Na prática, os engenheiros podem deparar-se com diferentes tipos de elementos finitos (desde simples elementos de barra 1D até elementos sólidos 3D mais complexos) utilizados numa variedade de aplicações para a análise e o dimensionamento de elementos estruturais. Uma característica comum à maioria dos cálculos na prática é o comportamento linear dos modelos, cujas vantagens são, sem dúvida, a rapidez, a clareza e, simplesmente, o facto de que, para uma grande variedade de problemas, esta solução ser perfeitamente suficiente.

Especialmente no domínio das estruturas de betão, sucede com frequência que a abordagem linear não é suficiente, simplesmente porque, após o aparecimento das primeiras fissuras no elemento carregado, as tensões são redistribuídas e o problema torna-se significativamente não linear.

Nestes casos, é necessário optar por uma das abordagens mais sofisticadas. Para casos 1D, é frequente encontrar métodos analíticos definidos diretamente nas normas. Por exemplo, podem ser construídos os populares modelos de Escora e Tirante para elementos planos 2D e regiões de descontinuidade (regiões D), ou pode ser utilizado o método dos campos de tensões, mais sofisticado, implementado no IDEA StatiCa Detail, o CSFM.

No entanto, se o engenheiro se deparar com um problema que não pode ser simplificado para um comportamento plano, as opções são muito limitadas. Naturalmente, pode ser construído um modelo de Escora e Tirante 3D ou pode ser utilizado software semicientífico para uma análise rigorosa. Estes procedimentos são frequentemente morosos, não são conformes com as normas e exigem um engenheiro com conhecimentos em métodos de modelação avançados.

Por este motivo, a IDEA StatiCa desenvolveu e implementou o 3D CSFM (Método do Campo de Tensões Compatível) na aplicação Detail. O 3D CSFM estende o CSFM já consolidado a uma terceira dimensão, oferecendo uma solução rápida e conforme com as normas, aplicável sobretudo ao engenheiro do dia a dia, conferindo-lhe uma nova capacidade única para abordar em segurança os pormenores complexos das estruturas de betão.

O 3D CSFM define o comportamento do betão com base na teoria da plasticidade de Mohr-Coulomb modificada para carregamento monotónico. O método considera as tensões principais de compressão no betão e as tensões na armadura (σ_sr) nas fendas, desprezando a resistência à tração do betão (truncamento da tração), exceto pelo seu efeito de enrijecimento na armadura (Enrijecimento à tração).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

As varões de armadura estão ligados aos elementos finitos de volume de betão através de elementos de aderência, o que permite o escorregamento entre o betão e a armadura. De salientar que o 3D CSFM não é adequado para simular betão simples devido à ausência de tração, o que pode conduzir a deformações enganosas e à divergência do modelo. Em geral, a teoria de Mohr-Coulomb inclui duas propriedades fundamentais que governam a evolução da superfície de plasticidade na compressão e parcialmente na tração: o ângulo de atrito interno φ e o parâmetro de coesão c. O 3D CSFM assume um ângulo de atrito interno nulo (Fig. 1.2.1e), o que conduz a um dimensionamento conservativo, dado que a superfície de plasticidade se assemelha ao modelo de Tresca, que é independente do primeiro invariante de tensões.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

Betão 

O modelo de material apresentado é um modelo de plasticidade multissuperfície, dado pela combinação dos modelos de Mohr-Coulomb e Rankine para carregamento monotónico. É importante notar que este modelo não contempla a descarga; por isso, as variáveis de estado não são armazenadas, ao contrário do que sucede nos modelos clássicos de plasticidade utilizados para carregamento cíclico.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

Como já referido, o modelo de material destina-se a aplicações que calculam a resposta do betão armado (não é adequado para betão simples). Tal deve-se à exclusão do betão à tração. Por conseguinte, o modelo também não é adequado para elementos estruturais em que as regras de dimensionamento do betão armado, como a taxa mínima de armadura, o espaçamento máximo entre varões, etc., não sejam cumpridas. Importa ainda acrescentar que, por razões de estabilidade numérica, é definida no modelo uma capacidade resistente à tração muito reduzida. A zona de tração é limitada por planos correspondentes ao modelo de Rankine.

O 3D CSFM no IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão à compressão (ou seja, considera um ramo plástico infinito após ser atingida a tensão de pico). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que rompem por compressão. No entanto, a sua capacidade última é corretamente prevista quando o aumento da fragilidade do betão com o aumento da sua resistência é considerado através do fator de redução 𝜂_𝑓𝑐 definido no fib Model Code 2010 da seguinte forma:

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

em que:

f_c é a resistência característica do betão em provete cilíndrico (em MPa para a definição de $\eta_{fc}$).

O valor f_c,red é depois comparado com a Tensão Principal Equivalente σ_c,eq no betão, que será definida mais adiante, naturalmente considerando todos os coeficientes de segurança prescritos pela norma.

Pode encontrar uma descrição detalhada do modelo de betão na seguinte ligação:

• Modelo de material de betão para o 3D Detail

Armadura

O diagrama tensão-deformação bilinear para os varões de armadura, tal como definido pelas normas de cálculo (Fig. 1.2.1d), representa um modelo idealizado. Este modelo exige o conhecimento das propriedades básicas da armadura na fase de dimensionamento, nomeadamente a resistência e a classe de ductilidade. Em alternativa, o utilizador pode definir uma relação tensão-deformação personalizada.

O enrijecimento à tração é considerado através da modificação da relação tensão-deformação do varão de armadura nu, de modo a refletir a rigidez média dos varões embebidos no betão (ε_m) (Fig 1.2.1b).

Ancoragem

O escorregamento da aderência entre a armadura e o betão é introduzido no modelo de elementos finitos considerando a relação constitutiva simplificada rígido-perfeitamente plástica apresentada na (Fig. 1.2.1f), sendo f_bd o valor de cálculo (valor majorado) da tensão última de aderência especificada pela norma de cálculo para as condições de aderência específicas.

Trata-se de um modelo simplificado com o único objetivo de verificar as prescrições de aderência segundo as normas de cálculo (ou seja, a ancoragem da armadura). A redução do comprimento de ancoragem quando se utilizam ganchos, laços e formas de varão semelhantes pode ser considerada através da definição de uma determinada capacidade na extremidade da armadura, conforme será descrito mais adiante.

Âncoras

O elemento da âncora é definido como capaz de transferir forças normais de tração ou de compressão, bem como forças de corte, considerando a rigidez de flexão. 

Estão disponíveis os seguintes tipos de âncoras:

• Âncoras moldadas no local

  • Armadura
  • Placa de anilha
  • Pino com cabeça
• Armadura moldada no local

  • Armadura
  • Barras roscadas

Moldado no local - Armadura

Modelada como armadura nervurada embebida no betão. A resistência de aderência é calculada de acordo com as regras da norma selecionada, da mesma forma que para a armadura corrente. Na extremidade da âncora, pode ser definido um Tipo de ancoragem, com funcionamento idêntico ao da armadura - é aplicada uma mola de ancoragem com o fator β definido de acordo com a norma escolhida. Estão disponíveis três formas geométricas: Reta, em L, em U.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

Moldado no local - Placa de anilha e pino com cabeça

A placa de anilha e a cabeça do pino com cabeça são modeladas como um elemento de casca-placa do material correspondente, ligado diretamente à haste da âncora. Transfere a carga para o betão através de contacto apenas à compressão. Formas disponíveis: circular e quadrada (apenas circular para o pino com cabeça), com dimensões personalizáveis. O modelo da placa de anilha e da cabeça é elástico e não é verificado quanto à resistência. 

Ao nível do modelo de elementos finitos, o arrancamento da âncora é verificado diretamente. O contacto à compressão tem critérios de paragem definidos, de modo a não ser capaz de transferir para o betão uma tensão de contacto superior à prescrita pela norma selecionada. Na prática, isto significa que, se a âncora for carregada com uma força que não cumpra a verificação ao arrancamento, o cálculo terminará prematuramente, porque este critério de paragem será excedido durante o carregamento seguinte.

A haste da âncora tem resistência de aderência nula – toda a carga é transferida para o betão através da placa ou da cabeça.

Pós-instalado - Armadura e barra roscada

Concebidas como varões instalados em furos executados e colados com adesivo. O engenheiro especifica a resistência de aderência de cálculo diretamente a partir da ficha técnica do produto adesivo.

Modelo de material de âncoras feitas de material de parafuso

Para as âncoras feitas de material de parafuso (barras roscadas e âncoras com placas de anilha), duas propriedades do modelo de material diferem dos valores nominais do material do parafuso: o módulo de elasticidade e a ductilidade. Ambas descrevem o comportamento do conjunto do parafuso e a geometria dos provetes de ensaio em que os valores nominais são medidos. Não dependem da norma de cálculo, pelo que são aplicadas de forma idêntica para todas as normas de cálculo. Tanto o diagrama tensão-deformação nominal do material do parafuso como o diagrama modificado pelos coeficientes C_E e C_A são apresentados no separador Materials (Fig. 1.2.4).

Rigidez elástica. O módulo de elasticidade do material do parafuso é reduzido pelo coeficiente C_E:

$$E_{b} = C_{E} \cdot E , C_E=0.8$$

• E - módulo de elasticidade do parafuso
• E_b - módulo de elasticidade da âncora utilizado na análise

Esta abordagem foi adotada com base em investigação recente (ainda não publicada; a referência será acrescentada após a publicação), na qual o módulo de elasticidade efetivo do conjunto do parafuso foi calibrado por análise de elementos finitos com base numa extensa base de dados de ensaios de parafusos. Este valor é confirmado pelos resultados experimentais já publicados por Janković et al. (2025): em 66 ensaios de tração de barras roscadas com 1000 mm de comprimento (M20 a M30, classes 8.8 e 10.9), a rigidez inicial medida correspondeu a 0,8·E·A_s/L_b, com uma razão média entre a rigidez prevista e a medida de 0,98 e um coeficiente de variação de 7,9 %. Em barras com este comprimento, a influência das porcas e do comprimento de rosca em contacto é desprezável, pelo que a redução representa o módulo de elasticidade efetivo da própria barra roscada. De resto, o mesmo fator está contido na rigidez de um parafuso à tração na EN 1993-1-8 (coeficiente 1,6 para uma fiada de dois parafusos).

