Proiectarea și verificarea elementelor din beton se realizează în mod normal la nivel de secțiune (elemente 1D) sau punct (elemente 2D). Această procedură este descrisă în toate standardele de proiectare structurală, de exemplu în (EN 1992-1-1 sau ACI 318-19), și este utilizată în practica curentă a ingineriei structurale. Totuși, nu se știe sau nu se respectă întotdeauna faptul că procedura este acceptabilă doar în zonele în care se aplică ipoteza Bernoulli-Navier privind distribuția plană a deformațiilor (denumite zone B). Locurile în care această ipoteză nu se aplică se numesc zone de discontinuitate sau zone perturbate (zone D). Exemple de zone B și D pentru elemente 1D sunt prezentate în (Fig. 1). Acestea sunt, de exemplu, zonele de reazem, părțile în care se aplică sarcini concentrate, locurile unde apare o schimbare bruscă a secțiunii transversale, goluri etc. La proiectarea structurilor din beton, întâlnim multe alte zone D, precum pereți, diafragme de pod, console, etc. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}$$

În trecut, pentru dimensionarea zonelor de discontinuitate se foloseau reguli de proiectare semi-empirice. Din fericire, aceste reguli au fost în mare parte înlocuite în ultimele decenii de modelele bielă-tiranți (Schlaich et al., 1987) și de câmpurile de tensiuni (Marti 1985), care sunt incluse în codurile de proiectare actuale și utilizate frecvent de proiectanți astăzi. Aceste modele sunt instrumente puternice și consistente din punct de vedere mecanic. Trebuie remarcat că, în general, câmpurile de tensiuni pot fi continue sau discontinue și că modelele bielă-tiranți reprezintă un caz special de câmpuri de tensiuni discontinue.

În ciuda evoluției instrumentelor de calcul din ultimele decenii, modelele bielă-tiranți sunt utilizate în esență tot ca și calcule manuale. Aplicarea lor pentru structuri reale este laborioasă și consumatoare de timp, deoarece sunt necesare iterații, iar mai multe ipoteze de încărcare trebuie luate în considerare. Mai mult, această metodă nu este potrivită pentru verificarea criteriilor de exploatare (deformații, deschideri de fisuri etc.).

Interesul inginerilor structuriști pentru un instrument fiabil și rapid de proiectare a zonelor D a condus la decizia de a dezvolta noua Metodă a Câmpului de Tensiuni Compatibil, o metodă de proiectare a câmpurilor de tensiuni asistată de calculator, care permite proiectarea și verificarea automată a elementelor structurale din beton supuse la încărcări în planul lor.

Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil (CSFM) este o metodă de analiză continuă a câmpurilor de tensiuni bazată pe elemente finite, în care soluțiile clasice ale câmpurilor de tensiuni sunt completate cu considerații cinematice, adică starea de deformație este evaluată în întreaga structură. Prin urmare, rezistența efectivă la compresiune a betonului poate fi calculată automat pe baza stării de deformație transversală, într-un mod similar analizelor câmpului de compresiune care iau în considerare rezistența redusă a betonului comprimat  (Vecchio și Collins 1986; Kaufmann și Marti 1998) și metodei EPSF (Fernández Ruiz și Muttoni 2007). Mai mult, CSFM ia în considerare participarea betonului întins, oferind rigidități realiste elementelor, și acoperă toate prevederile codurilor de proiectare (inclusiv aspectele legate de exploatare și capacitatea de deformare) care nu erau abordate în mod consecvent de abordările anterioare. CSFM utilizează legile constitutive uniaxiale uzuale prevăzute de standardele de proiectare pentru beton și armătură. Acestea sunt cunoscute în etapa de proiectare, ceea ce permite utilizarea metodei coeficienților parțiali de siguranță. Prin urmare, proiectanții nu trebuie să furnizeze proprietăți de material suplimentare, adesea arbitrare, așa cum este necesar de obicei pentru analizele neliniare cu elemente finite, ceea ce face ca metoda să fie perfect potrivită pentru practica inginerească.

Pentru a încuraja utilizarea câmpurilor de tensiuni asistate de calculator de către inginerii structuriști, aceste metode ar trebui implementate în medii software prietenoase cu utilizatorul. În acest scop, CSFM a fost implementată în IDEA StatiCa Detail; un nou software comercial prietenos cu utilizatorul, dezvoltat în comun de ETH Zurich și compania de software IDEA StatiCa, în cadrul proiectului DR-Design Eurostars-10571.

CSFM consideră tensiunea principală maximă de compresiune în beton (σ_c2r) și tensiunile din armătură (σ_sr) la fisuri, neglijând în același timp rezistența la întindere a betonului (σ_c1r = 0), cu excepția participării betonului întins asupra armăturii. Considerarea participării betonului întins permite simularea deformațiilor medii ale armăturii (ε_m). Sunt luate în considerare fisuri fictive, rotative, fără tensiune, care se deschid fără alunecare (Fig. 2a), iar echilibrul la fisuri este luat în considerare împreună cu deformațiile medii ale armăturii. 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}$

În ciuda simplității lor, ipoteze similare s-au dovedit a produce predicții precise pentru elementele armate supuse la încărcare în planul lor (Kaufmann 1998; Kaufmann și Marti 1998), dacă armătura prevăzută evită cedările fragile la fisurare. Mai mult, neconsiderarea vreunei contribuții a rezistenței la întindere a betonului la sarcina ultimă este în concordanță cu principiile codurilor de proiectare moderne, care se bazează în mare parte pe teoria plasticității.

Cu toate acestea, CSFM nu este potrivit pentru elementele zvelte fără armătură transversală, deoarece mecanismele relevante pentru astfel de elemente, precum efectul de angrenare a agregatelor, tensiunile reziduale de întindere la vârful fisurii și efectul de dorn – toate bazându-se direct sau indirect pe rezistența la întindere a betonului – sunt neglijate. Deși unele standarde de proiectare permit proiectarea unor astfel de elemente pe baza unor prevederi semi-empirice, CSFM nu este destinat acestui tip de structură potențial fragilă.

Beton

Modelul de beton implementat în CSFM se bazează pe legile constitutive de compresiune uniaxială prescrise de codurile de proiectare pentru proiectarea secțiunilor transversale, care depind doar de rezistența la compresiune. Diagrama parabolă-dreptunghi (Fig. 2c) este utilizată implicit în CSFM, dar proiectanții pot alege și o relație elastic-perfect plastică mai simplificată. La verificarea conform codului ACI, este posibilă utilizarea doar a diagramei efort-deformație parabolă-dreptunghi. Așa cum s-a menționat anterior, rezistența la întindere este neglijată, la fel ca în proiectarea clasică a betonului armat.

Rezistența efectivă la compresiune este evaluată automat pentru betonul fisurat pe baza deformației principale de întindere (ε₁) prin intermediul factorului de reducere k_c2, așa cum se arată în Fig. 2c și e. Relația de reducere implementată (Fig. 2e) este o generalizare a propunerii fib Model Code 2010 pentru verificările la forfecare, care conține o valoare limită de 0,65 pentru raportul maxim dintre rezistența efectivă a betonului și rezistența la compresiune a betonului, care nu este aplicabilă altor cazuri de încărcare.

CSFM din IDEA StatiCa Detail nu ia în considerare un criteriu explicit de cedare în termeni de deformații pentru betonul comprimat (adică, se consideră o ramură infinit plastică după atingerea tensiunii de vârf). Această simplificare nu permite verificarea capacității de deformare a structurilor care cedează prin compresiune. Cu toate acestea, capacitatea lor ultimă este prezisă corect atunci când, pe lângă factorul de reducere pentru betonul fisurat (k_c2) definit în (Fig. 2e), creșterea fragilității betonului odată cu creșterea rezistenței sale este considerată prin intermediul factorului de reducere $\eta_{fc}$ definit în fib Model Code 2010, după cum urmează:

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

unde:

k_c este factorul global de reducere a rezistenței la compresiune

k_c2 este factorul de reducere datorat prezenței fisurării transversale

f_c este rezistența caracteristică pe cilindru a betonului (în MPa pentru definiția lui $\eta_{fc}$).

Există, de asemenea, o reducere a factorului k_c2 din cauza stabilității calculului. Această reducere nu influențează rezistența totală a elementelor. Presupunând valoarea f_cd ca rezistență majorată a betonului (valoare de calcul), valoarea k_c2 este redusă conform următoarelor reguli.

σ_c2r < 0.11f_cd                                                k_c2=1.0
0.11f_cd < σ_c2r < 0.37f_cd                          k_c2 este o interpolare liniară între 1.0 și valoarea preluată din
                                                              graficul prezentat în Fig. 2f
σ_c2r > 0.37f_cd                                            k_c2 este preluat direct din graficul din Fig. 2f

Armătură

Este considerată diagrama biliniară idealizată efort-deformație pentru barele de armătură nefasonate, definită de obicei de codurile de proiectare (Fig. 2d). Definirea acestei diagrame necesită cunoașterea doar a proprietăților de bază ale armăturii în faza de proiectare (rezistență și clasă de ductilitate). Poate fi definită și o relație efort-deformație definită de utilizator.

Participarea betonului întins este luată în considerare prin modificarea relației de intrare efort-deformație a barei de armătură nefasonate, pentru a surprinde rigiditatea medie a barelor înglobate în beton (ε_m).

Modelul de aderență

Alunecarea de aderență dintre armătură și beton este introdusă în modelul cu elemente finite prin considerarea relației constitutive simplificate rigid-perfect plastice prezentate în Fig. 2f, unde f_bd reprezintă valoarea de calcul (valoarea majorată) a tensiunii de aderență ultime specificată de codul de proiectare pentru condițiile specifice de aderență.

Acesta este un model simplificat, având ca unic scop verificarea prescripțiilor de aderență conform codurilor de proiectare (adică ancorarea armăturii). Reducerea lungimii de ancoraj atunci când se utilizează cârlige, bucle și forme similare de bare poate fi luată în considerare prin definirea unei anumite capacități la capătul armăturii, așa cum va fi descris în continuare. 

Fluxul de lucru și obiective

Scopul instrumentelor de proiectare a armăturii în CSFM este de a ajuta proiectanții să determine eficient poziția și cantitatea necesară de bare de armătură. Următoarele instrumente sunt disponibile pentru a ajuta / ghida utilizatorul în acest proces: calculul liniar și optimizarea topologică.

Instrumentele de proiectare a armăturii iau în considerare modele constitutive mai simplificate decât modelele utilizate pentru verificarea finală a structurii. Prin urmare, definirea armăturii în această etapă trebuie considerată o pre-proiectare care va fi confirmată/rafinată în etapa de verificare finală. Utilizarea diferitelor instrumente de proiectare a armăturii va fi ilustrată pe modelul prezentat în Fig. 3, care constă dintr-un capăt al unei grinzi simplu rezemate cu înălțime variabilă, supusă unei încărcări uniform distribuite.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model utilizat pentru a ilustra utilizarea instrumentelor de proiectare a armăturii.}}}$$

Analiza liniară

Analiza liniară ia în considerare proprietăți de material liniar elastice și neglijează armătura din zona de beton. Prin urmare, este un calcul foarte rapid care oferă o primă imagine asupra pozițiilor zonelor de întindere și compresiune. Un exemplu al unui astfel de calcul este prezentat în Fig. 4.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Rezultatele instrumentului de analiză liniară pentru definirea dispunerii armăturii}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(roșu: zone comprimate, albastru: zone întinse).}}}$$

Optimizarea topologică

Optimizarea topologică este o metodă care urmărește găsirea distribuției optime a materialului într-un volum dat, pentru o anumită configurație de încărcare. Optimizarea topologică implementată în Idea StatiCa Detail utilizează un model liniar cu elemente finite. Fiecare element finit poate avea o densitate relativă între 0 și 100 %, reprezentând cantitatea relativă de material utilizat. Aceste densități ale elementelor sunt parametrii de optimizare în problema de optimizare. Distribuția de material rezultată este considerată optimă pentru setul dat de încărcări dacă minimizează energia totală de deformație a sistemului. Prin definiție, distribuția optimă este, de asemenea, geometria care are cea mai mare rigiditate posibilă pentru încărcările date.

