In de praktijk kunnen ingenieurs verschillende typen eindige elementen tegenkomen (van eenvoudige 1D-staafelementen tot complexere 3D-volume-elementen) die worden gebruikt in uiteenlopende toepassingen voor de analyse en het ontwerp van constructieve elementen. Een gemeenschappelijk kenmerk van de meeste berekeningen in de praktijk is het lineaire gedrag van de modellen. De voordelen hiervan zijn ongetwijfeld snelheid, duidelijkheid en simpelweg het feit dat deze oplossing voor een groot aantal problemen ruim voldoende is.

Vooral in de wereld van betonconstructies komt het vaak voor dat de lineaire benadering niet voldoende is, simpelweg omdat na het ontstaan van de eerste scheuren in het belaste element de spanningen worden herverdeeld en het probleem aanzienlijk niet-lineair wordt.

Voor deze gevallen is het noodzakelijk om te kiezen voor een van de meer geavanceerde benaderingen. Voor 1D-gevallen zijn vaak analytische methoden te vinden die rechtstreeks in de normen zijn gedefinieerd. Zo kunnen bijvoorbeeld de populaire Staafwerk-modellen worden opgebouwd voor 2D-vlakke elementen en discontinuïteitsgebieden (D-gebieden), of kan de meer geavanceerde spanningsveldmethode worden gebruikt zoals geïmplementeerd in IDEA StatiCa Detail, CSFM.

Wanneer de ingenieur echter een probleem tegenkomt dat niet kan worden vereenvoudigd tot vlak gedrag, zijn de opties zeer beperkt. Uiteraard kan een 3D-model volgens de Staafwerk-methode worden opgebouwd, of kan semi-wetenschappelijke software worden gebruikt voor een nauwkeurige analyse. Deze procedures zijn vaak tijdrovend, niet conform de normen en vereisen een ingenieur met kennis van geavanceerde modelleringsmethoden.

Om deze reden heeft IDEA StatiCa de 3D CSFM (Compatible Stress Field Method) ontwikkeld en geïmplementeerd in de Detail applicatie. 3D CSFM breidt de gevestigde CSFM uit naar een derde dimensie en biedt een snelle en normconforme oplossing die vooral toepasbaar is voor de dagelijkse praktijk van de ingenieur, waarmee deze een unieke nieuwe mogelijkheid krijgt om de complexe details van betonconstructies veilig aan te pakken.

3D CSFM definieert het betongedrag op basis van de Modified Mohr-Coulomb-plasticiteitstheorie voor monotone belasting. De methode houdt rekening met hoofdspanningen in het beton onder druk en wapeningsspanningen (σ_sr) bij de scheuren, waarbij de treksterkte van beton wordt verwaarloosd (tension cut-off), behalve het stiffening effect op de wapening (Tension stiffening).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

De wapeningsstaven zijn verbonden met de volume-eindige-elementen van het beton via bondelementen, waardoor slip tussen het beton en de wapening mogelijk is. Merk op dat 3D CSFM niet geschikt is voor het simuleren van ongewapend beton vanwege de afwezigheid van trek, wat kan leiden tot misleidende vervormingen en het divergeren van het model. Over het algemeen omvat de Mohr-Coulomb-theorie twee fundamentele eigenschappen die de evolutie van het plasticiteitsoppervlak in druk en gedeeltelijk in trek bepalen: de inwendige wrijvingshoek φ en de cohesieparameter c. 3D CSFM gaat uit van een inwendige wrijvingshoek van nul (Fig. 1e), wat leidt tot een conservatief ontwerp doordat het plasticiteitsoppervlak lijkt op het Tresca-model, dat onafhankelijk is van de eerste spanningsinvariant.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

Beton 

Het gepresenteerde materiaalmodel is een multisurface-plasticiteitsmodel dat wordt gevormd door de combinatie van de Mohr-Coulomb- en Rankine-modellen voor monotone belasting. Het is belangrijk op te merken dat dit model geen ontlasting behandelt, waardoor toestandsvariabelen niet worden opgeslagen, zoals dat wel het geval zou zijn bij klassieke plasticiteitsmodellen die worden gebruikt voor cyclische belasting.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

Zoals reeds vermeld, is het materiaalmodel bedoeld voor gebruik in toepassingen die de respons van gewapend beton berekenen (niet geschikt voor ongewapend beton). Dit komt doordat beton in trek wordt uitgesloten. Daarom is het model zelfs niet geschikt voor constructieve elementen waarbij niet wordt voldaan aan de ontwerpregels voor gewapend beton, zoals de minimale wapeningsverhouding, maximale staafafstand, enz. Er moet ook worden toegevoegd dat, om redenen van numerieke stabiliteit, een zeer kleine treksterkte in het model is gedefinieerd. Het trekgedeelte wordt begrensd door vlakken die overeenkomen met het Rankine-model.

3D CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt geen rekening met een expliciet bezwijkcriterium in termen van rek voor beton in druk (d.w.z. het gaat uit van een oneindig plastische tak nadat de piekspanning is bereikt). Deze vereenvoudiging maakt het niet mogelijk om de vervormingscapaciteit van constructies die bezwijken door druk te verifiëren. De uiteindelijke capaciteit wordt echter correct voorspeld wanneer rekening wordt gehouden met de toename van de brosheid van beton naarmate de sterkte toeneemt, door middel van de 𝜂_𝑓𝑐 reductiefactor, gedefinieerd in de fib Model Code 2010 als volgt:

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarbij:

f_c de karakteristieke cilinderdruksterkte van beton is (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

De f_c,red wordt vervolgens vergeleken met de equivalente hoofdspanning σ_c,eq in beton, die verder zal worden gedefinieerd, uiteraard met inachtneming van alle door de norm voorgeschreven veiligheidsfactoren.

Een gedetailleerde beschrijving van het betonmodel is te vinden via de volgende link:

• Concrete Material Model for 3D Detail

Wapening

Het bilineaire spanning-rekdiagram voor wapeningsstaven, zoals gedefinieerd door ontwerpnormen (Fig. 1d), vertegenwoordigt een geïdealiseerd model. Dit model vereist kennis van de basiseigenschappen van de wapening tijdens de ontwerpfase, met name de sterkte- en ductiliteitsklasse. Gebruikers hebben ook de mogelijkheid om een aangepaste spanning-rekrelatie te definiëren.

Tension stiffening wordt in rekening gebracht door de spanning-rekrelatie van de blote wapeningsstaaf aan te passen om de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven vast te leggen (ε_m) (Fig 1b).

Verankering

Bond-slip tussen wapening en beton wordt in het eindige-elementenmodel geïntroduceerd door de vereenvoudigde star-perfect-plastische constitutieve relatie te beschouwen die is weergegeven in (Fig. 1f), waarbij f_bd de rekenwaarde (gefactoreerde waarde) is van de uiterste aanhechtingsspanning die door de ontwerpnorm wordt voorgeschreven voor de specifieke aanhechtingscondities.

Dit is een vereenvoudigd model met als enig doel het verifiëren van aanhechtingsvoorschriften volgens ontwerpnormen (d.w.z. verankering van wapening). De vermindering van de verankeringslengte bij gebruik van haken, lussen en soortgelijke staafvormen kan in rekening worden gebracht door een bepaalde capaciteit aan het einde van de wapening te definiëren, zoals verderop wordt beschreven.

Ankers

Het ankerelement is gedefinieerd als in staat om normale trek- of drukkrachten, evenals afschuifkrachten, over te dragen, rekening houdend met de buigstijfheid. 

De volgende typen ankers zijn beschikbaar:

• Ingestorte ankers

  • Wapening
  • Ankerplaat
  • Kopdeuvel
• Ingestorte wapening

  • Wapening
  • Draadeinden

Ingestort - Wapening

Gemodelleerd als geribde wapening ingebed in beton. De aanhechtingssterkte wordt berekend volgens de geselecteerde normregels, op dezelfde manier als voor standaardwapening. Aan het uiteinde van het anker kan een verankeringstype worden gedefinieerd, dat op dezelfde manier werkt als bij wapening - er wordt een verankeringsveer toegepast met de β-factor ingesteld volgens de gekozen norm. Er zijn drie geometrische vormen beschikbaar: Recht, L-vorm, U-vorm.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

Ingestort - Ankerplaat en kopdeuvel

De ankerplaat en de kop van de kopdeuvel worden gemodelleerd als een plaat-schaalelement van het bijbehorende materiaal, rechtstreeks bevestigd aan de ankerschacht. Het draagt de belasting over op het beton via een contact dat alleen druk overbrengt. Beschikbare vormen: rond en vierkant (alleen rond voor kopdeuvel), met aanpasbare afmetingen. Het model van de ankerplaat en de kop is elastisch en wordt niet op sterkte gecontroleerd. 

Op het niveau van het eindige-elementenmodel wordt de uittrekcapaciteit (pull-out) van het anker rechtstreeks gecontroleerd. Het drukcontact heeft stopcriteria die zo zijn ingesteld dat het geen grotere contactspanning naar het beton kan overdragen dan voorgeschreven door de geselecteerde norm. In de praktijk betekent dit dat als het anker zou worden belast met een kracht die niet voldoet aan de pull-out-beoordeling, dit zou resulteren in een voortijdige beëindiging van de berekening, omdat dit stopcriterium tijdens verdere belasting zou worden overschreden.

De ankerschacht heeft een aanhechtingssterkte van nul – alle belasting wordt via de plaat of kop naar het beton overgedragen.

Achteraf aangebracht - Wapening en draadeind

Ontworpen als staven die in geboorde gaten worden geplaatst en met lijm worden verlijmd. De ingenieur specificeert de rekenwaarde van de aanhechtingssterkte rechtstreeks op basis van de technische specificatie van het lijmproduct.

Meer informatie over het verbinden van individuele ankertypen met de voetplaat of ingestorte plaat is te vinden in het hoofdstuk Finite elements types - Load transferring devices. 

In het volgende hoofdstuk bekijken we hoe de Mohr-Coulomb-theorie is geïmplementeerd in 3D CSFM. We leggen uit hoe het opsluitingseffect (triaxiale spanning) wordt beschouwd en hoe de equivalente hoofdspanning σ_c,eq wordt berekend, die wordt gebruikt om de draagcapaciteit vanuit het oogpunt van beton te bepalen.

Inleiding tot de theorie

De Mohr-Coulomb-theorie is een wiskundig model dat de respons van bros materiaal beschrijft op afschuiving en normaalspanning. De meeste klassieke constructiematerialen volgen deze regel in ten minste een deel van hun afschuifbezwijkomhullende. Over het algemeen is de theorie van toepassing op materialen waarvan de druksterkte de treksterkte ver overtreft.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}$$

In de constructiewereld wordt het gebruikt om de bezwijklast te bepalen, evenals de hoek van de breuk voor de verplaatsing van het breukvlak in beton en soortgelijke materialen. De wrijvingshypothese van Coulomb wordt gebruikt om te bepalen welke combinatie van afschuiving en normaalspanning een breuk van het materiaal zal veroorzaken. De cirkel van Mohr wordt gebruikt om te bepalen welke hoofdspanningen deze combinatie van afschuiving en normaalspanning zullen produceren, en onder welke hoek van het vlak dit zal optreden. Volgens het normaliteitsprincipe staat de bij bezwijken geïntroduceerde spanning loodrecht op de lijn die de breukvoorwaarde beschrijft. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}$$

Er kan worden aangetoond dat een materiaal dat bezwijkt volgens de wrijvingshypothese van Coulomb, bij bezwijken een verplaatsing vertoont die een hoek met de breuklijn vormt die gelijk is aan de wrijvingshoek. Hierdoor kan de sterkte van het materiaal worden bepaald door de externe mechanische arbeid die door de verplaatsing en de externe belasting wordt geïntroduceerd, te vergelijken met de interne mechanische arbeid die door de rek en spanning op de breuklijn wordt geïntroduceerd. Door behoud van energie moet de som hiervan nul zijn, waardoor het mogelijk wordt de bezwijklast van de constructie te berekenen.

Implementatie in 3D CSFM

Over het algemeen kunnen, voor een gegeven hoek van inwendige wrijving van het beton, die in Referentie [1], [2], [3], [4] ongeveer φ = 30-40° bedraagt, de trek- en druksterktes van de Mohr-cirkels van beton worden geconstrueerd zoals in Figuur 6.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

Waarbij f_c de druksterkte van beton is, f_ct de treksterkte van beton is, φ de hoek van inwendige wrijving is, en σ_c1, σ_c3 de hoofdspanningen van beton onder triaxiale druk zijn.

Er kan worden opgemerkt dat naarmate de hoofdspanning σ_c3 toeneemt, ook het maximaal mogelijke verschil tussen de waarden van σ_c3 en σ_c1, dat we definiëren als de maximale σ_c,eq (zie hieronder), toeneemt. Dit verschil komt overeen met tweemaal de deviatorische spanning, in de literatuur gedefinieerd als de straal van de Mohr-cirkels.

