V praxi se inženýři mohou setkat s různými typy konečných prvků (od jednoduchých 1D prutových prvků až po složitější 3D objemové prvky), které se používají v celé řadě aplikací pro analýzu a návrh konstrukčních prvků. Společným rysem většiny výpočtů v praxi bývá lineární chování modelů, jehož výhodou je nepochybně rychlost, přehlednost a prostě fakt, že pro velké množství úloh je toto řešení zcela dostačující.

Zejména ve světě betonových konstrukcí se často stává, že lineární přístup není dostatečný, jednoduše proto, že po vzniku prvních trhlin v zatíženém prvku dochází k redistribuci napětí a úloha se stává výrazně nelineární.

Pro tyto případy je nutné zvolit jeden ze sofistikovanějších přístupů. Pro 1D případy lze často najít analytické metody definované přímo v normách. Například pro 2D rovinné prvky a oblasti diskontinuit (D-oblasti) lze sestavit oblíbené modely vzpěra-táhlo, nebo lze použít sofistikovanější metodu napěťových polí implementovanou v aplikaci IDEA StatiCa Detail, CSFM.

Pokud se však inženýr setká s úlohou, kterou nelze zjednodušit na rovinné chování, jsou možnosti velmi omezené. Samozřejmě lze sestavit 3D model vzpěra-táhlo nebo použít poloprofesionální software pro přesnou analýzu. Tyto postupy jsou často časově náročné, nejsou v souladu s normami a vyžadují inženýra znalého pokročilých metod modelování.

Z tohoto důvodu společnost IDEA StatiCa vyvinula a implementovala do aplikace Detail metodu 3D CSFM (Compatible Stress Field Method). 3D CSFM rozšiřuje zavedenou metodu CSFM do třetího rozměru a nabízí rychlé a normově souladné řešení, které je primárně určeno běžnému inženýrovi a dává mu jedinečnou novou možnost bezpečně řešit složité detaily betonových konstrukcí.

3D CSFM definuje chování betonu na základě teorie plasticity Modified Mohr-Coulomb pro monotónní zatížení. Metoda uvažuje hlavní napětí betonu v tlaku a napětí ve výztuži (σ_sr) v trhlinách, přičemž zanedbává tahovou pevnost betonu (odříznutí tahu), s výjimkou jejího ztužujícího vlivu na výztuž (Tahové zpevnění).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Pruty výztuže jsou propojeny s objemovými konečnými prvky betonu prostřednictvím prvků soudržnosti, což umožňuje prokluz mezi betonem a výztuží. Je třeba poznamenat, že 3D CSFM není vhodné pro simulaci prostého betonu z důvodu absence tahu, což může vést ke zkreslenému přetvoření a divergenci modelu. Obecně teorie Mohr-Coulomb zahrnuje dvě základní vlastnosti řídící vývoj plastické plochy v tlaku a částečně v tahu: úhel vnitřního tření φ a parametr koheze c. 3D CSFM předpokládá nulový úhel vnitřního tření (obr. 1e), což vede ke konzervativnímu návrhu, protože plastická plocha se podobá modelu Tresca, který je nezávislý na prvním invariantu napětí.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

Beton 

Prezentovaný materiálový model je vícerovinný plastický model daný kombinací modelů Mohr-Coulomb a Rankine pro monotónní zatížení. Je důležité poznamenat, že tento model neřeší odlehčení, proto se stavové proměnné neukládají, jak by tomu bylo u klasických modelů plasticity používaných pro cyklické zatížení.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

Jak již bylo zmíněno, materiálový model je určen pro použití v aplikacích, které počítají odezvu železobetonu (není vhodný pro prostý beton). Je to dáno vyloučením tahu v betonu. Model proto není vhodný ani pro konstrukční prvky, u kterých nejsou splněna návrhová pravidla pro železobeton, jako je minimální stupeň vyztužení, maximální rozteč prutů apod. Je třeba také dodat, že z důvodu numerické stability je v modelu definována velmi malá tahová kapacita. Tahová část je omezena rovinami odpovídajícími modelu Rankine.

3D CSFM v IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení z hlediska přetvoření pro beton v tlaku (tj. uvažuje nekonečně plastickou větev po dosažení vrcholového napětí). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí porušených tlakem. Jejich mezní únosnost je však správně predikována, pokud se zohlední nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností pomocí redukčního součinitele 𝜂_𝑓𝑐 definovaného v fib Model Code 2010 následovně:

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

f_c je charakteristická válcová pevnost betonu (v MPa pro definici $\eta_{fc}$).

f_c,red je poté porovnáváno s ekvivalentním hlavním napětím σ_c,eq v betonu, které bude definováno dále, samozřejmě s ohledem na všechny součinitele bezpečnosti předepsané normou.

Podrobný popis betonového modelu naleznete na následujícím odkazu:

• Concrete Material Model for 3D Detail

Výztuž

Bilineární diagram napětí-přetvoření pro výztužné pruty, definovaný návrhovými normami (obr. 1d), představuje idealizovaný model. Tento model vyžaduje znalost základních vlastností výztuže ve fázi návrhu, konkrétně třídy pevnosti a tažnosti. Uživatelé mají také možnost definovat vlastní vztah napětí-přetvoření.

Tahové zpevnění je zohledněno úpravou vztahu napětí-přetvoření samostatného výztužného prutu tak, aby zachycoval průměrnou tuhost prutů zabudovaných do betonu (ε_m) (obr. 1b).

Kotvení

Soudržnost s prokluzem mezi výztuží a betonem je do modelu konečných prvků zavedena uvažováním zjednodušeného tuhoplastického konstitutivního vztahu uvedeného na (obr. 1f), kde f_bd je návrhová hodnota (redukovaná hodnota) mezního napětí soudržnosti stanoveného návrhovou normou pro dané podmínky soudržnosti.

Jedná se o zjednodušený model, jehož jediným účelem je ověření požadavků na soudržnost podle návrhových norem (tj. kotvení výztuže). Snížení kotevní délky při použití háků, smyček a podobných tvarů prutů lze zohlednit definováním určité kapacity na konci výztuže, jak bude popsáno dále.

Kotvy

Prvek kotvy je definován tak, aby byl schopen přenášet normálové tahové nebo tlakové síly, jakož i smykové síly, s uvažováním ohybové tuhosti. 

K dispozici jsou následující typy kotev:

• Předem zabetonované kotvy

  • Výztuž
  • Podložka
  • Spřahovací trn
• Předem zabetonovaná výztuž

  • Výztuž
  • Závitové tyče

Předem zabetonované – výztuž

Modelováno jako žebrovaná výztuž zabudovaná do betonu. Pevnost v soudržnosti se počítá podle vybraných pravidel normy stejným způsobem jako u standardní výztuže. Na konci kotvy lze definovat typ kotvení, který funguje stejně jako u výztuže – aplikuje se kotevní pružina s β-součinitelem nastaveným podle zvolené normy. K dispozici jsou tři geometrické tvary: rovný, ve tvaru L, ve tvaru U.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

Předem zabetonované – podložka a spřahovací trn

Podložka a hlava spřahovacího trnu jsou modelovány jako plechový/skořepinový prvek z odpovídajícího materiálu připojený přímo k dříku kotvy. Zatížení přenáší do betonu prostřednictvím kontaktu pouze v tlaku. K dispozici jsou tvary: kruhový a čtvercový (u spřahovacího trnu pouze kruhový) s upravitelnými rozměry. Model podložky a hlavy je elastický a není posuzován na únosnost. 

Na úrovni modelu konečných prvků je přímo posuzováno vytažení kotvy. Tlakový kontakt má nastavena stop kritéria tak, aby nebylo možné přenést do betonu vyšší kontaktní napětí, než je předepsáno zvolenou normou. V praxi to znamená, že pokud by byla kotva zatížena silou, která nevyhovuje posouzení na vytažení, výsledkem by bylo předčasné ukončení výpočtu, protože by při dalším zatěžování došlo k překročení tohoto stop kritéria.

Dřík kotvy má nulovou pevnost v soudržnosti – veškeré zatížení je do betonu přenášeno prostřednictvím podložky nebo hlavy.

Dodatečně instalované – výztuž a závitová tyč

Navrženo jako pruty instalované do vyvrtaných otvorů a spojené lepidlem. Inženýr zadává návrhovou pevnost v soudržnosti přímo z technické specifikace lepicího produktu.

Více informací o připojení jednotlivých typů kotev k patní desce nebo zabetonovanému plechu naleznete v kapitole Typy konečných prvků - Prvky pro přenos zatížení. 

V následující kapitole se podíváme na to, jak je teorie Mohr-Coulomb implementována v 3D CSFM. Vysvětlíme, jak je zohledněn efekt sevření (triaxiální napětí) a jak se vypočítává ekvivalentní hlavní napětí σ_c,eq, které se používá k určení únosnosti z hlediska betonu.

Úvod do teorie

Mohr–Coulombova teorie je matematický model popisující chování křehkých materiálů na smykové a normálové napětí. Většina klasických inženýrských materiálů se řídí tímto pravidlem alespoň v části své smykové porušovací obálky. Obecně se teorie vztahuje na materiály, u nichž pevnost v tlaku výrazně převyšuje pevnost v tahu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}$$

Ve stavebním inženýrství se používá k určení mezního zatížení a rovněž úhlu porušení pro posun porušovací plochy v betonu a podobných materiálech. Coulombova hypotéza tření se používá k určení kombinace smykového a normálového napětí, která způsobí porušení materiálu. Mohrova kružnice se používá k určení, která hlavní napětí vyvolají tuto kombinaci smyku a normálového napětí, a k určení úhlu roviny, ve které k tomu dojde. Podle principu normality bude napětí zavedené při porušení kolmé k přímce popisující podmínku porušení. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}$$

Lze ukázat, že u materiálu porušujícího se podle Coulombovy hypotézy tření bude posun zavedený při porušení svírat s přímkou porušení úhel rovný úhlu tření. To umožňuje určit pevnost materiálu porovnáním vnější mechanické práce vyvolané posunem a vnějším zatížením s vnitřní mechanickou prací vyvolanou přetvořením a napětím na přímce porušení. Na základě zákona zachování energie musí být součet těchto hodnot nulový, což umožňuje vypočítat mezní zatížení konstrukce.

Implementace ve 3D CSFM

Obecně platí, že pro daný úhel vnitřního tření betonu, který se podle Reference [1], [2], [3], [4] pohybuje kolem φ = 30–40°, lze sestrojit Mohrovy kružnice pevnosti betonu v tahu a tlaku tak, jak je znázorněno na obrázku 6.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

Kde f_c je pevnost betonu v tlaku, f_ct je pevnost betonu v tahu, φ je úhel vnitřního tření a σ_c1, σ_c3 jsou hlavní napětí betonu při triaxiálním tlaku.

Lze si všimnout, že s nárůstem hlavního napětí σ_c3 roste i maximální možný rozdíl mezi hodnotami σ_c3 a σ_c1, který definujeme jako maximální σ_c,eq (viz níže). Tento rozdíl odpovídá dvojnásobku deviátorového napětí, definovaného v literatuře jako poloměr Mohrových kružnic.

V 3D CSFM implementovaném v IDEA StatiCa Detail je úhel vnitřního tření uvažován jako φ = 0°, jak ukazuje obrázek 7.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

Praktickým důsledkem této implementace je, že maximální rozdíl mezi σ_c3 a σ_c1 je konstantní s rostoucím σ_c3. 

