W praktyce inżynierowie mogą spotkać się z różnymi typami elementów skończonych (od prostych elementów prętowych 1D po bardziej złożone elementy bryłowe 3D), które są wykorzystywane w wielu zastosowaniach do analizy i projektowania elementów konstrukcyjnych. Wspólną cechą większości obliczeń stosowanych w praktyce jest liniowe zachowanie modeli, których zaletami są niewątpliwie szybkość, przejrzystość oraz sam fakt, że dla wielu problemów takie rozwiązanie jest całkowicie wystarczające.

Szczególnie w świecie konstrukcji żelbetowych często zdarza się, że podejście liniowe nie jest wystarczające, ponieważ po pojawieniu się pierwszych rys w obciążonym elemencie naprężenia ulegają redystrybucji, a problem staje się istotnie nieliniowy.

W takich przypadkach konieczne jest zastosowanie bardziej zaawansowanego podejścia. Dla przypadków 1D często można znaleźć metody analityczne zdefiniowane bezpośrednio w normach. Przykładowo, dla elementów płaskich 2D i stref nieciągłości (D-regionów) można zbudować popularne modele Strut and Tie, lub zastosować bardziej zaawansowaną metodę pola naprężeń zaimplementowaną w IDEA StatiCa Detail, czyli CSFM.

Jeśli jednak inżynier napotka problem, którego nie da się uprościć do zachowania płaskiego, możliwości są bardzo ograniczone. Oczywiście można zbudować przestrzenny model Strut and Tie 3D lub użyć oprogramowania quasi-naukowego do dokładnej analizy. Takie procedury są jednak zwykle czasochłonne, niezgodne z normami i wymagają inżyniera biegłego w zaawansowanych metodach modelowania.

Z tego powodu firma IDEA StatiCa opracowała i wdrożyła metodę 3D CSFM (Compatible Stress Field Method) w aplikacji Detail. 3D CSFM rozszerza uznaną metodę CSFM o trzeci wymiar, oferując szybkie i zgodne z normami rozwiązanie, które jest przede wszystkim dostępne dla inżyniera zajmującego się codzienną praktyką, dając mu nową, unikalną możliwość bezpiecznego rozwiązywania złożonych detali konstrukcji żelbetowych.

3D CSFM definiuje zachowanie betonu w oparciu o teorię plastyczności Zmodyfikowanego Mohra-Coulomba dla obciążeń monotonicznych. Metoda uwzględnia naprężenia główne w betonie przy ściskaniu oraz naprężenia w zbrojeniu (σ_sr) w rysach, pomijając wytrzymałość betonu na rozciąganie (tension cut-off), z wyjątkiem jej efektu usztywniającego na zbrojenie (Tension stiffening).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Pręty zbrojeniowe są połączone z elementami skończonymi objętości betonu poprzez elementy przyczepności, umożliwiające poślizg między betonem a zbrojeniem. Należy zauważyć, że 3D CSFM nie nadaje się do symulacji betonu niezbrojonego ze względu na brak rozciągania, co może prowadzić do błędnych odkształceń i braku zbieżności modelu. Ogólnie rzecz biorąc, teoria Mohra-Coulomba obejmuje dwie podstawowe właściwości rządzące ewolucją powierzchni plastyczności przy ściskaniu i częściowo przy rozciąganiu: kąt tarcia wewnętrznego φ oraz parametr kohezji c. 3D CSFM zakłada zerowy kąt tarcia wewnętrznego (rys. 1e), co prowadzi do bezpiecznego (konserwatywnego) projektowania, ponieważ powierzchnia plastyczności przypomina model Treski, niezależny od pierwszego niezmiennika naprężenia.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

Beton 

Przedstawiony model materiałowy jest modelem plastyczności wielopowierzchniowej, będącym połączeniem modeli Mohra-Coulomba i Rankine'a dla obciążeń monotonicznych. Ważne jest, aby zauważyć, że model ten nie uwzględnia odciążenia, dlatego zmienne stanu nie są przechowywane, tak jak miałoby to miejsce w klasycznych modelach plastyczności stosowanych dla obciążeń cyklicznych.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

Jak już wspomniano, model materiałowy jest przeznaczony do stosowania w aplikacjach obliczających odpowiedź betonu zbrojonego (nie nadaje się do betonu niezbrojonego). Wynika to z wykluczenia rozciągania betonu. Dlatego model ten nie nadaje się nawet do elementów konstrukcyjnych, w których nie są spełnione zasady projektowania betonu zbrojonego, takie jak minimalny stopień zbrojenia, maksymalny rozstaw prętów itp. Należy również dodać, że ze względów stabilności numerycznej w modelu zdefiniowano bardzo małą nośność na rozciąganie. Część rozciągana jest ograniczona przez płaszczyzny odpowiadające modelowi Rankine'a.

3D CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w kategoriach odkształceń dla betonu ściskanego (tj. zakłada nieskończenie plastyczną gałąź po osiągnięciu naprężenia szczytowego). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności odkształceniowej konstrukcji ulegających zniszczeniu przy ściskaniu. Jednak ich nośność graniczna jest prawidłowo przewidywana, gdy uwzględnia się wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości za pomocą współczynnika redukcyjnego 𝜂_𝑓𝑐 zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

f_c to charakterystyczna wytrzymałość betonu na ściskanie na próbkach walcowych (w MPa dla definicji $\eta_{fc}$).

f_c,red jest następnie porównywane z Równoważnym Naprężeniem Głównym σ_c,eq w betonie, które zostanie zdefiniowane w dalszej części, oczywiście z uwzględnieniem wszystkich współczynników bezpieczeństwa przewidzianych przez normę.

Szczegółowy opis modelu betonu można znaleźć pod następującym linkiem:

• Concrete Material Model for 3D Detail

Zbrojenie

Dwuliniowy wykres naprężenie-odkształcenie dla prętów zbrojeniowych, zdefiniowany przez normy projektowe (rys. 1d), stanowi model wyidealizowany. Model ten wymaga znajomości podstawowych właściwości zbrojenia na etapie projektowania, w szczególności klasy wytrzymałości i ciągliwości. Alternatywnie, użytkownicy mają możliwość zdefiniowania niestandardowej zależności naprężenie-odkształcenie.

Efekt usztywnienia jest uwzględniany poprzez modyfikację zależności naprężenie-odkształcenie gołego pręta zbrojeniowego, aby uchwycić średnią sztywność prętów osadzonych w betonie (ε_m) (rys. 1b).

Zakotwienie

Poślizg przyczepności między zbrojeniem a betonem jest wprowadzany do modelu elementów skończonych poprzez uwzględnienie uproszczonej sztywno-idealnie plastycznej zależności konstytutywnej przedstawionej na (rys. 1f), gdzie f_bd jest wartością obliczeniową (wartością zredukowaną) granicznego naprężenia przyczepności określonego przez normę projektową dla danych warunków przyczepności.

Jest to uproszczony model, którego jedynym celem jest weryfikacja przepisów dotyczących przyczepności zgodnie z normami projektowymi (tj. zakotwienia zbrojenia). Redukcję długości zakotwienia przy stosowaniu haków, pętli i podobnych kształtów prętów można uwzględnić, definiując określoną nośność na końcu zbrojenia, co zostanie opisane w dalszej części.

Kotwy

Element kotwy jest zdefiniowany jako zdolny do przenoszenia normalnych sił rozciągających lub ściskających, a także sił ścinających, z uwzględnieniem sztywności zginania. 

Dostępne są następujące typy kotew:

• Kotwy wylewane na miejscu budowy

  • Zbrojenie
  • Podkładka
  • Śruba z łbem
• Zbrojenie wylewane na miejscu budowy

  • Zbrojenie
  • Pręty gwintowane

Wylewane na miejscu budowy - Zbrojenie

Modelowane jako zbrojenie żebrowane osadzone w betonie. Wytrzymałość przyczepności jest obliczana zgodnie z wybranymi zasadami normowymi w taki sam sposób jak dla standardowego zbrojenia. Na końcu kotwy można zdefiniować typ zakotwienia, działający identycznie jak dla zbrojenia - stosowana jest sprężyna zakotwienia z współczynnikiem β ustawionym zgodnie z wybraną normą. Dostępne są trzy kształty geometryczne: Prosty, kształt L, kształt U.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

Wylewane na miejscu budowy - Podkładka i Śruba z łbem

Podkładka oraz łeb śruby z łbem są modelowane jako element płytowo-powłokowy z odpowiedniego materiału, przymocowany bezpośrednio do trzonu kotwy. Przekazuje on obciążenie na beton poprzez kontakt wyłącznie ściskający. Dostępne kształty: okrągły i kwadratowy (tylko okrągły dla śruby z łbem), z możliwością dostosowania wymiarów. Model podkładki i łba jest sprężysty i nie jest sprawdzany pod kątem nośności. 

Na poziomie modelu elementów skończonych bezpośrednio sprawdzane jest wyrwanie kotwy. Kontakt ściskający ma ustawione kryteria zatrzymania, tak aby nie mógł przenieść na beton większego naprężenia kontaktowego niż przewidziane przez wybraną normę. W praktyce oznacza to, że jeśli kotwa zostałaby obciążona siłą niezgodną z oceną wyrwania, wynikiem byłoby przedwczesne zakończenie obliczeń, ponieważ to kryterium zatrzymania zostałoby przekroczone podczas dalszego obciążania.

Trzon kotwy ma zerową wytrzymałość przyczepności – całe obciążenie jest przekazywane na beton poprzez płytę lub łeb.

Montowane po betonowaniu - Zbrojenie i pręt gwintowany

Zaprojektowane jako pręty instalowane w wywierconych otworach i klejone za pomocą kleju. Inżynier określa obliczeniową wytrzymałość przyczepności bezpośrednio na podstawie specyfikacji technicznej produktu klejowego.

Więcej informacji na temat łączenia poszczególnych typów kotew z płytą podstawy lub płytą wylewaną można znaleźć w rozdziale Typy elementów skończonych - Load transferring devices. 

W poniższym rozdziale przyjrzymy się temu, jak teoria Mohra-Coulomba jest zaimplementowana w CSFM 3D. Wyjaśnimy, w jaki sposób uwzględniany jest efekt uwięzienia (naprężenie trójosiowe) oraz jak obliczane jest równoważne naprężenie główne σ_c,eq, które służy do określenia nośności z punktu widzenia betonu.

Wprowadzenie do teorii

Teoria Mohra–Coulomba to model matematyczny opisujący odpowiedź materiałów kruchych na naprężenie ścinające i normalne. Większość klasycznych materiałów inżynierskich podlega tej regule przynajmniej w części swojej obwiedni zniszczenia przy ścinaniu. Ogólnie teoria dotyczy materiałów, dla których wytrzymałość na ściskanie znacznie przewyższa wytrzymałość na rozciąganie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}$$

W inżynierii konstrukcyjnej służy ona do wyznaczania obciążenia niszczącego, a także kąta zarysowania dla przemieszczenia powierzchni zniszczenia w betonie i podobnych materiałach. Hipoteza tarcia Coulomba jest wykorzystywana do określenia kombinacji ścinania i naprężenia normalnego, która spowoduje zniszczenie materiału. Koło Mohra służy do określenia, które naprężenia główne wywołają tę kombinację ścinania i naprężenia normalnego oraz kąt płaszczyzny, w której to nastąpi. Zgodnie z zasadą normalności, naprężenie wprowadzone przy zniszczeniu będzie prostopadłe do linii opisującej warunek zarysowania. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}$$

Można wykazać, że materiał ulegający zniszczeniu zgodnie z hipotezą tarcia Coulomba wykaże przemieszczenie wprowadzone przy zniszczeniu, tworzące z linią zarysowania kąt równy kątowi tarcia. Umożliwia to określenie wytrzymałości materiału poprzez porównanie zewnętrznej pracy mechanicznej wprowadzonej przez przemieszczenie i obciążenie zewnętrzne z wewnętrzną pracą mechaniczną wprowadzoną przez odkształcenie i naprężenie na linii zniszczenia. Zgodnie z zasadą zachowania energii, suma tych wartości musi wynosić zero, co umożliwia obliczenie obciążenia niszczącego konstrukcji.

Implementacja w CSFM 3D

Ogólnie, dla danego kąta tarcia wewnętrznego betonu, który wynosi około φ = 30-40° zgodnie z Referencją [1], [2], [3], [4], koła Mohra dla wytrzymałości betonu na rozciąganie i ściskanie można skonstruować tak, jak pokazano na Rysunku 6.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

Gdzie f_c to wytrzymałość betonu na ściskanie, f_ct to wytrzymałość betonu na rozciąganie, φ to kąt tarcia wewnętrznego, a σ_c1, σ_c3 to naprężenia główne betonu w warunkach ściskania trójosiowego.

Można zauważyć, że wraz ze wzrostem naprężenia głównego σ_c3, maksymalna możliwa różnica pomiędzy wartościami σ_c3 i σ_c1, którą definiujemy jako maksymalne σ_c,eq (patrz poniżej), również rośnie. Ta różnica odpowiada podwojonej wartości naprężenia dewiatorowego, definiowanego w literaturze jako promień kół Mohra.

W CSFM 3D zaimplementowanym w IDEA StatiCa Detail, kąt tarcia wewnętrznego przyjmuje się jako φ = 0°, jak pokazano na Rysunku 7.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

Praktyczną konsekwencją tej implementacji jest to, że maksymalna różnica pomiędzy σ_c3 a σ_c1 jest stała wraz ze wzrostem σ_c3. 

