Návrh a posouzení betonových prvků se obvykle provádí na úrovni průřezu (1D prvek) nebo bodu (2D prvek). Tento postup je popsán ve všech normách pro konstrukční navrhování, např. v (EN 1992-1-1 nebo ACI 318-19), a používá se v běžné praxi stavebního inženýrství. Není však vždy známo nebo respektováno, že tento postup je přípustný pouze v oblastech, kde platí Bernoulli-Navierova hypotéza rovinného přetvoření (tzv. B-oblasti). Místa, kde tato hypotéza neplatí, se nazývají oblasti diskontinuity nebo poruchové oblasti (D-oblasti). Příklady B a D oblastí u 1D prvků jsou uvedeny na (Obr. 1). Jsou to například oblasti uložení, místa, kde jsou aplikována soustředěná zatížení, místa náhlé změny průřezu, otvory atd. Při navrhování betonových konstrukcí se setkáváme s řadou dalších D-oblastí, jako jsou stěny, mostní příčníky, krátké konzoly atd. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}$$

V minulosti se pro dimenzování poruchových oblastí používala poloempirická návrhová pravidla. Naštěstí tato pravidla byla v posledních desetiletích z velké části nahrazena modely vzpěra-táhlo (Schlaich et al., 1987) a metodou tlakových polí (Marti 1985), které jsou zahrnuty v současných návrhových normách a dnes je projektanti běžně používají. Tyto modely jsou mechanicky konzistentní a účinné nástroje. Je třeba poznamenat, že tlaková pole mohou být obecně kontinuální nebo diskontinuální a že modely vzpěra-táhlo jsou zvláštním případem diskontinuálních tlakových polí.

Navzdory vývoji výpočetních nástrojů v posledních desetiletích se modely vzpěra-táhlo v podstatě stále používají jako ruční výpočty. Jejich uplatnění u reálných konstrukcí je zdlouhavé a časově náročné, protože je nutné provádět iterace a zohlednit několik zatěžovacích stavů. Kromě toho tato metoda není vhodná pro ověřování kritérií použitelnosti (deformace, šířky trhlin atd.).

Zájem stavebních inženýrů o spolehlivý a rychlý nástroj pro navrhování D-oblastí vedl k rozhodnutí vyvinout novou metodu Compatible Stress Field Method, metodu pro počítačově podporovaný návrh pomocí tlakových polí, která umožňuje automatický návrh a posouzení betonových prvků konstrukce zatížených v rovině.

Compatible Stress Field Method (CSFM) je kontinuální metoda analýzy tlakových polí založená na MKP, ve které jsou klasická řešení tlakových polí doplněna kinematickými úvahami, tj. stav přetvoření je vyhodnocován v celé konstrukci. Efektivní pevnost betonu v tlaku tak lze automaticky vypočítat na základě stavu příčného přetvoření podobným způsobem jako u analýz tlakového pole, které zohledňují tlakové změkčení  (Vecchio a Collins 1986; Kaufmann a Marti 1998), a metody EPSF (Fernández Ruiz a Muttoni 2007). Kromě toho CSFM zohledňuje tahové zpevnění, které poskytuje realistické tuhosti prvků, a zahrnuje všechny normové požadavky (včetně aspektů použitelnosti a deformační kapacity), které předchozí přístupy důsledně neřešily. CSFM používá běžné jednoosé konstitutivní zákony pro beton a výztuž předepsané návrhovými normami. Ty jsou známy již ve fázi návrhu, což umožňuje použití metody dílčích součinitelů spolehlivosti. Projektanti tak nemusí zadávat další, často libovolně zvolené materiálové vlastnosti, jak je typicky vyžadováno u nelineárních MKP analýz, což tuto metodu předurčuje k použití v inženýrské praxi.

Aby se podpořilo využívání počítačově podporovaných tlakových polí stavebními inženýry, měly by být tyto metody implementovány do uživatelsky přívětivého softwarového prostředí. Za tímto účelem byla metoda CSFM implementována do aplikace IDEA StatiCa Detail; nového uživatelsky přívětivého komerčního softwaru, který společně vyvinuly ETH Zurich a softwarová společnost IDEA StatiCa v rámci projektu DR-Design Eurostars-10571.

CSFM uvažuje maximální hlavní napětí betonu v tlaku (σ_c2r) a napětí ve výztuži (σ_sr) v trhlinách, přičemž zanedbává tahovou pevnost betonu (σ_c1r = 0), s výjimkou jejího ztužujícího vlivu na výztuž. Zohlednění tahového zpevnění umožňuje simulovat průměrná přetvoření výztuže (ε_m). Uvažují se fiktivní, rotující trhliny bez napětí, které se otevírají bez posunu (obr. 2a), a je zohledněna rovnováha v trhlinách společně s průměrnými přetvořeními výztuže. 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}$

Přestože jsou tyto předpoklady jednoduché, bylo prokázáno, že podobné předpoklady poskytují přesné předpovědi pro vyztužené prvky zatížené v rovině (Kaufmann 1998; Kaufmann a Marti 1998), pokud navržená výztuž zabraňuje křehkému porušení při vzniku trhlin. Kromě toho neuvažování jakéhokoli příspěvku tahové pevnosti betonu k mezní únosnosti je v souladu se zásadami moderních návrhových norem, které jsou většinou založeny na teorii plasticity.

Nicméně CSFM není vhodná pro štíhlé prvky bez smykové výztuže, protože relevantní mechanismy pro takové prvky, jako je zaklínění kameniva, zbytková tahová napětí na čele trhliny a účinek kolíkového působení – všechny tyto mechanismy přímo nebo nepřímo závisí na tahové pevnosti betonu – jsou zanedbány. Zatímco některé návrhové normy umožňují navrhování takových prvků na základě semi-empirických ustanovení, CSFM není určena pro tento typ potenciálně křehké konstrukce.

Beton

Model betonu implementovaný v CSFM je založen na jednoosých konstitutivních zákonech pro tlak předepsaných návrhovými normami pro posouzení průřezů, které závisí pouze na pevnosti v tlaku. V CSFM se ve výchozím nastavení používá parabolicko-rektangulární diagram (obr. 2c), ale projektanti si mohou zvolit i zjednodušený elastický ideálně plastický vztah. Při posouzení podle normy ACI je možné použít pouze parabolicko-rektangulární diagram napětí-přetvoření. Jak již bylo zmíněno, tahová pevnost je zanedbána, stejně jako v klasickém navrhování železobetonu.

Efektivní pevnost v tlaku je automaticky stanovena pro popraskaný beton na základě hlavního tahového přetvoření (ε₁) pomocí redukčního součinitele k_c2, jak je uvedeno na obr. 2c a e. Implementovaný redukční vztah (obr. 2e) je generalizací návrhu pro posouzení smyku podle fib Model Code 2010, který obsahuje mezní hodnotu 0,65 pro maximální poměr efektivní pevnosti betonu k pevnosti betonu v tlaku, což není použitelné pro jiné zatěžovací případy.

CSFM v IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení v podobě přetvoření pro beton v tlaku (tj. uvažuje se nekonečně plastická větev po dosažení maximálního napětí). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí porušených tlakem. Nicméně jejich mezní únosnost je správně předpovězena, pokud je kromě součinitele popraskaného betonu (k_c2) definovaného na (obr. 2e) zohledněn nárůst křehkosti betonu s růstem jeho pevnosti pomocí redukčního součinitele $\eta_{fc}$ definovaného v fib Model Code 2010 následovně:

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

k_c je globální redukční součinitel pevnosti v tlaku

k_c2 je redukční součinitel z důvodu přítomnosti příčného trhlinění

f_c je charakteristická pevnost betonového válce (v MPa pro definici $\eta_{fc}$).

Dochází také k redukci součinitele k_c2 z důvodu stability výpočtu. Tato redukce neovlivňuje celkovou pevnost prvků. Za předpokladu, že hodnota f_cd je redukovaná pevnost betonu (návrhová hodnota), je hodnota k_c2 redukována podle následujících pravidel.

σ_c2r < 0.11f_cd                                           k_c2=1.0
0.11f_cd < σ_c2r < 0.37f_cd                          k_c2 je lineární interpolace mezi 1,0 a hodnotou odečtenou z
                                                              grafu na obr. 2f
σ_c2r > 0.37f_cd                                           k_c2 je přímo odečtena z grafu na obr. 2f

Výztuž

Uvažuje se idealizovaný bilineární diagram napětí-přetvoření pro holé betonářské výztužné pruty, typicky definovaný návrhovými normami (obr. 2d). Definice tohoto diagramu vyžaduje pouze základní vlastnosti výztuže, které musí být známy ve fázi návrhu (pevnostní a tažnostní třída). Lze rovněž definovat uživatelsky definovaný vztah napětí-přetvoření.

Tahové zpevnění je zohledněno úpravou vstupního vztahu napětí-přetvoření holého výztužného prutu tak, aby byla zachycena průměrná tuhost prutů uložených v betonu (ε_m).

Model soudržnosti

Soudržnost s posunem (bond-slip) mezi výztuží a betonem je do modelu konečných prvků zavedena uvažováním zjednodušeného tuho-ideálně plastického konstitutivního vztahu uvedeného na obr. 2f, kde f_bd je návrhová hodnota (redukovaná hodnota) mezní hodnoty soudržnosti specifikovaná návrhovou normou pro dané podmínky soudržnosti.

Jedná se o zjednodušený model, jehož jediným účelem je ověřit požadavky na soudržnost podle návrhových norem (tj. kotvení výztuže). Redukci kotevní délky při použití háků, smyček a podobných tvarů prutů lze zohlednit definováním určité kapacity na konci výztuže, jak bude dále popsáno. 

Postup a cíle

Cílem návrhových nástrojů pro vyztužení v CSFM je pomoci projektantům efektivně určit umístění a potřebné množství vyztužujících prutů. K dispozici jsou následující nástroje, které uživateli v tomto procesu pomáhají / jej vedou: lineární výpočet a topologická optimalizace.

Nástroje pro návrh vyztužení uvažují zjednodušené konstitutivní modely ve srovnání s modely použitými pro finální posouzení konstrukce. Definice vyztužení v tomto kroku by proto měla být chápána jako předběžný návrh, který je nutné potvrdit/upravit během finálního kroku posouzení. Použití různých nástrojů pro návrh vyztužení bude znázorněno na modelu uvedeném na obr. 3, který se skládá z jednoho konce prostě podepřeného nosníku s proměnnou výškou zatíženého rovnoměrným zatížením.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model used to illustrate the use of the reinforcement design tools.}}}$$

Lineární analýza

Lineární analýza uvažuje lineárně pružné materiálové vlastnosti a nezohledňuje vyztužení v betonové oblasti. Jde tedy o velmi rychlý výpočet, který poskytuje první náhled na umístění tažených a tlačených oblastí. Příklad takového výpočtu je uveden na obr. 4.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Results from the linear analysis tool for defining reinforcement layout}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

Topologická optimalizace

Topologická optimalizace je metoda, jejímž cílem je nalézt optimální rozložení materiálu v daném objemu pro určitou konfiguraci zatížení. Topologická optimalizace implementovaná v aplikaci Idea StatiCa Detail využívá lineární model metody konečných prvků. Každý konečný prvek může mít relativní hustotu od 0 do 100 %, což představuje relativní množství použitého materiálu. Tyto hustoty prvků jsou optimalizačními parametry v úloze optimalizace. Výsledné rozložení materiálu je považováno za optimální pro daný soubor zatížení, pokud minimalizuje celkovou energii přetvoření systému. Podle definice je optimální rozložení také geometrií, která má největší možnou tuhost pro dané zatížení.

