O dimensionamento e a verificação de elementos de betão são normalmente realizados ao nível seccional (elemento 1D) ou pontual (elemento 2D). Este procedimento está descrito em todas as normas de dimensionamento estrutural, por exemplo, na (EN 1992-1-1 ou ACI 318-19), e é utilizado na prática corrente da engenharia estrutural. No entanto, nem sempre se sabe ou se respeita que este procedimento só é aceitável em zonas onde se aplica a hipótese de Bernoulli-Navier de distribuição plana de extensões (designadas regiões B). Os locais onde esta hipótese não se aplica são designados regiões de descontinuidade ou regiões perturbadas (regiões D). Exemplos de regiões B e D em elementos 1D são apresentados na (Fig. 1). Trata-se, por exemplo, de zonas de apoio, zonas onde são aplicadas cargas concentradas, locais onde ocorre uma alteração abrupta da secção transversal, aberturas, etc. Ao dimensionar estruturas de betão, encontramos muitas outras regiões D, como paredes, diafragmas de pontes, consolos, etc. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}$$

No passado, utilizavam-se regras de dimensionamento semi-empíricas para dimensionar regiões de descontinuidade. Felizmente, estas regras foram amplamente substituídas ao longo das últimas décadas por modelos de escora-e-tirante (Schlaich et al., 1987) e campos de tensão (Marti 1985), que constam dos atuais códigos de dimensionamento e são frequentemente utilizados pelos projetistas atualmente. Estes modelos são ferramentas mecanicamente consistentes e poderosas. Note-se que os campos de tensão podem, em geral, ser contínuos ou descontínuos, e que os modelos de escora-e-tirante são um caso particular de campos de tensão descontínuos.

Apesar da evolução das ferramentas computacionais ao longo das últimas décadas, os modelos de Escora-e-Tirante continuam essencialmente a ser utilizados em cálculos manuais. A sua aplicação em estruturas reais é morosa e demorada, uma vez que são necessárias iterações e é preciso considerar vários casos de carga. Além disso, este método não é adequado para verificar critérios de estado limite de utilização (deformações, larguras de fendas, etc.).

O interesse dos engenheiros estruturais numa ferramenta fiável e rápida para dimensionar regiões D levou à decisão de desenvolver o novo Método do Campo de Tensões Compatível, um método para dimensionamento de campos de tensão assistido por computador que permite o dimensionamento e a verificação automáticos de elementos estruturais de betão sujeitos a carregamento no plano.

O Método do Campo de Tensões Compatível (CSFM) é um método contínuo de análise de campos de tensão baseado em elementos finitos, no qual as soluções clássicas de campos de tensão são complementadas com considerações cinemáticas, ou seja, o estado de deformação é avaliado em toda a estrutura. Assim, a resistência efetiva à compressão do betão pode ser calculada automaticamente com base no estado de deformação transversal, de forma semelhante às análises de campo de compressão que têm em conta o amolecimento à compressão  (Vecchio e Collins 1986; Kaufmann e Marti 1998) e ao método EPSF (Fernández Ruiz e Muttoni 2007). Além disso, o CSFM considera o enrijecimento à tração, atribuindo rigidezes realistas aos elementos, e cobre todas as prescrições dos códigos de dimensionamento (incluindo aspetos de estado limite de utilização e de capacidade de deformação) que não eram tratadas de forma consistente pelas abordagens anteriores. O CSFM utiliza as leis constitutivas uniaxiais comuns fornecidas pelas normas de dimensionamento para o betão e a armadura. Estas são conhecidas na fase de dimensionamento, o que permite utilizar o método dos coeficientes parciais de segurança. Assim, os projetistas não têm de fornecer propriedades adicionais dos materiais, muitas vezes arbitrárias, como é habitualmente exigido nas análises não lineares por elementos finitos, tornando o método perfeitamente adequado para a prática de engenharia.

Para promover a utilização de campos de tensão assistidos por computador pelos engenheiros estruturais, estes métodos devem ser implementados em ambientes de software fáceis de utilizar. Para o efeito, o CSFM foi implementado na IDEA StatiCa Detail; um novo software comercial fácil de utilizar, desenvolvido em conjunto pela ETH Zurich e pela empresa de software IDEA StatiCa, no âmbito do projeto DR-Design Eurostars-10571.

O CSFM considera a tensão principal máxima do betão à compressão (σ_c2r) e as tensões na armadura (σ_sr) nas fendas, desprezando a resistência à tração do betão (σ_c1r = 0), exceto pelo seu efeito de enrijecimento na armadura. A consideração do enrijecimento à tração permite simular as deformações médias da armadura (ε_m). São consideradas fendas fictícias, rotativas e livres de tensão que abrem sem escorregamento (Fig. 2a), sendo também tido em conta o equilíbrio nas fendas em conjunto com as deformações médias da armadura. 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Pressupostos básicos do CSFM: (a) tensões principais no betão; (b) tensões na direção da armadura;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) diagrama tensão-deformação do betão em termos de tensões máximas com consideração do amolecimento à compressão;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) diagrama tensão-deformação da armadura em termos de tensões nas fendas e deformações médias; (e) lei de amolecimento}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{à compressão; (f) relação tensão de aderência-escorregamento para verificações do comprimento de ancoragem.}}}$

Apesar da sua simplicidade, foi demonstrado que pressupostos semelhantes produzem previsões precisas para elementos armados sujeitos a carregamento no plano (Kaufmann 1998; Kaufmann e Marti 1998), desde que a armadura fornecida evite roturas frágeis na fendilhação. Além disso, a não consideração de qualquer contribuição da resistência à tração do betão para a carga última é consistente com os princípios dos códigos de dimensionamento modernos, os quais se baseiam maioritariamente na teoria da plasticidade.

No entanto, o CSFM não é adequado para elementos esbeltos sem armadura transversal, uma vez que mecanismos relevantes para tais elementos, como o entrosamento dos agregados, as tensões residuais de tração na ponta da fenda e o efeito de ferrolho – todos eles dependentes direta ou indiretamente da resistência à tração do betão – são desprezados. Embora algumas normas de dimensionamento permitam o dimensionamento de tais elementos com base em disposições semi-empíricas, o CSFM não se destina a este tipo de estrutura potencialmente frágil.

Betão

O modelo de betão implementado no CSFM baseia-se nas leis constitutivas de compressão uniaxial prescritas pelos códigos de dimensionamento para o dimensionamento de secções transversais, que dependem apenas da resistência à compressão. O diagrama parábola-retângulo (Fig. 2c) é utilizado por defeito no CSFM, mas os projetistas também podem escolher uma relação elástica ideal-plástica mais simplificada. Ao efetuar a verificação de acordo com o código ACI, apenas é possível utilizar o diagrama tensão-deformação parábola-retângulo. Como mencionado anteriormente, a resistência à tração é desprezada, tal como no dimensionamento clássico de betão armado.

A resistência efetiva à compressão é avaliada automaticamente para o betão fendilhado com base na deformação principal de tração (ε₁) através do fator de redução k_c2, conforme mostrado na Fig. 2c e e. A relação de redução implementada (Fig. 2e) é uma generalização da proposta do fib Model Code 2010 para verificações ao corte, que contém um valor limite de 0,65 para o rácio máximo entre a resistência efetiva do betão e a resistência à compressão do betão, o qual não é aplicável a outros casos de carregamento.

O CSFM em IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão à compressão (ou seja, considera um ramo infinitamente plástico após ser atingida a tensão de pico). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que rompem à compressão. No entanto, a sua capacidade última é corretamente prevista quando, além do fator de betão fendilhado (k_c2) definido na (Fig. 2e), o aumento da fragilidade do betão à medida que a sua resistência aumenta é considerado através do fator de redução $\eta_{fc}$ definido no fib Model Code 2010 da seguinte forma:

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

onde:

k_c é o fator de redução global da resistência à compressão

k_c2 é o fator de redução devido à presença de fendilhação transversal

f_c é a resistência característica do betão em cilindros (em MPa para a definição de $\eta_{fc}$).

Existe também uma redução do fator k_c2 devido à estabilidade do cálculo. Esta redução não influencia a resistência total dos elementos. Assumindo o valor de f_cd como a resistência majorada do betão (valor de cálculo), o valor de k_c2 é reduzido de acordo com as seguintes regras.

σ_c2r < 0.11f_cd                                           k_c2=1.0
0.11f_cd < σ_c2r < 0.37f_cd                          k_c2 é uma interpolação linear entre 1,0 e o valor retirado do
                                                              gráfico apresentado na Fig. 2f
σ_c2r > 0.37f_cd                                             k_c2 é retirado diretamente do gráfico da Fig. 2f

Armadura

É considerado o diagrama tensão-deformação bilinear idealizado para os varões de armadura nus, tipicamente definido pelos códigos de dimensionamento (Fig. 2d). A definição deste diagrama requer apenas o conhecimento das propriedades básicas da armadura durante a fase de dimensionamento (classe de resistência e ductilidade). Também é possível definir uma relação tensão-deformação definida pelo utilizador.

O enrijecimento à tração é considerado através da modificação da relação tensão-deformação de entrada do varão de armadura nu, de forma a captar a rigidez média dos varões embebidos no betão (ε_m).

Modelo de aderência

A aderência-escorregamento entre a armadura e o betão é introduzida no modelo de elementos finitos considerando a relação constitutiva rígido-perfeitamente plástica simplificada apresentada na Fig. 2f, sendo f_bd o valor de cálculo (valor majorado) da tensão de aderência última especificada pelo código de dimensionamento para as condições de aderência específicas.

Trata-se de um modelo simplificado com o único objetivo de verificar as disposições de aderência de acordo com os códigos de dimensionamento (ou seja, a ancoragem da armadura). A redução do comprimento de ancoragem ao utilizar ganchos, laços e formas de varão semelhantes pode ser considerada definindo uma determinada capacidade na extremidade da armadura, como será descrito mais adiante. 

Fluxo de trabalho e objetivos

O objetivo das ferramentas de cálculo de armadura no CSFM é ajudar os projetistas a determinar a localização e a quantidade necessária de varões de armadura de forma eficiente. As seguintes ferramentas estão disponíveis para ajudar / orientar o utilizador neste processo: cálculo linear e otimização topológica.

As ferramentas de cálculo de armadura consideram modelos constitutivos mais simplificados do que os modelos utilizados para a verificação final da estrutura. Por isso, a definição da armadura nesta etapa deve ser considerada um pré-dimensionamento a ser confirmado/refinado durante a etapa de verificação final. A utilização das diferentes ferramentas de cálculo de armadura será ilustrada no modelo apresentado na Fig. 3, que consiste numa extremidade de uma viga simplesmente apoiada com altura variável, sujeita a uma carga uniformemente distribuída.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Modelo utilizado para ilustrar a utilização das ferramentas de cálculo de armadura.}}}$$

Análise linear

A análise linear considera propriedades de material elástico linear e negligencia a armadura na região de betão. Trata-se, portanto, de um cálculo muito rápido que fornece uma primeira perceção da localização das zonas de tração e compressão. Um exemplo deste tipo de cálculo é apresentado na Fig. 4.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Resultados da ferramenta de análise linear para a definição da disposição da armadura}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(vermelho: zonas em compressão, azul: zonas em tração).}}}$$

Otimização topológica

A otimização topológica é um método que visa encontrar a distribuição ótima de material num determinado volume para uma certa configuração de carga. A otimização topológica implementada no Idea StatiCa Detail utiliza um modelo de elementos finitos lineares. Cada elemento finito pode ter uma densidade relativa de 0 a 100 %, representando a quantidade relativa de material utilizado. Estas densidades dos elementos são os parâmetros de otimização no problema de otimização. A distribuição de material resultante é considerada ótima para o conjunto de cargas dado se minimizar a energia de deformação total do sistema. Por definição, a distribuição ótima é também a geometria que apresenta a maior rigidez possível para as cargas dadas.

