stub è modellato come struttura di elementi shell elastici e si comporta come un'interfaccia fisicamente accurata tra le azioni interne e la piastra. L'utente seleziona per lo stub una sezione trasversale da un database di sezioni standard. Il set di sei componenti delle azioni interne (forze e momenti) è applicato in un unico punto sulla faccia inferiore dello stub, cioè alla base del pilastro. I vincoli trasferiscono le forze alla faccia superiore dello stub, da dove esse vengono ridistribuite in modo naturale attraverso lo stub nella piastra di base, negli ancoranti e nel calcestruzzo.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.2\qquad The load transfer through the stub}}}$$

Meccanismo di trasferimento del taglio (dalla piastra di base al blocco di calcestruzzo)

Tra la piastra di base e il calcestruzzo è definito un contatto con attrito, resistente alla sola compressione. Per il trasferimento del taglio l'utente può scegliere tra tre opzioni:

• Mediante ancoranti
• Mediante attrito
• Mediante chiave a taglio

Il software non consente la combinazione di questi meccanismi di trasferimento del taglio. 

Il coefficiente di attrito deve essere inserito come valore di progetto (fattorizzato). Nel caso in cui la forza di taglio risultante F_xy superi la forza di compressione F_z moltiplicata per il coefficiente di attrito μ, il calcolo si interrompe e non tutti i carichi vengono applicati al modello. La condizione è espressa come segue:

$$\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1$$

Ciò è visibile nell'esempio seguente, in cui vengono considerate due condizioni di carico. 

• LC1 - Tipo permanente - F_z = 100 kN
• LC2 - Tipo variabile - F_x = 100 kN

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.3\qquad Load input for example explaining shear transfer by friction}}}$$

Nel primo passo di calcolo viene applicato l'intero carico permanente. Successivamente il carico variabile viene applicato gradualmente fino a raggiungere il valore del carico di compressione moltiplicato per il coefficiente di attrito.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.4\qquad Results from example explaining shear transfer by friction}}}$$

Il grafico in Figura 2.3.5 definisce il comportamento del contatto con attrito tra la piastra di base e il calcestruzzo.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.5\qquad Force-displacement graph describing the behavior of frictional contact}}}$$

Il valore di F_zμ varia a ogni incremento del calcolo, mentre il valore della deformazione a taglio massima u_xy è costante. 

Se la forza normale di compressione F_z e la forza di taglio F_xy sono inserite in un'unica condizione di carico (ad es. solo permanente) e la condizione F_xy / (F_zμ) ≤ 1 non è soddisfatta, nessun carico viene applicato al modello, poiché la condizione non è soddisfatta in nessun incremento del calcolo.

La chiave a taglio è collegata alla rete di calcestruzzo mediante vincoli che consentono il trasferimento della sola tensione normale di compressione. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.6\qquad Shear lug transfer of shear mechanism}}}$$

La chiave a taglio è modellata con elementi shell elastici, in cui il materiale è definito dal modulo di elasticità E.

I risultati non vengono valutati né visualizzati per la piastra di base, così come per la chiave a taglio.

 Opzioni della piastra di base  (distanza dal supporto, malta di allettamento)

È disponibile il seguente set di opzioni di distanza dal supporto, completamente allineate con l'applicazione Connection.

• Diretto
• Giunto di malta – dadi dall'alto
• Giunto di malta – dadi dall'alto e dal basso
• Intercapedine

Lo strato di malta è modellato come elemento shell, tenendo conto della sua rigidezza. Si noti che gli elementi shell sono incomprimibili nella direzione del loro spessore. Ciò favorisce la ridistribuzione delle forze locali nel calcestruzzo ed è valido per gli spessori tipici dello strato di allettamento utilizzati nella pratica, pari a 25-50 mm.

La distinzione tra dadi solo dall'alto (interconnessione cernierata tra ancorante e piastra di base) e dadi dall'alto e dal basso (interconnessione fissa tra ancorante e piastra di base) influenza fortemente la capacità a taglio dal punto di vista della pressione di contatto sul calcestruzzo.

Ancoranti

Gli elementi finiti che rappresentano gli ancoranti sono modellati in modo da poter trasferire al calcestruzzo forze normali e di taglio, tenendo conto anche della rigidezza flessionale degli ancoranti. Per modellare lo scorrimento tra l'ancorante e il calcestruzzo circostante, vengono utilizzati gli stessi elementi di aderenza e MPC impiegati per l'armatura, con la seguente differenza:

• Per gli ancoranti post-installati (chimici), è necessario specificare la resistenza di aderenza di progetto.
• Per le piastre rondella e i pioli con testa, l'aderenza è trascurata lungo il gambo dell'ancorante. Tutto il carico assiale viene quindi trasferito al calcestruzzo attraverso la piastra rondella o la testa dell'ancorante.

Aderenza all'interno del copriferro - Per gli ancoranti collegati al calcestruzzo mediante aderenza lungo il gambo, cioè gli ancoranti costituiti da armatura gettata in opera e gli ancoranti post-installati (chimici), gli elementi di aderenza non sono attivi all'interno del copriferro. L'applicazione determina automaticamente il copriferro come la distanza dalla superficie del calcestruzzo alla faccia dell'armatura superficiale (Fig. 2.3.7a). Lungo questa lunghezza, la resistenza di aderenza tra l'ancorante e il calcestruzzo è nulla e l'ancorante è collegato al calcestruzzo mediante elementi di aderenza solo al di sotto del copriferro, lungo la restante parte della sua profondità di infissione (Fig. 2.3.7b). Tutto il carico trasferito per aderenza viene quindi introdotto nel calcestruzzo racchiuso dall'armatura superficiale e le tensioni di aderenza dell'ancorante all'interno del copriferro sono nulle nei risultati.

La ragione è il diverso comportamento a rottura del copriferro. 3D CSFM utilizza per il calcestruzzo un modello di materiale plastico che consente la ridistribuzione delle tensioni (vedere Capitolo 1.2). Il copriferro in prossimità di una superficie libera, tuttavia, si rompe in modo fragile, secondo la meccanica della frattura, senza alcuna riserva plastica. Se l'aderenza fosse attiva all'interno del copriferro, il modello svilupperebbe un campo di compressione in una zona che nella realtà non è in grado di sostenerlo in modo affidabile e sovrastimerebbe il contributo del copriferro alla resistenza dell'ancorante. Questo errore aumenta con lo spessore del copriferro. Inoltre, il copriferro è la parte del modello esposta all'ambiente (carbonatazione, cloruri, agenti aggressivi), per cui le sue proprietà possono degradarsi durante la vita di servizio della struttura. Trascurare l'aderenza all'interno del copriferro è quindi un'ipotesi conservativa, coerente con le ipotesi di base di 3D CSFM.

Questa ipotesi si applica solo agli ancoranti che trasferiscono il carico al calcestruzzo per aderenza lungo il gambo. I pioli con testa e gli ancoranti con piastre rondella trasferiscono il carico assiale attraverso la testa o la piastra, con aderenza nulla lungo il gambo, e non sono quindi interessati. Anche l'armatura ordinaria non è interessata. L'influenza sulla resistenza è più marcata per gli ancoranti la cui resistenza è governata dall'aderenza e che sono installati in elementi con un copriferro elevato, perché una parte maggiore della profondità di infissione non contribuisce.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.7\qquad Anchor with bond along the shank}}}$$

Gli ancoranti possono essere interconnessi con le piastre di base. Per questa interconnessione si utilizza un vincolo completamente non lineare che collega l'estremità dell'ancorante a un nodo della piastra di base. Questo vincolo consente di controllare tutti i gradi di libertà, in modo da garantire, ad esempio, che gli ancoranti non trasferiscano alcuna forza di compressione dalla piastra di base, oppure che l'ancorante non trasferisca taglio quando si modella una chiave a taglio, ecc. 

Le proprietà Interconnessione con la piastra di base degli ancoranti consentono all'utente di controllare se l'ancorante sarà collegato alla piastra di base mediante il vincolo sopra citato e con quali modalità. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.8\qquad Interconnection with base plate settings}}}$$

La casella Trasferimento del taglio consente di controllare se l'ancorante e la piastra di base saranno collegati o meno in termini di taglio. Si noti che non è supportata la combinazione dei meccanismi di trasferimento del taglio; pertanto, per il trasferimento mediante attrito e chiave a taglio questa casella è irrilevante. Per il trasferimento del taglio mediante ancoranti, invece, questo campo offre la possibilità di escludere alcuni ancoranti dal trasferimento del taglio.

La casella Trasferimento delle forze assiali consente di controllare se l'ancorante e la piastra di base saranno collegati o meno in direzione assiale. Viene utilizzata principalmente per l'esportazione dalla funzione Connection (vedere il capitolo corrispondente). Per la modellazione manuale ha senso mantenere sempre selezionata questa casella.

Quando la casella non è selezionata, l'ancorante è scollegato sia a trazione sia a compressione (nel caso di un modello esportato dall'applicazione Connection, il collegamento viene sostituito da una coppia di forze). Se la casella è selezionata, l'ancorante è sempre collegato alla piastra a trazione, mentre il collegamento a compressione è controllato dal tipo di ancorante e dal tipo di distanza dal supporto. Per ulteriori informazioni, vedere la Figura 2.3.8.

Filettatura tagliata

È controllata da una casella nelle proprietà dell'ancorante e ha due scopi:

1. Definisce come l'ancorante si collega alla piastra di base:

• Per i pioli con testa e l'armatura gettata in opera collegati alla piastra di base (non per le piastre annegate), distingue tra un collegamento bullonato (cernierato) e un collegamento saldato (fisso), visibile nella scena 3D.
• Si noti che la modalità di collegamento tra ancorante e piastra ha un'influenza significativa sulla resistenza a taglio dal punto di vista della pressione di contatto sul calcestruzzo.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.9\qquad Cut threads options}}}$$

2. Per l'Eurocodice, la resistenza dell'ancorante con filettatura tagliata è ridotta secondo EN 1993-1-8 3.6.1 (3). Può essere impostata nelle Impostazioni del progetto. Per le barre filettate e le piastre rondella si raccomanda di mantenere sempre attiva questa impostazione.