Równoważne naprężenie główne wyraża równoważne naprężenie jednoosiowe dla ogólnego trójosiowego stanu naprężenia.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Wartość σ_c,eq można zatem bezpośrednio porównać z jednoosiowymi granicami wytrzymałości zgodnie z normami.

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Gdzie σ_c,lim to obliczeniowa (z uwzględnieniem współczynników) wytrzymałość jednoosiowa betonu f_c.

Porównując Rysunek 6, gdzie zastosowano rzeczywisty kąt tarcia wewnętrznego, oraz Rysunek 7, który przedstawia implementację teorii Mohra-Coulomba z zerowym kątem tarcia wewnętrznego, można zauważyć, że podejście przyjęte do obliczeń w Detail jest bardzo konserwatywne w odniesieniu do oceny trójosiowego stanu naprężenia.

Dla lepszego zrozumienia obszarów, na które wpływa trójosiowe naprężenie ściskające, do aplikacji IDEA StatiCa Detail dodano wyrażenie opisujące wzrost efektywnej wytrzymałości materiału na skutek ściskania trójosiowego, jako stosunek σ_c3/σ_c,lim. Ten stosunek można znaleźć w sprawdzeniu normowym wytrzymałości (Strength).

W wynikach pomocniczych (Auxiliary results) użytkownik może również znaleźć współczynnik κ, który wyjaśnia trójosiowość w inny sposób. 

$$\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}$$

Sprawdzenie wytrzymałości betonu można wówczas zapisać jako:

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Z powyższego wynika, że jeśli element znajduje się pod działaniem naprężenia hydrostatycznego - σ_c3=σ_c2=σ_c1, równoważne naprężenie główne σ_c,eq przyjmie wartość zero, a współczynnik kappa dąży do nieskończoności.

Więcej informacji można znaleźć tutaj: Naprężenie trójosiowe – efekt aktywnego uwięzienia

Równania równowagi

Teoria małych odkształceń umożliwia sformułowanie równania równowagi w oparciu o niezdeformowaną objętość, wykorzystując podejście pierwszego rzędu. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}$$

Równania zgodności

Ciało stałe składa się z nieskończenie małych objętości lub punktów materialnych, które są ze sobą połączone bez szczelin i nakładania się. Aby zapobiec powstawaniu szczelin lub nakładania się podczas deformacji ciała ciągłego, muszą być spełnione odpowiednie warunki matematyczne.

Równania konstytutywne

Równania konstytutywne opisujące zachowanie elementów 3D odgrywają kluczową rolę w analizie zachowania materiału w mechanice konstrukcji. Równania te są sformułowane tak, aby uwzględnić nieliniowe zachowanie izotropowe, które obowiązuje dla elementów typu bryła (solid block) w IDEA StatiCa Detail. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}$$

3D CSFM uwzględnia ciągłe pola naprężeń w betonie (trójwymiarowe elementy skończone), uzupełnione o dyskretne elementy „prętowe” reprezentujące zbrojenie (jednowymiarowe elementy skończone). W związku z tym zbrojenie nie jest rozmyte w trójwymiarowych elementach skończonych betonu, lecz modelowane jest jawnie i połączone z nimi. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}$$

Model analizy nieliniowej (niesprężystej) metodą elementów skończonych jest tworzony przez kilka typów elementów skończonych stosowanych do modelowania betonu, zbrojenia oraz przyczepności między nimi. Elementy betonu i zbrojenia są najpierw dyskretyzowane niezależnie, a następnie łączone za pomocą więzów wielopunktowych (elementy MPC). Umożliwia to umieszczenie zbrojenia w dowolnym położeniu, niezależnie od węzłów siatki czworościennej. Aby zweryfikować długość zakotwienia, przyczepność i zakończenie zakotwienia, między zbrojeniem a elementami MPC wstawiane są elementy sprężynowe.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}$$

Beton

Beton jest analizowany przy użyciu mieszanych elementów czworościennych z obrotami węzłowymi. Elementy czworościenne umożliwiają dyskretyzację obszarów o dowolnej topologii, a zastosowane sformułowanie zapewnia dokładne wyniki odkształceń (bez pozornych naprężeń ścinających, znanych jako efekt shear lock) nawet dla siatki zgrubnej, która nie byłaby odpowiednia dla liniowego sformułowania elementów czworościennych. 

Zastosowano pełne całkowanie. Oznacza to, że każdy element jest wyposażony w cztery punkty całkowania rozmieszczone w jego objętości. Takie całkowanie daje precyzyjne pole odkształceń i naprężeń, umożliwiając odpowiednią ocenę i prezentację wyników w całej objętości. Następnie kryteria zatrzymania są ustalane na podstawie wartości w punkcie całkowania.

Zbrojenie

Pręty zbrojeniowe są modelowane za pomocą dwuwęzłowych elementów prętowych 1D „rod” (CROD), które posiadają wyłącznie sztywność osiową. Elementy te są połączone ze specjalnymi elementami „przyczepności”, opracowanymi w celu modelowania zachowania poślizgu między prętem zbrojeniowym a otaczającym betonem. Te elementy przyczepności są następnie łączone za pomocą elementów MPC (więzy wielopunktowe) z siatką reprezentującą beton. Takie podejście umożliwia niezależną dyskretyzację zbrojenia i betonu, a ich wzajemne połączenie jest zapewniane w kolejnym kroku.

Elementy przyczepności

Długość zakotwienia jest weryfikowana poprzez uwzględnienie naprężeń ścinających przyczepności między elementami betonu (3D) a elementami prętów zbrojeniowych (1D) w modelu elementów skończonych. W tym celu opracowano typ elementu skończonego „przyczepność”.

Element przyczepności jest zdefiniowany jako powłokowy element skończony połączony z elementami reprezentującymi zbrojenie pierwszą warstwą oraz z siatką betonu drugą warstwą za pomocą więzów wielopunktowych (elementy MPC). Należy zauważyć, że element przyczepności jest w niniejszym artykule zawsze przedstawiany z niezerową wysokością, która w modelu jest jednak zdefiniowana jako nieskończenie mała.

Zachowanie tego elementu jest opisane przez naprężenie przyczepności, τ_b, jako dwuliniową funkcję poślizgu między węzłem górnym a dolnym, δu, patrz (Rys. 12).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}$$

Moduł sztywności sprężystej zależności przyczepność-poślizg, Gb, jest zdefiniowany następująco:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

k_g            współczynnik zależny od powierzchni pręta zbrojeniowego (domyślnie kg = 0,2)

E_c            moduł sprężystości betonu (przyjmowany jako Ecm w przypadku EN)

Ø             średnica pręta zbrojeniowego

Wartości obliczeniowe (wartości uwzględniające współczynniki częściowe) granicznego naprężenia przyczepności, f_bd, podane w odpowiednich wybranych normach projektowych EN 1992-1-1 lub ACI 318-19, są wykorzystywane do weryfikacji długości zakotwienia. Wzmocnienie gałęzi plastycznej jest domyślnie obliczane jako Gb/105.

Sprężyna zakotwienia

Zastosowanie zakończeń zakotwienia prętów zbrojeniowych (tj. odgięć, haków, pętli…), które spełniają wymagania norm projektowych, umożliwia zredukowanie podstawowej długości zakotwienia prętów (l_b,net) o określony współczynnik β (zwany dalej „współczynnikiem zakotwienia”). Wartość obliczeniowa długości zakotwienia (lb) jest wówczas obliczana następująco:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}$$

Redukcja długości zakotwienia jest uwzględniona w modelu elementów skończonych za pomocą elementu sprężynowego na końcu pręta (Rys. 13a), który jest zdefiniowany przez model konstytutywny przedstawiony na (Rys. 13b). Maksymalna siła przenoszona przez tę sprężynę (F_au) wynosi:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

gdzie:

β             współczynnik zakotwienia zależny od typu zakotwienia

A_s            pole przekroju poprzecznego pręta zbrojeniowego

f_yd           wartość obliczeniowa (uwzględniająca współczynnik częściowy) granicy plastyczności zbrojenia

Płyta podstawy

Płyta podstawy jest modelowana jako sprężysty element powłokowy. Materiał stalowy stosowany dla płyt podstawy jest zdefiniowany w zakładce Materiały. Jedyną właściwością fizyczną jest moduł sprężystości E.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad The base plate material definition}}}$$

Płyta podstawy może być obciążona przez obciążenie punktowe (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) oraz grupę sił (Fx, Fy, Fz), stosowane głównie do obciążania modeli eksportowanych z IDEA StatiCa Connection. Należy zauważyć, że obciążenia punktowe i momenty punktowe obciążają bezpośrednio odpowiedni węzeł płyty podstawy. Oznacza to, że nie występuje redystrybucja, jedynie poprzez sztywność płyty podstawy. 

Ta implementacja umożliwia importowanie efektów obciążenia z IDEA StatiCa Connection, które są przykładane do płyty podstawy w lokalizacji poszczególnych elementów skończonych spoiny, z wartością i kierunkiem określonymi na podstawie naprężenia ogólnego danego elementu skończonego spoiny. Więcej informacji można znaleźć w odpowiednim rozdziale niniejszego dokumentu.

Drugą opcją obciążenia jest Stub — reprezentujący krótki odcinek słupa powyżej płyty podstawy. Króciec jest modelowany jako konstrukcja sprężystych elementów powłokowych i zachowuje się jako fizycznie dokładny interfejs pomiędzy siłami wewnętrznymi a płytą. Użytkownik wybiera przekrój dla króćca ze standardowej bazy danych przekrojów. Zestaw 6 składowych sił wewnętrznych (siły i momenty) jest przykładany w jednym punkcie na dolnej powierzchni króćca — czyli u podstawy słupa. Więzy przenoszą siły na górną powierzchnię króćca, skąd są one w naturalny sposób redystrybuowane przez króciec do płyty podstawy, kotew i betonu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad The load transfer through the stub}}}$$

Mechanizm przenoszenia ścinania (z płyty podstawy do bloku betonowego)

Pomiędzy płytą podstawy a betonem zdefiniowany jest kontakt tarciowy działający wyłącznie na ściskanie. Do przeniesienia ścinania użytkownik może wybrać jedną z trzech opcji:

• Przez kotwy
• Przez tarcie
• Przez ostrogę

Oprogramowanie nie pozwala na łączenie tych mechanizmów przenoszenia ścinania. 

Współczynnik tarcia powinien być wprowadzony jako wartość obliczeniowa (uwzględniająca współczynniki). W przypadku gdy wypadkowa siła ścinająca F_xy przekracza siłę docisku F_z pomnożoną przez współczynnik tarcia μ, obliczenia zostaną zatrzymane i nie wszystkie obciążenia zostaną przyłożone do modelu. Warunek zapisuje się następująco:

$$\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1$$

Można to zobaczyć w poniższym przykładzie, gdzie rozpatrywane są dwa przypadki obciążenia. 

• LC1 - typ Stały - F_z = 100 kN
• LC2 - typ Zmienny- F_x = 100 kN

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 16\qquad Load input for example explaining shear transfer by friction}}}$$

W pierwszym kroku obliczeniowym przykładane jest całe obciążenie stałe. Następnie obciążenie zmienne jest stopniowo przykładane, aż osiągnie wartość obciążenia docisku pomnożoną przez współczynnik tarcia.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 17\qquad Results from example explaining shear transfer by friction}}}$$

Wykres na rysunku 18 przedstawia zachowanie kontaktu tarciowego pomiędzy płytą podstawy a betonem.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 18\qquad Force-displacement graph describing the behavior of frictional contact}}}$$

Wartość F_zμ różni się dla każdego przyrostu obliczeń, natomiast wartość maksymalnego odkształcenia ścinającego u_xy jest stała. 

Jeśli siła normalna ściskająca F_z i siła ścinająca F_xy są wprowadzone w ramach jednego typu przypadku obciążenia (np. tylko stały), a warunek F_xy / (F_zμ) ≤ 1 nie jest spełniony, żadne obciążenie nie zostanie przyłożone do modelu, ponieważ warunek nie jest spełniony w żadnym przyroście obliczeń.

Ostroga jest połączona z siatką betonu za pomocą więzów pozwalających na przenoszenie naprężenia normalnego wyłącznie na ściskanie. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 19\qquad Shear lug transfer of shear mechanism}}}$$

Ostroga jest modelowana z elastycznych elementów powłokowych, gdzie moduł sprężystości E definiuje materiał.

Wyniki nie są oceniane ani wyświetlane dla płyty podstawy, jak również dla ostrogi.

 Opcje płyty podstawy  (odsadzenie, podlewka)

Dostępny jest następujący zestaw opcji odsadzenia, w pełni zgodny z Connection application.

• Bezpośrednio
• Warstwa zaprawy – nakrętki od góry
• Warstwa zaprawy – nakrętki od góry i dołu
• Szczelina

Warstwa zaprawy jest modelowana jako element powłokowy, z uwzględnieniem jej sztywności. Należy zauważyć, że elementy powłokowe są nieściśliwe w kierunku swojej grubości. Pomaga to w redystrybucji sił lokalnych do betonu i jest ważne dla typowych grubości podlewki stosowanych w praktyce - 25-50 mm.

Rozróżnienie pomiędzy nakrętkami tylko od góry (przegubowe połączenie pomiędzy kotwą a płytą podstawy) a od góry i dołu (sztywne połączenie pomiędzy kotwą a płytą podstawy) silnie wpływa na nośność na ścinanie z punktu widzenia docisku betonu.

