In de praktijk kunnen ingenieurs verschillende soorten eindige elementen tegenkomen (van eenvoudige 1D-staafelementen tot meer complexe 3D-brekelementen) die worden gebruikt in een verscheidenheid aan toepassingen voor de analyse en het ontwerp van constructieve elementen. Een gemeenschappelijk kenmerk van de meeste berekeningen in de praktijk is het lineaire gedrag van de modellen, waarvan de voordelen ongetwijfeld snelheid, duidelijkheid en simpelweg het feit zijn dat voor een groot aantal problemen deze oplossing voldoende is.

Vooral in de wereld van betonconstructies komt het vaak voor dat de lineaire benadering niet voldoende is, simpelweg omdat na het ontstaan van de eerste scheuren in het belaste element de spanningen worden herverdeeld en het probleem significant niet-lineair wordt.

Voor deze gevallen is het noodzakelijk om een van de meer geavanceerde benaderingen te kiezen. Voor 1D-gevallen zijn analytische methoden die rechtstreeks in normen zijn gedefinieerd vaak te vinden. Zo kunnen populaire Staafwerk-modellen worden opgesteld voor 2D-vlakke elementen en discontinuïteitsgebieden (D-gebieden), of kan de meer geavanceerde spanningsveldmethode geïmplementeerd in IDEA StatiCa Detail, CSFM, worden gebruikt.

Als de ingenieur echter een probleem tegenkomt dat niet kan worden vereenvoudigd tot vlak gedrag, zijn de opties zeer beperkt. Uiteraard kan een 3D-Staafwerk-model worden opgesteld of kan semi-wetenschappelijke software worden gebruikt voor nauwkeurige analyse. Deze procedures zijn vaak tijdrovend, niet normconform en vereisen een ingenieur met kennis van geavanceerde modelleringsmethoden.

Om deze reden heeft IDEA StatiCa de 3D CSFM (Compatible Stress Field Method) ontwikkeld en geïmplementeerd in de Detail applicatie. 3D CSFM breidt de gevestigde CSFM uit naar een derde dimensie en biedt een snelle en normconforme oplossing die primair toepasbaar is voor de alledaagse constructeur, waardoor zij een unieke nieuwe mogelijkheid krijgen om de complexe details van betonconstructies veilig aan te pakken.

1.2 Belangrijkste aannames en beperkingen voor CSFM in 3D

3D CSFM definieert het betongedrag op basis van de Modified Mohr-Coulomb plasticiteitstheorie voor monotone belasting. De methode houdt rekening met hoofdspanningen in beton onder druk en wapeningsspanningen (σ_sr) ter plaatse van de scheuren, waarbij de betonnen treksterkte wordt verwaarloosd (tension cut-off), met uitzondering van het stiffening effect op de wapening (Tension stiffening).

σ_c₁_r, σ_c₂_r, σ_c₃_r ≤ 0 MPa

De wapeningsstaven zijn via bond-elementen gekoppeld aan eindige elementen van het betonvolume, waardoor slip tussen het beton en de wapening mogelijk is. Opgemerkt dient te worden dat 3D CSFM niet geschikt is voor het simuleren van ongewapend beton vanwege de afwezigheid van trek, wat kan leiden tot misleidende vervormingen en divergentie van het model. In het algemeen omvat de Mohr-Coulomb theorie twee fundamentele eigenschappen die de ontwikkeling van het plasticiteitsvlak in druk en gedeeltelijk in trek bepalen: de interne wrijvingshoek φ en de cohesieparameter c. 3D CSFM gaat uit van een interne wrijvingshoek van nul (Fig. 1e), wat leidt tot een conservatief ontwerp doordat het plasticiteitsvlak lijkt op het Tresca-model, dat onafhankelijk is van de eerste spanningsinvariant.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}\)

Beton

Het gepresenteerde materiaalmodel is een meervlakkig plasticiteitsmodel dat wordt gevormd door de combinatie van de Mohr-Coulomb en Rankine modellen voor monotone belasting. Het is belangrijk op te merken dat dit model geen ontlasting behandelt; daarom worden toestandsvariabelen niet opgeslagen, zoals dat wel het geval zou zijn bij klassieke plasticiteitsmodellen die worden gebruikt voor cyclische belasting.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}\]

Zoals reeds vermeld, is het materiaalmodel bedoeld voor gebruik in toepassingen die de respons van gewapend beton berekenen (niet geschikt voor ongewapend beton). Dit is te wijten aan het uitsluiten van beton in trek. Daarom is het model ook niet geschikt voor constructieve elementen waarbij de ontwerpregels voor gewapend beton, zoals minimale wapeningsverhouding, maximale staafafstand, enz., niet worden nageleefd. Tevens dient te worden vermeld dat, om redenen van numerieke stabiliteit, een zeer kleine treksterkte in het model is gedefinieerd. Het trekgedeelte wordt begrensd door vlakken die overeenkomen met het Rankine-model.

