Projektowanie i sprawdzanie elementów betonowych jest zwykle wykonywane na poziomie przekroju (element 1D) lub punktu (element 2D). Procedura ta jest opisana we wszystkich normach dotyczących projektowania konstrukcji, np. w (EN 1992-1-1 lub ACI 318-19), i jest stosowana w codziennej praktyce inżynierskiej. Nie zawsze jednak wiadomo lub bierze się pod uwagę, że procedura ta jest dopuszczalna wyłącznie w obszarach, w których obowiązuje hipoteza Bernoulliego-Naviera o płaskim rozkładzie odkształceń (tzw. obszary B). Miejsca, w których ta hipoteza nie ma zastosowania, nazywane są strefami nieciągłości lub zaburzeń (strefy D). Przykłady obszarów B i D dla elementów 1D przedstawiono na (Rys. 1). Są to np. obszary podparcia, miejsca przyłożenia obciążeń skupionych, miejsca gwałtownej zmiany przekroju, otwory itp. Podczas projektowania konstrukcji betonowych spotykamy wiele innych stref nieciągłości, takich jak ściany, przepony mostowe, wsporniki itp. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}$$

W przeszłości do wymiarowania stref nieciągłości stosowano półempiryczne reguły projektowe. Na szczęście reguły te zostały w dużej mierze zastąpione w ciągu ostatnich dekad przez modele strut-and-tie (Schlaich i in., 1987) oraz pola naprężeń (Marti 1985), które są uwzględnione w obecnych normach projektowych i są często stosowane przez projektantów. Modele te są mechanicznie spójne i stanowią potężne narzędzia. Należy zauważyć, że pola naprężeń mogą być ogólnie ciągłe lub nieciągłe, a modele strut-and-tie są szczególnym przypadkiem nieciągłych pól naprężeń.

Pomimo rozwoju narzędzi obliczeniowych w ciągu ostatnich dekad, modele Strut-and-Tie są w praktyce nadal stosowane głównie jako obliczenia ręczne. Ich zastosowanie do rzeczywistych konstrukcji jest żmudne i czasochłonne, ponieważ wymagane są iteracje, a należy uwzględnić kilka przypadków obciążenia. Ponadto ta metoda nie nadaje się do weryfikacji kryteriów stanu granicznego użytkowalności (odkształcenia, szerokości rys itp.).

Zainteresowanie inżynierów konstruktorów niezawodnym i szybkim narzędziem do projektowania stref D doprowadziło do decyzji o opracowaniu nowej metody Compatible Stress Field Method – metody komputerowo wspomaganego projektowania pól naprężeń, która umożliwia automatyczne projektowanie i sprawdzanie elementów konstrukcyjnych z betonu poddanych obciążeniom działającym w płaszczyźnie elementu.

Compatible Stress Field Method (CSFM) to ciągła metoda analizy pól naprężeń oparta na MES, w której klasyczne rozwiązania pól naprężeń są uzupełnione o rozważania kinematyczne, tj. stan odkształcenia jest oceniany w całej konstrukcji. Dzięki temu efektywna wytrzymałość betonu na ściskanie może być automatycznie obliczana na podstawie stanu odkształcenia poprzecznego, w sposób podobny do analiz pola ściskania uwzględniających compression softening (Vecchio i Collins 1986; Kaufmann i Marti 1998) oraz metody EPSF (Fernández Ruiz i Muttoni 2007). Ponadto CSFM uwzględnia tension stiffening, zapewniając realistyczne sztywności elementów, oraz obejmuje wszystkie wymagania norm projektowych (w tym aspekty dotyczące stanu granicznego użytkowalności i zdolności do odkształceń), które nie były konsekwentnie uwzględniane w dotychczasowych podejściach. CSFM wykorzystuje standardowe jednoosiowe zależności konstytutywne podane w normach projektowych dla betonu i zbrojenia. Są one znane już na etapie projektowania, co pozwala na zastosowanie metody częściowych współczynników bezpieczeństwa. Dzięki temu projektanci nie muszą podawać dodatkowych, często dobieranych arbitralnie właściwości materiałowych, jak ma to zwykle miejsce w przypadku nieliniowych analiz MES, co czyni tę metodę doskonale odpowiednią do zastosowania w praktyce inżynierskiej.

Aby promować wykorzystanie komputerowo wspomaganych pól naprężeń przez inżynierów konstruktorów, metody te powinny zostać zaimplementowane w przyjaznym dla użytkownika oprogramowaniu. W tym celu CSFM został zaimplementowany w IDEA StatiCa Detail; nowym, przyjaznym dla użytkownika oprogramowaniu komercyjnym opracowanym wspólnie przez ETH Zurich oraz firmę IDEA StatiCa w ramach projektu DR-Design Eurostars-10571.

CSFM uwzględnia maksymalne naprężenie główne betonu przy ściskaniu (σ_c2r) oraz naprężenia w zbrojeniu (σ_sr) w rysach, pomijając wytrzymałość betonu na rozciąganie (σ_c1r = 0), z wyjątkiem jej efektu usztywnienia oddziałującego na zbrojenie. Uwzględnienie tension stiffening pozwala na symulację średnich odkształceń zbrojenia (ε_m). Uwzględniane są fikcyjne, obracające się rysy bez naprężeń, które otwierają się bez poślizgu (rys. 2a), a także równowaga w rysach wraz ze średnimi odkształceniami zbrojenia. 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}$

Pomimo swojej prostoty, podobne założenia okazały się dawać dokładne przewidywania dla elementów zbrojonych poddanych obciążeniom w swojej płaszczyźnie (Kaufmann 1998; Kaufmann i Marti 1998), jeśli zastosowane zbrojenie zapobiega kruchemu zniszczeniu przy zarysowaniu. Ponadto nieuwzględnianie wkładu wytrzymałości betonu na rozciąganie w nośności granicznej jest zgodne z zasadami nowoczesnych norm projektowych, które w większości opierają się na teorii plastyczności.

Jednakże CSFM nie nadaje się do elementów smukłych bez zbrojenia poprzecznego, ponieważ pomija istotne dla takich elementów mechanizmy, takie jak zazębianie kruszywa, resztkowe naprężenia rozciągające na wierzchołku rysy oraz efekt zbrojenia poprzecznego (dowel action) – wszystkie one opierają się bezpośrednio lub pośrednio na wytrzymałości betonu na rozciąganie. Chociaż niektóre normy projektowe dopuszczają projektowanie takich elementów na podstawie przepisów semi-empirycznych, CSFM nie jest przeznaczony do tego typu potencjalnie kruchych konstrukcji.

Beton

Model betonu zaimplementowany w CSFM opiera się na jednoosiowych zależnościach konstytutywnych ściskania określonych przez normy projektowe do projektowania przekrojów, które zależą wyłącznie od wytrzymałości na ściskanie. Domyślnie w CSFM stosowany jest wykres parabola-prostokąt (rys. 2c), ale projektanci mogą również wybrać uproszczoną, idealnie sprężysto-plastyczną zależność. Podczas oceny zgodnie z normą ACI możliwe jest zastosowanie wyłącznie wykresu naprężenie-odkształcenie typu parabola-prostokąt. Jak wspomniano wcześniej, wytrzymałość na rozciąganie jest pomijana, podobnie jak w klasycznym projektowaniu żelbetu.

Efektywna wytrzymałość na ściskanie jest automatycznie obliczana dla zarysowanego betonu na podstawie głównego odkształcenia rozciągającego (ε₁) za pomocą współczynnika redukcyjnego k_c2, jak pokazano na rys. 2c i e. Zaimplementowana zależność redukcyjna (rys. 2e) jest uogólnieniem propozycji fib Model Code 2010 dla sprawdzeń ścinania, która zawiera wartość graniczną 0,65 dla maksymalnego stosunku efektywnej wytrzymałości betonu do wytrzymałości betonu na ściskanie, co nie ma zastosowania do innych przypadków obciążenia.

CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w postaci odkształceń dla betonu ściskanego (tzn. przyjmuje nieskończenie plastyczną gałąź po osiągnięciu naprężenia szczytowego). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności odkształceniowej konstrukcji ulegających zniszczeniu przy ściskaniu. Jednakże ich nośność graniczna jest poprawnie przewidywana, gdy oprócz współczynnika zarysowanego betonu (k_c2) zdefiniowanego na (rys. 2e), uwzględniony zostaje wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości za pomocą współczynnika redukcyjnego $\eta_{fc}$ zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

k_c jest globalnym współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości na ściskanie

k_c2 jest współczynnikiem redukcyjnym z powodu obecności zarysowania poprzecznego

f_c jest charakterystyczną wytrzymałością walcową betonu (w MPa dla definicji $\eta_{fc}$).

Występuje również redukcja współczynnika k_c2 ze względu na stabilność obliczeń. Ta redukcja nie wpływa na całkowitą wytrzymałość elementów. Przyjmując wartość f_cd jako wytrzymałość obliczeniową betonu (wartość obliczeniowa), wartość k_c2 jest redukowana zgodnie z poniższymi zasadami.

σ_c2r < 0.11f_cd                                           k_c2=1.0
0.11f_cd < σ_c2r < 0.37f_cd                          k_c2 jest interpolacją liniową między 1,0 a wartością odczytaną z
                                                           wykresu przedstawionego na rys. 2f
σ_c2r > 0.37f_cd                                            k_c2 jest odczytywana bezpośrednio z wykresu na rys. 2f

Zbrojenie

Uwzględniany jest wyidealizowany dwuliniowy wykres naprężenie-odkształcenie dla nagich prętów zbrojeniowych, typowo definiowany przez normy projektowe (rys. 2d). Definicja tego wykresu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia na etapie projektowania (wytrzymałość i klasa ciągliwości). Można również zdefiniować zależność naprężenie-odkształcenie zdefiniowaną przez użytkownika.

Tension stiffening jest uwzględniany poprzez modyfikację wejściowej zależności naprężenie-odkształcenie nagiego pręta zbrojeniowego w celu odzwierciedlenia średniej sztywności prętów osadzonych w betonie (ε_m).

Model przyczepności

Poślizg przyczepności między zbrojeniem a betonem jest wprowadzany do modelu elementów skończonych poprzez uwzględnienie uproszczonej sztywno-idealnie plastycznej zależności konstytutywnej przedstawionej na rys. 2f, gdzie f_bd jest wartością obliczeniową (wartością współczynnikowaną) granicznego naprężenia przyczepności określonego przez normę projektową dla konkretnych warunków przyczepności.

Jest to uproszczony model, którego jedynym celem jest weryfikacja przepisów dotyczących przyczepności zgodnie z normami projektowymi (tzn. zakotwienie zbrojenia). Redukcję długości zakotwienia przy zastosowaniu haków, pętli i podobnych kształtów prętów można uwzględnić, definiując określoną nośność na końcu zbrojenia, co zostanie opisane w dalszej części. 

Przebieg pracy i cele

Celem narzędzi do projektowania zbrojenia w CSFM jest pomoc projektantom w efektywnym określeniu położenia i wymaganej ilości prętów zbrojeniowych. W tym procesie użytkownikowi pomagają / prowadzą go następujące narzędzia: obliczenia liniowe oraz optymalizacja topologiczna.

Narzędzia do projektowania zbrojenia uwzględniają bardziej uproszczone modele konstytutywne niż modele stosowane do końcowej weryfikacji konstrukcji. Dlatego zdefiniowanie zbrojenia na tym etapie należy traktować jako projekt wstępny, który zostanie potwierdzony/doprecyzowany podczas etapu końcowej weryfikacji. Zastosowanie różnych narzędzi do projektowania zbrojenia zostanie przedstawione na modelu pokazanym na rys. 3, który obejmuje jeden koniec swobodnie podpartej belki o zmiennej wysokości, obciążonej równomiernie rozłożonym obciążeniem.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 3\qquad Model wykorzystany do zilustrowania zastosowania narzędzi do projektowania zbrojenia.}}}$$

Analiza liniowa

Analiza liniowa uwzględnia liniowo-sprężyste właściwości materiałowe i pomija zbrojenie w obszarze betonu. Jest to zatem bardzo szybkie obliczenie, które daje wstępny wgląd w położenie obszarów rozciąganych i ściskanych. Przykład takiego obliczenia przedstawiono na rys. 4.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 4\qquad Wyniki z narzędzia analizy liniowej do definiowania układu zbrojenia}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(czerwony: obszary ściskane, niebieski: obszary rozciągane).}}}$$

Optymalizacja topologiczna

Optymalizacja topologiczna to metoda mająca na celu znalezienie optymalnego rozkładu materiału w danej objętości dla określonej konfiguracji obciążenia. Optymalizacja topologiczna zaimplementowana w Idea StatiCa Detail wykorzystuje liniowy model elementów skończonych. Każdy element skończony może mieć względną gęstość od 0 do 100%, reprezentującą względną ilość zastosowanego materiału. Te gęstości elementów są parametrami optymalizacyjnymi w zagadnieniu optymalizacji. Wynikowy rozkład materiału jest uznawany za optymalny dla danego zestawu obciążeń, jeśli minimalizuje całkowitą energię odkształcenia układu. Z definicji, rozkład optymalny jest również geometrią o największej możliwej sztywności dla danych obciążeń.

Iteracyjny proces optymalizacji rozpoczyna się od jednorodnego rozkładu gęstości. Obliczenia są wykonywane dla wielu całkowitych udziałów objętościowych (20%, 40%, 60% i 80%), co pozwala użytkownikowi wybrać najbardziej praktyczny wynik. Wynikowy kształt składa się z kratownic ze zastrzałami i cięgnami i reprezentuje optymalny kształt dla danych przypadków obciążenia (rys. 5).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 5\qquad Wyniki z narzędzia optymalizacji topologicznej przy 20\% i 40\%  efektywnej objętości}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(czerwony: obszary ściskane, niebieski: obszary rozciągane).}}}$$

CSFM uwzględnia ciągłe pola naprężeń w betonie (elementy skończone 2D), uzupełnione dyskretnymi elementami „prętowymi” reprezentującymi zbrojenie (elementy skończone 1D). W związku z tym zbrojenie nie jest rozmyte i wbudowane w elementy skończone 2D betonu, lecz modelowane jest jawnie i połączone z nimi. W modelu obliczeniowym przyjmuje się płaski stan naprężenia.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Modelować można zarówno całe ściany i belki, jak i detale (fragmenty) belek (izolowana strefa nieciągłości, nazywana również końcem przyciętym). W przypadku ścian i całych belek podpory muszą być zdefiniowane w taki sposób, aby powstała (zewnętrznie) konstrukcja statycznie wyznaczalna lub statycznie niewyznaczalna. Przekazywanie obciążenia na przyciętych końcach belek wprowadzane jest za pomocą specjalnej strefy przejściowej Saint-Venanta, która zapewnia realistyczny rozkład naprężeń w analizowanej strefie nieciągłości.

