Bemessung und Nachweis von Betonbauteilen erfolgen normalerweise auf Querschnitts- (1D-Element) oder Punktebene (2D-Element). Dieses Vorgehen ist in allen Normen für die Tragwerksplanung beschrieben, z. B. in (EN 1992-1-1 oder ACI 318-19), und wird in der täglichen Praxis der Tragwerksplanung angewendet. Es ist jedoch nicht immer bekannt oder wird nicht immer beachtet, dass dieses Vorgehen nur in Bereichen zulässig ist, in denen die Bernoulli-Navier-Hypothese der ebenen Dehnungsverteilung gilt (sogenannte B-Bereiche). Die Stellen, an denen diese Hypothese nicht gilt, werden als Diskontinuitäts- oder Störbereiche (D-Bereiche) bezeichnet. Beispiele für B- und D-Bereiche von 1D-Elementen sind in (Abb. 1) dargestellt. Dies sind z. B. Auflagerbereiche, Stellen, an denen konzentrierte Lasten eingeleitet werden, Stellen mit einer abrupten Querschnittsänderung, Öffnungen usw. Beim Entwurf von Betonstrukturen begegnen wir vielen weiteren D-Bereichen wie Wänden, Brückenquerträgern, Konsolen usw. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuity regions (Navrátil et al. 2017)}}}$$

In der Vergangenheit wurden für die Bemessung von Diskontinuitätsbereichen semi-empirische Bemessungsregeln verwendet. Glücklicherweise wurden diese Regeln in den vergangenen Jahrzehnten weitgehend durch Strebe-und-Zugband-Modelle (Schlaich et al., 1987) und Spannungsfelder (Marti 1985) abgelöst, die in aktuellen Bemessungsnormen enthalten sind und von Ingenieuren heute häufig verwendet werden. Diese Modelle sind mechanisch konsistente und leistungsfähige Werkzeuge. Es sei angemerkt, dass Spannungsfelder im Allgemeinen kontinuierlich oder diskontinuierlich sein können und dass Strebe-und-Zugband-Modelle einen Sonderfall diskontinuierlicher Spannungsfelder darstellen.

Trotz der Weiterentwicklung von Berechnungswerkzeugen in den vergangenen Jahrzehnten werden Strebe-und-Zugband-Modelle im Wesentlichen noch immer als Handrechnung eingesetzt. Ihre Anwendung auf reale Strukturen ist mühsam und zeitaufwendig, da Iterationen erforderlich sind und mehrere Lastfälle berücksichtigt werden müssen. Darüber hinaus eignet sich diese Methode nicht zum Nachweis von Kriterien der Gebrauchstauglichkeit (Verformungen, Rissbreiten usw.).

Das Interesse von Tragwerksplanern an einem zuverlässigen und schnellen Werkzeug zur Bemessung von D-Bereichen führte zu der Entscheidung, die neue Compatible Stress Field Method zu entwickeln – eine Methode für die computergestützte Spannungsfeldbemessung, die die automatische Bemessung und den Nachweis von Stahlbetonbauteilen unter Beanspruchung in der Bauteilebene ermöglicht.

Die Compatible Stress Field Method (CSFM) ist eine kontinuierliche, FE-basierte Spannungsfeld-Analysemethode, bei der klassische Spannungsfeldlösungen durch kinematische Betrachtungen ergänzt werden, d. h. der Dehnungszustand wird im gesamten Bauteil ausgewertet. Dadurch kann die effektive Druckfestigkeit des Betons automatisch auf Grundlage des Querdehnungszustands berechnet werden, ähnlich wie bei Druckfeldanalysen, die die Druckerweichung berücksichtigen (Vecchio und Collins 1986; Kaufmann und Marti 1998), sowie bei der EPSF-Methode (Fernández Ruiz und Muttoni 2007). Darüber hinaus berücksichtigt die CSFM die Zugverfestigung, wodurch den Elementen realistische Steifigkeiten zugewiesen werden, und deckt alle Vorgaben der Bemessungsnormen ab (einschließlich Aspekten der Gebrauchstauglichkeit und der Verformungsfähigkeit), die von früheren Ansätzen nicht konsistent behandelt wurden. Die CSFM verwendet die üblichen einachsigen Werkstoffgesetze, die von den Bemessungsnormen für Beton und Bewehrung vorgegeben werden. Diese sind bereits im Bemessungsstadium bekannt, sodass die Methode der Teilsicherheitsbeiwerte angewendet werden kann. Damit müssen Ingenieure keine zusätzlichen, oft willkürlichen Materialeigenschaften angeben, wie sie typischerweise für nichtlineare FE-Analysen erforderlich sind, was die Methode hervorragend für die Ingenieurpraxis geeignet macht.

Um die Nutzung computergestützter Spannungsfelder durch Tragwerksplaner zu fördern, sollten diese Methoden in benutzerfreundlichen Softwareumgebungen implementiert werden. Zu diesem Zweck wurde die CSFM in IDEA StatiCa Detail implementiert – einer neuen, benutzerfreundlichen kommerziellen Software, die gemeinsam von der ETH Zürich und dem Softwareunternehmen IDEA StatiCa im Rahmen des Projekts DR-Design Eurostars-10571 entwickelt wurde.

CSFM berücksichtigt die maximale Hauptspannung des Betons unter Druck (σ_c2r) und die Bewehrungsspannungen (σ_sr) in den Rissen, während die Betonzugfestigkeit vernachlässigt wird (σ_c1r = 0), außer bezüglich ihres Versteifungseffekts auf die Bewehrung. Die Berücksichtigung der Zugverfestigung ermöglicht die Simulation der mittleren Bewehrungsdehnungen (ε_m). Es werden fiktive, rotierende, spannungsfreie Risse betrachtet, die sich ohne Schlupf öffnen (Abb. 2a), wobei das Gleichgewicht an den Rissen zusammen mit den mittleren Dehnungen der Bewehrung ebenfalls berücksichtigt wird. 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}$

Trotz ihrer Einfachheit hat sich gezeigt, dass ähnliche Annahmen präzise Vorhersagen für bewehrte Bauteile unter ebener Beanspruchung liefern (Kaufmann 1998; Kaufmann und Marti 1998), sofern die vorhandene Bewehrung sprödes Versagen bei der Rissbildung vermeidet. Darüber hinaus steht die Nichtberücksichtigung eines Beitrags der Betonzugfestigkeit zur Bruchlast im Einklang mit den Prinzipien moderner Bemessungsnormen, die größtenteils auf der Plastizitätstheorie beruhen.

Allerdings eignet sich das CSFM nicht für schlanke Bauteile ohne Querbewehrung, da relevante Mechanismen für solche Bauteile wie Rissverzahnung, verbleibende Zugspannungen an der Rissspitze und Dübelwirkung – die alle direkt oder indirekt auf der Zugfestigkeit des Betons beruhen – vernachlässigt werden. Während einige Bemessungsnormen die Bemessung solcher Bauteile auf Grundlage halbempirischer Regelungen zulassen, ist das CSFM nicht für diese Art potenziell spröder Struktur vorgesehen.

Beton

Das im CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den einachsigen Druck-Stoffgesetzen, die von Bemessungsnormen für die Bemessung von Querschnitten vorgeschrieben werden und nur von der Druckfestigkeit abhängen. Das Parabel-Rechteck-Diagramm (Abb. 2c) wird standardmäßig im CSFM verwendet, aber Anwender können auch eine vereinfachte elastisch-ideal-plastische Beziehung wählen. Bei der Bewertung nach der ACI-Norm ist es nur möglich, das Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnung-Diagramm zu verwenden. Wie bereits erwähnt, wird die Zugfestigkeit vernachlässigt, wie es auch bei der klassischen Stahlbetonbemessung der Fall ist.

Die effektive Druckfestigkeit wird für gerissenen Beton automatisch anhand der Hauptzugdehnung (ε₁) mittels des Abminderungsfaktors k_c2 ermittelt, wie in Abb. 2c und e dargestellt. Die implementierte Abminderungsbeziehung (Abb. 2e) ist eine Verallgemeinerung des Vorschlags des fib Model Code 2010 für Schubnachweise, der einen Grenzwert von 0,65 für das maximale Verhältnis von effektiver Betonfestigkeit zu Betondruckfestigkeit enthält, der jedoch nicht auf andere Belastungsfälle anwendbar ist.

Das CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium hinsichtlich der Dehnungen für Beton unter Druck (d. h. es wird ein unendlich plastischer Ast nach Erreichen der Spitzenspannung angenommen). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, die Verformungsfähigkeit von Strukturen, die durch Druckversagen versagen, nachzuweisen. Ihre Grenztragfähigkeit wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zum Faktor des gerissenen Betons (k_c2), der in (Abb. 2e) definiert ist, die zunehmende Sprödigkeit des Betons mit steigender Festigkeit mittels des im fib Model Code 2010 definierten Abminderungsfaktors $\eta_{fc}$ wie folgt berücksichtigt wird:

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

wobei:

k_c der globale Abminderungsfaktor der Druckfestigkeit ist

k_c2 der Abminderungsfaktor aufgrund des Vorhandenseins von Querrissen ist

f_c die charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons ist (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

Es gibt außerdem eine Abminderung des Faktors k_c2 aufgrund der Stabilität der Berechnung. Diese Abminderung beeinflusst nicht die Gesamtfestigkeit der Bauteile. Unter der Annahme, dass f_cd der bemessungsmäßige Wert der Betonfestigkeit ist (Bemessungswert), wird der Wert von k_c2 gemäß den folgenden Regeln abgemindert.

σ_c2r < 0,11f_cd                                           k_c2=1,0
0,11f_cd < σ_c2r < 0,37f_cd                          k_c2 ist eine lineare Interpolation zwischen 1,0 und dem Wert aus dem
                                                              in Abb. 2f dargestellten Diagramm
σ_c2r > 0,37f_cd                                            k_c2 wird direkt aus dem Diagramm in Abb. 2f entnommen

Bewehrung

Das idealisierte bilineare Spannung-Dehnung-Diagramm für nackte Bewehrungsstäbe, das typischerweise von Bemessungsnormen definiert wird (Abb. 2d), wird berücksichtigt. Die Definition dieses Diagramms erfordert lediglich die Kenntnis der grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung während der Bemessungsphase (Festigkeits- und Duktilitätsklasse). Es kann auch eine benutzerdefinierte Spannung-Dehnung-Beziehung definiert werden.

Die Zugverfestigung wird berücksichtigt, indem die eingegebene Spannung-Dehnung-Beziehung des nackten Bewehrungsstabs modifiziert wird, um die mittlere Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe zu erfassen (ε_m).

Verbundmodell

Der Verbund-Schlupf zwischen Bewehrung und Beton wird im Finite-Elemente-Modell durch die Berücksichtigung der vereinfachten starr-ideal-plastischen Stoffgesetz-Beziehung eingeführt, die in Abb. 2f dargestellt ist, wobei f_bd der Bemessungswert (bemessener Wert) der Verbundgrenzspannung ist, der von der Bemessungsnorm für die jeweiligen Verbundbedingungen festgelegt wird.

Dies ist ein vereinfachtes Modell mit dem alleinigen Zweck, Verbundvorgaben gemäß Bemessungsnormen zu überprüfen (d. h. die Verankerung der Bewehrung). Die Verkürzung der Verankerungslänge bei Verwendung von Haken, Schlaufen und ähnlichen Stabformen kann durch die Definition einer bestimmten Kapazität am Ende der Bewehrung berücksichtigt werden, wie im Folgenden näher beschrieben wird. 

Workflow und Ziele

Das Ziel der Bewehrungsbemessungswerkzeuge in der CSFM ist es, Anwendern zu helfen, die Lage und die erforderliche Menge an Bewehrungsstäben effizient zu bestimmen. Die folgenden Werkzeuge stehen zur Verfügung, um den Benutzer bei diesem Prozess zu unterstützen/anzuleiten: lineare Berechnung und Topologieoptimierung.

Die Bewehrungsbemessungswerkzeuge verwenden vereinfachtere Stoffgesetze als die Modelle, die für die abschließende Überprüfung der Struktur verwendet werden. Daher sollte die Definition der Bewehrung in diesem Schritt als Vorbemessung betrachtet werden, die im finalen Verifizierungsschritt bestätigt/verfeinert werden muss. Die Anwendung der verschiedenen Bewehrungsbemessungswerkzeuge wird anhand des in Abb. 3 gezeigten Modells dargestellt, das aus einem Ende eines einfach gelagerten Trägers mit veränderlicher Höhe unter einer gleichmäßig verteilten Last besteht.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 3\qquad Modell zur Veranschaulichung der Verwendung der Bewehrungsbemessungswerkzeuge.}}}$$

Lineare Analyse

Die lineare Analyse berücksichtigt linear-elastische Materialeigenschaften und vernachlässigt die Bewehrung im Betonbereich. Es handelt sich daher um eine sehr schnelle Berechnung, die einen ersten Einblick in die Lage der Zug- und Druckbereiche liefert. Ein Beispiel für eine solche Berechnung ist in Abb. 4 dargestellt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 4\qquad Ergebnisse des linearen Analysewerkzeugs zur Festlegung der Bewehrungsanordnung}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(rot: Druckbereiche, blau: Zugbereiche).}}}$$

Topologieoptimierung

Die Topologieoptimierung ist eine Methode, die darauf abzielt, die optimale Materialverteilung in einem gegebenen Volumen für eine bestimmte Lastkonfiguration zu finden. Die in Idea StatiCa Detail implementierte Topologieoptimierung verwendet ein lineares Finite-Elemente-Modell. Jedes finite Element kann eine relative Dichte von 0 bis 100 % aufweisen, die die relative Menge des verwendeten Materials darstellt. Diese Elementdichten sind die Optimierungsparameter im Optimierungsproblem. Die resultierende Materialverteilung gilt für den gegebenen Lastsatz als optimal, wenn sie die gesamte Verzerrungsenergie des Systems minimiert. Per Definition ist die optimale Verteilung auch die Geometrie mit der größtmöglichen Steifigkeit für die gegebenen Lasten.

Der iterative Optimierungsprozess beginnt mit einer homogenen Dichteverteilung. Die Berechnung wird für mehrere Gesamtvolumenanteile (20 %, 40 %, 60 % und 80 %) durchgeführt, sodass der Benutzer das praktischste Ergebnis auswählen kann. Die resultierende Form besteht aus Fachwerken mit Streben und Zugbändern und stellt die optimale Form für die gegebenen Lastfälle dar (Abb. 5).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 5\qquad Ergebnisse des Topologieoptimierungswerkzeugs mit 20\% und 40\%  effektivem Volumen}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(rot: Druckbereiche, blau: Zugbereiche).}}}$$

Die CSFM berücksichtigt kontinuierliche Spannungsfelder im Beton (2D-Finite-Elemente), ergänzt durch diskrete „Stab“-Elemente, die die Bewehrung darstellen (1D-Finite-Elemente). Daher wird die Bewehrung nicht diffus in die 2D-Finite-Elemente des Betons eingebettet, sondern explizit modelliert und mit ihnen verbunden. Im Berechnungsmodell wird ein ebener Spannungszustand angenommen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Es können sowohl ganze Wände und Träger als auch Details (Teile) von Trägern (isolierter Diskontinuitätsbereich, auch als abgeschnittenes Ende bezeichnet) modelliert werden. Bei Wänden und ganzen Trägern müssen die Auflager so definiert werden, dass eine (äußerlich) isostatische (statisch bestimmte) oder hyperstatische (statisch unbestimmte) Struktur entsteht. Die Lastübertragung an den abgeschnittenen Enden von Trägern erfolgt mittels einer speziellen Saint-Venant-Übertragungszone, die eine realistische Spannungsverteilung im untersuchten Detailbereich gewährleistet.

