混凝土构件的设计与校核通常在截面（一维构件）或点（二维构件）层面进行。这一方法在所有结构设计标准中都有描述，例如（EN 1992-1-1 或 ACI 318-19），并广泛应用于日常结构工程实践中。然而，人们并不总是了解或遵守这一方法仅适用于符合伯努利-纳维平截面应变分布假设的区域（称为 B 区）这一前提。该假设不适用的区域称为不连续区或扰动区（D 区）。图 1 给出了一维构件中 B 区和 D 区的示例。这些区域包括承压区、集中荷载施加处、截面突变处、开孔处等。在混凝土结构设计中，我们还会遇到许多其他 D 区，例如墙体、桥梁横隔板、牛腿等。 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}$$

过去，半经验设计规则被用于扰动区的尺寸设计。幸运的是，在过去几十年中，这些规则已在很大程度上被拉压杆模型（Schlaich 等，1987）和应力场方法（Marti，1985）所取代，这些方法在现行设计规范中均有体现，并被设计人员广泛使用。这些模型在力学上具有一致性，是强大的工具。需要注意的是，应力场通常可以是连续的，也可以是不连续的，而拉压杆模型是不连续应力场的一种特殊情形。

尽管过去几十年计算工具不断发展，拉压杆模型本质上仍主要以手算方式使用。将其应用于实际工程结构十分繁琐且耗时，因为需要反复迭代，并需考虑多种荷载工况。此外，该方法并不适用于正常使用极限状态相关准则（变形、裂缝宽度等）的验证。

结构工程师对一种可靠且快速的 D 区设计工具的需求，促使了新的协调应力场法的开发——这是一种计算机辅助应力场设计方法，可实现对承受平面内荷载的混凝土构件进行自动设计与校核。

协调应力场法（CSFM）是一种基于有限元的连续应力场分析方法，在经典应力场解的基础上引入了运动学考虑因素，即在整个结构中评估应变状态。因此，混凝土的有效抗压强度可根据横向应变状态自动计算，其方式与考虑压力软化效应的压力场分析方法类似（Vecchio 和 Collins，1986；Kaufmann 和 Marti，1998）以及 EPSF 方法（Fernández Ruiz 和 Muttoni，2007）。此外，CSFM 还考虑了拉力刚化效应，为单元提供了真实的刚度，并涵盖了以往方法未能一致解决的所有设计规范规定（包括正常使用极限状态和变形能力方面的要求）。CSFM 采用设计标准中规定的常见混凝土和钢筋单轴本构关系。这些本构关系在设计阶段即为已知，因此可采用分项安全系数法。因此，设计人员无需像非线性有限元分析那样提供额外的、通常带有主观性的材料参数，这使得该方法非常适合工程实践应用。

为了推动结构工程师采用计算机辅助应力场方法，这些方法应当在用户友好的软件环境中加以实现。为此，CSFM 已在 IDEA StatiCa Detail 中实现；这是一款全新的用户友好型商业软件，由苏黎世联邦理工学院（ETH Zurich）与软件公司 IDEA StatiCa 在 DR-Design Eurostars-10571 项目框架下联合开发。

CSFM 考虑裂缝处的混凝土最大主压应力（σ_c2r）和钢筋应力（σ_sr），而忽略混凝土的抗拉强度（σ_c1r = 0），但保留其对钢筋的拉力刚化效应。 考虑拉力刚化后，可以模拟钢筋的平均应变（ε_m）。计算中考虑了不产生滑移而张开的虚拟旋转无应力裂缝（图 2a），并同时考虑了裂缝处的平衡以及钢筋的平均应变。 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}$

尽管这些假定较为简单，但已有研究表明，对于承受面内荷载的钢筋混凝土构件，类似的假定可以得到准确的预测结果（Kaufmann 1998；Kaufmann and Marti 1998），前提是所配置的钢筋能够避免在开裂时发生脆性破坏。此外，不考虑混凝土抗拉强度对极限承载力的任何贡献，这与现代设计规范的原则是一致的，因为这些规范大多基于塑性理论。

然而，CSFM 并不适用于没有横向钢筋的细长构件，因为对于此类构件而言，骨料咬合、裂缝尖端残余拉应力以及销栓作用等相关机制（这些机制均直接或间接依赖于混凝土的抗拉强度）均未被考虑。虽然某些设计标准允许基于半经验规定对此类构件进行设计，但 CSFM 并非针对此类潜在脆性结构而设计的。

混凝土

CSFM 中所采用的混凝土模型基于设计规范针对截面设计所规定的单轴受压本构关系，该关系仅取决于抗压强度。CSFM 默认采用抛物线-矩形应力-应变曲线（图 2c），但设计人员也可以选择更为简化的理想弹塑性关系。当按照 ACI 规范进行验算时，只能使用抛物线-矩形应力-应变曲线。如前所述，与经典钢筋混凝土设计一样，此处忽略了混凝土的抗拉强度。

开裂混凝土的有效抗压强度通过k_c2折减系数根据主拉应变（ε₁）自动计算得出，如图 2c 和 2e 所示。所采用的折减关系（图 2e）是对 fib 2010 模式规范中用于抗剪验算的建议的一种推广，该建议给出了有效混凝土强度与混凝土抗压强度之比的最大限值为 0.65，但该限值不适用于其他荷载工况。

IDEA StatiCa Detail中的 CSFM 并未针对受压混凝土定义明确的应变破坏准则（即达到峰值应力后，认为其具有无限延伸的塑性段）。这一简化处理无法用于验证发生受压破坏的结构的变形能力。然而，除了图 2e 中定义的开裂混凝土折减系数（k_c2）之外，通过 fib 2010 模式规范中定义的 $\eta_{fc}$ 折减系数，还考虑了随混凝土强度提高而增加的脆性，从而能够正确预测其极限承载力，具体如下：

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

式中：

k_c 为抗压强度的整体折减系数

k_c2 为由于横向开裂而产生的折减系数

f_c 为混凝土圆柱体特征强度（用于定义$\eta_{fc}$时以 MPa 为单位）。

出于计算稳定性的考虑，还需对 k_c2系数进行折减。此折减不会影响构件的总强度。假设f_cd值为混凝土的折算强度（设计值），则k_c2值按以下规则进行折减。

σ_c2r < 0.11f_cd                                           k_c2=1.0
0.11f_cd < σ_c2r < 0.37f_cd                          k_c2 在 1.0 与图 2f 所示曲线上取得的数值之间
                                                              进行线性插值
σ_c2r > 0.37f_cd                                            k_c2 直接从图 2f 中取值

钢筋

裸钢筋通常采用设计规范定义的理想化双线性应力-应变曲线（图 2d）。该曲线的定义仅需在设计阶段确定钢筋的基本特性（强度和延性等级）。用户也可以自定义应力-应变关系。

通过修改裸钢筋的输入应力-应变关系来考虑拉力刚化效应，从而反映嵌入混凝土中的钢筋的平均刚度（ε_m）。

粘结模型

在有限元模型中，通过采用图 2f 所示的简化刚性-理想塑性本构关系来引入钢筋与混凝土之间的粘结-滑移，其中f_bd为设计规范针对特定粘结条件所规定的极限粘结应力的设计值（折算值）。

这是一个简化模型，其唯一目的是根据设计规范验证粘结相关规定（即钢筋的锚固）。当采用弯钩、弯环及类似形状的钢筋端部时，可以通过在钢筋端部定义一定的承载能力来考虑锚固长度的折减，具体内容将在后文进一步说明。 

工作流程与目标

CSFM 中钢筋设计工具的目标是帮助设计人员高效确定钢筋的位置和所需数量。以下工具可用于在此过程中帮助/指导用户：线性计算和拓扑优化。

钢筋设计工具所采用的本构模型比用于结构最终验证的模型更为简化。因此，此步骤中的钢筋定义应视为预设计，需在最终验证步骤中进行确认/细化。不同钢筋设计工具的使用将通过图 3 所示的模型来说明，该模型由一个承受均布荷载、变截面高度的简支梁的一端组成。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}$$

线性分析

线性分析采用线弹性材料属性，并忽略混凝土区域中的钢筋。因此，这是一种非常快速的计算，可初步了解受拉区和受压区的位置。图 4 展示了此类计算的一个示例。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

拓扑优化

拓扑优化是一种旨在为特定荷载配置在给定体积内找到最优材料分布的方法。Idea StatiCa Detail 中实现的拓扑优化采用线性有限元模型。每个有限单元的相对密度可为 0 到 100%，表示所用材料的相对数量。这些单元密度是优化问题中的优化参数。如果所得材料分布使系统的总应变能最小化，则该分布被视为给定荷载组合下的最优分布。根据定义，最优分布也是在给定荷载下具有最大可能刚度的几何形状。

迭代优化过程从均匀密度分布开始。 计算针对多个总体积分数（20%、40%、60% 和 80%）进行，使用户能够选择最实用的结果。所得形状由带有压杆和拉杆的桁架组成，代表给定荷载工况下的最优形状（图 5）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

CSFM（协调应力场法）在混凝土中考虑连续应力场（二维有限单元），并辅以离散"杆"单元表示钢筋（一维有限单元）。因此，钢筋并非弥散地嵌入混凝土二维有限单元中，而是被显式建模并与之连接。计算模型中采用平面应力状态。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}$$

既可以对整体墙体和梁进行建模，也可以对梁的局部（部分）（即孤立的非连续区，又称截断端）进行建模。对于墙体和整体梁，支座的定义方式须使结构形成（外部）静定或超静定体系。梁截断端处的荷载传递通过特殊的圣维南传递区引入，从而确保被分析局部区域内的应力分布符合实际。

为了模拟施工过程中的大多数情况，CSFM 中提供了多种支座类型（图 7）和用于传递荷载的构件（图 8）。

支座

点支座可以采用多种方式建模，以确保应力不集中在一点，而是分布在更大的区域上。第一种选择是分布式点支座（图 7a），它将构件边缘上的荷载均匀分布到指定宽度上。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Various types of supports:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}$$