Ductilidade. A ductilidade do material do parafuso é caracterizada pelo alongamento percentual após rotura A, tipicamente de cerca de 10 %. Estes valores são medidos em provetes curtos, nos quais a estricção local constitui uma grande parte do alongamento medido. O comprimento da zona de estricção não depende do comprimento do provete, pelo que o alongamento percentual diminui à medida que o provete se torna mais comprido. Para âncoras embebidas várias centenas de milímetros no betão, é substancialmente inferior ao valor especificado. Por este motivo, a aplicação utiliza a ductilidade reduzida:

$$A_{red} = A/C_A$$

$$C_{A} = L_s / (0.177 \cdot L_s + 2.19)$$

• A - alongamento percentual após rotura do material do parafuso
• A_red - ductilidade reduzida, utilizada como critério de paragem em deformação da âncora
• C_A - coeficiente de redução da ductilidade
• L_s - comprimento embebido da âncora [mm]

Quando a deformação na âncora atinge A_red, o critério de paragem é satisfeito e a análise é terminada, da mesma forma que os restantes critérios de paragem do 3D CSFM.

A equação foi adotada com base em investigação recente (ainda não publicada; a referência será acrescentada após a publicação), que fornece uma aproximação da deformação plástica de um parafuso na sua resistência última, calibrada com base numa extensa base de dados de ensaios de parafusos: Δ_u,p = A · (0,177 · L + 2,19), em que L é o comprimento deformável do parafuso em mm. O termo proporcional ao comprimento representa o alongamento uniforme da barra, e o termo constante representa a contribuição local da estricção. Na aplicação, o comprimento embebido da âncora L_s é tomado como este comprimento, e a divisão de Δ_u,p por L_s dá a deformação A/C_A. O coeficiente C_A aumenta com o comprimento e aproxima-se do limite 1/0,177 = 5,65. Para comprimentos embebidos de 200 mm ou mais, excede 5,3, pelo que a ductilidade da âncora é reduzida para aproximadamente um quinto do valor nominal, por exemplo, de 12 % para cerca de 2,2 % com L_s = 300 mm.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.4\qquad Stress-strain diagram of the bolt material in the Materials tab: nominal diagram and the diagram modified by the coefficients C_E and C_A}}}\]

Pode encontrar mais informações sobre a ligação dos diversos tipos de âncoras à placa de base ou à placa embebida no capítulo Tipos de elementos finitos - Dispositivos de transferência de carga. 

No capítulo seguinte, veremos como a teoria de Mohr-Coulomb é implementada no 3D CSFM. Explicaremos como o efeito de confinamento (estado de tensão triaxial) é considerado e como é calculada a Tensão Principal Equivalente σ_c,eq, que é utilizada para determinar a capacidade resistente do ponto de vista do betão.

Introdução à teoria

A teoria de Mohr–Coulomb é um modelo matemático que descreve a resposta de materiais frágeis ao corte e à tensão normal. A maioria dos materiais de engenharia clássicos segue esta regra, pelo menos numa parte da sua envolvente de rotura por corte. De um modo geral, a teoria aplica-se a materiais cuja resistência à compressão excede largamente a resistência à tração.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.1\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}$$

Na engenharia de estruturas, a teoria é utilizada para determinar a carga de rotura, bem como o ângulo de fratura correspondente ao deslocamento da superfície de fratura no betão e em materiais semelhantes. A hipótese de atrito de Coulomb é utilizada para determinar a combinação de tensão de corte e tensão normal que provocará a fratura do material. O círculo de Mohr é utilizado para determinar quais as tensões principais que produzirão esta combinação de tensão de corte e tensão normal, bem como o ângulo do plano em que esta ocorrerá. De acordo com o princípio da normalidade, a tensão introduzida na rotura será perpendicular à linha que descreve a condição de fratura. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.2\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}$$

Pode demonstrar-se que, num material que rompe de acordo com a hipótese de atrito de Coulomb, o deslocamento introduzido na rotura forma com a linha de fratura um ângulo igual ao ângulo de atrito. Isto permite determinar a resistência do material comparando o trabalho mecânico externo introduzido pelo deslocamento e pela carga externa com o trabalho mecânico interno introduzido pela deformação e pela tensão na linha de rotura. Pela conservação da energia, a soma destes trabalhos deve ser nula, o que permite calcular a carga de rotura da construção.

Implementação no 3D CSFM

Em geral, para um dado ângulo de atrito interno do betão, que ronda φ = 30-40° nas Referências [1], [2], [3], [4], e para as resistências à tração e à compressão do betão, podem construir-se os círculos de Mohr conforme a Figura 1.3.3.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.3\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

Em que f_c é a resistência do betão à compressão, f_ct é a resistência do betão à tração, φ é o ângulo de atrito interno, e σ_c1, σ_c3 são as tensões principais do betão sob compressão triaxial.

Pode observar-se que, à medida que a tensão principal σ_c3 aumenta, a diferença máxima possível entre os valores de σ_c3 e σ_c1, que definimos como σ_c,eq máxima (ver abaixo), também aumenta. Esta diferença corresponde ao dobro da tensão desviadora, definida na literatura como o raio dos círculos de Mohr.

No 3D CSFM implementado no IDEA StatiCa Detail, o ângulo de atrito interno é considerado como φ = 0°, conforme apresentado na Figura 7.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.4\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

A consequência prática desta implementação é que a diferença máxima entre σ_c3 e σ_c1 é constante à medida que σ_c3 aumenta. 

A Tensão Principal Equivalente exprime a tensão uniaxial equivalente para um estado de tensão triaxial geral.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

O valor de σ_c,eq pode, portanto, ser comparado diretamente com os limites de resistência uniaxial definidos nas normas.

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Em que σ_c,lim é o valor de cálculo (majorado) da resistência uniaxial do betão f_c.

Comparando a Figura 1.3.3, em que se utiliza o ângulo de atrito interno real, com a Figura 1.3.4, que mostra a implementação da teoria de Mohr-Coulomb com ângulo de atrito interno nulo, verifica-se que a abordagem escolhida para os cálculos no Detail é muito conservativa para a avaliação do estado de tensão triaxial.

Para uma melhor compreensão das zonas afetadas pela tensão de compressão triaxial, a expressão do aumento da resistência efetiva do material devido à compressão triaxial foi adicionada à aplicação IDEA StatiCa Detail como a razão σ_c3/σ_c,lim. Pode encontrar esta razão na verificação normativa da Resistência.

Nos Resultados auxiliares, o utilizador pode também encontrar o fator κ, que explica a triaxialidade de outra forma. 

$$\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}$$

A verificação da resistência do betão pode então ser reescrita como:

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Do exposto decorre que, se o elemento estiver sujeito a tensão hidrostática - σ_c3=σ_c2=σ_c1, a Tensão Principal Equivalente σ_c,eq terá valor nulo e o fator kappa tenderá para infinito.

Pode encontrar mais informação aqui: Tensão triaxial – o efeito de confinamento ativo

Equações de equilíbrio

A teoria das pequenas deformações permite estabelecer a equação de equilíbrio com base no volume indeformado, utilizando uma abordagem de primeira ordem. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.1\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}$$

Equações de compatibilidade

Um corpo sólido é composto por volumes infinitesimais ou pontos materiais, cada um dos quais está interligado aos restantes sem folgas nem sobreposições. Têm de ser respeitadas condições matemáticas para evitar a ocorrência de folgas ou sobreposições quando um corpo contínuo sofre deformação.

Equações constitutivas

As equações constitutivas que regem o comportamento dos elementos 3D desempenham um papel fundamental na análise do comportamento dos materiais na mecânica estrutural. Estas equações são formuladas para contemplar o comportamento isotrópico não linear, que é válido para elementos de bloco maciço no IDEA StatiCa Detail. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.2\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}$$

O 3D CSFM considera campos de tensões contínuos no betão (elementos finitos 3D), complementados por elementos discretos do tipo “barra” que representam a armadura (elementos finitos 1D). Assim, a armadura não está embebida de forma difusa nos elementos finitos 3D de betão, mas é modelada explicitamente e ligada a estes. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.1.1\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}$$

O modelo de análise não linear (inelástica) por elementos finitos é criado por vários tipos de elementos finitos utilizados para modelar o betão, a armadura e a aderência entre ambos. Os elementos de betão e de armadura são primeiro discretizados em malha de forma independente e depois interligados através de restrições multiponto (elementos MPC). Isto permite que a armadura ocupe qualquer posição, não ficando limitada aos nós da malha tetraédrica. Para verificar o comprimento de ancoragem, são inseridos elementos de aderência e elementos de mola de extremidade de ancoragem entre a armadura e os elementos MPC.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.1\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}$$

Betão

O betão é analisado utilizando elementos tetraédricos mistos com rotações nodais. Os elementos tetraédricos permitem discretizar em malha regiões de qualquer topologia, enquanto a formulação implementada garante resultados de deformação rigorosos (sem tensão de corte espúria, conhecida como efeito de shear lock), mesmo para malhas grosseiras que não seriam adequadas para a formulação de elementos tetraédricos lineares. 

É utilizada integração completa. Isto significa que cada elemento dispõe de quatro pontos de integração situados no interior do volume. Esta integração produz um campo de deformações e de tensões preciso, permitindo uma avaliação e apresentação adequadas dos resultados em todo o volume. Posteriormente, os critérios de paragem são estabelecidos com base no valor no ponto de integração.

Armadura

As varões são modelados por elementos 1D de dois nós, “rod” (CROD), que apenas possuem rigidez axial. Estes elementos são ligados a elementos especiais de “aderência” (“bond”), desenvolvidos para modelar o comportamento de escorregamento entre um varão de armadura e o betão envolvente. Estes elementos de aderência são, por sua vez, ligados por elementos MPC (restrição multiponto) à malha que representa o betão. Esta abordagem permite a discretização independente da armadura e do betão, sendo a sua interligação assegurada posteriormente.