O processo iterativo de otimização começa com uma distribuição de densidade homogénea. O cálculo é realizado para múltiplas frações de volume total (20%, 40%, 60% e 80%), o que permite ao utilizador selecionar o resultado mais prático. A forma resultante consiste em treliças com escoras e tirantes e representa a forma ótima para os casos de carga considerados (Fig. 5).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Resultados da ferramenta de cálculo de otimização topológica com 20\% e 40\%  de volume efetivo}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(vermelho: zonas em compressão, azul: zonas em tração).}}}$$

O CSFM considera campos de tensões contínuos no betão (elementos finitos 2D), complementados por elementos de “barra” discretos que representam a armadura (elementos finitos 1D). Assim, a armadura não é incorporada de forma difusa nos elementos finitos 2D de betão, mas sim modelada explicitamente e ligada a estes. Considera-se um estado plano de tensão no modelo de cálculo.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualização do modelo de cálculo de um elemento estrutural (viga recortada) no Idea StatiCa Detail.}}}$$

Podem ser modelizadas tanto paredes e vigas inteiras, como detalhes (partes) de vigas (região de descontinuidade isolada, também designada por extremidade recortada). No caso de paredes e vigas inteiras, os apoios devem ser definidos de forma a resultar numa estrutura (externamente) isostática (estaticamente determinada) ou hiperstática (estaticamente indeterminada). A transferência de carga nas extremidades recortadas das vigas é introduzida por meio de uma zona de transferência de Saint-Venant especial, que garante uma distribuição realista das tensões na região de detalhe analisada.

Para modelar a maioria das situações durante o processo de construção, estão disponíveis no CSFM muitos tipos de apoios (Fig. 7) e componentes utilizados para transmitir cargas (Fig. 8).

Apoios

O apoio pontual pode ser modelado de várias formas para garantir que as tensões não fiquem localizadas num ponto, mas sim distribuídas por uma área maior. A primeira opção é um apoio pontual distribuído (Fig. 7a), que distribui uniformemente a carga na extremidade do elemento ao longo da largura especificada.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Vários tipos de apoios:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) pontual distribuído; (b) placa de apoio; (c) apoio linear; (d) apoio de área; (e) suspenso.}}}$$

O apoio de área (Fig. 7d), por outro lado, só pode ser colocado no interior de um volume de betão com um raio efetivo definido. É então ligado por elementos rígidos aos nós da malha de armadura dentro deste raio. Por isso, é necessário definir uma gaiola de armadura em torno do apoio de área.

Para uma modelação mais precisa de alguns cenários reais, existem outras duas opções para o apoio pontual. Em primeiro lugar, existe o apoio pontual com uma placa de apoio de largura e espessura definidas (Fig. 7b). O material da placa de apoio pode ser especificado, e toda a placa de apoio é malhada de forma independente. Em segundo lugar, está disponível o apoio suspenso (Fig. 7e), que pode ser utilizado para modelar ancoragens de elevação ou pinos de elevação.

O apoio linear (Fig. 7c) pode ser definido numa extremidade (especificando o seu comprimento) ou no interior de um elemento (por uma polilinha). É também possível especificar a sua rigidez e/ou comportamento não linear (apoio à compressão/tração ou apenas à compressão).

• Leia descrições detalhadas em Tipos de apoios no IDEA StatiCa Detail

Componentes de transmissão de cargas

A introdução de cargas na estrutura também pode ser modelada de várias formas. Para cargas pontuais, pode ser utilizada uma placa de apoio (Fig. 8a), de forma semelhante ao apoio pontual, distribuindo a carga concentrada por uma área maior graças a uma chapa de aço com largura e espessura definidas. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Vários tipos de componentes de transmissão de carga:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) placa de apoio; (b) carga de área; (c) suspenso; (d) área parcialmente carregada.}}}$$

A carga pontual pode ser aplicada diretamente na superfície da estrutura com um raio de ação definido (a carga é aplicada aos elementos de betão) ou através de um dispositivo de transmissão especial designado por carga de área (Fig. 8b e Fig. 9). A carga de área permite transmitir a carga diretamente à armadura definida localizada dentro da área do raio efetivo. Para garantir o correto funcionamento da carga de área, é necessário definir um grupo de varões que será interligado com a carga (nas propriedades da armadura). Quando a armadura interligada não é definida, o mecanismo de transferência de carga é o mesmo que para a carga pontual colocada na superfície de um elemento, e a carga é transferida pelas restrições aos elementos de betão, não diretamente à armadura. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Carga de área: (a) aplicação da carga; (b) carga transferida através de varões (é definido um grupo de varões para a transferência de carga);}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) carga transferida através do betão (não é definido um grupo de varões para a transferência de carga).}}}$$

As ancoragens de elevação ou os pinos de elevação podem ser modelados por uma carga suspensa (Fig. 8c). O utilizador pode usar uma área parcialmente carregada (Fig. 8d), que permite aumentar a capacidade resistente do betão à compressão de acordo com o Eurocódigo (não é possível utilizar este tipo de componente de transmissão de carga quando está definido o ACI). A estrutura também pode ser carregada com cargas lineares nas extremidades, por polilinha geral, ou por cargas de superfície. A aplicação Detail é capaz de considerar automaticamente o peso próprio na análise.

Em muitos casos, é necessário modelar apenas um determinado detalhe (parte) de um elemento estrutural, como o apoio de uma viga, uma abertura no meio da viga, etc. Esta abordagem pode conduzir a configurações de apoio que são instáveis, mas admissíveis no IDEA StatiCa Detail (incluindo o caso de ausência de apoios). No entanto, nesses casos, é também necessário modelar a secção que representa a ligação à região B adjacente, incluindo os esforços internos nessa secção que satisfazem o equilíbrio. Em certos casos (por exemplo, na modelação do apoio da viga), esses esforços internos podem ser determinados automaticamente pelo programa.

Entre a região B e a região de descontinuidade analisada, é criada automaticamente uma zona de transferência de Saint-Venant para garantir uma distribuição de tensões realista na região analisada. A largura da zona de transferência é determinada como metade da altura da secção. Como o único propósito da zona de Saint-Venant é obter uma distribuição de tensões adequada no restante do modelo, não são apresentados resultados dessa área na verificação, e nenhum critério de paragem é considerado aqui.

A extremidade da zona de Saint-Venant que representa a extremidade cortada da viga é modelada como rígida, ou seja, pode rodar, mas deve permanecer plana. Isto é feito ligando todos os nós de elementos finitos da extremidade a um nó separado no centro de inércia da secção, através de um elemento de corpo rígido (RBE2). Os esforços internos do elemento podem então ser aplicados nesse nó, conforme mostrado na Fig. 10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transferência de esforços internos numa extremidade cortada.}}}$$

A redução da secção transversal é efetuada automaticamente para estruturas definidas como uma junta de viga ou pórtico (definida pelo eixo x e uma secção transversal). Esta modificação é aplicada automaticamente em secções transversais com banzos muito largos (Fig. 11) e baseia-se no pressuposto de que um campo de tensões de compressão se expandiria a partir da alma com um ângulo de 45°, pelo que a referida largura reduzida seria a largura máxima capaz de transferir as cargas

Note-se que o método de determinação da largura efetiva do banzo implementado no CSFM é diferente do indicado em 5.3.2.1 da EN 1992-1-1 (2015) ou em 9.2.4.4 do ACI 318-19. Além da geometria, a largura efetiva do banzo baseada no Eurocódigo é explicitamente afetada pelos vãos e pelas condições de fronteira de uma estrutura.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Redução da largura de uma secção transversal: (a) dados introduzidos pelo utilizador; (b) modelo de EF – largura reduzida do banzo determinada automaticamente.}}}$$

No caso de mísulas situadas no plano horizontal (Fig. 12), cada mísula é dividida em cinco secções ao longo do seu comprimento. Cada uma destas secções é depois modelada como uma parede de espessura constante, igual à espessura real no meio da respetiva secção.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Mísula horizontal: (a) dados introduzidos pelo utilizador; (b)  modelo de EF – mísula dividida automaticamente em cinco secções.}}}$$

O modelo de análise por elementos finitos não linear (inelástico) é criado por vários tipos de elementos finitos utilizados para modelar o betão, a armadura e a aderência entre eles. Os elementos de betão e de armadura são inicialmente discretizados de forma independente e depois ligados entre si através de restrições multiponto (elementos MPC). Isto permite que a armadura ocupe uma posição relativa arbitrária em relação ao betão. Se se pretender calcular a verificação do comprimento de ancoragem, são inseridos elementos de mola de aderência e de extremidade de ancoragem entre a armadura e os elementos MPC.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Betão

O betão é modelado utilizando elementos de casca quadrilaterais e triangulares, CQUAD4 e CTRIA3. Estes podem ser definidos, respetivamente, por quatro ou três nós. Assume-se que existe apenas estado plano de tensão nestes elementos, ou seja, as tensões ou deformações na direção z não são consideradas.

Cada elemento tem quatro ou três pontos de integração, localizados a aproximadamente 1/4 da sua dimensão. Em cada ponto de integração de cada elemento, são calculadas as direções das deformações principais α₁, α₂. Em ambas as direções, as tensões principais σ_c1, σ_c2 e as rigidezes E₁, E₂ são avaliadas de acordo com o diagrama tensão-deformação do betão especificado, conforme a Fig. 2. É de notar que o efeito do amolecimento à compressão associa o comportamento da direção de compressão principal ao estado real da outra direção principal.

Armadura

Os varões são modelados por elementos "rod" 1D de dois nós (CROD), que apenas possuem rigidez axial. Estes elementos estão ligados a elementos especiais de "aderência" desenvolvidos para modelar o comportamento de escorregamento entre um varão de armadura e o betão envolvente. Estes elementos de aderência são, por sua vez, ligados por elementos MPC (restrição multiponto) à malha que representa o betão. Esta abordagem permite a discretização independente da armadura e do betão, garantindo posteriormente a sua interligação.

Elementos de aderência

O comprimento de ancoragem é verificado através da implementação das tensões de corte de aderência entre os elementos de betão (2D) e os elementos de varões de armadura (1D) no modelo de elementos finitos. Para este efeito, foi desenvolvido um tipo de elemento finito de "aderência".

A definição do elemento de aderência é semelhante à de um elemento de casca (CQUAD4). É também definido por 4 nós, mas, ao contrário de uma casca, possui apenas rigidez ao corte não nula entre os dois nós superiores e os dois nós inferiores. No modelo, os nós superiores estão ligados aos elementos que representam a armadura e os nós inferiores aos que representam o betão. O comportamento deste elemento é descrito pela tensão de aderência, τ_b, como uma função bilinear do escorregamento entre os nós superiores e inferiores, δ_u, ver Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

O módulo de rigidez elástica da relação aderência-escorregamento, G_b, é definido da seguinte forma:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

onde:

k_g            coeficiente dependente da superfície do varão de armadura (por defeito, k_g = 0,2)

E_c            módulo de elasticidade do betão (considerado como E_cm no caso do EN)

Ø             o diâmetro do varão de armadura

Os valores de cálculo (valores fatorizados) da tensão de corte de aderência última, f_bd, fornecidos nos respetivos códigos de projeto selecionados, EN 1992-1-1 ou ACI 318-19, são utilizados para verificar o comprimento de ancoragem. O endurecimento do ramo plástico é calculado por defeito como G_b/10⁵.