3D CSFM in IDEA StatiCa Detail houdt geen rekening met een expliciet bezwijkcriterium in termen van rekken voor beton onder druk (d.w.z. het beschouwt een oneindig plastische tak na het bereiken van de piekspanning). Deze vereenvoudiging maakt het niet mogelijk de vervormingscapaciteit te verifiëren van constructies die bezwijken onder druk. De uiteindelijke capaciteit wordt echter correct voorspeld wanneer de toename van de broosheid van beton naarmate de sterkte stijgt, in aanmerking wordt genomen door middel van de 𝜂_𝑓𝑐 reductiefactor zoals gedefinieerd in fib Model Code 2010 als volgt:

\[f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

waarbij:

f_c de karakteristieke cilinderdruksterkte van het beton is (in MPa voor de definitie van \( \eta_{fc} \)).

De f_c,red wordt vervolgens vergeleken met de Equivalente Hoofdspanning σ_c,eq in het beton, die verder zal worden gedefinieerd, uiteraard met inachtneming van alle veiligheidsfactoren voorgeschreven door de norm.

Een gedetailleerde beschrijving van het betonmodel is te vinden via de volgende link:

Concrete Material Model for 3D Detail

Wapening

Het bilineaire spanning-rek diagram voor wapeningsstaven, zoals gedefinieerd door ontwerpnormen (Fig. 1d), vertegenwoordigt een geïdealiseerd model. Dit model vereist kennis van de basiseigenschappen van de wapening tijdens de ontwerpfase, met name de sterkte- en ductiliteitsklasse. Gebruikers hebben ook de mogelijkheid om een aangepaste spanning-rek relatie te definiëren.

Tension stiffening wordt in aanmerking genomen door de spanning-rek relatie van de onbedekte wapeningsstaf aan te passen om de gemiddelde stijfheid van de in het beton ingestorte staven te beschrijven (ε_m) (Fig 1b).

Verankering

Bond-slip tussen wapening en beton wordt in het eindige elementenmodel geïntroduceerd door de vereenvoudigde star-perfect plastische constitutieve relatie te beschouwen zoals weergegeven in (Fig. 1f), waarbij f_bd de rekenwaarde (gefactoriseerde waarde) is van de maximale hechtsterktewaarde zoals voorgeschreven door de ontwerpnorm voor de specifieke hechtomstandigheden.

Dit is een vereenvoudigd model met als enig doel het verifiëren van hechtvoorschriften volgens ontwerpnormen (d.w.z. verankering van wapening). De reductie van de verankeringslengte bij gebruik van haken, lussen en vergelijkbare staafvormen kan worden beschouwd door een bepaalde capaciteit te definiëren aan het einde van de wapening, zoals verder zal worden beschreven.

Ankers

Het ankerelement is gedefinieerd als zijnde in staat om normale trek- of druk krachten over te dragen, evenals afschuifkrachten, rekening houdend met de buigstijfheid.

De volgende typen ankers zijn beschikbaar:

Ingestorte ankers
- Wapening
- Ankerplaat
- Kopdeuvel
Ingestorte wapening
- Wapening
- Draadeinden

Ingestort - Wapening

Gemodelleerd als geribbelde wapening ingestort in beton. De hechtsterkte wordt berekend volgens de geselecteerde normregels op dezelfde wijze als voor standaard wapening. Aan het ankereinde kan een Verankeringstype worden gedefinieerd, dat identiek werkt aan wapening - een verankeringsveer wordt toegepast met de β-factor ingesteld volgens de gekozen norm. Drie geometrische vormen zijn beschikbaar: Recht, L-vorm, U-vorm.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}\]

Ingestort - Ankerplaat en Kopdeuvel

De ankerplaat en de kop van de kopdeuvel worden gemodelleerd als een plaat-schelelement van het bijbehorende materiaal dat direct aan de ankerschacht is bevestigd. Het draagt belasting over naar het beton via druk-enkel contact. Beschikbare vormen: cirkelvormig en vierkant (alleen cirkelvormig voor kopdeuvel), met aanpasbare afmetingen. Het ankerplaat- en kopmodel is elastisch en wordt niet gecontroleerd op weerstand.