Iterativní proces optimalizace začíná homogenním rozložením hustoty. Výpočet se provádí pro několik celkových objemových podílů (20 %, 40 %, 60 % a 80 %), což umožňuje uživateli vybrat nejpraktičtější výsledek. Výsledný tvar se skládá z příhradových prutů s vzpěrami a táhly a představuje optimální tvar pro dané zatěžovací stavy (obr. 5).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Results from the topology optimization design tool with 20\% and 40\%  effective volume}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(red: areas in compression, blue: areas in tension).}}}$$

CSFM uvažuje spojitá pole napětí v betonu (2D konečné prvky), doplněná diskrétními „prutovými“ prvky reprezentujícími výztuž (1D konečné prvky). Výztuž tedy není difuzně vložena do 2D konečných prvků betonu, ale je explicitně modelována a spojena s nimi. Ve výpočtovém modelu je uvažován stav rovinné napjatosti.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Vizualizace výpočtového modelu konstrukčního prvku (zkrácený nosník) v Idea StatiCa Detail.}}}$$

Modelovat lze jak celé stěny a nosníky, tak i detaily (části) nosníků (izolovaná oblast diskontinuity, také nazývaná zkrácený konec). V případě stěn a celých nosníků musí být podpory definovány tak, aby výsledná konstrukce byla (externě) izostatická (staticky určitá), nebo hyperstatická (staticky neurčitá). Přenos zatížení na zkrácených koncích nosníků je zaveden pomocí speciální Saint-Venantovy přechodové zóny, která zajišťuje realistické rozložení napětí v analyzované oblasti detailu.

Pro modelování většiny situací, které mohou nastat v průběhu výstavby, je v CSFM k dispozici mnoho typů podpor (obr. 7) a prvků používaných pro přenos zatížení (obr. 8).

Podpory

Bodovou podporu lze modelovat několika způsoby, aby bylo zajištěno, že napětí nebude lokalizováno v jednom bodě, ale rozloženo na větší oblast. První možností je rozložená bodová podpora (obr. 7a), která rovnoměrně rozkládá zatížení na hraně prvku po zadané šířce.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 7\qquad Různé typy podpor:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bodová rozložená; (b) nosný plech; (c) liniová podpora; (d) plošná podpora; (e) závěsná.}}}$$

Plošná podpora (obr. 7d) může být naopak umístěna pouze uvnitř objemu betonu se zadaným efektivním poloměrem. Poté je spojena tuhými prvky s uzly sítě výztuže v rámci tohoto poloměru. Proto je nutné kolem plošné podpory definovat vyztužení.

Pro přesnější modelování některých reálných scénářů jsou k dispozici další dvě možnosti bodové podpory. První je bodová podpora s nosným plechem definované šířky a tloušťky (obr. 7b). Materiál nosného plechu lze specifikovat a celý nosný plech je síťován samostatně. Druhou možností je závěsná podpora (obr. 7e), kterou lze použít pro modelování zdvihacích kotev nebo zdvihacích trnů.

Liniovou podporu (obr. 7c) lze definovat na hraně (zadáním její délky) nebo uvnitř prvku (pomocí polyline). Je také možné zadat její tuhost a/nebo nelineární chování (podpora v tlaku/tahu nebo pouze v tlaku).

• Podrobný popis naleznete v Types of supports in IDEA StatiCa Detail

Prvky přenášející zatížení

Zavedení zatížení do konstrukce lze také modelovat několika způsoby. Pro bodová zatížení lze použít nosný plech (obr. 8a) podobně jako u bodové podpory, který rozkládá soustředěné zatížení na větší oblast díky ocelovému plechu se zadanou šířkou a tloušťkou. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 8\qquad Různé typy prvků pro přenos zatížení:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) nosný plech; (b) plošné zatížení; (c) závěsné zatížení; (d) částečně zatížená oblast.}}}$$

Bodové zatížení lze aplikovat buď přímo na povrch konstrukce se zadaným poloměrem působení (zatížení je aplikováno na betonové prvky), nebo prostřednictvím speciálního přenášejícího prvku zvaného plošné zatížení (obr. 8b a obr. 9). Plošné zatížení umožňuje přenášet zatížení přímo do definované výztuže umístěné v oblasti efektivního poloměru. Pro zajištění správné funkčnosti plošného zatížení je nutné definovat (ve vlastnostech výztuže) skupinu prutů, které budou propojeny se zatížením. Pokud propojená výztuž není definována, je mechanismus přenosu zatížení stejný jako u bodového zatížení umístěného na povrchu prvku, a zatížení je přenášeno vazbami do betonových prvků, nikoli přímo do výztuže. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 9\qquad Plošné zatížení: (a) aplikace zatížení; (b) zatížení přenášené prostřednictvím výztuže (je definována skupina prutů pro přenos zatížení);}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) zatížení přenášené prostřednictvím betonu (skupina prutů pro přenos zatížení není definována).}}}$$

Zdvihací kotvy nebo zdvihací trny lze modelovat pomocí závěsného zatížení (obr. 8c). Uživatel může použít částečně zatíženou oblast (obr. 8d), která umožňuje zvýšit únosnost betonu v tlaku podle Eurokódu (tento typ prvku pro přenos zatížení nelze použít, pokud je nastaven ACI). Konstrukce může být také zatížena liniovými zatíženími na hranách, obecnou polyline nebo plošnými zatíženími. Aplikace Detail je schopna automaticky zohlednit vlastní tíhu v analýze.

V mnoha případech je potřeba modelovat pouze určitý detail (část) prvku konstrukce, jako je podpora nosníku, otvor uprostřed nosníku apod. Tento přístup může vést k uspořádání podpor, které je nestabilní, ale v IDEA StatiCa Detail přípustné (včetně případu bez podpor). V takových případech je však také nutné modelovat průřez představující napojení na navazující B-oblast, včetně vnitřních sil v tomto průřezu, které splňují podmínku rovnováhy. V určitých případech (např. při modelování podpory nosníku) může program tyto vnitřní síly určit automaticky.

Mezi B-oblastí a analyzovanou oblastí diskontinuity se automaticky vytvoří přechodová oblast Saint-Venant, aby bylo zajištěno realistické rozložení napětí v analyzované oblasti. Šířka přechodové oblasti je určena jako polovina výšky průřezu. Protože jediným účelem oblasti Saint-Venant je dosáhnout správného rozložení napětí ve zbytku modelu, nejsou výsledky z této oblasti zobrazeny při posouzení a nejsou zde uvažována žádná kritéria zastavení.

Okraj oblasti Saint-Venant, který představuje ozub konce nosníku, je modelován jako tuhý, tj. může se natáčet, ale musí zůstat rovinný. Toho se dosahuje spojením všech uzlů MKP na tomto okraji se samostatným uzlem v těžišti průřezu pomocí tuhého tělesa (RBE2). Vnitřní síly prvku pak mohou být aplikovány v tomto uzlu, jak je uvedeno na obr. 10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 10\qquad Přenos vnitřních sil v místě ozubu.}}}$$

Redukce průřezu se automaticky provádí u konstrukcí definovaných jako nosníkový nebo rámový styčník (definovaný osou x a průřezem). Tato úprava se automaticky uplatní na průřezech s velmi širokými pásnicemi (obr. 11) a je založena na předpokladu, že by se tlakové napěťové pole šířilo od stěny pod úhlem 45°, takže zmíněná redukovaná šířka by byla maximální šířkou schopnou přenášet zatížení

Je třeba poznamenat, že metoda určení účinné šířky pásnice implementovaná v CSFM se liší od metody uvedené v 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015) nebo v 9.2.4.4 ACI 318-19. Kromě geometrie je účinná šířka pásnice podle Eurokódu explicitně ovlivněna délkami rozpětí a okrajovými podmínkami konstrukce.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}$$

V případě náběhů ležících v horizontální rovině (obr. 12) je každý náběh rozdělen po své délce na pět úseků. Každý z těchto úseků je pak modelován jako stěna o konstantní tloušťce, která se rovná skutečné tloušťce ve středu příslušného úseku.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}$$

Model nelineární (neelastické) analýzy metodou konečných prvků je vytvořen pomocí několika typů konečných prvků použitých pro modelování betonu, výztuže a soudržnosti mezi nimi. Prvky betonu a výztuže jsou nejprve vytvořeny sítí nezávisle na sobě a poté propojeny pomocí vazebních prvků (MPC elementy). To umožňuje, aby výztuž zaujímala libovolnou, relativní polohu vzhledem k betonu. Pokud má být vypočteno posouzení kotevní délky, jsou mezi výztuž a MPC elementy vloženy prvky soudržnosti a pružiny kotevního konce.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Beton

Beton je modelován pomocí čtyřúhelníkových a trojúhelníkových skořepinových prvků, CQUAD4 a CTRIA3. Tyto prvky mohou být definovány čtyřmi, respektive třemi uzly. V těchto prvcích se předpokládá pouze rovinná napjatost, tj. napětí nebo přetvoření ve směru z se neuvažují.

Každý prvek má čtyři nebo tři integrační body, které jsou umístěny přibližně v 1/4 jeho velikosti. V každém integračním bodě každého prvku se počítají směry hlavních přetvoření α₁, α₂. V obou těchto směrech se hlavní napětí σ_c1, σ_c2 a tuhosti E₁, E₂ vyhodnocují podle zadaného pracovního diagramu betonu napětí-přetvoření, viz Obr. 2. Je třeba poznamenat, že vliv účinku tlakového změkčení propojuje chování v hlavním tlakovém směru se skutečným stavem v druhém hlavním směru.

Výztuž

Výztužné pruty jsou modelovány dvouuzlovými 1D prvky „rod“ (CROD), které mají pouze osovou tuhost. Tyto prvky jsou spojeny se speciálními prvky „bond“, které byly vyvinuty pro modelování posunu (prokluzu) mezi výztužným prutem a okolním betonem. Tyto prvky soudržnosti jsou následně spojeny prostřednictvím MPC prvků (vazebních prvků) se sítí reprezentující beton. Tento přístup umožňuje nezávislé vytvoření sítě výztuže a betonu, přičemž jejich vzájemné propojení je zajištěno později.

Prvky soudržnosti

Kotevní délka se posuzuje pomocí implementace smykových napětí soudržnosti mezi betonovými prvky (2D) a prvky výztužných prutů (1D) v modelu metody konečných prvků. Za tímto účelem byl vyvinut typ konečného prvku „bond“.

Definice prvku soudržnosti je podobná definici skořepinového prvku (CQUAD4). Je také definován 4 uzly, ale na rozdíl od skořepiny má nenulovou tuhost pouze ve smyku mezi dvěma horními a dvěma dolními uzly. V modelu jsou horní uzly spojeny s prvky reprezentujícími výztuž a dolní uzly s prvky reprezentujícími beton. Chování tohoto prvku je popsáno napětím soudržnosti, τ_b, jako bilineární funkcí posunu mezi horními a dolními uzly, δ_u, viz Obr. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

Modul pružnosti (tuhosti) vztahu soudržnost-posun, G_b, je definován následovně:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

kde:

k_g            koeficient závislý na povrchu výztužného prutu (výchozí hodnota k_g = 0,2)

E_c            modul pružnosti betonu (v případě EN uvažován jako E_cm)

Ø             průměr výztužného prutu

Návrhové hodnoty (redukované hodnoty) mezního smykového napětí soudržnosti, f_bd, uvedené v příslušných zvolených návrhových normách EN 1992-1-1 nebo ACI 318-19, se používají k posouzení kotevní délky. Zpevnění plastické větve je standardně vypočteno jako G_b/10⁵.

