Le dimensionnement et la vérification des éléments en béton s'effectuent normalement au niveau de la section (élément 1D) ou du point (élément 2D). Cette procédure est décrite dans toutes les normes de dimensionnement structurel, par exemple dans (EN 1992-1-1 ou ACI 318-19), et elle est utilisée dans la pratique quotidienne de l'ingénierie structurelle. Cependant, il n'est pas toujours su ou respecté que cette procédure n'est acceptable que dans les zones où l'hypothèse de Bernoulli-Navier de distribution plane des déformations s'applique (appelées régions B). Les endroits où cette hypothèse ne s'applique pas sont appelés régions de discontinuité ou régions perturbées (régions D). Des exemples de régions B et D d'éléments 1D sont donnés à la (Fig. 1). Il s'agit, par exemple, des zones d'appui, des parties où des charges concentrées sont appliquées, des endroits où un changement brusque de section se produit, des ouvertures, etc. Lors du dimensionnement des structures en béton, on rencontre de nombreuses autres régions D telles que les voiles, les diaphragmes de ponts, les corbeaux, etc. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Régions de discontinuité (Navrátil et al. 2017)}}}$$

Par le passé, des règles de dimensionnement semi-empiriques étaient utilisées pour dimensionner les régions de discontinuité. Heureusement, ces règles ont été largement remplacées au cours des dernières décennies par les modèles bielle-et-tirant (Schlaich et al., 1987) et les champs de contraintes (Marti 1985), qui figurent dans les codes de dimensionnement actuels et sont fréquemment utilisés par les ingénieurs aujourd'hui. Ces modèles sont des outils mécaniquement cohérents et puissants. Notez que les champs de contraintes peuvent généralement être continus ou discontinus, et que les modèles bielle-et-tirant constituent un cas particulier de champs de contraintes discontinus.

Malgré l'évolution des outils de calcul au cours des dernières décennies, les modèles bielle-et-tirant sont toujours essentiellement utilisés sous forme de calculs manuels. Leur application aux structures réelles est fastidieuse et chronophage, car des itérations sont nécessaires et plusieurs cas de charge doivent être pris en compte. De plus, cette méthode n'est pas adaptée à la vérification des critères de service (déformations, ouvertures de fissures, etc.).

L'intérêt des ingénieurs structure pour un outil fiable et rapide permettant de dimensionner les régions D a conduit à la décision de développer la nouvelle Méthode du Champ de Contraintes Compatible, une méthode de conception assistée par ordinateur des champs de contraintes qui permet le dimensionnement et la vérification automatiques des éléments en béton structurel soumis à un chargement dans leur plan.

La Méthode du Champ de Contraintes Compatible (CSFM) est une méthode continue d'analyse des champs de contraintes basée sur les éléments finis, dans laquelle les solutions classiques de champs de contraintes sont complétées par des considérations cinématiques, c'est-à-dire que l'état de déformation est évalué dans toute la structure. Ainsi, la résistance effective en compression du béton peut être calculée automatiquement en fonction de l'état de déformation transversale, de manière similaire aux analyses de champ de compression qui tiennent compte de l'adoucissement en compression  (Vecchio and Collins 1986 ; Kaufmann and Marti 1998) et à la méthode EPSF (Fernández Ruiz and Muttoni 2007). De plus, la CSFM tient compte du raidissement en traction, fournissant des rigidités réalistes aux éléments, et couvre l'ensemble des prescriptions des codes de dimensionnement (y compris les aspects liés à l'aptitude au service et à la capacité de déformation) qui n'étaient pas traités de manière cohérente par les approches précédentes. La CSFM utilise les lois de comportement uniaxiales courantes fournies par les normes de dimensionnement pour le béton et les armatures. Celles-ci sont connues dès la phase de dimensionnement, ce qui permet d'utiliser la méthode des coefficients partiels de sécurité. Ainsi, les ingénieurs n'ont pas à fournir de propriétés de matériaux supplémentaires, souvent arbitraires, comme celles habituellement requises pour les analyses non linéaires par éléments finis, ce qui rend cette méthode parfaitement adaptée à la pratique de l'ingénierie.

Pour favoriser l'utilisation des champs de contraintes assistés par ordinateur par les ingénieurs structure, ces méthodes devraient être mises en œuvre dans des environnements logiciels conviviaux. À cette fin, la CSFM a été implémentée dans IDEA StatiCa Detail ; un nouveau logiciel commercial convivial développé conjointement par l'ETH Zurich et la société de logiciels IDEA StatiCa dans le cadre du projet DR-Design Eurostars-10571.

La CSFM considère la contrainte principale maximale du béton en compression (σ_c2r) et les contraintes de l'armature (σ_sr) au niveau des fissures, tout en négligeant la résistance en traction du béton (σ_c1r = 0), à l'exception de son effet de raidissement sur l'armature. La prise en compte du raidissement en traction permet de simuler les déformations moyennes de l'armature (ε_m). Des fissures fictives, rotatives, sans contrainte, qui s'ouvrent sans glissement (Fig. 2a) sont considérées, et l'équilibre au niveau des fissures, ainsi que les déformations moyennes de l'armature, sont également pris en compte. 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}$

Malgré leur simplicité, des hypothèses similaires ont démontré qu'elles permettaient d'obtenir des prédictions précises pour les éléments armés soumis à un chargement dans le plan (Kaufmann 1998 ; Kaufmann et Marti 1998), à condition que l'armature prévue évite les ruptures fragiles à la fissuration. De plus, la non-prise en compte de toute contribution de la résistance en traction du béton à la charge ultime est cohérente avec les principes des codes de conception modernes, qui reposent principalement sur la théorie de la plasticité.

Cependant, la CSFM n'est pas adaptée aux éléments élancés sans armature transversale, car les mécanismes pertinents pour de tels éléments, tels que l'engrènement des granulats, les contraintes de traction résiduelles à la pointe de la fissure et l'effet de goujon – tous reposant directement ou indirectement sur la résistance en traction du béton – sont négligés. Bien que certaines normes de conception autorisent le dimensionnement de tels éléments sur la base de dispositions semi-empiriques, la CSFM n'est pas destinée à ce type de structure potentiellement fragile.

Béton

Le modèle de béton implémenté dans la CSFM est basé sur les lois constitutives de compression uniaxiale prescrites par les codes de conception pour le dimensionnement des sections, qui ne dépendent que de la résistance en compression. Le diagramme parabole-rectangle (Fig. 2c) est utilisé par défaut dans la CSFM, mais les concepteurs peuvent également choisir une relation élastique-plastique idéale simplifiée. Lors de la vérification selon le code ACI, il est possible d'utiliser uniquement le diagramme contrainte-déformation parabole-rectangle. Comme mentionné précédemment, la résistance en traction est négligée, comme c'est le cas dans le dimensionnement classique du béton armé.

La résistance en compression effective est automatiquement évaluée pour le béton fissuré en fonction de la déformation principale de traction (ε₁) au moyen du facteur de réduction k_c2, comme indiqué dans les Fig. 2c et e. La relation de réduction implémentée (Fig. 2e) est une généralisation de la proposition du fib Model Code 2010 pour les vérifications au cisaillement, qui contient une valeur limite de 0,65 pour le rapport maximal entre la résistance effective du béton et la résistance en compression du béton, valeur qui n'est pas applicable aux autres cas de chargement.

La CSFM dans IDEA StatiCa Detail ne considère pas de critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c'est-à-dire qu'elle considère une branche infiniment plastique après avoir atteint la contrainte de pic). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures qui rompent en compression. Cependant, leur capacité ultime est correctement prédite lorsque, en plus du facteur de béton fissuré (k_c2) défini dans (Fig. 2e), l'augmentation de la fragilité du béton avec l'augmentation de sa résistance est prise en compte au moyen du facteur de réduction $\eta_{fc}$ défini dans le fib Model Code 2010 comme suit :

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

où :

k_c est le facteur de réduction global de la résistance en compression

k_c2 est le facteur de réduction dû à la présence de fissuration transversale

f_c est la résistance caractéristique du béton sur cylindre (en MPa pour la définition de $\eta_{fc}$).

Il existe également une réduction du facteur k_c2 en raison de la stabilité du calcul. Cette réduction n'influence pas la résistance totale des éléments. En supposant que la valeur f_cd soit la résistance pondérée du béton (valeur de calcul), la valeur de k_c2 est réduite selon les règles suivantes.

σ_c2r < 0,11f_cd                                           k_c2=1,0
0,11f_cd < σ_c2r < 0,37f_cd                          k_c2 est une interpolation linéaire entre 1,0 et la valeur tirée du
                                                              graphique présenté dans la Fig. 2f
σ_c2r > 0,37f_cd                                             k_c2 est directement tirée du graphique de la Fig. 2f

Armature

Le diagramme contrainte-déformation bilinéaire idéalisé pour les barres d'armature nues, généralement défini par les codes de conception (Fig. 2d), est considéré. La définition de ce diagramme ne nécessite de connaître que les propriétés de base de l'armature durant la phase de conception (résistance et classe de ductilité). Une relation contrainte-déformation définie par l'utilisateur peut également être définie.

Le raidissement en traction est pris en compte en modifiant la relation contrainte-déformation d'entrée de la barre d'armature nue afin de capturer la rigidité moyenne des barres noyées dans le béton (ε_m).

Modèle d'adhérence

Le glissement d'adhérence entre l'armature et le béton est introduit dans le modèle par éléments finis en considérant la relation constitutive rigide-parfaitement plastique simplifiée présentée dans la Fig. 2f, où f_bd est la valeur de calcul (valeur pondérée) de la contrainte d'adhérence ultime spécifiée par le code de conception pour les conditions d'adhérence spécifiques.

Il s'agit d'un modèle simplifié dont le seul objectif est de vérifier les prescriptions d'adhérence selon les codes de conception (c'est-à-dire l'ancrage de l'armature). La réduction de la longueur d'ancrage lors de l'utilisation de crochets, de boucles et de formes de barres similaires peut être prise en compte en définissant une certaine capacité à l'extrémité de l'armature, comme cela sera décrit plus loin. 

Flux de travail et objectifs

L'objectif des outils de calcul du ferraillage dans le CSFM est d'aider les concepteurs à déterminer efficacement l'emplacement et la quantité nécessaire d'armatures. Les outils suivants sont disponibles pour aider / guider l'utilisateur dans ce processus : calcul linéaire et optimisation topologique.

Les outils de calcul du ferraillage utilisent des modèles de comportement plus simplifiés que les modèles utilisés pour la vérification finale de la structure. Par conséquent, la définition du ferraillage à cette étape doit être considérée comme un pré-dimensionnement à confirmer/affiner lors de l'étape de vérification finale. L'utilisation des différents outils de calcul du ferraillage sera illustrée sur le modèle présenté à la Fig. 3, qui consiste en une extrémité d'une poutre simplement appuyée à hauteur variable soumise à une charge uniformément répartie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Modèle utilisé pour illustrer l'utilisation des outils de calcul du ferraillage.}}}$$

Analyse linéaire

L'analyse linéaire utilise des propriétés de matériau élastique linéaire et néglige le ferraillage dans la zone de béton. Il s'agit donc d'un calcul très rapide qui fournit un premier aperçu des zones de traction et de compression. Un exemple d'un tel calcul est présenté à la Fig. 4.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Résultats de l'outil d'analyse linéaire pour la définition de la disposition du ferraillage}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(rouge : zones en compression, bleu : zones en traction).}}}$$

Optimisation topologique

L'optimisation topologique est une méthode qui vise à trouver la distribution optimale de matériau dans un volume donné pour une configuration de charge donnée. L'optimisation topologique implémentée dans Idea StatiCa Detail utilise un modèle aux éléments finis linéaire. Chaque élément fini peut avoir une densité relative de 0 à 100 %, représentant la quantité relative de matériau utilisé. Ces densités d'éléments sont les paramètres d'optimisation du problème d'optimisation. La distribution de matériau résultante est considérée comme optimale pour l'ensemble de charges donné si elle minimise l'énergie de déformation totale du système. Par définition, la distribution optimale est également la géométrie qui présente la plus grande rigidité possible pour les charges données.

