In der Praxis begegnen Ingenieure verschiedenen Arten von finiten Elementen (von einfachen 1D-Stabelementen bis hin zu komplexeren 3D-Volumenelementen), die in einer Vielzahl von Anwendungen für die Analyse und Bemessung von Tragwerkselementen eingesetzt werden. Ein gemeinsames Merkmal der meisten Berechnungen in der Praxis ist tendenziell das lineare Verhalten der Modelle, dessen Vorteile zweifellos Geschwindigkeit, Klarheit und einfach die Tatsache sind, dass diese Lösung für eine Vielzahl von Problemen völlig ausreichend ist.

Besonders im Bereich der Betonstrukturen kommt es häufig vor, dass der lineare Ansatz nicht ausreicht, einfach weil nach dem Auftreten der ersten Risse im belasteten Element die Spannungen umgelagert werden und das Problem deutlich nichtlinear wird.

Für diese Fälle ist es notwendig, einen der anspruchsvolleren Ansätze zu wählen. Für 1D-Fälle finden sich oft analytische Methoden, die direkt in Normen definiert sind. Zum Beispiel können beliebte Modelle vom Typ Strebe und Zugband für 2D-Flächenelemente und Diskontinuitätsbereiche (D-Bereiche) erstellt werden, oder es kann die anspruchsvollere Spannungsfeldmethode verwendet werden, die in IDEA StatiCa Detail implementiert ist, das CSFM.

Stößt der Ingenieur jedoch auf ein Problem, das nicht auf ein ebenes Verhalten vereinfacht werden kann, sind die Möglichkeiten sehr begrenzt. Natürlich kann ein 3D-Modell vom Typ Strebe und Zugband erstellt oder halbwissenschaftliche Software für eine genaue Analyse verwendet werden. Diese Verfahren sind oft zeitaufwendig, nicht normenkonform und erfordern einen Ingenieur, der mit fortgeschrittenen Modellierungsmethoden vertraut ist.

Aus diesem Grund hat IDEA StatiCa das 3D CSFM (Compatible Stress Field Method) entwickelt und in der Detail-Anwendung implementiert. Das 3D CSFM erweitert das etablierte CSFM um eine dritte Dimension und bietet eine schnelle und normenkonforme Lösung, die vor allem für den Ingenieur im Alltag anwendbar ist und ihm eine einzigartige neue Möglichkeit gibt, komplexe Details von Betonstrukturen sicher zu bewältigen.

3D CSFM definiert das Betonverhalten basierend auf der modifizierten Mohr-Coulomb-Plastizitätstheorie für monotone Belastung. Die Methode berücksichtigt Hauptspannungen im Beton unter Druck und Bewehrungsspannungen (σ_sr) an den Rissen, während die Betonzugfestigkeit vernachlässigt wird (Zugausschluss), mit Ausnahme ihrer Versteifungswirkung auf die Bewehrung (Zugverfestigung).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Die Bewehrungsstäbe sind über Verbundelemente mit den Beton-Volumenelementen verbunden, was einen Schlupf zwischen Beton und Bewehrung ermöglicht. Es ist zu beachten, dass 3D CSFM nicht zur Simulation von unbewehrtem Beton geeignet ist, da aufgrund des fehlenden Zugverhaltens irreführende Verformungen und eine Divergenz des Modells auftreten können. Im Allgemeinen umfasst die Mohr-Coulomb-Theorie zwei grundlegende Eigenschaften, die die Entwicklung der Plastizitätsfläche im Druckbereich und teilweise im Zugbereich bestimmen: den inneren Reibungswinkel φ und den Kohäsionsparameter c. 3D CSFM geht von einem inneren Reibungswinkel von null aus (Abb. 1e), was aufgrund der Plastizitätsfläche, die dem Tresca-Modell ähnelt und unabhängig von der ersten Spannungsinvariante ist, zu einer konservativen Bemessung führt.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

Beton 

Das vorgestellte Materialmodell ist ein Mehrflächen-Plastizitätsmodell, das sich aus der Kombination des Mohr-Coulomb- und des Rankine-Modells für monotone Belastung ergibt. Es ist wichtig zu beachten, dass dieses Modell die Entlastung nicht berücksichtigt, weshalb Zustandsvariablen nicht gespeichert werden, wie es bei klassischen Plastizitätsmodellen für zyklische Belastung der Fall wäre.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

Wie bereits erwähnt, ist das Materialmodell für die Verwendung in Anwendungen vorgesehen, die das Verhalten von Stahlbeton berechnen (nicht geeignet für unbewehrten Beton). Dies liegt am Ausschluss der Betonzugfestigkeit. Daher ist das Modell auch nicht für Bauteile geeignet, bei denen die Bemessungsregeln für Stahlbeton, wie z. B. der Mindestbewehrungsgrad, der maximale Stababstand usw., nicht erfüllt sind. Es sollte zudem hinzugefügt werden, dass aus Gründen der numerischen Stabilität eine sehr geringe Zugkapazität im Modell definiert ist. Der Zugbereich wird durch Ebenen begrenzt, die dem Rankine-Modell entsprechen.

3D CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Bruchkriterium in Bezug auf Dehnungen für Beton unter Druck (d. h., es wird ein unendlich plastischer Ast nach Erreichen der Spitzenspannung angenommen). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, die Verformungsfähigkeit von Strukturen, die unter Druck versagen, zu überprüfen. Ihre Grenztragfähigkeit wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn die Zunahme der Sprödigkeit des Betons mit steigender Festigkeit durch den im fib Model Code 2010 definierten Abminderungsfaktor 𝜂_𝑓𝑐 wie folgt berücksichtigt wird:

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

wobei:

f_c die charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons ist (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

Der Wert f_c,red wird anschließend mit der äquivalenten Hauptspannung σ_c,eq im Beton verglichen, die im Weiteren definiert wird, selbstverständlich unter Berücksichtigung aller im jeweiligen Normwerk vorgeschriebenen Sicherheitsfaktoren.

Eine detaillierte Beschreibung des Betonmodells finden Sie unter folgendem Link:

• Betonmaterialmodell für 3D Detail

Bewehrung

Das bilineare Spannungs-Dehnungs-Diagramm für Bewehrungsstäbe, wie es in den Bemessungsnormen definiert ist (Abb. 1d), stellt ein idealisiertes Modell dar. Dieses Modell erfordert die Kenntnis der grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung während der Bemessungsphase, insbesondere der Festigkeits- und Duktilitätsklasse. Alternativ können Anwender eine benutzerdefinierte Spannungs-Dehnungs-Beziehung definieren.

Die Zugverfestigung wird berücksichtigt, indem die Spannungs-Dehnungs-Beziehung des nackten Bewehrungsstabs modifiziert wird, um die durchschnittliche Steifigkeit der in den Beton eingebetteten Stäbe (ε_m) zu erfassen (Abb. 1b).

Verankerung

Der Verbundschlupf zwischen Bewehrung und Beton wird im Finite-Elemente-Modell durch Berücksichtigung der vereinfachten starr-ideal-plastischen Materialbeziehung eingeführt, die in (Abb. 1f) dargestellt ist, wobei f_bd der Bemessungswert (abgeminderter Wert) der Verbundfestigkeit ist, der von der jeweiligen Bemessungsnorm für die spezifischen Verbundbedingungen vorgeschrieben wird.

Dies ist ein vereinfachtes Modell mit dem alleinigen Zweck, Verbundvorschriften gemäß den Bemessungsnormen zu überprüfen (d. h. die Verankerung der Bewehrung). Die Verkürzung der Verankerungslänge bei Verwendung von Haken, Schlaufen und ähnlichen Stabformen kann berücksichtigt werden, indem eine bestimmte Kapazität am Ende der Bewehrung definiert wird, wie im Folgenden beschrieben wird.

Anker

Das Ankerelement ist so definiert, dass es normale Zug- oder Druckkräfte sowie Querkräfte übertragen kann, wobei die Biegesteifigkeit berücksichtigt wird. 

Die folgenden Ankertypen sind verfügbar:

• Ortbeton-Anker

  • Bewehrung
  • Unterlegplatte
  • Kopfbolzen
• Ortbeton-Bewehrung

  • Bewehrung
  • Gewindestangen

Ortbeton - Bewehrung

Modelliert als gerippte, in den Beton eingebettete Bewehrung. Die Verbundfestigkeit wird gemäß den ausgewählten Normregeln auf die gleiche Weise berechnet wie für Standardbewehrung. Am Ankerende kann ein Verankerungstyp definiert werden, der identisch wie bei der Bewehrung funktioniert – eine Verankerungsfeder wird mit dem β-Faktor entsprechend der gewählten Norm angewendet. Drei geometrische Formen sind verfügbar: gerade, L-Form, U-Form.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

Ortbeton - Unterlegplatte und Kopfbolzen

Die Unterlegplatte und der Kopf des Kopfbolzens werden als Platten-Schalenelement aus dem entsprechenden Material modelliert, das direkt am Ankerschaft befestigt ist. Es überträgt die Last durch reinen Druckkontakt auf den Beton. Verfügbare Formen: kreisförmig und quadratisch (nur kreisförmig für Kopfbolzen), mit anpassbaren Abmessungen. Das Modell der Unterlegplatte und des Kopfes ist elastisch und wird nicht auf Tragfähigkeit überprüft. 

Auf der Ebene des Finite-Elemente-Modells wird der Auszug des Ankers direkt überprüft. Der Druckkontakt verfügt über Abbruchkriterien, die so eingestellt sind, dass keine größere Kontaktspannung auf den Beton übertragen werden kann, als von der gewählten Norm vorgeschrieben. Praktisch bedeutet dies, dass bei einer Belastung des Ankers mit einer Kraft, die der Auszugsbemessung nicht entspricht, die Berechnung vorzeitig abgebrochen wird, da dieses Abbruchkriterium bei weiterer Belastung überschritten würde.

Der Ankerschaft hat keine Verbundfestigkeit – die gesamte Last wird über die Platte oder den Kopf in den Beton übertragen.

Nachträglich installiert - Bewehrung und Gewindestange

Ausgeführt als Stäbe, die in Bohrlöcher eingebaut und mit Klebstoff verbunden werden. Der Ingenieur gibt die Bemessungsverbundfestigkeit direkt aus der technischen Spezifikation des Klebstoffprodukts an.

Weitere Informationen zum Anschließen einzelner Ankertypen an die Fußplatte oder die Einbauplatte finden Sie im Kapitel Finite-Elemente-Typen - Lastübertragende Elemente. 

Im folgenden Kapitel betrachten wir, wie die Mohr-Coulomb-Theorie im 3D-CSFM implementiert ist. Wir erklären, wie der Umschnürungseffekt (triaxiale Spannung) berücksichtigt wird und wie die äquivalente Hauptspannung σ_c,eq berechnet wird, die zur Bestimmung der Tragfähigkeit aus Sicht des Betons verwendet wird.

Einführung in die Theorie

Die Mohr-Coulomb-Theorie ist ein mathematisches Modell, das das Verhalten spröder Materialien unter Scher- und Normalspannung beschreibt. Die meisten klassischen technischen Werkstoffe folgen dieser Regel zumindest in einem Teil ihrer Schubbruchhüllkurve. Im Allgemeinen gilt die Theorie für Werkstoffe, deren Druckfestigkeit die Zugfestigkeit weit übersteigt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}$$

Im Bauingenieurwesen wird sie verwendet, um die Bruchlast sowie den Bruchwinkel für die Verschiebung der Bruchfläche in Beton und ähnlichen Materialien zu bestimmen. Coulombs Reibungshypothese wird verwendet, um die Kombination aus Schub- und Normalspannung zu bestimmen, die zu einem Bruch des Materials führt. Der Mohrsche Kreis wird verwendet, um zu bestimmen, welche Hauptspannungen diese Kombination aus Schub- und Normalspannung erzeugen und in welchem Winkel die Ebene liegt, in der dies auftritt. Gemäß dem Normalitätsprinzip steht die beim Versagen eingeleitete Spannung senkrecht zur Linie, die die Bruchbedingung beschreibt. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}$$

Es lässt sich zeigen, dass bei einem Material, das gemäß Coulombs Reibungshypothese versagt, die beim Versagen eingeleitete Verschiebung einen Winkel zur Bruchlinie bildet, der dem Reibungswinkel entspricht. Dadurch lässt sich die Festigkeit des Materials bestimmen, indem die durch die Verschiebung und die äußere Last eingebrachte äußere mechanische Arbeit mit der durch Dehnung und Spannung an der Bruchlinie eingebrachten inneren mechanischen Arbeit verglichen wird. Nach dem Prinzip der Energieerhaltung muss die Summe dieser Werte null ergeben, was die Berechnung der Bruchlast der Konstruktion ermöglicht.

Implementierung im 3D-CSFM

Im Allgemeinen können für einen gegebenen inneren Reibungswinkel des Betons, der in den Referenzen [1], [2], [3], [4] bei etwa φ = 30–40° liegt, die Mohrschen Kreise für Zug- und Druckfestigkeit des Betons wie in Abbildung 6 konstruiert werden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

Dabei ist f_c die Betondruckfestigkeit, f_ct die Betonzugfestigkeit, φ der innere Reibungswinkel und σ_c1, σ_c3 die Hauptspannungen des Betons unter triaxialer Druckbeanspruchung.