Elementos de aderência

O comprimento de ancoragem é verificado através da implementação das tensões de corte de aderência entre os elementos de betão (3D) e os elementos de varão de armadura (1D) no modelo de elementos finitos. Para este efeito, foi desenvolvido o tipo de elemento finito de “aderência” (“bond”).

O elemento de aderência é definido como um elemento finito de casca ligado, pela primeira camada, aos elementos que representam a armadura e, pela segunda camada, à malha de betão através de restrições multiponto (elementos MPC). Note-se que o elemento de aderência é sempre apresentado neste artigo com uma altura não nula, a qual é, no entanto, definida como infinitesimal no modelo.

O comportamento deste elemento é descrito pela tensão de aderência, τ_b, como uma função bilinear do escorregamento entre os nós superior e inferior, δu, ver (Fig. 2.2.2).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.2\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}$$

O módulo de rigidez elástica da relação aderência-escorregamento, Gb, é definido da seguinte forma:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

k_g            coeficiente que depende da superfície do varão de armadura (por defeito kg = 0,2)

E_c            módulo de elasticidade do betão (considerado como Ecm no caso da EN)

Ø             o diâmetro do varão de armadura

Os valores de cálculo (valores majorados) da tensão de corte de aderência última, f_bd, fornecidos nas normas de cálculo selecionadas, EN 1992-1-1 ou ACI 318-19, são utilizados para verificar o comprimento de ancoragem. O endurecimento do ramo plástico é calculado por defeito como Gb/105.

Mola de ancoragem

A disposição de extremidades de ancoragem nos varões de armadura (isto é, dobras, ganchos, laços…), que cumpra as prescrições das normas de cálculo, permite reduzir o comprimento de ancoragem de base dos varões (l_b,net) por um determinado fator β (designado por “coeficiente de ancoragem” a seguir). O valor de cálculo do comprimento de ancoragem (lb) é então calculado da seguinte forma:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.3\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}$$

A redução do comprimento de ancoragem é incluída no modelo de elementos finitos por meio de um elemento de mola na extremidade do varão (Fig. 2.2.3a), definido pelo modelo constitutivo apresentado em (Fig. 2.2.3b). A força máxima transmitida por esta mola (F_au) é:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

onde :

β             o coeficiente de ancoragem em função do tipo de ancoragem

A_s            a secção transversal do varão de armadura

f_yd           o valor de cálculo (valor majorado) da tensão de cedência da armadura

Placa de base

A placa de base é modelada como um elemento de casca elástico. O material de aço utilizado nas placas de base é definido no separador Materials. A única propriedade física é o módulo de elasticidade E.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.1\qquad The base plate material definition}}}$$

A placa de base pode ser carregada por cargas pontuais (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) e por um grupo de forças (Fx, Fy, Fz), utilizado principalmente para carregar modelos exportados do IDEA StatiCa Connection. Note-se que as forças e os momentos pontuais carregam diretamente o nó correspondente da placa de base. Isto significa que não existe redistribuição, a não ser a resultante da rigidez da placa de base. 

Esta implementação permite importar efeitos da ação do IDEA StatiCa Connection que são aplicados à placa de base na localização dos elementos finitos de soldadura individuais, com o valor e a direção determinados a partir da tensão geral desse elemento finito de soldadura. Mais informação pode ser consultada no capítulo correspondente deste documento.

A segunda opção de carregamento é o Stub — que representa um troço curto do pilar acima da placa de base. O troço curto é modelado como uma estrutura de elementos de casca elásticos e comporta-se como uma interface fisicamente rigorosa entre os esforços internos e a placa. O utilizador seleciona uma secção transversal para o troço curto a partir de uma base de dados de secções normalizadas. O conjunto de esforços internos de 6 componentes (forças e momentos) é aplicado num único ponto da face inferior do troço curto — i.e., a base do pilar. As restrições transferem as forças para a face superior do troço curto, a partir da qual são redistribuídas de forma natural através do troço curto para a placa de base, as âncoras e o betão.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.2\qquad The load transfer through the stub}}}$$

Mecanismo de transferência de corte (da placa de base para o bloco de betão)

Entre a placa de base e o betão é definido um contacto com atrito, apenas à compressão. Para a transferência de corte, o utilizador pode escolher entre três opções:

• Por âncoras
• Por atrito
• Por chaveta de corte

O software não permite a combinação destes mecanismos de transferência de corte. 

O coeficiente de atrito deve ser introduzido como valor de cálculo (majorado). Caso a força de corte resultante F_xy exceda a força de compressão F_z multiplicada pelo coeficiente de atrito μ, o cálculo será interrompido e nem todas as cargas serão aplicadas ao modelo. A condição é escrita da seguinte forma:

$$\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1$$

Isto pode ser observado no exemplo seguinte, em que são considerados dois casos de carga. 

• LC1 - Tipo permanente - F_z = 100 kN
• LC2 - Tipo variável - F_x = 100 kN

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.3\qquad Load input for example explaining shear transfer by friction}}}$$

No primeiro passo do cálculo, é aplicada toda a carga permanente. Em seguida, a carga variável é aplicada gradualmente até atingir o valor da força de compressão multiplicado pelo coeficiente de atrito.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.4\qquad Results from example explaining shear transfer by friction}}}$$

O gráfico da Figura 2.3.5 define o comportamento do contacto com atrito entre a placa de base e o betão.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.5\qquad Force-displacement graph describing the behavior of frictional contact}}}$$

O valor de F_zμ difere em cada incremento do cálculo, enquanto o valor da deformação de corte máxima u_xy é constante. 

Se a força normal de compressão F_z e a força de corte F_xy forem introduzidas num único tipo de caso de carga (p. ex., apenas permanente) e a condição F_xy / (F_zμ) ≤ 1 não for satisfeita, nenhuma carga será aplicada ao modelo, uma vez que a condição não é satisfeita em nenhum incremento do cálculo.

A chaveta de corte é ligada à malha de betão por restrições que permitem apenas a transferência de tensões normais de compressão. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.6\qquad Shear lug transfer of shear mechanism}}}$$

A chaveta de corte é modelada com elementos de casca elásticos, em que o módulo de elasticidade E define o material.

Os resultados não são avaliados nem apresentados para a placa de base, nem para a chaveta de corte.

 Opções da placa de base  (afastamento, argamassa de nivelamento)

Está disponível o seguinte conjunto de opções de afastamento, totalmente alinhado com a aplicação Connection.

• Direto
• Junta de argamassa – porcas pela parte superior
• Junta de argamassa – porcas pelas partes superior e inferior
• Folga

A camada de argamassa é modelada como um elemento de casca, tendo-se em conta a sua rigidez. Note-se que os elementos de casca são incompressíveis na direção da sua espessura. Isto ajuda a redistribuir as forças locais para o betão e é válido para as espessuras típicas de assentamento utilizadas na prática - 25-50 mm.

A distinção entre porcas apenas na parte superior (ligação articulada entre a âncora e a placa de base) e porcas nas partes superior e inferior (ligação fixa entre a âncora e a placa de base) influencia fortemente a resistência ao corte do ponto de vista do esmagamento do betão.

Âncoras

Os elementos finitos que representam as âncoras são modelados de modo a poderem transferir forças normais e de corte para o betão, tendo também em conta a rigidez de flexão das âncoras. Para modelar o escorregamento entre a âncora e o betão envolvente, são utilizados os mesmos elementos de aderência e MPC que são utilizados para a armadura. Com a diferença de que:

• Para âncoras pós-instaladas (químicas), é necessário especificar a tensão de aderência de cálculo.
• Para placas de anilha e pinos com cabeça, a aderência é desprezada ao longo do fuste da âncora. Toda a carga axial é então transferida para o betão através da placa de anilha ou da cabeça da âncora.

Aderência dentro do cobrimento de betão - Para âncoras ligadas ao betão por aderência ao longo do fuste, i.e., âncoras de armadura moldadas no local e âncoras pós-instaladas (químicas), os elementos de aderência não estão ativos dentro do cobrimento. A aplicação determina o cobrimento automaticamente como a distância entre a superfície do betão e a face da armadura de superfície (Fig. 2.3.7a). Ao longo deste comprimento, a tensão de aderência entre a âncora e o betão é nula, e a âncora é ligada ao betão por elementos de aderência apenas abaixo do cobrimento, ao longo da restante parte da sua profundidade de embebimento (Fig. 2.3.7b). Toda a carga transferida por aderência é, portanto, introduzida no betão envolvido pela armadura de superfície, e as tensões de aderência da âncora dentro do cobrimento são nulas nos resultados.

A razão é o diferente comportamento à rotura do cobrimento de betão. O 3D CSFM utiliza um modelo de material plástico para o betão que permite a redistribuição das tensões (ver Capítulo 1.2). O cobrimento de betão junto a uma superfície livre, no entanto, rompe de forma frágil, regida pela mecânica da fratura, sem qualquer reserva plástica. Se a aderência estivesse ativa dentro do cobrimento, o modelo desenvolveria um campo de compressão numa região que, na realidade, não consegue suportá-lo de forma fiável, e sobrestimaria a contribuição do cobrimento para a resistência da âncora. Este erro aumenta com a espessura do cobrimento. Além disso, o cobrimento é a parte do modelo exposta ao ambiente (carbonatação, cloretos, agentes agressivos), pelo que as suas propriedades podem degradar-se durante a vida útil da estrutura. Desprezar a aderência dentro do cobrimento é, portanto, uma hipótese conservativa, coerente com as hipóteses básicas do 3D CSFM.

Esta hipótese aplica-se apenas a âncoras que transferem a carga para o betão por aderência ao longo do fuste. Os pinos com cabeça e as âncoras com placas de anilha transferem a carga axial através da cabeça ou da placa, com aderência nula ao longo do fuste, pelo que não são afetados. A armadura corrente também não é afetada. A influência na resistência é mais pronunciada para âncoras cuja resistência é condicionada pela aderência e que são instaladas em elementos com um grande cobrimento de betão, pois uma maior parte da profundidade de embebimento não contribui.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.7\qquad Anchor with bond along the shank}}}$$

As âncoras podem ser interligadas com as placas de base. Para esta interligação, é utilizada uma restrição totalmente não linear para ligar a extremidade da âncora a um nó da placa de base. Esta restrição permite controlar todos os graus de liberdade, de modo a garantir, por exemplo, que as âncoras não transferem força de compressão da placa de base, ou que a âncora não transfere corte ao modelar uma chaveta de corte, etc. 