Le processus d'optimisation itératif commence par une distribution de densité homogène. Le calcul est effectué pour plusieurs fractions de volume total (20 %, 40 %, 60 % et 80 %), ce qui permet à l'utilisateur de sélectionner le résultat le plus pratique. La forme résultante se compose de treillis avec des bielles et des tirants et représente la forme optimale pour les cas de charge donnés (Fig. 5).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Résultats de l'outil de calcul par optimisation topologique avec 20\% et 40\%  de volume effectif}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(rouge : zones en compression, bleu : zones en traction).}}}$$

La CSFM considère des champs de contraintes continus dans le béton (éléments finis 2D), complétés par des éléments discrets de type « barre » représentant le ferraillage (éléments finis 1D). Par conséquent, le ferraillage n'est pas noyé de manière diffuse dans les éléments finis 2D du béton, mais modélisé explicitement et connecté à ceux-ci. Un état de contrainte plane est considéré dans le modèle de calcul.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualisation du modèle de calcul d'un élément structurel (poutre tronquée) dans Idea StatiCa Detail.}}}$$

Il est possible de modéliser à la fois des voiles entiers et des poutres, ainsi que des détails (parties) de poutres (région de discontinuité isolée, également appelée extrémité tronquée). Dans le cas des voiles et des poutres entières, les appuis doivent être définis de manière à obtenir une structure (extérieurement) isostatique (statiquement déterminée) ou hyperstatique (statiquement indéterminée). Le transfert de charge aux extrémités tronquées des poutres est introduit au moyen d'une zone de transfert de Saint-Venant spéciale, qui garantit une distribution de contraintes réaliste dans la région de détail analysée.

Pour modéliser la plupart des situations rencontrées pendant le processus de construction, de nombreux types d'appuis (Fig. 7) et de composants utilisés pour la transmission de charge (Fig. 8) sont disponibles dans le CSFM.

Appuis

L'appui ponctuel peut être modélisé de plusieurs manières afin de garantir que les contraintes ne sont pas localisées en un point mais plutôt réparties sur une surface plus large. La première option est un appui ponctuel réparti (Fig. 7a), qui répartit uniformément la charge sur le bord de l'élément sur la largeur spécifiée.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Différents types d'appuis :}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) ponctuel réparti ; (b) plaque d'appui ; (c) appui linéaire ; (d) appui local ; (e) suspendu.}}}$$

L'appui local (Fig. 7d), quant à lui, ne peut être placé qu'à l'intérieur d'un volume de béton avec un rayon d'efficacité défini. Il est ensuite connecté par des éléments rigides aux nœuds du maillage de ferraillage à l'intérieur de ce rayon. Il est donc nécessaire de définir une cage de ferraillage autour de l'appui local.

Pour une modélisation plus précise de certains scénarios réels, il existe deux autres options pour l'appui ponctuel. Premièrement, il y a l'appui ponctuel avec une plaque d'appui de largeur et d'épaisseur définies (Fig. 7b). Le matériau de la plaque d'appui peut être spécifié, et l'ensemble de la plaque d'appui est maillé indépendamment. Deuxièmement, il existe un appui suspendu disponible (Fig. 7e), qui peut être utilisé pour modéliser des ancrages de levage ou des goujons de levage.

L'appui linéaire (Fig. 7c) peut être défini sur un bord (en spécifiant sa longueur) ou à l'intérieur d'un élément (par une polyligne). Il est également possible de spécifier sa rigidité et/ou son comportement non linéaire (appui en compression/traction ou uniquement en compression).

• Lisez les descriptions détaillées dans Types d'appuis dans IDEA StatiCa Detail

Composants de transmission de charge

L'introduction des charges dans la structure peut également être modélisée de plusieurs manières. Pour les charges ponctuelles, une plaque d'appui (Fig. 8a) peut être utilisée de manière similaire à l'appui ponctuel, répartissant la charge concentrée sur une surface plus large grâce à une plaque en acier de largeur et d'épaisseur définies. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Différents types de composants de transmission de charge :}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) plaque d'appui ; (b) charge locale ; (c) suspendu ; (d) surface partiellement chargée.}}}$$

La charge ponctuelle peut être appliquée soit directement à la surface de la structure avec un rayon d'action défini (la charge est appliquée aux éléments en béton), soit via un dispositif de transmission spécial appelé charge locale (Fig. 8b et Fig. 9). La charge locale permet de transmettre la charge directement au ferraillage défini situé dans la zone du rayon d'efficacité. Pour assurer le bon fonctionnement de la charge locale, il est nécessaire de définir un groupe d'armatures qui seront interconnectées avec la charge (dans les propriétés du ferraillage). Lorsque le ferraillage interconnecté n'est pas défini, le mécanisme de transfert de charge est le même que pour la charge ponctuelle placée sur la surface d'un élément, et la charge est transmise par les contraintes aux éléments en béton, et non directement au ferraillage. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Charge locale : (a) application de la charge ; (b) charge transmise à travers les armatures (un groupe de barres pour le transfert de charge est défini) ;}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) charge transmise à travers le béton (un groupe de barres pour le transfert de charge n'est pas défini).}}}$$

Les ancrages de levage ou les goujons de levage peuvent être modélisés par une charge suspendue (Fig. 8c). L'utilisateur peut utiliser une surface partiellement chargée (Fig. 8d), qui permet d'augmenter la capacité portante du béton en compression selon l'Eurocode (il n'est pas possible d'utiliser ce type de composant de transmission de charge lorsque l'ACI est configuré). La structure peut également être chargée avec des charges linéaires sur les bords, par une polyligne générale, ou par des charges surfaciques. L'application Detail est capable de prendre automatiquement en compte le poids propre dans l'analyse.

Dans de nombreux cas, il est nécessaire de modéliser uniquement un détail (une partie) d'un élément structurel, comme l'appui d'une poutre, une ouverture au milieu de la poutre, etc. Cette approche peut conduire à des configurations d'appuis instables mais admissibles dans IDEA StatiCa Detail (y compris le cas sans aucun appui). Cependant, dans de tels cas, il est également nécessaire de modéliser la section représentant la connexion à la région B adjacente, y compris les efforts internes à cette section qui satisfont l'équilibre. Dans certains cas (par exemple, lors de la modélisation d'un appui de poutre), ces efforts internes peuvent être déterminés automatiquement par le programme.

Entre la région B et la région de discontinuité analysée, une zone de transfert de Saint-Venant est automatiquement créée pour assurer une distribution de contraintes réaliste dans la région analysée. La largeur de la zone de transfert est déterminée comme la moitié de la hauteur de la section. Comme le seul objectif de la zone de Saint-Venant est d'obtenir une distribution de contraintes appropriée dans le reste du modèle, aucun résultat de cette zone n'est affiché lors de la vérification, et aucun critère d'arrêt n'y est pris en compte.

Le bord de la zone de Saint-Venant qui représente l'extrémité réduite de la poutre est modélisé comme rigide, c'est-à-dire qu'il peut tourner mais doit rester plan. Ceci est réalisé en connectant tous les nœuds FEM du bord à un nœud séparé situé au centre d'inertie de la section, à l'aide d'un élément de corps rigide (RBE2). Les efforts internes de l'élément peuvent alors être appliqués à ce nœud, comme illustré à la Fig. 10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transfert des efforts internes à une extrémité réduite.}}}$$

La réduction de la section transversale est automatiquement effectuée pour les structures définies comme un assemblage de poutre ou de portique (défini par l'axe x et une section transversale). Cette modification est automatiquement appliquée sur les sections transversales avec des semelles très larges (Fig. 11) et repose sur l'hypothèse qu'un champ de contraintes de compression se propagerait depuis le voile selon un angle de 45°, de sorte que la largeur réduite susmentionnée serait la largeur maximale capable de transférer les charges

Notez que la méthode de détermination de la largeur efficace de semelle implémentée dans le CSFM diffère de celle indiquée au 5.3.2.1 de l'EN 1992-1-1 (2015) ou au 9.2.4.4 de l'ACI 318-19. Outre la géométrie, la largeur efficace de semelle selon l'Eurocode est explicitement affectée par les portées et les conditions aux limites d'une structure.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Réduction de la largeur d'une section transversale : (a) saisie utilisateur ; (b) modèle EF – largeur de semelle réduite déterminée automatiquement.}}}$$

Dans le cas de jarrets situés dans le plan horizontal (Fig. 12), chaque jarret est divisé en cinq sections sur sa longueur. Chacune de ces sections est ensuite modélisée comme un voile d'épaisseur constante, égale à l'épaisseur réelle au milieu de la section correspondante.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Jarret horizontal : (a) saisie utilisateur ; (b)  modèle EF – un jarret automatiquement divisé en cinq sections.}}}$$

Le modèle d'analyse par éléments finis non linéaire (inélastique) est créé à partir de plusieurs types d'éléments finis utilisés pour modéliser le béton, le ferraillage et l'adhérence entre eux. Les éléments de béton et de ferraillage sont d'abord maillés indépendamment, puis reliés entre eux à l'aide de contraintes multipoints (éléments MPC). Cela permet au ferraillage d'occuper une position relative arbitraire par rapport au béton. Si la vérification de la longueur d'ancrage doit être calculée, des éléments ressorts d'adhérence et d'extrémité d'ancrage sont insérés entre le ferraillage et les éléments MPC.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Béton

Le béton est modélisé à l'aide d'éléments coques quadrilatéraux et trilatéraux, CQUAD4 et CTRIA3. Ceux-ci peuvent être définis respectivement par quatre ou trois nœuds. Seul l'état de contrainte plane est supposé exister dans ces éléments, c'est-à-dire que les contraintes ou déformations dans la direction z ne sont pas prises en compte.

Chaque élément possède quatre ou trois points d'intégration, placés à environ 1/4 de sa taille. À chaque point d'intégration de chaque élément, les directions des déformations principales α₁, α₂ sont calculées. Dans ces deux directions, les contraintes principales σ_c1, σ_c2 et les rigidités E₁, E₂ sont évaluées selon le diagramme contrainte-déformation du béton spécifié, comme indiqué à la Fig. 2. Il convient de noter que l'impact de l'effet d'adoucissement en compression couple le comportement de la direction principale de compression à l'état réel de l'autre direction principale.

Ferraillage

Les armatures sont modélisées par des éléments 1D « barre » à deux nœuds (CROD), qui ne possèdent qu'une rigidité axiale. Ces éléments sont connectés à des éléments « d'adhérence » spéciaux, développés afin de modéliser le comportement de glissement entre une barre d'armature et le béton environnant. Ces éléments d'adhérence sont ensuite connectés par des éléments MPC (contrainte multipoints) au maillage représentant le béton. Cette approche permet le maillage indépendant du ferraillage et du béton, tout en assurant leur interconnexion ultérieurement.

Éléments d'adhérence

La longueur d'ancrage est vérifiée en implémentant les contraintes de cisaillement d'adhérence entre les éléments de béton (2D) et les éléments de barre d'armature (1D) dans le modèle par éléments finis. À cette fin, un type d'élément fini « d'adhérence » a été développé.

La définition de l'élément d'adhérence est similaire à celle d'un élément coque (CQUAD4). Il est également défini par 4 nœuds, mais contrairement à une coque, il ne possède qu'une rigidité non nulle en cisaillement entre les deux nœuds supérieurs et les deux nœuds inférieurs. Dans le modèle, les nœuds supérieurs sont connectés aux éléments représentant le ferraillage et les nœuds inférieurs à ceux représentant le béton. Le comportement de cet élément est décrit par la contrainte d'adhérence, τ_b, en tant que fonction bilinéaire du glissement entre les nœuds supérieurs et inférieurs, δ_u, voir Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

Le module de rigidité élastique de la relation adhérence-glissement, G_b, est défini comme suit :

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

où :

k_g            coefficient dépendant de la surface de la barre d'armature (par défaut k_g = 0,2)

E_c            module d'élasticité du béton (pris égal à E_cm dans le cas de l'EN)

Ø             le diamètre de la barre d'armature

Les valeurs de calcul (valeurs pondérées) de la contrainte de cisaillement d'adhérence ultime, f_bd, fournies dans les codes de conception respectifs sélectionnés, EN 1992-1-1 ou ACI 318-19, sont utilisées pour vérifier la longueur d'ancrage. L'écrouissage de la branche plastique est calculé par défaut comme G_b/10⁵.