Es lässt sich feststellen, dass mit zunehmender Hauptspannung σ_c3 auch die maximal mögliche Differenz zwischen den Werten von σ_c3 und σ_c1, die wir als maximale σ_c,eq definieren (siehe unten), zunimmt. Diese Differenz entspricht dem doppelten Wert der deviatorischen Spannung, die in der Literatur als Radius der Mohrschen Kreise definiert ist.

Im 3D-CSFM, das in IDEA StatiCa Detail implementiert ist, wird der innere Reibungswinkel als φ = 0° angenommen, wie in Abbildung 7 dargestellt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

Die praktische Konsequenz dieser Implementierung ist, dass die maximale Differenz zwischen σ_c3 und σ_c1 mit zunehmendem σ_c3 konstant bleibt. 

Die äquivalente Hauptspannung drückt die äquivalente einachsige Spannung für einen allgemeinen triaxialen Spannungszustand aus.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Der Wert σ_c,eq kann daher direkt mit den einachsigen Festigkeitsgrenzwerten gemäß den Normen verglichen werden.

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Dabei ist σ_c,lim die Bemessungs- (faktorisierte) einachsige Festigkeit des Betons f_c.

Vergleicht man Abbildung 6, in der der reale innere Reibungswinkel verwendet wird, mit Abbildung 7, die die Implementierung der Mohr-Coulomb-Theorie mit einem inneren Reibungswinkel von null zeigt, so zeigt sich, dass der für die Berechnungen in Detail gewählte Ansatz für die Bewertung des triaxialen Spannungszustands sehr konservativ ist.

Für ein besseres Verständnis der von triaxialer Druckspannung betroffenen Bereiche wurde der Ausdruck für die Zunahme der effektiven Materialfestigkeit infolge triaxialer Druckbeanspruchung als Verhältnis σ_c3/σ_c,lim in die IDEA StatiCa Detail-Anwendung aufgenommen. Dieses Verhältnis finden Sie im Festigkeits-Normnachweis.

In den Zusatzergebnissen findet der Benutzer außerdem den Faktor κ, der die Triaxialität auf andere Weise erklärt. 

$$\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}$$

Der Betonfestigkeitsnachweis kann dann wie folgt umgeschrieben werden:

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Daraus folgt, dass bei hydrostatischer Beanspruchung des Elements – σ_c3=σ_c2=σ_c1 – die äquivalente Hauptspannung σ_c,eq den Wert null annimmt und der Kappa-Faktor gegen unendlich strebt.

Mehr dazu finden Sie hier: Triaxiale Spannung – der aktive Umschnürungseffekt

Gleichgewichtsbedingungen

Die Theorie kleiner Verformungen ermöglicht die Aufstellung der Gleichgewichtsbedingung auf Basis des unverformten Volumens unter Verwendung eines Ansatzes erster Ordnung. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}$$

Verträglichkeitsbedingungen

Ein fester Körper besteht aus infinitesimalen Volumina bzw. materiellen Punkten, die ohne Lücken oder Überlappungen miteinander verbunden sind. Mathematische Bedingungen müssen eingehalten werden, um das Auftreten von Lücken oder Überlappungen bei der Verformung eines Kontinuumskörpers zu verhindern.

Konstitutive Gleichungen

Die konstitutiven Gleichungen, die das Verhalten von 3D-Elementen bestimmen, spielen eine zentrale Rolle bei der Analyse des Materialverhaltens in der Strukturmechanik. Diese Gleichungen sind so formuliert, dass sie das nicht-lineare isotrope Verhalten berücksichtigen, welches für Solid-Block-Bauteile in IDEA StatiCa Detail gültig ist. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}$$

Die 3D-CSFM berücksichtigt kontinuierliche Spannungsfelder im Beton (3D-finite Elemente), ergänzt durch diskrete „Stab“-Elemente, die die Bewehrung darstellen (1D-finite Elemente). Daher wird die Bewehrung nicht diffus in die 3D-finiten Elemente des Betons eingebettet, sondern explizit modelliert und mit ihnen verbunden. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}$$

Das nicht-lineare (inelastische) Finite-Elemente-Analysemodell wird durch mehrere Typen finiter Elemente erstellt, die zur Modellierung von Beton, Bewehrung und des Verbunds zwischen ihnen verwendet werden. Beton- und Bewehrungselemente werden zunächst unabhängig voneinander vernetzt und anschließend über Mehrpunkt-Randbedingungen (MPC-Elemente) miteinander verbunden. Dies ermöglicht es der Bewehrung, eine beliebige Position einzunehmen, die nicht auf die Knoten des Tetraedernetzes beschränkt ist. Zur Überprüfung von Verankerungslänge, Verbund und Verankerungsende werden Federelemente zwischen der Bewehrung und den MPC-Elementen eingefügt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}$$

Beton

Beton wird mit gemischten Tetraederelementen mit Knotenrotationen analysiert. Die Tetraederelemente ermöglichen die Vernetzung von Bereichen beliebiger Topologie, während die implementierte Formulierung genaue Verformungsergebnisse (ohne unerwünschte Schubspannungen, bekannt als Shear-Lock-Effekt) garantiert – selbst bei einem groben Netz, das für die Formulierung linearer Tetraederelemente nicht geeignet wäre. 

Es wird eine vollständige Integration verwendet. Das bedeutet, dass jedes Element mit vier innerhalb des Volumens liegenden Integrationspunkten ausgestattet ist. Eine solche Integration liefert ein präzises Dehnungs- und Spannungsfeld, das eine ausreichende Auswertung und Darstellung der Ergebnisse über das gesamte Volumen ermöglicht. Anschließend werden die Abbruchkriterien basierend auf dem Wert im Integrationspunkt festgelegt.

Bewehrung

Bewehrungsstäbe werden durch zweiknotige eindimensionale „Stab“-Elemente (CROD) modelliert, die nur eine axiale Steifigkeit besitzen. Diese Elemente sind mit speziellen „Verbund“-Elementen verbunden, die entwickelt wurden, um das Schlupfverhalten zwischen einem Bewehrungsstab und dem umgebenden Beton zu modellieren. Diese Verbundelemente werden anschließend über MPC-Elemente (Mehrpunkt-Randbedingungen) mit dem Netz verbunden, das den Beton darstellt. Dieser Ansatz ermöglicht die unabhängige Vernetzung von Bewehrung und Beton, während ihre Verbindung später sichergestellt wird.

Verbundelemente

Die Verankerungslänge wird überprüft, indem die Verbundschubspannungen zwischen Betonelementen (3D) und Bewehrungsstabelementen (1D) im Finite-Elemente-Modell implementiert werden. Zu diesem Zweck wurde der Finite-Elemente-Typ „Verbund“ entwickelt.

Das Verbundelement wird als Schalenelement definiert, das über die erste Schicht mit den Elementen verbunden ist, die die Bewehrung darstellen, und über die zweite Schicht über Mehrpunkt-Randbedingungen (MPC-Elemente) mit dem Betonnetz. Es sei angemerkt, dass das Verbundelement in diesem Artikel stets mit einer von Null verschiedenen Höhe dargestellt wird, die im Modell jedoch als infinitesimal definiert ist.

Das Verhalten dieses Elements wird durch die Verbundspannung, τ_b, als bilineare Funktion des Schlupfs zwischen dem oberen und unteren Knoten, δu, beschrieben, siehe (Abb. 12).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}$$

Der elastische Steifigkeitsmodul der Verbund-Schlupf-Beziehung, Gb, ist wie folgt definiert:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

k_g            Koeffizient in Abhängigkeit von der Oberfläche des Bewehrungsstabs (standardmäßig kg = 0,2)

E_c            Elastizitätsmodul des Betons (im Fall von EN als Ecm angenommen)

Ø             der Durchmesser des Bewehrungsstabs

Die Bemessungswerte (mit Teilsicherheitsbeiwerten versehenen Werte) der maximalen Verbundschubspannung, f_bd, die in den jeweiligen ausgewählten Bemessungsnormen EN 1992-1-1 oder ACI 318-19 angegeben sind, werden zur Überprüfung der Verankerungslänge verwendet. Die Verfestigung des plastischen Astes wird standardmäßig als Gb/105 berechnet.

Verankerungsfeder

Die Ausbildung von Verankerungsenden an den Bewehrungsstäben (d. h. Biegungen, Haken, Schlaufen usw.), die den Vorschriften der Bemessungsnormen entspricht, ermöglicht eine Reduzierung der Grundverankerungslänge der Stäbe (l_b,net) um einen bestimmten Faktor β (im Folgenden als „Verankerungskoeffizient“ bezeichnet). Der Bemessungswert der Verankerungslänge (lb) wird dann wie folgt berechnet:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}$$

Die Reduzierung der Verankerungslänge wird im Finite-Elemente-Modell mittels eines Federelements am Ende des Stabes berücksichtigt (Abb. 13a), das durch das in (Abb. 13b) gezeigte Stoffgesetz definiert ist. Die maximale Kraft, die durch diese Feder übertragen wird (F_au), beträgt:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

wobei:

β             der Verankerungskoeffizient basierend auf dem Verankerungstyp

A_s            der Querschnitt des Bewehrungsstabs

f_yd           der Bemessungswert (mit Teilsicherheitsbeiwert versehener Wert) der Streckgrenze der Bewehrung

Fußplatte

Die Fußplatte wird als elastisches Schalenelement modelliert. Der für Fußplatten verwendete Stahlwerkstoff wird im Reiter Materialien definiert. Die einzige physikalische Eigenschaft ist der Elastizitätsmodul E.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad The base plate material definition}}}$$

Die Fußplatte kann durch die Punktlast (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) und die Kräftegruppe (Fx, Fy, Fz) belastet werden, die hauptsächlich zur Belastung von aus IDEA StatiCa Connection exportierten Modellen verwendet wird. Beachten Sie, dass Punktlasten und Punktmomente direkt den entsprechenden Knoten der Fußplatte belasten. Das bedeutet, dass es keine Umlagerung gibt, sondern nur eine Verteilung über die Steifigkeit der Fußplatte. 

Diese Implementierung ermöglicht den Import von Lasteffekten aus IDEA StatiCa Connection, die an der Position der einzelnen Schweißnaht-Finite-Elemente auf die Fußplatte aufgebracht werden, mit dem Wert und der Richtung, die aus der allgemeinen Spannung dieses Schweißnaht-Finite-Elements bestimmt werden. Mehr dazu ist im entsprechenden Kapitel dieses Dokuments zu finden.

Die zweite Belastungsoption ist der Stub – er stellt einen kurzen Abschnitt der Stütze oberhalb der Fußplatte dar. Der Stub wird als Struktur aus elastischen Schalenelementen modelliert und verhält sich als physikalisch korrekte Schnittstelle zwischen den Schnittgrößen und der Platte. Der Benutzer wählt für den Stub einen Querschnitt aus einer Standard-Querschnittsdatenbank. Der 6-komponentige Schnittgrößensatz (Kräfte und Momente) wird an einem einzelnen Punkt auf der Unterseite des Stubs aufgebracht – d. h. an der Basis der Stütze. Randbedingungen übertragen die Kräfte auf die Oberseite des Stubs, von wo aus sie auf natürliche Weise durch den Stub in die Fußplatte, die Anker und den Beton umgelagert werden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad The load transfer through the stub}}}$$

Mechanismus der Schubübertragung (von der Fußplatte zum Betonblock)

Zwischen Fußplatte und Beton ist ein reiner Druckkontakt mit Reibung definiert. Für die Schubübertragung kann der Benutzer aus drei Optionen wählen:

• Durch Anker
• Durch Reibung
• Durch Schubknagge

Die Software erlaubt keine Kombination dieser Schubübertragungsmechanismen. 

Der Reibungsbeiwert sollte als bemessener (faktorierter) Wert eingegeben werden. Falls die resultierende Querkraft F_xy die Druckkraft F_z multipliziert mit dem Reibungsbeiwert μ übersteigt, wird die Berechnung angehalten, und nicht alle Lasten werden auf das Modell angewendet. Die Bedingung ist wie folgt formuliert:

$$\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1$$

Dies lässt sich am folgenden Beispiel erkennen, bei dem zwei Lastfälle betrachtet werden. 

• LF1 – Ständiger Typ – F_z = 100 kN
• LF2 – Veränderlicher Typ – F_x = 100 kN

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad Load input for example explaining shear transfer by friction}}}$$

Im ersten Berechnungsschritt wird die gesamte ständige Last aufgebracht. Anschließend wird die veränderliche Last schrittweise gesteigert, bis sie den Wert der Drucklast multipliziert mit dem Reibungsbeiwert erreicht.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Results from example explaining shear transfer by friction}}}$$

Der Graph in Abbildung 18 definiert das Verhalten des Reibkontakts zwischen Fußplatte und Beton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad Force-displacement graph describing the behavior of frictional contact}}}$$

Der Wert von F_zμ unterscheidet sich für jeden Berechnungsschritt, während der Wert der maximalen Schubverformung u_xy konstant ist. 

Wenn die Druckkraft F_z und die Querkraft F_xy in einem Lastfalltyp eingegeben werden (z. B. nur ständig) und die Bedingung F_xy / (F_zμ) ≤ 1 nicht erfüllt ist, wird keine Last auf das Modell aufgebracht, da die Bedingung in keinem Berechnungsschritt erfüllt ist.