As propriedades de Interligação com a placa de base das âncoras permitem ao utilizador controlar se a âncora será ligada à placa de base pela restrição anteriormente mencionada e de que forma. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.8\qquad Interconnection with base plate settings}}}$$

A caixa de seleção Transferência de corte pode ser utilizada para controlar se a âncora e a placa de base serão ligadas ou não em termos de corte. Note-se que não é possível combinar mecanismos de transferência de corte, pelo que, para a transferência por atrito e por chaveta de corte, esta caixa de seleção é irrelevante. Por outro lado, para a transferência de corte através de âncoras, este campo permite excluir algumas âncoras da transferência de corte.

A caixa de seleção Transferência de forças axiais pode ser utilizada para controlar se a âncora e a placa de base serão ligadas ou não na direção axial. Esta opção é utilizada principalmente na exportação a partir da funcionalidade Connection (ver o capítulo correspondente). Na modelação manual, faz sentido ter esta caixa de seleção sempre assinalada.

Quando a caixa de seleção não está assinalada, a âncora fica desligada tanto à tração como à compressão (no caso de um modelo exportado da aplicação Connection, a ligação é substituída por um par de forças). Se a caixa de seleção estiver assinalada, a âncora está sempre ligada à placa à tração, mas a ligação à compressão é controlada pelo tipo de âncora e pelo tipo de afastamento. Para mais informação, ver a Figura 2.3.8.

Roscas cortadas

Controlado por uma caixa de seleção nas propriedades da âncora e tem 2 finalidades:

1. Define a forma como a âncora se liga à placa de base:

• Para pinos com cabeça e armadura moldada no local ligados à placa de base (não para placas embebidas), distingue entre uma ligação aparafusada (articulada) e uma ligação soldada (fixa) — visível na cena 3D.
• Note-se que a forma de ligação da âncora à placa tem uma influência significativa na resistência ao corte do ponto de vista do esmagamento do betão.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.9\qquad Cut threads options}}}$$

2. Para o Eurocódigo, a resistência da âncora com roscas cortadas é reduzida de acordo com a EN 1993-1-8 3.6.1 (3). Pode ser definida nas Definições do projeto. Para barras roscadas e placas de anilha, recomenda-se manter esta definição sempre ativa.

Interligação axial e rotacional entre a âncora e a placa de base

Como já referido neste capítulo, consoante o tipo de âncora, a definição de afastamento e a consideração ou não de roscas cortadas, as âncoras são ligadas à placa de base de diferentes formas. Em termos de ligação rotacional, esta pode ser Articulada / Fixa. Em termos de ligação axial, esta pode ser Tração / Tração + Compressão. Os tipos de ligação rotacional influenciam fortemente a resistência ao corte do ponto de vista do esmagamento do betão. Numa cena 3D, é fácil distinguir se uma âncora está ligada como fixa ou articulada com base na presença de porcas, ver Figura 2.3.10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.10\qquad Rotational constraints}}}$$

A tabela seguinte apresenta todas as combinações possíveis de ligações da placa de base com as âncoras e as correspondentes ligações rotacionais e axiais.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.11\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Placas embebidas

A placa embebida é um caso especial de placa de base. É modelada de forma análoga, com as seguintes diferenças:

Uma vez que a placa está embebida num bloco de betão, não é possível especificar nenhum tipo de afastamento. A profundidade de embebimento da laje é desprezada. A placa, modelada por elementos de casca, é colocada diretamente sobre a superfície do betão. Por conseguinte, as superfícies laterais da laje não são consideradas apoiadas pelo betão.

Só é possível utilizar armadura e pinos com cabeça que, tal como as âncoras clássicas, podem ser definidos para estarem ligados à placa nas direções axial e de corte. A experiência prática e alguns documentos nacionais indicam a necessidade de dimensionar os pinos com cabeça apenas para o corte e a armadura para a carga axial. Do ponto de vista das restrições axiais e rotacionais, as âncoras são sempre ligadas como Fixas e Tração + Compressão.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.12\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Os elementos finitos são implementados internamente e o modelo de análise é gerado automaticamente, sem necessidade de intervenção de um utilizador especializado. Uma parte importante deste processo é a geração da malha.

Betão

Todos os elementos de betão são discretizados em conjunto. A aplicação calcula automaticamente a dimensão recomendada dos elementos, com base na dimensão e na forma da estrutura e tendo em conta o diâmetro da maior barra de armadura. Além disso, a dimensão recomendada garante a geração de, no mínimo, quatro elementos nas partes esbeltas da estrutura, como pilares esbeltos ou paredes delgadas, para assegurar resultados fiáveis nessas zonas. O projetista pode sempre definir uma dimensão de elemento de betão personalizada, alterando o multiplicador da dimensão predefinida da malha.

Armadura

A armadura é dividida em elementos com um comprimento aproximadamente igual à dimensão dos elementos de betão. Depois de geradas as malhas da armadura e do betão, estas são interligadas por elementos de aderência, como se mostra na Fig. 2.2.1.

Refinamento

A malha de betão é automaticamente refinada em torno das âncoras, em torno das chavetas de corte e sob o troço curto de aplicação da carga. A dimensão da malha refinada é aproximadamente metade da dimensão da malha de betão base. O raio da zona refinada é definido aproximadamente como a dimensão do elemento multiplicada por dois.

Utiliza-se um algoritmo padrão completo de Newton-Raphson (NR) para encontrar a solução de um problema não linear do Método dos Elementos Finitos. 

Em geral, o algoritmo NR não converge com frequência quando a carga total é aplicada num único passo. Uma abordagem habitual, que também é utilizada aqui, consiste em aplicar a carga sequencialmente em vários incrementos e utilizar o resultado do incremento de carga anterior para iniciar a solução de Newton do incremento seguinte. Para este efeito, foi implementado um algoritmo de controlo de carga sobre o Newton-Raphson. Caso as iterações NR não convirjam, o incremento de carga atual é reduzido para metade do seu valor e as iterações NR são repetidas.

Um segundo objetivo do algoritmo de controlo de carga é encontrar a carga crítica, que corresponde a determinados “critérios de paragem” – especificamente a deformação máxima no betão, o deslizamento máximo nos elementos de aderência, o deslocamento máximo nos elementos de ancoragem e a deformação máxima nas barras de armadura. A carga crítica é determinada através do método da bisseção. Caso o critério de paragem seja excedido em qualquer ponto do modelo, os resultados do último incremento de carga são descartados e é calculado um novo incremento com metade da dimensão do anterior. Este processo é repetido até que a carga crítica seja encontrada com uma determinada tolerância de erro.

Para o betão, o critério de paragem foi definido como uma deformação de 5% em compressão (isto é, cerca de uma ordem de grandeza superior à deformação de rotura real do betão) e de 7% em tração nos pontos de integração dos elementos de casca. Em tração, o valor foi definido de modo a permitir que a deformação limite da armadura, que é geralmente cerca de 5% sem considerar o enrijecimento à tração, seja atingida em primeiro lugar. Em compressão, o valor foi escolhido de entre várias alternativas por ser suficientemente grande para que os efeitos de esmagamento sejam visíveis nos resultados, mas suficientemente pequeno para não causar demasiados problemas de estabilidade numérica.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 2.5.1\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}$$

Para a armadura, o critério de paragem é definido em termos de tensões. Dado que as tensões na fenda são modeladas, o critério em tração corresponde à resistência à tração da armadura, considerando o coeficiente de segurança. O mesmo valor é utilizado para o critério em compressão.

O critério de paragem nos elementos de aderência e nas molas de ancoragem é α·δ_umax, em que δ_umax é o deslizamento máximo utilizado nas verificações normativas e α = 10.

Outros critérios de paragem para ancoragens:

• Arrancamento de ancoragens com cabeça (tensão máxima de contacto de compressão na face superior da cabeça da ancoragem). 
• Força de corte máxima que pode ser transferida pela ancoragem do ponto de vista da resistência ao esmagamento do betão.

Estes dois critérios dependem da norma selecionada. Pode encontrar mais informações sobre os mesmos nas secções que explicam as partes da análise estrutural dependentes da norma na aplicação.

Os resultados são apresentados de forma independente para o betão e para os elementos de armadura. Os valores de tensão e de deformação no betão são calculados nos pontos de integração dos elementos de volume. No entanto, como não é prático apresentar os dados dessa forma, os resultados são apresentados por defeito nos nós, como o valor máximo da tensão de compressão dos pontos de integração de Gauss adjacentes nos elementos ligados. Deve notar-se que esta representação pode subestimar localmente os resultados nos bordos comprimidos dos elementos, no caso de a dimensão do elemento finito ser semelhante à altura da zona comprimida.

Os resultados para os elementos finitos de armadura são constantes para cada elemento (um valor – por exemplo, para as tensões no aço) ou lineares (dois valores – para os resultados de aderência). Para os elementos auxiliares, como os elementos das placas de apoio, apenas são apresentadas as deformações.

O modelo do IDEA StatiCa Detail nem sempre tem de ser modelado de raiz ou a partir de um modelo predefinido. Existe também a opção de importar o modelo, incluindo os efeitos das ações, a partir do IDEA StatiCa Connection. No Connection, a superestrutura de aço acima do bloco de betão é analisada com um modelo 3D não linear, enquanto o próprio bloco de betão é representado de forma simplificada por uma fundação de Winkler. No Detail, por outro lado, o bloco de betão armado é modelado explicitamente e verificado de forma detalhada.