In 3D CSFM zoals geïmplementeerd in IDEA StatiCa Detail wordt de hoek van inwendige wrijving beschouwd als φ = 0°, zoals weergegeven in Figuur 7.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

Het praktische gevolg van deze implementatie is dat het maximale verschil tussen σ_c3 en σ_c1 constant blijft naarmate σ_c3 toeneemt. 

De equivalente hoofdspanning drukt de equivalente uniaxiale spanning uit voor een algemene triaxiale spanningstoestand.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

De waarde σ_c,eq kan daarom direct worden vergeleken met de uniaxiale sterktegrenzen volgens de normen.

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Waarbij σ_c,lim de rekenwaarde (gereduceerde) uniaxiale sterkte van beton f_c is.

Bij vergelijking van Figuur 6, waarin de werkelijke hoek van inwendige wrijving wordt gebruikt, en Figuur 7, die de implementatie van de Mohr-Coulomb-theorie met een hoek van inwendige wrijving van nul weergeeft, blijkt dat de gekozen benadering voor de berekeningen in Detail zeer conservatief is voor de beoordeling van de triaxiale spanningstoestand.

Voor een beter begrip van de gebieden die worden beïnvloed door triaxiale drukspanning, is de uitdrukking van de toename van de effectieve materiaalsterkte als gevolg van triaxiale druk toegevoegd aan de IDEA StatiCa Detail applicatie als een verhouding σ_c3/σ_c,lim. U vindt deze verhouding in de sterkte-normtoetsing.

In de aanvullende resultaten kan de gebruiker ook de factor κ vinden, die de triaxialiteit op een andere manier verklaart. 

$$\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}$$

De betonsterktetoetsing kan dan als volgt worden herschreven:

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Hieruit volgt dat als het element onder hydrostatische spanning staat - σ_c3=σ_c2=σ_c1, de equivalente hoofdspanning σ_c,eq de waarde nul zal hebben, en de kappa-factor oneindig zal worden.

Meer informatie vindt u hier: Tri-axial stress – the active confinement effect

Evenwichtsvergelijkingen

De theorie van kleine vervormingen maakt het mogelijk om de evenwichtsvergelijking op te stellen op basis van het onvervormde volume met behulp van een eerste-orde benadering. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}$$

Compatibiliteitsvergelijkingen

Een vast lichaam bestaat uit infinitesimale volumes of materiaalpunten, die onderling verbonden zijn zonder tussenruimtes of overlappingen. Er moet aan wiskundige voorwaarden worden voldaan om het ontstaan van tussenruimtes of overlappingen te voorkomen wanneer een continuümlichaam vervormt.

Constitutieve vergelijkingen

De constitutieve vergelijkingen die het gedrag van 3D-elementen beschrijven, spelen een cruciale rol bij de analyse van materiaalgedrag in de constructiemechanica. Deze vergelijkingen zijn opgesteld om het niet-lineaire isotrope gedrag te ondersteunen, wat geldig is voor solid block-staven in IDEA StatiCa Detail. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}$$

3D CSFM houdt rekening met continue spanningsvelden in het beton (3D eindige elementen), aangevuld met discrete “staaf”-elementen die de wapening voorstellen (1D eindige elementen). De wapening is dus niet diffuus ingebed in de 3D eindige elementen van het beton, maar expliciet gemodelleerd en ermee verbonden. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}$$

Het niet-lineaire (inelastische) eindige-elementenmodel wordt opgebouwd uit verschillende typen eindige elementen die worden gebruikt om beton, wapening en de aanhechting daartussen te modelleren. Beton- en wapeningselementen worden eerst onafhankelijk van elkaar gemesht en vervolgens onderling verbonden met multi-point constraints (MPC-elementen). Hierdoor kan de wapening elke positie innemen, niet alleen op de knopen van het tetraëdrische mesh. Om de verankeringslengte te verifiëren, worden aanhechtings- en verankeringseind-veerelementen ingevoegd tussen de wapening en de MPC-elementen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}$$

Beton

Beton wordt geanalyseerd met behulp van gemengde tetraëdrische elementen met knooprotaties. De tetraëdrische elementen maken het mogelijk om gebieden van elke topologie te meshen, terwijl de geïmplementeerde formulering nauwkeurige vervormingsresultaten garandeert (zonder onechte afschuifspanning, bekend als het shear lock-effect), zelfs bij een grof mesh dat niet geschikt zou zijn voor de formulering van lineaire tetraëdrische elementen. 

Er wordt volledige integratie toegepast. Dit betekent dat elk element is voorzien van vier integratiepunten binnen het volume. Een dergelijke integratie levert een nauwkeurig rek- en spanningsveld op, waardoor een voldoende evaluatie en presentatie van de resultaten over het gehele volume mogelijk is. Vervolgens worden de stopcriteria vastgesteld op basis van de waarde in het integratiepunt.

Wapening

Wapeningsstaven worden gemodelleerd met tweeknoops 1D "staaf"-elementen (CROD), die alleen axiale stijfheid hebben. Deze elementen zijn verbonden met speciale "bond"-elementen die zijn ontwikkeld om het slipgedrag tussen een wapeningsstaaf en het omringende beton te modelleren. Deze bond-elementen zijn vervolgens via MPC-elementen (multi-point constraint) verbonden met het mesh dat het beton weergeeft. Deze aanpak maakt het mogelijk om wapening en beton onafhankelijk van elkaar te meshen, terwijl hun onderlinge verbinding later wordt gewaarborgd.

Bond-elementen

De verankeringslengte wordt geverifieerd door de aanhechtingsschuifspanningen tussen betonelementen (3D) en wapeningsstaafelementen (1D) in het eindige-elementenmodel te implementeren. Hiervoor is het "bond"-eindige-elementtype ontwikkeld.

Het bond-element is gedefinieerd als een schaal-eindig element dat via de eerste laag is verbonden met elementen die de wapening voorstellen, en via de tweede laag met het betonmesh via multi-point constraints (MPC-elementen). Opgemerkt moet worden dat het bond-element in dit artikel altijd wordt weergegeven met een niet-nul hoogte, terwijl deze in het model echter als infinitesimaal is gedefinieerd.

Het gedrag van dit element wordt beschreven door de aanhechtingsspanning, τ_b, als een bilineaire functie van de slip tussen de bovenste en onderste knopen, δu, zie (Fig. 12).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}$$

De elastische stijfheidsmodulus van de bond-slip-relatie, Gb, wordt als volgt gedefinieerd:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

k_g            coëfficiënt die afhangt van het oppervlak van de wapeningsstaaf (standaard kg = 0,2)

E_c            elasticiteitsmodulus van beton (aangenomen als Ecm in het geval van EN)

Ø             de diameter van de wapeningsstaaf

De rekenwaarden (gefactoreerde waarden) van de uiterste aanhechtingsschuifspanning, f_bd, opgegeven in de betreffende geselecteerde ontwerpcodes EN 1992-1-1 of ACI 318-19, worden gebruikt om de verankeringslengte te verifiëren. De verstevigingshelling (hardening) van de plastische tak wordt standaard berekend als Gb/105.

Verankeringsveer

Het toepassen van verankeringseinden aan de wapeningsstaven (d.w.z. bochten, haken, lussen…), die voldoen aan de voorschriften van de ontwerpcodes, maakt het mogelijk de basisverankeringslengte van de staven (l_b,net) te verminderen met een bepaalde factor β (hierna aangeduid als de 'verankeringscoëfficiënt'). De rekenwaarde van de verankeringslengte (lb) wordt vervolgens als volgt berekend:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}$$

De vermindering van de verankeringslengte wordt in het eindige-elementenmodel opgenomen door middel van een veerelement aan het uiteinde van de staaf (Fig. 13a), dat wordt gedefinieerd door het constitutieve model getoond in (Fig. 13b). De maximale kracht die door deze veer wordt overgedragen (F_au) is:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

waarbij:

β             de verankeringscoëfficiënt gebaseerd op het type verankering

A_s            de dwarsdoorsnede van de wapeningsstaaf

f_yd           de rekenwaarde (gefactoreerde waarde) van de vloeigrens van de wapening

Voetplaat

De voetplaat wordt gemodelleerd als een elastisch schaalelement. Het staalmateriaal dat voor voetplaten wordt gebruikt, is gedefinieerd op het tabblad Materials. De enige fysische eigenschap is de elasticiteitsmodulus E.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad De materiaaldefinitie van de voetplaat}}}$$

De voetplaat kan worden belast door de puntlast (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) en de groep van krachten (Fx, Fy, Fz), voornamelijk gebruikt voor het belasten van modellen die zijn geëxporteerd vanuit de IDEA StatiCa Connection. Merk op dat puntlasten en puntmomenten rechtstreeks de bijbehorende knoop van de voetplaat belasten. Dit betekent dat er geen herverdeling plaatsvindt, behalve door de stijfheid van de voetplaat. 

Deze implementatie maakt het mogelijk om belastingseffecten te importeren vanuit de IDEA StatiCa Connection die worden toegepast op de voetplaat ter plaatse van de individuele eindige-elementen van de las, met de waarde en richting bepaald op basis van de algemene spanning van dat eindige-element van de las. Meer informatie hierover is te vinden in het bijbehorende hoofdstuk van dit document.

De tweede belastingsoptie is de Stub — die een kort gedeelte van de kolom boven de voetplaat voorstelt. De stub wordt gemodelleerd als een elastische schaalelementstructuur en gedraagt zich als een fysiek nauwkeurige interface tussen de inwendige krachten en de plaat. De gebruiker selecteert een doorsnede voor de stub uit een standaard doorsnedendatabase. De set van 6 inwendige krachtcomponenten (krachten en momenten) wordt toegepast op een enkel punt op het onderste vlak van de stub — d.w.z. de voet van de kolom. Randvoorwaarden dragen de krachten over naar het bovenste vlak van de stub, van waaruit ze op natuurlijke wijze worden herverdeeld door de stub naar de voetplaat, de ankers en het beton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad De belastingsoverdracht via de stub}}}$$

Mechanisme voor afschuivingsoverdracht (van voetplaat naar betonblok)

Tussen de voetplaat en het beton is een op wrijving gebaseerd contact gedefinieerd dat alleen druk overdraagt. Voor de afschuivingsoverdracht kan de gebruiker kiezen uit drie opties:

• Via ankers
• Via wrijving
• Via afschuif deuvel

De software staat geen combinatie van deze afschuivingsoverdrachtsmechanismen toe. 

De wrijvingscoëfficiënt moet worden ingevoerd als een ontwerp(gefactoreerde) waarde. Indien de resulterende afschuifkracht F_xy groter is dan de drukkracht F_z vermenigvuldigd met de wrijvingscoëfficiënt μ, zal de berekening stoppen, en zullen niet alle belastingen op het model worden toegepast. De voorwaarde wordt als volgt geschreven:

$$\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1$$

Dit is te zien in het volgende voorbeeld, waarbij twee belastinggevallen worden beschouwd. 

• LC1 - Permanent type - F_z = 100 kN
• LC2 - Veranderlijk type- F_x = 100 kN

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad Belastingsinvoer voor het voorbeeld ter verduidelijking van afschuivingsoverdracht door wrijving}}}$$

In de eerste rekenstap wordt de volledige permanente belasting toegepast. Vervolgens wordt de veranderlijke belasting geleidelijk toegepast totdat deze de waarde van de drukbelasting vermenigvuldigd met de wrijvingscoëfficiënt bereikt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Resultaten van het voorbeeld ter verduidelijking van afschuivingsoverdracht door wrijving}}}$$

De grafiek in Figuur 18 definieert het gedrag van het wrijvingscontact tussen de voetplaat en het beton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad Kracht-verplaatsingsgrafiek die het gedrag van het wrijvingscontact beschrijft}}}$$

De waarde van F_zμ verschilt voor elke increment van de berekening, terwijl de waarde van de maximale afschuifvervorming u_xy constant is. 

Als de drukkende normaalkracht F_z en de afschuifkracht F_xy worden ingevoerd in één belastinggeval-type (bijv. alleen permanent), en aan de voorwaarde F_xy / (F_zμ) ≤ 1 niet wordt voldaan, wordt er geen belasting op het model toegepast, omdat niet in enige increment van de berekening aan de voorwaarde wordt voldaan.

De afschuif deuvel is verbonden met de betonmesh door randvoorwaarden die alleen drukoverdracht van normaalspanning toestaan. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Overdracht van afschuiving via de afschuif deuvel}}}$$

De afschuif deuvel wordt gemodelleerd met elastische schaalelementen, waarbij de elasticiteitsmodulus E het materiaal definieert.

De resultaten worden niet geëvalueerd en weergegeven voor de voetplaat, noch voor de afschuif deuvel.

 Opties voor voetplaat  (stand-off, voegmortel)

De volgende reeks stand-off-opties, volledig afgestemd op de Connection applicatie, is beschikbaar.

• Direct
• Mortelvoeg – moeren aan de bovenzijde
• Mortelvoeg – moeren aan de boven- en onderzijde
• Kier

De mortellaag wordt gemodelleerd als een schaalelement, waarbij rekening wordt gehouden met de stijfheid ervan. Merk op dat schaalelementen onsamendrukbaar zijn in de richting van hun dikte. Dit helpt om lokale krachten te herverdelen naar het beton en is geldig voor de in de praktijk gebruikelijke bedlaagdiktes van 25-50 mm.

