Dans la pratique, les ingénieurs peuvent rencontrer différents types d'éléments finis (des éléments barres 1D simples aux éléments briques 3D plus complexes) utilisés dans une grande variété d'applications pour l'analyse et la conception d'éléments structurels. Une caractéristique commune à la plupart des calculs effectués en pratique est le comportement linéaire des modèles, dont les avantages sont sans conteste la rapidité, la clarté, et simplement le fait que pour une grande variété de problèmes, cette solution est tout à fait suffisante.

Notamment dans le domaine des structures en béton, il arrive souvent que l'approche linéaire ne soit pas suffisante, tout simplement parce qu'après l'apparition des premières fissures dans l'élément chargé, les contraintes se redistribuent et le problème devient significativement non linéaire.

Dans ces cas, il est nécessaire de choisir une approche plus sophistiquée. Pour les cas 1D, on trouve souvent des méthodes analytiques définies directement dans les normes. Par exemple, les modèles populaires de bielle et tirant peuvent être construits pour des éléments plans 2D et des régions de discontinuité (régions D), ou bien la méthode du champ de contraintes plus sophistiquée, implémentée dans IDEA StatiCa Detail, la CSFM, peut être utilisée.

Cependant, si l'ingénieur est confronté à un problème qui ne peut pas être simplifié en un comportement planaire, les options sont très limitées. Bien sûr, un modèle bielle-et-tirant 3D peut être construit, ou un logiciel semi-scientifique peut être utilisé pour une analyse précise. Ces procédures sont souvent chronophages, non conformes aux normes, et nécessitent un ingénieur maîtrisant des méthodes de modélisation avancées.

Pour cette raison, IDEA StatiCa a développé et implémenté la CSFM 3D (Méthode du Champ de Contraintes Compatible) dans l'application Detail. La CSFM 3D étend la CSFM établie à une troisième dimension, offrant une solution rapide et conforme aux normes, principalement applicable à l'ingénieur du quotidien, lui donnant une nouvelle capacité unique à traiter en toute sécurité les détails complexes des structures en béton.

La CSFM 3D définit le comportement du béton en se basant sur la théorie de plasticité de Mohr-Coulomb modifiée pour un chargement monotone. La méthode prend en compte les contraintes principales du béton en compression et les contraintes dans l'armature (σ_sr) au niveau des fissures, tout en négligeant la résistance à la traction du béton (tension cut-off), sauf pour son effet de raidissement sur l'armature (Raidissement en traction).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Les barres d'armature sont liées aux éléments finis volumiques de béton par des éléments d'adhérence, permettant un glissement entre le béton et l'armature. Il convient de noter que la CSFM 3D n'est pas adaptée pour simuler du béton non armé en raison de l'absence de traction, ce qui peut entraîner des déformations trompeuses et une divergence du modèle. En général, la théorie de Mohr-Coulomb comprend deux propriétés fondamentales régissant l'évolution de la surface de plasticité en compression et partiellement en traction : l'angle de frottement interne φ et le paramètre de cohésion c. La CSFM 3D suppose un angle de frottement interne nul (Fig. 1e), conduisant à un dimensionnement conservateur car la surface de plasticité ressemble au modèle de Tresca, qui est indépendant du premier invariant de contrainte.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

Béton 

Le modèle de matériau présenté est un modèle de plasticité à surfaces multiples, résultant de la combinaison des modèles de Mohr-Coulomb et de Rankine pour un chargement monotone. Il est important de noter que ce modèle ne traite pas la décharge, par conséquent, les variables d'état ne sont pas stockées, contrairement aux modèles de plasticité classiques utilisés pour le chargement cyclique.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

Comme mentionné précédemment, le modèle de matériau est destiné à être utilisé dans des applications qui calculent la réponse du béton armé (non adapté au béton non armé). Cela est dû à l'exclusion du béton en traction. Par conséquent, le modèle n'est même pas adapté aux éléments structurels où les règles de dimensionnement pour le béton armé, telles que le taux minimal d'armature, l'espacement maximal des barres, etc., ne sont pas respectées. Il convient également d'ajouter que, pour des raisons de stabilité numérique, une très faible capacité de traction est définie dans le modèle. La partie en traction est limitée par des plans correspondant au modèle de Rankine.

La CSFM 3D dans IDEA StatiCa Detail ne prend pas en compte de critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c'est-à-dire qu'elle considère une branche infiniment plastique après que la contrainte de pic soit atteinte). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures dont la rupture survient en compression. Cependant, leur capacité ultime est correctement prédite lorsque l'augmentation de la fragilité du béton avec l'accroissement de sa résistance est prise en compte au moyen du facteur de réduction 𝜂_𝑓𝑐 défini dans le fib Model Code 2010 comme suit :

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

où :

f_c est la résistance caractéristique du béton sur cylindre (en MPa pour la définition de $\eta_{fc}$).

La valeur f_c,red est ensuite comparée à la Contrainte Principale Équivalente σ_c,eq dans le béton, qui sera définie ultérieurement, bien entendu en tenant compte de tous les coefficients de sécurité prescrits par la norme.

Une description détaillée du modèle de béton est disponible au lien suivant :

• Modèle de matériau béton pour Detail 3D

Ferraillage

Le diagramme contrainte-déformation bilinéaire des barres d'armature, tel que défini par les codes de dimensionnement (Fig. 1d), représente un modèle idéalisé. Ce modèle nécessite de connaître les propriétés de base de l'armature lors de la phase de dimensionnement, à savoir la résistance et la classe de ductilité. Alternativement, les utilisateurs ont la possibilité de définir une relation contrainte-déformation personnalisée.

Le raidissement en traction est pris en compte en modifiant la relation contrainte-déformation de la barre d'armature nue afin de capturer la rigidité moyenne des barres noyées dans le béton (ε_m) (Fig 1b).

Ancrage

Le glissement d'adhérence entre l'armature et le béton est introduit dans le modèle par éléments finis en considérant la relation constitutive rigide-parfaitement plastique simplifiée présentée en (Fig. 1f), où f_bd est la valeur de calcul (valeur pondérée) de la contrainte d'adhérence ultime spécifiée par le code de dimensionnement pour les conditions d'adhérence spécifiques.

Il s'agit d'un modèle simplifié dont le seul objectif est de vérifier les prescriptions d'adhérence selon les codes de dimensionnement (c'est-à-dire l'ancrage de l'armature). La réduction de la longueur d'ancrage lors de l'utilisation de crochets, de boucles et de formes de barres similaires peut être prise en compte en définissant une certaine capacité à l'extrémité de l'armature, comme cela sera décrit plus loin.

Ancrages

L'élément d'ancrage est défini comme étant capable de transférer des efforts normaux de traction ou de compression, ainsi que des efforts de cisaillement, en tenant compte de la rigidité en flexion. 

Les types d'ancrages suivants sont disponibles :

• Ancrages coulés en place

  • Ferraillage
  • Rondelle
  • Goujon à tête
• Ferraillage coulé en place

  • Ferraillage
  • Tiges filetées

Coulé en place - Ferraillage

Modélisé comme une armature à haute adhérence noyée dans le béton. La résistance d'adhérence est calculée selon les règles du code sélectionné, de la même manière que pour l'armature standard. À l'extrémité de l'ancrage, un type d'ancrage peut être défini, fonctionnant de manière identique à l'armature - un ressort d'ancrage est appliqué avec le facteur β défini selon le code choisi. Trois formes géométriques sont disponibles : Droite, en L, en U.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

Coulé en place - Rondelle et Goujon à tête

La rondelle et la tête du goujon à tête sont modélisées comme un élément de plaque-coque du matériau correspondant, fixé directement à la tige de l'ancrage. Elle transfère la charge au béton par un contact en compression uniquement. Formes disponibles : circulaire et carrée (uniquement circulaire pour le goujon à tête), avec des dimensions personnalisables. Le modèle de la rondelle et de la tête est élastique et n'est pas vérifié en termes de résistance. 

Au niveau du modèle par éléments finis, l'arrachement de l'ancrage est directement vérifié. Le contact en compression comporte des critères d'arrêt définis de manière à ne pas pouvoir transférer au béton une contrainte de contact supérieure à celle prescrite par la norme sélectionnée. En termes pratiques, cela signifie que si l'ancrage était chargé par un effort ne respectant pas la vérification d'arrachement, le résultat serait un arrêt prématuré du calcul, ce critère d'arrêt étant dépassé au cours du chargement ultérieur.

La tige de l'ancrage a une résistance d'adhérence nulle – toute la charge est transférée au béton par la plaque ou la tête.

Post-installé - Ferraillage et tige filetée

Conçu comme des barres installées dans des trous forés et collées avec un adhésif. L'ingénieur spécifie la résistance d'adhérence de calcul directement à partir de la spécification technique du produit adhésif.

Plus d'informations sur la connexion des différents types d'ancrages à la platine de base ou à la plaque coulée en place se trouvent dans le chapitre Types d'éléments finis - Dispositifs de transfert de charge. 

Dans le chapitre suivant, nous allons examiner comment la théorie de Mohr-Coulomb est implémentée en CSFM 3D. Nous expliquerons comment l'effet de confinement (contrainte triaxiale) est pris en compte et comment la contrainte principale équivalente σ_c,eq est calculée, laquelle est utilisée pour déterminer la capacité portante du point de vue du béton.

Introduction à la théorie

La théorie de Mohr–Coulomb est un modèle mathématique décrivant la réponse des matériaux fragiles au cisaillement et à la contrainte normale. La plupart des matériaux de construction classiques suivent cette règle dans au moins une partie de leur enveloppe de rupture en cisaillement. En général, la théorie s'applique aux matériaux dont la résistance en compression dépasse largement la résistance en traction.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}$$

En ingénierie des structures, elle est utilisée pour déterminer la charge de rupture ainsi que l'angle de fissuration pour le déplacement de la surface de rupture dans le béton et les matériaux similaires. L'hypothèse de frottement de Coulomb est utilisée pour déterminer la combinaison de cisaillement et de contrainte normale qui provoquera une rupture du matériau. Le cercle de Mohr est utilisé pour déterminer quelles contraintes principales produiront cette combinaison de cisaillement et de contrainte normale, ainsi que l'angle du plan dans lequel cela se produira. Selon le principe de normalité, la contrainte introduite à la rupture sera perpendiculaire à la ligne décrivant la condition de rupture. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}$$

On peut montrer qu'un matériau rompant selon l'hypothèse de frottement de Coulomb présentera un déplacement introduit à la rupture formant un angle avec la ligne de rupture égal à l' angle de frottement. Cela permet de déterminer la résistance du matériau en comparant le travail mécanique externe introduit par le déplacement et la charge externe avec le travail mécanique interne introduit par le déformation et la contrainte sur la ligne de rupture. Par conservation de l'énergie, la somme de ces termes doit être nulle, ce qui permet de calculer la charge de rupture de la construction.

Implémentation en CSFM 3D

En général, pour un angle de frottement interne donné du béton, qui est d'environ φ = 30-40° selon les références [1], [2], [3], [4], les résistances en traction et en compression des cercles de Mohr du béton peuvent être construites comme sur la Figure 6.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

Où f_c est la résistance du béton en compression, f_ct est la résistance du béton en traction, φ est l'angle de frottement interne, et σ_c1, σ_c3 sont les contraintes principales du béton sous compression triaxiale.

On peut remarquer que lorsque la contrainte principale σ_c3 augmente, la différence maximale possible entre les valeurs de σ_c3 et σ_c1, que nous définissons comme σ_c,eq maximal (voir ci-dessous), augmente également. Cette différence correspond au double de la contrainte déviatorique définie dans la littérature comme un rayon des cercles de Mohr.

Dans le CSFM 3D implémenté dans IDEA StatiCa Detail, l'angle de frottement interne est considéré comme φ = 0°, comme le montre la Figure 7.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

La conséquence pratique de cette implémentation est que la différence maximale entre σ_c3 et σ_c1 est constante lorsque σ_c3 augmente. 