Kotwy

Elementy skończone reprezentujące kotwy są modelowane w taki sposób, aby mogły przenosić siły normalne i ścinające do betonu, uwzględniając również sztywność zginania kotew. Aby zamodelować poślizg pomiędzy kotwą a otaczającym betonem, stosowane są te same elementy przyczepności i MPC, co dla zbrojenia. Z tą różnicą, że:

• Dla kotew montowanych po betonowaniu (wklejanych), konieczne jest podanie obliczeniowej wytrzymałości przyczepności.
• Dla podkładek i śrub z łbem, przyczepność wzdłuż trzonu kotwy jest pomijana. Całe obciążenie osiowe jest wówczas przenoszone do betonu przez podkładkę lub łeb kotwy.

Kotwy mogą być wzajemnie połączone z płytami podstawy. Do tego połączenia stosowane są w pełni nieliniowe więzy łączące koniec kotwy z węzłem płyty podstawy. Te więzy pozwalają nam kontrolować wszystkie stopnie swobody, aby zapewnić na przykład, że kotwy nie przenoszą siły ściskającej z płyty podstawy lub że żadne ścinanie nie jest przenoszone przez kotwę podczas modelowania ostrogi, itp.

Właściwości połączenia z płytą podstawy dla kotew pozwalają użytkownikowi kontrolować, czy kotwa będzie połączona z płytą podstawy za pomocą wspomnianych wcześniej więzów i w jaki sposób. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20\qquad Interconnection with base plate settings}}}$$

Pole wyboru Przeniesienie ścinania może być użyte do kontrolowania, czy kotwa i płyta podstawy będą połączone w zakresie ścinania, czy nie. Należy zauważyć, że łączenie mechanizmów przenoszenia ścinania nie jest obsługiwane, więc dla przenoszenia przez tarcie i ostrogę to pole wyboru jest nieistotne. Z drugiej strony, dla przenoszenia ścinania za pomocą kotew, to pole daje możliwość wykluczenia niektórych kotew z przenoszenia ścinania.

Pole wyboru Przeniesienie sił osiowych może być użyte do kontrolowania, czy kotwa i płyta podstawy będą połączone w kierunku osiowym, czy nie. Jest to stosowane głównie do eksportu z funkcji Connection (patrz odpowiedni rozdział). Do modelowania ręcznego sensowne jest, aby to pole wyboru było zawsze zaznaczone.

Gdy pole wyboru jest odznaczone, kotwa jest odłączona zarówno w rozciąganiu, jak i ściskaniu (w przypadku modelu eksportowanego z Connection application, połączenie jest zastępowane przez parę sił). Jeśli pole wyboru jest zaznaczone, kotwa jest zawsze połączona z płytą w rozciąganiu, ale połączenie w ściskaniu jest kontrolowane przez typ kotwy i typ odsadzenia. Więcej informacji można znaleźć na rysunku 23.

Gwint nacięty

Kontrolowane przez pole wyboru we właściwościach kotwy i ma 2 cele:

1. Definiuje sposób połączenia kotwy z płytą podstawy:

• Dla śrub z łbem i zbrojenia wylewanego na miejscu budowy połączonego z płytą podstawy (nie dotyczy blach zabetonowanych typu Cast-in), rozróżnia się między połączeniem śrubowym (przegubowym) a połączeniem spawanym (sztywnym) — widoczne w widoku 3D.
• Należy zauważyć, że sposób połączenia kotwy z płytą ma istotny wpływ na nośność na ścinanie z punktu widzenia docisku betonu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Cut threads options}}}$$

2. Dla Eurokodu nośność kotwy z nacinanym gwintem jest redukowana zgodnie z EN 1993-1-8 3.6.1 (3). Można to ustawić w Ustawieniach projektu. Dla prętów gwintowanych i podkładek zaleca się, aby to ustawienie było zawsze włączone.

Połączenie osiowe i obrotowe pomiędzy kotwą a płytą podstawy

Jak już wspomniano w tym rozdziale, w zależności od typu kotwy, ustawienia odsadzenia oraz od tego, czy uwzględniany jest nacinany gwint, kotwy są połączone z płytą podstawy na różne sposoby. Pod względem połączenia obrotowego może to być Przegubowe / Sztywne. Pod względem połączenia osiowego może to być Rozciąganie / Rozciąganie + Ściskanie. Typy połączeń obrotowych silnie wpływają na nośność na ścinanie z punktu widzenia docisku betonu. W widoku 3D łatwo jest stwierdzić, czy kotwa jest połączona jako sztywna czy przegubowa, na podstawie obecności nakrętek, patrz rysunek 22.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Rotational constraints}}}$$

Poniższa tabela przedstawia wszystkie możliwe kombinacje połączeń płyty podstawy z kotwami oraz odpowiadające im połączenia obrotowe i osiowe.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Blachy zabetonowane (Cast-in plates)

Blacha zabetonowana jest szczególnym przypadkiem płyty podstawy. Jest modelowana analogicznie, z następującymi różnicami:

Ponieważ płyta jest zagłębiona wewnątrz bloku betonowego, nie można określić żadnego typu odsadzenia. Głębokość zagłębienia płyty w płycie żelbetowej jest pomijana. Płyta, modelowana za pomocą elementów powłokowych, jest umieszczona bezpośrednio na powierzchni betonu. Dlatego powierzchnie boczne płyty nie są uznawane za podparte przez beton.

Możliwe jest wykorzystanie wyłącznie zbrojenia i śrub z łbem, które, podobnie jak klasyczne kotwy, mogą być ustawione jako połączone z płytą w kierunku osiowym i ścinającym. Doświadczenie praktyczne oraz niektóre dokumenty krajowe wskazują na konieczność projektowania śrub z łbem wyłącznie na ścinanie, a zbrojenia na obciążenie osiowe. Z punktu widzenia więzów osiowych i obrotowych, kotwy są zawsze połączone jako Sztywne i Rozciąganie + Ściskanie.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 24\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Elementy skończone są zaimplementowane wewnętrznie, a model obliczeniowy generowany jest automatycznie bez potrzeby zaawansowanej interakcji ze strony użytkownika. Ważną częścią tego procesu jest generowanie siatki.

Beton

Wszystkie elementy betonowe są siatkowane razem. Zalecany rozmiar elementu jest automatycznie obliczany przez aplikację na podstawie wielkości i kształtu konstrukcji oraz z uwzględnieniem średnicy największego pręta zbrojeniowego. Ponadto zalecany rozmiar elementu gwarantuje wygenerowanie co najmniej czterech elementów w smukłych częściach konstrukcji, takich jak smukłe słupy czy cienkie ściany, aby zapewnić wiarygodne wyniki w tych obszarach. Projektanci zawsze mogą wybrać zdefiniowany przez użytkownika rozmiar elementu betonowego, modyfikując mnożnik domyślnego rozmiaru siatki.

Zbrojenie

Zbrojenie jest dzielone na elementy o długości w przybliżeniu równej rozmiarowi elementu betonowego. Po wygenerowaniu siatek zbrojenia i betonu są one połączone ze sobą za pomocą elementów przyczepności, jak pokazano na rys. 9.

Zagęszczenie siatki

Siatka betonu jest automatycznie zagęszczana wokół kotew, wokół ostróg oraz pod króćcem obciążającym. Rozmiar zagęszczonej siatki jest w przybliżeniu dwukrotnie mniejszy niż podstawowa siatka betonu. Promień obszaru zagęszczenia jest zdefiniowany w przybliżeniu jako rozmiar elementu pomnożony przez dwa.

Do znalezienia rozwiązania nieliniowego problemu MES stosowana jest standardowa pełna metoda Newtona-Raphsona (NR). 

Ogólnie rzecz biorąc, algorytm NR często nie jest zbieżny, gdy pełne obciążenie jest przykładane w pojedynczym kroku. Typowym podejściem, które jest tu również stosowane, jest przykładanie obciążenia sekwencyjnie w wielu przyrostach i wykorzystywanie wyniku z poprzedniego przyrostu obciążenia jako punktu startowego dla rozwiązania Newtona dla kolejnego kroku. W tym celu, ponad metodą Newtona-Raphsona, zaimplementowano algorytm kontroli obciążenia. W przypadku, gdy iteracje NR nie są zbieżne, bieżący przyrost obciążenia zostaje zredukowany o połowę, a iteracje NR są powtarzane.

Drugim celem algorytmu kontroli obciążenia jest znalezienie obciążenia krytycznego, które odpowiada określonym „kryteriom zatrzymania” – w szczególności maksymalnemu odkształceniu betonu, maksymalnemu poślizgowi w elementach przyczepności, maksymalnemu przemieszczeniu w elementach zakotwienia oraz maksymalnemu odkształceniu prętów zbrojeniowych. Obciążenie krytyczne jest znajdowane za pomocą metody bisekcji. W przypadku, gdy kryterium zatrzymania zostanie przekroczone w dowolnym miejscu modelu, wyniki ostatniego przyrostu obciążenia są odrzucane, a obliczany jest nowy przyrost o połowę mniejszy od poprzedniego. Proces ten jest powtarzany, aż obciążenie krytyczne zostanie znalezione z określoną tolerancją błędu.

Dla betonu kryterium zatrzymania ustawiono na 5% odkształcenia przy ściskaniu (tj. około rząd wielkości większe niż rzeczywiste odkształcenie przy zniszczeniu betonu) oraz 7% przy rozciąganiu w punktach całkowania elementów powłokowych. W rozciąganiu wartość ustawiono tak, aby jako pierwsze zostało osiągnięte odkształcenie graniczne zbrojenia, które zwykle wynosi около 5% bez uwzględnienia efektu tension stiffening. W ściskaniu wartość wybrano spośród kilku alternatyw jako taką, która jest wystarczająco duża, aby efekty miażdżenia były widoczne w wynikach, ale wystarczająco mała, aby nie powodować zbyt wielu problemów ze stabilnością numeryczną.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 25\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}$$

Dla zbrojenia kryterium zatrzymania jest zdefiniowane w kategoriach naprężeń. Ponieważ modelowane są naprężenia w rysie, kryterium przy rozciąganiu odpowiada wytrzymałości zbrojenia na rozciąganie z uwzględnieniem współczynnika bezpieczeństwa. Ta sama wartość jest stosowana jako kryterium przy ściskaniu.

Kryterium zatrzymania w elementach przyczepności i sprężynach zakotwienia wynosi α·δ_umax, gdzie δ_umax jest maksymalnym poślizgiem stosowanym w sprawdzeniach normowych, a α = 10.

Inne kryteria zatrzymania dla kotwienia:

• Wyrwanie kotew z łbem (maksymalne naprężenie kontaktowe ściskające na górnej powierzchni łba kotwy). 
• Maksymalna siła ścinająca, jaka może zostać przeniesiona przez kotwę z punktu widzenia nośności na docisk betonu.

Te dwa kryteria zależą od wybranej normy. Więcej informacji na ich temat można znaleźć w sekcjach opisujących zależne od normy części analizy konstrukcji w aplikacji.

Wyniki są prezentowane niezależnie dla betonu i elementów zbrojenia. Wartości naprężeń i odkształceń w betonie są obliczane w punktach całkowania elementów bryłowych. Ponieważ prezentowanie danych w taki sposób nie jest praktyczne, wyniki są domyślnie prezentowane w węzłach, np. jako maksymalna wartość naprężenia ściskającego z sąsiednich punktów całkowania Gaussa w połączonych elementach. Należy zauważyć, że taki sposób prezentacji może lokalnie zaniżać wyniki na ściskanych krawędziach elementów w przypadku, gdy rozmiar elementu skończonego jest zbliżony do wysokości strefy ściskanej.

Wyniki dla elementów skończonych zbrojenia są albo stałe dla każdego elementu (jedna wartość – np. dla naprężeń w stali), albo liniowe (dwie wartości – dla wyników przyczepności). Dla elementów pomocniczych, takich jak elementy płyt podporowych, prezentowane są wyłącznie odkształcenia.

Model IDEA StatiCa Detail nie zawsze musi być tworzony od podstaw lub na bazie szablonu. Istnieje również możliwość zaimportowania modelu, wraz z efektami obciążenia, z IDEA StatiCa Connection. W Connection nadbudowa stalowa nad blokiem betonowym jest analizowana za pomocą nieliniowego modelu 3D, natomiast sam blok betonowy jest reprezentowany w sposób uproszczony przez podłoże Winklera. W Detail natomiast żelbetowy blok betonowy jest modelowany w sposób jawny i sprawdzany szczegółowo.

Podczas przenoszenia modelu do Detail importowane są tylko płyta podstawy, kotwy i blok betonowy – sam element stalowy (wraz z jego globalną sztywnością) nie jest importowany. W modelu Connection ten element stalowy jest połączony z płytą podstawy za pomocą spoiny. Naprężenia w elementach skończonych spoiny są całkowane i przeliczane na zestaw sił zastępczych, które obciążają płytę podstawy w Detail. W ten sposób efekt braku elementu stalowego jest odwzorowany przez siły spoiny przyłożone bezpośrednio do płyty podstawy.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 26\qquad Loads imported from IDEA StatiCa Connection}}}$$

Ze względu na odmienną definicję sztywności pomiędzy Connection a Detail (brak elementu stalowego, inne modele materiałowe oraz sposób reprezentacji betonu), bezpośrednie połączenie między płytą podstawy a kotwami w Detail zazwyczaj prowadziłoby do innej redystrybucji obciążeń, a tym samym do innych sił rozciągających w kotwach. Aby tego uniknąć, kotwy są importowane jako rozłączone osiowo od płyty podstawy. Zamiast przenosić siły osiowe poprzez fizyczny kontakt, naprężenia rozciągające kotwy uzyskane z Connection są przykładane bezpośrednio do kotew w Detail. Jednocześnie w miejscu każdej kotwy do płyty podstawy przykładana jest siła równa co do wartości i przeciwnie skierowana, dzięki czemu zachowana jest globalna równowaga modelu. Ta para sił (jedna działająca na kotwę, druga na płytę podstawy) odwzorowuje interakcję między płytą podstawy a kotwą, nie dopuszczając przy tym do dodatkowej redystrybucji sił osiowych w Detail. Te dwie przeciwnie skierowane siły przedstawiono na Rys. 26.