Het onderscheid tussen moeren alleen aan de bovenzijde (scharnierende verbinding tussen anker en voetplaat) versus boven- en onderzijde (starre verbinding tussen anker en voetplaat) heeft een sterke invloed op de afschuifcapaciteit vanuit het oogpunt van betondraging.

Ankers

De eindige elementen die de ankers voorstellen, zijn zodanig gemodelleerd dat ze normaal- en afschuifkrachten naar het beton kunnen overdragen, waarbij ook rekening wordt gehouden met de buigstijfheid van de ankers. Om de slip tussen het anker en het omringende beton te modelleren, worden dezelfde aanhechtings- en MPC-elementen gebruikt als voor de wapening. Met dit verschil dat:

• Voor achteraf aangebrachte ankers (lijmankers) moet de rekenwaarde van de aanhechtsterkte worden opgegeven.
• Voor ankerplaten en kopdeuvels wordt de aanhechting langs de schacht van het anker verwaarloosd. Alle axiale belasting wordt dan overgedragen naar het beton via de ankerplaat of de kop van het anker.

Ankers kunnen onderling worden verbonden met voetplaten. Voor deze verbinding wordt een volledig niet-lineaire randvoorwaarde gebruikt om het uiteinde van het anker en een knoop van de voetplaat te verbinden. Met deze randvoorwaarde kunnen alle vrijheidsgraden worden gestuurd, om bijvoorbeeld te waarborgen dat de ankers geen drukkracht overdragen vanuit de voetplaat, of dat er geen afschuiving wordt overgedragen door het anker bij het modelleren van een afschuif deuvel, enz.

De eigenschap Verbinding met voetplaat voor ankers stelt de gebruiker in staat om te bepalen of het anker met de voetplaat wordt verbonden door de eerder genoemde randvoorwaarde, en op welke manier. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad Instellingen voor verbinding met voetplaat}}}$$

Het selectievakje Overdracht van afschuiving kan worden gebruikt om te bepalen of het anker en de voetplaat qua afschuiving met elkaar verbonden zijn of niet. Merk op dat het niet mogelijk is om afschuivingsoverdrachtsmechanismen te combineren, dus voor overdracht door wrijving en afschuif deuvel is dit selectievakje niet relevant. Voor afschuivingsoverdracht via ankers biedt dit veld daarentegen de mogelijkheid om bepaalde ankers uit te sluiten van afschuivingsoverdracht.

Het selectievakje Overdracht van axiale krachten kan worden gebruikt om te bepalen of het anker en de voetplaat in axiale richting met elkaar verbonden zijn of niet. Dit wordt voornamelijk gebruikt bij de export vanuit de Connection functie (zie het bijbehorende hoofdstuk). Voor handmatige modellering is het zinvol om dit selectievakje altijd aangevinkt te laten.

Wanneer het selectievakje niet is aangevinkt, wordt het anker zowel bij trek als bij druk losgekoppeld (in het geval van een model dat is geëxporteerd vanuit de Connection applicatie, wordt de verbinding vervangen door een paar krachten). Als het selectievakje is aangevinkt, is het anker altijd verbonden met de plaat bij trek, maar wordt de verbinding bij druk bepaald door het ankertype en het type stand-off. Zie Figuur 23 voor meer informatie.

Afgesneden schroefdraad

Wordt bepaald door een selectievakje in de eigenschappen van het anker en heeft 2 doelen:

1. Bepaalt hoe het anker wordt verbonden met de voetplaat:

• Voor kopdeuvels en ingestorte wapening die is verbonden met de voetplaat (niet voor ingestorte platen), wordt onderscheid gemaakt tussen een boutverbinding (scharnierend) en een lasverbinding (star) — zichtbaar in de 3D-weergave.
• Merk op dat de manier waarop het anker met de plaat wordt verbonden een aanzienlijke invloed heeft op de afschuifweerstand vanuit het oogpunt van betondraging.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Opties voor afgesneden schroefdraad}}}$$

2. Voor Eurocode wordt de weerstand van het anker met afgesneden schroefdraad verminderd volgens EN 1993-1-8 3.6.1 (3). Dit kan worden ingesteld in Projectinstellingen. Voor draadeinden en ankerplaten wordt aanbevolen deze instelling altijd ingeschakeld te houden.

Axiale en rotatieverbinding tussen anker en voetplaat

Zoals reeds vermeld in dit hoofdstuk worden ankers, afhankelijk van het ankertype, de stand-off-instelling en of er al dan niet rekening wordt gehouden met afgesneden schroefdraad, op verschillende manieren met de voetplaat verbonden. Wat betreft de rotatieverbinding kan dit Scharnierend / Star zijn. Wat betreft de axiale verbinding kan dit Trek / Trek + Druk zijn. Het type rotatieverbinding heeft een sterke invloed op de afschuifcapaciteit vanuit het oogpunt van betondraging. In een 3D-weergave is op basis van de aanwezigheid van moeren gemakkelijk te zien of een anker star of scharnierend is verbonden, zie Figuur 22.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Rotatierandvoorwaarden}}}$$

De volgende tabel toont alle mogelijke combinaties van voetplaatverbindingen met ankers en de bijbehorende rotatie- en axiale verbindingen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Axiale en rotatierandvoorwaarden tussen een anker en een voetplaat}}}$$

Ingestorte platen

Een ingestorte plaat is een speciaal geval van een voetplaat. Deze wordt op analoge wijze gemodelleerd, met de volgende verschillen:

Omdat de plaat is ingebed in een betonblok, kan er geen type stand-off worden opgegeven. De inbeddingsdiepte van de plaat wordt verwaarloosd. De plaat, gemodelleerd door schaalelementen, wordt direct op het betonoppervlak geplaatst. Daarom worden de zijvlakken van de plaat niet beschouwd als ondersteund door het beton.

Het is alleen mogelijk om wapening en kopdeuvels te gebruiken, die, net als klassieke ankers, kunnen worden ingesteld om verbonden te zijn met de plaat in axiale en afschuifrichting. De praktijkervaring en enkele nationale documenten geven aan dat het nodig is om kopdeuvels alleen op afschuiving en wapening alleen op axiale belasting te ontwerpen. Vanuit het oogpunt van axiale en rotatierandvoorwaarden worden ankers altijd verbonden als Star en Trek + Druk.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad Axiale en rotatierandvoorwaarden tussen een anker en een voetplaat}}}$$

De eindige elementen worden intern geïmplementeerd en het analysemodel wordt automatisch gegenereerd zonder dat hiervoor gevorderde gebruikersinteractie nodig is. Een belangrijk onderdeel van dit proces is meshing.

Beton

Alle betonstaven worden samen gemesht. Een aanbevolen elementgrootte wordt automatisch berekend door de applicatie op basis van de grootte en vorm van de constructie, rekening houdend met de diameter van de grootste wapeningsstaaf. Bovendien garandeert de aanbevolen elementgrootte dat er minimaal vier elementen worden gegenereerd in dunne delen van de constructie, zoals slanke kolommen of dunne wanden, om betrouwbare resultaten in deze gebieden te waarborgen. Ontwerpers kunnen altijd een door de gebruiker gedefinieerde betonelementgrootte selecteren door de vermenigvuldigingsfactor van de standaard meshgrootte aan te passen.

Wapening

De wapening wordt verdeeld in elementen met ongeveer dezelfde lengte als de betonelementgrootte. Zodra de wapenings- en betonmeshes zijn gegenereerd, worden ze onderling verbonden met aanhechtingselementen, zoals weergegeven in Fig. 9.

Verfijning

De betonmesh wordt automatisch verfijnd rond ankers, rond afschuif deuvels en onder de stomp voor belasting. De grootte van de verfijnde mesh is ongeveer tweemaal kleiner dan de basis betonmesh. De straal van het verfijnde gebied wordt gedefinieerd als ongeveer de elementgrootte vermenigvuldigd met twee.

Een standaard volledig Newton-Raphson (NR) algoritme wordt gebruikt om de oplossing voor een niet-lineair FEM-probleem te vinden. 

Over het algemeen convergeert het NR-algoritme niet vaak wanneer de volledige belasting in één stap wordt aangebracht. Een gebruikelijke aanpak, die ook hier wordt gebruikt, is om de belasting achtereenvolgens in meerdere increments aan te brengen en het resultaat van de vorige lastincrement te gebruiken om de Newton-oplossing van de volgende te starten. Voor dit doel is een lastcontrole-algoritme geïmplementeerd bovenop de Newton-Raphson. In het geval dat de NR-iteraties niet convergeren, wordt de huidige lastincrement gereduceerd tot de helft van de waarde, en worden de NR-iteraties opnieuw uitgevoerd.

Een tweede doel van het lastcontrole-algoritme is het vinden van de kritieke belasting, die overeenkomt met bepaalde "stopcriteria" – specifiek de maximale rek in beton, de maximale slip in aanhechtingselementen, de maximale verplaatsing in verankeringselementen en de maximale rek in wapeningsstaven. De kritieke belasting wordt gevonden met behulp van de bisectiemethode. In het geval dat het stopcriterium ergens in het model wordt overschreden, worden de resultaten van de laatste lastincrement verworpen en wordt een nieuwe increment berekend ter grootte van de helft van de vorige. Dit proces wordt herhaald totdat de kritieke belasting is gevonden met een bepaalde foutentolerantie.

Voor beton werd het stopcriterium ingesteld op een rek van 5% in druk (d.w.z. ongeveer een orde van grootte groter dan de werkelijke bezwijkrek van beton) en 7% in trek bij de integratiepunten van shell-elementen. In trek werd de waarde zo ingesteld dat de grensrek in wapening, die gewoonlijk ongeveer 5% bedraagt zonder rekening te houden met tension stiffening, eerst wordt bereikt. In druk werd de waarde gekozen uit verschillende alternatieven als een waarde die groot genoeg is om de effecten van verbrijzelen zichtbaar te maken in de resultaten, maar klein genoeg om niet te veel problemen met numerieke stabiliteit te veroorzaken.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 25\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}$$

Voor wapening wordt het stopcriterium gedefinieerd in termen van spanningen. Aangezien de spanningen ter plaatse van de scheur worden gemodelleerd, komt het criterium in trek overeen met de treksterkte van de wapening, rekening houdend met de veiligheidscoëfficiënt. Dezelfde waarde wordt gebruikt voor het criterium in druk.

Het stopcriterium in aanhechtingselementen en verankeringsveren is α·δ_umax, waarbij δ_umax de maximale slip is die wordt gebruikt in de normtoetsingen en α = 10.

Andere stopcriteria voor verankering:

• Uittrekken van kopankers (maximale contactdrukspanning aan de bovenzijde van de kop van het anker). 
• Maximale afschuifkracht die door het anker kan worden overgedragen vanuit het oogpunt van de oplegging van beton.

Deze twee criteria zijn afhankelijk van de geselecteerde norm. Meer informatie hierover vindt u in de secties waarin de normafhankelijke onderdelen van de constructieve analyse in de applicatie worden toegelicht.

De resultaten worden onafhankelijk weergegeven voor beton en voor wapeningselementen. De spannings- en rekwaarden in beton worden berekend op de integratiepunten van volume-elementen. Aangezien het echter niet praktisch is om de gegevens op die manier weer te geven, worden de resultaten standaard weergegeven in knopen, zoals de maximale waarde van drukspanning uit aangrenzende Gauss-integratiepunten in verbonden elementen. Er moet worden opgemerkt dat deze weergave de resultaten aan gedrukte randen van staven lokaal kan onderschatten in het geval dat de afmeting van het eindige element vergelijkbaar is met de hoogte van de drukzone.

De resultaten voor de eindige elementen van de wapening zijn ofwel constant voor elk element (één waarde – bijvoorbeeld voor staalspanningen) ofwel lineair (twee waarden – voor aanhechtingsresultaten). Voor hulpelementen, zoals elementen van oplegplaten, worden alleen vervormingen weergegeven.

Het IDEA StatiCa Detail-model hoeft niet altijd vanaf nul of vanuit een template te worden gemodelleerd. Er is ook een optie om het model, inclusief belastingseffecten, te importeren vanuit IDEA StatiCa Connection. In Connection wordt de stalen bovenbouw boven het betonblok geanalyseerd met behulp van een niet-lineair 3D-model, terwijl het betonblok zelf op een vereenvoudigde manier wordt weergegeven door een Winkler-fundering. In Detail daarentegen wordt het gewapend betonblok expliciet gemodelleerd en in detail getoetst.