Na transferência do modelo, apenas a placa de base, as âncoras e o bloco de betão são importados para o Detail – o elemento de aço propriamente dito (e a sua rigidez global) não é importado. No modelo do Connection, este elemento de aço está ligado à placa de base por uma soldadura. As tensões nos elementos finitos da soldadura são integradas e convertidas num conjunto de forças equivalentes que carregam a placa de base no Detail. Desta forma, o efeito do elemento de aço em falta é representado por forças da soldadura aplicadas diretamente na placa de base.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.7.1\qquad Loads imported from IDEA StatiCa Connection}}}$$

Devido à diferente definição de rigidez entre o Connection e o Detail (elemento de aço em falta, diferentes modelos de materiais e diferente representação do betão), uma ligação direta entre a placa de base e as âncoras no Detail conduziria, em geral, a uma redistribuição de esforços diferente e, consequentemente, a forças de tração diferentes nas âncoras. Para evitar isto, as âncoras são importadas desligadas axialmente da placa de base. Em vez de transferir as forças axiais através do contacto físico, as trações nas âncoras obtidas no Connection são aplicadas diretamente às âncoras no Detail. Ao mesmo tempo, é aplicada à placa de base, em cada posição de âncora, uma força igual e de sentido oposto, de modo a preservar o equilíbrio global do modelo. Este par de forças (uma a atuar na âncora, a outra na placa de base) representa a interação entre a placa de base e a âncora sem permitir uma redistribuição adicional das forças axiais no Detail. Estas duas forças opostas estão ilustradas na Figura 2.7.1.

No entanto, as forças de corte continuam a ser transferidas pela ligação entre a placa de base e as âncoras (ou pela chaveta de corte, ou por atrito). Isto é possível porque é utilizada uma restrição para ligar a placa de base e as âncoras ao corte, permitindo controlar os graus de liberdade relevantes desta interligação. No Detail, o utilizador pode, por isso, modificar o percurso de transmissão do corte – por exemplo, libertando o corte em duas de quatro âncoras e mantendo apenas as âncoras de bordo ativas ao corte – enquanto as forças axiais permanecem tal como importadas do Connection.

Para as placas moldadas no local, adotámos uma abordagem diferente. Várias recomendações de cálculo europeias exigem que apenas as barras de armadura sejam consideradas para resistir às forças axiais, assumindo-se que os pinos com cabeça transferem apenas corte. Uma vez que o IDEA StatiCa Connection não consegue separar internamente, durante a exportação, as forças axiais nas âncoras de armadura das dos pinos com cabeça, as âncoras das placas moldadas no local são importadas para o Detail totalmente ligadas, também na direção axial. Isto permite ao utilizador ativar no Detail uma opção de cálculo em que as âncoras de armadura suportam apenas a tração axial e os pinos com cabeça suportam apenas o corte. Neste procedimento, a força axial que foi originalmente atribuída aos pinos com cabeça tem de ser redistribuída pelas âncoras de armadura no modelo do Detail. Tal redistribuição não seria possível se utilizássemos a abordagem do par de forças opostas descrita acima, razão pela qual as placas moldadas no local são tratadas de forma diferente.

Estado limite último

As diferentes verificações exigidas por cada norma de projeto são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações ULS são realizadas para a resistência do betão, a resistência da armadura e a ancoragem (tensões de corte de aderência).

Para garantir que um elemento estrutural tem um dimensionamento eficiente, recomenda-se vivamente executar uma análise preliminar que considere os seguintes passos:

• Escolher uma seleção das combinações de ações mais críticas.
• Calcular apenas as combinações de ações para o Estado Limite Último (ULS).
• Para acelerar o tempo de cálculo e resolver eventuais problemas, considere utilizar uma malha grosseira, aumentando o multiplicador da dimensão de malha predefinida na Configuração (Fig. 3.1.1). Se o modelo apresentar um bom desempenho, reponha o multiplicador para o fator 1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 3.1.1\qquad Mesh multiplier}}}$$

Um modelo deste tipo calcula-se muito rapidamente, permitindo aos projetistas rever eficazmente a pormenorização do elemento estrutural e repetir a análise até que todos os requisitos de verificação sejam cumpridos para as combinações de ações mais críticas. Depois de cumpridos todos os requisitos de verificação desta análise preliminar, sugere-se que sejam incluídas as combinações de ações últimas completas e que seja utilizada a malha fina (a dimensão de malha recomendada pelo programa). Os utilizadores podem alterar a dimensão da malha através do multiplicador, que pode assumir valores entre 0,5 e 5 (Fig. 3.1.1).

Os resultados e verificações básicos (tensão, deformação e utilização (ou seja, o valor calculado/valor limite da norma)), bem como a direção das tensões principais no caso de elementos de betão, são apresentados por meio de diferentes gráficos, nos quais a compressão é geralmente representada a vermelho e a tração a azul. Podem ser destacados os valores mínimos e máximos globais para toda a estrutura, bem como os valores mínimos e máximos para cada parte definida pelo utilizador. Num separador distinto do programa, podem ser apresentados resultados avançados, como valores tensoriais, deformações da estrutura e taxas de armadura (efetivas e geométricas) utilizadas para calcular o enrijecimento à tração das barras de armadura. Além disso, podem ser apresentadas as ações e as reações para combinações ou casos de carga selecionados.

Betão - ULS

O modelo de betão implementado no 3D CSFM baseia-se nas leis constitutivas de compressão uniaxial prescritas pela EN 1992-1-1 para o dimensionamento de secções transversais, que dependem apenas da resistência à compressão. O diagrama parábola-retângulo especificado na EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 4.1.1a) é utilizado por defeito no 3D CSFM, mas os projetistas também podem escolher uma relação elástica-plástica ideal mais simplificada, de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 4.1.1b). A resistência à tração é desprezada, tal como no dimensionamento clássico de betão armado.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 4.1.1\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}$$

A implementação do 3D CSFM no IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão à compressão (ou seja, depois de atingida a tensão de pico, considera um ramo plástico com ε_cu2 (ε_cu3) com um valor de 5%, enquanto a EN 1992-1-1 assume uma deformação última inferior a 0,35%). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que atingem a rotura por compressão. No entanto, a sua capacidade última f_cd, de acordo com a EN 1992-1-1 3.1.3, é corretamente prevista quando o aumento da fragilidade do betão com o aumento da sua resistência é considerado por meio do fator de redução $\eta_{fc}$ definido no fib Model Code 2010 do seguinte modo:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

em que:

α_cc é o coeficiente que tem em conta os efeitos de longa duração na resistência à compressão e os efeitos desfavoráveis resultantes do modo como a carga é aplicada. É definido de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). O valor por defeito é 1,0.

f_ck é a resistência característica do betão medida em provetes cilíndricos (em MPa para a definição de $\eta_{fc}$).

Armadura

Por defeito, é considerado o diagrama tensão-deformação bilinear idealizado para as varões de armadura nus, definido na EN 1992-1-1, secção 3.2.7 (Fig. 4.1.2). A definição deste diagrama requer apenas o conhecimento das propriedades básicas da armadura na fase de projeto (resistência e classe de ductilidade). Sempre que for conhecida, pode ser considerada a relação tensão-deformação real da armadura (laminada a quente, endurecida a frio, temperada e autorrevenida, …). O diagrama tensão-deformação da armadura pode ser definido pelo utilizador, mas, neste caso, não é possível considerar o efeito de enrijecimento à tração (não é possível calcular a largura de fendas). A utilização do diagrama tensão-deformação com ramo superior horizontal não permite a verificação da durabilidade estrutural. Por conseguinte, é necessária a verificação manual dos requisitos normativos de ductilidade.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$$

O enrijecimento à tração (Fig. 4.1.3) é considerado automaticamente através da modificação da relação tensão-deformação de entrada do varão de armadura nu, de modo a captar a rigidez média dos varões embebidos no betão (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

O Método do Campo de Tensões Compatível está em conformidade com as normas de projeto modernas. Como os modelos de cálculo utilizam apenas propriedades de materiais convencionais, o formato dos coeficientes parciais de segurança prescrito nas normas pode ser aplicado sem qualquer adaptação. Desta forma, as cargas de entrada são majoradas e as propriedades características dos materiais são reduzidas através dos respetivos coeficientes de segurança prescritos nas normas, exatamente como na análise convencional de betão. Os valores dos coeficientes de segurança dos materiais prescritos na EN 1992-1-1, cap. 2.4.2.4, e os coeficientes para âncoras prescritos na EN 1992-4, EN 1993-1-8 e EN 1994-1-1 estão definidos por predefinição, mas o utilizador pode alterar os coeficientes de segurança nas definições de norma e de cálculo (Fig. 4.2.1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.1\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Os coeficientes de segurança das cargas têm de ser definidos pelo utilizador nas regras de combinação para cada combinação não linear de casos de carga (Fig. 4.2.2). Para todos os modelos implementados no Idea StatiCa Detail, os coeficientes parciais de segurança já se encontram predefinidos.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.2\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Através da utilização de combinações definidas pelo utilizador de coeficientes parciais de segurança adequados, os utilizadores podem também calcular com o 3D CSFM recorrendo ao método do coeficiente global de resistência (Navrátil et al. 2017), mas esta abordagem raramente é utilizada na prática de projeto. Algumas diretrizes recomendam a utilização do método do coeficiente global de resistência para a análise não linear. No entanto, em análises não lineares simplificadas (como o 3D CSFM), que requerem apenas as propriedades dos materiais utilizadas nos cálculos manuais convencionais, continua a ser preferível utilizar o formato de coeficientes parciais de segurança.

As diferentes verificações exigidas pela EN 1992-1-1 são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações em ULS são efetuadas para a resistência do betão, a resistência da armadura e a ancoragem (tensões de corte de aderência).

Resistência - Betão

A resistência do betão à compressão é avaliada como a razão entre a tensão principal equivalente máxima σ_c,eq obtida da análise por EF e o valor limite σ_c,lim = f_cd.

A tensão principal equivalente exprime a tensão uniaxial equivalente para um estado de tensão triaxial geral.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

O valor de σ_c,eq pode, assim, ser comparado diretamente com os limites de resistência uniaxial de acordo com 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1).

Esta expressão deriva da implementação da teoria da plasticidade de Mohr-Coulomb, assumindo de forma conservativa um ângulo de atrito interno φ = 0°.