Aby zamodelować większość sytuacji zachodzących w trakcie procesu budowy, w CSFM dostępnych jest wiele typów podpór (rys. 7) oraz elementów służących do przenoszenia obciążeń (rys. 8).

Podpory

Podporę punktową można modelować na kilka sposobów, aby zapewnić, że naprężenia nie będą skoncentrowane w jednym punkcie, lecz rozłożone na większym obszarze. Pierwszą opcją jest rozłożona podpora punktowa (rys. 7a), która równomiernie rozkłada obciążenie na krawędzi elementu na zadanej szerokości.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 7\qquad Różne typy podpór:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) punktowa rozłożona; (b) płyta podporowa; (c) podpora liniowa; (d) podpora typu patch; (e) podwieszona.}}}$$

Podpora typu patch (rys. 7d) może być natomiast umieszczona wyłącznie wewnątrz bryły betonu, z określonym promieniem efektywnym. Jest ona następnie połączona sztywnymi elementami z węzłami siatki zbrojenia znajdującymi się w obrębie tego promienia. Dlatego wymagane jest zdefiniowanie kosza zbrojeniowego wokół podpory typu patch.

Dla dokładniejszego odwzorowania niektórych rzeczywistych scenariuszy dostępne są dwie kolejne opcje podpory punktowej. Po pierwsze, istnieje podpora punktowa z płytą podporową o zdefiniowanej szerokości i grubości (rys. 7b). Można określić materiał płyty podporowej, a cała płyta podporowa jest dyskretyzowana (siatkowana) niezależnie. Po drugie, dostępna jest podpora podwieszona (rys. 7e), która może być wykorzystana do modelowania zawiesi montażowych lub kotew montażowych.

Podporę liniową (rys. 7c) można zdefiniować na krawędzi (określając jej długość) lub wewnątrz elementu (za pomocą polilinii). Możliwe jest również określenie jej sztywności i/lub zachowania nieliniowego (podpora pracująca na ściskanie/rozciąganie lub tylko na ściskanie).

• Szczegółowe opisy można znaleźć w Types of supports in IDEA StatiCa Detail

Elementy przenoszące obciążenia

Wprowadzanie obciążeń do konstrukcji można również modelować na kilka sposobów. Dla obciążeń punktowych można zastosować płytę podporową (rys. 8a), podobnie jak w przypadku podpory punktowej, rozkładając obciążenie skupione na większym obszarze dzięki blasze stalowej o określonej szerokości i grubości. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 8\qquad Różne typy elementów przenoszących obciążenia:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) płyta podporowa; (b) obciążenie typu patch; (c) podwieszenie; (d) obszar częściowo obciążony.}}}$$

Obciążenie punktowe można przyłożyć bezpośrednio do powierzchni konstrukcji z określonym promieniem działania (obciążenie jest przykładane do elementów betonowych) lub za pomocą specjalnego urządzenia przenoszącego obciążenie, zwanego obciążeniem typu patch (rys. 8b i rys. 9). Obciążenie typu patch umożliwia przeniesienie obciążenia bezpośrednio na zdefiniowane zbrojenie znajdujące się w obszarze promienia efektywnego. Aby zapewnić prawidłowe działanie obciążenia typu patch, konieczne jest zdefiniowanie grupy prętów zbrojeniowych, które zostaną połączone z obciążeniem (we właściwościach zbrojenia). Jeśli połączone zbrojenie nie zostanie zdefiniowane, mechanizm przenoszenia obciążenia jest taki sam jak w przypadku obciążenia punktowego umieszczonego na powierzchni elementu, a obciążenie jest przenoszone przez więzy na elementy betonowe, a nie bezpośrednio na zbrojenie. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 9\qquad Obciążenie typu patch: (a) przyłożenie obciążenia; (b) obciążenie przenoszone przez pręty zbrojeniowe (zdefiniowana jest grupa prętów do przenoszenia obciążenia);}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) obciążenie przenoszone przez beton (grupa prętów do przenoszenia obciążenia nie jest zdefiniowana).}}}$$

Zawiesia montażowe lub kotwy montażowe można modelować za pomocą obciążenia podwieszonego (rys. 8c). Użytkownik może zastosować obszar częściowo obciążony (rys. 8d), co pozwala na zwiększenie nośności betonu na ściskanie zgodnie z Eurokodem (nie jest możliwe zastosowanie tego typu elementu przenoszącego obciążenie, gdy ustawiony jest ACI). Konstrukcję można również obciążać obciążeniami liniowymi na krawędziach, za pomocą ogólnej polilinii lub obciążeniami powierzchniowymi. Aplikacja Detail application jest w stanie automatycznie uwzględnić ciężar własny w analizie.

W wielu przypadkach konieczne jest zamodelowanie tylko pewnego detalu (części) elementu konstrukcyjnego, np. podparcia belki, otworu w środku belki itp. Takie podejście może prowadzić do konfiguracji podpór, które są niestateczne, ale dopuszczalne w IDEA StatiCa Detail (w tym przypadek braku podpór). Jednak w takich przypadkach konieczne jest również zamodelowanie przekroju reprezentującego połączenie z sąsiadującym regionem B, wraz z siłami wewnętrznymi w tym przekroju, które spełniają warunki równowagi. W niektórych przypadkach (np. przy modelowaniu podparcia belki) te siły wewnętrzne mogą zostać wyznaczone automatycznie przez program.

Pomiędzy regionem B a analizowanym regionem nieciągłości automatycznie tworzona jest strefa przejściowa Saint-Venanta, aby zapewnić realistyczny rozkład naprężeń w analizowanym regionie. Szerokość strefy przejściowej jest określana jako połowa wysokości przekroju. Ponieważ jedynym celem strefy Saint-Venanta jest uzyskanie właściwego rozkładu naprężeń w pozostałej części modelu, wyniki z tego obszaru nie są wyświetlane w weryfikacji i nie są w nim uwzględniane żadne kryteria zatrzymania.

Krawędź strefy Saint-Venanta reprezentująca przycięty koniec belki jest modelowana jako sztywna, tzn. może się obracać, ale musi pozostać płaska. Osiąga się to poprzez połączenie wszystkich węzłów MES na krawędzi z oddzielnym węzłem w środku ciężkości przekroju za pomocą sztywnego elementu więzów (RBE2). Siły wewnętrzne elementu mogą być następnie przyłożone w tym węźle, jak pokazano na rys. 10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 10\qquad Przeniesienie sił wewnętrznych na przyciętym końcu.}}}$$

Redukcja przekroju poprzecznego jest wykonywana automatycznie dla konstrukcji zdefiniowanych jako złącze belki lub ramy (zdefiniowane przez oś x i przekrój poprzeczny). Ta modyfikacja jest automatycznie stosowana do przekrojów poprzecznych z bardzo szerokimi pasami (rys. 11) i opiera się na założeniu, że pole naprężeń ściskających rozchodziłoby się od ścianki pod kątem 45°, dzięki czemu wspomniana zredukowana szerokość byłaby maksymalną szerokością zdolną do przenoszenia obciążeń

Należy zauważyć, że metoda wyznaczania efektywnej szerokości pasa zaimplementowana w CSFM różni się od metody podanej w 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015) lub w 9.2.4.4 ACI 318-19. Poza geometrią, efektywna szerokość pasa według Eurokodu jest wyraźnie uzależniona od długości rozpiętości i warunków brzegowych konstrukcji.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}$$

W przypadku skosów leżących w płaszczyźnie poziomej (rys. 12), każdy skos jest dzielony na pięć odcinków wzdłuż jego długości. Każdy z tych odcinków jest następnie modelowany jako ścianka o stałej grubości, równej rzeczywistej grubości w środku danego odcinka.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}$$

Nieliniowy (niesprężysty) model analizy metodą elementów skończonych jest tworzony przy użyciu kilku rodzajów elementów skończonych stosowanych do modelowania betonu, zbrojenia oraz przyczepności między nimi. Elementy betonu i zbrojenia są najpierw dyskretyzowane niezależnie, a następnie łączone ze sobą za pomocą więzów wielopunktowych (elementów MPC). Umożliwia to zbrojeniu zajmowanie dowolnej, względnej pozycji względem betonu. Jeżeli ma być obliczana weryfikacja długości zakotwienia, między zbrojeniem a elementami MPC wstawiane są elementy sprężyste przyczepności i zakotwienia na końcu pręta.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Beton

Beton jest modelowany za pomocą czworokątnych i trójkątnych elementów powłokowych, CQUAD4 i CTRIA3. Mogą być one zdefiniowane odpowiednio przez cztery lub trzy węzły. Zakłada się, że w tych elementach występuje jedynie płaski stan naprężenia, tj. naprężenia lub odkształcenia w kierunku z nie są uwzględniane.

Każdy element ma cztery lub trzy punkty całkowania, które są umieszczone w przybliżeniu w 1/4 jego wielkości. W każdym punkcie całkowania w każdym elemencie obliczane są kierunki odkształceń głównych α₁, α₂. W obu tych kierunkach naprężenia główne σ_c1, σ_c2 oraz sztywności E₁, E₂ są wyznaczane zgodnie z podanym wykresem naprężenie-odkształcenie betonu, jak na rys. 2. Należy zauważyć, że wpływ efektu compression softening sprzęga zachowanie głównego kierunku ściskania z aktualnym stanem drugiego kierunku głównego.

Zbrojenie

Pręty zbrojeniowe są modelowane za pomocą dwuwęzłowych elementów prętowych 1D „rod” (CROD), które mają jedynie sztywność osiową. Elementy te są połączone ze specjalnymi elementami „przyczepności”, które zostały opracowane w celu modelowania zachowania poślizgu między prętem zbrojeniowym a otaczającym betonem. Te elementy przyczepności są następnie łączone za pomocą elementów MPC (więzów wielopunktowych) z siatką reprezentującą beton. Takie podejście umożliwia niezależną dyskretyzację zbrojenia i betonu, przy czym ich wzajemne połączenie zapewnione jest później.

Elementy przyczepności

Długość zakotwienia jest weryfikowana poprzez zaimplementowanie naprężeń stycznych przyczepności między elementami betonu (2D) a elementami prętów zbrojeniowych (1D) w modelu elementów skończonych. W tym celu opracowano typ elementu skończonego „przyczepności”.

Definicja elementu przyczepności jest podobna do definicji elementu powłokowego (CQUAD4). Jest on również zdefiniowany przez 4 węzły, ale w przeciwieństwie do powłoki, ma on niezerową sztywność jedynie na ścinanie między dwoma górnymi i dwoma dolnymi węzłami. W modelu górne węzły są połączone z elementami reprezentującymi zbrojenie, a dolne węzły z elementami reprezentującymi beton. Zachowanie tego elementu jest opisane przez naprężenie przyczepności, τ_b, jako funkcję dwuliniową poślizgu między górnymi i dolnymi węzłami, δ_u, patrz rys. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

Sprężysty moduł sztywności zależności przyczepność-poślizg, G_b, jest zdefiniowany następująco:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

gdzie:

k_g            współczynnik zależny od powierzchni pręta zbrojeniowego (domyślnie k_g = 0,2)

E_c            moduł sprężystości betonu (przyjmowany jako E_cm w przypadku EN)

Ø             średnica pręta zbrojeniowego

Wartości obliczeniowe (wartości zredukowane) granicznego naprężenia stycznego przyczepności, f_bd, podane w odpowiednio wybranych normach projektowych EN 1992-1-1 lub ACI 318-19, są wykorzystywane do weryfikacji długości zakotwienia. Umocnienie gałęzi plastycznej jest domyślnie obliczane jako G_b/10⁵.

Sprężyna zakotwienia

Zastosowanie zakończeń zakotwienia prętów zbrojeniowych (tj. odgięć, haków, pętli…), spełniające wymagania norm projektowych, umożliwia redukcję podstawowej długości zakotwienia prętów (l_b,net) o pewien współczynnik β (zwany dalej „współczynnikiem zakotwienia”). Wartość obliczeniowa długości zakotwienia (l_b) jest następnie obliczana w następujący sposób:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

Zamierzona redukcja l_b,net jest równoważna aktywacji pręta zbrojeniowego na jego końcu przy określonym procencie jego maksymalnej nośności, danym przez współczynnik redukcji zakotwienia, jak pokazano na rys. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

Redukcja długości zakotwienia jest uwzględniona w modelu elementów skończonych za pomocą elementu sprężystego na końcu pręta (rys. 15), który jest zdefiniowany przez model konstytutywny pokazany na rys. 15b. Maksymalna siła przenoszona przez tę sprężynę (F_au) wynosi:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

gdzie:

β             współczynnik zakotwienia zależny od typu zakotwienia,

A_s            przekrój poprzeczny pręta zbrojeniowego,

f_yd           wartość obliczeniowa (wartość zredukowana) granicy plastyczności zbrojenia.

Elementy skończone są zaimplementowane wewnętrznie, a model obliczeniowy jest generowany automatycznie bez potrzeby zaawansowanej interakcji użytkownika. Ważną częścią tego procesu jest siatkowanie.

Beton

Wszystkie elementy betonowe są siatkowane razem. Zalecany rozmiar elementu jest automatycznie obliczany przez aplikację na podstawie wielkości i kształtu konstrukcji, z uwzględnieniem średnicy największego pręta zbrojeniowego. Ponadto zalecany rozmiar elementu gwarantuje, że w cienkich częściach konstrukcji, takich jak smukłe słupy czy cienkie płyty, generowane są co najmniej 4 elementy, aby zapewnić wiarygodne wyniki w tych obszarach. Maksymalna liczba elementów betonowych jest ograniczona do 5000, jednak wartość ta jest wystarczająca, aby zapewnić zalecany rozmiar elementu dla większości konstrukcji. Projektanci zawsze mogą wybrać zdefiniowany przez użytkownika rozmiar elementu betonowego, modyfikując mnożnik domyślnego rozmiaru siatki.

Zbrojenie

Zbrojenie jest dzielone na elementy o długości zbliżonej do rozmiaru elementu betonowego. Po wygenerowaniu siatek zbrojenia i betonu są one wzajemnie połączone elementami przyczepności, jak pokazano na Rys. 13.