另一方面，斑点支座（图 7d）只能布置在混凝土体内，并定义一个有效半径。它随后通过刚性单元与该半径范围内钢筋网格的节点连接。因此，需要在斑点支座周围定义钢筋笼。

为了更精确地模拟一些实际场景，点支座还有另外两种选择。第一种是带承压板的点支座，承压板具有指定的宽度和厚度（图 7b）。可以指定承压板的材料，整个承压板将独立划分网格。第二种是可用的悬挂支座（图 7e），可用于模拟吊装锚栓或吊装栓钉。

线支座（图 7c）可以定义在边缘上（通过指定其长度）或定义在单元内部（通过多段线）。也可以指定其刚度和/或非线性行为（受拉/受压支座或仅受压支座）。

• 详细说明请参阅 IDEA StatiCa Detail 中的支座类型

荷载传递构件

荷载引入结构的方式也可以采用多种建模方法。对于点荷载，可以像点支座一样使用承压板（图 8a），借助具有指定宽度和厚度的钢板，将集中荷载分布到更大的区域。 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Various types of load transfer components:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}$$

点荷载既可以直接施加于结构表面并定义作用半径（荷载施加到混凝土单元上），也可以通过一种称为斑点荷载的特殊传递装置施加（图 8b 和图 9）。斑点荷载能够将荷载直接传递到位于有效半径范围内的指定钢筋。为确保斑点荷载功能正常，需要定义一组将与该荷载互相连接的钢筋（在钢筋属性中设置）。当未定义互连钢筋时，荷载传递机制与施加在构件表面的点荷载相同，荷载通过约束传递到混凝土单元，而不是直接传递到钢筋。 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars (a group of bars for the load transfer is defined);}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) load transferred through concrete (a group of bars for the load transfer is not defined).}}}$$

吊装锚栓或吊装栓钉可以通过悬挂荷载（图 8c）建模。用户可以使用局部承压面积（图 8d），根据欧洲规范该方法可提高混凝土的抗压承载力（当设置为 ACI 规范时，无法使用此类型的荷载传递构件）。结构也可以在边缘施加线荷载、通过一般多段线施加荷载，或施加面荷载。Detail 软件能够在分析中自动考虑自重。

在许多情况下,我们只需要对结构构件的某个细部(部分)进行建模,例如梁支座、梁跨中的开孔等。这种方法可能导致支座配置不稳定,但在IDEA StatiCa Detail中是允许的(包括无支座的情况)。但是,在这种情况下,还需要对代表与相邻 B 区连接的截面进行建模,包括该截面处满足平衡条件的内力。在某些情况下(例如对梁支座建模时),这些内力可以由程序自动确定。

在 B 区和被分析的不连续区域之间,程序会自动创建一个圣维南(Saint-Venant)传递区,以确保被分析区域中应力分布的真实性。传递区的宽度确定为截面高度的一半。由于圣维南区的唯一作用是使模型其余部分获得恰当的应力分布,因此该区域内的结果不会显示在校核中,此处也不考虑任何停止准则。

代表梁截断端的圣维南区边缘被建模为刚性的,即它可以转动,但必须保持平面。这是通过使用刚体单元(RBE2)将该边缘的所有有限元节点连接到位于截面惯性中心的一个独立节点来实现的 。随后,该单元的内力可施加于该节点处,如图 10 所示。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transfer of internal forces at a trimmed end.}}}$$

对于定义为梁或框架节点的结构（由 x 轴和截面定义），系统会自动执行截面折减。此项修改会自动应用于翼缘很宽的截面（图 11），其依据是假设压应力场以 45° 角从腹板扩展，因此上述折减后的宽度即为能够传递荷载的最大宽度

请注意，CSFM 中采用的有效翼缘宽度确定方法不同于 EN 1992-1-1 (2015) 第 5.3.2.1 节或 ACI 318-19 第 9.2.4.4 节中所规定的方法。除几何形状外，基于欧洲规范的有效翼缘宽度还明显受结构跨度和边界条件的影响。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}$$

对于位于水平面内的加腋（图 12），每个加腋沿其长度方向被划分为五个区段。每个区段随后被建模为具有恒定厚度的墙，该厚度等于相应区段中点处的实际厚度。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}$$

非线性（非弹性）有限元分析模型由多种类型的有限单元组成，用于模拟混凝土、钢筋以及两者之间的粘结。混凝土单元和钢筋单元首先独立划分网格，然后通过多点约束（MPC 单元）相互连接。这样可使钢筋相对于混凝土占据任意的相对位置。如果需要计算锚固长度校核，则在钢筋与 MPC 单元之间插入粘结和锚固端弹簧单元。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

混凝土

混凝土采用四边形和三角形壳单元（CQUAD4 和 CTRIA3）建模，分别由四个或三个节点定义。这些单元中仅考虑平面应力，即不考虑 z 方向的应力或应变。

每个单元有四个或三个积分点，位于其尺寸约 1/4 处。在每个单元的每个积分点处，计算主应变方向 α₁、α₂。在这两个方向上，根据 Fig. 2 所规定的混凝土应力-应变关系曲线，分别计算主应力 σ_c1、σ_c2 和刚度 E₁、E₂。需要注意的是，压力软化效应的影响将主压方向的行为与另一主方向的实际状态耦合在一起。

钢筋

钢筋采用双节点一维“杆”单元（CROD）建模，仅具有轴向刚度。这些单元连接到专门开发的“粘结”单元，用于模拟钢筋与周围混凝土之间的滑移行为。这些粘结单元随后通过 MPC（多点约束）单元连接到代表混凝土的网格上。这种方法允许对钢筋和混凝土分别独立划分网格，同时在后续步骤中确保二者之间的相互连接。

粘结单元

锚固长度的校核是通过在有限元模型中实现混凝土单元（2D）与钢筋单元（1D）之间的粘结剪应力来完成的。为此，开发了一种“粘结”有限单元类型。

粘结单元的定义与壳单元（CQUAD4）类似，同样由 4 个节点定义，但与壳单元不同的是，它仅在上、下两对节点之间具有非零的剪切刚度。在模型中，上部节点与代表钢筋的单元相连，下部节点与代表混凝土的单元相连。该单元的行为通过粘结应力 τ_b 描述，其为上、下节点之间滑移量 δ_u 的双线性函数，参见 Fig. 14。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

粘结-滑移关系的弹性刚度模量 G_b 定义如下：

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

其中：

k_g            取决于钢筋表面特性的系数（默认 k_g = 0.2）

E_c            混凝土的弹性模量（对于 EN 规范取 E_cm）

Ø             钢筋直径

用于校核锚固长度的极限粘结剪应力设计值（折减值）f_bd，取自所选相应设计规范 EN 1992-1-1 或 ACI 318-19。塑性段的强化默认按 G_b/10⁵ 计算。

锚固弹簧

为钢筋端部设置锚固措施（如弯钩、弯折、环形锚固等），并满足设计规范的规定，可以将钢筋的基本锚固长度（l_b,net）按一定系数 β（以下称为“锚固系数”）予以折减。锚固长度设计值（l_b）计算如下：

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

l_b,net 的预期折减相当于钢筋端部在锚固折减系数所给出的最大承载力百分比处被激活，如 Fig. 15a 所示。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

锚固长度的折减在有限元模型中通过在钢筋端部设置弹簧单元（Fig. 15）来实现，该弹簧单元由 Fig. 15b 所示的本构模型定义。该弹簧所能传递的最大力（F_au）为：

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

其中：

β             基于锚固类型确定的锚固系数，

A_s            钢筋的横截面积，

f_yd           钢筋屈服强度的设计值（折减值）。

有限元在内部实现，分析模型自动生成，无需用户具备专业操作经验即可完成交互。网格划分是这一过程中的重要环节。

混凝土

所有混凝土构件一起划分网格。软件会根据结构的尺寸和形状，并考虑最大钢筋直径，自动计算推荐的单元尺寸。此外，推荐的单元尺寸可确保在结构的细薄部位（例如细长柱或薄板）至少生成 4 个单元，从而保证这些区域计算结果的可靠性。混凝土单元的最大数量限制为 5000 个，但该数值对于大多数结构而言已足以提供推荐的单元尺寸。设计人员始终可以通过修改默认网格尺寸的倍数来自定义混凝土单元尺寸。

钢筋

钢筋被划分为长度与混凝土单元尺寸大致相同的单元。生成钢筋和混凝土网格后，两者通过粘结单元相互连接，如图 13 所示。

承压板

辅助结构部件（例如承压板）单独划分网格。这些单元的尺寸按节点区域内混凝土单元尺寸的 2/3 计算。承压板网格的节点随后通过插值约束单元（RBE3）与混凝土网格的边缘节点相连接。

荷载与支座

面荷载和面支座仅与钢筋相连接，如图 16 所示。因此，必须在其周围定义钢筋。通过采用等权重的 RBE3 单元，确保在有效半径范围内与钢筋的所有节点相连接。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}$$

线支座和线荷载根据指定的宽度或有效半径，通过 RBE3 单元与混凝土网格的节点相连接。连接的权重与距支座或荷载作用点的距离成反比。

• 请参阅Detail 软件中荷载脉冲的一般说明，了解有关各荷载与网格之间相互连接的更多信息

采用标准的完全牛顿-拉夫森（Newton-Raphson，NR）算法来求解非线性有限元问题。 

通常情况下，当全部荷载一次性施加时，NR 算法往往难以收敛。因此本文采用了一种常用方法：将荷载分为多个增量依次施加，并利用上一荷载增量的结果作为下一增量牛顿求解的初值。为此，在牛顿-拉夫森算法之上实现了荷载控制算法。若 NR 迭代未能收敛，则将当前荷载增量减半，并重新进行 NR 迭代。