Interconnessione assiale e rotazionale tra ancorante e piastra di base

Come già accennato in questo capitolo, a seconda del tipo di ancorante, dell'impostazione della distanza dal supporto e dell'eventuale considerazione della filettatura tagliata, gli ancoranti sono collegati alla piastra di base in modi diversi. In termini di collegamento rotazionale, può essere Cerniera / Incastro. In termini di collegamento assiale, può essere Trazione / Trazione + Compressione. I tipi di collegamento rotazionale influenzano fortemente la capacità a taglio dal punto di vista della pressione di contatto sul calcestruzzo. In una scena 3D è facile capire se un ancorante è collegato come fisso o cernierato in base alla presenza dei dadi, vedere la Figura 2.3.10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.10\qquad Rotational constraints}}}$$

La tabella seguente mostra tutte le possibili combinazioni di collegamenti della piastra di base con gli ancoranti e i corrispondenti collegamenti rotazionali e assiali.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.11\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Piastre annegate

La piastra annegata è un caso particolare di piastra di base. È modellata in modo analogo, con le seguenti differenze:

Poiché la piastra è annegata all'interno di un blocco di calcestruzzo, non è possibile specificare alcun tipo di distanza dal supporto. La profondità di annegamento della piastra è trascurata. La piastra, modellata con elementi shell, è posta direttamente sulla superficie del calcestruzzo. Pertanto, le superfici laterali della piastra non sono considerate vincolate dal calcestruzzo.

È possibile utilizzare solo armatura e pioli con testa che, come gli ancoranti classici, possono essere impostati per essere collegati alla piastra in direzione assiale e di taglio. L'esperienza pratica e alcuni documenti nazionali indicano la necessità di progettare i pioli con testa solo a taglio e l'armatura per il carico assiale. Dal punto di vista dei vincoli assiali e rotazionali, gli ancoranti sono sempre collegati come Incastro e Trazione + Compressione.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.12\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Gli elementi finiti sono implementati internamente e il modello di analisi viene generato automaticamente, senza richiedere l'intervento di un utente esperto. Una parte importante di questo processo è la generazione della mesh.

Calcestruzzo

Tutti gli elementi in calcestruzzo vengono discretizzati insieme. L'applicazione calcola automaticamente una dimensione consigliata degli elementi, in base alle dimensioni e alla forma della struttura e tenendo conto del diametro della barra di armatura più grande. Inoltre, la dimensione consigliata garantisce la generazione di almeno quattro elementi nelle parti sottili della struttura, come pilastri snelli o pareti sottili, per assicurare risultati affidabili in queste zone. Il progettista può sempre scegliere una dimensione degli elementi in calcestruzzo definita dall'utente, modificando il moltiplicatore della dimensione predefinita della mesh.

Armatura

L'armatura viene suddivisa in elementi con lunghezza approssimativamente uguale alla dimensione degli elementi in calcestruzzo. Una volta generate le mesh dell'armatura e del calcestruzzo, queste vengono collegate tra loro mediante elementi di aderenza, come mostrato in Fig. 2.2.1.

Raffinamento

La mesh del calcestruzzo viene raffinata automaticamente attorno agli ancoranti, attorno alle chiavi a taglio e sotto il moncone di carico. La dimensione della mesh raffinata è circa la metà di quella della mesh base del calcestruzzo. Il raggio della zona raffinata è definito approssimativamente come la dimensione dell'elemento moltiplicata per due.

Per trovare la soluzione di un problema FEM non lineare si utilizza un algoritmo standard di Newton-Raphson (NR) completo. 

In generale, l'algoritmo NR spesso non converge quando il carico completo viene applicato in un unico passo. Un approccio usuale, adottato anche in questo caso, consiste nell'applicare il carico in modo sequenziale con più incrementi e nell'utilizzare il risultato dell'incremento di carico precedente come punto di partenza per la soluzione di Newton di quello successivo. A tale scopo, è stato implementato un algoritmo di controllo del carico sopra il metodo di Newton-Raphson. Se le iterazioni NR non convergono, l'incremento di carico corrente viene ridotto a metà del suo valore e le iterazioni NR vengono ripetute.

Un secondo scopo dell'algoritmo di controllo del carico è trovare il carico critico, che corrisponde a determinati "criteri di arresto", in particolare la deformazione massima nel calcestruzzo, lo scorrimento massimo negli elementi di aderenza, lo spostamento massimo negli elementi di ancoraggio e la deformazione massima nelle barre di armatura. Il carico critico viene determinato con il metodo di bisezione. Se il criterio di arresto viene superato in un qualsiasi punto del modello, i risultati dell'ultimo incremento di carico vengono scartati e si calcola un nuovo incremento pari alla metà del precedente. Questo processo viene ripetuto fino a determinare il carico critico entro una certa tolleranza di errore.

Per il calcestruzzo, il criterio di arresto è stato fissato a una deformazione del 5% in compressione (ovvero circa un ordine di grandezza superiore alla deformazione effettiva di rottura del calcestruzzo) e del 7% in trazione nei punti di integrazione degli elementi shell. In trazione, il valore è stato fissato in modo da consentire che venga raggiunta per prima la deformazione limite dell'armatura, che di solito è circa il 5% senza considerare l'irrigidimento a trazione. In compressione, il valore è stato scelto tra diverse alternative come un valore sufficientemente elevato da rendere visibili nei risultati gli effetti dello schiacciamento, ma abbastanza contenuto da non causare troppi problemi di stabilità numerica.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 2.5.1\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}$$

Per l'armatura, il criterio di arresto è definito in termini di tensioni. Poiché le tensioni vengono modellate in corrispondenza della fessura, il criterio in trazione corrisponde alla resistenza a trazione dell'armatura tenendo conto del coefficiente di sicurezza. Lo stesso valore viene utilizzato per il criterio in compressione.

Il criterio di arresto negli elementi di aderenza e nelle molle di ancoraggio è α·δ_umax, dove δ_umax è lo scorrimento massimo utilizzato nelle verifiche normative e α = 10.

Altri criteri di arresto per l'ancoraggio:

• Sfilamento degli ancoranti con testa (massima tensione di contatto in compressione sulla faccia superiore della testa dell'ancorante). 
• Forza di taglio massima che può essere trasferita dall'ancorante dal punto di vista della resistenza a rifollamento del calcestruzzo.

Questi due criteri dipendono dalla norma selezionata. Ulteriori informazioni sono disponibili nelle sezioni che illustrano le parti dell'analisi strutturale dipendenti dalla norma nell'applicazione.

I risultati sono presentati separatamente per il calcestruzzo e per gli elementi di armatura. I valori di tensione e deformazione nel calcestruzzo sono calcolati nei punti di integrazione degli elementi solidi. Poiché tuttavia non è pratico presentare i dati in questo modo, per impostazione predefinita i risultati sono presentati nei nodi, come valore massimo della tensione di compressione dei punti di integrazione di Gauss adiacenti negli elementi collegati. Si noti che questa rappresentazione può sottostimare localmente i risultati sui bordi compressi degli elementi, nel caso in cui la dimensione dell'elemento finito sia simile all'altezza della zona compressa.

I risultati per gli elementi finiti dell'armatura sono costanti per ciascun elemento (un solo valore, ad esempio per le tensioni nell'acciaio) oppure lineari (due valori, per i risultati di aderenza). Per gli elementi ausiliari, come gli elementi delle piastre di appoggio, vengono presentate solo le deformazioni.

Il modello IDEA StatiCa Detail non deve sempre essere creato da zero o a partire da un modello. È inoltre possibile importare il modello, compresi gli effetti del carico, da IDEA StatiCa Connection. In Connection la sovrastruttura in acciaio posta sopra il blocco in calcestruzzo viene analizzata con un modello 3D non lineare, mentre il blocco in calcestruzzo è rappresentato in modo semplificato da una fondazione alla Winkler. In Detail, invece, il blocco in calcestruzzo armato viene modellato in modo esplicito e verificato nel dettaglio.

Durante il trasferimento del modello, in Detail vengono importati solo la piastra di base, gli ancoranti e il blocco in calcestruzzo. L'elemento in acciaio stesso (e la sua rigidezza globale) non viene importato. Nel modello Connection questo elemento in acciaio è collegato alla piastra di base mediante una saldatura. Le tensioni negli elementi finiti della saldatura vengono integrate e convertite in un insieme di forze equivalenti che caricano la piastra di base in Detail. In questo modo, l'effetto dell'elemento in acciaio mancante è rappresentato da forze di saldatura applicate direttamente alla piastra di base.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.7.1\qquad Loads imported from IDEA StatiCa Connection}}}$$

A causa della diversa definizione della rigidezza tra Connection e Detail (elemento in acciaio mancante, diversi modelli di materiale e diversa rappresentazione del calcestruzzo), un collegamento diretto tra la piastra di base e gli ancoranti in Detail porterebbe in genere a una diversa ridistribuzione dei carichi e, di conseguenza, a diverse forze di trazione negli ancoranti. Per evitarlo, gli ancoranti vengono importati scollegati assialmente dalla piastra di base. Invece di trasferire le forze assiali attraverso il contatto fisico, le trazioni degli ancoranti ottenute da Connection vengono applicate direttamente agli ancoranti in Detail. Allo stesso tempo, in corrispondenza di ciascun ancorante viene applicata alla piastra di base una forza uguale e opposta, in modo da preservare l'equilibrio globale del modello. Questa coppia di forze (una agente sull'ancorante, l'altra sulla piastra di base) rappresenta l'interazione tra la piastra di base e l'ancorante senza consentire un'ulteriore ridistribuzione delle forze assiali in Detail. Queste due forze opposte sono illustrate nella Figura 2.7.1.