Siły ścinające są natomiast nadal przenoszone przez połączenie między płytą podstawy a kotwami (lub ostrogą, lub tarcie). Jest to możliwe dzięki zastosowaniu więzów łączących płytę podstawy i kotwy w ścinaniu, co pozwala kontrolować odpowiednie stopnie swobody tego połączenia. W Detail użytkownik może zatem modyfikować ścieżkę przenoszenia ścinania – na przykład poprzez zwolnienie ścinania w dwóch z czterech kotew i pozostawienie w ścinaniu tylko kotew skrajnych – podczas gdy siły osiowe pozostają takie, jak zaimportowane z Connection.

W przypadku płyt wylewanych na miejscu budowy (cast-in) przyjęliśmy inne podejście. Kilka europejskich zaleceń projektowych wymaga, aby tylko pręty zbrojeniowe były uwzględniane jako przenoszące siły osiowe, natomiast śruby z łbem mają przenosić wyłącznie ścinanie. Ponieważ IDEA StatiCa Connection nie może wewnętrznie rozdzielić sił osiowych w kotwach zbrojeniowych od sił w śrubach z łbem podczas eksportu, kotwy płyt wylewanych na miejscu budowy są importowane do Detail jako w pełni połączone, również w kierunku osiowym. Pozwala to użytkownikowi aktywować w Detail opcję projektową, w której kotwy zbrojeniowe przenoszą wyłącznie rozciąganie osiowe, a śruby z łbem przenoszą wyłącznie ścinanie. W tym schemacie pracy siła osiowa, która pierwotnie została przypisana śrubom z łbem, musi zostać zredystrybuowana na kotwy zbrojeniowe w modelu Detail. Taka redystrybucja nie byłaby możliwa, gdybyśmy zastosowali opisane powyżej podejście oparte na parze przeciwnie skierowanych sił, dlatego płyty wylewane na miejscu budowy są traktowane inaczej.

Stan graniczny nośności

Różne weryfikacje wymagane przez określone normy projektowe są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników uzyskanych z modelu. Weryfikacje SGN są przeprowadzane dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężeń stycznych przyczepności).

Aby zapewnić efektywne zaprojektowanie elementu konstrukcyjnego, zdecydowanie zaleca się przeprowadzenie wstępnej analizy uwzględniającej następujące kroki:

• Wybierz zestaw najbardziej krytycznych kombinacji obciążeń.
• Oblicz tylko kombinacje obciążeń dla stanu granicznego nośności (SGN).
• Aby przyspieszyć czas obliczeń i rozwiązać ewentualne problemy, rozważ zastosowanie zgrubnej siatki poprzez zwiększenie mnożnika domyślnego rozmiaru siatki w Ustawieniach (rys. 27). Jeśli model działa poprawnie, przywróć mnożnik do wartości 1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 27\qquad Mesh multiplier}}}$$

Taki model będzie obliczany bardzo szybko, co pozwoli projektantom sprawnie przeanalizować detale elementu konstrukcyjnego i ponownie uruchamiać analizę, aż wszystkie wymagania weryfikacyjne zostaną spełnione dla najbardziej krytycznych kombinacji obciążeń. Po spełnieniu wszystkich wymagań weryfikacyjnych tej wstępnej analizy zaleca się uwzględnienie pełnych kombinacji obciążeń dla stanu granicznego nośności oraz zastosowanie dokładnej siatki (rozmiaru siatki zalecanego przez program). Użytkownicy mogą zmieniać rozmiar siatki za pomocą mnożnika, który może przyjmować wartości od 0,5 do 5 (rys. 27).

Podstawowe wyniki i weryfikacje (naprężenie, odkształcenie i stopień wykorzystania (tj. obliczona wartość/wartość graniczna wg normy)), a także kierunek naprężeń głównych w przypadku elementów betonowych, są przedstawiane za pomocą różnych wykresów, gdzie ściskanie jest zazwyczaj prezentowane na czerwono, a rozciąganie na niebiesko. Globalne wartości minimalne i maksymalne dla całej konstrukcji mogą być wyróżnione, podobnie jak wartości minimalne i maksymalne dla każdej zdefiniowanej przez użytkownika części. Na osobnej karcie programu można wyświetlić zaawansowane wyniki, takie jak wartości tensorów, odkształcenia konstrukcji oraz wskaźniki zbrojenia (efektywne i geometryczne) używane do obliczania tension stiffening prętów zbrojeniowych. Ponadto można przedstawić obciążenia i reakcje dla wybranych kombinacji lub przypadków obciążeń.

Beton - SGN

Model betonu zaimplementowany w 3D CSFM opiera się na jednoosiowych prawach konstytutywnych ściskania określonych w EN 1992-1-1 do projektowania przekrojów, które zależą wyłącznie od wytrzymałości na ściskanie. Domyślnie w 3D CSFM stosowany jest wykres parabola-prostokąt określony w EN 1992-1-1 pkt. 3.1.7 (1) (Rys. 28a), ale projektanci mogą również wybrać uproszczoną zależność sprężysto-idealnie plastyczną zgodnie z EN 1992-1-1 pkt. 3.1.7 (2) (Rys. 28b). Wytrzymałość na rozciąganie jest pomijana, tak jak w klasycznym projektowaniu żelbetu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 28\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}$$

Implementacja 3D CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w zakresie odkształceń dla betonu ściskanego (tzn. po osiągnięciu naprężenia szczytowego uwzględniana jest gałąź plastyczna z ε_cu2 (ε_cu3) o wartości 5%, podczas gdy EN 1992-1-1 zakłada odkształcenie graniczne mniejsze niż 0,35%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności odkształceniowej konstrukcji ulegających zniszczeniu przy ściskaniu. Niemniej jednak ich nośność graniczna f_cd zgodnie z EN 1992-1-1 3.1.3 jest prawidłowo przewidywana, gdy wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości jest uwzględniany za pomocą współczynnika redukcyjnego $\eta_{fc}$ zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

α_cc jest współczynnikiem uwzględniającym długoterminowe efekty wpływające na wytrzymałość na ściskanie oraz niekorzystne skutki wynikające ze sposobu przyłożenia obciążenia. Zgodnie z EN 1992-1-1 pkt. 3.1.6 (1). Wartość domyślna wynosi 1,0.

f_ck jest charakterystyczną wytrzymałością walcową betonu (w MPa dla definicji $\eta_{fc}$).

Zbrojenie

Domyślnie uwzględniany jest wyidealizowany dwuliniowy wykres naprężenie-odkształcenie dla gołych prętów zbrojeniowych zdefiniowany w EN 1992-1-1, sekcja 3.2.7 (Rys. 29). Definicja tego wykresu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia na etapie projektowania (klasa wytrzymałości i ciągliwości). Jeśli są znane, można uwzględnić rzeczywistą zależność naprężenie-odkształcenie zbrojenia (walcowane na gorąco, obrabiane na zimno, hartowane i samo-odpuszczane, …). Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia może zostać zdefiniowany przez użytkownika, ale w takim przypadku niemożliwe jest uwzględnienie efektu tension stiffening (nie można obliczyć szerokości rys). Zastosowanie wykresu naprężenie-odkształcenie z poziomą górną gałęzią nie pozwala na weryfikację trwałości konstrukcji. Dlatego konieczna jest ręczna weryfikacja standardowych wymagań dotyczących ciągliwości.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 29 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$$

Efekt tension stiffening (Rys. 30) jest uwzględniany automatycznie poprzez modyfikację wprowadzonej zależności naprężenie-odkształcenie gołego pręta zbrojeniowego w celu odzwierciedlenia średniej sztywności prętów osadzonych w betonie (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 30\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method jest zgodna z nowoczesnymi normami projektowymi. Ponieważ modele obliczeniowe wykorzystują wyłącznie standardowe właściwości materiałowe, format częściowych współczynników bezpieczeństwa przewidziany w normach projektowych może być stosowany bez żadnych modyfikacji. W ten sposób obciążenia wejściowe są mnożone przez odpowiednie współczynniki, a charakterystyczne właściwości materiałowe są redukowane przy użyciu odpowiednich współczynników bezpieczeństwa przewidzianych w normach projektowych, dokładnie tak samo jak w konwencjonalnej analizie betonu. Wartości współczynników bezpieczeństwa materiału przewidziane w EN 1992-1-1 rozdz. 2.4.2.4 oraz współczynniki dla kotew przewidziane w EN 1992-4, EN 1993-1-8 i EN 1994-1-1 są ustawione domyślnie, ale użytkownik może zmienić współczynniki bezpieczeństwa w ustawieniach Code and calculation settings (Rys. 31).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 31\qquad Ustawienie współczynników bezpieczeństwa materiału w Idea StatiCa Detail.}}}$$

Współczynniki bezpieczeństwa obciążeń muszą zostać zdefiniowane przez użytkownika w Combination rules dla każdej nieliniowej kombinacji przypadków obciążeń (Rys. 32). Dla wszystkich szablonów zaimplementowanych w Idea StatiCa Detail, częściowe współczynniki bezpieczeństwa są już predefiniowane.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Rys. 32\qquad Ustawienie częściowych współczynników obciążenia w Idea StatiCa Detail.}}}$$

Stosując odpowiednie, zdefiniowane przez użytkownika kombinacje częściowych współczynników bezpieczeństwa, użytkownicy mogą również obliczać przy użyciu 3D CSFM metodą globalnego współczynnika nośności (Navrátil, et al. 2017), jednak podejście to jest rzadko stosowane w praktyce projektowej. Niektóre wytyczne zalecają stosowanie metody globalnego współczynnika nośności w analizie nieliniowej. Jednak w uproszczonych analizach nieliniowych (takich jak 3D CSFM), które wymagają jedynie tych właściwości materiałowych, które są wykorzystywane w konwencjonalnych obliczeniach ręcznych, nadal bardziej pożądane jest stosowanie formatu częściowych współczynników bezpieczeństwa.

Beton - Wytrzymałość

Model betonu zaimplementowany do obliczeń wytrzymałościowych w CSFM opiera się na parabolicznym-plastycznym wykresie naprężenie-odkształcenie dla betonu, bazującym na parabolicznym wykresie naprężenie-odkształcenie Portland Cement Association, opisanym w PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figure 6-8. Wytrzymałość na rozciąganie jest pomijana, tak jak w klasycznym projektowaniu żelbetu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 40\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w zakresie odkształceń dla betonu ściskanego (tj. po osiągnięciu naprężenia szczytowego rozważana jest gałąź plastyczna z ε_c0 o wartości maksymalnej 5%, podczas gdy ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 zakłada odkształcenie graniczne mniejsze niż 0,3%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności odkształceniowej konstrukcji ulegających zniszczeniu przez ściskanie. Niemniej jednak wytrzymałość jest prawidłowo przewidywana, gdy wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości jest uwzględniany za pomocą współczynnika redukcyjnego $\eta_{fc}$ zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

α₁ to współczynnik redukcyjny wytrzymałości betonu na ściskanie zdefiniowany w ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Przy zastosowaniu paraboliczno-prostokątnego wykresu naprężenie-odkształcenie konieczne jest zredukowanie maksymalnego naprężenia ściskającego o ten współczynnik. Uśrednia to rozkład naprężeń w strefie ściskanej w taki sposób, że wynikowa wytrzymałość na ściskanie jest mniejsza lub równa wytrzymałości na ściskanie obliczonej przy użyciu wykresu naprężenie-odkształcenie z malejącą gałęzią plastyczną.

Φ_c to współczynnik redukcyjny wytrzymałości betonu. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z ACI 318-19 Table 24.2.1 (b)(f).

f'_c to wytrzymałość betonu na ściskanie na próbkach walcowych (w MPa, dla definicji $\eta_{fc}$).

Zbrojenie

Przyjmuje się idealnie sprężysto-plastyczny wykres naprężenie-odkształcenie z określonym punktem plastyczności dla zbrojenia niesprężanego. Patrz ACI 319-19 Cl. 20.2.1. Definicja tego wykresu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia - wytrzymałości i modułu sprężystości.

Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia może być również zdefiniowany przez użytkownika, ale w tym przypadku niemożliwe jest uwzględnienie efektu usztywnienia (tension stiffening). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 41 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

gdzie:

Φ_s to współczynnik redukcyjny wytrzymałości zbrojenia. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z ACI 318-19 Table 24.2.1.

f_y to granica plastyczności zbrojenia

E_s moduł sprężystości zbrojenia

Jako graniczne odkształcenie, przy którym obliczenia są przerywane, wybrano 10%. Jest to uznawane za bezpieczne na podstawie ASTM A955/A955M-20c Article 7.