荷载控制算法的第二个目的是确定临界荷载，该临界荷载对应于特定的“终止准则”——具体包括混凝土的最大应变、粘结单元中的最大滑移、锚固单元中的最大位移，以及钢筋中的最大应变。临界荷载通过二分法求得。若模型中任意位置超过终止准则，则舍弃上一荷载增量的结果，并重新计算一个为前一增量一半大小的新增量。该过程反复进行，直至以一定的误差容限求得临界荷载为止。

对于混凝土，终止准则设定为：在壳单元积分点处，受压应变达到 5%（即约比混凝土实际破坏应变大一个数量级），受拉应变达到 7%。在受拉方向，该数值的设定是为了使钢筋中的极限应变（通常约为 5%，未考虑拉力刚化效应）能够先行达到。在受压方向，该数值是在多个备选方案中选取的，既足够大以使压碎效应能够在结果中体现，又足够小以避免引发过多数值稳定性问题。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}$$

对于钢筋，终止准则以应力形式定义。由于所模拟的是裂缝处的应力，因此受拉方向的准则对应于考虑安全系数后的钢筋抗拉强度。受压方向的准则采用相同数值。

粘结单元和锚固弹簧中的终止准则为 α·δu_max，其中 δu_max 为规范校核中所用的最大滑移量，α = 10。

混凝土和钢筋单元的结果分别独立展示。混凝土的应力和应变值是在壳单元的积分点处计算的。然而，以这种方式展示数据并不实用，因此默认情况下结果以节点方式展示，例如取相邻高斯积分点在连接单元中的最大压应力值（图 18）。需要注意的是，当有限元尺寸与受压区高度相近时，这种展示方式可能会在局部低估构件受压边缘处的结果。

图 18 - 带积分点和节点的混凝土有限元：混凝土结果在节点和有限元中的展示。

钢筋有限元的结果要么在每个单元中为常数（一个值——例如钢材应力），要么为线性分布（两个值——用于粘结结果）。对于辅助单元，例如承压板单元，仅展示变形结果。

使用 CSFM 对结构进行评估时，需分别针对正常使用极限状态和承载能力极限状态荷载组合进行两种不同的分析。正常使用极限状态分析假定构件的极限性能是令人满意的，且材料在正常使用荷载水平下不会达到屈服条件。这一方法使得正常使用极限状态分析可以采用简化的本构模型（混凝土应力-应变图采用线性段），从而提高数值稳定性和计算速度。因此，建议采用下文所述的工作流程，即首先进行承载能力极限状态分析。

承载能力极限状态分析

根据模型直接给出的结果，对特定设计规范所要求的各项验算进行评估。ULS 验算包括混凝土强度、钢筋强度以及锚固（粘结剪应力）验算。

为确保结构构件具有高效的设计，强烈建议先进行一次初步分析，其中应考虑以下步骤：

• 选取最不利的荷载组合。
• 仅计算承载能力极限状态（ULS）荷载组合。
• 使用较粗的网格（通过增大 Setup 中默认网格尺寸的倍数，见图 19）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}$$

这样的模型可以非常快速地完成计算，使设计人员能够高效地检查结构构件的配筋细部，并反复重新运行分析，直至满足最不利荷载组合下的所有验算要求。一旦此初步分析的所有验算要求均得到满足，建议纳入完整的极限荷载组合，并采用较细的网格尺寸（即程序推荐的网格尺寸）。用户可以通过倍数来调整网格尺寸，该倍数可在 0.5 到 5 之间取值（图 19）。

基本结果和验算结果（应力、应变和承载比，即根据规范计算得到的“计算值/限值”，以及混凝土构件中主应力的方向）通过不同的图形显示，其中压力通常以红色表示，拉力以蓝色表示。既可以突出显示整个结构的全局最小值和最大值，也可以显示每个用户自定义部分的最小值和最大值。在程序的另一个选项卡中，可以显示更多高级结果，如张量值、结构变形，以及用于计算钢筋拉力刚化所采用的配筋率（有效配筋率和几何配筋率）。此外，还可以显示所选荷载组合或荷载工况下的荷载和反力。

正常使用极限状态分析

SLS 评估包括应力限制、裂缝宽度和挠度限值的验算。按照与 ULS 相似的方式，根据适用规范对混凝土和钢筋构件的应力进行校核。

正常使用极限状态分析对承载能力极限状态分析所采用的本构模型进行了一定的简化。分析中假定为完全粘结，即在正常使用极限状态下不对锚固长度进行验算。此外，忽略混凝土受压应力-应变曲线的塑性段，其弹性段则为线性且无限延伸。这些简化提高了数值稳定性和计算速度，并且只要正常使用状态下材料的实际应力限值明显低于其屈服点（这也是规范所要求的），就不会降低解答的普遍适用性。因此，仅当所有验算要求均得到满足时，用于正常使用极限状态的简化模型才是有效的。

裂缝宽度计算与拉力刚化

裂缝宽度计算

裂缝宽度的计算有两种方式——稳定裂缝和非稳定裂缝。根据结构各部分的几何配筋率来决定采用哪种裂缝计算模型（稳定裂缝采用 TCM 模型，非稳定裂缝采用 POM 模型）。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

CSFM（协调应力场法）对大多数验证项目（如构件承载力、挠度等）可直接给出结果，而裂缝宽度结果则按照图 20 所述方法，由有限单元法分析直接提供的钢筋应变结果计算得出。模型采用无滑移的裂缝运动学（纯裂缝张开）（图 20a），这与模型的主要假设一致。应力和应变的主方向决定了裂缝的倾角（θ_r = θ_s= θ_e）。根据图 20b，裂缝宽度（w）可投影到钢筋方向（w_b），得到：

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

其中 θ_b 为钢筋倾角。

请注意，程序显示的 θ_r 和 θ_b 值均 < π/2。这意味着上述公式适用于钢筋与裂缝分别穿过笛卡尔坐标系不同象限的情况，如图 20 所示，钢筋穿过第 I、III 象限，裂缝穿过第 II、IV 象限。对于钢筋与裂缝穿过相同象限的情况，公式需修改如下：

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

分量 w_b 基于拉力刚化模型，通过对钢筋应变积分一致计算得出。对于裂缝形态已充分发展的区域，沿钢筋计算的平均应变（e_m）直接沿裂缝间距（s_r）积分，如图 20c 所示。虽然这种计算裂缝方向的方法与裂缝实际位置不完全对应，但仍能提供具有代表性的数值，所得裂缝宽度结果可与规范要求的钢筋位置处裂缝宽度限值进行比较。

在计算结构的凹角处会出现特殊情况。此时，凹角预先确定了单条裂缝的位置，在相邻裂缝进一步发展之前，该裂缝呈非稳定状态。这些相邻裂缝通常在正常使用范围之后才会发展（Mata-Falcón 2015），因此将该区域的裂缝宽度按非稳定裂缝计算是合理的（图 21）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

拉力刚化

拉力刚化的实现区分了稳定裂缝形态和非稳定裂缝形态两种情况。在两种情况下，默认均假设混凝土在加载前已完全开裂。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

稳定裂缝

对于充分发展的裂缝形态，拉力刚化采用拉力弦模型（TCM）（Marti et al. 1998；Alvarez 1998）引入——图 22a——该模型已被证明尽管简单，却能给出优异的响应预测（Burns 2012）。TCM 假设粘结剪应力-滑移关系为阶梯形刚性完全塑性，当 σ_s ≤ f_y 时 τ_b = τ_b0 =2 f_ctm，当 σ_s > f_y 时 τ_b =τ_b1 = f_ctm。将每根钢筋视为拉力弦——图 22b 和图 22a——对于任意给定的裂缝处最大钢筋应力（或应变）值，可确定两条裂缝之间的粘结剪力、钢筋和混凝土应力分布以及应变分布。

当 s_r = s_r0 时，由于两裂缝中间处 σ_c1 = f_ct，新裂缝可能形成也可能不形成。因此，裂缝间距可能相差两倍，即 s_r = λs_r0，其中 λ = 0.5…1.0。假定 λ 的某一值，弦的平均应变（ε_m）可表示为最大钢筋应力（即裂缝处应力 σ_sr）的函数。对于 CSFM（协调应力场法）默认采用的钢筋裸筋理想化双线性应力-应变图，可得到如下封闭解析表达式（Marti et al. 1998）：

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

其中：
E_sh           钢材硬化模量 E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ，

E_s            钢筋弹性模量，

Ø            钢筋直径，

s_r                裂缝间距，

σ_sr           裂缝处钢筋应力，

σ_s            实际钢筋应力，

f_y                钢筋屈服强度。

IDEA StatiCa Detail 中 CSFM（协调应力场法）的实现在进行计算机辅助应力场分析时，默认采用平均裂缝间距。平均裂缝间距取最大裂缝间距的 2/3（λ = 0.67），这遵循了基于弯曲和拉伸试验所提出的建议（Broms 1965；Beeby 1979；Meier 1983）。需要注意的是，裂缝宽度计算采用最大裂缝间距（λ = 1.0），以获得偏于保守的结果。

TCM 的应用取决于配筋率，因此为每根钢筋合理分配裂缝间受拉混凝土面积至关重要。已开发了一套自动数值程序，用于确定相应的有效配筋率（ρ_eff = A_s/A_c,eff），适用于任意配筋构型，包括斜向钢筋（图 23）。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

非稳定裂缝

几何配筋率低于 ρ_cr（即钢筋能够在不屈服的情况下承担开裂荷载所需的最小配筋率）的区域中存在的裂缝，由非力学作用（如收缩）或由其他钢筋控制的裂缝扩展所引起。该最小配筋率的值按如下公式计算：

