Het ontwerp en de beoordeling van betonelementen worden normaal gesproken uitgevoerd op doorsnede- (1D-element) of puntniveau (2D-element). Deze procedure wordt beschreven in alle normen voor constructief ontwerp, bijvoorbeeld in (EN 1992-1-1 of ACI 318-19), en wordt gebruikt in de dagelijkse constructieve praktijk. Het is echter niet altijd bekend of wordt niet altijd gerespecteerd dat deze procedure alleen toelaatbaar is in gebieden waar de Bernoulli-Navier-hypothese van vlakke rekverdeling van toepassing is (aangeduid als B-gebieden). De plaatsen waar deze hypothese niet van toepassing is, worden discontinuïteits- of verstoorde gebieden genoemd (D-gebieden). Voorbeelden van B- en D-gebieden van 1D-elementen zijn weergegeven in (Fig. 1). Dit zijn bijvoorbeeld opleggingen, delen waar geconcentreerde belastingen worden aangebracht, locaties waar een abrupte verandering van de doorsnede optreedt, openingen, enz. Bij het ontwerpen van betonconstructies komen we veel andere D-gebieden tegen, zoals wanden, brugdiafragma's, consoles, enz. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Discontinuïteitsgebieden (Navrátil et al. 2017)}}}$$

In het verleden werden semi-empirische ontwerpregels gebruikt voor het dimensioneren van discontinuïteitsgebieden. Gelukkig zijn deze regels de afgelopen decennia grotendeels vervangen door staafwerkmodellen (Schlaich et al., 1987) en spanningsvelden (Marti 1985), die zijn opgenomen in de huidige ontwerpnormen en tegenwoordig vaak door ontwerpers worden gebruikt. Deze modellen zijn mechanisch consistente en krachtige hulpmiddelen. Merk op dat spanningsvelden in het algemeen continu of discontinu kunnen zijn en dat staafwerkmodellen een speciaal geval van discontinue spanningsvelden zijn.

Ondanks de evolutie van rekentools in de afgelopen decennia, worden staafwerkmodellen in essentie nog steeds als handberekening toegepast. De toepassing ervan op praktijkconstructies is omslachtig en tijdrovend, omdat iteraties nodig zijn en meerdere belastingsgevallen in beschouwing moeten worden genomen. Bovendien is deze methode niet geschikt voor het toetsen van bruikbaarheidscriteria (vervormingen, scheurwijdten, enz.).

De interesse van constructeurs in een betrouwbaar en snel hulpmiddel om D-gebieden te ontwerpen, leidde tot de beslissing om de nieuwe Compatible Stress Field Method te ontwikkelen, een methode voor computerondersteund ontwerp met spanningsvelden die het automatisch ontwerpen en toetsen van constructieve betonelementen onderworpen aan belasting in het vlak mogelijk maakt.

De Compatible Stress Field Method (CSFM) is een continue, op EEM gebaseerde spanningsveldanalysemethode waarin klassieke spanningsveldoplossingen worden aangevuld met kinematische overwegingen, d.w.z. de rektoestand wordt door de gehele constructie heen geëvalueerd. Hierdoor kan de effectieve druksterkte van beton automatisch worden berekend op basis van de toestand van dwarsrek, op een vergelijkbare manier als bij drukveldanalyses die rekening houden met compression softening (Vecchio and Collins 1986; Kaufmann and Marti 1998) en de EPSF-methode (Fernández Ruiz and Muttoni 2007). Bovendien houdt de CSFM rekening met tension stiffening, wat realistische stijfheden aan de elementen geeft, en dekt de methode alle voorschriften van de ontwerpnormen (inclusief aspecten van bruikbaarheid en vervormingscapaciteit) die door eerdere benaderingen niet consequent werden behandeld. De CSFM gebruikt de gangbare eenassige constitutieve wetten die door ontwerpnormen voor beton en wapening worden voorgeschreven. Deze zijn bekend in de ontwerpfase, wat het mogelijk maakt de partiële veiligheidsfactormethode toe te passen. Hierdoor hoeven ontwerpers geen aanvullende, vaak willekeurige materiaaleigenschappen op te geven, zoals doorgaans vereist is bij niet-lineaire EEM-analyses, waardoor de methode uitstekend geschikt is voor de ingenieurspraktijk.

Om het gebruik van computerondersteunde spanningsvelden door constructeurs te bevorderen, moeten deze methoden worden geïmplementeerd in gebruiksvriendelijke softwareomgevingen. Hiertoe is de CSFM geïmplementeerd in IDEA StatiCa Detail; een nieuwe gebruiksvriendelijke commerciële software die gezamenlijk is ontwikkeld door ETH Zürich en het softwarebedrijf IDEA StatiCa in het kader van het DR-Design Eurostars-10571-project.

CSFM houdt rekening met de maximale hoofdspanning in beton bij druk (σ_c2r) en wapeningsspanningen (σ_sr) ter plaatse van de scheuren, waarbij de treksterkte van het beton wordt verwaarloosd (σ_c1r = 0), behalve voor het stiffening effect op de wapening. Door rekening te houden met tension stiffening kunnen de gemiddelde rekken van de wapening (ε_m) worden gesimuleerd. Er wordt uitgegaan van fictieve, roterende, spanningsvrije scheuren die zonder slip openen (Fig. 2a), en er wordt ook rekening gehouden met het evenwicht ter plaatse van de scheuren samen met de gemiddelde rekken van de wapening. 

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Basic assumptions of the CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses with consideration of compression softening;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) stress-strain diagram of reinforcement in terms of stresses at cracks and average strains; (e) compression softening}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{law; (f) bond shear stress-slip relationship for anchorage length verifications.}}}$

Ondanks hun eenvoud is aangetoond dat vergelijkbare aannames nauwkeurige voorspellingen opleveren voor gewapende staven onderworpen aan belasting in het vlak (Kaufmann 1998; Kaufmann en Marti 1998), mits de aanwezige wapening bros bezwijken bij scheurvorming voorkomt. Bovendien is het niet in rekening brengen van enige bijdrage van de treksterkte van beton aan de uiterste belasting consistent met de principes van moderne ontwerpnormen, die grotendeels gebaseerd zijn op de plasticiteitstheorie.

Echter, de CSFM is niet geschikt voor slanke elementen zonder dwarswapening, aangezien relevante mechanismen voor dergelijke elementen, zoals korrelinterlock, resterende trekspanningen aan de scheurtip en deuvelwerking – die allemaal direct of indirect afhankelijk zijn van de treksterkte van het beton – buiten beschouwing worden gelaten. Hoewel sommige ontwerpnormen het ontwerp van dergelijke elementen op basis van semi-empirische bepalingen toestaan, is de CSFM niet bedoeld voor dit type potentieel bros construeren.

Beton

Het betonmodel dat in de CSFM is geïmplementeerd, is gebaseerd op de uniaxiale drukconstitutieve wetten die door ontwerpnormen worden voorgeschreven voor het ontwerp van dwarsdoorsneden, die alleen afhankelijk zijn van de drukvastheid. Het parabool-rechthoekdiagram (Fig. 2c) wordt standaard gebruikt in de CSFM, maar ontwerpers kunnen ook kiezen voor een meer vereenvoudigde elastisch-ideaal-plastische relatie. Bij toetsing volgens de ACI-norm is het alleen mogelijk om het parabool-rechthoek spanning-rek diagram te gebruiken. Zoals eerder vermeld, wordt de treksterkte verwaarloosd, zoals ook gebruikelijk is bij klassiek gewapend betonontwerp.

De effectieve drukvastheid wordt automatisch bepaald voor gescheurd beton op basis van de hoofdtrekrek (ε₁) met behulp van de reductiefactor k_c2, zoals weergegeven in Fig. 2c en e. De geïmplementeerde reductierelatie (Fig. 2e) is een generalisatie van het voorstel van de fib Model Code 2010 voor afschuivingstoetsingen, dat een grenswaarde van 0,65 bevat voor de maximale verhouding tussen de effectieve betonsterkte en de drukvastheid van het beton, wat niet van toepassing is op andere belastingsgevallen.

De CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt geen rekening met een expliciet bezwijkcriterium in termen van rek voor beton bij druk (d.w.z. er wordt uitgegaan van een oneindig plastische tak nadat de piekspanning is bereikt). Deze vereenvoudiging maakt het niet mogelijk om het vervormingsvermogen van constructies die op druk bezwijken te verifiëren. Hun uiterste draagvermogen wordt echter correct voorspeld wanneer, naast de factor voor gescheurd beton (k_c2) gedefinieerd in (Fig. 2e), ook rekening wordt gehouden met de toename van de brosheid van beton naarmate de sterkte toeneemt, door middel van de reductiefactor $\eta_{fc}$ gedefinieerd in de fib Model Code 2010 als volgt:

$$f_{c,red} = k_c \cdot f_{c} = \eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarbij:

k_c de globale reductiefactor van de drukvastheid is

k_c2 de reductiefactor is als gevolg van de aanwezigheid van dwarsscheurvorming

f_c de karakteristieke cilindersterkte van het beton is (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

Er is ook een reductie van de factor k_c2 vanwege de stabiliteit van de berekening. Deze reductie heeft geen invloed op de totale sterkte van staven. Uitgaande van de waarde f_cd als de gefactoreerde sterkte van beton (rekenwaarde), wordt de waarde van k_c2 verminderd volgens de volgende regels.

σ_c2r < 0.11f_cd                                           k_c2=1.0
0.11f_cd < σ_c2r < 0.37f_cd                          k_c2 is een lineaire interpolatie tussen 1,0 en de waarde afgelezen uit de
                                                              grafiek weergegeven in Fig. 2f
σ_c2r > 0.37f_cd                                            k_c2 wordt rechtstreeks afgelezen uit de grafiek van Fig. 2f

Wapening

Het geïdealiseerde bilineaire spanning-rek diagram voor kale wapeningsstaven, zoals doorgaans gedefinieerd door ontwerpnormen (Fig. 2d), wordt gehanteerd. Voor de definitie van dit diagram zijn tijdens de ontwerpfase alleen de basiseigenschappen van de wapening nodig (sterkte- en ductiliteitsklasse). Er kan ook een door de gebruiker gedefinieerde spanning-rek relatie worden opgegeven.

Er wordt rekening gehouden met tension stiffening door de ingevoerde spanning-rek relatie van de kale wapeningsstaaf aan te passen, om zo de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven (ε_m) vast te leggen.

Aanhechtingsmodel

Bond-slip tussen wapening en beton wordt in het eindige-elementenmodel geïntroduceerd door de vereenvoudigde, star-perfect-plastische constitutieve relatie in Fig. 2f te hanteren, waarbij f_bd de rekenwaarde (gefactoreerde waarde) is van de uiterste aanhechtingsspanning zoals gespecificeerd door de ontwerpnorm voor de specifieke aanhechtingscondities.

Dit is een vereenvoudigd model met als enig doel het toetsen van aanhechtingsvoorschriften volgens ontwerpnormen (d.w.z. verankering van wapening). De reductie van de verankeringslengte bij gebruik van haken, lussen en vergelijkbare staafvormen kan in rekening worden gebracht door een bepaalde capaciteit aan het uiteinde van de wapening te definiëren, zoals verderop zal worden beschreven. 

Workflow en doelstellingen

Het doel van de wapeningsontwerptools in de CSFM is om ontwerpers te helpen de locatie en de vereiste hoeveelheid wapeningsstaven efficiënt te bepalen. De volgende tools zijn beschikbaar om de gebruiker in dit proces te helpen/begeleiden: lineaire berekening en topologie-optimalisatie.

Wapeningsontwerptools houden rekening met eenvoudigere constitutieve modellen dan de modellen die worden gebruikt voor de uiteindelijke verificatie van de constructie. Daarom moet de definitie van de wapening in deze stap worden beschouwd als een voorontwerp dat tijdens de laatste verificatiestap bevestigd/verfijnd moet worden. Het gebruik van de verschillende wapeningsontwerptools wordt geïllustreerd aan de hand van het model in Fig. 3, dat bestaat uit één uiteinde van een enkelvoudig ondersteunde ligger met variabele hoogte, belast met een gelijkmatig verdeelde belasting.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Model gebruikt om het gebruik van de wapeningsontwerptools te illustreren.}}}$$

Lineaire analyse

De lineaire analyse gaat uit van lineair-elastische materiaaleigenschappen en houdt geen rekening met wapening in het betonnen gebied. Het is daarom een zeer snelle berekening die een eerste inzicht geeft in de locaties van trek- en drukgebieden. Een voorbeeld van een dergelijke berekening is weergegeven in Fig. 4.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Resultaten van de lineaire analysetool voor het bepalen van de wapeningsindeling}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(rood: gebieden in druk, blauw: gebieden in trek).}}}$$

Topologie-optimalisatie

Topologie-optimalisatie is een methode die tot doel heeft de optimale verdeling van materiaal in een bepaald volume te vinden voor een bepaalde belastingconfiguratie. De topologie-optimalisatie geïmplementeerd in Idea StatiCa Detail maakt gebruik van een lineair eindige-elementenmodel. Elk eindig element kan een relatieve dichtheid hebben van 0 tot 100%, wat de relatieve hoeveelheid gebruikt materiaal weergeeft. Deze elementdichtheden zijn de optimalisatieparameters in het optimalisatieprobleem. De resulterende materiaalverdeling wordt als optimaal beschouwd voor de gegeven belastingenset als deze de totale rekenergie van het systeem minimaliseert. Per definitie is de optimale verdeling ook de geometrie met de grootst mogelijke stijfheid voor de gegeven belastingen.

Het iteratieve optimalisatieproces begint met een homogene dichtheidsverdeling. De berekening wordt uitgevoerd voor meerdere totale volumefracties (20%, 40%, 60% en 80%), waardoor de gebruiker het meest praktische resultaat kan selecteren. De resulterende vorm bestaat uit vakwerken met drukdiagonalen en trekstaven en vertegenwoordigt de optimale vorm voor de gegeven belastinggevallen (Fig. 5).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Resultaten van de topologie-optimalisatie ontwerptool met 20\% en 40\%  effectief volume}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(rood: gebieden in druk, blauw: gebieden in trek).}}}$$

De CSFM beschouwt continue spanningsvelden in het beton (2D eindige elementen), aangevuld met discrete "staaf"-elementen die de wapening voorstellen (1D eindige elementen). Daarom wordt de wapening niet diffuus in de 2D eindige elementen van het beton ingebed, maar expliciet gemodelleerd en ermee verbonden. In het rekenmodel wordt een vlakke spanningstoestand beschouwd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Visualization of the calculation model of a structural element (trimmed beam) in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Zowel volledige wanden en liggers, als details (delen) van liggers (geïsoleerd discontinuïteitsgebied, ook wel afgesneden uiteinde genoemd), kunnen worden gemodelleerd. Bij wanden en volledige liggers moeten de opleggingen zodanig worden gedefinieerd dat een (extern) isostatische (statisch bepaalde) of hyperstatische (statisch onbepaalde) constructie ontstaat. De belastingsoverdracht bij de afgesneden uiteinden van liggers wordt geïntroduceerd door middel van een speciale Saint-Venant-overgangszone, die zorgt voor een realistische spanningsverdeling in het geanalyseerde detailgebied.

Om de meeste situaties tijdens het bouwproces te modelleren, zijn in de CSFM veel typen opleggingen (afb. 7) en componenten voor belastingoverdracht (afb. 8) beschikbaar.