Kotevní pružina

Provedení kotevních konců výztužných prutů (tj. ohyby, háky, smyčky…), které splňuje předpisy návrhových norem, umožňuje zkrácení základní kotevní délky prutů (l_b,net) o určitý koeficient β (dále označovaný jako „kotevní koeficient“). Návrhová hodnota kotevní délky (l_b) se pak vypočítá následovně:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

Zamýšlené zkrácení l_b,net odpovídá aktivaci výztužného prutu na jeho konci na procento jeho maximální kapacity, dané kotevním redukčním koeficientem, jak je uvedeno na Obr. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

Zkrácení kotevní délky je zahrnuto v modelu metody konečných prvků prostřednictvím pružinového prvku na konci prutu (Obr. 15), který je definován konstitutivním modelem uvedeným na Obr. 15b. Maximální síla přenášená touto pružinou (F_au) je:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

kde:

β             kotevní koeficient závislý na typu kotvení,

A_s            průřezová plocha výztužného prutu,

f_yd           návrhová hodnota (redukovaná hodnota) meze kluzu výztuže.

Konečné prvky jsou implementovány interně a výpočetní model se generuje automaticky bez nutnosti zásahu zkušeného uživatele. Důležitou součástí tohoto procesu je tvorba sítě konečných prvků.

Beton

Všechny betonové prvky jsou zasíťovány společně. Doporučená velikost prvku sítě je automaticky vypočtena aplikací na základě velikosti a tvaru konstrukce a s ohledem na průměr největšího výztužného prutu. Doporučená velikost prvku navíc zaručuje, že v tenkých částech konstrukce, jako jsou štíhlé sloupy nebo tenké desky, budou vygenerovány minimálně 4 prvky, což zajišťuje spolehlivé výsledky v těchto oblastech. Maximální počet betonových prvků je omezen na 5000, přičemž tato hodnota je pro většinu konstrukcí dostatečná k dosažení doporučené velikosti prvku. Projektant může vždy zvolit uživatelsky definovanou velikost betonového prvku úpravou multiplikátoru výchozí velikosti sítě.

Výztuž

Výztuž je rozdělena na prvky s přibližně stejnou délkou, jako je velikost betonového prvku sítě. Po vygenerování sítě výztuže a betonu jsou tyto sítě propojeny prvky soudržnosti, jak je znázorněno na obr. 13.

Nosné plechy

Pomocné konstrukční části, jako jsou nosné plechy, jsou zasíťovány samostatně. Velikost těchto prvků se vypočítá jako 2/3 velikosti betonových prvků v oblasti přípoje. Uzly sítě nosného plechu jsou poté propojeny s okrajovými uzly betonové sítě pomocí interpolačních vazebných prvků (RBE3).

Zatížení a podpory

Plošná zatížení a plošné podpory jsou připojeny pouze k výztuži, jak je znázorněno na obr. 16. Proto je nutné kolem nich definovat výztuž. Propojení se všemi uzly výztuže v rámci efektivního poloměru je zajištěno prvky RBE3 se stejnou váhou.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}$$

Liniové podpory a liniová zatížení jsou připojeny k uzlům betonové sítě pomocí prvků RBE3 na základě zadané šířky nebo efektivního poloměru. Váha spojení je nepřímo úměrná vzdálenosti od podpory nebo impulsu zatížení.

• Více o vzájemném propojení jednotlivých zatížení a sítě konečných prvků se dozvíte v General description of Load impulses in Detail application

Pro nalezení řešení nelineární úlohy MKP se používá standardní úplný Newton-Raphsonův (NR) algoritmus. 

NR algoritmus obecně často nekonverguje, pokud je celé zatížení aplikováno v jednom kroku. Běžným přístupem, který je použit i zde, je aplikovat zatížení postupně v několika přírůstcích a použít výsledek z předchozího přírůstku zatížení jako počáteční hodnotu pro Newtonovo řešení následujícího přírůstku. Za tímto účelem byl nad rámec Newton-Raphsonovy metody implementován algoritmus řízení zatížení. V případě, že NR iterace nekonvergují, je aktuální přírůstek zatížení zmenšen na polovinu své hodnoty a NR iterace jsou zopakovány.

Druhým účelem algoritmu řízení zatížení je nalezení kritického zatížení, které odpovídá určitým „stop kritériím“ – konkrétně maximálnímu přetvoření betonu, maximálnímu prokluzu v prvcích soudržnosti, maximálnímu posunu v kotevních prvcích a maximálnímu přetvoření betonářské výztuže. Kritické zatížení se hledá metodou bisekce. V případě, že je stop kritérium kdekoli v modelu překročeno, výsledky posledního přírůstku zatížení se zahodí a vypočítá se nový přírůstek o polovinu velikosti předchozího. Tento proces se opakuje, dokud není kritické zatížení nalezeno s určitou tolerancí chyby.

Pro beton bylo stop kritérium stanoveno na 5 % přetvoření v tlaku (tj. přibližně o řád větší, než je skutečné přetvoření při porušení betonu) a 7 % v tahu v integračních bodech skořepinových prvků. V tahu byla hodnota zvolena tak, aby bylo dříve dosaženo mezního přetvoření výztuže, které bez uvažování tahového zpevnění obvykle činí kolem 5 %. V tlaku byla hodnota vybrána z několika alternativ jako taková, která je dostatečně velká, aby byly ve výsledcích viditelné účinky rozdrcení betonu, ale zároveň dostatečně malá, aby nezpůsobovala příliš mnoho problémů s numerickou stabilitou.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 17\qquad Konstitutivní vztah prvků soudržnosti a kotevních prvků použitých pro ověření kotevní délky:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) odezva smykového napětí soudržnosti na prokluz u prvku soudržnosti; (b) odezva síla-posun u kotevního prvku.}}}$$

Pro výztuž je stop kritérium definováno v pojmech napětí. Protože je modelováno napětí v trhlině, kritérium v tahu odpovídá tahové pevnosti výztuže s uvažováním součinitele bezpečnosti. Stejná hodnota se používá pro kritérium v tlaku.

Stop kritérium v prvcích soudržnosti a kotevních pružinách je α·δu_max, kde δu_max je maximální prokluz použitý při normových posouzeních a α = 10.

Výsledky jsou prezentovány samostatně pro beton a pro prvky výztuže. Napětí a přetvoření v betonu se počítají v integračních bodech skořepinových prvků. Vzhledem k tomu, že prezentace dat v této podobě není praktická, jsou výsledky standardně prezentovány v uzlech, například jako maximální hodnota tlakového napětí z přilehlých Gaussových integračních bodů v navazujících prvcích (obr. 18). Je třeba upozornit, že toto zobrazení může lokálně podhodnotit výsledky na tlačených okrajích prvků v případě, že velikost konečného prvku je podobná výšce tlačené oblasti.

Obr. 18 - Betonový konečný prvek s integračními body a uzly: prezentace výsledků pro beton v uzlech a v konečných prvcích.

Výsledky pro prvky výztuže jsou buď konstantní pro každý prvek (jedna hodnota – např. pro napětí v oceli), nebo lineární (dvě hodnoty – pro výsledky soudržnosti). Pro pomocné prvky, jako jsou prvky nosných plechů, jsou prezentovány pouze deformace.

Posouzení konstrukce pomocí CSFM se provádí dvěma různými analýzami: jednou pro kombinace zatížení na mezní stav použitelnosti a druhou pro kombinace zatížení na mezní stav únosnosti. Analýza na mezní stav použitelnosti předpokládá, že mezní chování prvku je vyhovující a že úrovně zatížení pro mezní stav použitelnosti nedosáhnou podmínek kluzu materiálu. Tento přístup umožňuje použít zjednodušené konstitutivní modely (s lineární větví diagramu napětí-přetvoření betonu) pro analýzu na mezní stav použitelnosti, což zvyšuje numerickou stabilitu a rychlost výpočtu. Proto se doporučuje použít níže uvedený postup, ve kterém je analýza na mezní stav únosnosti provedena jako první krok.

Analýza na mezní stav únosnosti

Jednotlivá posouzení požadovaná konkrétními návrhovými normami se hodnotí na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Posouzení MSÚ se provádí pro pevnost betonu, pevnost výztuže a kotvení (smyková napětí soudržnosti).

Aby byl konstrukční prvek navržen efektivně, důrazně se doporučuje provést předběžnou analýzu, která zohledňuje následující kroky:

• Vyberte nejkritičtější kombinace zatížení.
• Počítejte pouze kombinace zatížení pro mezní stav únosnosti (MSÚ).
• Použijte hrubou síť (zvýšením multiplikátoru výchozí velikosti sítě v nastavení Setup (obr. 19)).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}$$

Takový model se počítá velmi rychle, což umožňuje projektantům efektivně zkontrolovat vyztužení konstrukčního prvku a znovu provést analýzu, dokud nejsou splněny všechny požadavky posouzení pro nejkritičtější kombinace zatížení. Jakmile jsou splněny všechny požadavky posouzení této předběžné analýzy, doporučuje se zahrnout kompletní kombinace zatížení pro mezní stav únosnosti a použít jemnou velikost sítě (velikost sítě doporučenou programem). Uživatel může velikost sítě změnit pomocí multiplikátoru, který může dosahovat hodnot od 0,5 do 5 (obr. 19).

Základní výsledky a posouzení (napětí, přetvoření a využití (tj. vypočtená hodnota/limitní hodnota podle normy), jakož i směr hlavních napětí v případě betonových prvků) se zobrazují prostřednictvím různých grafů, kde je tlak obecně zobrazen červeně a tah modře. Lze zvýraznit globální minimální a maximální hodnoty pro celou konstrukci, jakož i minimální a maximální hodnoty pro každou uživatelem definovanou část. Na samostatné záložce programu lze zobrazit pokročilé výsledky, jako jsou hodnoty tenzorů, deformace konstrukce a stupně vyztužení (efektivní a geometrický) použité pro výpočet tahového zpevnění výztužných tyčí. Dále lze zobrazit zatížení a reakce pro vybrané kombinace nebo zatěžovací stavy.

Analýza na mezní stav použitelnosti

Posouzení MSP se provádí pro omezení napětí, šířku trhlin a limity deformací. Napětí se kontrolují v betonových a výztužných prvcích podle platné normy obdobným způsobem jako u MSÚ.

Analýza na mezní stav použitelnosti obsahuje určitá zjednodušení konstitutivních modelů, která se používají pro analýzu na mezní stav únosnosti. Předpokládá se perfektní soudržnost, tj. kotevní délka se při mezním stavu použitelnosti neověřuje. Dále se neuvažuje plastická větev pracovního diagramu napětí-přetvoření betonu v tlaku, zatímco pružná větev je lineární a nekonečná. Tato zjednodušení zvyšují numerickou stabilitu a rychlost výpočtu a nesnižují obecnost řešení, pokud jsou výsledné limity napětí materiálu při mezním stavu použitelnosti jednoznačně pod jejich mezí kluzu (jak požadují normy). Proto jsou zjednodušené modely použité pro mezní stav použitelnosti platné pouze tehdy, jsou-li splněny všechny požadavky posouzení.

Výpočet šířky trhlin a tahové zpevnění

Výpočet šířky trhlin

Existují dva způsoby výpočtu šířky trhlin – stabilizované a nestabilizované trhliny. Podle geometrického stupně vyztužení v každé části konstrukce se rozhoduje, který typ modelu pro výpočet trhlin bude použit (TCM pro stabilizované trhliny a POM pro model nestabilizovaných trhlin).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Zatímco CSFM poskytuje přímý výsledek pro většinu posouzení (např. únosnost prvku, deformace…), výsledky šířky trhlin se počítají z výsledků přetvoření výztuže přímo poskytnutých MKP analýzou podle metodiky popsané na obr. 20. Uvažuje se kinematika trhliny bez skluzu (čisté otevření trhliny) (obr. 20a), což je v souladu se základními předpoklady modelu. Hlavní směry napětí a přetvoření definují sklon trhlin (θ_r = θ_s= θ_e). Podle (obr. 20b) lze šířku trhliny (w) promítnout do směru výztužné tyče (w_b), což vede k:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

kde θ_b je sklon výztužné tyče.