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

其中：

f_y              钢筋屈服强度，

f_ct             混凝土抗拉强度，

n              弹性模量比，n = E_s / E_c 。

对于普通混凝土和钢筋，ρ_cr 约为 0.6%。

对于配筋率低于 ρ_cr 的箍筋，裂缝被视为非稳定裂缝，拉力刚化通过图 22b 所述的拔出模型（POM）实现。该模型分析单条裂缝的行为，不考虑独立裂缝之间的力学相互作用，忽略混凝土受拉变形，并采用与 TCM 相同的阶梯形刚性完全塑性粘结剪应力-滑移关系。这使得对于任意裂缝处最大钢筋应力（σ_sr），可直接由平衡条件得到裂缝附近的钢筋应变分布（ε_s）。由于非充分发展裂缝形态的裂缝间距未知，平均应变（ε_m）在任意荷载水平下，按钢筋在裂缝处达到抗拉强度（f_t）时零滑移点之间的距离计算（图 22b 中的 l_ε,avg），得到如下关系式：

所提出的模型可计算有粘结钢筋的行为，该行为最终在分析中加以考虑。图 22c-d 示出了最常用的欧洲钢筋（B500B，f_t / f_y = 1.08，ε_u = 5%）的该行为（包括拉力刚化）。

混凝土 - 承载能力极限状态（ULS）

CSFM 中实现的混凝土模型基于 EN 1992-1-1 规定的单轴受压本构关系（用于截面设计），该关系仅取决于抗压强度。CSFM 默认采用 EN 1992-1-1 第 3.1.7 (1) 条规定的抛物线-矩形图（图 24a），但设计人员也可以选择根据 EN 1992-1-1 第 3.1.7 (2) 条规定的更简化的弹性理想塑性关系（图 24b）。与经典钢筋混凝土设计一样，忽略抗拉强度。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}$$

IDEA StatiCa Detail 中 CSFM 的实现并未针对受压混凝土考虑基于应变的显式破坏准则（即，在达到峰值应力后，考虑塑性段，其中 ε_cu2（ε_cu3）取值为 5%，而 EN 1992-1-1 假定极限应变小于 0.35%）。这一简化处理无法验证发生受压破坏的结构的变形能力。但是，除了考虑开裂混凝土的折减系数（图 25 中定义的 k_c2）外，还通过 fib Model Code 2010 中定义的 $\eta_{fc}$ 折减系数考虑了混凝土强度提高时脆性增加的影响，从而正确预测了根据 EN 1992-1-1 第 3.1.3 条计算的极限承载力 f_cd，具体如下：

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

其中：

α_cc 为考虑抗压强度长期效应以及荷载施加方式产生不利影响的系数。该系数按 EN 1992-1-1 第 3.1.6 (1) 条确定，默认值为 1.0。

k_c 为抗压强度的总折减系数

k_c2 为由于存在横向裂缝而产生的折减系数

f_ck 为混凝土圆柱体特征强度（在 $\eta_{fc}$ 的定义中以 MPa 为单位）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}$$

混凝土 - 正常使用极限状态（SLS）

正常使用极限状态分析中对用于承载能力极限状态分析的本构模型进行了某些简化。忽略混凝土受压应力-应变曲线的塑性段，弹性段则为线性且无限延伸。不考虑压力软化规律。这些简化提高了数值稳定性和计算速度，同时只要正常使用状态下的材料应力限值明显低于其屈服点（符合 Eurocode 的要求），就不会降低解答的通用性。因此，仅当满足所有验证要求时，用于正常使用状态的简化模型才有效。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

长期效应

在正常使用极限状态分析中，混凝土的长期效应通过有效的无限徐变系数（$\varphi$，默认取值为 2.5）来考虑，该系数根据 EN 1992-1-1 第 3.1.4 (3) 节及第 7.4.3 (5) 节修正混凝土的割线弹性模量（E_cm），具体如下：

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

在考虑长期效应时，首先计算包含所有永久荷载的荷载步，并考虑徐变系数（即使用混凝土的有效弹性模量 E_c,eff），然后在不考虑徐变系数的情况下计算附加荷载（即使用 E_cm）。此外，为进行短期验证，还需进行另一次计算，其中所有荷载均在不考虑徐变系数的情况下计算。图 26 展示了长期和短期验证的两种计算方式。

徐变系数由用户在材料属性中定义，应根据 EN 1992-1-1 图 3.1 进行计算。

钢筋

默认情况下，采用 EN 1992-1-1 第 3.2.7 节（图 27）中定义的裸钢筋理想化双线性应力-应变图。该图的定义仅要求在设计阶段已知钢筋的基本属性（强度和延性等级）。在已知的情况下，可以考虑钢筋（热轧、冷加工、淬火自回火等）的实际应力-应变关系。用户可以自行定义钢筋应力-应变图，但在这种情况下，无法考虑拉力刚化效应（无法计算裂缝宽度）。使用顶部水平段的应力-应变图无法验证结构耐久性。因此，需要手动验证标准延性要求。

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$

拉力刚化（图 28）通过修正裸钢筋的输入应力-应变关系，自动加以考虑，从而反映嵌入混凝土中的钢筋的平均刚度（ε_m）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

协调应力场法符合现代设计规范的要求。由于计算模型仅使用标准材料特性，设计规范中规定的分项安全系数格式可以直接应用，无需任何调整。这样，输入荷载被放大，特征材料特性则按照设计规范中规定的相应安全系数进行折减，与常规混凝土分析完全一致。系统默认采用 EN 1992-1-1 第 2.4.2.4 节规定的材料安全系数值，但用户可以在“规范与计算设置”中修改安全系数（图 29）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

用户需要在“组合规则”中为每个非线性荷载工况组合定义荷载安全系数（图 30）。对于 Idea StatiCa Detail 中实现的所有模板，分项安全系数均已预先定义。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

通过使用适当的用户自定义分项安全系数组合，用户也可以使用整体抗力系数法（Navrátil 等人，2017）配合 CSFM 进行计算，但这种方法在设计实践中几乎不被采用。一些指南建议在非线性分析中使用整体抗力系数法。然而，在简化的非线性分析（如 CSFM）中，由于其仅需要常规手算中所用的材料特性，采用分项安全系数格式仍然更为理想。

EN 1992-1-1 要求的各项验算均基于模型直接给出的结果进行评估。承载能力极限状态验算包括混凝土强度、钢筋强度以及锚固（粘结剪应力）验算。

混凝土抗压强度通过有限元分析得到的最大主压应力σ_c = σ_c2与限值σ_c,lim = f_cd之比进行评估。 

钢筋强度在受拉和受压两种情况下均通过裂缝处钢筋应力σ_sr与规定限值σ_s,lim之比进行评估：

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

其中：

f_yk        根据 EN 1992-1-1 第 3.2.3 条确定的钢筋屈服强度，

k          抗拉强度f_tk与屈服应力之比，
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             为钢筋的部分安全系数

粘结剪应力单独通过有限元分析计算得到的粘结应力τ_b与根据 EN 1992-1-1 第 8.4.2 章确定的极限粘结强度f_bd,之比进行评估：

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

其中：

f_ctd      为根据 EN 1992-1-1 第 3.1.6 (2) 条确定的混凝土抗拉强度设计值。由于高强度混凝土脆性增大，f_ctk,0.05 根据 EN 1992-1-1 第 8.4.2 (2) 条限定为 C60/75 的取值

η₁       为与粘结条件质量以及浇筑过程中钢筋位置相关的系数（图 31）。

当获得“良好”条件时 η₁ = 1.0，

其他所有情况以及采用滑模施工的结构构件中的钢筋，η₁ = 0.7，除非能证明存在“良好”的粘结条件

η₂        与钢筋直径相关：

            当 Ø ≤ 32 mm 时，η₂ = 1.0

            当 Ø > 32 mm 时，η₂ = (132 - Ø)/100

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

在 IDEA StatiCa Detail 中，粘结条件按照图 31 c) 和 d) 予以考虑。可在软件中为每个项目单元设置浇筑方向，操作如下。

这些验算均针对结构相应部位的适用限值进行（即：尽管混凝土和钢筋材料各自只有单一等级，但由于拉力刚化和压力软化效应，结构各部位最终的应力-应变曲线会有所不同）。

此外还可选择模拟光圆钢筋。更多信息请参见：Detail 中的光圆钢筋

总力F_tot和极限力F_lim

总力F_tot是有限元分析的结果，可通过两种方式定义。

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

其中A_s为钢筋截面面积，σ_s为钢筋应力。

或者作为锚固力F_a 与粘结力F_bond.之和。

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

其中F_a为锚固弹簧中的实际力，F_bond为粘结力，可通过沿钢筋长度l.对粘结应力τ_b进行积分得到。

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s为钢筋的周长。

极限力F_lim是考虑钢筋极限强度以及锚固条件（混凝土与钢筋间的粘结以及锚固弯钩、弯环等）后，钢筋单元中的最大力。

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

其中 C_s为钢筋周长，l为从钢筋起点到所考察点的长度。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

其中F_lim,add为根据相邻单元之间夹角大小计算得到的附加力。F_lim,2必须始终小于F_u。

CSFM 中可用的锚固类型包括直筋（即无锚固端折减）、弯折、弯钩、弯环、焊接横筋、完全粘结以及连续钢筋。图 32 展示了纵向钢筋所有这些类型及其相应的锚固系数β，图 33 则展示了箍筋的相应情况。所采用的锚固系数取值均符合 EN 1992-1-1 第 8.4.4 节表 8.2 的规定。需要注意的是，尽管有多种可选类型，但 CSFM 仅区分三种锚固端类型：(i) 锚固长度不折减，(ii) 采用标准化锚固时锚固长度折减 30%，以及 (iii) 完全粘结。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