Opleggingen

Een puntoplegging kan op verschillende manieren worden gemodelleerd om ervoor te zorgen dat spanningen niet in één punt geconcentreerd zijn, maar over een groter gebied worden verdeeld. De eerste optie is een verdeelde puntoplegging (afb. 7a), die de belasting op de rand van de staaf gelijkmatig verdeelt over de opgegeven breedte.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Various types of supports:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) point distributed; (b) bearing plate; (c) line support; (d) patch support; (e) hanging.}}}$$

Een patch-oplegging (afb. 7d) kan daarentegen alleen binnen een betonvolume met een gedefinieerde effectieve straal worden geplaatst. Deze wordt vervolgens door middel van stijve elementen verbonden met de knopen van het wapeningsnet binnen deze straal. Daarom is het vereist om een wapeningskooi rondom de patch-oplegging te definiëren.

Voor een nauwkeuriger modellering van bepaalde realistische scenario's zijn er nog twee andere opties voor puntoplegging. Ten eerste is er een puntoplegging met een oplegplaat van gedefinieerde breedte en dikte (afb. 7b). Het materiaal van de oplegplaat kan worden gespecificeerd, en de gehele oplegplaat wordt onafhankelijk gemesht. Ten tweede is er een hangende oplegging beschikbaar (afb. 7e), die kan worden gebruikt voor het modelleren van hijsankers of hijsdeuvels.

Een lijnoplegging (afb. 7c) kan worden gedefinieerd op een rand (door de lengte ervan op te geven) of binnen een element (door middel van een polylijn). Het is ook mogelijk om de stijfheid en/of het niet-lineaire gedrag ervan te specificeren (oplegging in druk/trek of alleen in druk).

• Lees gedetailleerde beschrijvingen in Types opleggingen in IDEA StatiCa Detail

Belastingoverdragende componenten

Het inleiden van belastingen in de constructie kan eveneens op verschillende manieren worden gemodelleerd. Voor puntlasten kan een oplegplaat (afb. 8a) worden gebruikt, op dezelfde manier als bij puntoplegging, waarbij de geconcentreerde belasting dankzij een stalen plaat met gedefinieerde breedte en dikte over een groter gebied wordt verdeeld. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Various types of load transfer components:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) bearing plate; (b) patch load; (c) hanging; (d) partially loaded area.}}}$$

De puntlast kan ofwel rechtstreeks op het oppervlak van de constructie worden aangebracht met een gedefinieerde werkingsstraal (de belasting wordt op de betonelementen aangebracht), ofwel via een speciaal overdrachtsmiddel genaamd patch-belasting (afb. 8b en afb. 9). Patch-belasting maakt het mogelijk om de belasting rechtstreeks over te dragen naar de gedefinieerde wapening binnen het gebied van de effectieve straal. Om de correcte werking van de patch-belasting te waarborgen, is het noodzakelijk om een groep wapeningsstaven te definiëren die met de belasting worden verbonden (in de wapeningseigenschappen). Wanneer de te verbinden wapening niet is gedefinieerd, is het belastingoverdrachtsmechanisme hetzelfde als bij een puntlast die op een staafoppervlak is geplaatst, en wordt de belasting via de randvoorwaarden overgedragen naar de betonelementen, niet rechtstreeks naar de wapening. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Patch load: (a) load application; (b) load transferred through rebars (a group of bars for the load transfer is defined);}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(c) load transferred through concrete (a group of bars for the load transfer is not defined).}}}$$

Hijsankers of hijsdeuvels kunnen worden gemodelleerd met een hangende belasting (afb. 8c). De gebruiker kan een partieel belast gebied (afb. 8d) gebruiken, waarmee de drukcapaciteit van beton kan worden verhoogd volgens Eurocode (het is niet mogelijk om dit type belastingoverdragende component te gebruiken wanneer ACI is ingesteld). De constructie kan ook worden belast met lijnlasten op de randen, via een algemene polylijn, of met vlaklasten. De Detail applicatie is in staat om automatisch rekening te houden met het eigen gewicht in de analyse.

In veel gevallen hoeven we slechts een bepaald detail (deel) van een constructief staaf te modelleren, zoals de oplegging van een ligger, een opening in het midden van de ligger, enz. Deze aanpak kan leiden tot oplegconfiguraties die instabiel maar toelaatbaar zijn in IDEA StatiCa Detail (inclusief het geval zonder opleggingen). In dergelijke gevallen is het echter ook noodzakelijk om de doorsnede te modelleren die de verbinding met het aangrenzende B-gebied vertegenwoordigt, inclusief de inwendige krachten op deze doorsnede die aan het evenwicht voldoen. In bepaalde gevallen (bijvoorbeeld bij het modelleren van een liggeroplegging) kunnen deze inwendige krachten automatisch door het programma worden bepaald.

Tussen het B-gebied en het geanalyseerde discontinuïteitsgebied wordt automatisch een Saint-Venant-overgangszone aangemaakt om een realistische spanningsverdeling in het geanalyseerde gebied te waarborgen. De breedte van de overgangszone wordt bepaald als de helft van de hoogte van de doorsnede. Aangezien het enige doel van de Saint-Venant-zone is om een juiste spanningsverdeling in de rest van het model te bereiken, worden er geen resultaten uit dit gebied weergegeven bij de verificatie en worden hier geen stopcriteria in aanmerking genomen.

De rand van de Saint-Venant-zone die het verkorte uiteinde van de ligger vertegenwoordigt, wordt gemodelleerd als star, d.w.z. deze mag roteren maar moet vlak blijven. Dit wordt bereikt door alle FEM-knopen van de rand te verbinden met een afzonderlijke knoop in het traagheidsmiddelpunt van de doorsnede met behulp van een star lichaamselement (RBE2). De inwendige krachten van het element kunnen vervolgens op deze knoop worden aangebracht, zoals weergegeven in Fig. 10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Overdracht van inwendige krachten bij een verkort uiteinde.}}}$$

Reductie van de dwarsdoorsnede wordt automatisch uitgevoerd voor constructies die gedefinieerd zijn als een balk of raamverbinding (gedefinieerd door de x-as en een dwarsdoorsnede). Deze aanpassing wordt automatisch toegepast op dwarsdoorsneden met zeer brede flenzen (Fig. 11) en is gebaseerd op de aanname dat een drukspanningsveld zich vanaf de wand onder een hoek van 45° zou uitbreiden, zodat de bovengenoemde gereduceerde breedte de maximale breedte zou zijn die in staat is belastingen over te dragen

Merk op dat de methode voor het bepalen van de effectieve flensbreedte zoals geïmplementeerd in CSFM verschilt van de methode vermeld in 5.3.2.1 EN 1992-1-1 (2015) of in 9.2.4.4 ACI 318-19. Naast de geometrie wordt de op Eurocode gebaseerde effectieve flensbreedte expliciet beïnvloed door de overspanningslengtes en randvoorwaarden van een constructie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Breedtereductie van een dwarsdoorsnede: (a) gebruikersinvoer; (b) EE-model – automatisch bepaalde gereduceerde flensbreedte.}}}$$

In het geval van consoles die in het horizontale vlak liggen (Fig. 12), wordt elke console over de lengte verdeeld in vijf secties. Elk van deze secties wordt vervolgens gemodelleerd als een wand met een constante dikte, gelijk aan de werkelijke dikte in het midden van de betreffende sectie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Horizontale console: (a) gebruikersinvoer; (b)  EE-model – een console automatisch verdeeld in vijf secties.}}}$$

Het niet-lineaire (inelastische) eindige-elementenmodel wordt opgebouwd uit verschillende typen eindige elementen die worden gebruikt om beton, wapening en de aanhechting daartussen te modelleren. Beton- en wapeningselementen worden eerst onafhankelijk van elkaar gemesht en vervolgens met elkaar verbonden met behulp van multi-point constraints (MPC-elementen). Hierdoor kan de wapening een willekeurige, relatieve positie ten opzichte van het beton innemen. Als de verankeringslengte moet worden geverifieerd, worden aanhechtings- en verankeringseinde-veerelementen ingevoegd tussen de wapening en de MPC-elementen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Beton

Beton wordt gemodelleerd met behulp van vierhoekige en driehoekige schaalelementen, CQUAD4 en CTRIA3. Deze kunnen respectievelijk worden gedefinieerd door vier of drie knopen. In deze elementen wordt uitsluitend vlakke spanning verondersteld, d.w.z. spanningen of rekken in de z-richting worden niet in beschouwing genomen.

Elk element heeft vier of drie integratiepunten die op ongeveer 1/4 van de elementgrootte zijn geplaatst. Op elk integratiepunt in elk element worden de richtingen van de hoofdrekken α₁, α₂ berekend. In beide richtingen worden de hoofdspanningen σ_c1, σ_c2 en stijfheden E₁, E₂ geëvalueerd volgens het opgegeven spanning-rekdiagram van beton, zoals weergegeven in Fig. 2. Opgemerkt moet worden dat het effect van compression softening het gedrag in de belangrijkste drukrichting koppelt aan de actuele toestand van de andere hoofdrichting.

Wapening

Wapeningsstaven worden gemodelleerd met tweeknoops 1D “staaf”-elementen (CROD), die alleen axiale stijfheid hebben. Deze elementen zijn verbonden met speciale “bond”-elementen die zijn ontwikkeld om het slipgedrag tussen een wapeningsstaaf en het omringende beton te modelleren. Deze bond-elementen worden vervolgens door middel van MPC-elementen (multi-point constraint) verbonden met de mesh die het beton weergeeft. Deze aanpak maakt onafhankelijke mesh-vorming van wapening en beton mogelijk, terwijl hun onderlinge verbinding later wordt gewaarborgd.

Aanhechtingselementen

De verankeringslengte wordt geverifieerd door de aanhechtingsschuifspanningen tussen betonelementen (2D) en wapeningsstaafelementen (1D) in het eindige-elementenmodel te implementeren. Hiertoe is een “bond”-eindig-elementtype ontwikkeld.

De definitie van het bond-element is vergelijkbaar met die van een schaalelement (CQUAD4). Het wordt ook gedefinieerd door 4 knopen, maar in tegenstelling tot een schaal heeft het alleen een niet-nul stijfheid in afschuiving tussen de twee bovenste en twee onderste knopen. In het model zijn de bovenste knopen verbonden met de elementen die de wapening voorstellen en de onderste knopen met die welke het beton voorstellen. Het gedrag van dit element wordt beschreven door de aanhechtingsspanning, τ_b, als een bilineaire functie van de slip tussen de bovenste en onderste knopen, δ_u, zie Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

De elastische stijfheidsmodulus van de bond-slip-relatie, G_b, is als volgt gedefinieerd:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

waarbij:

k_g            coëfficiënt afhankelijk van het oppervlak van de wapeningsstaaf (standaard k_g = 0,2)

E_c            elasticiteitsmodulus van beton (genomen als E_cm in geval van EN)

Ø             de diameter van de wapeningsstaaf

De rekenwaarden (gefactoreerde waarden) van de uiterste aanhechtingsschuifspanning, f_bd, opgegeven in de betreffende geselecteerde ontwerpnormen EN 1992-1-1 of ACI 318-19, worden gebruikt om de verankeringslengte te verifiëren. De verharding van de plastische tak wordt standaard berekend als G_b/10⁵.

Verankeringsveer

Het aanbrengen van verankeringseinden aan de wapeningsstaven (d.w.z. bochten, haken, lussen…), die voldoen aan de voorschriften van ontwerpnormen, maakt het mogelijk de basisverankeringslengte van de staven (l_b,net) te verminderen met een bepaalde factor β (hieronder aangeduid als de ‘verankeringscoëfficiënt’). De rekenwaarde van de verankeringslengte (l_b) wordt vervolgens als volgt berekend:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

De beoogde reductie van l_b,net komt overeen met de activering van de wapeningsstaaf aan het uiteinde ervan bij een percentage van zijn maximale capaciteit dat wordt gegeven door de verankeringsreductiecoëfficiënt, zoals weergegeven in Fig. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

De reductie van de verankeringslengte wordt in het eindige-elementenmodel opgenomen door middel van een veerelement aan het uiteinde van de staaf (Fig. 15), dat wordt gedefinieerd door het constitutieve model weergegeven in Fig. 15b. De maximale kracht die door deze veer wordt overgebracht (F_au) is:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

waarbij:

β             de verankeringscoëfficiënt op basis van het verankeringstype,

A_s            de doorsnede van de wapeningsstaaf,

f_yd           de rekenwaarde (gefactoreerde waarde) van de vloeigrens van de wapening.

De eindige elementen worden intern geïmplementeerd en het rekenmodel wordt automatisch gegenereerd zonder dat de gebruiker hiervoor gevorderde kennis nodig heeft. Een belangrijk onderdeel van dit proces is het genereren van de mesh.

Beton

Alle betonstaven worden samen gemesht. Een aanbevolen elementgrootte wordt automatisch berekend door de applicatie op basis van de grootte en vorm van de constructie, waarbij rekening wordt gehouden met de diameter van de dikste wapeningsstaaf. Bovendien garandeert de aanbevolen elementgrootte dat er minimaal 4 elementen worden gegenereerd in dunne delen van de constructie, zoals slanke kolommen of dunne vloeren, om betrouwbare resultaten in deze gebieden te waarborgen. Het maximale aantal betonelementen is beperkt tot 5000, maar deze waarde is voor de meeste constructies voldoende om de aanbevolen elementgrootte te bieden. Ontwerpers kunnen altijd een door de gebruiker gedefinieerde betonelementgrootte selecteren door de vermenigvuldigingsfactor van de standaard meshgrootte aan te passen.

Wapening

De wapening wordt onderverdeeld in elementen met ongeveer dezelfde lengte als de betonelementgrootte. Zodra de mesh van wapening en beton is gegenereerd, worden deze met elkaar verbonden door middel van aanhechtingselementen, zoals weergegeven in Fig. 13.

Oplegplaten

Hulpconstructieonderdelen, zoals oplegplaten, worden onafhankelijk gemesht. De grootte van deze elementen wordt berekend als 2/3 van de grootte van de betonelementen in het verbindingsgebied. De knopen van de mesh van de oplegplaat worden vervolgens verbonden met de randknopen van de betonmesh met behulp van interpolatie-randvoorwaarde-elementen (RBE3).

Belastingen en opleggingen

Vlakbelastingen en vlakopleggingen worden alleen verbonden met de wapening, zoals weergegeven in Fig. 16. Daarom is het noodzakelijk om de wapening rondom deze elementen te definiëren. De verbinding met alle knopen van de wapening binnen de effectieve straal wordt gewaarborgd door RBE3-elementen met gelijk gewicht.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad  Vlakbelasting-mapping naar wapeningsmesh.}}}$$

Lijnopleggingen en lijnbelastingen worden verbonden met de knopen van de betonmesh met behulp van RBE3-elementen op basis van de opgegeven breedte of effectieve straal. Het gewicht van de verbindingen is omgekeerd evenredig met de afstand tot de oplegging of het belastingsimpuls.

• Lees meer over de onderlinge verbinding tussen individuele belastingen en de mesh in Algemene beschrijving van belastingsimpulsen in de Detail applicatie

Er wordt een standaard volledig Newton-Raphson (NR) algoritme gebruikt om de oplossing van een niet-lineair EEM-probleem te vinden. 