Upozorňujeme, že program zobrazuje hodnoty θ_r a θ_b < π/2. To znamená, že předchozí rovnice platí pro případy, kdy výztuž a trhlina procházejí různými kvadranty kartézské souřadnicové soustavy, jak je uvedeno na obr. 20, kde výztuž prochází I. a III. kvadrantem a trhlina II. a IV. kvadrantem. Pro případy, kdy výztuž a trhlina procházejí stejnými kvadranty, musí být rovnice upravena následovně:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

Složka w_b se konzistentně vypočítá na základě modelů tahového zpevnění integrací přetvoření výztuže. V oblastech s plně rozvinutým obrazcem trhlin se vypočtená průměrná přetvoření (e_m) podél výztužných tyčí přímo integrují po rozteči trhlin (s_r), jak je uvedeno na (obr. 20c). Ačkoli tento přístup k výpočtu směrů trhlin neodpovídá skutečné pozici trhlin, i tak poskytuje reprezentativní hodnoty, které vedou k výsledkům šířky trhlin, jež lze porovnat s normovými požadavky na šířku trhlin v místě výztužné tyče.

Zvláštní situace se sledují u konkávních rohů posuzované konstrukce. V tomto případě roh předurčuje pozici jediné trhliny, která se před vznikem dalších přilehlých trhlin chová nestabilizovaně. Tyto další trhliny se obecně vytvářejí až po dosažení mezního stavu použitelnosti (Mata-Falcón 2015), což opravňuje k výpočtu šířky trhlin v takové oblasti, jako by byly nestabilizované (obr. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Tahové zpevnění

Implementace tahového zpevnění rozlišuje mezi případy stabilizovaného a nestabilizovaného obrazce trhlin. V obou případech je beton ve výchozím stavu uvažován jako plně porušený trhlinami ještě před zatížením.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Stabilizované trhliny

U plně rozvinutých obrazců trhlin je tahové zpevnění zavedeno pomocí modelu Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – obr. 22a – který, jak bylo prokázáno, poskytuje i přes svoji jednoduchost výborné predikce chování (Burns 2012). TCM předpokládá stupňovitý, tuze-ideálně plastický vztah smykového napětí soudržnosti a skluzu s τ_b = τ_b0 =2 f_ctm pro σ_s ≤ f_y a τ_b =τ_b1 = f_ctm pro σ_s > f_y. Uvažováním každé výztužné tyče jako tahového pásu ­– obr. 22b a obr. 22a – lze určit rozdělení smykového napětí soudržnosti, napětí v oceli a betonu, a tedy i rozdělení přetvoření mezi dvěma trhlinami pro jakoukoli danou hodnotu maximálního napětí (nebo přetvoření) v oceli v trhlinách.

Pro s_r = s_r0 se může, ale nemusí vytvořit nová trhlina, protože ve středu mezi dvěma trhlinami platí σ_c1 = f_ct. V důsledku toho se rozteč trhlin může lišit faktorem dva, tj. s_r = λs_r0, s l = 0,5…1,0. Za předpokladu určité hodnoty λ lze průměrné přetvoření pásu (ε_m) vyjádřit jako funkci maximálního napětí ve výztuži (tj. napětí v trhlinách, σ_sr). Pro idealizovaný bilineární diagram napětí-přetvoření holých výztužných tyčí, uvažovaný v CSFM ve výchozím stavu, byly odvozeny následující uzavřené analytické výrazy (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

kde:
E_sh           modul zpevnění oceli E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            modul pružnosti výztuže,

Ø            průměr výztužné tyče,

s_r                rozteč trhlin,

σ_sr           napětí ve výztuži v trhlinách,

σ_s            skutečné napětí ve výztuži,

f_y                mez kluzu výztuže.

Implementace CSFM v IDEA StatiCa Detail ve výchozím stavu uvažuje průměrnou rozteč trhlin při provádění počítačově podporované analýzy napěťových polí. Průměrná rozteč trhlin se uvažuje jako 2/3 maximální rozteče trhlin (λ = 0,67), což vychází z doporučení učiněných na základě ohybových a tahových zkoušek (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Je třeba poznamenat, že výpočty šířky trhlin uvažují maximální rozteč trhlin (λ = 1,0), aby byly získány konzervativní hodnoty.

Použití TCM závisí na stupni vyztužení, a proto je klíčové přiřazení odpovídající plochy betonu působící v tahu mezi trhlinami každé výztužné tyči. Byl vyvinut automatický numerický postup pro definování odpovídajícího efektivního stupně vyztužení (ρ_eff = A_s/A_c,eff) pro jakoukoli konfiguraci, včetně kosoúhlé výztuže (obr. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Nestabilizované trhliny

Trhliny vyskytující se v oblastech s geometrickým stupněm vyztužení nižším než ρ_cr, tj. minimálním množstvím výztuže, při kterém je výztuž schopna přenést zatížení způsobující vznik trhlin bez dosažení kluzu, vznikají buď nemechanickými vlivy (např. smršťováním), nebo šířením trhlin řízeným jinou výztuží. Hodnota tohoto minimálního vyztužení se získá následovně:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

kde:

f_y              mez kluzu výztuže,

f_ct             pevnost betonu v tahu,

n              modulární poměr, n = E_s / E_c .

Pro konvenční beton a výztužnou ocel je ρ_cr přibližně 0,6 %.

U třmínků se stupněm vyztužení nižším než ρ_cr se trhliny považují za nestabilizované a tahové zpevnění se zavádí pomocí modelu Pull-Out Model (POM) popsaného na obr. 22b. Tento model analyzuje chování jediné trhliny bez uvažování mechanické interakce mezi jednotlivými trhlinami, přičemž se zanedbává deformovatelnost betonu v tahu a předpokládá se stejný stupňovitý, tuze-ideálně plastický vztah smykového napětí soudržnosti a skluzu jako u TCM. To umožňuje získat rozdělení přetvoření výztuže (ε_s) v okolí trhliny pro jakékoli maximální napětí v oceli v trhlině (σ_sr) přímo z podmínek rovnováhy. S ohledem na to, že rozteč trhlin není u ne zcela rozvinutého obrazce trhlin známa, se průměrné přetvoření (ε_m) počítá pro jakoukoli úroveň zatížení na vzdálenosti mezi body s nulovým skluzem, kdy výztužná tyč v trhlině dosáhne své tahové pevnosti (f_t) (l_ε,avg na obr. 22b), což vede k následujícím vztahům:

Navržené modely umožňují stanovit chování soudržnosti výztuže, které je následně uvažováno v analýze. Toto chování (včetně tahového zpevnění) pro nejběžnější evropskou výztužnou ocel (B500B, s f_t / f_y = 1,08 a ε_u = 5 %) je znázorněno na obr. 22c-d.

Beton – MSÚ

Materiálový model betonu implementovaný v CSFM je založen na pracovních diagramech pro jednoosý tlak předepsaných normou EN 1992-1-1 pro navrhování průřezů, které závisí pouze na pevnosti v tlaku. Ve výchozím nastavení se v CSFM používá parabolicko-rektangulární diagram uvedený v EN 1992-1-1 čl. 3.1.7 (1) (obr. 24a), projektanti však mohou zvolit i zjednodušený elastický ideálně plastický vztah podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.7 (2) (obr. 24b). Pevnost v tahu se neuvažuje, stejně jako u klasického navrhování železobetonu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}$$

Implementace CSFM v aplikaci IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení v podobě přetvoření pro beton v tlaku (tj. po dosažení vrcholového napětí uvažuje plastickou větev s hodnotou ε_cu2 (ε_cu3) rovnou 5 %, zatímco EN 1992-1-1 předpokládá mezní přetvoření menší než 0,35 %). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí porušených tlakem. Jejich mezní únosnost f_cd podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.3 je však správně předpovězena, pokud se kromě součinitele porušeného betonu (k_c2 definovaného na obr. 25) zohlední i nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností pomocí redukčního součinitele $\eta_{fc}$ definovaného v Model Code 2010 organizace fib následovně:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

α_cc je součinitel zohledňující dlouhodobé účinky na pevnost v tlaku a nepříznivé účinky vyplývající ze způsobu zatěžování. Je stanoven podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.6 (1). Výchozí hodnota je 1,0.

k_c je celkový redukční součinitel pevnosti v tlaku

k_c2 je redukční součinitel zohledňující přítomnost příčných trhlin

f_ck je charakteristická válcová pevnost betonu (v MPa pro definici $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}$$

Beton – MSP

Analýza mezního stavu použitelnosti obsahuje určitá zjednodušení materiálových modelů, které se používají pro analýzu mezního stavu únosnosti. Plastická větev pracovního diagramu betonu v tlaku se neuvažuje, zatímco elastická větev je lineární a neomezená. Tlakové změkčení se neuvažuje. Tato zjednodušení zvyšují numerickou stabilitu a rychlost výpočtu a neomezují obecnost řešení, pokud jsou výsledná napětí v materiálu při mezním stavu použitelnosti jednoznačně pod mezí kluzu (jak požaduje Eurokód). Zjednodušené modely použité pro mezní stav použitelnosti jsou proto platné pouze tehdy, jsou-li splněny všechny požadavky na ověření.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Dlouhodobé účinky

Při analýze mezního stavu použitelnosti se dlouhodobé účinky betonu uvažují pomocí efektivního nekonečného součinitele dotvarování ($\varphi$, ve výchozím nastavení s hodnotou 2,5), který upravuje sečnový modul pružnosti betonu (E_cm) podle EN 1992-1-1, čl. 3.1.4 (3), resp. 7.4.3 (5), následovně:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

Při uvažování dlouhodobých účinků se nejprve vypočítá zatěžovací krok se všemi stálými zatíženími s uvažováním součinitele dotvarování (tj. s použitím efektivního modulu pružnosti betonu E_c,eff) a následně se vypočítají doplňková zatížení bez uvažování součinitele dotvarování (tj. s použitím E_cm). Pro krátkodobé ověření se navíc provádí další výpočet, ve kterém se všechna zatížení počítají bez součinitele dotvarování. Oba výpočty pro dlouhodobé a krátkodobé ověření jsou zobrazeny na obr. 26.

Součinitele dotvarování definuje uživatel v materiálových vlastnostech a musí být vypočteny podle EN 1992-1-1, obr. 3.1.