Op het niveau van het eindige elementenmodel wordt het uitrekken van het anker direct gecontroleerd. Het drukcontact heeft stopcriteriums ingesteld zodat het niet in staat is een grotere contactspanning naar het beton over te dragen dan voorgeschreven door de geselecteerde norm. In praktische termen betekent dit dat als het anker zou worden belast met een kracht die niet voldoet aan de beoordeling van het uitrekken, het resultaat een voortijdige beëindiging van de berekening zou zijn omdat dit stopcriterium zou worden overschreden bij verdere belasting.

De ankerschacht heeft nul hechtsterkte – alle belasting wordt via de plaat of kop naar het beton overgedragen.

Achteraf aangebracht - Wapening en Draadeind

Ontworpen als staven die in geboorde gaten worden geplaatst en met lijm worden verankerd. De ingenieur specificeert de rekenwaarde van de hechtsterkte rechtstreeks uit de technische specificatie van het lijmproduct.

Meer informatie over het verbinden van individuele ankertypen met de voetplaat of ingestorte plaat is te vinden in het hoofdstuk Eindige elemententypen - Lastoverdrachtselementen.

1.3 Implementatie van de Mohr-Coulomb plasticiteitstheorie in 3D CSFM

In het volgende hoofdstuk bekijken we hoe de Mohr-Coulomb theorie is geïmplementeerd in 3D CSFM. We leggen uit hoe het opsluiting effect (drieassige spanning) wordt meegenomen en hoe de Equivalente Hoofdspanning σ_c,eq wordt berekend, die wordt gebruikt om de draagkracht vanuit het oogpunt van het beton te bepalen.

Inleiding tot de theorie

De Mohr–Coulomb theorie is een wiskundig model dat het gedrag beschrijft van brosse materialen onder afschuif- en normaalkracht. De meeste klassieke constructiematerialen volgen deze regel in ten minste een deel van hun afschuiffaalomhullende. In het algemeen is de theorie van toepassing op materialen waarvoor de druksterkte de treksterkte ver overtreft.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}\]

In de constructieve berekening wordt het gebruikt om de faallast te bepalen, evenals de hoek van breuk voor verplaatsing van het breukvlak in beton en vergelijkbare materialen. De wrijvingshypothese van Coulomb wordt gebruikt om de combinatie van afschuif- en normaalkracht te bepalen die een breuk van het materiaal veroorzaakt. De cirkel van Mohr wordt gebruikt om te bepalen welke hoofdspanningen deze combinatie van afschuif- en normaalkracht zullen produceren en de hoek van het vlak waarin dit zal optreden. Volgens het normaliteitsprincipe zal de spanning die bij falen wordt geïntroduceerd loodrecht staan op de lijn die de breukconditie beschrijft.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}\]

Er kan worden aangetoond dat een materiaal dat faalt volgens de wrijvingshypothese van Coulomb een verplaatsing bij falen zal vertonen die een hoek vormt met de breuklijn gelijk aan de wrijvingshoek. Dit maakt de sterkte van het materiaal bepaalbaar door de externe mechanische arbeid die wordt geïntroduceerd door de verplaatsing en de externe belasting te vergelijken met de interne mechanische arbeid die wordt geïntroduceerd door de rek en spanning op de faallijn. Door behoud van energie moet de som hiervan nul zijn, waardoor het mogelijk wordt de faallast van de constructie te berekenen.

Implementatie in 3D CSFM

In het algemeen kunnen voor een gegeven hoek van inwendige wrijving van het beton, die ongeveer φ = 30-40° bedraagt in Referentie [1], [2], [3], [4], de Mohr-cirkels voor trek- en druksterkte van beton worden geconstrueerd zoals in Figuur 6.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Mohr's circles for concrete}}}\]

Waarbij f_c de betonsterkte onder druk is, f_ct de betonsterkte onder trek, φ de hoek van inwendige wrijving, en σ_c₁, σ_c₃ de hoofdspanningen van beton onder drieassige druk zijn.

Er kan worden opgemerkt dat naarmate de hoofdspanning σ_c₃ toeneemt, het maximaal mogelijke verschil tussen de waarden van σ_c₃ en σ_c₁, dat we definiëren als maximale σ_c,eq (zie hieronder), ook toeneemt. Dit verschil komt overeen met tweemaal de deviatorische spanning die in de literatuur wordt gedefinieerd als de straal van de Mohr-cirkels.