Over het algemeen convergeert het NR-algoritme meestal niet wanneer de volledige belasting in één stap wordt aangebracht. Een gebruikelijke aanpak, die ook hier wordt toegepast, is om de belasting sequentieel in meerdere increments aan te brengen en het resultaat van het vorige belastingsincrement te gebruiken om de Newton-oplossing van een volgend increment te starten. Hiertoe is een belastingscontrole-algoritme geïmplementeerd bovenop de Newton-Raphson-methode. Als de NR-iteraties niet convergeren, wordt het huidige belastingsincrement gehalveerd en worden de NR-iteraties opnieuw uitgevoerd.

Een tweede doel van het belastingscontrole-algoritme is het vinden van de kritieke belasting, die overeenkomt met bepaalde "stopcriteria" – specifiek de maximale rek in beton, de maximale slip in aanhechtingselementen, de maximale verplaatsing in verankeringselementen en de maximale rek in wapeningsstaven. De kritieke belasting wordt gevonden met behulp van de bisectiemethode. Als het stopcriterium ergens in het model wordt overschreden, worden de resultaten van het laatste belastingsincrement verworpen en wordt een nieuw increment berekend van de helft van de grootte van het vorige. Dit proces wordt herhaald totdat de kritieke belasting is gevonden binnen een bepaalde foutmarge.

Voor beton werd het stopcriterium ingesteld op een rek van 5% bij druk (d.w.z. ongeveer een orde van grootte groter dan de werkelijke bezwijkrek van beton) en 7% bij trek op de integratiepunten van schaalelementen. Bij trek werd de waarde zo ingesteld dat de grensrek in de wapening, die gewoonlijk ongeveer 5% bedraagt zonder rekening te houden met tension stiffening, eerst wordt bereikt. Bij druk werd de waarde gekozen uit verschillende alternatieven als een waarde die groot genoeg is om de effecten van verbrijzelen zichtbaar te maken in de resultaten, maar klein genoeg om niet te veel problemen met numerieke stabiliteit te veroorzaken.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Constitutieve relatie van aanhechtings- en verankeringselementen gebruikt voor de verificatie van de verankeringslengte:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) aanhechting-afschuifspanning-slipresponsie van een aanhechtingselement; (b) kracht-verplaatsingsresponsie van een verankeringselement.}}}$$

Voor wapening wordt het stopcriterium gedefinieerd in termen van spanningen. Aangezien de spanningen ter plaatse van de scheur worden gemodelleerd, komt het criterium bij trek overeen met de treksterkte van de wapening, rekening houdend met de veiligheidscoëfficiënt. Dezelfde waarde wordt gebruikt voor het criterium bij druk.

Het stopcriterium in aanhechtingselementen en verankeringsveren is α·δu_max, waarbij δu_max de maximale slip is die wordt gebruikt bij normtoetsingen en α = 10.

De resultaten worden afzonderlijk gepresenteerd voor beton en voor wapeningselementen. De spannings- en rekwaarden in het beton worden berekend op de integratiepunten van schaalelementen. Aangezien het echter niet praktisch is om de gegevens op deze manier weer te geven, worden de resultaten standaard gepresenteerd in knopen, zoals de maximale waarde van de drukspanning van aangrenzende Gauss-integratiepunten in verbonden elementen (Fig. 18). Opgemerkt dient te worden dat deze weergave de resultaten aan gedrukte randen van staven lokaal kan onderschatten in het geval dat de afmeting van het eindige element vergelijkbaar is met de hoogte van de drukzone.

Fig. 18 - Eindig element van beton met integratiepunten en knopen: presentatie van de resultaten voor beton in knopen en in eindige elementen.

De resultaten voor de eindige elementen van de wapening zijn ofwel constant voor elk element (één waarde – bijv. voor staalspanningen) of lineair (twee waarden – voor aanhechtingsresultaten). Voor hulpelementen, zoals elementen van oplegplaten, worden alleen vervormingen gepresenteerd.

Beoordeling van de constructie met behulp van het CSFM gebeurt aan de hand van twee verschillende analyses: één voor de bruikbaarheidsgrenstoestand en één voor belastingscombinaties in de uiterste grenstoestand. Bij de analyse van de bruikbaarheidsgrenstoestand wordt ervan uitgegaan dat het gedrag van het element bij de uiterste grenstoestand voldoende is en dat de vloeicondities van het materiaal niet worden bereikt bij belastingsniveaus in de bruikbaarheidsgrenstoestand. Deze aanpak maakt het mogelijk om vereenvoudigde constitutieve modellen (met een lineair traject van het spanning-rekdiagram van beton) te gebruiken voor de bruikbaarheidsanalyse, om de numerieke stabiliteit en de rekensnelheid te verbeteren. Het wordt daarom aanbevolen om de hieronder beschreven werkwijze te volgen, waarbij de analyse van de uiterste grenstoestand als eerste stap wordt uitgevoerd.

Analyse van de uiterste grenstoestand

De verschillende verificaties die door specifieke ontwerpnormen worden vereist, worden beoordeeld op basis van de directe resultaten die het model oplevert. UGT-verificaties worden uitgevoerd voor de betonsterkte, de wapeningssterkte en de verankering (aanhechtingsschuifspanningen).

Om ervoor te zorgen dat een constructief element een efficiënt ontwerp heeft, wordt sterk aanbevolen om eerst een voorlopige analyse uit te voeren waarbij rekening wordt gehouden met de volgende stappen:

• Kies een selectie van de meest kritische belastingscombinaties.
• Bereken alleen belastingscombinaties voor de uiterste grenstoestand (UGT).
• Gebruik een grove mesh (door de vermenigvuldigingsfactor van de standaard meshgrootte in Setup te verhogen (Fig. 19)).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Mesh multiplier.}}}$$

Een dergelijk model wordt zeer snel berekend, waardoor ontwerpers de detaillering van het constructieve element efficiënt kunnen beoordelen en de analyse opnieuw kunnen uitvoeren totdat aan alle verificatie-eisen is voldaan voor de meest kritische belastingscombinaties. Zodra aan alle verificatie-eisen van deze voorlopige analyse is voldaan, wordt aanbevolen om de volledige set uiterste belastingscombinaties op te nemen en een fijne meshgrootte te gebruiken (de door het programma aanbevolen meshgrootte). De gebruiker kan de meshgrootte wijzigen via de vermenigvuldigingsfactor, die waarden kan aannemen van 0,5 tot 5 (Fig. 19).

De basisresultaten en verificaties (spanning, rek en benuttingsgraad (d.w.z. de berekende waarde/grenswaarde volgens de norm), evenals de richting van de hoofdspanningen bij betonelementen) worden weergegeven met behulp van verschillende plots, waarbij druk over het algemeen in rood en trek in blauw wordt weergegeven. Globale minimum- en maximumwaarden voor de gehele constructie kunnen worden gemarkeerd, evenals minimum- en maximumwaarden voor elk door de gebruiker gedefinieerd onderdeel. In een apart tabblad van het programma kunnen geavanceerde resultaten worden weergegeven, zoals tensorwaarden, vervormingen van de constructie en wapeningsverhoudingen (effectief en geometrisch) die worden gebruikt voor het berekenen van de tension stiffening van wapeningsstaven. Bovendien kunnen belastingen en reacties voor geselecteerde combinaties of belastingsgevallen worden weergegeven.

Analyse van de bruikbaarheidsgrenstoestand

BGT-beoordelingen worden uitgevoerd voor spanningsbeperking, scheurwijdte en doorbuigingslimieten. Spanningen in beton- en wapeningselementen worden gecontroleerd volgens de toepasselijke norm, op een vergelijkbare manier als beschreven voor de UGT.

De bruikbaarheidsanalyse bevat bepaalde vereenvoudigingen van de constitutieve modellen die worden gebruikt voor de analyse van de uiterste grenstoestand. Er wordt uitgegaan van een perfecte aanhechting, d.w.z. de verankeringslengte wordt niet geverifieerd bij de bruikbaarheidsgrenstoestand. Bovendien wordt het plastische traject van het spanning-rekdiagram van beton in druk buiten beschouwing gelaten, terwijl het elastische traject lineair en oneindig is. Deze vereenvoudigingen verbeteren de numerieke stabiliteit en de rekensnelheid, en beperken de algemeenheid van de oplossing niet, zolang de resulterende materiaalspanningslimieten bij de bruikbaarheidsgrenstoestand duidelijk onder hun vloeipunten liggen (zoals vereist door de normen). De vereenvoudigde modellen die voor de bruikbaarheidsgrenstoestand worden gebruikt, zijn daarom alleen geldig als aan alle verificatie-eisen is voldaan.

Berekening van scheurwijdte en tension stiffening

Berekening van scheurwijdte

Er zijn twee manieren om scheurwijdtes te berekenen - gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurvorming. Aan de hand van de geometrische wapeningsverhouding in elk deel van de constructie wordt bepaald welk type scheurberekeningsmodel wordt gebruikt (TCM voor gestabiliseerde scheurvorming en POM voor het niet-gestabiliseerde scheurvormingsmodel).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Terwijl het CSFM voor de meeste verificaties (bijv. staafcapaciteit, doorbuigingen…) een direct resultaat oplevert, worden de scheurwijdteresultaten berekend op basis van de wapeningsrekresultaten die rechtstreeks door de EEM-analyse worden geleverd, volgens de methodiek beschreven in Fig. 20. Er wordt een scheurkinematica zonder slip (zuivere scheuropening) beschouwd (Fig. 20a), wat consistent is met de belangrijkste aannames van het model. De hoofdrichtingen van spanningen en rekken bepalen de hellingshoek van de scheuren (θ_r = θ_s= θ_e). Volgens (Fig. 20b) kan de scheurwijdte (w) worden geprojecteerd in de richting van de wapeningsstaaf (w_b), wat leidt tot:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

waarbij θ_b de hellingshoek van de staaf is.

Merk op dat het programma waarden van θ_r en θ_b < π/2 weergeeft. Dit betekent dat de voorgaande vergelijking werkt voor gevallen waarin de wapening en de scheur door verschillende kwadranten van het cartesische coördinatensysteem lopen, zoals getoond in Fig. 20, waarbij de wapening door het I. en III. kwadrant loopt en de scheur door het II. en IV. Voor gevallen waarin de wapening en de scheur door dezelfde kwadranten lopen, moet de vergelijking als volgt worden aangepast:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

De component w_b wordt consistent berekend op basis van de tension stiffening-modellen door de wapeningsrekken te integreren. Voor de gebieden met volledig ontwikkelde scheurpatronen worden de berekende gemiddelde rekken (e_m) langs de wapeningsstaven direct geïntegreerd over de scheurafstand (s_r), zoals aangegeven in (Fig. 20c). Hoewel deze benadering voor het berekenen van de scheurrichtingen niet overeenkomt met de werkelijke positie van de scheuren, levert deze toch representatieve waarden op die leiden tot scheurwijdteresultaten die vergeleken kunnen worden met de door de norm vereiste scheurwijdtewaarden ter plaatse van de wapeningsstaaf.

Speciale situaties worden waargenomen bij concave hoeken van de berekende constructie. In dit geval bepaalt de hoek vooraf de positie van een enkele scheur die zich op een niet-gestabiliseerde manier gedraagt voordat er aanvullende aangrenzende scheuren ontstaan. Deze aanvullende scheuren ontstaan doorgaans pas na het bruikbaarheidsbereik (Mata-Falcón 2015), wat rechtvaardigt dat de scheurwijdtes in een dergelijk gebied worden berekend alsof ze niet-gestabiliseerd zijn (Fig. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Tension stiffening

De implementatie van tension stiffening maakt onderscheid tussen gevallen van gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurpatronen. In beide gevallen wordt het beton standaard beschouwd als volledig gescheurd vóór belasting.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Gestabiliseerde scheurvorming

Bij volledig ontwikkelde scheurpatronen wordt tension stiffening geïntroduceerd met behulp van het Tension Chord Model (TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – Fig. 22a – waarvan is aangetoond dat het, ondanks de eenvoud ervan, uitstekende voorspellingen van het gedrag oplevert (Burns 2012). Het TCM gaat uit van een getrapte, star-perfect plastische relatie tussen de aanhechtingsschuifspanning en de slip, met τ_b = τ_b0 =2 f_ctm voor σ_s ≤ f_y en τ_b =τ_b1 = f_ctm voor σ_s > f_y. Door elke wapeningsstaaf te behandelen als een trekstaaf (tension chord) – Fig. 22b en Fig. 22a – kan de verdeling van de aanhechtingsschuifspanning, de staal- en betonspanningen en dus de rekverdeling tussen twee scheuren worden bepaald voor elke gegeven waarde van de maximale staalspanningen (of rekken) bij de scheuren.

Voor s_r = s_r0 kan er al dan niet een nieuwe scheur ontstaan, omdat in het midden tussen twee scheuren σ_c1 = f_ct. Bijgevolg kan de scheurafstand variëren met een factor twee, d.w.z. s_r = λs_r0, met l = 0,5…1,0. Uitgaande van een bepaalde waarde voor λ kan de gemiddelde rek van de trekstaaf (ε_m) worden uitgedrukt als functie van de maximale wapeningsspanningen (d.w.z. de spanningen bij de scheuren, σ_sr). Voor het geïdealiseerde bilineaire spanning-rekdiagram van de blanke wapeningsstaven dat standaard in het CSFM wordt beschouwd, worden de volgende gesloten analytische uitdrukkingen verkregen (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

waarbij:
E_sh           de verhardingsmodulus van het staal E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            elasticiteitsmodulus van de wapening,

Ø            diameter van de wapeningsstaaf,

s_r                scheurafstand,

σ_sr           wapeningsspanningen bij de scheuren,

σ_s            werkelijke wapeningsspanningen,

f_y                vloeigrens van de wapening.

De implementatie van het CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt standaard rekening met de gemiddelde scheurafstand bij het uitvoeren van de computerondersteunde spanningsveldanalyse. De gemiddelde scheurafstand wordt beschouwd als 2/3 van de maximale scheurafstand (λ = 0,67), wat overeenkomt met aanbevelingen die zijn gedaan op basis van buig- en trekproeven (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Er dient te worden opgemerkt dat bij de berekening van scheurwijdtes wordt uitgegaan van een maximale scheurafstand (λ = 1,0) om conservatieve waarden te verkrijgen.

De toepassing van het TCM is afhankelijk van de wapeningsverhouding, en daarom is de toewijzing van een geschikt betonoppervlak dat in trek werkt tussen de scheuren aan elke wapeningsstaaf van cruciaal belang. Er is een automatische numerieke procedure ontwikkeld om de bijbehorende effectieve wapeningsverhouding (ρ_eff = A_s/A_c,eff) voor elke configuratie, inclusief scheve wapening (Fig. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Niet-gestabiliseerde scheurvorming

Scheuren die aanwezig zijn in gebieden met geometrische wapeningsverhoudingen lager dan ρ_cr, d.w.z. de minimale hoeveelheid wapening waarbij de wapening de scheurbelasting kan dragen zonder te vloeien, ontstaan door niet-mechanische invloeden (bijv. krimp) of door de voortzetting van scheuren die door andere wapening worden beheerst. De waarde van deze minimale wapening wordt als volgt bepaald:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

waarbij:

f_y              vloeigrens van de wapening,

f_ct             treksterkte van het beton,

n              verhoudingsgetal (modular ratio), n = E_s / E_c .

Voor conventioneel beton en wapeningsstaal bedraagt ρ_cr ongeveer 0,6%.

