2.5 Tipos de elementos finitos

O modelo de análise por elementos finitos não linear (inelástico) é criado por vários tipos de elementos finitos utilizados para modelar o betão, a armadura e a aderência entre eles. Os elementos de betão e de armadura são inicialmente discretizados de forma independente e depois ligados entre si através de restrições multiponto (elementos MPC). Isto permite que a armadura ocupe uma posição relativa arbitrária em relação ao betão. Se se pretender calcular a verificação do comprimento de ancoragem, são inseridos elementos de mola de aderência e de extremidade de ancoragem entre a armadura e os elementos MPC.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Betão

O betão é modelado utilizando elementos de casca quadrilaterais e triangulares, CQUAD4 e CTRIA3. Estes podem ser definidos, respetivamente, por quatro ou três nós. Assume-se que existe apenas estado plano de tensão nestes elementos, ou seja, as tensões ou deformações na direção z não são consideradas.

Cada elemento tem quatro ou três pontos de integração, localizados a aproximadamente 1/4 da sua dimensão. Em cada ponto de integração de cada elemento, são calculadas as direções das deformações principais α₁, α₂. Em ambas as direções, as tensões principais σ_c1, σ_c2 e as rigidezes E₁, E₂ são avaliadas de acordo com o diagrama tensão-deformação do betão especificado, conforme a Fig. 2. É de notar que o efeito do amolecimento à compressão associa o comportamento da direção de compressão principal ao estado real da outra direção principal.

Armadura

Os varões são modelados por elementos "rod" 1D de dois nós (CROD), que apenas possuem rigidez axial. Estes elementos estão ligados a elementos especiais de "aderência" desenvolvidos para modelar o comportamento de escorregamento entre um varão de armadura e o betão envolvente. Estes elementos de aderência são, por sua vez, ligados por elementos MPC (restrição multiponto) à malha que representa o betão. Esta abordagem permite a discretização independente da armadura e do betão, garantindo posteriormente a sua interligação.

Elementos de aderência

O comprimento de ancoragem é verificado através da implementação das tensões de corte de aderência entre os elementos de betão (2D) e os elementos de varões de armadura (1D) no modelo de elementos finitos. Para este efeito, foi desenvolvido um tipo de elemento finito de "aderência".

A definição do elemento de aderência é semelhante à de um elemento de casca (CQUAD4). É também definido por 4 nós, mas, ao contrário de uma casca, possui apenas rigidez ao corte não nula entre os dois nós superiores e os dois nós inferiores. No modelo, os nós superiores estão ligados aos elementos que representam a armadura e os nós inferiores aos que representam o betão. O comportamento deste elemento é descrito pela tensão de aderência, τ_b, como uma função bilinear do escorregamento entre os nós superiores e inferiores, δ_u, ver Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

O módulo de rigidez elástica da relação aderência-escorregamento, G_b, é definido da seguinte forma:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

onde:

k_g            coeficiente dependente da superfície do varão de armadura (por defeito, k_g = 0,2)

E_c            módulo de elasticidade do betão (considerado como E_cm no caso do EN)

Ø             o diâmetro do varão de armadura

Os valores de cálculo (valores fatorizados) da tensão de corte de aderência última, f_bd, fornecidos nos respetivos códigos de projeto selecionados, EN 1992-1-1 ou ACI 318-19, são utilizados para verificar o comprimento de ancoragem. O endurecimento do ramo plástico é calculado por defeito como G_b/10⁵.

Mola de ancoragem

A previsão de extremidades de ancoragem nos varões de armadura (ou seja, dobras, ganchos, laços...), que cumpre as prescrições dos códigos de projeto, permite a redução do comprimento de ancoragem básico dos varões (l_b,net) por um determinado fator β (referido abaixo como "coeficiente de ancoragem"). O valor de cálculo do comprimento de ancoragem (l_b) é então calculado da seguinte forma:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

A redução pretendida em l_b,net equivale à ativação do varão de armadura na sua extremidade a uma percentagem da sua capacidade máxima, dada pelo coeficiente de redução de ancoragem, como se mostra na Fig. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

A redução do comprimento de ancoragem é incluída no modelo de elementos finitos através de um elemento de mola na extremidade do varão (Fig. 15), definido pelo modelo constitutivo apresentado na Fig. 15b. A força máxima transmitida por esta mola (F_au) é:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

onde:

β             o coeficiente de ancoragem com base no tipo de ancoragem,

A_s            a secção transversal do varão de armadura,

f_yd           o valor de cálculo (valor fatorizado) da tensão de cedência da armadura.