Resistência - Armadura

A resistência da armadura é avaliada tanto à tração como à compressão, como a razão entre a tensão na armadura nas fendas σ_sr e o valor limite especificado σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \dfrac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \dfrac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

em que:

f_yk        é a tensão de cedência da armadura de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.2.3,

k          é a razão entre a resistência à tração f_tk e a tensão de cedência,
            $k = \dfrac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             é o coeficiente parcial de segurança para a armadura.

Resistência - Âncoras

As âncoras são verificadas quanto às tensões normais de forma semelhante à armadura, sendo determinado o valor limite σ_s,lim.

Adicionalmente, são especificados para as âncoras os valores N_Ed e V_Ed, que são verificados em relação a N_Rd,s e V_Rd,s de acordo com a norma selecionada. A norma é escolhida em função do tipo de âncora utilizado nas Definições do projeto.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.1\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Anchor check - Design code selection}}}$$

Uma vez que as diferentes normas adotam abordagens distintas para a verificação das âncoras, o utilizador pode escolher as seguintes normas para cada tipo de âncora:

• Âncoras de material de parafuso à tração e/ou ao corte - EN 1992-4, EN 1993-1-8
• Pinos com cabeça à tração e/ou ao corte - EN 1992-4, EN 1994-1-1
• Âncoras de armadura à tração e/ou ao corte - EN 1992-4, EN 1992-1-1
• Âncoras à compressão e/ou à flexão - EN 1993-1-1

Verificação à tração de acordo com a EN 1992-4 - 7.2.1.3

$$N_{Rd,s} = \frac{c \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

em que:

• c – redução para roscas cortadas  
• f_uk – resistência mínima à tração do parafuso
• A_s – área resistente à tração do parafuso de ancoragem (reduzida pela rosca no caso de material de parafuso)
• $\gamma_{Ms} = 1.2 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.4$ – coeficiente parcial de segurança para o aço 
• f_yk – tensão de cedência mínima do parafuso

Verificação à tração de acordo com a EN 1993-1-8 - 3.6.1

$$N_{Rd,s} = F_{t.Rd} = \frac{c \cdot k_2 \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$ 

em que:

• c – diminuição da resistência à tração de parafusos com rosca cortada de acordo com a EN 1993-1-8 – Cl. 3.6.1. (3) 
• k₂ = 0,9 – fator para âncoras não embutidas 
• f_ub – resistência última à tração do parafuso de ancoragem 
• A_s – área resistente à tração do parafuso de ancoragem (reduzida pela rosca no caso de material de parafuso)
• γ_M2 =1,25 – coeficiente parcial de segurança para parafusos (EN 1993-1-8, Quadro 2.1) 

Verificação à tração de acordo com a EN 1992-1-1 - 3.2.7

$$N_{Rd,s} = \frac{kf_{yk}}{\gamma_{S}}$$

em que:

• $k=(f_{t}/f_{y})$ é indicado no Anexo C
• f_yk - tensão de cedência característica
• γ_M2 =1,15 – coeficiente parcial de segurança para a armadura

Verificação à compressão de acordo com a EN 1993-1-1 - 6.3

Utilizada para todas as âncoras sujeitas a uma força de compressão normal, independentemente do seu material ou do tipo de afastamento. 

$$F_{c,Rd}=\frac{\chi\,A_s f_y}{\gamma_{M2}}$$

Em que:

• $\chi=\dfrac{1}{\Phi+\sqrt{\Phi^2-\bar{\lambda}^2}}\le 1$ – coeficiente de redução para a encurvadura
• $\Phi=0.5\left[1+\alpha\left(\bar{\lambda}-0.2\right)+\bar{\lambda}^2\right]$ – valor para determinar o coeficiente de redução para a encurvadura χ
• $\alpha=0.49$ – fator de imperfeição para a curva de encurvadura c (correspondente à secção circular cheia)
• $\bar{\lambda}=\sqrt{\dfrac{A_s f_y}{N_{cr}}}$ – esbelteza normalizada

  • A_s – área da âncora reduzida pelas roscas
• $N_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L_{cr}^2}$  – força crítica de Euler
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – momento de inércia do parafuso

  • d_s – diâmetro da âncora reduzido pelas roscas
• $L_{cr}=2\,l$  – comprimento de encurvadura; admite-se, do lado da segurança, que o parafuso está encastrado no betão e pode rodar livremente na placa de base 
• $l=l_{a}$ – comprimento do elemento de parafuso igual a metade da espessura da placa de base + folga + metade do diâmetro do parafuso; admite-se, do lado da segurança, que a anilha e a porca não estão apertadas contra a superfície do betão (ETAG 001 – Anexo C – Cl. 4.2.2.4), ver Figura 4.3.2.

Verificação ao corte de acordo com a EN 1992-4 - 7.2.2.3

Para afastamento = direto, considera-se o corte sem braço de alavanca (EN 1992-4 – Cl. 7.2.2.3.1):

$$V_{Rd,s} = \frac{k_6 \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

Para afastamento = junta de argamassa, considera-se o corte com braço de alavanca (EN 1992-4 – Cl. 7.2.2.3.2):

$$V_{Rd,s} = \frac{\alpha_M \cdot M_{Rk,s}}{\gamma_{Ms} \cdot l_a}$$

em que:

• k₆ = 0,6 para âncoras com fuk ≤ 500 MPa; k₆ = 0,5 nos restantes casos
• A_s – área de corte da âncora reduzida pelas roscas
• f_uk – resistência última do parafuso de ancoragem
• α_M = 2 – admite-se encastramento total (EN 1992-4 – Cl. 6.2.2.3)
• $M_{Rk,s} = M^{0}_{Rk,s} \left(1 - \dfrac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)$ – resistência característica à flexão da âncora, reduzida pela força de tração na âncora
•  $M^{0}_{Rk,s} = 1.2 \cdot W_{el} \cdot f_{ub}$ – resistência característica à flexão da âncora (ETAG 001, Anexo C – Equação (5.5b))
• $W_{el} = \dfrac{\pi d^{3}}{32}$ – módulo de flexão elástico da âncora
• d – diâmetro do parafuso de ancoragem; se for selecionado o plano de corte na rosca (o que acontece sempre no caso de barra roscada), é utilizado o diâmetro reduzido pelas roscas; caso contrário, é utilizado o diâmetro nominal, d_nom
• N_Ed – força de tração na âncora
• N_Rd,s – resistência à tração da âncora
• $l_{a} = 0.5\, d_{\mathrm{nom}} + t_{\mathrm{mortar}} + 0.5\, t_{\mathrm{bp}}$ – braço de alavanca
• t_mortar – espessura da argamassa (de enchimento)
• t_bp – espessura da placa de base
• $\gamma_{Ms} = 1.0 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.25$ para $f_{uk} \le 800 \text{ MPa}$ e  $\dfrac{f_{yk}}{f_{uk}} \le 0.8$; γ_Ms = 1,5 nos restantes casos – coeficiente parcial de segurança para a rotura do aço (EN 1992-4 – Quadro 4.1)

Verificação ao corte de acordo com a EN 1993-1-8 - 6.2.2

A resistência ao corte do aço da âncora é determinada de acordo com a EN 1993-1-8 – 6.2.2 (7) independentemente do afastamento direto ou com junta de argamassa. A resistência e a espessura da argamassa de enchimento devem estar de acordo com a Cl. 6.2.5 (7).

$$V_{Rd,s} = F_{v,b,Rd} = \min \left\{ F_{1v,b,Rd} ,\, F_{2v,b,Rd} \right\}$$

em que:

$$F_{1v,b,Rd} = \frac{\alpha_v \cdot f_{ub} \cdot A}{\gamma_{M2}}$$

• α_v = 0,6 para as classes 4.6, 5.6, 8.8, e 0,5 para as classes 4.8, 5.8, 6.8, 10.9
• f_ub – resistência última à tração do material do parafuso
• A – área resistente à tração do parafuso, A = A_s, em que As é a área resistente à tração do parafuso (reduzida pela rosca)
• γ_M2 – coeficiente de segurança - EN 1993-1-8 – Quadro 2.1

$$F_{2v,b,Rd} = \frac{\alpha_b \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$

• ​ $\alpha_b = 0.44 - 0.0003\, f_{yb}$
• α_b é um coeficiente que depende da tensão de cedência do parafuso de ancoragem
• f_yb – tensão de cedência da âncora; 235 MPa ≤ f_yb ​≤ 640 MPa
• f_ub – resistência à tração da âncora 
• A_s – área resistente à tração (reduzida pela rosca)

Verificação ao corte de acordo com a EN 1993-1-1 - 6.2.6

Estas verificações normativas aplicam-se a âncoras ligadas à placa de base com uma folga ou a uma âncora diretamente carregada com um comprimento saliente superior a 0,5 vezes o seu diâmetro.

$$V_{pl,Rd}=\frac{A_v f_y/\sqrt{3}}{\gamma_{M2}}$$

em que:

• A_V = 0,844 A_s – área de corte
• A_s – área do parafuso reduzida pelas roscas
• f_y – tensão de cedência do parafuso
• γ_M2 – coeficiente parcial de segurança (definido nas Definições do projeto)

Verificação ao corte de acordo com a EN 1994-1-1 - 6.6.3.1

$$V_{Rd,s} = P_{Rd} = \frac{0.8 \, f_u \, \pi \, d^2}{4 \, \gamma_v}$$

em que:

• γ_v é o coeficiente parcial para a ligação ao corte de acordo com a EN 1994-1-1, cap. 2.4.1.2. O valor recomendado para γ_v é 1,25
• d é o diâmetro do fuste do pino, 16 mm ≤ d ≤ 25 mm;
• f_u é a resistência última à tração especificada do material do pino, mas não superior a 500 MPa.

Na EN 1994-1-1, a cláusula 6.6.3.1 apresenta também a Equação (6.19), que limita a resistência ao corte de um pino pela capacidade de punçoamento (apoio) do betão. No IDEA StatiCa Detail, este modo de rotura não é verificado por uma fórmula normativa separada no pós-processamento. Em vez disso, está integrado diretamente na análise não linear por elementos finitos como critério de paragem: a análise é terminada antes de o esforço de corte numa âncora atingir o valor correspondente de P_Rd
da Equação (6.19). Esta abordagem é utilizada porque a Equação (6.19) só é válida para pinos com cabeça soldados à chapa de aço e para diâmetros de pino no intervalo 16 mm ≤ d ≤ 25 mm, conforme especificado em 6.6.3.1.