Voor beugels met wapeningsverhoudingen onder ρ_cr wordt de scheurvorming beschouwd als niet-gestabiliseerd en wordt tension stiffening geïmplementeerd door middel van het Pull-Out Model (POM), beschreven in Fig. 22b. Dit model analyseert het gedrag van een enkele scheur zonder mechanische interactie tussen afzonderlijke scheuren, waarbij de vervormbaarheid van het beton in trek wordt verwaarloosd en dezelfde getrapte, star-perfect plastische relatie tussen aanhechtingsschuifspanning en slip wordt aangenomen als bij het TCM. Hierdoor kan de wapeningsrekverdeling (ε_s) in de omgeving van de scheur rechtstreeks uit evenwicht worden bepaald voor elke maximale staalspanning bij de scheur (σ_sr). Aangezien de scheurafstand onbekend is voor een niet volledig ontwikkeld scheurpatroon, wordt de gemiddelde rek (ε_m) voor elk belastingsniveau berekend over de afstand tussen punten met nulslip wanneer de wapeningsstaaf zijn treksterkte (f_t) bereikt bij de scheur (l_ε,avg in Fig. 22b), wat leidt tot de volgende relaties:

De voorgestelde modellen maken het mogelijk het gedrag van verankerde wapening te berekenen, wat uiteindelijk in de analyse wordt meegenomen. Dit gedrag (inclusief tension stiffening) voor het meest voorkomende Europese wapeningsstaal (B500B, met f_t / f_y = 1,08 en ε_u = 5%) wordt geïllustreerd in Fig. 22c-d.

Beton - UGT

Het betonmodel dat in de CSFM is geïmplementeerd, is gebaseerd op de constitutieve wetten voor eenassige druk zoals voorgeschreven door EN 1992-1-1 voor het ontwerp van doorsneden, die alleen afhankelijk zijn van de druksterkte. Het parabool-rechthoekdiagram gespecificeerd in EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 24a) wordt standaard gebruikt in de CSFM, maar ontwerpers kunnen ook kiezen voor een meer vereenvoudigde elastisch-ideaalplastische relatie volgens EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 24b). De treksterkte wordt verwaarloosd, zoals gebruikelijk is bij klassiek gewapend betonontwerp.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad De spanning-rekdiagrammen van beton voor UGT: a) parabool-rechthoekdiagram; b) bilineair diagram.}}}$$

De implementatie van de CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt geen expliciet bezwijkcriterium in termen van rek aan voor beton onder druk (d.w.z. na het bereiken van de piekspanning wordt een plastische tak beschouwd met ε_cu2 (ε_cu3) met een waarde van 5%, terwijl EN 1992-1-1 een uiterste rek van minder dan 0,35% aanneemt). Deze vereenvoudiging maakt het niet mogelijk om het vervormingsvermogen van constructies die op druk bezwijken te verifiëren. De uiteindelijke capaciteit f_cd volgens EN 1992-1-1 3.1.3 wordt echter correct voorspeld wanneer, naast de factor voor gescheurd beton (k_c2 gedefinieerd in (Fig. 25)), de toenemende brosheid van beton bij toenemende sterkte in rekening wordt gebracht door middel van de reductiefactor $\eta_{fc}$ zoals gedefinieerd in fib Model Code 2010 als volgt:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{k_c \cdot f_{ck}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot k_{c2} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarbij:

α_cc is de coëfficiënt die rekening houdt met langetermijneffecten op de druksterkte en met ongunstige effecten die voortvloeien uit de wijze waarop de belasting wordt aangebracht. Deze is volgens EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). De standaardwaarde is 1,0.

k_c is de algemene reductiefactor van de druksterkte

k_c2 is de reductiefactor als gevolg van de aanwezigheid van dwarsscheurvorming

f_ck is de karakteristieke cilindersterkte van beton (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 25\qquad De compression softening-wet.}}}$$

Beton - BGT

De bruikbaarheidsanalyse bevat bepaalde vereenvoudigingen van de constitutieve modellen die worden gebruikt voor de analyse van de uiterste grenstoestand. De plastische tak van het spanning-rekdiagram van beton onder druk wordt buiten beschouwing gelaten, terwijl de elastische tak lineair en oneindig is. Compression softening wordt niet in rekening gebracht. Deze vereenvoudigingen verbeteren de numerieke stabiliteit en rekensnelheid en beperken de algemeenheid van de oplossing niet, zolang de resulterende materiaalspanningslimieten bij bruikbaarheid duidelijk onder hun vloeipunten liggen (zoals vereist door Eurocode). Daarom zijn de vereenvoudigde modellen die voor bruikbaarheid worden gebruikt alleen geldig als aan alle verificatievereisten wordt voldaan.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Spanning-rekdiagrammen van beton geïmplementeerd voor bruikbaarheidsanalyse: korte- en langetermijnverificaties.}}}$$

Langetermijneffecten

Bij de bruikbaarheidsanalyse worden de langetermijneffecten van beton in rekening gebracht met behulp van een effectieve oneindige kruipcoëfficiënt ($\varphi$, standaard aangenomen als 2,5), die de secans-elasticiteitsmodulus van beton (E_cm) aanpast volgens EN 1992-1-1, sectie 3.1.4 (3) resp. 7.4.3 (5) als volgt:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{cm}}{1+\varphi}$$

Bij het in rekening brengen van langetermijneffecten wordt eerst een belastingstap met alle permanente belastingen berekend rekening houdend met de kruipcoëfficiënt (d.w.z. met gebruik van de effectieve elasticiteitsmodulus van beton, E_c,eff), en vervolgens worden de bijkomende belastingen berekend zonder de kruipcoëfficiënt (d.w.z. met gebruik van E_cm). Daarnaast wordt, om kortetermijnverificaties uit te voeren, een andere berekening uitgevoerd waarbij alle belastingen worden berekend zonder de kruipcoëfficiënt. Beide berekeningen voor lange- en kortetermijnverificaties zijn weergegeven in Fig. 26.

Kruipfactoren worden door de gebruiker gedefinieerd in de materiaaleigenschappen en dienen te worden berekend volgens EN 1992-1-1, Fig 3.1.

Wapening

Standaard wordt het geïdealiseerde bilineaire spanning-rekdiagram voor de blote wapeningsstaven gedefinieerd in EN 1992-1-1, sectie 3.2.7 (Fig. 27) beschouwd. De definitie van dit diagram vereist alleen dat de basiseigenschappen van de wapening bekend zijn tijdens de ontwerpfase (sterkte- en ductiliteitsklasse). Wanneer bekend, kan de werkelijke spanning-rekrelatie van de wapening (warmgewalst, koudvervormd, gehard en zelf-ontlaten, …) in rekening worden gebracht. Het spanning-rekdiagram van de wapening kan door de gebruiker worden gedefinieerd, maar in dit geval is het onmogelijk om het tension stiffening-effect aan te nemen (het is onmogelijk om de scheurbreedte te berekenen). Het gebruik van het spanning-rekdiagram met een horizontale bovenste tak maakt de verificatie van de constructieve duurzaamheid onmogelijk. Daarom is handmatige verificatie van standaard ductiliteitseisen noodzakelijk.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 27 \qquad Spanning-rekdiagram van wapening: a) bilineair diagram met een schuine bovenste tak; b) bilineair diagram}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{met een horizontale bovenste tak.}}}$

Tension stiffening (Fig. 28)  wordt automatisch in rekening gebracht door de invoerspanning-rekrelatie van de blote wapeningsstaaf aan te passen om de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven vast te leggen (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 28\qquad Schema van tension stiffening.}}}$$

De Compatible Stress Field Method voldoet aan moderne ontwerpnormen. Omdat de rekenmodellen alleen gebruikmaken van standaard materiaaleigenschappen, kan het formaat van partiële veiligheidsfactoren zoals voorgeschreven in de ontwerpnormen zonder aanpassing worden toegepast. Op deze manier worden de invoerbelastingen gefactoreerd en worden de karakteristieke materiaaleigenschappen gereduceerd met de betreffende veiligheidscoëfficiënten die in de ontwerpnormen zijn voorgeschreven, precies zoals bij een conventionele betonanalyse. De waarden van de materiaalveiligheidsfactoren die zijn voorgeschreven in EN 1992-1-1 hoofdstuk 2.4.2.4 zijn standaard ingesteld, maar de gebruiker kan de veiligheidsfactoren wijzigen in de Code and calculation settings (Fig. 29).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29\qquad De instelling van  materiaalveiligheidsfactoren in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Belastingveiligheidsfactoren moeten door de gebruiker worden gedefinieerd in Combination rules voor elke niet-lineaire combinatie van belastinggevallen (Fig. 30). Voor alle templates die zijn geïmplementeerd in Idea StatiCa Detail, zijn partiële veiligheidsfactoren al vooraf gedefinieerd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad De instelling van  partiële belastingfactoren in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Door gebruik te maken van geschikte, door de gebruiker gedefinieerde combinaties van partiële veiligheidsfactoren, kunnen gebruikers ook rekenen met de CSFM volgens de globale resistance factor method (Navrátil, et al. 2017), maar deze aanpak wordt in de ontwerppraktijk vrijwel nooit gebruikt. Sommige richtlijnen bevelen het gebruik van de globale resistance factor method aan voor niet-lineaire analyses. Echter, bij vereenvoudigde niet-lineaire analyses (zoals de CSFM), waarbij alleen die materiaaleigenschappen nodig zijn die ook bij conventionele handberekeningen worden gebruikt, blijft het gebruik van het partiële veiligheidsformaat de voorkeur verdienen.

De verschillende verificaties die door EN 1992-1-1 vereist worden, worden beoordeeld op basis van de directe resultaten van het model. UGT-verificaties worden uitgevoerd voor betonsterkte, wapeningssterkte en verankering (aanhechtingsschuifspanningen).

De betonsterkte in druk wordt geëvalueerd als de verhouding tussen de maximale hoofddrukspanning σ_c = σ_c2 verkregen uit de EEM-analyse en de grenswaarde σ_c,lim = f_cd. 

De sterkte van de wapening wordt zowel in trek als in druk geëvalueerd als de verhouding tussen de spanning in de wapening ter plaatse van de scheuren σ_sr en de opgegeven grenswaarde σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{voor bilineair diagram met hellende bovenste tak}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{voor bilineair diagram met horizontale bovenste tak}}$

waarbij:

f_yk        de vloeigrens van de wapening volgens EN 1992-1-1 art. 3.2.3,

k          de verhouding van de treksterkte f_tk tot de vloeispanning,
            $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             is de partiële veiligheidsfactor voor wapening

De aanhechtingsschuifspanning wordt onafhankelijk geëvalueerd als de verhouding tussen de aanhechtingsspanning τ_b berekend door de EEM-analyse en de uiterste aanhechtingssterkte f_bd, volgens EN 1992-1-1 hoofdstuk 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

waarbij:

f_ctd      de rekenwaarde van de betontreksterkte volgens EN 1992-1-1 art. 3.1.6 (2) is. Vanwege de toenemende brosheid van beton met hogere sterkte is f_ctk,0.05 beperkt tot de waarde voor C60/75 volgens EN 1992-1-1 art. 8.4.2 (2)

η₁       een coëfficiënt is die betrekking heeft op de kwaliteit van de aanhechtingsconditie en de positie van de staaf tijdens het storten van het beton (Fig. 31).

η₁ = 1,0 wanneer ‘goede’ omstandigheden worden verkregen en

η₁ = 0,7 voor alle andere gevallen en voor staven in constructieve elementen gebouwd met glijbekisting, tenzij kan worden aangetoond dat er ‘goede’ aanhechtingsomstandigheden bestaan

η₂        betrekking heeft op de staafdiameter:

            η₂ = 1,0 voor Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 voor Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad EN 1992-1-1 Figuur 8.2 - Beschrijving van aanhechtingsomstandigheden.}}}$$

In IDEA StatiCa Detail wordt rekening gehouden met de aanhechtingsomstandigheden volgens Fig. 31 c) en d). De richting van het storten van het beton kan in de applicatie voor elk projectonderdeel als volgt worden ingesteld.

Deze verificaties worden uitgevoerd met inachtneming van de betreffende grenswaarden voor de respectieve delen van de constructie (d.w.z. ondanks dat er slechts één kwaliteit is voor zowel het beton als de wapening, zullen de uiteindelijke spanning-rekdiagrammen in elk deel van de constructie verschillen door de effecten van tension stiffening en compression softening).

Er is ook een optie om gladde wapeningsstaven te modelleren. Meer informatie is hier te vinden: Gladde wapeningsstaven in Detail

Totale kracht F_tot en grenskracht F_lim

De totale kracht F_tot is een resultaat van de eindige-elementenanalyse en kan op twee manieren worden gedefinieerd.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

waarbij A_s de oppervlakte van de wapeningsstaaf is en σ_s de spanning in de staaf.

Of als een som van de verankeringskracht F_a en de aanhechtingskracht F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

waarbij F_a de werkelijke kracht in de verankeringsveer is en F_bond de aanhechtingskracht is die kan worden verkregen door de aanhechtingsspanning τ_b te integreren over de lengte van de wapeningsstaaf l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s is de omtrek van de wapeningsstaaf.

De grenskracht F_lim is de maximale kracht in het element van de wapeningsstaaf, rekening houdend met de uiterste sterkte van de staaf en ook met de verankeringscondities (aanhechting tussen beton en wapening en verankeringshaken, lussen, enz.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

waarbij C_s de omtrek van de wapeningsstaaf is, en l de lengte vanaf het begin van de wapeningsstaaf tot het punt van interesse.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad Definitie van de grenskracht Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

waarbij F_lim,add de extra kracht is die wordt berekend op basis van de grootte van de hoek tussen naburige elementen. F_lim,2 moet altijd lager zijn dan F_u.

De beschikbare verankeringstypes in de CSFM omvatten een rechte staaf (d.w.z. geen reductie aan het uiteinde van het anker), bocht, haak, lus, gelaste dwarsstaaf, perfecte aanhechting en doorlopende staaf. Al deze types, samen met de bijbehorende verankeringscoëfficiënten β, worden getoond in Fig. 32 voor langswapening en in Fig. 33 voor beugels. De waarden van de gehanteerde verankeringscoëfficiënten zijn in overeenstemming met EN 1992-1-1 sectie 8.4.4 Tab. 8.2. Er dient te worden opgemerkt dat ondanks de verschillende beschikbare opties, de CSFM drie soorten verankeringsuiteinden onderscheidt: (i) geen reductie van de verankeringslengte, (ii) een reductie van 30% van de verankeringslengte in het geval van een genormaliseerde verankering en (iii) perfecte aanhechting.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Beschikbare verankeringstypes en bijbehorende verankeringscoëfficiënten voor langswapeningsstaven in de CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) rechte staaf; (b) bocht; (c) haak; (d) lus; (e) gelaste dwarsstaaf; (f) perfecte aanhechting; (g) doorlopende staaf.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 33\qquad  Beschikbare verankeringstypes en bijbehorende verankeringscoëfficiënten voor beugels.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Gesloten beugels: (a) haak; (b) bocht; (c) overlap. Open beugels: (d) haak; (e) doorlopende staaf.}}}$$

Om te voldoen aan EN 1992-1-1 moet de verankeringsveer worden gebruikt in de berekening; de verankeringsveer wordt aangepast met de β-coëfficiënt, zodat de gebruiker een van de beschikbare verankeringstypes moet gebruiken bij het definiëren van de begin- en eindcondities van de wapening. 