Płyty podporowe

Pomocnicze elementy konstrukcyjne, takie jak płyty podporowe, są siatkowane niezależnie. Rozmiar tych elementów jest obliczany jako 2/3 rozmiaru elementów betonowych w obszarze połączenia. Węzły siatki płyty podporowej są następnie łączone z węzłami krawędziowymi siatki betonowej za pomocą elementów więzów interpolacyjnych (RBE3).

Obciążenia i podpory

Obciążenia płatowe i podpory płatowe są połączone wyłącznie ze zbrojeniem, jak pokazano na Rys. 16. Dlatego konieczne jest zdefiniowanie zbrojenia wokół nich. Połączenie ze wszystkimi węzłami zbrojenia w promieniu efektywnym jest zapewnione przez elementy RBE3 o równej wadze.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}$$

Podpory liniowe i obciążenia liniowe są połączone z węzłami siatki betonowej za pomocą elementów RBE3 na podstawie określonej szerokości lub promienia efektywnego. Waga połączeń jest odwrotnie proporcjonalna do odległości od podpory lub impulsu obciążenia.

• Więcej informacji na temat wzajemnych powiązań między poszczególnymi obciążeniami a siatką znajduje się w General description of Load impulses in Detail application

Do znalezienia rozwiązania nieliniowego zagadnienia MES stosowana jest standardowa pełna metoda Newtona-Raphsona (NR). 

Zazwyczaj algorytm NR nie zbiega się, gdy pełne obciążenie jest przykładane w jednym kroku. Powszechnie stosowanym podejściem, wykorzystanym również tutaj, jest przykładanie obciążenia sekwencyjnie w wielu przyrostach oraz wykorzystanie wyniku z poprzedniego przyrostu obciążenia jako punktu startowego dla rozwiązania Newtona dla kolejnego kroku. W tym celu, ponad metodą Newtona-Raphsona, zaimplementowano algorytm kontroli obciążenia. W przypadku, gdy iteracje NR nie zbiegają się, bieżący przyrost obciążenia jest redukowany do połowy swojej wartości, a iteracje NR są powtarzane.

Drugim celem algorytmu kontroli obciążenia jest znalezienie obciążenia krytycznego, które odpowiada określonym „kryteriom zatrzymania” – w szczególności maksymalnemu odkształceniu w betonie, maksymalnemu poślizgowi w elementach przyczepności, maksymalnemu przemieszczeniu w elementach zakotwienia oraz maksymalnemu odkształceniu w prętach zbrojeniowych. Obciążenie krytyczne wyznaczane jest metodą bisekcji. W przypadku, gdy kryterium zatrzymania zostanie przekroczone w dowolnym miejscu modelu, wyniki ostatniego przyrostu obciążenia są odrzucane, a obliczany jest nowy przyrost o połowę mniejszy od poprzedniego. Proces ten jest powtarzany aż do znalezienia obciążenia krytycznego z określoną tolerancją błędu.

Dla betonu kryterium zatrzymania ustalono na poziomie 5% odkształcenia przy ściskaniu (tj. około rzędu wielkości większego niż rzeczywiste odkształcenie niszczące betonu) oraz 7% przy rozciąganiu w punktach całkowania elementów powłokowych. Przy rozciąganiu wartość ta została ustalona tak, aby umożliwić osiągnięcie w pierwszej kolejności odkształcenia granicznego w zbrojeniu, które zazwyczaj wynosi około 5% bez uwzględnienia efektu usztywnienia przy rozciąganiu (tension stiffening). Przy ściskaniu wartość została wybrana spośród kilku alternatyw jako wystarczająco duża, aby efekty miażdżenia były widoczne w wynikach, ale wystarczająco mała, aby nie powodować zbyt wielu problemów ze stabilnością numeryczną.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutive relationship of bond and anchorage elements used for anchorage length verification:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bond shear stress slip response of a bond element; (b) force-displacement response of an anchorage element.}}}$$

Dla zbrojenia kryterium zatrzymania jest definiowane w kategoriach naprężeń. Ponieważ modelowane są naprężenia w rysie, kryterium przy rozciąganiu odpowiada wytrzymałości na rozciąganie zbrojenia z uwzględnieniem współczynnika bezpieczeństwa. Ta sama wartość jest stosowana dla kryterium przy ściskaniu.

Kryterium zatrzymania w elementach przyczepności i sprężynach zakotwienia wynosi α·δu_max, gdzie δu_max jest maksymalnym poślizgiem stosowanym w sprawdzeniach normowych, a α = 10.

Wyniki są prezentowane niezależnie dla betonu i dla elementów zbrojenia. Wartości naprężeń i odkształceń w betonie są obliczane w punktach całkowania elementów powłokowych. Ponieważ jednak przedstawianie danych w taki sposób nie jest praktyczne, wyniki są domyślnie prezentowane w węzłach, jako wartość maksymalna naprężenia ściskającego z sąsiadujących punktów całkowania Gaussa w połączonych elementach (Rys. 18). Należy zauważyć, że taka prezentacja może lokalnie zaniżać wyniki na ściskanych krawędziach elementów w przypadku, gdy rozmiar elementu skończonego jest zbliżony do wysokości strefy ściskanej.

Rys. 18 - Betonowy element skończony z punktami całkowania i węzłami: prezentacja wyników dla betonu w węzłach i w elementach skończonych.

Wyniki dla elementów skończonych zbrojenia są albo stałe dla każdego elementu (jedna wartość – np. dla naprężeń w stali), albo liniowe (dwie wartości – dla wyników przyczepności). Dla elementów pomocniczych, takich jak elementy płyt podporowych, prezentowane są jedynie odkształcenia.

Ocena konstrukcji za pomocą CSFM jest przeprowadzana w dwóch różnych analizach: jednej dla kombinacji obciążeń w stanie granicznym użytkowalności i jednej dla kombinacji obciążeń w stanie granicznym nośności. Analiza stanu granicznego użytkowalności zakłada, że zachowanie graniczne elementu jest zadowalające i że warunki plastyczności materiału nie zostaną osiągnięte przy poziomach obciążeń eksploatacyjnych. Takie podejście umożliwia zastosowanie uproszczonych modeli konstytutywnych (z liniową gałęzią wykresu naprężenie-odkształcenie betonu) dla analizy stanu granicznego użytkowalności, co zwiększa stabilność numeryczną i szybkość obliczeń. Dlatego zaleca się stosowanie przedstawionego poniżej sposobu postępowania, w którym analiza stanu granicznego nośności jest przeprowadzana jako pierwszy krok.

Analiza stanu granicznego nośności

Różne weryfikacje wymagane przez określone normy projektowe są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników dostarczanych przez model. Weryfikacje SGN są przeprowadzane dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia przyczepności przy ścinaniu).

Aby zapewnić efektywne zaprojektowanie elementu konstrukcyjnego, zdecydowanie zaleca się przeprowadzenie wstępnej analizy, która uwzględnia następujące kroki:

• Wybór zestawu najbardziej krytycznych kombinacji obciążeń.
• Obliczenie tylko kombinacji obciążeń w stanie granicznym nośności (SGN).
• Zastosowanie zgrubnej siatki (poprzez zwiększenie mnożnika domyślnego rozmiaru siatki w Ustawieniach (Rys. 19)).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}$$

Taki model będzie obliczany bardzo szybko, umożliwiając projektantom sprawne przeglądanie detali elementu konstrukcyjnego oraz ponowne przeprowadzanie analizy, aż wszystkie wymagania weryfikacyjne zostaną spełnione dla najbardziej krytycznych kombinacji obciążeń. Po spełnieniu wszystkich wymagań weryfikacyjnych tej wstępnej analizy, zaleca się uwzględnienie pełnego zestawu kombinacji obciążeń w stanie granicznym nośności oraz zastosowanie drobnej siatki (rozmiaru siatki zalecanego przez program). Użytkownik może zmienić rozmiar siatki za pomocą mnożnika, który może przyjmować wartości od 0,5 do 5 (Rys. 19).

Podstawowe wyniki i weryfikacje (naprężenie, odkształcenie i stopień wykorzystania (tj. obliczona wartość/wartość graniczna z normy), a także kierunek naprężeń głównych w przypadku elementów betonowych) są przedstawiane za pomocą różnych wykresów, na których ściskanie jest zazwyczaj przedstawiane na czerwono, a rozciąganie na niebiesko. Globalne wartości minimalne i maksymalne dla całej konstrukcji mogą zostać wyróżnione, podobnie jak wartości minimalne i maksymalne dla każdej części zdefiniowanej przez użytkownika. W osobnej zakładce programu można wyświetlić wyniki zaawansowane, takie jak wartości tensorów, deformacje konstrukcji oraz stopnie zbrojenia (efektywny i geometryczny) używane do obliczania tension stiffening prętów zbrojeniowych. Ponadto można przedstawić obciążenia i reakcje dla wybranych kombinacji lub przypadków obciążenia.

Analiza stanu granicznego użytkowalności

Oceny SGU są przeprowadzane pod kątem ograniczenia naprężeń, szerokości rys oraz limitów ugięć. Naprężenia są sprawdzane w elementach betonowych i zbrojeniu zgodnie z obowiązującą normą, w sposób podobny do określonego dla SGN.

Analiza stanu granicznego użytkowalności zawiera pewne uproszczenia modeli konstytutywnych stosowanych w analizie stanu granicznego nośności. Zakłada się idealną przyczepność, tj. długość zakotwienia nie jest weryfikowana przy stanie granicznym użytkowalności. Ponadto pomija się gałąź plastyczną wykresu naprężenie-odkształcenie betonu przy ściskaniu, natomiast gałąź sprężysta jest liniowa i nieograniczona. Te uproszczenia zwiększają stabilność numeryczną i szybkość obliczeń i nie ograniczają ogólności rozwiązania, o ile wynikowe limity naprężeń materiału przy stanie granicznym użytkowalności są wyraźnie poniżej ich punktów plastyczności (zgodnie z wymaganiami norm). Dlatego uproszczone modele stosowane dla stanu granicznego użytkowalności są ważne tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie wymagania weryfikacyjne.

Obliczenie szerokości rys i tension stiffening

Obliczenie szerokości rys

Istnieją dwa sposoby obliczania szerokości rys - zarysowanie ustabilizowane i nieustabilizowane. Na podstawie geometrycznego stopnia zbrojenia w każdej części konstrukcji określa się, który model obliczeniowy rys zostanie zastosowany (TCM dla zarysowania ustabilizowanego i POM dla modelu zarysowania nieustabilizowanego).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Podczas gdy CSFM daje bezpośredni wynik dla większości weryfikacji (np. nośność elementu, ugięcia…), wyniki szerokości rys są obliczane na podstawie wyników odkształceń zbrojenia dostarczanych bezpośrednio przez analizę MES, zgodnie z metodologią opisaną na Rys. 20. Rozważana jest kinematyka rysy bez poślizgu (czyste rozwarcie rysy) (Rys. 20a), co jest zgodne z głównymi założeniami modelu. Kierunki główne naprężeń i odkształceń definiują nachylenie rys (θ_r = θ_s= θ_e). Zgodnie z (Rys. 20b), szerokość rysy (w) można rzutować na kierunek pręta zbrojeniowego (w_b), co prowadzi do:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

gdzie θ_b jest nachyleniem pręta.

Należy zauważyć, że program wyświetla wartości θ_r i θ_b < π/2. Oznacza to, że powyższe równanie działa dla przypadków, w których zbrojenie i rysa przechodzą przez różne ćwiartki układu współrzędnych kartezjańskich, jak pokazano na Rys. 20, gdzie zbrojenie przechodzi przez I. i III. ćwiartkę, a rysa przez II. i IV. Dla przypadków, w których zbrojenie i rysa przechodzą przez te same ćwiartki, równanie należy zmodyfikować w następujący sposób:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

Składowa w_b jest konsekwentnie obliczana na podstawie modeli tension stiffening poprzez całkowanie odkształceń zbrojenia. Dla tych obszarów w pełni rozwiniętego rozkładu rys, obliczone odkształcenia średnie (e_m) wzdłuż prętów zbrojeniowych są bezpośrednio całkowane wzdłuż rozstawu rys (s_r), jak wskazano na (Rys. 20c). Choć takie podejście do obliczania kierunków rys nie odpowiada rzeczywistemu położeniu rys, nadal dostarcza reprezentatywnych wartości prowadzących do wyników szerokości rys, które można porównać z wartościami szerokości rys wymaganymi przez normę w miejscu pręta zbrojeniowego.

Szczególne sytuacje obserwuje się w narożnikach wklęsłych obliczanej konstrukcji. W tym przypadku narożnik z góry określa położenie pojedynczej rysy, która zachowuje się w sposób nieustabilizowany, zanim rozwiną się dodatkowe sąsiednie rysy. Te dodatkowe rysy zazwyczaj rozwijają się po przekroczeniu zakresu użytkowalności (Mata-Falcón 2015), co uzasadnia obliczanie szerokości rys w takim obszarze tak, jakby były nieustabilizowane (Rys. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Tension stiffening

Implementacja tension stiffening rozróżnia przypadki ustabilizowanych i nieustabilizowanych rozkładów rys. W obu przypadkach domyślnie przyjmuje się, że beton jest w pełni zarysowany przed obciążeniem.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Zarysowanie ustabilizowane

W przypadku w pełni rozwiniętego rozkładu rys, tension stiffening jest wprowadzany za pomocą modelu Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Rys. 22a – który, jak wykazano, daje doskonałe przewidywania odpowiedzi pomimo swojej prostoty (Burns 2012). TCM zakłada schodkową, sztywno-idealnie plastyczną zależność naprężenia przyczepności od poślizgu, z τ_b = τ_b0 =2 f_ctm dla σ_s ≤ f_y oraz τ_b =τ_b1 = f_ctm dla σ_s > f_y. Traktując każdy pręt zbrojeniowy jako cięgno rozciągane – Rys. 22b i Rys. 22a – rozkład naprężeń przyczepności, stali i betonu, a tym samym rozkład odkształceń między dwiema rysami, można wyznaczyć dla dowolnej wartości maksymalnych naprężeń (lub odkształceń) stali w rysach.

Dla s_r = s_r0, nowa rysa może się utworzyć lub nie, ponieważ w środku między dwiema rysami σ_c1 = f_ct. W konsekwencji rozstaw rys może się różnić o czynnik dwa, tj. s_r = λs_r0, przy l = 0,5…1,0. Zakładając określoną wartość λ, średnie odkształcenie cięgna (ε_m) można wyrazić jako funkcję maksymalnych naprężeń zbrojenia (tj. naprężeń w rysach, σ_sr). Dla wyidealizowanego bilinowego wykresu naprężenie-odkształcenie dla gołych prętów zbrojeniowych, przyjętego domyślnie w CSFM, otrzymuje się następujące zamknięte wyrażenia analityczne (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

gdzie:
E_sh           moduł umocnienia stali E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            moduł sprężystości zbrojenia,

Ø            średnica pręta zbrojeniowego,

s_r                rozstaw rys,

σ_sr           naprężenia zbrojenia w rysach,

σ_s            rzeczywiste naprężenia zbrojenia,

f_y                granica plastyczności zbrojenia.