Ekvivalentní hlavní napětí vyjadřuje ekvivalentní jednoosé napětí pro obecný triaxiální stav napjatosti.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Hodnotu σ_c,eq lze proto přímo porovnat s jednoosými limitními hodnotami pevnosti podle norem.

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Kde σ_c,lim je návrhová (redukovaná) jednoosá pevnost betonu f_c.

Porovnáním obrázku 6, kde je použit skutečný úhel vnitřního tření, a obrázku 7, který ukazuje implementaci teorie Mohr-Coulomb s nulovým úhlem vnitřního tření, je patrné, že přístup zvolený pro výpočty v aplikaci Detail je velmi konzervativní pro posouzení triaxiálního stavu napjatosti.

Pro lepší pochopení oblastí ovlivněných triaxiálním tlakovým napětím bylo do aplikace IDEA StatiCa Detail přidáno vyjádření nárůstu efektivní pevnosti materiálu v důsledku triaxiálního tlaku jako poměr σ_c3/σ_c,lim. Tento poměr naleznete v normovém posouzení pevnosti.

V Doplňkových výsledcích může uživatel také nalézt součinitel κ, který vyjadřuje triaxialitu jiným způsobem. 

$$\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}$$

Normové posouzení pevnosti betonu lze pak přepsat jako:

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Z předchozího vyplývá, že pokud je prvek vystaven hydrostatickému napětí – σ_c3=σ_c2=σ_c1, bude ekvivalentní hlavní napětí σ_c,eq nulové a součinitel kappa dosáhne nekonečna.

Více se dozvíte zde: Tri-axial stress – the active confinement effect

Rovnice rovnováhy

Teorie malých deformací umožňuje sestavit rovnici rovnováhy na nedeformovaném objemu s využitím přístupu prvního řádu. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}$$

Rovnice kompatibility

Tuhé těleso se skládá z infinitezimálních objemů neboli hmotných bodů, které jsou navzájem propojeny bez mezer či překryvů. Aby při deformaci kontinua nedocházelo ke vzniku mezer nebo překryvů, musí být splněny matematické podmínky.

Konstitutivní rovnice

Konstitutivní rovnice popisující chování 3D prvků hrají klíčovou roli při analýze chování materiálu ve stavební mechanice. Tyto rovnice jsou formulovány tak, aby zohledňovaly nelineární izotropní chování, které platí pro prvky typu solid block v IDEA StatiCa Detail. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}$$

3D CSFM uvažuje spojitá napěťová pole v betonu (3D konečné prvky), doplněná diskrétními prvky typu „rod“ představujícími výztuž (1D konečné prvky). Výztuž tedy není difúzně vnořena do 3D konečných prvků betonu, ale je explicitně modelována a propojena s nimi. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}$$

Model nelineární (neelastické) analýzy metodou konečných prvků je vytvořen z několika typů konečných prvků použitých pro modelování betonu, výztuže a soudržnosti mezi nimi. Prvky betonu a výztuže jsou nejprve zasíťovány nezávisle na sobě a následně propojeny pomocí víceuzlových vazeb (MPC prvky). To umožňuje umístit výztuž do libovolné polohy, nikoli pouze do uzlů čtyřstěnné sítě. Pro ověření kotevní délky jsou mezi výztuž a MPC prvky vloženy pružinové prvky reprezentující soudržnost a kotevní konec.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}$$

Beton

Beton je analyzován pomocí smíšených čtyřstěnných prvků s uzlovými rotacemi. Čtyřstěnné prvky umožňují vytvořit síť oblastí libovolné topologie, přičemž implementovaná formulace zaručuje přesné výsledky přetvoření (bez fiktivního smykového napětí známého jako efekt smykového zablokování) i pro hrubou síť, která by nebyla vhodná pro formulaci lineárních čtyřstěnných prvků. 

Je využita plná integrace. To znamená, že každý prvek je vybaven čtyřmi integračními body umístěnými uvnitř objemu. Taková integrace poskytuje přesné pole přetvoření a napětí, což umožňuje dostatečné vyhodnocení a prezentaci výsledků v celém objemu. Následně jsou na základě hodnoty v integračním bodě stanovena kritéria pro zastavení výpočtu.

Výztuž

Výztužné pruty jsou modelovány pomocí dvouuzlových 1D prvků typu „rod“ (CROD), které mají pouze osovou tuhost. Tyto prvky jsou spojeny se speciálními prvky „soudržnosti“, které byly vyvinuty pro modelování prokluzu mezi výztužným prutem a okolním betonem. Tyto prvky soudržnosti jsou následně propojeny pomocí MPC (víceuzlových vazeb) prvků se sítí reprezentující beton. Tento přístup umožňuje nezávislé vytvoření sítě výztuže a betonu, přičemž jejich vzájemné propojení je zajištěno později.

Prvky soudržnosti

Kotevní délka je ověřována implementací smykových napětí soudržnosti mezi betonovými prvky (3D) a prvky výztužných prutů (1D) v modelu metody konečných prvků. Za tímto účelem byl vyvinut konečný prvek typu „soudržnost“.

Prvek soudržnosti je definován jako skořepinový konečný prvek spojený první vrstvou s prvky reprezentujícími výztuž a druhou vrstvou s betonovou sítí prostřednictvím víceuzlových vazeb (MPC prvky). Je třeba poznamenat, že prvek soudržnosti je v tomto článku vždy zobrazen s nenulovou výškou, která je však v modelu definována jako nekonečně malá.

Chování tohoto prvku je popsáno napětím soudržnosti, τ_b, jako bilineární funkcí prokluzu mezi horním a dolním uzlem, δu, viz (Obr. 12).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}$$

Modul elastické tuhosti vztahu soudržnost-prokluz, Gb, je definován následovně:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

k_g            součinitel závislý na povrchu výztužného prutu (výchozí hodnota kg = 0,2)

E_c            modul pružnosti betonu (v případě EN uvažován jako Ecm)

Ø             průměr výztužného prutu

Návrhové hodnoty (redukované hodnoty) mezního smykového napětí soudržnosti, f_bd, uvedené v příslušných zvolených návrhových normách EN 1992-1-1 nebo ACI 318-19, se používají k ověření kotevní délky. Zpevnění plastické větve se ve výchozím nastavení počítá jako Gb/105.

Kotevní pružina

Provedení kotevních konců výztužných prutů (tj. ohyby, háky, smyčky…), které splňuje předpisy návrhových norem, umožňuje redukci základní kotevní délky prutů (l_b,net) o určitý součinitel β (dále označovaný jako „kotevní součinitel“). Návrhová hodnota kotevní délky (lb) se poté vypočítá následovně:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}$$

Redukce kotevní délky je zahrnuta v modelu metody konečných prvků pomocí pružinového prvku na konci prutu (Obr. 13a), který je definován konstitutivním modelem znázorněným na (Obr. 13b). Maximální síla přenášená touto pružinou (F_au) je:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

kde:

β             kotevní součinitel podle typu kotvení

A_s            průřezová plocha výztužného prutu

f_yd           návrhová hodnota (redukovaná hodnota) meze kluzu výztuže

Patní deska

Patní deska je modelována jako elastický skořepinový prvek. Ocelový materiál použitý pro patní desky je definován na kartě Materiály. Jedinou fyzikální vlastností je modul pružnosti E.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad Definice materiálu patní desky}}}$$

Patní deska může být zatížena bodovým zatížením (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) a skupinou sil (Fx, Fy, Fz), které se používají zejména pro zatížení modelů exportovaných z aplikace IDEA StatiCa Connection. Je třeba poznamenat, že bodová zatížení a bodové momenty zatěžují přímo odpovídající uzel patní desky. To znamená, že nedochází k žádné redistribuci, pouze prostřednictvím tuhosti patní desky. 

Tato implementace umožňuje importovat účinky zatížení z aplikace IDEA StatiCa Connection, které jsou aplikovány na patní desku v místě jednotlivých konečných prvků svaru s hodnotou a směrem určeným z obecného napětí daného konečného prvku svaru. Více se lze dočíst v příslušné kapitole tohoto dokumentu.

Druhou možností zatížení je Pahýl — reprezentující krátkou část sloupu nad patní deskou. Pahýl je modelován jako konstrukce z elastických skořepinových prvků a chová se jako fyzikálně přesné rozhraní mezi vnitřními silami a plechem. Uživatel vybírá průřez pahýlu ze standardní databáze průřezů. Sada 6 složek vnitřních sil (síly a momenty) je aplikována v jednom bodě na spodní ploše pahýlu — tj. v patě sloupu. Podpory přenášejí síly na horní plochu pahýlu, odkud jsou přirozeně redistribuovány přes pahýl do patní desky, kotev a betonu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad Přenos zatížení přes pahýl}}}$$

Mechanismus přenosu smyku (z patní desky do betonového bloku)

Mezi patní deskou a betonem je definován třecí kontakt pouze pro tlak. Pro přenos smyku si uživatel může vybrat ze tří možností:

• Kotvami
• Třením
• Smykovou zarážkou

Software neumožňuje kombinaci těchto mechanismů přenosu smyku. 

Součinitel tření by měl být zadán jako návrhová (redukovaná) hodnota. V případě, že výsledná smyková síla F_xy překročí tlakovou sílu F_z vynásobenou součinitelem tření μ, výpočet se zastaví a ne všechna zatížení budou na model aplikována. Podmínka je zapsána následovně:

$$\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1$$

Toto lze vidět na následujícím příkladu, kde jsou uvažovány dva zatěžovací stavy. 

• LC1 - Stálé zatížení - F_z = 100 kN
• LC2 - Proměnné zatížení- F_x = 100 kN

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad Vstup zatížení pro příklad vysvětlující přenos smyku třením}}}$$

V prvním výpočetním kroku je aplikováno veškeré stálé zatížení. Poté je postupně aplikováno proměnné zatížení, dokud nedosáhne hodnoty tlakového zatížení vynásobené součinitelem tření.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Výsledky z příkladu vysvětlujícího přenos smyku třením}}}$$

Graf na obrázku 18 definuje chování třecího kontaktu mezi patní deskou a betonem.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad Graf síla-posun popisující chování třecího kontaktu}}}$$

Hodnota F_zμ se liší pro každý přírůstek výpočtu, zatímco hodnota maximálního smykového přetvoření u_xy je konstantní. 

Pokud jsou tlaková normálová síla F_z a smyková síla F_xy zadány v rámci jednoho typu zatěžovacího stavu (např. pouze stálé), a podmínka F_xy / (F_zμ) ≤ 1 není splněna, na model nebude aplikováno žádné zatížení, protože podmínka není splněna v žádném přírůstku výpočtu.

Smyková zarážka je spojena se sítí betonu podporami, které umožňují přenos normálového napětí pouze v tlaku. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Přenos smyku pomocí smykové zarážky}}}$$

Smyková zarážka je modelována z elastických skořepinových prvků, kde materiál definuje modul pružnosti E.

Výsledky nejsou vyhodnocovány a zobrazovány pro patní desku ani pro smykovou zarážku.

 Možnosti patní desky  (podlití, malta)

K dispozici je následující sada možností podlití, plně v souladu s aplikací Connection.

• Přímé
• Maltová spára – matice shora
• Maltová spára – matice shora i zdola
• Mezera

Vrstva malty je modelována jako skořepinový prvek, přičemž je zohledněna její tuhost. Je třeba poznamenat, že skořepinové prvky jsou nestlačitelné ve směru své tloušťky. To pomáhá redistribuovat lokální síly do betonu a platí to pro typické tloušťky podlití používané v praxi - 25-50 mm.