Ressort d'ancrage

La mise en place d'extrémités d'ancrage sur les barres d'armature (c'est-à-dire coudes, crochets, boucles…), conformément aux prescriptions des codes de conception, permet de réduire la longueur d'ancrage de base des barres (l_b,net) d'un certain facteur β (appelé ci-après « coefficient d'ancrage »). La valeur de calcul de la longueur d'ancrage (l_b) est alors calculée comme suit :

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

La réduction prévue de l_b,net équivaut à l'activation de la barre d'armature à son extrémité, à un pourcentage de sa capacité maximale donné par le coefficient de réduction d'ancrage, comme illustré à la Fig. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

La réduction de la longueur d'ancrage est intégrée dans le modèle par éléments finis au moyen d'un élément ressort à l'extrémité de la barre (Fig. 15), défini par le modèle constitutif présenté à la Fig. 15b. La force maximale transmise par ce ressort (F_au) est :

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

où :

β             le coefficient d'ancrage selon le type d'ancrage,

A_s            la section transversale de la barre d'armature,

f_yd           la valeur de calcul (valeur pondérée) de la limite d'élasticité du ferraillage.

Les éléments finis sont implémentés en interne, et le modèle d'analyse est généré automatiquement sans nécessiter d'interaction poussée de l'utilisateur. Une partie importante de ce processus est le maillage.

Béton

Tous les éléments en béton sont maillés ensemble. Une taille d'élément recommandée est automatiquement calculée par l'application en fonction de la taille et de la forme de la structure, en tenant compte du diamètre de la plus grosse barre d'armature. De plus, la taille d'élément recommandée garantit qu'un minimum de 4 éléments est généré dans les parties minces de la structure, telles que les poteaux élancés ou les dalles minces, afin d'assurer des résultats fiables dans ces zones. Le nombre maximal d'éléments en béton est limité à 5000, mais cette valeur est suffisante pour fournir la taille d'élément recommandée pour la plupart des structures. Les concepteurs peuvent toujours sélectionner une taille d'élément de béton définie par l'utilisateur en modifiant le multiplicateur de la taille de maillage par défaut.

Ferraillage

Le ferraillage est divisé en éléments dont la longueur est approximativement égale à la taille des éléments en béton. Une fois les maillages du ferraillage et du béton générés, ils sont interconnectés par des éléments d'adhérence, comme le montre la Fig. 13.

Plaques d'appui

Les parties structurelles auxiliaires, telles que les plaques d'appui, sont maillées indépendamment. La taille de ces éléments est calculée comme 2/3 de la taille des éléments en béton dans la zone d'assemblage. Les nœuds du maillage de la plaque d'appui sont ensuite connectés aux nœuds de bord du maillage en béton à l'aide d'éléments de contrainte d'interpolation (RBE3).

Charges et appuis

Les charges surfaciques et les appuis surfaciques ne sont connectés qu'au ferraillage, comme le montre la Fig. 16. Il est donc nécessaire de définir le ferraillage autour d'eux. La connexion à tous les nœuds du ferraillage situés dans le rayon effectif est assurée par des éléments RBE3 de poids égal.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}$$

Les appuis linéiques et les charges linéiques sont connectés aux nœuds du maillage en béton à l'aide d'éléments RBE3, en fonction de la largeur spécifiée ou du rayon effectif. Le poids des connexions est inversement proportionnel à la distance par rapport à l'appui ou à l'impulsion de charge.

• Pour en savoir plus sur l'interconnexion entre les différentes charges et le maillage, consultez General description of Load impulses in Detail application

Un algorithme de Newton-Raphson (NR) complet standard est utilisé pour trouver la solution d'un problème EF non linéaire. 

En général, l'algorithme NR ne converge pas souvent lorsque la charge totale est appliquée en une seule étape. Une approche courante, également utilisée ici, consiste à appliquer la charge séquentiellement en plusieurs incréments et à utiliser le résultat de l'incrément de charge précédent pour démarrer la résolution de Newton de l'incrément suivant. À cette fin, un algorithme de contrôle de charge a été implémenté au-dessus de Newton-Raphson. Dans le cas où les itérations NR ne convergent pas, l'incrément de charge actuel est réduit de moitié, et les itérations NR sont retentées.

Un deuxième objectif de l'algorithme de contrôle de charge est de trouver la charge critique, qui correspond à certains « critères d'arrêt » – spécifiquement la déformation maximale dans le béton, le glissement maximal dans les éléments d'adhérence, le déplacement maximal dans les éléments d'ancrage, et la déformation maximale dans les barres d'armature. La charge critique est trouvée à l'aide de la méthode de bissection. Dans le cas où le critère d'arrêt est dépassé n'importe où dans le modèle, les résultats du dernier incrément de charge sont rejetés, et un nouvel incrément de moitié la taille du précédent est calculé. Ce processus est répété jusqu'à ce que la charge critique soit trouvée avec une certaine tolérance d'erreur.

Pour le béton, le critère d'arrêt a été fixé à une déformation de 5 % en compression (c'est-à-dire environ un ordre de grandeur supérieur à la déformation de rupture réelle du béton) et 7 % en traction aux points d'intégration des éléments de coque. En traction, la valeur a été fixée pour permettre à la déformation limite dans l'armature, qui est généralement d'environ 5 % sans tenir compte du raidissement en traction, d'être atteinte en premier. En compression, la valeur a été choisie parmi plusieurs alternatives comme étant suffisamment grande pour que les effets de l'écrasement soient visibles dans les résultats, mais suffisamment petite pour ne pas causer trop de problèmes de stabilité numérique.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Relation constitutive des éléments d'adhérence et d'ancrage utilisés pour la vérification de la longueur d'ancrage :}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) réponse contrainte de cisaillement d'adhérence-glissement d'un élément d'adhérence ; (b) réponse force-déplacement d'un élément d'ancrage.}}}$$

Pour l'armature, le critère d'arrêt est défini en termes de contraintes. Puisque les contraintes à la fissure sont modélisées, le critère en traction correspond à la résistance à la traction de l'armature en tenant compte du coefficient de sécurité. La même valeur est utilisée pour le critère en compression.

Le critère d'arrêt dans les éléments d'adhérence et les ressorts d'ancrage est α·δu_max, où δu_max est le glissement maximal utilisé dans les vérifications normatives et α = 10.

Les résultats sont présentés indépendamment pour le béton et pour les éléments de ferraillage. Les valeurs de contrainte et de déformation dans le béton sont calculées aux points d'intégration des éléments de coque. Cependant, comme il n'est pas pratique de présenter les données de cette manière, les résultats sont présentés par défaut aux nœuds, comme la valeur maximale de la contrainte de compression des points d'intégration de Gauss adjacents dans les éléments connectés (Fig. 18). Il convient de noter que cette représentation peut localement sous-estimer les résultats aux bords comprimés des éléments dans le cas où la taille de l'élément fini est similaire à la hauteur de la zone comprimée.

Fig. 18 - Élément fini de béton avec points d'intégration et nœuds : présentation des résultats pour le béton aux nœuds et dans les éléments finis.

Les résultats pour les éléments finis de ferraillage sont soit constants pour chaque élément (une valeur – par exemple, pour les contraintes d'acier), soit linéaires (deux valeurs – pour les résultats d'adhérence). Pour les éléments auxiliaires, tels que les éléments de plaques d'appui, seules les déformations sont présentées.

Le calcul de la structure à l'aide du CSFM est réalisé au moyen de deux analyses distinctes : l'une pour les combinaisons de charges à l'état limite de service, l'autre pour l'état limite ultime. L'analyse à l'état limite de service suppose que le comportement à l'état limite ultime de l'élément est satisfaisant, et que les conditions de plastification du matériau ne seront pas atteintes aux niveaux de charge de service. Cette approche permet d'utiliser des modèles constitutifs simplifiés (avec une branche linéaire du diagramme contrainte-déformation du béton) pour l'analyse à l'état limite de service, afin d'améliorer la stabilité numérique et la vitesse de calcul. Il est donc recommandé d'utiliser le flux de travail présenté ci-dessous, dans lequel l'analyse à l'état limite ultime est réalisée en première étape.

Analyse à l'état limite ultime

Les différentes vérifications requises par les normes de calcul spécifiques sont évaluées sur la base des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications ELU sont réalisées pour la résistance du béton, la résistance de l'armature et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).

Pour garantir la conception efficace d'un élément structurel, il est fortement recommandé d'effectuer une analyse préliminaire prenant en compte les étapes suivantes :

• Choisir une sélection des combinaisons de charges les plus critiques.
• Calculer uniquement les combinaisons de charges à l'état limite ultime (ELU).
• Utiliser un maillage grossier (en augmentant le multiplicateur de la taille de maillage par défaut dans Setup (Fig. 19)).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Multiplicateur de maillage.}}}$$

Un tel modèle se calcule très rapidement, permettant aux concepteurs de revoir efficacement le ferraillage de l'élément structurel et de relancer l'analyse jusqu'à ce que toutes les exigences de vérification soient satisfaites pour les combinaisons de charges les plus critiques. Une fois que toutes les exigences de vérification de cette analyse préliminaire sont satisfaites, il est suggéré d'inclure l'ensemble complet des combinaisons de charges ultimes et d'utiliser une taille de maillage fine (la taille de maillage recommandée par le programme). L'utilisateur peut modifier la taille de maillage à l'aide du multiplicateur, qui peut atteindre des valeurs de 0,5 à 5 (Fig. 19).

Les résultats de base et les vérifications (contrainte, déformation et taux de travail (c'est-à-dire la valeur calculée/valeur limite selon la norme), ainsi que la direction des contraintes principales dans le cas des éléments en béton) sont affichés au moyen de différents graphiques où la compression est généralement présentée en rouge et la traction en bleu. Les valeurs minimales et maximales globales pour l'ensemble de la structure peuvent être mises en évidence, de même que les valeurs minimales et maximales pour chaque partie définie par l'utilisateur. Dans un onglet séparé du programme, des résultats avancés tels que les valeurs tensorielles, les déformations de la structure et les taux de ferraillage (effectif et géométrique) utilisés pour le calcul du raidissement en traction des barres d'armature peuvent être affichés. En outre, les charges et réactions pour les combinaisons ou cas de charge sélectionnés peuvent être présentées.

Analyse à l'état limite de service

Les vérifications ELS sont réalisées pour la limitation des contraintes, l'ouverture des fissures et les limites de flèche. Les contraintes sont vérifiées dans les éléments en béton et en armature selon la norme applicable, de manière similaire à ce qui est spécifié pour l'ELU.

L'analyse à l'état limite de service contient certaines simplifications des modèles constitutifs utilisés pour l'analyse à l'état limite ultime. Une adhérence parfaite est supposée, c'est-à-dire que la longueur d'ancrage n'est pas vérifiée à l'état limite de service. En outre, la branche plastique de la courbe contrainte-déformation du béton en compression est négligée, tandis que la branche élastique est linéaire et infinie. Ces simplifications améliorent la stabilité numérique et la vitesse de calcul, et ne réduisent pas la généralité de la solution tant que les limites de contrainte résultantes des matériaux à l'état limite de service sont clairement inférieures à leurs points de plastification (comme l'exigent les normes). Par conséquent, les modèles simplifiés utilisés pour l'état limite de service ne sont valables que si toutes les exigences de vérification sont satisfaites.

Calcul de l'ouverture des fissures et raidissement en traction

Calcul de l'ouverture des fissures

Il existe deux méthodes de calcul de l'ouverture des fissures - fissuration stabilisée et non stabilisée. En fonction du taux de ferraillage géométrique dans chaque partie de la structure, il est décidé quel type de modèle de calcul de fissuration sera utilisé (TCM pour la fissuration stabilisée et POM pour le modèle de fissuration non stabilisée).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Calcul de l'ouverture des fissures : (a) cinématique de fissuration considérée ; (b) projection de la cinématique de fissuration dans les directions}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{principales de l'armature ; (c) ouverture de fissure dans la direction de l'armature pour une fissuration stabilisée ; (d) cas avec}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{fissuration locale non stabilisée indépendamment du taux de ferraillage ; (e) ouverture de fissure dans la direction de l'armature}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{pour une fissuration non stabilisée.}}}$

Alors que le CSFM fournit un résultat direct pour la plupart des vérifications (par ex. capacité de l'élément, flèches…), les résultats d'ouverture de fissure sont calculés à partir des résultats de déformation de l'armature directement fournis par l'analyse EF, en suivant la méthodologie décrite en Fig. 20. Une cinématique de fissuration sans glissement (ouverture pure de la fissure) est considérée (Fig. 20a), ce qui est cohérent avec les principales hypothèses du modèle. Les directions principales des contraintes et des déformations définissent l'inclinaison des fissures (θ_r = θ_s= θ_e). Selon la (Fig. 20b), l'ouverture de fissure (w) peut être projetée dans la direction de l'armature (w_b), ce qui conduit à :

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

où θ_b est l'inclinaison de la barre.