Bij het overzetten van het model worden alleen de voetplaat, ankers en het betonblok geïmporteerd in Detail – de staaf zelf (en de globale stijfheid ervan) niet. In het Connection-model is deze staaf met een las verbonden aan de voetplaat. De spanningen in de eindige elementen van de las worden geïntegreerd en omgezet in een set equivalente krachten die de voetplaat in Detail belasten. Op deze manier wordt het effect van de ontbrekende staaf weergegeven door laskrachten die rechtstreeks op de voetplaat worden aangebracht.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Belastingen geïmporteerd vanuit IDEA StatiCa Connection}}}$$

Door de verschillende definitie van stijfheid tussen Connection en Detail (ontbrekende staaf, verschillende materiaalmodellen en betonrepresentatie) zou een directe verbinding tussen de voetplaat en de ankers in Detail over het algemeen leiden tot een andere herverdeling van belastingen en dus tot andere trekkrachten in de ankers. Om dit te voorkomen, worden de ankers axiaal losgekoppeld van de voetplaat geïmporteerd. In plaats van axiale krachten via het fysieke contact over te dragen, worden de ankerspanningen die uit Connection zijn verkregen rechtstreeks op de ankers in Detail toegepast. Tegelijkertijd wordt op elke ankerlocatie een gelijke en tegengestelde kracht op de voetplaat aangebracht, zodat het globale evenwicht van het model behouden blijft. Dit krachtenpaar (een werkend op het anker, de andere op de voetplaat) vertegenwoordigt de interactie tussen de voetplaat en het anker zonder dat er extra herverdeling van axiale krachten in Detail mogelijk is. Deze twee tegengestelde krachten worden geïllustreerd in Figuur 26.

De afschuifkrachten worden echter nog steeds overgedragen door de verbinding tussen de voetplaat en de ankers (of afschuif deuvel, of wrijving). Dit is mogelijk omdat een randvoorwaarde wordt gebruikt om de voetplaat en de ankers in afschuiving te verbinden, waardoor we de relevante vrijheidsgraden van deze onderlinge verbinding kunnen sturen. In Detail kan de gebruiker daarom het afschuiflastpad aanpassen – bijvoorbeeld door afschuiving in twee van de vier ankers vrij te geven en alleen de randankers in afschuiving actief te houden – terwijl de axiale krachten blijven zoals geïmporteerd vanuit Connection.

Voor ingestorte platen hebben we een andere aanpak gehanteerd. Verschillende Europese ontwerprichtlijnen vereisen dat alleen de wapeningsstaven worden beschouwd om axiale krachten op te nemen, terwijl kopdeuvels worden verondersteld alleen afschuiving over te dragen. Aangezien IDEA StatiCa Connection tijdens de export intern geen onderscheid kan maken tussen axiale krachten in wapeningsankers en die in kopdeuvels, worden de ankers van ingestorte platen volledig verbonden geïmporteerd in Detail, ook in de axiale richting. Dit stelt de gebruiker in staat om een ontwerpoptie in Detail te activeren waarbij wapeningsankers alleen axiale trek dragen en kopdeuvels alleen afschuiving. Bij deze workflow moet de axiale kracht die oorspronkelijk aan de kopdeuvels was toegewezen, binnen het Detail-model worden herverdeeld naar de wapeningsankers. Een dergelijke herverdeling zou niet mogelijk zijn als we de hierboven beschreven aanpak met tegengestelde krachtenparen zouden gebruiken, en daarom worden ingestorte platen anders behandeld.

Uiterste grenstoestand

De verschillende toetsingen die door specifieke normen worden vereist, worden beoordeeld op basis van de directe resultaten die het model oplevert. UGT-toetsingen worden uitgevoerd voor de sterkte van beton, de sterkte van wapening en verankering (aanhechtingsschuifspanningen).

Om te zorgen voor een efficiënt ontwerp van een constructief element, wordt sterk aangeraden om een voorlopige analyse uit te voeren waarbij rekening wordt gehouden met de volgende stappen:

• Kies een selectie van de meest kritische belastingcombinaties.
• Bereken alleen belastingcombinaties voor de uiterste grenstoestand (UGT).
• Om de rekentijd te verkorten en eventuele problemen aan te pakken, kan een grovere mesh worden gebruikt door de vermenigvuldigingsfactor van de standaard meshgrootte in de Setup te verhogen (Fig. 27). Als het model goed presteert, zet de vermenigvuldigingsfactor dan terug op 1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 27\qquad Mesh multiplier}}}$$

Een dergelijk model zal zeer snel worden berekend, waardoor ontwerpers de detaillering van het constructieve element efficiënt kunnen beoordelen en de analyse opnieuw kunnen uitvoeren totdat aan alle toetsingsvereisten voor de meest kritische belastingcombinaties is voldaan. Zodra aan alle toetsingsvereisten van deze voorlopige analyse is voldaan, wordt aanbevolen om de volledige set uiterste belastingcombinaties op te nemen en een fijne meshgrootte te gebruiken (de door het programma aanbevolen meshgrootte). Gebruikers kunnen de meshgrootte aanpassen via de vermenigvuldigingsfactor, die waarden kan aannemen van 0,5 tot 5 (Fig. 27).

De basisresultaten en toetsingen (spanning, rek en benuttingsgraad (d.w.z. de berekende waarde/grenswaarde volgens de norm)), evenals de richting van de hoofdspanningen in het geval van betonnen elementen, worden weergegeven met behulp van verschillende plots waarbij druk over het algemeen in rood en trek in blauw wordt weergegeven. Globale minimum- en maximumwaarden voor de gehele constructie kunnen worden gemarkeerd, evenals minimum- en maximumwaarden voor elk door de gebruiker gedefinieerd onderdeel. In een apart tabblad van het programma kunnen geavanceerde resultaten worden getoond, zoals tensorwaarden, vervormingen van de constructie en wapeningspercentages (effectief en geometrisch) die worden gebruikt voor de berekening van de tension stiffening van wapeningsstaven. Daarnaast kunnen belastingen en reacties voor geselecteerde combinaties of belastingsgevallen worden weergegeven.

Beton - UGT

Het betonmodel dat is geïmplementeerd in 3D CSFM is gebaseerd op de constitutieve wetten voor eenassige druk die zijn voorgeschreven door EN 1992-1-1 voor het ontwerp van doorsneden, die alleen afhankelijk zijn van de drukvastheid. Het parabool-rechthoekdiagram gespecificeerd in EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 28a) wordt standaard gebruikt in 3D CSFM, maar ontwerpers kunnen ook kiezen voor een meer vereenvoudigde elastisch-ideaal-plastische relatie volgens EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 28b). De treksterkte wordt verwaarloosd, zoals gebruikelijk is bij klassiek gewapend betonontwerp.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 28\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}$$

De implementatie van 3D CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt geen rekening met een expliciet bezwijkcriterium in termen van rek voor beton in druk (d.w.z., nadat de piekspanning is bereikt, wordt een plastische tak beschouwd met ε_cu2 (ε_cu3) met een waarde van 5%, terwijl EN 1992-1-1 uitgaat van een uiterste rek van minder dan 0,35%). Deze vereenvoudiging maakt het niet mogelijk om het vervormingsvermogen van constructies die bezwijken op druk te verifiëren. Hun uiterste capaciteit f_cd volgens EN 1992-1-1 3.1.3 wordt echter correct voorspeld wanneer rekening wordt gehouden met de toenemende brosheid van beton naarmate de sterkte toeneemt, door middel van de reductiefactor $\eta_{fc}$ gedefinieerd in fib Model Code 2010 als volgt:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarbij:

α_cc de coëfficiënt is die rekening houdt met langetermijneffecten op de drukvastheid en met ongunstige effecten die voortvloeien uit de wijze waarop de belasting wordt aangebracht. Deze is volgens EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). De standaardwaarde is 1,0.

f_ck is de karakteristieke cilinderdruksterkte van beton (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

Wapening

Standaard wordt het geïdealiseerde bilineaire spanning-rekdiagram voor de blanke wapeningsstaven gedefinieerd in EN 1992-1-1, sectie 3.2.7 (Fig. 29) gebruikt. Voor de definitie van dit diagram zijn tijdens de ontwerpfase alleen de basiseigenschappen van de wapening nodig (sterkte- en ductiliteitsklasse). Indien bekend, kan de werkelijke spanning-rekrelatie van de wapening (warmgewalst, koudvervormd, gehard en zelfontlaten, …) worden toegepast. Het spanning-rekdiagram van de wapening kan door de gebruiker worden gedefinieerd, maar in dat geval is het niet mogelijk om rekening te houden met het tension stiffening-effect (het is dan niet mogelijk om de scheurwijdte te berekenen). Het gebruik van het spanning-rekdiagram met een horizontale bovenste tak maakt het niet mogelijk de constructieve duurzaamheid te verifiëren. Daarom is handmatige verificatie van de standaard ductiliteitseisen noodzakelijk.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$$

Er wordt automatisch rekening gehouden met tension stiffening (Fig. 30) door de invoer-spanning-rekrelatie van de blanke wapeningsstaaf aan te passen, zodat de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven wordt vastgelegd (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

De Compatible Stress Field Method voldoet aan moderne ontwerpnormen. Omdat de rekenmodellen alleen standaard materiaaleigenschappen gebruiken, kan het formaat van partiële veiligheidsfactoren zoals voorgeschreven in de ontwerpnormen zonder aanpassing worden toegepast. Op deze manier worden de invoerbelastingen vermenigvuldigd met een factor en worden de karakteristieke materiaaleigenschappen gereduceerd met de betreffende veiligheidscoëfficiënten die in de ontwerpnormen zijn voorgeschreven, precies zoals bij conventionele betonanalyse. Waarden van materiaalveiligheidsfactoren die zijn voorgeschreven in EN 1992-1-1 hfst. 2.4.2.4 en factoren voor ankers voorgeschreven in EN 1992-4, EN 1993-1-8 en EN 1994-1-1 zijn standaard ingesteld, maar de gebruiker kan de veiligheidsfactoren wijzigen in de Code and calculation settings (Fig. 31).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Belastingveiligheidsfactoren moeten door de gebruiker worden gedefinieerd in Combination rules voor elke niet-lineaire combinatie van belastinggevallen (Fig. 32). Voor alle templates die zijn geïmplementeerd in Idea StatiCa Detail, zijn partiële veiligheidsfactoren al vooraf gedefinieerd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Door gebruik te maken van geschikte, door de gebruiker gedefinieerde combinaties van partiële veiligheidsfactoren, kunnen gebruikers ook rekenen met 3D CSFM met behulp van de global resistance factor method (Navrátil, et al. 2017), maar deze aanpak wordt in de ontwerppraktijk vrijwel nooit gebruikt. Sommige richtlijnen bevelen het gebruik van de global resistance factor method aan voor niet-lineaire analyse. Echter, bij vereenvoudigde niet-lineaire analyses (zoals 3D CSFM), die alleen de materiaaleigenschappen vereisen die ook in conventionele handberekeningen worden gebruikt, blijft het gebruik van het partiële veiligheidsformaat toch de voorkeur verdienen.

Beton - Sterkte

Het betonmodel dat is geïmplementeerd voor sterkteberekeningen in de CSFM is gebaseerd op de parabolisch-plastische spanning-rekkromme voor beton, gebaseerd op de parabolische spanning-rekkromme van de Portland Cement Association, beschreven in PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figure 6-8. De treksterkte wordt verwaarloosd, zoals gebruikelijk is bij klassiek gewapend betonontwerp.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

De implementatie van de CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt geen rekening met een expliciet bezwijkcriterium in termen van rek voor beton onder druk (d.w.z. nadat de piekspanning is bereikt, wordt een plastische tak beschouwd met ε_c0 met een maximale waarde van 5%, terwijl ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 uitgaat van een uiterste rek van minder dan 0,3%). Deze vereenvoudiging maakt het niet mogelijk om het vervormingsvermogen van constructies die bezwijken door druk te verifiëren. De sterkte wordt echter correct voorspeld doordat rekening wordt gehouden met de toenemende brosheid van beton naarmate de sterkte toeneemt, door middel van de $\eta_{fc}$ reductiefactor die als volgt is gedefinieerd in de fib Model Code 2010:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarbij:

α₁ is de reductiefactor van de betondrukvastigheid, gedefinieerd in ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Bij gebruik van een parabool-rechthoek spanning-rekdiagram is het noodzakelijk om de maximale drukspanning met deze factor te verminderen. Dit middelt de spanningsverdeling in de drukzone zodanig dat de resulterende drukvastigheid kleiner is dan of gelijk is aan de drukvastigheid berekend met een spanning-rekdiagram met een afnemende plastische tak.

Φ_c is de sterktereductiefactor voor beton. De standaardwaarde is ingesteld volgens ACI 318-19 Tabel 24.2.1 (b)(f).

f'_c is de cilinderdruksterkte van beton (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

Wapening

Voor de niet-voorgespannen wapening wordt een volkomen elastisch-plastisch spanning-rekdiagram met een gedefinieerd vloeipunt beschouwd. Zie ACI 319-19 Cl. 20.2.1. Voor de definitie van dit diagram zijn alleen de basiseigenschappen van de wapening nodig - sterkte en elasticiteitsmodulus.