Le forze di taglio, tuttavia, continuano a essere trasferite dal collegamento tra la piastra di base e gli ancoranti (o dalla chiave a taglio, o dall'attrito). Ciò è possibile perché per collegare a taglio la piastra di base e gli ancoranti viene utilizzato un vincolo, che consente di controllare i gradi di libertà rilevanti di questa interconnessione. In Detail l'utente può quindi modificare il percorso del carico a taglio, ad esempio rilasciando il taglio in due ancoranti su quattro e mantenendo impegnati a taglio solo gli ancoranti di bordo, mentre le forze assiali rimangono quelle importate da Connection.

Per le piastre annegate nel getto, abbiamo adottato un approccio diverso. Diverse raccomandazioni di progetto europee richiedono che solo le barre di armatura siano considerate resistenti alle forze assiali, mentre si assume che i pioli con testa trasferiscano solo il taglio. Poiché IDEA StatiCa Connection non è in grado di separare internamente, durante l'esportazione, le forze assiali negli ancoranti di armatura da quelle nei pioli con testa, gli ancoranti delle piastre annegate nel getto vengono importati in Detail completamente collegati, anche in direzione assiale. Ciò consente all'utente di attivare in Detail un'opzione di progetto in cui gli ancoranti di armatura sopportano solo la trazione assiale e i pioli con testa sopportano solo il taglio. In questo flusso di lavoro, la forza assiale originariamente assegnata ai pioli con testa deve essere ridistribuita sugli ancoranti di armatura all'interno del modello Detail. Tale ridistribuzione non sarebbe possibile se utilizzassimo l'approccio con coppia di forze opposte descritto sopra, ed è per questo motivo che le piastre annegate nel getto sono trattate in modo diverso.

Stato limite ultimo

Le diverse verifiche richieste dalle specifiche normative di progetto vengono valutate sulla base dei risultati diretti forniti dal modello. Le verifiche allo SLU sono eseguite per la resistenza del calcestruzzo, la resistenza dell'armatura e l'ancoraggio (tensioni tangenziali di aderenza).

Per garantire un progetto efficiente di un elemento strutturale, si raccomanda vivamente di eseguire un'analisi preliminare che tenga conto dei seguenti passaggi:

• Scegliere una selezione delle combinazioni di carico più critiche.
• Calcolare solo le combinazioni di carico allo stato limite ultimo (SLU).
• Per ridurre i tempi di calcolo e risolvere eventuali problemi, valutare l'uso di una rete grossolana aumentando il moltiplicatore della dimensione predefinita della rete nelle Impostazioni (Fig. 3.1.1). Se il modello funziona correttamente, riportare il moltiplicatore al fattore 1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 3.1.1\qquad Mesh multiplier}}}$$

Un modello di questo tipo viene calcolato molto rapidamente, consentendo ai progettisti di rivedere in modo efficiente i dettagli costruttivi dell'elemento strutturale e di rieseguire l'analisi fino a quando tutti i requisiti di verifica sono soddisfatti per le combinazioni di carico più critiche. Una volta soddisfatti tutti i requisiti di verifica di questa analisi preliminare, si suggerisce di includere le combinazioni di carico ultime complete e di utilizzare una rete a maglia fine (la dimensione della rete raccomandata dal programma). Gli utenti possono modificare la dimensione della rete tramite il moltiplicatore, che può assumere valori da 0,5 a 5 (Fig. 3.1.1).

I risultati e le verifiche di base (tensione, deformazione e sfruttamento (ovvero il valore calcolato/valore limite previsto dalla normativa)), nonché la direzione delle tensioni principali nel caso di elementi in calcestruzzo, sono visualizzati mediante diversi grafici in cui la compressione è generalmente rappresentata in rosso e la trazione in blu. È possibile evidenziare i valori minimi e massimi globali per l'intera struttura, nonché i valori minimi e massimi per ogni parte definita dall'utente. In una scheda separata del programma è possibile visualizzare risultati avanzati, quali i valori tensoriali, le deformazioni della struttura e le percentuali di armatura (efficaci e geometriche) utilizzate per calcolare l'irrigidimento a trazione delle barre d'armatura. Inoltre, è possibile presentare i carichi e le reazioni per le combinazioni o le condizioni di carico selezionate.

Calcestruzzo - SLU

Il modello del calcestruzzo implementato in 3D CSFM si basa sulle leggi costitutive uniassiali a compressione prescritte dalla EN 1992-1-1 per il progetto delle sezioni trasversali, che dipendono solo dalla resistenza a compressione. In 3D CSFM viene utilizzato per impostazione predefinita il diagramma parabola-rettangolo specificato in EN 1992-1-1 par. 3.1.7 (1) (Fig. 4.1.1a), ma i progettisti possono scegliere anche una relazione elastica-perfettamente plastica più semplificata, secondo EN 1992-1-1 par. 3.1.7 (2) (Fig. 4.1.1b). La resistenza a trazione è trascurata, come nel progetto classico del calcestruzzo armato.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 4.1.1\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}$$

L'implementazione di 3D CSFM in IDEA StatiCa Detail non considera un criterio di rottura esplicito in termini di deformazioni per il calcestruzzo compresso (cioè, dopo il raggiungimento della tensione di picco, considera un ramo plastico con ε_cu2 (ε_cu3) pari al 5%, mentre la EN 1992-1-1 assume una deformazione ultima inferiore allo 0,35%). Questa semplificazione non consente di verificare la capacità deformativa delle strutture che giungono a rottura per compressione. Tuttavia, la loro capacità ultima f_cd secondo EN 1992-1-1 3.1.3 è prevista correttamente quando l'aumento della fragilità del calcestruzzo al crescere della sua resistenza viene considerato mediante il coefficiente di riduzione $\eta_{fc}$ definito nel fib Model Code 2010 come segue:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

dove:

α_cc è il coefficiente che tiene conto degli effetti a lungo termine sulla resistenza a compressione e degli effetti sfavorevoli derivanti dalle modalità di applicazione del carico. Si determina secondo EN 1992-1-1 par. 3.1.6 (1). Il valore predefinito è 1,0.

f_ck è la resistenza caratteristica cilindrica del calcestruzzo (in MPa per la definizione di $\eta_{fc}$).

Armatura

Per impostazione predefinita, si considera il diagramma tensione-deformazione bilineare idealizzato per le barre d'armatura nude, definito in EN 1992-1-1, sezione 3.2.7 (Fig. 4.1.2). La definizione di questo diagramma richiede solo la conoscenza delle proprietà di base dell'armatura durante la fase di progetto (resistenza e classe di duttilità). Quando disponibile, può essere considerata la relazione tensione-deformazione effettiva dell'armatura (laminata a caldo, lavorata a freddo, temprata e autorinvenuta, …). Il diagramma tensione-deformazione dell'armatura può essere definito dall'utente, ma in questo caso non è possibile considerare l'effetto di irrigidimento a trazione (non è possibile calcolare l'ampiezza delle fessure). L'utilizzo del diagramma tensione-deformazione con ramo superiore orizzontale non consente la verifica della durabilità strutturale. Pertanto, è necessaria la verifica manuale dei requisiti normativi di duttilità.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$$

L'irrigidimento a trazione (Fig. 4.1.3) è considerato automaticamente modificando la relazione tensione-deformazione di input della barra d'armatura nuda, in modo da cogliere la rigidezza media delle barre immerse nel calcestruzzo (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Il Metodo del Campo di Tensioni Compatibile è conforme alle moderne normative di progettazione. Poiché i modelli di calcolo utilizzano soltanto le proprietà standard dei materiali, il formato dei coefficienti parziali di sicurezza prescritto dalle normative di progettazione può essere applicato senza alcun adattamento. In questo modo, i carichi in ingresso vengono amplificati e le proprietà caratteristiche dei materiali vengono ridotte mediante i rispettivi coefficienti di sicurezza prescritti dalle normative, esattamente come nell'analisi convenzionale del calcestruzzo. I valori dei coefficienti di sicurezza dei materiali prescritti nella EN 1992-1-1, cap. 2.4.2.4, e i coefficienti per gli ancoranti prescritti nelle EN 1992-4, EN 1993-1-8 ed EN 1994-1-1 sono impostati per impostazione predefinita, ma l'utente può modificare i coefficienti di sicurezza nelle impostazioni della normativa e del calcolo (Fig. 4.2.1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.1\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

I coefficienti di sicurezza dei carichi devono essere definiti dall'utente nelle Regole di combinazione per ciascuna combinazione non lineare delle condizioni di carico (Fig. 4.2.2). Per tutti i modelli implementati in Idea StatiCa Detail, i coefficienti parziali di sicurezza sono già predefiniti.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.2\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Utilizzando opportune combinazioni definite dall'utente dei coefficienti parziali di sicurezza, è possibile eseguire calcoli con il CSFM 3D anche mediante il metodo del coefficiente globale di resistenza (Navrátil, et al. 2017), ma questo approccio è raramente utilizzato nella pratica progettuale. Alcune linee guida raccomandano di utilizzare il metodo del coefficiente globale di resistenza per l'analisi non lineare. Tuttavia, nelle analisi non lineari semplificate (come il CSFM 3D), che richiedono soltanto le proprietà dei materiali utilizzate nei calcoli manuali convenzionali, è comunque preferibile utilizzare il formato dei coefficienti parziali.

Le diverse verifiche richieste dalla EN 1992-1-1 sono valutate sulla base dei risultati diretti forniti dal modello. Le verifiche SLU sono eseguite per la resistenza del calcestruzzo, la resistenza dell'armatura e l'ancoraggio (tensioni di taglio per aderenza).

Resistenza - Calcestruzzo

La resistenza del calcestruzzo a compressione è valutata come rapporto tra la tensione principale equivalente massima σ_c,eq ottenuta dall'analisi FE e il valore limite σ_c,lim = f_cd.

La tensione principale equivalente esprime la tensione uniassiale equivalente per uno stato tensionale triassiale generico.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Il valore σ_c,eq può quindi essere confrontato direttamente con i limiti di resistenza uniassiali secondo la 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1).