Veuillez noter que le programme affiche les valeurs de θ_r et θ_b < π/2. Cela signifie que l'équation précédente fonctionne pour les cas où l'armature et la fissure traversent des quadrants différents du système de coordonnées cartésien, comme montré en Fig. 20, où l'armature traverse les quadrants I et III et la fissure les quadrants II et IV. Pour les cas où l'armature et la fissure traversent les mêmes quadrants, l'équation doit être modifiée comme suit :

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

La composante w_b est systématiquement calculée sur la base des modèles de raidissement en traction en intégrant les déformations de l'armature. Pour les régions présentant des schémas de fissuration entièrement développés, les déformations moyennes calculées (e_m) le long des barres d'armature sont directement intégrées le long de l'espacement des fissures (s_r), comme indiqué en (Fig. 20c). Bien que cette approche de calcul des directions de fissuration ne corresponde pas à la position réelle des fissures, elle fournit néanmoins des valeurs représentatives conduisant à des résultats d'ouverture de fissure qui peuvent être comparés aux valeurs d'ouverture de fissure requises par la norme à la position de l'armature.

Des situations particulières sont observées aux angles concaves de la structure calculée. Dans ce cas, l'angle prédéfinit la position d'une fissure unique qui se comporte de manière non stabilisée avant que des fissures adjacentes supplémentaires ne se développent. Ces fissures supplémentaires se développent généralement après le domaine de service (Mata-Falcón 2015), ce qui justifie de calculer les ouvertures de fissure dans une telle région comme si elles étaient non stabilisées (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Définition de la région aux angles concaves dans laquelle l'ouverture de fissure est calculée comme si elle était non stabilisée.}}}$$

Raidissement en traction

La mise en œuvre du raidissement en traction distingue les cas de schémas de fissuration stabilisés et non stabilisés. Dans les deux cas, le béton est considéré comme entièrement fissuré avant chargement par défaut.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Modèle de raidissement en traction : (a) élément de tirant en traction pour fissuration stabilisée avec distribution du cisaillement d'adhérence,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{des contraintes dans l'acier et le béton, et des déformations de l'acier entre les fissures, en considérant un espacement moyen des fissures) ; (b) hypothèse d'arrachement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{pour la fissuration non stabilisée avec distribution du cisaillement d'adhérence et des contraintes et déformations de l'acier autour de la fissure ; (c) comportement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{résultant du tirant en traction en termes de contraintes de l'armature aux fissures et de déformations moyennes pour l'acier européen B500B ;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) détail des branches initiales de la réponse du tirant en traction.}}}$

Fissuration stabilisée

Dans les schémas de fissuration entièrement développés, le raidissement en traction est introduit à l'aide du Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998 ; Alvarez 1998) – Fig. 22a – dont il a été démontré qu'il fournit d'excellentes prédictions de réponse malgré sa simplicité (Burns 2012). Le TCM suppose une relation contrainte de cisaillement d'adhérence-glissement en escalier, rigide-parfaitement plastique, avec τ_b = τ_b0 =2 f_ctm pour σ_s ≤ f_y et τ_b =τ_b1 = f_ctm pour σ_s > f_y. En traitant chaque barre d'armature comme un tirant en traction ­– Fig. 22b et Fig. 22a – la distribution du cisaillement d'adhérence, des contraintes dans l'acier et le béton, et donc la distribution de déformation entre deux fissures, peut être déterminée pour toute valeur donnée des contraintes (ou déformations) maximales de l'acier aux fissures.

Pour s_r = s_r0, une nouvelle fissure peut ou non se former car au centre entre deux fissures σ_c1 = f_ct. Par conséquent, l'espacement des fissures peut varier d'un facteur deux, soit s_r = λs_r0, avec l = 0,5…1,0. En supposant une certaine valeur pour λ, la déformation moyenne du tirant (ε_m) peut être exprimée en fonction des contraintes maximales de l'armature (c.-à-d. les contraintes aux fissures, σ_sr). Pour le diagramme contrainte-déformation bilinéaire idéalisé des barres d'armature nues considéré par défaut dans le CSFM, les expressions analytiques explicites suivantes sont obtenues (Marti et al. 1998) :

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

où :
E_sh           le module d'écrouissage de l'acier E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            module d'élasticité de l'armature,

Ø            diamètre de la barre d'armature,

s_r                espacement des fissures,

σ_sr           contraintes de l'armature aux fissures,

σ_s            contraintes réelles de l'armature,

f_y                limite d'élasticité de l'armature.

La mise en œuvre du CSFM dans Idea StatiCa Detail considère par défaut l'espacement moyen des fissures lors de l'analyse des champs de contraintes assistée par ordinateur. L'espacement moyen des fissures est considéré comme étant 2/3 de l'espacement maximal des fissures (λ = 0,67), ce qui suit les recommandations formulées sur la base d'essais de flexion et de traction (Broms 1965 ; Beeby 1979 ; Meier 1983). Il convient de noter que les calculs d'ouverture de fissure considèrent un espacement maximal des fissures (λ = 1,0) afin d'obtenir des valeurs conservatives.

L'application du TCM dépend du taux de ferraillage, et par conséquent l'attribution d'une surface de béton appropriée agissant en traction entre les fissures à chaque barre d'armature est cruciale. Une procédure numérique automatique a été développée pour définir le taux de ferraillage effectif correspondant (ρ_eff = A_s/A_c,eff) pour toute configuration, y compris l'armature inclinée (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Surface efficace de béton en traction pour fissuration stabilisée : (a) surface maximale de béton pouvant être activée ;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) enrobage et condition de symétrie globale ; (c) surface efficace résultante.}}}$

Fissuration non stabilisée

Les fissures existant dans des régions présentant des taux de ferraillage géométrique inférieurs à ρ_cr, c'est-à-dire la quantité minimale d'armature pour laquelle l'armature est capable de reprendre la charge de fissuration sans plastifier, sont générées soit par des actions non mécaniques (par ex. le retrait), soit par la propagation de fissures contrôlées par une autre armature. La valeur de cette armature minimale est obtenue comme suit :

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

où :

f_y              limite d'élasticité de l'armature,

f_ct             résistance en traction du béton,

n              coefficient d'équivalence, n = E_s / E_c .

Pour un béton et un acier d'armature conventionnels, ρ_cr s'élève à environ 0,6 %.

Pour les étriers présentant des taux de ferraillage inférieurs à ρ_cr, la fissuration est considérée comme non stabilisée et le raidissement en traction est mis en œuvre au moyen du Pull-Out Model (POM) décrit en Fig. 22b. Ce modèle analyse le comportement d'une fissure unique en ne considérant aucune interaction mécanique entre fissures séparées, en négligeant la déformabilité du béton en traction et en supposant la même relation contrainte de cisaillement d'adhérence-glissement en escalier, rigide-parfaitement plastique, utilisée par le TCM. Cela permet d'obtenir la distribution de déformation de l'armature (ε_s) au voisinage de la fissure pour toute contrainte maximale de l'acier à la fissure (σ_sr) directement à partir de l'équilibre. Étant donné que l'espacement des fissures est inconnu pour un schéma de fissuration non entièrement développé, la déformation moyenne (ε_m) est calculée pour tout niveau de charge sur la distance entre les points à glissement nul lorsque la barre d'armature atteint sa résistance en traction (f_t) à la fissure (l_ε,avg en Fig. 22b), ce qui conduit aux relations suivantes :

Les modèles proposés permettent le calcul du comportement de l'armature adhérente, qui est finalement pris en compte dans l'analyse. Ce comportement (incluant le raidissement en traction) pour l'acier d'armature européen le plus courant (B500B, avec f_t / f_y = 1,08 et ε_u = 5 %) est illustré en Fig. 22c-d.

Béton - ELU

Le modèle de béton implémenté dans la CSFM est basé sur les lois constitutives de compression uniaxiale prescrites par l'EN 1992-1-1 pour le dimensionnement des sections, qui ne dépendent que de la résistance en compression. Le diagramme parabole-rectangle spécifié dans l'EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 24a) est utilisé par défaut dans la CSFM, mais les concepteurs peuvent également choisir une relation élasto-plastique idéale simplifiée selon l'EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 24b). La résistance en traction est négligée, comme dans le dimensionnement classique du béton armé.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}$$

L'implémentation de la CSFM dans IDEA StatiCa Detail ne prend pas en compte de critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c'est-à-dire qu'après avoir atteint la contrainte de pic, elle considère une branche plastique avec ε_cu2 (ε_cu3) d'une valeur de 5 % alors que l'EN 1992-1-1 suppose une déformation ultime inférieure à 0,35 %). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures dont la rupture se produit en compression. Toutefois, leur capacité ultime f_cd selon l'EN 1992-1-1 3.1.3 est correctement prédite lorsque, en plus du facteur de béton fissuré (k_c2 défini en (Fig. 25)), l'augmentation de la fragilité du béton avec l'augmentation de sa résistance est prise en compte au moyen du facteur de réduction $\eta_{fc}$ défini dans le Model Code 2010 du fib comme suit :

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

où :

α_cc est le coefficient tenant compte des effets à long terme sur la résistance en compression et des effets défavorables résultant de la manière dont la charge est appliquée. Il est conforme à l'EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). La valeur par défaut est 1,0.

k_c est le facteur de réduction global de la résistance en compression

k_c2 est le facteur de réduction dû à la présence de fissuration transversale

f_ck est la résistance caractéristique du béton en cylindre (en MPa pour la définition de $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}$$

Béton - ELS

L'analyse à l'état limite de service contient certaines simplifications des modèles constitutifs utilisés pour l'analyse à l'état limite ultime. La branche plastique de la courbe contrainte-déformation du béton en compression est ignorée, tandis que la branche élastique est linéaire et infinie. La loi d'adoucissement en compression n'est pas prise en compte. Ces simplifications améliorent la stabilité numérique et la vitesse de calcul et ne réduisent pas la généralité de la solution tant que les limites de contrainte résultantes du matériau à l'état de service sont clairement inférieures à leurs points de plastification (comme l'exige l'Eurocode). Par conséquent, les modèles simplifiés utilisés pour l'état de service ne sont valables que si toutes les exigences de vérification sont satisfaites.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Effets à long terme

Dans l'analyse à l'état limite de service, les effets à long terme du béton sont pris en compte à l'aide d'un coefficient de fluage effectif infini ($\varphi$, pris égal à 2,5 par défaut) qui modifie le module d'élasticité sécant du béton (E_cm) conformément à l'EN 1992-1-1, section 3.1.4 (3) resp. 7.4.3 (5) comme suit :

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

Lorsque les effets à long terme sont pris en compte, un pas de charge avec toutes les charges permanentes est d'abord calculé en tenant compte du coefficient de fluage (c'est-à-dire en utilisant le module d'élasticité effectif du béton, E_c,eff), puis les charges supplémentaires sont calculées sans le coefficient de fluage (c'est-à-dire en utilisant E_cm). De plus, pour effectuer les vérifications à court terme, un autre calcul est réalisé dans lequel toutes les charges sont calculées sans le coefficient de fluage. Les deux calculs pour les vérifications à long terme et à court terme sont représentés dans la Fig. 26.

Les coefficients de fluage sont définis par l'utilisateur dans les propriétés des matériaux et doivent être calculés conformément à l'EN 1992-1-1, Fig 3.1.