Rozlišení mezi maticemi pouze shora (kloubové propojení mezi kotvou a patní deskou) a shora i zdola (tuhé propojení mezi kotvou a patní deskou) silně ovlivňuje smykovou únosnost z pohledu porušení betonu v otlačení.

Kotvy

Konečné prvky reprezentující kotvy jsou modelovány tak, aby byly schopny přenášet normálové a smykové síly do betonu, přičemž je zohledněna i ohybová tuhost kotev. K modelování prokluzu mezi kotvou a okolním betonem jsou použity stejné prvky soudržnosti a MPC prvky jako pro výztuž. S tím rozdílem, že:

• Pro dodatečně instalované (lepené) kotvy je nutné zadat návrhovou pevnost soudržnosti.
• Pro podložky a spřahovací trny je soudržnost podél dříku kotvy zanedbána. Veškeré osové zatížení je pak přenášeno do betonu přes podložku nebo hlavu kotvy.

Kotvy mohou být propojeny s patními deskami. Pro toto propojení je použita plně nelineární podpora spojující konec kotvy a uzel patní desky. Tato podpora umožňuje řídit všechny stupně volnosti, aby bylo zajištěno například to, že kotvy nepřenášejí žádnou tlakovou sílu z patní desky, nebo že kotvou není přenášen žádný smyk při modelování smykové zarážky atd.

Vlastnosti propojení s patní deskou pro kotvy umožňují uživateli řídit, zda a jakým způsobem bude kotva propojena s patní deskou pomocí výše zmíněné podpory. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad Nastavení propojení s patní deskou}}}$$

Zaškrtávací políčko Přenos smyku lze použít k řízení toho, zda budou kotva a patní deska propojeny z hlediska smyku, či nikoliv. Je třeba poznamenat, že kombinace mechanismů přenosu smyku není podporována, takže pro přenos třením a smykovou zarážkou je toto políčko irelevantní. Naopak pro přenos smyku pomocí kotev umožňuje toto pole vyloučit některé kotvy z přenosu smyku.

Zaškrtávací políčko Přenos osových sil lze použít k řízení toho, zda budou kotva a patní deska propojeny ve směru osy, či nikoliv. To se používá především pro export z funkce Connection (viz příslušná kapitola). Pro manuální modelování dává smysl mít toto políčko vždy zaškrtnuté.

Pokud je políčko odškrtnuté, je kotva odpojena jak v tahu, tak v tlaku (v případě modelu exportovaného z aplikace Connection je propojení nahrazeno dvojicí sil). Pokud je políčko zaškrtnuté, je kotva vždy propojena s plechem v tahu, ale propojení v tlaku je řízeno typem kotvy a typem podlití. Více informací naleznete na obrázku 23.

Zkrácené závity

Řízeno zaškrtávacím políčkem ve vlastnostech kotvy a má 2 účely:

1. Definuje, jak je kotva připojena k patní desce:

• U spřahovacích trnů a zabetonované výztuže připojených k patní desce (nikoli pro zabetonované plechy) rozlišuje mezi šroubovým spojem (kloubovým) a svarovým spojem (tuhým) — viditelné ve 3D scéně.
• Je třeba poznamenat, že způsob připojení kotvy k plechu má výrazný vliv na smykovou únosnost z pohledu porušení betonu v otlačení.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Možnosti zkrácených závitů}}}$$

2. Pro Eurokód je únosnost kotvy se zkrácenými závity redukována podle EN 1993-1-8 3.6.1 (3). Lze ji nastavit v Nastavení projektu. Pro závitové tyče a podložky se doporučuje mít toto nastavení vždy zapnuté.

Osové a rotační propojení mezi kotvou a patní deskou

Jak již bylo zmíněno v této kapitole, v závislosti na typu kotvy, nastavení podlití a na tom, zda jsou uvažovány zkrácené závity, jsou kotvy k patní desce připojeny různými způsoby. Z hlediska rotačního propojení to může být kloubové / tuhé. Z hlediska osového propojení to může být tah / tah + tlak. Typy rotačního propojení výrazně ovlivňují smykovou únosnost z pohledu porušení betonu v otlačení. Ve 3D scéně lze snadno rozeznat, zda je kotva připojena jako tuhá nebo kloubová, na základě přítomnosti matic, viz obrázek 22.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Rotační podpory}}}$$

Následující tabulka ukazuje všechny možné kombinace propojení patní desky s kotvami a odpovídající rotační a osová propojení.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Osové a rotační podpory mezi kotvou a patní deskou}}}$$

Zabetonované plechy

Zabetonovaný plech je zvláštním případem patní desky. Je modelován analogicky s následujícími rozdíly:

Vzhledem k tomu, že plech je zabudován uvnitř betonového bloku, nelze specifikovat žádný typ podlití. Hloubka zabudování do desky je zanedbána. Plech, modelovaný skořepinovými prvky, je umístěn přímo na povrchu betonu. Boční plochy desky proto nejsou považovány za podepřené betonem.

Je možné použít pouze výztuž a spřahovací trny, které lze, podobně jako klasické kotvy, nastavit jako propojené s deskou v osovém a smykovém směru. Praktické zkušenosti a některé národní dokumenty naznačují potřebu navrhovat spřahovací trny pouze na smyk a výztuž na osové zatížení. Z pohledu osových a rotačních podpor jsou kotvy vždy připojeny jako tuhé a tah + tlak.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad Osové a rotační podpory mezi kotvou a patní deskou}}}$$

Konečné prvky jsou implementovány interně a výpočtový model se generuje automaticky, aniž by byla nutná odborná interakce uživatele. Důležitou součástí tohoto procesu je tvorba sítě.

Beton

Všechny betonové prvky jsou vysíťovány společně. Doporučenou velikost prvku vypočítává aplikace automaticky na základě velikosti a tvaru konstrukce a s ohledem na průměr největší vyztužovací výztuže. Doporučená velikost prvku navíc zaručuje, že v tenkých částech konstrukce, jako jsou štíhlé sloupy nebo tenké stěny, budou vygenerovány minimálně čtyři prvky, aby byly zajištěny spolehlivé výsledky v těchto oblastech. Uživatel může vždy zvolit vlastní velikost betonového prvku úpravou násobitele výchozí velikosti sítě.

Výztuž

Výztuž je rozdělena na prvky s přibližně stejnou délkou, jakou má velikost betonového prvku. Jakmile jsou vygenerovány sítě výztuže a betonu, jsou propojeny prvky soudržnosti, jak je znázorněno na obr. 9.

Zjemnění

Síť betonu je automaticky zjemněna v okolí kotev, smykových zarážek a pod pahýlem pro zatížení. Velikost zjemněné sítě je přibližně dvakrát menší než základní síť betonu. Poloměr zjemněné oblasti je definován přibližně jako velikost prvku vynásobená dvěma.

Ke stanovení řešení nelineárního MKP problému je použit standardní úplný Newton-Raphsonův (NR) algoritmus. 

Obecně NR algoritmus často nekonverguje, pokud je celé zatížení aplikováno v jediném kroku. Obvyklý přístup, který je použit i zde, spočívá v postupném zatěžování ve více přírůstcích, přičemž výsledek z předchozího přírůstku zatížení se použije jako výchozí bod pro Newtonovo řešení následujícího přírůstku. Za tímto účelem byl nad rámec Newton-Raphsonovy metody implementován algoritmus řízení zatížení. V případě, že NR iterace nekonvergují, je aktuální přírůstek zatížení snížen na polovinu své hodnoty a NR iterace se opakují.

Druhým účelem algoritmu řízení zatížení je nalezení kritického zatížení, které odpovídá určitým „stop kritériím“ – konkrétně maximálnímu přetvoření v betonu, maximálnímu prokluzu v prvcích soudržnosti, maximálnímu posunu v kotevních prvcích a maximálnímu přetvoření ve výztužných prutech. Kritické zatížení se hledá metodou půlení intervalu. V případě, že je stop kritérium kdekoli v modelu překročeno, výsledky posledního přírůstku zatížení se zahodí a vypočítá se nový přírůstek o polovinu velikosti toho předchozího. Tento proces se opakuje, dokud není kritické zatížení nalezeno s určitou tolerancí chyby.

Pro beton bylo stop kritérium nastaveno na 5% přetvoření v tlaku (tj. přibližně o řád větší než skutečné mezní přetvoření betonu při porušení) a 7 % v tahu v integračních bodech skořepinových prvků. V tahu byla hodnota nastavena tak, aby umožnila nejprve dosažení mezního přetvoření ve výztuži, které je obvykle kolem 5 % bez zohlednění tahového zpevnění. V tlaku byla hodnota zvolena z několika alternativ jako taková, která je dostatečně velká na to, aby byly efekty drcení viditelné ve výsledcích, ale zároveň dostatečně malá, aby nezpůsobovala příliš mnoho problémů s numerickou stabilitou.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 25\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}$$

Pro výztuž je stop kritérium definováno pomocí napětí. Vzhledem k tomu, že je modelováno napětí v trhlině, kritérium v tahu odpovídá tahové pevnosti výztuže se zohledněním součinitele bezpečnosti. Stejná hodnota se použije i pro kritérium v tlaku.

Stop kritérium v prvcích soudržnosti a kotevních pružinách je α·δ_umax, kde δ_umax je maximální prokluz použitý při normovém posouzení a α = 10.

Další stop kritéria pro kotvení:

• Vytažení hlavových kotev (maximální kontaktní tlakové napětí na horní ploše hlavy kotvy). 
• Maximální smyková síla, kterou může kotva přenést z hlediska namáhání betonu v otlačení.

Tato dvě kritéria závisí na zvolené normě. Více informací o nich najdete v částech vysvětlujících normově závislé části konstrukční analýzy v aplikaci.

Výsledky jsou prezentovány samostatně pro beton a pro prvky výztuže. Hodnoty napětí a přetvoření v betonu jsou počítány v integračních bodech objemových prvků. Protože však není praktické prezentovat data tímto způsobem, výsledky jsou standardně zobrazeny v uzlech, například jako maximální hodnota tlakového napětí ze sousedních Gaussových integračních bodů v napojených prvcích. Je třeba poznamenat, že tato reprezentace může lokálně podhodnotit výsledky na tlačených hranách prvků v případě, kdy je velikost konečného prvku srovnatelná s výškou tlačené oblasti.

Výsledky pro konečné prvky výztuže jsou buď konstantní pro každý prvek (jedna hodnota – např. pro napětí v oceli), nebo lineární (dvě hodnoty – pro výsledky soudržnosti). Pro pomocné prvky, jako jsou prvky nosných plechů, jsou prezentovány pouze deformace.

Model v aplikaci IDEA StatiCa Detail nemusí být vždy vytvořen od začátku nebo pomocí šablony. Existuje také možnost importovat model, včetně účinků zatížení, z IDEA StatiCa Connection. V Connection je ocelová nadstavba nad betonovým blokem analyzována pomocí nelineárního 3D modelu, zatímco samotný betonový blok je reprezentován zjednodušeně pomocí Winklerova podloží. V Detail je naopak železobetonový blok modelován explicitně a podrobně posouzen.