La contrainte principale équivalente exprime la contrainte uniaxiale équivalente pour un état de contrainte triaxial général.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

La valeur de σ_c,eq peut donc être directement comparée aux limites de résistance uniaxiale selon les normes.

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Où σ_c,lim est la résistance uniaxiale de calcul (pondérée) du béton f_c.

En comparant la Figure 6, où l'angle de frottement interne réel est utilisé, et la Figure 7, qui montre l'implémentation de la théorie de Mohr-Coulomb avec un angle de frottement interne nul, on constate que l'approche choisie pour les calculs dans Detail est très conservatrice pour l'évaluation de l'état de contrainte triaxial.

Pour mieux comprendre les zones affectées par la contrainte de compression triaxiale, l'expression de l'augmentation de la résistance effective du matériau due à la compression triaxiale a été ajoutée à l'application IDEA StatiCa Detail sous la forme d'un rapport σ_c3/σ_c,lim. Vous trouverez ce rapport dans la vérification normative de résistance.

Dans les résultats auxiliaires, l'utilisateur peut également trouver le facteur κ, qui explique la triaxialité d'une autre manière. 

$$\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}$$

La vérification de la résistance du béton peut alors être réécrite comme suit :

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Il découle de ce qui précède que si l'élément est sous contrainte hydrostatique - σ_c3=σ_c2=σ_c1, la contrainte principale équivalente σ_c,eq aura une valeur nulle, et le facteur kappa tendra vers l'infini.

Vous trouverez plus d'informations ici : Contrainte triaxiale – l'effet de confinement actif

Équations d'équilibre

La théorie des petites déformations permet l'assemblage de l'équation d'équilibre basée sur le volume non déformé en utilisant une approche du premier ordre. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}$$

Équations de compatibilité

Un corps solide se compose de volumes infinitésimaux ou de points matériels, chacun étant interconnecté sans espaces ni chevauchements. Des conditions mathématiques doivent être respectées afin d'éviter l'apparition d'espaces ou de chevauchements lorsqu'un corps continu subit une déformation.

Équations constitutives

Les équations constitutives régissant le comportement des éléments 3D jouent un rôle essentiel dans l'analyse du comportement des matériaux en mécanique des structures. Ces équations sont formulées pour prendre en compte le comportement isotrope non linéaire, valable pour les éléments de type bloc solide dans IDEA StatiCa Detail. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}$$

Le CSFM 3D prend en compte des champs de contraintes continus dans le béton (éléments finis 3D), complétés par des éléments discrets de type « barre » représentant le ferraillage (éléments finis 1D). Ainsi, le ferraillage n'est pas intégré de manière diffuse dans les éléments finis 3D du béton, mais modélisé explicitement et connecté à ceux-ci. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}$$

Le modèle d'analyse par éléments finis non linéaire (inélastique) est créé à l'aide de plusieurs types d'éléments finis utilisés pour modéliser le béton, le ferraillage et l'adhérence entre eux. Les éléments de béton et de ferraillage sont d'abord maillés indépendamment, puis interconnectés à l'aide de contraintes multipoints (éléments MPC). Cela permet au ferraillage d'occuper n'importe quelle position, sans être limité aux nœuds du maillage tétraédrique. Pour vérifier la longueur d'ancrage, des éléments ressorts d'adhérence et d'extrémité d'ancrage sont insérés entre le ferraillage et les éléments MPC.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}$$

Béton

Le béton est analysé à l'aide d'éléments tétraédriques mixtes avec rotations nodales. Les éléments tétraédriques permettent de mailler des régions de topologie quelconque, tandis que la formulation implémentée garantit des résultats de déformation précis (sans contrainte de cisaillement parasite connue sous le nom d'effet de blocage en cisaillement) même pour un maillage grossier qui ne conviendrait pas à une formulation d'éléments tétraédriques linéaires. 

Une intégration complète est utilisée. Cela signifie que chaque élément est équipé de quatre points d'intégration situés à l'intérieur du volume. Une telle intégration produit un champ de déformation et de contrainte précis, permettant une évaluation et une présentation suffisantes des résultats sur l'ensemble du volume. Par la suite, les critères d'arrêt sont établis en fonction de la valeur au point d'intégration.

Ferraillage

Les armatures sont modélisées par des éléments 1D « barre » à deux nœuds (CROD), qui ne possèdent qu'une rigidité axiale. Ces éléments sont connectés à des éléments spéciaux « d'adhérence » qui ont été développés afin de modéliser le comportement de glissement entre une barre d'armature et le béton environnant. Ces éléments d'adhérence sont ensuite connectés par des éléments MPC (contrainte multipoints) au maillage représentant le béton. Cette approche permet un maillage indépendant du ferraillage et du béton, tout en assurant leur interconnexion ultérieurement.

Éléments d'adhérence

La longueur d'ancrage est vérifiée en implémentant les contraintes de cisaillement d'adhérence entre les éléments de béton (3D) et les éléments de barre d'armature (1D) dans le modèle par éléments finis. À cette fin, le type d'élément fini « d'adhérence » a été développé.

L'élément d'adhérence est défini comme un élément fini de coque connecté aux éléments représentant le ferraillage par la première couche, et par la seconde couche au maillage de béton via des contraintes multipoints (éléments MPC). Il convient de noter que l'élément d'adhérence est toujours représenté dans cet article avec une hauteur non nulle, qui est cependant définie comme infinitésimale dans le modèle.

Le comportement de cet élément est décrit par la contrainte d'adhérence, τ_b, en tant que fonction bilinéaire du glissement entre les nœuds supérieur et inférieur, δu, voir (Fig. 12).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}$$

Le module de rigidité élastique de la relation adhérence-glissement, Gb, est défini comme suit :

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

k_g            coefficient dépendant de la surface de la barre d'armature (par défaut kg = 0,2)

E_c            module d'élasticité du béton (pris égal à Ecm dans le cas de l'EN)

Ø             le diamètre de la barre d'armature

Les valeurs de calcul (valeurs pondérées) de la contrainte de cisaillement d'adhérence ultime, f_bd, fournies dans les codes de calcul respectifs sélectionnés EN 1992-1-1 ou ACI 318-19, sont utilisées pour vérifier la longueur d'ancrage. L'écrouissage de la branche plastique est calculé par défaut comme Gb/105.

Ressort d'ancrage

La disposition des extrémités d'ancrage des barres d'armature (c'est-à-dire coudes, crochets, boucles…), qui satisfait aux prescriptions des codes de calcul, permet de réduire la longueur d'ancrage de base des barres (l_b,net) d'un certain facteur β (appelé ci-dessous « coefficient d'ancrage »). La valeur de calcul de la longueur d'ancrage (lb) est alors calculée comme suit :

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}$$

La réduction de la longueur d'ancrage est intégrée dans le modèle par éléments finis au moyen d'un élément ressort à l'extrémité de la barre (Fig. 13a), qui est défini par le modèle constitutif présenté en (Fig. 13b). La force maximale transmise par ce ressort (F_au) est :

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

où :

β             le coefficient d'ancrage basé sur le type d'ancrage

A_s            la section de la barre d'armature

f_yd           la valeur de calcul (valeur pondérée) de la limite d'élasticité du ferraillage

Platine de base

La platine de base est modélisée comme un élément coque élastique. Le matériau acier utilisé pour les platines de base est défini dans l'onglet Matériaux. La seule propriété physique est le module d'élasticité E.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad The base plate material definition}}}$$

La platine de base peut être chargée par une charge ponctuelle (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) et un groupe de forces (Fx, Fy, Fz), principalement utilisé pour le chargement de modèles exportés depuis IDEA StatiCa Connection. Notez que les charges ponctuelles et les moments ponctuels chargent directement le nœud correspondant de la platine de base. Cela signifie qu'il n'y a pas de redistribution, uniquement par la rigidité de la platine de base. 

Cette implémentation permet d'importer les effets de charge depuis IDEA StatiCa Connection, qui sont appliqués sur la platine de base à l'emplacement des éléments finis de soudure individuels, avec la valeur et la direction déterminées à partir de la contrainte générale de cet élément fini de soudure. Pour plus d'informations, consultez le chapitre correspondant de ce document.

La deuxième option de chargement est le Stub — représentant une courte portion du poteau au-dessus de la platine de base. Le stub est modélisé comme une structure d'éléments coques élastiques et se comporte comme une interface physiquement précise entre les efforts internes et la platine. L'utilisateur sélectionne une section transversale pour le stub à partir d'une base de données de sections standard. L'ensemble des 6 composantes d'effort interne (efforts et moments) est appliqué en un point unique sur la face inférieure du stub — c'est-à-dire la base du poteau. Des contraintes transfèrent les efforts vers la face supérieure du stub, à partir de laquelle ils sont naturellement redistribués à travers le stub vers la platine de base, les ancrages et le béton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad The load transfer through the stub}}}$$

Mécanisme de transfert de cisaillement (de la platine de base au bloc de béton)

Un contact frictionnel en compression uniquement est défini entre la platine de base et le béton. Pour le transfert de cisaillement, l'utilisateur peut choisir parmi trois options :

• Par ancrages
• Par friction
• Par bêche

Le logiciel ne permet pas la combinaison de ces mécanismes de transfert de cisaillement. 

Le coefficient de friction doit être saisi comme une valeur de calcul (pondérée). Dans le cas où l'effort de cisaillement résultant F_xy dépasse l'effort de pression F_z multiplié par le coefficient de frottement μ, le calcul s'arrêtera, et toutes les charges ne seront pas appliquées au modèle. La condition s'écrit comme suit :

$$\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1$$

Cela peut être observé dans l'exemple suivant, où deux cas de charge sont considérés. 

• LC1 - Type permanent - F_z = 100 kN
• LC2 - Type variable - F_x = 100 kN

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad Load input for example explaining shear transfer by friction}}}$$

Dans la première étape de calcul, toute la charge permanente est appliquée. Ensuite, la charge variable est progressivement appliquée jusqu'à ce qu'elle atteigne la valeur de la charge de pression multipliée par le coefficient de friction.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Results from example explaining shear transfer by friction}}}$$

Le graphique de la Figure 18 définit le comportement du contact frictionnel entre la platine de base et le béton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad Force-displacement graph describing the behavior of frictional contact}}}$$

La valeur de F_zμ diffère pour chaque incrément du calcul, tandis que la valeur de la déformation de cisaillement maximale u_xy est constante. 

Si l'effort normal de compression F_z et l'effort de cisaillement F_xy sont saisis dans un seul type de cas de charge (par exemple uniquement permanent), et que la condition F_xy / (F_zμ) ≤ 1 n'est pas satisfaite, aucune charge ne sera appliquée au modèle, car la condition n'est satisfaite dans aucun incrément du calcul.

La bêche est connectée au maillage du béton par des contraintes permettant uniquement un transfert de contrainte normale en compression. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Shear lug transfer of shear mechanism}}}$$

La bêche est modélisée à partir d'éléments coques élastiques, dont le matériau est défini par le module d'élasticité E.

Les résultats ne sont pas évalués ni affichés pour la platine de base ni pour la bêche.

 Options de la platine de base  (retrait, mortier de calage)

L'ensemble suivant d'options de retrait, entièrement aligné avec l'application Connection, est disponible.

• Direct
• Joint de mortier – écrous par le dessus
• Joint de mortier – écrous par le dessus et le dessous
• Espace

La couche de mortier est modélisée comme un élément coque, dont la rigidité est prise en compte. Notez que les éléments coques sont incompressibles dans la direction de leur épaisseur. Cela permet de redistribuer les efforts locaux vers le béton et reste valable pour les épaisseurs de calage typiques utilisées en pratique - 25-50 mm.

La distinction entre les écrous uniquement par le dessus (interconnexion articulée entre l'ancrage et la platine de base) et par le dessus et le dessous (interconnexion fixe entre l'ancrage et la platine de base) influence fortement la capacité de cisaillement du point de vue de l'appui sur le béton.