Mola de ancoragem

A previsão de extremidades de ancoragem nos varões de armadura (ou seja, dobras, ganchos, laços...), que cumpre as prescrições dos códigos de projeto, permite a redução do comprimento de ancoragem básico dos varões (l_b,net) por um determinado fator β (referido abaixo como "coeficiente de ancoragem"). O valor de cálculo do comprimento de ancoragem (l_b) é então calculado da seguinte forma:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

A redução pretendida em l_b,net equivale à ativação do varão de armadura na sua extremidade a uma percentagem da sua capacidade máxima, dada pelo coeficiente de redução de ancoragem, como se mostra na Fig. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

A redução do comprimento de ancoragem é incluída no modelo de elementos finitos através de um elemento de mola na extremidade do varão (Fig. 15), definido pelo modelo constitutivo apresentado na Fig. 15b. A força máxima transmitida por esta mola (F_au) é:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

onde:

β             o coeficiente de ancoragem com base no tipo de ancoragem,

A_s            a secção transversal do varão de armadura,

f_yd           o valor de cálculo (valor fatorizado) da tensão de cedência da armadura.

Os elementos finitos são implementados internamente, e o modelo de análise é gerado automaticamente sem necessidade de interação do utilizador especializado. Uma parte importante deste processo é a malha.

Betão

Todos os elementos de betão são discretizados em conjunto. Um tamanho de elemento recomendado é calculado automaticamente pela aplicação com base no tamanho e forma da estrutura e tendo em conta o diâmetro do maior varão de armadura. Além disso, o tamanho de elemento recomendado garante que um mínimo de 4 elementos são gerados em partes finas da estrutura, como pilares esbeltos ou lajes finas, para assegurar resultados fiáveis nessas áreas. O número máximo de elementos de betão está limitado a 5000, mas este valor é suficiente para fornecer o tamanho de elemento recomendado para a maioria das estruturas. Os projetistas podem sempre selecionar um tamanho de elemento de betão definido pelo utilizador, modificando o multiplicador do tamanho de malha padrão.

Armadura

A armadura é dividida em elementos com um comprimento aproximadamente igual ao tamanho do elemento de betão. Uma vez geradas as malhas de armadura e de betão, estas são interligadas com elementos de aderência, conforme mostrado na Fig. 13.

Placas de apoio

As partes estruturais auxiliares, como as placas de apoio, são discretizadas de forma independente. O tamanho destes elementos é calculado como 2/3 do tamanho dos elementos de betão na zona de ligação. Os nós da malha da placa de apoio são então ligados aos nós da extremidade da malha de betão utilizando elementos de restrição de interpolação (RBE3).

Ações e apoios

As cargas de área e os apoios de área estão ligados apenas à armadura, conforme mostrado na Fig. 16. Por conseguinte, é necessário definir a armadura em torno deles. A ligação a todos os nós da armadura dentro do raio efetivo é assegurada por elementos RBE3 com peso igual.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}$$

Os apoios lineares e as cargas lineares estão ligados aos nós da malha de betão utilizando elementos RBE3 com base na largura especificada ou no raio efetivo. O peso das ligações é inversamente proporcional à distância ao apoio ou ao impulso de carga.

• Saiba mais sobre a interligação entre as ações individuais e a malha em General description of Load impulses in Detail application

Um algoritmo padrão de Newton-Raphson (NR) completo é utilizado para encontrar a solução de um problema de MEF não linear. 

Geralmente, o algoritmo NR não converge frequentemente quando a carga total é aplicada num único passo. Uma abordagem habitual, que também é utilizada aqui, consiste em aplicar a carga sequencialmente em múltiplos incrementos e utilizar o resultado do incremento de carga anterior para iniciar a solução de Newton do incremento subsequente. Para este efeito, foi implementado um algoritmo de controlo de carga sobre o método de Newton-Raphson. Caso as iterações NR não convirjam, o incremento de carga atual é reduzido a metade do seu valor, e as iterações NR são repetidas.

Um segundo objetivo do algoritmo de controlo de carga é encontrar a carga crítica, que corresponde a determinados "critérios de paragem" – especificamente a deformação máxima no betão, o deslizamento máximo nos elementos de aderência, o deslocamento máximo nos elementos de ancoragem e a deformação máxima nas armaduras. A carga crítica é encontrada utilizando o método da bisseção. Caso o critério de paragem seja excedido em qualquer ponto do modelo, os resultados do último incremento de carga são descartados, e é calculado um novo incremento com metade do tamanho do anterior. Este processo é repetido até que a carga crítica seja encontrada com uma determinada tolerância de erro.

Para o betão, o critério de paragem foi definido como uma deformação de 5% em compressão (ou seja, cerca de uma ordem de grandeza superior à deformação de rotura real do betão) e 7% em tração nos pontos de integração dos elementos de casca. Em tração, o valor foi definido de forma a permitir que a deformação limite na armadura, que é geralmente cerca de 5% sem considerar o enrijecimento à tração, seja atingida primeiro. Em compressão, o valor foi escolhido entre várias alternativas como sendo suficientemente elevado para que os efeitos do esmagamento sejam visíveis nos resultados, mas suficientemente reduzido para não causar demasiados problemas de estabilidade numérica.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}$$

Para a armadura, o critério de paragem é definido em termos de tensões. Uma vez que são modeladas as tensões na fenda, o critério em tração corresponde à resistência à tração da armadura considerando o coeficiente de segurança. O mesmo valor é utilizado para o critério em compressão.

O critério de paragem nos elementos de aderência e nas molas de ancoragem é α·δu_max, em que δu_max é o deslizamento máximo utilizado nas verificações normativas e α = 10.

Os resultados são apresentados de forma independente para o betão e para os elementos de armadura. Os valores de tensão e deformação no betão são calculados nos pontos de integração dos elementos de casca. No entanto, como não é prático apresentar os dados dessa forma, os resultados são apresentados por defeito nos nós, como o valor máximo de tensão de compressão a partir dos pontos de integração de Gauss adjacentes nos elementos conectados (Fig. 18). Deve notar-se que esta representação pode subestimar localmente os resultados nos bordos comprimidos dos elementos, no caso de a dimensão do elemento finito ser semelhante à altura da zona de compressão.

Fig. 18 - Elemento finito de betão com pontos de integração e nós: apresentação dos resultados para o betão nos nós e nos elementos finitos.

Os resultados para os elementos finitos de armadura são constantes para cada elemento (um valor – por exemplo, para as tensões no aço) ou lineares (dois valores – para os resultados de aderência). Para elementos auxiliares, como os elementos das placas de apoio, apenas são apresentadas as deformações.

A avaliação da estrutura utilizando o CSFM é realizada através de duas análises distintas: uma para combinações de ações do estado limite de serviço e outra para combinações de ações do estado limite último. A análise de serviço assume que o comportamento último do elemento é satisfatório e que as condições de cedência do material não serão atingidas para os níveis de carga de serviço. Esta abordagem permite a utilização de modelos constitutivos simplificados (com um ramo linear do diagrama tensão-deformação do betão) para a análise de serviço, de forma a melhorar a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo. Por conseguinte, recomenda-se a utilização do fluxo de trabalho apresentado a seguir, no qual a análise do estado limite último é realizada como primeiro passo.

Análise do estado limite último

As diferentes verificações exigidas por normas de dimensionamento específicas são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações ULS são realizadas para a resistência do betão, a resistência da armadura e a ancoragem (tensões de aderência ao corte).

Para garantir que um elemento estrutural tem um dimensionamento eficiente, é altamente recomendável realizar uma análise preliminar que tenha em conta os seguintes passos:

• Escolher uma seleção das combinações de ações mais críticas.
• Calcular apenas as combinações de ações do Estado Limite Último (ULS).
• Utilizar uma malha grosseira (aumentando o multiplicador do tamanho de malha padrão em Setup (Fig. 19)).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}$$

Um modelo deste tipo será calculado muito rapidamente, permitindo aos projetistas rever eficientemente a pormenorização do elemento estrutural e voltar a executar a análise até que todos os requisitos de verificação sejam cumpridos para as combinações de ações mais críticas. Uma vez cumpridos todos os requisitos de verificação desta análise preliminar, sugere-se que sejam incluídas todas as combinações de ações últimas e que se utilize um tamanho de malha fino (o tamanho de malha recomendado pelo programa). O utilizador pode alterar o tamanho da malha através do multiplicador, que pode atingir valores entre 0,5 e 5 (Fig. 19).

Os resultados básicos e as verificações (tensão, deformação e utilização (isto é, o valor calculado/valor limite da norma), bem como a direção das tensões principais no caso de elementos de betão) são apresentados através de diferentes gráficos, nos quais a compressão é geralmente apresentada a vermelho e a tração a azul. Podem ser destacados os valores mínimos e máximos globais para toda a estrutura, bem como os valores mínimos e máximos para cada parte definida pelo utilizador. Numa aba separada do programa, podem ser apresentados resultados avançados, tais como valores tensoriais, deformações da estrutura e rácios de armadura (efetivo e geométrico) utilizados para calcular o enrijecimento à tração dos varões de armadura. Além disso, podem ser apresentadas as ações e reações para as combinações ou casos de carga selecionados.

Análise do estado limite de serviço

As verificações SLS são realizadas para a limitação de tensões, a abertura de fendas e os limites de deformação. As tensões são verificadas nos elementos de betão e de armadura de acordo com a norma aplicável, de forma semelhante à especificada para o ULS.

A análise de serviço contém certas simplificações dos modelos constitutivos utilizados na análise do estado limite último. Assume-se uma aderência perfeita, ou seja, o comprimento de ancoragem não é verificado no estado de serviço. Além disso, o ramo plástico da curva tensão-deformação do betão à compressão é desprezado, enquanto o ramo elástico é linear e infinito. Estas simplificações melhoram a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo, e não reduzem a generalidade da solução, desde que os limites de tensão resultantes do material no estado de serviço estejam claramente abaixo dos seus pontos de cedência (conforme exigido pelas normas). Por conseguinte, os modelos simplificados utilizados para o estado de serviço só são válidos se todos os requisitos de verificação forem cumpridos.

Cálculo da abertura de fendas e Enrijecimento à tração

Cálculo da abertura de fendas

Existem duas formas de calcular a abertura de fendas - fendilhação estabilizada e não estabilizada. De acordo com o rácio geométrico de armadura em cada parte da estrutura, é decidido qual o tipo de modelo de cálculo de fendas que será utilizado (TCM para fendilhação estabilizada e POM para modelo de fendilhação não estabilizada).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Embora o CSFM produza um resultado direto para a maioria das verificações (por exemplo, capacidade do elemento, deformações…), os resultados de abertura de fendas são calculados a partir dos resultados de deformação da armadura fornecidos diretamente pela análise de elementos finitos, seguindo a metodologia descrita na Fig. 20. É considerada uma cinemática de fenda sem escorregamento (abertura pura da fenda) (Fig. 20a), o que é consistente com as principais premissas do modelo. As direções principais das tensões e deformações definem a inclinação das fendas (θ_r = θ_s= θ_e). De acordo com a (Fig. 20b), a abertura de fenda (w) pode ser projetada na direção do varão de armadura (w_b), obtendo-se:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

onde θ_b é a inclinação do varão.