Para abranger uma gama mais ampla de casos práticos, foi criada uma série de modelos de referência 3D no Abaqus com diâmetros de âncora de 8 mm a 50 mm e resistências do betão de C16/20 a C50/60. Os pinos foram modelados soldados de forma rígida à placa de base ou ligados por uma junta articulada. Os modelos de material e os parâmetros de contacto no Detail foram depois calibrados com base nestas simulações no Abaqus, que por sua vez foram verificadas com a Equação (6.19) dentro do seu intervalo de validade. Este critério de paragem é válido para todos os tipos de âncora e todas as normas EN.

Verificação à flexão de acordo com a EN 1993-1-1 - 6.2.5

$$M_{pl,Rd}=\frac{W_{pl} f_y}{\gamma_{M2}}$$

Em que:

• $W_{pl}=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – módulo de flexão do parafuso

  • d_s – diâmetro da âncora reduzido pelas roscas
• f_y – tensão de cedência do material
• γ_M2 – coeficiente parcial de segurança (definido nas Definições do projeto)

Momento fletor de cálculo atuante M_Ed - Se o esforço de corte atuar com braço de alavanca, deve ser considerado um momento fletor a atuar no fixador. O momento fletor de cálculo a atuar no fixador é calculado de acordo com a Expressão (6.1) da EN 1993-1-1:

$$M_{Ed}=V_{Ed}\cdot\frac{l_a}{\alpha_M}$$

em que:

• V_Ed - é o esforço de corte atuante no fixador em análise
• l_a = a₃ + e₁

  • a₃ = 0,5d_nom, em que d_nom é o diâmetro da âncora
  • e₁ - é a distância entre o esforço de corte e a superfície do betão, desprezando a espessura de qualquer argamassa de nivelamento
• α_M = 2 – admite-se encastramento total (EN 1992-4 – Cl. 6.2.2.3)

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.2\qquad Buckling length}}}$$

Interação entre tração e corte no aço da âncora

A interação entre tração e corte de acordo com a EN 1993-1-8 está implicitamente incluída na verificação ao corte da âncora.

A interação entre tração e corte de acordo com a EN 1992-4 é determinada separadamente para os modos de rotura do aço e do betão de acordo com o Quadro 7.3. A interação no aço é verificada para cada âncora separadamente.

$$\left( \frac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)^{2}+\left( \frac{V_{Ed}}{V_{Rd,s}} \right)^{2}\le 1$$

A EN 1994-1-1 estabelece no Artigo 6.6.3.2 que, se a força de tração na âncora for superior a 0,1P_Rd, a verificação não é abrangida por esta norma. Nesse caso, a interação é avaliada de acordo com a EN 1992-4 na aplicação. Nesse caso, a verificação ao corte não deve ser considerada de acordo com a EN 1994-1-1.

Interação entre tração ou compressão e flexão no aço da âncora EN 1993-1-1 - 6.2.1

$$\frac{N_{Ed}}{N_{Rd}}+\frac{M_{Ed}}{M_{Rd}}\le 1$$

em que:

• N_Ed – força de cálculo de tração (positiva) ou de compressão (sinal negativo)
• N_Rd – resistência de cálculo à tração (positiva, F_t,Rd) ou à compressão (sinal negativo, F_c,Rd)
• M_Ed – momento fletor de cálculo
• M_Rd = M_pl,Rd – resistência de cálculo à flexão

Verificação ao arrancamento para âncoras com cabeça (placas de anilha e pinos com cabeça)

Para as âncoras com cabeça, é implementado um critério de paragem adicional para verificar o apoio (esmagamento) do betão acima da cabeça da âncora - arrancamento. Durante a análise, a força de compressão transmitida através do contacto entre a cabeça e o betão é monitorizada e comparada com o valor limite indicado na EN 1992-4, Cláusula 7.2.1.5 (rotura por arrancamento de fixações com cabeça).

$$N_{Rd,p} = k_2 \cdot A_h \cdot f_{ck} / \gamma_{Mp}$$

em que:

• A_h é a área de apoio da cabeça do fixador (sem a área do fuste). 
• f_ck é a resistência característica à compressão do betão - EN 1992-1-1 Cl. 3.1.2
• γ_Mp é considerado na aplicação como γ_Mp = γ_c com o valor por defeito de 1,5
•  k₂​ é sempre considerado igual a 7,5, ou seja, o valor para betão fendilhado. Isto é consistente com a abordagem CSFM utilizada no Detail, na qual a resistência à tração do betão é desprezada e o betão é considerado fendilhado à tração. 

Quando a força de contacto atinge este limite normativo, o critério de paragem é acionado e a análise é terminada antes de a resistência de cálculo ao arrancamento ser excedida.

Ancoragem -  Tensão de aderência

A tensão de corte de aderência é avaliada independentemente como a razão entre a tensão de aderência τ_b calculada pela análise por EF e a resistência última de aderência f_bd, de acordo com a EN 1992-1-1 cap. 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\le 1$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

em que:

• f_ctd      é o valor de cálculo da resistência à tração do betão de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (2). Devido à fragilidade crescente do betão de resistência mais elevada, f_ctk,0.05 é limitado ao valor para C60/75 de acordo com a EN 1992-1-1 Cl. 8.4.2 (2)
• η₁       é um coeficiente relacionado com a qualidade das condições de aderência e com a posição da barra durante a betonagem (Fig. 4.3.3).
• η₁ = 1,0 quando se obtêm condições “boas” e
• η₁ = 0,7 para todos os outros casos e para barras em elementos estruturais construídos com cofragem deslizante, a menos que se possa demonstrar que existem condições de aderência “boas”
• η₂        está relacionado com o diâmetro da barra:
  η₂ = 1,0 para Ø ≤ 32 mm
  η₂ = (132 - Ø)/100 para Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.3\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

No IDEA StatiCa Detail, as condições de aderência são consideradas de acordo com a Fig. 4.3.3 c) e d). A direção de betonagem pode ser definida na aplicação para cada item do projeto, do seguinte modo:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.4\qquad Direction of concreting}}}$$

Estas verificações são realizadas em relação aos valores limite adequados para as respetivas partes da estrutura (ou seja, apesar de existir uma única classe tanto para o betão como para o material da armadura, os diagramas tensão-deformação finais diferem em cada parte da estrutura devido aos efeitos de enrijecimento à tração e de amolecimento à compressão).

Ancoragem - Força total

Força total F_tot e força limite F_lim

A força total F_tot é um resultado da análise por elementos finitos e pode ser definida de duas formas.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

em que A_s é a área da barra de armadura e σ_s é a tensão na barra.

Ou como a soma da força de ancoragem F_a e da força de aderência F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

em que F_a é a força real na mola de ancoragem e F_bond é a força de aderência, que pode ser obtida por integração da tensão de aderência τ_b ao longo do comprimento l da barra de armadura.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s é o perímetro da barra de armadura.

A força limite F_lim é a força máxima no elemento da armadura, considerando a resistência última da armadura e também as condições de ancoragem (aderência entre o betão e a armadura e ganchos de ancoragem, laços, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

em que C_s é o perímetro da barra de armadura e l é o comprimento desde o início da armadura até ao ponto em análise.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.5\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

em que F_lim,add é a força adicional calculada a partir da amplitude do ângulo entre elementos vizinhos. F_lim,2 tem de ser sempre inferior a F_u.

Tipos de ancoragem na extremidade da armadura (âncoras e varões)

Os tipos de ancoragem disponíveis no CSFM 3D incluem barra reta (ou seja, sem redução na extremidade da ancoragem), dobra, gancho, laço, barra transversal soldada, aderência perfeita e barra contínua. Todos estes tipos, juntamente com os respetivos coeficientes de ancoragem β, são apresentados na Fig. 4.3.6 para a armadura longitudinal e na Fig. 4.3.7 para os estribos. Os valores adotados dos coeficientes de ancoragem estão de acordo com a EN 1992-1-1, secção 8.4.4, Quadro 8.2. Importa referir que, apesar das diferentes opções disponíveis, o CSFM 3D distingue três tipos de extremidades de ancoragem: (i) sem redução do comprimento de ancoragem, (ii) uma redução de 30% do comprimento de ancoragem no caso de uma ancoragem normalizada e (iii) aderência perfeita.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.6\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the 3D CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.7\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Para cumprir a EN 1992-1-1, deve ser utilizada a mola de ancoragem no cálculo; a mola de ancoragem é modificada pelo coeficiente β, pelo que o utilizador tem de utilizar um dos tipos de ancoragem disponíveis ao definir as condições de início e de fim da armadura. 

Betão - Resistência

O modelo de betão implementado para os cálculos de resistência no CSFM baseia-se na curva tensão-deformação parabólica-plástica para o betão, baseada na curva tensão-deformação parabólica da Portland CementAssociation descrita em PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figura 6-8. A resistência à tração é desprezada, tal como no dimensionamento clássico de betão armado.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

A implementação do CSFM no IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão à compressão (ou seja, após ser atingida a tensão máxima, considera um ramo plástico com ε_c0 com valor máximo de 5%, enquanto o ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 assume uma deformação última inferior a 0,3%). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação de estruturas que entram em rotura por compressão. No entanto, a resistência é corretamente prevista quando o aumento da fragilidade do betão com o aumento da sua resistência é considerado por meio do fator de redução $\eta_{fc}$ definido no fib Model Code 2010, da seguinte forma:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

onde:

α₁ é o fator de redução da resistência à compressão do betão definido no ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Ao utilizar um diagrama tensão-deformação parábola-retângulo, é necessário reduzir a tensão máxima de compressão por este fator. Este fator uniformiza a distribuição de tensões na zona comprimida, de modo que a resistência à compressão resultante seja inferior ou igual à resistência à compressão calculada com um diagrama tensão-deformação com ramo plástico decrescente. 