Ancrages

Les éléments finis représentant les ancrages sont modélisés de manière à pouvoir transférer les efforts normaux et de cisaillement au béton, en tenant également compte de la rigidité en flexion des ancrages. Pour modéliser le glissement entre l'ancrage et le béton environnant, les mêmes éléments d'adhérence et MPC sont utilisés que pour le ferraillage. À la différence près que :

• Pour les ancrages post-installés (chimiques), il est nécessaire de spécifier la résistance d'adhérence de calcul.
• Pour les rondelles et les goujons à tête, l'adhérence est négligée le long de la tige de l'ancrage. Tout l'effort axial est alors transféré au béton par la rondelle ou la tête de l'ancrage.

Les ancrages peuvent être interconnectés avec les platines de base. Pour cette interconnexion, une contrainte totalement non linéaire est utilisée pour connecter l'extrémité de l'ancrage et un nœud de la platine de base. Cette contrainte permet de contrôler tous les degrés de liberté afin de garantir, par exemple, que les ancrages ne transfèrent aucun effort de compression depuis la platine de base, ou qu'aucun cisaillement n'est transféré par l'ancrage lors de la modélisation d'une bêche, etc.

Les propriétés d'interconnexion avec la platine de base pour les ancrages permettent à l'utilisateur de contrôler si l'ancrage sera connecté à la platine de base par la contrainte mentionnée précédemment, et comment. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad Interconnection with base plate settings}}}$$

La case à cocher Transfert de cisaillement peut être utilisée pour contrôler si l'ancrage et la platine de base seront connectés ou non en termes de cisaillement. Notez qu'il n'est pas pris en charge de combiner les mécanismes de transfert de cisaillement, donc pour le transfert par friction et par bêche, cette case à cocher n'est pas pertinente. En revanche, pour le transfert de cisaillement par ancrages, ce champ offre la possibilité d'exclure certains ancrages du transfert de cisaillement.

La case à cocher Transfert des efforts axiaux peut être utilisée pour contrôler si l'ancrage et la platine de base seront connectés ou non dans la direction axiale. Ceci est principalement utilisé pour l'exportation depuis la fonctionnalité Connection (voir le chapitre correspondant). Pour la modélisation manuelle, il est logique de toujours cocher cette case.

Lorsque la case n'est pas cochée, l'ancrage est déconnecté à la fois en traction et en compression (dans le cas d'un modèle exporté depuis l'application Connection, la connexion est remplacée par une paire de forces). Si la case est cochée, l'ancrage est toujours connecté à la platine en traction, mais la connexion en compression est contrôlée par le type d'ancrage et le type de retrait. Pour plus d'informations, voir la Figure 23.

Filetages coupés

Contrôlé par une case à cocher dans les propriétés de l'ancrage, ce paramètre a 2 objectifs :

1. Il définit comment l'ancrage se connecte à la platine de base :

• Pour les goujons à tête et le ferraillage coulé en place connectés à la platine de base (mais pas pour les platines noyées), il distingue entre une connexion boulonnée (articulée) et une connexion soudée (fixe) — visible dans la scène 3D.
• Notez que le mode de connexion ancrage-platine a une influence significative sur la résistance au cisaillement du point de vue de l'appui sur le béton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Cut threads options}}}$$

2. Pour l'Eurocode, la résistance de l'ancrage avec filetages coupés est réduite conformément à l'EN 1993-1-8 3.6.1 (3). Cela peut être défini dans les Paramètres du projet. Pour les tiges filetées et les rondelles, il est recommandé de toujours garder ce paramètre activé.

Interconnexion axiale et rotationnelle entre l'ancrage et la platine de base

Comme déjà mentionné dans ce chapitre, selon le type d'ancrage, le paramètre de retrait, et selon que les filetages coupés sont pris en compte ou non, les ancrages sont connectés à la platine de base de différentes manières. En termes de connexion rotationnelle, celle-ci peut être Articulée / Fixe. En termes de connexion axiale, celle-ci peut être Traction / Traction + Compression. Les types de connexion rotationnelle influencent fortement la capacité de cisaillement du point de vue de l'appui sur le béton. Dans une scène 3D, il est facile de déterminer si un ancrage est connecté comme fixe ou articulé en fonction de la présence d'écrous, voir Figure 22.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Rotational constraints}}}$$

Le tableau suivant présente toutes les combinaisons possibles de connexions de la platine de base avec les ancrages et les connexions rotationnelles et axiales correspondantes.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Platines noyées

La platine noyée est un cas particulier de platine de base. Elle est modélisée de manière analogue, avec les différences suivantes :

Étant donné que la platine est noyée à l'intérieur d'un bloc de béton, aucun type de retrait ne peut être spécifié. La profondeur d'encastrement dans la dalle est négligée. La platine, modélisée par des éléments coques, est placée directement sur la surface du béton. Par conséquent, les surfaces latérales de la dalle ne sont pas considérées comme soutenues par le béton.

Il est seulement possible d'utiliser le ferraillage et les goujons à tête, qui, comme les ancrages classiques, peuvent être configurés pour être connectés à la dalle dans les directions axiale et de cisaillement. L'expérience pratique et certains documents nationaux indiquent la nécessité de concevoir les goujons à tête uniquement pour le cisaillement et le ferraillage pour la charge axiale. Du point de vue des contraintes axiales et rotationnelles, les ancrages sont toujours connectés comme Fixe et Traction + Compression.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Les éléments finis sont implémentés en interne, et le modèle d'analyse est généré automatiquement sans qu'aucune intervention experte de l'utilisateur ne soit nécessaire. Une partie importante de ce processus est le maillage.

Béton

Tous les éléments en béton sont maillés ensemble. Une taille d'élément recommandée est automatiquement calculée par l'application en fonction de la taille et de la forme de la structure, et en tenant compte du diamètre de la plus grande barre d'armature. De plus, la taille d'élément recommandée garantit qu'un minimum de quatre éléments est généré dans les parties minces de la structure, telles que les poteaux élancés ou les voiles minces, afin d'assurer des résultats fiables dans ces zones. Les concepteurs peuvent toujours sélectionner une taille d'élément en béton définie par l'utilisateur en modifiant le multiplicateur de la taille de maillage par défaut.

Ferraillage

Le ferraillage est divisé en éléments dont la longueur est approximativement égale à la taille de l'élément en béton. Une fois les maillages du ferraillage et du béton générés, ils sont interconnectés par des éléments d'adhérence, comme le montre la Fig. 9.

Raffinement

Le maillage du béton est automatiquement raffiné autour des ancrages, autour des bêches, et sous le tronçon pour le chargement. La taille du maillage raffiné est environ deux fois plus petite que le maillage de béton de base. Le rayon de la zone raffinée est défini approximativement comme la taille de l'élément multipliée par deux.

Un algorithme de Newton-Raphson (NR) complet standard est utilisé pour trouver la solution à un problème d'éléments finis non linéaire. 

Généralement, l'algorithme NR ne converge pas souvent lorsque la charge complète est appliquée en une seule étape. Une approche habituelle, également utilisée ici, consiste à appliquer la charge séquentiellement en plusieurs incréments et à utiliser le résultat de l'incrément de charge précédent pour démarrer la résolution de Newton de l'incrément suivant. À cette fin, un algorithme de contrôle de charge a été implémenté par-dessus le Newton-Raphson. Dans le cas où les itérations NR ne convergent pas, l'incrément de charge actuel est réduit à la moitié de sa valeur, et les itérations NR sont retentées.

Un second objectif de l'algorithme de contrôle de charge est de trouver la charge critique, qui correspond à certains « critères d'arrêt » – spécifiquement la déformation maximale dans le béton, le glissement maximal dans les éléments d'adhérence, le déplacement maximal dans les éléments d'ancrage, et la déformation maximale dans les armatures. La charge critique est trouvée en utilisant la méthode de bissection. Dans le cas où le critère d'arrêt est dépassé n'importe où dans le modèle, les résultats du dernier incrément de charge sont rejetés et un nouvel incrément de la moitié de la taille du précédent est calculé. Ce processus est répété jusqu'à ce que la charge critique soit trouvée avec une certaine tolérance d'erreur.

Pour le béton, le critère d'arrêt a été fixé à une déformation de 5 % en compression (c'est-à-dire environ un ordre de grandeur plus grand que la déformation de rupture réelle du béton) et 7 % en traction aux points d'intégration des éléments coque. En traction, la valeur a été fixée pour permettre à la déformation limite dans l'armature, qui est généralement d'environ 5 % sans tenir compte du raidissement en traction, d'être atteinte en premier. En compression, la valeur a été choisie parmi plusieurs alternatives comme étant suffisamment grande pour que les effets de l'écrasement soient visibles dans les résultats, mais suffisamment petite pour ne pas causer trop de problèmes de stabilité numérique.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 25\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}$$

Pour l'armature, le critère d'arrêt est défini en termes de contraintes. Étant donné que les contraintes au niveau de la fissure sont modélisées, le critère en traction correspond à la résistance à la traction de l'armature en tenant compte du coefficient de sécurité. La même valeur est utilisée pour le critère en compression.

Le critère d'arrêt dans les éléments d'adhérence et les ressorts d'ancrage est α·δ_umax, où δ_umax est le glissement maximal utilisé dans les vérifications normatives et α = 10.

Autres critères d'arrêt pour l'ancrage :

• Arrachement des goujons à tête (contrainte de compression de contact maximale à la face supérieure de la tête du goujon). 
• Effort tranchant maximal pouvant être transféré par l'ancrage du point de vue de l'appui du béton.

Ces deux critères dépendent du code sélectionné. Vous trouverez plus d'informations à leur sujet dans les sections expliquant les parties dépendantes du code de l'analyse structurelle dans l'application.

Les résultats sont présentés indépendamment pour le béton et pour les éléments de ferraillage. Les valeurs de contrainte et de déformation dans le béton sont calculées aux points d'intégration des éléments volumiques. Cependant, comme il n'est pas pratique de présenter les données de cette manière, les résultats sont présentés par défaut aux nœuds, comme la valeur maximale de la contrainte de compression provenant des points d'intégration de Gauss adjacents dans les éléments connectés. Il convient de noter que cette représentation peut localement sous-estimer les résultats aux bords comprimés des éléments dans le cas où la taille des éléments finis est similaire à la hauteur de la zone comprimée.

Les résultats pour les éléments finis de ferraillage sont soit constants pour chaque élément (une seule valeur – par ex. pour les contraintes dans l'acier), soit linéaires (deux valeurs – pour les résultats d'adhérence). Pour les éléments auxiliaires, tels que les éléments des plaques d'appui, seules les déformations sont présentées.

Le modèle IDEA StatiCa Detail ne doit pas toujours être modélisé à partir de zéro ou d'un modèle. Il est également possible d'importer le modèle, y compris les effets de charge, depuis IDEA StatiCa Connection. Dans Connection, la superstructure en acier au-dessus du bloc en béton est analysée à l'aide d'un modèle 3D non linéaire, tandis que le bloc en béton lui-même est représenté de manière simplifiée par une fondation de Winkler. Dans Detail, en revanche, le bloc en béton armé est modélisé explicitement et vérifié en détail.

Lors du transfert du modèle, seuls la platine de base, les ancrages et le bloc en béton sont importés dans Detail – l'élément en acier lui-même (et sa rigidité globale) ne l'est pas. Dans le modèle Connection, cet élément en acier est relié à la platine de base par une soudure. Les contraintes dans les éléments finis de soudure sont intégrées et converties en un ensemble d'efforts équivalents qui chargent la platine de base dans Detail. Ainsi, l'effet de l'élément en acier manquant est représenté par des efforts de soudure appliqués directement à la platine de base.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Loads imported from IDEA StatiCa Connection}}}$$

En raison de la définition différente de la rigidité entre Connection et Detail (élément en acier manquant, modèles de matériaux différents et représentation du béton différente), une connexion directe entre la platine de base et les ancrages dans Detail entraînerait généralement une redistribution différente des charges et, par conséquent, des efforts de traction différents dans les ancrages. Pour éviter cela, les ancrages sont importés axialement déconnectés de la platine de base. Au lieu de transférer les efforts axiaux par contact physique, les tensions d'ancrage obtenues depuis Connection sont appliquées directement aux ancrages dans Detail. En même temps, un effort égal et opposé est appliqué à la platine de base à chaque emplacement d'ancrage, de sorte que l'équilibre global du modèle soit préservé. Cette paire d'efforts (l'un agissant sur l'ancrage, l'autre sur la platine de base) représente l'interaction entre la platine de base et l'ancrage sans permettre de redistribution supplémentaire des efforts axiaux dans Detail. Ces deux efforts opposés sont illustrés dans la Figure 26.