Tension stiffening (Rys. 42)  jest uwzględniany automatycznie poprzez modyfikację wprowadzonej zależności naprężenie-odkształcenie dla samego pręta zbrojeniowego, w celu uchwycenia średniej sztywności prętów osadzonych w betonie (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 42\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method jest zgodna z nowoczesnymi normami projektowymi. Ponieważ modele obliczeniowe wykorzystują wyłącznie standardowe właściwości materiałowe, format częściowych współczynników bezpieczeństwa określony w normach projektowych może być zastosowany bez żadnej adaptacji. W ten sposób obciążenia wejściowe są mnożone przez odpowiednie współczynniki, a charakterystyczne właściwości materiałowe są redukowane przy użyciu odpowiednich współczynników redukcji wytrzymałości, dokładnie tak samo jak w konwencjonalnej analizie betonu.

Wartości współczynników redukcji wytrzymałości są określone w ACI 318-19 rozdział 21, a dla kotew w ACI 318-19 rozdział 17 oraz AISC 360-16 rozdział D, E, F, G. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 43\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Współczynniki obciążenia dla kombinacji nośności należy definiować zgodnie z ACI 318-19 Tabela 5.3.1.

Z wyjątkiem przypadków opisanych w Rozdziale 34, kombinacje obciążeń na poziomie eksploatacyjnym nie są zdefiniowane w ACI 318-19. Zaleca się stosowanie reguł kombinacji opartych na Załączniku C normy ASCE/SEI 7-16. Dla wszystkich szablonów współczynniki obciążenia są już predefiniowane.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 44\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Różne weryfikacje wymagane przez ACI 318-19 są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników uzyskanych z modelu. Weryfikacje są przeprowadzane dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężeń stycznych przyczepności).

Wytrzymałość - Beton

Wytrzymałość betonu na ściskanie jest oceniana jako stosunek maksymalnego równoważnego naprężenia głównego f_c,eq (również σ_c,eq we wcześniejszym tekście) uzyskanego z analizy MES do wartości granicznej f'_c,lim.

Równoważne naprężenie główne wyraża równoważne jednoosiowe naprężenie dla ogólnego trójosiowego stanu naprężenia.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Wartość f_c,eq można więc bezpośrednio porównać z granicznymi wartościami wytrzymałości jednoosiowej. Wyrażenie to wynika z zastosowania teorii plastyczności Mohra-Coulomba, konserwatywnie przyjmując kąt tarcia wewnętrznego φ = 0°.

Wytrzymałość - Zbrojenie

Wytrzymałość zbrojenia jest oceniana zarówno przy rozciąganiu, jak i ściskaniu, jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w rysach f_s do określonej wartości granicznej f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Wytrzymałość - Kotwy

Kotwy są sprawdzane pod kątem naprężeń normalnych w sposób podobny do zbrojenia, gdzie określana jest wartość graniczna f_y,lim. 

Aby ułatwić poruszanie się po poniższym tekście, najpierw podzielimy zakotwienia na trzy grupy pod względem sprawdzenia normowego zgodnie z ACI lub AISC.

Grupa 1

• Typy zakotwienia

  • Płyta wbetonowana (Cast-in plate)
  • Płyta podstawy - Stand-off = bezpośrednio 
  • Płyta podstawy - Stand-off = spoina zaprawowa - grubość zaprawy mniejsza niż 0,5 średnicy kotwy
  • Pojedyncza kotwa z długością wystającą mniejszą niż 0,5 średnicy kotwy
• Sprawdzenia normowe kotew (ACI / AISC)

  • Rozciąganie/ściskanie

    • Wszystkie typy kotew przy rozciąganiu – ACI 318-19 rozdz. 17.6.1.2  
    • Wszystkie typy kotew przy ściskaniu – AISC 360-16 rozdz. E
  • Ścinanie bez ramienia dźwigni

    • Materiał śruby – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b)
    • Śruby z łbem – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (a)
    • Zbrojenie – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b)
  • Interakcja rozciągania i ścinania - ACI 318-19 rozdz. 17.8

Grupa 2

• Typy zakotwienia

  • Płyta podstawy - Stand-off = spoina zaprawowa - grubość zaprawy większa niż 0,5 średnicy kotwy
• Sprawdzenia normowe kotew (ACI / AISC)

  • Rozciąganie/ściskanie

    • Wszystkie typy kotew przy rozciąganiu – ACI 318-19 rozdz. 17.6.1.2  
    • Wszystkie typy kotew przy ściskaniu – AISC 360-16 rozdz. E
  • Ścinanie z ramieniem dźwigni

    • Materiał śruby – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b) + rozdz. 17.7.1.2.1.
    • Śruby z łbem – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (a) + rozdz. 17.7.1.2.1.
    • Zbrojenie – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b) + rozdz. 17.7.1.2.1.
  • Interakcja rozciągania i ścinania - ACI 318-19 rozdz. 17.8

Grupa 3

• Typy zakotwienia

  • Płyta podstawy - Stand-off = szczelina
  • Pojedyncza kotwa z długością wystającą większą niż 0,5 średnicy kotwy
• Sprawdzenia normowe kotew (ACI / AISC)

  • Rozciąganie/ściskanie (z wyboczeniem)

    • Wszystkie typy kotew przy rozciąganiu – ACI 318-19 rozdz. 17.6.1.2
    • Wszystkie typy kotew przy ściskaniu – AISC 360-16 rozdz. E3
  • Zginanie

    • Dla wszystkich typów kotew – AISC 360-16 rozdz. F11
  • Ścinanie

    • Dla wszystkich typów kotew – AISC 360-16 rozdz. G
  • Interakcja siły osiowej i zginania

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Nośność na rozciąganie kotwy zgodnie z ACI 318-19 rozdz. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

gdzie:

• ϕ_a,t  – współczynnik redukcji wytrzymałości dla kotew rozciąganych zgodnie z ACI 318-19 rozdz. 17.5.3 (a)
• A_se,N – pole przekroju rozciąganego (zredukowane przez gwint)
• f_uta – określona wytrzymałość na rozciąganie stali kotwy, nie większa niż 1,9 f_ya i 860 MPa

Nośność na ścinanie kotwy zgodnie z ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (a)

Wytrzymałość stali na ścinanie dla śrub z łbem jest określana jako:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

gdzie:
ϕ_a,v – współczynnik redukcji wytrzymałości dla kotew rozciąganych zgodnie z ACI 318-19 rozdz. 17.5.3 (a)
A_se,V – pole przekroju rozciąganego (zredukowane przez gwint)
f_uta – określona wytrzymałość na rozciąganie stali kotwy, nie większa niż 1,9 f_ya i 860 MPa

Nośność na ścinanie kotwy zgodnie z ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b)

Wytrzymałość stali na ścinanie dla kotew z materiału śrubowego i zbrojenia jest określana jako:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

gdzie:

• ϕ_a,v  – współczynnik redukcji wytrzymałości dla kotew rozciąganych zgodnie z ACI 318-19 rozdz. 17.5.3 (a)
• A_se,V – pole przekroju rozciąganego (zredukowane przez gwint)
• f_uta – określona wytrzymałość na rozciąganie stali kotwy, nie większa niż 1,9 f_ya i 860 MPa

Nośność na ścinanie kotwy połączonej z podłożem za pomocą zaprawy - ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2.1

Jeśli kotwy są stosowane z warstwą zaprawy (Grupa 2), wytrzymałość obliczeniowa obliczona zgodnie z 17.7.1.2 powinna zostać pomnożona przez 0,80.

Interakcja rozciągania i ścinania zgodnie z ACI 318-19 rozdz. 17.8

Dopuszcza się pominięcie interakcji między rozciąganiem a ścinaniem, jeśli spełniony jest warunek (a) lub (b).
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Jeśli N_ua/(ϕN_n) > 0,2 dla decydującej wytrzymałości na rozciąganie oraz V_ua/(ϕV_n) > 0,2 dla decydującej wytrzymałości na ścinanie, wówczas należy spełnić równanie (17.8.3).

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Nośność na ściskanie kotwy zgodnie z AISC 360-16 rozdz. E3

$$P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}$$

gdzie:

• ϕ_a,t  – współczynnik redukcji wytrzymałości dla kotew ściskanych zgodnie z AISC 360-16 rozdz. E1
  
• (a) Gdy: $\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  lub     $\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25$

  • $F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y$
    
• (b) Gdy: $\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  lub     $\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25$

  • $F_{cr}=0.877F_e$
    
• A_g​ – pole przekroju brutto elementu
• E – moduł sprężystości stali
• $F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}$ - naprężenie krytyczne wyboczenia sprężystego
• F_y – określona minimalna granica plastyczności stosowanego rodzaju stali
• $r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}$ – promień bezwładności
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – moment bezwładności śruby 

Nośność na zginanie kotwy zgodnie z AISC 360-16 rozdz. F11

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

gdzie:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – plastyczny wskaźnik wytrzymałości przekroju śruby
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – sprężysty wskaźnik wytrzymałości przekroju śruby

Nośność na ścinanie kotwy zgodnie z AISC 360-16 rozdz. G

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

gdzie:

• A_V = 0.844As – pole powierzchni ścinania
• A_s – pole przekroju śruby zredukowane przez gwinty

Miażdżenie betonu na styku kotwa–beton

Nośność kotwy na ścinanie jest również ograniczona z punktu widzenia miażdżenia betonu na styku kotwa–beton. Wartości graniczne oraz metoda ich wyznaczania są szczegółowo opisane w artykule - Shear behaviour of anchors in reinforced concrete. Gdy siła kontaktowa osiągnie tę wartość graniczną, uruchamiane jest kryterium zatrzymania, a analiza zostaje zakończona przed przekroczeniem nośności.​ 

Sprawdzenie wyrywania dla kotew z łbem (Washer plates i Headed studs)

Dla kotew z łbem zaimplementowano dodatkowe kryterium zatrzymania w celu sprawdzenia nośności betonu na docisk (miażdżenie) ponad łbem kotwy - wyrywanie. Podczas analizy monitorowana jest siła ściskająca przenoszona przez kontakt łba z betonem i porównywana z wartością graniczną podaną w ACI 318-19, punkt 17.6.3.2.2a (zniszczenie przez wyrywanie łączników z łbem).

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

gdzie:

• $\Phi$ to współczynnik redukcji wytrzymałości - Tabela 17.5.3(c)
• A_brg pole powierzchni docisku łba śruby, kotwy lub pręta odkształconego z łbem (bez pola trzpienia). 
• f'_c to określona wytrzymałość betonu na ściskanie
• $\Psi_{c,p}$ to współczynnik zarysowania przy wyrywaniu zgodnie z 17.6.3.3, i jest zawsze przyjmowany jako 1,0, tj. wartość dla betonu zarysowanego. Jest to zgodne z podejściem CSFM stosowanym w Detail, gdzie wytrzymałość betonu na rozciąganie jest pomijana, a beton jest zakładany jako zarysowany przy rozciąganiu.

Gdy siła kontaktowa osiągnie tę wartość graniczną wynikającą z normy, uruchamiane jest kryterium zatrzymania, a analiza zostaje zakończona przed przekroczeniem nośności na wyrywanie.​ 

Zakotwienie -  Naprężenie przyczepności

Naprężenie styczne przyczepności jest oceniane niezależnie jako stosunek naprężenia przyczepności τ_b obliczonego przez analizę MES do wytrzymałości przyczepności f_bu.

Chociaż wytrzymałość przyczepności nie jest wprost zdefiniowana w ACI 318-19, obliczanie długości zakotwienia można znaleźć w punkcie 25.4.2. Jednak ponieważ wytrzymałość przyczepności jest podstawowym parametrem wejściowym do wyznaczania długości zakotwienia, patrz R25.4.1.1 oraz ACI Committee 408 1966, wytrzymałość przyczepności można obliczyć w następujący sposób:

Załóżmy, że jeśli zakotwimy pręt zbrojeniowy w bloku betonowym na długości zakotwienia l_d lub większej, wyrwanie zbrojenia doprowadzi do zerwania zbrojenia, a nie do wyrwania z betonu. Można to zapisać za pomocą następującego wzoru.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

gdzie:

d_b to średnica pręta zbrojeniowego, l_d to długość zakotwienia, f_bu to wytrzymałość przyczepności, f_y to granica plastyczności zbrojenia, a A_s to pole przekroju pręta zbrojeniowego.

Z powyższego można łatwo wyprowadzić wzór do obliczania wytrzymałości przyczepności:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Długość zakotwienia l_d jest następnie wyznaczana zgodnie z ACI 318-19 Tabela 25.4.2.3 w następujący sposób:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

gdzie:

C = 25 (2,1 w układzie metrycznym) dla prętów nr 6 i mniejszych oraz drutów żebrowanych, C = 20 (1,7 w układzie metrycznym) dla prętów nr 7 i większych, λ = 1,0 dla betonu o normalnej gęstości, ψ_t, ψ_e, ψ_g są wyznaczane zgodnie z ACI 318-19 Tabela 25.4.2.3. 

Obsługiwane jest tylko zbrojenie niepowlekane lub cynkowane (ocynkowane), więc ψ_e = 1,0. ψ_g jest automatycznie wyznaczane na podstawie klasy zbrojenia, a ψ_t jest automatycznie wyznaczane na podstawie położenia zbrojenia w modelu oraz kierunku betonowania, który można ustawić w aplikacji dla każdego elementu projektu w następujący sposób.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 45\qquad Direction of concreting}}}$$

Weryfikacje te są przeprowadzane w odniesieniu do odpowiednich wartości granicznych dla poszczególnych części konstrukcji (tj. mimo że przyjęto jedną klasę zarówno dla betonu, jak i dla zbrojenia, ostateczne diagramy naprężenie-odkształcenie będą różnić się w każdej części konstrukcji ze względu na efekty tension stiffening i compression softening).