Um die meisten Situationen während des Bauprozesses zu modellieren, sind im CSFM viele Arten von Auflagern (Abb. 7) und Komponenten zur Lastübertragung (Abb. 8) verfügbar.

Auflager

Ein Punktauflager kann auf verschiedene Arten modelliert werden, um sicherzustellen, dass Spannungen nicht in einem Punkt lokalisiert, sondern über einen größeren Bereich verteilt werden. Die erste Option ist ein verteiltes Punktauflager (Abb. 7a), das die Last am Rand des Bauteils gleichmäßig über die angegebene Breite verteilt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Various types of supports:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}$$

Das Patch-Auflager (Abb. 7d) hingegen kann nur innerhalb eines Betonvolumens mit einem definierten Wirkradius platziert werden. Es wird dann durch starre Elemente mit den Knoten des Bewehrungsnetzes innerhalb dieses Radius verbunden. Daher ist es erforderlich, einen Bewehrungskorb um das Patch-Auflager herum zu definieren.

Für die präzisere Modellierung einiger realer Szenarien gibt es zwei weitere Optionen für das Punktauflager. Erstens gibt es das Punktauflager mit einer Auflagerplatte definierter Breite und Dicke (Abb. 7b). Das Material der Auflagerplatte kann festgelegt werden, und die gesamte Auflagerplatte wird unabhängig vernetzt. Zweitens steht ein Hängeauflager zur Verfügung (Abb. 7e), das zur Modellierung von Hebeankern oder Hebedübeln verwendet werden kann.

Das Linienauflager (Abb. 7c) kann an einer Kante (durch Angabe seiner Länge) oder innerhalb eines Elements (durch eine Polylinie) definiert werden. Es ist auch möglich, dessen Steifigkeit und/oder nichtlineares Verhalten (Auflager auf Druck/Zug oder nur auf Druck) festzulegen.

• Lesen Sie die detaillierten Beschreibungen unter Types of supports in IDEA StatiCa Detail

Lastübertragende Komponenten

Die Einleitung von Lasten in die Struktur kann ebenfalls auf verschiedene Arten modelliert werden. Für Punktlasten kann eine Auflagerplatte (Abb. 8a) ähnlich wie ein Punktauflager verwendet werden, wodurch die konzentrierte Last dank einer Stahlplatte mit definierter Breite und Dicke auf einen größeren Bereich verteilt wird. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Various types of load transfer components:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}$$

Die Punktlast kann entweder direkt auf die Oberfläche der Struktur mit einem definierten Wirkradius aufgebracht werden (die Last wird auf die Betonelemente aufgebracht) oder über eine spezielle Übertragungsvorrichtung, die als Patch-Last bezeichnet wird (Abb. 8b und Abb. 9). Die Patch-Last ermöglicht die direkte Übertragung der Last auf die definierte Bewehrung innerhalb des Bereichs des Wirkradius. Um die korrekte Funktionalität der Patch-Last sicherzustellen, muss eine Gruppe von Bewehrungsstäben definiert werden, die mit der Last verbunden werden (in den Bewehrungseigenschaften). Wenn die verbundene Bewehrung nicht definiert ist, entspricht der Lastübertragungsmechanismus dem einer Punktlast, die auf einer Bauteiloberfläche platziert ist, und die Last wird durch die Randbedingungen auf die Betonelemente übertragen, nicht direkt auf die Bewehrung. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars (a group of bars for the load transfer is defined);}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) load transferred through concrete (a group of bars for the load transfer is not defined).}}}$$

Hebeanker oder Hebedübel können durch eine Hängelast (Abb. 8c) modelliert werden. Der Benutzer kann eine teilbelastete Fläche (Abb. 8d) verwenden, die es ermöglicht, die Tragfähigkeit von Beton unter Druck gemäß Eurocode zu erhöhen (es ist nicht möglich, diese Art von lastübertragender Komponente zu verwenden, wenn ACI eingestellt ist). Die Struktur kann auch mit Linienlasten an den Kanten, durch eine allgemeine Polylinie oder durch Flächenlasten belastet werden. Die Detail-Anwendung ist in der Lage, das Eigengewicht automatisch in der Analyse zu berücksichtigen.

In vielen Fällen ist es notwendig, nur ein bestimmtes Detail (einen Teil) eines Bauteils zu modellieren, wie z. B. eine Trägerauflagerung, eine Öffnung in der Mitte des Trägers usw. Dieser Ansatz kann zu Auflagerkonfigurationen führen, die instabil, aber in IDEA StatiCa Detail zulässig sind (einschließlich des Falls ohne Auflager). In solchen Fällen ist es jedoch auch erforderlich, den Schnitt zu modellieren, der den Anschluss an den angrenzenden B-Bereich darstellt, einschließlich der Schnittgrößen an diesem Schnitt, die das Gleichgewicht erfüllen. In bestimmten Fällen (z. B. bei der Modellierung einer Trägerauflagerung) können diese Schnittgrößen automatisch vom Programm ermittelt werden.

Zwischen dem B-Bereich und dem analysierten Diskontinuitätsbereich wird automatisch eine Saint-Venant-Übergangszone erzeugt, um eine realistische Spannungsverteilung im analysierten Bereich sicherzustellen. Die Breite der Übergangszone wird als die Hälfte der Querschnittshöhe festgelegt. Da der einzige Zweck der Saint-Venant-Zone darin besteht, eine geeignete Spannungsverteilung im übrigen Modell zu erzielen, werden keine Ergebnisse aus diesem Bereich in der Verifikation angezeigt, und es werden hier keine Abbruchkriterien berücksichtigt.

Der Rand der Saint-Venant-Zone, der das ausgeklinkte Trägerende darstellt, wird als starr modelliert, d. h., er kann sich verdrehen, muss aber eben bleiben. Dies wird erreicht, indem alle FE-Knoten des Randes mithilfe eines starren Verbindungselements (RBE2) mit einem separaten Knoten im Trägheitsschwerpunkt des Querschnitts verbunden werden. Die Schnittgrößen des Elements können dann an diesem Knoten aufgebracht werden, wie in Abb. 10 dargestellt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 10\qquad Übertragung der Schnittgrößen an einem ausgeklinkten Ende.}}}$$

Die Reduktion des Querschnitts wird automatisch für Strukturen durchgeführt, die als Träger- oder Rahmenknoten definiert sind (definiert durch die x-Achse und einen Querschnitt). Diese Modifikation wird automatisch auf Querschnitte mit sehr breiten Flanschen angewendet (Abb. 11) und basiert auf der Annahme, dass sich ein Druckspannungsfeld von der Wand aus in einem Winkel von 45° ausbreiten würde, sodass die zuvor genannte reduzierte Breite die maximale Breite wäre, die in der Lage ist, Lasten zu übertragen.

Zu beachten ist, dass sich die im CSFM implementierte Methode zur Bestimmung der mitwirkenden Flanschbreite von derjenigen unterscheidet, die in 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015) oder in 9.2.4.4 ACI 318-19 angegeben ist. Neben der Geometrie wird die auf dem Eurocode basierende mitwirkende Flanschbreite ausdrücklich von den Spannweiten und Randbedingungen einer Struktur beeinflusst.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Width reduction of a cross-section: (a) user input; (b) FE model – automatically determined reduced flange width.}}}$$

Im Fall von Vouten in der horizontalen Ebene (Abb. 12) wird jede Voute entlang ihrer Länge in fünf Abschnitte unterteilt. Jeder dieser Abschnitte wird dann als Wand mit konstanter Dicke modelliert, die der tatsächlichen Dicke in der Mitte des jeweiligen Abschnitts entspricht.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontal haunch: (a) user input; (b)  FE model – a haunch automatically divided into five sections.}}}$$

Das nichtlineare (inelastische) Finite-Elemente-Berechnungsmodell wird durch mehrere Typen von finiten Elementen erstellt, die zur Modellierung von Beton, Bewehrung und dem Verbund zwischen ihnen verwendet werden. Beton- und Bewehrungselemente werden zunächst unabhängig voneinander vernetzt und anschließend über Mehrpunkt-Randbedingungen (MPC-Elemente) miteinander verbunden. Dies ermöglicht es der Bewehrung, eine beliebige, relative Position gegenüber dem Beton einzunehmen. Soll die Verankerungslänge nachgewiesen werden, werden Verbund- und Verankerungsend-Federelemente zwischen der Bewehrung und den MPC-Elementen eingefügt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite-Elemente-Modell: Bewehrungselemente, die über MPC-Elemente und Verbundelemente auf das Betonnetz abgebildet werden.}}}$$

Beton

Beton wird mithilfe von viereckigen und dreieckigen Schalenelementen, CQUAD4 und CTRIA3, modelliert. Diese werden jeweils durch vier bzw. drei Knoten definiert. In diesen Elementen wird nur ein ebener Spannungszustand angenommen, d. h. Spannungen oder Dehnungen in z-Richtung werden nicht berücksichtigt.

Jedes Element besitzt vier bzw. drei Integrationspunkte, die sich in etwa bei 1/4 seiner Größe befinden. An jedem Integrationspunkt in jedem Element werden die Richtungen der Hauptdehnungen α₁, α₂ berechnet. In beiden Richtungen werden die Hauptspannungen σ_c1, σ_c2 und die Steifigkeiten E₁, E₂ gemäß dem festgelegten Spannung-Dehnungs-Diagramm für Beton entsprechend Fig. 2 ausgewertet. Zu beachten ist, dass die Auswirkung des Druckerweichungseffekts das Verhalten der Hauptdruckrichtung mit dem tatsächlichen Zustand der anderen Hauptrichtung koppelt.

Bewehrung

Bewehrungsstäbe werden durch zweiknotige 1D-„Stab“-Elemente (CROD) modelliert, die ausschließlich axiale Steifigkeit besitzen. Diese Elemente sind mit speziellen „Verbund“-Elementen verbunden, die entwickelt wurden, um das Schlupfverhalten zwischen einem Bewehrungsstab und dem umgebenden Beton abzubilden. Diese Verbundelemente sind anschließend über MPC-Elemente (Mehrpunkt-Randbedingungen) mit dem das Betonvolumen darstellenden Netz verbunden. Dieser Ansatz ermöglicht die unabhängige Vernetzung von Bewehrung und Beton, während ihre gegenseitige Verbindung später sichergestellt wird.

Verbundelemente

Die Verankerungslänge wird durch die Implementierung der Verbundschubspannungen zwischen Betonelementen (2D) und Bewehrungsstabelementen (1D) im Finite-Elemente-Modell nachgewiesen. Zu diesem Zweck wurde ein „Verbund“-Finite-Elemente-Typ entwickelt.

Die Definition des Verbundelements ähnelt der eines Schalenelements (CQUAD4). Es wird ebenfalls durch 4 Knoten definiert, hat jedoch im Gegensatz zu einer Schale nur eine von Null verschiedene Steifigkeit in Schubrichtung zwischen den beiden oberen und den beiden unteren Knoten. Im Modell sind die oberen Knoten mit den die Bewehrung darstellenden Elementen und die unteren Knoten mit den den Beton darstellenden Elementen verbunden. Das Verhalten dieses Elements wird durch die Verbundspannung τ_b als bilineare Funktion des Schlupfs zwischen den oberen und unteren Knoten, δ_u, beschrieben, siehe Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) konzeptionelle Darstellung der Verformung eines Verbundelements; (b) eine Spannung-Verformungs-Funktion.}}}$$

Der elastische Steifigkeitsmodul der Verbund-Schlupf-Beziehung, G_b, ist wie folgt definiert:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

wobei:

k_g            Koeffizient in Abhängigkeit von der Oberfläche des Bewehrungsstabs (standardmäßig k_g = 0,2)

E_c            Elastizitätsmodul des Betons (im Fall von EN als E_cm angenommen)

Ø             der Durchmesser des Bewehrungsstabs

Die Bemessungswerte der maximalen Verbundschubspannung, f_bd, gemäß den jeweils gewählten Bemessungsnormen EN 1992-1-1 oder ACI 318-19, werden zum Nachweis der Verankerungslänge verwendet. Die Verfestigung des plastischen Astes wird standardmäßig als G_b/10⁵ berechnet.

Verankerungsfeder

Das Vorsehen von Verankerungsenden an den Bewehrungsstäben (d. h. Abbiegungen, Haken, Schlaufen …), das die Vorgaben der Bemessungsnormen erfüllt, ermöglicht die Reduzierung der Grundverankerungslänge der Stäbe (l_b,net) um einen bestimmten Faktor β (im Folgenden als „Verankerungskoeffizient“ bezeichnet). Der Bemessungswert der Verankerungslänge (l_b) wird dann wie folgt berechnet:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

Die beabsichtigte Reduzierung von l_b,net entspricht der Aktivierung des Bewehrungsstabs an seinem Ende mit einem Prozentsatz seiner maximalen Tragfähigkeit, der durch den Verankerungsreduktionskoeffizienten gegeben ist, wie in Fig. 15a dargestellt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Modell zur Reduzierung der Verankerungslänge:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) Verankerungskraft entlang der Verankerungslänge des Bewehrungsstabs; (b) konstitutive Beziehung zwischen Schlupf und Verankerungskraft.}}}$$

Die Reduzierung der Verankerungslänge wird im Finite-Elemente-Modell durch ein Federelement am Ende des Stabs berücksichtigt (Fig. 15), das durch das in Fig. 15b gezeigte konstitutive Modell definiert wird. Die maximale von dieser Feder übertragene Kraft (F_au) beträgt:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

wobei:

β             der Verankerungskoeffizient basierend auf dem Verankerungstyp,

A_s            der Querschnitt des Bewehrungsstabs,

f_yd           der Bemessungswert der Streckgrenze der Bewehrung.

Die Finiten Elemente werden intern implementiert, und das Berechnungsmodell wird automatisch generiert, ohne dass eine ausgeprägte Benutzerinteraktion erforderlich ist. Ein wichtiger Bestandteil dieses Prozesses ist die Vernetzung.

Beton

Alle Betonbauteile werden gemeinsam vernetzt. Eine empfohlene Elementgröße wird von der Anwendung automatisch berechnet, basierend auf Größe und Form der Struktur, unter Berücksichtigung des Durchmessers des größten Bewehrungsstabs. Darüber hinaus stellt die empfohlene Elementgröße sicher, dass in dünnen Bereichen der Struktur, wie schlanken Stützen oder dünnen Platten, mindestens 4 Elemente erzeugt werden, um zuverlässige Ergebnisse in diesen Bereichen zu gewährleisten. Die maximale Anzahl an Betonelementen ist auf 5000 begrenzt, dieser Wert reicht jedoch aus, um für die meisten Strukturen die empfohlene Elementgröße bereitzustellen. Planer können jederzeit eine benutzerdefinierte Betonelementgröße wählen, indem sie den Multiplikator der Standard-Netzgröße anpassen.