为符合 EN 1992-1-1 的要求，计算中应使用锚固弹簧，该锚固弹簧通过系数β进行修正，因此用户在定义钢筋起点和终点条件时必须使用某种可用的锚固类型。 

在设计混凝土结构时，我们会遇到两大类局部承压面积（PLA）——一类是支座，另一类是锚固区域。根据现行有效的钢筋混凝土结构设计标准 EN 1992-1-1 第 6.7 节（图 34），对于局部承压面积应考虑混凝土的局部压碎和横向拉力。对于面积 A_c0 上的均布荷载，混凝土的抗压承载力可根据设计分布面积 A_c1. 提高至最多三倍。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}$$

局部承压面积必须配置足够的横向钢筋，以承担该区域内产生的劈裂力。根据欧洲规范，局部承压面积横向钢筋的设计采用拉压杆法。若没有配置所需的横向钢筋，则不能考虑提高混凝土的抗压承载力。

CSFM 中的局部承压面积

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

使用 CSFM，可以在考虑局部承压面积中混凝土抗压承载力提高影响的情况下，对钢筋混凝土结构进行设计和校核。由于 CSFM 是一个墙式（2D）模型，而局部承压面积是一个空间（3D）问题，因此需要找到一种能将这两类不同任务结合起来的解决方案（图 35）。若激活"局部承压面积"功能，则会根据欧洲规范（图 34）创建允许的锥体几何形状。所有几何碰撞均针对指定的混凝土构件几何形状以及每个 PLA 的尺寸完全在 3D 中求解。随后，将创建局部承压面积的计算模型。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

修改材料模型被证明是一种不合适的方法，主要原因在于将属性映射到有限元网格存在问题。经确定，一种与有限元网格无关的方法是更为合适的解决方案。针对已知的压力锥体几何形状（图 35 和图 37），创建了完全协调一致的虚拟压杆。这些压杆的材料属性（包括应力-应变曲线）与模型中所用的混凝土完全相同。锥体的形状决定了压杆的方向，从而使荷载从 PLA 逐渐分布到设计分布面积上。虚拟压杆的面积密度在锥体的每个部位都是可变的，它在荷载方向上增加了一个虚拟混凝土面积。在承压面积（A_c0）的水平处，根据比例 $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  （其中 A_real 是 2D 计算模型中假定的支座面积）增加一个虚拟混凝土面积，该面积向设计分布面积（A_c1）方向线性递减至零。这一解决方案确保了混凝土中的压应力在整个锥体体积内保持恒定。

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

局部承压面积的承载力根据 EN 1992-1-1  (6.7) 中规定的设计分布面积与承压面积之比进行提高。需要注意的是，这是一个设计模型，无法精确描述局部承压面积上的应力状态，其实际流动情况要复杂得多。然而，这一解决方案能够在尊重局部承压面积承载力提高的同时，实现荷载在整个模型中的正确分布。此外，它还能正确引入该区域的横向应力。

在使用局部承压面积功能模拟混凝土抗压承载力提高的同时，仍需根据 EN 1992-1-1 第 6.7 (2) 节单独进行规范校核。钢筋所承担的横向拉力（劈裂力）会自动进行校核。

正常使用极限状态（SLS）评估针对应力限制、裂缝宽度和挠度限值进行。混凝土和钢筋构件中的应力按照 EN 1992-1-1 进行校核，方法与承载能力极限状态（ULS）中规定的类似。

应力限制

混凝土的压应力应加以限制，以避免出现纵向裂缝。根据 EN 1992-1-1 第 7.2 (2) 节，若在标准组合荷载作用下应力水平超过 k₁f_ck，则可能出现纵向裂缝。混凝土压应力的评估方式为：由用于正常使用极限状态的有限元分析得到的最大主压应力 σ_c = σ_c2 与限值 σ_c,lim 之比。即：

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

式中：

f_ck        混凝土圆柱体特征强度，

k₁         =0.6。

根据 EN 1992-1-1 第 7.2(3) 条，若准永久荷载作用下混凝土应力小于 k₂f_ck，可假定为线性徐变。若混凝土应力超过 k₂f_ck，则应考虑非线性徐变（见 EN 1992-1-1 第 3.1.4 条）。在 IDEA StatiCa Detail 中，仅可假定按照 EN 1992-1-1 第 3.1.4 (3) 条的线性徐变（参见材料模型 (EN)）。

若在标准组合荷载作用下钢筋中的拉应力不超过 k₃f_yk（EN 1992-1-1 第 7.2 (5) 节），则可假定避免了不可接受的开裂或变形。钢筋强度的评估方式为：裂缝处钢筋应力 σ_s = σ_sr 与规定限值 σ_s,lim 之比：

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

式中：

f_yk        钢筋屈服强度，

k₃        =0.8。

挠度

挠度仅可针对墙体或静定（几何静定）或超静定（几何超静定）梁进行评估。在这些情况下，考虑的是挠度的绝对值（相对于加载前的初始状态），且挠度的最大允许值须由用户设定。由于切断端本质上属于不稳定结构，其平衡是通过施加端部力来满足的，因此挠度结果不真实，所以无法对切断端的挠度进行校核。可计算短期挠度 u_z,st 或长期挠度 u_z,lt，并与用户定义的限值进行校核：

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

式中：

u_z         由有限元分析计算得到的短期或长期挠度，

u_z,lim    用户定义的挠度限值。

裂缝宽度

裂缝宽度和方向仅针对启用了裂缝宽度评估的组合，按长期效应（使用 E_c,eff）进行计算。基于用户指定限值、依据欧洲规范的校核结果如下：

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

式中：

w         由有限元分析计算得到的裂缝宽度，

w_lim     用户定义的裂缝宽度限值。

计算裂缝宽度有两种方法（稳定裂缝和非稳定裂缝）。在一般情况下（稳定裂缝），裂缝宽度是通过对钢筋 1D 单元上的应变进行积分计算得到的。裂缝方向则由距离该钢筋 1D 有限元中心最近的三个混凝土 2D 单元积分点计算得出。虽然这种计算裂缝方向的方法并不对应裂缝的真实位置，但它仍能提供具有代表性的数值，使所得裂缝宽度结果可与规范在钢筋位置处要求的裂缝宽度值进行比较。

混凝土 - 强度

CSFM 中用于强度计算的混凝土模型基于抛物线-塑性应力-应变曲线，该曲线源自美国波特兰水泥协会（Portland Cement Association）关于 ACI 318-99《结构混凝土建筑规范要求》的 PCA 注释文件中图 6-8 所述的抛物线应力-应变曲线。与经典钢筋混凝土设计一样，此处忽略了抗拉强度。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

IDEA StatiCa Detail 中 CSFM 的实现方式未对受压混凝土的应变设定明确的破坏准则（即，在达到峰值应力后，其考虑的塑性段中 ε_c0 最大值为 5%，而 ACI 318-19 第 22.2.2.1 条假定的极限应变小于 0.3%）。这种简化处理无法验证以受压破坏为主的结构的变形能力。然而，除了考虑开裂混凝土的折减系数（k_c2，定义见图 39）外，还通过 fib 2010 模式规范中定义的 $\eta_{fc}$ 折减系数来考虑混凝土强度提高时脆性增加的影响，从而可以正确预测强度：

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

其中：

α₁ 是 ACI 318-19 第 22.2.2.4.1 条定义的混凝土抗压强度折减系数。当使用抛物线-矩形应力-应变图时，需要用此系数折减最大压应力。这样可以使受压区的应力分布取平均值，从而得到的抗压强度小于或等于采用递减塑性段应力-应变图计算得到的抗压强度。

Φ_c 是混凝土的强度折减系数。默认值根据 ACI 318-19 表 24.2.1 (b)(f) 设定。

k_c2 是由于存在横向裂缝而产生的折减系数。

f'_c 是混凝土圆柱体强度（在定义 $\eta_{fc}$ 时以 MPa 为单位）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 是基于与 ACI 318-19 表 23.9.2 中给出的节点区系数 β_n 相同假设的折减系数，区别在于，在 CSFM 中，对每个有限单元（而非仅拉压杆模型的节点）都会检查是否存在与主压应力垂直的主拉应力。

混凝土 – 正常使用

正常使用极限状态分析对用于强度分析的本构模型进行了一定简化。混凝土受压应力-应变曲线的塑性段被忽略，弹性段则为线性且无限延伸。不考虑压力软化规律。这些简化提高了数值稳定性和计算速度，且只要正常使用状态下的最终材料应力限值明显低于其屈服点（符合 ACI 的要求），就不会降低求解的通用性。因此，仅当满足所有验证要求时，用于正常使用状态的简化模型才有效。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

长期效应

结构的长期性能，例如长期挠度或由持续荷载引起的裂缝宽度计算，受混凝土徐变的影响。ACI 318-19 第 24.2.4.1.3 段定义了持续荷载的时间相关系数——ξ，用以表示特定持续荷载持续时间下的徐变效应。

在 Detail 软件中，通过系数 ξ 调整弹性模量 E_c，以确定结构的长期性能。调整后的弹性模量称为 E_c,eff——见图 40。

假设构件的变形用应变表示，则可写为：

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

其中：

ε₀ 是短期应变（不考虑徐变影响），ε_creep 是由徐变引起的应变。

利用胡克定律，可以写出：

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

将 $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ 和 $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$ 代入，可得：

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

用于确定系数 ξ 的持续荷载持续时间可以针对每个正常使用长期组合单独设定。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}$$

随后，通过有限元分析的固有特性自动考虑受压细化效应，计算出随时间变化的挠度、应力和裂缝宽度。因此，无需再乘以第 24.2.4.1.1 条中定义的系数。

短期效应

为进行短期验证，需另外进行一次计算，其中所有荷载均在不考虑持续荷载时间相关系数的情况下计算。长期和短期验证的两种计算均如图 40 所示。

钢筋

对于非预应力钢筋，采用具有明确屈服点的完全弹塑性应力-应变图，见 ACI 319-19 第 20.2.1 条。该图的定义只需已知钢筋的基本属性——强度和弹性模量。