Questa espressione deriva dall'implementazione della teoria della plasticità di Mohr-Coulomb, assumendo in modo conservativo l'angolo di attrito interno φ = 0°.

Resistenza - Armatura

La resistenza dell'armatura è valutata sia a trazione sia a compressione come rapporto tra la tensione nell'armatura in corrispondenza delle fessure σ_sr e il valore limite specificato σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \dfrac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \dfrac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

dove:

f_yk        è la resistenza a snervamento dell'armatura secondo EN 1992-1-1 Cl. 3.2.3,

k          è il rapporto tra la resistenza a trazione f_tk e la tensione di snervamento,
            $k = \dfrac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             è il coefficiente parziale di sicurezza per l'armatura.

Resistenza - Ancoranti

Gli ancoranti sono verificati per le tensioni normali in modo analogo all'armatura, determinando il valore limite σ_s,lim.

Inoltre, per gli ancoranti sono specificati i valori N_Ed e V_Ed, che sono verificati rispetto a N_Rd,s e V_Rd,s secondo la normativa selezionata. La normativa viene scelta in base al tipo di ancorante utilizzato nelle Impostazioni del progetto.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.1\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Anchor check - Design code selection}}}$$

Poiché nelle diverse norme sono previsti approcci differenti per la verifica degli ancoranti, l'utente può scegliere le seguenti norme per i singoli tipi di ancorante:

• Ancoranti in materiale per bulloni soggetti a trazione e/o taglio - EN 1992-4, EN 1993-1-8
• Pioli con testa soggetti a trazione e/o taglio - EN 1992-4, EN 1994-1-1
• Ancoranti soggetti a trazione e/o taglio - EN 1992-4, EN 1992-1-1
• Ancoranti soggetti a compressione e/o flessione - EN 1993-1-1

Verifica a trazione secondo EN 1992-4 - 7.2.1.3

$$N_{Rd,s} = \frac{c \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

dove:

• c – riduzione per filettatura tagliata  
• f_uk – resistenza a trazione minima del bullone
• A_s – area resistente a trazione del bullone di ancoraggio (ridotta per la filettatura nel caso di materiale per bulloni)
• $\gamma_{Ms} = 1.2 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.4$ – coefficiente parziale di sicurezza per l'acciaio 
• f_yk – resistenza a snervamento minima del bullone

Verifica a trazione secondo EN 1993-1-8 - 3.6.1

$$N_{Rd,s} = F_{t.Rd} = \frac{c \cdot k_2 \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$ 

dove:

• c – riduzione della resistenza a trazione dei bulloni con filettatura tagliata secondo EN 1993-1-8 – Cl. 3.6.1. (3) 
• k₂ = 0,9 – coefficiente per ancoranti non a testa svasata 
• f_ub – resistenza ultima a trazione del bullone di ancoraggio 
• A_s – area resistente a trazione del bullone di ancoraggio (ridotta per la filettatura nel caso di materiale per bulloni)
• γ_M2 =1,25 – coefficiente parziale di sicurezza per i bulloni (EN 1993-1-8, Tabella 2.1) 

Verifica a trazione secondo EN 1992-1-1 - 3.2.7

$$N_{Rd,s} = \frac{kf_{yk}}{\gamma_{S}}$$

dove:

• $k=(f_{t}/f_{y})$ è riportato nell'Appendice C
• f_yk - resistenza a snervamento caratteristica
• γ_M2 =1,15 – coefficiente parziale di sicurezza per l'armatura

Verifica a compressione secondo EN 1993-1-1 - 6.3

Utilizzata per tutti gli ancoranti soggetti a una forza di compressione normale, indipendentemente dal materiale o dal tipo di stand-off. 

$$F_{c,Rd}=\frac{\chi\,A_s f_y}{\gamma_{M2}}$$

Dove:

• $\chi=\dfrac{1}{\Phi+\sqrt{\Phi^2-\bar{\lambda}^2}}\le 1$ – coefficiente di riduzione per instabilità
• $\Phi=0.5\left[1+\alpha\left(\bar{\lambda}-0.2\right)+\bar{\lambda}^2\right]$ – valore per determinare il coefficiente di riduzione per instabilità χ
• $\alpha=0.49$ – fattore di imperfezione per la curva di instabilità c (relativa alla sezione circolare piena)
• $\bar{\lambda}=\sqrt{\dfrac{A_s f_y}{N_{cr}}}$ – snellezza relativa

  • A_s – area dell'ancorante ridotta per la filettatura
• $N_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L_{cr}^2}$  – forza critica di Eulero
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – momento d'inerzia del bullone

  • d_s – diametro dell'ancorante ridotto per la filettatura
• $L_{cr}=2\,l$  – lunghezza di libera inflessione; si assume a favore di sicurezza che il bullone sia incastrato nel calcestruzzo e libero di ruotare in corrispondenza della piastra di base 
• $l=l_{a}$ – lunghezza dell'elemento bullone pari a metà dello spessore della piastra di base + gioco + metà del diametro del bullone; si assume a favore di sicurezza che la rondella e il dado non siano serrati contro la superficie del calcestruzzo (ETAG 001 – Allegato C – Cl. 4.2.2.4), vedere Figura 4.3.2.

Verifica a taglio secondo EN 1992-4 - 7.2.2.3

Per stand-off = diretto, si assume il taglio senza braccio di leva (EN 1992-4 – Cl. 7.2.2.3.1):

$$V_{Rd,s} = \frac{k_6 \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

Per stand-off = giunto di malta, si assume il taglio con braccio di leva (EN 1992-4 – Cl. 7.2.2.3.2):

$$V_{Rd,s} = \frac{\alpha_M \cdot M_{Rk,s}}{\gamma_{Ms} \cdot l_a}$$

dove:

• k₆ = 0,6 per ancoranti con fuk ≤ 500 MPa; k₆ = 0,5 altrimenti
• A_s – area resistente a taglio dell'ancorante ridotta per la filettatura
• f_uk – resistenza ultima del bullone di ancoraggio
• α_M = 2 – si assume un vincolo di incastro completo (EN 1992-4 – Cl. 6.2.2.3)
• $M_{Rk,s} = M^{0}_{Rk,s} \left(1 - \dfrac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)$ – resistenza a flessione caratteristica dell'ancorante ridotta dalla forza di trazione nell'ancorante
•  $M^{0}_{Rk,s} = 1.2 \cdot W_{el} \cdot f_{ub}$ – resistenza a flessione caratteristica dell'ancorante (ETAG 001, Allegato C – Equazione (5.5b))
• $W_{el} = \dfrac{\pi d^{3}}{32}$ – modulo di resistenza dell'ancorante
• d – diametro del bullone di ancoraggio; se è selezionato il piano di taglio nella filettatura (come avviene sempre per la barra filettata), si utilizza il diametro ridotto per la filettatura; in caso contrario, si utilizza il diametro nominale, d_nom
• N_Ed – forza di trazione nell'ancorante
• N_Rd,s – resistenza a trazione dell'ancorante
• $l_{a} = 0.5\, d_{\mathrm{nom}} + t_{\mathrm{mortar}} + 0.5\, t_{\mathrm{bp}}$ – braccio di leva
• t_mortar – spessore della malta (grout)
• t_bp – spessore della piastra di base
• $\gamma_{Ms} = 1.0 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.25$ per $f_{uk} \le 800 \text{ MPa}$ e  $\dfrac{f_{yk}}{f_{uk}} \le 0.8$; γ_Ms = 1,5 altrimenti – coefficiente parziale di sicurezza per la rottura dell'acciaio (EN 1992-4 – Tabella 4.1)

Verifica a taglio secondo EN 1993-1-8 - 6.2.2

La resistenza a taglio dell'acciaio dell'ancorante è determinata secondo EN 1993-1-8 – 6.2.2 (7) indipendentemente dallo stand-off diretto o con giunto di malta. La resistenza e lo spessore della malta devono essere conformi alla Cl. 6.2.5 (7).

$$V_{Rd,s} = F_{v,b,Rd} = \min \left\{ F_{1v,b,Rd} ,\, F_{2v,b,Rd} \right\}$$

dove:

$$F_{1v,b,Rd} = \frac{\alpha_v \cdot f_{ub} \cdot A}{\gamma_{M2}}$$

• α_v = 0,6 per le classi 4.6, 5.6, 8.8 e 0,5 per le classi 4.8, 5.8, 6.8, 10.9
• f_ub – resistenza ultima a trazione del materiale del bullone
• A – area resistente a trazione del bullone, A = A_s, dove As è l'area resistente a trazione del bullone (ridotta per la filettatura)
• γ_M2 – coefficiente di sicurezza - EN 1993-1-8 – Tabella 2.1

$$F_{2v,b,Rd} = \frac{\alpha_b \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$

• ​ $\alpha_b = 0.44 - 0.0003\, f_{yb}$
• α_b è un coefficiente che dipende dalla resistenza a snervamento del bullone di ancoraggio
• f_yb – resistenza a snervamento dell'ancorante; 235 MPa ≤ f_yb ​≤ 640 MPa
• f_ub – resistenza a trazione dell'ancorante 
• A_s – area resistente a trazione (ridotta per la filettatura)

Verifica a taglio secondo EN 1993-1-1 - 6.2.6

Queste verifiche normative si applicano agli ancoranti collegati alla piastra di base con un gioco o a un ancorante caricato direttamente con una lunghezza sporgente superiore a 0,5 volte il loro diametro.

$$V_{pl,Rd}=\frac{A_v f_y/\sqrt{3}}{\gamma_{M2}}$$

dove:

• A_V = 0,844 A_s – area resistente a taglio
• A_s – area del bullone ridotta per la filettatura
• f_y – resistenza a snervamento del bullone
• γ_M2 – coefficiente parziale di sicurezza (definito nelle Impostazioni del progetto)

Verifica a taglio secondo EN 1994-1-1 - 6.6.3.1

$$V_{Rd,s} = P_{Rd} = \frac{0.8 \, f_u \, \pi \, d^2}{4 \, \gamma_v}$$

dove:

• γ_v è il coefficiente parziale per il collegamento a taglio secondo EN 1994-1-1 cap. 2.4.1.2. Il valore raccomandato per γ_v è 1,25
• d è il diametro del gambo del piolo, 16 mm ≤ d ≤ 25 mm;
• f_u è la resistenza ultima a trazione specificata del materiale del piolo, ma non superiore a 500 MPa.