Ferraillage

Par défaut, le diagramme contrainte-déformation bilinéaire idéalisé pour les barres d'armature nues défini dans l'EN 1992-1-1, section 3.2.7 (Fig. 27) est pris en compte. La définition de ce diagramme ne nécessite que la connaissance des propriétés de base du ferraillage lors de la phase de conception (classe de résistance et de ductilité). Chaque fois qu'elle est connue, la relation contrainte-déformation réelle du ferraillage (laminé à chaud, écroui à froid, trempé et autorevenu, …) peut être prise en compte. Le diagramme contrainte-déformation du ferraillage peut être défini par l'utilisateur, mais dans ce cas, il est impossible de considérer l'effet de raidissement en traction (il est impossible de calculer l'ouverture des fissures). L'utilisation du diagramme contrainte-déformation avec une branche supérieure horizontale ne permet pas de vérifier la durabilité structurelle. Par conséquent, une vérification manuelle des exigences standard de ductilité est nécessaire.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$

Le raidissement en traction (Fig. 28)  est pris en compte automatiquement en modifiant la relation contrainte-déformation d'entrée de la barre d'armature nue afin de capturer la rigidité moyenne des barres noyées dans le béton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

La Méthode du Champ de Contraintes Compatible est conforme aux codes de calcul modernes. Comme les modèles de calcul n'utilisent que des propriétés de matériaux standard, le format des coefficients partiels de sécurité prescrit dans les codes de calcul peut être appliqué sans aucune adaptation. Ainsi, les charges d'entrée sont majorées, et les propriétés caractéristiques des matériaux sont réduites à l'aide des coefficients de sécurité respectifs prescrits dans les codes de calcul, exactement comme dans l'analyse conventionnelle du béton. Les valeurs des coefficients de sécurité des matériaux prescrites dans l'EN 1992-1-1 chap. 2.4.2.4 sont définies par défaut, mais l'utilisateur peut modifier les coefficients de sécurité dans les paramètres Code et calcul (Fig. 29).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Les coefficients de sécurité des charges doivent être définis par l'utilisateur dans les règles de combinaison pour chaque combinaison non linéaire de cas de charge (Fig. 30). Pour tous les modèles implémentés dans Idea StatiCa Detail, les coefficients partiels de sécurité sont déjà prédéfinis.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

En utilisant des combinaisons appropriées de coefficients partiels de sécurité définies par l'utilisateur, les utilisateurs peuvent également calculer avec le CSFM en utilisant la méthode du coefficient de résistance global (Navrátil, et al. 2017), mais cette approche est rarement utilisée dans la pratique de la conception. Certaines recommandations préconisent l'utilisation de la méthode du coefficient de résistance global pour l'analyse non linéaire. Cependant, dans les analyses non linéaires simplifiées (telles que le CSFM), qui ne nécessitent que les propriétés des matériaux utilisées dans les calculs manuels conventionnels, il reste préférable d'utiliser le format des coefficients partiels de sécurité.

Les différentes vérifications requises par l'EN 1992-1-1 sont évaluées sur la base des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications à l'ELU sont effectuées pour la résistance du béton, la résistance du ferraillage et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).

La résistance du béton en compression est évaluée comme le rapport entre la contrainte principale de compression maximale σ_c = σ_c2 obtenue par l'analyse EF et la valeur limite σ_c,lim = f_cd. 

La résistance du ferraillage est évaluée à la fois en traction et en compression comme le rapport entre la contrainte dans le ferraillage au niveau des fissures σ_sr et la valeur limite spécifiée σ_s,lim :

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{pour un diagramme bilinéaire avec branche supérieure inclinée}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{pour un diagramme bilinéaire avec branche supérieure horizontale}}$

où :

f_yk        est la limite d'élasticité du ferraillage selon l'EN 1992-1-1 Cl. 3.2.3,

k          est le rapport entre la résistance à la traction f_tk et la limite d'élasticité,
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             est le facteur partiel de sécurité pour le ferraillage

La contrainte de cisaillement d'adhérence est évaluée indépendamment comme le rapport entre la contrainte d'adhérence τ_b calculée par l'analyse EF et la résistance ultime d'adhérence f_bd, selon l'EN 1992-1-1 chap. 8.4.2 :

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

où :

f_ctd      est la valeur de calcul de la résistance à la traction du béton selon l'EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (2). En raison de la fragilité croissante des bétons à haute résistance, f_ctk,0.05 est limitée à la valeur pour le C60/75 selon l'EN 1992-1-1 Cl. 8.4.2 (2)

η₁       est un coefficient lié à la qualité des conditions d'adhérence et à la position de la barre pendant le bétonnage (Fig. 31).

η₁ = 1,0 lorsque des conditions « bonnes » sont obtenues et

η₁ = 0,7 pour tous les autres cas et pour les barres dans les éléments structurels construits avec des coffrages glissants, sauf s'il peut être démontré que de « bonnes » conditions d'adhérence existent

η₂        est lié au diamètre de la barre :

            η₂ = 1,0 pour Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 pour Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description des conditions d'adhérence.}}}$$

Dans IDEA StatiCa Detail, les conditions d'adhérence sont prises en compte conformément à la Fig. 31 c) et d). La direction de bétonnage peut être définie dans l'application pour chaque élément de projet comme suit.

Ces vérifications sont effectuées par rapport aux valeurs limites appropriées pour les parties respectives de la structure (c'est-à-dire que, malgré une nuance unique à la fois pour le béton et le matériau de ferraillage, les diagrammes contrainte-déformation finaux différeront dans chaque partie de la structure en raison des effets de raidissement en traction et d'adoucissement en compression).

Il existe également une option permettant de modéliser des barres lisses. Plus d'informations sont disponibles ici : Barres lisses dans Detail

Effort total F_tot et effort limite F_lim

L'effort total F_tot est un résultat de l'analyse par éléments finis et peut être défini de deux manières.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

où A_s est l'aire de la barre de ferraillage et σ_s est la contrainte dans la barre.

Ou comme la somme de l'effort d'ancrage F_a et de l'effort d'adhérence F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

où F_a est l'effort réel dans le ressort d'ancrage et F_bond est l'effort d'adhérence qui peut être obtenu en intégrant la contrainte d'adhérence τ_b le long de la longueur de la barre de ferraillage l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s est la circonférence de la barre de ferraillage.

L'effort limite F_lim est l'effort maximal dans l'élément de la barre en tenant compte de la résistance ultime de la barre ainsi que des conditions d'ancrage (adhérence entre le béton et le ferraillage et crochets d'ancrage, boucles, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

où C_s est la circonférence de la barre de ferraillage, et l est la longueur depuis le début de la barre jusqu'au point considéré.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Définition de l'effort limite Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

où F_lim,add est l'effort supplémentaire calculé à partir de l'amplitude de l'angle entre les éléments voisins. F_lim,2 doit toujours être inférieur à F_u.

Les types d'ancrage disponibles dans le CSFM comprennent une barre droite (c'est-à-dire sans réduction d'extrémité d'ancrage), un coude, un crochet, une boucle, une barre transversale soudée, une adhérence parfaite et une barre continue. Tous ces types, ainsi que les coefficients d'ancrage β respectifs, sont présentés en Fig. 32 pour le ferraillage longitudinal et en Fig. 33 pour les étriers. Les valeurs des coefficients d'ancrage adoptés sont conformes à l'EN 1992-1-1 section 8.4.4 Tab. 8.2. Il convient de noter que malgré les différentes options disponibles, le CSFM distingue trois types d'extrémités d'ancrage : (i) aucune réduction de la longueur d'ancrage, (ii) une réduction de 30 % de la longueur d'ancrage dans le cas d'un ancrage normalisé et (iii) une adhérence parfaite.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Types d'ancrage disponibles et coefficients d'ancrage respectifs pour les barres de ferraillage longitudinales dans le CSFM :}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) barre droite ; (b) coude ; (c) crochet ; (d) boucle ; (e) barre transversale soudée ; (f) adhérence parfaite ; (g) barre continue.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Types d'ancrage disponibles et coefficients d'ancrage respectifs pour les étriers.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Étriers fermés : (a) crochet ; (b) coude ; (c) recouvrement. Étriers ouverts : (d) crochet ; (e) barre continue.}}}$$

Afin de se conformer à l'EN 1992-1-1, le ressort d'ancrage doit être utilisé dans le calcul ; le ressort d'ancrage est modifié par le coefficient β, de sorte que l'utilisateur doit utiliser l'un des types d'ancrage disponibles lors de la définition des conditions de début et de fin du ferraillage. 

Lors de la conception des structures en béton, on rencontre deux grandes catégories de zones partiellement chargées (PLA) : la première regroupe les appuis, tandis que l'autre concerne les zones d'ancrage. Selon les normes actuellement en vigueur pour le calcul des structures en béton armé EN 1992-1-1 chap. 6.7 (Fig. 34), l'écrasement local du béton et les efforts de traction transversaux doivent être pris en compte pour les zones partiellement chargées. Pour une charge uniformément répartie sur une zone A_c0, la capacité en compression du béton peut être augmentée jusqu'à trois fois, selon la zone de diffusion de calcul A_c1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Zones partiellement chargées selon l'EN 1992-1-1.}}}$$

La zone partiellement chargée doit être suffisamment armée avec une armature transversale conçue pour transmettre les efforts d'éclatement qui se produisent dans cette zone. Pour le calcul de l'armature transversale dans les zones partiellement chargées, la méthode Bielle-et-tirant est utilisée conformément à l'Eurocode. Sans l'armature transversale requise, il n'est pas possible d'envisager d'augmenter la capacité en compression du béton.

Zones partiellement chargées dans le CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Bielles fictives avec maillage d'éléments finis en béton.}}}$$

Grâce au CSFM, il est possible de dimensionner et de vérifier des structures en béton armé en tenant compte de l'influence de l'augmentation de la résistance en compression du béton dans les zones partiellement chargées. Étant donné que le CSFM est un modèle de voile (2D) et que les zones partiellement chargées constituent un problème spatial (3D), il a été nécessaire de trouver une solution combinant ces deux types de problèmes différents (Fig. 35). Si la fonction « zones partiellement chargées » est activée, la géométrie du cône admissible est créée conformément à l'Eurocode (Fig. 34). Toutes les collisions géométriques sont résolues intégralement en 3D pour la géométrie de l'élément en béton spécifiée et les dimensions de chaque PLA. Un modèle de calcul de la zone partiellement chargée est ensuite créé.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Géométries de cône admissibles.}}}$$

La modification du modèle de matériau s'est révélée être une approche inadaptée, principalement parce que l'affectation des propriétés au maillage d'éléments finis pose problème. Il a été déterminé qu'une approche indépendante du maillage d'éléments finis constitue une solution plus appropriée. Des bielles fictives absolument cohérentes sont créées pour la géométrie de cône de compression connue (Fig. 35 et Fig. 37). Ces bielles possèdent des propriétés de matériau identiques à celles du béton utilisé dans le modèle, y compris le diagramme contrainte-déformation. La forme du cône détermine la direction des bielles, qui répartit progressivement la charge de la PLA vers la zone de diffusion de calcul. La densité surfacique des bielles fictives est variable à chaque niveau du cône, et une zone de béton fictive est ajoutée dans la direction de la charge. Au niveau de la zone chargée (A_c0), une zone de béton fictive est ajoutée selon le rapport $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  (où A_real est une zone d'appui supposée dans le modèle de calcul 2D), et cette zone diminue linéairement jusqu'à zéro vers la zone de diffusion de calcul (A_c1). Cette solution garantit que la contrainte de compression dans le béton est constante sur l'ensemble du volume du cône.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Bielles fictives dans le modèle de calcul}}}$$

La résistance de la zone partiellement chargée est augmentée selon le rapport entre la zone de diffusion de calcul et la zone chargée établi dans l'EN 1992-1-1  (6.7).  Il convient de rappeler qu'il s'agit d'un modèle de calcul qui ne peut décrire précisément l'état de contrainte sur une zone partiellement chargée, dont l'écoulement réel est bien plus complexe. Cependant, cette solution permet une distribution correcte de la charge dans l'ensemble du modèle tout en respectant la capacité de charge accrue de la zone partiellement chargée. De plus, elle introduit correctement les contraintes transversales dans cette zone.

Lors de l'utilisation de la fonction Zones partiellement chargées pour simuler l'augmentation de la capacité en compression du béton, il est nécessaire de fournir la vérification normative séparément conformément à l'EN 1992-1-1, section 6.7 (2). Les efforts de traction transversaux (efforts de fendage) transmis par le ferraillage sont vérifiés automatiquement.

Les vérifications à l'ELS sont réalisées pour la limitation des contraintes, l'ouverture des fissures et les limites de flèche. Les contraintes sont vérifiées dans le béton et les éléments de ferraillage selon l'EN 1992-1-1 de manière similaire à celle spécifiée pour l'ELU.

Limitation des contraintes

La contrainte de compression dans le béton doit être limitée afin d'éviter les fissures longitudinales. Selon l'EN 1992-1-1 chap. 7.2 (2), des fissures longitudinales peuvent apparaître si le niveau de contrainte sous la combinaison caractéristique de charges dépasse une valeur k₁f_ck. La contrainte de compression dans le béton est évaluée comme le rapport entre la contrainte principale de compression maximale σ_c = σ_c2 obtenue à partir de l'analyse par éléments finis pour les états limites de service et la valeur limite σ_c,lim. Ainsi :

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

où :

f_ck        résistance caractéristique du béton en compression sur cylindre,

k₁         =0,6.