钢筋的应力-应变图也可以由用户自行定义，但在这种情况下，将无法考虑拉力刚化效应（也就无法计算裂缝宽度）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

其中：

Φ_s 是钢筋的强度折减系数，默认值根据 ACI 318-19 表 24.2.1 设定。

f_y 是钢筋的屈服强度

E_s 是钢筋的弹性模量

选取 10% 作为计算终止时的极限应变。根据 ASTM A955/A955M-20c 第 7 条，此值被视为安全值。

拉力刚化（图 43）通过修改裸钢筋的输入应力-应变关系来自动考虑，以体现嵌入混凝土中的钢筋的平均刚度（ε_m）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

协调应力场法符合现代设计规范的要求。由于计算模型仅使用标准材料特性，因此可以不做任何调整，直接采用设计规范中规定的分项安全系数格式。这样一来，输入荷载被放大，特征材料特性则通过相应的强度折减系数进行折减，与传统混凝土分析方法完全一致。

强度折减系数的取值在 ACI 318-19 第 21.2 条中有规定。混凝土和钢筋的默认值是基于软件中所解算的典型算例为剪力控制这一假设选取的（依据表 21.2.1 (b)、(f)、(g)）。但是，该软件可以对任意类型的构件进行建模。因此，如果所评估的构件为受压控制或受拉控制构件，用户可以在“偏好设置”中更改强度折减系数的取值。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

强度组合的荷载系数应根据 ACI 318-19 表 5.3.1 确定。

除第 34 章另有说明外，ACI 318-19 未对正常使用极限状态荷载组合作出规定。建议采用基于 ASCE/SEI 7-16 附录 C 的组合规则。对于所有模板，荷载系数均已预先设定。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

ACI 318-19 要求的各项验证均基于模型直接给出的结果进行评估。验证内容包括混凝土强度、钢筋强度以及锚固（粘结剪应力）。

混凝土受压强度评估为有限元分析得到的最大主压应力f_c（在辅助结果中也表示为 σ₂）与限值f'_c,lim之比。

钢筋强度在拉力和压力两种情况下均按裂缝处钢筋应力f_s与规定限值f_y,lim之比进行评估。

粘结剪应力独立评估为有限元分析计算得到的粘结应力 τ_b与粘结强度f_bu之比。

然而，ACI 规范并未明确给出粘结强度，而是采用所谓的锚固长度计算方法，详见第 25.4.2 节。由于粘结强度是确定锚固长度的基本输入参数（参见 R25.4.1.1 和 ACI Committee 408 1966），粘结强度可按以下方式计算：

假设将钢筋锚固到混凝土块中，锚固长度达到l_d或更长时，拔出钢筋将导致钢筋断裂而非钢筋从混凝土中拔出。该假设可用以下公式表示。

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

式中：

d_b为钢筋直径，l_d为锚固长度，f_bu为粘结强度，f_y为钢筋屈服强度，A_s为钢筋截面积。

由上式可轻松推导出粘结强度的计算公式：

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

锚固长度l_d随后按照 ACI 318-19 表 25.4.2.3 确定如下：

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

式中：

对于 6 号及以下钢筋及变形钢丝，C = 25（公制为 2.1）；对于 7 号及以上钢筋，C = 20（公制为 1.7）；普通混凝土 λ = 1.0；ψ_t、ψ_e、 ψ_g按照 ACI 318-19 表 25.4.2.3 确定。 

仅支持无涂层或镀锌钢筋，因此ψ_e = 1.0。ψ_g根据钢筋等级自动确定，ψ_t则根据钢筋在模型中的位置以及可在软件中为每个项目设置的浇筑方向自动推导，具体如下。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

这些验证均针对结构相应部分的适用限值进行（也就是说，尽管混凝土和钢筋材料各自只有单一等级，但由于拉力刚化和压力软化效应，结构不同部分最终的应力-应变曲线会有所不同）。

还可以选择建立光圆钢筋模型。详情请参见：Detail 中的光圆钢筋

总力 F_tot 和限值力 F_lim

总力F_tot是有限元分析的结果，可通过两种方式定义。

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

式中A_s为钢筋截面积，f_s为钢筋中的应力。

或表示为锚固力 F_a 与粘结力 F_bond之和。

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

式中F_a为锚固弹簧中的实际力，F_bond为沿钢筋长度l对粘结应力τ_b积分得到的粘结力。

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s为钢筋周长。

限值力F_lim是考虑钢筋强度以及锚固条件（混凝土与钢筋之间的粘结、锚固弯钩、弯环等）后钢筋单元中的最大力。

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

式中 C_s为钢筋周长，l为从钢筋起点到目标点的长度。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

式中F_lim,add为根据相邻单元之间夹角大小计算得到的附加力。F_lim,2必须始终小于F_u。

CSFM 中可用的锚固类型包括直钢筋（即无锚固端折减）、90 度弯钩、180 度弯钩、完全粘结以及连续钢筋。图 48 展示了纵向钢筋所有这些类型及其对应的锚固系数 β。所采用锚固系数的取值是通过比较 ACI 318-19 第 25.4.3.1 节的公式与 ACI 318-19 第 25.4.2.3 节的公式得出的。需要注意的是，尽管可选类型各不相同，CSFM 仅区分三种锚固端类型：(i) 锚固长度不折减，(ii) 标准化锚固情况下锚固长度折减 30%，(iii) 完全粘结。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

箍筋的锚固系数始终为 β = 1.0。

为符合 ACI 规范要求，计算中应使用锚固弹簧，该锚固弹簧会按 β 系数进行修正，因此用户在定义钢筋起始和终止条件时必须使用其中一种可用的锚固类型。 

在设计混凝土结构时，我们会遇到两大类局部受压区域（PLA）——第一类包括支座，另一类则由锚固区域组成。 

根据目前适用于钢筋混凝土结构设计的标准 ACI 318-19 第 22.8 章，应考虑支座处混凝土的局部压碎和横向拉力。对于均匀分布在面积 A_c1 上的荷载，混凝土的抗压承载力可根据设计分布面积 A_c2 提高至最多两倍。参见 ACI 318-19 表 22.8.3.2。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Partially loaded areas for bearings according to ACI 318-19}}}$$

对于后张锚固区，应遵循 ACI 318-19 第 25.9 章的规定。

局部受压区域必须配置足够的横向钢筋，以承受该区域产生的劈裂力。如果没有所需的横向钢筋，则不能考虑提高混凝土的抗压承载力。

CSFM 中的局部受压区域

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

使用 CSFM，可以在设计和校核钢筋混凝土结构时，考虑局部受压区域中混凝土抗压承载力提高的影响。由于 CSFM 是一种平面（2D）模型，而局部受压区域属于空间（3D）问题，因此需要找到一种能将这两种不同类型问题结合起来的解决方案（图 50）。如果激活了"局部受压区域"功能，则会根据 ACI 规范创建允许的锥体几何形状（图 49）。所有几何冲突都将针对指定的混凝土构件几何形状及每个 PLA 的尺寸，完全在 3D 中求解。随后，将创建局部受压区域的计算模型。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

对材料模型进行修改被证明是不合适的方法，主要原因在于将属性映射到有限元网格上存在困难。研究确定，采用独立于有限元网格的方法是更合适的解决方案。针对已知的受压锥体几何形状，创建了完全协调一致的虚拟压杆（图 51 和图 52）。这些压杆的材料属性（包括应力-应变曲线）与模型中所用的混凝土完全相同。锥体的形状决定了压杆的方向，从而将荷载从局部受压区域逐渐分布到设计分布面积上。虚拟压杆的面密度在锥体的各个部分是可变的，它会沿荷载方向添加一个虚拟混凝土面积。在受荷面积（A_c1）处，会根据比例 $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  （其中 A_real 是 2D 计算模型中假设的支座面积）添加虚拟混凝土面积，该面积朝设计分布面积（A_c2）方向线性减小至零。此解决方案确保了整个锥体体积内的混凝土压应力保持恒定。

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

局部受压区域的承载力根据 ACI 318-19 第 22.8 章规定的设计分布面积与受荷面积之比进行提高。需要注意的是，这是一种设计模型，无法精确描述局部受压区域上实际流动情况更为复杂的应力状态。然而，此解决方案能够在尊重局部受压区域承载力提高的同时，正确地将荷载分布到整个模型中。此外，它还能在该区域正确引入横向应力，以正确设计抵抗劈裂力的钢筋。

表 22.8.3.2 中列出了 0.85f_c' 的允许承压应力。密度受到限制，以确保不超过表 22.8.3.2(b) 公式中给出的最大双倍承载力。 

对于锚固区，PLA 在软件中的使用方式与支座相同。因此，ACI 318-19 第 25.9 章中定义的局部区域必须依据 ACI 318-19 第 25.9.3 条进行人工校核。因此，PLA 仅用于避免超出局部区域的应变准则，从而避免计算过早中止。另一方面，根据 ACI 318-19 第 25.9.4.3.1 (b) 条，抵抗胀裂和剥裂面内应力的钢筋可以在软件中直接、便捷地进行校核。

正常使用极限状态评估针对应力限制、裂缝宽度和挠度限值进行。混凝土和钢筋单元的应力校核方式与 ACI 318-19 规定的承载能力校核方式类似。

应力限制

对于 U 级和 T 级预应力构件，应验证使用荷载下允许的混凝土压应力。根据表 R24.5.2.1，对于假定已开裂的混凝土，不需要进行应力限制校核。用户需要在设计构件设置中设定预应力构件的等级。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}$$

ACI 318-19 第 24.5.4.1 条规定，承受瞬时荷载的构件的允许压应力为 0.6f_c'。设定 0.45f_c' 的压应力限值是为了降低预应力混凝土构件因反复荷载而破坏的概率。该限值同时也被认为可以合理防止过度徐变变形。在较高应力水平下，随着施加应力的增加，徐变应变往往增长得更快。