Nella EN 1994-1-1, il punto 6.6.3.1 fornisce anche l'Equazione (6.19), che limita la resistenza a taglio di un piolo in base alla capacità di punzonamento (appoggio) del calcestruzzo. In IDEA StatiCa Detail, questa modalità di rottura non è verificata mediante una formula normativa separata nella fase di post-elaborazione. Viene invece integrata direttamente nell'analisi non lineare agli elementi finiti come criterio di arresto: l'analisi viene interrotta prima che la forza di taglio in un ancorante raggiunga il corrispondente P_Rd
dell'Equazione (6.19). Questo approccio è adottato perché l'Equazione (6.19) è valida solo per i pioli con testa saldati alla piastra di acciaio e per diametri dei pioli compresi nell'intervallo 16 mm ≤ d ≤ 25 mm, come specificato in 6.6.3.1.

Per coprire un campo più ampio di casi pratici, abbiamo creato una serie di modelli di riferimento 3D in Abaqus con diametri degli ancoranti da 8 mm a 50 mm e resistenze del calcestruzzo da C16/20 a C50/60. I pioli sono stati modellati saldati rigidamente alla piastra di base oppure collegati mediante un giunto cernierato. I modelli dei materiali e i parametri di contatto in Detail sono stati quindi calibrati su queste simulazioni Abaqus, a loro volta verificate rispetto all'Equazione (6.19) entro il suo campo di validità. Questo criterio di arresto è valido per tutti i tipi di ancorante e per tutte le normative EN.

Verifica a flessione secondo EN 1993-1-1 - 6.2.5

$$M_{pl,Rd}=\frac{W_{pl} f_y}{\gamma_{M2}}$$

Dove:

• $W_{pl}=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – modulo di resistenza del bullone

  • d_s – diametro dell'ancorante ridotto per la filettatura
• f_y – resistenza a snervamento del materiale
• γ_M2 – coefficiente parziale di sicurezza (definito nelle Impostazioni del progetto)

Momento flettente di progetto agente M_Ed - Se il carico tagliante agisce con un braccio di leva, occorre tenere conto di un momento flettente agente sull'elemento di fissaggio. Il momento flettente di progetto agente sull'elemento di fissaggio è calcolato secondo la formula (6.1) della EN 1993-1-1:

$$M_{Ed}=V_{Ed}\cdot\frac{l_a}{\alpha_M}$$

dove:

• V_Ed - è il carico tagliante agente sull'elemento di fissaggio in esame
• l_a = a₃ + e₁

  • a₃ = 0,5d_nom, dove d_nom è il diametro dell'ancorante
  • e₁ - è la distanza tra il carico tagliante e la superficie del calcestruzzo, trascurando lo spessore di eventuale malta di livellamento
• α_M = 2 – si assume un vincolo di incastro completo (EN 1992-4 – Cl. 6.2.2.3)

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.2\qquad Buckling length}}}$$

Interazione di trazione e taglio nell'acciaio dell'ancorante

L'interazione di trazione e taglio secondo EN 1993-1-8 è inclusa implicitamente nella verifica a taglio dell'ancorante.

L'interazione di trazione e taglio secondo EN 1992-4 è determinata separatamente per le modalità di rottura dell'acciaio e del calcestruzzo secondo la Tabella 7.3. L'interazione nell'acciaio è verificata separatamente per ciascun ancorante.

$$\left( \frac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)^{2}+\left( \frac{V_{Ed}}{V_{Rd,s}} \right)^{2}\le 1$$

La EN 1994-1-1 stabilisce all'Articolo 6.6.3.2 che, se la forza di trazione nell'ancorante è maggiore di 0,1P_Rd, la verifica non è coperta da questa norma. In tal caso, l'interazione viene valutata nell'applicazione in conformità alla EN 1992-4. In tal caso, la verifica a taglio non deve essere considerata secondo la EN 1994-1-1.

Interazione di trazione o compressione e flessione nell'acciaio dell'ancorante EN 1993-1-1 - 6.2.1

$$\frac{N_{Ed}}{N_{Rd}}+\frac{M_{Ed}}{M_{Rd}}\le 1$$

dove:

• N_Ed – forza di progetto di trazione (positiva) o di compressione (segno negativo)
• N_Rd – resistenza di progetto a trazione (positiva, F_t,Rd) o a compressione (segno negativo, F_c,Rd)
• M_Ed – momento flettente di progetto
• M_Rd = M_pl,Rd – resistenza di progetto a flessione

Verifica di sfilamento per ancoranti con testa (piastre rondella e pioli con testa)

Per gli ancoranti con testa è implementato un ulteriore criterio di arresto per verificare l'appoggio (schiacciamento) del calcestruzzo sopra la testa dell'ancorante - sfilamento. Durante l'analisi, la forza di compressione trasmessa attraverso il contatto testa-calcestruzzo viene monitorata e confrontata con il valore limite fornito dalla EN 1992-4, Clausola 7.2.1.5 (rottura per sfilamento degli ancoraggi con testa).

$$N_{Rd,p} = k_2 \cdot A_h \cdot f_{ck} / \gamma_{Mp}$$

dove:

• A_h è l'area portante della testa dell'elemento di fissaggio (esclusa l'area del gambo). 
• f_ck è la resistenza a compressione caratteristica del calcestruzzo - EN 1992-1-1 Cl. 3.1.2
• γ_Mp è assunto nell'applicazione pari a γ_Mp = γ_c con il valore predefinito di 1,5
•  k₂​ è sempre assunto pari a 7,5, ovvero il valore per calcestruzzo fessurato. Ciò è coerente con l'approccio CSFM utilizzato in Detail, in cui la resistenza a trazione del calcestruzzo è trascurata e il calcestruzzo è assunto fessurato a trazione. 

Quando la forza di contatto raggiunge questo limite normativo, il criterio di arresto viene attivato e l'analisi viene interrotta prima che la resistenza di progetto allo sfilamento sia superata.

Ancoraggio -  Tensione di aderenza

La tensione di taglio per aderenza è valutata indipendentemente come rapporto tra la tensione di aderenza τ_b calcolata mediante analisi FE e la resistenza ultima di aderenza f_bd, secondo EN 1992-1-1 cap. 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\le 1$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

dove:

• f_ctd      è il valore di progetto della resistenza a trazione del calcestruzzo secondo EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (2). A causa della crescente fragilità del calcestruzzo di resistenza più elevata, f_ctk,0.05 è limitato al valore del C60/75 secondo EN 1992-1-1 Cl. 8.4.2 (2)
• η₁       è un coefficiente legato alla qualità delle condizioni di aderenza e alla posizione della barra durante il getto (Fig. 4.3.3).
• η₁ = 1,0 quando si ottengono condizioni «buone» e
• η₁ = 0,7 in tutti gli altri casi e per le barre in elementi strutturali realizzati con casseforme scorrevoli, a meno che non si possa dimostrare che esistono condizioni di aderenza «buone»
• η₂        è legato al diametro della barra:
  η₂ = 1,0 per Ø ≤ 32 mm
  η₂ = (132 - Ø)/100 per Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.3\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

In IDEA StatiCa Detail, le condizioni di aderenza sono considerate secondo la Fig. 4.3.3 c) e d). La direzione del getto può essere impostata nell'applicazione per ciascun elemento del progetto come segue:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.4\qquad Direction of concreting}}}$$

Queste verifiche sono eseguite rispetto ai valori limite appropriati per le rispettive parti della struttura (ovvero, pur avendo una sola classe sia per il calcestruzzo sia per il materiale dell'armatura, i diagrammi tensione-deformazione finali differiranno in ciascuna parte della struttura a causa degli effetti di irrigidimento a trazione e ammorbidimento a compressione).

Ancoraggio - Forza totale

Forza totale F_tot e forza limite F_lim

La forza totale F_tot è un risultato dell'analisi agli elementi finiti e può essere definita in due modi.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

dove A_s è l'area della barra di armatura e σ_s è la tensione nella barra.

Oppure come somma della forza di ancoraggio F_a e della forza di aderenza F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

dove F_a è la forza effettiva nella molla di ancoraggio e F_bond è la forza di aderenza che si ottiene integrando la tensione di aderenza τ_b lungo la lunghezza della barra di armatura l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s è la circonferenza della barra di armatura.

La forza limite F_lim è la forza massima nell'elemento della barra di armatura considerando la resistenza ultima della barra e anche le condizioni di ancoraggio (aderenza tra calcestruzzo e armatura e uncini, anelli di ancoraggio, ecc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

dove C_s è la circonferenza della barra di armatura e l è la lunghezza dall'inizio della barra al punto considerato.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.5\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

dove F_lim,add è la forza aggiuntiva calcolata in base all'ampiezza dell'angolo tra elementi adiacenti. F_lim,2 deve essere sempre inferiore a F_u.

Tipi di ancoraggio all'estremità dell'armatura (ancoranti e barre di armatura)

I tipi di ancoraggio disponibili nel CSFM 3D comprendono barra dritta (ovvero, nessuna riduzione dell'estremità di ancoraggio), piegatura, uncino, anello, barra trasversale saldata, aderenza perfetta e barra continua. Tutti questi tipi, insieme ai rispettivi coefficienti di ancoraggio β, sono mostrati nella Fig. 4.3.6 per l'armatura longitudinale e nella Fig. 4.3.7 per le staffe. I valori dei coefficienti di ancoraggio adottati sono conformi alla EN 1992-1-1, sezione 8.4.4, Tab. 8.2. Si noti che, nonostante le diverse opzioni disponibili, il CSFM 3D distingue tre tipi di estremità di ancoraggio: (i) nessuna riduzione della lunghezza di ancoraggio, (ii) una riduzione del 30% della lunghezza di ancoraggio nel caso di un ancoraggio normalizzato e (iii) aderenza perfetta.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.6\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the 3D CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.7\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Per conformarsi alla EN 1992-1-1, nel calcolo deve essere utilizzata la molla di ancoraggio; la molla di ancoraggio è modificata dal coefficiente β, pertanto l'utente deve utilizzare uno dei tipi di ancoraggio disponibili quando definisce le condizioni di inizio e fine dell'armatura. 