Bij het ontwerpen van betonconstructies komen we twee grote groepen gedeeltelijk belaste gebieden (PLA) tegen - de eerste groep omvat opleggingen, terwijl de andere bestaat uit verankeringsgebieden. Volgens de huidige geldige normen voor het ontwerp van gewapend betonconstructies EN 1992-1-1 hfst. 6.7 (Fig. 34), moet voor gedeeltelijk belaste gebieden rekening worden gehouden met lokaal verbrijzelen van beton en transversale trekkrachten. Voor een gelijkmatig verdeelde belasting op een gebied, A_c0, kan de drukcapaciteit van beton met maximaal een factor drie worden verhoogd, afhankelijk van het rekenkundige verdeelgebied A_c1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 34\qquad Gedeeltelijk belaste gebieden volgens EN 1992-1-1.}}}$$

Het gedeeltelijk belaste gebied moet voldoende worden gewapend met dwarswapening die is ontworpen om de splijtkrachten die in het gebied optreden, over te dragen. Voor het ontwerp van dwarswapening in gedeeltelijk belaste gebieden wordt volgens de Eurocode de Staafwerk-methode gebruikt. Zonder de vereiste dwarswapening is het niet mogelijk om een verhoging van de drukcapaciteit van het beton in aanmerking te nemen.

Gedeeltelijk belaste gebieden in de CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 35\qquad Fictieve drukdiagonalen met eindige-elementen-mesh van het beton.}}}$$

Met behulp van de CSFM is het mogelijk om gewapend betonconstructies te ontwerpen en te toetsen, waarbij rekening wordt gehouden met de invloed van de toenemende drukweerstand van beton in gedeeltelijk belaste gebieden. Omdat de CSFM een wand (2D)-model is en de gedeeltelijk belaste gebieden een ruimtelijke (3D) taak vormen, was het noodzakelijk om een oplossing te vinden die deze twee verschillende soorten taken combineert (Fig. 35). Als de functie "gedeeltelijk belaste gebieden" is geactiveerd, wordt de toelaatbare kegelgeometrie gemaakt volgens de Eurocode (Fig. 34). Alle geometrische conflicten worden volledig in 3D opgelost voor de opgegeven geometrie van het betonnen staaf en de afmetingen van elk PLA. Vervolgens wordt een rekenmodel van het gedeeltelijk belaste gebied gemaakt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 36\qquad Toelaatbare kegelgeometrieën.}}}$$

De aanpassing van het materiaalmodel bleek een ongeschikte aanpak te zijn, wat voornamelijk kwam doordat de toewijzing van eigenschappen aan de eindige-elementen-mesh problematisch is. Er werd vastgesteld dat een aanpak die onafhankelijk is van de eindige-elementen-mesh een geschiktere oplossing is. Voor de bekende drukkegelgeometrie worden volledig coherente fictieve drukdiagonalen gemaakt (Fig. 35 en Fig. 37). Deze drukdiagonalen hebben identieke materiaaleigenschappen als het beton dat in het model wordt gebruikt, inclusief het spanning-rekdiagram. De vorm van de kegel bepaalt de richting van de drukdiagonalen, die de belasting geleidelijk over het PLA verdelen naar het rekenkundige verdeelgebied. De oppervlaktedichtheid van de fictieve drukdiagonalen is variabel bij elk deel van de kegel en voegt een fictief betonoppervlak toe in de belastingsrichting. Op het niveau van het belaste gebied (A_c0) wordt een fictief betonoppervlak toegevoegd volgens de verhouding $\sqrt{A_{c0} \cdot A_{c1}} - A_{real}$  (waarbij A_real een oppervlak van de oplegging is dat wordt aangenomen in het 2D-rekenmodel), en dit oppervlak neemt lineair af tot nul richting het rekenkundige verdeelgebied (A_c1). Deze oplossing zorgt ervoor dat de drukspanning in het beton constant is over het gehele kegelvolume.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c1}}{A_{c0}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c0}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 37\qquad Fictieve drukdiagonalen in het rekenmodel}}}$$

De weerstand van het gedeeltelijk belaste gebied wordt verhoogd volgens de verhouding van het rekenkundige verdeelgebied en het belaste gebied, zoals vastgelegd in EN 1992-1-1  (6.7).  Er moet in gedachten worden gehouden dat dit een rekenmodel is dat de spanningstoestand over een gedeeltelijk belast gebied, waarvan de werkelijke spanningsstroming veel gecompliceerder is, niet nauwkeurig kan beschrijven. Deze oplossing maakt echter een correcte verdeling van de belasting over het gehele model mogelijk, met inachtneming van de verhoogde belastingscapaciteit van het gedeeltelijk belaste gebied. Bovendien introduceert het correct transversale spanningen in dit gebied.

Bij gebruik van de functie Gedeeltelijk belaste gebieden om de toename van de drukcapaciteit van beton te simuleren, is het noodzakelijk om de normtoetsing afzonderlijk uit te voeren volgens EN 1992-1-1, paragraaf 6.7 (2). De transversale trekkrachten (splijtkrachten) die door de wapening worden overgedragen, worden automatisch getoetst.

BGT-beoordelingen worden uitgevoerd voor spanningsbeperking, scheurwijdte en doorbuigingslimieten. Spanningen worden gecontroleerd in beton- en wapeningselementen volgens EN 1992-1-1 op een vergelijkbare manier als gespecificeerd voor de UGT.

Spanningsbeperking

De drukspanning in het beton moet worden beperkt om langsscheuren te voorkomen. Volgens EN 1992-1-1 hfst. 7.2 (2) kunnen langsscheuren optreden als het spanningsniveau onder de karakteristieke belastingscombinatie een waarde k₁f_ck overschrijdt. De drukspanning in het beton wordt geëvalueerd als de verhouding tussen de maximale hoofddrukspanning σ_c = σ_c2 verkregen uit de EEM-analyse voor bruikbaarheidsgrenstoestanden en de grenswaarde σ_c,lim. Dan:

$$\frac{σ_{c}}{σ_{c,lim}}$$

$$σ_{c,lim} = k_1\cdot f_{ck}$$

waarbij:

f_ck        karakteristieke cilinderdruksterkte van beton,

k₁         =0,6.

Als de spanning in het beton onder de quasi-blijvende belastingen kleiner is dan k₂f_ck volgens EN 1992-1-1 art. 7.2(3), mag lineaire kruip worden aangenomen. Als de spanning in het beton k₂f_ck overschrijdt, moet niet-lineaire kruip in beschouwing worden genomen (zie EN 1992-1-1 art. 3.1.4). In IDEA StatiCa Detail kan alleen lineaire kruip volgens EN 1992-1-1 art. 3.1.4 (3) worden aangenomen (zie Materiaalmodellen (EN)).

Er mag worden aangenomen dat onaanvaardbare scheurvorming of vervorming wordt voorkomen als, onder de karakteristieke belastingscombinatie, de trekspanning in de wapening niet groter is dan k₃f_yk (EN 1992-1-1 hfst. 7.2 (5)). De sterkte van de wapening wordt geëvalueerd als de verhouding tussen de spanning in de wapening ter plaatse van de scheuren σ_s = σ_sr en de opgegeven grenswaarde σ_s,lim:

$$\frac{σ_{s}}{σ_{s,lim}}$$

$$σ_{s,lim} =  k_3\cdot f_{yk}$$

waarbij:

f_yk        vloeigrens van de wapening,

k₃        =0,8.

Doorbuiging

Doorbuigingen kunnen alleen worden beoordeeld voor wanden of isostatische (statisch bepaalde) of hyperstatische (statisch onbepaalde) liggers. In deze gevallen wordt de absolute waarde van de doorbuigingen beschouwd (ten opzichte van de begintoestand vóór belasting), en moet de maximaal toelaatbare waarde van de doorbuigingen door de gebruiker worden ingesteld. Doorbuigingen bij afgesneden uiteinden kunnen niet worden gecontroleerd, aangezien dit in wezen instabiele constructies zijn waarbij het evenwicht wordt bereikt door het toevoegen van eindkrachten, waardoor de doorbuigingen onrealistisch zijn. Korte-termijn u_z,st of lange-termijn u_z,lt doorbuiging kan worden berekend en gecontroleerd aan de hand van door de gebruiker gedefinieerde grenswaarden:

$$\frac{u_ z}{u_{z,lim}}$$

waarbij:

u_z         korte- of lange-termijn doorbuiging berekend door EEM-analyse,

u_z,lim    grenswaarde van de doorbuiging gedefinieerd door de gebruiker.

Scheurwijdte

Scheurwijdtes en -oriëntaties worden alleen berekend voor langetermijneffecten (met gebruik van E_c,eff) voor combinaties waarbij scheurwijdte-evaluatie is ingeschakeld. Verificaties op basis van door de gebruiker opgegeven grenswaarden conform Eurocode worden als volgt weergegeven:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

waarbij:

w         scheurwijdte berekend door EEM-analyse,

w_lim     grenswaarde van de scheurwijdte gedefinieerd door de gebruiker.

Er zijn twee manieren om scheurwijdtes te berekenen (gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurvorming). In het algemene geval (gestabiliseerde scheurvorming) wordt de scheurwijdte berekend door integratie van de rekken op 1D-elementen van wapeningsstaven. De scheurrichting wordt vervolgens berekend op basis van de drie dichtstbijzijnde (vanuit het middelpunt van het gegeven 1D eindige-elementenmodel van de wapening) integratiepunten van 2D-betonelementen. Hoewel deze benadering voor het berekenen van de scheurrichtingen niet overeenkomt met de werkelijke positie van de scheuren, levert het toch representatieve waarden op die leiden tot scheurwijdteresultaten die vergeleken kunnen worden met de door de norm vereiste scheurwijdtewaarden ter plaatse van de wapeningsstaaf.

Beton - Sterkte

Het betonmodel dat is geïmplementeerd voor sterkteberekeningen in CSFM is gebaseerd op de parabolisch-plastische spanning-rekkromme voor beton, gebaseerd op de parabolische spanning-rekkromme van de Portland Cement Association, zoals beschreven in PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figuur 6-8. De treksterkte wordt verwaarloosd, zoals gebruikelijk is bij klassiek gewapend betonontwerp.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 38\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

De implementatie van CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt geen rekening met een expliciet bezwijkcriterium in termen van rek voor beton in druk (d.w.z. na het bereiken van de piekspanning wordt een plastische tak beschouwd met ε_c0 met een maximale waarde van 5%, terwijl ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 uitgaat van een grensrek van minder dan 0,3%). Deze vereenvoudiging maakt het niet mogelijk om het vervormingsvermogen van constructies die bezwijken door druk te verifiëren. De sterkte wordt echter correct voorspeld wanneer, naast de factor voor gescheurd beton (k_c2 gedefinieerd in (Fig. 39)), rekening wordt gehouden met de toenemende brosheid van beton naarmate de sterkte toeneemt, door middel van de reductiefactor $\eta_{fc}$ zoals gedefinieerd in de fib Model Code 2010, als volgt:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarbij:

α₁ de reductiefactor is voor de druksterkte van beton, gedefinieerd in ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Bij gebruik van een parabool-rechthoek-spanning-rekdiagram is het noodzakelijk om de maximale drukspanning met deze factor te reduceren. Dit middelt de spanningsverdeling in de drukzone op een zodanige manier dat de resulterende druksterkte kleiner is dan of gelijk is aan de druksterkte berekend met een spanning-rekdiagram met een afnemende plastische tak.

Φ_c is de sterktereductiefactor voor beton. De standaardwaarde is ingesteld volgens ACI 318-19 Tabel 24.2.1 (b)(f).

k_c2 is de reductiefactor als gevolg van de aanwezigheid van dwarsscheurvorming.

f'_c is de cilindersterkte van beton (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 39\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 is een reductiefactor gebaseerd op dezelfde aannames als de knoopzonecoëfficiënt β_n, gegeven in ACI 318-19 Tabel 23.9.2, met dien verstande dat in CSFM voor elk eindig element wordt gecontroleerd of er een hoofdtrekspanning loodrecht op de hoofddrukspanning aanwezig is (niet alleen voor knopen van het Staafwerk-model).

Beton – Bruikbaarheid

De analyse van de bruikbaarheidsgrenstoestand bevat bepaalde vereenvoudigingen van de constitutieve modellen die worden gebruikt voor de sterkteanalyse. De plastische tak van de spanning-rekkromme van beton in druk wordt buiten beschouwing gelaten, terwijl de elastische tak lineair en oneindig is. Compression softening wordt niet in rekening gebracht. Deze vereenvoudigingen verbeteren de numerieke stabiliteit en berekeningssnelheid en verminderen de algemeenheid van de oplossing niet, zolang de resulterende materiaalspanningslimieten bij bruikbaarheid duidelijk onder hun vloeigrens liggen (zoals vereist door ACI). Daarom zijn de vereenvoudigde modellen die worden gebruikt voor bruikbaarheid alleen geldig als aan alle verificatievereisten wordt voldaan.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Lange-termijneffecten

Het langetermijngedrag van de constructie, zoals langetermijndoorbuigingen of de berekening van scheurbreedtes veroorzaakt door blijvende belastingen, wordt beïnvloed door kruip van beton. ACI 318-19 in paragraaf 24.2.4.1.3 definieert de tijdsafhankelijke factor voor blijvende belastingen – ξ, die het kruipeffect voor een bepaalde duur van de blijvende belasting weergeeft.

In de Detail applicatie wordt de elasticiteitsmodulus E_c aangepast om het langetermijngedrag van de constructie te bepalen via de factor ξ. De aangepaste elasticiteitsmodulus wordt aangeduid als E_c,eff – zie Figuur 40.

Uitgaande van de aanname dat de vervorming van het element wordt uitgedrukt door rek, kan worden geschreven dat:

$$\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} + \epsilon_{creep} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$$

waarbij:

ε₀ een korte-termijnrek is (zonder de invloed van kruip) en ε_creep een rek is veroorzaakt door kruip.

Met behulp van de wet van Hooke kunnen we schrijven:

$$E_{c,eff} = \frac{f_{c}}{\epsilon_{tot}}$$

Door $\epsilon_{tot} = \epsilon_{0} \cdot (1+\xi)$ en $\epsilon_{0} = f_{c} / E_{c}$ in te vullen, krijgen we:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\xi}$$

De duur van de blijvende belasting voor het bepalen van de factor ξ kan afzonderlijk worden ingesteld voor elke lange-termijn gebruikslastcombinatie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41\qquad Sustained load duration}}}$$

De tijdsafhankelijke doorbuigingen, spanningen en scheurbreedtes worden vervolgens berekend met een aangepast materiaalmodel, waarbij het effect van drukverfijning automatisch in rekening wordt gebracht door de aard van de EEM-analyse. Het is daarom niet nodig deze verder te vermenigvuldigen met de factor gedefinieerd in 24.2.4.1.1.

Korte-termijneffecten

Om korte-termijnverificaties uit te voeren, wordt een andere berekening uitgevoerd waarbij alle belastingen worden berekend zonder de tijdsafhankelijke factor voor blijvende belastingen. Beide berekeningen voor lange- en korte-termijnverificaties zijn weergegeven in Fig. 40.