Bewehrung

Die Bewehrung wird in Elemente unterteilt, deren Länge in etwa der Betonelementgröße entspricht. Sobald die Netze für Bewehrung und Beton generiert sind, werden sie mit Verbundelementen miteinander verbunden, wie in Abb. 13 dargestellt.

Auflagerplatten

Hilfsbauteile wie Auflagerplatten werden unabhängig vernetzt. Die Größe dieser Elemente wird als 2/3 der Größe der Betonelemente im Anschlussbereich berechnet. Die Knoten des Netzes der Auflagerplatte werden dann mit den Randknoten des Betonnetzes über Interpolations-Randbedingungselemente (RBE3) verbunden.

Lasten und Lagerungen

Flächenlasten und Flächenlagerungen sind nur mit der Bewehrung verbunden, wie in Abb. 16 dargestellt. Daher ist es notwendig, die Bewehrung um sie herum zu definieren. Die Verbindung zu allen Knoten der Bewehrung innerhalb des Wirkradius wird durch RBE3-Elemente mit gleicher Gewichtung sichergestellt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Patch load mapping to reinforcement mesh.}}}$$

Linienlagerungen und Linienlasten werden mit den Knoten des Betonnetzes über RBE3-Elemente verbunden, basierend auf der angegebenen Breite oder dem Wirkradius. Die Gewichtung der Verbindungen ist umgekehrt proportional zum Abstand vom Lager oder Lastimpuls.

• Mehr über die Verbindung zwischen einzelnen Lasten und dem Netz erfahren Sie unter Allgemeine Beschreibung von Lastimpulsen in der Detail-Anwendung

Für die Lösung eines nichtlinearen FEM-Problems wird ein standardmäßiger vollständiger Newton-Raphson-Algorithmus (NR) verwendet. 

Im Allgemeinen konvergiert der NR-Algorithmus häufig nicht, wenn die volle Last in einem einzigen Schritt aufgebracht wird. Ein üblicher Ansatz, der auch hier verwendet wird, besteht darin, die Last sequenziell in mehreren Inkrementen aufzubringen und das Ergebnis des vorherigen Lastinkrements zu verwenden, um die Newton-Lösung des nachfolgenden Inkrements zu starten. Zu diesem Zweck wurde ein Lastregelungsalgorithmus auf Basis des Newton-Raphson-Verfahrens implementiert. Falls die NR-Iterationen nicht konvergieren, wird das aktuelle Lastinkrement auf die Hälfte seines Werts reduziert, und die NR-Iterationen werden erneut durchgeführt.

Ein zweiter Zweck des Lastregelungsalgorithmus besteht darin, die kritische Last zu finden, die bestimmten „Abbruchkriterien“ entspricht – konkret der maximalen Dehnung im Beton, dem maximalen Schlupf in Verbundelementen, der maximalen Verschiebung in Verankerungselementen und der maximalen Dehnung in Bewehrungsstäben. Die kritische Last wird mit der Bisektionsmethode ermittelt. Falls das Abbruchkriterium an irgendeiner Stelle im Modell überschritten wird, werden die Ergebnisse des letzten Lastinkrements verworfen, und ein neues Inkrement mit der Hälfte der Größe des vorherigen wird berechnet. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die kritische Last mit einer bestimmten Fehlertoleranz gefunden ist.

Für Beton wurde das Abbruchkriterium auf eine Dehnung von 5 % bei Druck (d. h. ungefähr eine Größenordnung größer als die tatsächliche Bruchdehnung von Beton) und 7 % bei Zug an den Integrationspunkten der Schalenelemente festgelegt. Bei Zug wurde der Wert so gewählt, dass die Grenzdehnung der Bewehrung, die üblicherweise ohne Berücksichtigung der Zugverfestigung bei etwa 5 % liegt, zuerst erreicht wird. Bei Druck wurde der Wert unter mehreren Alternativen so ausgewählt, dass er groß genug ist, damit die Auswirkungen des Quetschens in den Ergebnissen sichtbar werden, aber klein genug, um nicht zu viele Probleme mit der numerischen Stabilität zu verursachen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 17\qquad Konstitutive Beziehung von Verbund- und Verankerungselementen zur Verifizierung der Verankerungslänge:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) Schubspannungs-Schlupf-Verhalten eines Verbundelements; (b) Kraft-Verschiebungs-Verhalten eines Verankerungselements.}}}$$

Für die Bewehrung wird das Abbruchkriterium in Bezug auf Spannungen definiert. Da die Spannungen am Riss modelliert werden, entspricht das Kriterium bei Zug der Zugfestigkeit der Bewehrung unter Berücksichtigung des Sicherheitsbeiwerts. Der gleiche Wert wird für das Kriterium bei Druck verwendet.

Das Abbruchkriterium in Verbundelementen und Verankerungsfedern ist α·δu_max, wobei δu_max der maximale Schlupf ist, der bei Normnachweisen verwendet wird, und α = 10.

Die Ergebnisse werden unabhängig voneinander für Beton- und Bewehrungselemente dargestellt. Die Spannungs- und Dehnungswerte im Beton werden an den Integrationspunkten der Schalenelemente berechnet. Da es jedoch nicht praktikabel ist, die Daten auf diese Weise darzustellen, werden die Ergebnisse standardmäßig in Knoten dargestellt, wie z. B. der Maximalwert der Druckspannung aus den benachbarten Gauß-Integrationspunkten in verbundenen Elementen (Abb. 18). Es sei darauf hingewiesen, dass diese Darstellung die Ergebnisse an gedrückten Rändern von Bauteilen örtlich unterschätzen kann, wenn die Größe des finiten Elements ähnlich der Höhe der Druckzone ist.

Abb. 18 - Finites Betonelement mit Integrationspunkten und Knoten: Darstellung der Ergebnisse für Beton in Knoten und in finiten Elementen.

Die Ergebnisse für die finiten Bewehrungselemente sind entweder für jedes Element konstant (ein Wert – z. B. für Stahlspannungen) oder linear (zwei Werte – für Verbundergebnisse). Für Hilfselemente, wie z. B. Elemente von Auflagerplatten, werden nur Verformungen dargestellt.

Die Bewertung der Struktur mittels CSFM erfolgt durch zwei unterschiedliche Analysen: eine für Lastkombinationen des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit und eine für Lastkombinationen des Grenzzustands der Tragfähigkeit. Die Analyse für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit setzt voraus, dass das Tragverhalten im Grenzzustand der Tragfähigkeit zufriedenstellend ist und die Fließbedingungen des Materials bei Gebrauchslastniveaus nicht erreicht werden. Dieser Ansatz ermöglicht die Verwendung vereinfachter Stoffgesetze (mit einem linearen Ast des Spannungs-Dehnungs-Diagramms von Beton) für die Analyse im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit, um die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit zu verbessern. Daher wird empfohlen, den nachfolgend dargestellten Arbeitsablauf zu verwenden, bei dem die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit als erster Schritt durchgeführt wird.

Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit

Die verschiedenen, von den jeweiligen Bemessungsnormen geforderten Nachweise werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. GZT-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Um sicherzustellen, dass ein Bauteil effizient bemessen ist, wird dringend empfohlen, eine Voranalyse durchzuführen, die folgende Schritte berücksichtigt:

• Wählen Sie eine Auswahl der kritischsten Lastkombinationen.
• Berechnen Sie nur Lastkombinationen des Grenzzustands der Tragfähigkeit (GZT).
• Verwenden Sie ein grobes Netz (durch Erhöhung des Multiplikators der Standard-Netzgröße im Setup (Fig. 19)).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}$$

Ein solches Modell wird sehr schnell berechnet, sodass Tragwerksplaner die Durchbildung des Bauteils effizient überprüfen und die Analyse so lange erneut durchführen können, bis alle Nachweisanforderungen für die kritischsten Lastkombinationen erfüllt sind. Sobald alle Nachweisanforderungen dieser Voranalyse erfüllt sind, wird empfohlen, die vollständigen Lastkombinationen des Grenzzustands der Tragfähigkeit einzubeziehen und ein feines Netz (die vom Programm empfohlene Netzgröße) zu verwenden. Der Benutzer kann die Netzgröße über den Multiplikator ändern, der Werte von 0,5 bis 5 annehmen kann (Fig. 19).

Die grundlegenden Ergebnisse und Nachweise (Spannung, Dehnung und Ausnutzung (d. h. der berechnete Wert/Grenzwert gemäß Norm) sowie die Richtung der Hauptspannungen im Fall von Betonelementen) werden mittels verschiedener Diagramme dargestellt, wobei Druck im Allgemeinen in Rot und Zug in Blau dargestellt wird. Globale Minimal- und Maximalwerte für die gesamte Struktur können ebenso hervorgehoben werden wie Minimal- und Maximalwerte für jeden vom Benutzer definierten Teil. In einer separaten Registerkarte des Programms können erweiterte Ergebnisse wie Tensorwerte, Verformungen der Struktur sowie Bewehrungsgrade (effektiv und geometrisch), die zur Berechnung der Zugverfestigung von Bewehrungsstäben verwendet werden, angezeigt werden. Darüber hinaus können Lasten und Auflagerreaktionen für ausgewählte Kombinationen oder Lastfälle dargestellt werden.

Analyse des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit

GZG-Bewertungen werden für die Spannungsbegrenzung, die Rissbreite und die Durchbiegungsgrenzwerte durchgeführt. Spannungen werden in Beton- und Bewehrungselementen gemäß der anzuwendenden Norm auf ähnliche Weise wie für den GZT überprüft.

Die Analyse des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit enthält bestimmte Vereinfachungen der Stoffgesetze, die für die Analyse des Grenzzustands der Tragfähigkeit verwendet werden. Es wird ein perfekter Verbund angenommen, d. h. die Verankerungslänge wird im Gebrauchstauglichkeitszustand nicht überprüft. Darüber hinaus wird der plastische Ast der Spannungs-Dehnungs-Kurve des Betons unter Druck vernachlässigt, während der elastische Ast linear und unendlich ist. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit und schränken die Allgemeingültigkeit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen im Gebrauchstauglichkeitszustand deutlich unter ihren Fließpunkten liegen (wie von den Normen gefordert). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

Berechnung der Rissbreite und Zugverfestigung

Berechnung der Rissbreite

Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung von Rissbreiten – abgeschlossene und nicht abgeschlossene Rissbildung. Anhand des geometrischen Bewehrungsgrads in jedem Teil der Struktur wird entschieden, welches Rissberechnungsmodell verwendet wird (TCM für abgeschlossene Rissbildung und POM für das Modell der nicht abgeschlossenen Rissbildung).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Während das CSFM für die meisten Nachweise (z. B. Bauteiltragfähigkeit, Durchbiegungen …) ein direktes Ergebnis liefert, werden die Rissbreitenergebnisse aus den Bewehrungsdehnungsergebnissen berechnet, die direkt von der FE-Analyse gemäß der in Fig. 20 beschriebenen Methodik geliefert werden. Es wird eine Rissbildungskinematik ohne Schlupf (reine Rissöffnung) angenommen (Fig. 20a), was mit den Hauptannahmen des Modells übereinstimmt. Die Hauptrichtungen von Spannungen und Dehnungen definieren die Neigung der Risse (θ_r = θ_s= θ_e). Gemäß (Fig. 20b) kann die Rissbreite (w) in Richtung des Bewehrungsstabs (w_b) projiziert werden, was zu Folgendem führt:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

wobei θ_b die Stabneigung ist.

Bitte beachten Sie, dass das Programm Werte von θ_r und θ_b < π/2 anzeigt. Das bedeutet, dass die vorherige Gleichung für Fälle gilt, in denen die Bewehrung und der Riss durch unterschiedliche Quadranten des kartesischen Koordinatensystems verlaufen, wie in Fig. 20 dargestellt, wobei die Bewehrung durch den I. und III. Quadranten und der Riss durch den II. und IV. verläuft. Für Fälle, in denen die Bewehrung und der Riss durch dieselben Quadranten verlaufen, muss die Gleichung wie folgt modifiziert werden:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

Die Komponente w_b wird konsistent auf Grundlage der Zugverfestigungsmodelle durch Integration der Bewehrungsdehnungen berechnet. Für Bereiche mit voll ausgebildeten Rissmustern werden die berechneten Durchschnittsdehnungen (e_m) entlang der Bewehrungsstäbe direkt über den Rissabstand (s_r) integriert, wie in (Fig. 20c) angegeben. Obwohl dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht der tatsächlichen Lage der Risse entspricht, liefert er dennoch repräsentative Werte, die zu Rissbreitenergebnissen führen, welche mit den normativ geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

Besondere Situationen werden an konkaven Ecken der berechneten Struktur beobachtet. In diesem Fall gibt die Ecke die Position eines einzelnen Risses vor, der sich vor der Entwicklung weiterer benachbarter Risse nicht abgeschlossen verhält. Diese zusätzlichen Risse entwickeln sich im Allgemeinen erst nach dem Gebrauchstauglichkeitsbereich (Mata-Falcón 2015), was rechtfertigt, die Rissbreiten in einem solchen Bereich so zu berechnen, als wären sie nicht abgeschlossen (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Zugverfestigung

Die Implementierung der Zugverfestigung unterscheidet zwischen Fällen abgeschlossener und nicht abgeschlossener Rissmuster. In beiden Fällen wird der Beton standardmäßig vor Belastung als vollständig gerissen betrachtet.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Abgeschlossene Rissbildung

Bei voll ausgebildeten Rissmustern wird die Zugverfestigung mithilfe des Zuggurtmodells (Tension Chord Model, TCM) eingeführt (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a –, das trotz seiner Einfachheit hervorragende Vorhersagen des Verhaltens liefert (Burns 2012). Das TCM geht von einer abgestuften, starr-ideal-plastischen Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung mit τ_b = τ_b0 =2 f_ctm für σ_s ≤ f_y und τ_b =τ_b1 = f_ctm für σ_s > f_y aus. Indem jeder Bewehrungsstab als Zuggurt behandelt wird – Fig. 22b und Fig. 22a –, kann die Verteilung von Verbundschub-, Stahl- und Betonspannungen und somit die Dehnungsverteilung zwischen zwei Rissen für jeden gegebenen Wert der maximalen Stahlspannungen (oder Dehnungen) an den Rissen bestimmt werden.

Für s_r = s_r0 kann sich ein neuer Riss bilden oder auch nicht, da in der Mitte zwischen zwei Rissen σ_c1 = f_ct gilt. Folglich kann der Rissabstand um den Faktor zwei variieren, d. h. s_r = λs_r0, mit l = 0,5…1,0. Unter Annahme eines bestimmten Werts für λ kann die durchschnittliche Dehnung des Zuggurts (ε_m) als Funktion der maximalen Bewehrungsspannungen (d. h. der Spannungen an den Rissen, σ_sr) ausgedrückt werden. Für das im CSFM standardmäßig berücksichtigte idealisierte bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für nackte Bewehrungsstäbe ergeben sich die folgenden geschlossenen analytischen Ausdrücke (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

wobei:
E_sh           der Stahlverfestigungsmodul E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            Elastizitätsmodul der Bewehrung,

Ø            Bewehrungsstabdurchmesser,

s_r                Rissabstand,

σ_sr           Bewehrungsspannungen an den Rissen,

σ_s            tatsächliche Bewehrungsspannungen,

f_y                Streckgrenze der Bewehrung.