Die Schubknagge ist über Randbedingungen mit dem Betonnetz verbunden, die nur die Übertragung von Druckspannungen normal zur Fläche zulassen. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Shear lug transfer of shear mechanism}}}$$

Die Schubknagge wird aus elastischen Schalenelementen modelliert, wobei der Elastizitätsmodul E das Material definiert.

Die Ergebnisse werden weder für die Fußplatte noch für die Schubknagge ausgewertet und angezeigt.

 Optionen für die Fußplatte  (Abstand, Vergussmörtel)

Der folgende Satz von Abstandsoptionen, vollständig abgestimmt mit der Connection-Anwendung, steht zur Verfügung.

• Direkt
• Mörtelfuge – Muttern von oben
• Mörtelfuge – Muttern von oben und unten
• Spalt

Die Mörtelschicht wird als Schalenelement modelliert, wobei ihre Steifigkeit berücksichtigt wird. Beachten Sie, dass Schalenelemente in Richtung ihrer Dicke inkompressibel sind. Dies trägt zur Umlagerung lokaler Kräfte in den Beton bei und gilt für die in der Praxis üblichen Fugendicken von 25–50 mm.

Die Unterscheidung zwischen Muttern nur von oben (gelenkige Verbindung zwischen Anker und Fußplatte) und von oben und unten (starre Verbindung zwischen Anker und Fußplatte) hat einen starken Einfluss auf die Schubtragfähigkeit im Hinblick auf die Betonpressung.

Anker

Die Finiten Elemente, die die Anker darstellen, werden so modelliert, dass sie Normal- und Querkräfte auf den Beton übertragen können, wobei auch die Biegesteifigkeit der Anker berücksichtigt wird. Um das Gleiten zwischen dem Anker und dem umgebenden Beton zu modellieren, werden dieselben Verbund- und MPC-Elemente wie für die Bewehrung verwendet. Mit dem Unterschied, dass:

• Für nachträglich eingebaute Anker (Verbundanker) ist es notwendig, die Bemessungsverbundfestigkeit anzugeben.
• Für Unterlegplatten und Kopfbolzen wird der Verbund entlang des Schafts des Ankers vernachlässigt. Die gesamte axiale Last wird dann über die Unterlegplatte oder den Kopf des Ankers in den Beton übertragen.

Anker können mit Fußplatten verbunden werden. Für diese Verbindung wird eine vollständig nichtlineare Randbedingung verwendet, um das Ende des Ankers mit einem Fußplattenknoten zu verbinden. Diese Randbedingung ermöglicht es uns, alle Freiheitsgrade zu steuern, um beispielsweise sicherzustellen, dass die Anker keine Druckkraft von der Fußplatte übertragen oder dass bei der Modellierung einer Schubknagge kein Schub durch den Anker übertragen wird usw.

Die Eigenschaft Verbindung mit Fußplatte für Anker ermöglicht es dem Benutzer zu steuern, ob und wie der Anker durch die zuvor erwähnte Randbedingung mit der Fußplatte verbunden wird. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad Interconnection with base plate settings}}}$$

Das Kontrollkästchen Übertragung von Schub kann verwendet werden, um zu steuern, ob der Anker und die Fußplatte hinsichtlich des Schubs verbunden werden oder nicht. Beachten Sie, dass die Kombination von Schubübertragungsmechanismen nicht unterstützt wird, sodass dieses Kontrollkästchen für die Übertragung durch Reibung und Schubknagge irrelevant ist. Bei der Schubübertragung über Anker hingegen ermöglicht dieses Feld, einzelne Anker von der Schubübertragung auszuschließen.

Das Kontrollkästchen Übertragung von Normalkräften kann verwendet werden, um zu steuern, ob der Anker und die Fußplatte in axialer Richtung verbunden werden oder nicht. Dies wird hauptsächlich für den Export aus der Connection-Funktion verwendet (siehe entsprechendes Kapitel). Für die manuelle Modellierung ist es sinnvoll, dieses Kontrollkästchen immer aktiviert zu lassen.

Wenn das Kontrollkästchen deaktiviert ist, wird der Anker sowohl in Zug- als auch in Druckrichtung getrennt (im Falle eines aus der Connection-Anwendung exportierten Modells wird die Verbindung durch ein Kräftepaar ersetzt). Wenn das Kontrollkästchen aktiviert ist, ist der Anker immer in Zugrichtung mit der Platte verbunden, aber die Verbindung in Druckrichtung wird durch den Ankertyp und die Art des Abstands gesteuert. Weitere Informationen finden Sie in Abbildung 23.

Geschnittene Gewinde

Wird über ein Kontrollkästchen in den Ankereigenschaften gesteuert und hat 2 Zwecke:

1. Es definiert, wie der Anker mit der Fußplatte verbunden wird:

• Für Kopfbolzen und einbetonierte Bewehrung, die mit der Fußplatte verbunden sind (nicht für Ortbetonplatten), unterscheidet es zwischen einer Schraubverbindung (gelenkig) und einer geschweißten Verbindung (starr) — sichtbar in der 3D-Szene.
• Beachten Sie, dass die Art der Anker-Platten-Verbindung einen erheblichen Einfluss auf die Schubtragfähigkeit im Hinblick auf die Betonpressung hat.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Cut threads options}}}$$

2. Für Eurocode wird die Tragfähigkeit des Ankers mit geschnittenem Gewinde gemäß EN 1993-1-8 3.6.1 (3) reduziert. Dies kann in den Projekteinstellungen festgelegt werden. Für Gewindestangen und Unterlegplatten wird empfohlen, diese Einstellung stets aktiviert zu lassen.

Axiale und rotatorische Verbindung zwischen Anker und Fußplatte

Wie bereits in diesem Kapitel erwähnt, werden Anker je nach Ankertyp, Abstandseinstellung und danach, ob geschnittene Gewinde berücksichtigt werden oder nicht, auf unterschiedliche Weise mit der Fußplatte verbunden. In Bezug auf die rotatorische Verbindung kann dies Gelenkig / Starr sein. In Bezug auf die axiale Verbindung kann dies Zug / Zug + Druck sein. Die Art der rotatorischen Verbindung hat einen starken Einfluss auf die Schubtragfähigkeit im Hinblick auf die Betonpressung. In einer 3D-Szene lässt sich anhand des Vorhandenseins von Muttern leicht erkennen, ob ein Anker starr oder gelenkig verbunden ist, siehe Abbildung 22.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Rotational constraints}}}$$

Die folgende Tabelle zeigt alle möglichen Kombinationen von Fußplattenverbindungen mit Ankern und die entsprechenden rotatorischen und axialen Verbindungen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Einbetonierte Platten

Die einbetonierte Platte ist ein Sonderfall einer Fußplatte. Sie wird analog modelliert, mit folgenden Unterschieden:

Da die Platte innerhalb eines Betonblocks eingebettet ist, kann keine Art von Abstand angegeben werden. Die Einbettungstiefe der Platte wird vernachlässigt. Die Platte, modelliert durch Schalenelemente, wird direkt auf der Betonoberfläche platziert. Daher werden die Seitenflächen der Platte nicht als vom Beton gestützt betrachtet.

Es können nur Bewehrung und Kopfbolzen verwendet werden, die, wie klassische Anker, so eingestellt werden können, dass sie in axialer und Querrichtung mit der Platte verbunden sind. Praktische Erfahrungen und einige nationale Dokumente weisen darauf hin, dass Kopfbolzen nur für Querkraft und Bewehrung für axiale Last bemessen werden sollten. Aus Sicht der axialen und rotatorischen Randbedingungen sind Anker immer als Starr und Zug + Druck verbunden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Die finiten Elemente sind intern implementiert, und das Berechnungsmodell wird automatisch generiert, ohne dass eine fundierte Benutzerinteraktion erforderlich ist. Ein wichtiger Teil dieses Prozesses ist die Vernetzung.

Beton

Alle Betonbauteile werden gemeinsam vernetzt. Eine empfohlene Elementgröße wird von der Anwendung automatisch berechnet, basierend auf der Größe und Form der Struktur sowie unter Berücksichtigung des Durchmessers des größten Bewehrungsstabs. Darüber hinaus stellt die empfohlene Elementgröße sicher, dass in dünnen Teilen der Struktur, wie z. B. schlanken Stützen oder dünnen Wänden, mindestens vier Elemente erzeugt werden, um zuverlässige Ergebnisse in diesen Bereichen zu gewährleisten. Anwender können jederzeit eine benutzerdefinierte Betonelementgröße wählen, indem sie den Multiplikator der Standard-Netzgröße anpassen.

Bewehrung

Die Bewehrung wird in Elemente mit annähernd der gleichen Länge wie die Betonelementgröße unterteilt. Sobald das Bewehrungs- und das Betonnetz erzeugt wurden, werden sie durch Verbundelemente miteinander verbunden, wie in Abb. 9 dargestellt.

Verfeinerung

Das Betonnetz wird automatisch um Anker, um Schubknaggen und unter dem Lasteinleitungsstummel verfeinert. Die Größe des verfeinerten Netzes ist etwa halb so groß wie das Grundnetz des Betons. Der Radius des verfeinerten Bereichs wird ungefähr als die Elementgröße multipliziert mit zwei definiert.

Ein Standardalgorithmus des vollständigen Newton-Raphson-Verfahrens (NR) wird verwendet, um die Lösung eines nichtlinearen FE-Problems zu finden. 

Im Allgemeinen konvergiert der NR-Algorithmus häufig nicht, wenn die volle Last in einem einzigen Schritt aufgebracht wird. Ein üblicher Ansatz, der auch hier verwendet wird, besteht darin, die Last sequenziell in mehreren Inkrementen aufzubringen und das Ergebnis des vorherigen Lastinkrements zu verwenden, um die Newton-Lösung des nachfolgenden zu starten. Zu diesem Zweck wurde ein Lastkontrollalgorithmus über dem Newton-Raphson-Verfahren implementiert. Falls die NR-Iterationen nicht konvergieren, wird das aktuelle Lastinkrement auf die Hälfte seines Wertes reduziert und die NR-Iterationen werden erneut versucht.

Ein zweiter Zweck des Lastkontrollalgorithmus besteht darin, die kritische Last zu finden, die bestimmten „Abbruchkriterien“ entspricht – insbesondere der maximalen Dehnung im Beton, dem maximalen Schlupf in Verbundelementen, der maximalen Verschiebung in Verankerungselementen und der maximalen Dehnung in Bewehrungsstäben. Die kritische Last wird mithilfe der Bisektionsmethode ermittelt. Falls das Abbruchkriterium irgendwo im Modell überschritten wird, werden die Ergebnisse des letzten Lastinkrements verworfen und ein neues Inkrement von der halben Größe des vorherigen berechnet. Dieser Vorgang wird wiederholt, bis die kritische Last mit einer bestimmten Fehlertoleranz gefunden ist.

Für Beton wurde das Abbruchkriterium auf eine Dehnung von 5 % bei Druck (d. h. etwa eine Größenordnung größer als die tatsächliche Versagensdehnung von Beton) und 7 % bei Zug an den Integrationspunkten der Schalenelemente festgelegt. Bei Zug wurde der Wert so gewählt, dass die Grenzdehnung in der Bewehrung, die üblicherweise ohne Berücksichtigung der Zugverfestigung bei etwa 5 % liegt, zuerst erreicht wird. Bei Druck wurde der Wert unter mehreren Alternativen als derjenige gewählt, der groß genug ist, damit die Auswirkungen des Quetschens in den Ergebnissen sichtbar werden, aber klein genug, um nicht zu viele Probleme mit der numerischen Stabilität zu verursachen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 25\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}$$

Für die Bewehrung wird das Abbruchkriterium in Bezug auf Spannungen definiert. Da die Spannungen am Riss modelliert werden, entspricht das Kriterium bei Zug der Zugfestigkeit der Bewehrung unter Berücksichtigung des Sicherheitsbeiwerts. Derselbe Wert wird für das Kriterium bei Druck verwendet.

Das Abbruchkriterium in Verbundelementen und Verankerungsfedern ist α·δ_umax, wobei δ_umax der maximale, in den Normnachweisen verwendete Schlupf ist und α = 10.

Weitere Abbruchkriterien für die Verankerung:

• Auszug von Kopfbolzen (maximale Kontaktdruckspannung an der Oberseite des Kopfes des Ankers). 
• Maximale Querkraft, die vom Anker aus Sicht der Betonpressung übertragen werden kann.

Diese beiden Kriterien sind abhängig von der gewählten Norm. Weitere Informationen dazu finden Sie in den Abschnitten, die die normabhängigen Teile der Strukturanalyse in der Anwendung erläutern.

Die Ergebnisse werden für Beton- und Bewehrungselemente unabhängig voneinander dargestellt. Die Spannungs- und Dehnungswerte im Beton werden an den Integrationspunkten der Volumenelemente berechnet. Da es jedoch nicht praktikabel ist, die Daten auf diese Weise darzustellen, werden die Ergebnisse standardmäßig in Knoten dargestellt, wie z. B. der Maximalwert der Druckspannung aus benachbarten Gauß-Integrationspunkten in verbundenen Elementen. Es ist zu beachten, dass diese Darstellung die Ergebnisse an gedrückten Bauteilrändern lokal unterschätzen kann, wenn die Größe der finiten Elemente der Höhe der Druckzone ähnlich ist.