Cependant, les efforts de cisaillement sont toujours transférés par la connexion entre la platine de base et les ancrages (ou la bêche, ou le frottement). Cela est possible car une contrainte est utilisée pour connecter la platine de base et les ancrages en cisaillement, ce qui permet de contrôler les degrés de liberté pertinents de cette interconnexion. Dans Detail, l'utilisateur peut donc modifier le cheminement des efforts de cisaillement – par exemple, en libérant le cisaillement dans deux des quatre ancrages et en ne conservant que les ancrages de bord engagés en cisaillement – tandis que les efforts axiaux restent tels qu'importés depuis Connection.

Pour les platines coulées en place, nous avons adopté une approche différente. Plusieurs recommandations de calcul européennes exigent que seules les barres d'armature soient considérées pour résister aux efforts axiaux, tandis que les goujons à tête sont supposés ne transférer que le cisaillement. Étant donné qu'IDEA StatiCa Connection ne peut pas séparer en interne les efforts axiaux dans les ancrages d'armature de ceux dans les goujons à tête lors de l'export, les ancrages des platines coulées en place sont importés dans Detail entièrement connectés, également dans la direction axiale. Cela permet à l'utilisateur d'activer une option de calcul dans Detail où les ancrages d'armature ne reprennent que la traction axiale et les goujons à tête ne reprennent que le cisaillement. Dans ce processus, l'effort axial initialement attribué aux goujons à tête doit être redistribué sur les ancrages d'armature au sein du modèle Detail. Une telle redistribution ne serait pas possible si nous utilisions l'approche de la paire d'efforts opposés décrite ci-dessus, c'est pourquoi les platines coulées en place sont traitées différemment.

État limite ultime

Les différentes vérifications requises par les codes de calcul spécifiques sont évaluées à partir des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications à l'ELU sont effectuées pour la résistance du béton, la résistance du ferraillage et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).

Pour garantir la conception efficace d'un élément structurel, il est fortement recommandé d'effectuer une analyse préliminaire tenant compte des étapes suivantes :

• Choisir une sélection des combinaisons de charges les plus critiques.
• Calculer uniquement les combinaisons de charges à l'état limite ultime (ELU).
• Pour accélérer le temps de calcul et résoudre d'éventuels problèmes, envisager d'utiliser un maillage grossier en augmentant le multiplicateur de la taille de maillage par défaut dans le Setup (Fig. 27). Si le modèle se comporte bien, revenir au multiplicateur avec un facteur de 1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 27\qquad Mesh multiplier}}}$$

Un tel modèle sera calculé très rapidement, ce qui permettra aux concepteurs de revoir efficacement le ferraillage de l'élément structurel et de relancer l'analyse jusqu'à ce que toutes les exigences de vérification soient satisfaites pour les combinaisons de charges les plus critiques. Une fois que toutes les exigences de vérification de cette analyse préliminaire sont satisfaites, il est suggéré d'inclure l'ensemble des combinaisons de charges ultimes et d'utiliser une taille de maillage fine (la taille de maillage recommandée par le programme). Les utilisateurs peuvent modifier la taille du maillage à l'aide du multiplicateur, qui peut atteindre des valeurs de 0,5 à 5 (Fig. 27).

Les résultats de base et les vérifications (contrainte, déformation et taux de travail (c.-à-d. la valeur calculée/valeur limite du code)), ainsi que la direction des contraintes principales dans le cas des éléments en béton) sont affichés au moyen de différents graphiques où la compression est généralement représentée en rouge et la traction en bleu. Les valeurs minimales et maximales globales pour l'ensemble de la structure peuvent être mises en évidence, tout comme les valeurs minimales et maximales pour chaque partie définie par l'utilisateur. Dans un onglet séparé du programme, des résultats avancés tels que les valeurs de tenseur, les déformations de la structure et les taux de ferraillage (effectif et géométrique) utilisés pour calculer le raidissement en traction des armatures peuvent être affichés. De plus, les charges et réactions pour les combinaisons ou cas de charge sélectionnés peuvent être présentées.

Béton - ELU

Le modèle de béton implémenté dans le CSFM 3D est basé sur les lois constitutives de compression uniaxiale prescrites par l'EN 1992-1-1 pour le dimensionnement des sections, qui ne dépendent que de la résistance à la compression. Le diagramme parabole-rectangle spécifié dans l'EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 28a) est utilisé par défaut dans le CSFM 3D, mais les concepteurs peuvent également choisir une relation élastique-plastique idéale simplifiée selon l'EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 28b). La résistance à la traction est négligée, comme dans le dimensionnement classique du béton armé.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 28\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}$$

L'implémentation du CSFM 3D dans IDEA StatiCa Detail ne prend pas en compte de critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c'est-à-dire qu'après avoir atteint la contrainte de pic, elle considère une branche plastique avec ε_cu2 (ε_cu3) d'une valeur de 5% alors que l'EN 1992-1-1 suppose une déformation ultime inférieure à 0,35%). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures rompant en compression. Cependant, leur capacité ultime f_cd selon l'EN 1992-1-1 3.1.3 est correctement prédite lorsque l'augmentation de la fragilité du béton à mesure que sa résistance augmente est prise en compte au moyen du facteur de réduction $\eta_{fc}$ défini dans le Model Code 2010 du fib comme suit :

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

où :

α_cc est le coefficient tenant compte des effets à long terme sur la résistance à la compression et des effets défavorables résultant de la manière dont la charge est appliquée. Il est conforme à l'EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). La valeur par défaut est 1,0.

f_ck est la résistance caractéristique du béton en cylindre (en MPa pour la définition de $\eta_{fc}$).

Ferraillage

Par défaut, le diagramme contrainte-déformation bilinéaire idéalisé pour les barres d'armature nues défini dans l'EN 1992-1-1, section 3.2.7 (Fig. 29) est considéré. La définition de ce diagramme ne nécessite de connaître que les propriétés de base du ferraillage lors de la phase de conception (classe de résistance et de ductilité). Lorsqu'elle est connue, la relation contrainte-déformation réelle du ferraillage (laminé à chaud, écroui à froid, trempé et autorevenu, …) peut être prise en compte. Le diagramme contrainte-déformation du ferraillage peut être défini par l'utilisateur, mais dans ce cas, il est impossible de supposer l'effet de raidissement en traction (il est impossible de calculer l'ouverture de fissure). L'utilisation du diagramme contrainte-déformation avec une branche supérieure horizontale ne permet pas de vérifier la durabilité structurelle. Par conséquent, une vérification manuelle des exigences standard de ductilité est nécessaire.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$$

Le raidissement en traction (Fig. 30) est pris en compte automatiquement en modifiant la relation contrainte-déformation d'entrée de la barre d'armature nue afin de capturer la rigidité moyenne des barres noyées dans le béton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

La Méthode du Champ de Contraintes Compatible est conforme aux codes de calcul modernes. Comme les modèles de calcul n'utilisent que des propriétés matérielles standard, le format des coefficients partiels de sécurité prescrit dans les codes de calcul peut être appliqué sans aucune adaptation. Ainsi, les charges d'entrée sont majorées, et les propriétés caractéristiques des matériaux sont réduites en utilisant les coefficients de sécurité respectifs prescrits dans les codes de calcul, exactement comme dans l'analyse conventionnelle du béton. Les valeurs des coefficients de sécurité des matériaux prescrites dans l'EN 1992-1-1 chap. 2.4.2.4 et les coefficients pour les ancrages prescrits dans l'EN 1992-4, l'EN 1993-1-8 et l'EN 1994-1-1 sont définies par défaut, mais l'utilisateur peut modifier les coefficients de sécurité dans les paramètres Code et calcul (Fig. 31).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad Le paramétrage des  coefficients de sécurité des matériaux dans Idea StatiCa Detail.}}}$$

Les coefficients de sécurité des charges doivent être définis par l'utilisateur dans les règles de combinaison pour chaque combinaison non linéaire de cas de charge (Fig. 32). Pour tous les modèles implémentés dans Idea StatiCa Detail, les coefficients partiels de sécurité sont déjà prédéfinis.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Le paramétrage des  coefficients partiels de charge dans Idea StatiCa Detail.}}}$$

En utilisant des combinaisons appropriées de coefficients partiels de sécurité définies par l'utilisateur, les utilisateurs peuvent également calculer avec le CSFM 3D en utilisant la méthode du coefficient de résistance global (Navrátil, et al. 2017), mais cette approche est rarement utilisée dans la pratique de conception. Certaines directives recommandent d'utiliser la méthode du coefficient de résistance global pour l'analyse non linéaire. Cependant, dans les analyses non linéaires simplifiées (telles que le CSFM 3D), qui ne nécessitent que les propriétés matérielles utilisées dans les calculs manuels conventionnels, il reste préférable d'utiliser le format des coefficients partiels de sécurité.

Les différentes vérifications requises par l'EN 1992-1-1 sont évaluées sur la base des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications ELU sont effectuées pour la résistance du béton, la résistance du ferraillage et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).

Résistance - Béton

La résistance du béton en compression est évaluée comme le rapport entre la contrainte principale équivalente maximale σ_c,eq obtenue à partir de l'analyse EF et la valeur limite σ_c,lim = f_cd.

La contrainte principale équivalente exprime la contrainte uniaxiale équivalente pour un état de contrainte triaxial général.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

La valeur σ_c,eq peut donc être directement comparée aux limites de résistance uniaxiale selon l'EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1).

Cette expression est dérivée de la mise en œuvre de la théorie de plasticité de Mohr-Coulomb, en supposant de manière conservative un angle de frottement interne φ = 0°.

Résistance - Ferraillage

La résistance du ferraillage est évaluée à la fois en traction et en compression comme le rapport entre la contrainte dans le ferraillage au niveau des fissures σ_sr et la valeur limite spécifiée σ_s,lim :

$σ_{s,lim} = \dfrac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{pour un diagramme bilinéaire avec branche supérieure inclinée}}$

$σ_{s,lim} = \dfrac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{pour un diagramme bilinéaire avec branche supérieure horizontale}}$

où :

f_yk        est la limite d'élasticité du ferraillage selon l'EN 1992-1-1 Cl. 3.2.3,

k          est le rapport entre la résistance à la traction f_tk et la limite d'élasticité,
            $k = \dfrac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             est le coefficient partiel de sécurité pour le ferraillage.

Résistance - Ancrages

Les ancrages sont vérifiés vis-à-vis des contraintes normales de manière similaire au ferraillage, où la valeur limite σ_s,lim est déterminée.