混凝土压应力通过以下比值来评估：由有限元正常使用极限状态分析得到的最大主压应力 f_c = σ_c2 与根据表 24.5.4.1 设定的限值之比。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

在软件中，预应力加持续荷载被视为长期组合，预应力加总荷载被视为短期组合。

挠度

根据所选组合类型（长期或短期），评估长期挠度或短期挠度。最大允许挠度值应由用户确定，并应符合 ACI 138-19 第 24.2 条的规定。 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

在软件中，可以分别显示恒荷载 Δ_DL 和活荷载 Δ_LL 产生的挠度，以及总挠度 Δ_Tot （恒荷载+活荷载），同时显示变形形状。

无法对被截断端部的挠度进行校核。

裂缝宽度

针对正常使用极限状态的短期或长期组合计算裂缝宽度和裂缝方向。由于 ACI 未直接规定裂缝宽度限值，用户须自行指定裂缝宽度限值 w_lim。

校核结果表示如下：

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

其中：

w         由有限元分析计算得到的短期或长期裂缝宽度，

w_lim     用户定义的裂缝宽度限值。

软件中使用的裂缝宽度计算方法（本文档中也有更详细的说明）符合 ACI 224R-01 的规定。因此，可以使用 ACI 224R-01 表 4.1 来确定裂缝宽度的限值。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}$$

裂缝宽度的计算有两种方式（稳定开裂和非稳定开裂）。在一般情况下（稳定开裂），通过对钢筋一维单元上的应变进行积分来计算裂缝宽度。裂缝方向则根据距给定钢筋一维有限单元中心最近的三个二维混凝土单元积分点计算得出。虽然这种计算裂缝方向的方法并不对应裂缝的实际位置，但它仍能提供具有代表性的数值，从而得到可与规范要求的钢筋位置处裂缝宽度值进行比较的裂缝宽度结果。

混凝土 - 强度

CSFM 中用于强度计算的混凝土模型基于 AASHTO LRFD 强度设计假定，即平衡条件和应变协调。根据 AASHTO LRFD (2024) 第 5.6.2.1 条，混凝土的抗拉强度被忽略。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

IDEA StatiCa Detail 中实现的 CSFM 未考虑受压混凝土应变方面的明确破坏准则（即达到峰值应力后，考虑塑性段，其 ε_c0 最大值为 5%，而 AASHTO LRFD (2024) 第 5.6.2.1 条假定极限应变小于 0.3%）。这一简化不允许对受压破坏结构的变形能力进行验证。然而，除了开裂混凝土系数（k_c2，定义见（Fig. 57））之外，通过 fib Model Code 2010 中定义的 $\eta_{fc}$ 折减系数考虑混凝土强度提高导致的脆性增加，从而能够合理预测强度，其定义如下：

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

其中：

α₁ 是 AASHTO LRFD (2024) 第 5.6.2.2 条中定义的混凝土抗压强度折减系数。当使用抛物线-矩形应力-应变图时，需要用此系数折减最大压应力。这样可对受压区的应力分布取平均，使所得的抗压强度小于或等于使用带下降塑性段应力-应变图计算得到的抗压强度。

Φ_c 是混凝土的抗力系数。默认值根据 AASHTO LRFD (2024) 第 5.5.4.2 条设置。

k_c2 是由于存在横向裂缝而产生的折减系数。

f'_c 是混凝土圆柱体强度（用于 $\eta_{fc}$ 定义时单位为 MPa）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 是基于与 AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a 条及表 5.8.2.5.3a-1 中给出的混凝土效率系数 ν 相同假设的折减系数，不同之处在于，在 CSFM 中，对每个有限单元（而不仅仅是拉压杆模型的节点）都要检查是否存在垂直于主压应力方向的主拉应力。

混凝土 – 正常使用

正常使用分析对用于强度分析的本构模型进行了一定的简化。受压混凝土应力-应变曲线的塑性段被忽略，弹性段则为线性且无限延伸。压力软化规律不予考虑。这些简化提高了数值稳定性和计算速度，且只要正常使用状态下的结果材料应力限值明显低于其屈服点（与 AASHTO LRFD 正常使用极限状态方法一致），就不会降低解的通用性。因此，用于正常使用验算的简化模型仅在满足所有验证要求时才有效。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

长期效应

当在顶部功能区中选择长期效应时，长期本构关系（Fig. 59 中的红色曲线）用于裂缝宽度计算、总挠度计算，以及预应力构件的应力限值验证。在 IDEA StatiCa Detail 软件中，长期效应验证采用有效弹性模量，如 AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1 所述。

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

其中：
E_c 是 AASHTO LRFD (2024) 第 5.4.2.4 条中定义的弹性模量
ψ 是 AASHTO LRFD (2024) 第 5.4.2.3.2 条中定义的徐变系数

徐变系数由用户在材料属性中定义。

短期效应

为进行短期验证，将执行另一次计算，其中所有荷载均在不考虑徐变系数的情况下计算。长期和短期验证的两种计算均如 Fig. 59 所示。

钢筋

非预应力钢筋采用具有明确屈服点的完全弹塑性应力-应变图，见 AASHTO LRFD (2024) 第 5.4.3 条。此图的定义仅需要已知钢筋的基本属性——强度和弹性模量。

用户也可以自定义钢筋的应力-应变图，但在这种情况下，无法考虑拉力刚化效应（也无法计算裂缝宽度）。 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

其中：

Φ_s 是钢筋的抗力系数。默认值根据 AASHTO LRFD (2024) 第 5.5.4.2 条设置。

f_y 是钢筋的屈服强度

E_s 钢筋的弹性模量

计算终止时的极限应变取为 10%。根据 ASTM A955/A955M-20c 第 7 条，此值被认为是安全的。

拉力刚化（Fig. 61） 通过修改裸钢筋的输入应力-应变关系而自动考虑，以反映嵌入混凝土中钢筋的平均刚度（ε_m）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

协调应力场法符合现代设计规范的要求。由于计算模型仅使用标准材料属性，因此可以直接采用设计规范中规定的分项安全系数格式，无需任何调整。这样，输入荷载被放大，特征材料属性则通过相应的抗力系数进行折减，这与传统混凝土分析方法完全一致。

抗力系数的取值在 AASHTO LRFD（2024）第 5.5.4 条中有明确规定。混凝土和钢筋的默认取值均偏保守，其假设前提是典型算例为 D 区——这也是拉压杆法的典型适用情形。然而，该软件也可以对任何类型的构件进行建模。因此，若评估的是受压或受拉控制构件，用户可以在“偏好设置”中修改强度折减系数的取值。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

荷载系数和荷载组合应根据 AASHTO LRFD 桥梁设计规范（2024）第 3.4.1 条以及表 3.4.1-1 至 3.4.1-6 确定。AASHTO LRFD 明确规定了承载能力极限状态的荷载组合（强度 I 至强度 V），以及正常使用极限状态的荷载组合（使用 I 至使用 IV），并给出了各情况下相应的荷载系数。

对于每个模板，程序都包含预定义的基本组合，用户需根据所处理构件的具体情况对其进行补充完善。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

AASHTO要求的不同验证是根据模型提供的直接结果进行评估的。验证针对混凝土强度、钢筋强度和锚固（粘结剪应力）进行。

混凝土受压强度的评估方式是：由有限元分析得到的最大主压应力f_c（在辅助结果中也称为σ₂）与限值f'_c,lim的比值。

钢筋强度在拉力和压力两种情况下均按裂缝处钢筋应力f_s与规定限值f_y,lim的比值进行评估。

粘结剪应力独立评估，即通过有限元分析计算得到的粘结应力τ_b与粘结强度f_bu的比值。

然而，由于AASHTO中并未明确定义粘结强度，其数值必须通过定义锚固长度的方程来确定。事实上，粘结强度是确定锚固长度的主要输入参数；例如参见AASHTO LRFD (2024) 第C5.10.8.2条或NCHRP Report 733附件E第E-9页。

AASHTO LRFD (2024) 第5.10.8.2.1条和第5.10.8.2.2条中所描述的计算方法，需要了解l_d范围内横向钢筋的最大中心间距、沿劈裂面展开的钢筋或钢丝数量、所有横向钢筋的总截面面积以及其他一些在Detail 软件模型中对于一般输入无法可靠确定的几何量，因此采用了AASHTO LRFD (2014) 第5.11.2.1.1条中的方法，具体如下：

假设我们将钢筋锚固到混凝土块中达到锚固长度l_d或更长，那么拔出该钢筋将导致钢筋断裂，而不是混凝土被拔出。这可以用以下公式表示。

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

式中：

• d_b为钢筋直径
• l_d为锚固长度
• f_bu为粘结强度
• f_y为钢筋屈服强度
• A_b为钢筋截面面积

由上式可以很容易地推导出计算粘结强度的公式。

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

基本受拉锚固长度l_db按AASHTO LRFD (2014) 第5.11.2.1.1条确定如下：

对于11号及以下钢筋：  $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

对于14号钢筋：  $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

对于18号钢筋：  $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

式中：

• A_b为钢筋截面面积（in²）
• f_y为规定的钢筋屈服强度（ksi）
• f'_c为混凝土28天龄期的规定抗压强度，除非另有其他龄期规定（ksi）
• d_b为钢筋直径（in）

然后，将基本锚固长度l_db乘以AASHTO LRFD (2014) 第5.11.2.1.2条和第5.11.2.1.3条中描述的修正系数，即可确定作为输入值的锚固长度l_d。