Die Ergebnisse für die finiten Elemente der Bewehrung sind entweder für jedes Element konstant (ein Wert – z. B. für Stahlspannungen) oder linear (zwei Werte – für Verbundergebnisse). Für Hilfselemente, wie z. B. Elemente von Auflagerplatten, werden nur Verformungen dargestellt.

Das Modell in IDEA StatiCa Detail muss nicht immer von Grund auf oder aus einer Vorlage erstellt werden. Es besteht auch die Möglichkeit, das Modell einschließlich der Lasteffekte aus IDEA StatiCa Connection zu importieren. In Connection wird der Stahlüberbau oberhalb des Betonblocks mit einem nichtlinearen 3D-Modell analysiert, während der Betonblock selbst vereinfacht durch eine Winkler-Bettung dargestellt wird. In Detail hingegen wird der Stahlbetonblock explizit modelliert und im Detail nachgewiesen.

Beim Übertragen des Modells werden nur die Fußplatte, die Anker und der Betonblock in Detail importiert – das Stahlbauteil selbst (und dessen globale Steifigkeit) hingegen nicht. Im Connection-Modell ist dieses Stahlbauteil durch eine Schweißnaht mit der Fußplatte verbunden. Die Spannungen in den Schweißnaht-Finite-Elementen werden integriert und in eine Reihe äquivalenter Kräfte umgerechnet, die die Fußplatte in Detail belasten. Auf diese Weise wird der Effekt des fehlenden Stahlbauteils durch Schweißnahtkräfte dargestellt, die direkt auf die Fußplatte aufgebracht werden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Loads imported from IDEA StatiCa Connection}}}$$

Aufgrund der unterschiedlichen Definition der Steifigkeit zwischen Connection und Detail (fehlendes Stahlbauteil, unterschiedliche Materialmodelle und Betondarstellung) würde eine direkte Verbindung zwischen Fußplatte und Ankern in Detail im Allgemeinen zu einer anderen Lastumverteilung und damit zu unterschiedlichen Zugkräften in den Ankern führen. Um dies zu vermeiden, werden die Anker axial getrennt von der Fußplatte importiert. Anstatt die Axialkräfte über den physischen Kontakt zu übertragen, werden die aus Connection ermittelten Ankerzugkräfte direkt auf die Anker in Detail aufgebracht. Gleichzeitig wird an jeder Ankerposition eine gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kraft auf die Fußplatte aufgebracht, sodass das globale Gleichgewicht des Modells erhalten bleibt. Dieses Kräftepaar (eine Kraft wirkt auf den Anker, die andere auf die Fußplatte) stellt die Interaktion zwischen Fußplatte und Anker dar, ohne eine zusätzliche Umverteilung der Axialkräfte in Detail zuzulassen. Diese beiden entgegengesetzten Kräfte sind in Abbildung 26 dargestellt.

Die Querkräfte werden jedoch weiterhin durch die Verbindung zwischen Fußplatte und Ankern (bzw. Schubknagge oder Reibung) übertragen. Dies ist möglich, da eine Randbedingung verwendet wird, um die Fußplatte und die Anker in Querrichtung zu verbinden, wodurch die relevanten Freiheitsgrade dieser Verbindung gesteuert werden können. In Detail kann der Anwender daher den Querkraftlastpfad anpassen – zum Beispiel, indem er den Schub in zwei von vier Ankern freigibt und nur die Randanker schubwirksam belässt –, während die Axialkräfte so bestehen bleiben, wie sie aus Connection importiert wurden.

Für einbetonierte Platten haben wir einen anderen Ansatz gewählt. Mehrere europäische Bemessungsempfehlungen fordern, dass nur die Bewehrungsstäbe zur Aufnahme der Axialkräfte berücksichtigt werden, während Kopfbolzen ausschließlich zur Übertragung der Querkraft angenommen werden. Da IDEA StatiCa Connection beim Export die Axialkräfte in Bewehrungsankern nicht intern von denen in Kopfbolzen trennen kann, werden die Anker einbetonierter Platten vollständig verbunden, auch in axialer Richtung, in Detail importiert. Dies ermöglicht es dem Anwender, in Detail eine Bemessungsoption zu aktivieren, bei der die Bewehrungsanker nur Zugkraft und die Kopfbolzen nur Querkraft aufnehmen. Bei diesem Arbeitsablauf muss die Axialkraft, die ursprünglich den Kopfbolzen zugeordnet war, innerhalb des Detail-Modells auf die Bewehrungsanker umverteilt werden. Eine solche Umverteilung wäre mit dem oben beschriebenen Ansatz der entgegengesetzten Kräftepaare nicht möglich, weshalb einbetonierte Platten anders behandelt werden.

Grenzzustand der Tragfähigkeit

Die von den jeweiligen Bemessungsnormen geforderten unterschiedlichen Nachweise werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. GZT-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Um sicherzustellen, dass ein Bauteil effizient bemessen wird, wird dringend empfohlen, eine Voranalyse durchzuführen, bei der folgende Schritte berücksichtigt werden:

• Wählen Sie eine Auswahl der maßgebenden Lastkombinationen.
• Berechnen Sie nur Lastkombinationen des Grenzzustands der Tragfähigkeit (GZT).
• Um die Berechnungszeit zu verkürzen und eventuelle Probleme zu beheben, sollten Sie ein grobes Netz verwenden, indem Sie den Multiplikator der Standard-Netzgröße im Setup erhöhen (Abb. 27). Wenn das Modell gut funktioniert, setzen Sie den Multiplikator wieder auf den Faktor 1 zurück.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 27\qquad Mesh multiplier}}}$$

Ein solches Modell wird sehr schnell berechnet, sodass die Bemessenden die Durchbildung des Bauteils effizient überprüfen und die Analyse so oft wiederholen können, bis alle Nachweisanforderungen für die maßgebenden Lastkombinationen erfüllt sind. Sobald alle Nachweisanforderungen dieser Voranalyse erfüllt sind, wird empfohlen, die vollständigen Lastkombinationen für den Grenzzustand der Tragfähigkeit einzubeziehen und ein feines Netz (die vom Programm empfohlene Netzgröße) zu verwenden. Nutzer können die Netzgröße über den Multiplikator ändern, der Werte von 0,5 bis 5 annehmen kann (Abb. 27).

Die grundlegenden Ergebnisse und Nachweise (Spannung, Dehnung und Ausnutzung (d. h. der berechnete Wert/Grenzwert gemäß Norm)) sowie die Richtung der Hauptspannungen bei Betonbauteilen werden anhand verschiedener Diagramme dargestellt, wobei Druck in der Regel rot und Zug blau dargestellt wird. Globale Minimal- und Maximalwerte für das gesamte Tragwerk können ebenso hervorgehoben werden wie Minimal- und Maximalwerte für jeden vom Nutzer definierten Teil. In einem separaten Reiter des Programms können erweiterte Ergebnisse wie Tensorwerte, Verformungen der Struktur und Bewehrungsgrade (effektiv und geometrisch), die zur Berechnung der Zugverfestigung der Bewehrungsstäbe verwendet werden, angezeigt werden. Darüber hinaus können Lasten und Auflagerreaktionen für ausgewählte Kombinationen oder Lastfälle dargestellt werden.

Beton - GZT

Das im 3D-CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den einachsigen Druck-Stoffgesetzen gemäß EN 1992-1-1 für die Bemessung von Querschnitten, die nur von der Druckfestigkeit abhängen. Das in EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Abb. 28a) festgelegte Parabel-Rechteck-Diagramm wird standardmäßig im 3D-CSFM verwendet, aber Anwender können auch eine vereinfachte elastisch-ideal-plastische Beziehung gemäß EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Abb. 28b) wählen. Die Zugfestigkeit wird vernachlässigt, wie es auch bei der klassischen Stahlbetonbemessung üblich ist.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 28\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}$$

Die Implementierung des 3D-CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Bezug auf Dehnungen für Beton unter Druck (d. h., nachdem die Spitzenspannung erreicht ist, wird ein plastischer Ast mit ε_cu2 (ε_cu3) in Höhe von 5 % angenommen, während EN 1992-1-1 eine Grenzdehnung von weniger als 0,35 % voraussetzt). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, die Verformungsfähigkeit von Strukturen zu überprüfen, die durch Druckversagen ausfallen. Ihre Grenztragfähigkeit f_cd gemäß EN 1992-1-1 3.1.3 wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn die zunehmende Sprödigkeit des Betons bei steigender Festigkeit mittels des $\eta_{fc}$ Abminderungsfaktors berücksichtigt wird, der im fib Model Code 2010 wie folgt definiert ist:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

wobei:

α_cc der Beiwert ist, der Langzeitwirkungen auf die Druckfestigkeit sowie ungünstige Auswirkungen aus der Art der Lastaufbringung berücksichtigt. Er richtet sich nach EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). Der Standardwert beträgt 1,0.

f_ck die charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons ist (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

Bewehrung

Standardmäßig wird das idealisierte bilineare Spannung-Dehnung-Diagramm für nackte Bewehrungsstäbe gemäß EN 1992-1-1, Abschnitt 3.2.7 (Abb. 29) berücksichtigt. Die Definition dieses Diagramms erfordert lediglich die Kenntnis der grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung während der Bemessungsphase (Festigkeits- und Duktilitätsklasse). Sofern bekannt, kann auch die tatsächliche Spannung-Dehnung-Beziehung der Bewehrung (warmgewalzt, kaltverformt, vergütet und selbstangelassen, …) berücksichtigt werden. Das Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrung kann vom Anwender definiert werden, aber in diesem Fall ist es nicht möglich, den Zugversteifungseffekt anzunehmen (die Berechnung der Rissbreite ist nicht möglich). Die Verwendung des Spannung-Dehnung-Diagramms mit horizontalem oberen Ast erlaubt keine Überprüfung der Dauerhaftigkeit der Struktur. Daher ist eine manuelle Überprüfung der Standard-Duktilitätsanforderungen erforderlich.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$$

Die Zugverfestigung (Abb. 30) wird automatisch berücksichtigt, indem die eingegebene Spannung-Dehnung-Beziehung des nackten Bewehrungsstabs so angepasst wird, dass die durchschnittliche Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe erfasst wird (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Die Compatible Stress Field Method entspricht modernen Bemessungsnormen. Da die Berechnungsmodelle nur mit Standard-Materialeigenschaften arbeiten, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Teilsicherheitsformat ohne Anpassung angewendet werden. Auf diese Weise werden die Eingangslasten faktorisiert, und die charakteristischen Materialeigenschaften werden mithilfe der jeweiligen, in den Bemessungsnormen vorgeschriebenen Sicherheitsbeiwerte reduziert – genau wie bei der konventionellen Betonanalyse. Die in EN 1992-1-1 Kap. 2.4.2.4 vorgeschriebenen Werte der Materialsicherheitsbeiwerte sowie die in EN 1992-4, EN 1993-1-8 und EN 1994-1-1 vorgeschriebenen Beiwerte für Anker sind standardmäßig festgelegt, der Anwender kann die Sicherheitsbeiwerte jedoch in den Code and calculation settings ändern (Abb. 31).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 31\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Die Lastsicherheitsbeiwerte müssen vom Anwender in den Combination rules für jede nichtlineare Kombination von Lastfällen definiert werden (Abb. 32). Für alle in Idea StatiCa Detail implementierten Vorlagen sind die Teilsicherheitsbeiwerte bereits vordefiniert.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 32\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Durch die Verwendung geeigneter benutzerdefinierter Kombinationen von Teilsicherheitsbeiwerten können Anwender auch mit 3D CSFM unter Verwendung der Methode des globalen Widerstandsbeiwerts rechnen (Navrátil, et al. 2017), doch dieser Ansatz wird in der Bemessungspraxis kaum verwendet. Einige Richtlinien empfehlen die Verwendung der Methode des globalen Widerstandsbeiwerts für nichtlineare Analysen. Bei vereinfachten nichtlinearen Analysen (wie z. B. 3D CSFM), die nur jene Materialeigenschaften erfordern, die auch bei konventionellen Handrechnungen verwendet werden, ist es jedoch nach wie vor vorzuziehen, das Teilsicherheitsformat zu verwenden.

Die GZT-Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Betonstahlfestigkeit und die Verankerung (Verbundspannungen) geführt.

Die Druckfestigkeit des Betons wird als Verhältnis zwischen der aus der FE-Analyse erhaltenen maximalen Vergleichsspannung σ_c,eq und dem Grenzwert σ_c,lim = f_cd bewertet.

Die äquivalente Hauptspannung drückt die äquivalente einachsige Spannung für einen allgemeinen dreiachsigen Spannungszustand aus.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Der σ_c,eq-Wert kann daher direkt mit den Grenzwerten für die einachsige Festigkeit nach EN 1992-1-1 verglichen werden.

Dieser Ausdruck ergibt sich aus der Anwendung der Mohr-Coulomb-Plastizitätstheorie, wobei konservativ der innere Reibungswinkel φ = 0° angenommen wird .