Procesul iterativ de optimizare începe cu o distribuție de densitate omogenă. Calculul este efectuat pentru mai multe fracțiuni de volum total (20%, 40%, 60% și 80%), ceea ce permite utilizatorului să selecteze cel mai practic rezultat. Forma rezultată constă din grinzi cu zăbrele, cu bare comprimate și întinse, și reprezintă forma optimă pentru cazurile de încărcare date (Fig. 5).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Rezultatele instrumentului de proiectare prin optimizare topologică cu volum efectiv de 20\% și 40\%  }}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(roșu: zone comprimate, albastru: zone întinse).}}}$$

CSFM ia în considerare câmpuri de tensiuni continue în beton (elemente finite 2D), completate de elemente discrete de tip „bară" care reprezintă armătura (elemente finite 1D). Prin urmare, armătura nu este înglobată difuz în elementele finite 2D de beton, ci este modelată explicit și conectată la acestea. În modelul de calcul se consideră o stare plană de tensiuni.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Vizualizarea modelului de calcul al unui element structural (grindă decupată) în Idea StatiCa Detail.}}}$$

Pot fi modelați atât pereți și grinzi întregi, cât și detalii (părți) ale grinzilor (zonă de discontinuitate izolată, denumită și capăt decupat). În cazul pereților și grinzilor întregi, reazemele trebuie definite astfel încât să rezulte o structură (extern) izostatică (static determinată) sau hiperstatică (static nedeterminată). Transferul încărcării la capetele decupate ale grinzilor este introdus prin intermediul unei zone speciale de transfer Saint-Venant, care asigură o distribuție realistă a tensiunilor în zona de detaliu analizată.

Pentru a modela majoritatea situațiilor care apar în timpul procesului de construcție, în CSFM sunt disponibile numeroase tipuri de reazeme (Fig. 7) și componente utilizate pentru transmiterea încărcărilor (Fig. 8).

Reazeme

Reazemul punctual poate fi modelat în mai multe moduri pentru a asigura că tensiunile nu se localizează într-un singur punct, ci sunt distribuite pe o suprafață mai mare. Prima opțiune este un reazem punctual distribuit (Fig. 7a), care distribuie uniform încărcarea pe marginea elementului, pe lățimea specificată.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Diverse tipuri de reazeme:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) punctual distribuit; (b) placă de reazem; (c) reazem liniar; (d) reazem tip patch; (e) suspendat.}}}$$

Reazemul tip patch (Fig. 7d), pe de altă parte, poate fi plasat doar în interiorul unui volum de beton cu o rază efectivă definită. Acesta este apoi conectat prin elemente rigide la nodurile plasei de armătură din interiorul acestei raze. Prin urmare, este necesar să se definească o carcasă de armătură în jurul reazemului tip patch.

Pentru o modelare mai precisă a unor scenarii reale, există alte două opțiuni pentru reazemul punctual. În primul rând, există reazemul punctual cu placă de reazem de lățime și grosime definite (Fig. 7b). Materialul plăcii de reazem poate fi specificat, iar întreaga placă de reazem este discretizată independent. În al doilea rând, este disponibil un reazem suspendat (Fig. 7e), care poate fi utilizat pentru modelarea ancorelor de ridicare sau a dornurilor de ridicare.

Reazemul liniar (Fig. 7c) poate fi definit pe o margine (prin specificarea lungimii sale) sau în interiorul unui element (printr-o polilinie). De asemenea, este posibil să se specifice rigiditatea și/sau comportamentul neliniar al acestuia (reazem la compresiune/întindere sau doar la compresiune).

• Citiți descrieri detaliate în Types of supports in IDEA StatiCa Detail

Componente de transmitere a încărcărilor

Introducerea încărcărilor în structură poate fi, de asemenea, modelată în mai multe moduri. Pentru încărcările punctuale, se poate utiliza o placă de reazem (Fig. 8a), similar reazemului punctual, distribuind încărcarea concentrată pe o suprafață mai mare datorită unei plăci de oțel cu lățime și grosime definite. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Diverse tipuri de componente de transmitere a încărcărilor:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) placă de reazem; (b) încărcare tip patch; (c) suspendată; (d) suprafață parțial încărcată.}}}$$

Încărcarea punctuală poate fi aplicată fie direct pe suprafața structurii cu o rază de acțiune definită (încărcarea este aplicată elementelor din beton), fie printr-un dispozitiv special de transmitere numit încărcare tip patch (Fig. 8b și Fig. 9). Încărcarea tip patch permite transmiterea încărcării direct la armătura definită, situată în interiorul zonei razei efective. Pentru a asigura funcționarea corectă a încărcării tip patch, este necesar să se definească (în proprietățile armăturii) un grup de bare de armătură care vor fi interconectate cu încărcarea. Atunci când armătura interconectată nu este definită, mecanismul de transfer al încărcării este același ca pentru încărcarea punctuală plasată pe suprafața elementului, iar încărcarea este transferată prin constrângeri către elementele din beton, nu direct către armătură. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Încărcare tip patch: (a) aplicarea încărcării; (b) încărcare transferată prin bare de armătură (este definit un grup de bare pentru transferul încărcării);}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) încărcare transferată prin beton (nu este definit un grup de bare pentru transferul încărcării).}}}$$

Ancorele de ridicare sau dornurile de ridicare pot fi modelate printr-o încărcare suspendată (Fig. 8c). Utilizatorul poate folosi o suprafață parțial încărcată (Fig. 8d), care permite creșterea capacității portante a betonului la compresiune conform Eurocode (nu este posibilă utilizarea acestui tip de componentă de transmitere a încărcării atunci când este setat ACI). Structura poate fi, de asemenea, încărcată cu încărcări liniare pe margini, printr-o polilinie generală sau prin încărcări de suprafață. Aplicația Detail este capabilă să considere automat greutatea proprie în analiză.

În multe cazuri, este necesar să modelăm doar un anumit detaliu (o parte) al unui element structural, cum ar fi reazemul unei grinzi, o deschidere în mijlocul grinzii etc. Această abordare poate conduce la configurații de reazeme care sunt instabile, dar admisibile în IDEA StatiCa Detail (inclusiv cazul fără reazeme). Cu toate acestea, în astfel de cazuri, este de asemenea necesar să se modeleze secțiunea care reprezintă legătura cu zona B adiacentă, incluzând eforturile interne la această secțiune care satisfac echilibrul. În anumite cazuri (de exemplu, la modelarea reazemului unei grinzi), aceste eforturi interne pot fi determinate automat de program.

Între zona B și zona de discontinuitate analizată, se creează automat o zonă de transfer Saint-Venant pentru a asigura o distribuție realistă a tensiunilor în zona analizată. Lățimea zonei de transfer este determinată ca jumătate din înălțimea secțiunii. Deoarece singurul scop al zonei Saint-Venant este de a obține o distribuție corectă a tensiunilor în restul modelului, rezultatele din această zonă nu sunt afișate în verificare și nu sunt luate în considerare criterii de oprire aici.

Marginea zonei Saint-Venant care reprezintă capătul decupat al grinzii este modelată ca fiind rigidă, adică se poate roti, dar trebuie să rămână plană. Acest lucru se realizează prin conectarea tuturor nodurilor FEM ale marginii la un nod separat, situat în centrul de inerție al secțiunii, folosind un element de corp rigid (RBE2). Eforturile interne ale elementului pot fi apoi aplicate la acest nod, așa cum se arată în Fig. 10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Transferul eforturilor interne la un capăt decupat.}}}$$

Reducerea secțiunii transversale este efectuată automat pentru structurile definite ca îmbinare de tip grindă sau cadru (definită prin axa x și o secțiune transversală). Această modificare se aplică automat secțiunilor transversale cu tălpi foarte late (Fig. 11) și se bazează pe presupunerea că un câmp de tensiuni de compresiune s-ar extinde din perete la un unghi de 45°, astfel încât lățimea redusă menționată anterior ar reprezenta lățimea maximă capabilă să transfere încărcările

Rețineți că metoda de determinare a lățimii efective a tălpii implementată în CSFM diferă de cea prevăzută în 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015) sau în 9.2.4.4 ACI 318-19. Pe lângă geometrie, lățimea efectivă a tălpii conform Eurocode este influențată în mod explicit de lungimile deschiderilor și de condițiile de rezemare ale structurii.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}$$

În cazul vutelor situate în plan orizontal (Fig. 12), fiecare vută este împărțită în cinci secțiuni de-a lungul lungimii sale. Fiecare dintre aceste secțiuni este apoi modelată ca un perete cu grosime constantă, egală cu grosimea reală din mijlocul secțiunii respective.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}$$

Modelul de analiză cu elemente finite neliniar (inelastic) este creat cu ajutorul mai multor tipuri de elemente finite utilizate pentru a modela betonul, armătura și aderența dintre acestea. Elementele de beton și de armătură sunt discretizate mai întâi independent și apoi conectate între ele folosind constrângeri multi-punct (elemente MPC). Acest lucru permite armăturii să ocupe o poziție relativă arbitrară față de beton. Dacă urmează să fie calculată verificarea lungimii de ancoraj, între armătură și elementele MPC se introduc elemente de aderență și elemente de tip arc pentru capătul de ancoraj.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Beton

Betonul este modelat folosind elemente de tip placă patrulatere și triunghiulare, CQUAD4 și CTRIA3. Acestea pot fi definite prin patru, respectiv trei noduri. Se presupune că în aceste elemente există doar stare plană de tensiune, adică tensiunile sau deformațiile pe direcția z nu sunt luate în considerare.

Fiecare element are patru sau trei puncte de integrare, plasate la aproximativ 1/4 din dimensiunea sa. La fiecare punct de integrare din fiecare element, se calculează direcțiile deformațiilor principale α₁, α₂. Pe fiecare dintre aceste direcții, tensiunile principale σ_c1, σ_c2 și rigiditățile E₁, E₂ sunt evaluate conform diagramei efort-deformație a betonului specificate, conform Fig. 2. Trebuie remarcat faptul că efectul rezistenței reduse a betonului comprimat cuplează comportamentul direcției principale de compresiune cu starea reală a celeilalte direcții principale.

Armătură

Barele de armătură sunt modelate prin elemente 1D de tip „bară” (CROD) cu două noduri, care au doar rigiditate axială. Aceste elemente sunt conectate la elemente speciale de „aderență”, dezvoltate pentru a modela comportamentul de alunecare dintre o bară de armătură și betonul înconjurător. Aceste elemente de aderență sunt apoi conectate prin elemente MPC (constrângere multi-punct) la plasa care reprezintă betonul. Această abordare permite discretizarea independentă a armăturii și a betonului, în timp ce interconectarea lor este asigurată ulterior.

Elemente de aderență

Lungimea de ancoraj este verificată prin implementarea tensiunilor tangențiale de aderență dintre elementele de beton (2D) și elementele de bară de armătură (1D) în modelul cu elemente finite. În acest scop, a fost dezvoltat un tip de element finit de „aderență”.

Definiția elementului de aderență este similară cu cea a unui element de tip placă (CQUAD4). Este de asemenea definit prin 4 noduri, dar spre deosebire de o placă, are doar o rigiditate nenulă la forfecare între cele două noduri superioare și cele două noduri inferioare. În model, nodurile superioare sunt conectate la elementele care reprezintă armătura, iar nodurile inferioare la cele care reprezintă betonul. Comportamentul acestui element este descris de tensiunea de aderență, τ_b, ca funcție biliniară a alunecării dintre nodurile superioare și inferioare, δ_u, vezi Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

Modulul de rigiditate elastică al relației aderență-alunecare, G_b, este definit după cum urmează:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

unde:

k_g            coeficient care depinde de suprafața barei de armătură (implicit k_g = 0,2)

E_c            modulul de elasticitate al betonului (considerat E_cm în cazul EN)

Ø             diametrul barei de armătură

Valorile de calcul (valorile factorizate) ale tensiunii tangențiale de aderență ultime, f_bd, prevăzute în codurile de proiectare selectate respective EN 1992-1-1 sau ACI 318-19 sunt utilizate pentru verificarea lungimii de ancoraj. Ecruisarea ramurii plastice este calculată implicit ca G_b/10⁵.

Arc de ancoraj

Prevederea capetelor de ancoraj ale barelor de armătură (adică îndoiri, cârlige, bucle...), care îndeplinește prescripțiile codurilor de proiectare, permite reducerea lungimii de ancoraj de bază a barelor (l_b,net) cu un anumit factor β (denumit în continuare „coeficient de ancoraj”). Valoarea de calcul a lungimii de ancoraj (l_b) este apoi calculată după cum urmează:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

Reducerea intenționată a l_b,net este echivalentă cu activarea barei de armătură la capătul său la un procent din capacitatea sa maximă dat de coeficientul de reducere a ancorajului, așa cum se arată în Fig. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

Reducerea lungimii de ancoraj este inclusă în modelul cu elemente finite prin intermediul unui element de tip arc la capătul barei (Fig. 15), care este definit prin modelul constitutiv prezentat în Fig. 15b. Forța maximă transmisă de acest arc (F_au) este:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

unde:

β             coeficientul de ancoraj în funcție de tipul de ancoraj,

A_s            secțiunea transversală a barei de armătură,

f_yd           valoarea de calcul (valoarea factorizată) a limitei de curgere a armăturii.