Si la contrainte dans le béton sous les charges quasi-permanentes est inférieure à k₂f_ck selon l'EN 1992-1-1 Cl. 7.2(3), un fluage linéaire peut être supposé. Si la contrainte dans le béton dépasse k₂f_ck, un fluage non linéaire doit être pris en compte (voir EN 1992-1-1 Cl. 3.1.4). Dans IDEA StatiCa Detail, seul le fluage linéaire selon l'EN 1992-1-1 Cl. 3.1.4 (3) peut être supposé (voir Modèles de matériaux (EN)).

On peut considérer qu'un endommagement inacceptable par fissuration ou déformation est évité si, sous la combinaison caractéristique de charges, la contrainte de traction dans le ferraillage ne dépasse pas k₃f_yk (EN 1992-1-1 chap. 7.2 (5)). La résistance du ferraillage est évaluée comme le rapport entre la contrainte dans le ferraillage aux fissures σ_s = σ_sr et la valeur limite spécifiée σ_s,lim :

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

où :

f_yk        limite d'élasticité du ferraillage,

k₃        =0,8.

Flèche

Les flèches ne peuvent être évaluées que pour les voiles ou les poutres isostatiques (statiquement déterminées) ou hyperstatiques (statiquement indéterminées). Dans ces cas, la valeur absolue des flèches est considérée (par rapport à l'état initial avant chargement), et la valeur admissible maximale des flèches doit être définie par l'utilisateur. Les flèches aux extrémités réduites ne peuvent pas être vérifiées, car il s'agit essentiellement de structures instables où l'équilibre est satisfait par l'ajout de forces d'extrémité, et les flèches sont donc irréalistes. La flèche à court terme u_z,st ou à long terme u_z,lt peut être calculée et vérifiée par rapport à des valeurs limites définies par l'utilisateur :

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

où :

u_z         flèche à court ou long terme calculée par analyse par éléments finis,

u_z,lim    valeur limite de la flèche définie par l'utilisateur.

Ouverture de fissure

Les ouvertures et orientations de fissures sont calculées uniquement pour les effets à long terme (en utilisant E_c,eff) pour les combinaisons pour lesquelles l'évaluation de l'ouverture de fissure est activée. Les vérifications basées sur les valeurs limites spécifiées par l'utilisateur conformément à l'Eurocode sont présentées comme suit :

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

où :

w         ouverture de fissure calculée par analyse par éléments finis,

w_lim     valeur limite de l'ouverture de fissure définie par l'utilisateur.

Il existe deux méthodes de calcul des ouvertures de fissures (fissuration stabilisée et non stabilisée). Dans le cas général (fissuration stabilisée), l'ouverture de fissure est calculée en intégrant les déformations sur les éléments 1D des barres de ferraillage. La direction de la fissure est alors calculée à partir des trois points d'intégration les plus proches (du centre de l'élément fini 1D de ferraillage donné) des éléments de béton 2D. Bien que cette approche de calcul des directions de fissures ne corresponde pas à la position réelle des fissures, elle fournit néanmoins des valeurs représentatives conduisant à des résultats d'ouverture de fissure qui peuvent être comparés aux valeurs d'ouverture de fissure requises par la norme à la position des barres de ferraillage.

Béton - Résistance

Le modèle de béton implémenté pour les calculs de résistance dans le CSFM est basé sur la courbe contrainte-déformation parabolique-plastique du béton, issue de la courbe contrainte-déformation parabolique de la Portland Cement Association décrite dans les Notes du PCA sur le code ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figure 6-8. La résistance en traction est négligée, comme c'est le cas dans le calcul classique du béton armé.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad Diagramme contrainte-déformation du béton pour l'analyse de résistance}}}$$

L'implémentation du CSFM dans IDEA StatiCa Detail ne prend pas en compte un critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c'est-à-dire qu'après avoir atteint la contrainte de pic, elle considère une branche plastique avec ε_c0 d'une valeur maximale de 5 %, alors que l'ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 suppose une déformation ultime inférieure à 0,3 %). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures en rupture par compression. Cependant, la résistance est correctement prédite lorsque, en plus du facteur de béton fissuré (k_c2 défini dans (Fig. 39)), l'augmentation de la fragilité du béton avec l'accroissement de sa résistance est prise en compte au moyen du facteur de réduction $\eta_{fc}$ défini dans le Model Code 2010 de la fib comme suit :

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

où :

α₁ est le facteur de réduction de la résistance en compression du béton défini dans l'ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Lors de l'utilisation d'un diagramme contrainte-déformation parabole-rectangle, il est nécessaire de réduire la contrainte de compression maximale par ce facteur. Cela permet de moyenner la répartition des contraintes dans la zone comprimée de telle manière que la résistance en compression résultante soit inférieure ou égale à la résistance en compression calculée à l'aide d'un diagramme contrainte-déformation avec une branche plastique décroissante.

Φ_c est le facteur de réduction de résistance pour le béton. La valeur par défaut est définie conformément à l'ACI 318-19 Tableau 24.2.1 (b)(f).

k_c2 est le facteur de réduction dû à la présence de fissuration transversale.

f'_c est la résistance du béton sur cylindre (en MPa pour la définition de $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad La loi d'adoucissement en compression.}}}$$

k_c2 est un facteur de réduction basé sur les mêmes hypothèses que le coefficient de zone nodale β_n donné dans l'ACI 318-19 Tableau 23.9.2, à la différence que dans le CSFM, la présence d'une contrainte principale de traction perpendiculaire à la contrainte principale de compression est vérifiée pour chaque élément fini (et non uniquement pour les nœuds du modèle Bielle et tirant).

Béton – État limite de service

L'analyse à l'état limite de service comporte certaines simplifications des modèles constitutifs utilisés pour l'analyse de résistance. La branche plastique de la courbe contrainte-déformation du béton en compression est négligée, tandis que la branche élastique est linéaire et infinie. La loi d'adoucissement en compression n'est pas prise en compte. Ces simplifications améliorent la stabilité numérique et la vitesse de calcul et ne réduisent pas la généralité de la solution tant que les limites de contrainte résultantes du matériau à l'état limite de service sont clairement inférieures à leurs points de plastification (comme l'exige l'ACI). Par conséquent, les modèles simplifiés utilisés pour l'état limite de service ne sont valables que si toutes les exigences de vérification sont satisfaites.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Diagrammes contrainte-déformation du béton implémentés pour l'analyse à l'état limite de service : vérifications à court et long terme.}}}$$

Effets à long terme

Le comportement à long terme de la structure, tel que les flèches à long terme ou le calcul des ouvertures de fissures causées par des charges soutenues, est influencé par le fluage du béton. L'ACI 318-19, au paragraphe 24.2.4.1.3, définit le facteur dépendant du temps pour les charges soutenues – ξ représentant l'effet de fluage pour une durée de charge soutenue spécifiée.

Dans l'application Detail, le module d'élasticité E_c est ajusté pour déterminer le comportement à long terme de la structure grâce au facteur ξ. Le module d'élasticité ajusté est désigné par E_c,eff – voir la Figure 40.

En supposant que la déformation de l'élément soit exprimée par la déformation unitaire, on peut écrire que :

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

où :

ε₀ est une déformation à court terme (sans l'influence du fluage) et ε_creep est une déformation causée par le fluage.

En utilisant la loi de Hooke, on peut écrire :

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

En substituant $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ et $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$, on obtient :

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

La durée de charge soutenue pour la détermination du facteur ξ peut être définie individuellement pour chaque combinaison de service à long terme.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Durée de charge soutenue}}}$$

Les flèches, contraintes et ouvertures de fissures dépendant du temps sont ensuite calculées avec un modèle de matériau modifié où l'effet de l'affinement en compression est pris en compte automatiquement par la nature de l'analyse par éléments finis. Il n'est donc pas nécessaire de les multiplier davantage par le facteur défini au paragraphe 24.2.4.1.1.

Effets à court terme

Pour effectuer les vérifications à court terme, un autre calcul est réalisé dans lequel toutes les charges sont calculées sans le facteur dépendant du temps pour les charges soutenues. Les deux calculs pour les vérifications à long et à court terme sont représentés à la Fig. 40.

Ferraillage

Un diagramme contrainte-déformation parfaitement élasto-plastique avec un point de plastification défini est considéré pour le ferraillage non précontraint, voir ACI 319-19 Cl. 20.2.1. La définition de ce diagramme nécessite uniquement de connaître les propriétés de base du ferraillage – la résistance et le module d'élasticité.

Le diagramme contrainte-déformation du ferraillage peut également être défini par l'utilisateur, mais dans ce cas, il est impossible de prendre en compte l'effet de raidissement en traction (il est impossible de calculer l'ouverture de fissure). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Diagramme contrainte-déformation du ferraillage}}}$$

où :

Φ_s est le facteur de réduction de résistance pour le ferraillage. La valeur par défaut est définie conformément à l'ACI 318-19 Tableau 24.2.1.

f_y est la limite d'élasticité du ferraillage

E_s module d'élasticité du ferraillage

10 % est sélectionné comme la déformation limite à laquelle le calcul est arrêté. Ceci est considéré comme sécuritaire sur la base de l'ASTM A955/A955M-20c Article 7.

Le raidissement en traction (Fig. 43)  est pris en compte automatiquement en modifiant la relation contrainte-déformation d'entrée de la barre d'armature nue afin de capturer la rigidité moyenne des barres noyées dans le béton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Schéma du raidissement en traction.}}}$$

La Méthode du Champ de Contraintes Compatible est conforme aux normes de calcul modernes. Comme les modèles de calcul n'utilisent que des propriétés de matériaux standard, le format des facteurs partiels de sécurité prescrit par les normes de calcul peut être appliqué sans aucune adaptation. Ainsi, les charges d'entrée sont pondérées, et les propriétés caractéristiques des matériaux sont réduites à l'aide des facteurs de réduction de résistance respectifs, exactement comme dans l'analyse conventionnelle du béton.

Les valeurs des facteurs de réduction de résistance sont prescrites dans l'ACI 318-19, art. 21.2. Les valeurs par défaut pour le béton et le ferraillage sont choisies en supposant que l'exemple type résolu dans l'application est contrôlé par le cisaillement (sur la base du tableau 21.2.1 (b), (f), (g)). Cependant, il est possible de modéliser tout type d'élément. Par conséquent, si un élément contrôlé en compression ou en traction est évalué, l'utilisateur a la possibilité de modifier la valeur du facteur de réduction de résistance dans les Préférences.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad Le réglage des facteurs de réduction de résistance dans IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Les facteurs de charge pour les combinaisons de résistance doivent être définis conformément à l'ACI 318-19, tableau 5.3.1.

Sauf indication contraire au Chapitre 34, les combinaisons de charges à l'état de service ne sont pas définies dans l'ACI 318-19. Il est recommandé d'utiliser les règles de combinaison basées sur l'Annexe C de l'ASCE/SEI 7-16. Pour tous les modèles, les facteurs de charge sont déjà prédéfinis.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad Le réglage des facteurs de charge dans Idea StatiCa Detail.}}}$$

Les différentes vérifications requises par l'ACI 318-19 sont évaluées sur la base des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications sont réalisées pour la résistance du béton, la résistance du ferraillage et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).

La résistance du béton en compression est évaluée comme le rapport entre la contrainte principale de compression maximale f_c (également σ₂ dans les résultats auxiliaires) obtenue par l'analyse EF et la valeur limite f'_c,lim.

La résistance du ferraillage est évaluée à la fois en traction et en compression comme le rapport entre la contrainte dans le ferraillage au niveau des fissures f_s et la valeur limite spécifiée f_y,lim.

La contrainte de cisaillement d'adhérence est évaluée indépendamment comme le rapport entre la contrainte d'adhérence τ_b calculée par l'analyse EF et la résistance d'adhérence f_bu.