Die Implementierung des CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt standardmäßig den durchschnittlichen Rissabstand bei der computergestützten Spannungsfeldanalyse. Der durchschnittliche Rissabstand wird als 2/3 des maximalen Rissabstands angenommen (λ = 0,67), was den Empfehlungen entspricht, die auf Grundlage von Biege- und Zugversuchen aufgestellt wurden (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Es ist zu beachten, dass bei der Berechnung der Rissbreiten ein maximaler Rissabstand (λ = 1,0) berücksichtigt wird, um konservative Werte zu erhalten.

Die Anwendung des TCM hängt vom Bewehrungsgrad ab, weshalb die Zuordnung einer geeigneten, zwischen den Rissen auf Zug beanspruchten Betonfläche zu jedem Bewehrungsstab entscheidend ist. Es wurde ein automatisches numerisches Verfahren entwickelt, um den entsprechenden effektiven Bewehrungsgrad (ρ_eff = A_s/A_c,eff) für jede Konfiguration, einschließlich schräg verlaufender Bewehrung (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Nicht abgeschlossene Rissbildung

Risse, die in Bereichen mit geometrischen Bewehrungsgraden unterhalb von ρ_cr auftreten – d. h. der minimalen Bewehrungsmenge, bei der die Bewehrung in der Lage ist, die Risslast ohne Fließen aufzunehmen –, entstehen entweder durch nichtmechanische Einwirkungen (z. B. Schwinden) oder durch das Fortschreiten von Rissen, die durch andere Bewehrung kontrolliert werden. Der Wert dieser Mindestbewehrung ergibt sich wie folgt:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

wobei:

f_y              Streckgrenze der Bewehrung,

f_ct             Betonzugfestigkeit,

n              Verhältnis der Elastizitätsmoduln, n = E_s / E_c .

Für herkömmlichen Beton und Betonstahl beträgt ρ_cr etwa 0,6 %.

Für Bügel mit Bewehrungsgraden unterhalb von ρ_cr wird die Rissbildung als nicht abgeschlossen betrachtet, und die Zugverfestigung wird mittels des in Fig. 22b beschriebenen Verbund-Auszugmodells (Pull-Out Model, POM) umgesetzt. Dieses Modell analysiert das Verhalten eines einzelnen Risses unter der Annahme, dass keine mechanische Wechselwirkung zwischen getrennten Rissen besteht, vernachlässigt die Verformbarkeit des Betons unter Zug und geht von derselben abgestuften, starr-ideal-plastischen Verbundschubspannungs-Schlupf-Beziehung aus, die auch im TCM verwendet wird. Dies ermöglicht es, die Bewehrungsdehnungsverteilung (ε_s) in der Umgebung des Risses für jede maximale Stahlspannung am Riss (σ_sr) direkt aus dem Gleichgewicht zu bestimmen. Da der Rissabstand bei einem nicht vollständig ausgebildeten Rissmuster unbekannt ist, wird die durchschnittliche Dehnung (ε_m) für jedes Lastniveau über die Distanz zwischen Punkten mit null Schlupf berechnet, wenn der Bewehrungsstab am Riss seine Zugfestigkeit (f_t) erreicht (l_ε,avg in Fig. 22b), was zu folgenden Beziehungen führt:

Die vorgeschlagenen Modelle ermöglichen die Berechnung des Verhaltens der im Verbund liegenden Bewehrung, das schließlich in der Analyse berücksichtigt wird. Dieses Verhalten (einschließlich Zugverfestigung) für den gängigsten europäischen Betonstahl (B500B, mit f_t / f_y = 1,08 und ε_u = 5 %) ist in Fig. 22c-d dargestellt.

Beton - GZT

Das im CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den einachsigen Druck-Stoffgesetzen gemäß EN 1992-1-1 für die Bemessung von Querschnitten, die nur von der Druckfestigkeit abhängen. Das in EN 1992-1-1 Abschnitt 3.1.7 (1) (Abb. 24a) angegebene Parabel-Rechteck-Diagramm wird standardmäßig im CSFM verwendet, aber Anwender können auch eine vereinfachte elastisch-ideal-plastische Beziehung gemäß EN 1992-1-1 Abschnitt 3.1.7 (2) (Abb. 24b) wählen. Die Zugfestigkeit wird vernachlässigt, wie es auch bei der klassischen Stahlbetonbemessung üblich ist.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram.}}}$$

Die Implementierung des CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium hinsichtlich der Dehnungen für Beton unter Druck (d. h., nach Erreichen der Spitzenspannung wird ein plastischer Ast mit ε_cu2 (ε_cu3) im Wert von 5 % angenommen, während EN 1992-1-1 von einer Grenzdehnung von weniger als 0,35 % ausgeht). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, die Verformungsfähigkeit von auf Druck versagenden Strukturen zu überprüfen. Ihre Grenztragfähigkeit f_cd gemäß EN 1992-1-1 3.1.3 wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zum Faktor des gerissenen Betons (k_c2, definiert in (Abb. 25)) die zunehmende Sprödigkeit des Betons mit steigender Festigkeit mithilfe des im fib Model Code 2010 definierten Abminderungsfaktors $\eta_{fc}$ berücksichtigt wird, wie folgt:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

wobei:

α_cc der Beiwert ist, der Langzeiteffekte auf die Druckfestigkeit sowie ungünstige Auswirkungen der Art der Lastaufbringung berücksichtigt. Er entspricht EN 1992-1-1 Abschnitt 3.1.6 (1). Der Standardwert ist 1,0.

k_c ist der globale Abminderungsfaktor der Druckfestigkeit

k_c2 ist der Abminderungsfaktor aufgrund vorhandener Querrisse

f_ck ist die charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad The compression softening law.}}}$$

Beton - GZG

Die Nachweise für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit enthalten bestimmte Vereinfachungen der Stoffgesetze, die für die Analyse im Grenzzustand der Tragfähigkeit verwendet werden. Der plastische Ast der Spannung-Dehnungs-Kurve von Beton unter Druck wird nicht berücksichtigt, während der elastische Ast linear und unendlich ist. Die Druckerweichung wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit und schränken die Allgemeingültigkeit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen im Gebrauchszustand deutlich unter ihren Fließgrenzen liegen (wie vom Eurocode gefordert). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Langzeiteffekte

Bei der Analyse des Grenzzustands der Gebrauchstauglichkeit werden die Langzeiteffekte des Betons mithilfe eines effektiven unendlichen Kriechbeiwerts ($\varphi$, standardmäßig mit dem Wert 2,5 angenommen) berücksichtigt, der den Sekantenmodul der Elastizität von Beton (E_cm) gemäß EN 1992-1-1, Abschnitt 3.1.4 (3) bzw. 7.4.3 (5) wie folgt modifiziert:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

Bei Berücksichtigung von Langzeiteffekten wird zunächst ein Lastschritt mit allen ständigen Lasten unter Berücksichtigung des Kriechbeiwerts berechnet (d. h. unter Verwendung des effektiven Elastizitätsmoduls von Beton, E_c,eff), und anschließend werden die zusätzlichen Lasten ohne Kriechbeiwert berechnet (d. h. unter Verwendung von E_cm). Zusätzlich wird für die Kurzzeitnachweise eine weitere Berechnung durchgeführt, bei der alle Lasten ohne Kriechbeiwert berechnet werden. Beide Berechnungen für Lang- und Kurzzeitnachweise sind in Abb. 26 dargestellt.

Kriechbeiwerte werden vom Anwender in den Materialeigenschaften definiert und sind gemäß EN 1992-1-1, Abb. 3.1 zu berechnen.

Bewehrung

Standardmäßig wird das idealisierte bilineare Spannung-Dehnungs-Diagramm für nackte Bewehrungsstäbe gemäß EN 1992-1-1, Abschnitt 3.2.7 (Abb. 27) berücksichtigt. Die Definition dieses Diagramms erfordert nur die Kenntnis der grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung während der Bemessungsphase (Festigkeits- und Duktilitätsklasse). Sofern bekannt, kann die tatsächliche Spannung-Dehnungs-Beziehung der Bewehrung (warmgewalzt, kaltverformt, vergütet und selbstangelassen, …) berücksichtigt werden. Das Spannung-Dehnungs-Diagramm der Bewehrung kann vom Anwender definiert werden, aber in diesem Fall ist es nicht möglich, den Versteifungseffekt durch Zugverfestigung anzunehmen (die Berechnung der Rissbreite ist nicht möglich). Die Verwendung des Spannung-Dehnungs-Diagramms mit horizontalem oberem Ast erlaubt keine Überprüfung der baulichen Dauerhaftigkeit. Daher ist eine manuelle Überprüfung der Standard-Duktilitätsanforderungen erforderlich.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$

Die Zugverfestigung (Abb. 28)  wird automatisch berücksichtigt, indem die eingegebene Spannung-Dehnungs-Beziehung des nackten Bewehrungsstabs modifiziert wird, um die durchschnittliche Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe zu erfassen (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Die Compatible Stress Field Method entspricht modernen Bemessungsnormen. Da die Berechnungsmodelle nur Standardmaterialeigenschaften verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Teilsicherheitsbeiwertformat ohne Anpassung angewendet werden. Auf diese Weise werden die Eingangslasten faktorisiert, und die charakteristischen Materialeigenschaften werden mit den jeweiligen in den Bemessungsnormen vorgeschriebenen Sicherheitsbeiwerten reduziert, genau wie bei der konventionellen Betonanalyse. Die in EN 1992-1-1 Kap. 2.4.2.4 vorgeschriebenen Werte der Materialsicherheitsbeiwerte sind standardmäßig eingestellt, der Benutzer kann die Sicherheitsbeiwerte jedoch in den Norm- und Berechnungseinstellungen ändern (Abb. 29).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Die Lastsicherheitsbeiwerte müssen vom Benutzer in den Kombinationsregeln für jede nichtlineare Kombination von Lastfällen definiert werden (Abb. 30). Für alle in Idea StatiCa Detail implementierten Vorlagen sind die Teilsicherheitsbeiwerte bereits vordefiniert.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Durch die Verwendung geeigneter benutzerdefinierter Kombinationen von Teilsicherheitsbeiwerten können Benutzer mit der CSFM auch nach der Methode des globalen Widerstandsbeiwerts rechnen (Navrátil, et al. 2017), dieser Ansatz wird in der Bemessungspraxis jedoch kaum verwendet. Einige Richtlinien empfehlen die Verwendung der Methode des globalen Widerstandsbeiwerts für die nichtlineare Analyse. Bei vereinfachten nichtlinearen Analysen (wie der CSFM), die nur jene Materialeigenschaften erfordern, die auch bei konventionellen Handrechnungen verwendet werden, ist es jedoch weiterhin vorzuziehen, das Teilsicherheitsformat zu verwenden.

Die verschiedenen von EN 1992-1-1 geforderten Nachweise werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Die GZT-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Die Betonfestigkeit unter Druck wird als Verhältnis zwischen der maximalen Hauptdruckspannung σ_c = σ_c2, die aus der FE-Analyse ermittelt wird, und dem Grenzwert σ_c,lim = f_cd bewertet. 

Die Festigkeit der Bewehrung wird sowohl auf Zug als auch auf Druck als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen σ_sr und dem festgelegten Grenzwert σ_s,lim bewertet:

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{für bilineares Diagramm mit geneigtem oberem Ast}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{für bilineares Diagramm mit horizontalem oberem Ast}}$

wobei:

f_yk        die Streckgrenze der Bewehrung nach EN 1992-1-1 Abschn. 3.2.3,

k          das Verhältnis der Zugfestigkeit f_tk zur Streckgrenze,
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             ist der Teilsicherheitsbeiwert für die Bewehrung

Die Verbundschubspannung wird unabhängig als Verhältnis zwischen der durch die FE-Analyse berechneten Verbundspannung τ_b und der Grenzverbundfestigkeit f_bd, gemäß EN 1992-1-1 Kap. 8.4.2 bewertet:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

wobei:

f_ctd      der Bemessungswert der Betonzugfestigkeit nach EN 1992-1-1 Abschn. 3.1.6 (2) ist. Aufgrund der zunehmenden Sprödigkeit von hochfestem Beton wird f_ctk,0.05 auf den Wert für C60/75 gemäß EN 1992-1-1 Abschn. 8.4.2 (2) begrenzt

η₁       ist ein Beiwert, der sich auf die Qualität der Verbundbedingung und die Lage des Stabs während des Betonierens bezieht (Abb. 31).

η₁ = 1,0, wenn „gute" Bedingungen vorliegen, und

η₁ = 0,7 für alle anderen Fälle sowie für Stäbe in Bauteilen, die mit Gleitschalungen hergestellt werden, sofern nicht nachgewiesen werden kann, dass „gute" Verbundbedingungen vorliegen

η₂        bezieht sich auf den Stabdurchmesser:

            η₂ = 1,0 für Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 für Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 31\qquad EN 1992-1-1 Bild 8.2 - Beschreibung der Verbundbedingungen.}}}$$

In IDEA StatiCa Detail werden die Verbundbedingungen gemäß Abb. 31 c) und d) berücksichtigt. Die Betonierrichtung kann in der Anwendung für jedes Projektelement wie folgt festgelegt werden.

Diese Nachweise werden unter Berücksichtigung der entsprechenden Grenzwerte für die jeweiligen Teile der Struktur durchgeführt (d. h., obwohl sowohl für Beton als auch für Bewehrung jeweils nur eine Festigkeitsklasse verwendet wird, unterscheiden sich die endgültigen Spannung-Dehnungs-Diagramme in jedem Teil der Struktur aufgrund von Zugverfestigungs- und Druckerweichungseffekten).

Es besteht auch die Möglichkeit, glatte Bewehrungsstäbe zu modellieren. Weitere Informationen finden Sie hier: Glatte Bewehrungsstäbe in Detail

Gesamtkraft F_tot und Grenzkraft F_lim

Die Gesamtkraft F_tot ist ein Ergebnis der Finite-Elemente-Analyse und kann auf zwei Arten definiert werden.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

wobei A_s die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs und σ_s die Spannung im Stab ist.

Oder als Summe aus der Verankerungskraft F_a und der Verbundkraft F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

wobei F_a die tatsächliche Kraft in der Verankerungsfeder ist und F_bond die Verbundkraft ist, die durch Integration der Verbundspannung τ_b über die Länge des Bewehrungsstabs l ermittelt werden kann.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s ist der Umfang des Bewehrungsstabs.

Die Grenzkraft F_lim ist die maximale Kraft im Element des Bewehrungsstabs unter Berücksichtigung der Zugfestigkeit des Stabs sowie der Verankerungsbedingungen (Verbund zwischen Beton und Bewehrung sowie Verankerungshaken, Schlaufen usw.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

wobei C_s der Umfang des Bewehrungsstabs ist und l die Länge vom Anfang des Bewehrungsstabs bis zum betrachteten Punkt ist.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 32\qquad Definition der Grenzkraft Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

wobei F_lim,add die zusätzliche Kraft ist, die aus der Größe des Winkels zwischen benachbarten Elementen berechnet wird. F_lim,2 muss stets kleiner als F_u sein.