Die Festigkeit der Bewehrung wird sowohl auf Zug als auch auf Druck als das Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen σ_sr und dem angegebenen Grenzwert σ_s,lim bewertet:

$σ_{s,lim} = \frac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{für bilineares Diagramm mit geneigtem oberen Ast}}$

$σ_{s,lim} = \frac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{für bilineares Diagramm mit horizontalem oberem Ast}}$

wobei:

f_yk        ist die Streckgrenze der Bewehrung nach EN 1992-1-1 Cl. 3.2.3,

k           ist das Verhältnis der Zugfestigkeit f_tk zur Streckspannung,
             $k = \frac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s            ist der Teilsicherheitsbeiwert für die Bewehrung.

Die Verbundspannung wird unabhängig als das Verhältnis zwischen der durch FE-Analyse berechneten Verbundspannung τ_b und der Verbundendfestigkeit f_bd gemäß EN 1992-1-1, Kap. 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\le 1$$

$$f_{bd} = 2,25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

wobei:

f_ctd ist der Bemessungswert der Betonzugfestigkeit nach EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (2). Wegen der zunehmenden Sprödigkeit von höherfestem Beton ist f_ctk,0.05 auf den Wert von C60/75 nach EN 1992-1-1 Cl. 8.4.2 (2) begrenzt.

η₁ ist ein Koeffizient, der von der Qualität des Verbundzustandes und der Lage des Stabes während des Betonierens abhängt (Abb. 31).

η₁ = 1,0, wenn "gute" Bedingungen erreicht werden und

η₁ = 0,7 für alle anderen Fälle und für Stäbe in Strukturelementen, die mit Gleitschalungen gebaut werden, es sei denn, es kann nachgewiesen werden, dass "gute" Verbundbedingungen bestehen

η₂        bezieht sich auf den Stabdurchmesser:

            η₂ = 1,0 für Ø ≤ 32 mm

            η₂ = (132 - Ø)/100 für Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 20\qquad EN 1992-1-1 Abbildung 8.2 - Beschreibung der Verbundbedingungen}}}$$

In IDEA StatiCa Detail werden die Verbundbedingungen gemäß Abb. 20 c) und d) berücksichtigt. Die Betonierrichtung kann in der Anwendung für jede Projektposition wie folgt eingestellt werden:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 21\qquad Betonierrichtung}}}$$

Gesamtkraft F_tot und Grenzkraft F_lim

Die Gesamtkraft F_tot ist ein Ergebnis der Finite-Elemente-Analyse und kann auf zwei Arten definiert werden.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

wobei A_s die Fläche des Bewehrungsstabs und σ_s die Spannung im Stab ist.

Oder als Summe aus der Verankerungskraft F_a und der Verbundkraft F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

wobei F_a die tatsächliche Kraft in der Verankerungsfeder und F_bond die Verbundkraft ist, die durch Integration der Verbundspannung τ_b über die Länge des Bewehrungsstabs l ermittelt werden kann.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s ist der Umfang des Bewehrungsstabs.

Die Grenzkraft F_lim ist die minimale Kraft im Element des Bewehrungsstabs unter Berücksichtigung der Tragfähigkeit des Bewehrungsstabs und der Verankerungsbedingungen (Verbund zwischen Beton und Bewehrung und Verankerungshaken, Schlaufen usw.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

wobei C_s der Umfang des Bewehrungsstabs und l die Länge vom Anfang des Bewehrungsstabs bis zum interessierenden Punkt ist.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 22\qquad Definition der Grenzkraft Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

wobei F_lim,add die zusätzliche Kraft ist, die aus der Größe des Winkels zwischen benachbarten Elementen berechnet wird. F_lim,2 muss immer kleiner als F_u sein.

Zu den verfügbaren Verankerungstypen in 3D CSFM gehören ein gerader Stab (d.h. keine Reduzierung der Ankerenden), ein gebogener Stab, ein Haken, eine Schlaufe, ein geschweißter Querstab, ein perfekter Verbund und ein durchgehender Stab. Alle diese Typen sind zusammen mit den jeweiligen Verankerungsbeiwerten β in Abb. 23 für die Längsbewehrung und in Abb. 24 für die Bügel dargestellt. Die Werte der angenommenen Verankerungsbeiwerte entsprechen EN 1992-1-1 Abschnitt 8.4.4 Tab. 8.2. Es ist zu beachten, dass 3D CSFM trotz der verschiedenen Möglichkeiten drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Verringerung der Verankerungslänge, (ii) eine Verringerung der Verankerungslänge um 30% im Falle einer normalisierten Verankerung und (iii) perfekter Verbund.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 23\qquad  Verfügbare Verankerungstypen und entsprechende Verankerungsbeiwerte für Längsbewehrungsstäbe im 3D-CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) gerader Stab; (b) Biegung; (c) Haken; (d) Schlaufe; (e) geschweißter Querstab; (f) perfekte Verbindung; (g) durchgehender Stab}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Abb. 24\qquad  Verfügbare Verankerungstypen und entsprechende Verankerungsbeiwerte für Bügel.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Geschlossene Steigbügel: (a) Haken; (b) Biegung; (c) Überlappung. Offene Steigbügel: (d) Haken; (e) durchgehender Stab}}}$$

Um die Anforderungen von EN 1992-1-1 zu erfüllen, sollte die Verankerungsfeder in der Berechnung verwendet werden. Die Verankerungsfeder wird durch den Beiwert β modifiziert, so dass der Benutzer bei der Definition der Anfangs- und Endbedingungen der Bewehrung eine der verfügbaren Verankerungsarten verwenden muss.

Beton - Festigkeit

Das für Festigkeitsberechnungen im CSFM implementierte Betonmodell basiert auf der parabolisch-plastischen Spannungs-Dehnungs-Kurve für Beton nach der parabolischen Spannungs-Dehnungs-Kurve der Portland Cement Association, beschrieben in PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Abbildung 6-8. Die Zugfestigkeit wird vernachlässigt, wie es beim klassischen Stahlbetonentwurf üblich ist.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Die Implementierung des CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium hinsichtlich der Dehnungen für Beton unter Druck (d. h., nach Erreichen der Spitzenspannung wird ein plastischer Ast mit ε_c0 von maximal 5 % angenommen, während ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 eine Grenzdehnung von weniger als 0,3 % voraussetzt). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, die Verformungsfähigkeit von auf Druck versagenden Strukturen zu überprüfen. Die Festigkeit wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn die mit steigender Betonfestigkeit zunehmende Sprödigkeit des Betons durch den im fib Model Code 2010 definierten Abminderungsfaktor $\eta_{fc}$ wie folgt berücksichtigt wird:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

wobei:

α₁ der in ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1 definierte Abminderungsfaktor der Betondruckfestigkeit ist. Bei Verwendung eines Parabel-Rechteck-Spannungs-Dehnungs-Diagramms muss die maximale Druckspannung um diesen Faktor reduziert werden. Dies mittelt die Spannungsverteilung in der Druckzone so, dass die resultierende Druckfestigkeit kleiner oder gleich der mit einem Spannungs-Dehnungs-Diagramm mit abfallendem plastischem Ast berechneten Druckfestigkeit ist.

Φ_c ist der Festigkeitsabminderungsfaktor für Beton. Der Standardwert wird gemäß ACI 318-19 Tabelle 24.2.1 (b)(f) festgelegt.

f'_c ist die Zylinderdruckfestigkeit des Betons (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

Bewehrung

Für die nicht vorgespannte Bewehrung wird ein ideal elastoplastisches Spannungs-Dehnungs-Diagramm mit definierter Streckgrenze angenommen. Siehe ACI 319-19 Cl. 20.2.1. Die Definition dieses Diagramms erfordert nur die Kenntnis der grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung - Festigkeit und Elastizitätsmodul.

Das Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Bewehrung kann auch vom Benutzer definiert werden, aber in diesem Fall ist es nicht möglich, den Zugverfestigungseffekt anzunehmen. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

wobei:

Φ_s der Festigkeitsabminderungsfaktor für Bewehrung ist. Der Standardwert wird gemäß ACI 318-19 Tabelle 24.2.1 festgelegt.

f_y die Streckgrenze der Bewehrung ist

E_s der Elastizitätsmodul der Bewehrung ist

Als Grenzdehnung, bei der die Berechnung abgebrochen wird, wird 10 % gewählt. Dies gilt gemäß ASTM A955/A955M-20c Artikel 7 als sicher.

Die Zugverfestigung (Abb. 42)  wird automatisch berücksichtigt, indem die Eingabe-Spannungs-Dehnungs-Beziehung des nackten Bewehrungsstabs so modifiziert wird, dass die durchschnittliche Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (ε_m) erfasst wird.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Die Compatible Stress Field Method ist konform mit modernen Bemessungsnormen. Da die Berechnungsmodelle nur Standard-Materialeigenschaften verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Format der Teilsicherheitsbeiwerte ohne Anpassung angewendet werden. Auf diese Weise werden die Eingangslasten faktorisiert und die charakteristischen Materialeigenschaften unter Verwendung der jeweiligen Abminderungsfaktoren für die Festigkeit reduziert, genau wie bei der konventionellen Betonanalyse.

Werte für Abminderungsfaktoren für die Festigkeit sind in ACI 318-19 Kapitel 21 und für Anker in ACI 318-19 Kapitel 17 sowie AISC 360-16 Kapitel D, E, F, G vorgeschrieben. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Lastfaktoren für Festigkeitskombinationen sind gemäß ACI 318-19 Tabelle 5.3.1 zu definieren.

Mit Ausnahme der in Kapitel 34 genannten Fälle sind Lastkombinationen auf Gebrauchstauglichkeitsniveau in ACI 318-19 nicht definiert. Es wird empfohlen, Kombinationsregeln basierend auf Anhang C von ASCE/SEI 7-16 zu verwenden. Für alle Vorlagen sind die Lastfaktoren bereits vordefiniert.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Die verschiedenen Nachweise gemäß ACI 318-19 werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Nachweise werden für die Betontragfähigkeit, die Bewehrungstragfähigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Festigkeit – Beton

Die Betondruckfestigkeit wird als Verhältnis zwischen der maximalen äquivalenten Hauptspannung f_c,eq (auch σ_c,eq im vorherigen Text) aus der FE-Analyse und dem Grenzwert f'_c,lim bewertet.

Die äquivalente Hauptspannung drückt die äquivalente einachsige Spannung für einen allgemeinen dreiachsigen Spannungszustand aus.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Der Wert f_c,eq kann daher direkt mit einachsigen Festigkeitsgrenzwerten verglichen werden. Dieser Ausdruck leitet sich aus der Implementierung der Mohr-Coulomb-Plastizitätstheorie ab, wobei konservativ ein innerer Reibungswinkel von φ = 0° angenommen wird.

Festigkeit – Bewehrung

Die Tragfähigkeit der Bewehrung wird sowohl auf Zug als auch auf Druck als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen f_s und dem festgelegten Grenzwert f_y,lim bewertet.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Festigkeit – Anker

Anker werden auf Normalspannungen in ähnlicher Weise wie die Bewehrung überprüft, wobei der Grenzwert f_y,lim bestimmt wird. 

Um die Navigation im folgenden Text zu erleichtern, werden wir die Verankerung zunächst in drei Gruppen hinsichtlich des Normnachweises gemäß ACI oder AISC unterteilen.

Gruppe 1

• Verankerungstypen

  • Einbetonierte Platte
  • Fußplatte – Stand-off = direkt 
  • Fußplatte – Stand-off = Mörtelfuge – Mörteldicke kleiner als das 0,5-fache des Ankerdurchmessers
  • Einzelanker mit einer Auskraglänge kleiner als das 0,5-fache des Ankerdurchmessers
• Anker-Normnachweise (ACI / AISC)

  • Zug/Druck

    • Alle Ankertypen auf Zug – ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2  
    • Alle Ankertypen auf Druck – AISC 360-16 Kap. E
  • Querkraft ohne Hebelarm

    • Schraubenwerkstoff – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b)
    • Kopfbolzen – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (a)
    • Bewehrung – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b)
  • Interaktion von Zug und Querkraft – ACI 318-19 Kap. 17.8

Gruppe 2

• Verankerungstypen

  • Fußplatte – Stand-off = Mörtelfuge – Mörteldicke größer als das 0,5-fache des Ankerdurchmessers
• Anker-Normnachweise (ACI / AISC)

  • Zug/Druck

    • Alle Ankertypen auf Zug – ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2  
    • Alle Ankertypen auf Druck – AISC 360-16 Kap. E
  • Querkraft mit Hebelarm

    • Schraubenwerkstoff – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b) + Kap. 17.7.1.2.1.
    • Kopfbolzen – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (a) + Kap. 17.7.1.2.1.
    • Bewehrung – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b) + Kap. 17.7.1.2.1.
  • Interaktion von Zug und Querkraft – ACI 318-19 Kap. 17.8

Gruppe 3

• Verankerungstypen

  • Fußplatte – Stand-off = Spalt
  • Einzelanker mit einer Auskraglänge größer als das 0,5-fache des Ankerdurchmessers
• Anker-Normnachweise (ACI / AISC)

  • Zug/Druck (mit Knicken)

    • Alle Ankertypen auf Zug – ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2
    • Alle Ankertypen auf Druck – AISC 360-16 Kap. E3
  • Biegung

    • Für alle Ankertypen – AISC 360-16 Kap. F11
  • Querkraft

    • Für alle Ankertypen – AISC 360-16 Kap. G
  • Interaktion von Normalkraft und Biegung

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Zugtragfähigkeit des Ankers gemäß ACI 318-19 Kap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

wobei:

• ϕ_a,t  – Abminderungsbeiwert für Anker auf Zug gemäß ACI 318-19 Kap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – Zugspannungsquerschnitt (durch Gewinde reduziert)
• f_uta – angegebene Zugfestigkeit des Ankerstahls, darf nicht größer sein als 1,9 f_ya und 860 MPa

Querkrafttragfähigkeit des Ankers gemäß ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (a)

Die Stahltragfähigkeit auf Querkraft für Kopfbolzen wird bestimmt als:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

wobei:
ϕ_a,v – Abminderungsbeiwert für Anker auf Zug gemäß ACI 318-19 Kap. 17.5.3 (a)
A_se,V – Zugspannungsquerschnitt (durch Gewinde reduziert)
f_uta – angegebene Zugfestigkeit des Ankerstahls, darf nicht größer sein als 1,9 f_ya und 860 MPa

Querkrafttragfähigkeit des Ankers gemäß ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2 (b)

Die Stahltragfähigkeit auf Querkraft für Anker aus Schraubenwerkstoff und Bewehrung wird bestimmt als:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

wobei:

• ϕ_a,v  – Abminderungsbeiwert für Anker auf Zug gemäß ACI 318-19 Kap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – Zugspannungsquerschnitt (durch Gewinde reduziert)
• f_uta – angegebene Zugfestigkeit des Ankerstahls, darf nicht größer sein als 1,9 f_ya und 860 MPa

Querkrafttragfähigkeit des Ankers mit Mörtelbett – ACI 318-19 Kap. 17.7.1.2.1

Werden Anker mit aufgemörtelten Unterlagen verwendet (Gruppe 2), ist die gemäß 17.7.1.2 berechnete Bemessungstragfähigkeit mit 0,80 zu multiplizieren.