Het spanning-rekdiagram van de wapening kan ook door de gebruiker worden gedefinieerd, maar in dat geval is het niet mogelijk om rekening te houden met het tension stiffening effect. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

waarbij:

Φ_s is de sterktereductiefactor voor wapening. De standaardwaarde is ingesteld volgens ACI 318-19 Tabel 24.2.1.

f_y is de vloeigrens van de wapening

E_s elasticiteitsmodulus van de wapening

10% is gekozen als de grensrek waarbij de berekening wordt gestopt. Dit wordt als veilig beschouwd op basis van ASTM A955/A955M-20c Artikel 7.

Tension stiffening (Fig. 42)  wordt automatisch in rekening gebracht door de invoer-spanning-rekrelatie van de kale wapeningsstaaf aan te passen, om zo de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven vast te leggen (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

De Compatible Stress Field Method voldoet aan moderne ontwerpnormen. Omdat de rekenmodellen alleen standaard materiaaleigenschappen gebruiken, kan het formaat van partiële veiligheidsfactoren zoals voorgeschreven in de ontwerpnormen zonder aanpassing worden toegepast. Op deze manier worden de invoerbelastingen gefactoreerd en worden de karakteristieke materiaaleigenschappen gereduceerd met behulp van de betreffende sterktereductiefactoren, precies zoals bij conventionele betonanalyse.

Waarden van sterktereductiefactoren zijn voorgeschreven in ACI 318-19 hoofdstuk 21 en voor ankers in ACI 318-19 hoofdstuk 17 en AISC 360-16 hoofdstuk D, E, F, G. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Belastingsfactoren voor sterktecombinaties dienen te worden gedefinieerd volgens ACI 318-19 Tabel 5.3.1.

Behalve zoals vermeld in Hoofdstuk 34, zijn belastingscombinaties op gebruiksniveau niet gedefinieerd in ACI 318-19. Het wordt aanbevolen om combinatieregels te gebruiken gebaseerd op Appendix C van ASCE/SEI 7-16. Voor alle templates zijn de belastingsfactoren al vooraf gedefinieerd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

De verschillende verificaties die vereist zijn door ACI 318-19 worden beoordeeld op basis van de directe resultaten die door het model worden geleverd. Verificaties worden uitgevoerd voor betonsterkte, wapeningssterkte en verankering (aanhechtingsafschuifspanningen).

Sterkte - Beton

De betonsterkte in druk wordt geëvalueerd als de verhouding tussen de maximale equivalente hoofdspanning f_c,eq (ook σ_c,eq in voorgaande tekst) verkregen uit de EEM-analyse en de grenswaarde f'_c,lim.

Equivalente hoofdspanning drukt de equivalente uniaxiale spanning uit voor een algemene tri-axiale spanningstoestand.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

De waarde f_c,eq kan daarom direct worden vergeleken met uniaxiale sterktegrenzen. Deze uitdrukking is afgeleid van de toepassing van de Mohr-Coulomb-plasticiteitstheorie, waarbij conservatief wordt aangenomen dat de inwendige wrijvingshoek φ = 0° is.

Sterkte - Wapening

De sterkte van de wapening wordt geëvalueerd in zowel trek als druk als de verhouding tussen de spanning in de wapening ter plaatse van de scheuren f_s en de gespecificeerde grenswaarde f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Sterkte - Ankers

Ankers worden op normaalspanningen gecontroleerd op een vergelijkbare manier als wapening, waarbij de grenswaarde f_y,lim wordt bepaald. 

Om het navigeren door de volgende tekst te vergemakkelijken, verdelen we verankering eerst in drie groepen wat betreft normtoetsing volgens ACI of AISC.

Groep 1

• Ankertypes

  • Ingestorte plaat
  • Voetplaat - Stand-off = direct 
  • Voetplaat - Stand-off = mortelvoeg - dikte van de mortel minder dan 0,5 keer de ankerdiameter
  • Enkel anker met uitstekende lengte minder dan 0,5 keer de ankerdiameter
• Ankernormtoetsingen (ACI / AISC)

  • Trek/druk

    • Alle ankertypes in trek – ACI 318-19 hfst. 17.6.1.2  
    • Alle ankertypes in druk – AISC 360-16 hfst. E
  • Afschuiving zonder hefboomarm

    • Boutmateriaal – ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2 (b)
    • Kopdeuvels – ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2 (a)
    • Wapening – ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2 (b)
  • Interactie van trek en afschuiving - ACI 318-19 hfst. 17.8

Groep 2

• Ankertypes

  • Voetplaat - Stand-off = mortelvoeg - dikte van de mortel meer dan 0,5 keer de ankerdiameter
• Ankernormtoetsingen (ACI / AISC)

  • Trek/druk

    • Alle ankertypes in trek – ACI 318-19 hfst. 17.6.1.2  
    • Alle ankertypes in druk – AISC 360-16 hfst. E
  • Afschuiving met hefboomarm

    • Boutmateriaal – ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2 (b) + hfst. 17.7.1.2.1.
    • Kopdeuvels – ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2 (a) + hfst. 17.7.1.2.1.
    • Wapening – ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2 (b) + hfst. 17.7.1.2.1.
  • Interactie van trek en afschuiving - ACI 318-19 hfst. 17.8

Groep 3

• Ankertypes

  • Voetplaat - Stand-off = spleet
  • Enkel anker met uitstekende lengte meer dan 0,5 keer de ankerdiameter
• Ankernormtoetsingen (ACI / AISC)

  • Trek/druk (met knik)

    • Alle ankertypes in trek – ACI 318-19 hfst. 17.6.1.2
    • Alle ankertypes in druk – AISC 360-16 hfst. E3
  • Buiging

    • Voor alle ankertypes – AISC 360-16 hfst. F11
  • Afschuiving

    • Voor alle ankertypes – AISC 360-16 hfst. G
  • Interactie van normaalkracht en buiging

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Trekweerstand van anker volgens ACI 318-19 hfst. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

waarbij:

• ϕ_a,t  – sterktereductiefactor voor ankers in trek volgens ACI 318-19 hfst. 17.5.3 (a)
• A_se,N – trekspanningsoppervlak (gereduceerd door schroefdraad)
• f_uta – gespecificeerde treksterkte van ankerstaal en mag niet groter zijn dan 1,9 f_ya en 860 MPa

Afschuifweerstand van anker volgens ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2 (a)

De staalsterkte in afschuiving voor kopdeuvels wordt bepaald als:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

waarbij:
ϕ_a,v – sterktereductiefactor voor ankers in trek volgens ACI 318-19 hfst. 17.5.3 (a)
A_se,V – trekspanningsoppervlak (gereduceerd door schroefdraad)
f_uta – gespecificeerde treksterkte van ankerstaal en mag niet groter zijn dan 1,9 f_ya en 860 MPa

Afschuifweerstand van anker volgens ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2 (b)

De staalsterkte in afschuiving voor ankers van boutmateriaal en wapening wordt bepaald als:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

waarbij:

• ϕ_a,v  – sterktereductiefactor voor ankers in trek volgens ACI 318-19 hfst. 17.5.3 (a)
• A_se,V – trekspanningsoppervlak (gereduceerd door schroefdraad)
• f_uta – gespecificeerde treksterkte van ankerstaal en mag niet groter zijn dan 1,9 f_ya en 860 MPa

Afschuifweerstand van anker verbonden met een fundering met mortel - ACI 318-19 hfst. 17.7.1.2.1

Als ankers worden gebruikt met opgebouwde injectiemortelvoegen (Groep 2), moet de rekenwaarde van de sterkte berekend volgens 17.7.1.2 worden vermenigvuldigd met 0,80.

Interactie in trek en afschuiving volgens ACI 318-19 hfst. 17.8

Het is toegestaan om de interactie tussen trek en afschuiving te verwaarlozen als aan (a) of (b) wordt voldaan.
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Als N_ua/(ϕN_n) > 0,2 voor de maatgevende sterkte in trek en V_ua/(ϕV_n) > 0,2 voor de maatgevende sterkte in afschuiving, dan moet aan Vgl. (17.8.3) worden voldaan.

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Drukweerstand van anker volgens AISC 360-16 hfst. E3

$$P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}$$

waarbij:

• ϕ_a,t  – de sterktereductiefactor voor ankers in druk volgens AISC 360-16 hfst. E1
  
• (a) Wanneer: $\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  of     $\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25$

  • $F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y$
    
• (b) Wanneer: $\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  of     $\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25$

  • $F_{cr}=0.877F_e$
    
• A_g​ – bruto dwarsdoorsnede van de staaf
• E – elasticiteitsmodulus van staal
• $F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}$ - elastische knikspanning
• F_y – gespecificeerde minimale vloeispanning van het gebruikte type staal
• $r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}$ – traagheidsstraal
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – traagheidsmoment van de bout 

Buigweerstand van anker volgens AISC 360-16 hfst. F11

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

waarbij:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – plastisch weerstandsmoment van de bout
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – elastisch weerstandsmoment van de bout

Afschuifweerstand van anker volgens AISC 360-16 hfst. G

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

waarbij:

• A_V = 0,844As – het afschuifoppervlak
• A_s – het boutoppervlak gereduceerd door schroefdraad

Verbrijzelen van het beton op het grensvlak tussen anker en beton

De afschuifweerstand van het anker wordt ook beperkt vanuit het oogpunt van het verbrijzelen van het beton op het grensvlak tussen anker en beton. De grenswaarden en de methode om deze te bepalen worden gedetailleerd beschreven in het artikel - Shear behaviour of anchors in reinforced concrete. Zodra de contactkracht deze grens bereikt, wordt het stopcriterium geactiveerd en wordt de analyse beëindigd voordat de weerstand wordt overschreden.​ 

Uittrekcontrole voor koppen van ankers (ankerplaten en kopdeuvels)

Voor ankers met kop wordt een aanvullend stopcriterium geïmplementeerd om het betonoplegging (verbrijzelen) boven de ankerkop te controleren - uittrekken. Tijdens de analyse wordt de drukkracht die wordt overgebracht via het contact tussen kop en beton gemonitord en vergeleken met de grenswaarde volgens ACI 318-19, Clause 17.6.3.2.2a (uittrekbezwijken van ankers met kop).

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

waarbij:

• $\Phi$ is de sterktereductiefactor - Tabel 17.5.3(c)
• A_brg netto oplegoppervlak van de kop van de deuvel, ankerbout, of geribd wapeningsstaaf met kop (zonder het oppervlak van de schacht). 
• f'_c is de gespecificeerde druksterkte van het beton
• $\Psi_{c,p}$ is de uittrekscheurfactor volgens 17.6.3.3, en wordt altijd gelijk aan 1,0 genomen, d.w.z. de waarde voor gescheurd beton. Dit is consistent met de CSFM-benadering die in Detail wordt gebruikt, waarbij de treksterkte van beton wordt verwaarloosd en wordt aangenomen dat het beton in trek gescheurd is.

Zodra de contactkracht deze op de norm gebaseerde grens bereikt, wordt het stopcriterium geactiveerd en wordt de analyse beëindigd voordat de uittrekweerstand wordt overschreden.​ 

Verankering -  Aanhechtingsspanning

De aanhechtingsafschuifspanning wordt onafhankelijk geëvalueerd als de verhouding tussen de aanhechtingsspanning τ_b berekend door de EEM-analyse en de aanhechtingssterkte f_bu.

Hoewel de aanhechtingssterkte niet expliciet is gedefinieerd in ACI 318-19, is de berekening van de verankeringslengte te vinden in Sectie 25.4.2. Omdat de aanhechtingssterkte echter de basisinvoer is voor het bepalen van de verankeringslengte, zie R25.4.1.1 en ACI Committee 408 1966, kan de aanhechtingssterkte als volgt worden berekend:

Laten we aannemen dat als we de wapeningsstaaf in een betonblok verankeren tot de verankeringslengte l_d of groter, het uittrekken van de wapening zal leiden tot breuk van de wapening en niet tot het uittrekken uit het beton. Dit kan geschreven worden met de volgende formule.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

waarbij:

d_b de diameter van de wapeningsstaaf is, l_d de verankeringslengte is, f_bu de aanhechtingssterkte is, f_y de vloeigrens van de wapening is, en A_s het oppervlak van de wapeningsstaaf is.

Uit het voorgaande kan de formule voor het berekenen van de aanhechtingssterkte eenvoudig worden afgeleid:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

De verankeringslengte l_d wordt vervolgens bepaald volgens ACI 318-19 Tabel 25.4.2.3 als volgt:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

waarbij:

C = 25 (2,1 voor metrisch) voor staven nr. 6 en kleiner en geribd draad, C = 20 (1,7 voor metrisch) voor staven nr. 7 en groter, λ = 1,0 voor beton met normaal gewicht, ψ_t, ψ_e, ψ_g worden bepaald volgens ACI 318-19 Tabel 25.4.2.3. 

Alleen ongecoate of verzinkte (gegalvaniseerde) wapening wordt ondersteund, dus ψ_e = 1,0. ψ_g wordt automatisch bepaald op basis van de wapeningsklasse, en ψ_t wordt automatisch afgeleid uit de positie van de wapening in het model en uit de betonneerrichting die in de applicatie voor elk projectonderdeel als volgt kan worden ingesteld.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad Direction of concreting}}}$$

Deze verificaties worden uitgevoerd met inachtneming van de bijbehorende grenswaarden voor de betreffende delen van de constructie (d.w.z., ondanks dat er slechts één klasse is voor zowel beton als wapeningsmateriaal, zullen de uiteindelijke spanning-rekdiagrammen verschillen in elk deel van de constructie door de effecten van tension stiffening en compression softening).