Zakotwienie -  Siła całkowita

Siła całkowita F_tot i siła graniczna F_lim

Siła całkowita F_tot jest wynikiem analizy metodą elementów skończonych i może być zdefiniowana na dwa sposoby.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

gdzie A_s to pole przekroju pręta zbrojeniowego, a f_s to naprężenie w pręcie.

Lub jako suma siły zakotwienia F_a oraz siły przyczepności F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

gdzie F_a to rzeczywista siła w sprężynie zakotwienia, a F_bond to siła przyczepności, którą można uzyskać przez całkowanie naprężenia przyczepności τ_b na długości pręta zbrojeniowego l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s to obwód pręta zbrojeniowego.

Siła graniczna F_lim to maksymalna siła w elemencie pręta zbrojeniowego z uwzględnieniem wytrzymałości pręta, a także warunków zakotwienia (przyczepność między betonem a zbrojeniem oraz haki zakotwienia, pętle itp.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

gdzie C_s to obwód pręta zbrojeniowego, a l to długość od początku pręta zbrojeniowego do rozpatrywanego punktu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 46\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

gdzie F_lim,add to siła dodatkowa obliczona z wielkości kąta między sąsiednimi elementami. F_lim,2 musi być zawsze mniejsza niż F_u.

Dostępne typy zakotwienia w CSFM obejmują pręt prosty (tj. bez redukcji na końcu kotwy), hak 90 stopni, hak 180 stopni, przyczepność idealną (perfect bond) oraz pręt ciągły. Wszystkie te typy, wraz z odpowiadającymi im współczynnikami zakotwienia β, są przedstawione na Rys. 47 dla zbrojenia podłużnego. Wartości przyjętych współczynników zakotwienia wynikają z porównania równania z rozdziału ACI 318-19 25.4.3.1 oraz równań zaczerpniętych z rozdziału ACI 318-19 25.4.2.3. Należy zauważyć, że mimo różnych dostępnych opcji, CSFM rozróżnia trzy typy zakończeń zakotwienia: (i) brak redukcji długości zakotwienia, (ii) redukcja o 30% długości zakotwienia w przypadku znormalizowanego zakotwienia, oraz (iii) przyczepność idealna.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 47\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Współczynnik zakotwienia dla strzemion wynosi zawsze - β = 1,0.

Aby zapewnić zgodność z ACI, w obliczeniach powinna być stosowana sprężyna zakotwienia; sprężyna zakotwienia jest modyfikowana przez współczynnik β, dlatego użytkownik musi zastosować jeden z dostępnych typów zakotwienia podczas definiowania warunków początku i końca zbrojenia. 

Beton - Wytrzymałość

Model betonu zaimplementowany do obliczeń wytrzymałościowych w CSFM 3D opiera się na założeniach AASHTO LRFD dotyczących projektowania na wytrzymałość, uwzględniających równowagę i zgodność odkształceń. Zgodnie z AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.6.2.1, wytrzymałość betonu na rozciąganie jest pomijana.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 48\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementacja CSFM 3D w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w zakresie odkształceń betonu ściskanego (tzn. po osiągnięciu naprężenia szczytowego przyjmowana jest gałąź plastyczna z ε_c0 o wartości maksymalnej 5%, podczas gdy AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.6.2.1 zakłada odkształcenie graniczne mniejsze niż 0,3%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności odkształceniowej konstrukcji ulegających zniszczeniu przy ściskaniu. Niemniej jednak wytrzymałość jest poprawnie przewidywana, gdy uwzględni się wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości za pomocą współczynnika redukcyjnego $\eta_{fc}$ zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

α₁ to współczynnik redukcyjny wytrzymałości betonu na ściskanie zdefiniowany w AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.6.2.2. Przy zastosowaniu wykresu naprężenie-odkształcenie w postaci paraboli-prostokąta konieczne jest zredukowanie maksymalnego naprężenia ściskającego o ten współczynnik. Uśrednia to rozkład naprężeń w strefie ściskanej w taki sposób, aby wynikowa wytrzymałość na ściskanie była mniejsza lub równa wytrzymałości na ściskanie obliczonej przy użyciu wykresu naprężenie-odkształcenie z opadającą gałęzią plastyczną.

Φ_c to współczynnik redukcji wytrzymałości betonu. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.5.4.2.

f'_c to wytrzymałość betonu na ściskanie na próbkach walcowych (w MPa dla definicji $\eta_{fc}$).

Zbrojenie

Przyjmuje się idealnie sprężysto-plastyczny wykres naprężenie-odkształcenie z określonym punktem plastyczności dla zbrojenia niesprężonego. Patrz AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.4.3. Definicja tego wykresu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia - wytrzymałości i modułu sprężystości.

Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia może być również zdefiniowany przez użytkownika, ale w takim przypadku niemożliwe jest uwzględnienie efektu usztywnienia przy rozciąganiu (tension stiffening). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 49 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

gdzie:

Φ_s to współczynnik redukcji wytrzymałości zbrojenia. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.5.4.2.

f_y to granica plastyczności zbrojenia

E_s moduł sprężystości zbrojenia

Jako graniczne odkształcenie, przy którym obliczenia są przerywane, wybrano wartość 10%. Uznaje się to za bezpieczne na podstawie ASTM A955/A955M-20c Artykuł 7.

Efekt usztywnienia przy rozciąganiu (tension stiffening) (Rys. 50)  jest uwzględniany automatycznie poprzez modyfikację wprowadzonej zależności naprężenie-odkształcenie dla gołego pręta zbrojeniowego, tak aby uchwycić średnią sztywność prętów osadzonych w betonie (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 50\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method jest zgodna z nowoczesnymi normami projektowymi. Ponieważ modele obliczeniowe wykorzystują wyłącznie standardowe właściwości materiałowe, format częściowych współczynników bezpieczeństwa określony w normach projektowych może być stosowany bez żadnych modyfikacji. W ten sposób obciążenia wejściowe są mnożone przez odpowiednie współczynniki, a charakterystyczne właściwości materiałowe są redukowane przy użyciu odpowiednich współczynników redukcji wytrzymałości, dokładnie tak jak w konwencjonalnej analizie betonu.

Wartości współczynników redukcji wytrzymałości są określone w AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.5.4 oraz dla kotew w ACI 318-19 Rozdział 17 i AASHTO LRFD (2024) Artykuł 6.5.4.2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 51\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Współczynniki obciążenia oraz kombinacje obciążeń należy definiować zgodnie z AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Artykuł 3.4.1 oraz Tabele 3.4.1-1 do 3.4.1-6. AASHTO LRFD jednoznacznie określa kombinacje obciążeń dla stanu granicznego nośności (Strength I do Strength V), wraz z odpowiednimi współczynnikami obciążenia dla każdego przypadku.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 52\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Różne weryfikacje wymagane przez AASHTO są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników dostarczonych przez model. Weryfikacje przeprowadzane są dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia ścinające przyczepności).

Wytrzymałość - Beton

Wytrzymałość betonu na ściskanie jest oceniana jako stosunek maksymalnego równoważnego naprężenia głównego f_c,eq (również σ_c,eq w poprzednim tekście) uzyskanego z analizy MES do wartości granicznej f'_c,lim.

Równoważne naprężenie główne wyraża równoważne jednoosiowe naprężenie dla ogólnego trójoosiowego stanu naprężenia.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Wartość f_c,eq może być zatem bezpośrednio porównywana z granicami wytrzymałości jednoosiowej. Wyrażenie to wywodzi się z implementacji teorii plastyczności Mohra-Coulomba, przy zachowawczym założeniu kąta tarcia wewnętrznego φ = 0°.

Wytrzymałość - Zbrojenie

Wytrzymałość zbrojenia jest oceniana zarówno na rozciąganie, jak i ściskanie jako stosunek naprężenia w zbrojeniu w rysach f_s do określonej wartości granicznej f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Wytrzymałość - Kotwy

Kotwy są sprawdzane pod kątem naprężeń normalnych w sposób podobny do zbrojenia, gdzie wyznaczana jest wartość graniczna f_y,lim. 

Aby ułatwić nawigację w poniższym tekście, podzielimy najpierw zakotwienie na trzy grupy pod względem sprawdzenia normowego zgodnie z AASHTO lub ACI.

Grupa 1

• Typy zakotwień

  • Płyta wylewana na miejscu budowy
  • Płyta podstawy - Stand-off = bezpośrednie 
  • Płyta podstawy - Stand-off = spoina z zaprawy - grubość zaprawy mniejsza niż 0,5 średnicy kotwy
  • Pojedyncza kotwa z długością rzutowaną mniejszą niż 0,5 średnicy kotwy
• Sprawdzenia normowe kotew (AASHTO / ACI)

  • Rozciąganie/ściskanie

    • Wszystkie typy kotew na rozciąganie – ACI 318-19 rozdz. 17.6.1.2  
    • Wszystkie typy kotew na ściskanie – AASHTO artykuł 6.9.2
  • Ścinanie bez ramienia dźwigni

    • Materiał śruby – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b)
    • Śruby z łbem – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (a)
    • Zbrojenie – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b)
  • Interakcja rozciągania i ścinania - ACI 318-19 rozdz. 17.8

Grupa 2

• Typy zakotwień

  • Płyta podstawy - Stand-off = spoina z zaprawy - grubość zaprawy większa niż 0,5 średnicy kotwy
• Sprawdzenia normowe kotew (AASHTO / ACI)

  • Rozciąganie/ściskanie

    • Wszystkie typy kotew na rozciąganie – ACI 318-19 rozdz. 17.6.1.2  
    • Wszystkie typy kotew na ściskanie – AASHTO artykuł 6.9.2
  • Ścinanie z ramieniem dźwigni

    • Materiał śruby – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b) + rozdz. 17.7.1.2.1.
    • Śruby z łbem – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (a) + rozdz. 17.7.1.2.1.
    • Zbrojenie – ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b) + rozdz. 17.7.1.2.1.
  • Interakcja rozciągania i ścinania - ACI 318-19 rozdz. 17.8

Grupa 3

• Typy zakotwień

  • Płyta podstawy - Stand-off = szczelina
  • Pojedyncza kotwa z długością rzutowaną większą niż 0,5 średnicy kotwy
• Sprawdzenia normowe kotew (AASHTO / ACI)

  • Rozciąganie/ściskanie (z wyboczeniem)

    • Wszystkie typy kotew na rozciąganie – ACI 318-19 rozdz. 17.6.1.2
    • Wszystkie typy kotew na ściskanie – AASHTO LRFD artykuł 6.9.2
  • Zginanie

    • Dla wszystkich typów kotew – AASHTO LRFD artykuł 6.12.2.2.7
  • Ścinanie

    • Dla wszystkich typów kotew – AASHTO LRFD artykuł 6.10.9
  • Interakcja siły osiowej i zginania

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Nośność na rozciąganie kotwy według ACI 318-19 rozdz. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

gdzie:

• ϕ_a,t  – współczynnik redukcji nośności dla kotew na rozciąganie według ACI 318-19 rozdz. 17.5.3 (a)
• A_se,N – pole przekroju czynnego na rozciąganie (zredukowane przez gwint)
• f_uta – określona wytrzymałość na rozciąganie stali kotwy, nie większa niż 1,9 f_ya i 860 MPa

Nośność na ścinanie kotwy według ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (a)

Nośność stali na ścinanie dla śrub z łbem wyznaczana jest jako:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

gdzie:
ϕ_a,v – współczynnik redukcji nośności dla kotew na rozciąganie według ACI 318-19 rozdz. 17.5.3 (a)
A_se,V – pole przekroju czynnego na rozciąganie (zredukowane przez gwint)
f_uta – określona wytrzymałość na rozciąganie stali kotwy, nie większa niż 1,9 f_ya i 860 MPa

Nośność na ścinanie kotwy według ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2 (b)

Nośność stali na ścinanie dla kotew z materiału śrubowego i zbrojenia wyznaczana jest jako:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

gdzie:

• ϕ_a,v  – współczynnik redukcji nośności dla kotew na rozciąganie według ACI 318-19 rozdz. 17.5.3 (a)
• A_se,V – pole przekroju czynnego na rozciąganie (zredukowane przez gwint)
• f_uta – określona wytrzymałość na rozciąganie stali kotwy, nie większa niż 1,9 f_ya i 860 MPa

Nośność na ścinanie kotwy połączonej z podstawą na zaprawie - ACI 318-19 rozdz. 17.7.1.2.1

Jeżeli kotwy są stosowane z podkładkami z zaprawy (Grupa 2), obliczona nośność zgodnie z 17.7.1.2 powinna być pomnożona przez 0,80.

Interakcja rozciągania i ścinania według ACI 318-19 rozdz. 17.8

Dopuszcza się pominięcie interakcji między rozciąganiem a ścinaniem, jeżeli spełniony jest warunek (a) lub (b).
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Jeżeli N_ua/(ϕN_n) > 0,2 dla miarodajnej nośności na rozciąganie i V_ua/(ϕV_n) > 0,2 dla miarodajnej nośności na ścinanie, wówczas należy spełnić równanie (17.8.3).