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail domyślnie uwzględnia średni rozstaw rys podczas przeprowadzania komputerowo wspomaganej analizy pól naprężeń. Średni rozstaw rys przyjmuje się jako 2/3 maksymalnego rozstawu rys (λ = 0,67), co jest zgodne z zaleceniami sformułowanymi na podstawie badań zginania i rozciągania (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Należy zauważyć, że przy obliczaniu szerokości rys przyjmuje się maksymalny rozstaw rys (λ = 1,0) w celu uzyskania wartości bezpiecznych (konserwatywnych).

Zastosowanie TCM zależy od stopnia zbrojenia, dlatego kluczowe znaczenie ma przypisanie odpowiedniego pola przekroju betonu działającego na rozciąganie między rysami do każdego pręta zbrojeniowego. Opracowano automatyczną procedurę numeryczną w celu zdefiniowania odpowiadającego jej efektywnego stopnia zbrojenia (ρ_eff = A_s/A_c,eff) dla dowolnej konfiguracji, w tym zbrojenia skośnego (Rys. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Zarysowanie nieustabilizowane

Rysy występujące w obszarach o geometrycznym stopniu zbrojenia niższym niż ρ_cr, tj. minimalnej ilości zbrojenia, przy której zbrojenie jest w stanie przenieść obciążenie rysujące bez uplastycznienia, powstają w wyniku działań niemechanicznych (np. skurczu) lub propagacji rys kontrolowanej przez inne zbrojenie. Wartość tego minimalnego zbrojenia otrzymuje się w następujący sposób:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

gdzie:

f_y              granica plastyczności zbrojenia,

f_ct             wytrzymałość betonu na rozciąganie,

n              stosunek modułów sprężystości, n = E_s / E_c .

Dla konwencjonalnego betonu i stali zbrojeniowej, ρ_cr wynosi w przybliżeniu 0,6%.

Dla strzemion o stopniu zbrojenia poniżej ρ_cr, zarysowanie uznaje się za nieustabilizowane, a tension stiffening jest wdrażany za pomocą modelu Pull-Out Model (POM) opisanego na Rys. 22b. Model ten analizuje zachowanie pojedynczej rysy, nie uwzględniając mechanicznego oddziaływania między poszczególnymi rysami, pomijając odkształcalność betonu przy rozciąganiu i zakładając tę samą schodkową, sztywno-idealnie plastyczną zależność naprężenia przyczepności od poślizgu, jaka jest stosowana w TCM. Pozwala to na wyznaczenie rozkładu odkształceń zbrojenia (ε_s) w pobliżu rysy dla dowolnego maksymalnego naprężenia stali w rysie (σ_sr) bezpośrednio z warunków równowagi. Ze względu na fakt, że rozstaw rys jest nieznany dla nie w pełni rozwiniętego rozkładu rys, odkształcenie średnie (ε_m) jest obliczane dla dowolnego poziomu obciążenia na odcinku między punktami zerowego poślizgu, gdy pręt zbrojeniowy osiąga swoją wytrzymałość na rozciąganie (f_t) w rysie (l_ε,avg na Rys. 22b), co prowadzi do następujących zależności:

Proponowane modele umożliwiają obliczenie zachowania zbrojenia z przyczepnością, które ostatecznie jest uwzględniane w analizie. Zachowanie to (z uwzględnieniem tension stiffening) dla najbardziej powszechnej europejskiej stali zbrojeniowej (B500B, z f_t / f_y = 1,08 i ε_u = 5%) jest przedstawione na Rys. 22c-d.

Beton - SGN

Model betonu zaimplementowany w CSFM opiera się na jednoosiowych prawach konstytutywnych ściskania określonych w EN 1992-1-1 do projektowania przekrojów, które zależą wyłącznie od wytrzymałości na ściskanie. Domyślnie w CSFM stosowany jest diagram parabola-prostokąt określony w EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Rys. 24a), ale projektanci mogą również wybrać uproszczoną zależność sprężysto-idealnie plastyczną według EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Rys. 24b). Wytrzymałość na rozciąganie jest pomijana, podobnie jak w klasycznym projektowaniu żelbetu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}$$

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w zakresie odkształceń dla betonu ściskanego (tzn. po osiągnięciu naprężenia szczytowego uwzględniana jest gałąź plastyczna z wartością ε_cu2 (ε_cu3) równą 5%, podczas gdy EN 1992-1-1 zakłada odkształcenie graniczne mniejsze niż 0,35%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności odkształcenia konstrukcji ulegających zniszczeniu przez ściskanie. Niemniej jednak ich nośność graniczna f_cd według EN 1992-1-1 3.1.3 jest prawidłowo przewidywana, gdy oprócz współczynnika zarysowanego betonu (k_c2 zdefiniowanego na (Rys. 25)), uwzględniony zostanie wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości za pomocą współczynnika redukcyjnego $\eta_{fc}$ zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

α_cc to współczynnik uwzględniający długoterminowe efekty wpływające na wytrzymałość na ściskanie oraz niekorzystne efekty wynikające ze sposobu przyłożenia obciążenia. Zgodnie z EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). Wartość domyślna wynosi 1,0.

k_c to globalny współczynnik redukcyjny wytrzymałości na ściskanie

k_c2 to współczynnik redukcyjny wynikający z obecności zarysowania poprzecznego

f_ck to charakterystyczna wytrzymałość walcowa betonu (w MPa dla definicji $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}$$

Beton - SGU

Analiza w stanie granicznym użytkowalności zawiera pewne uproszczenia modeli konstytutywnych stosowanych w analizie stanu granicznego nośności. Gałąź plastyczna krzywej naprężenie-odkształcenie betonu w ściskaniu jest pomijana, natomiast gałąź sprężysta jest liniowa i nieskończona. Compression softening nie jest uwzględniane. Te uproszczenia poprawiają stabilność numeryczną i szybkość obliczeń oraz nie ograniczają ogólności rozwiązania, o ile wynikowe granice naprężeń materiałowych w stanie granicznym użytkowalności są wyraźnie poniżej ich punktów plastyczności (zgodnie z wymaganiami Eurokodu). Dlatego uproszczone modele stosowane w analizie SGU są ważne tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie wymagania weryfikacyjne.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Efekty długoterminowe

W analizie stanu granicznego użytkowalności długoterminowe efekty betonu są uwzględniane za pomocą efektywnego nieskończonego współczynnika pełzania ($\varphi$, przyjmowanego domyślnie jako wartość 2,5), który modyfikuje sieczny moduł sprężystości betonu (E_cm) zgodnie z EN 1992-1-1, sekcja 3.1.4 (3) odp. 7.4.3 (5), w następujący sposób:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

Przy uwzględnianiu efektów długoterminowych, krok obciążenia ze wszystkimi obciążeniami stałymi jest najpierw obliczany z uwzględnieniem współczynnika pełzania (tzn. przy użyciu efektywnego modułu sprężystości betonu, E_c,eff), a następnie dodatkowe obciążenia są obliczane bez współczynnika pełzania (tzn. przy użyciu E_cm). Ponadto, aby przeprowadzić weryfikacje krótkoterminowe, wykonywane jest kolejne obliczenie, w którym wszystkie obciążenia są obliczane bez współczynnika pełzania. Oba obliczenia dla weryfikacji długo- i krótkoterminowych przedstawiono na Rys. 26.

Współczynniki pełzania są definiowane przez użytkownika we właściwościach materiałowych i powinny być obliczane zgodnie z EN 1992-1-1, Rys 3.1.

Zbrojenie

Domyślnie uwzględniany jest wyidealizowany dwuliniowy diagram naprężenie-odkształcenie dla gołych prętów zbrojeniowych zdefiniowany w EN 1992-1-1, sekcja 3.2.7 (Rys. 27). Definicja tego diagramu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia na etapie projektowania (klasa wytrzymałości i ciągliwości). W przypadkach, gdy jest to znane, można uwzględnić rzeczywistą zależność naprężenie-odkształcenie zbrojenia (walcowane na gorąco, obrabiane na zimno, hartowane i samoodpuszczane, …). Diagram naprężenie-odkształcenie zbrojenia może zostać zdefiniowany przez użytkownika, ale w takim przypadku nie jest możliwe założenie efektu usztywnienia (tension stiffening) (nie jest możliwe obliczenie szerokości rysy). Użycie diagramu naprężenie-odkształcenie z poziomą górną gałęzią nie pozwala na weryfikację trwałości konstrukcji. Dlatego konieczna jest ręczna weryfikacja standardowych wymagań dotyczących ciągliwości.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$

Efekt usztywnienia (tension stiffening) (Rys. 28)  jest uwzględniany automatycznie poprzez modyfikację wprowadzonej zależności naprężenie-odkształcenie gołego pręta zbrojeniowego w celu uchwycenia średniej sztywności prętów osadzonych w betonie (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method jest zgodna ze współczesnymi normami projektowymi. Ponieważ modele obliczeniowe wykorzystują wyłącznie standardowe właściwości materiałowe, format cząstkowych współczynników bezpieczeństwa przewidziany w normach projektowych może być stosowany bez żadnej adaptacji. W ten sposób obciążenia wejściowe są mnożone przez współczynniki, a charakterystyczne właściwości materiałowe są redukowane przy użyciu odpowiednich współczynników bezpieczeństwa przewidzianych w normach projektowych, dokładnie tak jak w konwencjonalnej analizie betonu. Wartości współczynników bezpieczeństwa materiału przewidziane w EN 1992-1-1 rozdz. 2.4.2.4 są ustawione domyślnie, ale użytkownik może zmienić współczynniki bezpieczeństwa w ustawieniach Code and calculation settings (Rys. 29).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Współczynniki bezpieczeństwa obciążeń muszą zostać zdefiniowane przez użytkownika w Combination rules dla każdej nieliniowej kombinacji przypadków obciążeń (Rys. 30). Dla wszystkich szablonów zaimplementowanych w Idea StatiCa Detail, cząstkowe współczynniki bezpieczeństwa są już wcześniej zdefiniowane.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Stosując odpowiednie, zdefiniowane przez użytkownika kombinacje cząstkowych współczynników bezpieczeństwa, użytkownicy mogą również obliczać za pomocą CSFM przy użyciu metody globalnego współczynnika odporności (Navrátil, et al. 2017), jednak podejście to jest rzadko stosowane w praktyce projektowej. Niektóre wytyczne zalecają stosowanie metody globalnego współczynnika odporności do analizy nieliniowej. Jednak w uproszczonych analizach nieliniowych (takich jak CSFM), które wymagają jedynie tych właściwości materiałowych, które są wykorzystywane w konwencjonalnych obliczeniach ręcznych, nadal bardziej pożądane jest stosowanie formatu cząstkowych współczynników bezpieczeństwa.

Różne weryfikacje wymagane przez EN 1992-1-1 są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników uzyskanych z modelu. Weryfikacje SGN są przeprowadzane dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia stycznego przyczepności).

Wytrzymałość betonu na ściskanie jest oceniana jako stosunek maksymalnego naprężenia głównego ściskającego σ_c = σ_c2 uzyskanego z analizy MES do wartości granicznej σ_c,lim = f_cd. 

Wytrzymałość zbrojenia jest oceniana zarówno w rozciąganiu, jak i w ściskaniu, jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w rysach σ_sr do określonej wartości granicznej σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{dla diagramu dwuliniowego z nachyloną górną gałęzią}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{dla diagramu dwuliniowego z poziomą górną gałęzią}}$

gdzie:

f_yk        granica plastyczności zbrojenia zgodnie z EN 1992-1-1 pkt. 3.2.3,

k          stosunek wytrzymałości na rozciąganie f_tk do granicy plastyczności,
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             jest częściowym współczynnikiem bezpieczeństwa dla zbrojenia

Naprężenie styczne przyczepności jest oceniane niezależnie jako stosunek naprężenia przyczepności τ_b obliczonego w analizie MES do granicznej wytrzymałości przyczepności f_bd, zgodnie z EN 1992-1-1 rozdz. 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

gdzie:

f_ctd      jest wartością obliczeniową wytrzymałości betonu na rozciąganie zgodnie z EN 1992-1-1 pkt. 3.1.6 (2). Ze względu na rosnącą kruchość betonu wysokiej wytrzymałości, f_ctk,0.05 jest ograniczone do wartości dla C60/75 zgodnie z EN 1992-1-1 pkt. 8.4.2 (2)

η₁       jest współczynnikiem związanym z jakością warunków przyczepności i pozycją pręta podczas betonowania (rys. 31).

η₁ = 1.0 gdy uzyskane są „dobre” warunki oraz

η₁ = 0.7 dla wszystkich pozostałych przypadków oraz dla prętów w elementach konstrukcyjnych wykonywanych z użyciem deskowań przesuwnych, chyba że można wykazać, że istnieją „dobre” warunki przyczepności

η₂        jest związane ze średnicą pręta:

            η₂ = 1.0 dla Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 dla Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 31\qquad EN 1992-1-1 Rysunek 8.2 - Opis warunków przyczepności.}}}$$

W IDEA StatiCa Detail warunki przyczepności są uwzględniane zgodnie z rys. 31 c) i d). Kierunek betonowania można ustawić w aplikacji dla każdego elementu projektu w następujący sposób.

Weryfikacje te są przeprowadzane z uwzględnieniem odpowiednich wartości granicznych dla poszczególnych części konstrukcji (tzn. pomimo posiadania jednej klasy zarówno dla betonu, jak i dla materiału zbrojenia, końcowe diagramy naprężenie-odkształcenie będą się różnić w każdej części konstrukcji ze względu na efekty tension stiffening i compression softening).

Istnieje również opcja modelowania prętów gładkich. Więcej informacji można znaleźć tutaj: Pręty gładkie w Detail

Siła całkowita F_tot i siła graniczna F_lim

Siła całkowita F_tot jest wynikiem analizy metodą elementów skończonych i może zostać zdefiniowana na dwa sposoby.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

gdzie A_s jest polem przekroju pręta zbrojeniowego, a σ_s jest naprężeniem w pręcie.