Note-se que o programa apresenta valores de θ_r e θ_b < π/2. Isto significa que a equação anterior é válida para os casos em que a armadura e a fenda atravessam quadrantes diferentes do sistema de coordenadas cartesianas, como mostrado na Fig. 20, onde a armadura atravessa os quadrantes I e III e a fenda os quadrantes II e IV. Para os casos em que a armadura e a fenda atravessam os mesmos quadrantes, a equação tem de ser modificada da seguinte forma:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

A componente w_b é calculada de forma consistente com base nos modelos de enrijecimento à tração, integrando as deformações da armadura. Nas regiões com padrões de fendilhação totalmente desenvolvidos, as deformações médias calculadas (e_m) ao longo dos varões de armadura são diretamente integradas ao longo do espaçamento entre fendas (s_r), como indicado na (Fig. 20c). Embora esta abordagem para calcular as direções das fendas não corresponda à posição real das fendas, ela ainda assim fornece valores representativos que conduzem a resultados de abertura de fenda comparáveis aos valores de abertura de fenda exigidos pelas normas, na posição do varão de armadura.

São observadas situações especiais em cantos côncavos da estrutura calculada. Neste caso, o canto predefine a posição de uma única fenda que se comporta de forma não estabilizada antes de se desenvolverem fendas adjacentes adicionais. Estas fendas adicionais desenvolvem-se geralmente após o intervalo de serviço (Mata-Falcón 2015), o que justifica o cálculo das aberturas de fenda nessa região como se fossem não estabilizadas (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Enrijecimento à tração

A implementação do enrijecimento à tração distingue entre casos de padrões de fendilhação estabilizados e não estabilizados. Em ambos os casos, o betão é considerado totalmente fendilhado antes do carregamento, por defeito.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Fendilhação estabilizada

Em padrões de fendilhação totalmente desenvolvidos, o enrijecimento à tração é introduzido utilizando o Modelo de Tirante em Tração (Tension Chord Model, TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – que demonstrou fornecer excelentes previsões de resposta apesar da sua simplicidade (Burns 2012). O TCM assume uma relação de tensão de aderência-escorregamento em degraus, rígida-perfeitamente plástica, com τ_b = τ_b0 =2 f_ctm para σ_s ≤ f_y e τ_b =τ_b1 = f_ctm para σ_s > f_y. Tratando cada varão de armadura como um tirante em tração ­– Fig. 22b e Fig. 22a – a distribuição da tensão de aderência, das tensões no aço e no betão e, portanto, a distribuição de deformações entre duas fendas pode ser determinada para qualquer valor dado das tensões (ou deformações) máximas do aço nas fendas.

Para s_r = s_r0, uma nova fenda pode ou não formar-se, porque no centro entre duas fendas σ_c1 = f_ct. Consequentemente, o espaçamento entre fendas pode variar por um fator de dois, ou seja, s_r = λs_r0, com l = 0.5…1.0. Assumindo um determinado valor para λ, a deformação média do tirante (ε_m) pode ser expressa em função das tensões máximas na armadura (isto é, tensões nas fendas, σ_sr). Para o diagrama tensão-deformação bilinear idealizado para os varões de armadura considerado por defeito no CSFM, são obtidas as seguintes expressões analíticas fechadas (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

onde:
E_sh           o módulo de endurecimento do aço E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            módulo de elasticidade da armadura,

Ø            diâmetro do varão de armadura,

s_r                espaçamento entre fendas,

σ_sr           tensões na armadura nas fendas,

σ_s            tensões reais na armadura,

f_y                tensão de cedência da armadura.

A implementação do CSFM no Idea StatiCa Detail considera, por defeito, o espaçamento médio entre fendas ao realizar a análise de campo de tensões assistida por computador. O espaçamento médio entre fendas é considerado como 2/3 do espaçamento máximo entre fendas (λ = 0.67), o que segue as recomendações feitas com base em ensaios de flexão e tração (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Deve notar-se que os cálculos de abertura de fenda consideram um espaçamento máximo entre fendas (λ = 1.0), de modo a obter valores conservadores.

A aplicação do TCM depende do rácio de armadura e, por conseguinte, a atribuição de uma área de betão apropriada, atuando em tração entre as fendas, a cada varão de armadura é crucial. Foi desenvolvido um procedimento numérico automático para definir o rácio de armadura efetivo correspondente (ρ_eff = A_s/A_c,eff) para qualquer configuração, incluindo armadura inclinada (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Fendilhação não estabilizada

As fendas existentes em regiões com rácios geométricos de armadura inferiores a ρ_cr, ou seja, a quantidade mínima de armadura para a qual a armadura é capaz de suportar a carga de fendilhação sem ceder, são geradas por ações não mecânicas (por exemplo, retração) ou pela propagação de fendas controladas por outra armadura. O valor desta armadura mínima é obtido da seguinte forma:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

onde:

f_y              tensão de cedência da armadura,

f_ct             resistência à tração do betão,

n              coeficiente de homogeneização, n = E_s / E_c .

Para betão e aço de armadura convencionais, ρ_cr corresponde a aproximadamente 0,6%.

Para estribos com rácios de armadura abaixo de ρ_cr, a fendilhação é considerada não estabilizada e o enrijecimento à tração é implementado através do Modelo de Arrancamento (Pull-Out Model, POM) descrito na Fig. 22b. Este modelo analisa o comportamento de uma única fenda, considerando que não existe interação mecânica entre fendas separadas, desprezando a deformabilidade do betão à tração e assumindo a mesma relação de tensão de aderência-escorregamento em degraus, rígida-perfeitamente plástica, utilizada pelo TCM. Isto permite obter a distribuição de deformação da armadura (ε_s) na vizinhança da fenda para qualquer tensão máxima do aço na fenda (σ_sr) diretamente por equilíbrio. Dado que o espaçamento entre fendas é desconhecido para um padrão de fendilhação não totalmente desenvolvido, a deformação média (ε_m) é calculada, para qualquer nível de carga, sobre a distância entre pontos com escorregamento nulo quando o varão de armadura atinge a sua resistência à tração (f_t) na fenda (l_ε,avg na Fig. 22b), obtendo-se as seguintes relações:

Os modelos propostos permitem calcular o comportamento da armadura aderente, que é finalmente considerado na análise. Este comportamento (incluindo o enrijecimento à tração) para o aço de armadura europeu mais comum (B500B, com f_t / f_y = 1,08 e ε_u = 5%) está ilustrado na Fig. 22c-d.

Betão - ULS

O modelo de betão implementado no CSFM é baseado nas leis constitutivas de compressão uniaxial prescritas pela EN 1992-1-1 para o dimensionamento de secções transversais, que dependem apenas da resistência à compressão. O diagrama parábola-retângulo especificado na EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 24a) é utilizado por defeito no CSFM, mas os projetistas também podem escolher uma relação elástica-plástica ideal mais simplificada de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 24b). A resistência à tração é negligenciada, tal como no dimensionamento clássico de betão armado.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad Os diagramas tensão-deformação do betão para o ULS: a) diagrama parábola-retângulo; b) diagrama bilinear.}}}$$

A implementação do CSFM no IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão em compressão (ou seja, após ser atingida a tensão de pico, considera um ramo plástico com ε_cu2 (ε_cu3) no valor de 5%, enquanto a EN 1992-1-1 assume uma deformação última inferior a 0,35%). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que rompem por compressão. No entanto, a sua capacidade última f_cd de acordo com a EN 1992-1-1 3.1.3 é prevista corretamente quando, para além do fator de betão fendilhado (k_c2 definido na (Fig. 25)), o aumento da fragilidade do betão à medida que a sua resistência aumenta é considerado através do fator de redução $\eta_{fc}$ definido no fib Model Code 2010 da seguinte forma:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

onde:

α_cc é o coeficiente que tem em conta os efeitos de longa duração na resistência à compressão e os efeitos desfavoráveis resultantes da forma como a carga é aplicada. É definido de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). O valor por defeito é 1,0.

k_c é o fator de redução global da resistência à compressão

k_c2 é o fator de redução devido à presença de fendilhação transversal

f_ck é a resistência característica do cilindro de betão (em MPa para a definição de $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad A lei de amolecimento à compressão.}}}$$

Betão - SLS

A análise de utilização em serviço contém certas simplificações dos modelos constitutivos utilizados na análise do estado limite último. O ramo plástico da curva tensão-deformação do betão em compressão é desprezado, enquanto o ramo elástico é linear e infinito. A lei de amolecimento à compressão não é considerada. Estas simplificações melhoram a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo e não reduzem a generalidade da solução, desde que as tensões resultantes do material em serviço estejam claramente abaixo dos seus pontos de cedência (conforme exigido pelo Eurocódigo). Assim, os modelos simplificados utilizados para a utilização em serviço só são válidos se todos os requisitos de verificação forem cumpridos.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Diagramas tensão-deformação do betão implementados para análise de utilização em serviço: verificações de curto e longo prazo.}}}$$

Efeitos de longo prazo

Na análise de utilização em serviço, os efeitos de longo prazo do betão são considerados utilizando um coeficiente de fluência infinito efetivo ($\varphi$, assumido com um valor de 2,5 por defeito) que modifica o módulo de elasticidade secante do betão (E_cm) de acordo com a EN 1992-1-1, secção 3.1.4 (3) resp. 7.4.3 (5), da seguinte forma:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

Ao considerar os efeitos de longo prazo, é primeiro calculado um passo de carga com todas as ações permanentes considerando o coeficiente de fluência (ou seja, utilizando o módulo de elasticidade efetivo do betão, E_c,eff) e, em seguida, as ações adicionais são calculadas sem o coeficiente de fluência (ou seja, utilizando E_cm). Além disso, para realizar as verificações de curto prazo, é efetuado outro cálculo em que todas as ações são calculadas sem o coeficiente de fluência. Ambos os cálculos para as verificações de longo e curto prazo estão representados na Fig. 26.

Os fatores de fluência são definidos pelo utilizador nas propriedades do material e devem ser calculados de acordo com a EN 1992-1-1, Fig 3.1.