Die in der CSFM verfügbaren Verankerungstypen umfassen einen geraden Stab (d. h. keine Reduzierung am Verankerungsende), Abbiegung, Haken, Schlaufe, angeschweißten Querstab, perfekten Verbund und durchlaufenden Stab. Alle diese Typen sind zusammen mit den jeweiligen Verankerungsbeiwerten β in Abb. 32 für Längsbewehrung und in Abb. 33 für Bügel dargestellt. Die Werte der verwendeten Verankerungsbeiwerte entsprechen EN 1992-1-1 Abschnitt 8.4.4 Tab. 8.2. Es ist zu beachten, dass die CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Reduzierung der Verankerungslänge, (ii) eine Reduzierung der Verankerungslänge um 30 % bei einer normierten Verankerung und (iii) perfekter Verbund.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 33\qquad  Verfügbare Verankerungstypen und zugehörige Verankerungsbeiwerte für Längsbewehrungsstäbe in der CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) gerader Stab; (b) Abbiegung; (c) Haken; (d) Schlaufe; (e) angeschweißter Querstab; (f) perfekter Verbund; (g) durchlaufender Stab.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 33\qquad  Verfügbare Verankerungstypen und zugehörige Verankerungsbeiwerte für Bügel.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Geschlossene Bügel: (a) Haken; (b) Abbiegung; (c) Überlappung. Offene Bügel: (d) Haken; (e) durchlaufender Stab.}}}$$

Um EN 1992-1-1 zu entsprechen, sollte die Verankerungsfeder in der Berechnung verwendet werden. Die Verankerungsfeder wird durch den β-Beiwert modifiziert, sodass der Benutzer bei der Definition der Anfangs- und Endbedingungen der Bewehrung einen der verfügbaren Verankerungstypen verwenden muss. 

Beim Entwurf von Betonstrukturen begegnen wir zwei großen Gruppen teilweise belasteter Flächen (PLA) - die erste umfasst Auflager, während die andere aus Verankerungsbereichen besteht. Gemäß den aktuell gültigen Normen für die Bemessung von Stahlbetonstruktur EN 1992-1-1 Kap. 6.7 (Abb. 34) sollten für teilweise belastete Flächen die örtliche Betonzerstörung und Querzugkräfte berücksichtigt werden. Bei einer gleichmäßig verteilten Last auf einer Fläche A_c0 kann die Druckkapazität des Betons je nach der Bemessungsverteilungsfläche A_c1. um bis zum Dreifachen erhöht werden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Partially loaded areas according to EN 1992-1-1.}}}$$

Die teilweise belastete Fläche muss ausreichend mit Querbewehrung bewehrt werden, die so bemessen ist, dass sie die in diesem Bereich auftretenden Spaltkräfte aufnimmt. Für die Bemessung der Querbewehrung in teilweise belasteten Flächen wird gemäß Eurocode die Methode Strebe-und-Zugband verwendet. Ohne die erforderliche Querbewehrung ist es nicht möglich, eine Erhöhung der Druckkapazität des Betons zu berücksichtigen.

Teilweise belastete Flächen im CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Mit dem CSFM ist es möglich, Stahlbetonstruktur zu bemessen und zu bewerten und dabei den Einfluss der zunehmenden Druckfestigkeit des Betons in teilweise belasteten Flächen zu berücksichtigen. Da das CSFM ein Scheiben-(2D)-Modell ist und teilweise belastete Flächen eine räumliche (3D)-Aufgabe darstellen, war es notwendig, eine Lösung zu finden, die diese beiden unterschiedlichen Aufgabentypen kombiniert (Abb. 35). Wenn die Funktion „Teilweise belastete Flächen“ aktiviert ist, wird die zulässige Kegelgeometrie gemäß Eurocode erstellt (Abb. 34). Alle geometrischen Kollisionen werden vollständig in 3D für die angegebene Geometrie des Betonbauteils und die Abmessungen jeder PLA gelöst. Anschließend wird ein Berechnungsmodell der teilweise belasteten Fläche erstellt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Die Modifikation des Materialmodells erwies sich als ungeeigneter Ansatz, hauptsächlich weil die Zuordnung von Eigenschaften zum Finite-Elemente-Netz problematisch ist. Es wurde festgestellt, dass ein vom Finite-Elemente-Netz unabhängiger Ansatz eine geeignetere Lösung darstellt. Für die bekannte Druckkegelgeometrie werden vollständig kohärente fiktive Druckstreben erstellt (Abb. 35 und Abb. 37). Diese Streben haben identische Materialeigenschaften wie der im Modell verwendete Beton, einschließlich des Spannung-Dehnung-Diagramms. Die Form des Kegels bestimmt die Richtung der Streben, die die Last schrittweise über die PLA auf die Bemessungsverteilungsfläche verteilen. Die Flächendichte der fiktiven Druckstreben ist an jedem Teil des Kegels variabel, und sie fügt in Lastrichtung eine fiktive Betonfläche hinzu. Auf Höhe der belasteten Fläche (A_c0) wird gemäß dem Verhältnis $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  (wobei A_real eine im 2D-Berechnungsmodell angenommene Fläche des Auflagers ist) eine fiktive Betonfläche hinzugefügt, und diese Fläche nimmt linear bis auf null zur Bemessungsverteilungsfläche (A_c1) hin ab. Diese Lösung stellt sicher, dass die Druckspannung im Beton über das gesamte Kegelvolumen konstant bleibt.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Die Tragfähigkeit der teilweise belasteten Fläche wird entsprechend dem Verhältnis der Bemessungsverteilungsfläche zur belasteten Fläche gemäß EN 1992-1-1  (6.7) erhöht.  Es sollte beachtet werden, dass es sich hierbei um ein Bemessungsmodell handelt, das den tatsächlichen Spannungszustand über eine teilweise belastete Fläche, dessen tatsächlicher Verlauf weitaus komplizierter ist, nicht exakt beschreiben kann. Diese Lösung ermöglicht jedoch die korrekte Lastverteilung im gesamten Modell unter Berücksichtigung der erhöhten Tragfähigkeit der teilweise belasteten Fläche. Darüber hinaus werden dadurch die Querspannungen in diesem Bereich korrekt eingeführt.

Bei Verwendung der Funktion „Teilweise belastete Flächen“ zur Simulation der Erhöhung der Betondruckkapazität ist es erforderlich, den Normnachweis gemäß EN 1992-1-1, Abschnitt 6.7 (2), separat durchzuführen. Die von der Bewehrung übertragenen Querzugkräfte (Spaltkräfte) werden automatisch überprüft.

GZG-Bewertungen werden für die Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzwerte durchgeführt. Spannungen werden in Beton- und Bewehrungselementen gemäß EN 1992-1-1 auf ähnliche Weise überprüft, wie für den GZT festgelegt.

Spannungsbegrenzung

Die Druckspannung im Beton ist zu begrenzen, um Längsrisse zu vermeiden. Gemäß EN 1992-1-1 Kap. 7.2 (2) können Längsrisse auftreten, wenn das Spannungsniveau unter der charakteristischen Lastkombination einen Wert k₁f_ck überschreitet. Die Betondruckspannung wird als Verhältnis zwischen der maximalen Hauptdruckspannung σ_c = σ_c2 , die aus der FE-Analyse für Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit ermittelt wird, und dem Grenzwert σ_c,lim berechnet. Dann gilt:

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

wobei:

f_ck        charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons,

k₁         =0,6.

Liegt die Spannung im Beton unter quasi-ständigen Lasten unter k₂f_ck gemäß EN 1992-1-1 Kl. 7.2(3), kann von linearem Kriechen ausgegangen werden. Überschreitet die Spannung im Beton k₂f_ck, sollte nichtlineares Kriechen berücksichtigt werden (siehe EN 1992-1-1 Kl. 3.1.4). In IDEA StatiCa Detail kann nur lineares Kriechen gemäß EN 1992-1-1 Kl. 3.1.4 (3) angenommen werden (siehe Materialmodelle (EN)).

Es kann davon ausgegangen werden, dass unzulässige Rissbildung oder Verformung vermieden wird, wenn unter der charakteristischen Lastkombination die Zugspannung in der Bewehrung k₃f_yk nicht überschreitet (EN 1992-1-1 Kap. 7.2 (5)). Die Festigkeit der Bewehrung wird als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen σ_s = σ_sr und dem festgelegten Grenzwert σ_s,lim berechnet:

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

wobei:

f_yk        Streckgrenze der Bewehrung,

k₃        =0,8.

Durchbiegung

Durchbiegungen können nur für Wände oder isostatische (statisch bestimmte) oder hyperstatische (statisch unbestimmte) Träger bewertet werden. In diesen Fällen wird der Absolutwert der Durchbiegungen betrachtet (im Vergleich zum Ausgangszustand vor der Belastung), und der maximal zulässige Wert der Durchbiegungen muss vom Benutzer festgelegt werden. Durchbiegungen an gekappten Enden können nicht überprüft werden, da es sich hierbei im Wesentlichen um instabile Strukturen handelt, bei denen das Gleichgewicht durch das Hinzufügen von Endkräften erfüllt wird, wodurch die Durchbiegungen unrealistisch sind. Kurzzeitige u_z,st oder langzeitige u_z,lt Durchbiegungen können berechnet und gegen vom Benutzer definierte Grenzwerte überprüft werden:

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

wobei:

u_z         kurz- oder langfristige Durchbiegung, berechnet durch FE-Analyse,

u_z,lim    Grenzwert der Durchbiegung, definiert vom Benutzer.

Rissbreite

Rissbreiten und -orientierungen werden nur für Langzeiteffekte (unter Verwendung von E_c,eff) für Kombinationen berechnet, bei denen die Rissbreitenbewertung aktiviert ist. Nachweise auf Grundlage von benutzerdefinierten Grenzwerten gemäß Eurocode werden wie folgt dargestellt:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

wobei:

w         durch FE-Analyse berechnete Rissbreite,

w_lim     Grenzwert der Rissbreite, definiert vom Benutzer.

Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung von Rissbreiten (stabilisierte und nicht-stabilisierte Rissbildung). Im allgemeinen Fall (stabilisierte Rissbildung) wird die Rissbreite durch Integration der Dehnungen an 1D-Elementen der Bewehrungsstäbe berechnet. Die Rissrichtung wird dann aus den drei nächstgelegenen (vom Mittelpunkt des jeweiligen 1D-Finite-Elements der Bewehrung) Integrationspunkten der 2D-Betonelemente berechnet. Obwohl dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht der tatsächlichen Lage der Risse entspricht, liefert er dennoch repräsentative Werte, die zu Rissbreitenergebnissen führen, die mit den normativ geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

Beton - Festigkeit

Das für Festigkeitsberechnungen im CSFM implementierte Betonmodell basiert auf der parabolisch-plastischen Spannung-Dehnung-Kurve für Beton, die auf der parabolischen Spannung-Dehnung-Kurve der Portland Cement Association basiert, beschrieben in PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Abbildung 6-8. Die Zugfestigkeit wird vernachlässigt, wie es bei der klassischen Stahlbetonbemessung üblich ist.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Die Implementierung von CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Bezug auf Dehnungen für Beton unter Druck (d.h. nachdem die Spitzenspannung erreicht ist, wird ein plastischer Ast mit ε_c0 mit einem Maximalwert von 5% angenommen, während ACI 318-19 Kl. 22.2.2.1 eine Bruchdehnung von weniger als 0,3% voraussetzt). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, die Verformungsfähigkeit von Strukturen, die unter Druck versagen, zu überprüfen. Die Festigkeit wird jedoch richtig vorhergesagt, wenn zusätzlich zum Faktor des gerissenen Betons (k_c2 definiert in (Fig. 39)) die zunehmende Sprödigkeit des Betons mit steigender Festigkeit mittels des Reduktionsfaktors $\eta_{fc}$ berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

wobei:

α₁ der Reduktionsfaktor der Betondruckfestigkeit ist, definiert in ACI 318-19 Kl. 22.2.2.4.1. Bei Verwendung eines Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnung-Diagramms muss die maximale Druckspannung um diesen Faktor reduziert werden. Dies mittelt die Spannungsverteilung in der Druckzone so, dass die resultierende Druckfestigkeit kleiner oder gleich der Druckfestigkeit ist, die mit einem Spannung-Dehnung-Diagramm mit abfallendem plastischem Ast berechnet wird.

Φ_c ist der Festigkeitsreduktionsfaktor für Beton. Der Standardwert ist gemäß ACI 318-19 Tabelle 24.2.1 (b)(f) festgelegt.

k_c2 ist der Reduktionsfaktor aufgrund des Vorhandenseins von Querrissen.

f'_c ist die Betonzylinderfestigkeit (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 ist ein Reduktionsfaktor, der auf denselben Annahmen basiert wie der Knotenzonenkoeffizient β_n, der in ACI 318-19 Tabelle 23.9.2 angegeben ist, außer dass im CSFM das Vorhandensein einer Hauptzugspannung senkrecht zur Hauptdruckspannung für jedes finite Element überprüft wird (nicht nur für Knoten des Strebe-und-Zugband-Modells).

Beton – Gebrauchstauglichkeit

Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse enthält bestimmte Vereinfachungen der Materialgesetze, die für die Festigkeitsanalyse verwendet werden. Der plastische Ast der Spannung-Dehnung-Kurve von Beton unter Druck wird vernachlässigt, während der elastische Ast linear und unendlich ist. Das Druckerweichungsgesetz wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit und verringern die Allgemeingültigkeit der Lösung nicht, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen bei Gebrauchstauglichkeit deutlich unter ihren Fließpunkten liegen (wie von ACI gefordert). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Verifizierungsanforderungen erfüllt sind.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Langzeiteffekte

Das Langzeitverhalten der Struktur, wie z.B. Langzeitdurchbiegungen oder die Berechnung von Rissbreiten, die durch dauerhaft wirkende Lasten verursacht werden, wird durch Betonkriechen beeinflusst. Der ACI 318-19 definiert in Abschnitt 24.2.4.1.3 den zeitabhängigen Faktor für dauerhaft wirkende Lasten – ξ, der den Kriecheffekt für eine bestimmte Dauer der dauerhaft wirkenden Last darstellt.

In der Detail-Anwendung wird der Elastizitätsmodul E_c angepasst, um das Langzeitverhalten der Struktur durch den Faktor ξ zu bestimmen. Der angepasste Elastizitätsmodul wird als E_c,eff bezeichnet – siehe Abbildung 40.

Unter der Annahme, dass die Verformung des Elements durch Dehnung ausgedrückt wird, kann geschrieben werden:

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

wobei:

ε₀ eine Kurzzeitdehnung ist (ohne Einfluss des Kriechens) und ε_creep eine durch Kriechen verursachte Dehnung ist.

Mit dem Hookeschen Gesetz können wir schreiben:

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

Durch Einsetzen von $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ und $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$ erhalten wir:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

Die Dauer der dauerhaft wirkenden Last zur Bestimmung des Faktors ξ kann für jede dauerhaft wirkende Lastkombination im Gebrauchszustand individuell festgelegt werden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}$$

Die zeitabhängigen Durchbiegungen, Spannungen und Rissbreiten werden dann mit einem modifizierten Materialmodell berechnet, bei dem der Effekt der Druckverfeinerung automatisch durch die Natur der FE-Analyse berücksichtigt wird. Es ist daher nicht notwendig, diese zusätzlich mit dem in 24.2.4.1.1 definierten Faktor zu multiplizieren.