De plus, les valeurs N_Ed et V_Ed sont spécifiées pour les ancrages, qui sont vérifiées par rapport à N_Rd,s et V_Rd,s selon la norme sélectionnée. La norme est choisie en fonction du type d'ancrage utilisé dans les Paramètres du projet.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Vérification de l'ancrage - Sélection de la norme de calcul}}}$$

Étant donné que différentes approches sont choisies pour la vérification des ancrages selon les différentes normes, l'utilisateur peut choisir les normes suivantes pour les différents types d'ancrages :

• Ancrages réalisés en matériau boulonné en traction et/ou cisaillement - EN 1992-4, EN 1993-1-8
• Goujons à tête en traction et/ou cisaillement - EN 1992-4, EN 1994-1-1
• Ancrages réalisés en traction et/ou cisaillement - EN 1992-4, EN 1992-1-1
• Ancrages en compression et/ou flexion - EN 1993-1-1

Vérification en traction selon l'EN 1992-4 - 7.2.1.3

$$N_{Rd,s} = \frac{c \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

où :

• c – réduction pour filetage coupé  
• f_uk – résistance minimale à la traction du boulon
• A_s – section résistante en traction de l'ancrage (réduite par le filetage dans le cas d'un matériau boulonné)
• $\gamma_{Ms} = 1.2 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.4$ – coefficient partiel de sécurité pour l'acier 
• f_yk – limite d'élasticité minimale du boulon

Vérification en traction selon l'EN 1993-1-8 - 3.6.1

$$N_{Rd,s} = F_{t.Rd} = \frac{c \cdot k_2 \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$ 

où :

• c – diminution de la résistance en traction des boulons avec filetage coupé selon l'EN 1993-1-8 – Cl. 3.6.1. (3) 
• k₂ = 0.9 – facteur pour les ancrages non fraisés 
• f_ub – résistance ultime à la traction du boulon d'ancrage 
• A_s – section résistante en traction de l'ancrage (réduite par le filetage dans le cas d'un matériau boulonné)
• γ_M2 =1.25 – coefficient partiel de sécurité pour les boulons (EN 1993-1-8, Tableau 2.1) 

Vérification en traction selon l'EN 1992-1-1 - 3.2.7

$$N_{Rd,s} = \frac{kf_{yk}}{\gamma_{S}}$$

où :

• $k=(f_{t}/f_{y})$ est donné à l'Annexe C
• f_yk - limite d'élasticité caractéristique
• γ_M2 =1.15 – coefficient partiel de sécurité pour le ferraillage

Vérification en compression selon l'EN 1993-1-1 - 6.3

Utilisée pour tous les ancrages soumis à un effort de compression normal, quel que soit leur matériau ou leur type d'écartement. 

$$F_{c,Rd}=\frac{\chi\,A_s f_y}{\gamma_{M2}}$$

Où :

• $\chi=\dfrac{1}{\Phi+\sqrt{\Phi^2-\bar{\lambda}^2}}\le 1$ – coefficient de réduction pour le flambement
• $\Phi=0.5\left[1+\alpha\left(\bar{\lambda}-0.2\right)+\bar{\lambda}^2\right]$ – valeur permettant de déterminer le coefficient de réduction pour le flambement χ
• $\alpha=0.49$ – facteur d'imperfection pour la courbe de flambement c (correspondant au cercle complet)
• $\bar{\lambda}=\sqrt{\dfrac{A_s f_y}{N_{cr}}}$ – élancement relatif

  • A_s – la section de l'ancrage réduite par le filetage
• $N_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L_{cr}^2}$  – force critique d'Euler
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – moment d'inertie du boulon

  • d_s – diamètre de l'ancrage réduit par le filetage
• $L_{cr}=2\,l$  – longueur de flambement ; il est supposé, du côté de la sécurité, que le boulon est fixé dans le béton et peut librement tourner au niveau de la platine de base 
• $l=l_{a}$ – longueur de l'élément du boulon égale à la moitié de l'épaisseur de la platine de base + le jeu + la moitié du diamètre du boulon ; il est supposé, du côté de la sécurité, que la rondelle et l'écrou ne sont pas serrés contre la surface du béton (ETAG 001 – Annexe C – Cl. 4.2.2.4), voir Figure 34.

Vérification au cisaillement selon l'EN 1992-4 - 7.2.2.3

Pour un écartement = direct, le cisaillement sans bras de levier est supposé (EN 1992-4 – Cl. 7.2.2.3.1) :

$$V_{Rd,s} = \frac{k_6 \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

Pour un écartement = joint de mortier, le cisaillement avec bras de levier est supposé (EN 1992-4 – Cl. 7.2.2.3.2) :

$$V_{Rd,s} = \frac{\alpha_M \cdot M_{Rk,s}}{\gamma_{Ms} \cdot l_a}$$

où :

• k₆ = 0.6 pour les ancrages avec fuk ≤ 500 MPa ; k₆ = 0.5 sinon
• A_s – section de cisaillement de l'ancrage réduite par le filetage
• f_uk – résistance ultime du boulon d'ancrage
• α_M = 2 – un encastrement complet est supposé (EN 1992-4 – Cl. 6.2.2.3)
• $M_{Rk,s} = M^{0}_{Rk,s} \left(1 - \dfrac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)$ – résistance caractéristique en flexion de l'ancrage diminuée par l'effort de traction dans l'ancrage
•  $M^{0}_{Rk,s} = 1.2 \cdot W_{el} \cdot f_{ub}$ – résistance caractéristique en flexion de l'ancrage (ETAG 001, Annexe C – Équation (5.5b))
• $W_{el} = \dfrac{\pi d^{3}}{32}$ – module de section de l'ancrage
• d – diamètre du boulon d'ancrage ; si le plan de cisaillement dans un filetage est sélectionné (ce qui est toujours le cas pour une tige filetée), le diamètre réduit par le filetage est utilisé ; sinon, le diamètre nominal, d_nom, est utilisé
• N_Ed – effort de traction dans l'ancrage
• N_Rd,s – résistance en traction de l'ancrage
• $l_{a} = 0.5\, d_{\mathrm{nom}} + t_{\mathrm{mortar}} + 0.5\, t_{\mathrm{bp}}$ – bras de levier
• t_mortar – épaisseur du mortier (scellement)
• t_bp – épaisseur de la platine de base
• $\gamma_{Ms} = 1.0 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.25$ pour $f_{uk} \le 800 \text{ MPa}$ et  $\dfrac{f_{yk}}{f_{uk}} \le 0.8$; γ_Ms = 1.5 sinon – coefficient partiel de sécurité pour la rupture de l'acier (EN 1992-4 – Tableau 4.1)

Vérification au cisaillement selon l'EN 1993-1-8 - 6.2.2

La résistance de l'acier au cisaillement de l'ancrage est déterminée selon l'EN 1993-1-8 – 6.2.2 (7) indépendamment de l'écartement direct ou par joint de mortier. La résistance et l'épaisseur du mortier de scellement doivent être conformes à la Cl. 6.2.5 (7).

$$V_{Rd,s} = F_{v,b,Rd} = \min \left\{ F_{1v,b,Rd} ,\, F_{2v,b,Rd} \right\}$$

où :

$$F_{1v,b,Rd} = \frac{\alpha_v \cdot f_{ub} \cdot A}{\gamma_{M2}}$$

• α_v = 0.6 pour les classes 4.6, 5.6, 8.8, et 0.5 pour les classes 4.8, 5.8, 6.8, 10.9
• f_ub – résistance ultime à la traction du matériau du boulon
• A – section résistante en traction du boulon, A = A_s, où As est la section résistante en traction du boulon (réduite par le filetage)
• γ_M2 – coefficient de sécurité - EN 1993-1-8 – Tableau 2.1

$$F_{2v,b,Rd} = \frac{\alpha_b \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$

• ​ $\alpha_b = 0.44 - 0.0003\, f_{yb}$
• α_b est un coefficient dépendant de la limite d'élasticité du boulon d'ancrage
• f_yb – limite d'élasticité de l'ancrage ; 235 MPa ≤ f_yb ​≤ 640 MPa
• f_ub – résistance à la traction de l'ancrage 
• A_s – section résistante en traction (réduite par le filetage)

Vérification au cisaillement selon l'EN 1993-1-1 - 6.2.6

Ces vérifications normatives s'appliquent aux ancrages reliés à la platine de base avec un jeu ou aux ancrages directement chargés dont la longueur en saillie dépasse 0,5 fois leur diamètre.

$$V_{pl,Rd}=\frac{A_v f_y/\sqrt{3}}{\gamma_{M2}}$$

où :

• A_V = 0.844 A_s – section de cisaillement
• A_s – section du boulon réduite par le filetage
• f_y – limite d'élasticité du boulon
• γ_M2 – coefficient partiel de sécurité (défini dans les Paramètres du projet)

Vérification au cisaillement selon l'EN 1994-1-1 - 6.6.3.1

$$V_{Rd,s} = P_{Rd} = \frac{0.8 \, f_u \, \pi \, d^2}{4 \, \gamma_v}$$

où :

• γ_v est le coefficient partiel pour la connexion de cisaillement selon l'EN 1994-1-1 chap. 2.4.1.2. La valeur recommandée pour γ_v est 1.25
• d est le diamètre de la tige du goujon, 16 mm ≤ d ≤ 25 mm ;
• f_u est la résistance ultime à la traction spécifiée du matériau du goujon, sans toutefois dépasser 500 MPa.

Dans l'EN 1994-1-1, la clause 6.6.3.1 fournit également l'Équation (6.19), qui limite la résistance au cisaillement d'un goujon par la capacité de poinçonnement (portance) du béton. Dans IDEA StatiCa Detail, ce mode de rupture n'est pas vérifié par une formule normative distincte dans le post-traitement. Il est plutôt intégré directement dans l'analyse par éléments finis non linéaire comme critère d'arrêt : l'analyse est interrompue avant que l'effort de cisaillement dans un ancrage n'atteigne le P_Rd correspondant
issu de l'Équation (6.19). Cette approche est utilisée car l'Équation (6.19) n'est valable que pour les goujons à tête soudés à la platine d'acier et pour des diamètres de goujon compris entre 16 mm et 25 mm, comme spécifié en 6.6.3.1.

Afin de couvrir un éventail plus large de cas pratiques, nous avons créé une série de modèles de référence 3D dans Abaqus avec des diamètres d'ancrage allant de 8 mm à 50 mm et des résistances de béton allant de C16/20 à C50/60. Les goujons ont été modélisés soit soudés de manière rigide à la platine de base, soit reliés par une articulation (rotule). Les modèles de matériaux et les paramètres de contact dans Detail ont ensuite été calibrés par rapport à ces simulations Abaqus, elles-mêmes vérifiées par rapport à l'Équation (6.19) dans son domaine de validité. Ce critère d'arrêt est valable pour tous les types d'ancrages et tous les codes EN.

Vérification en flexion selon l'EN 1993-1-1 - 6.2.5

$$M_{pl,Rd}=\frac{W_{pl} f_y}{\gamma_{M2}}$$

Où :

• $W_{pl}=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – module de section du boulon

  • d_s – diamètre de l'ancrage réduit par le filetage
• f_y – limite d'élasticité du matériau
• γ_M2 – coefficient partiel de sécurité (défini dans les Paramètres du projet)

Moment fléchissant de calcul agissant M_Ed - Si l'effort de cisaillement agit avec un bras de levier, un moment fléchissant agissant sur l'élément de fixation doit être pris en compte. Le moment fléchissant de calcul agissant sur l'élément de fixation est calculé selon l'EN 1993-1-1 Formule (6.1) :

$$M_{Ed}=V_{Ed}\cdot\frac{l_a}{\alpha_M}$$

où :

• V_Ed - est l'effort de cisaillement agissant sur l'élément de fixation considéré
• l_a = a₃ + e₁

  • a₃ = 0.5d_nom, où d_nom est le diamètre de l'ancrage
  • e₁ - est la distance entre l'effort de cisaillement et la surface du béton, en négligeant l'épaisseur de tout mortier de nivellement
• α_M = 2 – un encastrement complet est supposé (EN 1992-4 – Cl. 6.2.2.3)

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Longueur de flambement}}}$$

Interaction de la traction et du cisaillement dans l'acier de l'ancrage

L'interaction entre traction et cisaillement selon EN 1993-1-8 est implicitement incluse dans la vérification au cisaillement de l'ancrage.

L'interaction entre traction et cisaillement selon EN 1992-4 est déterminée séparément pour les modes de rupture de l'acier et du béton selon le Tableau 7.3. L'interaction dans l'acier est vérifiée séparément pour chaque ancrage.

$$\left( \frac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)^{2}+\left( \frac{V_{Ed}}{V_{Rd,s}} \right)^{2}\le 1$$

L'EN 1994-1-1 indique à l'article 6.6.3.2 que si l'effort de traction dans l'ancrage est supérieur à 0.1P_Rd, la vérification n'est pas couverte par cette norme. Dans un tel cas, l'interaction est évaluée conformément à l'EN 1992-4 dans l'application. Dans ce cas, la vérification au cisaillement ne doit pas être considérée selon l'EN 1994-1-1.