Armadura

Por defeito, é considerado o diagrama tensão-deformação bilinear idealizado para os varões de armadura simples definido na EN 1992-1-1, secção 3.2.7 (Fig. 27). A definição deste diagrama requer apenas o conhecimento das propriedades básicas da armadura durante a fase de dimensionamento (classe de resistência e ductilidade). Sempre que conhecida, pode ser considerada a relação tensão-deformação real da armadura (laminada a quente, trabalhada a frio, temperada e autorrevenida, …). O diagrama tensão-deformação da armadura pode ser definido pelo utilizador, mas, neste caso, é impossível assumir o efeito de enrijecimento à tração (é impossível calcular a largura de fenda). A utilização do diagrama tensão-deformação com um ramo superior horizontal não permite a verificação da durabilidade estrutural. Por conseguinte, é necessária a verificação manual dos requisitos padrão de ductilidade.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Diagrama tensão-deformação da armadura: a) diagrama bilinear com ramo superior inclinado; b) diagrama bilinear}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{com ramo superior horizontal.}}}$

O enrijecimento à tração (Fig. 28)  é considerado automaticamente ao modificar a relação tensão-deformação de entrada do varão de armadura simples, de forma a captar a rigidez média dos varões incorporados no betão (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Esquema do enrijecimento à tração.}}}$$

O Método do Campo de Tensões Compatível está em conformidade com as normas de dimensionamento modernas. Como os modelos de cálculo utilizam apenas propriedades de material padrão, o formato de fatores de segurança parciais prescrito nas normas de dimensionamento pode ser aplicado sem qualquer adaptação. Desta forma, as ações de entrada são majoradas e as propriedades características do material são reduzidas utilizando os respetivos coeficientes de segurança prescritos nas normas de dimensionamento, exatamente como na análise convencional de betão. Os valores dos fatores de segurança do material prescritos na EN 1992-1-1 cap. 2.4.2.4 são definidos por defeito, mas o utilizador pode alterar os fatores de segurança em Code and calculation settings (Fig. 29).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad A definição dos fatores de segurança do material no Idea StatiCa Detail.}}}$$

Os fatores de segurança das ações têm de ser definidos pelo utilizador em Combination rules para cada combinação não linear de casos de carga (Fig. 30). Para todos os modelos implementados no Idea StatiCa Detail, os fatores de segurança parciais já estão predefinidos.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad A definição dos  fatores parciais das ações no Idea StatiCa Detail.}}}$$

Ao utilizar combinações adequadas de fatores de segurança parciais definidas pelo utilizador, os utilizadores também podem calcular com o CSFM utilizando o método do fator de resistência global (Navrátil, et al. 2017), mas esta abordagem é raramente utilizada na prática de dimensionamento. Algumas diretrizes recomendam a utilização do método do fator de resistência global para análise não linear. No entanto, em análises não lineares simplificadas (como o CSFM), que apenas requerem as propriedades do material utilizadas nos cálculos manuais convencionais, continua a ser mais desejável utilizar o formato de segurança parcial.

As diferentes verificações exigidas pela EN 1992-1-1 são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações ULS são realizadas para a resistência do betão, a resistência da armadura e a ancoragem (tensões de corte de aderência).

A resistência do betão à compressão é avaliada como a razão entre a tensão principal de compressão máxima σ_c = σ_c2 obtida pela análise por EF e o valor limite σ_c,lim = f_cd. 

A resistência da armadura é avaliada tanto à tração como à compressão como a razão entre a tensão na armadura nas fendas σ_sr e o valor limite especificado σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{para diagrama bilinear com ramo superior inclinado}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{para diagrama bilinear com ramo superior horizontal}}$

onde:

f_yk        tensão de cedência da armadura de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.2.3,

k          a razão entre a resistência à tração f_tk e a tensão de cedência,
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             é o coeficiente parcial de segurança para a armadura

A tensão de corte de aderência é avaliada de forma independente como a razão entre a tensão de aderência τ_b calculada pela análise por EF e a resistência de aderência última f_bd, de acordo com a EN 1992-1-1 cap. 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

onde:

f_ctd      é o valor de cálculo da resistência à tração do betão de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (2). Devido ao aumento da fragilidade do betão de maior resistência, f_ctk,0.05 é limitado ao valor para C60/75 de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 8.4.2 (2)

η₁       é um coeficiente relacionado com a qualidade da condição de aderência e a posição do varão durante a betonagem (Fig. 31).

η₁ = 1.0 quando são obtidas condições "boas" e

η₁ = 0.7 para todos os outros casos e para varões em elementos estruturais construídos com cofragens deslizantes, a menos que se possa demonstrar que existem condições de aderência "boas"

η₂        está relacionado com o diâmetro do varão:

            η₂ = 1.0 para Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 para Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figura 8.2 - Descrição das condições de aderência.}}}$$

No IDEA StatiCa Detail, as condições de aderência são tidas em conta de acordo com a Fig. 31 c) e d). A direção da betonagem pode ser definida na aplicação para cada elemento do projeto da seguinte forma.

Estas verificações são realizadas tendo em conta os valores limite apropriados para as respetivas partes da estrutura (ou seja, apesar de existir uma única classe tanto para o betão como para o material da armadura, os diagramas tensão-deformação finais irão diferir em cada parte da estrutura devido aos efeitos de enrijecimento à tração e amolecimento à compressão).

Existe também a opção de modelar varões lisos. Mais informações podem ser encontradas aqui: Varões lisos no Detail

Força total F_tot e Força limite F_lim

A força total F_tot é um resultado da análise por elementos finitos e pode ser definida de duas formas.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

onde A_s é a área do varão de armadura e σ_s é a tensão no varão.

Ou como a soma da força de ancoragem F_a e da força de aderência F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

onde F_a é a força real na mola de ancoragem e F_bond é a força de aderência que pode ser obtida integrando a tensão de aderência τ_b ao longo do comprimento do varão de armadura l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s é o perímetro do varão de armadura.

A força limite F_lim é a força máxima no elemento do varão considerando a resistência última do varão e também as condições de ancoragem (aderência entre o betão e a armadura e ganchos de ancoragem, laços, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

onde C_s é o perímetro do varão de armadura, e l é o comprimento desde o início do varão até ao ponto de interesse.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definição da força limite Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

onde F_lim,add é a força adicional calculada a partir da magnitude do ângulo entre elementos vizinhos. F_lim,2 deve ser sempre inferior a F_u.

Os tipos de ancoragem disponíveis no CSFM incluem varão reto (ou seja, sem redução na extremidade de ancoragem), dobra, gancho, laço, varão transversal soldado, aderência perfeita e varão contínuo. Todos estes tipos, juntamente com os respetivos coeficientes de ancoragem β, são apresentados na Fig. 32 para armadura longitudinal e na Fig. 33 para estribos. Os valores dos coeficientes de ancoragem adotados estão de acordo com a EN 1992-1-1 secção 8.4.4 Tab. 8.2. Deve notar-se que, apesar das diferentes opções disponíveis, o CSFM distingue três tipos de extremidades de ancoragem: (i) sem redução no comprimento de ancoragem, (ii) uma redução de 30 % do comprimento de ancoragem no caso de uma ancoragem normalizada e (iii) aderência perfeita.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Tipos de ancoragem disponíveis e respetivos coeficientes de ancoragem para varões de armadura longitudinal no CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) varão reto; (b) dobra; (c) gancho; (d) laço; (e) varão transversal soldado; (f) aderência perfeita; (g) varão contínuo.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Tipos de ancoragem disponíveis e respetivos coeficientes de ancoragem para estribos.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Estribos fechados: (a) gancho; (b) dobra; (c) sobreposição. Estribos abertos: (d) gancho; (e) varão contínuo.}}}$$

De forma a cumprir a EN 1992-1-1, a mola de ancoragem deve ser utilizada no cálculo, a mola de ancoragem é modificada pelo coeficiente β, pelo que o utilizador deve utilizar um dos tipos de ancoragem disponíveis ao definir as condições de início e fim da armadura. 

Ao dimensionar estruturas de betão, encontramos dois grandes grupos de áreas parcialmente carregadas (PLA) - o primeiro compreende os apoios, enquanto o outro consiste nas áreas de ancoragem. De acordo com as normas atualmente válidas para o dimensionamento de estruturas de betão armado EN 1992-1-1 cap. 6.7 (Fig. 34), devem ser considerados o esmagamento local do betão e as forças de tração transversais para áreas parcialmente carregadas. Para uma carga uniformemente distribuída numa área, A_c0, a capacidade de compressão do betão pode ser aumentada até três vezes, dependendo da área de distribuição de cálculo A_c1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Áreas parcialmente carregadas de acordo com a EN 1992-1-1.}}}$$

A área parcialmente carregada deve ser suficientemente reforçada com armadura transversal dimensionada para transmitir as forças de fendilhação que ocorrem na área. Para o dimensionamento da armadura transversal em áreas parcialmente carregadas, é utilizado o método Escora-e-tirante de acordo com o Eurocódigo. Sem a armadura transversal necessária, não é possível considerar o aumento da capacidade de compressão do betão.

Áreas parcialmente carregadas no CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Escoras fictícias com malha de elementos finitos de betão.}}}$$

Utilizando o CSFM, é possível dimensionar e verificar estruturas de betão armado incluindo a influência do aumento da resistência à compressão do betão em áreas parcialmente carregadas. Como o CSFM é um modelo de parede (2D) e as áreas parcialmente carregadas são uma tarefa espacial (3D), foi necessário encontrar uma solução que combinasse estes dois tipos diferentes de tarefas (Fig. 35). Se a função "áreas parcialmente carregadas" estiver ativada, a geometria do cone admissível é criada de acordo com o Eurocódigo (Fig. 34). Todas as colisões geométricas são resolvidas integralmente em 3D para a geometria especificada do elemento de betão e as dimensões de cada PLA. Subsequentemente, é criado um modelo de cálculo da área parcialmente carregada.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Geometrias de cone admissíveis.}}}$$

A modificação do modelo de material revelou-se uma abordagem inadequada, principalmente porque o mapeamento das propriedades para a malha de elementos finitos é problemático. Determinou-se que uma abordagem independente da malha de elementos finitos é uma solução mais apropriada. São criadas escoras fictícias absolutamente coerentes para a geometria de cone de compressão conhecida (Fig. 35 e Fig. 37). Estas escoras têm propriedades de material idênticas às do betão utilizado no modelo, incluindo o diagrama tensão-deformação. A forma do cone determina a direção das escoras, que distribuem gradualmente a carga sobre a PLA para a área de distribuição de cálculo. A densidade de área das escoras fictícias é variável em cada parte do cone, e adiciona uma área de betão fictícia na direção da carga. Ao nível da área carregada (A_c0), é adicionada uma área fictícia de betão de acordo com o rácio $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  (onde A_real é uma área do apoio assumida no modelo de cálculo 2D), e esta área diminui linearmente até zero em direção à área de distribuição de cálculo (A_c1). Esta solução garante que a tensão de compressão no betão é constante em todo o volume do cone.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Escoras fictícias no modelo de cálculo}}}$$

A resistência da área parcialmente carregada é aumentada de acordo com o rácio entre a área de distribuição de cálculo e a área carregada, definido na EN 1992-1-1  (6.7).  Deve ter-se em conta que este é um modelo de dimensionamento que não pode descrever com precisão o estado de tensão sobre uma área parcialmente carregada, cujo fluxo real é muito mais complicado. No entanto, esta solução permite a distribuição correta da carga a todo o modelo, respeitando o aumento da capacidade de carga da área parcialmente carregada. Além disso, introduz corretamente as tensões transversais nesta área.

Ao utilizar a funcionalidade de áreas parcialmente carregadas para simular o aumento da capacidade de compressão do betão, é necessário efetuar a verificação normativa separadamente de acordo com a EN 1992-1-1, secção 6.7 (2). As forças de tração transversais (forças de fendilhação) transferidas pela armadura são verificadas automaticamente.

As verificações do SLS são realizadas para limitação de tensões, largura de fendas e limites de deformação. As tensões são verificadas no betão e nos elementos de armadura de acordo com a EN 1992-1-1, de forma semelhante à especificada para o ULS.

Limitação de tensões

A tensão de compressão no betão deve ser limitada de forma a evitar fendas longitudinais. De acordo com a EN 1992-1-1 cap. 7.2 (2), podem ocorrer fendas longitudinais se o nível de tensão sob a combinação característica de ações exceder um valor k₁f_ck. A tensão de compressão no betão é avaliada como a razão entre a tensão principal de compressão máxima σ_c = σ_c2 obtida da análise por EF para os estados limites de utilização e o valor limite σ_c,lim. Assim:

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

onde:

f_ck        resistência característica do betão à compressão em provetes cilíndricos,

k₁         =0,6.