Interaktion von Zug und Querkraft gemäß ACI 318-19 Kap. 17.8

Die Interaktion zwischen Zug und Querkraft darf vernachlässigt werden, wenn (a) oder (b) erfüllt ist.
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Wenn N_ua/(ϕN_n) > 0,2 für die maßgebende Zugtragfähigkeit und V_ua/(ϕV_n) > 0,2 für die maßgebende Querkrafttragfähigkeit, muss Gl. (17.8.3) erfüllt sein.

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Drucktragfähigkeit des Ankers gemäß AISC 360-16 Kap. E3

$$P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}$$

wobei:

• ϕ_a,t  – Abminderungsbeiwert für Anker auf Druck gemäß AISC 360-16 Kap. E1
  
• (a) Wenn: $\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  oder     $\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25$

  • $F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y$
    
• (b) Wenn: $\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  oder     $\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25$

  • $F_{cr}=0.877F_e$
    
• A_g​ – Bruttoquerschnittsfläche des Bauteils
• E – Elastizitätsmodul des Stahls
• $F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}$ – elastische Beulspannung
• F_y – angegebene Mindeststreckgrenze des verwendeten Stahltyps
• $r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}$ – Trägheitsradius
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – Flächenträgheitsmoment der Schraube 

Biegetragfähigkeit des Ankers gemäß AISC 360-16 Kap. F11

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

wobei:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – plastisches Widerstandsmoment der Schraube
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – elastisches Widerstandsmoment der Schraube

Querkrafttragfähigkeit des Ankers gemäß AISC 360-16 Kap. G

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

wobei:

• A_V = 0.844As – die Querkraftfläche
• A_s – die durch Gewinde reduzierte Schraubenfläche

Betonquetschen an der Anker-Beton-Kontaktfläche

Die Querkrafttragfähigkeit des Ankers wird auch unter dem Gesichtspunkt des Betonquetschens an der Anker-Beton-Kontaktfläche begrenzt. Die Grenzwerte und die Methode zu ihrer Bestimmung werden im Artikel Querkraftverhalten von Ankern in Stahlbetonstruktur ausführlich beschrieben. Sobald die Kontaktkraft diesen Grenzwert erreicht, wird das Abbruchkriterium ausgelöst und die Analyse beendet, bevor die Tragfähigkeit überschritten wird.​ 

Auszugnachweis für Kopfanker (Unterlegplatten und Kopfbolzen)

Für Kopfanker ist ein zusätzliches Abbruchkriterium implementiert, um das Betonlochleibungsversagen (Quetschen) oberhalb des Ankerkopfes – Auszugversagen – zu überprüfen. Während der Analyse wird die über den Kopf-Beton-Kontakt übertragene Druckkraft überwacht und mit dem Grenzwert gemäß ACI 318-19, Abschnitt 17.6.3.2.2a (Auszugversagen von Kopfbefestigungen) verglichen.

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

wobei:

• $\Phi$ der Abminderungsbeiwert ist – Tabelle 17.5.3(c)
• A_brg die Netto-Auflagerfläche des Kopfes des Bolzens, Ankerbolzens oder des Kopfstabs (ohne Schaftfläche) ist. 
• f'_c die angegebene Druckfestigkeit des Betons ist
• $\Psi_{c,p}$ der Rissbildungsfaktor für den Auszug gemäß 17.6.3.3 ist und stets mit 1,0 angesetzt wird, d. h. der Wert für gerissenen Beton. Dies ist konsistent mit dem in Detail verwendeten CSFM-Ansatz, bei dem die Zugfestigkeit des Betons vernachlässigt und der Beton als auf Zug gerissen angenommen wird.

Sobald die Kontaktkraft diesen normativen Grenzwert erreicht, wird das Abbruchkriterium ausgelöst und die Analyse beendet, bevor die Auszugtragfähigkeit überschritten wird.​ 

Verankerung – Verbundspannung

Die Verbundschubspannung wird unabhängig als Verhältnis zwischen der durch die FE-Analyse berechneten Verbundspannung τ_b und der Verbundfestigkeit f_bu bewertet.

Obwohl die Verbundfestigkeit in ACI 318-19 nicht explizit definiert ist, findet sich die Berechnung der Verankerungslänge in Abschnitt 25.4.2. Da die Verbundfestigkeit jedoch die grundlegende Eingangsgröße zur Bestimmung der Verankerungslänge ist, siehe R25.4.1.1 und ACI Committee 408 1966, kann die Verbundfestigkeit wie folgt berechnet werden:

Es wird angenommen, dass beim Einbetten des Bewehrungsstabs in einen Betonblock bis zur Verankerungslänge l_d oder darüber hinaus das Herausziehen der Bewehrung zum Reißen der Bewehrung und nicht zum Herausziehen aus dem Beton führt. Dies lässt sich mit folgender Formel ausdrücken.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

wobei:

d_b der Durchmesser des Bewehrungsstabs ist, _d die Verankerungslänge ist, f_bu die Verbundfestigkeit ist, f_y die Streckgrenze der Bewehrung ist und A_s die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs ist.

Daraus lässt sich die Formel zur Berechnung der Verbundfestigkeit leicht ableiten:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Die Verankerungslänge l_d wird dann gemäß ACI 318-19 Tabelle 25.4.2.3 wie folgt bestimmt:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

wobei:

C = 25 (2,1 für metrisch) für Stäbe Nr. 6 und kleiner sowie profilierte Drähte, C = 20 (1,7 für metrisch) für Stäbe Nr. 7 und größer, λ = 1,0 für Normalbeton, ψ_t, ψ_e, ψ_g werden gemäß ACI 318-19 Tabelle 25.4.2.3 bestimmt. 

Es wird nur unbeschichtete oder verzinkte (feuerverzinkte) Bewehrung unterstützt, daher gilt ψ_e = 1,0. ψ_g wird automatisch aus der Bewehrungsgüte bestimmt, und ψ_t wird automatisch aus der Position der Bewehrung im Modell und der Betonierrichtung abgeleitet, die in der Anwendung für jedes Projektelement wie folgt festgelegt werden kann.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad Direction of concreting}}}$$

Diese Nachweise werden unter Berücksichtigung der entsprechenden Grenzwerte für die jeweiligen Teile der Struktur durchgeführt (d. h., obwohl eine einheitliche Güte sowohl für Beton- als auch für Bewehrungsmaterial vorliegt, unterscheiden sich die endgültigen Spannung-Dehnung-Diagramme in jedem Teil der Struktur aufgrund der Zugverfestigung und Druckerweichungseffekte).

Verankerung – Gesamtkraft

Gesamtkraft F_tot und Grenzkraft F_lim

Die Gesamtkraft F_tot ist ein Ergebnis der Methode der finiten Elemente und kann auf zwei Arten definiert werden.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

wobei A_s die Querschnittsfläche des Bewehrungsstabs und f_s die Spannung im Stab ist.

Oder als Summe der Verankerungskraft F_a und der Verbundkraft F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

wobei F_a die tatsächliche Kraft in der Verankerungsfeder und F_bond die Verbundkraft ist, die durch Integration der Verbundspannung τ_b über die Länge des Bewehrungsstabs l ermittelt werden kann.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s ist der Umfang des Bewehrungsstabs.

Die Grenzkraft F_lim ist die maximale Kraft im Element des Bewehrungsstabs unter Berücksichtigung der Tragfähigkeit des Stabs sowie der Verankerungsbedingungen (Verbund zwischen Beton und Bewehrung sowie Verankerungshaken, Schlaufen usw.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

wobei C_s der Umfang des Bewehrungsstabs und l die Länge vom Anfang des Stabs bis zum betrachteten Punkt ist.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

wobei F_lim,add die Zusatzkraft ist, die aus dem Betrag des Winkels zwischen benachbarten Elementen berechnet wird. F_lim,2 muss stets kleiner als F_u sein.

Die verfügbaren Verankerungstypen im CSFM umfassen einen geraden Stab (d. h. keine Abminderung der Verankerungslänge), 90°-Haken, 180°-Haken, vollständigen Verbund und durchgehenden Stab. Alle diese Typen sowie die jeweiligen Verankerungsbeiwerte β sind in Bild 47 für Längsbewehrung dargestellt. Die Werte der verwendeten Verankerungsbeiwerte werden aus dem Vergleich der Gleichung aus Abschnitt ACI 318-19 25.4.3.1 und den Gleichungen aus Abschnitt ACI 318-19 25.4.2.3 abgeleitet. Es ist zu beachten, dass das CSFM trotz der verschiedenen verfügbaren Optionen drei Arten von Verankerungsenden unterscheidet: (i) keine Abminderung der Verankerungslänge, (ii) eine Abminderung von 30 % der Verankerungslänge bei normierter Verankerung und (iii) vollständiger Verbund.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Der Verankerungsbeiwert für Bügel beträgt stets β = 1,0.

Um ACI zu entsprechen, sollte die Verankerungsfeder in der Berechnung verwendet werden; die Verankerungsfeder wird durch den β-Beiwert modifiziert, sodass der Anwender bei der Definition der Anfangs- und Endbedingungen der Bewehrung einen der verfügbaren Verankerungstypen verwenden muss. 

Beton - Festigkeit

Das für Festigkeitsberechnungen im 3D CSFM implementierte Betonmodell basiert auf den AASHTO LRFD-Bemessungsannahmen für Gleichgewicht und Dehnungskompatibilität. Gemäß AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.2.1 wird die Zugfestigkeit von Beton vernachlässigt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Die Implementierung des 3D CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium hinsichtlich der Dehnungen für Beton unter Druck (d. h., nach Erreichen der Spitzenspannung wird ein plastischer Ast mit ε_c0 mit einem Maximalwert von 5 % angenommen, während AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.2.1 eine Grenzdehnung von weniger als 0,3 % voraussetzt). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, die Verformungsfähigkeit von Strukturen zu überprüfen, die auf Druck versagen. Die Festigkeit wird jedoch korrekt vorhergesagt, wenn die zunehmende Sprödigkeit des Betons mit steigender Festigkeit mittels des in fib Model Code 2010 definierten Abminderungsfaktors $\eta_{fc}$ berücksichtigt wird, wie folgt:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

wobei:

α₁ der in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.6.2.2 definierte Abminderungsfaktor der Betondruckfestigkeit ist. Bei Verwendung eines Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnung-Diagramms ist es notwendig, die maximale Druckspannung um diesen Faktor zu reduzieren. Dies mittelt die Spannungsverteilung in der Druckzone so, dass die resultierende Druckfestigkeit kleiner oder gleich der mit einem Spannung-Dehnung-Diagramm mit abfallendem plastischem Ast berechneten Druckfestigkeit ist.

Φ_c ist der Festigkeitsabminderungsfaktor für Beton. Der Standardwert wird gemäß AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.5.4.2 festgelegt.

f'_c ist die Zylinderdruckfestigkeit des Betons (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

Bewehrung

Für die nicht vorgespannte Bewehrung wird ein ideal elastoplastisches Spannung-Dehnung-Diagramm mit definierter Streckgrenze angenommen. Siehe AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.4.3. Die Definition dieses Diagramms erfordert nur die Kenntnis der grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung – Festigkeit und Elastizitätsmodul.