Kurzzeiteffekte

Um Kurzzeitnachweise durchzuführen, wird eine weitere Berechnung durchgeführt, bei der alle Lasten ohne den zeitabhängigen Faktor für dauerhaft wirkende Lasten berechnet werden. Beide Berechnungen für Langzeit- und Kurzzeitnachweise sind in Fig. 40 dargestellt.

Bewehrung

Ein ideal elastisch-plastisches Spannung-Dehnung-Diagramm mit einem definierten Fließpunkt für die nicht vorgespannte Bewehrung wird angenommen, siehe ACI 319-19 Kl. 20.2.1. Die Definition dieses Diagramms erfordert nur die Kenntnis der grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung – der Festigkeit und des Elastizitätsmoduls.

Das Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrung kann auch vom Benutzer definiert werden, aber in diesem Fall ist es nicht möglich, den Zugverfestigungseffekt anzunehmen (es ist nicht möglich, die Rissbreite zu berechnen). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

wobei:

Φ_s der Festigkeitsreduktionsfaktor für Bewehrung ist. Der Standardwert ist gemäß ACI 318-19 Tabelle 24.2.1 festgelegt.

f_y ist die Streckgrenze der Bewehrung

E_s Elastizitätsmodul der Bewehrung

10% wird als Grenzdehnung gewählt, bei der die Berechnung gestoppt wird. Dies gilt als sicher basierend auf ASTM A955/A955M-20c Artikel 7.

Die Zugverfestigung (Fig. 43)  wird automatisch berücksichtigt, indem die Eingabe-Spannung-Dehnung-Beziehung des reinen Bewehrungsstabs modifiziert wird, um die durchschnittliche Steifigkeit der in den Beton eingebetteten Stäbe zu erfassen (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Die Compatible Stress Field Method entspricht modernen Bemessungsnormen. Da die Berechnungsmodelle nur Standard-Materialeigenschaften verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Format der Teilsicherheitsbeiwerte ohne Anpassung angewendet werden. Auf diese Weise werden die einwirkenden Lasten faktorisiert, und die charakteristischen Materialeigenschaften werden mithilfe der jeweiligen Abminderungsfaktoren für die Festigkeit reduziert, genau wie bei der konventionellen Betonanalyse.

Werte für Abminderungsfaktoren der Festigkeit sind in ACI 318-19 Abschn. 21.2 vorgeschrieben. Die Standardwerte für Beton und Bewehrung basieren auf der Annahme, dass das typische, in der Anwendung gelöste Beispiel querkraftmaßgebend ist (basierend auf Tabelle 21.2.1 (b), (f), (g)). Es ist jedoch möglich, jeden Elementtyp zu modellieren. Wird daher ein druck- oder zugmaßgebendes Element bewertet, hat der Anwender die Möglichkeit, den Wert des Abminderungsfaktors für die Festigkeit in den Voreinstellungen zu ändern.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Lastfaktoren für Festigkeitskombinationen sind gemäß ACI 318-19 Tabelle 5.3.1 zu definieren.

Mit Ausnahme der Angaben in Kapitel 34 sind Lastkombinationen auf Gebrauchslastniveau in ACI 318-19 nicht definiert. Es wird empfohlen, Kombinationsregeln auf Grundlage von Anhang C der ASCE/SEI 7-16 zu verwenden. Für alle Vorlagen sind die Lastfaktoren bereits vordefiniert.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Die verschiedenen von ACI 318-19 geforderten Nachweise werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Die Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Die Betonfestigkeit unter Druck wird als Verhältnis zwischen der maximalen Hauptdruckspannung f_c (auch σ₂ in den Hilfsergebnissen) aus der FE-Analyse und dem Grenzwert f'_c,lim ausgewertet.

Die Festigkeit der Bewehrung wird sowohl auf Zug als auch auf Druck als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen f_s und dem festgelegten Grenzwert f_y,lim ausgewertet.

Die Verbundschubspannung wird unabhängig als Verhältnis zwischen der durch die FE-Analyse berechneten Verbundspannung τ_b und der Verbundfestigkeit f_bu ausgewertet.

Die ACI-Norm behandelt die Verbundfestigkeit jedoch nicht explizit, sondern arbeitet mit der Berechnung der sogenannten Verankerungslänge (development length), die in Abschnitt 25.4.2 beschrieben ist. Da die Verbundfestigkeit ein grundlegender Eingabeparameter für die Bestimmung der Verankerungslänge ist, siehe R25.4.1.1 und ACI Committee 408 1966, kann die Verbundfestigkeit wie folgt berechnet werden:

Nehmen wir an, dass, wenn wir den Bewehrungsstab bis zur Verankerungslänge l_d oder darüber hinaus in einen Betonblock verankern, das Herausziehen der Bewehrung zu einem Versagen der Bewehrung durch Bruch und nicht zum Herausziehen aus dem Beton führt. Dies lässt sich mit folgender Formel ausdrücken.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

wobei:

d_b der Durchmesser des Bewehrungsstabs ist, l_d die Verankerungslänge, f_bu die Verbundfestigkeit, f_y die Streckgrenze der Bewehrung und A_s die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs ist.

Aus dem Vorstehenden lässt sich die Formel zur Berechnung der Verbundfestigkeit leicht ableiten:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Die Verankerungslänge l_d wird dann gemäß ACI 318-19 Tabelle 25.4.2.3 wie folgt bestimmt:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

wobei:

C = 25 (2,1 metrisch) für Stäbe Nr. 6 und kleiner sowie profilierte Drähte, C = 20 (1,7 metrisch) für Stäbe Nr. 7 und größer, λ = 1,0 für Normalbeton, ψ_t, ψ_e, ψ_g werden gemäß ACI 318-19 Tabelle 25.4.2.3 bestimmt. 

Es wird nur unbeschichtete oder verzinkte (galvanisierte) Bewehrung unterstützt, sodass ψ_e = 1,0 gilt. ψ_g wird automatisch aus der Bewehrungsgüte ermittelt, und ψ_t wird automatisch aus der Position der Bewehrung im Modell und aus der Betonierrichtung abgeleitet, die in der Anwendung für jedes Projektelement wie folgt eingestellt werden kann.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

Diese Nachweise werden in Bezug auf die entsprechenden Grenzwerte für die jeweiligen Bauteile der Struktur durchgeführt (d. h. trotz einer einheitlichen Güte sowohl für Beton als auch für den Bewehrungswerkstoff unterscheiden sich die endgültigen Spannungs-Dehnungs-Diagramme in jedem Bauteil der Struktur aufgrund der Zugverfestigungs- und Druckerweichungseffekte).

Es besteht auch die Möglichkeit, glatte Bewehrungsstäbe zu modellieren. Weitere Informationen finden Sie hier: Smooth rebars in Detail

Gesamtkraft F_tot und Grenzkraft F_lim

Die Gesamtkraft F_tot ist ein Ergebnis der Finite-Elemente-Analyse und kann auf zwei Arten definiert werden.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

wobei A_s die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs und f_s die Spannung im Stab ist.

Oder als Summe der Verankerungskraft F_a und der Verbundkraft F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

wobei F_a die tatsächliche Kraft in der Verankerungsfeder und F_bond die Verbundkraft ist, die durch Integration der Verbundspannung τ_b über die Länge des Bewehrungsstabs l ermittelt werden kann.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s ist der Umfang des Bewehrungsstabs.

Die Grenzkraft F_lim ist die maximale Kraft im Element des Bewehrungsstabs unter Berücksichtigung der Festigkeit des Bewehrungsstabs sowie der Verankerungsbedingungen (Verbund zwischen Beton und Bewehrung sowie Verankerungshaken, Schlaufen usw.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

wobei C_s der Umfang des Bewehrungsstabs ist und l die Länge vom Anfang des Bewehrungsstabs bis zum betrachteten Punkt ist.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

wobei F_lim,add die zusätzliche Kraft ist, die aus dem Betrag des Winkels zwischen benachbarten Elementen berechnet wird. F_lim,2 muss immer kleiner als F_u sein.

Die verfügbaren Verankerungstypen im CSFM umfassen einen geraden Stab (d. h. keine Reduktion am Verankerungsende), einen 90-Grad-Haken, einen 180-Grad-Haken, vollkommenen Verbund und einen durchgehenden Stab. Alle diese Typen sind zusammen mit den entsprechenden Verankerungskoeffizienten β in Abb. 48 für Längsbewehrung dargestellt. Die Werte der verwendeten Verankerungskoeffizienten werden aus dem Vergleich der Gleichung aus Abschnitt ACI 318-19 25.4.3.1 und den Gleichungen aus Abschnitt ACI 318-19 25.4.2.3 abgeleitet. Es ist zu beachten, dass CSFM trotz der unterschiedlichen verfügbaren Optionen drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Reduktion der Verankerungslänge, (ii) eine Reduktion von 30 % der Verankerungslänge bei einer normierten Verankerung und (iii) vollkommener Verbund.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Der Verankerungskoeffizient für Bügel beträgt immer β = 1,0.

Um ACI zu entsprechen, sollte die Verankerungsfeder in der Berechnung verwendet werden. Die Verankerungsfeder wird durch den Koeffizienten β modifiziert, sodass der Benutzer bei der Definition der Anfangs- und Endbedingungen der Bewehrung einen der verfügbaren Verankerungstypen verwenden muss. 

Bei der Bemessung von Betonstrukturen begegnen wir zwei großen Gruppen von Teilflächenbelastungen (PLA) – die erste umfasst Auflager, während die andere aus Verankerungsbereichen besteht. 

Gemäß den derzeit gültigen Normen für die Bemessung von Stahlbetonstruktur ACI 318-19 Kap. 22.8 sollten für Auflager lokales Betonversagen durch Quetschen und transversale Zugkräfte berücksichtigt werden. Bei einer gleichmäßig verteilten Last auf einer Fläche A_c1 kann die Drucktragfähigkeit des Betons je nach der bemessungsmäßigen Verteilungsfläche A_c2 um bis zum Zweifachen erhöht werden. Siehe ACI 318-19 Tabelle 22.8.3.2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Partially loaded areas for bearings according to ACI 318-19}}}$$

Für nachgespannte Verankerungsbereiche gilt ACI 318-19 Kap. 25.9.

Die Teilflächenbelastung muss ausreichend mit einer transversalen Bewehrung bewehrt werden, die für die Aufnahme der in diesem Bereich auftretenden Spaltkräfte bemessen ist. Ohne die erforderliche transversale Bewehrung ist es nicht möglich, eine Erhöhung der Drucktragfähigkeit des Betons zu berücksichtigen.

Teilflächenbelastungen im CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Mit dem CSFM ist es möglich, Stahlbetonstruktur zu bemessen und zu bewerten, wobei der Einfluss der erhöhten Drucktragfähigkeit des Betons in Teilflächenbelastungsbereichen berücksichtigt wird. Da das CSFM ein Scheiben(2D)-Modell ist und die Teilflächenbelastungen eine räumliche (3D) Aufgabe darstellen, war es notwendig, eine Lösung zu finden, die diese beiden unterschiedlichen Aufgabentypen kombiniert (Fig. 50). Wenn die Funktion „Teilflächenbelastungen“ aktiviert ist, wird die zulässige Kegelgeometrie gemäß ACI erstellt (Fig. 49). Alle geometrischen Kollisionen werden vollständig in 3D für die angegebene Geometrie des Betonbauteils und die Abmessungen jeder Teilflächenbelastung gelöst. Anschließend wird ein Berechnungsmodell der Teilflächenbelastung erstellt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Die Modifikation des Materialmodells erwies sich als ungeeigneter Ansatz, was hauptsächlich daran lag, dass die Zuordnung von Eigenschaften zum Finite-Elemente-Netz problematisch ist. Es wurde festgestellt, dass ein vom Finite-Elemente-Netz unabhängiger Ansatz eine geeignetere Lösung darstellt. Für die bekannte Druckkegelgeometrie werden vollständig kohärente fiktive Druckstreben erstellt (Fig. 51 und Fig. 52). Diese Streben besitzen identische Materialeigenschaften wie der im Modell verwendete Beton, einschließlich des Spannung-Dehnungs-Diagramms. Die Form des Kegels bestimmt die Richtung der Streben, welche die Last schrittweise über die Teilflächenbelastung auf die bemessungsmäßige Verteilungsfläche verteilen. Die Flächendichte der fiktiven Streben ist an jedem Teil des Kegels variabel und fügt eine fiktive Betonfläche in Lastrichtung hinzu. Auf Höhe der belasteten Fläche (A_c1) wird gemäß dem Verhältnis $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  eine fiktive Betonfläche hinzugefügt (wobei A_real eine im 2D-Berechnungsmodell angenommene Fläche des Auflagers ist), und diese Fläche nimmt linear bis auf null in Richtung der bemessungsmäßigen Verteilungsfläche (A_c2) ab. Diese Lösung stellt sicher, dass die Druckspannung im Beton über das gesamte Kegelvolumen konstant ist.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Die Tragfähigkeit der Teilflächenbelastung wird entsprechend dem Verhältnis der bemessungsmäßigen Verteilungsfläche zur belasteten Fläche gemäß ACI 318-19 Kap. 22.8 erhöht.  Es sollte bedacht werden, dass es sich hierbei um ein Bemessungsmodell handelt, das den tatsächlichen Spannungszustand über eine Teilflächenbelastung, dessen realer Verlauf wesentlich komplexer ist, nicht exakt beschreiben kann. Diese Lösung ermöglicht jedoch die korrekte Lastverteilung im gesamten Modell unter Berücksichtigung der erhöhten Tragfähigkeit der Teilflächenbelastung. Darüber hinaus werden dadurch die transversalen Spannungen in diesem Bereich korrekt eingeführt, um die Bewehrung für Spaltkräfte richtig zu bemessen.

Die zulässige Auflagerspannung von 0,85f_c' ist in Tabelle 22.8.3.2 angegeben. Die Dichte ist so begrenzt, dass die in der Formel in Tabelle 22.8.3.2(b) angegebene maximale doppelte Tragfähigkeit nicht überschritten wird. 

Für die Verankerungsbereiche wird die Teilflächenbelastung in der Anwendung auf die gleiche Weise verwendet wie für Auflager. Aus diesem Grund müssen die in ACI 318-19 Kapitel 25.9 definierten lokalen Bereiche gemäß ACI 318-19 25.9.3 manuell überprüft werden. Die Teilflächenbelastung wird daher nur verwendet, um eine Überschreitung des Dehnungskriteriums im lokalen Bereich zu vermeiden und somit einen vorzeitigen Abbruch der Berechnung zu verhindern. Andererseits kann gemäß ACI 318-19, Abschn. 25.9.4.3.1 (b), die Bewehrung zur Aufnahme der Spalt- und Abplatzspannungen in der Ebene direkt und vorteilhaft in der Anwendung überprüft werden.

Gebrauchstauglichkeitsnachweise werden für die Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzwerte durchgeführt. Die Spannungen in Beton- und Bewehrungselementen werden gemäß ACI 318-19 auf ähnliche Weise überprüft, wie für die Tragfähigkeit angegeben.