Calcestruzzo - Resistenza

Il modello del calcestruzzo implementato per i calcoli di resistenza nel CSFM si basa sulla curva tensione-deformazione parabola-rettangolo per il calcestruzzo, derivata dalla curva tensione-deformazione parabolica della Portland Cement Association descritta in PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figura 6-8. La resistenza a trazione è trascurata, come avviene nella progettazione classica del cemento armato.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

L'implementazione del CSFM in IDEA StatiCa Detail non considera un criterio di rottura esplicito in termini di deformazioni per il calcestruzzo compresso (ossia, dopo il raggiungimento della tensione di picco si considera un ramo plastico con ε_c0 con valore massimo del 5%, mentre ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 assume una deformazione ultima inferiore allo 0,3%). Questa semplificazione non consente di verificare la capacità di deformazione delle strutture che raggiungono la rottura per compressione. Tuttavia, la resistenza è prevista correttamente quando si considera l'aumento della fragilità del calcestruzzo al crescere della sua resistenza, mediante il fattore di riduzione $\eta_{fc}$ definito nel fib Model Code 2010 come segue:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

dove:

α₁ è il fattore di riduzione della resistenza a compressione del calcestruzzo definito in ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Quando si utilizza un diagramma tensione-deformazione parabola-rettangolo è necessario ridurre la tensione massima di compressione mediante questo fattore. Ciò rende uniforme la distribuzione delle tensioni nella zona compressa in modo tale che la resistenza a compressione risultante sia minore o uguale alla resistenza a compressione calcolata con un diagramma tensione-deformazione con ramo plastico decrescente. 

Φ_c è il fattore di riduzione della resistenza per il calcestruzzo. Il valore predefinito è impostato secondo ACI 318-19 Tabella 24.2.1 (b)(f).

f'_c è la resistenza cilindrica del calcestruzzo (in MPa per la definizione di $\eta_{fc}$).

Armatura

Per l'armatura non presollecitata si considera un diagramma tensione-deformazione perfettamente elasto-plastico con punto di snervamento definito. Vedere ACI 319-19 Cl. 20.2.1. La definizione di questo diagramma richiede soltanto la conoscenza delle proprietà di base dell'armatura: resistenza e modulo di elasticità.

Il diagramma tensione-deformazione dell'armatura può essere definito anche dall'utente, ma in tal caso non è possibile considerare l'effetto di irrigidimento a trazione. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

dove:

Φ_s è il fattore di riduzione della resistenza per l'armatura. Il valore predefinito è impostato secondo ACI 318-19 Tabella 24.2.1.

f_y è la resistenza di snervamento dell'armatura

E_s è il modulo di elasticità dell'armatura

Il 10% è selezionato come deformazione limite alla quale il calcolo viene interrotto. Ciò è considerato sicuro in base ad ASTM A955/A955M-20c Articolo 7.

L'irrigidimento a trazione (Fig. 5.1.3)  è considerato automaticamente modificando la relazione tensione-deformazione in ingresso della barra di armatura nuda, in modo da cogliere la rigidezza media delle barre immerse nel calcestruzzo (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Il Metodo del Campo di Tensioni Compatibile è conforme alle normative di progetto moderne. Poiché i modelli di calcolo utilizzano solo le proprietà standard dei materiali, il formato dei coefficienti parziali di sicurezza prescritto dalle normative può essere applicato senza alcun adattamento. In questo modo, i carichi in ingresso vengono amplificati e le proprietà caratteristiche dei materiali vengono ridotte mediante i rispettivi coefficienti di riduzione della resistenza, esattamente come nell'analisi convenzionale del calcestruzzo.

I valori dei coefficienti di riduzione della resistenza sono prescritti nel capitolo 21 della ACI 318-19 e, per gli ancoraggi, nel capitolo 17 della ACI 318-19 e nei capitoli D, E, F, G della AISC 360-16. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.1\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

I coefficienti di carico per le combinazioni di resistenza devono essere definiti secondo la Tabella 5.3.1 della ACI 318-19.

Fatto salvo quanto indicato nel capitolo 34, le combinazioni di carico a livello di esercizio non sono definite nella ACI 318-19. Si raccomanda di utilizzare le regole di combinazione basate sull'Appendice C della ASCE/SEI 7-16. Per tutti i modelli, i coefficienti di carico sono già predefiniti.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.3\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Le diverse verifiche richieste da ACI 318-19 vengono valutate sulla base dei risultati diretti forniti dal modello. Le verifiche vengono eseguite per la resistenza del calcestruzzo, la resistenza dell'armatura e l'ancoraggio (tensioni tangenziali di aderenza).

Resistenza - Calcestruzzo

La resistenza del calcestruzzo a compressione viene valutata come rapporto tra la tensione principale equivalente massima f_c,eq (indicata anche come σ_c,eq nel testo precedente) ottenuta dall'analisi FE e il valore limite f'_c,lim.

La tensione principale equivalente esprime la tensione monoassiale equivalente per un generico stato tensionale triassiale.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Il valore di f_c,eq può quindi essere confrontato direttamente con i limiti di resistenza monoassiali. Questa espressione deriva dall'implementazione della teoria della plasticità di Mohr-Coulomb, assumendo in modo conservativo un angolo di attrito interno φ = 0°.

Resistenza - Armatura

La resistenza dell'armatura viene valutata sia a trazione sia a compressione come rapporto tra la tensione nell'armatura in corrispondenza delle fessure f_s e il valore limite specificato f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Resistenza - Ancoraggi

Gli ancoraggi vengono verificati per le tensioni normali in modo analogo all'armatura, determinando il valore limite f_y,lim. 

Per facilitare la lettura del testo seguente, suddividiamo innanzitutto gli ancoraggi in tre gruppi in termini di verifica normativa secondo ACI o AISC.

Gruppo 1

• Tipi di ancoraggio

  • Piastra gettata in opera
  • Piastra di base - Distanza = diretta 
  • Piastra di base - Distanza = giunto di malta - spessore della malta inferiore a 0,5 volte il diametro dell'ancorante
  • Ancorante singolo con lunghezza sporgente inferiore a 0,5 volte il diametro dell'ancorante
• Verifiche normative degli ancoranti (ACI / AISC)

  • Trazione/compressione

    • Tutti i tipi di ancorante in trazione – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Tutti i tipi di ancorante in compressione – AISC 360-16 cap. E
  • Taglio senza braccio di leva

    • Materiale del bullone – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
    • Pioli con testa – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)
    • Armatura – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
  • Interazione tra trazione e taglio - ACI 318-19 cap. 17.8

Gruppo 2

• Tipi di ancoraggio

  • Piastra di base - Distanza = giunto di malta - spessore della malta superiore a 0,5 volte il diametro dell'ancorante
• Verifiche normative degli ancoranti (ACI / AISC)

  • Trazione/compressione

    • Tutti i tipi di ancorante in trazione – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Tutti i tipi di ancorante in compressione – AISC 360-16 cap. E
  • Taglio con braccio di leva

    • Materiale del bullone – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Pioli con testa – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Armatura – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
  • Interazione tra trazione e taglio - ACI 318-19 cap. 17.8

Gruppo 3

• Tipi di ancoraggio

  • Piastra di base - Distanza = vuoto
  • Ancorante singolo con lunghezza sporgente superiore a 0,5 volte il diametro dell'ancorante
• Verifiche normative degli ancoranti (ACI / AISC)

  • Trazione/compressione (con instabilità)

    • Tutti i tipi di ancorante in trazione – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2
    • Tutti i tipi di ancorante in compressione – AISC 360-16 cap. E3
  • Flessione

    • Per tutti i tipi di ancorante – AISC 360-16 cap. F11
  • Taglio

    • Per tutti i tipi di ancorante – AISC 360-16 cap. G
  • Interazione tra forza assiale e flessione

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Resistenza a trazione dell'ancorante secondo ACI 318-19 cap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

dove:

• ϕ_a,t  – coefficiente di riduzione della resistenza per ancoranti in trazione secondo ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – area resistente a trazione (ridotta per la filettatura)
• f_uta – resistenza a trazione specificata dell'acciaio dell'ancorante, che non deve essere maggiore di 1,9 f_ya e di 860 MPa

Resistenza a taglio dell'ancorante secondo ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)

La resistenza dell'acciaio a taglio per i pioli con testa è determinata come:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

dove:
ϕ_a,v – coefficiente di riduzione della resistenza per ancoranti in trazione secondo ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
A_se,V – area resistente a trazione (ridotta per la filettatura)
f_uta – resistenza a trazione specificata dell'acciaio dell'ancorante, che non deve essere maggiore di 1,9 f_ya e di 860 MPa

Resistenza a taglio dell'ancorante secondo ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)

La resistenza dell'acciaio a taglio per ancoranti in materiale da bullone e armatura è determinata come:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

dove:

• ϕ_a,v  – coefficiente di riduzione della resistenza per ancoranti in trazione secondo ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – area resistente a trazione (ridotta per la filettatura)
• f_uta – resistenza a trazione specificata dell'acciaio dell'ancorante, che non deve essere maggiore di 1,9 f_ya e di 860 MPa

Resistenza a taglio dell'ancorante collegato a una base con malta - ACI 318-19 cap. 17.7.1.2.1

Se gli ancoranti sono utilizzati con strati di malta di allettamento (Gruppo 2), la resistenza di progetto calcolata in conformità al punto 17.7.1.2 deve essere moltiplicata per 0,80.