Verankering -  Totale kracht

Totale kracht F_tot en grenskracht F_lim

De totale kracht F_tot is een resultaat van de eindige-elementenanalyse en kan op twee manieren worden gedefinieerd.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

waarbij A_s het oppervlak van de wapeningsstaaf is en f_s de spanning in de staaf.

Of als een som van de verankeringskracht F_a en de aanhechtingskracht F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

waarbij F_a de werkelijke kracht in de verankeringsveer is en F_bond de aanhechtingskracht is die verkregen kan worden door de aanhechtingsspanning τ_b te integreren over de lengte van de wapeningsstaaf l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s is de omtrek van de wapeningsstaaf.

De grenskracht F_lim is de maximale kracht in het element van de wapeningsstaaf, rekening houdend met de sterkte van de staaf en ook de verankeringsvoorwaarden (aanhechting tussen beton en wapening en verankeringshaken, lussen, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

waarbij C_s de omtrek van de wapeningsstaaf is, en l de lengte is vanaf het begin van de wapeningsstaaf tot het punt van interesse.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

waarbij F_lim,add de aanvullende kracht is die berekend wordt uit de grootte van de hoek tussen naburige elementen. F_lim,2 moet altijd kleiner zijn dan F_u.

De beschikbare verankeringstypes in CSFM omvatten een rechte staaf (d.w.z. geen reductie van het ankereinde), 90-graden haak, 180-graden haak, perfecte aanhechting, en doorlopende staaf. Al deze types, samen met de bijbehorende verankeringscoëfficiënten β, worden getoond in Fig. 47 voor langswapening. De waarden van de gehanteerde verankeringscoëfficiënten zijn afgeleid uit de vergelijking van de vergelijking uit sectie ACI 318-19 25.4.3.1 en vergelijkingen uit sectie ACI 318-19 25.4.2.3. Er dient opgemerkt te worden dat, ondanks de verschillende beschikbare opties, CSFM drie types verankeringseinden onderscheidt: (i) geen reductie van de verankeringslengte, (ii) een reductie van 30% van de verankeringslengte in het geval van een genormaliseerde verankering, en (iii) perfecte aanhechting.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

De verankeringscoëfficiënt voor beugels is altijd - β = 1,0.

Om te voldoen aan ACI moet de verankeringsveer worden gebruikt in de berekening, de verankeringsveer wordt aangepast met de β coëfficiënt, dus de gebruiker moet één van de beschikbare verankeringstypes gebruiken bij het definiëren van de begin- en eindvoorwaarden van de wapening. 

Beton - Sterkte

Het betonmodel dat is geïmplementeerd voor sterkteberekeningen in 3D CSFM is gebaseerd op de AASHTO LRFD strength-design aannames van evenwicht en rekcompatibiliteit. In overeenstemming met AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.2.1 wordt de treksterkte van beton verwaarloosd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

De implementatie van de 3D CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt geen rekening met een expliciet bezwijkcriterium in termen van rek voor beton in druk (d.w.z. na het bereiken van de piekspanning wordt een plastische tak beschouwd met ε_c0 met een maximale waarde van 5%, terwijl AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.2.1 uitgaat van een uiterste rek van minder dan 0,3%). Deze vereenvoudiging maakt het niet mogelijk om de vervormingscapaciteit van constructies die bezwijken op druk te verifiëren. De sterkte wordt echter correct voorspeld wanneer rekening wordt gehouden met de toenemende brosheid van beton naarmate de sterkte toeneemt, door middel van de $\eta_{fc}$ reductiefactor zoals gedefinieerd in fib Model Code 2010 als volgt:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarbij:

α₁ is de reductiefactor van de betondrukvastigheid zoals gedefinieerd in AASHTO LRFD (2024) Article 5.6.2.2. Bij gebruik van een parabool-rechthoek spanning-rek diagram is het noodzakelijk om de maximale drukspanning met deze factor te verminderen. Dit middelt de spanningsverdeling in de drukzone zodanig dat de resulterende druksterkte kleiner is dan of gelijk is aan de druksterkte berekend met een spanning-rek diagram met een dalende plastische tak.

Φ_c is de sterktereductiefactor voor beton. De standaardwaarde is ingesteld volgens AASHTO LRFD (2024) Article 5.5.4.2.

f'_c is de betoncilindersterkte (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

Wapening

Voor de niet-voorgespannen wapening wordt een perfect elasto-plastisch spanning-rek diagram met een gedefinieerd vloeipunt beschouwd. Zie AASHTO LRFD (2024) Article 5.4.3. Voor de definitie van dit diagram zijn alleen de basiseigenschappen van de wapening nodig - sterkte en elasticiteitsmodulus.

Het spanning-rek diagram van de wapening kan ook door de gebruiker worden gedefinieerd, maar in dat geval is het niet mogelijk om het tension stiffening effect te veronderstellen. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

waarbij:

Φ_s is de sterktereductiefactor voor wapening. De standaardwaarde is ingesteld volgens AASHTO LRFD (2024) Article 5.5.4.2.

f_y is de vloeigrens van de wapening

E_s elasticiteitsmodulus van de wapening

10% is gekozen als de grensrek waarbij de berekening wordt gestopt. Dit wordt als veilig beschouwd op basis van ASTM A955/A955M-20c Article 7.

Tension stiffening (Fig. 50)  wordt automatisch in rekening gebracht door het aanpassen van de invoer spanning-rek relatie van de blanke wapeningsstaaf, om zo de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven vast te leggen (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

De Compatible Stress Field Method voldoet aan moderne ontwerpnormen. Aangezien de rekenmodellen alleen gebruikmaken van standaard materiaaleigenschappen, kan het formaat van partiële veiligheidsfactoren zoals voorgeschreven in de ontwerpnormen zonder enige aanpassing worden toegepast. Op deze manier worden de invoerbelastingen gefactoreerd en worden de karakteristieke materiaaleigenschappen gereduceerd met de respectievelijke sterktereductiefactoren, precies zoals bij conventionele betonanalyse.

Waarden van sterktereductiefactoren zijn voorgeschreven in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.5.4 en voor ankers in ACI 318-19 Hoofdstuk 17 en AASHTO LRFD (2024) Artikel 6.5.4.2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Belastingsfactoren en belastingscombinaties moeten worden bepaald volgens AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Artikel 3.4.1 en Tabellen 3.4.1-1 tot 3.4.1-6. AASHTO LRFD specificeert expliciet de belastingscombinaties voor de uiterste grenstoestand (Strength I tot Strength V), inclusief de bijbehorende belastingsfactoren voor elk geval.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

De verschillende verificaties die door AASHTO worden vereist, worden beoordeeld op basis van de directe resultaten die door het model worden geleverd. Verificaties worden uitgevoerd voor betonsterkte, wapeningssterkte en verankering (afschuifspanningen door aanhechting).

Sterkte - Beton

De betonsterkte in druk wordt geëvalueerd als de verhouding tussen de maximale Equivalente hoofdspanning f_c,eq (ook σ_c,eq in eerdere tekst) verkregen uit de EEM-analyse en de limietwaarde f'_c,lim.

Equivalente hoofdspanning drukt de equivalente uni-axiale spanning uit voor een algemene tri-axiale spanningstoestand.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

De waarde f_c,eq kan daarom direct worden vergeleken met uniaxiale sterktelimieten. Deze uitdrukking is afgeleid van de implementatie van de Mohr-Coulomb plasticiteitstheorie, waarbij conservatief wordt uitgegaan van een inwendige wrijvingshoek φ = 0°.

Sterkte - Wapening

De sterkte van de wapening wordt zowel in trek als in druk geëvalueerd als de verhouding tussen de spanning in de wapening ter plaatse van de scheuren f_s en de gespecificeerde limietwaarde f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Sterkte - Ankers

Ankers worden op normaalspanningen gecontroleerd op een vergelijkbare manier als wapening, waarbij de limietwaarde f_y,lim wordt bepaald. 

Om de volgende tekst gemakkelijker te doorlopen, verdelen we verankering eerst in drie groepen wat betreft normtoetsing volgens AASHTO of ACI.

Groep 1

• Verankeringstypes

  • Ingestorte plaat
  • Voetplaat - Stand-off = direct 
  • Voetplaat - Stand-off = Mortelvoeg - dikte van de mortel kleiner dan 0,5 keer de ankerdiameter
  • Enkel anker met uitstekende lengte kleiner dan 0,5 keer de ankerdiameter
• Normtoetsingen van ankers (AASHTO / ACI)

  • Trek/druk

    • Alle ankertypes in trek – ACI 318-19 hoofdstuk 17.6.1.2  
    • Alle ankertypes in druk – AASHTO artikel 6.9.2
  • Afschuiving zonder hefboomarm

    • Boutmateriaal – ACI 318-19 hoofdstuk 17.7.1.2 (b)
    • Kopdeuvels – ACI 318-19 hoofdstuk 17.7.1.2 (a)
    • Wapening – ACI 318-19 hoofdstuk 17.7.1.2 (b)
  • Interactie van trek en afschuiving - ACI 318-19 hoofdstuk 17.8

Groep 2

• Verankeringstypes

  • Voetplaat - Stand-off = Mortelvoeg - dikte van de mortel meer dan 0,5 keer de ankerdiameter
• Normtoetsingen van ankers (AASHTO / ACI)

  • Trek/druk

    • Alle ankertypes in trek – ACI 318-19 hoofdstuk 17.6.1.2  
    • Alle ankertypes in druk – AASHTO artikel 6.9.2
  • Afschuiving met hefboomarm

    • Boutmateriaal – ACI 318-19 hoofdstuk 17.7.1.2 (b) + hoofdstuk 17.7.1.2.1.
    • Kopdeuvels – ACI 318-19 hoofdstuk 17.7.1.2 (a) + hoofdstuk 17.7.1.2.1.
    • Wapening – ACI 318-19 hoofdstuk 17.7.1.2 (b) + hoofdstuk 17.7.1.2.1.
  • Interactie van trek en afschuiving - ACI 318-19 hoofdstuk 17.8

Groep 3

• Verankeringstypes

  • Voetplaat - Stand-off = spleet
  • Enkel anker met uitstekende lengte meer dan 0,5 keer de ankerdiameter
• Normtoetsingen van ankers (AASHTO / ACI)

  • Trek/druk (met knik)

    • Alle ankertypes in trek – ACI 318-19 hoofdstuk 17.6.1.2
    • Alle ankertypes in druk – AASHTO LRFD artikel 6.9.2
  • Buiging

    • Voor alle ankertypes – AAHTO LRFD artikel 6.12.2.2.7
  • Afschuiving

    • Voor alle ankertypes – AASHTO LRFD artikel 6.10.9
  • Interactie van normaalkracht en buiging

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Treksterkte van anker volgens ACI 318-19 hoofdstuk 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

waarbij:

• ϕ_a,t  – sterktereductiefactor voor ankers in trek volgens ACI 318-19 hoofdstuk 17.5.3 (a)
• A_se,N – trekspanningsoppervlak (verminderd door schroefdraad)
• f_uta – gespecificeerde treksterkte van het ankerstaal en mag niet groter zijn dan 1,9 f_ya en 860 MPa

Afschuifsterkte van anker volgens ACI 318-19 hoofdstuk 17.7.1.2 (a)

De staalsterkte in afschuiving voor kopdeuvels wordt bepaald als:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

waarbij:
ϕ_a,v – sterktereductiefactor voor ankers in trek volgens ACI 318-19 hoofdstuk 17.5.3 (a)
A_se,V – trekspanningsoppervlak (verminderd door schroefdraad)
f_uta – gespecificeerde treksterkte van het ankerstaal en mag niet groter zijn dan 1,9 f_ya en 860 MPa

Afschuifsterkte van anker volgens ACI 318-19 hoofdstuk 17.7.1.2 (b)

De staalsterkte in afschuiving voor ankers van boutmateriaal en wapening wordt bepaald als:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

waarbij:

• ϕ_a,v  – sterktereductiefactor voor ankers in trek volgens ACI 318-19 hoofdstuk 17.5.3 (a)
• A_se,V – trekspanningsoppervlak (verminderd door schroefdraad)
• f_uta – gespecificeerde treksterkte van het ankerstaal en mag niet groter zijn dan 1,9 f_ya en 860 MPa

Afschuifsterkte van anker verbonden met een fundering met mortel - ACI 318-19 hoofdstuk 17.7.1.2.1

Als ankers worden gebruikt met opgebouwde mortelblokken (Groep 2), moet de rekenwaarde van de sterkte, berekend volgens 17.7.1.2, worden vermenigvuldigd met 0,80.