Elementele finite sunt implementate intern, iar modelul de analiză este generat automat, fără a fi necesară o interacțiune avansată din partea utilizatorului. O parte importantă a acestui proces este discretizarea cu plasă de elemente finite.

Beton

Toate elementele din beton sunt discretizate împreună. Dimensiunea recomandată a elementului este calculată automat de aplicație pe baza dimensiunii și formei structurii, ținând cont de diametrul celei mai mari bare de armătură. În plus, dimensiunea recomandată a elementului garantează generarea a minimum 4 elemente în părțile subțiri ale structurii, cum ar fi stâlpii zvelți sau plăcile subțiri, pentru a asigura rezultate fiabile în aceste zone. Numărul maxim de elemente din beton este limitat la 5000, însă această valoare este suficientă pentru a asigura dimensiunea recomandată a elementului pentru majoritatea structurilor. Proiectanții pot selecta oricând o dimensiune a elementului din beton definită de utilizator, modificând multiplicatorul dimensiunii implicite a plasei.

Armătură

Armătura este împărțită în elemente cu o lungime aproximativ egală cu dimensiunea elementului de beton. Odată generate plasele de armătură și de beton, acestea sunt interconectate prin elemente de aderență, așa cum se arată în Fig. 13.

Plăci de reazem

Părțile structurale auxiliare, precum plăcile de reazem, sunt discretizate independent. Dimensiunea acestor elemente este calculată ca 2/3 din dimensiunea elementelor de beton din zona de îmbinare. Nodurile plasei plăcii de reazem sunt apoi conectate la nodurile de margine ale plasei de beton folosind elemente de constrângere prin interpolare (RBE3).

Încărcări și reazeme

Încărcările de tip patch și reazemele de tip patch sunt conectate doar la armătură, așa cum se arată în Fig. 16. Prin urmare, este necesar să se definească armătura din jurul acestora. Conectarea la toate nodurile armăturii aflate în raza efectivă este asigurată de elemente RBE3 cu pondere egală.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}$$

Reazemele liniare și încărcările liniare sunt conectate la nodurile plasei de beton folosind elemente RBE3, pe baza lățimii specificate sau a razei efective. Ponderea conexiunilor este invers proporțională cu distanța față de reazem sau de impulsul de încărcare.

• Aflați mai multe despre interconectarea dintre încărcările individuale și plasa de elemente finite în Descrierea generală a impulsurilor de încărcare în aplicația Detail

Un algoritm standard Newton-Raphson (NR) complet este utilizat pentru a găsi soluția unei probleme neliniare de tip MEF. 

În general, algoritmul NR nu converge adesea atunci când întreaga încărcare este aplicată într-un singur pas. O abordare uzuală, care este utilizată și aici, este de a aplica încărcarea secvențial, în mai multe incremente, și de a folosi rezultatul incrementului de încărcare anterior pentru a începe soluția Newton a celui următor. În acest scop, a fost implementat un algoritm de control al încărcării peste metoda Newton-Raphson. În cazul în care iterațiile NR nu converg, incrementul de încărcare curent este redus la jumătate din valoarea sa, iar iterațiile NR sunt reluate.

Un al doilea scop al algoritmului de control al încărcării este de a găsi încărcarea critică, care corespunde anumitor „criterii de oprire” – în mod specific deformația maximă în beton, alunecarea maximă în elementele de aderență, deplasarea maximă în elementele de ancoraj și deformația maximă în barele de armătură. Încărcarea critică este determinată folosind metoda bisecției. În cazul în care criteriul de oprire este depășit oriunde în model, rezultatele ultimului increment de încărcare sunt eliminate, iar un nou increment, de jumătate din mărimea celui anterior, este calculat. Acest proces este repetat până când încărcarea critică este găsită cu o anumită toleranță de eroare.

Pentru beton, criteriul de oprire a fost stabilit la o deformație de 5% la compresiune (adică, aproximativ un ordin de mărime mai mare decât deformația reală de cedare a betonului) și 7% la întindere, la punctele de integrare ale elementelor de tip shell. La întindere, valoarea a fost stabilită astfel încât să permită atingerea mai întâi a deformației limită în armătură, care este de obicei în jur de 5% fără a lua în considerare participarea betonului întins. La compresiune, valoarea a fost aleasă dintre mai multe alternative, ca fiind suficient de mare pentru ca efectele strivirii să fie vizibile în rezultate, dar suficient de mică pentru a nu cauza prea multe probleme legate de stabilitatea numerică.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}$$

Pentru armătură, criteriul de oprire este definit în termeni de tensiuni. Deoarece sunt modelate tensiunile la fisură, criteriul la întindere corespunde rezistenței la întindere a armăturii, ținând cont de coeficientul de siguranță. Aceeași valoare este utilizată pentru criteriul la compresiune.

Criteriul de oprire în elementele de aderență și în resoartele de ancoraj este α·δu_max, unde δu_max este alunecarea maximă utilizată în verificările conform codului, iar α = 10.

Rezultatele sunt prezentate independent pentru elementele din beton și cele din armătură. Valorile tensiunii și deformației în beton sunt calculate la punctele de integrare ale elementelor de tip shell. Totuși, deoarece nu este practic să se prezinte datele în acest mod, rezultatele sunt prezentate în mod implicit în noduri, precum valoarea maximă a tensiunii de compresiune din punctele de integrare Gauss adiacente în elementele conectate (Fig. 18). Trebuie menționat că această reprezentare poate subestima local rezultatele la marginile comprimate ale elementelor în cazul în care dimensiunea elementului finit este similară cu înălțimea zonei comprimate.

Fig. 18 - Element finit de beton cu puncte de integrare și noduri: prezentarea rezultatelor pentru beton în noduri și în elemente finite.

Rezultatele pentru elementele finite de armătură sunt fie constante pentru fiecare element (o valoare – de ex., pentru tensiunile din oțel), fie liniare (două valori – pentru rezultatele de aderență). Pentru elementele auxiliare, precum elementele plăcilor de reazem, sunt prezentate doar deformațiile.

Evaluarea structurii utilizând CSFM se realizează prin două analize diferite: una pentru combinațiile de încărcare la starea limită de serviciu și una pentru starea limită ultimă. Analiza la starea limită de serviciu presupune că răspunsul la starea limită ultimă a elementului este satisfăcător și că nu se vor atinge condițiile de curgere ale materialului la nivelurile de încărcare corespunzătoare stării limită de serviciu. Această abordare permite utilizarea unor modele constitutive simplificate (cu o ramură liniară a diagramei efort-deformație a betonului) pentru analiza la starea limită de serviciu, în vederea îmbunătățirii stabilității numerice și a vitezei de calcul. Prin urmare, se recomandă utilizarea fluxului de lucru prezentat mai jos, în care analiza la starea limită ultimă este efectuată ca prim pas.

Analiza la starea limită ultimă

Diferitele verificări impuse de codurile de proiectare specifice sunt evaluate pe baza rezultatelor directe furnizate de model. Verificările SLU sunt efectuate pentru rezistența betonului, rezistența armăturii și ancoraj (tensiuni de forfecare de aderență).

Pentru a asigura o proiectare eficientă a unui element structural, se recomandă insistent efectuarea unei analize preliminare care să ia în considerare următorii pași:

• Alegeți o selecție a celor mai critice combinații de încărcare.
• Calculați doar combinațiile de încărcare la starea limită ultimă (SLU).
• Utilizați o plasă grosieră (prin creșterea multiplicatorului dimensiunii implicite a plasei din Setup (Fig. 19)).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Multiplicatorul plasei.}}}$$

Un astfel de model se va calcula foarte rapid, permițând proiectanților să revizuiască eficient detalierea elementului structural și să reia analiza până când toate cerințele de verificare sunt îndeplinite pentru cele mai critice combinații de încărcare. Odată ce toate cerințele de verificare ale acestei analize preliminare sunt îndeplinite, se recomandă includerea tuturor combinațiilor de încărcare la starea limită ultimă și utilizarea unei plase fine (dimensiunea de plasă recomandată de program). Utilizatorul poate modifica dimensiunea plasei prin intermediul multiplicatorului, care poate avea valori cuprinse între 0,5 și 5 (Fig. 19).

Rezultatele de bază și verificările (tensiune, deformație și grad de utilizare (adică valoarea calculată/valoarea limită din cod), precum și direcția tensiunilor principale în cazul elementelor din beton) sunt afișate prin intermediul unor diagrame diferite, în care compresiunea este prezentată în general cu roșu, iar întinderea cu albastru. Valorile minime și maxime globale pentru întreaga structură pot fi evidențiate, la fel ca și valorile minime și maxime pentru fiecare parte definită de utilizator. Într-o filă separată a programului, pot fi afișate rezultate avansate precum valorile tensorilor, deformațiile structurii și rapoartele de armare (efectiv și geometric) utilizate pentru calculul participării betonului întins al barelor de armătură. În plus, pot fi prezentate încărcările și reacțiunile pentru combinațiile sau cazurile de încărcare selectate.

Analiza la starea limită de serviciu

Evaluările SLS sunt efectuate pentru limitarea tensiunilor, deschiderea fisurilor și limitele de săgeată. Tensiunile sunt verificate în elementele din beton și armătură conform codului aplicabil, într-un mod similar celui specificat pentru SLU.

Analiza la starea limită de serviciu conține anumite simplificări ale modelelor constitutive utilizate pentru analiza la starea limită ultimă. Se presupune o aderență perfectă, adică lungimea de ancoraj nu este verificată la starea limită de serviciu. În plus, ramura plastică a curbei efort-deformație a betonului comprimat este neglijată, în timp ce ramura elastică este liniară și infinită. Aceste simplificări îmbunătățesc stabilitatea numerică și viteza de calcul și nu reduc generalitatea soluției atât timp cât limitele de tensiune rezultante ale materialului la starea limită de serviciu sunt clar sub punctele lor de curgere (conform cerințelor standardelor). Prin urmare, modelele simplificate utilizate pentru starea limită de serviciu sunt valabile doar dacă toate cerințele de verificare sunt îndeplinite.

Calculul deschiderii fisurilor și participarea betonului întins

Calculul deschiderii fisurilor

Există două moduri de calcul al deschiderii fisurilor - fisurare stabilizată și nestabilizată. În funcție de raportul geometric de armare din fiecare parte a structurii, se decide ce tip de model de calcul al fisurilor va fi utilizat (TCM pentru fisurarea stabilizată și POM pentru modelul de fisurare nestabilizată).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Calculul deschiderii fisurilor: (a) cinematica fisurii considerată; (b) proiecția cinematicii fisurii pe direcțiile}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{principale ale barei de armătură; (c) deschiderea fisurii pe direcția barei de armătură pentru fisurarea stabilizată; (d) cazuri cu}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{fisurare locală nestabilizată indiferent de cantitatea de armătură; (e) deschiderea fisurii pe direcția barei de armătură}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{pentru fisurarea nestabilizată.}}}$

În timp ce CSFM oferă un rezultat direct pentru majoritatea verificărilor (de exemplu, capacitatea elementului, săgețile...), rezultatele privind deschiderea fisurilor sunt calculate pe baza rezultatelor deformației armăturii furnizate direct de analiza cu elemente finite, conform metodologiei descrise în Fig. 20. Se consideră o cinematică a fisurii fără alunecare (deschidere pură a fisurii) (Fig. 20a), ceea ce este consistent cu ipotezele principale ale modelului. Direcțiile principale ale tensiunilor și deformațiilor definesc înclinarea fisurilor (θ_r = θ_s= θ_e). Conform (Fig. 20b), deschiderea fisurii (w) poate fi proiectată pe direcția barei de armătură (w_b), rezultând:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

unde θ_b este înclinarea barei.

Vă rugăm să rețineți că programul afișează valorile θ_r și θ_b < π/2. Aceasta înseamnă că ecuația precedentă funcționează pentru cazurile în care armătura și fisura trec prin cadrane diferite ale sistemului de coordonate cartezian, așa cum se arată în Fig. 20, unde armătura trece prin cadranele I și III, iar fisura prin cadranele II și IV. Pentru cazurile în care armătura și fisura trec prin aceleași cadrane, ecuația trebuie modificată după cum urmează:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

Componenta w_b este calculată consecvent pe baza modelelor de participare a betonului întins prin integrarea deformațiilor armăturii. Pentru zonele cu tipare de fisurare complet dezvoltate, deformațiile medii calculate (e_m) de-a lungul barelor de armătură sunt integrate direct de-a lungul distanței dintre fisuri (s_r), conform indicației din (Fig. 20c). Deși această abordare de calcul al direcțiilor fisurilor nu corespunde poziției reale a fisurilor, ea oferă totuși valori reprezentative care conduc la rezultate ale deschiderii fisurilor ce pot fi comparate cu valorile de deschidere a fisurilor impuse de cod la poziția barei de armătură.