Interazione tra trazione e taglio secondo ACI 318-19 cap. 17.8

È consentito trascurare l'interazione tra trazione e taglio se è soddisfatta la condizione (a) oppure (b).
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Se N_ua/(ϕN_n) > 0,2 per la resistenza a trazione determinante e V_ua/(ϕV_n) > 0,2 per la resistenza a taglio determinante, deve essere soddisfatta l'Eq. (17.8.3).

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Resistenza a compressione dell'ancorante secondo AISC 360-16 cap. E3

$$P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}$$

dove:

• ϕ_a,t  – coefficiente di riduzione della resistenza per ancoranti in compressione secondo AISC 360-16 cap. E1
  
• (a) Quando: $\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  o     $\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25$

  • $F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y$
    
• (b) Quando: $\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  o     $\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25$

  • $F_{cr}=0.877F_e$
    
• A_g​ – area lorda della sezione trasversale dell'elemento
• E – modulo di elasticità dell'acciaio
• $F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}$ - tensione critica elastica di instabilità
• F_y – tensione di snervamento minima specificata del tipo di acciaio utilizzato
• $r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}$ – raggio di inerzia
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – momento d'inerzia del bullone 

Resistenza a flessione dell'ancorante secondo AISC 360-16 cap. F11

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

dove:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – modulo di resistenza plastico del bullone
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – modulo di resistenza elastico del bullone

Resistenza a taglio dell'ancorante secondo AISC 360-16 cap. G

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

dove:

• A_V = 0,844As – l'area resistente a taglio
• A_s – l'area del bullone ridotta per la filettatura

Schiacciamento del calcestruzzo all'interfaccia ancorante–calcestruzzo

La resistenza a taglio dell'ancorante è limitata anche dal punto di vista dello schiacciamento del calcestruzzo all'interfaccia ancorante–calcestruzzo. I valori limite e il metodo per determinarli sono descritti in dettaglio nell'articolo - Comportamento a taglio degli ancoranti nel calcestruzzo armato. Quando la forza di contatto raggiunge questo limite, viene attivato il criterio di arresto e l'analisi viene interrotta prima che la resistenza venga superata.​ 

Verifica allo sfilamento per ancoranti con testa (piastre rondella e pioli con testa)

Per gli ancoranti con testa è implementato un ulteriore criterio di arresto per verificare la pressione di contatto (schiacciamento) del calcestruzzo al di sopra della testa dell'ancorante - sfilamento. Durante l'analisi, la forza di compressione trasferita attraverso il contatto testa-calcestruzzo viene monitorata e confrontata con il valore limite indicato da ACI 318-19, punto 17.6.3.2.2a (rottura per sfilamento degli ancoraggi con testa).

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

dove:

• $\Phi$ è il coefficiente di riduzione della resistenza - Tabella 17.5.3(c)
• A_brg è l'area netta di appoggio della testa del piolo, del bullone di ancoraggio o della barra ad aderenza migliorata con testa (esclusa l'area del gambo). 
• f'_c è la resistenza a compressione specificata del calcestruzzo
• $\Psi_{c,p}$ è il fattore di fessurazione per lo sfilamento secondo 17.6.3.3 e viene sempre assunto pari a 1,0, ovvero il valore per calcestruzzo fessurato. Ciò è coerente con l'approccio CSFM utilizzato in Detail, in cui la resistenza a trazione del calcestruzzo viene trascurata e il calcestruzzo è assunto fessurato a trazione.

Quando la forza di contatto raggiunge questo limite normativo, viene attivato il criterio di arresto e l'analisi viene interrotta prima che la resistenza allo sfilamento venga superata.​ 

Ancoraggio -  Tensione di aderenza

La tensione tangenziale di aderenza viene valutata in modo indipendente come rapporto tra la tensione di aderenza τ_b calcolata dall'analisi FE e la resistenza di aderenza f_bu.

Sebbene la resistenza di aderenza non sia definita esplicitamente in ACI 318-19, il calcolo della lunghezza di sviluppo è riportato nella Sezione 25.4.2. Tuttavia, poiché la resistenza di aderenza è il dato di input fondamentale per determinare la lunghezza di sviluppo, si vedano R25.4.1.1 e ACI Committee 408 1966, la resistenza di aderenza può essere calcolata come segue:

Supponiamo che, se si ancora una barra di armatura in un blocco di calcestruzzo per una lunghezza pari o superiore alla lunghezza di sviluppo l_d, lo sfilamento dell'armatura porti alla rottura dell'armatura e non allo sfilamento dal calcestruzzo. Ciò può essere scritto con la seguente formula.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

dove:

d_b è il diametro della barra di armatura, l_d è la lunghezza di sviluppo, f_bu è la resistenza di aderenza, f_y è la tensione di snervamento dell'armatura e A_s è l'area della barra di armatura.

Da quanto sopra si ricava facilmente la formula per il calcolo della resistenza di aderenza:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

La lunghezza di sviluppo l_d viene quindi determinata secondo ACI 318-19 Tabella 25.4.2.3 come segue:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

dove:

C = 25 (2,1 per unità metriche) per barre n. 6 e inferiori e fili ad aderenza migliorata, C = 20 (1,7 per unità metriche) per barre n. 7 e superiori, λ = 1,0 per calcestruzzo di peso normale, ψ_t, ψ_e, ψ_g sono determinati secondo ACI 318-19 Tabella 25.4.2.3. 

Sono supportate solo armature non rivestite o zincate (galvanizzate), pertanto ψ_e = 1,0. ψ_g viene determinato automaticamente dalla classe dell'armatura, mentre ψ_t viene ricavato automaticamente dalla posizione dell'armatura nel modello e dalla direzione di getto, che può essere impostata nell'applicazione per ciascun elemento di progetto come segue.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.1\qquad Direction of concreting}}}$$

Queste verifiche vengono eseguite rispetto ai valori limite appropriati per le rispettive parti della struttura (ovvero, pur avendo una sola classe sia per il calcestruzzo sia per il materiale dell'armatura, i diagrammi tensione-deformazione finali differiranno in ciascuna parte della struttura a causa degli effetti di irrigidimento a trazione e di ammorbidimento a compressione).

Ancoraggio -  Forza totale

Forza totale F_tot e forza limite F_lim

La forza totale F_tot è un risultato dell'analisi agli elementi finiti e può essere definita in due modi.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

dove A_s è l'area della barra di armatura e f_s è la tensione nella barra.

Oppure come somma della forza di ancoraggio F_a e della forza di aderenza F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

dove F_a è la forza effettiva nella molla di ancoraggio e F_bond è la forza di aderenza che può essere ottenuta integrando la tensione di aderenza τ_b lungo la lunghezza della barra di armatura l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s è la circonferenza della barra di armatura.

La forza limite F_lim è la forza massima nell'elemento della barra di armatura, considerando la resistenza della barra e anche le condizioni di ancoraggio (aderenza tra calcestruzzo e armatura, ganci di ancoraggio, staffe ad anello, ecc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

dove C_s è la circonferenza della barra di armatura e l è la lunghezza dall'inizio della barra al punto di interesse.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.2\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

dove F_lim,add è la forza aggiuntiva calcolata dall'ampiezza dell'angolo tra elementi adiacenti. F_lim,2 deve essere sempre inferiore a F_u.

I tipi di ancoraggio disponibili in CSFM comprendono barra dritta (ovvero senza riduzione all'estremità di ancoraggio), gancio a 90 gradi, gancio a 180 gradi, aderenza perfetta e barra continua. Tutti questi tipi, insieme ai rispettivi coefficienti di ancoraggio β, sono mostrati nella Fig. 5.3.3 per l'armatura longitudinale. I valori dei coefficienti di ancoraggio adottati derivano dal confronto tra l'equazione della sezione ACI 318-19 25.4.3.1 e le equazioni tratte dalla sezione ACI 318-19 25.4.2.3. Si noti che, nonostante le diverse opzioni disponibili, CSFM distingue tre tipi di estremità di ancoraggio: (i) nessuna riduzione della lunghezza di ancoraggio, (ii) una riduzione del 30% della lunghezza di ancoraggio nel caso di un ancoraggio normalizzato e (iii) aderenza perfetta.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.3\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Il coefficiente di ancoraggio per le staffe è sempre β = 1,0.

Per essere conformi ad ACI, nel calcolo deve essere utilizzata la molla di ancoraggio; la molla di ancoraggio viene modificata dal coefficiente β, pertanto l'utente deve utilizzare uno dei tipi di ancoraggio disponibili quando definisce le condizioni di inizio e fine dell'armatura. 

Calcestruzzo - Resistenza

Il modello del calcestruzzo implementato per i calcoli di resistenza nel 3D CSFM si basa sulle ipotesi di progettazione allo stato limite di resistenza di AASHTO LRFD, ovvero equilibrio e compatibilità delle deformazioni. In conformità all'Articolo 5.6.2.1 di AASHTO LRFD (2024), la resistenza a trazione del calcestruzzo viene trascurata.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

L'implementazione del 3D CSFM in IDEA StatiCa Detail non considera un criterio di rottura esplicito in termini di deformazioni per il calcestruzzo compresso (ovvero, dopo il raggiungimento della tensione di picco, considera un ramo plastico con ε_c0 pari al valore massimo del 5%, mentre l'Articolo 5.6.2.1 di AASHTO LRFD (2024) assume una deformazione ultima inferiore allo 0,3%). Questa semplificazione non consente di verificare la capacità di deformazione delle strutture che giungono a rottura per compressione. Tuttavia, la resistenza viene prevista correttamente quando si considera l'aumento della fragilità del calcestruzzo al crescere della sua resistenza, mediante il fattore di riduzione $\eta_{fc}$ definito nel fib Model Code 2010 come segue:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

dove:

α₁ è il fattore di riduzione della resistenza a compressione del calcestruzzo definito nell'Articolo 5.6.2.2 di AASHTO LRFD (2024). Quando si utilizza un diagramma tensione-deformazione parabola-rettangolo, è necessario ridurre la massima tensione di compressione mediante questo fattore. In tal modo la distribuzione delle tensioni nella zona compressa viene mediata, in modo che la resistenza a compressione risultante sia minore o uguale alla resistenza a compressione calcolata utilizzando un diagramma tensione-deformazione con ramo plastico decrescente.