软件中，5.11.2.1.3条中用于减小锚固长度的修正系数始终等于1.0。对于顶部水平或近似水平的钢筋，根据下图所示的"较差"粘结条件，其修正系数等于1.4：

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

可以在软件中设置混凝土浇筑方向。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}$$

5.11.2.1.2条中确定的所有其他系数均等于1.0，因为软件仅支持常重混凝土，且仅支持未涂层钢筋。

受压钢筋的粘结剪应力和粘结强度的计算方式与受拉钢筋类似，但使用的是AASHTO LRFD (2014) 第5.11.2.2条中的方程。

此外还可以选择模拟光圆钢筋。更多信息请参见：Detail中的光圆钢筋

总力 F_tot 和限值力 F_lim

总力F_tot是有限元分析的结果，可以通过两种方式定义。

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

式中A_b为钢筋截面面积，f_s为钢筋中的应力。

或者作为锚固力F_a 与粘结力F_bond之和。

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

式中F_a为锚固弹簧中的实际力，F_bond为通过沿钢筋长度l对粘结应力τ_b进行积分得到的粘结力。

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s为钢筋的周长。

限值力F_lim是考虑钢筋的强度以及锚固条件（混凝土与钢筋之间的粘结以及锚固弯钩、弯环等）后，钢筋单元中的最大力。

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

式中C_s为钢筋的周长，l为从钢筋起点到目标点的长度。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

式中F_lim,add为根据相邻单元间夹角大小计算得到的附加力。F_lim,2必须始终小于F_u。

CSFM（协调应力场法）中可用的锚固类型包括直钢筋（即无锚固端折减）、90度弯钩、180度弯钩、完全粘结和连续钢筋。图67展示了纵向钢筋的所有这些类型及其相应的锚固系数β。所采用的锚固系数值是通过比较AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1节的方程和AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1节的方程得出的。需要注意的是，尽管存在多种可选方案，CSFM（协调应力场法）实际上区分三种锚固端类型：（i）锚固长度不折减，（ii）标准化锚固情况下锚固长度折减30%，以及（iii）完全粘结。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

箍筋（适用于梁单元）的锚固系数始终为 β = 1.0。

为符合AASHTO要求，计算中应使用锚固弹簧。锚固弹簧由β系数进行修正，因此用户在定义钢筋起始和末端条件时必须使用可用的锚固类型之一。 

在设计混凝土结构时，我们会遇到两大类局部受压区（PLA）——第一类包括支座，另一类则是锚固区。 

根据现行有效的钢筋混凝土结构设计规范，对于支座，应考虑混凝土的局部压碎和横向拉力。对于面积 A₁ 上的均布荷载，混凝土的抗压承载力可根据设计分布面积 A₂ 提高至多两倍。参见 AASHTO LRFD（2024）第 5.6.5 条。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Partially loaded areas for bearings according to AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5}}}$$

对于后张锚固区，应遵循 AASHTO LRFD（2024）第 5.8.4.4 条。

局部受压区必须配置足够的横向钢筋，以传递该区域内产生的劈裂力。如果没有所需的横向钢筋，则不能考虑提高混凝土的抗压承载力。

CSFM 中的局部受压区

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 69\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

使用 CSFM（协调应力场法），可以在设计和校核钢筋混凝土结构的同时，考虑局部受压区混凝土抗压承载力提高的影响。由于 CSFM 是一种墙（2D）模型，而局部受压区是一个空间（3D）问题，因此需要找到一种解决方案，将这两种不同类型的问题结合起来（图 69）。如果激活了"局部受压区"功能，将根据 ACI 规范创建允许的锥体几何形状（图 68）。针对给定的混凝土构件几何形状和每个 PLA 的尺寸，所有几何冲突均完全在 3D 中求解。随后，创建局部受压区的计算模型。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 70\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

对材料模型进行修改被证明是一种不合适的方法，主要原因是将属性映射到有限单元网格上存在困难。研究确定，一种独立于有限单元网格的方法是更合适的解决方案。针对已知的受压锥体几何形状（图 70和图 71），创建了完全协调的虚拟压杆。这些压杆的材料属性与模型中使用的混凝土完全相同，包括应力-应变曲线。锥体的形状决定了压杆的方向，从而将荷载从 PLA 逐渐分布到设计分布面积。虚拟压杆的面积密度在锥体的每个部分都是可变的，它会沿荷载方向增加一个虚拟混凝土面积。在受荷面积（A₁）处，根据比例 $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} - A_{real}$  （其中 A_real 是 2D 计算模型中假定的支座面积）增加一个虚拟混凝土面积，该面积朝设计分布面积（A₂）方向线性递减至零。这一解决方案确保了混凝土的压应力在整个锥体体积内保持恒定。

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{2}}{A_{1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 71\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

局部受压区的承载力根据 AASHTO LRFD（2024）第 5.6.5 条规定的设计分布面积与受荷面积之比提高。  需要注意的是，这是一种设计模型，无法精确描述局部受压区上实际流动情况要复杂得多的应力状态。然而，该解决方案能够在尊重局部受压区提高的承载能力的同时，将荷载正确地分布到整个模型中。此外，它还能在该区域正确引入横向应力，从而正确设计抵抗劈裂力的钢筋。

AASHTO LRFD（2024）第 5.8.4.4 条列出了 0.85f_c' 的允许承压应力。密度受到限制，以使公式 5.6.5-3 中给出的最大双倍承载力不被超出。 

对于锚固区，PLA 在软件中的使用方式与支座相同。因此，必须手动检查第 5.8.4.4 和 5.8.4.5 条中定义的局部区和整体区的压应力。因此，PLA 仅用于避免超出局部区的应变准则，从而防止计算过早终止。另一方面，抵抗整体区（第 5.8.4.5 条定义）中崩裂、平面内剥落和边缘拉应力的钢筋，可以在软件中直接且便捷地进行校核。

正常使用极限状态评估针对应力限制、裂缝宽度和挠度限值进行。混凝土和钢筋单元的应力按照 AASHTO LRFD 进行校核，方式与承载能力极限状态所规定的方法类似。

应力限制

混凝土压应力仅针对预应力构件（当模型中存在 Prestressing 荷载工况时）进行评估，评估方式为：从有限元正常使用分析得到的最大主压应力 f_c = σ_c2 与限值的比值，该限值依据 AASHTO LRFD 表 5.9.2.3.2a-1 设定。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 72\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

在软件中，Prestress plus permanent load（预应力加永久荷载）被视为 Sustain（持久）荷载，而Prestress, permanent, and transient load（预应力、永久荷载和瞬时荷载）被视为 Total（总）荷载。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 73\qquad Serviceability combination types}}}$$

此外，始终可以使用考虑或不考虑徐变系数的材料模型，对短期效应和长期效应分别进行分析——参见"材料模型 (AASHTO)"一节。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 74\qquad Serviceability material models}}}$$

挠度

对于每个启用了挠度评估的组合，均计算瞬时挠度和总挠度。 

• 对于瞬时挠度，采用 AASHTO LRFD (2024) 第 5.4.2.4 条规定的弹性模量 E_c。 
• 对于总挠度，采用 AASHTO LRFD (2024) 第 C5.12.5.3.6 条规定的有效弹性模量 E_c,eff。 

参见本文档中的"材料模型 (AASHTO) - 混凝土 – 正常使用极限状态"一章。

挠度校核功能本身在顶部功能区中启用。用户根据所分析构件的类型，按照 AASHTO LRFD (2024) 第 2.5.2.6.2 条设置挠度限值。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 75\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

无法对修剪端处的挠度进行校核。

裂缝宽度

裂缝宽度和方向仅针对启用了裂缝宽度评估的组合，按长期效应计算（采用 AASHTO LRFD (2024) 第 C5.12.5.3.6 条规定的 E_c,eff）。基于用户指定限值的校核如下：

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

式中：

w         由有限元分析计算得到的裂缝宽度，

w_lim     用户定义的裂缝宽度限值。

限值 w_lim 应根据构件类型和暴露等级，依照 AASHTO LRFD (2024) 第 5.6.7 条及其条文说明确定。 

裂缝宽度有两种计算方式（稳定裂缝和非稳定裂缝）。在一般情况下（稳定裂缝），裂缝宽度通过对钢筋一维单元上的应变进行积分来计算。裂缝方向则根据距给定钢筋一维有限单元中心最近的三个二维混凝土单元积分点计算得出。虽然这种计算裂缝方向的方法并不对应裂缝的真实位置，但它仍能提供具有代表性的数值，从而得到可与规范要求的、在钢筋位置处的裂缝宽度值进行比较的裂缝宽度结果。

混凝土 - 强度

CSFM 中用于强度计算的混凝土模型基于抛物线-塑性应力-应变曲线。与经典钢筋混凝土设计一样，不考虑抗拉强度。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 76\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

IDEA StatiCa Detail 中 CSFM 的实现未考虑受压混凝土应变方面的明确破坏准则（即达到峰值应力后，考虑最大值为 5% 的 ε_c0 塑性分支，而 AS 3600 第 8.3.1 条假定极限应变小于 0.3%）。这一简化不允许验证受压破坏结构的变形能力。然而，除了考虑开裂混凝土因子（在图 77 中定义的 k_c2）外，还通过 fib Model Code 2010 中定义的 $\eta_{fc}$ 折减系数考虑了随混凝土强度提高而增加的脆性，从而能够正确预测强度，如下所示：

$$f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s}\cdot \beta \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

其中：

α₂ 是 AS 3600 第 8.3.1 条中定义的混凝土抗压强度折减系数
在使用抛物线-矩形应力-应变图时，有必要通过该系数降低最大压应力。这样可以对受压区的应力分布进行平均化处理，使得所得的抗压强度小于或等于使用具有递减塑性分支的应力-应变图计算得出的抗压强度。第 8.1.3 章为矩形应力块定义了类似的方法。

Φ_s 是混凝土的应力折减系数。默认值根据 AS 3600 表 2.2.3 设置。

β 是由于横向裂缝存在而产生的折减系数（本文中也称为 k_c2）

f'_c 是混凝土圆柱体强度（在 $\eta_{fc}$ 的定义中以 MPa 为单位）。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 77\qquad The compression softening law.}}}$$