Výztuž

Ve výchozím nastavení se uvažuje idealizovaný bilineární pracovní diagram pro holé betonářské výztužné pruty definovaný v EN 1992-1-1, čl. 3.2.7 (obr. 27). Definice tohoto diagramu vyžaduje ve fázi návrhu znalost pouze základních vlastností výztuže (pevnostní a duktilní třída). Pokud je to známo, lze uvažovat skutečný pracovní diagram výztuže (za tepla válcovaná, za studena tvářená, kalená a samopopuštěná apod.). Pracovní diagram výztuže může definovat uživatel, v takovém případě však není možné uvažovat efekt tahového zpevnění (nelze vypočítat šířku trhlin). Použití pracovního diagramu s horizontální horní větví neumožňuje ověření trvanlivosti konstrukce. Proto je nutné manuální ověření standardních požadavků na duktilitu.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$

Tahové zpevnění (obr. 28)  se automaticky zohledňuje úpravou vstupního pracovního diagramu holého výztužného prutu tak, aby zachycoval průměrnou tuhost prutů zabudovaných v betonu (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method je v souladu s moderními návrhovými normami. Jelikož výpočetní modely používají pouze standardní materiálové charakteristiky, lze bez jakýchkoli úprav použít formát dílčích součinitelů bezpečnosti předepsaný v návrhových normách. Vstupní zatížení jsou tak násobena součiniteli a charakteristické materiálové charakteristiky jsou redukovány pomocí příslušných bezpečnostních součinitelů předepsaných v návrhových normách, stejně jako u konvenční analýzy betonu. Hodnoty materiálových bezpečnostních součinitelů předepsané v EN 1992-1-1 kap. 2.4.2.4 jsou nastaveny jako výchozí, uživatel však může bezpečnostní součinitele změnit v nastavení Norma a výpočet (obr. 29).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 29\qquad Nastavení  materiálových bezpečnostních součinitelů v Idea StatiCa Detail.}}}$$

Součinitele bezpečnosti zatížení musí uživatel definovat v Pravidlech kombinací pro každou nelineární kombinaci zatěžovacích stavů (obr. 30). Pro všechny šablony implementované v Idea StatiCa Detail jsou dílčí bezpečnostní součinitele již předdefinovány.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 30\qquad Nastavení  dílčích součinitelů zatížení v Idea StatiCa Detail.}}}$$

Použitím vhodných uživatelsky definovaných kombinací dílčích bezpečnostních součinitelů mohou uživatelé počítat s CSFM i metodou globálního součinitele odolnosti (Navrátil, et al. 2017), tento přístup se však v praxi návrhu prakticky nepoužívá. Některé směrnice doporučují používat metodu globálního součinitele odolnosti pro nelineární analýzu. V případě zjednodušených nelineárních analýz (jako je CSFM), které vyžadují pouze materiálové charakteristiky používané při konvenčních ručních výpočtech, je však stále vhodnější použít formát dílčích součinitelů bezpečnosti.

Různé posudky požadované normou EN 1992-1-1 jsou vyhodnoceny na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Posudky MSÚ jsou provedeny pro pevnost betonu, pevnost výztuže a kotvení (smyková napětí soudržnosti).

Pevnost betonu v tlaku je vyhodnocena jako poměr mezi maximálním hlavním tlakovým napětím σ_c = σ_c2 získaným z MKP analýzy a limitní hodnotou σ_c,lim = f_cd. 

Pevnost výztuže je vyhodnocena jak v tahu, tak v tlaku jako poměr mezi napětím ve výztuži v místě trhlin σ_sr a specifikovanou limitní hodnotou σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{pro bilineární diagram se sklonem horní větve}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{pro bilineární diagram s horizontální horní větví}}$

kde:

f_yk        mez kluzu výztuže podle EN 1992-1-1 čl. 3.2.3,

k          poměr mezi pevností v tahu f_tk a mezí kluzu,
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             je dílčí součinitel bezpečnosti pro výztuž

Smykové napětí soudržnosti je vyhodnoceno samostatně jako poměr mezi napětím soudržnosti τ_b vypočteným MKP analýzou a mezní pevností soudržnosti f_bd, podle EN 1992-1-1 kap. 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

kde:

f_ctd      je návrhová hodnota pevnosti betonu v tahu podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.6 (2). Vzhledem k rostoucí křehkosti betonu vyšší pevnosti je f_ctk,0.05 omezena hodnotou platnou pro C60/75 podle EN 1992-1-1 čl. 8.4.2 (2)

η₁       je součinitel související s kvalitou podmínek soudržnosti a polohou prutu při betonování (obr. 31).

η₁ = 1,0 při dosažení „dobrých“ podmínek a

η₁ = 0,7 pro všechny ostatní případy a pro pruty v konstrukčních prvcích zhotovených posuvným bedněním, pokud nelze prokázat, že existují „dobré“ podmínky soudržnosti

η₂        souvisí s průměrem prutu:

            η₂ = 1,0 pro Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 pro Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 31\qquad EN 1992-1-1 Obrázek 8.2 - Popis podmínek soudržnosti.}}}$$

V aplikaci IDEA StatiCa Detail jsou podmínky soudržnosti zohledněny podle obr. 31 c) a d). Směr betonování lze v aplikaci nastavit pro každou položku projektu následujícím způsobem.

Tyto posudky jsou provedeny s ohledem na příslušné limitní hodnoty pro dané části konstrukce (tj. i přesto, že je použita jediná třída jak pro beton, tak pro materiál výztuže, výsledné diagramy napětí-přetvoření se v jednotlivých částech konstrukce liší v důsledku vlivů tahového zpevnění a tlakového změkčení).

Existuje také možnost modelovat hladké pruty výztuže. Více informací naleznete zde: Hladké pruty výztuže v Detail

Celková síla F_tot a Limitní síla F_lim

Celková síla F_tot je výsledkem analýzy metodou konečných prvků a lze ji definovat dvěma způsoby.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

kde A_s je plocha prutu výztuže a σ_s je napětí v prutu.

Nebo jako součet kotevní síly F_a a síly soudržnosti F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

kde F_a je skutečná síla v kotevní pružině a F_bond je síla soudržnosti, kterou lze získat integrací napětí soudržnosti τ_b po délce prutu výztuže l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s je obvod prutu výztuže.

Limitní síla F_lim je maximální síla v prvku prutu výztuže s ohledem na mezní pevnost prutu a také podmínky kotvení (soudržnost mezi betonem a výztuží a kotevní háky, smyčky atd.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

kde C_s je obvod prutu výztuže a l je délka od začátku prutu výztuže do zkoumaného bodu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 32\qquad Definice limitní síly Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

kde F_lim,add je přídavná síla vypočtená z velikosti úhlu mezi sousedními prvky. F_lim,2 musí být vždy menší než F_u.

Dostupné typy kotvení v CSFM zahrnují přímý prut (tj. bez redukce na konci kotvy), ohyb, hák, smyčku, přivařený příčný prut, dokonalou soudržnost a průběžný prut. Všechny tyto typy, včetně příslušných součinitelů kotvení β, jsou zobrazeny na obr. 32 pro podélnou výztuž a na obr. 33 pro třmínky. Hodnoty použitých součinitelů kotvení jsou v souladu s EN 1992-1-1 kapitola 8.4.4 tab. 8.2. Je třeba poznamenat, že i přesto, že jsou k dispozici různé možnosti, CSFM rozlišuje tři typy konců kotvení: (i) bez redukce kotevní délky, (ii) redukce o 30 % kotevní délky v případě normalizovaného kotvení a (iii) dokonalá soudržnost.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 33\qquad  Dostupné typy kotvení a příslušné součinitele kotvení pro podélné pruty výztuže v CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) přímý prut; (b) ohyb; (c) hák; (d) smyčka; (e) přivařený příčný prut; (f) dokonalá soudržnost; (g) průběžný prut.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Obr. 33\qquad  Dostupné typy kotvení a příslušné součinitele kotvení pro třmínky.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Uzavřené třmínky: (a) hák; (b) ohyb; (c) přesah. Otevřené třmínky: (d) hák; (e) průběžný prut.}}}$$

Aby byl výpočet v souladu s EN 1992-1-1, měla by být ve výpočtu použita kotevní pružina, kotevní pružina je modifikována součinitelem β, takže uživatel musí při definování počáteční a koncové podmínky výztuže použít jeden z dostupných typů kotvení. 

Při navrhování betonových konstrukcí se setkáváme se dvěma velkými skupinami částečně zatížených oblastí (PLA) – první z nich tvoří podpory, druhou pak kotevní oblasti. Podle aktuálně platných norem pro navrhování železobetonových konstrukcí EN 1992-1-1 kap. 6.7 (obr. 34) je nutné u částečně zatížených oblastí uvažovat lokální porušení betonu a příčné tahové síly. Pro rovnoměrně rozložené zatížení na ploše A_c0 lze tlakovou únosnost betonu zvýšit až trojnásobně v závislosti na návrhové rozdělovací ploše A_c1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}$$

Částečně zatížená oblast musí být dostatečně vyztužena příčnou výztuží navrženou tak, aby přenesla roztlačující síly, které v této oblasti vznikají. Pro návrh příčné výztuže v částečně zatížených oblastech se podle Eurokódu používá metoda vzpěra-táhlo. Bez potřebné příčné výztuže není možné uvažovat se zvýšením tlakové únosnosti betonu.

Částečně zatížené oblasti v CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Pomocí CSFM je možné navrhovat a posuzovat železobetonové konstrukce se zahrnutím vlivu zvýšené tlakové odolnosti betonu v částečně zatížených oblastech. Protože je CSFM stěnový (2D) model a částečně zatížené oblasti jsou prostorovou (3D) úlohou, bylo nutné najít řešení, které tyto dva odlišné typy úloh spojí (obr. 35). Pokud je aktivována funkce „částečně zatížené oblasti“, vytvoří se přípustná geometrie kužele podle Eurokódu (obr. 34). Všechny geometrické kolize se řeší zcela ve 3D pro zadanou geometrii betonového prvku a rozměry každé PLA. Následně se vytvoří výpočetní model částečně zatížené oblasti.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Úprava materiálového modelu se ukázala jako nevhodný přístup, především proto, že mapování vlastností na síť konečných prvků je problematické. Bylo zjištěno, že vhodnějším řešením je přístup nezávislý na síti konečných prvků. Pro známou geometrii tlakového kužele se vytvoří zcela souvislé fiktivní vzpěry (obr. 35 a obr. 37). Tyto vzpěry mají shodné materiálové vlastnosti jako beton použitý v modelu, včetně diagramu napětí-přetvoření. Tvar kužele určuje směr vzpěr, které postupně rozkládají zatížení z PLA na návrhovou rozdělovací plochu. Plošná hustota fiktivních vzpěr je v každé části kužele proměnná a přidává fiktivní plochu betonu ve směru zatížení. Na úrovni zatížené plochy (A_c0) se přidává fiktivní plocha betonu podle poměru $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  (kde A_real je plocha podpory uvažovaná ve 2D výpočetním modelu), a tato plocha lineárně klesá k nule směrem k návrhové rozdělovací ploše (A_c1). Toto řešení zajišťuje, že tlakové napětí v betonu je konstantní po celém objemu kužele.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Odolnost částečně zatížené oblasti se zvyšuje podle poměru návrhové rozdělovací plochy a zatížené plochy stanoveného v EN 1992-1-1  (6.7).  Je třeba mít na paměti, že se jedná o návrhový model, který nemůže přesně popsat stav napjatosti v částečně zatížené oblasti, jehož skutečný průběh je mnohem složitější. Toto řešení však umožňuje správné rozložení zatížení v celém modelu při současném respektování zvýšené únosnosti částečně zatížené oblasti. Kromě toho správně zavádí příčná napětí v této oblasti.

Při použití funkce Částečně zatížené oblasti k simulaci zvýšení tlakové únosnosti betonu je nutné provést normové posouzení samostatně podle EN 1992-1-1, čl. 6.7 (2). Příčné tahové síly (roztlačující síly) přenášené výztuží jsou posouzeny automaticky.

Posudky MSP se provádí pro omezení napětí, šířku trhlin a limity průhybu. Napětí se kontroluje v betonu a výztuži podle EN 1992-1-1 obdobným způsobem jako u MSÚ.

Omezení napětí

Tlakové napětí v betonu musí být omezeno, aby se zabránilo vzniku podélných trhlin. Podle EN 1992-1-1 kap. 7.2 (2) mohou podélné trhliny vznikat, pokud úroveň napětí při charakteristické kombinaci zatížení překročí hodnotu k₁f_ck. Tlakové napětí v betonu se hodnotí jako poměr mezi maximálním hlavním tlakovým napětím σ_c = σ_c2 získaným z MKP analýzy pro mezní stavy použitelnosti a limitní hodnotou σ_c,lim. Poté:

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

kde:

f_ck        charakteristická pevnost betonu v tlaku (válcová),

k₁         =0,6.