Wapening

Voor de niet-voorgespannen wapening wordt een perfect elastisch-plastisch spanning-rekdiagram met een gedefinieerd vloeipunt beschouwd, zie ACI 319-19 Cl. 20.2.1. Voor de definitie van dit diagram zijn alleen de basiseigenschappen van de wapening nodig – de sterkte en de elasticiteitsmodulus.

Het spanning-rekdiagram van de wapening kan ook door de gebruiker worden gedefinieerd, maar in dat geval is het niet mogelijk om rekening te houden met het tension stiffening-effect (het is niet mogelijk om de scheurbreedte te berekenen). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

waarbij:

Φ_s de sterktereductiefactor voor wapening is. De standaardwaarde is ingesteld volgens ACI 318-19 Tabel 24.2.1.

f_y de vloeigrens van de wapening is

E_s de elasticiteitsmodulus van de wapening is

10% wordt gekozen als de grensrek waarbij de berekening wordt gestopt. Dit wordt als veilig beschouwd op basis van ASTM A955/A955M-20c Artikel 7.

Tension stiffening (Fig. 43)  wordt automatisch in rekening gebracht door het invoerspanning-rekverband van de blote wapeningsstaaf aan te passen, om zo de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven vast te leggen (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

De Compatible Stress Field Method voldoet aan moderne ontwerpnormen. Omdat de rekenmodellen alleen gebruikmaken van standaard materiaaleigenschappen, kan het formaat van partiële veiligheidsfactoren zoals voorgeschreven in de ontwerpnormen zonder aanpassing worden toegepast. Op deze manier worden de invoerbelastingen gefactoreerd en worden de karakteristieke materiaaleigenschappen gereduceerd met behulp van de betreffende sterktereductiefactoren, precies zoals bij conventionele betonanalyse.

Waarden van sterktereductiefactoren zijn voorgeschreven in ACI 318-19 Cl. 21.2. De standaardwaarden voor beton en wapening zijn gekozen op basis van de aanname dat het typische voorbeeld dat in de applicatie wordt opgelost, afschuiving-gestuurd is (op basis van Tabel 21.2.1 (b), (f), (g)). Het is echter mogelijk om elk type element te modelleren. Als daarom een op druk of trek gestuurd element wordt beoordeeld, heeft de gebruiker de mogelijkheid om de waarde van de sterktereductiefactor te wijzigen in de Voorkeuren.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad De instelling van sterktereductiefactoren in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Belastingsfactoren voor sterktecombinaties dienen te worden gedefinieerd volgens ACI 318-19 Tabel 5.3.1.

Behalve zoals vermeld in Hoofdstuk 34, worden belastingscombinaties op gebruiksniveau niet gedefinieerd in ACI 318-19. Het wordt aanbevolen om combinatieregels te gebruiken op basis van Appendix C van ASCE/SEI 7-16. Voor alle templates zijn de belastingsfactoren al vooraf gedefinieerd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad De instelling van belastingsfactoren in Idea StatiCa Detail.}}}$$

De verschillende verificaties die door ACI 318-19 vereist zijn, worden beoordeeld op basis van de directe resultaten die het model oplevert. Verificaties worden uitgevoerd voor betonsterkte, wapeningssterkte en verankering (aanhechtingsschuifspanningen).

De betonsterkte in druk wordt geëvalueerd als de verhouding tussen de maximale hoofddrukspanning f_c (ook σ₂ in Aanvullende resultaten) verkregen uit de EEM-analyse en de grenswaarde f'_c,lim.

De sterkte van de wapening wordt zowel in trek als in druk geëvalueerd als de verhouding tussen de spanning in de wapening ter plaatse van de scheuren f_s en de opgegeven grenswaarde f_y,lim.

De aanhechtingsschuifspanning wordt onafhankelijk geëvalueerd als de verhouding tussen de aanhechtingsspanning τ_b berekend door de EEM-analyse en de aanhechtingssterkte f_bu.

De ACI-norm behandelt de aanhechtingssterkte echter niet expliciet, maar werkt met de berekening van de zogenaamde ontwikkelingslengte, die beschreven wordt in Sectie 25.4.2. Aangezien de aanhechtingssterkte een fundamentele invoerparameter is voor het bepalen van de ontwikkelingslengte, zie R25.4.1.1 en ACI Committee 408 1966, kan de aanhechtingssterkte als volgt berekend worden:

Laten we aannemen dat als we de wapeningsstaaf verankeren in een betonblok tot de ontwikkelingslengte l_d of groter, het uittrekken van de wapening zal leiden tot breuk van de wapening en niet tot het uittrekken van het beton. Dit kan met de volgende formule geschreven worden.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

waarbij:

d_b de diameter van de wapeningsstaaf is, l_d de ontwikkelingslengte is, f_bu de aanhechtingssterkte is, f_y de vloeigrens van de wapening is, en A_s de oppervlakte van de wapeningsstaaf is.

Uit het voorgaande kan de formule voor het berekenen van de aanhechtingssterkte eenvoudig worden afgeleid:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

De ontwikkelingslengte l_d wordt vervolgens bepaald volgens ACI 318-19 Tabel 25.4.2.3 als volgt:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

waarbij:

C = 25 (2,1 voor metrisch) voor staven nr. 6 en kleiner en geribde draden, C = 20 (1,7 voor metrisch) voor staven nr. 7 en groter, λ = 1,0 voor normaal gewicht beton, ψ_t, ψ_e, ψ_g worden bepaald volgens ACI 318-19 Tabel 25.4.2.3. 

Alleen ongecoate of verzinkte (gegalvaniseerde) wapening wordt ondersteund, dus ψ_e = 1,0. ψ_g wordt automatisch bepaald op basis van de wapeningsklasse, en ψ_t wordt automatisch afgeleid van de positie van de wapening in het model en van de stortrichting die voor elk projectonderdeel als volgt in de applicatie kan worden ingesteld.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Direction of concreting}}}$$

Deze verificaties worden uitgevoerd met betrekking tot de geschikte grenswaarden voor de respectievelijke delen van de constructie (dat wil zeggen, ondanks dat er een enkele klasse is voor zowel beton als wapeningsmateriaal, zullen de uiteindelijke spanning-rek-diagrammen in elk deel van de constructie verschillen door tension stiffening- en compression softening-effecten).

Er is ook een optie om gladde wapeningsstaven te modelleren. Meer informatie is hier te vinden: Gladde wapeningsstaven in Detail

Totale kracht F_tot en grenskracht F_lim

De totale kracht F_tot is een resultaat van de eindige-elementenanalyse en kan op twee manieren gedefinieerd worden.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

waarbij A_s de oppervlakte van de wapeningsstaaf is en f_s de spanning in de staaf is.

Of als een som van de verankeringskracht F_a en de aanhechtingskracht F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

waarbij F_a de werkelijke kracht in de verankeringsveer is en F_bond de aanhechtingskracht is die verkregen kan worden door integratie van de aanhechtingsspanning τ_b over de lengte van de wapeningsstaaf l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s is de omtrek van de wapeningsstaaf.

De grenskracht F_lim is de maximale kracht in het element van de wapeningsstaaf, rekening houdend met de sterkte van de staaf en ook de verankeringsvoorwaarden (aanhechting tussen beton en wapening en verankeringshaken, lussen, enz.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

waarbij C_s de omtrek van de wapeningsstaaf is, en l de lengte is vanaf het begin van de wapeningsstaaf tot het punt van interesse.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

waarbij F_lim,add de extra kracht is die berekend wordt uit de grootte van de hoek tussen naburige elementen. F_lim,2 moet altijd lager zijn dan F_u.

De beschikbare verankeringstypen in CSFM omvatten een rechte staaf (d.w.z. geen reductie aan het verankeringseinde), een haak van 90 graden, een haak van 180 graden, perfecte aanhechting en een doorlopende staaf. Al deze typen, samen met de bijbehorende verankeringscoëfficiënten β, worden weergegeven in Fig. 48 voor langswapening. De waarden van de gehanteerde verankeringscoëfficiënten zijn afgeleid uit de vergelijking van de vergelijking uit sectie ACI 318-19 25.4.3.1 en vergelijkingen ontleend aan sectie ACI 318-19 25.4.2.3. Er dient opgemerkt te worden dat, ondanks de verschillende beschikbare opties, CSFM drie typen verankeringseinden onderscheidt: (i) geen reductie van de verankeringslengte, (ii) een reductie van 30% van de verankeringslengte in het geval van een genormaliseerde verankering, en (iii) perfecte aanhechting.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

De verankeringscoëfficiënt voor beugels is altijd - β = 1,0.

Om te voldoen aan ACI moet de verankeringsveer in de berekening worden gebruikt; de verankeringsveer wordt aangepast met de β-coëfficiënt, dus de gebruiker moet een van de beschikbare verankeringstypen gebruiken bij het definiëren van de begin- en eindvoorwaarden van de wapening. 

Bij het ontwerpen van betonconstructies onderscheiden we twee grote groepen gedeeltelijk belaste vlakken (PLA) – de eerste hiervan omvat opleggingen, terwijl de andere bestaat uit verankeringszones. 

Volgens de momenteel geldende normen voor het ontwerp van gewapend betonconstructies ACI 318-19 hfst. 22.8, moet bij opleggingen rekening worden gehouden met lokale verbrijzeling van beton en dwarse trekkrachten. Voor een gelijkmatig verdeelde belasting op een oppervlak, A_c1, mag de drukcapaciteit van beton met maximaal een factor twee worden verhoogd, afhankelijk van het rekenkundige verdeelvlak A_c2. Zie ACI 318-19 tabel 22.8.3.2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49\qquad Gedeeltelijk belaste vlakken voor opleggingen volgens ACI 318-19}}}$$

Voor verankeringszones met voorspanning met nagerekt staal moet ACI 318-19 hfst. 25.9 worden gevolgd.

Het gedeeltelijk belaste vlak moet voldoende worden gewapend met dwarswapening die is ontworpen om de splijtkrachten die in het vlak optreden, over te dragen. Zonder de vereiste dwarswapening is het niet mogelijk om een verhoging van de drukcapaciteit van het beton in aanmerking te nemen.

Gedeeltelijk belaste vlakken in CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Fictieve drukdiagonalen met eindige-elementenmesh van beton.}}}$$

Met CSFM is het mogelijk om gewapende betonconstructies te ontwerpen en te toetsen, waarbij rekening wordt gehouden met de invloed van de toenemende drukweerstand van beton in gedeeltelijk belaste vlakken. Omdat CSFM een wandmodel (2D) is en gedeeltelijk belaste vlakken een ruimtelijke (3D) taak vormen, moest een oplossing worden gevonden die deze twee verschillende soorten taken combineert (Fig. 50). Als de functie "gedeeltelijk belaste vlakken" is geactiveerd, wordt de toelaatbare kegelgeometrie gecreëerd volgens de ACI (Fig. 49). Alle geometrische conflicten worden volledig in 3D opgelost voor de opgegeven geometrie van het betonelement en de afmetingen van elk PLA. Vervolgens wordt een rekenmodel van het gedeeltelijk belaste vlak gemaakt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad Toelaatbare kegelgeometrieën.}}}$$

De aanpassing van het materiaalmodel bleek een ongeschikte aanpak te zijn, voornamelijk omdat het toewijzen van eigenschappen aan de eindige-elementenmesh problematisch is. Er werd vastgesteld dat een aanpak die onafhankelijk is van de eindige-elementenmesh een geschiktere oplossing is. Voor de bekende drukkegelgeometrie worden volledig coherente fictieve drukdiagonalen gecreëerd (Fig. 51 en Fig. 52). Deze drukdiagonalen hebben identieke materiaaleigenschappen als het beton dat in het model wordt gebruikt, inclusief het spanning-rekdiagram. De vorm van de kegel bepaalt de richting van de drukdiagonalen, die de belasting geleidelijk over het PLA naar het rekenkundige verdeelvlak verdelen. De oppervlaktedichtheid van de fictieve drukdiagonalen is variabel bij elk deel van de kegel, en er wordt een fictief betonoppervlak toegevoegd in de belastingsrichting. Op het niveau van het belaste vlak (A_c1) wordt een fictief betonoppervlak toegevoegd volgens de verhouding $\sqrt{A_{c1} \cdot A_{c2}} - A_{real}$  (waarbij A_real een oppervlak van de oplegging is dat in het 2D-rekenmodel wordt aangenomen), en dit oppervlak neemt lineair af tot nul richting het rekenkundige verdeelvlak (A_c2). Deze oplossing zorgt ervoor dat de drukspanning in het beton constant is over het gehele kegelvolume.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{c2}}{A_{c1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{c1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad Fictieve drukdiagonalen in het rekenmodel}}}$$

De weerstand van het gedeeltelijk belaste vlak wordt verhoogd volgens de verhouding van het rekenkundige verdeelvlak en het belaste vlak, zoals vastgelegd in ACI 318-19 hfst. 22.8.  Er moet worden opgemerkt dat dit een rekenmodel is dat de spanningstoestand over een gedeeltelijk belast vlak, waarvan de werkelijke verdeling veel complexer is, niet nauwkeurig kan beschrijven. Deze oplossing maakt echter een correcte verdeling van de belasting over het gehele model mogelijk, met inachtneming van de verhoogde belastingscapaciteit van het gedeeltelijk belaste vlak. Bovendien worden hierbij correct dwarsspanningen in dit vlak geïntroduceerd om de wapening voor splijtkrachten correct te ontwerpen.

De toelaatbare oplegspanning van 0.85f_c' staat vermeld in Tabel 22.8.3.2. De dichtheid is beperkt zodat de maximale dubbele capaciteit, gegeven in de formule in Tabel 22.8.3.2(b), niet wordt overschreden.  

Voor de verankeringszones wordt PLA op dezelfde manier gebruikt als voor opleggingen in de applicatie. Daarom moeten de lokale zones die zijn gedefinieerd in ACI 318-19 hoofdstuk 25.9 handmatig worden getoetst volgens ACI 318-19 25.9.3. Het PLA wordt daarom alleen gebruikt om te voorkomen dat het rekcriterium in de lokale zone wordt overschreden en zo de berekening voortijdig wordt gestopt. Aan de andere kant kan, volgens ACI 318-19, art. 25.9.4.3.1 (b), de wapening die de bersting en afschilfering van de spanningen in het vlak weerstaat, direct en voordelig worden geverifieerd in de applicatie.

Controles op de bruikbaarheidsgrenstoestand worden uitgevoerd voor spanningsbeperking, scheurwijdte en doorbuigingsgrenzen. Spanningen worden gecontroleerd in beton- en wapeningselementen volgens ACI 318-19, op een vergelijkbare manier als gespecificeerd voor de Sterkte.

Spanningsbeperking

Toelaatbare drukspanningen in beton bij gebruikslast moeten worden gecontroleerd voor voorgespannen staven van Klasse U en T. Op basis van Tabel R24.5.2.1 is er geen controle op spanningsbeperking vereist voor beton dat als gescheurd wordt beschouwd. De gebruiker moet de klasse van de voorgespannen staaf instellen in de instellingen van de rekenstaaf.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Prestressed flexural member class selection}}}$$

De toelaatbare drukspanning voor staven die aan tijdelijke belastingen zijn onderworpen, wordt in ACI 318-19 24.5.4.1 gespecificeerd als 0.6f_c'. De drukspanningsgrens van 0.45f_c' is vastgesteld om de kans op bezwijken van voorgespannen betonnen staven als gevolg van herhaalde belastingen te verkleinen. Deze grens leek ook redelijk om overmatige kruipvervorming te voorkomen. Bij hogere spanningswaarden nemen kruiprekken doorgaans sneller toe naarmate de aangebrachte spanning toeneemt.