Spannungsbegrenzung

Die zulässigen Betondruckspannungen unter Gebrauchslast sind für vorgespannte Bauteile der Klasse U und T nachzuweisen. Gemäß Tabelle R24.5.2.1 ist für Beton, der als gerissen angenommen wird, kein Nachweis der Spannungsbegrenzung erforderlich. Der Benutzer muss die Klasse des vorgespannten Bauteils in den Einstellungen des Bemessungsbauteils festlegen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}$$

Die zulässige Druckspannung für Bauteile unter vorübergehenden Lasten ist gemäß ACI 318-19 24.5.4.1 mit 0.6f_c' festgelegt. Der Druckspannungsgrenzwert von 0.45f_c' wurde festgelegt, um die Wahrscheinlichkeit eines Versagens vorgespannter Betonbauteile infolge wiederholter Lasten zu verringern. Dieser Grenzwert erschien auch angemessen, um übermäßige Kriechverformungen zu verhindern. Bei höheren Spannungswerten neigen die Kriechdehnungen dazu, mit zunehmender aufgebrachter Spannung schneller anzusteigen.

Die Betondruckspannung wird als Verhältnis zwischen der maximalen Hauptdruckspannung f_c = σ_c2 , die aus der FE-Analyse für die Gebrauchstauglichkeit ermittelt wird, und dem Grenzwert bewertet, der auf Grundlage von Tabelle 24.5.4.1 festgelegt wird.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

In der Anwendung wird Prestress plus sustained load als Langzeitkombination und Prestress plus total load als Kurzzeitkombination behandelt.

Durchbiegung

Je nach ausgewähltem Kombinationstyp (langfristig oder kurzfristig) wird entweder die langfristige oder die kurzfristige Durchbiegung ausgewertet. Der maximal zulässige Durchbiegungswert ist vom Benutzer festzulegen und gemäß ACI 138-19 24.2 zu berücksichtigen. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

In der Anwendung ist es möglich, die Durchbiegungen aus Eigenlast Δ_DL und Verkehrslast Δ_LL getrennt sowie die Gesamtdurchbiegung Δ_Tot (Eigenlast+Verkehrslast) anzuzeigen, während gleichzeitig die verformte Form dargestellt wird.

Durchbiegungen an abgeschnittenen Enden können nicht überprüft werden.

Rissbreite

Rissbreiten und Rissrichtungen werden für Kurzzeit- oder Langzeitkombinationen der Gebrauchstauglichkeit berechnet. Da ACI keine Grenzwerte für Rissbreiten direkt vorschreibt, muss der Benutzer eine Grenzrissbreite w_lim festlegen.

Die Nachweise werden wie folgt dargestellt:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

wobei:

w         die durch FE-Analyse berechnete Kurz- oder Langzeitrissbreite,

w_lim     der vom Benutzer definierte Grenzwert der Rissbreite.

Die in der Anwendung verwendete Methode zur Berechnung der Rissbreiten, die auch in diesem Dokument ausführlicher beschrieben ist, entspricht ACI 224R-01. Es ist daher möglich, ACI 224R-01 Tabelle 4.1 zu verwenden, um den Grenzwert der Rissbreiten zu bestimmen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}$$

Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung der Rissbreiten (stabilisierte und nicht stabilisierte Rissbildung). Im allgemeinen Fall (stabilisierte Rissbildung) wird die Rissbreite durch Integration der Dehnungen an 1D-Elementen der Bewehrungsstäbe berechnet. Die Rissrichtung wird anschließend aus den drei nächstgelegenen (vom Zentrum des jeweiligen 1D-Finite-Elements der Bewehrung aus betrachtet) Integrationspunkten der 2D-Betonelemente berechnet. Obwohl dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht der tatsächlichen Lage der Risse entspricht, liefert er dennoch repräsentative Werte, die zu Rissbreitenergebnissen führen, die mit den normativ geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

Beton – Festigkeit

Das für Festigkeitsberechnungen im CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den AASHTO-LRFD-Bemessungsannahmen für Gleichgewicht und Dehnungskompatibilität im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Gemäß AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.2.1 wird die Zugfestigkeit des Betons vernachlässigt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Die Implementierung des CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Bruchkriterium in Bezug auf Dehnungen für Beton unter Druck (d. h., nach Erreichen der Spitzenspannung wird ein plastischer Ast mit ε_c0 von maximal 5 % angenommen, während AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.2.1 eine Bruchdehnung von weniger als 0,3 % voraussetzt). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, das Verformungsvermögen von Strukturen zu überprüfen, die durch Druckversagen versagen. Die Festigkeit wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zum Faktor für gerissenen Beton (k_c2, definiert in (Fig. 57)) die mit steigender Betonfestigkeit zunehmende Sprödigkeit des Betons mittels des Abminderungsfaktors $\eta_{fc}$ berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

wobei:

α₁ der Abminderungsfaktor der Betondruckfestigkeit ist, definiert in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.2.2. Bei Verwendung eines Parabel-Rechteck-Spannungs-Dehnungs-Diagramms muss die maximale Druckspannung um diesen Faktor reduziert werden. Dies mittelt die Spannungsverteilung in der Druckzone so, dass die resultierende Druckfestigkeit kleiner oder gleich der Druckfestigkeit ist, die anhand eines Spannungs-Dehnungs-Diagramms mit abfallendem plastischem Ast berechnet wird.

Φ_c ist der Widerstandsbeiwert für Beton. Der Standardwert wird gemäß AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.5.4.2 festgelegt.

k_c2 ist der Abminderungsfaktor infolge des Vorhandenseins von Querrissen.

f'_c ist die Zylinderdruckfestigkeit des Betons (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 ist ein Abminderungsfaktor, der auf denselben Annahmen basiert wie der Betonwirksamkeitsfaktor ν, angegeben in AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a und Tabelle 5.8.2.5.3a-1, mit dem Unterschied, dass im CSFM das Vorhandensein einer Hauptzugspannung senkrecht zur Hauptdruckspannung für jedes finite Element geprüft wird (nicht nur für Knoten des Modells Strebe und Zugband).

Beton – Gebrauchstauglichkeit

Die Analyse der Gebrauchstauglichkeit enthält bestimmte Vereinfachungen der Stoffgesetze, die für die Festigkeitsanalyse verwendet werden. Der plastische Ast der Spannungs-Dehnungs-Kurve des Betons unter Druck wird nicht berücksichtigt, während der elastische Ast linear und unbegrenzt ist. Das Druckerweichungsgesetz wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen erhöhen die numerische Stabilität und Berechnungsgeschwindigkeit und schränken die Allgemeingültigkeit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit deutlich unter ihren Fließgrenzen liegen (im Einklang mit dem AASHTO-LRFD-Ansatz für den Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Langzeiteffekte

Das Langzeit-Stoffgesetz (die rote Kurve in Fig. 59) wird für die Berechnung der Rissbreite, der Gesamtdurchbiegung und der Spannungsbegrenzung von vorgespannten Bauteilen verwendet, wenn der Langzeiteffekt im oberen Ribbon ausgewählt wird. In der Anwendung IDEA StatiCa Detail wird für die Überprüfung der Langzeiteffekte der effektive Elastizitätsmodul verwendet, wie in AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1 erwähnt.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

wobei:
E_c der in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.4.2.4 definierte Elastizitätsmodul ist
ψ der in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.4.2.3.2 definierte Kriechbeiwert ist

Die Kriechbeiwerte werden vom Benutzer in den Materialeigenschaften definiert.

Kurzzeiteffekte

Für Kurzzeitnachweise wird eine weitere Berechnung durchgeführt, bei der alle Lasten ohne Kriechbeiwert berechnet werden. Beide Berechnungen für Lang- und Kurzzeitnachweise sind in Fig. 59 dargestellt.

Bewehrung

Für die nicht vorgespannte Bewehrung wird ein ideal elastisch-plastisches Spannungs-Dehnungs-Diagramm mit definierter Fließgrenze angenommen, siehe AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.4.3. Die Definition dieses Diagramms erfordert nur die Kenntnis der grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung – Festigkeit und Elastizitätsmodul.

Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Bewehrung kann auch vom Benutzer definiert werden, in diesem Fall ist es jedoch nicht möglich, den Zugverfestigungseffekt anzunehmen (die Berechnung der Rissbreite ist nicht möglich). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

wobei:

Φ_s der Widerstandsbeiwert für Bewehrung ist. Der Standardwert wird gemäß AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.5.4.2 festgelegt.

f_y ist die Streckgrenze der Bewehrung

E_s Elastizitätsmodul der Bewehrung

Als Grenzdehnung, bei der die Berechnung abgebrochen wird, werden 10 % gewählt. Dies gilt basierend auf ASTM A955/A955M-20c Artikel 7 als sicher.

Die Zugverfestigung (Fig. 61)  wird automatisch berücksichtigt, indem die eingegebene Spannungs-Dehnungs-Beziehung des nackten Bewehrungsstabs so modifiziert wird, dass die durchschnittliche Steifigkeit der in den Beton eingebetteten Stäbe erfasst wird (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Die Compatible Stress Field Method entspricht modernen Bemessungsnormen. Da die Berechnungsmodelle nur Standard-Materialeigenschaften verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Format der Teilsicherheitsbeiwerte ohne Anpassung angewendet werden. Auf diese Weise werden die einwirkenden Lasten faktorisiert und die charakteristischen Materialeigenschaften mithilfe der jeweiligen Widerstandsfaktoren reduziert, genau wie bei der konventionellen Betonanalyse.

Werte für Widerstandsfaktoren sind in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.5.4 vorgeschrieben. Die Standardwerte für Beton und Bewehrung wurden konservativ gewählt, basierend auf der Annahme, dass das typische gelöste Beispiel ein D-Bereich ist – ein typischer Fall für die Strebe-und-Zugband-Methode. Es ist jedoch möglich, jeden Bauteiltyp zu modellieren. Wenn daher ein druck- oder zugbeanspruchtes Bauteil bewertet wird, hat der Benutzer die Möglichkeit, den Wert des Festigkeitsreduktionsfaktors in den Einstellungen zu ändern.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Lastfaktoren und Lastkombinationen sind gemäß AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Artikel 3.4.1 und Tabellen 3.4.1-1 bis 3.4.1-6 zu definieren. AASHTO LRFD legt ausdrücklich die Lastkombinationen für den Grenzzustand der Tragfähigkeit (Strength I bis Strength V) sowie die Lastkombinationen auf Gebrauchslastniveau (Service I bis Service IV) fest, einschließlich der entsprechenden Lastfaktoren für jeden Fall.

Für jede Vorlage enthält das Programm vordefinierte Basiskombinationen, die je nach bearbeitetem Bauteil vervollständigt werden müssen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Die verschiedenen von AASHTO geforderten Nachweise werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Die Nachweise erfolgen für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen).

Die Betonfestigkeit unter Druck wird als Verhältnis zwischen der maximalen Hauptdruckspannung f_c (auch σ₂ in den Hilfsergebnissen) aus der FE-Analyse und dem Grenzwert f'_c,lim bewertet.

Die Festigkeit der Bewehrung wird sowohl auf Zug als auch auf Druck als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen f_s und dem festgelegten Grenzwert f_y,lim bewertet.

Die Verbundschubspannung wird unabhängig als Verhältnis zwischen der durch die FE-Analyse berechneten Verbundspannung τ_b und der Verbundfestigkeit f_bu bewertet.

Da die Verbundfestigkeit in AASHTO jedoch nicht explizit definiert ist, muss ihr Wert mithilfe der Gleichungen bestimmt werden, die die Verankerungslänge definieren. Die Verbundfestigkeit ist tatsächlich der primäre Eingabewert zur Bestimmung der Verankerungslänge; siehe zum Beispiel diesen Artikel AASHTO LRFD (2024) Article C5.10.8.2 oder NCHRP Report 733, Attachment E Seite E-9.

Die in AASHTO LRFD (2024) Article 5.10.8.2.1 und 5.10.8.2.2 beschriebene Berechnung, die Kenntnisse über den maximalen Achsabstand der Querbewehrung innerhalb von l_d, die Anzahl der entlang der Spaltebene entwickelten Stäbe oder Drähte, die Gesamtquerschnittsfläche der gesamten Querbewehrung sowie weitere geometrische Größen erfordert, die im Modell der Detail-Anwendung für allgemeine Eingaben nicht zuverlässig bestimmt werden können, wurde durch einen Ansatz aus AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 wie folgt ersetzt:

Nehmen wir an, dass, wenn wir den Bewehrungsstab in einem Betonblock über die Verankerungslänge l_d oder mehr verankern, das Herausziehen der Bewehrung zu einem Bruch der Bewehrung führt und nicht zum Herausziehen aus dem Beton. Dies lässt sich mit folgender Formel schreiben.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

wobei:

• d_b der Durchmesser des Bewehrungsstabs ist
• l_d die Verankerungslänge ist
• f_bu die Verbundfestigkeit ist
• f_y die Streckgrenze der Bewehrung ist
• A_b die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs ist

Aus dem Vorstehenden lässt sich die Formel zur Berechnung der Verbundfestigkeit leicht ableiten.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Die grundlegende Zugverankerungslänge l_db wird in AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 wie folgt bestimmt:

Für Stäbe Nr. 11 und kleiner:   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Für Stäbe Nr. 14:   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Für Stäbe Nr. 18:   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

wobei:

• A_b die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs ist (in²)
• f_y die angegebene Streckgrenze der Bewehrung ist (ksi)
• f'_c die angegebene Druckfestigkeit des Betons nach 28 Tagen ist, sofern kein anderes Alter angegeben ist (ksi)
• d_b der Durchmesser des Bewehrungsstabs ist (in)

Anschließend wird durch Multiplikation der grundlegenden Verankerungslänge l_db mit Faktoren, die in AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.2 und 5.11.2.1.3 beschrieben sind, die Verankerungslänge l_d als Eingabewert bestimmt.

Modifikationsfaktoren, die die Verankerungslänge gemäß 5.11.2.1.3 verringern, sind in der Anwendung immer gleich 1,0. Der Modifikationsfaktor für obere horizontale oder nahezu horizontale Bewehrung beträgt 1,4 für „schlechte“ Verbundbedingungen, gemäß der folgenden Abbildung:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

Die Betonierrichtung kann in der Anwendung festgelegt werden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}$$

Alle anderen in 5.11.2.1.2 bestimmten Faktoren sind gleich 1,0, da nur Normalbeton unterstützt wird und nur unbeschichtete Bewehrung unterstützt wird.

Die Verbundschubspannung und die Verbundfestigkeit von Stäben unter Druck werden analog zu Stäben unter Zug berechnet, jedoch werden Gleichungen aus AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.2 verwendet.

Es besteht auch die Möglichkeit, glatte Bewehrungsstäbe zu modellieren. Weitere Informationen finden Sie hier: Smooth rebars in Detail

Gesamtkraft F_tot und Grenzkraft F_lim

Die Gesamtkraft F_tot ist ein Ergebnis der Finite-Elemente-Analyse und kann auf zwei Arten definiert werden.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

wobei A_b die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs und f_s die Spannung im Stab ist.

Oder als Summe der Verankerungskraft F_a und der Verbundkraft F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

wobei F_a die tatsächliche Kraft in der Verankerungsfeder ist und F_bond die Verbundkraft ist, die durch Integration der Verbundspannung τ_b entlang der Länge des Bewehrungsstabs l erhalten werden kann.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s ist der Umfang des Bewehrungsstabs.