Pokud je napětí v betonu při kvazistálém zatížení menší než k₂f_ck podle EN 1992-1-1 čl. 7.2(3), lze předpokládat lineární dotvarování. Pokud napětí v betonu překročí k₂f_ck, je nutné uvažovat nelineární dotvarování (viz EN 1992-1-1 čl. 3.1.4). V IDEA StatiCa Detail lze uvažovat pouze lineární dotvarování podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.4 (3) (viz Materiálové modely (EN)).

Lze předpokládat, že nepřijatelnému vzniku trhlin nebo deformaci se zabrání, pokud při charakteristické kombinaci zatížení tahové napětí ve výztuži nepřekročí k₃f_yk (EN 1992-1-1 kap. 7.2 (5)). Pevnost výztuže se hodnotí jako poměr mezi napětím ve výztuži v trhlinách σ_s = σ_sr a stanovenou limitní hodnotou σ_s,lim:

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

kde:

f_yk        mez kluzu výztuže,

k₃        =0,8.

Průhyb

Průhyby lze posoudit pouze u stěn nebo staticky určitých či staticky neurčitých nosníků. V těchto případech se uvažuje absolutní hodnota průhybů (ve srovnání s počátečním stavem před zatížením) a maximální přípustnou hodnotu průhybu musí zadat uživatel. Průhyby na odříznutých koncích nelze kontrolovat, protože se v podstatě jedná o nestabilní konstrukce, kde je rovnováha zajištěna přidáním koncových sil, a průhyby jsou proto nereálné. Krátkodobý u_z,st nebo dlouhodobý u_z,lt průhyb lze vypočítat a porovnat s uživatelem definovanými limitními hodnotami:

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

kde:

u_z         krátkodobý nebo dlouhodobý průhyb vypočtený MKP analýzou,

u_z,lim    limitní hodnota průhybu definovaná uživatelem.

Šířka trhlin

Šířky a orientace trhlin se počítají pouze pro dlouhodobé účinky (s použitím E_c,eff) u kombinací, u kterých je zapnuto hodnocení šířky trhlin. Posouzení na základě uživatelem zadaných limitních hodnot v souladu s Eurokódem je uvedeno následovně:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

kde:

w         šířka trhliny vypočtená MKP analýzou,

w_lim     limitní hodnota šířky trhliny definovaná uživatelem.

Existují dva způsoby výpočtu šířky trhlin (stabilizované a nestabilizované trhliny). V obecném případě (stabilizované trhliny) se šířka trhliny vypočítá integrací přetvoření na 1D prvcích výztužných prutů. Směr trhliny se pak vypočítá ze tří nejbližších (od středu daného 1D konečného prvku výztuže) integračních bodů 2D betonových prvků. Ačkoli tento přístup k výpočtu směrů trhlin neodpovídá skutečné pozici trhlin, poskytuje reprezentativní hodnoty, které vedou k výsledkům šířky trhlin, jež lze porovnat s normou požadovanými hodnotami šířky trhlin v místě výztužného prutu.

Beton - Pevnost

Model betonu implementovaný pro pevnostní výpočty v CSFM je založen na parabolicko-plastickém pracovním diagramu betonu vycházejícím z parabolického pracovního diagramu Portland Cement Association popsaného v dokumentu PCA’s Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, obr. 6-8. Tahová pevnost je zanedbána, stejně jako u klasického návrhu železobetonu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad Pracovní diagram betonu pro analýzu pevnosti}}}$$

Implementace CSFM v aplikaci IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení v přetvořeních pro beton v tlaku (tj. po dosažení maximálního napětí uvažuje plastickou větev s ε_c0 o maximální hodnotě 5 %, zatímco ACI 318-19 čl. 22.2.2.1 předpokládá mezní přetvoření menší než 0,3 %). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí porušených tlakem. Pevnost je nicméně správně predikována, pokud je kromě součinitele porušeného betonu (k_c2 definovaného na (obr. 39)) zohledněn i nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností pomocí redukčního součinitele $\eta_{fc}$ definovaného v fib Model Code 2010 následovně:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

α₁ je redukční součinitel pevnosti betonu v tlaku definovaný v ACI 318-19 čl. 22.2.2.4.1. Při použití parabolicko-rektangulárního pracovního diagramu je nutné redukovat maximální tlakové napětí tímto součinitelem. Tím se zprůměruje rozložení napětí v tlakové oblasti tak, aby výsledná tlaková pevnost byla menší nebo rovna tlakové pevnosti vypočtené pomocí pracovního diagramu s klesající plastickou větví.

Φ_c je součinitel snížení pevnosti betonu. Výchozí hodnota je stanovena podle ACI 318-19 tabulky 24.2.1 (b)(f).

k_c2 je redukční součinitel zohledňující přítomnost příčného trhlin.

f'_c je pevnost betonu ve válcové zkoušce (v MPa pro definici $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad Zákon tlakového změkčení.}}}$$

k_c2 je redukční součinitel založený na stejných předpokladech jako součinitel uzlové oblasti β_n uvedený v ACI 318-19 tabulce 23.9.2, s tím rozdílem, že v CSFM je přítomnost hlavního tahového napětí kolmého na hlavní tlakové napětí kontrolována pro každý konečný prvek (nikoli pouze pro uzly modelu vzpěra-táhlo).

Beton – Použitelnost

Analýza použitelnosti obsahuje určitá zjednodušení konstitutivních modelů, které se používají pro pevnostní analýzu. Plastická větev pracovního diagramu betonu v tlaku se neuvažuje, zatímco elastická větev je lineární a nekonečná. Zákon tlakového změkčení se neuvažuje. Tato zjednodušení zvyšují numerickou stabilitu a rychlost výpočtu a neomezují obecnost řešení, pokud jsou výsledné limity napětí materiálu při použitelnosti jasně pod mezí kluzu (jak požaduje ACI). Zjednodušené modely použité pro použitelnost jsou proto platné pouze tehdy, pokud jsou splněny všechny požadavky na verifikaci.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Pracovní diagramy betonu implementované pro analýzu použitelnosti: krátkodobé a dlouhodobé posouzení.}}}$$

Dlouhodobé účinky

Dlouhodobé chování konstrukce, jako je dlouhodobý průhyb nebo výpočet šířky trhlin způsobených dlouhodobým zatížením, je ovlivněno dotvarováním betonu. ACI 318-19 v odstavci 24.2.4.1.3 definuje časově závislý součinitel pro dlouhodobé zatížení – ξ, vyjadřující účinek dotvarování pro danou dobu trvání dlouhodobého zatížení.

V aplikaci Detail je modul pružnosti E_c upraven tak, aby zohlednil dlouhodobé chování konstrukce prostřednictvím součinitele ξ. Upravený modul pružnosti se označuje jako E_c,eff – viz obr. 40.

Za předpokladu, že deformace prvku je vyjádřena přetvořením, lze psát:

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

kde:

ε₀ je krátkodobé přetvoření (bez vlivu dotvarování) a ε_creep je přetvoření způsobené dotvarováním.

Pomocí Hookova zákona lze psát:

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

Po substituci za $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ a $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$ získáme:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

Dobu trvání dlouhodobého zatížení pro stanovení součinitele ξ lze nastavit individuálně pro každou dlouhodobou provozní kombinaci.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Doba trvání dlouhodobého zatížení}}}$$

Časově závislé průhyby, napětí a šířky trhlin jsou pak vypočteny pomocí upraveného materiálového modelu, kde je vliv zpřesnění tlaku automaticky zohledněn díky povaze analýzy metodou konečných prvků. Není tedy nutné je dále násobit součinitelem definovaným v čl. 24.2.4.1.1.

Krátkodobé účinky

Pro provedení krátkodobého posouzení se provádí další výpočet, ve kterém jsou všechna zatížení vypočtena bez časově závislého součinitele pro dlouhodobé zatížení. Oba výpočty pro dlouhodobé a krátkodobé posouzení jsou zobrazeny na obr. 40.

Výztuž

Pro nepředpjatou výztuž se uvažuje ideálně elasto-plastický pracovní diagram s definovaným mezem kluzu, viz ACI 319-19 čl. 20.2.1. Definice tohoto diagramu vyžaduje pouze znalost základních vlastností výztuže – pevnosti a modulu pružnosti.

Pracovní diagram výztuže může být také definován uživatelem, ale v tomto případě nelze uvažovat tahové zpevnění (nelze vypočítat šířku trhlin). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Pracovní diagram výztuže}}}$$

kde:

Φ_s je součinitel snížení pevnosti výztuže. Výchozí hodnota je stanovena podle ACI 318-19 tabulky 24.2.1.

f_y je mez kluzu výztuže

E_s modul pružnosti výztuže

Jako mezní přetvoření, při kterém se výpočet zastaví, je zvoleno 10 %. To je považováno za bezpečné na základě ASTM A955/A955M-20c článku 7.

Tahové zpevnění (obr. 43)  je zohledněno automaticky úpravou vstupního pracovního diagramu holé výztužné tyče tak, aby zachytil průměrnou tuhost tyčí zabudovaných v betonu (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Schéma tahového zpevnění.}}}$$

Metoda Compatible Stress Field Method je v souladu s moderními návrhovými normami. Vzhledem k tomu, že výpočtové modely používají pouze standardní materiálové charakteristiky, lze bez jakékoli úpravy použít formát dílčích součinitelů bezpečnosti předepsaný v návrhových normách. Vstupní zatížení jsou tímto způsobem násobena součiniteli a charakteristické materiálové vlastnosti jsou redukovány pomocí příslušných redukčních součinitelů pevnosti, přesně jako u konvenční analýzy betonu.

Hodnoty redukčních součinitelů pevnosti jsou předepsány v ACI 318-19 čl. 21.2. Výchozí hodnoty pro beton a výztuž jsou zvoleny na základě předpokladu, že typický příklad řešený v aplikaci je řízen smykem (na základě tabulky 21.2.1 (b), (f), (g)). Je však možné modelovat jakýkoli typ prvku. Pokud je proto posuzován prvek řízený tlakem nebo tahem, má uživatel možnost změnit hodnotu redukčního součinitele pevnosti v Předvolbách.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Zatěžovací součinitele pro kombinace na mezní stav únosnosti musí být definovány podle ACI 318-19 tabulka 5.3.1.

S výjimkou případů uvedených v kapitole 34 nejsou kombinace zatížení na úrovni provozního zatížení v ACI 318-19 definovány. Doporučuje se použít pravidla pro kombinace na základě přílohy C normy ASCE/SEI 7-16. U všech šablon jsou zatěžovací součinitele již předdefinovány.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Různá ověření požadovaná normou ACI 318-19 se posuzují na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Ověření se provádí pro pevnost betonu, pevnost výztuže a kotvení (smyková napětí soudržnosti).

Pevnost betonu v tlaku se vyhodnocuje jako poměr mezi maximálním hlavním tlakovým napětím f_c (rovněž σ₂ v doplňkových výsledcích) získaným z FE analýzy a limitní hodnotou f'_c,lim.

Pevnost výztuže se vyhodnocuje jak v tahu, tak v tlaku jako poměr mezi napětím ve výztuži v trhlinách f_s a stanovenou limitní hodnotou f_y,lim.

Smykové napětí soudržnosti se vyhodnocuje nezávisle jako poměr mezi napětím soudržnosti τ_b vypočteným FE analýzou a pevností soudržnosti f_bu.

Norma ACI se však pevností soudržnosti explicitně nezabývá, ale pracuje s výpočtem tzv. kotevní délky, která je popsána v části 25.4.2. Protože pevnost soudržnosti je základním vstupním parametrem pro určení kotevní délky, viz R25.4.1.1 a ACI Committee 408 1966, lze pevnost soudržnosti vypočítat následovně:

Předpokládejme, že pokud zakotvíme výztužný prut do betonového blokusi na kotevní délku l_d nebo delší, vytažení výztuže povede k porušení výztuže, nikoli k vytažení z betonu. Toto lze zapsat následujícím vzorcem.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

kde:

d_b je průměr výztužného prutu, l_d je kotevní délka, f_bu je pevnost soudržnosti, f_y je mez kluzu výztuže a A_s je plocha výztužného prutu.