De drukspanning in het beton wordt geëvalueerd als de verhouding tussen de maximale hoofddrukspanning f_c = σ_c2 verkregen uit de EEM-analyse voor bruikbaarheid en de grenswaarde, die is vastgesteld op basis van Tabel 24.5.4.1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

In de applicatie wordt Voorspanning plus blijvende belasting behandeld als een langetermijncombinatie, en Voorspanning plus totale belasting als een kortetermijncombinatie.

Doorbuiging

Op basis van het geselecteerde combinatietype (langetermijn of kortetermijn) wordt ofwel de langetermijn- ofwel de kortetermijndoorbuiging geëvalueerd. De maximaal toelaatbare doorbuigingswaarde moet door de gebruiker worden bepaald en moet in overeenstemming zijn met ACI 138-19 24.2. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

In de applicatie is het mogelijk om de doorbuigingen door eigen gewicht Δ_DL en veranderlijke belasting Δ_LL afzonderlijk weer te geven, evenals de totale doorbuiging Δ_Tot (blijvend+veranderlijk), terwijl tegelijkertijd de vervormde vorm wordt weergegeven.

Doorbuigingen bij afgesneden uiteinden kunnen niet worden gecontroleerd.

Scheurwijdte

Scheurwijdtes en scheurrichtingen worden berekend voor kortetermijn- of langetermijncombinaties voor de bruikbaarheidsgrenstoestand. Aangezien ACI geen grenswaarden voor scheurwijdtes rechtstreeks voorschrijft, moet de gebruiker een grenswaarde voor de scheurwijdte w_lim opgeven.

De controles worden als volgt weergegeven:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

waarbij:

w         kortetermijn- of langetermijnscheurwijdte berekend door EEM-analyse,

w_lim     grenswaarde van de scheurwijdte gedefinieerd door de gebruiker.

De methode voor het berekenen van scheurwijdtes die in de applicatie wordt gebruikt, en die in dit document ook in meer detail wordt beschreven, is in overeenstemming met ACI 224R-01. Het is daarom mogelijk om ACI 224R-01 Tabel 4.1 te gebruiken om de grenswaarde van scheurwijdtes te bepalen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad Reasonable crack widths for reinforced concrete under service load}}}$$

Er zijn twee manieren om scheurwijdtes te berekenen (gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurvorming). In het algemene geval (gestabiliseerde scheurvorming) wordt de scheurwijdte berekend door de rekken op 1D-elementen van wapeningsstaven te integreren. De scheurrichting wordt vervolgens berekend vanuit de drie dichtstbijzijnde (vanaf het middelpunt van het gegeven 1D eindige-elementensegment van de wapening) integratiepunten van 2D-betonelementen. Hoewel deze benadering voor het berekenen van de scheurrichtingen niet overeenkomt met de werkelijke positie van de scheuren, levert deze nog steeds representatieve waarden op die leiden tot scheurwijdteresultaten die vergeleken kunnen worden met de door de norm vereiste scheurwijdtewaarden op de positie van de wapeningsstaaf.

Beton - Sterkte

Het betonmodel dat is geïmplementeerd voor sterkteberekeningen in CSFM is gebaseerd op de AASHTO LRFD strength-design uitgangspunten van evenwicht en rekcompatibiliteit. In overeenstemming met AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.2.1 wordt de treksterkte van beton verwaarloosd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

De implementatie van CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt geen rekening met een expliciet bezwijkcriterium in termen van rek voor beton onder druk (d.w.z. na het bereiken van de piekspanning wordt een plastische tak beschouwd met ε_c0 met een maximale waarde van 5%, terwijl AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.2.1 uitgaat van een uiterste rek van minder dan 0,3%). Deze vereenvoudiging maakt het niet mogelijk om de vervormingscapaciteit van constructies die bezwijken op druk te verifiëren. De sterkte wordt echter correct voorspeld wanneer, naast de factor voor gescheurd beton (k_c2 gedefinieerd in (Fig. 57)), rekening wordt gehouden met de toename van de brosheid van beton naarmate de sterkte toeneemt, door middel van de reductiefactor $\eta_{fc}$ zoals gedefinieerd in fib Model Code 2010 als volgt:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot k_{c}\cdot f'_{c}$$

$$k_{c}=\eta_{fc}\cdot k_{c2}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarbij:

α₁ de reductiefactor is van de betondrukvastheid zoals gedefinieerd in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.2.2. Bij gebruik van een parabool-rechthoek spanning-rek-diagram is het noodzakelijk om de maximale drukspanning met deze factor te reduceren. Dit middelt de spanningsverdeling in de drukzone zodanig dat de resulterende drukvastheid kleiner is dan of gelijk is aan de drukvastheid berekend met een spanning-rek-diagram met een aflopende plastische tak.

Φ_c is de weerstandsfactor voor beton. De standaardwaarde is ingesteld volgens AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.5.4.2.

k_c2 is de reductiefactor als gevolg van de aanwezigheid van dwarsscheurvorming.

f'_c is de cilindersterkte van het beton (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58\qquad The compression softening law.}}}$$

k_c2 is een reductiefactor gebaseerd op dezelfde uitgangspunten als de betonefficiëntiefactor ν gegeven in AASHTO LRFD (2024) 5.8.2.5.3a en Tabel 5.8.2.5.3a-1, met dat verschil dat in CSFM voor elk eindig element wordt gecontroleerd op de aanwezigheid van een hoofdtrekspanning loodrecht op de hoofddrukspanning (niet alleen voor knopen van het Staafwerk-model).

Beton – Bruikbaarheid

De bruikbaarheidsanalyse bevat bepaalde vereenvoudigingen van de constitutieve modellen die worden gebruikt voor de sterkteanalyse. De plastische tak van de spanning-rek-curve van beton onder druk wordt buiten beschouwing gelaten, terwijl de elastische tak lineair en oneindig is. De compression softening law wordt niet in rekening gebracht. Deze vereenvoudigingen verbeteren de numerieke stabiliteit en de rekensnelheid en verminderen de algemeenheid van de oplossing niet, zolang de resulterende materiaalspanningslimieten bij bruikbaarheid duidelijk onder hun vloeipunten liggen (in overeenstemming met de AASHTO LRFD service limit state-benadering). De vereenvoudigde modellen die worden gebruikt voor bruikbaarheid zijn daarom alleen geldig als aan alle verificatievereisten is voldaan.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Langetermijneffecten

Het langetermijn constitutieve model (de rode curve in Fig. 59) wordt gebruikt voor de berekening van de scheurwijdte, de totale doorbuiging en de spanningslimitering van voorgespannen staven wanneer het langetermijneffect is geselecteerd in het bovenste lint. In de IDEA StatiCa Detail applicatie wordt de effectieve elasticiteitsmodulus gebruikt voor de verificatie van langetermijneffecten, zoals vermeld in AASHTO LRFD (2024) C5.12.5.3.6-1.

$$E_{eff} = \frac{E_{c}}{1+\psi}$$

waarbij:
E_c de elasticiteitsmodulus is zoals gedefinieerd in AASHTO LRFD (2024) artikel 5.4.2.4
ψ de kruipcoëfficiënt is zoals gedefinieerd in AASHTO LRFD (2024) artikel 5.4.2.3.2

Kruipfactoren worden door de gebruiker gedefinieerd in de materiaaleigenschappen.

Kortetermijneffecten

Om kortetermijnverificaties uit te voeren, wordt een aparte berekening uitgevoerd waarbij alle belastingen worden berekend zonder de kruipfactor. Beide berekeningen voor lange- en kortetermijnverificaties zijn weergegeven in Fig. 59.

Wapening

Voor de niet-voorgespannen wapening wordt een volledig elastisch-plastisch spanning-rek-diagram met een gedefinieerd vloeipunt beschouwd, zie AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.4.3. Voor de definitie van dit diagram zijn alleen de basiseigenschappen van de wapening vereist – de sterkte en de elasticiteitsmodulus.

Het spanning-rek-diagram van de wapening kan ook door de gebruiker worden gedefinieerd, maar in dat geval is het niet mogelijk om het tension stiffening effect te veronderstellen (het is niet mogelijk om de scheurwijdte te berekenen). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

waarbij:

Φ_s is de weerstandsfactor voor wapening. De standaardwaarde is ingesteld volgens AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.5.4.2.

f_y is de vloeigrens van de wapening

E_s is de elasticiteitsmodulus van de wapening

10% is gekozen als de grensrek waarbij de berekening wordt gestopt. Dit wordt als veilig beschouwd op basis van ASTM A955/A955M-20c Artikel 7.

Tension stiffening (Fig. 61)  wordt automatisch in rekening gebracht door de ingevoerde spanning-rek-relatie van de blote wapeningsstaaf aan te passen, om zo de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven vast te leggen (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

De Compatible Stress Field Method voldoet aan moderne ontwerpnormen. Aangezien de rekenmodellen alleen gebruikmaken van standaard materiaaleigenschappen, kan het formaat van partiële veiligheidsfactoren dat in de ontwerpnormen wordt voorgeschreven zonder enige aanpassing worden toegepast. Op deze manier worden de invoerbelastingen gefactoreerd en worden de karakteristieke materiaaleigenschappen gereduceerd met behulp van de betreffende sterktefactoren, precies zoals bij een conventionele betonanalyse.

Waarden van sterktefactoren zijn voorgeschreven in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.5.4. De standaardwaarden voor beton en wapening zijn conservatief gekozen, uitgaande van de aanname dat het typische opgeloste voorbeeld een D-gebied is - een typisch geval voor de Staafwerkmethode. Het is echter mogelijk om elk type element te modelleren. Daarom heeft de gebruiker, indien een op druk of trek gecontroleerd element wordt beoordeeld, de mogelijkheid om de waarde van de sterktereductiefactor in de Voorkeuren te wijzigen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad The setting of resistance factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Belastingsfactoren en belastingcombinaties moeten worden gedefinieerd volgens de AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Artikel 3.4.1 en Tabellen 3.4.1-1 tot 3.4.1-6. AASHTO LRFD specificeert expliciet de belastingcombinaties voor de uiterste grenstoestand (Strength I tot Strength V), evenals de belastingcombinaties op gebruiksniveau (Service I tot Service IV), inclusief de bijbehorende belastingsfactoren voor elk geval.

Voor elk template bevat het programma vooraf gedefinieerde basiscombinaties die moeten worden aangevuld, afhankelijk van het element dat wordt verwerkt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 63\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

De verschillende verificaties die door AASHTO worden vereist, worden beoordeeld op basis van de directe resultaten van het model. Verificaties worden uitgevoerd voor de betonsterkte, de wapeningssterkte en de verankering (aanhechtingsschuifspanningen).

De betonsterkte in druk wordt geëvalueerd als de verhouding tussen de maximale hoofddrukspanning f_c (ook σ₂ in de aanvullende resultaten) verkregen uit de EEM-analyse en de grenswaarde f'_c,lim.

De sterkte van de wapening wordt zowel in trek als in druk geëvalueerd als de verhouding tussen de spanning in de wapening ter plaatse van de scheuren f_s en de opgegeven grenswaarde f_y,lim.

De aanhechtingsschuifspanning wordt onafhankelijk geëvalueerd als de verhouding tussen de aanhechtingsspanning τ_b berekend door de EEM-analyse en de aanhechtingssterkte f_bu.

Aangezien de aanhechtingssterkte echter niet expliciet is gedefinieerd in AASHTO, moet de waarde ervan worden bepaald met behulp van de vergelijkingen die de verankeringslengte definiëren. De aanhechtingssterkte is in feite de primaire invoer voor het bepalen van de verankeringslengte; zie bijvoorbeeld dit artikel AASHTO LRFD (2024) Article C5.10.8.2 of NCHRP Report 733, Attachment E pagina E-9.

De berekening beschreven in AASHTO LRFD (2024) Article 5.10.8.2.1 en 5.10.8.2.2, die kennis vereist van de maximale hart-op-hart afstand van de dwarswapening binnen l_d, het aantal staven of draden dat wordt ontwikkeld langs het splijtvlak, de totale doorsnede van alle dwarswapening en andere geometrische grootheden die niet betrouwbaar kunnen worden bepaald in het model van de Detail applicatie voor algemene invoer, werd een aanpak overgenomen uit AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 op de volgende manier:

Laten we aannemen dat als we de wapeningsstaaf verankeren in een betonblok tot de verankeringslengte l_d of groter, het uittrekken van de wapening zal leiden tot breuk van de wapening en niet tot het uittrekken van het beton. Dit kan worden geschreven met de volgende formule.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

waarbij:

• d_b de diameter van de wapeningsstaaf is
• l_d de verankeringslengte is
• f_bu de aanhechtingssterkte is
• f_y de vloeigrens van de wapening is
• A_b het oppervlak van de wapeningsstaaf is

Uit het voorgaande kan de formule voor het berekenen van de aanhechtingssterkte eenvoudig worden afgeleid.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

De basis-verankeringslengte voor trek l_db wordt bepaald in AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.1 als volgt:

Voor staaf No. 11 en kleiner:   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Voor staven No. 14:   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Voor staven No. 18:   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

waarbij:

• A_b het oppervlak van de wapeningsstaaf is (in²)
• f_y de opgegeven vloeigrens van de wapening is (ksi)
• f'_c de opgegeven druksterkte van beton na 28 dagen is, tenzij een andere leeftijd is opgegeven (ksi)
• d_b de diameter van de wapeningsstaaf is (in)

Vervolgens wordt, door de basis-verankeringslengte l_db te vermenigvuldigen met factoren beschreven in AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.1.2 en 5.11.2.1.3, de verankeringslengte l_d als invoer bepaald.

Reductiefactoren die de verankeringslengte verlagen volgens 5.11.2.1.3 zijn in de applicatie altijd gelijk aan 1,0. De aanpassingsfactor voor bovenliggende horizontale of bijna horizontale wapening is gelijk aan 1,4 voor 'slechte' aanhechtingscondities, volgens de volgende afbeelding:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 64\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

De stortrichting van het beton kan in de applicatie worden ingesteld.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 65\qquad Direction of concreting}}}$$

Alle andere factoren bepaald in 5.11.2.1.2 zijn gelijk aan 1,0, omdat alleen normaalgewicht beton wordt ondersteund en alleen ongecoate wapening wordt ondersteund.

De aanhechtingsschuifspanning en aanhechtingssterkte van staven in druk worden analoog berekend aan staven in trek, maar hierbij worden vergelijkingen uit AASHTO LRFD (2014) Article 5.11.2.2 gebruikt.

Er is ook een optie om gladde wapeningsstaven te modelleren. Meer informatie is hier te vinden: Gladde wapeningsstaven in Detail

Totale kracht F_tot en grenskracht F_lim

De totale kracht F_tot is een resultaat van de eindige-elementenanalyse en kan op twee manieren worden gedefinieerd.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

waarbij A_b het oppervlak van de wapeningsstaaf is en f_s de spanning in de staaf is.

Of als een som van de verankeringskracht F_a en de aanhechtingskracht F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

waarbij F_a de werkelijke kracht in de verankeringsveer is en F_bond de aanhechtingskracht is die kan worden verkregen door de aanhechtingsspanning τ_b te integreren over de lengte van de wapeningsstaaf l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s is de omtrek van de wapeningsstaaf.