Interactie van trek en afschuiving volgens ACI 318-19 hoofdstuk 17.8

Het is toegestaan om de interactie tussen trek en afschuiving te verwaarlozen als aan (a) of (b) wordt voldaan.
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Als N_ua/(ϕN_n) > 0,2 voor de maatgevende sterkte in trek en V_ua/(ϕV_n) > 0,2 voor de maatgevende sterkte in afschuiving, dan moet aan Vgl. (17.8.3) worden voldaan.

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Druksterkte van anker volgens AASHTO LRFD Artikel 6.9.2

$$P_r =\phi_{a,c}\, P_{n}$$

waarbij:

• ϕ_a,c  – de sterktereductiefactor voor ankers in druk volgens AASHTO LRFD artikel 6.5.4.2

• Als $\dfrac{P_o}{P_e} \le 2.25$,  dan: $P_{n}=\left(0.658^{\,P_o/P_e}\right)P_o$,   Anders: $P_n=0.877\,P_e$

• A_g​ – bruto dwarsdoorsnede van de staaf (in²)
• F_y – gespecificeerde minimum vloeispanning van het gebruikte type staal (ksi)
• $P_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{K\,l}{r_s}\right)^2}A_g$ - elastische kritische knikweerstand (kip)
• E – elasticiteitsmodulus van staal (ksi)
• K = 2 – knooplengtefactor volgens Artikel 4.6.2.5 
• l – niet-verstijfde lengte in het vlak van knik (in) 
• $r_s=\sqrt{\dfrac{I}{A_g}}$ – traagheidsstraal
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – traagheidsmoment van de bout 

Buigweerstand van anker volgens AASHTO LRFD Artikel 6.12.2.2.7

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

waarbij:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – plastisch weerstandsmoment van de bout
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – elastisch weerstandsmoment van de bout

Afschuifweerstand van anker volgens AASHTO LRFD Artikel 6.10.9

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

waarbij:

• A_V = 0,844As – het afschuifoppervlak
• A_s – het boutoppervlak verminderd door schroefdraad

Verbrijzelen van het beton op het grensvlak tussen anker en beton

De afschuifweerstand van het anker wordt ook beperkt vanuit het oogpunt van het verbrijzelen van het beton op het grensvlak tussen anker en beton. De limietwaarden en de methode om deze te bepalen worden in detail beschreven in het artikel - Shear behaviour of anchors in reinforced concrete. Zodra de contactkracht deze limiet bereikt, wordt het stopcriterium geactiveerd en wordt de analyse beëindigd voordat de weerstand wordt overschreden.​ 

Uittrekcontrole voor kopankers (ankerplaten en kopdeuvels)

Voor kopankers is een aanvullend stopcriterium geïmplementeerd om de beton oplegging (verbrijzeling) boven de ankerkop te controleren - uittrekken. Tijdens de analyse wordt de drukkracht die wordt overgebracht via het contact tussen kop en beton gemonitord en vergeleken met de limietwaarde volgens ACI 318-19, artikel 17.6.3.2.2a (uittrekbezwijken van kopbevestigingsmiddelen).

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

waarbij:

• $\Phi$ de sterktereductiefactor is - Tabel 17.5.3(c)
• A_brg netto oplegoppervlak van de kop van de deuvel, ankerbout, of vervormde staaf met kop (zonder het schachtoppervlak). 
• f'_c is de gespecificeerde druksterkte van beton
• $\Psi_{c,p}$ is de uittrek-scheurfactor volgens 17.6.3.3, en wordt altijd gelijk aan 1,0 genomen, d.w.z. de waarde voor gescheurd beton. Dit is consistent met de CSFM-benadering die in Detail wordt gebruikt, waarbij de treksterkte van beton wordt verwaarloosd en wordt aangenomen dat het beton in trek gescheurd is.

Zodra de contactkracht deze op de norm gebaseerde limiet bereikt, wordt het stopcriterium geactiveerd en wordt de analyse beëindigd voordat de uittrekweerstand wordt overschreden.​ 

Verankering -  Aanhechtingsspanning

De afschuifspanning door aanhechting wordt onafhankelijk geëvalueerd als de verhouding tussen de aanhechtingsspanning τ_b berekend door EEM-analyse en de aanhechtingssterkte f_bu.

Aangezien de aanhechtingssterkte echter niet expliciet is gedefinieerd in AASHTO, moet de waarde ervan worden bepaald met behulp van de vergelijkingen die de verankeringslengte definiëren. Aanhechtingssterkte is namelijk de primaire invoer voor het bepalen van de verankeringslengte; zie bijvoorbeeld dit artikel AASHTO LRFD (2024) artikel C5.10.8.2 of NCHRP Report 733, bijlage E pagina E-9.

De berekening beschreven in AASHTO LRFD (2024) artikel 5.10.8.2.1 en 5.10.8.2.2, waarvoor kennis vereist is van de maximale hart-op-hart afstand van dwarswapening binnen l_d, het aantal staven of draden dat wordt ontwikkeld langs het splijtvlak, de totale dwarsdoorsnede van alle dwarswapening, en andere geometrische grootheden die niet betrouwbaar kunnen worden bepaald in het Detail applicatiemodel voor algemene invoer, is een benadering overgenomen uit AASHTO LRFD (2014) artikel 5.11.2.1.1 op de volgende manier:

Laten we aannemen dat als we de wapeningsstaaf verankeren in een betonblok tot de verankeringslengte l_d of groter, het uittrekken van de wapening zal leiden tot breuk van de wapening en niet tot het uittrekken uit het beton. Dit kan worden geschreven met de volgende formule.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

waarbij:

• d_b de diameter van de wapeningsstaaf is
• l_d de verankeringslengte is
• f_bu de aanhechtingssterkte is
• f_y de vloeigrens van de wapening is
• A_b het oppervlak van de wapeningsstaaf is

Uit het voorgaande kan de formule voor het berekenen van de aanhechtingssterkte eenvoudig worden afgeleid.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

De basis trekverankeringslengte l_db wordt in AASHTO LRFD (2014) artikel 5.11.2.1.1 als volgt bepaald:

Voor staaf No. 11 en kleiner:   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Voor staven No. 14:   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Voor staven No. 18:   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

waarbij:

• A_b het oppervlak van de wapeningsstaaf is (in²)
• f_y de gespecificeerde vloeigrens van de wapening is (ksi)
• f'_c gespecificeerde druksterkte van beton na 28 dagen, tenzij een andere leeftijd is opgegeven (ksi)
• d_b de diameter van de wapeningsstaaf is (in)

Vervolgens wordt, door de basisverankeringslengte l_db te vermenigvuldigen met factoren beschreven in AASHTO LRFD (2014) artikel 5.11.2.1.2 en 5.11.2.1.3, de verankeringslengte l_d als invoer bepaald.

Reductiefactoren die de verankeringslengte verkleinen volgens 5.11.2.1.3 zijn in de applicatie altijd gelijk aan 1,0. De reductiefactor voor bovenliggende horizontale of bijna horizontale wapening is gelijk aan 1,4 voor 'slechte' aanhechtingsomstandigheden, volgens de volgende afbeelding:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Description of bond conditions; a)  b) ‘good’ bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – ‘good’ bond conditions, hatched zone – ‘poor’ bond conditions}}}$$

De betonneerrichting kan worden ingesteld in de applicatie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Direction of concreting}}}$$

Alle andere factoren die zijn bepaald in 5.11.2.1.2 zijn gelijk aan 1,0 omdat alleen normaalgewicht beton wordt ondersteund, en alleen ongecoate wapening wordt ondersteund.

De afschuifspanning door aanhechting en de aanhechtingssterkte van staven in druk worden op analoge wijze berekend als staven in trek, maar hierbij worden vergelijkingen uit AASHTO LRFD (2014) artikel 5.11.2.2 gebruikt.

Er is ook een optie om gladde wapeningsstaven te modelleren. Meer informatie is hier te vinden: Smooth rebars in Detail

Totale kracht F_tot en limietkracht F_lim

De totale kracht F_tot is een resultaat van de eindige-elementenanalyse en kan op twee manieren worden gedefinieerd.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

waarbij A_b het oppervlak van de wapeningsstaaf is en f_s de spanning in de staaf is.

Of als een som van de verankeringskracht F_a en de aanhechtingskracht F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

waarbij F_a de werkelijke kracht in de verankeringsveer is en F_bond de aanhechtingskracht is die kan worden verkregen door de aanhechtingsspanning τ_b te integreren over de lengte van de wapeningsstaaf l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s is de omtrek van de wapeningsstaaf.

De limietkracht F_lim is de maximale kracht in het element van de wapeningsstaaf, rekening houdend met de sterkte van de staaf en ook de verankeringsvoorwaarden (aanhechting tussen beton en wapening en verankeringshaken, lussen, enz.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

waarbij C_s de omtrek van de wapeningsstaaf is, en l de lengte is vanaf het begin van de wapeningsstaaf tot het punt van interesse.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

waarbij F_lim,add de extra kracht is die wordt berekend uit de grootte van de hoek tussen naburige elementen. F_lim,2 moet altijd lager zijn dan F_u.

De beschikbare verankeringstypes in CSFM omvatten een rechte staaf (d.w.z. geen reductie van het ankereinde), 90-graden haak, 180-graden haak, perfecte aanhechting, en doorlopende staaf. Al deze types, samen met de bijbehorende verankeringscoëfficiënten β, worden weergegeven in Fig. 56 voor langswapening. De waarden van de gehanteerde verankeringscoëfficiënten zijn afgeleid uit de vergelijking van de vergelijking uit sectie AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1 en vergelijkingen uit sectie AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1. Opgemerkt moet worden dat, ondanks de verschillende beschikbare opties, CSFM drie types verankeringseinden onderscheidt: (i) geen reductie van de verankeringslengte, (ii) een reductie van 30% van de verankeringslengte in het geval van een genormaliseerde verankering, en (iii) perfecte aanhechting.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad  Beschikbare verankeringstypes en bijbehorende verankeringscoëfficiënten voor langswapeningsstaven in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) rechte staaf; (b) 90-graden haak; (c) 180-graden haak; (d) perfecte aanhechting; (e) doorlopende staaf}}}$$

De verankeringscoëfficiënt voor beugels (beschikbaar voor het balkelement) is altijd - β = 1,0.

Om te voldoen aan AASHTO moet de verankeringsveer worden gebruikt in de berekening. De verankeringsveer wordt aangepast met de β-coëfficiënt, dus de gebruiker moet een van de beschikbare verankeringstypes gebruiken bij het definiëren van de begin- en eindvoorwaarden van de wapening. 

Beton - Sterkte

Het betonmodel dat wordt toegepast voor sterkteberekeningen in CSFM is gebaseerd op de parabolisch-plastische spanning-rek-curve. De treksterkte wordt verwaarloosd, zoals gebruikelijk is bij klassiek gewapend betonontwerp.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

De implementatie van CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt geen rekening met een expliciet bezwijkcriterium in termen van rek voor beton in druk (d.w.z. nadat de piekspanning is bereikt, wordt een plastische tak beschouwd met ε_cp met een maximale waarde van 5%, terwijl AS 3600 Cl. 8.3.1 uitgaat van een uiterste rek van minder dan 0,3%). Deze vereenvoudiging maakt het niet mogelijk om het vervormingsvermogen van constructies die bezwijken door druk te verifiëren. De sterkte wordt echter correct voorspeld wanneer rekening wordt gehouden met de toename van de brosheid van beton naarmate de sterkte toeneemt, door middel van de reductiefactor $\eta_{fc}$ zoals gedefinieerd in de fib Model Code 2010, als volgt:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s} \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

waarbij:

α₂ is de reductiefactor van de betondrukvastheid zoals gedefinieerd in AS 3600 Cl. 8.3.1
Bij gebruik van een parabool-rechthoek spanning-rek-diagram is het noodzakelijk om de maximale drukspanning met deze factor te reduceren. Dit middelt de spanningsverdeling in de drukzone zodanig dat de resulterende drukvastheid kleiner is dan of gelijk is aan de drukvastheid berekend met een spanning-rek-diagram met een afnemende plastische tak. Een analoge aanpak is gedefinieerd voor het rechthoekige spanningsblok in hoofdstuk 8.1.3.

Φ_s is de spanningsreductiefactor voor beton. De standaardwaarde wordt ingesteld volgens AS 3600 Tabel 2.2.3.

f'_c is de betonkubbelvastheid (in MPa voor de definitie van $\eta_{fc}$).

Wapening

Er wordt een perfect elastisch-plastisch spanning-rek-diagram met een gedefinieerd vloeipunt beschouwd voor niet-voorgespannen wapening, zie AS 3600 Sectie 3.2. Voor de definitie van dit diagram zijn alleen de basiseigenschappen van de wapening nodig – de sterkte en elasticiteitsmodulus.