Situații speciale sunt observate la colțurile concave ale structurii calculate. În acest caz, colțul predefinește poziția unei singure fisuri care se comportă în mod nestabilizat înainte ca fisuri adiacente suplimentare să se dezvolte. Aceste fisuri suplimentare se dezvoltă în general după depășirea domeniului de exploatare (Mata-Falcón 2015), ceea ce justifică calcularea deschiderii fisurilor în această zonă ca și cum ar fi nestabilizate (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definirea zonei la colțurile concave în care deschiderea fisurii este calculată ca și cum ar fi nestabilizată.}}}$$

Participarea betonului întins

Implementarea participării betonului întins face distincția între cazurile de tipare de fisurare stabilizate și nestabilizate. În ambele cazuri, betonul este considerat complet fisurat înainte de încărcare, în mod implicit.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Modelul de participare a betonului întins: (a) element de tip tirant de întindere pentru fisurarea stabilizată cu distribuția forfecării de aderență,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tensiunilor din oțel și beton, și deformațiilor din oțel între fisuri, luând în considerare distanța medie dintre fisuri); (b) ipoteza de smulgere}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{pentru fisurarea nestabilizată cu distribuția forfecării de aderență și tensiunilor și deformațiilor din oțel în jurul fisurii; (c) comportamentul}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{rezultat al tirantului de întindere în termeni de tensiuni ale armăturii la fisuri și deformații medii pentru oțelul european B500B;}}}$ undefined

Fisurare stabilizată

În tiparele de fisurare complet dezvoltate, participarea betonului întins este introdusă utilizând Modelul Tirantului de Întindere (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – care s-a dovedit că oferă predicții excelente ale răspunsului în ciuda simplității sale (Burns 2012). TCM presupune o relație în trepte, rigid-perfect plastică între tensiunea de forfecare de aderență și alunecare, cu τ_b = τ_b0 =2 f_ctm pentru σ_s ≤ f_y și τ_b =τ_b1 = f_ctm pentru σ_s > f_y. Tratând fiecare bară de armătură ca un tirant de întindere ­– Fig. 22b și Fig. 22a – distribuția forfecării de aderență, a tensiunilor din oțel și beton și, prin urmare, distribuția deformațiilor între două fisuri poate fi determinată pentru orice valoare dată a tensiunilor (sau deformațiilor) maxime din oțel la fisuri.

Pentru s_r = s_r0, o nouă fisură se poate forma sau nu, deoarece la centrul dintre două fisuri σ_c1 = f_ct. În consecință, distanța dintre fisuri poate varia cu un factor de doi, adică s_r = λs_r0, cu l = 0.5…1.0. Presupunând o anumită valoare pentru λ, deformația medie a tirantului (ε_m) poate fi exprimată ca funcție de tensiunile maxime din armătură (adică tensiunile la fisuri, σ_sr). Pentru diagrama biliniară idealizată efort-deformație pentru barele de armătură neaderente considerată implicit în CSFM, se obțin următoarele expresii analitice sub formă închisă (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{pentru}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{pentru}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{pentru}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

unde:
E_sh           modulul de ecruisare al oțelului E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            modulul de elasticitate al armăturii,

Ø            diametrul barei de armătură,

s_r                distanța dintre fisuri,

σ_sr           tensiunile din armătură la fisuri,

σ_s            tensiunile efective din armătură,

f_y                limita de curgere a armăturii.

Implementarea IDEA StatiCa Detail a CSFM ia în considerare implicit distanța medie dintre fisuri atunci când efectuează analiza câmpului de tensiuni asistată de calculator. Distanța medie dintre fisuri este considerată a fi 2/3 din distanța maximă dintre fisuri (λ = 0.67), ceea ce urmează recomandările făcute pe baza testelor de încovoiere și întindere (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Trebuie remarcat faptul că, pentru calculul deschiderii fisurilor, se consideră o distanță maximă între fisuri (λ = 1.0) pentru a obține valori conservative.

Aplicarea TCM depinde de raportul de armare, deci alocarea unei arii de beton adecvate care acționează în întindere între fisuri pentru fiecare bară de armătură este crucială. A fost dezvoltată o procedură numerică automată pentru a defini raportul de armare efectiv corespunzător (ρ_eff = A_s/A_c,eff) pentru orice configurație, inclusiv armătură înclinată (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Aria efectivă de beton întins pentru fisurarea stabilizată: (a) aria maximă de beton care poate fi activată;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) acoperirea cu beton și condiția de simetrie globală; (c) aria efectivă rezultantă.}}}$

Fisurare nestabilizată

Fisurile existente în zonele cu rapoarte geometrice de armare mai mici decât ρ_cr, adică cantitatea minimă de armătură pentru care armătura este capabilă să preia încărcarea de fisurare fără a curge, sunt generate fie de acțiuni non-mecanice (de exemplu, contracția), fie de propagarea fisurilor controlată de altă armătură. Valoarea acestei armături minime se obține astfel:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

unde:

f_y              limita de curgere a armăturii,

f_ct             rezistența la întindere a betonului,

n              raportul modular, n = E_s / E_c .

Pentru betonul convențional și oțelul de armătură, ρ_cr este de aproximativ 0,6%.

Pentru etrieri cu rapoarte de armare sub ρ_cr, fisurarea este considerată nestabilizată, iar participarea betonului întins este implementată prin intermediul Modelului de Smulgere (POM) descris în Fig. 22b. Acest model analizează comportamentul unei fisuri unice, considerând absența interacțiunii mecanice între fisuri separate, neglijând deformabilitatea betonului întins și presupunând aceeași relație în trepte, rigid-perfect plastică, între tensiunea de forfecare de aderență și alunecare, utilizată de TCM. Aceasta permite obținerea distribuției deformației armăturii (ε_s) în vecinătatea fisurii pentru orice tensiune maximă din oțel la fisură (σ_sr) direct din echilibru. Având în vedere faptul că distanța dintre fisuri este necunoscută pentru un tipar de fisurare nedezvoltat complet, deformația medie (ε_m) este calculată pentru orice nivel de încărcare pe distanța dintre punctele cu alunecare zero, atunci când bara de armătură atinge rezistența sa la întindere (f_t) la fisură (l_ε,avg în Fig. 22b), rezultând următoarele relații:

Modelele propuse permit calcularea comportamentului armăturii aderente, care este în final luat în considerare în analiză. Acest comportament (inclusiv participarea betonului întins) pentru cel mai comun oțel european de armătură (B500B, cu f_t / f_y = 1,08 și ε_u = 5%) este ilustrat în Fig. 22c-d.

Beton - SLU

Modelul de beton implementat în CSFM se bazează pe legile constitutive de compresiune uniaxială prescrise de EN 1992-1-1 pentru proiectarea secțiunilor transversale, care depind doar de rezistența la compresiune. Diagrama parabolă-dreptunghi specificată în EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 24a) este utilizată implicit în CSFM, dar proiectanții pot alege și o relație elastic-perfect plastică mai simplificată, conform EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 24b). Rezistența la întindere este neglijată, ca și în proiectarea clasică a betonului armat.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}$$

Implementarea CSFM în IDEA StatiCa Detail nu ia în considerare un criteriu explicit de cedare în termeni de deformații pentru betonul comprimat (adică, după atingerea tensiunii de vârf, se consideră o ramură plastică cu ε_cu2 (ε_cu3) cu valoarea de 5%, în timp ce EN 1992-1-1 presupune o deformație ultimă mai mică de 0,35%). Această simplificare nu permite verificarea capacității de deformare a structurilor care cedează prin compresiune. Cu toate acestea, capacitatea lor ultimă f_cd conform EN 1992-1-1 3.1.3 este prezisă corect atunci când, pe lângă factorul de beton fisurat (k_c2 definit în (Fig. 25)), creșterea fragilității betonului odată cu creșterea rezistenței sale este luată în considerare prin intermediul factorului de reducere $\eta_{fc}$ definit în Model Code 2010 al fib, după cum urmează:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

unde:

α_cc este coeficientul care ține cont de efectele pe termen lung asupra rezistenței la compresiune și de efectele nefavorabile rezultate din modul de aplicare a încărcării. Acesta este conform EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). Valoarea implicită este 1,0.

k_c este factorul global de reducere a rezistenței la compresiune

k_c2 este factorul de reducere datorat prezenței fisurării transversale

f_ck este rezistența caracteristică a betonului la compresiune pe cilindru (în MPa, pentru definirea lui $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}$$

Beton - SLS

Analiza la stare limită de serviciu conține anumite simplificări ale modelelor constitutive utilizate pentru analiza la starea limită ultimă. Ramura plastică a curbei efort-deformație a betonului comprimat este neglijată, în timp ce ramura elastică este liniară și infinită. Legea rezistenței reduse a betonului comprimat nu este luată în considerare. Aceste simplificări îmbunătățesc stabilitatea numerică și viteza de calcul și nu reduc generalitatea soluției, atâta timp cât limitele rezultante ale tensiunii materialului la starea limită de serviciu sunt clar sub punctele lor de curgere (așa cum este cerut de Eurocod). Prin urmare, modelele simplificate utilizate pentru starea limită de serviciu sunt valabile doar dacă toate cerințele de verificare sunt îndeplinite.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Efecte pe termen lung

În analiza la starea limită de serviciu, efectele pe termen lung ale betonului sunt luate în considerare utilizând un coeficient de fluaj infinit efectiv ($\varphi$, luat implicit cu valoarea 2,5) care modifică modulul de elasticitate secant al betonului (E_cm) conform EN 1992-1-1, secțiunea 3.1.4 (3) resp. 7.4.3 (5), după cum urmează:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

Când se iau în considerare efectele pe termen lung, se calculează mai întâi un pas de încărcare cu toate încărcările permanente, luând în considerare coeficientul de fluaj (adică, utilizând modulul de elasticitate efectiv al betonului, E_c,eff), iar apoi încărcările suplimentare sunt calculate fără coeficientul de fluaj (adică, utilizând E_cm). În plus, pentru a efectua verificările pe termen scurt, se realizează un alt calcul în care toate încărcările sunt calculate fără coeficientul de fluaj. Ambele calcule pentru verificările pe termen lung și pe termen scurt sunt reprezentate în Fig. 26.

Factorii de fluaj sunt definiți de utilizator în proprietățile materialului și trebuie calculați conform EN 1992-1-1, Fig 3.1.

Armătură

Implicit, este luată în considerare diagrama biliniară idealizată efort-deformație pentru barele de armătură simple, definită în EN 1992-1-1, secțiunea 3.2.7 (Fig. 27). Definirea acestei diagrame necesită cunoașterea doar a proprietăților de bază ale armăturii în faza de proiectare (clasa de rezistență și de ductilitate). Ori de câte ori este cunoscută, poate fi luată în considerare relația efort-deformație reală a armăturii (laminată la cald, ecruisată la rece, călită și autorevenită, …). Diagrama efort-deformație a armăturii poate fi definită de utilizator, dar în acest caz este imposibil să se presupună participarea betonului întins (este imposibil să se calculeze deschiderea fisurii). Utilizarea diagramei efort-deformație cu o ramură superioară orizontală nu permite verificarea durabilității structurale. Prin urmare, este necesară verificarea manuală a cerințelor standard de ductilitate.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$

Participarea betonului întins (Fig. 28)  este luată în considerare automat prin modificarea relației de intrare efort-deformație a barei de armătură simple, pentru a surprinde rigiditatea medie a barelor înglobate în beton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil respectă codurile de proiectare moderne. Deoarece modelele de calcul utilizează doar proprietăți standard ale materialelor, formatul cu factori parțiali de siguranță prescris în codurile de proiectare poate fi aplicat fără nicio adaptare. În acest mod, încărcările introduse sunt majorate, iar proprietățile caracteristice ale materialelor sunt reduse folosind coeficienții de siguranță respectivi prescriși în codurile de proiectare, exact ca în analiza convențională a betonului. Valorile factorilor de siguranță ai materialelor prescrise în EN 1992-1-1 cap. 2.4.2.4 sunt setate implicit, dar utilizatorul poate modifica factorii de siguranță în Setările de cod și calcul (Fig. 29).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad Setarea  factorilor de siguranță ai materialelor în Idea StatiCa Detail.}}}$$

Factorii de siguranță ai încărcărilor trebuie definiți de utilizator în Reguli de combinare pentru fiecare combinație neliniară de cazuri de încărcare (Fig. 30). Pentru toate șabloanele implementate în Idea StatiCa Detail, factorii parțiali de siguranță sunt deja predefiniți.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Setarea  factorilor parțiali de încărcare în Idea StatiCa Detail.}}}$$

Prin utilizarea unor combinații definite de utilizator, adecvate, ale factorilor parțiali de siguranță, utilizatorii pot, de asemenea, efectua calcule cu CSFM utilizând metoda factorului de rezistență global (Navrátil, et al. 2017), dar această abordare este rareori folosită în practica de proiectare. Unele ghiduri recomandă utilizarea metodei factorului de rezistență global pentru analiza neliniară. Totuși, în analizele neliniare simplificate (cum este CSFM), care necesită doar acele proprietăți ale materialelor utilizate în calculele manuale convenționale, este totuși mai indicat să se utilizeze formatul cu factori parțiali de siguranță.