Das Spannung-Dehnung-Diagramm der Bewehrung kann auch vom Benutzer definiert werden, aber in diesem Fall ist es nicht möglich, den Zugverfestigungseffekt anzunehmen. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

wobei:

Φ_s ist der Festigkeitsabminderungsfaktor für Bewehrung. Der Standardwert wird gemäß AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.5.4.2 festgelegt.

f_y ist die Streckgrenze der Bewehrung

E_s Elastizitätsmodul der Bewehrung

Als Grenzdehnung, bei der die Berechnung gestoppt wird, werden 10 % gewählt. Dies gilt gemäß ASTM A955/A955M-20c Artikel 7 als sicher.

Die Zugverfestigung (Abb. 50)  wird automatisch berücksichtigt, indem die eingegebene Spannung-Dehnung-Beziehung des reinen Bewehrungsstabs so modifiziert wird, dass die durchschnittliche Steifigkeit der in den Beton eingebetteten Stäbe erfasst wird (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Die Compatible Stress Field Method entspricht modernen Bemessungsnormen. Da die Berechnungsmodelle nur Standardmaterialeigenschaften verwenden, kann das in den Bemessungsnormen vorgeschriebene Format der Teilsicherheitsbeiwerte ohne Anpassung angewendet werden. Auf diese Weise werden die einwirkenden Lasten faktorisiert, und die charakteristischen Materialeigenschaften werden unter Verwendung der jeweiligen Festigkeitsabminderungsfaktoren reduziert, genau wie bei der konventionellen Betonanalyse.

Werte der Festigkeitsabminderungsfaktoren sind in AASHTO LRFD (2024) Artikel 5.5.4 und für Anker in ACI 318-19 Kapitel 17 sowie AASHTO LRFD (2024) Artikel 6.5.4.2 vorgeschrieben.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Lastfaktoren und Lastkombinationen sind gemäß AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Artikel 3.4.1 und Tabellen 3.4.1-1 bis 3.4.1-6 zu definieren. AASHTO LRFD legt explizit die Lastkombinationen für den Grenzzustand der Tragfähigkeit (Strength I bis Strength V) fest, einschließlich der entsprechenden Lastfaktoren für jeden Fall.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Beton - Festigkeit

Das für Festigkeitsberechnungen im CSFM implementierte Betonmodell basiert auf der parabolisch-plastischen Spannung-Dehnungs-Kurve. Die Zugfestigkeit wird vernachlässigt, wie es auch bei der klassischen Stahlbetonbemessung der Fall ist.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Die Implementierung von CSFM in IDEA StatiCa Detail berücksichtigt kein explizites Versagenskriterium in Bezug auf Dehnungen für Beton unter Druck (d. h. nach Erreichen der Höchstspannung wird ein plastischer Ast mit ε_cp von maximal 5 % angenommen, während AS 3600 Cl. 8.3.1 eine Bruchdehnung von weniger als 0,3 % voraussetzt). Diese Vereinfachung erlaubt es nicht, die Verformungsfähigkeit von Strukturen zu überprüfen, die unter Druck versagen. Die Festigkeit wird jedoch korrekt vorhergesagt, indem die zunehmende Sprödigkeit des Betons mit steigender Festigkeit mittels des im fib Model Code 2010 definierten Reduktionsfaktors $\eta_{fc}$ berücksichtigt wird, wie folgt:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s} \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

wobei:

α₂ der Reduktionsfaktor der Betondruckfestigkeit gemäß AS 3600 Cl. 8.3.1 ist.
Bei Verwendung eines Parabel-Rechteck-Spannung-Dehnungs-Diagramms ist es notwendig, die maximale Druckspannung um diesen Faktor zu reduzieren. Dies mittelt die Spannungsverteilung in der Druckzone so, dass die resultierende Druckfestigkeit kleiner oder gleich der mit einem Spannung-Dehnungs-Diagramm mit abfallendem plastischen Ast berechneten Druckfestigkeit ist. Ein analoger Ansatz wird für den rechteckigen Spannungsblock in Kapitel 8.1.3 definiert.

Φ_s ist der Spannungsreduktionsfaktor für Beton. Der Standardwert wird gemäß AS 3600 Tabelle 2.2.3 festgelegt.

f'_c ist die Betonzylinderfestigkeit (in MPa für die Definition von $\eta_{fc}$).

Bewehrung

Für die nicht vorgespannte Bewehrung wird ein ideal elastisch-plastisches Spannung-Dehnungs-Diagramm mit definiertem Fließpunkt angenommen, siehe AS 3600 Abschnitt 3.2. Für die Definition dieses Diagramms müssen lediglich die grundlegenden Eigenschaften der Bewehrung bekannt sein – die Festigkeit und der Elastizitätsmodul.

Das Spannung-Dehnungs-Diagramm der Bewehrung kann auch vom Benutzer definiert werden, aber in diesem Fall kann der Zugversteifungseffekt nicht angenommen werden (die Berechnung der Rissbreite ist nicht möglich). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

wobei:

Φ_s der Festigkeitsreduktionsfaktor für Bewehrung ist. Der Standardwert wird gemäß AS 3600 Tabelle 2.2.3 festgelegt.

f_y die Streckgrenze der Bewehrung ist

E_s der Elastizitätsmodul der Bewehrung ist

Die Zugversteifung (Abb. 59)  wird automatisch berücksichtigt, indem die Eingabe-Spannung-Dehnungs-Beziehung des blanken Bewehrungsstabs modifiziert wird, um die durchschnittliche Steifigkeit der im Beton eingebetteten Stäbe (ε_m) zu erfassen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Das Kompatible Spannungsfeldverfahren ist konform mit modernen Normen. Da die Berechnungsmodelle nur Standard-Materialeigenschaften verwenden, kann das in den Normen vorgeschriebene Format der Teilsicherheitsbeiwerte ohne Anpassung angewendet werden. Auf diese Weise werden die Eingangslasten faktorisiert, und die charakteristischen Materialeigenschaften werden mithilfe der jeweiligen Spannungsabminderungsfaktoren reduziert, genau wie bei der konventionellen Betonanalyse.

Werte der Spannungsabminderungsfaktoren sind in AUS 3600 Kap. 2.2.3 und weiteren Abschnitten vorgeschrieben, die in der folgenden Abbildung dargestellt sind.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60\qquad The setting of stress reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Lastfaktoren für Kombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit sind gemäß AS 3600 Kap. 4.2.2 zu definieren. Lastfaktoren für Kombinationen im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit sind gemäß Tabelle 4.1 zu bestimmen. Für alle Vorlagen sind die Lastfaktoren bereits vordefiniert.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Die verschiedenen von AS 3600 geforderten Nachweise werden anhand der direkten Ergebnisse des Modells bewertet. Die Nachweise werden für die Betonfestigkeit, die Bewehrungsfestigkeit und die Verankerung (Verbundschubspannungen) durchgeführt.

Festigkeit - Beton

Die Betonfestigkeit unter Druck wird als Verhältnis zwischen der maximalen äquivalenten Hauptspannung f_c,eq (auch σ_c,eq im vorherigen Text) aus der FE-Analyse und dem Grenzwert f'_c,lim bewertet.

Die äquivalente Hauptspannung drückt die äquivalente einachsige Spannung für einen allgemeinen dreiachsigen Spannungszustand aus.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Der Wert f_c,eq kann daher direkt mit einachsigen Festigkeitsgrenzwerten verglichen werden. Dieser Ausdruck leitet sich aus der Anwendung der Mohr-Coulomb-Plastizitätstheorie ab, wobei konservativ ein innerer Reibungswinkel von φ = 0° angenommen wird.

Festigkeit - Bewehrung

Die Festigkeit der Bewehrung wird sowohl unter Zug als auch unter Druck als Verhältnis zwischen der Spannung in der Bewehrung an den Rissen f_s und dem festgelegten Grenzwert f_sy,lim bewertet.

$$f_{sy,lim} = \phi_{s} \cdot f_{sy}$$

Festigkeit - Anker

Anker werden auf Normalspannungen ähnlich wie die Bewehrung geprüft, wobei der Grenzwert f_sy,lim bestimmt wird. 

Um die Navigation im folgenden Text zu erleichtern, unterteilen wir die Verankerung hinsichtlich des Normnachweises nach AS 5216 und AS 4100 zunächst in drei Gruppen.

Gruppe 1

• Verankerungstypen

  • Einbetonierte Platte
  • Fußplatte - Abstand = direkt 
  • Fußplatte - Abstand = Mörtelfuge - Mörteldicke kleiner als das 0,5-fache des Ankerdurchmessers
  • Einzelanker mit einer projizierten Länge von weniger als dem 0,5-fachen des Ankerdurchmessers
• Normnachweise für Anker

  • Zug/Druck

    • Alle Materialien unter Zug – AS 5216 Kap. 6.2.2
    • Alle Ankertypen unter Druck – AS 4100 Kap. 6.3.3
  • Querkraft ohne Hebelarm

    • Alle Materialien – AS 5216 Kap. 7.2.2.2
  • Interaktion von Zug und Querkraft - AS 5216 Kap. 8.1.1

Gruppe 2

• Verankerungstypen

  • Fußplatte - Abstand = Mörtelfuge - Mörteldicke größer als das 0,5-fache des Ankerdurchmessers
• Normnachweise für Anker

  • Zug/Druck

    • Alle Materialien unter Zug – AS 5216 Kap. 6.2.2
    • Alle Ankertypen unter Druck – AS 4100 Kap. 6.3.3
  • Querkraft mit Hebelarm

    • Alle Materialien – AS 5216 Kap. 7.2.2.3

Der Interaktionsnachweis nach AS 5216 ist für nachträglich eingebaute Befestigungselemente oder Ankerschienenbolzen, die einer Querkraft mit Hebelarm ausgesetzt sind, nicht erforderlich, da diese Interaktion bereits in Gleichung 7.2.2.3(2) berücksichtigt wird.

Gruppe 3

• Verankerungstypen

  • Fußplatte - Abstand = Spalt
  • Einzelanker mit einer projizierten Länge von mehr als dem 0,5-fachen des Ankerdurchmessers
• Normnachweise für Anker (ACI / AISC)

  • Zug/Druck (mit Knicken)

    • Alle Materialien unter Zug – AS 5216 Kap. 6.2.2 oder AS 4100 Kap. 9.2.2.2 (kann in den Einstellungen ausgewählt werden)
    • Alle Ankertypen unter Druck – AS 4100 Kap. 6.3.3
  • Biegung

    • Für alle Ankertypen – AS 4100 Kap. 5.1
  • Querkraft

    • Für alle Ankertypen – AS 4100 Kap. 5.11
• Interaktion weiter beschrieben

Zugtragfähigkeit des Ankers nach AS 5216 Kap. 6.2.2

$$\phi N_{tf}=\phi_{Ms}\,A_s\,f_{uf}$$

wobei:

• ϕN_tf – Bemessungswert der Zugtragfähigkeit des Ankers
• $\phi_{Ms}=\dfrac{5 f_{yf}}{6 f_{uf}}\le \dfrac{1}{1.4}$ – Abminderungsfaktor der Festigkeit für Anker unter Zug nach AS 5216 Tabelle 3.2.4
• A_s – Zugspannungsquerschnitt (reduziert durch das Gewinde)
• f_uf – festgelegte Zugfestigkeit des Ankerstahls 

Schertragfähigkeit des Ankers nach AS 5216 Kap. 7.2.2.2

Die Stahlfestigkeit unter Querkraft ohne Hebelarm wird bestimmt als:

$$\phi V_{Rk,s}=\phi_{Ms}\,0.62\,f_{uf}\,A$$

wobei:

• ϕV_tf – Bemessungswert der Schertragfähigkeit des Ankers
• A_s – Zugspannungsquerschnitt (reduziert durch das Gewinde)
• f_uf – festgelegte Zugfestigkeit des Ankerstahls 
• $\phi_{Ms}=\begin{cases}\dfrac{f_{yf}}{f_{uf}} \le 0.8, & \text{when } f_{uf}\le 800~\text{MPa and } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}\le 0.8 \\[8pt] \dfrac{2}{3}, & \text{when } f_{uf}> 800~\text{MPa or } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}> 0.8 \end{cases}$

Der Bemessungswiderstand eines einzelnen Befestigungselements im Falle eines Stahlversagens oder von Befestigungselementen mit einem Verhältnis h_ef / d_nom < 5 und einer Betondruckfestigkeitsklasse < 20 MPa, sollte der Bemessungswiderstand ϕV_tf mit einem Faktor von 0,8 multipliziert werden.