Het spanning-rek-diagram van de wapening kan ook door de gebruiker worden gedefinieerd, maar in dat geval is het niet mogelijk om rekening te houden met het tension stiffening effect (het is dan niet mogelijk om de scheurwijdte te berekenen). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

waarbij:

Φ_s is de sterktereductiefactor voor wapening. De standaardwaarde wordt ingesteld volgens AS 3600 Tabel 2.2.3.

f_y is de vloeigrens van de wapening

E_s elasticiteitsmodulus van de wapening

Tension stiffening (Fig. 59)  wordt automatisch verrekend door de ingevoerde spanning-rek-relatie van de blanke wapeningsstaaf aan te passen, om zo de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingebedde staven vast te leggen (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

De Compatible Stress Field Method voldoet aan moderne ontwerpnormen. Omdat de rekenmodellen alleen standaard materiaaleigenschappen gebruiken, kan het formaat van de partiële veiligheidsfactoren zoals voorgeschreven in de ontwerpnormen zonder enige aanpassing worden toegepast. Op deze manier worden de invoerbelastingen gefactoreerd en worden de karakteristieke materiaaleigenschappen gereduceerd met de respectievelijke spanningsreductiefactoren, precies zoals bij conventionele betonanalyse.

Waarden van spanningsreductiefactoren zijn voorgeschreven in AUS 3600 Cl. 2.2.3 en andere secties zoals weergegeven in onderstaande figuur.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60\qquad The setting of stress reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Belastingsfactoren voor sterktecombinaties moeten worden gedefinieerd volgens AS 3600 Cl. 4.2.2. Belastingsfactoren voor bruikbaarheidscombinaties moeten worden bepaald volgens Tabel 4.1. Voor alle templates zijn belastingsfactoren al vooraf gedefinieerd.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

De verschillende toetsingen die volgens AS 3600 vereist zijn, worden beoordeeld op basis van de directe resultaten die het model oplevert. Toetsingen worden uitgevoerd voor betonsterkte, wapeningssterkte en verankering (aanhechtingsafschuifspanningen).

Sterkte - Beton

De betonsterkte in druk wordt geëvalueerd als de verhouding tussen de maximale equivalente hoofdspanning f_c,eq (ook σ_c,eq in eerdere tekst) verkregen uit de EEM-analyse en de grenswaarde f'_c,lim.

Equivalente hoofdspanning drukt de equivalente uniaxiale spanning uit voor een algemene tri-axiale spanningstoestand.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

De waarde f_c,eq kan dus rechtstreeks worden vergeleken met de uniaxiale sterktegrenzen. Deze uitdrukking is afgeleid van de implementatie van de Mohr-Coulomb-plasticiteitstheorie, waarbij conservatief wordt aangenomen dat de inwendige wrijvingshoek φ = 0° is.

Sterkte - Wapening

De sterkte van de wapening wordt zowel in trek als in druk geëvalueerd als de verhouding tussen de spanning in de wapening ter plaatse van scheuren f_s en de opgegeven grenswaarde f_sy,lim.

$$f_{sy,lim} = \phi_{s} \cdot f_{sy}$$

Sterkte - Ankers

Ankers worden op normaalspanningen gecontroleerd op een vergelijkbare manier als wapening, waarbij de grenswaarde f_sy,lim wordt bepaald. 

Om het navigeren door de volgende tekst gemakkelijker te maken, verdelen we verankering eerst in drie groepen wat betreft normtoetsing volgens AS 5216 en AS 4100.

Groep 1

• Verankeringstypes

  • Ingestorte plaat
  • Voetplaat - Tussenruimte = direct 
  • Voetplaat - Tussenruimte = voegmortel - dikte van de mortel minder dan 0,5 keer de ankerdiameter
  • Enkel anker met uitstekende lengte minder dan 0,5 keer de ankerdiameter
• Normtoetsing anker

  • Trek/druk

    • Alle materialen in trek – AS 5216 hfdst. 6.2.2
    • Alle ankertypes in druk – AS 4100 hfdst. 6.3.3
  • Afschuiving zonder hefboomarm

    • Alle materialen – AS 5216 hfdst. 7.2.2.2
  • Interactie van trek en afschuiving - AS 5216 hfdst. 8.1.1

Groep 2

• Verankeringstypes

  • Voetplaat - Tussenruimte = voegmortel - dikte van de mortel meer dan 0,5 keer de ankerdiameter
• Normtoetsing anker

  • Trek/druk

    • Alle materialen in trek – AS 5216 hfdst. 6.2.2
    • Alle ankertypes in druk – AS 4100 hfdst. 6.3.3
  • Afschuiving met hefboomarm

    • Alle materialen – AS 5216 hfdst. 7.2.2.3

Interactiecontrole volgens AS 5216 is niet vereist voor achteraf aangebrachte bevestigingsmiddelen of ankerrail-bouten die onderworpen zijn aan een afschuifbelasting met hefboomarm, aangezien deze interactie in rekening wordt gebracht in Vergelijking 7.2.2.3(2).

Groep 3

• Verankeringstypes

  • Voetplaat - Tussenruimte = spleet
  • Enkel anker met uitstekende lengte meer dan 0,5 keer de ankerdiameter
• Normtoetsing anker (ACI / AISC)

  • Trek/druk (met knik)

    • Alle materialen in trek – AS 5216 hfdst. 6.2.2 of AS 4100 hfdst. 9.2.2.2 (kan geselecteerd worden in de instellingen)
    • Alle ankertypes in druk – AS 4100 hfdst. 6.3.3
  • Buiging

    • Voor alle ankertypes – AS 4100 hfdst. 5.1
  • Afschuiving

    • Voor alle ankertypes – AS 4100 hfdst. 5.11
• Interactie verder beschreven

Treksterkte van anker volgens AS 5216 hfdst. 6.2.2

$$\phi N_{tf}=\phi_{Ms}\,A_s\,f_{uf}$$

waarbij:

• ϕN_tf – rekenwaarde van de weerstand van het anker in trek
• $\phi_{Ms}=\dfrac{5 f_{yf}}{6 f_{uf}}\le \dfrac{1}{1.4}$ – sterktereductiefactor voor ankers in trek volgens AS 5216 Tabel 3.2.4
• A_s – trekspanningsoppervlak (verminderd door schroefdraad)
• f_uf – opgegeven treksterkte van het ankerstaal 

Afschuifweerstand van anker volgens AS 5216 hfdst. 7.2.2.2

De staalsterkte in afschuiving zonder hefboomarm wordt bepaald als:

$$\phi V_{Rk,s}=\phi_{Ms}\,0.62\,f_{uf}\,A$$

waarbij:

• ϕV_tf – rekenwaarde van de weerstand van het anker in afschuiving
• A_s  – trekspanningsoppervlak (verminderd door schroefdraad)
• f_uf – opgegeven treksterkte van het ankerstaal 
• $\phi_{Ms}=\begin{cases}\dfrac{f_{yf}}{f_{uf}} \le 0.8, & \text{when } f_{uf}\le 800~\text{MPa and } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}\le 0.8 \\[8pt] \dfrac{2}{3}, & \text{when } f_{uf}> 800~\text{MPa or } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}> 0.8 \end{cases}$

De rekenwaarde van de weerstand van een enkel bevestigingsmiddel in geval van bezwijken van het staal, of bevestigingsmiddelen met een verhouding h_ef / d_nom < 5 en een betondruksterkteklasse < 20 MPa, moet de rekenwaarde ϕV_tf worden vermenigvuldigd met een factor van 0,8.

Afschuifweerstand van anker volgens AS 5216 hfdst. 7.2.2.3

De staalsterkte in afschuiving met hefboomarm wordt bepaald als:

$$\phi V_{Rk,s,M}=\phi_{Ms}\,\frac{\alpha_M\,M_{Rk,s}}{l_a}$$

waarbij:

• α_M = 2 – parameter die rekening houdt met de mate van inklemming, waarbij wordt aangenomen dat het bevestigingselement niet kan roteren – Cl. 4.2.2.4
• $M_{Rk,s}=M_{Rk,s}^{0}\left(1-\dfrac{N^{*}}{\phi_{Ms}\,N_{Rk,s}}\right)$ – karakteristieke buigsterkte van het bevestigingsmiddel beïnvloed door de axiale belasting
• $l_a = a_3 + e_1 - l_e$ – lengte van de hefboomarm
• $a_3 = 0.5\,d$ – afstand tussen het aangenomen inklemmingspunt van het op afschuiving belaste bevestigingsmiddel en het betonoppervlak
• $e_1 = t_g + \dfrac{t_{fix}}{2}$ – excentriciteit van de aangebrachte afschuifbelasting ten opzichte van het betonoppervlak, waarbij de dikte van een nivelleermortel of -specie wordt verwaarloosd
• t_g – dikte van de mortellaag
• t_fix – dikte van de voetplaat
• d – nominale diameter van het bevestigingsmiddel
• N* – rekenwaarde van de trekbelasting
• ϕ_Ms N_Rk,s – treksterkte van een bevestigingsmiddel tot bezwijken van het staal
• $M_{Rk,s}^{0}=1.2\,W_{el}\,f_{uf}$ – karakteristieke buigsterkte van het bevestigingsmiddel – ETAG 001 – Bijlage C
• $W_{el}=\dfrac{\pi d_s^{3}}{32}$ – elastisch weerstandsmoment van het bevestigingsmiddel, waarbij de diameter is verminderd door schroefdraad
• $d_s=\sqrt{\dfrac{4A_s}{\pi}}$ – wordt gebruikt in plaats van de nominale diameter d voor draadeinden en ankerplaten
• $\phi_{Ms}=\begin{cases}\dfrac{f_{yf}}{f_{uf}} \le 0.8, & \text{when } f_{uf}\le 800~\text{MPa and } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}\le 0.8 \\[8pt] \dfrac{2}{3}, & \text{when } f_{uf}> 800~\text{MPa or } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}> 0.8 \end{cases}$

Interactie in trek en afschuiving volgens AS 5216 hfdst. 8.1.1

$$\left(\frac{N^{*}}{\phi N_{Rk,s}}\right)^{2}+\left(\frac{V^{*}}{\phi V_{Rk,s}}\right)^{2}\le 1.0$$

Waarbij:

• N* – rekenwaarde van de trekkracht die op een enkel bevestigingsmiddel wordt aangebracht
• V* – rekenwaarde van de afschuifkracht die op een enkel bevestigingsmiddel wordt aangebracht 
• ϕN_Rk,s – rekenwaarde van de treksterkte van een enkel bevestigingsmiddel
• ϕV_Rk,s – rekenwaarde van de afschuifsterkte van een enkel bevestigingsmiddel

Treksterkte van anker volgens AS 4100 hfdst. 9.2.2.2

$$N_{tf}^{*}\le \phi_{a,t} A_s f_{uf}$$

waarbij:

• A_s – trekspanningsoppervlak (verminderd door schroefdraad) zoals gespecificeerd in AS 1275
• ϕ_a,t – capaciteitsfactor voor bouten volgens AS 4100 Tabel 3.4

Druksterkte van anker volgens AS 4100 hfdst. 6.3.3

$$\phi N_c=\phi\,\alpha_c\,N_s=\phi\,\alpha_c\,k_f\,A_s\,f_y \le \phi N_s$$

waarbij:

• ϕ_a,c – capaciteitsfactor voor bouten volgens AS 4100 Tabel 3.4
• $N_c=\alpha_c\,N_s \le N_s$ – nominale staafcapaciteit – Cl. 6.3.3
• $N_s=k_f\,A_s\,f_y$ – nominale doorsnedecapaciteit – Cl. 6.2
• f_y – vloeigrens van het anker
• $l_e=k_e\,l$ – effectieve lengte – Cl. 6.3.2
• k_e = 2 – lengtefactor van de effectieve staaflengte, er wordt conservatief aangenomen dat het anker onderaan is ingeklemd en bovenaan scharnierend is als een uitwijkbare staaf
• $l = l_{gap}+\dfrac{d}{2}+\dfrac{t_p}{2}$ – aangenomen lengte van de staaf
• l_gap – hoogte van de spleet
• d – nominale boutdiameter
• t_p – dikte van de voetplaat
• $\alpha_c=\xi\left[\,1-\sqrt{\,1-\left(\dfrac{90}{\xi\,\lambda}\right)^2}\,\right]$ – reductiefactor voor slankheid van de staaf
• $\xi=\frac{\left(\dfrac{\lambda}{90}\right)^2+1+\eta}{2\left(\dfrac{\lambda}{90}\right)^2}$
• $\lambda=\lambda_n+\alpha_a\alpha_b$
• $\eta=0.00326(\lambda-13.5)\ge 0$
• $\lambda_n=\left(\frac{l_e}{r}\right)\sqrt{k_f}\,\sqrt{\dfrac{f_y}{250}}$
• $\alpha_a=\dfrac{2100(\lambda_n-13.5)}{\lambda_n^2-15.3\lambda_n+2050}$
• α_b = 0,5 – constante voor de doorsnede van de drukstaaf - Tabel 6.3.3
• k_f = 1 – vormfactor – Cl. 6.2.2
• $r=\sqrt{\dfrac{I_s}{A_s}}$ – traagheidsstraal
• $I_s=\dfrac{1}{64}\,\pi d_s^{4}$ – traagheidsmoment
• A_s – trekspanningsoppervlak van een bout zoals gedefinieerd in AS 1275
• $d_s=\sqrt{\dfrac{4A_s}{\pi}}$ – diameter verminderd door schroefdraad