Diferitele verificări impuse de EN 1992-1-1 sunt evaluate pe baza rezultatelor directe furnizate de model. Verificările la SLU sunt efectuate pentru rezistența betonului, rezistența armăturii și ancorare (tensiuni tangențiale de aderență).

Rezistența betonului la compresiune este evaluată ca raportul dintre tensiunea principală de compresiune maximă σ_c = σ_c2 obținută din analiza cu elemente finite și valoarea limită σ_c,lim = f_cd. 

Rezistența armăturii este evaluată atât la întindere, cât și la compresiune, ca raportul dintre tensiunea din armătură la fisuri σ_sr și valoarea limită specificată σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{pentru diagrama biliniară cu ramura superioară înclinată}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{pentru diagrama biliniară cu ramura superioară orizontală}}$

unde:

f_yk        limita de curgere a armăturii conform EN 1992-1-1 Cl. 3.2.3,

k          raportul dintre rezistența la întindere f_tk și limita de curgere,
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             este coeficientul parțial de siguranță pentru armătură

Tensiunea tangențială de aderență este evaluată independent ca raportul dintre tensiunea de aderență τ_b calculată prin analiza cu elemente finite și rezistența ultimă de aderență f_bd, conform EN 1992-1-1 cap. 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

unde:

f_ctd      este valoarea de calcul a rezistenței la întindere a betonului conform EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (2). Datorită fragilității crescute a betonului de rezistență mai mare, f_ctk,0.05 este limitată la valoarea pentru C60/75 conform EN 1992-1-1 Cl. 8.4.2 (2)

η₁       este un coeficient legat de calitatea condițiilor de aderență și de poziția barei în timpul turnării betonului (Fig. 31).

η₁ = 1.0 atunci când sunt obținute condiții „bune” și

η₁ = 0.7 pentru toate celelalte cazuri și pentru bare în elemente structurale executate cu cofraje glisante, cu excepția cazului în care se poate demonstra existența unor condiții de aderență „bune”

η₂        este legat de diametrul barei:

            η₂ = 1.0 pentru Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 pentru Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figura 8.2 - Descrierea condițiilor de aderență.}}}$$

În IDEA StatiCa Detail, condițiile de aderență sunt luate în considerare conform Fig. 31 c) și d). Direcția de turnare a betonului poate fi setată în aplicație pentru fiecare element al proiectului, după cum urmează.

Aceste verificări sunt efectuate ținând cont de valorile limită corespunzătoare fiecărei părți a structurii (adică, în ciuda faptului că există o singură clasă atât pentru beton, cât și pentru materialul armăturii, diagramele finale efort-deformație vor diferi în fiecare parte a structurii datorită efectelor de participare a betonului întins și de rezistență redusă a betonului comprimat).

Există, de asemenea, opțiunea de a modela bare netede. Mai multe informații pot fi găsite aici: Bare netede în Detail

Forța totală F_tot și Forța limită F_lim

Forța totală F_tot este un rezultat al analizei cu elemente finite și poate fi definită în două moduri.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

unde A_s este aria secțiunii barei de armătură, iar σ_s este tensiunea din bară.

Sau ca sumă a forței de ancorare F_a și a forței de aderență F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

unde F_a este forța efectivă din arcul de ancorare, iar F_bond este forța de aderență care poate fi obținută prin integrarea tensiunii de aderență τ_b pe lungimea barei de armătură l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s este circumferința barei de armătură.

Forța limită F_lim este forța maximă din elementul barei de armătură, considerând rezistența ultimă a barei, precum și condițiile de ancorare (aderența dintre beton și armătură și cârlige, bucle de ancorare etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

unde C_s este circumferința barei de armătură, iar l este lungimea de la începutul barei de armătură până la punctul de interes.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definiția forței limită Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

unde F_lim,add este forța suplimentară calculată din mărimea unghiului dintre elementele vecine. F_lim,2 trebuie să fie întotdeauna mai mică decât F_u.

Tipurile de ancorare disponibile în CSFM includ o bară dreaptă (adică fără reducere la capătul de ancorare), îndoire, cârlig, buclă, bară transversală sudată, aderență perfectă și bară continuă. Toate aceste tipuri, împreună cu coeficienții de ancorare β corespunzători, sunt prezentate în Fig. 32 pentru armătura longitudinală și în Fig. 33 pentru etrieri. Valorile coeficienților de ancorare adoptați sunt în conformitate cu EN 1992-1-1 secțiunea 8.4.4 Tab. 8.2. Trebuie remarcat faptul că, în ciuda diferitelor opțiuni disponibile, CSFM distinge trei tipuri de capete de ancorare: (i) fără reducere a lungimii de ancoraj, (ii) o reducere de 30 % din lungimea de ancoraj în cazul unei ancorări normalizate și (iii) aderență perfectă.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Tipurile de ancorare disponibile și coeficienții de ancorare corespunzători pentru barele de armătură longitudinale în CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bară dreaptă; (b) îndoire; (c) cârlig; (d) buclă; (e) bară transversală sudată; (f) aderență perfectă; (g) bară continuă.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Tipurile de ancorare disponibile și coeficienții de ancorare corespunzători pentru etrieri.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Etrieri închiși: (a) cârlig; (b) îndoire; (c) suprapunere. Etrieri deschiși: (d) cârlig; (e) bară continuă.}}}$$

Pentru a respecta EN 1992-1-1, arcul de ancorare trebuie utilizat în calcul; arcul de ancorare este modificat prin coeficientul β, astfel încât utilizatorul trebuie să folosească unul dintre tipurile de ancorare disponibile atunci când definește condițiile de început și de sfârșit ale armăturii. 

La proiectarea structurilor din beton, întâlnim două grupe mari de zone parțial încărcate (PLA) - prima dintre acestea cuprinde reazemele, iar cealaltă constă din zonele de ancorare. Conform standardelor actuale valabile pentru proiectarea structurilor din beton armat EN 1992-1-1 cap. 6.7 (Fig. 34), strivirea locală a betonului și forțele de întindere transversale trebuie luate în considerare pentru zonele parțial încărcate. Pentru o încărcare uniform distribuită pe o suprafață, A_c0, capacitatea de compresiune a betonului poate fi mărită de până la trei ori în funcție de suprafața de distribuție de calcul A_c1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Zone parțial încărcate conform EN 1992-1-1.}}}$$

Zona parțial încărcată trebuie să fie suficient armată cu armătură transversală proiectată pentru a transmite forțele de despicare care apar în zonă. Pentru proiectarea armăturii transversale în zonele parțial încărcate, se utilizează metoda Bielă-tiranți conform Eurocode. Fără armătura transversală necesară, nu este posibil să se considere creșterea capacității de compresiune a betonului.

Zone parțial încărcate în CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Biele fictive cu plasa de elemente finite din beton.}}}$$

Utilizând CSFM, este posibil să se proiecteze și să se verifice structuri din beton armat incluzând influența creșterii rezistenței la compresiune a betonului în zonele parțial încărcate. Deoarece CSFM este un model de perete (2D), iar zonele parțial încărcate reprezintă o problemă spațială (3D), a fost necesar să se găsească o soluție care să combine aceste două tipuri diferite de probleme (Fig. 35). Dacă funcția „zone parțial încărcate” este activată, geometria conului admisibil este creată conform Eurocode (Fig. 34). Toate coliziunile geometrice sunt rezolvate complet în 3D pentru geometria specificată a elementului din beton și dimensiunile fiecărei PLA. Ulterior, se creează un model de calcul al zonei parțial încărcate.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Geometrii de con admisibile.}}}$$

Modificarea modelului de material s-a dovedit a fi o abordare nepotrivită, în principal deoarece maparea proprietăților pe plasa de elemente finite este problematică. S-a stabilit că o abordare independentă de plasa de elemente finite este o soluție mai adecvată. Se creează biele fictive absolut coerente pentru geometria cunoscută a conului de compresiune (Fig. 35 și Fig. 37). Aceste biele au proprietăți de material identice cu betonul utilizat în model, inclusiv diagrama efort-deformație. Forma conului determină direcția bielelor, care distribuie treptat încărcarea de la PLA către suprafața de distribuție de calcul. Densitatea suprafeței bielelor fictive este variabilă în fiecare parte a conului și adaugă o suprafață fictivă de beton în direcția încărcării. La nivelul suprafeței încărcate (A_c0), se adaugă o suprafață fictivă de beton conform raportului $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  (unde A_real este o suprafață a reazemului presupusă în modelul de calcul 2D), iar această suprafață scade liniar la zero către suprafața de distribuție de calcul (A_c1). Această soluție asigură că tensiunea de compresiune din beton este constantă pe întregul volum al conului.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Biele fictive în modelul de calcul}}}$$

Rezistența zonei parțial încărcate este mărită conform raportului dintre suprafața de distribuție de calcul și suprafața încărcată prevăzut în EN 1992-1-1  (6.7).  Trebuie reținut că acesta este un model de proiectare care nu poate descrie cu precizie starea de tensiune pe o zonă parțial încărcată, al cărei flux real este mult mai complicat. Cu toate acestea, această soluție permite distribuția corectă a încărcării în întregul model, respectând în același timp capacitatea de încărcare mărită a zonei parțial încărcate. În plus, introduce corect tensiunile transversale în această zonă.

Atunci când se utilizează funcția Zone parțial încărcate pentru a simula creșterea capacității de compresiune a betonului, este necesar să se efectueze separat verificarea conform codului conform EN 1992-1-1, secțiunea 6.7 (2). Forțele de întindere transversale (forțele de despicare) transmise de armătură sunt verificate automat.

Verificările la SLS se realizează pentru limitarea tensiunilor, lățimea fisurilor și limitele de săgeată. Tensiunile sunt verificate în beton și în elementele de armătură conform EN 1992-1-1, într-un mod similar celui specificat pentru SLU.

Limitarea tensiunilor

Tensiunea de compresiune din beton trebuie limitată pentru a evita fisurile longitudinale. Conform EN 1992-1-1 cap. 7.2 (2), pot apărea fisuri longitudinale dacă nivelul de tensiune sub combinația caracteristică de încărcări depășește o valoare k₁f_ck. Tensiunea de compresiune din beton este evaluată ca raportul dintre tensiunea principală maximă de compresiune σ_c = σ_c2 obținută din analiza cu elemente finite pentru stările limită de exploatare și valoarea limită σ_c,lim. Astfel:

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

unde:

f_ck        rezistența caracteristică la compresiune pe cilindru a betonului,

k₁         =0,6.

Dacă tensiunea din beton sub încărcările cvasi-permanente este mai mică decât k₂f_ck conform EN 1992-1-1 Cl. 7.2(3), se poate presupune curgere lentă liniară. Dacă tensiunea din beton depășește k₂f_ck, trebuie luată în considerare curgerea lentă neliniară (a se vedea EN 1992-1-1 Cl. 3.1.4). În IDEA StatiCa Detail se poate presupune doar curgerea lentă liniară conform EN 1992-1-1 Cl. 3.1.4 (3) (a se vedea Modele de material (EN)).

Se poate considera că fisurarea sau deformația inacceptabilă sunt evitate dacă, sub combinația caracteristică de încărcări, tensiunea de întindere din armătură nu depășește k₃f_yk (EN 1992-1-1 cap. 7.2 (5)). Rezistența armăturii este evaluată ca raportul dintre tensiunea din armătură la nivelul fisurilor σ_s = σ_sr și valoarea limită specificată σ_s,lim:

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

unde:

f_yk        limita de curgere a armăturii,

k₃        =0,8.

Săgeata

Săgețile pot fi evaluate doar pentru pereți sau grinzi izostatice (static determinate) sau hiperstatice (static nedeterminate). În aceste cazuri, se consideră valoarea absolută a săgeților (comparativ cu starea inițială înainte de încărcare), iar valoarea maximă admisibilă a săgeților trebuie stabilită de utilizator. Săgețile la capetele decupate nu pot fi verificate deoarece acestea sunt, în esență, structuri instabile, în care echilibrul este satisfăcut prin adăugarea forțelor la capete, astfel încât săgețile obținute nu sunt realiste. Săgeata pe termen scurt u_z,st sau pe termen lung u_z,lt poate fi calculată și verificată în raport cu valorile limită definite de utilizator:

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

unde:

u_z         săgeata pe termen scurt sau lung calculată prin analiza cu elemente finite,

u_z,lim    valoarea limită a săgeții definită de utilizator.