Se a tensão no betão sob as ações quase-permanentes for inferior a k₂f_ck, de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 7.2(3), pode assumir-se fluência linear. Se a tensão no betão exceder k₂f_ck, deve considerar-se fluência não linear (ver EN 1992-1-1 Cl. 3.1.4). No IDEA StatiCa Detail, apenas pode ser assumida a fluência linear de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.1.4 (3) (ver Modelos de material (EN)).

Pode considerar-se que se evita fendilhação ou deformação inaceitável se, sob a combinação característica de ações, a tensão de tração na armadura não exceder k₃f_yk (EN 1992-1-1 cap. 7.2 (5)). A resistência da armadura é avaliada como a razão entre a tensão na armadura nas fendas σ_s = σ_sr e o valor limite especificado σ_s,lim:

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

onde:

f_yk        tensão de cedência da armadura,

k₃        =0,8.

Deformação

As deformações só podem ser avaliadas para paredes ou vigas isostáticas (estaticamente determinadas) ou hiperestáticas (estaticamente indeterminadas). Nestes casos, é considerado o valor absoluto das deformações (em comparação com o estado inicial antes do carregamento), e o valor máximo admissível das deformações deve ser definido pelo utilizador. As deformações em extremidades cortadas (trimmed ends) não podem ser verificadas, uma vez que se trata essencialmente de estruturas instáveis em que o equilíbrio é satisfeito através da adição de forças de extremidade, pelo que as deformações não são realistas. A deformação a curto prazo u_z,st ou a longo prazo u_z,lt pode ser calculada e verificada em relação aos valores limite definidos pelo utilizador:

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

onde:

u_z         deformação a curto ou a longo prazo calculada pela análise por EF,

u_z,lim    valor limite da deformação definido pelo utilizador.

Largura de fendas

A largura e a orientação das fendas são calculadas apenas para os efeitos a longo prazo (utilizando E_c,eff) nas combinações em que a avaliação da largura de fendas está ativada. As verificações baseadas nos valores limite especificados pelo utilizador, de acordo com o Eurocódigo, são apresentadas da seguinte forma:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

onde:

w         largura de fenda calculada pela análise por EF,

w_lim     valor limite da largura de fenda definido pelo utilizador.

Existem duas formas de calcular a largura de fendas (fendilhação estabilizada e não estabilizada). No caso geral (fendilhação estabilizada), a largura da fenda é calculada através da integração das deformações nos elementos 1D das barras de armadura. A direção da fenda é então calculada a partir dos três pontos de integração mais próximos (do centro do elemento finito 1D de armadura em questão) dos elementos de betão 2D. Embora esta abordagem ao cálculo das direções das fendas não corresponda à posição real das fendas, ainda assim fornece valores representativos que conduzem a resultados de largura de fenda que podem ser comparados com os valores de largura de fenda exigidos pela norma na posição da barra de armadura.

Betão - Resistência

O modelo de betão implementado para os cálculos de resistência no CSFM é baseado na curva tensão-deformação parabólica-plástica para o betão, com base na curva tensão-deformação parabólica da Portland Cement Association, descrita nas PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figura 6-8. A resistência à tração é desprezada, tal como no dimensionamento clássico de betão armado.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad O diagrama tensão-deformação do betão para a análise de Resistência}}}$$

A implementação do CSFM na IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão à compressão (ou seja, depois de atingida a tensão de pico, considera-se um ramo plástico com ε_c0 com valor máximo de 5%, enquanto o ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 assume uma deformação última inferior a 0,3%). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas em rotura por compressão. No entanto, a resistência é corretamente prevista quando, além do fator de betão fendilhado (k_c2 definido na (Fig. 39)), o aumento da fragilidade do betão com o aumento da sua resistência é considerado por meio do fator de redução $\eta_{fc}$ definido no fib Model Code 2010 da seguinte forma:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

onde:

α₁ é o fator de redução da resistência à compressão do betão definido no ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Ao utilizar um diagrama tensão-deformação parábola-retângulo, é necessário reduzir a tensão de compressão máxima por este fator. Isto faz a média da distribuição de tensões na zona comprimida de tal forma que a resistência à compressão resultante seja inferior ou igual à resistência à compressão calculada utilizando um diagrama tensão-deformação com um ramo plástico decrescente.

Φ_c é o fator de redução da resistência para o betão. O valor por defeito é definido de acordo com a ACI 318-19 Tabela 24.2.1 (b)(f).

k_c2 é o fator de redução devido à presença de fendilhação transversal.

f'_c é a resistência do betão em provete cilíndrico (em MPa, para a definição de $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad A lei do amolecimento à compressão.}}}$$

k_c2 é um fator de redução baseado nos mesmos pressupostos do coeficiente da zona nodal β_n indicado na ACI 318-19 Tabela 23.9.2, exceto que, no CSFM, a presença de uma tensão principal de tração perpendicular à tensão principal de compressão é verificada para cada elemento finito (e não apenas para os nós do modelo Escora e tirante).

Betão – Serviço

A análise de serviço contém certas simplificações dos modelos constitutivos utilizados na análise de resistência. O ramo plástico da curva tensão-deformação do betão à compressão é desprezado, enquanto o ramo elástico é linear e infinito. A lei de amolecimento à compressão não é considerada. Estas simplificações melhoram a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo e não reduzem a generalidade da solução, desde que os limites de tensão do material resultante em serviço estejam claramente abaixo dos seus pontos de cedência (conforme exigido pela ACI). Portanto, os modelos simplificados utilizados para a verificação em serviço são apenas válidos se todos os requisitos de verificação forem cumpridos.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Diagramas tensão-deformação do betão implementados para a análise de serviço: verificações de curto e longo prazo.}}}$$

Efeitos de longo prazo

O comportamento a longo prazo da estrutura, tal como as flechas de longo prazo ou o cálculo da abertura de fendas causadas por cargas sustentadas, é influenciado pela fluência do betão. A ACI 318-19, no parágrafo 24.2.4.1.3, define o fator dependente do tempo para cargas sustentadas – ξ, representando o efeito de fluência para uma duração de carga sustentada especificada.

Na aplicação Detail, o módulo de elasticidade E_c é ajustado para determinar o comportamento a longo prazo da estrutura através do fator ξ. O módulo de elasticidade ajustado é designado por E_c,eff – ver Figura 40.

Assumindo que a deformação do elemento é expressa em termos de extensão, pode-se escrever que:

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

onde:

ε₀ é a extensão de curto prazo (sem a influência da fluência) e ε_creep é a extensão causada pela fluência.

Utilizando a lei de Hooke, podemos escrever:

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

Substituindo $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ e $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$ obtemos:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

A duração da carga sustentada para a determinação do fator ξ pode ser definida individualmente para cada combinação de longo prazo em serviço.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Duração da carga sustentada}}}$$

As flechas, tensões e aberturas de fendas dependentes do tempo são então calculadas com um modelo de material modificado, no qual o efeito do refinamento por compressão é tido em conta automaticamente pela natureza da análise por Elementos Finitos. Não é, portanto, necessário multiplicá-los adicionalmente pelo fator definido em 24.2.4.1.1.

Efeitos de curto prazo

Para realizar as verificações de curto prazo, é efetuado outro cálculo no qual todas as cargas são calculadas sem o fator dependente do tempo para cargas sustentadas. Ambos os cálculos para as verificações de longo e curto prazo estão representados na Fig. 40.

Armadura

É considerado um diagrama tensão-deformação perfeitamente elasto-plástico com um ponto de cedência definido para a armadura não pré-esforçada, ver ACI 319-19 Cl. 20.2.1. A definição deste diagrama apenas requer o conhecimento das propriedades básicas da armadura – a resistência e o módulo de elasticidade.

O diagrama tensão-deformação da armadura também pode ser definido pelo utilizador, mas, neste caso, não é possível assumir o efeito de enrijecimento à tração (não é possível calcular a abertura de fendas). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Diagrama tensão-deformação da armadura}}}$$

onde:

Φ_s é o fator de redução da resistência para a armadura. O valor por defeito é definido de acordo com a ACI 318-19 Tabela 24.2.1.

f_y é a tensão de cedência da armadura

E_s módulo de elasticidade da armadura

É selecionado 10% como a extensão limite na qual o cálculo é interrompido. Este valor é considerado seguro com base no ASTM A955/A955M-20c Artigo 7.

O enrijecimento à tração (Fig. 43)  é considerado automaticamente através da modificação da relação tensão-deformação de entrada do varão de armadura isolado, de forma a captar a rigidez média dos varões inseridos no betão (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Esquema do enrijecimento à tração.}}}$$

O Método do Campo de Tensões Compatível está em conformidade com os códigos de dimensionamento modernos. Como os modelos de cálculo utilizam apenas propriedades padrão dos materiais, o formato de fatores parciais de segurança prescrito nos códigos de dimensionamento pode ser aplicado sem qualquer adaptação. Desta forma, as ações de entrada são majoradas, e as propriedades características dos materiais são reduzidas utilizando os respetivos fatores de redução de resistência, exatamente como na análise convencional de betão.

Os valores dos fatores de redução de resistência são prescritos na ACI 318-19 Cl. 21.2. Os valores predefinidos para o betão e a armadura são escolhidos com base no pressuposto de que o exemplo típico resolvido na aplicação é controlado por corte (com base na Tabela 21.2.1 (b), (f), (g)). No entanto, é possível modelar qualquer tipo de elemento. Assim, se for avaliado um elemento controlado por compressão ou por tração, o utilizador tem a opção de alterar o valor do fator de redução de resistência nas Preferências.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Os fatores de carga para as combinações de Resistência devem ser definidos de acordo com a ACI 318-19 Tabela 5.3.1.

Exceto conforme indicado no Capítulo 34, as combinações de ações ao nível de serviço não são definidas na ACI 318-19. Recomenda-se a utilização de regras de combinação com base no Apêndice C da ASCE/SEI 7-16. Para todos os modelos, os fatores de carga já estão predefinidos.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

As diferentes verificações exigidas pela ACI 318-19 são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações são realizadas para a resistência do betão, a resistência da armadura e a ancoragem (tensões de aderência ao corte).

A resistência do betão à compressão é avaliada como a razão entre a tensão principal de compressão máxima f_c (também σ₂ em Resultados auxiliares) obtida através da análise por elementos finitos e o valor limite f'_c,lim.

A resistência da armadura é avaliada tanto à tração como à compressão como a razão entre a tensão na armadura nas fendas f_s e o valor limite especificado f_y,lim.

A tensão de aderência ao corte é avaliada de forma independente como a razão entre a tensão de aderência τ_b calculada pela análise por elementos finitos e a resistência de aderência f_bu.

No entanto, a norma ACI não aborda explicitamente a resistência de aderência, trabalhando antes com o cálculo do denominado comprimento de desenvolvimento, descrito na Secção 25.4.2. Uma vez que a resistência de aderência é um parâmetro de entrada fundamental para determinar o comprimento de desenvolvimento, ver R25.4.1.1 e ACI Committee 408 1966, a resistência de aderência pode ser calculada da seguinte forma:

Assumamos que, se ancorarmos a barra de armadura num bloco de betão até ao comprimento de desenvolvimento l_d ou superior, o arrancamento da armadura resultará na rotura da armadura e não no arrancamento do betão. Isto pode ser escrito com a seguinte fórmula.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

onde:

d_b é o diâmetro da barra de armadura, l_d é o comprimento de desenvolvimento, f_bu é a resistência de aderência, f_y é a tensão de cedência da armadura, e A_s é a área da barra de armadura.