Albo jako suma siły zakotwienia F_a i siły przyczepności F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

gdzie F_a jest rzeczywistą siłą w sprężynie zakotwienia, a F_bond jest siłą przyczepności, którą można uzyskać poprzez całkowanie naprężenia przyczepności τ_b na długości pręta zbrojeniowego l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego.

Siła graniczna F_lim jest maksymalną siłą w elemencie pręta zbrojeniowego, uwzględniającą wytrzymałość graniczną pręta, a także warunki zakotwienia (przyczepność między betonem a zbrojeniem oraz haki zakotwienia, pętle itp.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

gdzie C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego, a l jest długością od początku pręta zbrojeniowego do rozpatrywanego punktu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 32\qquad Definicja siły granicznej Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

gdzie F_lim,add jest siłą dodatkową obliczaną na podstawie wielkości kąta między sąsiednimi elementami. F_lim,2 musi być zawsze mniejsze niż F_u.

Dostępne typy zakotwienia w CSFM obejmują pręt prosty (tzn. bez redukcji na końcu zakotwienia), odgięcie, hak, pętlę, spawany pręt poprzeczny, przyczepność doskonałą oraz pręt ciągły. Wszystkie te typy, wraz z odpowiednimi współczynnikami zakotwienia β, przedstawiono na rys. 32 dla zbrojenia podłużnego oraz na rys. 33 dla strzemion. Wartości przyjętych współczynników zakotwienia są zgodne z EN 1992-1-1 rozdział 8.4.4 tab. 8.2. Należy zauważyć, że pomimo różnych dostępnych opcji, CSFM rozróżnia trzy typy zakończeń zakotwienia: (i) brak redukcji długości zakotwienia, (ii) redukcja o 30% długości zakotwienia w przypadku znormalizowanego zakotwienia oraz (iii) przyczepność doskonała.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 33\qquad  Dostępne typy zakotwienia i odpowiednie współczynniki zakotwienia dla podłużnych prętów zbrojeniowych w CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) pręt prosty; (b) odgięcie; (c) hak; (d) pętla; (e) spawany pręt poprzeczny; (f) przyczepność doskonała; (g) pręt ciągły.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 33\qquad  Dostępne typy zakotwienia i odpowiednie współczynniki zakotwienia dla strzemion.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Strzemiona zamknięte: (a) hak; (b) odgięcie; (c) zakład. Strzemiona otwarte: (d) hak; (e) pręt ciągły.}}}$$

Aby zachować zgodność z EN 1992-1-1, w obliczeniach należy zastosować sprężynę zakotwienia; sprężyna zakotwienia jest modyfikowana przez współczynnik β, więc użytkownik musi zastosować jeden z dostępnych typów zakotwienia przy definiowaniu warunków początkowych i końcowych zbrojenia. 

Podczas projektowania konstrukcji żelbetowych spotykamy się z dwiema dużymi grupami obszarów częściowo obciążonych (PLA) – pierwszą z nich stanowią podpory, drugą natomiast obszary zakotwienia. Zgodnie z obowiązującymi normami do projektowania konstrukcji żelbetowych, EN 1992-1-1 rozdz. 6.7 (Rys. 34), dla obszarów częściowo obciążonych należy uwzględnić lokalne miażdżenie betonu oraz poprzeczne siły rozciągające. Dla równomiernie rozłożonego obciążenia na powierzchni A_c0, nośność na ściskanie betonu można zwiększyć nawet trzykrotnie, w zależności od projektowej powierzchni rozdziału A_c1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 34\qquad Obszary częściowo obciążone według EN 1992-1-1.}}}$$

Obszar częściowo obciążony musi być odpowiednio zbrojony zbrojeniem poprzecznym zaprojektowanym do przeniesienia sił rozrywających występujących w tym obszarze. Do projektowania zbrojenia poprzecznego w obszarach częściowo obciążonych stosuje się metodę Strut-and-Tie zgodnie z Eurokodem. Bez wymaganego zbrojenia poprzecznego nie jest możliwe uwzględnienie zwiększenia nośności betonu na ściskanie.

Obszary częściowo obciążone w CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 35\qquad Fikcyjne krzyżulce z siatką elementów skończonych betonu.}}}$$

Za pomocą CSFM możliwe jest projektowanie i sprawdzanie konstrukcji żelbetowych z uwzględnieniem wpływu zwiększonej nośności betonu na ściskanie w obszarach częściowo obciążonych. Ponieważ CSFM jest modelem tarczowym (2D), a obszary częściowo obciążone stanowią zagadnienie przestrzenne (3D), konieczne było znalezienie rozwiązania łączącego te dwa różne typy zagadnień (Rys. 35). Po aktywowaniu funkcji „obszary częściowo obciążone” tworzona jest dopuszczalna geometria stożka zgodnie z Eurokodem (Rys. 34). Wszystkie kolizje geometryczne są w pełni rozwiązywane w 3D dla zadanej geometrii elementu betonowego oraz wymiarów każdego PLA. Następnie tworzony jest model obliczeniowy obszaru częściowo obciążonego.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 36\qquad Dopuszczalne geometrie stożków.}}}$$

Modyfikacja modelu materiałowego okazała się podejściem nieodpowiednim, głównie ze względu na problematyczne odwzorowanie właściwości na siatkę elementów skończonych. Stwierdzono, że bardziej odpowiednim rozwiązaniem jest podejście niezależne od siatki elementów skończonych. Dla znanej geometrii stożka ściskanego tworzone są całkowicie spójne fikcyjne krzyżulce (Rys. 35 oraz Rys. 37). Krzyżulce te mają identyczne właściwości materiałowe jak beton zastosowany w modelu, w tym ten sam wykres naprężenie-odkształcenie. Kształt stożka wyznacza kierunek krzyżulców, które stopniowo rozprowadzają obciążenie z PLA na projektową powierzchnię rozdziału. Gęstość powierzchniowa fikcyjnych krzyżulców jest zmienna w każdej części stożka i dodaje fikcyjną powierzchnię betonu w kierunku obciążenia. Na poziomie obciążonej powierzchni (A_c0) dodawana jest fikcyjna powierzchnia betonu według stosunku $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  (gdzie A_real to powierzchnia podpory przyjęta w modelu obliczeniowym 2D), a powierzchnia ta maleje liniowo do zera w kierunku projektowej powierzchni rozdziału (A_c1). Takie rozwiązanie zapewnia, że naprężenie ściskające w betonie jest stałe w całej objętości stożka.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 37\qquad Fikcyjne krzyżulce w modelu obliczeniowym}}}$$

Nośność obszaru częściowo obciążonego jest zwiększana zgodnie ze stosunkiem projektowej powierzchni rozdziału do powierzchni obciążonej, zdefiniowanym w EN 1992-1-1  (6.7).  Należy pamiętać, że jest to model obliczeniowy, który nie może precyzyjnie opisać stanu naprężenia w obszarze częściowo obciążonym, którego rzeczywisty przepływ jest znacznie bardziej skomplikowany. Niemniej jednak rozwiązanie to pozwala na prawidłowe rozprowadzenie obciążenia na cały model, jednocześnie uwzględniając zwiększoną nośność obszaru częściowo obciążonego. Ponadto poprawnie wprowadza naprężenia poprzeczne w tym obszarze.

Podczas korzystania z funkcji obszarów częściowo obciążonych do symulacji zwiększenia nośności betonu na ściskanie, konieczne jest przeprowadzenie osobnego sprawdzenia normowego zgodnie z EN 1992-1-1, punkt 6.7 (2). Poprzeczne siły rozciągające (siły rozrywające) przenoszone przez zbrojenie są sprawdzane automatycznie.

Analiza SGU jest przeprowadzana w zakresie ograniczenia naprężeń, szerokości rys oraz ugięć. Naprężenia są sprawdzane w betonie i elementach zbrojenia zgodnie z EN 1992-1-1, w sposób podobny do tego określonego dla SGN.

Ograniczenie naprężeń

Naprężenie ściskające w betonie należy ograniczyć, aby uniknąć rys podłużnych. Zgodnie z EN 1992-1-1 rozdz. 7.2 (2), rysy podłużne mogą wystąpić, jeśli poziom naprężeń pod obciążeniem charakterystycznym przekracza wartość k₁f_ck. Naprężenie ściskające w betonie jest oceniane jako stosunek maksymalnego naprężenia głównego ściskającego σ_c = σ_c2 uzyskanego z analizy MES dla stanów granicznych użytkowalności do wartości granicznej σ_c,lim. Wówczas:

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

gdzie:

f_ck        charakterystyczna wytrzymałość walcowa betonu,

k₁         =0,6.

Jeśli naprężenie w betonie pod obciążeniami quasi-stałymi jest mniejsze niż k₂f_ck zgodnie z EN 1992-1-1 pkt 7.2(3), można założyć pełzanie liniowe. Jeśli naprężenie w betonie przekracza k₂f_ck, należy uwzględnić pełzanie nieliniowe (patrz EN 1992-1-1 pkt 3.1.4). W IDEA StatiCa Detail można założyć wyłącznie pełzanie liniowe zgodnie z EN 1992-1-1 pkt 3.1.4 (3) (patrz Modele materiałowe (EN)).

Można założyć, że niedopuszczalne zarysowanie lub odkształcenie zostanie uniknięte, jeśli pod obciążeniem charakterystycznym naprężenie rozciągające w zbrojeniu nie przekracza k₃f_yk (EN 1992-1-1 rozdz. 7.2 (5)). Wytrzymałość zbrojenia jest oceniana jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w rysach σ_s = σ_sr do określonej wartości granicznej σ_s,lim:

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

gdzie:

f_yk        granica plastyczności zbrojenia,

k₃        =0,8.

Ugięcie

Ugięcia mogą być oceniane wyłącznie dla ścian lub belek izostatycznych (statycznie wyznaczalnych) albo hiperstatycznych (statycznie niewyznaczalnych). W tych przypadkach rozpatrywana jest wartość bezwzględna ugięć (w porównaniu do stanu początkowego przed obciążeniem), a maksymalna dopuszczalna wartość ugięć musi zostać ustalona przez użytkownika. Ugięcia na przyciętych końcach nie mogą być sprawdzane, ponieważ są to zasadniczo konstrukcje niestabilne, w których równowaga jest zapewniana poprzez dodanie sił końcowych, a zatem ugięcia są nierealistyczne. Można obliczyć i sprawdzić ugięcie krótkotrwałe u_z,st lub długotrwałe u_z,lt w odniesieniu do wartości granicznych zdefiniowanych przez użytkownika:

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

gdzie:

u_z         ugięcie krótko- lub długotrwałe obliczone analizą MES,

u_z,lim    wartość graniczna ugięcia zdefiniowana przez użytkownika.

Szerokość rysy

Szerokości i orientacje rys są obliczane wyłącznie dla efektów długotrwałych (przy użyciu E_c,eff) dla kombinacji, dla których włączona jest ocena szerokości rys. Weryfikacje oparte na wartościach granicznych zdefiniowanych przez użytkownika zgodnie z Eurokodem przedstawiono następująco:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

gdzie:

w         szerokość rysy obliczona analizą MES,

w_lim     wartość graniczna szerokości rysy zdefiniowana przez użytkownika.

Istnieją dwa sposoby obliczania szerokości rys (zarysowanie stabilizowane i niestabilizowane). W ogólnym przypadku (zarysowanie stabilizowane) szerokość rysy jest obliczana poprzez całkowanie odkształceń na elementach 1D prętów zbrojeniowych. Kierunek rysy jest następnie obliczany na podstawie trzech najbliższych (licząc od środka danego elementu skończonego 1D zbrojenia) punktów całkowania elementów 2D betonu. Choć takie podejście do obliczania kierunków rys nie odpowiada rzeczywistemu położeniu rys, nadal dostarcza reprezentatywnych wartości prowadzących do wyników szerokości rys, które można porównać z wartościami szerokości rys wymaganymi przez normę w miejscu pręta zbrojeniowego.

Beton - Wytrzymałość

Model betonu zastosowany do obliczeń wytrzymałościowych w CSFM opiera się na paraboliczno-plastycznej krzywej naprężenie-odkształcenie dla betonu, bazującej na paraboliczej krzywej naprężenie-odkształcenie Portland Cement Association, opisanej w PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, rysunek 6-8. Wytrzymałość na rozciąganie jest pomijana, tak jak w klasycznym projektowaniu żelbetu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad Wykres naprężenie-odkształcenie betonu do analizy wytrzymałościowej}}}$$

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia wyrażonego w odkształceniach dla betonu w ściskaniu (tj. po osiągnięciu naprężenia szczytowego przyjmowana jest gałąź plastyczna z ε_c0 o maksymalnej wartości 5%, podczas gdy ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 zakłada odkształcenie graniczne poniżej 0,3%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności odkształceniowej konstrukcji ulegających zniszczeniu przy ściskaniu. Niemniej jednak wytrzymałość jest prawidłowo przewidywana, gdy - oprócz współczynnika betonu zarysowanego (k_c2 zdefiniowanego na (Fig. 39)) - uwzględniony zostaje wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości, za pomocą współczynnika redukcyjnego $\eta_{fc}$ zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

α₁ jest współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości betonu na ściskanie zdefiniowanym w ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Przy zastosowaniu wykresu naprężenie-odkształcenie w postaci paraboliczno-prostokątnej, konieczne jest zredukowanie maksymalnego naprężenia ściskającego o ten współczynnik. Uśrednia to rozkład naprężeń w strefie ściskanej w taki sposób, że wynikowa wytrzymałość na ściskanie jest mniejsza lub równa wytrzymałości na ściskanie obliczonej za pomocą wykresu naprężenie-odkształcenie z opadającą gałęzią plastyczną.

Φ_c jest współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości betonu. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z ACI 318-19 Table 24.2.1 (b)(f).

k_c2 jest współczynnikiem redukcyjnym wynikającym z obecności zarysowania poprzecznego.

f'_c jest wytrzymałością betonu na ściskanie na próbkach walcowych (w MPa dla definicji $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad Prawo compression softening.}}}$$

k_c2 jest współczynnikiem redukcyjnym opartym na tych samych założeniach co współczynnik strefy węzłowej β_n podany w ACI 318-19 Table 23.9.2, z tą różnicą, że w CSFM obecność głównego naprężenia rozciągającego prostopadłego do głównego naprężenia ściskającego jest sprawdzana dla każdego elementu skończonego (a nie tylko dla węzłów modelu Strut and Tie).