Schertragfähigkeit des Ankers nach AS 5216 Kap. 7.2.2.3

Die Stahlfestigkeit unter Querkraft mit Hebelarm wird bestimmt als:

$$\phi V_{Rk,s,M}=\phi_{Ms}\,\frac{\alpha_M\,M_{Rk,s}}{l_a}$$

wobei:

• α_M = 2 – Parameter zur Berücksichtigung des Grads der Einspannung, wobei angenommen wird, dass die Befestigung an einer Drehung gehindert wird – Abschn. 4.2.2.4
• $M_{Rk,s}=M_{Rk,s}^{0}\left(1-\dfrac{N^{*}}{\phi_{Ms}\,N_{Rk,s}}\right)$ – charakteristische Biegefestigkeit des Befestigungselements unter Einfluss der axialen Last
• $l_a = a_3 + e_1 - l_e$ – Länge des Hebelarms
• $a_3 = 0.5\,d$ – Abstand zwischen dem angenommenen Einspannpunkt des unter Querkraft belasteten Befestigungselements und der Betonoberfläche
• $e_1 = t_g + \dfrac{t_{fix}}{2}$ – Exzentrizität der aufgebrachten Querkraft relativ zur Betonoberfläche, wobei die Dicke einer Ausgleichsschicht aus Vergussmörtel vernachlässigt wird
• t_g – Dicke der Vergussmörtelschicht
• t_fix – Dicke der Fußplatte
• d – Nenndurchmesser des Befestigungselements
• N* – Bemessungszugkraft
• ϕ_Ms N_Rk,s – Zugfestigkeit eines Befestigungselements bei Stahlversagen
• $M_{Rk,s}^{0}=1.2\,W_{el}\,f_{uf}$ – charakteristische Biegefestigkeit des Befestigungselements – ETAG 001 – Anhang C
• $W_{el}=\dfrac{\pi d_s^{3}}{32}$ – elastisches Widerstandsmoment des Befestigungselements, wobei der Durchmesser durch das Gewinde reduziert ist
• $d_s=\sqrt{\dfrac{4A_s}{\pi}}$ – wird anstelle des Nenndurchmessers d für Gewindestangen und Unterlegplatten verwendet
• $\phi_{Ms}=\begin{cases}\dfrac{f_{yf}}{f_{uf}} \le 0.8, & \text{when } f_{uf}\le 800~\text{MPa and } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}\le 0.8 \\[8pt] \dfrac{2}{3}, & \text{when } f_{uf}> 800~\text{MPa or } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}> 0.8 \end{cases}$

Interaktion von Zug und Querkraft nach AS 5216 Kap. 8.1.1

$$\left(\frac{N^{*}}{\phi N_{Rk,s}}\right)^{2}+\left(\frac{V^{*}}{\phi V_{Rk,s}}\right)^{2}\le 1.0$$

Wobei:

• N* – Bemessungszugkraft, die auf ein einzelnes Befestigungselement wirkt
• V* – Bemessungsquerkraft, die auf ein einzelnes Befestigungselement wirkt 
• ϕN_Rk,s – Bemessungswert der Zugfestigkeit eines einzelnen Befestigungselements
• ϕV_Rk,s – Bemessungswert der Scherfestigkeit eines einzelnen Befestigungselements

Zugtragfähigkeit des Ankers nach AS 4100 Kap. 9.2.2.2

$$N_{tf}^{*}\le \phi_{a,t} A_s f_{uf}$$

wobei:

• A_s – Zugspannungsquerschnitt (reduziert durch das Gewinde) gemäß AS 1275
• ϕ_a,t – Tragfähigkeitsfaktor für Schrauben nach AS 4100 Tabelle 3.4

Drucktragfähigkeit des Ankers nach AS 4100 Kap. 6.3.3

$$\phi N_c=\phi\,\alpha_c\,N_s=\phi\,\alpha_c\,k_f\,A_s\,f_y \le \phi N_s$$

wobei:

• ϕ_a,c – Tragfähigkeitsfaktor für Schrauben nach AS 4100 Tabelle 3.4
• $N_c=\alpha_c\,N_s \le N_s$ – nominale Bauteiltragfähigkeit – Abschn. 6.3.3
• $N_s=k_f\,A_s\,f_y$ – nominale Querschnittstragfähigkeit – Abschn. 6.2
• f_y – Streckgrenze des Ankers
• $l_e=k_e\,l$ – wirksame Länge – Abschn. 6.3.2
• k_e = 2 – Faktor der effektiven Bauteillänge, wobei konservativ angenommen wird, dass der Anker unten fest eingespannt und oben als aussteifungsfreies Bauteil gelenkig gelagert ist
• $l = l_{gap}+\dfrac{d}{2}+\dfrac{t_p}{2}$ – angenommene Länge des Bauteils
• l_gap – Spalthöhe
• d – Nenndurchmesser der Schraube
• t_p – Dicke der Fußplatte
• $\alpha_c=\xi\left[\,1-\sqrt{\,1-\left(\dfrac{90}{\xi\,\lambda}\right)^2}\,\right]$ – Abminderungsfaktor für die Bauteilschlankheit
• $\xi=\frac{\left(\dfrac{\lambda}{90}\right)^2+1+\eta}{2\left(\dfrac{\lambda}{90}\right)^2}$
• $\lambda=\lambda_n+\alpha_a\alpha_b$
• $\eta=0.00326(\lambda-13.5)\ge 0$
• $\lambda_n=\left(\frac{l_e}{r}\right)\sqrt{k_f}\,\sqrt{\dfrac{f_y}{250}}$
• $\alpha_a=\dfrac{2100(\lambda_n-13.5)}{\lambda_n^2-15.3\lambda_n+2050}$
• α_b = 0,5 – Querschnittskonstante für Druckglieder - Tabelle 6.3.3
• k_f = 1 – Formfaktor – Abschn. 6.2.2
• $r=\sqrt{\dfrac{I_s}{A_s}}$ – Trägheitsradius
• $I_s=\dfrac{1}{64}\,\pi d_s^{4}$ – Flächenträgheitsmoment
• A_s – Zugspannungsquerschnitt einer Schraube gemäß Definition in AS 1275
• $d_s=\sqrt{\dfrac{4A_s}{\pi}}$ – durch das Gewinde reduzierter Durchmesser

Biegetragfähigkeit des Ankers nach AS 4100 Kap. 5.1

$$\phi M_s=\phi\,f_y\,Z_e$$

wobei:

• ϕ_a,b – Tragfähigkeitsfaktor für Schrauben nach AS 4100 Tabelle 3.4
• f_y – Streckgrenze des Ankers
• $Z_e=\min\left(S,\,1.5\,Z\right)$ – effektives Widerstandsmoment – Abschn. 5.2.3
• $S=\dfrac{d^{3}}{6}$ – plastisches Widerstandsmoment; falls ein Gewinde vorhanden ist, wird der Nenndurchmesser d durch den durch das Gewinde reduzierten Durchmesser d_s ersetzt
• $Z=\dfrac{1}{32}\,\pi d^{3}$ – elastisches Widerstandsmoment; falls ein Gewinde vorhanden ist, wird der Nenndurchmesser d durch den durch das Gewinde reduzierten Durchmesser d_s ersetzt

Schertragfähigkeit des Ankers nach AS 4100 Kap. 5.11

$$\phi V_w = 0.6\,f_y\,A_w$$

wobei:

• ϕ – Tragfähigkeitsfaktor für Schrauben nach AS 4100 Tabelle 3.4
• f_y – Streckgrenze des Ankers
• A_w = 0,844 A_s – Scherfläche
• A_s – Zugspannungsquerschnitt (reduziert durch das Gewinde)

Interaktion von Zug und Biegung 

$$\frac{N_{tf}^{*}}{\phi N_t}+\frac{M^{*}}{\phi M_s}\le 1$$

wobei:

• N^*_tf   – Bemessungszugkraft
• ϕN_t – Bemessungswert der Zugtragfähigkeit des Ankers
• M^*   – Bemessungsbiegemoment infolge Querkraft auf einen Hebelarm
• ϕ_Ms – Bemessungswert der Biegetragfähigkeit des Ankers

Interaktion von Druck und Biegung

$$\frac{N^{*}}{\phi N_c}+\frac{M^{*}}{\phi M_s}\le 1$$

wobei:

• N^*   – Bemessungsdruckkraft
• ϕN_c – Bemessungswert der Drucktragfähigkeit des Ankers
• M^*   – Bemessungsbiegemoment infolge Querkraft auf einen Hebelarm
• ϕ_Ms – Bemessungswert der Biegetragfähigkeit des Ankers

Betonquetschen an der Kontaktfläche zwischen Anker und Beton

Die Schertragfähigkeit des Ankers wird auch im Hinblick auf das Betonquetschen an der Kontaktfläche zwischen Anker und Beton begrenzt. Die Grenzwerte und die Methode zu ihrer Bestimmung werden ausführlich im Artikel - Schertragverhalten von Ankern im Stahlbeton beschrieben. Sobald die Kontaktkraft diesen Grenzwert erreicht, wird das Abbruchkriterium ausgelöst und die Analyse beendet, bevor die Tragfähigkeit überschritten wird.​ 

Auszugsnachweis für Kopfanker (Unterlegplatten und Kopfbolzen)

Für Kopfanker wird ein zusätzliches Abbruchkriterium implementiert, um die Betonpressung (Quetschen) oberhalb des Ankerkopfes - Auszug - zu prüfen. Während der Analyse wird die über den Kontakt zwischen Kopf und Beton übertragene Druckkraft überwacht und mit dem in AS 5216:2021 Abschn. 6.3.4 (Auszugversagen von Kopfbefestigungen) angegebenen Grenzwert verglichen.

$$N_{Rd,p} = \Phi_{Mp} \cdot k_{2} \cdot A_{h} \cdot f'_{c}$$
​

wobei:

• $\Phi_{Mp}$ der Abminderungsfaktor der Festigkeit ist - Tabelle 3.2.4
• A_h die lastaufnehmende Fläche des Kopfes des Befestigungselements ist (ohne die Schaftfläche). 
• f'_c die festgelegte Druckfestigkeit des Betons ist
• k₂ wird stets mit 7,5 angesetzt, d. h. dem Wert für gerissenen Beton. Dies steht im Einklang mit dem in Detail verwendeten CSFM-Ansatz, bei dem die Zugfestigkeit des Betons vernachlässigt wird und angenommen wird, dass der Beton unter Zug gerissen ist.

Sobald die Kontaktkraft diesen normativen Grenzwert erreicht, wird das Abbruchkriterium ausgelöst und die Analyse beendet, bevor der Bemessungswert des Auszugswiderstands überschritten wird.​ 

Verankerung -  Verbundspannung

Die Verbundschubspannung wird unabhängig als Verhältnis zwischen der durch die FE-Analyse berechneten Verbundspannung τ_b und der Bemessungswert der Verbund-Grenzspannung f_bu bewertet.

Zur Bestimmung des Bemessungswerts der Verbund-Grenzspannung f_bu wird in der Anwendung die in AS3600:2018 Sup 1:2022 festgelegte Formel C13.1.2.2 verwendet.

$$f_{bu}=\frac{k_{2}}{k_{1} \cdot k_{3}} \cdot (0.5 \cdot \sqrt{f'_{c}})$$

Wobei f'_c ≤ 65 MPa (in der Formel in MPa), und die k-Faktoren gemäß AS 3600 Abschn. 13.1.2.2 wie folgt bestimmt werden:

k₃ = 0,7                                 (konservativer Wert für alle Bewehrungen)
k₂ = (132 - d_b) / 100             (d_b ist der Durchmesser des Bewehrungsstabs in Millimetern)
= 1,3 für einen horizontalen Stab mit mehr als 300 mm Beton, der unter dem Stab betoniert wurde, sonst 1,0

k₁ wird automatisch aus der Lage der Bewehrung im Modell und aus der Betonierrichtung abgeleitet, die in der Anwendung für jedes Projektelement wie folgt eingestellt werden kann.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 62\qquad Direction of concreting}}}$$

Die grundlegende Verankerungslänge L_sy,tb wird gemäß Formel 13.1.2.2 in AS 3600 wie folgt berechnet:

$$L_{sy,tb}=\frac{0.5\cdot k_{1}\cdot k_{3}\cdot f_{sy}\cdot d_{b}}{k_{2}\cdot \sqrt{f'_{c}}}\ge 29 \cdot k_{1}\cdot d_{b}$$

Wie in der Formel zu sehen ist, ist die grundlegende Verankerungslänge L_sy,tb nach unten begrenzt, und daher muss der Bemessungswert der Verbund-Grenzspannung f_bu in der Anwendung auf die gleiche Weise begrenzt werden, sodass Folgendes gilt:

$$f_{bu}\le \frac{f_{sy}}{116 \cdot k_{1}}$$

Wobei f_sy in MPa angegeben ist.

Die Herleitung der Begrenzung von f_bu ist wie folgt:

$$f_{bu}= \frac{f_{sy}\cdot A_{s}}{ \pi \cdot d_{b} \cdot L_{sy,tb}}=\frac{f_{sy}\cdot \pi \cdot d_{b}^{2}}{4 \cdot \pi \cdot d_{b} \cdot 29 \cdot k{1} \cdot d_{b}} =\frac{f_{sy}}{116 \cdot k_{1}}$$

Gesamtkraft F_tot und Grenzkraft F_lim

Die Gesamtkraft F_tot ist ein Ergebnis der Finite-Elemente-Analyse und kann auf zwei Arten definiert werden.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

wobei A_s die Fläche des Bewehrungsstabs und f_s die Spannung im Stab ist.

Oder als Summe der Verankerungskraft F_a und der Verbundkraft F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

wobei F_a die tatsächliche Kraft in der Verankerungsfeder und F_bond die Verbundkraft ist, die durch Integration der Verbundspannung τ_b über die Länge des Bewehrungsstabs l_s ist.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s ist der Umfang des Bewehrungsstabs.

Die Grenzkraft F_lim ist die maximale Kraft im Element des Bewehrungsstabs unter Berücksichtigung der Festigkeit des Bewehrungsstabs sowie der Verankerungsbedingungen (Verbund zwischen Beton und Bewehrung sowie Verankerungshaken, Schlaufen usw.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$