Při přenosu modelu se do aplikace Detail importuje pouze patní deska, kotvy a betonový blok – samotný ocelový prvek (a jeho globální tuhost) importován není. V modelu Connection je tento ocelový prvek připojen k patní desce svarem. Napětí v konečných prvcích svaru jsou integrována a převedena na sadu ekvivalentních sil, které zatěžují patní desku v Detail. Tímto způsobem je vliv chybějícího ocelového prvku reprezentován silami od svaru, které jsou aplikovány přímo na patní desku.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Zatížení importovaná z IDEA StatiCa Connection}}}$$

Vzhledem k odlišné definici tuhosti mezi Connection a Detail (chybějící ocelový prvek, odlišné materiálové modely a reprezentace betonu) by přímé propojení patní desky a kotev v Detail obecně vedlo k jiné redistribuci zatížení, a tedy k odlišným tahovým silám v kotvách. Aby se tomu předešlo, jsou kotvy importovány axiálně odpojené od patní desky. Namísto přenosu osových sil prostřednictvím fyzického kontaktu jsou tahy v kotvách získané z Connection aplikovány přímo na kotvy v Detail. Zároveň je v místě každé kotvy na patní desku aplikována stejně velká síla opačného směru, aby byla zachována celková rovnováha modelu. Tato dvojice sil (jedna působící na kotvu, druhá na patní desku) představuje interakci mezi patní deskou a kotvou, aniž by umožňovala další redistribuci osových sil v Detail. Tyto dvě opačné síly jsou znázorněny na obrázku 26.

Smykové síly jsou však stále přenášeny prostřednictvím spojení mezi patní deskou a kotvami (případně smykovou zarážkou nebo třením). To je možné díky tomu, že pro propojení patní desky a kotev ve smyku je použita vazba (podpora), která umožňuje řídit příslušné stupně volnosti tohoto propojení. Uživatel tak může v Detail upravit dráhu přenosu smyku – například uvolněním smyku u dvou ze čtyř kotev a ponecháním smykového zapojení pouze u krajních kotev – zatímco osové síly zůstávají tak, jak byly importovány z Connection.

Pro předem zabetonované kotvy jsme zvolili odlišný přístup. Několik evropských návrhových doporučení vyžaduje, aby k přenosu osových sil byla uvažována pouze výztužná kotevní výztuž, zatímco spřahovací trny se předpokládají pouze pro přenos smyku. Vzhledem k tomu, že IDEA StatiCa Connection nedokáže při exportu interně oddělit osové síly ve výztužných kotvách od sil ve spřahovacích trnech, jsou kotvy předem zabetonovaných desek importovány do Detail plně propojené, a to i v osovém směru. To umožňuje uživateli aktivovat v Detail návrhovou možnost, kdy výztužné kotvy přenášejí pouze osový tah a spřahovací trny přenášejí pouze smyk. V rámci tohoto postupu musí být osová síla, která byla původně přiřazena spřahovacím trnům, redistribuována na výztužné kotvy v rámci modelu Detail. Taková redistribuce by nebyla možná při použití výše popsaného přístupu s dvojicí opačných sil, a proto jsou předem zabetonované desky řešeny odlišným způsobem.

Mezní stav únosnosti

Různá posouzení vyžadovaná konkrétními normami jsou hodnocena na základě přímých výsledků poskytovaných modelem. Posouzení MSÚ se provádí pro pevnost betonu, pevnost výztuže a kotvení (soudržnostní smyková napětí).

Aby byl konstrukční prvek navržen efektivně, doporučuje se provést předběžnou analýzu, která zohledňuje následující kroky:

• Vyberte výběr nejkritičtějších kombinací zatížení.
• Počítejte pouze kombinace zatížení pro mezní stav únosnosti (MSÚ).
• Pro urychlení doby výpočtu a řešení případných problémů zvažte použití hrubší sítě zvýšením násobitele výchozí velikosti sítě v Nastavení (obr. 27). Pokud model funguje dobře, vraťte násobitel zpět na hodnotu 1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 27\qquad Násobitel sítě}}}$$

Takový model se vypočítá velmi rychle, což umožňuje projektantům efektivně zkontrolovat vyztužení konstrukčního prvku a opakovaně spouštět analýzu, dokud nejsou splněny všechny požadavky na posouzení pro nejkritičtější kombinace zatížení. Jakmile jsou splněny všechny požadavky na posouzení této předběžné analýzy, doporučuje se zahrnout kompletní kombinace zatížení pro mezní stav únosnosti a použít jemnou velikost sítě (velikost sítě doporučenou programem). Uživatelé mohou měnit velikost sítě pomocí násobitele, který může nabývat hodnot od 0,5 do 5 (obr. 27).

Základní výsledky a posouzení (napětí, přetvoření a využití (tj. vypočtená hodnota/limitní hodnota podle normy)), stejně jako směr hlavních napětí v případě betonových prvků, jsou zobrazeny pomocí různých grafů, kde je tlak obecně znázorněn červeně a tah modře. Lze zvýraznit globální minimální a maximální hodnoty pro celou konstrukci, stejně jako minimální a maximální hodnoty pro každou uživatelsky definovanou část. Na samostatné záložce programu lze zobrazit pokročilé výsledky, jako jsou hodnoty tenzorů, deformace konstrukce a stupně vyztužení (efektivní a geometrický), použité pro výpočet tahového zpevnění výztužných prutů. Dále lze zobrazit zatížení a reakce pro vybrané kombinace nebo zatěžovací stavy.

Beton – MSÚ

Materiálový model betonu implementovaný ve 3D CSFM vychází z jednoosých pracovních diagramů tlaku předepsaných normou EN 1992-1-1 pro návrh průřezů, které závisí pouze na pevnosti v tlaku. Ve 3D CSFM se standardně používá parabolicko-rektangulární diagram uvedený v EN 1992-1-1 čl. 3.1.7 (1) (obr. 28a), projektanti si však mohou zvolit i zjednodušený elasticko-ideálně plastický vztah podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.7 (2) (obr. 28b). Pevnost v tahu se zanedbává, stejně jako v klasickém návrhu železobetonu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 28\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}$$

Implementace 3D CSFM v aplikaci IDEA StatiCa Detail nezohledňuje explicitní kritérium porušení z hlediska přetvoření betonu v tlaku (tj. po dosažení vrcholového napětí se uvažuje plastická větev s hodnotou ε_cu2 (ε_cu3) ve výši 5 %, zatímco EN 1992-1-1 předpokládá mezní přetvoření menší než 0,35 %). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit přetvárnou kapacitu konstrukcí porušených tlakem. Jejich mezní únosnost f_cd podle EN 1992-1-1 3.1.3 je však správně predikována, pokud se zohlední nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností pomocí redukčního součinitele $\eta_{fc}$ definovaného v fib Model Code 2010 následovně:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

α_cc je součinitel zohledňující dlouhodobé účinky na pevnost v tlaku a nepříznivé účinky vyplývající ze způsobu zatěžování. Je stanoven podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.6 (1). Výchozí hodnota je 1,0.

f_ck je charakteristická válcová pevnost betonu (v MPa pro definici $\eta_{fc}$).

Výztuž

Standardně se uvažuje idealizovaný bilineární pracovní diagram napětí-přetvoření pro holé betonářské pruty definovaný v EN 1992-1-1, oddíl 3.2.7 (obr. 29). Definice tohoto diagramu vyžaduje znalost pouze základních vlastností výztuže ve fázi návrhu (pevnostní a duktilní třída). Pokud je znám, lze uvažovat i skutečný pracovní diagram napětí-přetvoření výztuže (válcovaná za tepla, tvářená za studena, kalená a samopopouštěná atd.). Pracovní diagram výztuže může definovat uživatel, v takovém případě však není možné uvažovat vliv tahového zpevnění (nelze vypočítat šířku trhlin). Použití pracovního diagramu s vodorovnou horní větví neumožňuje ověření trvanlivosti konstrukce. Proto je nutné manuálně ověřit standardní požadavky na duktilitu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$$

Tahové zpevnění (obr. 30) je zohledněno automaticky úpravou vstupního pracovního diagramu napětí-přetvoření holého betonářského prutu tak, aby zachycoval průměrnou tuhost prutů zabudovaných v betonu (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method je v souladu s moderními návrhovými normami. Jelikož výpočtové modely využívají pouze standardní materiálové vlastnosti, lze bez jakékoli úpravy použít formát dílčích součinitelů bezpečnosti předepsaný v návrhových normách. Vstupní zatížení jsou tak násobena součiniteli a charakteristické materiálové vlastnosti jsou redukovány pomocí příslušných součinitelů bezpečnosti předepsaných v návrhových normách, přesně jako u konvenční analýzy betonu. Hodnoty materiálových součinitelů bezpečnosti předepsané v EN 1992-1-1 kap. 2.4.2.4 a součinitele pro kotvy předepsané v EN 1992-4, EN 1993-1-8 a EN 1994-1-1 jsou nastaveny jako výchozí, ale uživatel může součinitele bezpečnosti změnit v nastavení Normy a výpočtu (obr. 31).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Součinitele bezpečnosti zatížení musí uživatel definovat v Pravidlech kombinací pro každou nelineární kombinaci zatěžovacích stavů (obr. 32). Pro všechny šablony implementované v Idea StatiCa Detail jsou dílčí součinitele bezpečnosti již předdefinovány.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Použitím vhodných uživatelsky definovaných kombinací dílčích součinitelů bezpečnosti mohou uživatelé počítat s 3D CSFM i metodou globálního součinitele únosnosti (Navrátil a kol. 2017), tento přístup se však v návrhové praxi téměř nepoužívá. Některé směrnice doporučují pro nelineární analýzu použít metodu globálního součinitele únosnosti. Nicméně u zjednodušených nelineárních analýz (jako je 3D CSFM), které vyžadují pouze ty materiálové vlastnosti, jež se používají i v konvenčních ručních výpočtech, je stále výhodnější použít formát dílčích součinitelů bezpečnosti.

Různá posouzení požadovaná normou EN 1992-1-1 jsou vyhodnocována na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Posouzení na MSÚ se provádí pro pevnost betonu, pevnost vyztužení a kotvení (smykové napětí v soudržnosti).

Pevnost - Beton

Pevnost betonu v tlaku je vyhodnocována jako poměr mezi maximálním ekvivalentním hlavním napětím σ_c,eq získaným z analýzy MKP a limitní hodnotou σ_c,lim = f_cd.

Ekvivalentní hlavní napětí vyjadřuje ekvivalentní jednoosé napětí pro obecný trojosý stav napjatosti.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Hodnotu σ_c,eq lze tedy přímo porovnat s limity jednoosé pevnosti podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.7 (1).

Tento výraz je odvozen z implementace teorie plasticity Mohr-Coulomb, přičemž se konzervativně předpokládá úhel vnitřního tření φ = 0°.

Pevnost - Vyztužení

Pevnost vyztužení je vyhodnocována jak v tahu, tak v tlaku jako poměr mezi napětím ve vyztužení v trhlinách σ_sr a stanovenou limitní hodnotou σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \dfrac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \dfrac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

kde:

f_yk        je mez kluzu vyztužení podle EN 1992-1-1 čl. 3.2.3,

k          je poměr pevnosti v tahu f_tk k mezi kluzu,
            $k = \dfrac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             je dílčí součinitel spolehlivosti pro vyztužení.

Pevnost - Kotvy

Kotvy jsou posuzovány na normálová napětí obdobným způsobem jako vyztužení, přičemž se stanovuje limitní hodnota σ_s,lim.