De grenskracht F_lim is de maximale kracht in het element van de wapeningsstaaf, rekening houdend met de sterkte van de staaf en ook de verankeringscondities (aanhechting tussen beton en wapening en verankeringshaken, lussen, enz.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

waarbij C_s de omtrek van de wapeningsstaaf is, en l de lengte is vanaf het begin van de wapeningsstaaf tot het beschouwde punt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 66\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

waarbij F_lim,add de extra kracht is, berekend uit de grootte van de hoek tussen naburige elementen. F_lim,2 moet altijd lager zijn dan F_u.

De beschikbare verankeringstypes in CSFM omvatten een rechte staaf (d.w.z. geen reductie van het staafuiteinde), een haak van 90 graden, een haak van 180 graden, perfecte aanhechting en een doorlopende staaf. Al deze types, samen met de bijbehorende verankeringscoëfficiënten β, worden weergegeven in Fig. 67 voor langswapening. De waarden van de gehanteerde verankeringscoëfficiënten zijn afgeleid uit de vergelijking van de vergelijking uit sectie AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1 en vergelijkingen uit sectie AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1. Er dient te worden opgemerkt dat, ondanks de verschillende beschikbare opties, CSFM drie types verankeringsuiteinden onderscheidt: (i) geen reductie van de verankeringslengte, (ii) een reductie van 30% van de verankeringslengte in het geval van een genormaliseerde verankering, en (iii) perfecte aanhechting.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 67\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

De verankeringscoëfficiënt voor beugels (beschikbaar voor het balkelement) is altijd - β = 1,0.

Om te voldoen aan AASHTO moet de verankeringsveer worden gebruikt in de berekening. De verankeringsveer wordt aangepast met de β-coëfficiënt, dus de gebruiker moet een van de beschikbare verankeringstypes gebruiken bij het definiëren van de begin- en eindcondities van de wapening. 

Bij het ontwerpen van betonconstructies onderscheiden we twee grote groepen gedeeltelijk belaste vlakken (PLA – partially loaded areas) – de eerste bestaat uit opleggingen, terwijl de andere bestaat uit verankeringszones. 

Volgens de huidig geldende normen voor het ontwerp van gewapendbetonconstructies moeten voor opleggingen lokale verbrijzeling van beton en dwarse trekkrachten in beschouwing worden genomen. Bij een gelijkmatig verdeelde belasting over een vlak A₁ mag de drukcapaciteit van het beton met een factor tot maximaal twee worden verhoogd, afhankelijk van het rekenkundig verdelingsvlak A₂. Zie AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.5.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 68\qquad Gedeeltelijk belaste vlakken voor opleggingen volgens AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.5}}}$$

Voor voorgespannen (met nagerekt staal) verankeringszones moet AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.8.4.4 worden aangehouden.

Het gedeeltelijk belaste vlak moet voldoende worden gewapend met dwarswapening die is ontworpen om de splijtkrachten die in dit vlak optreden, over te dragen. Zonder de vereiste dwarswapening is het niet mogelijk om de drukcapaciteit van het beton te verhogen.

Gedeeltelijk belaste vlakken in CSFM

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 69\qquad Fictieve diagonalen met eindige-elementenmesh van beton.}}}$$

Met CSFM is het mogelijk om gewapendbetonconstructies te ontwerpen en te beoordelen, waarbij de invloed van de toenemende drukweerstand van beton in gedeeltelijk belaste vlakken wordt meegenomen. Omdat CSFM een wand-(2D-)model is en gedeeltelijk belaste vlakken een ruimtelijk (3D-)vraagstuk vormen, was het noodzakelijk om een oplossing te vinden die deze twee verschillende soorten vraagstukken combineert (Fig. 69). Als de functie “gedeeltelijk belaste vlakken” is geactiveerd, wordt de toelaatbare kegelgeometrie aangemaakt volgens ACI (Fig. 68). Alle geometrische conflicten worden volledig in 3D opgelost voor de opgegeven geometrie van het betonelement en de afmetingen van elk PLA. Vervolgens wordt een rekenmodel van het gedeeltelijk belaste vlak aangemaakt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 70\qquad Toelaatbare kegelgeometrieën.}}}$$

De aanpassing van het materiaalmodel bleek een ongeschikte aanpak, vooral omdat de toewijzing van eigenschappen aan de eindige-elementenmesh problematisch is. Er werd vastgesteld dat een aanpak die onafhankelijk is van de eindige-elementenmesh een geschiktere oplossing biedt. Voor de bekende drukkegelgeometrie worden volledig coherente fictieve diagonalen aangemaakt (Fig. 70 en Fig. 71). Deze diagonalen hebben dezelfde materiaaleigenschappen als het in het model gebruikte beton, inclusief het spanning-rekdiagram. De vorm van de kegel bepaalt de richting van de diagonalen, die de belasting geleidelijk over het PLA verdelen naar het rekenkundig verdelingsvlak. De oppervlaktedichtheid van de fictieve diagonalen varieert bij elk deel van de kegel en voegt een fictief betonoppervlak toe in de belastingsrichting. Op het niveau van het belaste vlak (A₁) wordt een fictief betonoppervlak toegevoegd volgens de verhouding $\sqrt{A_{1} \cdot A_{2}} - A_{real}$  (waarbij A_real een oplegvlak is dat in het 2D-rekenmodel wordt aangenomen), en dit oppervlak neemt lineair af tot nul richting het rekenkundig verdelingsvlak (A₂). Deze oplossing zorgt ervoor dat de drukspanning in het beton constant is over het volledige kegelvolume.

$$\rho \left( {\beta ,z} \right) = \left( {\sqrt {\frac{A_{2}}{A_{1}}}  - \frac{A_{real}}{A_{1}}} \right)\,\cdot\,\left( {1 - \frac{z}{h}} \right)\,\cdot\,\frac{1}{{\cos \beta }}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 71\qquad Fictieve diagonalen in het rekenmodel}}}$$

De weerstand van het gedeeltelijk belaste vlak wordt verhoogd volgens de verhouding tussen het rekenkundig verdelingsvlak en het belaste vlak, zoals vastgelegd in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.5.  Er dient te worden opgemerkt dat dit een rekenmodel is dat de spanningstoestand over een gedeeltelijk belast vlak, waarvan het werkelijke verloop veel complexer is, niet nauwkeurig kan beschrijven. Deze oplossing maakt echter een correcte verdeling van de belasting over het gehele model mogelijk, met inachtneming van de verhoogde belastingscapaciteit van het gedeeltelijk belaste vlak. Bovendien worden hierdoor de dwarsspanningen in dit vlak correct geïntroduceerd, zodat de wapening tegen splijtkrachten juist kan worden ontworpen.

De toelaatbare oplegspanning van 0.85f_c' staat vermeld in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.8.4.4. De dichtheid wordt begrensd zodat de maximale dubbele capaciteit uit de formule in formule 5.6.5-3 niet wordt overschreden.  

Voor de verankeringszones wordt PLA in de applicatie op dezelfde manier gebruikt als voor opleggingen. Daarom moeten de drukspanningen in de lokale en globale zones, gedefinieerd in Artikel 5.8.4.4 en 5.8.4.5, handmatig worden gecontroleerd. Het PLA wordt daarom alleen gebruikt om te voorkomen dat het rekcriterium in de lokale zone wordt overschreden en de berekening daardoor voortijdig wordt gestopt. Daarentegen kan de wapening die weerstand biedt tegen bursting, oppervlakkig afspatten (spalling in-plane) en randtrekspanningen in algemene zones (gedefinieerd in Artikel 5.8.4.5) direct en op eenvoudige wijze in de applicatie worden geverifieerd.

Beoordelingen van de bruikbaarheidsgrenstoestand worden uitgevoerd voor spanningsbeperking, scheurwijdte en doorbuigingslimieten. Spanningen worden in beton- en wapeningselementen gecontroleerd volgens AASHTO LRFD op een vergelijkbare manier als gespecificeerd voor Sterkte.

Spanningsbeperking

De betondrukspanning wordt alleen geëvalueerd voor voorgespannen staven (wanneer de belastingsgeval Voorspanning aanwezig is in het model) als de verhouding tussen de maximale hoofddrukspanning f_c = σ_c2 verkregen uit FE-analyse voor bruikbaarheid en de limietwaarden, die zijn vastgesteld op basis van AASHTO LRFD Table 5.9.2.3.2a-1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 72\qquad Concrete compressive stress limits at service loads}}}$$

In de applicatie wordt Prestress plus permanent load behandeld als een blijvende belasting (Sustain load), en Prestress, permanent, and transient load als een totale belasting (Total load).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 73\qquad Serviceability combination types}}}$$

Daarnaast is het altijd mogelijk om een analyse uit te voeren voor zowel kortetermijn- als langetermijneffecten, met materiaalmodellen die al dan niet rekening houden met de kruipfactor — zie het gedeelte "Material models (AASHTO)".

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 74\qquad Serviceability material models}}}$$

Doorbuiging

Onmiddellijke doorbuigingen en totale doorbuigingen worden geëvalueerd voor elke combinatie waarin de doorbuigingsevaluatie is ingeschakeld. 

• Voor onmiddellijke doorbuigingen wordt de elasticiteitsmodulus E_c volgens AASHTO LRFD (2024) artikel 5.4.2.4 gebruikt. 
• Voor totale doorbuigingen wordt de effectieve elasticiteitsmodulus E_c,eff volgens AASHTO LRFD (2024) artikel C5.12.5.3.6 gebruikt. 

Zie het hoofdstuk 'Material models (AASHTO) - Concrete – Serviceability' in dit document.

De doorbuigingscontrole zelf wordt ingeschakeld in het bovenste lint. De gebruiker stelt de doorbuigingslimietwaarden in volgens AASHTO LRFD (2024) artikel 2.5.2.6.2, afhankelijk van het type element dat wordt geanalyseerd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 75\qquad Maximum allowable deflection value}}}$$

Doorbuigingen bij afgeknotte uiteinden kunnen niet worden gecontroleerd.

Scheurwijdte

Scheurwijdtes en -oriëntaties worden alleen berekend voor langetermijneffecten (met gebruik van E_c,eff volgens AASHTO LRFD (2024) artikel C5.12.5.3.6) voor combinaties waarin de scheurwijdte-evaluatie is ingeschakeld. Verificaties op basis van door de gebruiker opgegeven limietwaarden zijn als volgt:

$$\frac{w}{w_{lim}}$$

waarbij:

w         scheurwijdte berekend door FE-analyse,

w_lim     limietwaarde van de scheurwijdte gedefinieerd door de gebruiker.

De limietwaarde w_lim moet worden bepaald op basis van het elementtype en de milieuklasse in overeenstemming met AASHTO LRFD (2024) artikel 5.6.7 en de bijbehorende toelichting. 

Er zijn twee manieren om scheurwijdtes te berekenen (gestabiliseerde en niet-gestabiliseerde scheurvorming). In het algemene geval (gestabiliseerde scheurvorming) wordt de scheurwijdte berekend door integratie van de rekken op 1D-elementen van wapeningsstaven. De scheurrichting wordt vervolgens berekend uit de drie dichtstbijzijnde (vanaf het middelpunt van het betreffende 1D eindige element van de wapening) integratiepunten van 2D-betonelementen. Hoewel deze benadering voor het berekenen van de scheurrichtingen niet overeenkomt met de werkelijke positie van de scheuren, levert deze nog steeds representatieve waarden op die leiden tot scheurwijdteresultaten die vergeleken kunnen worden met de door de norm vereiste scheurwijdtewaarden ter plaatse van de wapeningsstaaf.

Beton - Sterkte

Het betonmodel dat is geïmplementeerd voor sterkteberekeningen in CSFM is gebaseerd op de parabolisch-plastische spanning-rekkromme. De treksterkte wordt verwaarloosd, zoals gebruikelijk is bij klassiek gewapend betonontwerp.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 76\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

De implementatie van CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt geen rekening met een expliciet bezwijkcriterium in termen van rek voor beton onder druk (d.w.z. na het bereiken van de piekspanning wordt een plastische tak beschouwd met ε_c0 met een maximale waarde van 5%, terwijl AS 3600 Cl. 8.3.1 uitgaat van een grensrek van minder dan 0,3%). Deze vereenvoudiging maakt het niet mogelijk om de vervormingscapaciteit van constructies die bezwijken onder druk te verifiëren. De sterkte wordt echter correct voorspeld wanneer, naast de factor voor gescheurd beton (k_c2 gedefinieerd in (Fig. 77)), rekening wordt gehouden met de toename van de brosheid van beton naarmate de sterkte toeneemt, door middel van de $\eta_{fc}$ reductiefactor gedefinieerd in fib Model Code 2010 als volgt:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s}\cdot \beta \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarbij:

α₂ is de reductiefactor van de betondruksterkte, gedefinieerd in AS 3600 Cl. 8.3.1
Bij gebruik van een parabool-rechthoek spanning-rekdiagram is het noodzakelijk om de maximale drukspanning met deze factor te verminderen. Dit middelt de spanningsverdeling in de drukzone zodanig dat de resulterende druksterkte kleiner is dan of gelijk is aan de druksterkte berekend met een spanning-rekdiagram met een aflopende plastische tak. Een analoge benadering is gedefinieerd voor het rechthoekige spanningsblok in Hoofdstuk 8.1.3.

Φ_s is de spanningsreductiefactor voor beton. De standaardwaarde is ingesteld volgens AS 3600 Tabel 2.2.3.

β is de reductiefactor als gevolg van de aanwezigheid van dwarsscheurvorming (in deze tekst ook wel k_c2 genoemd)

f'_c is de betoncilindersterkte (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 77\qquad The compression softening law.}}}$$

β is een reductiefactor die is gebaseerd op dezelfde principes als een effectieve druksterktefactor, gedefinieerd in Hoofdstuk 2.2.3. De literatuur waartegen deze factor is bepaald, is te vinden (inclusief in de context van de AS3600-norm) in AS3600:2018 Sup 1:2022 Cl. C2.2.3.

Beton – Bruikbaarheid

De bruikbaarheidsanalyse bevat bepaalde vereenvoudigingen van de constitutieve modellen die worden gebruikt voor de sterkteanalyse. De plastische tak van de spanning-rekkromme van beton onder druk wordt buiten beschouwing gelaten, terwijl de elastische tak lineair en oneindig is. Er wordt geen rekening gehouden met de compression softening law. Deze vereenvoudigingen verbeteren de numerieke stabiliteit en rekensnelheid en verminderen de algemeenheid van de oplossing niet, zolang de resulterende materiaalspanningslimieten bij bruikbaarheid duidelijk onder hun vloeigrenzen liggen (zoals vereist door AS3600). Daarom zijn de vereenvoudigde modellen die worden gebruikt voor bruikbaarheid alleen geldig als aan alle verificatievereisten wordt voldaan.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 78\qquad Concrete stress-strain diagrams implemented for serviceability analysis: short- and long-term verifications.}}}$$

Langetermijneffecten

Bij de bruikbaarheidsanalyse wordt rekening gehouden met de langetermijneffecten van beton door gebruik te maken van de rekenwaarde van de kruipcoëfficiënt volgens AS 3600 Cl 3.1.8 (φ_cc, standaard genomen als een waarde van 2,5), die de secantelasticiteitsmodulus van beton (E_c)  als volgt aanpast:

$$E_{c,eff} = \frac{E_{c}}{1+\varphi_{cc}}$$