Φ_c è il fattore di riduzione della resistenza per il calcestruzzo. Il valore predefinito è impostato secondo l'Articolo 5.5.4.2 di AASHTO LRFD (2024).

f'_c è la resistenza cilindrica del calcestruzzo (in MPa per la definizione di $\eta_{fc}$).

Armatura

Per l'armatura non presollecitata si considera un diagramma tensione-deformazione perfettamente elasto-plastico con punto di snervamento definito. Vedere l'Articolo 5.4.3 di AASHTO LRFD (2024). La definizione di questo diagramma richiede soltanto la conoscenza delle proprietà di base dell'armatura: resistenza e modulo di elasticità.

Il diagramma tensione-deformazione dell'armatura può essere definito anche dall'utente, ma in tal caso non è possibile considerare l'effetto di irrigidimento a trazione. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

dove:

Φ_s è il fattore di riduzione della resistenza per l'armatura. Il valore predefinito è impostato secondo l'Articolo 5.5.4.2 di AASHTO LRFD (2024).

f_y è la resistenza allo snervamento dell'armatura

E_s è il modulo di elasticità dell'armatura

Il 10% è selezionato come deformazione limite alla quale il calcolo viene interrotto. Ciò è considerato sicuro in base all'Articolo 7 di ASTM A955/A955M-20c.

L'irrigidimento a trazione (Fig. 6.1.3)  viene considerato automaticamente modificando la relazione tensione-deformazione di input della barra d'armatura nuda, in modo da rappresentare la rigidezza media delle barre inglobate nel calcestruzzo (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Il Metodo del Campo di Tensioni Compatibile è conforme alle normative di progetto moderne. Poiché i modelli di calcolo utilizzano solo le proprietà standard dei materiali, il formato dei coefficienti parziali di sicurezza prescritto dalle normative di progetto può essere applicato senza alcun adattamento. In questo modo, i carichi in ingresso vengono amplificati e le proprietà caratteristiche dei materiali vengono ridotte mediante i rispettivi fattori di riduzione della resistenza, esattamente come nell'analisi convenzionale del calcestruzzo.

I valori dei fattori di riduzione della resistenza sono prescritti in AASHTO LRFD (2024) Article 5.5.4 e, per gli ancoraggi, in ACI 318-19 Chapter 17 e AASHTO LRFD (2024) Article 6.5.4.2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.1\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

I fattori di carico e le combinazioni di carico devono essere definiti in conformità alle AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Article 3.4.1 e Tables 3.4.1-1 to 3.4.1-6. AASHTO LRFD specifica esplicitamente le combinazioni di carico allo stato limite di resistenza (da Strength I a Strength V), compresi i fattori di carico corrispondenti per ciascun caso.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.2\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Le diverse verifiche richieste da AASHTO sono valutate sulla base dei risultati diretti forniti dal modello. Le verifiche sono eseguite per la resistenza del calcestruzzo, la resistenza dell'armatura e l'ancoraggio (tensioni tangenziali di aderenza).

Resistenza - Calcestruzzo

La resistenza del calcestruzzo a compressione è valutata come rapporto tra la tensione principale equivalente massima f_c,eq (indicata anche come σ_c,eq nel testo precedente) ottenuta dall'analisi FE e il valore limite f'_c,lim.

La tensione principale equivalente esprime la tensione monoassiale equivalente per uno stato tensionale triassiale generale.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Il valore f_c,eq può quindi essere confrontato direttamente con i limiti di resistenza monoassiali. Questa espressione deriva dall'implementazione della teoria della plasticità di Mohr-Coulomb, assumendo in modo conservativo un angolo di attrito interno φ = 0°.

Resistenza - Armatura

La resistenza dell'armatura è valutata sia a trazione che a compressione come rapporto tra la tensione nell'armatura in corrispondenza delle fessure f_s e il valore limite specificato f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Resistenza - Ancoraggi

Gli ancoraggi sono verificati per le tensioni normali in modo analogo all'armatura, determinando il valore limite f_y,lim. 

Per facilitare la lettura del testo seguente, suddividiamo innanzitutto gli ancoraggi in tre gruppi in termini di verifica normativa secondo AASHTO o ACI.

Gruppo 1

• Tipi di ancoraggio

  • Piastra gettata in opera
  • Piastra di base - Stand-off = diretto 
  • Piastra di base - Stand-off = giunto di malta - spessore della malta inferiore a 0,5 volte il diametro dell'ancorante
  • Ancorante singolo con lunghezza libera inferiore a 0,5 volte il diametro dell'ancorante
• Verifiche normative degli ancoranti (AASHTO / ACI)

  • Trazione/compressione

    • Tutti i tipi di ancorante a trazione – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Tutti i tipi di ancorante a compressione – AASHTO articolo 6.9.2
  • Taglio senza braccio di leva

    • Materiale del bullone – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
    • Pioli con testa – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)
    • Armatura – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
  • Interazione di trazione e taglio - ACI 318-19 cap. 17.8

Gruppo 2

• Tipi di ancoraggio

  • Piastra di base - Stand-off = giunto di malta - spessore della malta superiore a 0,5 volte il diametro dell'ancorante
• Verifiche normative degli ancoranti (AASHTO / ACI)

  • Trazione/compressione

    • Tutti i tipi di ancorante a trazione – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Tutti i tipi di ancorante a compressione – AASHTO articolo 6.9.2
  • Taglio con braccio di leva

    • Materiale del bullone – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Pioli con testa – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Armatura – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
  • Interazione di trazione e taglio - ACI 318-19 cap. 17.8

Gruppo 3

• Tipi di ancoraggio

  • Piastra di base - Stand-off = intercapedine
  • Ancorante singolo con lunghezza libera superiore a 0,5 volte il diametro dell'ancorante
• Verifiche normative degli ancoranti (AASHTO / ACI)

  • Trazione/compressione (con instabilità)

    • Tutti i tipi di ancorante a trazione – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2
    • Tutti i tipi di ancorante a compressione – AASHTO LRFD articolo 6.9.2
  • Flessione

    • Per tutti i tipi di ancorante – AAHTO LRFD articolo 6.12.2.2.7
  • Taglio

    • Per tutti i tipi di ancorante – AASHTO LRFD articolo 6.10.9
  • Interazione di forza assiale e flessione

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Resistenza a trazione dell'ancorante secondo ACI 318-19 cap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

dove:

• ϕ_a,t  – coefficiente di riduzione della resistenza per ancoranti a trazione secondo ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – area resistente a trazione (ridotta per la filettatura)
• f_uta – resistenza a trazione specificata dell'acciaio dell'ancorante, che non deve essere maggiore di 1,9 f_ya e di 860 MPa

Resistenza a taglio dell'ancorante secondo ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)

La resistenza dell'acciaio a taglio per i pioli con testa è determinata come:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

dove:
ϕ_a,v – coefficiente di riduzione della resistenza per ancoranti a trazione secondo ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
A_se,V – area resistente a trazione (ridotta per la filettatura)
f_uta – resistenza a trazione specificata dell'acciaio dell'ancorante, che non deve essere maggiore di 1,9 f_ya e di 860 MPa

Resistenza a taglio dell'ancorante secondo ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)

La resistenza dell'acciaio a taglio per gli ancoranti in materiale da bullone e armatura è determinata come:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

dove:

• ϕ_a,v  – coefficiente di riduzione della resistenza per ancoranti a trazione secondo ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – area resistente a trazione (ridotta per la filettatura)
• f_uta – resistenza a trazione specificata dell'acciaio dell'ancorante, che non deve essere maggiore di 1,9 f_ya e di 860 MPa

Resistenza a taglio dell'ancorante collegato a una base con malta - ACI 318-19 cap. 17.7.1.2.1

Se gli ancoranti sono utilizzati con strati di malta cementizia costruiti in opera (Gruppo 2), la resistenza di progetto calcolata in conformità al punto 17.7.1.2 deve essere moltiplicata per 0,80.

Interazione di trazione e taglio secondo ACI 318-19 cap. 17.8

È consentito trascurare l'interazione tra trazione e taglio se è soddisfatta la condizione (a) o (b).
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Se N_ua/(ϕN_n) > 0,2 per la resistenza a trazione determinante e V_ua/(ϕV_n) > 0,2 per la resistenza a taglio determinante, deve essere soddisfatta l'Eq. (17.8.3).

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Resistenza a compressione dell'ancorante secondo AASHTO LRFD Articolo 6.9.2

$$P_r =\phi_{a,c}\, P_{n}$$

dove:

• ϕ_a,c  – il coefficiente di riduzione della resistenza per ancoranti a compressione secondo AASHTO LRFD articolo 6.5.4.2

• Se $\dfrac{P_o}{P_e} \le 2.25$,  allora: $P_{n}=\left(0.658^{\,P_o/P_e}\right)P_o$,   Altrimenti: $P_n=0.877\,P_e$

• A_g​ – area lorda della sezione trasversale dell'elemento (in²)
• F_y – tensione di snervamento minima specificata del tipo di acciaio utilizzato (ksi)
• $P_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{K\,l}{r_s}\right)^2}A_g$ - resistenza critica elastica all'instabilità (kip)
• E – modulo di elasticità dell'acciaio (ksi)
• K = 2 – fattore di lunghezza efficace secondo l'Articolo 4.6.2.5 
• l – lunghezza non controventata nel piano di instabilità (in) 
• $r_s=\sqrt{\dfrac{I}{A_g}}$ – raggio di inerzia
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – momento d'inerzia del bullone 

Resistenza a flessione dell'ancorante secondo AASHTO LRFD Articolo 6.12.2.2.7

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$