Kromě toho jsou pro kotvy stanoveny hodnoty N_Ed a V_Ed, které jsou porovnávány s N_Rd,s a V_Rd,s podle zvolené normy. Norma se volí v závislosti na typu kotvy použité v nastavení projektu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Anchor check - Design code selection}}}$$

Protože různé normy volí různé přístupy k posouzení kotev, může uživatel zvolit následující normy pro jednotlivé typy kotev:

• Kotvy ze šroubového materiálu v tahu a/nebo smyku – EN 1992-4, EN 1993-1-8
• Spřahovací trny v tahu a/nebo smyku – EN 1992-4, EN 1994-1-1
• Kotvy v tahu a/nebo smyku – EN 1992-4, EN 1992-1-1
• Kotvy v tlaku a/nebo ohybu – EN 1993-1-1

Posouzení na tah podle EN 1992-4 - 7.2.1.3

$$N_{Rd,s} = \frac{c \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

kde:

• c – redukce pro řezaný závit  
• f_uk – minimální pevnost šroubu v tahu
• A_s – plocha průřezu kotevního šroubu v tahu (redukovaná závitem v případě šroubového materiálu)
• $\gamma_{Ms} = 1.2 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.4$ – dílčí součinitel spolehlivosti pro ocel 
• f_yk – minimální mez kluzu šroubu

Posouzení na tah podle EN 1993-1-8 - 3.6.1

$$N_{Rd,s} = F_{t.Rd} = \frac{c \cdot k_2 \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$ 

kde:

• c – snížení tahové únosnosti šroubů s řezaným závitem podle EN 1993-1-8 – čl. 3.6.1. (3) 
• k₂ = 0,9 – součinitel pro kotvy bez zapuštěné hlavy 
• f_ub – pevnost kotevního šroubu v tahu 
• A_s – plocha průřezu kotevního šroubu v tahu (redukovaná závitem v případě šroubového materiálu)
• γ_M2 = 1,25 – dílčí součinitel spolehlivosti pro šrouby (EN 1993-1-8, Tabulka 2.1) 

Posouzení na tah podle EN 1992-1-1 - 3.2.7

$$N_{Rd,s} = \frac{kf_{yk}}{\gamma_{S}}$$

kde:

• $k=(f_{t}/f_{y})$ je uvedeno v příloze C
• f_yk – charakteristická mez kluzu
• γ_M2 = 1,15 – dílčí součinitel spolehlivosti pro vyztužení

Posouzení na tlak podle EN 1993-1-1 - 6.3

Používá se pro všechny kotvy namáhané normálovou tlakovou silou, bez ohledu na jejich materiál nebo typ uložení. 

$$F_{c,Rd}=\frac{\chi\,A_s f_y}{\gamma_{M2}}$$

kde:

• $\chi=\dfrac{1}{\Phi+\sqrt{\Phi^2-\bar{\lambda}^2}}\le 1$ – součinitel snížení únosnosti při boulení
• $\Phi=0.5\left[1+\alpha\left(\bar{\lambda}-0.2\right)+\bar{\lambda}^2\right]$ – hodnota pro stanovení součinitele snížení únosnosti při boulení χ
• $\alpha=0.49$ – součinitel imperfekce pro křivku boulení c (odpovídající plnému kruhu)
• $\bar{\lambda}=\sqrt{\dfrac{A_s f_y}{N_{cr}}}$ – poměrná štíhlost

  • A_s – plocha kotvy redukovaná závitem
• $N_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L_{cr}^2}$  – Eulerova kritická síla
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – moment setrvačnosti šroubu

  • d_s – průměr kotvy redukovaný závitem
• $L_{cr}=2\,l$  – vzpěrná délka; na bezpečné straně se předpokládá, že šroub je vetknut do betonu a může se volně otáčet u patní desky 
• $l=l_{a}$ – délka prvku kotvy rovná polovině tloušťky patní desky + mezera + polovina průměru šroubu; na bezpečné straně se předpokládá, že podložka a matice nejsou přitlačeny k povrchu betonu (ETAG 001 – příloha C – čl. 4.2.2.4), viz obrázek 34.

Posouzení na smyk podle EN 1992-4 - 7.2.2.3

Pro uložení = přímé se předpokládá smyk bez ramene síly (EN 1992-4 – čl. 7.2.2.3.1):

$$V_{Rd,s} = \frac{k_6 \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

Pro uložení = maltové lože se předpokládá smyk s ramenem síly (EN 1992-4 – čl. 7.2.2.3.2):

$$V_{Rd,s} = \frac{\alpha_M \cdot M_{Rk,s}}{\gamma_{Ms} \cdot l_a}$$

kde:

• k₆ = 0,6 pro kotvy s f_uk ≤ 500 MPa; k₆ = 0,5 jinak
• A_s – smyková plocha kotvy redukovaná závitem
• f_uk – pevnost kotevního šroubu
• α_M = 2 – předpokládá se plné vetknutí (EN 1992-4 – čl. 6.2.2.3)
• $M_{Rk,s} = M^{0}_{Rk,s} \left(1 - \dfrac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)$ – charakteristická ohybová únosnost kotvy snížená o tahovou sílu v kotvě
•  $M^{0}_{Rk,s} = 1.2 \cdot W_{el} \cdot f_{ub}$ – charakteristická ohybová únosnost kotvy (ETAG 001, příloha C – rovnice (5.5b))
• $W_{el} = \dfrac{\pi d^{3}}{32}$ – průřezový modul kotvy
• d – průměr kotevního šroubu; je-li zvolena smyková rovina v závitu (což je vždy případ závitové tyče), použije se průměr redukovaný závitem; jinak se použije jmenovitý průměr, d_nom
• N_Ed – tahová síla v kotvě
• N_Rd,s – tahová únosnost kotvy
• $l_{a} = 0.5\, d_{\mathrm{nom}} + t_{\mathrm{mortar}} + 0.5\, t_{\mathrm{bp}}$ – rameno síly
• t_mortar – tloušťka malty (zálivky)
• t_bp – tloušťka patní desky
• $\gamma_{Ms} = 1.0 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.25$ pro $f_{uk} \le 800 \text{ MPa}$ a  $\dfrac{f_{yk}}{f_{uk}} \le 0.8$; γ_Ms = 1,5 jinak – dílčí součinitel spolehlivosti pro porušení oceli (EN 1992-4 – Tabulka 4.1)

Posouzení na smyk podle EN 1993-1-8 - 6.2.2

Smyková ocelová únosnost kotvy se stanovuje podle EN 1993-1-8 – 6.2.2 (7) bez ohledu na přímé nebo maltové lože uložení. Pevnost a tloušťka zálivky musí odpovídat čl. 6.2.5 (7).

$$V_{Rd,s} = F_{v,b,Rd} = \min \left\{ F_{1v,b,Rd} ,\, F_{2v,b,Rd} \right\}$$

kde:

$$F_{1v,b,Rd} = \frac{\alpha_v \cdot f_{ub} \cdot A}{\gamma_{M2}}$$

• α_v = 0,6 pro třídy 4.6, 5.6, 8.8 a 0,5 pro třídy 4.8, 5.8, 6.8, 10.9
• f_ub – pevnost šroubového materiálu v tahu
• A – plocha průřezu šroubu v tahu, A = A_s, kde As je plocha průřezu šroubu v tahu (redukovaná závitem)
• γ_M2 – součinitel spolehlivosti – EN 1993-1-8 – Tabulka 2.1

$$F_{2v,b,Rd} = \frac{\alpha_b \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$

• ​ $\alpha_b = 0.44 - 0.0003\, f_{yb}$
• α_b je součinitel závisející na mezi kluzu kotevního šroubu
• f_yb – mez kluzu kotvy; 235 MPa ≤ f_yb ​≤ 640 MPa
• f_ub – pevnost kotvy v tahu 
• A_s – plocha průřezu v tahu (redukovaná závitem)

Posouzení na smyk podle EN 1993-1-1 - 6.2.6

Tato normová posouzení se vztahují na kotvy připojené k patní desce s mezerou nebo na přímo zatíženou kotvu s vyčnívající délkou větší než 0,5násobek jejich průměru.

$$V_{pl,Rd}=\frac{A_v f_y/\sqrt{3}}{\gamma_{M2}}$$

kde:

• A_V = 0,844 A_s – smyková plocha
• A_s – plocha šroubu redukovaná závitem
• f_y – mez kluzu šroubu
• γ_M2 – dílčí součinitel spolehlivosti (definovaný v nastavení projektu)

Posouzení na smyk podle EN 1994-1-1 - 6.6.3.1

$$V_{Rd,s} = P_{Rd} = \frac{0.8 \, f_u \, \pi \, d^2}{4 \, \gamma_v}$$

kde:

• γ_v je dílčí součinitel spolehlivosti pro spřažení podle EN 1994-1-1 čl. 2.4.1.2. Doporučená hodnota γ_v je 1,25
• d je průměr dříku trnu, 16 mm ≤ d ≤ 25 mm;
• f_u je stanovená pevnost materiálu trnu v tahu, nejvýše však 500 MPa.

V EN 1994-1-1 čl. 6.6.3.1 je rovněž uvedena rovnice (6.19), která omezuje smykovou únosnost trnu prostřednictvím únosnosti betonu při protlačení (otlačení). V IDEA StatiCa Detail tento způsob porušení není posuzován samostatným normovým vzorcem v postprocesingu. Místo toho je zahrnut přímo do nelineární analýzy metodou konečných prvků jako kritérium zastavení: analýza je ukončena dříve, než smyková síla v kotvě dosáhne odpovídající hodnoty P_Rd
z rovnice (6.19). Tento přístup je použit proto, že rovnice (6.19) platí pouze pro spřahovací trny přivařené k ocelovému plechu a pro průměry trnů v rozsahu 16 mm ≤ d ≤ 25 mm, jak je uvedeno v čl. 6.6.3.1.

Pro pokrytí širšího rozsahu praktických případů byla vytvořena série 3D referenčních modelů v programu Abaqus s průměry kotev od 8 mm do 50 mm a pevnostními třídami betonu od C16/20 do C50/60. Trny byly modelovány buď tuhým přivařením k patní desce, nebo kloubovým spojením. Materiálové modely a parametry kontaktu v Detail byly následně kalibrovány na základě těchto simulací v Abaqus, které byly samy ověřeny vůči rovnici (6.19) v rámci její oblasti platnosti. Toto kritérium zastavení platí pro všechny typy kotev a všechny normy EN.

Posouzení na ohyb podle EN 1993-1-1 - 6.2.5

$$M_{pl,Rd}=\frac{W_{pl} f_y}{\gamma_{M2}}$$

kde:

• $W_{pl}=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – průřezový modul šroubu

  • d_s – průměr kotvy redukovaný závitem
• f_y – mez kluzu materiálu
• γ_M2 – dílčí součinitel spolehlivosti (definovaný v nastavení projektu)

Návrhový ohybový moment M_Ed – Působí-li smykové zatížení s ramenem síly, musí být zohledněn ohybový moment působící na spojovací prvek. Návrhový ohybový moment působící na spojovací prvek se vypočítá podle EN 1993-1-1 vzorec (6.1):

$$M_{Ed}=V_{Ed}\cdot\frac{l_a}{\alpha_M}$$

kde:

• V_Ed – smykové zatížení působící na posuzovaný spojovací prvek
• l_a = a₃ + e₁

  • a₃ = 0,5d_nom, kde d_nom je průměr kotvy
  • e₁ – vzdálenost mezi smykovým zatížením a povrchem betonu, bez uvažování tloušťky případné vyrovnávací zálivky
• α_M = 2 – předpokládá se plné vetknutí (EN 1992-4 – čl. 6.2.2.3)

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Buckling length}}}$$

Interakce tahu a smyku v oceli kotvy

Interakce tahu a smyku podle EN 1993-1-8 je implicitně zahrnuta v posouzení kotvy na smyk.