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Nośność na ściskanie kotwy według AASHTO LRFD Artykuł 6.9.2

$$P_r =\phi_{a,c}\, P_{n}$$

gdzie:

• ϕ_a,c  – współczynnik redukcji nośności dla kotew na ściskanie według AASHTO LRFD artykuł 6.5.4.2

• Jeżeli $\dfrac{P_o}{P_e} \le 2.25$,  to: $P_{n}=\left(0.658^{\,P_o/P_e}\right)P_o$,   W przeciwnym razie: $P_n=0.877\,P_e$

• A_g​ – brutto pole przekroju poprzecznego elementu (in²)
• F_y – określona minimalna granica plastyczności stosowanego gatunku stali (ksi)
• $P_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{K\,l}{r_s}\right)^2}A_g$ - sprężysta krytyczna nośność na wyboczenie (kip)
• E – moduł sprężystości stali (ksi)
• K = 2 – współczynnik długości efektywnej według Artykułu 4.6.2.5 
• l – długość nieusztywniona w płaszczyźnie wyboczenia (in) 
• $r_s=\sqrt{\dfrac{I}{A_g}}$ – promień bezwładności
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – moment bezwładności śruby 

Nośność na zginanie kotwy według AASHTO LRFD Artykuł 6.12.2.2.7

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

gdzie:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – plastyczny wskaźnik wytrzymałości przekroju śruby
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – sprężysty wskaźnik wytrzymałości przekroju śruby

Nośność na ścinanie kotwy według AASHTO LRFD Artykuł 6.10.9

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

gdzie:

• A_V = 0.844As – pole przekroju na ścinanie
• A_s – pole przekroju śruby zredukowane przez gwint

Miażdżenie betonu na styku kotwy z betonem

Nośność kotwy na ścinanie jest również ograniczona z punktu widzenia miażdżenia betonu na styku kotwy z betonem. Wartości graniczne i metoda ich wyznaczania są szczegółowo opisane w artykule - Zachowanie kotew na ścinanie w żelbecie. Gdy siła kontaktowa osiągnie tę wartość graniczną, uruchamiane jest kryterium zatrzymania i analiza jest przerywana przed przekroczeniem nośności.​ 

Sprawdzenie wyrwania dla kotew z łbem (podkładki i śruby z łbem)

Dla kotew z łbem zaimplementowane jest dodatkowe kryterium zatrzymania w celu sprawdzenia docisku betonu (miażdżenia) nad głowicą kotwy - wyrwanie. Podczas analizy monitorowana jest siła ściskająca przenoszona przez kontakt głowicy z betonem i porównywana z wartością graniczną podaną przez ACI 318-19, Klauzula 17.6.3.2.2a (zniszczenie przez wyrwanie kotew z łbem).

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

gdzie:

• $\Phi$ jest współczynnikiem redukcji nośności - Tabela 17.5.3(c)
• A_brg netto pole nośne głowicy śruby, śruby kotwiącej lub pręta żebrowanego z łbem (bez pola trzpienia). 
• f'_c jest określoną wytrzymałością betonu na ściskanie
• $\Psi_{c,p}$ jest współczynnikiem zarysowania przy wyrwaniu według 17.6.3.3 i jest zawsze przyjmowany jako 1,0, tj. wartość dla betonu zarysowanego. Jest to zgodne z podejściem CSFM stosowanym w Detail, gdzie wytrzymałość betonu na rozciąganie jest pomijana i przyjmuje się, że beton jest zarysowany na rozciąganie.

Gdy siła kontaktowa osiągnie tę wartość graniczną wynikającą z normy, uruchamiane jest kryterium zatrzymania i analiza jest przerywana przed przekroczeniem nośności na wyrwanie.​ 

Zakotwienie -  Naprężenie przyczepności

Naprężenie ścinające przyczepności jest oceniane niezależnie jako stosunek naprężenia przyczepności τ_b obliczonego metodą MES do wytrzymałości na przyczepność f_bu.

Ponieważ jednak wytrzymałość na przyczepność nie jest wprost zdefiniowana w AASHTO, jej wartość musi być wyznaczona przy użyciu równań definiujących długość zakotwienia. Wytrzymałość na przyczepność jest w istocie podstawowym parametrem wejściowym do wyznaczania długości zakotwienia; zob. np. artykuł AASHTO LRFD (2024) Artykuł C5.10.8.2 lub NCHRP Report 733, Załącznik E strona E-9.

Obliczenie opisane w AASHTO LRFD (2024) Artykuł 5.10.8.2.1 i 5.10.8.2.2, które wymaga znajomości maksymalnego rozstawu osiowego zbrojenia poprzecznego w obrębie l_d, liczby prętów lub drutów zakotwanych wzdłuż płaszczyzny rozszczepiania, całkowitego pola przekroju poprzecznego całego zbrojenia poprzecznego oraz innych wielkości geometrycznych, których nie można wiarygodnie określić w modelu aplikacji Detail dla ogólnych danych wejściowych, przyjęto podejście z AASHTO LRFD (2014) Artykuł 5.11.2.1.1 w następujący sposób:

Przyjmijmy, że jeżeli zakotwiony jest pręt zbrojeniowy w bloku betonowym na długości zakotwienia l_d lub większej, wyrwanie zbrojenia doprowadzi do zerwania zbrojenia, a nie do wyrwania betonu. Można to zapisać następującym wzorem.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{b}$$

gdzie:

• d_b jest średnicą pręta zbrojeniowego
• l_d jest długością zakotwienia
• f_bu jest wytrzymałością na przyczepność
• f_y jest granicą plastyczności zbrojenia
• A_b jest polem przekroju pręta zbrojeniowego

Na podstawie powyższego można łatwo wyprowadzić wzór na obliczanie wytrzymałości na przyczepność.

 $$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{b}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Podstawowa długość zakotwienia na rozciąganie l_db jest wyznaczana w AASHTO LRFD (2014) Artykuł 5.11.2.1.1 w następujący sposób:

Dla prętów nr 11 i mniejszych:   $l_{bd}=\max\left(1.25\cdot\dfrac{A_{b}\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}},\ 0.4\cdot d_{b}\cdot f_{y}\right)$

Dla prętów nr 14:   $l_{bd}=\dfrac{2.70\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

Dla prętów nr 18:   $l_{bd}=\dfrac{3.5\cdot f_{y}}{\sqrt{f'_{c}}}$

gdzie:

• A_b jest polem przekroju pręta zbrojeniowego (in²)
• f_y jest określoną granicą plastyczności zbrojenia (ksi)
• f'_c określona wytrzymałość betonu na ściskanie w wieku 28 dni, o ile nie podano innego wieku (ksi)
• d_b jest średnicą pręta zbrojeniowego (in)

Następnie, mnożąc podstawową długość zakotwienia l_db przez współczynniki opisane w AASHTO LRFD (2014) Artykuł 5.11.2.1.2 i 5.11.2.1.3, wyznaczana jest długość zakotwienia l_d jako dane wejściowe.

Współczynniki modyfikacyjne zmniejszające długość zakotwienia z 5.11.2.1.3 są zawsze równe 1,0 w aplikacji. Współczynnik modyfikacyjny dla górnego poziomego lub prawie poziomego zbrojenia wynosi 1,4 dla warunków przyczepności „złych", zgodnie z poniższym rysunkiem:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 53\qquad Description of bond conditions; a)  b) 'good' bond conditions for all bars;  c)  d) unhatched zone – 'good' bond conditions, hatched zone – 'poor' bond conditions}}}$$

Kierunek betonowania można ustawić w aplikacji.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 54\qquad Direction of concreting}}}$$

Wszystkie pozostałe współczynniki wyznaczone w 5.11.2.1.2 są równe 1,0, ponieważ obsługiwany jest wyłącznie beton zwykły i wyłącznie zbrojenie niepowlekane.

Naprężenie ścinające przyczepności i wytrzymałość na przyczepność prętów ściskanych są obliczane analogicznie do prętów rozciąganych, lecz stosowane są równania z AASHTO LRFD (2014) Artykuł 5.11.2.2.

Istnieje również możliwość modelowania prętów gładkich. Więcej informacji można znaleźć tutaj: Pręty gładkie w Detail

Siła całkowita F_tot i siła graniczna F_lim

Siła całkowita F_tot jest wynikiem analizy metodą elementów skończonych i może być zdefiniowana na dwa sposoby.

$$F_{tot}=A_{b} \cdot f_{s}$$

gdzie A_b jest polem przekroju pręta zbrojeniowego, a f_s jest naprężeniem w pręcie.

Lub jako suma siły zakotwienia F_a i siły przyczepności F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

gdzie F_a jest rzeczywistą siłą w sprężynie zakotwienia, a F_bond jest siłą przyczepności, którą można uzyskać przez całkowanie naprężenia przyczepności τ_b wzdłuż długości pręta zbrojeniowego l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego.

Siła graniczna F_lim jest maksymalną siłą w elemencie pręta zbrojeniowego uwzględniającą wytrzymałość pręta oraz warunki zakotwienia (przyczepność między betonem a zbrojeniem oraz haki, pętle itp.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{b}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

gdzie C_s jest obwodem pręta zbrojeniowego, a l jest długością od początku pręta do rozpatrywanego punktu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 55\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

gdzie F_lim,add jest dodatkową siłą obliczoną na podstawie wartości kąta między sąsiednimi elementami. F_lim,2 musi być zawsze mniejsza niż F_u.

Dostępne typy zakotwień w CSFM obejmują pręt prosty (tj. bez redukcji końca zakotwienia), hak 90°, hak 180°, doskonałą przyczepność oraz pręt ciągły. Wszystkie te typy wraz z odpowiednimi współczynnikami zakotwienia β przedstawiono na Rys. 56 dla zbrojenia podłużnego. Wartości przyjętych współczynników zakotwienia są wyprowadzone z porównania równania z sekcji AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.1 i równań z sekcji AASHTO LRFD (2014) 5.11.2.4.1. Należy zauważyć, że pomimo różnych dostępnych opcji, CSFM rozróżnia trzy typy końców zakotwienia: (i) brak redukcji długości zakotwienia, (ii) redukcja o 30% długości zakotwienia w przypadku znormalizowanego zakotwienia oraz (iii) doskonała przyczepność.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 56\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Współczynnik zakotwienia dla strzemion (dostępny dla elementu belkowego) wynosi zawsze - β = 1,0.

Aby zachować zgodność z AASHTO, w obliczeniach należy stosować sprężynę zakotwienia. Sprężyna zakotwienia jest modyfikowana przez współczynnik β, dlatego użytkownik musi wybrać jeden z dostępnych typów zakotwienia podczas definiowania warunków początku i końca zbrojenia. 

Beton - Wytrzymałość

Model betonu zaimplementowany do obliczeń wytrzymałościowych w CSFM opiera się na paraboliczno-plastycznej krzywej naprężenie-odkształcenie. Wytrzymałość na rozciąganie jest pomijana, podobnie jak w klasycznym projektowaniu żelbetu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 57\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementacja CSFM w IDEA StatiCa Detail nie uwzględnia jawnego kryterium zniszczenia w kategoriach odkształceń dla betonu ściskanego (tj. po osiągnięciu naprężenia szczytowego uwzględniana jest gałąź plastyczna z ε_cp o maksymalnej wartości 5%, podczas gdy AS 3600 Cl. 8.3.1 zakłada odkształcenie graniczne mniejsze niż 0,3%). To uproszczenie nie pozwala na weryfikację zdolności odkształceniowej konstrukcji ulegających zniszczeniu przy ściskaniu. Jednak wytrzymałość jest prawidłowo przewidywana, gdy wzrost kruchości betonu wraz ze wzrostem jego wytrzymałości jest uwzględniany za pomocą współczynnika redukcyjnego $\eta_{fc}$ zdefiniowanego w fib Model Code 2010 w następujący sposób:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{2}\cdot\phi_{s} \cdot \eta_{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

gdzie:

α₂ jest współczynnikiem redukcyjnym wytrzymałości betonu na ściskanie zdefiniowanym w AS 3600 Cl. 8.3.1
Przy zastosowaniu wykresu naprężenie-odkształcenie w postaci paraboliczno-prostokątnej konieczne jest zredukowanie maksymalnego naprężenia ściskającego o ten współczynnik. Powoduje to uśrednienie rozkładu naprężeń w strefie ściskanej w taki sposób, że wynikowa wytrzymałość na ściskanie jest mniejsza lub równa wytrzymałości na ściskanie obliczonej przy użyciu wykresu naprężenie-odkształcenie z malejącą gałęzią plastyczną. Analogiczne podejście zdefiniowano dla prostokątnego bloku naprężeń w Rozdziale 8.1.3.

Φ_s jest współczynnikiem redukcji naprężeń dla betonu. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z AS 3600 Tabela 2.2.3.

f'_c jest wytrzymałością walcową betonu (w MPa, dla definicji $\eta_{fc}$).

Zbrojenie

Dla zbrojenia niesprężonego przyjmowany jest idealnie sprężysto-plastyczny wykres naprężenie-odkształcenie z określonym punktem plastyczności, patrz AS 3600 Sekcja 3.2. Definicja tego wykresu wymaga jedynie znajomości podstawowych właściwości zbrojenia – wytrzymałości i modułu sprężystości.

Wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia może być również zdefiniowany przez użytkownika, ale w tym przypadku nie jest możliwe uwzględnienie efektu usztywnienia przy rozciąganiu (nie jest możliwe obliczenie szerokości rysy). 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 58 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

gdzie:

Φ_s jest współczynnikiem redukcji wytrzymałości dla zbrojenia. Wartość domyślna jest ustawiona zgodnie z AS 3600 Tabela 2.2.3.

f_y jest granicą plastyczności zbrojenia

E_s moduł sprężystości zbrojenia

Efekt usztywnienia przy rozciąganiu (Fig. 59)  jest uwzględniany automatycznie poprzez modyfikację wejściowej zależności naprężenie-odkształcenie dla gołego pręta zbrojeniowego, w celu odzwierciedlenia średniej sztywności prętów osadzonych w betonie (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 59\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method jest zgodna ze współczesnymi normami projektowymi. Ponieważ modele obliczeniowe wykorzystują wyłącznie standardowe właściwości materiałowe, format cząstkowych współczynników bezpieczeństwa określony w normach projektowych może być zastosowany bez żadnych modyfikacji. W ten sposób obciążenia wejściowe są mnożone przez odpowiednie współczynniki, a charakterystyczne właściwości materiałowe są redukowane za pomocą odpowiednich współczynników redukcji naprężeń, dokładnie tak samo jak w konwencjonalnej analizie betonu.