Z výše uvedeného lze snadno odvodit vzorec pro výpočet pevnosti soudržnosti:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Kotevní délka l_d se pak určí podle tabulky 25.4.2.3 normy ACI 318-19 následovně:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

kde:

C = 25 (2,1 v metrických jednotkách) pro pruty č. 6 a menší a deformované dráty, C = 20 (1,7 v metrických jednotkách) pro pruty č. 7 a větší, λ = 1,0 pro beton s normální objemovou hmotností, ψ_t, ψ_e, ψ_g se určují podle tabulky 25.4.2.3 normy ACI 318-19. 

Podporována je pouze nepovlakovaná nebo zinkovaná (galvanizovaná) výztuž, proto ψ_e = 1,0. ψ_g se automaticky určuje z třídy výztuže a ψ_t se automaticky odvozuje z polohy výztuže v modelu a ze směru betonování, který lze v aplikaci nastavit pro každou položku projektu následovně.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

Tato ověření se provádějí s ohledem na příslušné limitní hodnoty pro jednotlivé části konstrukce (tj. i přesto, že existuje jedna třída jak pro beton, tak pro materiál výztuže, výsledné diagramy napětí-přetvoření se v každé části konstrukce liší v důsledku efektů tahového zpevnění a tlakového změkčení).

Existuje také možnost modelovat hladkou výztuž. Více informací naleznete zde: Hladká výztuž v Detail

Celková síla F_tot a limitní síla F_lim

Celková síla F_tot je výsledkem analýzy metodou konečných prvků a lze ji definovat dvěma způsoby.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

kde A_s je plocha výztužného prutu a f_s je napětí v prutu.

Nebo jako součet kotevní síly F_a a síly soudržnosti F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

kde F_a je skutečná síla v kotevní pružině a F_bond je síla soudržnosti, kterou lze získat integrací napětí soudržnosti τ_b po délce výztužného prutu l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s je obvod výztužného prutu.

Limitní síla F_lim je maximální síla v prvku výztuže s ohledem na pevnost výztuže a také na kotevní podmínky (soudržnost mezi betonem a výztuží a kotevní háky, smyčky atd.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

kde C_s je obvod výztužného prutu a l je délka od začátku výztužného prutu k danému bodu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

kde F_lim,add je dodatečná síla vypočtená z velikosti úhlu mezi sousedními prvky. F_lim,2 musí být vždy menší než F_u.

Dostupné typy kotvení v CSFM zahrnují přímý prut (tj. bez redukce na konci kotvení), hák 90 stupňů, hák 180 stupňů, perfektní soudržnost a spojitý prut. Všechny tyto typy, spolu s příslušnými koeficienty kotvení β, jsou zobrazeny na obr. 48 pro podélnou výztuž. Hodnoty použitých koeficientů kotvení jsou odvozeny z porovnání rovnice z části ACI 318-19 25.4.3.1 a rovnic převzatých z části ACI 318-19 25.4.2.3. Je třeba poznamenat, že i přesto, že jsou k dispozici různé možnosti, CSFM rozlišuje tři typy kotevních konců: (i) bez redukce kotevní délky, (ii) redukce o 30 % kotevní délky v případě normalizovaného kotvení a (iii) perfektní soudržnost.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Koeficient kotvení pro třmínky je vždy β = 1,0.

Za účelem dodržení normy ACI je třeba při výpočtu použít kotevní pružinu; kotevní pružina je upravena koeficientem β, proto musí uživatel při definování počátečních a koncových podmínek výztuže použít jeden z dostupných typů kotvení. 

Při navrhování betonových konstrukcí se setkáváme se dvěma velkými skupinami částečně zatížených ploch (PLA) – první z nich tvoří uložení, druhou pak kotevní oblasti. 

Podle aktuálně platných norem pro navrhování železobetonových konstrukcí ACI 318-19 kap. 22.8 by mělo být u uložení uvažováno místní porušení betonu tlakem a příčné tahové síly. Pro rovnoměrně rozložené zatížení na ploše A_c1 lze tlakovou únosnost betonu zvýšit až dvojnásobně v závislosti na návrhové rozdělovací ploše A_c2. Viz tabulka 22.8.3.2 v ACI 318-19.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Partially loaded areas for bearings according to ACI 318-19}}}$$

Pro kotevní oblasti dodatečně předpjatých konstrukcí je třeba postupovat podle ACI 318-19 kap. 25.9.

Částečně zatížená plocha musí být dostatečně vyztužena příčnou výztuží navrženou tak, aby přenesla trhací síly, které v této oblasti vznikají. Bez požadované příčné výztuže není možné uvažovat zvýšení tlakové únosnosti betonu.

Částečně zatížené plochy v CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Pomocí CSFM je možné navrhovat a posuzovat železobetonové konstrukce při zohlednění vlivu zvýšené tlakové odolnosti betonu v částečně zatížených plochách. Protože CSFM je stěnový (2D) model a částečně zatížené plochy jsou prostorovou (3D) úlohou, bylo nutné najít řešení, které kombinuje tyto dva odlišné typy úloh (Fig. 50). Pokud je aktivována funkce „částečně zatížené plochy“, vytvoří se přípustná geometrie kužele podle ACI (Fig. 49). Všechny geometrické kolize jsou řešeny plně v 3D pro zadanou geometrii betonového prvku a rozměry každé PLA. Následně je vytvořen výpočtový model částečně zatížené plochy.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Úprava materiálového modelu se ukázala jako nevhodný přístup, což bylo především způsobeno tím, že mapování vlastností na síť konečných prvků je problematické. Bylo zjištěno, že přístup nezávislý na síti konečných prvků je vhodnějším řešením. Pro známou geometrii tlakového kužele jsou vytvořeny absolutně koherentní fiktivní vzpěry (Fig. 51 and Fig. 52). Tyto vzpěry mají shodné materiálové vlastnosti jako beton použitý v modelu, včetně diagramu napětí-přetvoření. Tvar kužele určuje směr vzpěr, které postupně rozkládají zatížení z PLA na návrhovou rozdělovací plochu. Plošná hustota fiktivních vzpěr je v každé části kužele proměnná a doplňuje fiktivní plochu betonu ve směru zatížení. Na úrovni zatížené plochy (A_c1) je doplněna fiktivní plocha betonu podle poměru $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  (kde A_real je plocha podpory uvažovaná ve 2D výpočtovém modelu), přičemž tato plocha lineárně klesá k nule směrem k návrhové rozdělovací ploše (A_c2). Toto řešení zajišťuje, že tlakové napětí v betonu je konstantní po celém objemu kužele.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Únosnost částečně zatížené plochy se zvyšuje podle poměru návrhové rozdělovací plochy a zatížené plochy stanoveného v ACI 318-19 kap. 22.8.  Je třeba mít na paměti, že se jedná o návrhový model, který nemůže přesně popsat stavu napjatosti v částečně zatížené ploše, jehož skutečné rozložení je mnohem složitější. Toto řešení však umožňuje správné rozložení zatížení do celého modelu při současném respektování zvýšené únosnosti částečně zatížené plochy. Kromě toho v této oblasti správně zavádí příčná napětí pro správný návrh výztuže na trhací síly.

Přípustné kontaktní napětí 0.85f_c' je uvedeno v tabulce 22.8.3.2. Hustota je omezena tak, aby nebyla překročena maximální dvojnásobná únosnost daná vzorcem v tabulce 22.8.3.2(b).  

Pro kotevní oblasti se v aplikaci PLA používá stejným způsobem jako u uložení. Proto musí být místní oblasti definované v ACI 318-19 kapitole 25.9 posouzeny podle ACI 318-19 25.9.3 manuálně. PLA se tedy používá pouze k tomu, aby se zabránilo překročení kritéria přetvoření v místní oblasti a předčasnému zastavení výpočtu. Na druhou stranu podle ACI 318-19, čl. 25.9.4.3.1 (b), lze výztuž odolávající roztrhávajícím a odlupujícím napětím v rovině přímo a výhodně ověřit v aplikaci.

Posouzení mezního stavu použitelnosti se provádí z hlediska omezení napětí, šířky trhlin a mezních hodnot průhybu. Napětí v betonu a výztuži se posuzuje podle ACI 318-19 obdobně jako u posouzení mezní únosnosti.

Omezení napětí

Přípustná tlaková napětí v betonu při provozním zatížení se ověřují u předpjatých prvků třídy U a T. Podle tabulky R24.5.2.1 se posouzení omezení napětí nevyžaduje pro beton, který je považován za porušený trhlinami. Uživatel musí nastavit třídu předpjatého prvku v nastavení návrhového prvku.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}$$

Přípustné tlakové napětí pro prvky vystavené přechodným zatížením je stanoveno v ACI 318-19 24.5.4.1 jako 0.6f_c'. Limit tlakového napětí 0.45f_c' byl stanoven za účelem snížení pravděpodobnosti porušení předpjatých betonových prvků v důsledku opakovaného zatížení. Tento limit se také jeví jako rozumný pro zamezení nadměrné deformace creepem (dotvarováním). Při vyšších hodnotách napětí mají přetvoření od creepu tendenci narůstat rychleji s rostoucím napětím.

Tlakové napětí v betonu se vyhodnocuje jako poměr mezi maximálním hlavním tlakovým napětím f_c = σ_c2 získaným z FE analýzy pro mezní stav použitelnosti a limitní hodnotou stanovenou na základě tabulky 24.5.4.1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

V aplikaci je kombinace Prestress plus sustained load zpracována jako dlouhodobá kombinace a Prestress plus total load jako krátkodobá kombinace.

Průhyb

Na základě vybraného typu kombinace (dlouhodobé nebo krátkodobé) se vyhodnocuje buď dlouhodobý, nebo krátkodobý průhyb. Maximální přípustnou hodnotu průhybu musí stanovit uživatel v souladu s ACI 138-19 24.2. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

V aplikaci je možné zobrazit průhyby od vlastní tíhy Δ_DL a od užitného zatížení Δ_LL samostatně, jakož i celkový průhyb Δ_Tot (vlastní tíha + užitné zatížení), a to vše při zobrazení deformovaného tvaru.

Průhyby na zaříznutých koncích nelze posoudit.

Šířka trhlin

Šířky trhlin a orientace trhlin se počítají pro krátkodobé nebo dlouhodobé kombinace mezního stavu použitelnosti. Vzhledem k tomu, že ACI přímo nepředepisuje limitní šířky trhlin, musí uživatel zadat limitní šířku trhliny w_lim.

Posouzení se prezentuje následovně:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

kde:

w         krátkodobá nebo dlouhodobá šířka trhliny vypočtená FE analýzou,

w_lim     limitní hodnota šířky trhliny definovaná uživatelem.

Metoda výpočtu šířky trhlin použitá v aplikaci, podrobněji popsaná také v tomto dokumentu, je v souladu s ACI 224R-01. Je tedy možné použít tabulku 4.1 z ACI 224R-01 pro stanovení limitní hodnoty šířky trhlin.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}$$

Existují dva způsoby výpočtu šířky trhlin (stabilizované a nestabilizované vznikání trhlin). V obecném případě (stabilizované vznikání trhlin) se šířka trhliny vypočítá integrací přetvoření na 1D prvcích výztužných prutů. Směr trhliny se pak vypočítá ze tří nejbližších (od středu daného 1D konečného prvku výztuže) integračních bodů 2D betonových prvků. Ačkoli tento přístup k výpočtu směrů trhlin neodpovídá skutečné poloze trhlin, přesto poskytuje reprezentativní hodnoty, které vedou k výsledkům šířky trhlin, jež lze porovnat s normovými požadavky na šířku trhlin v místě výztužného prutu.