Cependant, la norme ACI n'aborde pas explicitement la résistance d'adhérence, mais travaille plutôt avec le calcul de ce qu'on appelle la longueur de développement, décrite dans la section 25.4.2. Étant donné que la résistance d'adhérence est un paramètre d'entrée fondamental pour déterminer la longueur de développement, voir R25.4.1.1 et ACI Committee 408 1966, la résistance d'adhérence peut être calculée comme suit :

Supposons que si l'on ancre la barre de ferraillage dans un bloc de béton sur une longueur de développement l_d ou supérieure, l'arrachement du ferraillage entraînera la rupture du ferraillage et non l'arrachement du béton. Cela peut s'écrire avec la formule suivante.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

où :

d_b est le diamètre de la barre de ferraillage, l_d est la longueur de développement, f_bu est la résistance d'adhérence, f_y est la limite d'élasticité du ferraillage, et A_s est l'aire de la barre de ferraillage.

De ce qui précède, la formule de calcul de la résistance d'adhérence peut être facilement déduite :

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

La longueur de développement l_d est ensuite déterminée conformément au tableau 25.4.2.3 de l'ACI 318-19 comme suit :

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

où :

C = 25 (2,1 en unités métriques) pour les barres n° 6 et inférieures et les fils crantés, C = 20 (1,7 en unités métriques) pour les barres n° 7 et supérieures, λ = 1,0 pour le béton de densité normale, ψ_t, ψ_e, ψ_g sont déterminés conformément au tableau 25.4.2.3 de l'ACI 318-19. 

Seul le ferraillage non revêtu ou galvanisé (zingué) est pris en charge, donc ψ_e = 1,0. ψ_g est automatiquement déterminé à partir de la nuance du ferraillage, et ψ_t est automatiquement dérivé de la position du ferraillage dans le modèle et de la direction de bétonnage qui peut être définie dans l'application pour chaque élément de projet, comme suit.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

Ces vérifications sont réalisées par rapport aux valeurs limites appropriées pour les parties respectives de la structure (c'est-à-dire que, malgré une nuance unique à la fois pour le béton et le matériau de ferraillage, les diagrammes contrainte-déformation finaux diffèreront dans chaque partie de la structure en raison des effets de raidissement en traction et d'adoucissement en compression).

Il existe également une option pour modéliser les armatures lisses. Plus d'informations sont disponibles ici : Smooth rebars in Detail

Force totale F_tot et force limite F_lim

La force totale F_tot est un résultat de l'analyse par éléments finis et peut être définie de deux manières.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

où A_s est l'aire de la barre de ferraillage et f_s est la contrainte dans la barre.

Ou comme la somme de la force d'ancrage F_a et de la force d'adhérence F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

où F_a est la force réelle dans le ressort d'ancrage et F_bond est la force d'adhérence qui peut être obtenue en intégrant la contrainte d'adhérence τ_b sur la longueur de la barre de ferraillage l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s est la circonférence de la barre de ferraillage.

La force limite F_lim est la force maximale dans l'élément de la barre de ferraillage compte tenu de la résistance de la barre et également des conditions d'ancrage (adhérence entre le béton et le ferraillage et crochets d'ancrage, boucles, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

où C_s est la circonférence de la barre de ferraillage, et l est la longueur depuis le début de la barre jusqu'au point d'intérêt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

où F_lim,add est la force additionnelle calculée à partir de l'amplitude de l'angle entre les éléments voisins. F_lim,2 doit toujours être inférieure à F_u.

Les types d'ancrage disponibles dans le CSFM comprennent une barre droite (c'est-à-dire sans réduction d'extrémité d'ancrage), un crochet à 90 degrés, un crochet à 180 degrés, une adhérence parfaite et une barre continue. Tous ces types, ainsi que les coefficients d'ancrage β respectifs, sont présentés à la Fig. 48 pour le ferraillage longitudinal. Les valeurs des coefficients d'ancrage adoptés sont dérivées de la comparaison de l'équation de la section 25.4.3.1 de l'ACI 318-19 et des équations tirées de la section 25.4.2.3 de l'ACI 318-19. Il convient de noter que, malgré les différentes options disponibles, le CSFM distingue trois types d'extrémités d'ancrage : (i) aucune réduction de la longueur d'ancrage, (ii) une réduction de 30 % de la longueur d'ancrage dans le cas d'un ancrage normalisé, et (iii) une adhérence parfaite.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Le coefficient d'ancrage pour les étriers est toujours - β = 1,0.

Afin de se conformer à l'ACI, le ressort d'ancrage doit être utilisé dans le calcul, le ressort d'ancrage est modifié par le coefficient β, de sorte que l'utilisateur doit utiliser l'un des types d'ancrage disponibles lors de la définition des conditions de début et de fin du ferraillage. 

Lors de la conception des structures en béton, on rencontre deux grands groupes de surfaces partiellement chargées (PLA) – le premier comprend les appuis, tandis que l'autre comprend les zones d'ancrage. 

Selon les normes actuellement en vigueur pour la conception des structures en béton armé ACI 318-19 chap. 22.8, l'écrasement local du béton et les efforts de traction transversaux doivent être pris en compte pour les appuis. Pour une charge uniformément répartie sur une surface, A_c1, la capacité en compression du béton peut être augmentée jusqu'à deux fois selon la surface de diffusion de calcul A_c2. Voir le tableau 22.8.3.2 de l'ACI 318-19.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Surfaces partiellement chargées pour les appuis selon l'ACI 318-19}}}$$

Pour les zones d'ancrage post-tension, il convient de suivre l'ACI 318-19 chap. 25.9.

La surface partiellement chargée doit être suffisamment renforcée avec une armature transversale conçue pour transmettre les efforts de fendage qui se produisent dans la zone. Sans l'armature transversale requise, il n'est pas possible d'envisager une augmentation de la capacité en compression du béton.

Surfaces partiellement chargées dans le CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Bielles fictives avec le maillage en éléments finis du béton.}}}$$

Grâce au CSFM, il est possible de concevoir et de vérifier des structures en béton armé tout en incluant l'influence de l'augmentation de la résistance en compression du béton dans les surfaces partiellement chargées. Comme le CSFM est un modèle de voile (2D) et que les surfaces partiellement chargées constituent une tâche spatiale (3D), il a été nécessaire de trouver une solution combinant ces deux types de tâches différents (Fig. 50). Si la fonction « surfaces partiellement chargées » est activée, la géométrie de cône admissible est créée selon l'ACI (Fig. 49). Toutes les collisions géométriques sont résolues entièrement en 3D pour la géométrie de l'élément en béton spécifiée et les dimensions de chaque PLA. Par la suite, un modèle de calcul de la surface partiellement chargée est créé.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Géométries de cône admissibles.}}}$$

La modification du modèle de matériau s'est avérée être une approche inadaptée, principalement parce que la correspondance des propriétés avec le maillage en éléments finis pose problème. Il a été déterminé qu'une approche indépendante du maillage en éléments finis constitue une solution plus appropriée. Des bielles fictives absolument cohérentes sont créées pour la géométrie de cône de compression connue (Fig. 51 et Fig. 52). Ces bielles ont des propriétés de matériau identiques à celles du béton utilisé dans le modèle, y compris le diagramme contrainte-déformation. La forme du cône détermine la direction des bielles, qui répartissent progressivement la charge sur la PLA vers la surface de diffusion de calcul. La densité surfacique des bielles fictives est variable à chaque partie du cône, et elle ajoute une surface de béton fictive dans la direction de la charge. Au niveau de la surface chargée (A_c1), une surface de béton fictive est ajoutée selon le rapport $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  (où A_real est une surface de l'appui supposée dans le modèle de calcul 2D), et cette surface diminue linéairement jusqu'à zéro vers la surface de diffusion de calcul (A_c2). Cette solution garantit que la contrainte de compression dans le béton est constante sur l'ensemble du volume du cône.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Bielles fictives dans le modèle de calcul}}}$$

La résistance de la surface partiellement chargée est augmentée selon le rapport entre la surface de diffusion de calcul et la surface chargée établi dans l'ACI 318-19 chap. 22.8.  Il convient de rappeler qu'il s'agit d'un modèle de calcul qui ne peut pas décrire précisément l'état de contrainte sur une surface partiellement chargée dont l'écoulement réel est bien plus complexe. Cependant, cette solution permet une répartition correcte de la charge sur l'ensemble du modèle tout en respectant la capacité de charge accrue de la surface partiellement chargée. De plus, elle introduit correctement les contraintes transversales dans cette zone pour concevoir correctement l'armature pour les efforts de fendage.

La contrainte d'appui admissible de 0.85f_c' est indiquée dans le tableau 22.8.3.2. La densité est limitée de sorte que la capacité double maximale donnée dans la formule du tableau 22.8.3.2(b) ne soit pas dépassée.  

Pour les zones d'ancrage, la PLA est utilisée de la même manière que pour les appuis dans l'application. C'est pourquoi les zones locales définies au chapitre 25.9 de l'ACI 318-19 doivent être vérifiées manuellement selon l'ACI 318-19 25.9.3. La PLA n'est donc utilisée que pour éviter de dépasser le critère de déformation dans la zone locale et ainsi d'arrêter prématurément le calcul. En revanche, selon l'ACI 318-19, Cl. 25.9.4.3.1 (b), l'armature résistant aux contraintes planes d'éclatement et d'écaillage peut être directement et avantageusement vérifiée dans l'application.

Les vérifications à l'état de service sont réalisées pour la limitation des contraintes, l'ouverture des fissures et les limites de flèche. Les contraintes sont vérifiées dans le béton et les éléments d'armature selon l'ACI 318-19 de manière similaire à ce qui est spécifié pour la résistance.

Limitation des contraintes

Les contraintes de compression admissibles dans le béton sous charge de service doivent être vérifiées pour les éléments précontraints de classe U et T. D'après le tableau R24.5.2.1, aucune vérification de limitation des contraintes n'est requise pour le béton supposé fissuré. L'utilisateur doit définir la classe de l'élément précontraint dans les paramètres de l'élément de calcul.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Sélection de la classe de l'élément fléchi précontraint}}}$$

La contrainte de compression admissible pour les éléments soumis à des charges transitoires est spécifiée par l'ACI 318-19 24.5.4.1 comme étant 0.6f_c'. La limite de contrainte de compression de 0.45f_c' a été établie pour réduire la probabilité de rupture des éléments en béton précontraint due aux charges répétées. Cette limite paraissait également raisonnable pour éviter un fluage excessif. À des niveaux de contrainte plus élevés, les déformations de fluage tendent à augmenter plus rapidement à mesure que la contrainte appliquée augmente.

La contrainte de compression du béton est évaluée comme le rapport entre la contrainte de compression principale maximale f_c = σ_c2 obtenue par l'analyse EF pour l'état de service et la valeur limite, définie sur la base du tableau 24.5.4.1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Limites de contrainte de compression du béton sous charges de service}}}$$

Dans l'application, Précontrainte plus charge soutenue est traitée comme une combinaison à long terme, et Précontrainte plus charge totale comme une combinaison à court terme.

Flèche

En fonction du type de combinaison sélectionné (long terme ou court terme), la flèche à long terme ou à court terme est évaluée. La valeur maximale de flèche admissible doit être déterminée par l'utilisateur et doit être considérée conformément à l'ACI 138-19 24.2. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Valeur maximale de flèche admissible}}}$$

Dans l'application, il est possible d'afficher séparément les flèches dues à la charge permanente Δ_DL et à la charge d'exploitation Δ_LL, ainsi que la flèche totale Δ_Tot (permanente+exploitation), tout en affichant la forme déformée.

Les flèches aux extrémités coupées ne peuvent pas être vérifiées.

Ouverture des fissures

Les ouvertures de fissures et leurs orientations sont calculées pour les combinaisons de service à court terme ou à long terme. Étant donné que l'ACI ne prescrit pas directement de limites d'ouverture de fissures, l'utilisateur doit spécifier une ouverture de fissure limite w_lim.

Les vérifications sont présentées comme suit :

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

où :

w         ouverture de fissure à court ou long terme calculée par l'analyse EF,

w_lim     valeur limite de l'ouverture de fissure définie par l'utilisateur.

La méthode de calcul des ouvertures de fissures utilisée dans l'application, également décrite plus en détail dans ce document, est conforme à l'ACI 224R-01. Il est donc possible d'utiliser le tableau 4.1 de l'ACI 224R-01 pour déterminer la valeur limite des ouvertures de fissures.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Ouvertures de fissures raisonnables pour le béton armé sous charge de service}}}$$

Il existe deux méthodes de calcul des ouvertures de fissures (fissuration stabilisée et non stabilisée). Dans le cas général (fissuration stabilisée), l'ouverture de fissure est calculée en intégrant les déformations sur les éléments 1D des barres d'armature. La direction de la fissure est ensuite calculée à partir des trois points d'intégration les plus proches (du centre de l'élément fini 1D d'armature donné) des éléments de béton 2D. Bien que cette approche de calcul des directions de fissures ne corresponde pas à la position réelle des fissures, elle fournit néanmoins des valeurs représentatives conduisant à des résultats d'ouverture de fissure comparables aux valeurs d'ouverture de fissure requises par les normes à l'emplacement des barres d'armature.