Wartości współczynników redukcji naprężeń są określone w AUS 3600 Cl. 2.2.3 oraz innych punktach przedstawionych na poniższym rysunku.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 60\qquad The setting of stress reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Współczynniki obciążenia dla kombinacji nośności powinny być określone zgodnie z AS 3600 Cl. 4.2.2. Współczynniki obciążenia dla kombinacji użytkowalności powinny być określone zgodnie z Tabelą 4.1. Dla wszystkich szablonów współczynniki obciążenia są już wstępnie zdefiniowane.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 61\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Różne weryfikacje wymagane przez AS 3600 są oceniane na podstawie bezpośrednich wyników uzyskanych z modelu. Weryfikacje są przeprowadzane dla wytrzymałości betonu, wytrzymałości zbrojenia oraz zakotwienia (naprężenia stycznego przyczepności).

Wytrzymałość - Beton

Wytrzymałość betonu na ściskanie jest oceniana jako stosunek maksymalnego równoważnego naprężenia głównego f_c,eq (określanego również jako σ_c,eq we wcześniejszym tekście) uzyskanego z analizy MES do wartości granicznej f'_c,lim.

Równoważne naprężenie główne wyraża równoważne jednoosiowe naprężenie dla ogólnego trójosiowego stanu naprężenia.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Wartość f_c,eq może więc być bezpośrednio porównana z granicznymi wartościami wytrzymałości jednoosiowej. Wyrażenie to wywodzi się z zastosowania teorii plastyczności Mohra-Coulomba, przy konserwatywnym założeniu kąta tarcia wewnętrznego φ = 0°.

Wytrzymałość - Zbrojenie

Wytrzymałość zbrojenia jest oceniana zarówno przy rozciąganiu, jak i ściskaniu, jako stosunek naprężenia w zbrojeniu na rysach f_s do określonej wartości granicznej f_sy,lim.

$$f_{sy,lim} = \phi_{s} \cdot f_{sy}$$

Wytrzymałość - Kotwy

Kotwy są sprawdzane pod kątem naprężeń normalnych w sposób podobny do zbrojenia, gdzie określana jest wartość graniczna f_sy,lim. 

Aby ułatwić poruszanie się po poniższym tekście, najpierw podzielimy kotwy na trzy grupy pod względem sprawdzenia normowego zgodnie z AS 5216 i AS 4100.

Grupa 1

• Typy zakotwienia

  • Płyta zabetonowana (cast-in)
  • Płyta podstawy - odsadzenie = bezpośrednie 
  • Płyta podstawy - odsadzenie = warstwa zaprawy - grubość zaprawy mniejsza niż 0,5 średnicy kotwy
  • Pojedyncza kotwa o długości wystającej mniejszej niż 0,5 średnicy kotwy
• Sprawdzenia normowe kotew

  • Rozciąganie/ściskanie

    • Wszystkie materiały przy rozciąganiu – AS 5216 rozdz. 6.2.2
    • Wszystkie typy kotew przy ściskaniu – AS 4100 rozdz. 6.3.3
  • Ścinanie bez ramienia dźwigni

    • Wszystkie materiały – AS 5216 rozdz. 7.2.2.2
  • Interakcja rozciągania i ścinania - AS 5216 rozdz. 8.1.1

Grupa 2

• Typy zakotwienia

  • Płyta podstawy - odsadzenie = warstwa zaprawy - grubość zaprawy większa niż 0,5 średnicy kotwy
• Sprawdzenia normowe kotew

  • Rozciąganie/ściskanie

    • Wszystkie materiały przy rozciąganiu – AS 5216 rozdz. 6.2.2
    • Wszystkie typy kotew przy ściskaniu – AS 4100 rozdz. 6.3.3
  • Ścinanie z ramieniem dźwigni

    • Wszystkie materiały – AS 5216 rozdz. 7.2.2.3

Weryfikacja interakcji zgodnie z AS 5216 nie jest wymagana dla łączników montowanych po zabetonowaniu ani śrub kanałów kotwiących poddanych obciążeniu ścinającemu z ramieniem dźwigni, ponieważ interakcja ta jest uwzględniona w równaniu 7.2.2.3(2).

Grupa 3

• Typy zakotwienia

  • Płyta podstawy - odsadzenie = szczelina
  • Pojedyncza kotwa o długości wystającej większej niż 0,5 średnicy kotwy
• Sprawdzenia normowe kotew (ACI / AISC)

  • Rozciąganie/ściskanie (z wyboczeniem)

    • Wszystkie materiały przy rozciąganiu – AS 5216 rozdz. 6.2.2 lub AS 4100 rozdz. 9.2.2.2 (można wybrać w ustawieniach)
    • Wszystkie typy kotew przy ściskaniu – AS 4100 rozdz. 6.3.3
  • Zginanie

    • Dla wszystkich typów kotew – AS 4100 rozdz. 5.1
  • Ścinanie

    • Dla wszystkich typów kotew – AS 4100 rozdz. 5.11
• Interakcja opisana w dalszej części

Nośność na rozciąganie kotwy zgodnie z AS 5216 rozdz. 6.2.2

$$\phi N_{tf}=\phi_{Ms}\,A_s\,f_{uf}$$

gdzie:

• ϕN_tf – wartość obliczeniowa nośności kotwy na rozciąganie
• $\phi_{Ms}=\dfrac{5 f_{yf}}{6 f_{uf}}\le \dfrac{1}{1.4}$ – współczynnik redukcji wytrzymałości dla kotew rozciąganych zgodnie z AS 5216 Tabela 3.2.4
• A_s – pole przekroju rozciąganego (zredukowane przez gwint)
• f_uf – określona wytrzymałość na rozciąganie stali kotwy 

Nośność na ścinanie kotwy zgodnie z AS 5216 rozdz. 7.2.2.2

Wytrzymałość stali przy ścinaniu bez ramienia dźwigni jest określana jako:

$$\phi V_{Rk,s}=\phi_{Ms}\,0.62\,f_{uf}\,A$$

gdzie:

• ϕV_tf – wartość obliczeniowa nośności kotwy na ścinanie
• A_s  – pole przekroju rozciąganego (zredukowane przez gwint)
• f_uf – określona wytrzymałość na rozciąganie stali kotwy 
• $\phi_{Ms}=\begin{cases}\dfrac{f_{yf}}{f_{uf}} \le 0.8, & \text{when } f_{uf}\le 800~\text{MPa and } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}\le 0.8 \\[8pt] \dfrac{2}{3}, & \text{when } f_{uf}> 800~\text{MPa or } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}> 0.8 \end{cases}$

Wartość obliczeniowa nośności pojedynczego łącznika w przypadku zniszczenia stali, lub łączników o stosunku h_ef / d_nom < 5 i klasie wytrzymałości betonu na ściskanie < 20 MPa, wartość obliczeniowa nośności ϕV_tf powinna zostać pomnożona przez współczynnik 0,8.

Nośność na ścinanie kotwy zgodnie z AS 5216 rozdz. 7.2.2.3

Wytrzymałość stali przy ścinaniu z ramieniem dźwigni jest określana jako:

$$\phi V_{Rk,s,M}=\phi_{Ms}\,\frac{\alpha_M\,M_{Rk,s}}{l_a}$$

gdzie:

• α_M = 2 – parametr uwzględniający stopień usztywnienia, zakłada się, że mocowanie jest zabezpieczone przed obrotem – p. 4.2.2.4
• $M_{Rk,s}=M_{Rk,s}^{0}\left(1-\dfrac{N^{*}}{\phi_{Ms}\,N_{Rk,s}}\right)$ – charakterystyczna wytrzymałość na zginanie łącznika, uwzględniająca wpływ obciążenia osiowego
• $l_a = a_3 + e_1 - l_e$ – długość ramienia dźwigni
• $a_3 = 0.5\,d$ – odległość między zakładanym punktem podparcia łącznika obciążonego ścinaniem a powierzchnią betonu
• $e_1 = t_g + \dfrac{t_{fix}}{2}$ – mimośród przyłożonego obciążenia ścinającego względem powierzchni betonu, z pominięciem grubości warstwy wyrównującej zaprawy lub zaprawy montażowej
• t_g – grubość warstwy zaprawy
• t_fix – grubość płyty podstawy
• d – nominalna średnica łącznika
• N* – wartość obliczeniowa siły rozciągającej
• ϕ_Ms N_Rk,s – wytrzymałość na rozciąganie łącznika przy zniszczeniu stali
• $M_{Rk,s}^{0}=1.2\,W_{el}\,f_{uf}$ – charakterystyczna wytrzymałość na zginanie łącznika – ETAG 001 – Załącznik C
• $W_{el}=\dfrac{\pi d_s^{3}}{32}$ – sprężysty wskaźnik wytrzymałości przekroju łącznika, średnica zredukowana przez gwint
• $d_s=\sqrt{\dfrac{4A_s}{\pi}}$ – stosowana zamiast średnicy nominalnej d dla prętów gwintowanych i podkładek
• $\phi_{Ms}=\begin{cases}\dfrac{f_{yf}}{f_{uf}} \le 0.8, & \text{when } f_{uf}\le 800~\text{MPa and } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}\le 0.8 \\[8pt] \dfrac{2}{3}, & \text{when } f_{uf}> 800~\text{MPa or } \dfrac{f_{yf}}{f_{uf}}> 0.8 \end{cases}$

Interakcja rozciągania i ścinania zgodnie z AS 5216 rozdz. 8.1.1

$$\left(\frac{N^{*}}{\phi N_{Rk,s}}\right)^{2}+\left(\frac{V^{*}}{\phi V_{Rk,s}}\right)^{2}\le 1.0$$

Gdzie:

• N* – wartość obliczeniowa siły rozciągającej przyłożonej do pojedynczego łącznika
• V* – wartość obliczeniowa siły ścinającej przyłożonej do pojedynczego łącznika 
• ϕN_Rk,s – wartość obliczeniowa wytrzymałości na rozciąganie pojedynczego łącznika
• ϕV_Rk,s – wartość obliczeniowa wytrzymałości na ścinanie pojedynczego łącznika

Nośność na rozciąganie kotwy zgodnie z AS 4100 rozdz. 9.2.2.2

$$N_{tf}^{*}\le \phi_{a,t} A_s f_{uf}$$

gdzie:

• A_s – pole przekroju rozciąganego (zredukowane przez gwint) zgodnie z AS 1275
• ϕ_a,t – współczynnik nośności dla śrub zgodnie z AS 4100 Tabela 3.4

Nośność na ściskanie kotwy zgodnie z AS 4100 rozdz. 6.3.3

$$\phi N_c=\phi\,\alpha_c\,N_s=\phi\,\alpha_c\,k_f\,A_s\,f_y \le \phi N_s$$

gdzie:

• ϕ_a,c – współczynnik nośności dla śrub zgodnie z AS 4100 Tabela 3.4
• $N_c=\alpha_c\,N_s \le N_s$ – nominalna nośność elementu – p. 6.3.3
• $N_s=k_f\,A_s\,f_y$ – nominalna nośność przekroju – p. 6.2
• f_y – granica plastyczności kotwy
• $l_e=k_e\,l$ – długość efektywna – p. 6.3.2
• k_e = 2 – współczynnik długości efektywnej elementu, przyjmuje się konserwatywnie, że kotwa jest zamocowana na dole i przegubowa na górze jako element ramy przechylnej
• $l = l_{gap}+\dfrac{d}{2}+\dfrac{t_p}{2}$ – zakładana długość elementu
• l_gap – wysokość szczeliny
• d – nominalna średnica śruby
• t_p – grubość płyty podstawy
• $\alpha_c=\xi\left[\,1-\sqrt{\,1-\left(\dfrac{90}{\xi\,\lambda}\right)^2}\,\right]$ – współczynnik redukcji smukłości elementu
• $\xi=\frac{\left(\dfrac{\lambda}{90}\right)^2+1+\eta}{2\left(\dfrac{\lambda}{90}\right)^2}$
• $\lambda=\lambda_n+\alpha_a\alpha_b$
• $\eta=0.00326(\lambda-13.5)\ge 0$
• $\lambda_n=\left(\frac{l_e}{r}\right)\sqrt{k_f}\,\sqrt{\dfrac{f_y}{250}}$
• $\alpha_a=\dfrac{2100(\lambda_n-13.5)}{\lambda_n^2-15.3\lambda_n+2050}$
• α_b = 0,5 – stała przekroju elementu ściskanego - Tabela 6.3.3
• k_f = 1 – współczynnik kształtu – p. 6.2.2
• $r=\sqrt{\dfrac{I_s}{A_s}}$ – promień bezwładności
• $I_s=\dfrac{1}{64}\,\pi d_s^{4}$ – moment bezwładności
• A_s – pole przekroju rozciąganego śruby zgodnie z definicją w AS 1275
• $d_s=\sqrt{\dfrac{4A_s}{\pi}}$ – średnica zredukowana przez gwint