Beton - Pevnost

Materiálový model betonu implementovaný pro výpočet pevnosti v CSFM je založen na předpokladech rovnováhy a kompatibility přetvoření podle návrhové pevnosti AASHTO LRFD. V souladu s AASHTO LRFD (2024) Článek 5.6.2.1 je tahová pevnost betonu zanedbána.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementace CSFM v aplikaci IDEA StatiCa Detail nezohledňuje explicitní kritérium porušení v podobě přetvoření betonu v tlaku (tj. po dosažení maximálního napětí uvažuje plastickou větev s ε_c0 v maximální hodnotě 5 %, přičemž AASHTO LRFD (2024) Článek 5.6.2.1 předpokládá mezní přetvoření menší než 0,3 %). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí porušených tlakem. Pevnost je nicméně správně predikována, pokud je kromě součinitele porušeného betonu (k_c2 definovaného na (Fig. 57)) zohledněn nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností pomocí redukčního součinitele $\eta_{fc}$ definovaného v fib Model Code 2010 následovně:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

α₁ je redukční součinitel tlakové pevnosti betonu definovaný v AASHTO LRFD (2024) Článek 5.6.2.2. Při použití parabolicko-obdélníkového pracovního diagramu je nutné redukovat maximální tlakové napětí tímto součinitelem. Tím se zprůměruje rozdělení napětí v tlačené oblasti tak, aby výsledná tlaková pevnost byla menší nebo rovna tlakové pevnosti vypočtené pomocí pracovního diagramu s klesající plastickou větví.

Φ_c je součinitel odolnosti pro beton. Výchozí hodnota je stanovena podle AASHTO LRFD (2024) Článek 5.5.4.2.

k_c2 je redukční součinitel zohledňující přítomnost příčného trhlin.

f'_c je pevnost betonu ve válcové zkoušce (v MPa pro definici $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 je redukční součinitel založený na stejných předpokladech jako součinitel efektivity betonu ν uvedený v AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a a Tabulce 5.8.2.5.3a-1, s tím rozdílem, že v CSFM je přítomnost hlavního tahového napětí kolmého na hlavní tlakové napětí kontrolována pro každý konečný prvek (nikoli pouze pro uzly modelu vzpěra-táhlo).

Beton – Použitelnost

Analýza použitelnosti obsahuje určitá zjednodušení konstitutivních modelů, které jsou použity pro analýzu pevnosti. Plastická větev pracovního diagramu betonu v tlaku je zanedbána, zatímco elastická větev je lineární a nekonečná. Zákon tlakového změkčení není uvažován. Tato zjednodušení zvyšují numerickou stabilitu a rychlost výpočtu a nesnižují obecnost řešení, pokud jsou výsledná omezení napětí materiálu při použitelnosti jasně pod mezí kluzu. (v souladu s přístupem mezního stavu použitelnosti podle AASHTO LRFD). Zjednodušené modely použité pro použitelnost jsou proto platné pouze tehdy, pokud jsou splněny všechny požadavky ověření.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Dlouhodobé účinky

Dlouhodobý konstitutivní zákon (červená křivka na Fig. 59) se používá pro výpočet šířky trhlin, celkového průhybu a omezení napětí předpjatých prvků, pokud je v horní liště vybrán dlouhodobý účinek. V aplikaci IDEA StatiCa Detail se pro ověření dlouhodobých účinků používá efektivní modul pružnosti, jak je uvedeno v AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

kde:
E_c je modul pružnosti definovaný v AASHTO LRFD (2024) článku 5.4.2.4
ψ je součinitel dotvarování definovaný v AASHTO LRFD (2024) článku 5.4.2.3.2

Součinitele dotvarování definuje uživatel v materiálových vlastnostech.

Krátkodobé účinky

Pro provedení krátkodobých ověření je proveden další výpočet, ve kterém jsou všechna zatížení vypočtena bez součinitele dotvarování. Oba výpočty pro dlouhodobé a krátkodobé ověření jsou zobrazeny na Fig. 59.

Výztuž

Pro nepředpjatou výztuž je uvažován ideálně elasto-plastický pracovní diagram s definovaným mezem kluzu, viz AASHTO LRFD (2024) Článek 5.4.3. Definice tohoto diagramu vyžaduje pouze znalost základních vlastností výztuže – pevnosti a modulu pružnosti.

Pracovní diagram výztuže může být také definován uživatelem, ale v tomto případě není možné uvažovat vliv tahového zpevnění (nelze vypočítat šířku trhlin). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

kde:

Φ_s je součinitel odolnosti pro výztuž. Výchozí hodnota je stanovena podle AASHTO LRFD (2024) Článek 5.5.4.2.

f_y je mez kluzu výztuže

E_s modul pružnosti výztuže

Jako mezní přetvoření, při kterém je výpočet zastaven, je zvoleno 10 %. To je považováno za bezpečné na základě ASTM A955/A955M-20c Článku 7.

Tahové zpevnění (Fig. 61)  je zohledněno automaticky úpravou vstupního pracovního diagramu holé výztužné tyče tak, aby zachytilo průměrnou tuhost tyčí zabudovaných v betonu (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method je v souladu s moderními normovými předpisy. Vzhledem k tomu, že výpočetní modely používají pouze standardní materiálové vlastnosti, lze formát dílčích součinitelů bezpečnosti předepsaný v návrhových normách použít bez jakýchkoli úprav. Vstupní zatížení jsou tak zatížena součiniteli a charakteristické materiálové vlastnosti jsou redukovány pomocí příslušných součinitelů odolnosti, přesně jako u konvenční analýzy betonu.

Hodnoty součinitelů odolnosti jsou předepsány v AASHTO LRFD (2024), článek 5.5.4. Výchozí hodnoty pro beton a výztuž jsou zvoleny konzervativně, na základě předpokladu, že typický řešený příklad je D-oblast – typický případ pro metodu vzpěra-táhlo. Je však možné modelovat jakýkoli typ prvku. Pokud je tedy posuzován tlakově nebo tahově řízený prvek, uživatel má možnost změnit hodnotu redukčního součinitele pevnosti v Předvolbách.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad Nastavení součinitelů odolnosti v IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Součinitele zatížení a kombinace zatížení musí být definovány podle AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), článek 3.4.1 a tabulky 3.4.1-1 až 3.4.1-6. AASHTO LRFD explicitně specifikuje kombinace zatížení na mezní stav únosnosti (Strength I až Strength V), jakož i kombinace zatížení na úrovni provozuschopnosti (Service I až Service IV), včetně odpovídajících součinitelů zatížení pro každý případ.

Pro každou šablonu program obsahuje předdefinované základní kombinace, které je třeba doplnit v závislosti na zpracovávaném prvku.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad Nastavení součinitelů zatížení v Idea StatiCa Detail.}}}$$

Různá ověření požadovaná normou AASHTO jsou posuzována na základě přímých výsledků poskytovaných modelem. Ověření se provádí pro pevnost betonu, pevnost výztuže a kotvení (smyková napětí soudržnosti).

Pevnost betonu v tlaku se hodnotí jako poměr mezi maximálním hlavním tlakovým napětím f_c (také σ₂ ve vedlejších výsledcích) získaným z FE analýzy a limitní hodnotou f'_c,lim.

Pevnost výztuže se hodnotí jak v tahu, tak v tlaku jako poměr mezi napětím ve výztuži v trhlinách f_s a stanovenou limitní hodnotou f_y,lim.

Smykové napětí soudržnosti se hodnotí samostatně jako poměr mezi napětím soudržnosti τ_b vypočteným FE analýzou a pevností soudržnosti f_bu.

Protože však pevnost soudržnosti není v AASHTO explicitně definována, musí se její hodnota určit pomocí rovnic, které definují kotevní délku. Pevnost soudržnosti je totiž primárním vstupem pro určení kotevní délky; viz například tento článek AASHTO LRFD (2024), Článek C5.10.8.2, nebo NCHRP Report 733, Attachment E, strana E-9.

Výpočet popsaný v AASHTO LRFD (2024) v Článcích 5.10.8.2.1 a 5.10.8.2.2, který požaduje znalost maximální osové vzdálenosti příčné výztuže v rámci l_d, počtu prutů nebo drátů vyvinutých v rovině porušení, celkové plochy průřezu veškeré příčné výztuže a dalších geometrických veličin, které nelze spolehlivě určit v modelu aplikace Detail pro obecný vstup, byl nahrazen přístupem přejatým z AASHTO LRFD (2014), Článek 5.11.2.1.1, následujícím způsobem:

Předpokládejme, že pokud zakotvíme výztužný prut do betonového bloku na kotevní délku l_d nebo delší, vytažení výztuže povede k přetržení výztuže, a nikoli k vytažení z betonu. To lze zapsat následujícím vzorcem.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

kde:

• d_b je průměr výztužného prutu
• l_d je kotevní délka
• f_bu je pevnost soudržnosti
• f_y je mez kluzu výztuže
• A_b je plocha výztužného prutu

Z výše uvedeného lze snadno odvodit vzorec pro výpočet pevnosti soudržnosti.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Základní kotevní délka pro tah l_db je stanovena v AASHTO LRFD (2014), Článek 5.11.2.1.1, následovně:

Pro prut č. 11 a menší:   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Pro pruty č. 14:   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Pro pruty č. 18:   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

kde:

• A_b je plocha výztužného prutu (in²)
• f_y je stanovená mez kluzu výztuže (ksi)
• f'_c je stanovená pevnost betonu v tlaku ve stáří 28 dní, pokud není stanoveno jiné stáří (ksi)
• d_b je průměr výztužného prutu (in)

Vynásobením základní kotevní délky l_db faktory popsanými v AASHTO LRFD (2014), Článek 5.11.2.1.2 a 5.11.2.1.3, se pak stanoví kotevní délka l_d jako vstup.

Redukční součinitele snižující kotevní délku podle 5.11.2.1.3 jsou v aplikaci vždy rovny 1,0. Redukční součinitel pro horní horizontální nebo téměř horizontální výztuž je roven 1,4 pro „špatné“ podmínky soudržnosti, podle následujícího obrázku:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

Směr betonování lze v aplikaci nastavit.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}$$

Všechny ostatní součinitele stanovené v 5.11.2.1.2 se rovnají 1,0, protože je podporován pouze beton normální hmotnosti a pouze nepovlakovaná výztuž.

Smykové napětí soudržnosti a pevnost soudržnosti prutů v tlaku se vypočítávají obdobně jako u prutů v tahu, ale používají se rovnice z AASHTO LRFD (2014), Článek 5.11.2.2.

Existuje také možnost modelovat hladké pruty výztuže. Více informací naleznete zde: Hladké pruty výztuže v aplikaci Detail

Celková síla F_tot a limitní síla F_lim

Celková síla F_tot je výsledkem analýzy metodou konečných prvků a lze ji definovat dvěma způsoby.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

kde A_b je plocha výztužného prutu a f_s je napětí v prutu.

Nebo jako součet kotevní síly F_a a síly soudržnosti F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

kde F_a je skutečná síla v kotevní pružině a F_bond je síla soudržnosti, kterou lze získat integrací napětí soudržnosti τ_b po délce výztužného prutu l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s je obvod výztužného prutu.

Limitní síla F_lim je maximální síla v prvku výztuže s ohledem na pevnost výztuže a také na podmínky kotvení (soudržnost mezi betonem a výztuží a kotevní háky, smyčky atd.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

kde C_s je obvod výztužného prutu a l je délka od začátku výztužného prutu do sledovaného bodu.