Interaction de la traction ou de la compression et de la flexion dans l'acier de l'ancrage EN 1993-1-1 - 6.2.1

$$\frac{N_{Ed}}{N_{Rd}}+\frac{M_{Ed}}{M_{Rd}}\le 1$$

où :

• N_Ed – effort de calcul en traction (positif) ou en compression (signe négatif)
• N_Rd – résistance de calcul en traction (positive, F_t,Rd) ou en compression (signe négatif, F_c,Rd)
• M_Ed – moment fléchissant de calcul
• M_Rd = M_pl,Rd – résistance de calcul en flexion

Vérification à l'arrachement pour les ancrages à tête (Rondelles et Goujons à tête)

Pour les ancrages à tête, un critère d'arrêt supplémentaire est mis en œuvre pour vérifier la portance (écrasement) du béton au-dessus de la tête de l'ancrage - arrachement. Pendant l'analyse, l'effort de compression transmis par le contact tête-béton est surveillé et comparé à la valeur limite donnée par l'EN 1992-4, Clause 7.2.1.5 (rupture par arrachement des fixations à tête).

$$N_{Rd,p} = k_2 \cdot A_h \cdot f_{ck} / \gamma_{Mp}$$

où :

• A_h est la surface portante de la tête de l'élément de fixation (hors section de la tige). 
• f_ck est la résistance caractéristique en compression du béton - EN 1992-1-1 Cl. 3.1.2
• γ_Mp est pris dans l'application comme γ_Mp = γ_c avec la valeur par défaut de 1.5
•  k₂​ est toujours pris égal à 7.5, c'est-à-dire la valeur pour le béton fissuré. Ceci est cohérent avec l'approche CSFM utilisée dans Detail, où la résistance à la traction du béton est négligée et le béton est supposé fissuré en traction. 

Une fois que l'effort de contact atteint cette limite normative, le critère d'arrêt est déclenché et l'analyse est interrompue avant que la résistance de calcul à l'arrachement ne soit dépassée.

Ancrage -  Contrainte d'adhérence

La contrainte de cisaillement d'adhérence est évaluée indépendamment comme le rapport entre la contrainte d'adhérence τ_b calculée par l'analyse EF et la résistance ultime d'adhérence f_bd, selon l'EN 1992-1-1 chap. 8.4.2 :

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\le 1$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

où :

• f_ctd      est la valeur de calcul de la résistance en traction du béton selon l'EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (2). En raison de la fragilité croissante des bétons à haute résistance, f_ctk,0.05 est limitée à la valeur pour le C60/75 selon l'EN 1992-1-1 Cl. 8.4.2 (2)
• η₁       est un coefficient lié à la qualité de la condition d'adhérence et à la position de la barre pendant le bétonnage (Fig. 34).
• η₁ = 1.0 lorsque des conditions « bonnes » sont obtenues et
• η₁ = 0.7 pour tous les autres cas et pour les barres dans les éléments structurels construits avec des coffrages glissants, à moins qu'il ne puisse être démontré que de « bonnes » conditions d'adhérence existent
• η₂        est lié au diamètre de la barre :
  η₂ = 1.0 pour Ø ≤ 32 mm
  η₂ = (132 - Ø)/100 pour Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description des conditions d'adhérence.}}}$$

Dans IDEA StatiCa Detail, les conditions d'adhérence sont prises en compte selon la Fig. 34 c) et d). Le sens du bétonnage peut être défini dans l'application pour chaque élément de projet comme suit :

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Sens du bétonnage}}}$$

Ces vérifications sont effectuées par rapport aux valeurs limites appropriées pour les parties respectives de la structure (c'est-à-dire que, malgré une nuance unique à la fois pour le béton et le ferraillage, les diagrammes contrainte-déformation finaux différeront dans chaque partie de la structure en raison des effets de raidissement en traction et d'adoucissement en compression).

Ancrage - Effort total

Effort total F_tot et Effort limite F_lim

L'effort total F_tot est un résultat de l'analyse par éléments finis et peut être défini de deux manières.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

où A_s est la section de la barre de ferraillage et σ_s est la contrainte dans la barre.

Ou comme une somme de l'effort d'ancrage F_a et de l'effort d'adhérence F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

où F_a est l'effort réel dans le ressort d'ancrage et F_bond est l'effort d'adhérence qui peut être obtenu en intégrant la contrainte d'adhérence τ_b le long de la longueur de la barre de ferraillage l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s est le périmètre de la barre de ferraillage.

L'effort limite F_lim est l'effort maximal dans l'élément de l'armature en tenant compte de la résistance ultime de l'armature ainsi que des conditions d'ancrage (adhérence entre le béton et le ferraillage et crochets d'ancrage, boucles, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

où C_s est le périmètre de la barre de ferraillage, et l est la longueur depuis le début de l'armature jusqu'au point considéré.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Définition de l'effort limite Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

où F_lim,add est l'effort additionnel calculé à partir de l'amplitude de l'angle entre les éléments voisins. F_lim,2 doit toujours être inférieur à F_u.

Types d'ancrage à l'extrémité du ferraillage (Ancrages et Armatures)

Les types d'ancrage disponibles dans le CSFM 3D comprennent une barre droite (c'est-à-dire sans réduction d'extrémité d'ancrage), un coude, un crochet, une boucle, une barre transversale soudée, une adhérence parfaite et une barre continue. Tous ces types, ainsi que les coefficients d'ancrage β respectifs, sont présentés à la Fig. 36 pour le ferraillage longitudinal et à la Fig. 37 pour les étriers. Les valeurs des coefficients d'ancrage adoptés sont conformes à l'EN 1992-1-1 section 8.4.4 Tab. 8.2. Il convient de noter que, malgré les différentes options disponibles, le CSFM 3D distingue trois types d'extrémités d'ancrage : (i) aucune réduction de la longueur d'ancrage, (ii) une réduction de 30 % de la longueur d'ancrage dans le cas d'un ancrage normalisé, et (iii) une adhérence parfaite.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad  Types d'ancrage disponibles et coefficients d'ancrage respectifs pour les barres de ferraillage longitudinales dans le CSFM 3D :}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) barre droite ; (b) coude ; (c) crochet ; (d) boucle ; (e) barre transversale soudée ; (f) adhérence parfaite ; (g) barre continue.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad  Types d'ancrage disponibles et coefficients d'ancrage respectifs pour les étriers.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Étriers fermés : (a) crochet ; (b) coude ; (c) recouvrement. Étriers ouverts : (d) crochet ; (e) barre continue.}}}$$

Afin de se conformer à l'EN 1992-1-1, le ressort d'ancrage doit être utilisé dans le calcul ; le ressort d'ancrage est modifié par le coefficient β, l'utilisateur doit donc utiliser l'un des types d'ancrage disponibles lors de la définition des conditions de début et de fin du ferraillage. 

Béton - Résistance

Le modèle de béton implémenté pour les calculs de résistance dans le CSFM est basé sur la courbe contrainte-déformation parabolique-plastique pour le béton, basée sur la courbe contrainte-déformation parabolique de la Portland Cement Association décrite dans les PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figure 6-8. La résistance à la traction est négligée, comme c'est le cas dans la conception classique du béton armé.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Le diagramme contrainte-déformation du béton pour l'analyse de résistance}}}$$

L'implémentation du CSFM dans IDEA StatiCa Detail ne prend pas en compte un critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c'est-à-dire qu'après avoir atteint la contrainte de pic, elle considère une branche plastique avec ε_c0 d'une valeur maximale de 5 % alors que l'ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 suppose une déformation ultime inférieure à 0,3 %). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures rompant en compression. Cependant, la résistance est correctement prédite lorsque l'augmentation de la fragilité du béton avec l'augmentation de sa résistance est prise en compte au moyen du facteur de réduction $\eta_{fc}$ défini dans le Model Code 2010 de la fib comme suit :

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

où :

α₁ est le facteur de réduction de la résistance à la compression du béton défini dans l'ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Lors de l'utilisation d'un diagramme contrainte-déformation parabole-rectangle, il est nécessaire de réduire la contrainte de compression maximale par ce facteur. Cela permet de moyenner la distribution des contraintes dans la zone comprimée de telle sorte que la résistance à la compression résultante soit inférieure ou égale à la résistance à la compression calculée à l'aide d'un diagramme contrainte-déformation avec une branche plastique décroissante.

Φ_c est le facteur de réduction de résistance pour le béton. La valeur par défaut est définie selon l'ACI 318-19 Table 24.2.1 (b)(f).

f'_c est la résistance du béton sur cylindre (en MPa pour la définition de $\eta_{fc}$).

Ferraillage

Un diagramme contrainte-déformation parfaitement élasto-plastique avec un point de plastification défini est considéré pour le ferraillage non précontraint. Voir ACI 319-19 Cl. 20.2.1. La définition de ce diagramme ne nécessite que la connaissance des propriétés de base du ferraillage - la résistance et le module d'élasticité.

Le diagramme contrainte-déformation du ferraillage peut également être défini par l'utilisateur, mais dans ce cas, il est impossible de prendre en compte l'effet de raidissement en traction. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41 \qquad Diagramme contrainte-déformation du ferraillage}}}$$

où :

Φ_s est le facteur de réduction de résistance pour le ferraillage. La valeur par défaut est définie selon l'ACI 318-19 Table 24.2.1.

f_y est la limite d'élasticité du ferraillage

E_s module d'élasticité du ferraillage

10 % est sélectionné comme déformation limite à laquelle le calcul est arrêté. Ceci est considéré comme sûr sur la base de l'ASTM A955/A955M-20c Article 7.

Le raidissement en traction (Fig. 42)  est pris en compte automatiquement en modifiant la relation contrainte-déformation d'entrée de la barre d'armature nue afin de capturer la rigidité moyenne des barres noyées dans le béton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42\qquad Schéma du raidissement en traction.}}}$$

La Méthode du Champ de Contraintes Compatible est conforme aux codes de calcul modernes. Étant donné que les modèles de calcul n'utilisent que des propriétés de matériau standard, le format des facteurs partiels de sécurité prescrit dans les codes de calcul peut être appliqué sans aucune adaptation. Ainsi, les charges en entrée sont pondérées, et les propriétés caractéristiques du matériau sont réduites à l'aide des facteurs de réduction de résistance respectifs, exactement comme dans l'analyse conventionnelle du béton.

Les valeurs des facteurs de réduction de résistance sont prescrites dans l'ACI 318-19 chapitre 21 et pour les ancrages dans l'ACI 318-19 chapitre 17 et l'AISC 360-16 chapitres D, E, F, G. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Les facteurs de charge pour les combinaisons de résistance doivent être définis conformément à l'ACI 318-19 Tableau 5.3.1.

Sauf indication contraire au Chapitre 34, les combinaisons de charges à l'état de service ne sont pas définies dans l'ACI 318-19. Il est recommandé d'utiliser les règles de combinaison basées sur l'Annexe C de l'ASCE/SEI 7-16. Pour tous les modèles, les facteurs de charge sont déjà prédéfinis.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Les différentes vérifications requises par ACI 318-19 sont évaluées sur la base des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications sont effectuées pour la résistance du béton, la résistance du ferraillage et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).

Résistance - Béton

La résistance du béton en compression est évaluée comme le rapport entre la contrainte principale équivalente maximale f_c,eq (également σ_c,eq dans le texte précédent) obtenue par l'analyse par éléments finis et la valeur limite f'_c,lim.

La contrainte principale équivalente exprime la contrainte uni-axiale équivalente pour un état de contrainte tri-axial général.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

La valeur f_c,eq peut donc être directement comparée aux limites de résistance uni-axiale. Cette expression est dérivée de l'implémentation de la théorie de plasticité de Mohr-Coulomb, en supposant de manière conservative un angle de frottement interne φ = 0°.