Interakce tahu a smyku podle EN 1992-4 je stanovena samostatně pro způsoby porušení oceli a betonu podle Tabulky 7.3. Interakce v oceli je posuzována pro každou kotvu samostatně.

$$\left( \frac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)^{2}+\left( \frac{V_{Ed}}{V_{Rd,s}} \right)^{2}\le 1$$

EN 1994-1-1 uvádí v článku 6.6.3.2, že pokud je tahová síla v kotvě větší než 0,1P_Rd, posouzení není touto normou pokryto. V takovém případě je interakce v aplikaci posuzována v souladu s EN 1992-4. V takovém případě by posouzení na smyk podle EN 1994-1-1 nemělo být uvažováno.

Interakce tahu nebo tlaku a ohybu v oceli kotvy EN 1993-1-1 - 6.2.1

$$\frac{N_{Ed}}{N_{Rd}}+\frac{M_{Ed}}{M_{Rd}}\le 1$$

kde:

• N_Ed – návrhová síla v tahu (kladná) nebo v tlaku (záporné znaménko)
• N_Rd – návrhová únosnost v tahu (kladná, F_t,Rd) nebo v tlaku (záporné znaménko, F_c,Rd)
• M_Ed – návrhový ohybový moment
• M_Rd = M_pl,Rd – návrhová ohybová únosnost

Posouzení na vytažení pro kotvy s hlavou (podložky a spřahovací trny)

Pro kotvy s hlavou je implementováno dodatečné kritérium zastavení pro kontrolu otlačení betonu (drcení) nad hlavou kotvy – vytažení. Během analýzy je sledována tlaková síla přenášená kontaktem hlavy s betonem a porovnávána s limitní hodnotou stanovenou podle EN 1992-4, čl. 7.2.1.5 (vytažení kotev s hlavou).

$$N_{Rd,p} = k_2 \cdot A_h \cdot f_{ck} / \gamma_{Mp}$$

kde:

• A_h je únosná plocha hlavy spojovacího prvku (bez plochy dříku). 
• f_ck je charakteristická pevnost betonu v tlaku – EN 1992-1-1 čl. 3.1.2
• γ_Mp je v aplikaci uvažováno jako γ_Mp = γ_c s výchozí hodnotou 1,5
•  k₂​ je vždy uvažováno jako 7,5, tj. hodnota pro popraskané beton. To je v souladu s přístupem CSFM použitým v Detail, kde je pevnost betonu v tahu zanedbána a beton je považován za popraskané v tahu. 

Jakmile kontaktní síla dosáhne tohoto normou stanoveného limitu, je spuštěno kritérium zastavení a analýza je ukončena dříve, než je překročena návrhová únosnost při vytažení.

Kotvení – napětí v soudržnosti

Smykové napětí v soudržnosti je vyhodnocováno samostatně jako poměr mezi napětím v soudržnosti τ_b vypočítaným analýzou MKP a mezní pevností v soudržnosti f_bd, podle EN 1992-1-1 čl. 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\le 1$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

kde:

• f_ctd      je návrhová hodnota pevnosti betonu v tahu podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.6 (2). Vzhledem k rostoucí křehkosti betonů vyšších pevností je f_ctk,0.05 omezena na hodnotu pro C60/75 podle EN 1992-1-1 čl. 8.4.2 (2)
• η₁       je součinitel vztahující se ke kvalitě podmínek soudržnosti a poloze prutu při betonáži (obr. 34).
• η₁ = 1,0 při splnění podmínek „dobré" soudržnosti a
• η₁ = 0,7 ve všech ostatních případech a pro pruty v konstrukčních prvcích betonovaných do posuvného bednění, pokud nelze prokázat existenci „dobrých" podmínek soudržnosti
• η₂        závisí na průměru prutu:
  η₂ = 1,0 pro Ø ≤ 32 mm
  η₂ = (132 - Ø)/100 pro Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

V IDEA StatiCa Detail jsou podmínky soudržnosti zohledněny podle obr. 34 c) a d). Směr betonáže lze v aplikaci nastavit pro každou položku projektu následovně:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Direction of concreting}}}$$

Tato posouzení jsou prováděna s ohledem na příslušné limitní hodnoty pro jednotlivé části konstrukce (tj. přestože je použita jediná třída betonu i vyztužení, výsledné diagramy napětí-přetvoření se v každé části konstrukce budou lišit v důsledku vlivů tahového zpevnění a tlakového změkčení).

Kotvení – celková síla

Celková síla F_tot a limitní síla F_lim

Celková síla F_tot je výsledkem analýzy metodou konečných prvků a lze ji definovat dvěma způsoby.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

kde A_s je plocha prutu vyztužení a σ_s je napětí v prutu.

Nebo jako součet kotevní síly F_a a síly ze soudržnosti F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

kde F_a je skutečná síla v kotevní pružině a F_bond je síla ze soudržnosti, kterou lze získat integrací napětí v soudržnosti τ_b po délce prutu vyztužení l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s je obvod prutu vyztužení.

Limitní síla F_lim je maximální síla v prvku prutu vyztužení s ohledem na mezní pevnost prutu a také podmínky kotvení (soudržnost mezi betonem a vyztužením a kotevní háky, smyčky apod.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

kde C_s je obvod prutu vyztužení a l je délka od začátku prutu k posuzovanému místu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

kde F_lim,add je dodatečná síla vypočítaná z velikosti úhlu mezi sousedními prvky. F_lim,2 musí být vždy menší než F_u.

Typy kotvení na konci vyztužení (kotvy a pruty)

Dostupné typy kotvení v 3D CSFM zahrnují přímý prut (tj. bez redukce kotevní délky), ohyb, hák, smyčku, přivařený příčný prut, dokonalou soudržnost a průběžný prut. Všechny tyto typy spolu s příslušnými součiniteli kotvení β jsou znázorněny na obr. 36 pro podélné vyztužení a na obr. 37 pro třmínky. Hodnoty použitých součinitelů kotvení jsou v souladu s EN 1992-1-1 čl. 8.4.4 Tab. 8.2. Je třeba poznamenat, že přes různé dostupné možnosti rozlišuje 3D CSFM tři typy konců kotvení: (i) bez redukce kotevní délky, (ii) redukce o 30 % kotevní délky v případě normalizovaného kotvení a (iii) dokonalá soudržnost.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the 3D CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Aby bylo dosaženo souladu s EN 1992-1-1, musí být v výpočtu použita kotevní pružina; kotevní pružina je upravena součinitelem β, takže uživatel musí při definování podmínek začátku a konce vyztužení použít jeden z dostupných typů kotvení. 

Beton - Pevnost

Materiálový model betonu implementovaný pro výpočty pevnosti v CSFM vychází z parabolicko-plastického pracovního diagramu napětí-přetvoření pro beton, který je založen na parabolickém pracovním diagramu Portland Cement Association popsaném v dokumentu PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, obr. 6-8. Tahová pevnost betonu je zanedbána, stejně jako u klasického návrhu železobetonu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementace CSFM v aplikaci IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení z hlediska přetvoření betonu v tlaku (tj. po dosažení vrcholového napětí je uvažována plastická větev s ε_c0 o maximální hodnotě 5 %, zatímco ACI 318-19 čl. 22.2.2.1 předpokládá mezní přetvoření menší než 0,3 %). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí porušených tlakem. Pevnost je nicméně správně předpovězena, pokud je zohledněn nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností pomocí redukčního součinitele $\eta_{fc}$ definovaného v fib Model Code 2010 následovně:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

α₁ je redukční součinitel pevnosti betonu v tlaku definovaný v ACI 318-19 čl. 22.2.2.4.1. Při použití parabolicko-obdélníkového pracovního diagramu napětí-přetvoření je nutné redukovat maximální tlakové napětí tímto součinitelem. Tím se zprůměruje rozdělení napětí v tlačené oblasti tak, že výsledná tlaková pevnost je menší nebo rovna tlakové pevnosti vypočtené pomocí pracovního diagramu napětí-přetvoření s klesající plastickou větví.

Φ_c je redukční součinitel pevnosti betonu. Výchozí hodnota je nastavena podle ACI 318-19 tabulka 24.2.1 (b)(f).

f'_c je válcová pevnost betonu (v MPa pro definici $\eta_{fc}$).

Výztuž

Pro nepředpjatou výztuž je uvažován ideálně pružnoplastický pracovní diagram napětí-přetvoření s definovanou mezí kluzu. Viz ACI 319-19 čl. 20.2.1. Definice tohoto diagramu vyžaduje znalost pouze základních vlastností výztuže - pevnosti a modulu pružnosti.

Pracovní diagram napětí-přetvoření výztuže může být také definován uživatelem, ale v tomto případě není možné uvažovat tahové zpevnění. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

kde:

Φ_s je redukční součinitel pevnosti výztuže. Výchozí hodnota je nastavena podle ACI 318-19 tabulka 24.2.1.

f_y je mez kluzu výztuže

E_s modul pružnosti výztuže

Jako mezní přetvoření, při kterém se výpočet zastaví, je zvoleno 10 %. To je považováno za bezpečné na základě ASTM A955/A955M-20c článek 7.

Tahové zpevnění (obr. 42)  je zohledněno automaticky úpravou vstupního pracovního diagramu napětí-přetvoření holé výztužné tyče tak, aby byla zachycena průměrná tuhost prutů zabudovaných v betonu (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method je v souladu s moderními návrhovými normami. Vzhledem k tomu, že výpočtové modely používají pouze standardní materiálové vlastnosti, lze bez jakékoli úpravy použít formát dílčích součinitelů bezpečnosti předepsaný v návrhových normách. Vstupní zatížení jsou tímto způsobem násobena součiniteli a charakteristické materiálové vlastnosti jsou redukovány pomocí příslušných redukčních součinitelů pevnosti, přesně jako u konvenční analýzy betonu.

Hodnoty redukčních součinitelů pevnosti jsou předepsány v ACI 318-19 kapitole 21 a pro kotvy v ACI 318-19 kapitole 17 a AISC 360-16 kapitole D, E, F, G. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Součinitele zatížení pro kombinace pevnosti musí být definovány podle ACI 318-19 tabulky 5.3.1.

S výjimkou případů uvedených v kapitole 34 nejsou kombinace zatížení na úrovni provozuschopnosti v ACI 318-19 definovány. Doporučuje se použít pravidla kombinací založená na příloze C normy ASCE/SEI 7-16. U všech šablon jsou součinitele zatížení již předdefinovány.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Různá ověření vyžadovaná normou ACI 318-19 jsou posuzována na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Ověření se provádí pro pevnost betonu, pevnost výztuže a kotvení (smyková napětí soudržnosti).

Pevnost - beton

Pevnost betonu v tlaku je hodnocena jako poměr mezi maximálním ekvivalentním hlavním napětím f_c,eq (v předchozím textu také σ_c,eq) získaným z MKP analýzy a mezní hodnotou f'_c,lim.