A partir do anterior, a fórmula para calcular a resistência de aderência pode ser facilmente derivada:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

O comprimento de desenvolvimento l_d é então determinado de acordo com a Tabela 25.4.2.3 da ACI 318-19 da seguinte forma:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

onde:

C = 25 (2,1 para métrico) para barras n.º 6 e menores e fios deformados, C = 20 (1,7 para métrico) para barras n.º 7 e maiores, λ = 1,0 para betão de massa volúmica normal, ψ_t, ψ_e, ψ_g são determinados de acordo com a Tabela 25.4.2.3 da ACI 318-19. 

Apenas é suportada armadura não revestida ou galvanizada, pelo que ψ_e = 1,0. ψ_g é determinado automaticamente a partir da classe de armadura, e ψ_t é derivado automaticamente da posição da armadura no modelo e da direção de betonagem, que pode ser definida na aplicação para cada elemento do projeto, da seguinte forma.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

Estas verificações são realizadas com base nos valores limite adequados para as respetivas partes da estrutura (ou seja, apesar de existir uma única classe tanto para o betão como para o material de armadura, os diagramas finais tensão-deformação diferirão em cada parte da estrutura devido aos efeitos de enrijecimento à tração e de amolecimento à compressão).

Existe também a opção de modelar varões lisos. Mais informações podem ser encontradas aqui: Varões lisos no Detail

Força total F_tot e força limite F_lim

A força total F_tot é um resultado da análise por elementos finitos e pode ser definida de duas formas.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

onde A_s é a área da barra de armadura e f_s é a tensão na barra.

Ou como a soma da força de ancoragem F_a e da força de aderência F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

onde F_a é a força real na mola de ancoragem e F_bond é a força de aderência que pode ser obtida integrando a tensão de aderência τ_b ao longo do comprimento da barra de armadura l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s é o perímetro da barra de armadura.

A força limite F_lim é a força máxima no elemento do varão, considerando a resistência do varão e também as condições de ancoragem (aderência entre o betão e a armadura, e ganchos de ancoragem, laços, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

onde C_s é o perímetro da barra de armadura, e l é o comprimento desde o início do varão até ao ponto de interesse.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

onde F_lim,add é a força adicional calculada a partir da magnitude do ângulo entre elementos vizinhos. F_lim,2 deve ser sempre inferior a F_u.

Os tipos de ancoragem disponíveis no CSFM incluem barra reta (ou seja, sem redução na extremidade da ancoragem), gancho de 90 graus, gancho de 180 graus, aderência perfeita e barra contínua. Todos estes tipos, juntamente com os respetivos coeficientes de ancoragem β, são apresentados na Fig. 48 para armadura longitudinal. Os valores dos coeficientes de ancoragem adotados são derivados da comparação entre a equação da secção ACI 318-19 25.4.3.1 e as equações retiradas da secção ACI 318-19 25.4.2.3. Deve notar-se que, apesar das diferentes opções disponíveis, o CSFM distingue três tipos de extremidades de ancoragem: (i) sem redução no comprimento de ancoragem, (ii) uma redução de 30% do comprimento de ancoragem no caso de uma ancoragem normalizada, e (iii) aderência perfeita.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

O coeficiente de ancoragem para estribos é sempre - β = 1,0.

Para cumprir a ACI, a mola de ancoragem deve ser usada no cálculo, sendo esta modificada pelo coeficiente β, pelo que o utilizador deve usar um dos tipos de ancoragem disponíveis ao definir as condições de início e fim da armadura. 

Ao dimensionar estruturas de betão, encontramos dois grandes grupos de áreas parcialmente carregadas (PLA) – o primeiro compreende apoios, enquanto o outro consiste em áreas de ancoragem. 

De acordo com as normas atualmente em vigor para o dimensionamento de estruturas de betão armado ACI 318-19 cap. 22.8, o esmagamento local do betão e as forças de tração transversal devem ser consideradas para os apoios. Para uma carga uniformemente distribuída numa área, A_c1, a capacidade de compressão do betão pode ser aumentada até duas vezes, dependendo da área de distribuição de cálculo A_c2. Ver a tabela 22.8.3.2 da ACI 318-19.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Áreas parcialmente carregadas para apoios de acordo com a ACI 318-19}}}$$

Para zonas de ancoragem pós-tensionadas, deve seguir-se a ACI 318-19 cap. 25.9.

A área parcialmente carregada deve ser suficientemente reforçada com armadura transversal dimensionada para transmitir as forças de fendilhamento por tração (splitting) que ocorrem na área. Sem a armadura transversal necessária, não é possível considerar o aumento da capacidade de compressão do betão.

Áreas parcialmente carregadas no CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Escoras fictícias com malha de elementos finitos de betão.}}}$$

Utilizando o CSFM, é possível dimensionar e verificar estruturas de betão armado, incluindo a influência do aumento da resistência à compressão do betão em áreas parcialmente carregadas. Uma vez que o CSFM é um modelo de parede (2D) e as áreas parcialmente carregadas são uma tarefa espacial (3D), foi necessário encontrar uma solução que combinasse estes dois tipos diferentes de tarefas (Fig. 50). Se a função "áreas parcialmente carregadas" estiver ativada, é criada a geometria do cone admissível de acordo com a ACI (Fig. 49). Todas as colisões geométricas são resolvidas integralmente em 3D para a geometria especificada do elemento de betão e as dimensões de cada PLA. Em seguida, é criado um modelo de cálculo da área parcialmente carregada.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Geometrias de cone admissíveis.}}}$$

A modificação do modelo de material revelou-se uma abordagem inadequada, sobretudo porque o mapeamento das propriedades para a malha de elementos finitos é problemático. Determinou-se que uma abordagem independente da malha de elementos finitos é uma solução mais adequada. São criadas escoras fictícias absolutamente coerentes para a geometria de cone de compressão conhecida (Fig. 51 e Fig. 52). Estas escoras têm propriedades de material idênticas às do betão utilizado no modelo, incluindo o diagrama tensão-deformação. A forma do cone determina a direção das escoras, que distribuem progressivamente a carga através da PLA até à área de distribuição de cálculo. A densidade de área das escoras fictícias é variável em cada parte do cone, e adiciona uma área fictícia de betão na direção da carga. Ao nível da área carregada (A_c1), é adicionada uma área fictícia de betão de acordo com o rácio $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  (onde A_real é uma área do apoio assumida no modelo de cálculo 2D), e esta área diminui linearmente até zero em direção à área de distribuição de cálculo (A_c2). Esta solução garante que a tensão de compressão no betão é constante em todo o volume do cone.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Escoras fictícias no modelo de cálculo}}}$$

A resistência da área parcialmente carregada é aumentada de acordo com o rácio entre a área de distribuição de cálculo e a área carregada, estabelecido na ACI 318-19 cap. 22.8.  Deve ter-se em conta que se trata de um modelo de cálculo que não consegue descrever com precisão o estado de tensão numa área parcialmente carregada, cujo fluxo real é muito mais complicado. No entanto, esta solução permite a distribuição correta da carga por todo o modelo, respeitando o aumento da capacidade de carga da área parcialmente carregada. Além disso, introduz corretamente as tensões transversais nesta área, permitindo dimensionar corretamente a armadura para as forças de fendilhamento por tração (splitting).

A tensão de apoio admissível de 0,85f_c' está indicada na Tabela 22.8.3.2. A densidade é limitada de forma a que a capacidade dupla máxima indicada na fórmula da Tabela 22.8.3.2(b) não seja excedida.  

Para as zonas de ancoragem, a PLA é utilizada da mesma forma que para os apoios na aplicação. É por isso que as zonas locais definidas no capítulo 25.9 da ACI 318-19 devem ser verificadas manualmente de acordo com a ACI 318-19 25.9.3. A PLA é, portanto, utilizada apenas para evitar exceder o critério de extensão na zona local e, assim, interromper prematuramente o cálculo. Por outro lado, de acordo com a ACI 318-19, Cl. 25.9.4.3.1 (b), a armadura que resiste às tensões de fendilhamento e destacamento (bursting and spalling) no plano pode ser verificada direta e vantajosamente na aplicação.

As avaliações do estado limite de utilização são realizadas para limitação de tensões, largura de fendas e limites de deformação. As tensões são verificadas no betão e nos elementos de armadura de acordo com a ACI 318-19, de forma semelhante à especificada para a Resistência.

Limitação de tensões

As tensões de compressão admissíveis no betão sob carga de serviço devem ser verificadas para elementos pré-esforçados de Classe U e T. Com base na Tabela R24.5.2.1, não é necessária a verificação da limitação de tensões para o betão que se assume estar fendilhado. O utilizador deve definir a classe do elemento pré-esforçado nas definições do elemento de cálculo.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Seleção da classe do elemento fletor pré-esforçado}}}$$

A tensão de compressão admissível para elementos sujeitos a cargas transitórias é especificada pela ACI 318-19 24.5.4.1 como 0.6f_c'. O limite de tensão de compressão de 0.45f_c' foi estabelecido para reduzir a probabilidade de rotura de elementos de betão pré-esforçado devido a cargas repetidas. Este limite também pareceu razoável para evitar deformação por fluência excessiva. A valores mais elevados de tensão, as deformações por fluência tendem a aumentar mais rapidamente à medida que a tensão aplicada aumenta.

A tensão de compressão no betão é avaliada como a razão entre a tensão principal de compressão máxima f_c = σ_c2 obtida pela análise por elementos finitos para o estado limite de utilização e o valor limite, que é definido com base na Tabela 24.5.4.1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Limites de tensão de compressão do betão sob cargas de serviço}}}$$

Na aplicação, Pré-esforço mais carga sustentada é tratado como uma combinação de Longo prazo, e Pré-esforço mais carga total como uma combinação de Curto prazo.

Deformação

Com base no tipo de combinação selecionado (longo prazo ou curto prazo), é avaliada a deformação de longo prazo ou de curto prazo. O valor máximo admissível de deformação deve ser determinado pelo utilizador e deve ser considerado de acordo com a ACI 138-19 24.2. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Valor máximo admissível de deformação}}}$$

Na aplicação, é possível apresentar as deformações devidas à carga permanente Δ_DL e à carga variável Δ_LL separadamente, bem como a deformação total Δ_Tot (permanente+variável), tudo isto enquanto se apresenta a forma deformada.

As deformações nas extremidades cortadas não podem ser verificadas.

Largura de fendas

As larguras de fendas e as orientações das fendas são calculadas para combinações de curto prazo ou longo prazo do estado limite de utilização. Uma vez que a ACI não prescreve diretamente larguras de fendas limite, o utilizador deve especificar uma largura de fenda limite w_lim.

As verificações são apresentadas da seguinte forma:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

onde:

w         largura de fenda de curto ou longo prazo calculada pela análise por elementos finitos,

w_lim     valor limite da largura de fenda definido pelo utilizador.

O método de cálculo das larguras de fendas utilizado na aplicação, também descrito com mais detalhe neste documento, está de acordo com a ACI 224R-01. É, portanto, possível utilizar a Tabela 4.1 da ACI 224R-01 para determinar o valor limite das larguras de fendas.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Larguras de fendas razoáveis para betão armado sob carga de serviço}}}$$

Existem duas formas de calcular as larguras de fendas (fendilhação estabilizada e não estabilizada). No caso geral (fendilhação estabilizada), a largura de fenda é calculada integrando as deformações em elementos 1D dos varões de armadura. A direção da fenda é então calculada a partir dos três pontos de integração mais próximos (a partir do centro do dado elemento finito 1D de armadura) dos elementos de betão 2D. Embora esta abordagem ao cálculo das direções das fendas não corresponda à posição real das fendas, ainda assim fornece valores representativos que conduzem a resultados de largura de fenda que podem ser comparados com os valores de largura de fenda exigidos pela norma na posição do varão de armadura.