In 3D CSFM geïmplementeerd in IDEA StatiCa Detail wordt de hoek van inwendige wrijving beschouwd als φ = 0°, zoals weergegeven in Figuur 7.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}\]

De praktische consequentie van deze implementatie is dat het maximale verschil tussen σ_c₃ en σ_c₁ constant blijft naarmate σ_c₃ toeneemt.

De Equivalente Hoofdspanning drukt de equivalente eenassige spanning uit voor een algemene drieassige spanningstoestand.

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

De waarde σ_c,eq kan daarom rechtstreeks worden vergeleken met eenassige sterktelimieten volgens normen.

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Waarbij σ_c_,lim de rekenwaarde (gefactorde) eenassige sterkte van beton f_c is.

Bij vergelijking van Figuur 6, waarbij de werkelijke hoek van inwendige wrijving wordt gebruikt, en Figuur 7, die de implementatie van de Mohr-Coulomb theorie met een hoek van inwendige wrijving van nul weergeeft, kan worden gezien dat de gekozen aanpak voor de berekeningen in Detail zeer conservatief is voor de beoordeling van de drieassige spanningstoestand.

Voor een beter begrip van de gebieden die worden beïnvloed door drieassige drukspanning is de uitdrukking van de toename van de effectieve materiaalsterkte als gevolg van drieassige druk toegevoegd aan de IDEA StatiCa Detail applicatie als verhouding σ_c₃/σ_c,lim. U kunt deze verhouding vinden in de Sterkte normtoetsing.

In de Hulpresultaten kan de gebruiker ook de κ-factor vinden, die de drieassigheid op een andere manier verklaart.

\[\kappa = \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}\]

De betonsterkte controle kan dan worden herschreven als:

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Uit het voorgaande volgt dat als het element onder hydrostatische spanning staat - σ_c₃=σ_c₂=σ_c₁, de Equivalente Hoofdspanning σ_c,eq de waarde nul zal hebben en de kappa-factor oneindig zal worden.

Meer informatie is hier te vinden: Drieassige spanning – het actieve opsluiting effect

1.4 Algemene mechanische aannames voor 3D CSFM

Evenwichtsvergelijkingen

De theorie van kleine vervormingen maakt het mogelijk de evenwichtsvergelijking op te stellen op basis van het onvervormde volume met behulp van een eerste-orde benadering.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}\]

Compatibiliteitsvergelijkingen

Een vast lichaam bestaat uit infinitesimale volumes of materiaalspunten, die elk onderling verbonden zijn zonder openingen of overlappingen. Er moet worden voldaan aan wiskundige voorwaarden om het ontstaan van openingen of overlappingen te voorkomen wanneer een continuüm lichaam vervormt.

Constitutieve vergelijkingen

De constitutieve vergelijkingen die het gedrag van 3D-elementen beschrijven, spelen een cruciale rol in de analyse van materiaalgedrag in de constructiemechanica. Deze vergelijkingen zijn geformuleerd om het niet-lineaire isotrope gedrag te beschrijven, wat geldig is voor massieve blok-stavven in IDEA StatiCa Detail.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}\]

2 Analysemodel van IDEA StatiCa 3D Detail

2.1 Een inleiding tot de implementatie van de Eindige Elementen Methode

3D CSFM beschouwt continue spanningsvelden in het beton (3D eindige elementen), aangevuld met discrete "staaf"-elementen die de wapening vertegenwoordigen (1D eindige elementen). Daarom is de wapening niet diffuus ingebed in de 3D eindige elementen van het beton, maar expliciet gemodelleerd en daarmee verbonden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}\]

2.2 Algemene eindige elementen typen

Het niet-lineaire (inelastische) eindige elementen analysemodel wordt opgebouwd uit verschillende typen eindige elementen die worden gebruikt om beton, wapening en de aanhechting daartussen te modelleren. Beton- en wapeningselementen worden eerst onafhankelijk van elkaar gemaild en vervolgens met elkaar verbonden via multi-point constraints (MPC-elementen). Hierdoor kan de wapening elke positie innemen, niet beperkt tot de knopen van het tetraëdrische mesh. Om de verankeringslengte te verifiëren, worden veer-elementen voor aanhechting en verankering ingevoegd tussen de wapening en de MPC-elementen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}\]