Résistance - Ferraillage

La résistance du ferraillage est évaluée en traction et en compression comme le rapport entre la contrainte dans le ferraillage aux fissures f_s et la valeur limite spécifiée f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Résistance - Ancrages

Les ancrages sont vérifiés pour les contraintes normales de manière similaire au ferraillage, où la valeur limite f_y,lim est déterminée. 

Pour faciliter la navigation dans le texte suivant, nous allons d'abord diviser l'ancrage en trois groupes en termes de vérification normative selon ACI ou AISC.

Groupe 1

• Types d'ancrage

  • Platine coulée en place
  • Platine de base - Stand-off = direct 
  • Platine de base - Stand-off = Joint de mortier - épaisseur du mortier inférieure à 0,5 fois le diamètre de l'ancrage
  • Ancrage unique avec longueur projetée inférieure à 0,5 fois le diamètre de l'ancrage
• Vérifications normatives des ancrages (ACI / AISC)

  • Traction/compression

    • Tous les types d'ancrage en traction – ACI 318-19 chap. 17.6.1.2  
    • Tous les types d'ancrage en compression – AISC 360-16 chap. E
  • Cisaillement sans bras de levier

    • Matériau boulon – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b)
    • Goujons à tête – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (a)
    • Ferraillage – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b)
  • Interaction traction et cisaillement - ACI 318-19 chap. 17.8

Groupe 2

• Types d'ancrage

  • Platine de base - Stand-off = Joint de mortier - épaisseur du mortier supérieure à 0,5 fois le diamètre de l'ancrage
• Vérifications normatives des ancrages (ACI / AISC)

  • Traction/compression

    • Tous les types d'ancrage en traction – ACI 318-19 chap. 17.6.1.2  
    • Tous les types d'ancrage en compression – AISC 360-16 chap. E
  • Cisaillement avec bras de levier

    • Matériau boulon – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b) + chap. 17.7.1.2.1.
    • Goujons à tête – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (a) + chap. 17.7.1.2.1.
    • Ferraillage – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b) + chap. 17.7.1.2.1.
  • Interaction traction et cisaillement - ACI 318-19 chap. 17.8

Groupe 3

• Types d'ancrage

  • Platine de base - Stand-off = jeu
  • Ancrage unique avec longueur projetée supérieure à 0,5 fois le diamètre de l'ancrage
• Vérifications normatives des ancrages (ACI / AISC)

  • Traction/compression (avec flambement)

    • Tous les types d'ancrage en traction – ACI 318-19 chap. 17.6.1.2
    • Tous les types d'ancrage en compression – AISC 360-16 chap. E3
  • Flexion

    • Pour tous les types d'ancrage – AISC 360-16 chap. F11
  • Cisaillement

    • Pour tous les types d'ancrage – AISC 360-16 chap. G
  • Interaction effort axial et flexion

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Résistance en traction de l'ancrage selon ACI 318-19 chap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

où :

• ϕ_a,t  – facteur de réduction de résistance pour les ancrages en traction selon ACI 318-19 chap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – aire de la section résistante en traction (réduite par le filetage)
• f_uta – résistance en traction spécifiée de l'acier d'ancrage, ne devant pas être supérieure à 1,9 f_ya et 860 MPa

Résistance au cisaillement de l'ancrage selon ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (a)

La résistance de l'acier au cisaillement pour les goujons à tête est déterminée comme suit :

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

où :
ϕ_a,v – facteur de réduction de résistance pour les ancrages en traction selon ACI 318-19 chap. 17.5.3 (a)
A_se,V – aire de la section résistante en traction (réduite par le filetage)
f_uta – résistance en traction spécifiée de l'acier d'ancrage, ne devant pas être supérieure à 1,9 f_ya et 860 MPa

Résistance au cisaillement de l'ancrage selon ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b)

La résistance de l'acier au cisaillement pour les ancrages en matériau boulon et ferraillage est déterminée comme suit :

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

où :

• ϕ_a,v  – facteur de réduction de résistance pour les ancrages en traction selon ACI 318-19 chap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – aire de la section résistante en traction (réduite par le filetage)
• f_uta – résistance en traction spécifiée de l'acier d'ancrage, ne devant pas être supérieure à 1,9 f_ya et 860 MPa

Résistance au cisaillement de l'ancrage connecté à une base avec mortier - ACI 318-19 chap. 17.7.1.2.1

Si des ancrages sont utilisés avec des joints de mortier rapportés (Groupe 2), la résistance de calcul calculée conformément au chap. 17.7.1.2 doit être multipliée par 0,80.

Interaction en traction et cisaillement selon ACI 318-19 chap. 17.8

Il est permis de négliger l'interaction entre traction et cisaillement si (a) ou (b) est satisfait.
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Si N_ua/(ϕN_n) > 0,2 pour la résistance déterminante en traction et V_ua/(ϕV_n) > 0,2 pour la résistance déterminante au cisaillement, alors l'Éq. (17.8.3) doit être satisfaite.

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Résistance en compression de l'ancrage selon AISC 360-16 chap. E3

$$P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}$$

où :

• ϕ_a,t  – facteur de réduction de résistance pour les ancrages en compression selon AISC 360-16 chap. E1
  
• (a) Lorsque : $\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  ou     $\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25$

  • $F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y$
    
• (b) Lorsque : $\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  ou     $\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25$

  • $F_{cr}=0.877F_e$
    
• A_g​ – aire brute de la section transversale de l'élément
• E – module d'élasticité de l'acier
• $F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}$ - contrainte de flambement élastique
• F_y – limite d'élasticité minimale spécifiée du type d'acier utilisé
• $r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}$ – rayon de giration
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – moment d'inertie du boulon 

Résistance en flexion de l'ancrage selon AISC 360-16 chap. F11

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

où :

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – module de plasticité de la section du boulon
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – module élastique de la section du boulon

Résistance au cisaillement de l'ancrage selon AISC 360-16 chap. G

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

où :

• A_V = 0.844As – l'aire de cisaillement
• A_s – l'aire du boulon réduite par le filetage

Écrasement du béton à l'interface ancrage–béton

La résistance au cisaillement de l'ancrage est également limitée du point de vue de l'écrasement du béton à l'interface ancrage–béton. Les valeurs limites et la méthode pour les déterminer sont décrites en détail dans l'article - Comportement au cisaillement des ancrages dans le béton armé. Une fois que la force de contact atteint cette limite, le critère d'arrêt est déclenché et l'analyse est interrompue avant que la résistance ne soit dépassée.​ 

Vérification de l'arrachement pour les ancrages à tête (rondelles et goujons à tête)

Pour les ancrages à tête, un critère d'arrêt supplémentaire est mis en œuvre pour vérifier l'appui du béton (écrasement) au-dessus de la tête de l'ancrage - arrachement. Au cours de l'analyse, l'effort de compression transmis par le contact tête-béton est surveillé et comparé à la valeur limite donnée par ACI 318-19, Article 17.6.3.2.2a (rupture par arrachement des éléments de fixation à tête).

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

où :

• $\Phi$ est le facteur de réduction de résistance - Tableau 17.5.3(c)
• A_brg aire d'appui nette de la tête du goujon, du boulon d'ancrage ou de la barre déformée à tête (sans l'aire de la tige). 
• f'_c est la résistance en compression spécifiée du béton
• $\Psi_{c,p}$ est le facteur de fissuration à l'arrachement selon 17.6.3.3, et est toujours pris égal à 1,0, c'est-à-dire la valeur pour le béton fissuré. Ceci est cohérent avec l'approche CSFM utilisée dans Detail, où la résistance en traction du béton est négligée et le béton est supposé fissuré en traction.

Une fois que la force de contact atteint cette limite normative, le critère d'arrêt est déclenché et l'analyse est interrompue avant que la résistance à l'arrachement ne soit dépassée.​ 

Ancrage -  Contrainte d'adhérence

La contrainte de cisaillement d'adhérence est évaluée indépendamment comme le rapport entre la contrainte d'adhérence τ_b calculée par l'analyse par éléments finis et la résistance d'adhérence f_bu.

Bien que la résistance d'adhérence ne soit pas explicitement définie dans ACI 318-19, le calcul de la longueur de développement se trouve à la Section 25.4.2. Cependant, étant donné que la résistance d'adhérence est la donnée de base pour déterminer la longueur de développement, voir R25.4.1.1 et ACI Committee 408 1966, la résistance d'adhérence peut être calculée comme suit :

Supposons que si nous ancrons la barre de ferraillage dans un bloc de béton sur la longueur de développement l_d ou plus, l'arrachement du ferraillage conduira à la rupture du ferraillage et non à l'arrachement du béton. Cela peut s'écrire avec la formule suivante.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

où :

d_b est le diamètre de la barre de ferraillage, _ld est la longueur de développement, f_bu est la résistance d'adhérence, f_y est la limite d'élasticité du ferraillage, et A_s est l'aire de la barre de ferraillage.

À partir de ce qui précède, la formule de calcul de la résistance d'adhérence peut être facilement dérivée :

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

La longueur de développement l_d est ensuite déterminée selon ACI 318-19 Tableau 25.4.2.3 comme suit :

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

où :

C = 25 (2,1 pour le système métrique) pour les barres n° 6 et inférieures et les fils déformés, C = 20 (1,7 pour le système métrique) pour les barres n° 7 et supérieures, λ = 1,0 pour le béton de poids normal, ψ_t, ψ_e, ψ_g sont déterminés selon ACI 318-19 Tableau 25.4.2.3. 

Seul le ferraillage non revêtu ou zingué (galvanisé) est pris en charge, donc ψ_e = 1,0. ψ_g est automatiquement déterminé à partir de la nuance du ferraillage, et ψ_t est automatiquement dérivé de la position du ferraillage dans le modèle et de la direction de bétonnage qui peut être définie dans l'application pour chaque élément de projet comme suit.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad Direction of concreting}}}$$

Ces vérifications sont effectuées par rapport aux valeurs limites appropriées pour les parties respectives de la structure (c'est-à-dire que malgré une nuance unique pour le béton et le ferraillage, les diagrammes contrainte-déformation finaux différeront dans chaque partie de la structure en raison des effets de raidissement en traction et d'adoucissement en compression).

Ancrage -  Force totale

Force totale F_tot et force limite F_lim

La force totale F_tot est un résultat de l'analyse par éléments finis et peut être définie de deux manières.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

où A_s est l'aire de la barre de ferraillage et f_s est la contrainte dans la barre.

Ou comme la somme de la force d'ancrage F_a et de la force d'adhérence F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

où F_a est la force réelle dans le ressort d'ancrage et F_bond est la force d'adhérence qui peut être obtenue en intégrant la contrainte d'adhérence τ_b sur la longueur de la barre de ferraillage l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s est le périmètre de la barre de ferraillage.

La force limite F_lim est la force maximale dans l'élément de la barre en tenant compte de la résistance de la barre et également des conditions d'ancrage (adhérence entre le béton et le ferraillage et crochets d'ancrage, boucles, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

où C_s est le périmètre de la barre de ferraillage, et l est la longueur depuis le début de la barre jusqu'au point d'intérêt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

où F_lim,add est la force supplémentaire calculée à partir de l'amplitude de l'angle entre les éléments voisins. F_lim,2 doit toujours être inférieure à F_u.

Les types d'ancrage disponibles dans le CSFM comprennent une barre droite (c'est-à-dire sans réduction à l'extrémité de l'ancrage), un crochet à 90 degrés, un crochet à 180 degrés, une adhérence parfaite et une barre continue. Tous ces types, ainsi que les coefficients d'ancrage β respectifs, sont présentés à la Fig. 47 pour le ferraillage longitudinal. Les valeurs des coefficients d'ancrage adoptés sont dérivées de la comparaison de l'équation de la section ACI 318-19 25.4.3.1 et des équations tirées de la section ACI 318-19 25.4.2.3. Il convient de noter que, malgré les différentes options disponibles, le CSFM distingue trois types d'extrémités d'ancrage : (i) aucune réduction de la longueur d'ancrage, (ii) une réduction de 30 % de la longueur d'ancrage dans le cas d'un ancrage normalisé, et (iii) une adhérence parfaite.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Le coefficient d'ancrage pour les étriers est toujours - β = 1,0.