Beton – Stan graniczny użytkowalności

Analiza stanu granicznego użytkowalności zawiera pewne uproszczenia modeli konstytutywnych stosowanych w analizie wytrzymałościowej. Gałąź plastyczna wykresu naprężenie-odkształcenie betonu w ściskaniu jest pomijana, natomiast gałąź sprężysta jest liniowa i nieograniczona. Prawo compression softening nie jest uwzględniane. Te uproszczenia poprawiają stabilność numeryczną i szybkość obliczeń oraz nie ograniczają ogólności rozwiązania, o ile wynikowe ograniczenia naprężeń materiałowych na poziomie stanu granicznego użytkowalności są wyraźnie poniżej ich granicy plastyczności (zgodnie z wymaganiami ACI). Dlatego uproszczone modele stosowane dla stanu granicznego użytkowalności są ważne tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie wymagania weryfikacyjne.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Wykresy naprężenie-odkształcenie betonu zaimplementowane do analizy stanu granicznego użytkowalności: weryfikacje krótko- i długoterminowe.}}}$$

Efekty długoterminowe

Zachowanie długoterminowe konstrukcji, takie jak długoterminowe ugięcia lub obliczenia szerokości rys spowodowanych obciążeniami stałymi, jest zależne od pełzania betonu. ACI 318-19 w paragrafie 24.2.4.1.3 definiuje współczynnik zależny od czasu dla obciążeń stałych – ξ reprezentujący efekt pełzania dla określonego czasu trwania obciążenia stałego.

W aplikacji Detail moduł sprężystości E_c jest korygowany w celu określenia długoterminowego zachowania konstrukcji poprzez współczynnik ξ. Skorygowany moduł sprężystości jest oznaczany jako E_c,eff – patrz rysunek 40.

Zakładając, że odkształcenie elementu jest wyrażone przez odkształcenie, można zapisać, że:

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

gdzie:

ε₀ jest odkształceniem krótkoterminowym (bez wpływu pełzania), a ε_creep jest odkształceniem spowodowanym pełzaniem.

Korzystając z prawa Hooke'a, możemy zapisać:

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

Podstawiając $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ oraz $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$ otrzymujemy:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

Czas trwania obciążenia stałego do wyznaczenia współczynnika ξ można ustawić indywidualnie dla każdej długoterminowej kombinacji eksploatacyjnej.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Czas trwania obciążenia stałego}}}$$

Ugięcia, naprężenia i szerokości rys zależne od czasu są następnie obliczane przy użyciu zmodyfikowanego modelu materiałowego, w którym wpływ udoskonalenia ściskania jest uwzględniany automatycznie dzięki naturze analizy MES. Nie jest zatem konieczne dodatkowe mnożenie ich przez współczynnik zdefiniowany w 24.2.4.1.1.

Efekty krótkoterminowe

Aby przeprowadzić weryfikacje krótkoterminowe, wykonywane jest kolejne obliczenie, w którym wszystkie obciążenia są obliczane bez współczynnika zależnego od czasu dla obciążeń stałych. Oba obliczenia dla weryfikacji długo- i krótkoterminowych przedstawiono na rys. 40.

Zbrojenie

Przyjmuje się idealnie sprężysto-plastyczny wykres naprężenie-odkształcenie z określonym punktem plastyczności dla zbrojenia niesprężonego, patrz ACI 319-19 CL. 20.2.1. Definicja tego wykresu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia – wytrzymałości i modułu sprężystości.

Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia może być również zdefiniowany przez użytkownika, ale w tym przypadku nie jest możliwe uwzględnienie efektu tension stiffening (nie jest możliwe obliczenie szerokości rysy). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia}}}$$

gdzie:

Φ_s jest współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości zbrojenia. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z ACI 318-19 Table 24.2.1.

f_y jest granicą plastyczności zbrojenia

E_s moduł sprężystości zbrojenia

Jako graniczne odkształcenie, przy którym obliczenia są zatrzymywane, przyjęto 10%. Uznaje się to za bezpieczne na podstawie ASTM A955/A955M-20c Article 7.

Efekt tension stiffening (Fig. 43)  jest uwzględniany automatycznie poprzez modyfikację wejściowej zależności naprężenie-odkształcenie gołego pręta zbrojeniowego w celu uchwycenia średniej sztywności prętów osadzonych w betonie (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Schemat tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method jest zgodna z nowoczesnymi normami projektowymi. Ponieważ modele obliczeniowe wykorzystują wyłącznie standardowe właściwości materiałowe, format częściowych współczynników bezpieczeństwa określony w normach projektowych może być stosowany bez żadnych modyfikacji. W ten sposób obciążenia wejściowe są mnożone przez współczynniki, a charakterystyczne właściwości materiałowe są redukowane za pomocą odpowiednich współczynników redukcji wytrzymałości, dokładnie tak jak w konwencjonalnej analizie betonu.

Wartości współczynników redukcji wytrzymałości są określone w ACI 318-19 Cl. 21.2. Domyślne wartości dla betonu i zbrojenia zostały wybrane na podstawie założenia, że typowy przykład rozwiązywany w aplikacji jest kontrolowany przez ścinanie (na podstawie Tabeli 21.2.1 (b), (f), (g)). Możliwe jest jednak modelowanie dowolnego typu elementu. Dlatego jeśli oceniany jest element kontrolowany przez ściskanie lub rozciąganie, użytkownik ma możliwość zmiany wartości współczynnika redukcji wytrzymałości w Preferencjach.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Współczynniki obciążenia dla kombinacji nośności należy definiować zgodnie z ACI 318-19 Tabela 5.3.1.

Z wyjątkiem przypadków opisanych w Rozdziale 34, kombinacje obciążeń na poziomie eksploatacyjnym nie są zdefiniowane w ACI 318-19. Zaleca się stosowanie reguł kombinacji opartych na Załączniku C normy ASCE/SEI 7-16. Dla wszystkich szablonów współczynniki obciążenia są już predefiniowane.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Różne weryfikacje wymagane przez ACI 318-19 są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników uzyskanych z modelu. Weryfikacje są przeprowadzane dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia przyczepności przy ścinaniu).

Wytrzymałość betonu na ściskanie jest oceniana jako stosunek maksymalnego głównego naprężenia ściskającego f_c (również σ₂ w wynikach dodatkowych) uzyskanego z analizy MES do wartości granicznej f'_c,lim.

Wytrzymałość zbrojenia jest oceniana zarówno przy rozciąganiu, jak i przy ściskaniu jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w rysach f_s do określonej wartości granicznej f_y,lim.

Naprężenie przyczepności przy ścinaniu jest oceniane niezależnie jako stosunek naprężenia przyczepności τ_b obliczonego przez analizę MES do wytrzymałości przyczepności f_bu.

Jednakże norma ACI nie odnosi się wprost do wytrzymałości przyczepności, lecz operuje obliczeniem tzw. długości zakotwienia, co jest opisane w punkcie 25.4.2. Ponieważ wytrzymałość przyczepności jest podstawowym parametrem wejściowym do wyznaczenia długości zakotwienia, patrz R25.4.1.1 oraz ACI Committee 408 1966, wytrzymałość przyczepności można obliczyć w następujący sposób:

Załóżmy, że jeśli zakotwimy pręt zbrojeniowy w bloku betonowym na długości zakotwienia l_d lub większej, wyciąganie zbrojenia doprowadzi do zerwania zbrojenia, a nie do wyciągnięcia z betonu. Można to zapisać za pomocą następującego wzoru.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

gdzie:

d_b to średnica pręta zbrojeniowego, l_d to długość zakotwienia, f_bu to wytrzymałość przyczepności, f_y to granica plastyczności zbrojenia, a A_s to pole przekroju pręta zbrojeniowego.

Z powyższego można łatwo wyprowadzić wzór na obliczenie wytrzymałości przyczepności:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Długość zakotwienia l_d jest następnie wyznaczana zgodnie z ACI 318-19 Tabela 25.4.2.3 w następujący sposób:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

gdzie:

C = 25 (2,1 dla jednostek metrycznych) dla prętów nr 6 i mniejszych oraz drutów żebrowanych, C = 20 (1,7 dla jednostek metrycznych) dla prętów nr 7 i większych, λ = 1,0 dla betonu zwykłego, ψ_t, ψ_e, ψ_g są wyznaczane zgodnie z ACI 318-19 Tabela 25.4.2.3. 

Obsługiwane jest wyłącznie zbrojenie niepowlekane lub cynkowane (ocynkowane), więc ψ_e = 1,0. ψ_g jest automatycznie wyznaczane na podstawie klasy zbrojenia, a ψ_t jest automatycznie wyznaczane na podstawie położenia zbrojenia w modelu oraz kierunku betonowania, który można ustawić w aplikacji dla każdego elementu projektu w następujący sposób.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

Weryfikacje te są przeprowadzane w odniesieniu do odpowiednich wartości granicznych dla poszczególnych części konstrukcji (tzn. pomimo posiadania jednej klasy zarówno dla betonu, jak i zbrojenia, ostateczne wykresy naprężenie-odkształcenie będą się różnić w każdej części konstrukcji ze względu na efekty tension stiffening i compression softening).

Istnieje również możliwość modelowania prętów gładkich. Więcej informacji można znaleźć tutaj: Smooth rebars in Detail

Siła całkowita F_tot i siła graniczna F_lim

Siła całkowita F_tot jest wynikiem analizy metodą elementów skończonych i może być zdefiniowana na dwa sposoby.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

gdzie A_s to pole przekroju pręta zbrojeniowego, a f_s to naprężenie w pręcie.

Lub jako suma siły zakotwienia F_a oraz siły przyczepności F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

gdzie F_a to rzeczywista siła w sprężynie zakotwienia, a F_bond to siła przyczepności, którą można uzyskać przez całkowanie naprężenia przyczepności τ_b wzdłuż długości pręta zbrojeniowego l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s to obwód pręta zbrojeniowego.

Siła graniczna F_lim to maksymalna siła w elemencie pręta zbrojeniowego, uwzględniająca wytrzymałość pręta, a także warunki zakotwienia (przyczepność między betonem a zbrojeniem oraz haki zakotwienia, pętle itp.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

gdzie C_s to obwód pręta zbrojeniowego, a l to długość od początku pręta zbrojeniowego do rozpatrywanego punktu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

gdzie F_lim,add to dodatkowa siła obliczona na podstawie wielkości kąta pomiędzy sąsiednimi elementami. F_lim,2 musi zawsze być mniejsza niż F_u.

Dostępne typy zakotwienia w CSFM obejmują pręt prosty (tzn. bez redukcji na końcu zakotwienia), hak 90-stopniowy, hak 180-stopniowy, przyczepność idealną oraz pręt ciągły. Wszystkie te typy, wraz z odpowiednimi współczynnikami zakotwienia β, są pokazane na Rys. 48 dla zbrojenia podłużnego. Wartości przyjętych współczynników zakotwienia wynikają z porównania równania z punktu ACI 318-19 25.4.3.1 oraz równań zaczerpniętych z punktu ACI 318-19 25.4.2.3. Należy zauważyć, że pomimo różnych dostępnych opcji, CSFM rozróżnia trzy typy końców zakotwienia: (i) brak redukcji długości zakotwienia, (ii) redukcja o 30% długości zakotwienia w przypadku znormalizowanego zakotwienia oraz (iii) przyczepność idealna.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Współczynnik zakotwienia dla strzemion wynosi zawsze - β = 1,0.

Aby zapewnić zgodność z ACI, w obliczeniach należy zastosować sprężynę zakotwienia, sprężyna zakotwienia jest modyfikowana przez współczynnik β, więc użytkownik musi zastosować jeden z dostępnych typów zakotwienia podczas definiowania warunków początkowych i końcowych zbrojenia. 

Podczas projektowania konstrukcji żelbetowych spotykamy się z dwiema dużymi grupami obszarów obciążonych częściowo (PLA) – pierwszą z nich stanowią podpory, drugą zaś strefy zakotwienia. 

Zgodnie z obecnie obowiązującą normą projektowania konstrukcji żelbetowych ACI 318-19 rozdz. 22.8, dla podpór należy uwzględnić lokalne miażdżenie betonu oraz poprzeczne siły rozciągające. Dla obciążenia równomiernie rozłożonego na powierzchni A_c1, nośność betonu na ściskanie może zostać zwiększona nawet dwukrotnie, w zależności od obliczeniowej powierzchni rozkładu A_c2. Patrz tabela 22.8.3.2 normy ACI 318-19.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Obszary obciążone częściowo dla podpór zgodnie z ACI 318-19}}}$$

Dla stref zakotwienia w konstrukcjach sprężonych kablami sprężającymi po wykonaniu betonu należy postępować zgodnie z ACI 318-19 rozdz. 25.9.

Obszar obciążony częściowo musi być odpowiednio zbrojony zbrojeniem poprzecznym zaprojektowanym w celu przeniesienia sił rozłupujących występujących w tym obszarze. Bez wymaganego zbrojenia poprzecznego nie jest możliwe uwzględnienie zwiększenia nośności betonu na ściskanie.

Obszary obciążone częściowo w CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fikcyjne krzyżulce z siatką elementów skończonych betonu.}}}$$

Za pomocą CSFM możliwe jest projektowanie i sprawdzanie konstrukcji żelbetowych z uwzględnieniem wpływu zwiększonej nośności betonu na ściskanie w obszarach obciążonych częściowo. Ponieważ CSFM jest modelem tarczowym (2D), a obszary obciążone częściowo stanowią zagadnienie przestrzenne (3D), konieczne było znalezienie rozwiązania łączącego te dwa różne rodzaje zagadnień (Fig. 50). Po aktywowaniu funkcji „obszary obciążone częściowo” tworzona jest dopuszczalna geometria stożka zgodnie z ACI (Fig. 49). Wszystkie kolizje geometryczne są rozwiązywane w pełni w 3D dla zadanej geometrii elementu betonowego oraz wymiarów każdego PLA. Następnie tworzony jest model obliczeniowy obszaru obciążonego częściowo.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Dopuszczalne geometrie stożka.}}}$$

Modyfikacja modelu materiałowego okazała się podejściem nieodpowiednim, głównie dlatego, że odwzorowanie właściwości na siatkę elementów skończonych jest problematyczne. Ustalono, że rozwiązaniem bardziej odpowiednim jest podejście niezależne od siatki elementów skończonych. Dla znanej geometrii stożka ściskanego tworzone są w pełni spójne fikcyjne krzyżulce (Fig. 51 oraz Fig. 52). Krzyżulce te mają identyczne właściwości materiałowe jak beton zastosowany w modelu, w tym ten sam wykres naprężenie-odkształcenie. Kształt stożka określa kierunek krzyżulców, które stopniowo rozdzielają obciążenie w obrębie PLA na obliczeniową powierzchnię rozkładu. Gęstość powierzchniowa fikcyjnych krzyżulców jest zmienna w każdej części stożka i dodaje fikcyjną powierzchnię betonu w kierunku obciążenia. Na poziomie powierzchni obciążonej (A_c1) dodawana jest fikcyjna powierzchnia betonu zgodnie ze stosunkiem $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  (gdzie A_real jest powierzchnią podparcia przyjętą w modelu obliczeniowym 2D), a powierzchnia ta zmniejsza się liniowo do zera w kierunku obliczeniowej powierzchni rozkładu (A_c2). Takie rozwiązanie zapewnia, że naprężenie ściskające w betonie jest stałe na całej objętości stożka.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fikcyjne krzyżulce w modelu obliczeniowym}}}$$

Nośność obszaru obciążonego częściowo jest zwiększana zgodnie ze stosunkiem obliczeniowej powierzchni rozkładu do powierzchni obciążonej, zgodnie z ACI 318-19 rozdz. 22.8.  Należy pamiętać, że jest to model obliczeniowy, który nie może precyzyjnie opisać stanu naprężenia w obszarze obciążonym częściowo, którego rzeczywisty przepływ jest znacznie bardziej złożony. Niemniej jednak rozwiązanie to pozwala na prawidłowe rozłożenie obciążenia na cały model, przy jednoczesnym uwzględnieniu zwiększonej nośności obszaru obciążonego częściowo. Ponadto poprawnie wprowadza naprężenia poprzeczne w tym obszarze, umożliwiając prawidłowe zaprojektowanie zbrojenia na siły rozłupujące.