Die Grenzkraft F_lim ist die maximale Kraft im Element des Bewehrungsstabs unter Berücksichtigung der Festigkeit des Stabs sowie der Verankerungsbedingungen (Verbund zwischen Beton und Bewehrung sowie Verankerungshaken, Schlaufen usw.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

wobei C_s der Umfang des Bewehrungsstabs ist und l die Länge vom Anfang des Stabs bis zum betrachteten Punkt ist.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

wobei F_lim,add die zusätzliche Kraft ist, die aus der Größe des Winkels zwischen benachbarten Elementen berechnet wird. F_lim,2 muss stets kleiner sein als F_u.

Die verfügbaren Verankerungstypen in CSFM umfassen einen geraden Stab (d. h. keine Reduzierung des Verankerungsendes), einen 90-Grad-Haken, einen 180-Grad-Haken, perfekten Verbund und einen durchgehenden Stab. Alle diese Typen sind zusammen mit den jeweiligen Verankerungskoeffizienten β in Fig. 67 für Längsbewehrung dargestellt. Die Werte der verwendeten Verankerungskoeffizienten wurden aus dem Vergleich der Gleichung aus Abschnitt AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1 und der Gleichungen aus Abschnitt AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1 abgeleitet. Es ist zu beachten, dass CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Reduzierung der Verankerungslänge, (ii) eine Reduzierung der Verankerungslänge um 30 % bei normierter Verankerung und (iii) perfekter Verbund.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Der Verankerungskoeffizient für Bügel (verfügbar für das Beam-Element) beträgt immer β = 1,0.

Um AASHTO zu entsprechen, sollte die Verankerungsfeder in der Berechnung verwendet werden. Die Verankerungsfeder wird durch den β-Koeffizienten modifiziert, sodass der Benutzer bei der Definition der Start- und Endbedingungen der Bewehrung einen der verfügbaren Verankerungstypen verwenden muss. 

Beim Entwurf von Betonstrukturen begegnen wir zwei großen Gruppen von Teilflächenbelastungen (PLA) – die erste umfasst Auflager, während die andere aus Verankerungsbereichen besteht. 

Gemäß den derzeit gültigen Normen für die Bemessung von Stahlbetonstruktur sollten für Auflager die lokale Betonzerdrückung und Querzugkräfte berücksichtigt werden. Bei einer gleichmäßig verteilten Last auf einer Fläche A₁ kann die Druckfestigkeit des Betons je nach der bemessungsrelevanten Ausbreitungsfläche A₂ um bis zu das Doppelte erhöht werden. Siehe AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.5.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Partially loaded areas for bearings according to AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.5}}}$$

Für nachgespannte Verankerungsbereiche ist AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.8.4.4 zu befolgen.

Die Teilflächenbelastung muss ausreichend mit Querbewehrung bewehrt werden, die zur Übertragung der in diesem Bereich auftretenden Spaltkräfte bemessen ist. Ohne die erforderliche Querbewehrung ist es nicht möglich, eine Erhöhung der Druckfestigkeit des Betons zu berücksichtigen.

Teilflächenbelastungen im CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 69\qquad Fictitious struts with concrete finite element mesh.}}}$$

Mit dem CSFM ist es möglich, Stahlbetonstruktur zu bemessen und zu bewerten, wobei der Einfluss der erhöhten Druckfestigkeit des Betons in Teilflächenbelastungsbereichen berücksichtigt wird. Da das CSFM ein Scheiben-(2D)-Modell ist und Teilflächenbelastungen eine räumliche (3D) Aufgabenstellung darstellen, war es notwendig, eine Lösung zu finden, die diese beiden unterschiedlichen Aufgabentypen kombiniert (Fig. 69). Wenn die Funktion „Teilflächenbelastungen“ aktiviert ist, wird die zulässige Kegelgeometrie gemäß ACI erstellt (Fig. 68). Alle geometrischen Kollisionen werden vollständig in 3D für die angegebene Geometrie des Betonbauteils und die Abmessungen jeder PLA gelöst. Anschließend wird ein Berechnungsmodell der Teilflächenbelastung erstellt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 70\qquad Allowable cone geometries.}}}$$

Die Modifikation des Materialmodells erwies sich als ungeeigneter Ansatz, hauptsächlich weil die Zuordnung von Eigenschaften zum Finite-Elemente-Netz problematisch ist. Es wurde festgestellt, dass ein vom Finite-Elemente-Netz unabhängiger Ansatz eine geeignetere Lösung darstellt. Für die bekannte Druckkegelgeometrie werden vollständig kohärente fiktive Druckstreben erstellt (Fig. 70 und Fig. 71). Diese Druckstreben besitzen dieselben Materialeigenschaften wie der im Modell verwendete Beton, einschließlich des Spannung-Dehnung-Diagramms. Die Form des Kegels bestimmt die Richtung der Druckstreben, die die Last schrittweise über die PLA auf die bemessungsrelevante Ausbreitungsfläche verteilen. Die Flächendichte der fiktiven Druckstreben ist an jeder Stelle des Kegels variabel und fügt eine fiktive Betonfläche in Lastrichtung hinzu. Auf Höhe der belasteten Fläche (A₁) wird eine fiktive Betonfläche gemäß dem Verhältnis $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} - A_{real}$  hinzugefügt (wobei A_real eine im 2D-Berechnungsmodell angenommene Auflagerfläche ist), und diese Fläche nimmt zur bemessungsrelevanten Ausbreitungsfläche (A₂) hin linear auf null ab. Diese Lösung stellt sicher, dass die Druckspannung im Beton über das gesamte Kegelvolumen konstant ist.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{2}}{A_{1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 71\qquad Fictitious struts in the computational model}}}$$

Der Widerstand der Teilflächenbelastung wird gemäß dem Verhältnis der bemessungsrelevanten Ausbreitungsfläche zur belasteten Fläche erhöht, wie in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.5 festgelegt.  Es sollte bedacht werden, dass es sich um ein Bemessungsmodell handelt, das den tatsächlichen Spannungszustand über eine Teilflächenbelastung, dessen tatsächlicher Verlauf wesentlich komplizierter ist, nicht exakt beschreiben kann. Diese Lösung ermöglicht jedoch die korrekte Lastverteilung auf das gesamte Modell unter Berücksichtigung der erhöhten Tragfähigkeit der Teilflächenbelastung. Darüber hinaus werden dadurch korrekt die Querspannungen in diesem Bereich eingeführt, um die Bewehrung für Spaltkräfte richtig zu bemessen.

Die zulässige Auflagerspannung von 0.85f_c' ist in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.8.4.4 aufgeführt. Die Dichte wird so begrenzt, dass die in Formel 5.6.5-3 angegebene maximale doppelte Tragfähigkeit nicht überschritten wird.  

Für die Verankerungsbereiche wird die PLA in der Anwendung auf die gleiche Weise verwendet wie bei Auflagern. Deshalb müssen die in Artikel 5.8.4.4 und 5.8.4.5 definierten Druckspannungen in lokalen und globalen Bereichen manuell überprüft werden. Die PLA wird daher nur verwendet, um eine Überschreitung des Dehnungskriteriums im lokalen Bereich zu vermeiden und damit einen vorzeitigen Abbruch der Berechnung zu verhindern. Andererseits kann die Bewehrung, die den Berst-, Abplatz- und in der Ebene wirkenden Randzugspannungen in allgemeinen Bereichen (definiert in Artikel 5.8.4.5) widersteht, direkt und vorteilhaft in der Anwendung nachgewiesen werden.

Bewertungen der Gebrauchstauglichkeit werden für die Spannungsbegrenzung, Rissbreite und Durchbiegungsgrenzwerte durchgeführt. Die Spannungen in Beton- und Bewehrungselementen werden gemäß AASHTO LRFD auf ähnliche Weise überprüft wie für die Tragfähigkeit angegeben.

Spannungsbegrenzung

Die Betondruckspannung wird nur für vorgespannte Bauteile ausgewertet (wenn der Lastfall Vorspannung im Modell vorhanden ist), als Verhältnis zwischen der maximalen Hauptdruckspannung f_c = σ_c2 , die aus der FE-Analyse für die Gebrauchstauglichkeit ermittelt wird, und den Grenzwerten, die auf Grundlage der AASHTO LRFD Tabelle 5.9.2.3.2a-1 festgelegt sind.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 72\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

In der Anwendung wird Vorspannung plus ständige Last als Dauerlast behandelt und Vorspannung, ständige und veränderliche Last als Gesamtlast.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 73\qquad Serviceability combination types}}}$$

Darüber hinaus ist es stets möglich, eine Analyse sowohl für Kurzzeit- als auch für Langzeiteffekte durchzuführen, unter Verwendung von Materialmodellen, die den Kriechbeiwert entweder berücksichtigen oder nicht – siehe den Abschnitt „Materialmodelle (AASHTO)“.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 74\qquad Serviceability material models}}}$$

Durchbiegung

Für jede Kombination, bei der die Durchbiegungsauswertung aktiviert ist, werden die momentane Durchbiegung und die Gesamtdurchbiegung ausgewertet. 

• Für die momentane Durchbiegung wird der Elastizitätsmodul E_c gemäß AASHTO LRFD (2024) Abschnitt 5.4.2.4 verwendet. 
• Für die Gesamtdurchbiegung wird der effektive Elastizitätsmodul E_c,eff gemäß AASHTO LRFD (2024) Abschnitt C5.12.5.3.6 verwendet. 

Siehe das Kapitel „Materialmodelle (AASHTO) – Beton – Gebrauchstauglichkeit“ in diesem Dokument.

Die Durchbiegungsprüfung selbst wird im oberen Menüband aktiviert. Der Benutzer legt die Durchbiegungsgrenzwerte gemäß AASHTO LRFD (2024) Abschnitt 2.5.2.6.2 fest, abhängig von der Art des analysierten Elements.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 75\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

Durchbiegungen an abgeschnittenen Enden können nicht überprüft werden.

Rissbreite

Rissbreiten und -orientierungen werden nur für Langzeiteffekte berechnet (unter Verwendung von E_c,eff gemäß AASHTO LRFD (2024) Abschnitt C5.12.5.3.6) für Kombinationen, bei denen die Rissbreitenauswertung aktiviert ist. Die Nachweise basierend auf benutzerdefinierten Grenzwerten lauten wie folgt:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

wobei:

w         durch FE-Analyse berechnete Rissbreite,

w_lim     vom Benutzer definierter Grenzwert der Rissbreite.

Der Grenzwert w_lim ist basierend auf dem Bauteiltyp und der Expositionsklasse gemäß AASHTO LRFD (2024) Abschnitt 5.6.7 und dessen Kommentar zu bestimmen. 

Es gibt zwei Möglichkeiten zur Berechnung der Rissbreiten (stabilisierte und nicht-stabilisierte Rissbildung). Im allgemeinen Fall (stabilisierte Rissbildung) wird die Rissbreite durch Integration der Dehnungen an 1D-Elementen der Bewehrungsstäbe berechnet. Die Rissrichtung wird dann aus den drei nächstgelegenen (vom Mittelpunkt des jeweiligen 1D-Finite-Elements der Bewehrung aus) Integrationspunkten der 2D-Betonelemente berechnet. Obwohl dieser Ansatz zur Berechnung der Rissrichtungen nicht der tatsächlichen Lage der Risse entspricht, liefert er dennoch repräsentative Werte, die zu Rissbreitenergebnissen führen, die mit den normativ geforderten Rissbreitenwerten an der Position des Bewehrungsstabs verglichen werden können.

Beton - Festigkeit

Das für Festigkeitsberechnungen im CSFM implementierte Betonmodell basiert auf der parabolisch-plastischen Spannungs-Dehnungs-Kurve. Die Zugfestigkeit wird vernachlässigt, wie es auch bei der klassischen Stahlbetonbemessung üblich ist.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 76\qquad Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm von Beton für die Festigkeitsanalyse}}}$$

Die Implementierung des CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium hinsichtlich der Dehnungen für Beton unter Druck (d. h. nach Erreichen der Höchstspannung wird ein plastischer Ast mit ε_c0 in einem Maximalwert von 5 % angenommen, während AS 3600 Cl. 8.3.1 eine Grenzdehnung von weniger als 0,3 % voraussetzt). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, die Verformungsfähigkeit von druckversagenden Strukturen zu überprüfen. Die Festigkeit wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn zusätzlich zum Faktor des gerissenen Betons (k_c2, definiert in (Fig. 77)) die mit steigender Betonfestigkeit zunehmende Sprödigkeit des Betons mittels des Abminderungsfaktors $\eta_{fc}$ berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s}\cdot \beta \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

wobei:

α₂ der Abminderungsfaktor der Betondruckfestigkeit ist, der in AS 3600 Cl. 8.3.1 definiert ist.
Bei Verwendung eines Parabel-Rechteck-Spannungs-Dehnungs-Diagramms ist es erforderlich, die maximale Druckspannung mit diesem Faktor abzumindern. Dies mittelt die Spannungsverteilung in der Druckzone so, dass die resultierende Druckfestigkeit kleiner oder gleich der Druckfestigkeit ist, die mit einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm mit abfallendem plastischem Ast berechnet wird. Ein analoger Ansatz ist für den rechteckigen Spannungsblock in Kapitel 8.1.3 definiert.

Φ_s ist der Spannungsabminderungsfaktor für Beton. Der Standardwert wird gemäß AS 3600 Tabelle 2.2.3 festgelegt.

β ist der Abminderungsfaktor infolge des Vorhandenseins von Querrissen (in diesem Text auch als k_c2 bezeichnet)

f'_c ist die Zylinderdruckfestigkeit des Betons (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 77\qquad Das Gesetz der Druckerweichung.}}}$$

β ist ein Abminderungsfaktor, der auf denselben Prinzipien basiert wie der in Kapitel 2.2.3 definierte Faktor der effektiven Druckfestigkeit. Die Literatur, anhand derer dieser Faktor bestimmt wurde (einschließlich des Kontexts der Norm AS3600), findet sich in AS3600:2018 Sup 1:2022 CL. C2.2.3.

Beton – Gebrauchstauglichkeit

Die Gebrauchstauglichkeitsanalyse enthält bestimmte Vereinfachungen der Stoffgesetze, die für die Festigkeitsanalyse verwendet werden. Der plastische Ast der Spannungs-Dehnungs-Kurve von Beton unter Druck wird vernachlässigt, während der elastische Ast linear und unbegrenzt ist. Das Gesetz der Druckerweichung wird nicht berücksichtigt. Diese Vereinfachungen verbessern die numerische Stabilität und die Berechnungsgeschwindigkeit und schränken die Allgemeingültigkeit der Lösung nicht ein, solange die resultierenden Materialspannungsgrenzen bei Gebrauchstauglichkeit deutlich unter ihren Fließpunkten liegen (wie von AS3600 gefordert). Daher sind die für die Gebrauchstauglichkeit verwendeten vereinfachten Modelle nur gültig, wenn alle Nachweisanforderungen erfüllt sind.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 78\qquad Spannungs-Dehnungs-Diagramme von Beton für die Gebrauchstauglichkeitsanalyse: Kurz- und Langzeitnachweise.}}}$$