Afin de se conformer à ACI, le ressort d'ancrage doit être utilisé dans le calcul ; le ressort d'ancrage est modifié par le coefficient β, de sorte que l'utilisateur doit utiliser l'un des types d'ancrage disponibles lors de la définition des conditions de début et de fin du ferraillage. 

Béton - Résistance

Le modèle de béton implémenté pour les calculs de résistance dans le CSFM 3D est basé sur les hypothèses de calcul à la résistance de l'AASHTO LRFD relatives à l'équilibre et à la compatibilité des déformations. Conformément à l'AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.2.1, la résistance à la traction du béton est négligée.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad Diagramme contrainte-déformation du béton pour l'analyse de résistance}}}$$

L'implémentation du CSFM 3D dans IDEA StatiCa Detail ne prend pas en compte un critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c'est-à-dire qu'après avoir atteint la contrainte de pic, un palier plastique est considéré avec ε_c0 d'une valeur maximale de 5 %, tandis que l'AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.2.1 suppose une déformation ultime inférieure à 0,3 %). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures rompant en compression. Cependant, la résistance est correctement prédite lorsque l'augmentation de la fragilité du béton avec l'augmentation de sa résistance est prise en compte au moyen du facteur de réduction $\eta_{fc}$ défini dans le Model Code 2010 du fib comme suit :

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

où :

α₁ est le facteur de réduction de la résistance en compression du béton défini dans l'AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.2.2. Lors de l'utilisation d'un diagramme contrainte-déformation parabole-rectangle, il est nécessaire de réduire la contrainte de compression maximale par ce facteur. Cela permet de moyenner la répartition des contraintes dans la zone comprimée de telle sorte que la résistance en compression obtenue soit inférieure ou égale à la résistance en compression calculée à l'aide d'un diagramme contrainte-déformation avec un palier plastique décroissant.

Φ_c est le facteur de réduction de résistance pour le béton. La valeur par défaut est définie conformément à l'AASHTO LRFD (2024) Article 5.5.4.2.

f'_c est la résistance du béton en cylindre (en MPa pour la définition de $\eta_{fc}$).

Ferraillage

Un diagramme contrainte-déformation parfaitement élasto-plastique avec un point de limite d'élasticité défini est considéré pour le ferraillage non précontraint. Voir l'AASHTO LRFD (2024) Article 5.4.3. La définition de ce diagramme ne nécessite de connaître que les propriétés de base du ferraillage - résistance et module d'élasticité.

Le diagramme contrainte-déformation du ferraillage peut également être défini par l'utilisateur, mais dans ce cas, il est impossible de prendre en compte l'effet de raidissement en traction. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49 \qquad Diagramme contrainte-déformation du ferraillage}}}$$

où :

Φ_s est le facteur de réduction de résistance pour le ferraillage. La valeur par défaut est définie conformément à l'AASHTO LRFD (2024) Article 5.5.4.2.

f_y est la limite d'élasticité du ferraillage

E_s module d'élasticité du ferraillage

10 % est sélectionné comme déformation limite à laquelle le calcul est arrêté. Ceci est considéré comme sécuritaire sur la base de l'ASTM A955/A955M-20c Article 7.

Le raidissement en traction (Fig. 50)  est pris en compte automatiquement en modifiant la relation contrainte-déformation d'entrée de l'armature nue afin de saisir la rigidité moyenne des barres noyées dans le béton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Schéma du raidissement en traction.}}}$$

La Méthode du Champ de Contraintes Compatible est conforme aux codes de calcul modernes. Comme les modèles de calcul utilisent uniquement des propriétés de matériaux standard, le format des coefficients partiels de sécurité prescrit par les codes de calcul peut être appliqué sans aucune adaptation. Ainsi, les charges d'entrée sont majorées, et les propriétés caractéristiques des matériaux sont réduites à l'aide des coefficients de réduction de résistance respectifs, exactement comme dans l'analyse conventionnelle du béton.

Les valeurs des coefficients de réduction de résistance sont prescrites dans l'AASHTO LRFD (2024) Article 5.5.4 et pour les ancrages dans l'ACI 318-19 Chapitre 17 et l'AASHTO LRFD (2024) Article 6.5.4.2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Réglage des coefficients de réduction de résistance dans IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Les coefficients de charge et les combinaisons de charges doivent être définis selon les spécifications AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Article 3.4.1 et Tableaux 3.4.1-1 à 3.4.1-6. L'AASHTO LRFD spécifie explicitement les combinaisons de charges à l'état limite de résistance (Strength I à Strength V), y compris les coefficients de charge correspondants pour chaque cas.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Réglage des coefficients de charge dans Idea StatiCa Detail.}}}$$

Les différentes vérifications requises par l'AASHTO sont évaluées sur la base des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications sont effectuées pour la résistance du béton, la résistance du ferraillage et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).

Résistance - Béton

La résistance du béton en compression est évaluée comme le rapport entre la contrainte principale équivalente maximale f_c,eq (aussi σ_c,eq dans le texte précédent) obtenue à partir de l'analyse par éléments finis et la valeur limite f'_c,lim.

La contrainte principale équivalente exprime la contrainte uniaxiale équivalente pour un état de contrainte tri-axial général.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

La valeur f_c,eq peut donc être directement comparée aux limites de résistance uniaxiale. Cette expression est dérivée de l'implémentation de la théorie de plasticité de Mohr-Coulomb, en supposant de manière conservative un angle de frottement interne φ = 0°.

Résistance - Ferraillage

La résistance du ferraillage est évaluée à la fois en traction et en compression comme le rapport entre la contrainte dans le ferraillage au niveau des fissures f_s et la valeur limite spécifiée f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Résistance - Ancrages

Les ancrages sont vérifiés pour les contraintes normales de manière similaire au ferraillage, où la valeur limite f_y,lim est déterminée. 

Pour faciliter la navigation dans le texte qui suit, nous allons d'abord diviser les ancrages en trois groupes en termes de vérification normative selon l'AASHTO ou l'ACI.

Groupe 1

• Types d'ancrage

  • Plaque coulée en place
  • Platine de base - Entretoise = directe 
  • Platine de base - Entretoise = joint de mortier - épaisseur du mortier inférieure à 0,5 fois le diamètre de l'ancrage
  • Ancrage unique avec longueur projetée inférieure à 0,5 fois le diamètre de l'ancrage
• Vérifications normatives des ancrages (AASHTO / ACI)

  • Traction/compression

    • Tous types d'ancrage en traction – ACI 318-19 chap. 17.6.1.2  
    • Tous types d'ancrage en compression – AASHTO article 6.9.2
  • Cisaillement sans bras de levier

    • Matériau du boulon – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b)
    • Goujons à tête – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (a)
    • Ferraillage – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b)
  • Interaction de la traction et du cisaillement - ACI 318-19 chap. 17.8

Groupe 2

• Types d'ancrage

  • Platine de base - Entretoise = joint de mortier - épaisseur du mortier supérieure à 0,5 fois le diamètre de l'ancrage
• Vérifications normatives des ancrages (AASHTO / ACI)

  • Traction/compression

    • Tous types d'ancrage en traction – ACI 318-19 chap. 17.6.1.2  
    • Tous types d'ancrage en compression – AASHTO article 6.9.2
  • Cisaillement avec bras de levier

    • Matériau du boulon – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b) + chap. 17.7.1.2.1.
    • Goujons à tête – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (a) + chap. 17.7.1.2.1.
    • Ferraillage – ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b) + chap. 17.7.1.2.1.
  • Interaction de la traction et du cisaillement - ACI 318-19 chap. 17.8

Groupe 3

• Types d'ancrage

  • Platine de base - Entretoise = vide
  • Ancrage unique avec longueur projetée supérieure à 0,5 fois le diamètre de l'ancrage
• Vérifications normatives des ancrages (AASHTO / ACI)

  • Traction/compression (avec flambement)

    • Tous types d'ancrage en traction – ACI 318-19 chap. 17.6.1.2
    • Tous types d'ancrage en compression – AASHTO LRFD article 6.9.2
  • Flexion

    • Pour tous types d'ancrage – AAHTO LRFD article 6.12.2.2.7
  • Cisaillement

    • Pour tous types d'ancrage – AASHTO LRFD article 6.10.9
  • Interaction de l'effort axial et de la flexion

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Résistance en traction de l'ancrage selon ACI 318-19 chap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

où :

• ϕ_a,t  – facteur de réduction de résistance pour les ancrages en traction selon ACI 318-19 chap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – section de contrainte en traction (réduite par le filetage)
• f_uta – résistance en traction spécifiée de l'acier de l'ancrage, ne devant pas dépasser 1,9 f_ya et 860 MPa

Résistance en cisaillement de l'ancrage selon ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (a)

La résistance de l'acier en cisaillement pour les goujons à tête est déterminée comme suit :

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

où :
ϕ_a,v – facteur de réduction de résistance pour les ancrages en traction selon ACI 318-19 chap. 17.5.3 (a)
A_se,V – section de contrainte en traction (réduite par le filetage)
f_uta – résistance en traction spécifiée de l'acier de l'ancrage, ne devant pas dépasser 1,9 f_ya et 860 MPa

Résistance en cisaillement de l'ancrage selon ACI 318-19 chap. 17.7.1.2 (b)

La résistance de l'acier en cisaillement pour les ancrages en matériau de boulon et ferraillage est déterminée comme suit :

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

où :

• ϕ_a,v  – facteur de réduction de résistance pour les ancrages en traction selon ACI 318-19 chap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – section de contrainte en traction (réduite par le filetage)
• f_uta – résistance en traction spécifiée de l'acier de l'ancrage, ne devant pas dépasser 1,9 f_ya et 860 MPa

Résistance en cisaillement d'un ancrage connecté à une base avec mortier - ACI 318-19 chap. 17.7.1.2.1

Si des ancrages sont utilisés avec des joints de mortier rapporté (Groupe 2), la résistance de calcul calculée conformément au 17.7.1.2 doit être multipliée par 0,80.

Interaction en traction et cisaillement selon ACI 318-19 chap. 17.8

Il est permis de négliger l'interaction entre la traction et le cisaillement si (a) ou (b) est satisfait.
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Si N_ua/(ϕN_n) > 0,2 pour la résistance dominante en traction et V_ua/(ϕV_n) > 0,2 pour la résistance dominante en cisaillement, alors l'Éq. (17.8.3) doit être satisfaite.

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Résistance en compression de l'ancrage selon AASHTO LRFD Article 6.9.2

$$P_r =\phi_{a,c}\, P_{n}$$

où :

• ϕ_a,c  – le facteur de réduction de résistance pour les ancrages en compression selon AASHTO LRFD article 6.5.4.2

• Si $\dfrac{P_o}{P_e} \le 2.25$,  alors : $P_{n}=\left(0.658^{\,P_o/P_e}\right)P_o$,   Sinon : $P_n=0.877\,P_e$

• A_g​ – section brute de l'élément (in²)
• F_y – limite d'élasticité minimale spécifiée du type d'acier utilisé (ksi)
• $P_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{K\,l}{r_s}\right)^2}A_g$ - résistance critique élastique au flambement (kip)
• E – module d'élasticité de l'acier (ksi)
• K = 2 – facteur de longueur effective selon l'article 4.6.2.5 
• l – longueur non contreventée dans le plan de flambement (in) 
• $r_s=\sqrt{\dfrac{I}{A_g}}$ – rayon de giration
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – moment d'inertie du boulon 

Résistance en flexion de l'ancrage selon AASHTO LRFD Article 6.12.2.2.7

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

où :

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – module plastique de section du boulon
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – module élastique de section du boulon