Dopuszczalne naprężenie podporowe 0.85f_c' podane jest w tabeli 22.8.3.2. Gęstość jest ograniczona tak, aby nie przekroczyć maksymalnej dwukrotnej nośności podanej we wzorze w tabeli 22.8.3.2(b).  

Dla stref zakotwienia PLA jest stosowane w aplikacji w taki sam sposób jak dla podpór. Dlatego strefy lokalne zdefiniowane w rozdziale 25.9 normy ACI 318-19 muszą być sprawdzone ręcznie zgodnie z ACI 318-19 25.9.3. PLA jest zatem stosowane wyłącznie w celu uniknięcia przekroczenia kryterium odkształcenia w strefie lokalnej, a tym samym przedwczesnego przerwania obliczeń. Z drugiej strony, zgodnie z ACI 318-19, pkt 25.9.4.3.1 (b), zbrojenie przenoszące naprężenia rozrywające i odpryskowe w płaszczyźnie może być bezpośrednio i w wygodny sposób zweryfikowane w aplikacji.

Weryfikacja stanu granicznego użytkowalności obejmuje ograniczenie naprężeń, szerokość rys oraz graniczne wartości ugięcia. Naprężenia w betonie i zbrojeniu są sprawdzane zgodnie z ACI 318-19 w sposób podobny do tego określonego dla nośności.

Ograniczenie naprężeń

Dopuszczalne naprężenia ściskające w betonie przy obciążeniu eksploatacyjnym należy zweryfikować dla elementów sprężonych klasy U i T. Zgodnie z Tabelą R24.5.2.1, sprawdzenie ograniczenia naprężeń nie jest wymagane dla betonu, który jest przyjmowany jako zarysowany. Użytkownik musi ustawić klasę elementu sprężonego w ustawieniach elementu projektowego.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 53\qquad Wybór klasy sprężonego elementu zginanego}}}$$

Dopuszczalne naprężenie ściskające dla elementów poddanych obciążeniom przejściowym jest określone przez ACI 318-19 24.5.4.1 jako 0.6f_c'. Ograniczenie naprężenia ściskającego do 0.45f_c' zostało ustanowione w celu zmniejszenia prawdopodobieństwa zniszczenia sprężonych elementów betonowych na skutek obciążeń powtarzalnych. Ten limit wydawał się również rozsądny, aby zapobiec nadmiernym odkształceniom pełzania. Przy wyższych wartościach naprężeń odkształcenia pełzania mają tendencję do wzrostu szybciej wraz ze wzrostem przyłożonego naprężenia.

Naprężenie ściskające w betonie jest oceniane jako stosunek maksymalnego głównego naprężenia ściskającego f_c = σ_c2 uzyskanego z analizy MES dla stanu granicznego użytkowalności do wartości granicznej, która jest ustalana na podstawie Tabeli 24.5.4.1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 54\qquad Ograniczenia naprężeń ściskających w betonie przy obciążeniach eksploatacyjnych}}}$$

W aplikacji Sprężenie plus obciążenie stałe jest traktowane jako kombinacja długoterminowa, a Sprężenie plus obciążenie całkowite jako kombinacja krótkoterminowa.

Ugięcie

W zależności od wybranego typu kombinacji (długoterminowa lub krótkoterminowa), oceniane jest ugięcie długoterminowe lub krótkoterminowe. Maksymalna dopuszczalna wartość ugięcia musi zostać określona przez użytkownika i uwzględniona zgodnie z ACI 138-19 24.2. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 55\qquad Maksymalna dopuszczalna wartość ugięcia}}}$$

W aplikacji możliwe jest wyświetlenie oddzielnie ugięć od obciążenia stałego Δ_DL oraz obciążenia zmiennego Δ_LL, jak również ugięcia całkowitego Δ_Tot (stałe+zmienne), przy jednoczesnym wyświetleniu odkształconego kształtu.

Ugięcia na przyciętych końcach nie mogą być sprawdzane.

Szerokość rys

Szerokości i kierunki rys są obliczane dla krótkoterminowych lub długoterminowych kombinacji stanu granicznego użytkowalności. Ponieważ ACI nie określa bezpośrednio granicznych szerokości rys, użytkownik musi podać graniczną szerokość rysy w_lim.

Weryfikacje są przedstawione w następujący sposób:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

gdzie:

w         krótko- lub długoterminowa szerokość rysy obliczona przez analizę MES,

w_lim     wartość graniczna szerokości rysy zdefiniowana przez użytkownika.

Metoda obliczania szerokości rys stosowana w aplikacji, opisana również bardziej szczegółowo w niniejszym dokumencie, jest zgodna z ACI 224R-01. Możliwe jest zatem wykorzystanie Tabeli 4.1 z ACI 224R-01 do określenia wartości granicznej szerokości rys.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 56\qquad Rozsądne szerokości rys dla żelbetu przy obciążeniu eksploatacyjnym}}}$$

Istnieją dwa sposoby obliczania szerokości rys (rysowanie stabilizowane i niestabilizowane). W ogólnym przypadku (rysowanie stabilizowane) szerokość rysy jest obliczana poprzez całkowanie odkształceń na elementach 1D prętów zbrojeniowych. Kierunek rysy jest następnie obliczany na podstawie trzech najbliższych (licząc od środka danego elementu skończonego 1D zbrojenia) punktów całkowania elementów betonowych 2D. Chociaż to podejście do obliczania kierunków rys nie odpowiada rzeczywistemu położeniu rys, nadal dostarcza reprezentatywnych wartości, które prowadzą do wyników szerokości rys możliwych do porównania z wymaganymi przez normę wartościami szerokości rys w miejscu pręta zbrojeniowego.

Beton - Wytrzymałość

Model betonu zaimplementowany do obliczeń wytrzymałościowych w CSFM opiera się na założeniach równowagi i zgodności odkształceń metody projektowania wytrzymałościowego AASHTO LRFD. Zgodnie z AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.6.2.1, wytrzymałość betonu na rozciąganie jest pomijana.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad Wykres naprężenie-odkształcenie betonu do analizy wytrzymałościowej}}}$$

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w kategoriach odkształceń dla betonu ściskanego (tj. po osiągnięciu naprężenia szczytowego uwzględniana jest gałąź plastyczna z ε_c0 o maksymalnej wartości 5%, podczas gdy AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.6.2.1 zakłada odkształcenie graniczne mniejsze niż 0,3%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności odkształceniowej konstrukcji ulegających zniszczeniu przy ściskaniu. Jednakże wytrzymałość jest prawidłowo przewidywana, gdy oprócz współczynnika zarysowanego betonu (k_c2 zdefiniowanego na (Rys. 57)), uwzględniony zostanie wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości za pomocą współczynnika redukcyjnego $\eta_{fc}$ zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

α₁ to współczynnik redukcyjny wytrzymałości betonu na ściskanie zdefiniowany w AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.6.2.2. Przy zastosowaniu wykresu naprężenie-odkształcenie w kształcie paraboli-prostokąta konieczne jest zredukowanie maksymalnego naprężenia ściskającego o ten współczynnik. Uśrednia to rozkład naprężeń w strefie ściskanej w taki sposób, że wynikowa wytrzymałość na ściskanie jest mniejsza lub równa wytrzymałości na ściskanie obliczonej przy użyciu wykresu naprężenie-odkształcenie z opadającą gałęzią plastyczną.

Φ_c to współczynnik nośności dla betonu. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.5.4.2.

k_c2 to współczynnik redukcyjny uwzględniający obecność zarysowania poprzecznego.

f'_c to wytrzymałość betonu na ściskanie na próbce walcowej (w MPa dla definicji $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad Prawo compression softening.}}}$$

k_c2 to współczynnik redukcyjny oparty na tych samych założeniach, co współczynnik efektywności betonu ν podany w AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a oraz Tabela 5.8.2.5.3a-1, z tym wyjątkiem, że w CSFM obecność głównego naprężenia rozciągającego prostopadłego do głównego naprężenia ściskającego jest sprawdzana dla każdego elementu skończonego (a nie tylko dla węzłów modelu Strut and Tie).

Beton – Stan graniczny użytkowalności

Analiza stanu granicznego użytkowalności zawiera pewne uproszczenia modeli konstytutywnych stosowanych do analizy wytrzymałościowej. Gałąź plastyczna wykresu naprężenie-odkształcenie betonu ściskanego jest pomijana, a gałąź sprężysta jest liniowa i nieograniczona. Prawo compression softening nie jest uwzględniane. Te uproszczenia zwiększają stabilność numeryczną i szybkość obliczeń, a jednocześnie nie ograniczają ogólności rozwiązania, o ile wynikowe granice naprężeń materiałowych przy stanie granicznym użytkowalności są wyraźnie poniżej ich punktów uplastycznienia (zgodnie z podejściem AASHTO LRFD dla stanu granicznego użytkowalności). Dlatego uproszczone modele stosowane dla stanu granicznego użytkowalności są ważne tylko wtedy, gdy spełnione są wszystkie wymagania weryfikacyjne.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Wykresy naprężenie-odkształcenie betonu zaimplementowane do analizy stanu granicznego użytkowalności: weryfikacje krótko- i długoterminowe.}}}$$

Efekty długoterminowe

Długoterminowe prawo konstytutywne (czerwona krzywa na Rys. 59) jest stosowane do obliczania szerokości rys, całkowitego ugięcia oraz ograniczenia naprężeń elementów sprężonych, gdy w górnej wstążce wybrany zostanie efekt długoterminowy. W aplikacji IDEA StatiCa Detail do weryfikacji efektów długoterminowych stosowany jest efektywny moduł sprężystości, zgodnie z AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

gdzie:
E_c to moduł sprężystości zdefiniowany w AASHTO LRFD (2024) artykuł 5.4.2.4
ψ to współczynnik pełzania zdefiniowany w AASHTO LRFD (2024) artykuł 5.4.2.3.2

Współczynniki pełzania są definiowane przez użytkownika we właściwościach materiałowych.

Efekty krótkoterminowe

W celu przeprowadzenia weryfikacji krótkoterminowych wykonywane są dodatkowe obliczenia, w których wszystkie obciążenia są obliczane bez współczynnika pełzania. Oba obliczenia dla weryfikacji długo- i krótkoterminowych przedstawiono na Rys. 59.

Zbrojenie

Dla zbrojenia niesprężającego przyjmowany jest idealnie sprężysto-plastyczny wykres naprężenie-odkształcenie z określonym punktem plastyczności, patrz AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.4.3. Definicja tego wykresu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia – wytrzymałości i modułu sprężystości.

Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia może być również zdefiniowany przez użytkownika, jednak w takim przypadku nie jest możliwe uwzględnienie efektu tension stiffening (nie jest możliwe obliczenie szerokości rys). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia}}}$$

gdzie:

Φ_s to współczynnik nośności dla zbrojenia. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.5.4.2.

f_y to granica plastyczności zbrojenia

E_s moduł sprężystości zbrojenia

Jako graniczne odkształcenie, przy którym obliczenia są zatrzymywane, przyjęto 10%. Jest to uznawane za bezpieczne na podstawie ASTM A955/A955M-20c Artykuł 7.

Efekt tension stiffening (Rys. 61)  jest uwzględniany automatycznie poprzez modyfikację wprowadzonej zależności naprężenie-odkształcenie dla gołego pręta zbrojeniowego, aby uchwycić średnią sztywność prętów osadzonych w betonie (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Schemat tension stiffening.}}}$$

Metoda Compatible Stress Field Method jest zgodna z nowoczesnymi normami projektowymi. Ponieważ modele obliczeniowe wykorzystują wyłącznie standardowe właściwości materiałowe, format częściowych współczynników bezpieczeństwa przewidziany w normach projektowych może być stosowany bez żadnych modyfikacji. W ten sposób obciążenia wejściowe są mnożone przez odpowiednie współczynniki, a charakterystyczne właściwości materiałowe są redukowane przy użyciu odpowiednich współczynników nośności, dokładnie tak jak w konwencjonalnej analizie betonu.

Wartości współczynników nośności są określone w AASHTO LRFD (2024), Artykuł 5.5.4. Domyślne wartości dla betonu i zbrojenia są dobrane w sposób konserwatywny, przy założeniu, że typowy rozwiązywany przykład stanowi strefę nieciągłości (D-region) - typowy przypadek dla metody SaT. Możliwe jest jednak modelowanie dowolnego typu elementu. Dlatego, jeśli oceniany jest element ściskany lub rozciągany, użytkownik ma możliwość zmiany wartości współczynnika redukcji wytrzymałości w Preferencjach.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Współczynniki obciążeń i kombinacje obciążeń należy definiować zgodnie z AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Artykuł 3.4.1 oraz Tabele 3.4.1-1 do 3.4.1-6. AASHTO LRFD w sposób jednoznaczny określa kombinacje obciążeń dla stanu granicznego nośności (Strength I do Strength V), a także kombinacje obciążeń na poziomie stanu użytkowalności (Service I do Service IV), wraz z odpowiednimi współczynnikami obciążeń dla każdego przypadku.