Lățimea fisurii

Lățimile și orientările fisurilor sunt calculate numai pentru efectele pe termen lung (utilizând E_c,eff) pentru combinațiile în care este activată evaluarea lățimii fisurilor. Verificările bazate pe valorile limită specificate de utilizator, în conformitate cu Eurocodul, sunt prezentate după cum urmează:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

unde:

w         lățimea fisurii calculată prin analiza cu elemente finite,

w_lim     valoarea limită a lățimii fisurii definită de utilizator.

Există două moduri de calcul al lățimii fisurilor (fisurare stabilizată și nestabilizată). În cazul general (fisurare stabilizată), lățimea fisurii este calculată prin integrarea deformațiilor pe elementele 1D ale barelor de armătură. Direcția fisurii este apoi calculată din cele trei puncte de integrare cele mai apropiate (față de centrul elementului finit 1D de armătură dat) ale elementelor de beton 2D. Deși această abordare pentru calcularea direcțiilor fisurilor nu corespunde poziției reale a fisurilor, ea oferă totuși valori reprezentative care conduc la rezultate ale lățimii fisurilor ce pot fi comparate cu valorile lățimii fisurilor impuse de cod, la poziția barei de armătură.

Beton - Rezistență

Modelul de beton implementat pentru calculele de rezistență în CSFM se bazează pe curba efort-deformație parabolic-plastică pentru beton, bazată pe curba efort-deformație parabolică a Portland Cement Association descrisă în PCA’s Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figura 6-8. Rezistența la întindere este neglijată, la fel ca în proiectarea clasică a betonului armat.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad Diagrama efort-deformație a betonului pentru analiza de rezistență}}}$$

Implementarea CSFM în IDEA StatiCa Detail nu ia în considerare un criteriu explicit de cedare în termeni de deformații pentru betonul comprimat (adică, după atingerea tensiunii de vârf, se consideră o ramură plastică cu ε_c0 cu valoare maximă de 5%, în timp ce ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 presupune o deformație ultimă mai mică de 0,3%). Această simplificare nu permite verificarea capacității de deformare a structurilor care cedează prin compresiune. Cu toate acestea, rezistența este prezisă corect atunci când, pe lângă factorul de beton fisurat (k_c2 definit în (Fig. 39)), creșterea fragilității betonului odată cu creșterea rezistenței sale este luată în considerare prin intermediul factorului de reducere $\eta_{fc}$ definit în fib Model Code 2010 după cum urmează:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

unde:

α₁ este factorul de reducere a rezistenței la compresiune a betonului definit în ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Când se utilizează o diagramă efort-deformație parabolă-dreptunghi, este necesar să se reducă tensiunea de compresiune maximă cu acest factor. Aceasta face media distribuției de tensiuni în zona comprimată astfel încât rezistența la compresiune rezultată să fie mai mică sau egală cu rezistența la compresiune calculată folosind o diagramă efort-deformație cu o ramură plastică descrescătoare.

Φ_c este factorul de reducere a rezistenței pentru beton. Valoarea implicită este setată conform ACI 318-19 Tabelul 24.2.1 (b)(f).

k_c2 este factorul de reducere datorat prezenței fisurării transversale.

f'_c este rezistența cilindrică a betonului (în MPa pentru definiția $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad Legea rezistenței reduse a betonului comprimat.}}}$$

k_c2 este un factor de reducere bazat pe aceleași ipoteze ca și coeficientul zonei nodale β_n dat în ACI 318-19 Tabelul 23.9.2, cu excepția faptului că, în CSFM, prezența unei tensiuni principale de întindere perpendiculare pe tensiunea principală de compresiune este verificată pentru fiecare element finit (nu doar pentru nodurile modelului Bielă-tiranți).

Beton – Exploatare

Analiza la exploatare conține anumite simplificări ale modelelor constitutive care sunt utilizate pentru analiza de rezistență. Ramura plastică a curbei efort-deformație a betonului comprimat este ignorată, în timp ce ramura elastică este liniară și infinită. Legea rezistenței reduse a betonului comprimat nu este luată în considerare. Aceste simplificări îmbunătățesc stabilitatea numerică și viteza de calcul și nu reduc generalitatea soluției atât timp cât limitele de tensiune ale materialului rezultat la exploatare sunt clar sub punctele de curgere (conform cerințelor ACI). Prin urmare, modelele simplificate utilizate pentru exploatare sunt valabile numai dacă toate cerințele de verificare sunt îndeplinite.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Diagramele efort-deformație ale betonului implementate pentru analiza la exploatare: verificări pe termen scurt și lung.}}}$$

Efecte pe termen lung

Comportamentul pe termen lung al structurii, cum ar fi săgețile pe termen lung sau calculul lățimilor fisurilor cauzate de încărcări susținute, este influențat de fluajul betonului. ACI 318-19 în paragraful 24.2.4.1.3 definește factorul dependent de timp pentru încărcările susținute – ξ reprezentând efectul de fluaj pentru o durată specificată a încărcării susținute.

În aplicația Detail, modulul de elasticitate E_c este ajustat pentru a determina comportamentul pe termen lung al structurii prin factorul ξ. Modulul de elasticitate ajustat este denumit E_c,eff – vezi Figura 40.

Presupunând că deformația elementului este exprimată prin deformație specifică, se poate scrie că:

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

unde:

ε₀ este o deformație pe termen scurt (fără influența fluajului) și ε_creep este o deformație cauzată de fluaj.

Folosind legea lui Hooke, putem scrie:

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

Substituind pentru $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ și $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$ obținem:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

Durata încărcării susținute pentru determinarea factorului ξ poate fi setată individual pentru fiecare combinație de exploatare pe termen lung.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Durata încărcării susținute}}}$$

Săgețile, tensiunile și lățimile fisurilor dependente de timp sunt apoi calculate cu un model de material modificat, unde efectul rafinării compresiunii este luat în considerare automat prin natura analizei cu elemente finite. Prin urmare, nu este necesar să fie înmulțite suplimentar cu factorul definit în 24.2.4.1.1.

Efecte pe termen scurt

Pentru a efectua verificările pe termen scurt, se efectuează un alt calcul în care toate încărcările sunt calculate fără factorul dependent de timp pentru încărcările susținute. Ambele calcule pentru verificările pe termen lung și scurt sunt prezentate în Fig. 40.

Armătură

Se consideră o diagramă efort-deformație perfect elasto-plastică cu un punct de curgere definit pentru armătura nepretensionată, vezi ACI 319-19 Cl. 20.2.1. Definirea acestei diagrame necesită doar cunoașterea proprietăților de bază ale armăturii – rezistența și modulul de elasticitate.

Diagrama efort-deformație a armăturii poate fi de asemenea definită de utilizator, dar în acest caz, este imposibil să se presupună efectul participării betonului întins (este imposibil să se calculeze lățimea fisurii). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Diagrama efort-deformație a armăturii}}}$$

unde:

Φ_s este factorul de reducere a rezistenței pentru armătură. Valoarea implicită este setată conform ACI 318-19 Tabelul 24.2.1.

f_y este rezistența de curgere a armăturii

E_s modulul de elasticitate al armăturii

10% este selectată ca deformația limită la care se oprește calculul. Aceasta este considerată sigură pe baza ASTM A955/A955M-20c Articolul 7.

Participarea betonului întins (Fig. 43)  este luată în considerare automat prin modificarea relației efort-deformație de intrare a barei de armătură simplă, pentru a surprinde rigiditatea medie a barelor înglobate în beton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Schema participării betonului întins.}}}$$

Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil respectă codurile de proiectare moderne. Deoarece modelele de calcul folosesc doar proprietăți standard ale materialelor, formatul coeficienților parțiali de siguranță prescris în codurile de proiectare poate fi aplicat fără nicio adaptare. În acest fel, încărcările introduse sunt majorate, iar proprietățile caracteristice ale materialelor sunt reduse utilizând coeficienții de reducere a rezistenței respectivi, exact ca în analiza convențională a betonului.

Valorile coeficienților de reducere a rezistenței sunt prescrise în ACI 318-19 Cl. 21.2. Valorile implicite pentru beton și armătură sunt alese pe baza presupunerii că exemplul tipic rezolvat în aplicație este controlat de forfecare (pe baza Tabelului 21.2.1 (b), (f), (g)). Cu toate acestea, este posibil să se modeleze orice tip de element. Prin urmare, dacă este evaluat un element controlat de compresiune sau de întindere, utilizatorul are opțiunea de a modifica valoarea coeficientului de reducere a rezistenței în Preferințe.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Coeficienții de încărcare pentru combinațiile de rezistență trebuie definiți conform ACI 318-19 Tabelul 5.3.1.

Cu excepția celor menționate în Capitolul 34, combinațiile de încărcare la nivel de serviciu nu sunt definite în ACI 318-19. Se recomandă utilizarea regulilor de combinare bazate pe Anexa C din ASCE/SEI 7-16. Pentru toate șabloanele, coeficienții de încărcare sunt deja predefiniți.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Diferitele verificări impuse de ACI 318-19 sunt evaluate pe baza rezultatelor directe furnizate de model. Verificările sunt efectuate pentru rezistența betonului, rezistența armăturii și ancorare (tensiuni tangențiale de aderență).

Rezistența betonului la compresiune este evaluată ca raport între tensiunea principală de compresiune maximă f_c (de asemenea σ₂ în Rezultate auxiliare) obținută din analiza cu elemente finite și valoarea limită f'_c,lim.

Rezistența armăturii este evaluată atât la întindere, cât și la compresiune, ca raport între tensiunea din armătură la nivelul fisurilor f_s și valoarea limită specificată f_y,lim.

Tensiunea tangențială de aderență este evaluată independent ca raport între tensiunea de aderență τ_b calculată prin analiza cu elemente finite și rezistența la aderență f_bu.

Cu toate acestea, standardul ACI nu abordează explicit rezistența la aderență, ci lucrează cu calculul așa-numitei lungimi de dezvoltare, descrisă în Secțiunea 25.4.2. Deoarece rezistența la aderență este un parametru de intrare fundamental pentru determinarea lungimii de dezvoltare, a se vedea R25.4.1.1 și ACI Committee 408 1966, rezistența la aderență poate fi calculată după cum urmează:

Să presupunem că, dacă ancorăm bara de armătură într-un bloc de beton pe lungimea de dezvoltare l_d sau mai mult, smulgerea armăturii va duce la ruperea armăturii și nu la smulgerea betonului. Acest lucru poate fi scris cu următoarea formulă.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

unde:

d_b este diametrul barei de armătură, l_d este lungimea de dezvoltare, f_bu este rezistența la aderență, f_y este limita de curgere a armăturii, iar A_s este aria barei de armătură.

Din cele de mai sus, formula pentru calculul rezistenței la aderență poate fi ușor derivată:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Lungimea de dezvoltare l_d este apoi determinată conform ACI 318-19 Tabelul 25.4.2.3 după cum urmează:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

unde:

C = 25 (2,1 pentru sistemul metric) pentru barele nr. 6 și mai mici și sârme profilate, C = 20 (1,7 pentru sistemul metric) pentru barele nr. 7 și mai mari, λ = 1,0 pentru beton cu greutate normală, ψ_t, ψ_e, ψ_g sunt determinate conform ACI 318-19 Tabelul 25.4.2.3. 

Este suportată numai armătura neacoperită sau zincată (galvanizată), astfel ψ_e = 1,0. ψ_g este determinat automat din clasa armăturii, iar ψ_t este derivat automat din poziția armăturii în model și din direcția de turnare a betonului, care poate fi setată în aplicație pentru fiecare element al proiectului după cum urmează.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

Aceste verificări sunt efectuate în raport cu valorile limită corespunzătoare pentru părțile respective ale structurii (adică, în ciuda faptului că există o singură clasă atât pentru beton, cât și pentru materialul de armătură, diagramele finale efort-deformație vor diferi în fiecare parte a structurii datorită efectelor de participare a betonului întins și de rezistență redusă a betonului comprimat).

Există, de asemenea, o opțiune de a modela bare netede. Mai multe informații pot fi găsite aici: Bare netede în Detail

Forța totală F_tot și forța limită F_lim

Forța totală F_tot este un rezultat al analizei cu elemente finite și poate fi definită în două moduri.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

unde A_s este aria barei de armătură, iar f_s este tensiunea din bară.