Ekvivalentní hlavní napětí vyjadřuje ekvivalentní jednoosé napětí pro obecný triaxiální stav napětí.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Hodnotu f_c,eq lze tedy přímo porovnat s jednoosými mezními hodnotami pevnosti. Tento vztah je odvozen z implementace teorie plasticity Mohr-Coulomb, konzervativně za předpokladu úhlu vnitřního tření φ = 0°.

Pevnost - výztuž

Pevnost výztuže je hodnocena jak v tahu, tak v tlaku jako poměr mezi napětím ve výztuži v trhlinách f_s a stanovenou mezní hodnotou f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Pevnost - kotvy

Kotvy jsou posuzovány na normálová napětí obdobným způsobem jako výztuž, kde je určena mezní hodnota f_y,lim. 

Pro snadnější orientaci v následujícím textu nejprve rozdělíme kotvení do tří skupin z hlediska normového posouzení podle ACI nebo AISC.

Skupina 1

• Typy kotvení

  • Předem zabetonovaná deska
  • Patní deska - Stand-off = přímé 
  • Patní deska - Stand-off = maltová spára - tloušťka malty menší než 0,5násobek průměru kotvy
  • Samostatná kotva s vyčnívající délkou menší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normové posouzení kotev (ACI / AISC)

  • Tah/tlak

    • Všechny typy kotev v tahu – ACI 318-19 kap. 17.6.1.2  
    • Všechny typy kotev v tlaku – AISC 360-16 kap. E
  • Smyk bez páky

    • Materiál šroubu – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b)
    • Spřahovací trny – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (a)
    • Výztuž – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b)
  • Interakce tahu a smyku - ACI 318-19 kap. 17.8

Skupina 2

• Typy kotvení

  • Patní deska - Stand-off = maltová spára - tloušťka malty větší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normové posouzení kotev (ACI / AISC)

  • Tah/tlak

    • Všechny typy kotev v tahu – ACI 318-19 kap. 17.6.1.2  
    • Všechny typy kotev v tlaku – AISC 360-16 kap. E
  • Smyk s pákou

    • Materiál šroubu – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b) + kap. 17.7.1.2.1.
    • Spřahovací trny – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (a) + kap. 17.7.1.2.1.
    • Výztuž – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b) + kap. 17.7.1.2.1.
  • Interakce tahu a smyku - ACI 318-19 kap. 17.8

Skupina 3

• Typy kotvení

  • Patní deska - Stand-off = mezera
  • Samostatná kotva s vyčnívající délkou větší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normové posouzení kotev (ACI / AISC)

  • Tah/tlak (s boulením)

    • Všechny typy kotev v tahu – ACI 318-19 kap. 17.6.1.2
    • Všechny typy kotev v tlaku – AISC 360-16 kap. E3
  • Ohyb

    • Pro všechny typy kotev – AISC 360-16 kap. F11
  • Smyk

    • Pro všechny typy kotev – AISC 360-16 kap. G
  • Interakce normálové síly a ohybu

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Tahová únosnost kotvy podle ACI 318-19 kap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

kde:

• ϕ_a,t  – součinitel snížení pevnosti pro kotvy v tahu podle ACI 318-19 kap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – plocha tahového napětí (redukovaná o závit)
• f_uta – stanovená pevnost oceli kotvy v tahu a nesmí být větší než 1,9 f_ya a 860 MPa

Smyková únosnost kotvy podle ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (a)

Pevnost oceli ve smyku pro spřahovací trny se stanoví jako:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

kde:
ϕ_a,v – součinitel snížení pevnosti pro kotvy v tahu podle ACI 318-19 kap. 17.5.3 (a)
A_se,V – plocha tahového napětí (redukovaná o závit)
f_uta – stanovená pevnost oceli kotvy v tahu a nesmí být větší než 1,9 f_ya a 860 MPa

Smyková únosnost kotvy podle ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b)

Pevnost oceli ve smyku pro kotvy ze šroubového materiálu a výztuž se stanoví jako:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

kde:

• ϕ_a,v  – součinitel snížení pevnosti pro kotvy v tahu podle ACI 318-19 kap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – plocha tahového napětí (redukovaná o závit)
• f_uta – stanovená pevnost oceli kotvy v tahu a nesmí být větší než 1,9 f_ya a 860 MPa

Smyková únosnost kotvy připojené k základu s maltou - ACI 318-19 kap. 17.7.1.2.1

Pokud jsou kotvy použity s vyrovnávacími maltovými podložkami (Skupina 2), návrhová pevnost vypočtená podle 17.7.1.2 se vynásobí hodnotou 0,80.

Interakce tahu a smyku podle ACI 318-19 kap. 17.8

Je přípustné zanedbat interakci mezi tahem a smykem, pokud je splněna podmínka (a) nebo (b).
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Pokud je N_ua/(ϕN_n) > 0,2 pro rozhodující pevnost v tahu a V_ua/(ϕV_n) > 0,2 pro rozhodující pevnost ve smyku, musí být splněna rovnice (17.8.3).

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Tlaková únosnost kotvy podle AISC 360-16 kap. E3

$$P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}$$

kde:

• ϕ_a,t  – součinitel snížení pevnosti pro kotvy v tlaku podle AISC 360-16 kap. E1
  
• (a) Když: $\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  nebo     $\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25$

  • $F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y$
    
• (b) Když: $\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  nebo     $\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25$

  • $F_{cr}=0.877F_e$
    
• A_g​ – hrubá průřezová plocha prvku
• E – modul pružnosti oceli
• $F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}$ - napětí pružného boulení
• F_y – stanovená minimální mez kluzu použitého typu oceli
• $r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}$ – poloměr setrvačnosti
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – moment setrvačnosti šroubu 

Ohybová únosnost kotvy podle AISC 360-16 kap. F11

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

kde:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – plastický průřezový modul šroubu
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – pružný průřezový modul šroubu

Smyková únosnost kotvy podle AISC 360-16 kap. G

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

kde:

• A_V = 0,844As – smyková plocha
• A_s – plocha šroubu redukovaná o závity

Drcení betonu na rozhraní kotva–beton

Smyková únosnost kotvy je také omezena z hlediska drcení betonu na rozhraní kotva–beton. Mezní hodnoty a metoda jejich stanovení jsou podrobně popsány v článku - Smykové chování kotev v železobetonu. Jakmile kontaktní síla dosáhne této mezní hodnoty, je spuštěno kritérium zastavení a analýza je ukončena dříve, než je únosnost překročena.​ 

Kontrola vytažení pro kotvy s hlavou (podložky a spřahovací trny)

Pro kotvy s hlavou je implementováno dodatečné kritérium zastavení pro kontrolu otlačení (drcení) betonu nad hlavou kotvy - vytažení. Během analýzy je sledována tlaková síla přenášená kontaktem hlava-beton a porovnávána s mezní hodnotou danou normou ACI 318-19, čl. 17.6.3.2.2a (porušení vytažením kotvení s hlavou).

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

kde:

• $\Phi$ je součinitel snížení pevnosti - Tabulka 17.5.3(c)
• A_brg čistá nosná plocha hlavy trnu, kotevního šroubu nebo tvarované kotevní tyče s hlavou (bez plochy dříku). 
• f'_c je stanovená pevnost betonu v tlaku
• $\Psi_{c,p}$ je součinitel vytažení při trhlinách podle 17.6.3.3 a vždy se uvažuje hodnotou 1,0, tj. hodnota pro popraskaný beton. To je v souladu s přístupem CSFM použitým v aplikaci Detail, kde je pevnost betonu v tahu zanedbána a beton je uvažován jako popraskaný v tahu.

Jakmile kontaktní síla dosáhne této normové mezní hodnoty, je spuštěno kritérium zastavení a analýza je ukončena dříve, než je únosnost proti vytažení překročena.​ 

Kotvení -  Napětí soudržnosti

Smykové napětí soudržnosti je hodnoceno nezávisle jako poměr mezi napětím soudržnosti τ_b vypočteným pomocí MKP analýzy a pevností soudržnosti f_bu.

Ačkoli pevnost soudržnosti není v normě ACI 318-19 explicitně definována, výpočet kotevní délky lze nalézt v části 25.4.2. Nicméně, jelikož pevnost soudržnosti je základním vstupem pro stanovení kotevní délky, viz R25.4.1.1 a ACI Committee 408 1966, pevnost soudržnosti lze vypočítat následovně:

Předpokládejme, že pokud zakotvíme výztužný prut do betonového bloku na kotevní délku l_d nebo větší, vytažení výztuže povede k přetržení výztuže, a nikoli k vytažení z betonu. To lze zapsat následujícím vztahem.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

kde:

d_b je průměr výztužného prutu, l_d je kotevní délka, f_bu je pevnost soudržnosti, f_y je mez kluzu výztuže a A_s je plocha výztužného prutu.

Z výše uvedeného lze snadno odvodit vzorec pro výpočet pevnosti soudržnosti:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Kotevní délka l_d je poté stanovena podle ACI 318-19 Tabulka 25.4.2.3 následovně:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

kde:

C = 25 (2,1 v metrických jednotkách) pro pruty č. 6 a menší a tvarované dráty, C = 20 (1,7 v metrických jednotkách) pro pruty č. 7 a větší, λ = 1,0 pro beton s normální hmotností, ψ_t, ψ_e, ψ_g jsou stanoveny podle ACI 318-19 Tabulka 25.4.2.3. 

Podporována je pouze nepovlakovaná nebo zinkovaná (pozinkovaná) výztuž, takže ψ_e = 1,0. ψ_g je automaticky určena z třídy výztuže a ψ_t je automaticky odvozena z polohy výztuže v modelu a ze směru betonáže, který lze nastavit v aplikaci pro každou položku projektu následovně.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad Direction of concreting}}}$$

Tato ověření jsou prováděna s ohledem na příslušné mezní hodnoty pro jednotlivé části konstrukce (tj. i přes to, že je použita jediná třída jak pro beton, tak pro materiál výztuže, výsledné diagramy napětí-přetvoření se budou v jednotlivých částech konstrukce lišit v důsledku vlivů tahového zpevnění a tlakového změkčení).

Kotvení -  Celková síla

Celková síla F_tot a mezní síla F_lim

Celková síla F_tot je výsledkem analýzy metodou konečných prvků a lze ji definovat dvěma způsoby.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

kde A_s je plocha výztužného prutu a f_s je napětí v prutu.

Nebo jako součet kotevní síly F_a a síly soudržnosti F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

kde F_a je skutečná síla v kotevní pružině a F_bond je síla soudržnosti, kterou lze získat integrací napětí soudržnosti τ_b po délce výztužného prutu l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s je obvod výztužného prutu.

Mezní síla F_lim je maximální síla v prvku výztužného prutu s uvážením pevnosti prutu a také podmínek kotvení (soudržnost mezi betonem a výztuží a kotevní háky, smyčky atd.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

kde C_s je obvod výztužného prutu a l je délka od začátku prutu do sledovaného bodu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

kde F_lim,add je přídavná síla vypočtená z velikosti úhlu mezi sousedními prvky. F_lim,2 musí být vždy menší než F_u.