Béton - Résistance

Le modèle de béton implémenté pour les calculs de résistance dans le CSFM est basé sur les hypothèses de calcul à la résistance AASHTO LRFD d'équilibre et de compatibilité des déformations. Conformément à l'AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.2.1, la résistance à la traction du béton est négligée.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad Le diagramme contrainte-déformation du béton pour l'analyse de résistance}}}$$

L'implémentation du CSFM dans IDEA StatiCa Detail ne considère pas de critère de rupture explicite en termes de déformations pour le béton en compression (c'est-à-dire qu'après avoir atteint la contrainte de pic, elle considère une branche plastique avec ε_c0 d'une valeur maximale de 5 %, alors que l'AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.2.1 suppose une déformation ultime inférieure à 0,3 %). Cette simplification ne permet pas de vérifier la capacité de déformation des structures en rupture par compression. Cependant, la résistance est correctement prédite lorsque, en plus du facteur de béton fissuré (k_c2 défini dans la (Fig. 57)), l'augmentation de la fragilité du béton avec l'augmentation de sa résistance est prise en compte au moyen du facteur de réduction $\eta_{fc}$ défini dans le Model Code 2010 du fib comme suit :

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

où :

α₁ est le facteur de réduction de la résistance en compression du béton défini dans l'AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.2.2. Lors de l'utilisation d'un diagramme contrainte-déformation parabole-rectangle, il est nécessaire de réduire la contrainte de compression maximale par ce facteur. Cela permet de moyenner la distribution des contraintes dans la zone comprimée de telle sorte que la résistance en compression résultante soit inférieure ou égale à la résistance en compression calculée à l'aide d'un diagramme contrainte-déformation avec une branche plastique décroissante.

Φ_c est le facteur de résistance du béton. La valeur par défaut est définie selon l'AASHTO LRFD (2024) Article 5.5.4.2.

k_c2 est le facteur de réduction dû à la présence de fissuration transversale.

f'_c est la résistance du béton sur cylindre (en MPa pour la définition de $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad La loi d'adoucissement en compression.}}}$$

k_c2 est un facteur de réduction basé sur les mêmes hypothèses que le facteur d'efficacité du béton ν donné dans l'AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a et le Tableau 5.8.2.5.3a-1, sauf que dans le CSFM, la présence d'une contrainte principale de traction perpendiculaire à la contrainte principale de compression est vérifiée pour chaque élément fini (et non seulement pour les nœuds du modèle Bielle et tirant).

Béton – État limite de service

L'analyse à l'état limite de service contient certaines simplifications des lois de comportement utilisées pour l'analyse de résistance. La branche plastique de la courbe contrainte-déformation du béton en compression est négligée, tandis que la branche élastique est linéaire et infinie. La loi d'adoucissement en compression n'est pas prise en compte. Ces simplifications améliorent la stabilité numérique et la vitesse de calcul et ne réduisent pas la généralité de la solution tant que les limites de contrainte résultantes du matériau à l'état limite de service sont clairement inférieures à leurs points de plastification (cohérent avec l'approche de l'état limite de service de l'AASHTO LRFD). Par conséquent, les modèles simplifiés utilisés pour l'état limite de service ne sont valables que si toutes les exigences de vérification sont satisfaites.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Diagrammes contrainte-déformation du béton implémentés pour l'analyse à l'état limite de service : vérifications à court et long terme.}}}$$

Effets à long terme

La loi de comportement à long terme (la courbe rouge dans la Fig. 59) est utilisée pour le calcul de l'ouverture des fissures, la flèche totale et la limitation des contraintes des éléments précontraints lorsque l'effet à long terme est sélectionné dans le ruban supérieur. Dans l'application IDEA StatiCa Detail, le module d'élasticité effectif est utilisé pour la vérification des effets à long terme, comme mentionné dans l'AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

où :
E_c est le module d'élasticité défini dans l'AASHTO LRFD (2024) article 5.4.2.4
ψ est le coefficient de fluage défini dans l'AASHTO LRFD (2024) article 5.4.2.3.2

Les facteurs de fluage sont définis par l'utilisateur dans les propriétés des matériaux.

Effets à court terme

Pour effectuer les vérifications à court terme, un autre calcul est réalisé dans lequel toutes les charges sont calculées sans le facteur de fluage. Les deux calculs pour les vérifications à long et court terme sont représentés dans la Fig. 59.

Ferraillage

Un diagramme contrainte-déformation parfaitement élasto-plastique avec un point de plastification défini pour le ferraillage non précontraint est considéré, voir l'AASHTO LRFD (2024) Article 5.4.3. La définition de ce diagramme ne nécessite que la connaissance des propriétés de base du ferraillage – la résistance et le module d'élasticité.

Le diagramme contrainte-déformation du ferraillage peut également être défini par l'utilisateur, mais dans ce cas, il est impossible de considérer l'effet de raidissement en traction (il est impossible de calculer l'ouverture des fissures). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Diagramme contrainte-déformation du ferraillage}}}$$

où :

Φ_s est le facteur de résistance du ferraillage. La valeur par défaut est définie selon l'AASHTO LRFD (2024) Article 5.5.4.2.

f_y est la limite d'élasticité du ferraillage

E_s module d'élasticité du ferraillage

10 % est sélectionné comme la déformation limite à laquelle le calcul est arrêté. Ceci est considéré comme sécuritaire sur la base de l'ASTM A955/A955M-20c Article 7.

Le raidissement en traction (Fig. 61)  est pris en compte automatiquement en modifiant la relation contrainte-déformation d'entrée de la barre d'armature nue afin de capturer la rigidité moyenne des barres noyées dans le béton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Schéma du raidissement en traction.}}}$$

La Méthode du Champ de Contraintes Compatible est conforme aux codes de calcul modernes. Comme les modèles de calcul n'utilisent que des propriétés matérielles standard, le format des coefficients partiels de sécurité prescrit par les codes de calcul peut être appliqué sans aucune adaptation. Ainsi, les charges d'entrée sont majorées, et les propriétés caractéristiques des matériaux sont réduites à l'aide des coefficients de résistance respectifs, exactement comme dans l'analyse conventionnelle du béton.

Les valeurs des coefficients de résistance sont prescrites dans l'AASHTO LRFD (2024), article 5.5.4. Les valeurs par défaut pour le béton et le ferraillage sont choisies de manière conservatrice, en supposant que l'exemple type résolu est une région D - un cas typique pour la méthode Bielle-et-Tirant. Cependant, il est possible de modéliser tout type d'élément. Par conséquent, si un élément soumis à la compression ou à la traction est évalué, l'utilisateur a la possibilité de modifier la valeur du coefficient de réduction de résistance dans les Préférences.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad Réglage des coefficients de résistance dans IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Les coefficients de charge et les combinaisons de charges doivent être définis conformément à l'AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), article 3.4.1 et tableaux 3.4.1-1 à 3.4.1-6. L'AASHTO LRFD spécifie explicitement les combinaisons de charges à l'état limite de résistance (Strength I à Strength V) ainsi que les combinaisons de charges au niveau service (Service I à Service IV), y compris les coefficients de charge correspondants pour chaque cas.

Pour chaque modèle, le programme comprend des combinaisons de base prédéfinies qui doivent être complétées en fonction de l'élément traité.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad Réglage des coefficients de charge dans Idea StatiCa Detail.}}}$$

Les différentes vérifications requises par l'AASHTO sont évaluées sur la base des résultats directs fournis par le modèle. Les vérifications sont effectuées pour la résistance du béton, la résistance du ferraillage et l'ancrage (contraintes de cisaillement d'adhérence).

La résistance du béton en compression est évaluée comme le rapport entre la contrainte principale de compression maximale f_c (également σ₂ dans les résultats auxiliaires) obtenue par l'analyse EF et la valeur limite f'_c,lim.

La résistance du ferraillage est évaluée à la fois en traction et en compression comme le rapport entre la contrainte dans le ferraillage au niveau des fissures f_s et la valeur limite spécifiée f_y,lim.

La contrainte de cisaillement d'adhérence est évaluée indépendamment comme le rapport entre la contrainte d'adhérence τ_b calculée par l'analyse EF et la résistance d'adhérence f_bu.

Cependant, comme la résistance d'adhérence n'est pas explicitement définie dans l'AASHTO, sa valeur doit être déterminée à l'aide des équations qui définissent la longueur de développement. La résistance d'adhérence est, en fait, la principale donnée d'entrée pour déterminer la longueur de développement ; voir, par exemple, cet article AASHTO LRFD (2024) Article C5.10.8.2 ou le NCHRP Report 733, Attachment E page E-9.

Le calcul décrit dans l'AASHTO LRFD (2024) Article 5.10.8.2.1 et 5.10.8.2.2, qui nécessite de connaître l'espacement maximal entre axes du ferraillage transversal dans l_d, le nombre de barres ou de fils développés le long du plan de fendage, la section totale de tout le ferraillage transversal, et d'autres grandeurs géométriques qui ne peuvent pas être déterminées de manière fiable dans le modèle de l'application Detail pour une saisie générale, une approche a été adoptée à partir de l'AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 de la manière suivante :

Supposons que si l'on ancre la barre de ferraillage dans un massif de béton sur la longueur de développement l_d ou davantage, l'arrachement du ferraillage entraînera la rupture du ferraillage et non l'arrachement du béton. Cela peut s'écrire avec la formule suivante.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

où :

• d_b est le diamètre de la barre de ferraillage
• l_d est la longueur de développement
• f_bu est la résistance d'adhérence
• f_y est la limite d'élasticité du ferraillage
• A_b est la section de la barre de ferraillage

De ce qui précède, la formule de calcul de la résistance d'adhérence peut être facilement déduite.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

La longueur de développement de base en traction l_db est déterminée dans l'AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 comme suit :

Pour les barres No. 11 et inférieures :   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Pour les barres No. 14 :   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Pour les barres No. 18 :   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

où :

• A_b est la section de la barre de ferraillage (in²)
• f_y est la limite d'élasticité spécifiée du ferraillage (ksi)
• f'_c résistance en compression spécifiée du béton à 28 jours, sauf indication d'un autre âge (ksi)
• d_b est le diamètre de la barre de ferraillage (in)

Ensuite, en multipliant la longueur de développement de base l_db par les facteurs décrits dans l'AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.2 et 5.11.2.1.3, la longueur de développement l_d utilisée comme donnée d'entrée est déterminée.

Les facteurs de modification réduisant la longueur de développement issus de 5.11.2.1.3 sont toujours égaux à 1,0 dans l'application. Le facteur de modification pour le ferraillage horizontal supérieur ou quasi horizontal est égal à 1,4 pour des conditions d'adhérence « mauvaises », selon la figure suivante :

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

Le sens de bétonnage peut être défini dans l'application.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}$$

Tous les autres facteurs déterminés dans 5.11.2.1.2 sont égaux à 1,0 car seul le béton de poids normal est pris en charge, et seul le ferraillage non revêtu est pris en charge.

La contrainte de cisaillement d'adhérence et la résistance d'adhérence des barres en compression sont calculées de manière analogue aux barres en traction, mais les équations de l'AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.2 sont utilisées.

Il existe également une option pour modéliser des barres lisses. Plus d'informations sont disponibles ici : Smooth rebars in Detail

Effort total F_tot et effort limite F_lim

L'effort total F_tot est un résultat de l'analyse par éléments finis et peut être défini de deux manières.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

où A_b est la section de la barre de ferraillage et f_s est la contrainte dans la barre.

Ou comme la somme de l'effort d'ancrage F_a et de l'effort d'adhérence F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

où F_a est l'effort réel dans le ressort d'ancrage et F_bond est l'effort d'adhérence qui peut être obtenu en intégrant la contrainte d'adhérence τ_b le long de la longueur de la barre de ferraillage l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s est le périmètre de la barre de ferraillage.

L'effort limite F_lim est l'effort maximal dans l'élément de la barre en tenant compte de la résistance de la barre ainsi que des conditions d'ancrage (adhérence entre le béton et le ferraillage et crochets d'ancrage, boucles, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$