Dla każdego szablonu program zawiera predefiniowane podstawowe kombinacje, które wymagają uzupełnienia w zależności od przetwarzanego elementu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Różne weryfikacje wymagane przez AASHTO są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników uzyskanych z modelu. Weryfikacje są przeprowadzane dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia stycznego przyczepności).

Wytrzymałość betonu na ściskanie jest oceniana jako stosunek maksymalnego głównego naprężenia ściskającego f_c (również σ₂ w wynikach pomocniczych) uzyskanego z analizy MES do wartości granicznej f'_c,lim.

Wytrzymałość zbrojenia jest oceniana zarówno przy rozciąganiu, jak i przy ściskaniu, jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w rysach f_s do określonej wartości granicznej f_y,lim.

Naprężenie styczne przyczepności jest oceniane niezależnie jako stosunek naprężenia przyczepności τ_b obliczonego przez analizę MES do wytrzymałości przyczepności f_bu.

Ponieważ jednak wytrzymałość przyczepności nie jest jawnie zdefiniowana w AASHTO, jej wartość musi zostać wyznaczona przy użyciu równań definiujących długość zakotwienia. Wytrzymałość przyczepności jest bowiem podstawowym parametrem wejściowym do wyznaczenia długości zakotwienia; zob. na przykład ten artykuł AASHTO LRFD (2024) Article C5.10.8.2 lub NCHRP Report 733, Attachment E strona E-9.

Obliczenia opisane w AASHTO LRFD (2024) Article 5.10.8.2.1 i 5.10.8.2.2, które wymagają znajomości maksymalnego rozstawu osiowego zbrojenia poprzecznego w obrębie l_d, liczby prętów lub drutów rozwiniętych wzdłuż płaszczyzny rozłupania, całkowitego pola przekroju poprzecznego całego zbrojenia poprzecznego oraz innych wielkości geometrycznych, których nie można wiarygodnie określić w modelu aplikacji Detail dla danych ogólnych, zostały zastąpione podejściem przyjętym z AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 w następujący sposób:

Załóżmy, że jeśli zakotwimy pręt zbrojeniowy w bloku betonowym na długość zakotwienia l_d lub większą, wyrwanie zbrojenia doprowadzi do zerwania zbrojenia, a nie do wyrwania z betonu. Można to zapisać za pomocą następującego wzoru.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

gdzie:

• d_b to średnica pręta zbrojeniowego
• l_d to długość zakotwienia
• f_bu to wytrzymałość przyczepności
• f_y to granica plastyczności zbrojenia
• A_b to pole przekroju pręta zbrojeniowego

Na podstawie powyższego można łatwo wyprowadzić wzór do obliczania wytrzymałości przyczepności.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Podstawowa długość zakotwienia przy rozciąganiu l_db jest wyznaczana w AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 w następujący sposób:

Dla prętów No. 11 i mniejszych:   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Dla prętów No. 14:   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Dla prętów No. 18:   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

gdzie:

• A_b to pole przekroju pręta zbrojeniowego (in²)
• f_y to określona granica plastyczności zbrojenia (ksi)
• f'_c to określona wytrzymałość betonu na ściskanie po 28 dniach, chyba że podano inny wiek (ksi)
• d_b to średnica pręta zbrojeniowego (in)

Następnie, mnożąc podstawową długość zakotwienia l_db przez współczynniki opisane w AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.2 i 5.11.2.1.3, wyznaczana jest długość zakotwienia l_d jako dane wejściowe.

Współczynniki modyfikujące zmniejszające długość zakotwienia z 5.11.2.1.3 są w aplikacji zawsze równe 1,0. Współczynnik modyfikujący dla górnego poziomego lub prawie poziomego zbrojenia jest równy 1,4 dla „słabych” warunków przyczepności, zgodnie z poniższym rysunkiem:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

Kierunek betonowania można ustawić w aplikacji.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}$$

Wszystkie pozostałe współczynniki określone w 5.11.2.1.2 są równe 1,0, ponieważ obsługiwany jest wyłącznie beton zwykły (o normalnej gęstości), a także wyłącznie zbrojenie niepowlekane.

Naprężenie styczne przyczepności i wytrzymałość przyczepności prętów ściskanych są obliczane analogicznie jak dla prętów rozciąganych, jednak stosowane są równania z AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.2.

Istnieje również opcja modelowania prętów gładkich. Więcej informacji można znaleźć tutaj: Smooth rebars in Detail

Siła całkowita F_tot i siła graniczna F_lim

Siła całkowita F_tot jest wynikiem analizy metodą elementów skończonych i może być zdefiniowana na dwa sposoby.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

gdzie A_b to pole przekroju pręta zbrojeniowego, a f_s to naprężenie w pręcie.

Lub jako suma siły zakotwienia F_a i siły przyczepności F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

gdzie F_a to rzeczywista siła w sprężynie zakotwienia, a F_bond to siła przyczepności, którą można uzyskać poprzez całkowanie naprężenia przyczepności τ_b wzdłuż długości pręta zbrojeniowego l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s to obwód pręta zbrojeniowego.

Siła graniczna F_lim to maksymalna siła w elemencie pręta zbrojeniowego, uwzględniająca wytrzymałość pręta zbrojeniowego, a także warunki zakotwienia (przyczepność między betonem a zbrojeniem oraz zakotwienia w postaci haków, pętli itp.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

gdzie C_s to obwód pręta zbrojeniowego, a l to długość od początku pręta zbrojeniowego do punktu, który nas interesuje.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

gdzie F_lim,add to dodatkowa siła obliczona na podstawie wielkości kąta między sąsiednimi elementami. F_lim,2 musi być zawsze mniejsza niż F_u.

Dostępne typy zakotwienia w CSFM obejmują pręt prosty (tj. bez redukcji na końcu zakotwienia), hak 90 stopni, hak 180 stopni, przyczepność idealną oraz pręt ciągły. Wszystkie te typy, wraz z odpowiednimi współczynnikami zakotwienia β, są przedstawione na Fig. 67 dla zbrojenia podłużnego. Wartości przyjętych współczynników zakotwienia zostały wyprowadzone na podstawie porównania równania z rozdziału AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1 oraz równań zaczerpniętych z rozdziału AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1. Należy zauważyć, że pomimo różnych dostępnych opcji, CSFM rozróżnia trzy typy końców zakotwienia: (i) brak redukcji długości zakotwienia, (ii) redukcja o 30% długości zakotwienia w przypadku znormalizowanego zakotwienia oraz (iii) przyczepność idealna.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Współczynnik zakotwienia dla strzemion (dostępny dla elementu belkowego) jest zawsze równy - β = 1,0.

Aby zachować zgodność z AASHTO, w obliczeniach należy stosować sprężynę zakotwienia. Sprężyna zakotwienia jest modyfikowana przez współczynnik β, dlatego użytkownik musi zastosować jeden z dostępnych typów zakotwienia podczas definiowania warunków początku i końca zbrojenia. 

Podczas projektowania konstrukcji żelbetowych spotykamy się z dwiema dużymi grupami obszarów częściowo obciążonych (PLA) – pierwszą z nich stanowią oparcia, natomiast drugą strefy zakotwienia. 

Zgodnie z aktualnie obowiązującymi normami projektowania konstrukcji żelbetowych, dla oparć należy uwzględnić lokalne miażdżenie betonu oraz poprzeczne siły rozciągające. Dla obciążenia równomiernie rozłożonego na powierzchni A₁, nośność na ściskanie betonu może zostać zwiększona nawet dwukrotnie, w zależności od obliczeniowej powierzchni rozdziału obciążenia A₂. Patrz AASHTO LRFD (2024), Artykuł 5.6.5.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Partially loaded areas for bearings according to AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5}}}$$

Dla sprężanych kablami stref zakotwienia należy postępować zgodnie z AASHTO LRFD (2024), Artykuł 5.8.4.4.

Obszar częściowo obciążony musi być odpowiednio zbrojony zbrojeniem poprzecznym, zaprojektowanym w celu przeniesienia sił rozszczepiających występujących w tym obszarze. Bez wymaganego zbrojenia poprzecznego nie jest możliwe uwzględnienie zwiększenia nośności na ściskanie betonu.

Obszary częściowo obciążone w CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 69\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Za pomocą CSFM możliwe jest projektowanie i sprawdzanie konstrukcji żelbetowych z uwzględnieniem wpływu zwiększonej nośności na ściskanie betonu w obszarach częściowo obciążonych. Ponieważ CSFM jest modelem tarczowym (2D), a obszary częściowo obciążone są zagadnieniem przestrzennym (3D), konieczne było znalezienie rozwiązania łączącego te dwa różne typy zadań (Fig. 69). Jeśli funkcja „obszarów częściowo obciążonych” jest aktywowana, dopuszczalna geometria stożka jest tworzona zgodnie z ACI (Fig. 68). Wszystkie kolizje geometryczne są rozwiązywane w pełni w 3D dla zadanej geometrii elementu betonowego oraz wymiarów każdego PLA. Następnie tworzony jest model obliczeniowy obszaru częściowo obciążonego.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 70\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Modyfikacja modelu materiałowego okazała się podejściem nieodpowiednim, głównie ze względu na problematyczne odwzorowanie właściwości na siatkę elementów skończonych. Ustalono, że bardziej odpowiednim rozwiązaniem jest podejście niezależne od siatki elementów skończonych. Dla znanej geometrii stożka ściskania tworzone są w pełni spójne fikcyjne krzyżulce (Fig. 70 and Fig. 71). Krzyżulce te mają identyczne właściwości materiałowe jak beton zastosowany w modelu, łącznie z wykresem naprężenie-odkształcenie. Kształt stożka determinuje kierunek krzyżulców, które stopniowo rozprowadzają obciążenie z PLA na obliczeniową powierzchnię rozdziału obciążenia. Gęstość powierzchniowa fikcyjnych krzyżulców jest zmienna w każdej części stożka i dodaje fikcyjną powierzchnię betonu w kierunku obciążenia. Na poziomie obciążonej powierzchni (A₁) dodawana jest fikcyjna powierzchnia betonu według stosunku $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} - A_{real}$  (gdzie A_real jest powierzchnią podparcia przyjętą w modelu obliczeniowym 2D), a powierzchnia ta zmniejsza się liniowo do zera w kierunku obliczeniowej powierzchni rozdziału obciążenia (A₂). To rozwiązanie zapewnia, że naprężenie ściskające w betonie jest stałe na całej objętości stożka.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{2}}{A_{1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 71\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Nośność obszaru częściowo obciążonego zwiększana jest w oparciu o stosunek obliczeniowej powierzchni rozdziału obciążenia do powierzchni obciążonej, zgodnie z AASHTO LRFD (2024), Artykuł 5.6.5.  Należy pamiętać, że jest to model obliczeniowy, który nie może dokładnie opisać stanu naprężenia w obszarze częściowo obciążonym, którego rzeczywisty rozkład jest znacznie bardziej skomplikowany. Niemniej jednak rozwiązanie to pozwala na prawidłowe rozprowadzenie obciążenia na cały model, przy jednoczesnym uwzględnieniu zwiększonej nośności obszaru częściowo obciążonego. Ponadto poprawnie wprowadza naprężenia poprzeczne w tym obszarze, co pozwala na prawidłowe zaprojektowanie zbrojenia na siły rozszczepiające.

Dopuszczalne naprężenie oparcia wynoszące 0.85f_c' podano w AASHTO LRFD (2024), Artykuł 5.8.4.4. Gęstość jest ograniczona tak, aby nie przekroczyć maksymalnej podwójnej nośności podanej we wzorze 5.6.5-3.  

Dla stref zakotwienia PLA jest stosowane w taki sam sposób jak dla oparć w aplikacji. Dlatego też naprężenia ściskające w strefach lokalnych i globalnych, zdefiniowane w Artykułach 5.8.4.4 i 5.8.4.5, muszą być sprawdzane ręcznie. PLA jest zatem wykorzystywane wyłącznie w celu uniknięcia przekroczenia kryterium odkształcenia w strefie lokalnej, a tym samym przedwczesnego przerwania obliczeń. Z drugiej strony, zbrojenie przenoszące naprężenia rozrywające, odłupujące w płaszczyźnie oraz naprężenia rozciągające na krawędziach w strefach ogólnych (zdefiniowanych w Artykule 5.8.4.5) może być bezpośrednio i korzystnie weryfikowane w aplikacji.

Oceny stanu granicznego użytkowalności są przeprowadzane w zakresie ograniczenia naprężeń, szerokości rys oraz ugięć granicznych. Naprężenia w betonie i zbrojeniu są sprawdzane zgodnie z AASHTO LRFD w sposób podobny do stosowanego dla stanu granicznego nośności.

Ograniczenie naprężeń

Naprężenie ściskające w betonie jest oceniane wyłącznie dla elementów sprężonych (gdy w modelu obecny jest przypadek obciążenia Prestressing) jako stosunek maksymalnego naprężenia głównego ściskającego f_c = σ_c2 uzyskanego z analizy MES dla stanu granicznego użytkowalności do wartości granicznych, ustalonych na podstawie tabeli AASHTO LRFD Table 5.9.2.3.2a-1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 72\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

W aplikacji Prestress plus permanent load jest traktowane jako obciążenie stałe (Sustain load), natomiast Prestress, permanent, and transient load jako obciążenie całkowite (Total load).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 73\qquad Serviceability combination types}}}$$

Dodatkowo zawsze możliwe jest przeprowadzenie analizy zarówno dla efektów krótkoterminowych, jak i długoterminowych, przy użyciu modeli materiałowych, które uwzględniają lub nie uwzględniają współczynnika pełzania — patrz rozdział „Modele materiałowe (AASHTO)”.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 74\qquad Serviceability material models}}}$$

Ugięcie

Ugięcia natychmiastowe oraz ugięcia całkowite są obliczane dla każdej kombinacji, dla której włączona jest ocena ugięcia. 

• Dla ugięć natychmiastowych stosowany jest moduł sprężystości E_c zgodnie z AASHTO LRFD (2024) artykuł 5.4.2.4. 
• Dla ugięć całkowitych stosowany jest efektywny moduł sprężystości E_c,eff zgodnie z AASHTO LRFD (2024) artykuł C5.12.5.3.6. 

Patrz rozdział 'Modele materiałowe (AASHTO) - Beton – Stan graniczny użytkowalności' w niniejszym dokumencie.

Samo sprawdzenie ugięcia jest włączane na górnej wstążce. Użytkownik ustawia wartości graniczne ugięcia zgodnie z AASHTO LRFD (2024) artykuł 2.5.2.6.2, w zależności od typu analizowanego elementu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 75\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$