Dostupné typy kotvení v CSFM zahrnují rovný prut (tj. bez redukce konce kotvy), hák 90 stupňů, hák 180 stupňů, dokonalou soudržnost a spojitý prut. Všechny tyto typy, spolu s příslušnými kotevními součiniteli β, jsou znázorněny na obr. 47 pro podélnou výztuž. Hodnoty přijatých kotevních součinitelů jsou odvozeny z porovnání rovnice z části ACI 318-19 25.4.3.1 a rovnic převzatých z části ACI 318-19 25.4.2.3. Je třeba poznamenat, že navzdory různým dostupným možnostem CSFM rozlišuje tři typy kotevních konců: (i) bez redukce kotevní délky, (ii) redukce o 30 % kotevní délky v případě normalizovaného kotvení a (iii) dokonalá soudržnost.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Kotevní součinitel pro třmínky je vždy - β = 1,0.

Aby byl dodržen soulad s normou ACI, měla by být ve výpočtu použita kotevní pružina, kotevní pružina je upravena součinitelem β, takže uživatel musí při definování podmínek začátku a konce výztuže použít jeden z dostupných typů kotvení. 

Beton – pevnost

Model betonu implementovaný pro výpočty pevnosti ve 3D CSFM vychází z předpokladů rovnováhy a kompatibility přetvoření podle AASHTO LRFD pro návrh na pevnost. V souladu s AASHTO LRFD (2024), článek 5.6.2.1, se tahová pevnost betonu zanedbává.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementace 3D CSFM v aplikaci IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení z hlediska přetvoření pro beton v tlaku (tj. po dosažení vrcholového napětí se uvažuje plastická větev s ε_c0 o maximální hodnotě 5 %, zatímco AASHTO LRFD (2024), článek 5.6.2.1, předpokládá mezní přetvoření menší než 0,3 %). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí porušených tlakem. Pevnost je však správně predikována, pokud se zohlední nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností pomocí redukčního součinitele $\eta_{fc}$ definovaného v fib Model Code 2010 následovně:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

α₁ je redukční součinitel tlakové pevnosti betonu definovaný v AASHTO LRFD (2024), článek 5.6.2.2. Při použití parabolicko-rektangulárního pracovního diagramu napětí-přetvoření je nutné redukovat maximální tlakové napětí tímto součinitelem. Tím se zprůměruje rozdělení napětí v tlačené oblasti tak, aby výsledná tlaková pevnost byla menší nebo rovna tlakové pevnosti vypočtené pomocí diagramu napětí-přetvoření s klesající plastickou větví.

Φ_c je součinitel redukce pevnosti betonu. Výchozí hodnota je nastavena podle AASHTO LRFD (2024), článek 5.5.4.2.

f'_c je válcová pevnost betonu (v MPa pro definici $\eta_{fc}$).

Výztuž

Pro nepředpjatou výztuž se uvažuje ideálně pružně-plastický diagram napětí-přetvoření s definovanou mezí kluzu. Viz AASHTO LRFD (2024), článek 5.4.3. Definice tohoto diagramu vyžaduje pouze znalost základních vlastností výztuže – pevnosti a modulu pružnosti.

Pracovní diagram napětí-přetvoření výztuže může být také definován uživatelem, ale v tomto případě nelze uvažovat tahové zpevnění. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

kde:

Φ_s je součinitel redukce pevnosti výztuže. Výchozí hodnota je nastavena podle AASHTO LRFD (2024), článek 5.5.4.2.

f_y je mez kluzu výztuže

E_s modul pružnosti výztuže

Jako mezní přetvoření, při kterém se výpočet zastaví, je zvoleno 10 %. To je považováno za bezpečné na základě normy ASTM A955/A955M-20c, článek 7.

Tahové zpevnění (obr. 50)  je zohledněno automaticky úpravou vstupního vztahu napětí-přetvoření holé výztužné tyče tak, aby zachycoval průměrnou tuhost prutů zality v betonu (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method je v souladu s moderními návrhovými normami. Vzhledem k tomu, že výpočtové modely používají pouze standardní materiálové vlastnosti, lze formát dílčích součinitelů bezpečnosti předepsaný v návrhových normách použít bez jakékoli úpravy. Vstupní zatížení jsou tak násobena součiniteli a charakteristické materiálové vlastnosti jsou redukovány pomocí příslušných redukčních součinitelů pevnosti, přesně jako u konvenční analýzy betonu.

Hodnoty redukčních součinitelů pevnosti jsou předepsány v AASHTO LRFD (2024), článek 5.5.4, a pro kotvy v ACI 318-19, kapitola 17, a AASHTO LRFD (2024), článek 6.5.4.2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Součinitele zatížení a kombinace zatížení musí být definovány podle AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), článek 3.4.1 a tabulky 3.4.1-1 až 3.4.1-6. AASHTO LRFD výslovně stanovuje kombinace zatížení pro mezní stav únosnosti (Strength I až Strength V), včetně odpovídajících součinitelů zatížení pro každý případ.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Různá ověření vyžadovaná normou AASHTO se posuzují na základě přímých výsledků poskytovaných modelem. Ověření se provádí pro pevnost betonu, pevnost výztuže a kotvení (smyková napětí soudržnosti).

Pevnost - Beton

Pevnost betonu v tlaku se vyhodnocuje jako poměr mezi maximálním ekvivalentním hlavním napětím f_c,eq (dříve také σ_c,eq) získaným z FE analýzy a limitní hodnotou f'_c,lim.

Ekvivalentní hlavní napětí vyjadřuje ekvivalentní jednoosé napětí pro obecný triaxiální stav napjatosti.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Hodnotu f_c,eq lze tedy přímo porovnat s limity jednoosé pevnosti. Tento výraz vychází z implementace teorie plasticity Mohr-Coulomb, konzervativně za předpokladu úhlu vnitřního tření φ = 0°.

Pevnost - Výztuž

Pevnost výztuže se vyhodnocuje jak v tahu, tak v tlaku jako poměr mezi napětím ve výztuži v trhlinách f_s a stanovenou limitní hodnotou f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Pevnost - Kotvy

Kotvy jsou posuzovány na normálová napětí podobným způsobem jako výztuž, kde je stanovena limitní hodnota f_y,lim. 

Pro snazší orientaci v následujícím textu nejprve rozdělíme kotvení do tří skupin z hlediska normového posouzení podle AASHTO nebo ACI.

Skupina 1

• Typy kotvení

  • Předem zabetonovaná deska
  • Patní deska - Odsazení = přímé 
  • Patní deska - Odsazení = maltový spoj - tloušťka malty menší než 0,5násobek průměru kotvy
  • Jednotlivá kotva s vyčnívající délkou menší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normové posouzení kotev (AASHTO / ACI)

  • Tah/tlak

    • Všechny typy kotev v tahu – ACI 318-19 kap. 17.6.1.2  
    • Všechny typy kotev v tlaku – AASHTO článek 6.9.2
  • Smyk bez páky

    • Materiál šroubu – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b)
    • Spřahovací trny – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (a)
    • Výztuž – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b)
  • Interakce tahu a smyku - ACI 318-19 kap. 17.8

Skupina 2

• Typy kotvení

  • Patní deska - Odsazení = maltový spoj - tloušťka malty větší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normové posouzení kotev (AASHTO / ACI)

  • Tah/tlak

    • Všechny typy kotev v tahu – ACI 318-19 kap. 17.6.1.2  
    • Všechny typy kotev v tlaku – AASHTO článek 6.9.2
  • Smyk s pákou

    • Materiál šroubu – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b) + kap. 17.7.1.2.1.
    • Spřahovací trny – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (a) + kap. 17.7.1.2.1.
    • Výztuž – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b) + kap. 17.7.1.2.1.
  • Interakce tahu a smyku - ACI 318-19 kap. 17.8

Skupina 3

• Typy kotvení

  • Patní deska - Odsazení = mezera
  • Jednotlivá kotva s vyčnívající délkou větší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normové posouzení kotev (AASHTO / ACI)

  • Tah/tlak (s boulením)

    • Všechny typy kotev v tahu – ACI 318-19 kap. 17.6.1.2
    • Všechny typy kotev v tlaku – AASHTO LRFD článek 6.9.2
  • Ohyb

    • Pro všechny typy kotev – AAHTO LRFD článek 6.12.2.2.7
  • Smyk

    • Pro všechny typy kotev – AASHTO LRFD článek 6.10.9
  • Interakce osové síly a ohybu

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Tahová únosnost kotvy podle ACI 318-19 kap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

kde:

• ϕ_a,t  – součinitel snížení pevnosti pro kotvy v tahu podle ACI 318-19 kap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – plocha tahového napětí (redukovaná závitem)
• f_uta – stanovená pevnost oceli kotvy v tahu, která nesmí být větší než 1,9 f_ya a 860 MPa

Smyková únosnost kotvy podle ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (a)

Pevnost oceli ve smyku pro spřahovací trny se stanoví jako:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

kde:
ϕ_a,v – součinitel snížení pevnosti pro kotvy v tahu podle ACI 318-19 kap. 17.5.3 (a)
A_se,V – plocha tahového napětí (redukovaná závitem)
f_uta – stanovená pevnost oceli kotvy v tahu, která nesmí být větší než 1,9 f_ya a 860 MPa

Smyková únosnost kotvy podle ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b)

Pevnost oceli ve smyku pro kotvy ze šroubového materiálu a výztuže se stanoví jako:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

kde:

• ϕ_a,v  – součinitel snížení pevnosti pro kotvy v tahu podle ACI 318-19 kap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – plocha tahového napětí (redukovaná závitem)
• f_uta – stanovená pevnost oceli kotvy v tahu, která nesmí být větší než 1,9 f_ya a 860 MPa

Smyková únosnost kotvy připojené k základu s maltou - ACI 318-19 kap. 17.7.1.2.1

Pokud jsou kotvy použity s vybudovanými maltovými podložkami (Skupina 2), návrhová pevnost vypočtená v souladu s 17.7.1.2 se vynásobí hodnotou 0,80.

Interakce v tahu a smyku podle ACI 318-19 kap. 17.8

Je přípustné zanedbat interakci mezi tahem a smykem, pokud je splněna podmínka (a) nebo (b).
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Pokud N_ua/(ϕN_n) > 0,2 pro rozhodující pevnost v tahu a V_ua/(ϕV_n) > 0,2 pro rozhodující pevnost ve smyku, musí být splněna rovnice (17.8.3).

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Tlaková únosnost kotvy podle AASHTO LRFD Článek 6.9.2

$$P_r =\phi_{a,c}\, P_{n}$$

kde:

• ϕ_a,c  – součinitel snížení pevnosti pro kotvy v tlaku podle AASHTO LRFD článek 6.5.4.2

• Pokud $\dfrac{P_o}{P_e} \le 2.25$,  pak: $P_{n}=\left(0.658^{\,P_o/P_e}\right)P_o$,   Jinak: $P_n=0.877\,P_e$

• A_g​ – hrubá plocha průřezu prvku (in²)
• F_y – stanovené minimální mez kluzu použitého typu oceli (ksi)
• $P_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{K\,l}{r_s}\right)^2}A_g$ - elastická kritická únosnost při boulení (kip)
• E – modul pružnosti oceli (ksi)
• K = 2 – součinitel účinné délky podle článku 4.6.2.5 
• l – nezavětrovaná délka v rovině boulení (in) 
• $r_s=\sqrt{\dfrac{I}{A_g}}$ – poloměr setrvačnosti
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – moment setrvačnosti šroubu 

Ohybová únosnost kotvy podle AASHTO LRFD Článek 6.12.2.2.7

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

kde:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – plastický průřezový modul šroubu
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – elastický průřezový modul šroubu