Betão - Resistência

O modelo de betão implementado para cálculos de resistência no CSFM baseia-se nas hipóteses de dimensionamento à resistência da AASHTO LRFD de equilíbrio e compatibilidade de deformações. De acordo com a AASHTO LRFD (2024) Artigo 5.6.2.1, a resistência à tração do betão é desprezada.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

A implementação do CSFM no IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão à compressão (ou seja, após ser atingida a tensão de pico, considera-se um ramo plástico com ε_c0 com valor máximo de 5%, enquanto a AASHTO LRFD (2024) Artigo 5.6.2.1 assume uma deformação última inferior a 0,3%). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que rompem por compressão. No entanto, a resistência é corretamente prevista quando, além do fator de betão fendilhado (k_c2 definido na (Fig. 57)), o aumento da fragilidade do betão à medida que a sua resistência aumenta é considerado através do fator de redução $\eta_{fc}$ definido no Model Code 2010 da fib da seguinte forma:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

onde:

α₁ é o fator de redução da resistência à compressão do betão definido na AASHTO LRFD (2024) Artigo 5.6.2.2. Ao utilizar um diagrama tensão-deformação parábola-retângulo, é necessário reduzir a tensão de compressão máxima por este fator. Isto faz a média da distribuição de tensões na zona de compressão de tal forma que a resistência à compressão resultante seja inferior ou igual à resistência à compressão calculada utilizando um diagrama tensão-deformação com um ramo plástico decrescente.

Φ_c é o fator de resistência para o betão. O valor por defeito é definido de acordo com a AASHTO LRFD (2024) Artigo 5.5.4.2.

k_c2 é o fator de redução devido à presença de fendilhação transversal.

f'_c é a resistência do cilindro de betão (em MPa para a definição de $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 é um fator de redução baseado nas mesmas hipóteses do fator de eficiência do betão ν indicado na AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a e na Tabela 5.8.2.5.3a-1, exceto que no CSFM, a presença de uma tensão principal de tração perpendicular à tensão principal de compressão é verificada para cada elemento finito (não apenas para os nós do modelo de Escora e tirante).

Betão – Serviço

A análise de serviço contém certas simplificações dos modelos constitutivos que são utilizados para a análise de resistência. O ramo plástico da curva tensão-deformação do betão à compressão é desprezado, enquanto o ramo elástico é linear e infinito. A lei de amolecimento à compressão não é considerada. Estas simplificações melhoram a estabilidade numérica e a velocidade de cálculo e não reduzem a generalidade da solução, desde que os limites de tensão do material resultante em serviço estejam claramente abaixo dos seus pontos de cedência. (consistente com a abordagem do estado limite de serviço da AASHTO LRFD). Portanto, os modelos simplificados utilizados para o serviço são apenas válidos se todos os requisitos de verificação forem cumpridos.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Efeitos a longo prazo

A lei constitutiva de longo prazo (a curva vermelha na Fig. 59) é utilizada para o cálculo da largura de fendas, deformação total e limitação de tensões de elementos pré-esforçados quando o efeito de longo prazo é selecionado na barra de ferramentas superior. Na aplicação IDEA StatiCa Detail, o módulo de elasticidade efetivo é utilizado para a verificação dos efeitos de longo prazo, conforme mencionado na AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

onde:
E_c é o módulo de elasticidade definido no artigo 5.4.2.4 da AASHTO LRFD (2024)
ψ é o coeficiente de fluência definido no artigo 5.4.2.3.2 da AASHTO LRFD (2024)

Os fatores de fluência são definidos pelo utilizador nas propriedades do material.

Efeitos a curto prazo

Para realizar verificações de curto prazo, é efetuado outro cálculo em que todas as ações são calculadas sem o fator de fluência. Ambos os cálculos para as verificações de longo e curto prazo estão representados na Fig. 59.

Armadura

Considera-se um diagrama tensão-deformação perfeitamente elastoplástico com um ponto de cedência definido para a armadura não pré-esforçada, ver AASHTO LRFD (2024) Artigo 5.4.3. A definição deste diagrama requer apenas o conhecimento das propriedades básicas da armadura – a resistência e o módulo de elasticidade.

O diagrama tensão-deformação da armadura também pode ser definido pelo utilizador, mas, neste caso, não é possível considerar o efeito de enrijecimento à tração (não é possível calcular a largura de fendas). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

onde:

Φ_s é o fator de resistência para a armadura. O valor por defeito é definido de acordo com a AASHTO LRFD (2024) Artigo 5.5.4.2.

f_y é a tensão de cedência da armadura

E_s módulo de elasticidade da armadura

10% é selecionado como a deformação limite na qual o cálculo é interrompido. Isto é considerado seguro com base no Artigo 7 da ASTM A955/A955M-20c.

O enrijecimento à tração (Fig. 61)  é contabilizado automaticamente através da modificação da relação tensão-deformação de entrada do varão de armadura isolado, de forma a captar a rigidez média dos varões embutidos no betão (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

O Método do Campo de Tensões Compatível está em conformidade com os códigos de dimensionamento modernos. Como os modelos de cálculo utilizam apenas propriedades padrão dos materiais, o formato de fatores parciais de segurança prescrito nos códigos de dimensionamento pode ser aplicado sem qualquer adaptação. Desta forma, as cargas de entrada são majoradas e as propriedades características dos materiais são reduzidas utilizando os respetivos fatores de resistência, exatamente como na análise convencional de betão.

Os valores dos fatores de resistência estão prescritos na AASHTO LRFD (2024), Artigo 5.5.4. Os valores predefinidos para o betão e a armadura são escolhidos de forma conservadora, com base no pressuposto de que o exemplo resolvido típico é uma região D - um caso típico para o método Escora-e-tirante. No entanto, é possível modelar qualquer tipo de elemento. Assim, se for avaliado um elemento controlado por compressão ou por tração, o utilizador tem a opção de alterar o valor do fator de redução de resistência nas Preferências.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad Configuração dos fatores de resistência no IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Os fatores de carga e as combinações de ações devem ser definidos de acordo com as Especificações AASHTO LRFD para o Dimensionamento de Pontes (2024), Artigo 3.4.1 e Tabelas 3.4.1-1 a 3.4.1-6. A AASHTO LRFD especifica explicitamente as combinações de ações no estado limite de Resistência (Strength I a Strength V), bem como as combinações de ações ao nível de serviço (Service I a Service IV), incluindo os respetivos fatores de carga para cada caso.

Para cada modelo, o programa inclui combinações básicas predefinidas que necessitam de ser completadas consoante o elemento a processar.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad Configuração dos fatores de carga no Idea StatiCa Detail.}}}$$

As diferentes verificações exigidas pela AASHTO são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações são realizadas para a resistência do betão, a resistência da armadura e a ancoragem (tensões de aderência ao corte).

A resistência do betão à compressão é avaliada como o rácio entre a tensão principal de compressão máxima f_c (também σ₂ nos Resultados auxiliares) obtida da análise por EF e o valor limite f'_c,lim.

A resistência da armadura é avaliada tanto em tração como em compressão como o rácio entre a tensão na armadura nas fendas f_s e o valor limite especificado f_y,lim.

A tensão de aderência ao corte é avaliada independentemente como o rácio entre a tensão de aderência τ_b calculada pela análise por EF e a resistência de aderência f_bu.

No entanto, como a resistência de aderência não está explicitamente definida na AASHTO, o seu valor deve ser determinado através das equações que definem o comprimento de amarração. A resistência de aderência é, de facto, o principal dado de entrada para determinar o comprimento de amarração; ver, por exemplo, este artigo AASHTO LRFD (2024) Artigo C5.10.8.2 ou NCHRP Report 733, Attachment E página E-9.

O cálculo descrito no Artigo 5.10.8.2.1 e 5.10.8.2.2 da AASHTO LRFD (2024), que exige o conhecimento do espaçamento máximo centro a centro da armadura transversal dentro de l_d, o número de varões ou fios desenvolvidos ao longo do plano de fendilhação, a área total da secção transversal de toda a armadura transversal, e outras grandezas geométricas que não podem ser determinadas de forma fiável no modelo da aplicação Detail para uma entrada genérica, foi adotada uma abordagem do Artigo 5.11.2.1.1 da AASHTO LRFD (2014) da seguinte forma:

Consideremos que, se ancorarmos o varão de armadura num bloco de betão até ao comprimento de amarração l_d ou superior, o arranque da armadura resultará na rotura da armadura e não no arranque do betão. Isto pode ser escrito com a seguinte fórmula.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

onde:

• d_b é o diâmetro do varão de armadura
• l_d é o comprimento de amarração
• f_bu é a resistência de aderência
• f_y é a tensão de cedência da armadura
• A_b é a área do varão de armadura

A partir do anterior, a fórmula para calcular a resistência de aderência pode ser facilmente derivada.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

O comprimento de amarração básico em tração l_db é determinado no Artigo 5.11.2.1.1 da AASHTO LRFD (2014) da seguinte forma:

Para varões N.º 11 e inferiores:   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Para varões N.º 14:   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Para varões N.º 18:   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

onde:

• A_b é a área do varão de armadura (in²)
• f_y é a tensão de cedência especificada da armadura (ksi)
• f'_c resistência à compressão especificada do betão aos 28 dias, salvo se for especificada outra idade (ksi)
• d_b é o diâmetro do varão de armadura (in)

Em seguida, ao multiplicar o comprimento de amarração básico l_db pelos fatores descritos nos Artigos 5.11.2.1.2 e 5.11.2.1.3 da AASHTO LRFD (2014), determina-se o comprimento de amarração l_d como dado de entrada.

Os fatores de modificação que reduzem o comprimento de amarração da secção 5.11.2.1.3 são sempre iguais a 1,0 na aplicação. O fator de modificação para armadura horizontal ou quase horizontal superior é igual a 1,4 para condições de aderência "más", de acordo com a figura seguinte:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Descrição das condições de aderência; a)  b) condições de aderência "boas" para todos os varões;  c)  d) zona não tracejada – condições de aderência "boas", zona tracejada – condições de aderência "más"}}}$$

A direção de betonagem pode ser definida na aplicação.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direção de betonagem}}}$$

Todos os outros fatores determinados em 5.11.2.1.2 são iguais a 1,0 porque apenas é suportado betão de peso normal, e apenas é suportada armadura não revestida.

A tensão de aderência ao corte e a resistência de aderência de varões em compressão são calculadas de forma análoga aos varões em tração, mas são utilizadas as equações do Artigo 5.11.2.2 da AASHTO LRFD (2014).

Existe também a opção de modelar varões lisos. Mais informações podem ser encontradas aqui: Varões lisos no Detail

Força total F_tot e força limite F_lim

A força total F_tot é um resultado da análise por elementos finitos e pode ser definida de duas formas.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

onde A_b é a área do varão de armadura e f_s é a tensão no varão.

Ou como a soma da força de ancoragem F_a e da força de aderência F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

onde F_a é a força real na mola de ancoragem e F_bond é a força de aderência que pode ser obtida integrando a tensão de aderência τ_b ao longo do comprimento do varão de armadura l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$