Sau ca sumă a forței de ancorare F_a și a forței de aderență F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

unde F_a este forța reală din arcul de ancorare, iar F_bond este forța de aderență care poate fi obținută prin integrarea tensiunii de aderență τ_b de-a lungul lungimii barei de armătură l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s este circumferința barei de armătură.

Forța limită F_lim este forța maximă din elementul barei de armătură, luând în considerare rezistența barei și, de asemenea, condițiile de ancorare (aderența dintre beton și armătură și cârligele, buclele de ancorare etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

unde C_s este circumferința barei de armătură, iar l este lungimea de la începutul barei de armătură până la punctul de interes.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

unde F_lim,add este forța suplimentară calculată din mărimea unghiului dintre elementele vecine. F_lim,2 trebuie să fie întotdeauna mai mică decât F_u.

Tipurile de ancorare disponibile în CSFM includ o bară dreaptă (adică fără reducerea capătului ancorajului), cârlig la 90 de grade, cârlig la 180 de grade, aderență perfectă și bară continuă. Toate aceste tipuri, împreună cu coeficienții de ancorare β corespunzători, sunt prezentate în Fig. 48 pentru armătura longitudinală. Valorile coeficienților de ancorare adoptați sunt derivate din compararea ecuației din secțiunea ACI 318-19 25.4.3.1 și a ecuațiilor preluate din secțiunea ACI 318-19 25.4.2.3. Trebuie remarcat faptul că, în ciuda diferitelor opțiuni disponibile, CSFM distinge trei tipuri de capete de ancorare: (i) fără reducere a lungimii de ancoraj, (ii) o reducere de 30% a lungimii de ancoraj în cazul unei ancorări normalizate și (iii) aderență perfectă.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Coeficientul de ancorare pentru etrieri este întotdeauna - β = 1,0.

Pentru a respecta ACI, arcul de ancorare trebuie utilizat în calcul, arcul de ancorare fiind modificat de coeficientul β, astfel încât utilizatorul trebuie să folosească unul dintre tipurile de ancorare disponibile atunci când definește condițiile de început și sfârșit ale armăturii. 

La proiectarea structurilor din beton, întâlnim două grupuri mari de zone parțial încărcate (PLA) – primul dintre acestea cuprinde reazemele, în timp ce celălalt este format din zonele de ancorare. 

Conform standardelor actuale în vigoare pentru proiectarea structurilor din beton armat ACI 318-19 cap. 22.8, trebuie luate în considerare strivirea locală a betonului și forțele de întindere transversale pentru reazeme. Pentru o încărcare uniform distribuită pe o suprafață, A_c1, capacitatea de compresiune a betonului poate fi mărită de până la două ori, în funcție de suprafața de distribuție de calcul A_c2. Vezi tabelul 22.8.3.2 din ACI 318-19.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Zone parțial încărcate pentru reazeme conform ACI 318-19}}}$$

Pentru zonele de ancorare post-tensionate, trebuie respectat ACI 318-19 cap. 25.9.

Zona parțial încărcată trebuie să fie suficient armată cu armătură transversală proiectată pentru a prelua forțele de despicare care apar în zonă. Fără armătura transversală necesară, nu este posibilă luarea în considerare a creșterii capacității de compresiune a betonului.

Zone parțial încărcate în CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Biele fictive cu plasa de elemente finite de beton.}}}$$

Folosind CSFM, este posibilă proiectarea și verificarea structurilor din beton armat incluzând influența creșterii rezistenței la compresiune a betonului în zonele parțial încărcate. Deoarece CSFM este un model de tip perete (2D), iar zonele parțial încărcate reprezintă o sarcină spațială (3D), a fost necesar să se găsească o soluție care să combine aceste două tipuri diferite de sarcini (Fig. 50). Dacă funcția „zone parțial încărcate” este activată, este creată geometria conului admisibil conform ACI (Fig. 49). Toate coliziunile geometrice sunt rezolvate complet în 3D pentru geometria specificată a elementului din beton și dimensiunile fiecărei PLA. Ulterior, este creat un model de calcul al zonei parțial încărcate.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Geometrii de con admisibile.}}}$$

Modificarea modelului de material s-a dovedit a fi o abordare nepotrivită, în principal deoarece maparea proprietăților pe plasa de elemente finite este problematică. S-a stabilit că o abordare independentă de plasa de elemente finite este o soluție mai adecvată. Se creează biele fictive perfect coerente pentru geometria cunoscută a conului de compresiune (Fig. 51 și Fig. 52). Aceste biele au proprietăți de material identice cu betonul utilizat în model, inclusiv diagrama efort-deformație. Forma conului determină direcția bielelor, care distribuie treptat încărcarea de la PLA la suprafața de distribuție de calcul. Densitatea de suprafață a bielelor fictive este variabilă în fiecare parte a conului și adaugă o suprafață fictivă de beton în direcția încărcării. La nivelul suprafeței încărcate (A_c1), se adaugă o suprafață fictivă de beton conform raportului $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  (unde A_real este o suprafață a reazemului asumată în modelul de calcul 2D), iar această suprafață scade liniar până la zero către suprafața de distribuție de calcul (A_c2). Această soluție asigură că tensiunea de compresiune din beton este constantă pe întregul volum al conului.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Biele fictive în modelul de calcul}}}$$

Rezistența zonei parțial încărcate este mărită în funcție de raportul dintre suprafața de distribuție de calcul și suprafața încărcată, prevăzut în ACI 318-19 cap. 22.8.  Trebuie reținut că acesta este un model de proiectare care nu poate descrie cu precizie starea de tensiune dintr-o zonă parțial încărcată, al cărei flux real este mult mai complicat. Cu toate acestea, această soluție permite distribuirea corectă a încărcării pe întregul model, respectând în același timp capacitatea portantă mărită a zonei parțial încărcate. În plus, introduce corect tensiunile transversale în această zonă pentru a proiecta corect armătura pentru forțele de despicare.

Tensiunea de reazem admisibilă de 0.85f_c' este prezentată în tabelul 22.8.3.2. Densitatea este limitată astfel încât să nu fie depășită capacitatea dublă maximă dată de formula din tabelul 22.8.3.2(b).  

Pentru zonele de ancorare, PLA este utilizată în aceeași manieră ca pentru reazeme în aplicație. De aceea, zonele locale definite în ACI 318-19 capitolul 25.9 trebuie verificate manual conform ACI 318-19 25.9.3. PLA este, prin urmare, utilizată doar pentru a evita depășirea criteriului de deformație în zona locală și, astfel, oprirea prematură a calculului. Pe de altă parte, conform ACI 318-19, Cl. 25.9.4.3.1 (b), armătura care preia tensiunile în plan de despicare (bursting) și de desprindere (spalling) poate fi verificată direct și avantajos în aplicație.

Verificările la starea limită de serviciu se efectuează pentru limitarea tensiunilor, lățimea fisurilor și limitele de săgeată. Tensiunile sunt verificate în elementele de beton și de armătură conform ACI 318-19 într-o manieră similară celei specificate pentru Rezistență.

Limitarea tensiunilor

Tensiunile de compresiune admisibile în beton la încărcarea de serviciu trebuie verificate pentru elementele precomprimate de Clasa U și T. Conform Tabelului R24.5.2.1, nu este necesară verificarea limitării tensiunilor pentru betonul considerat fisurat. Utilizatorul trebuie să seteze clasa elementului precomprimat în setările elementului de proiectare.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Selectarea clasei elementului încovoiat precomprimat}}}$$

Tensiunea de compresiune admisibilă pentru elementele supuse unor încărcări tranzitorii este specificată de ACI 318-19 24.5.4.1 ca fiind 0.6f_c'. Limita tensiunii de compresiune de 0.45f_c' a fost stabilită pentru a reduce probabilitatea de cedare a elementelor din beton precomprimat din cauza încărcărilor repetate. Această limită a părut, de asemenea, rezonabilă pentru a preveni deformațiile excesive din curgere lentă. La valori mai mari ale tensiunii, deformațiile din curgere lentă tind să crească mai rapid pe măsură ce tensiunea aplicată crește.

Tensiunea de compresiune în beton este evaluată ca raportul dintre tensiunea principală maximă de compresiune f_c = σ_c2 obținută din analiza cu elemente finite pentru starea limită de serviciu și valoarea limită, care este stabilită pe baza Tabelului 24.5.4.1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Limitele tensiunii de compresiune în beton la încărcările de serviciu}}}$$

În aplicație, Precomprimare plus încărcare permanentă este tratată ca o combinație pe termen lung, iar Precomprimare plus încărcare totală ca o combinație pe termen scurt.

Săgeată

În funcție de tipul combinației selectate (pe termen lung sau pe termen scurt), se evaluează fie săgeata pe termen lung, fie săgeata pe termen scurt. Valoarea maximă admisibilă a săgeții trebuie determinată de utilizator și trebuie considerată în conformitate cu ACI 138-19 24.2. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Valoarea maximă admisibilă a săgeții}}}$$

În aplicație, este posibil să se afișeze separat săgețile provenite din încărcarea permanentă Δ_DL și din încărcarea utilă Δ_LL, precum și săgeata totală Δ_Tot (permanentă+utilă), toate afișate concomitent cu forma deformată.

Săgețile la capetele trunchiate nu pot fi verificate.

Lățimea fisurilor

Lățimile și orientările fisurilor sunt calculate pentru combinațiile de serviciu pe termen scurt sau pe termen lung. Deoarece ACI nu prescrie direct limitarea lățimii fisurilor, utilizatorul trebuie să specifice o lățime limită a fisurii w_lim.

Verificările sunt prezentate după cum urmează:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

unde:

w         lățimea fisurii pe termen scurt sau lung, calculată prin analiza cu elemente finite,

w_lim     valoarea limită a lățimii fisurii, definită de utilizator.

Metoda de calcul al lățimii fisurilor utilizată în aplicație, descrisă de asemenea mai detaliat în acest document, este în conformitate cu ACI 224R-01. Prin urmare, este posibil să se utilizeze Tabelul 4.1 din ACI 224R-01 pentru a determina valoarea limită a lățimii fisurilor.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Lățimi rezonabile ale fisurilor pentru betonul armat sub încărcare de serviciu}}}$$

Există două moduri de calcul al lățimii fisurilor (fisurare stabilizată și nestabilizată). În cazul general (fisurare stabilizată), lățimea fisurii este calculată prin integrarea deformațiilor pe elementele 1D ale barelor de armătură. Direcția fisurii este apoi calculată din cele mai apropiate trei puncte de integrare (față de centrul elementului finit 1D dat al armăturii) ale elementelor de beton 2D. Deși această abordare de calcul al direcțiilor fisurilor nu corespunde poziției reale a fisurilor, aceasta oferă totuși valori reprezentative care conduc la rezultate ale lățimii fisurilor ce pot fi comparate cu valorile lățimii fisurilor impuse de cod la poziția barei de armătură.

Beton - Rezistență

Modelul de beton implementat pentru calculele de rezistență în CSFM se bazează pe ipotezele de calcul la rezistență AASHTO LRFD privind echilibrul și compatibilitatea deformațiilor. În conformitate cu AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.6.2.1, rezistența la întindere a betonului este neglijată.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad Diagrama efort-deformație a betonului pentru analiza de rezistență}}}$$

Implementarea CSFM în IDEA StatiCa Detail nu ia în considerare un criteriu de cedare explicit exprimat în termeni de deformații pentru betonul comprimat (adică, după atingerea tensiunii maxime, se consideră o ramură plastică cu ε_c0 cu valoare maximă de 5%, în timp ce AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.6.2.1 presupune o deformație ultimă mai mică de 0,3%). Această simplificare nu permite verificarea capacității de deformare a structurilor care cedează prin compresiune. Cu toate acestea, rezistența este prezisă corect atunci când, pe lângă factorul betonului fisurat (k_c2 definit în (Fig. 57)), creșterea fragilității betonului odată cu creșterea rezistenței sale este luată în considerare prin intermediul factorului de reducere $\eta_{fc}$ definit în fib Model Code 2010 după cum urmează:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

unde:

α₁ este factorul de reducere a rezistenței la compresiune a betonului definit în AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.6.2.2. La utilizarea unei diagrame efort-deformație parabolă-dreptunghi, este necesară reducerea tensiunii maxime de compresiune prin acest factor. Aceasta mediază distribuția tensiunilor în zona comprimată astfel încât rezistența la compresiune rezultată este mai mică sau egală cu rezistența la compresiune calculată utilizând o diagramă efort-deformație cu o ramură plastică descrescătoare.

Φ_c este factorul de rezistență pentru beton. Valoarea implicită este stabilită conform AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.5.4.2.

k_c2 este factorul de reducere datorat prezenței fisurării transversale.

f'_c este rezistența cilindrică a betonului (în MPa pentru definirea $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad Legea rezistenței reduse a betonului comprimat.}}}$$

k_c2 este un factor de reducere bazat pe aceleași ipoteze ca factorul de eficiență a betonului ν dat în AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a și Tabelul 5.8.2.5.3a-1, cu excepția faptului că, în CSFM, prezența unei tensiuni principale de întindere perpendiculară pe tensiunea principală de compresiune este verificată pentru fiecare element finit (nu doar pentru nodurile modelului Bielă-tiranți).

Beton – Exploatare

Analiza la exploatare conține anumite simplificări ale modelelor constitutive utilizate pentru analiza de rezistență. Ramura plastică a curbei efort-deformație a betonului comprimat este neglijată, în timp ce ramura elastică este liniară și infinită. Legea rezistenței reduse a betonului comprimat nu este luată în considerare. Aceste simplificări îmbunătățesc stabilitatea numerică și viteza de calcul și nu reduc generalitatea soluției atât timp cât limitele de tensiune rezultante ale materialului la exploatare se situează clar sub punctele lor de curgere. (în concordanță cu abordarea AASHTO LRFD pentru starea limită de exploatare). Prin urmare, modelele simplificate utilizate pentru exploatare sunt valide doar dacă toate cerințele de verificare sunt îndeplinite.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Diagrame efort-deformație ale betonului implementate pentru analiza la exploatare: verificări pe termen scurt și lung.}}}$$

Efecte pe termen lung

Legea constitutivă pe termen lung (curba roșie din Fig. 59) este utilizată pentru calculul deschiderii fisurilor, deformația totală și limitarea tensiunii elementelor precomprimate atunci când efectul pe termen lung este selectat în bara de meniu de sus. În aplicația IDEA StatiCa Detail, modulul de elasticitate efectiv este utilizat pentru verificarea efectelor pe termen lung, conform celor menționate în AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

unde:
E_c este modulul de elasticitate definit în AASHTO LRFD (2024) articolul 5.4.2.4
ψ este coeficientul de fluaj definit în AASHTO LRFD (2024) articolul 5.4.2.3.2

Factorii de fluaj sunt definiți de utilizator în proprietățile materialului.

Efecte pe termen scurt

Pentru a efectua verificările pe termen scurt, se realizează un alt calcul în care toate încărcările sunt calculate fără factorul de fluaj. Ambele calcule pentru verificările pe termen lung și scurt sunt prezentate în Fig. 59.

Armătură

Se consideră o diagramă efort-deformație perfect elasto-plastică cu un punct de curgere definit pentru armătura nepretensionată, a se vedea AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.4.3. Definirea acestei diagrame necesită cunoașterea doar a proprietăților de bază ale armăturii – rezistența și modulul de elasticitate.

Diagrama efort-deformație a armăturii poate fi de asemenea definită de utilizator, dar în acest caz, este imposibil să se presupună efectul participării betonului întins (este imposibil să se calculeze deschiderea fisurilor). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Diagrama efort-deformație a armăturii}}}$$

unde:

Φ_s este factorul de rezistență pentru armătură. Valoarea implicită este stabilită conform AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.5.4.2.

f_y este limita de curgere a armăturii

E_s modulul de elasticitate al armăturii

10% este selectat ca deformația limită la care calculul se oprește. Aceasta este considerată sigură pe baza ASTM A955/A955M-20c Articolul 7.

Participarea betonului întins (Fig. 61)  este luată în considerare automat prin modificarea relației efort-deformație de intrare a barei de armătură simple, pentru a surprinde rigiditatea medie a barelor înglobate în beton (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Schema participării betonului întins.}}}$$

Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil respectă codurile de proiectare moderne. Deoarece modelele de calcul utilizează doar proprietăți standard ale materialelor, formatul coeficienților parțiali de siguranță prescriși în codurile de proiectare poate fi aplicat fără nicio adaptare. În acest fel, încărcările de intrare sunt amplificate, iar proprietățile caracteristice ale materialelor sunt reduse utilizând coeficienții de rezistență respectivi, exact ca în analiza convențională a betonului.

Valorile coeficienților de rezistență sunt prescrise în AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.5.4. Valorile implicite pentru beton și armătură sunt alese conservator, pe baza presupunerii că exemplul tipic rezolvat este o zonă D - un caz tipic pentru metoda Bielă-tiranți. Cu toate acestea, este posibilă modelarea oricărui tip de element. Prin urmare, dacă este evaluat un element controlat de compresiune sau de întindere, utilizatorul are opțiunea de a modifica valoarea coeficientului de reducere a rezistenței în Preferințe.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Coeficienții de încărcare și combinațiile de încărcare trebuie definite conform AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Articolul 3.4.1 și Tabelele 3.4.1-1 până la 3.4.1-6. AASHTO LRFD specifică explicit combinațiile de încărcare pentru starea limită de rezistență (Strength I până la Strength V), precum și combinațiile de încărcare la nivel de serviciu (Service I până la Service IV), inclusiv coeficienții de încărcare corespunzători pentru fiecare caz.

Pentru fiecare șablon, programul include combinații de bază predefinite care necesită completare în funcție de elementul procesat.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Diferitele verificări impuse de AASHTO sunt evaluate pe baza rezultatelor directe furnizate de model. Verificările se efectuează pentru rezistența betonului, rezistența armăturii și ancorare (tensiuni de forfecare de aderență).

Rezistența betonului la compresiune este evaluată ca raportul dintre tensiunea principală de compresiune maximă f_c (de asemenea σ₂ în Rezultate auxiliare) obținută din analiza cu elemente finite și valoarea limită f'_c,lim.

Rezistența armăturii este evaluată atât la întindere, cât și la compresiune, ca raportul dintre tensiunea din armătură la fisuri f_s și valoarea limită specificată f_y,lim.

Tensiunea de forfecare de aderență este evaluată independent ca raportul dintre tensiunea de aderență τ_b calculată prin analiza cu elemente finite și rezistența la aderență f_bu.

Totuși, deoarece rezistența la aderență nu este definită explicit în AASHTO, valoarea acesteia trebuie determinată folosind ecuațiile care definesc lungimea de dezvoltare. Rezistența la aderență este, de fapt, principalul parametru de intrare pentru determinarea lungimii de dezvoltare; a se vedea, de exemplu, acest articol AASHTO LRFD (2024) Articolul C5.10.8.2 sau NCHRP Report 733, Anexa E pagina E-9.

Calculul descris în AASHTO LRFD (2024) Articolele 5.10.8.2.1 și 5.10.8.2.2, care necesită cunoașterea distanței maxime interax a armăturii transversale pe l_d, a numărului de bare sau sârme dezvoltate de-a lungul planului de fisurare, a ariei totale a secțiunii transversale a întregii armături transversale și a altor mărimi geometrice care nu pot fi determinate în mod fiabil în modelul aplicației Detail pentru date de intrare generale, s-a adoptat o abordare din AASHTO LRFD (2014) Articolul 5.11.2.1.1 în felul următor:

Să presupunem că, dacă ancorăm bara de armătură într-un bloc de beton pe lungimea de dezvoltare l_d sau mai mare, smulgerea armăturii va conduce la ruperea armăturii și nu la smulgerea acesteia din beton. Acest lucru poate fi scris cu următoarea formulă.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

unde:

• d_b este diametrul barei de armătură
• l_d este lungimea de dezvoltare
• f_bu este rezistența la aderență
• f_y este limita de curgere a armăturii
• A_b este aria barei de armătură

Din cele de mai sus, formula pentru calculul rezistenței la aderență poate fi ușor derivată.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Lungimea de dezvoltare de bază la întindere l_db este determinată în AASHTO LRFD (2014) Articolul 5.11.2.1.1 după cum urmează:

Pentru bare Nr. 11 și mai mici:   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Pentru bare Nr. 14:   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Pentru bare Nr. 18:   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

unde:

• A_b este aria barei de armătură (in²)
• f_y este limita de curgere specificată a armăturii (ksi)
• f'_c rezistența la compresiune specificată a betonului la 28 de zile, dacă nu este specificată o altă vârstă (ksi)
• d_b este diametrul barei de armătură (in)

Apoi, prin multiplicarea lungimii de dezvoltare de bază l_db cu factorii descriși în AASHTO LRFD (2014) Articolele 5.11.2.1.2 și 5.11.2.1.3, se determină lungimea de dezvoltare l_d ca dată de intrare.

Factorii de modificare care reduc lungimea de dezvoltare din 5.11.2.1.3 sunt întotdeauna egali cu 1,0 în aplicație. Factorul de modificare pentru armătura orizontală superioară sau aproape orizontală este egal cu 1,4 pentru condiții de aderență „slabe”, conform figurii următoare:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

Direcția de turnare a betonului poate fi setată în aplicație.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}$$

Toți ceilalți factori determinați în 5.11.2.1.2 sunt egali cu 1,0, deoarece este suportat doar betonul cu greutate normală și doar armătura neacoperită.

Tensiunea de forfecare de aderență și rezistența la aderență a barelor comprimate sunt calculate analog cu barele întinse, dar sunt utilizate ecuațiile din AASHTO LRFD (2014) Articolul 5.11.2.2.

Există, de asemenea, opțiunea de a modela bare netede. Mai multe informații pot fi găsite aici: Bare netede în Detail

Forța totală F_tot și forța limită F_lim

Forța totală F_tot este un rezultat al analizei cu elemente finite și poate fi definită în două moduri.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

unde A_b este aria barei de armătură, iar f_s este tensiunea din bară.

Sau ca sumă a forței de ancoraj F_a și a forței de aderență F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

unde F_a este forța reală din arcul de ancoraj, iar F_bond este forța de aderență care poate fi obținută prin integrarea tensiunii de aderență τ_b de-a lungul lungimii barei de armătură l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s este perimetrul barei de armătură.

Forța limită F_lim este forța maximă din elementul barei de armătură, ținând cont de rezistența barei și de condițiile de ancorare (aderența dintre beton și armătură și cârligele de ancoraj, buclele etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

unde C_s este perimetrul barei de armătură, iar l este lungimea de la începutul barei de armătură până la punctul de interes.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

unde F_lim,add este forța suplimentară calculată din mărimea unghiului dintre elementele vecine. F_lim,2 trebuie să fie întotdeauna mai mică decât F_u.

Tipurile de ancorare disponibile în CSFM includ o bară dreaptă (adică fără reducere la capătul de ancoraj), cârlig la 90 de grade, cârlig la 180 de grade, aderență perfectă și bară continuă. Toate aceste tipuri, împreună cu coeficienții de ancorare β respectivi, sunt prezentate în Fig. 67 pentru armătura longitudinală. Valorile coeficienților de ancorare adoptați sunt derivate din compararea ecuației din secțiunea AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1 cu ecuațiile preluate din secțiunea AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1. Trebuie menționat că, în ciuda diferitelor opțiuni disponibile, CSFM distinge trei tipuri de capete de ancorare: (i) fără reducere a lungimii de ancoraj, (ii) o reducere de 30% a lungimii de ancoraj în cazul unei ancorări normalizate și (iii) aderență perfectă.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Coeficientul de ancorare pentru etrieri (disponibil pentru elementul de tip grindă) este întotdeauna - β = 1,0.

Pentru a respecta AASHTO, arcul de ancoraj trebuie utilizat în calcul. Arcul de ancoraj este modificat de coeficientul β, astfel încât utilizatorul trebuie să folosească unul dintre tipurile de ancorare disponibile atunci când definește condițiile de început și de sfârșit ale armăturii. 

La proiectarea structurilor din beton, întâlnim două grupe mari de suprafețe parțial încărcate (PLA) – prima dintre acestea cuprinde reazemele, în timp ce cealaltă este formată din zonele de ancoraj. 

Conform standardelor actuale valabile pentru proiectarea structurilor din beton armat, pentru reazeme trebuie luate în considerare strivirea locală a betonului și forțele de întindere transversală. Pentru o încărcare uniform distribuită pe o suprafață, A₁, capacitatea la compresiune a betonului poate fi mărită de până la două ori, în funcție de suprafața de distribuție de calcul A₂. A se vedea AASHTO LRFD (2024), Articolul 5.6.5.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Suprafețe parțial încărcate pentru reazeme conform AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.6.5}}}$$

Pentru zonele de ancoraj post-tensionate, trebuie urmat AASHTO LRFD (2024) Articolul 5.8.4.4.

Suprafața parțial încărcată trebuie să fie suficient armată cu armătură transversală, proiectată pentru a prelua forțele de despicare care apar în această zonă. Fără armătura transversală necesară, nu este posibilă considerarea unei creșteri a capacității la compresiune a betonului.

Suprafețe parțial încărcate în CSFM