Φ_c é o fator de redução de resistência para o betão. O valor por defeito é definido de acordo com o ACI 318-19 Tabela 24.2.1 (b)(f).

f'_c é a resistência do betão em provetes cilíndricos (em MPa para a definição de $\eta_{fc}$).

Armadura

Considera-se um diagrama tensão-deformação perfeitamente elastoplástico, com ponto de cedência definido, para a armadura não pré-esforçada. Ver ACI 319-19 Cl. 20.2.1. A definição deste diagrama requer apenas o conhecimento das propriedades básicas da armadura - resistência e módulo de elasticidade.

O diagrama tensão-deformação da armadura também pode ser definido pelo utilizador, mas, neste caso, não é possível considerar o efeito de enrijecimento à tração. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

onde:

Φ_s é o fator de redução de resistência para a armadura. O valor por defeito é definido de acordo com o ACI 318-19 Tabela 24.2.1.

f_y é a tensão de cedência da armadura

E_s é o módulo de elasticidade da armadura

Seleciona-se 10% como deformação limite à qual o cálculo é interrompido. Tal é considerado seguro com base na ASTM A955/A955M-20c Artigo 7.

O enrijecimento à tração (Fig. 5.1.3)  é considerado automaticamente através da modificação da relação tensão-deformação introduzida para a barra de armadura nua, de modo a captar a rigidez média das barras embebidas no betão (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

O Método do Campo de Tensões Compatível está em conformidade com as normas de cálculo modernas. Como os modelos de cálculo utilizam apenas propriedades de materiais normalizadas, o formato dos coeficientes parciais de segurança prescrito nas normas pode ser aplicado sem qualquer adaptação. Desta forma, as ações de entrada são majoradas e as propriedades características dos materiais são reduzidas através dos respetivos coeficientes de redução de resistência, exatamente como na análise convencional de betão.

Os valores dos coeficientes de redução de resistência são prescritos no capítulo 21 da ACI 318-19 e, para as âncoras, no capítulo 17 da ACI 318-19 e nos capítulos D, E, F, G da AISC 360-16. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.1\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Os coeficientes de majoração das ações para as combinações de resistência devem ser definidos de acordo com a Tabela 5.3.1 da ACI 318-19.

Exceto conforme indicado no Capítulo 34, as combinações de ações para o nível de serviço não são definidas na ACI 318-19. Recomenda-se a utilização de regras de combinação baseadas no Apêndice C da ASCE/SEI 7-16. Para todos os modelos, os coeficientes de majoração das ações já estão predefinidos.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.3\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

As diferentes verificações exigidas pela ACI 318-19 são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações são efetuadas para a resistência do betão, a resistência da armadura e a ancoragem (tensões de corte de aderência).

Resistência - Betão

A resistência do betão à compressão é avaliada como a razão entre a tensão principal equivalente máxima f_c,eq (também σ_c,eq no texto anterior), obtida a partir da análise por EF, e o valor limite f'_c,lim.

A tensão principal equivalente exprime a tensão uniaxial equivalente para um estado de tensão triaxial geral.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

O valor de f_c,eq pode, assim, ser comparado diretamente com os limites de resistência uniaxial. Esta expressão deriva da implementação da teoria da plasticidade de Mohr-Coulomb, assumindo de forma conservativa o ângulo de atrito interno φ = 0°.

Resistência - Armadura

A resistência da armadura é avaliada tanto à tração como à compressão, como a razão entre a tensão na armadura nas fendas f_s e o valor limite especificado f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Resistência - Ancoragens

As ancoragens são verificadas quanto às tensões normais de forma semelhante à armadura, sendo determinado o valor limite f_y,lim. 

Para facilitar a leitura do texto seguinte, começamos por dividir a ancoragem em três grupos quanto à verificação normativa segundo a ACI ou a AISC.

Grupo 1

• Tipos de ancoragem

  • Placa moldada no local
  • Placa de base - Afastamento = direto 
  • Placa de base - Afastamento = junta de argamassa - espessura da argamassa inferior a 0,5 vezes o diâmetro da âncora
  • Âncora individual com comprimento saliente inferior a 0,5 vezes o diâmetro da âncora
• Verificações normativas das âncoras (ACI / AISC)

  • Tração/compressão

    • Todos os tipos de âncora à tração – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Todos os tipos de âncora à compressão – AISC 360-16 cap. E
  • Corte sem braço de alavanca

    • Material do parafuso – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
    • Pinos com cabeça – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)
    • Armadura – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
  • Interação entre tração e corte - ACI 318-19 cap. 17.8

Grupo 2

• Tipos de ancoragem

  • Placa de base - Afastamento = junta de argamassa - espessura da argamassa superior a 0,5 vezes o diâmetro da âncora
• Verificações normativas das âncoras (ACI / AISC)

  • Tração/compressão

    • Todos os tipos de âncora à tração – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Todos os tipos de âncora à compressão – AISC 360-16 cap. E
  • Corte com braço de alavanca

    • Material do parafuso – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Pinos com cabeça – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Armadura – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
  • Interação entre tração e corte - ACI 318-19 cap. 17.8

Grupo 3

• Tipos de ancoragem

  • Placa de base - Afastamento = folga
  • Âncora individual com comprimento saliente superior a 0,5 vezes o diâmetro da âncora
• Verificações normativas das âncoras (ACI / AISC)

  • Tração/compressão (com encurvadura)

    • Todos os tipos de âncora à tração – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2
    • Todos os tipos de âncora à compressão – AISC 360-16 cap. E3
  • Flexão

    • Para todos os tipos de âncora – AISC 360-16 cap. F11
  • Corte

    • Para todos os tipos de âncora – AISC 360-16 cap. G
  • Interação entre esforço axial e flexão

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Resistência à tração da âncora segundo a ACI 318-19 cap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

em que:

• ϕ_a,t  – coeficiente de redução de resistência para âncoras à tração segundo a ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – área resistente à tração (reduzida pela rosca)
• f_uta – resistência à tração especificada do aço da âncora, que não deve ser superior a 1,9 f_ya nem a 860 MPa

Resistência ao corte da âncora segundo a ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)

A resistência do aço ao corte para pinos com cabeça é determinada como:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

em que:
ϕ_a,v – coeficiente de redução de resistência para âncoras à tração segundo a ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
A_se,V – área resistente à tração (reduzida pela rosca)
f_uta – resistência à tração especificada do aço da âncora, que não deve ser superior a 1,9 f_ya nem a 860 MPa

Resistência ao corte da âncora segundo a ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)

A resistência do aço ao corte para âncoras de material de parafuso e de armadura é determinada como:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

em que:

• ϕ_a,v  – coeficiente de redução de resistência para âncoras à tração segundo a ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – área resistente à tração (reduzida pela rosca)
• f_uta – resistência à tração especificada do aço da âncora, que não deve ser superior a 1,9 f_ya nem a 860 MPa

Resistência ao corte de âncora ligada a uma base com argamassa - ACI 318-19 cap. 17.7.1.2.1

Se as âncoras forem utilizadas com almofadas de argamassa de enchimento (Grupo 2), a resistência de cálculo determinada de acordo com 17.7.1.2 deve ser multiplicada por 0,80.

Interação entre tração e corte segundo a ACI 318-19 cap. 17.8

É permitido desprezar a interação entre tração e corte se (a) ou (b) for satisfeita.
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Se N_ua/(ϕN_n) > 0,2 para a resistência condicionante à tração e V_ua/(ϕV_n) > 0,2 para a resistência condicionante ao corte, deve ser satisfeita a Eq. (17.8.3).

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Resistência à compressão da âncora segundo a AISC 360-16 cap. E3

$$P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}$$

em que:

• ϕ_a,t  – coeficiente de redução de resistência para âncoras à compressão segundo a AISC 360-16 cap. E1
  
• (a) Quando: $\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  ou     $\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25$

  • $F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y$
    
• (b) Quando: $\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  ou     $\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25$

  • $F_{cr}=0.877F_e$
    
• A_g​ – área da secção transversal bruta do elemento
• E – módulo de elasticidade do aço
• $F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}$ - tensão crítica de encurvadura elástica
• F_y – tensão de cedência mínima especificada do tipo de aço utilizado
• $r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}$ – raio de giração
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – momento de inércia do parafuso 

Resistência à flexão da âncora segundo a AISC 360-16 cap. F11

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

em que:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – módulo de flexão plástico do parafuso
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – módulo de flexão elástico do parafuso

Resistência ao corte da âncora segundo a AISC 360-16 cap. G

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

em que:

• A_V = 0,844As – a área de corte
• A_s – a área do parafuso reduzida pelas roscas

Esmagamento do betão na interface âncora–betão

A resistência ao corte da âncora é também limitada do ponto de vista do esmagamento do betão na interface âncora–betão. Os valores limite e o método para a sua determinação estão descritos em pormenor no artigo - Shear behaviour of anchors in reinforced concrete. Quando a força de contacto atinge este limite, o critério de paragem é ativado e a análise é terminada antes de a resistência ser excedida.​ 

Verificação ao arrancamento para âncoras com cabeça (placas de anilha e pinos com cabeça)

Para as âncoras com cabeça, é implementado um critério de paragem adicional para verificar a pressão de contacto (esmagamento) do betão acima da cabeça da âncora - arrancamento. Durante a análise, a força de compressão transmitida através do contacto entre a cabeça e o betão é monitorizada e comparada com o valor limite dado pela ACI 318-19, Cláusula 17.6.3.2.2a (rotura por arrancamento de fixações com cabeça).

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

em que:

• $\Phi$ é o coeficiente de redução de resistência - Tabela 17.5.3(c)
• A_brg é a área de apoio líquida da cabeça do pino, do parafuso de ancoragem ou da barra nervurada com cabeça (sem a área da haste). 
• f'_c é a resistência à compressão especificada do betão
• $\Psi_{c,p}$ é o fator de fendilhação para arrancamento de acordo com 17.6.3.3, sendo sempre considerado igual a 1,0, ou seja, o valor para betão fendilhado. Isto é consistente com a abordagem CSFM utilizada em Detail, na qual a resistência à tração do betão é desprezada e se assume que o betão está fendilhado à tração.

Quando a força de contacto atinge este limite normativo, o critério de paragem é ativado e a análise é terminada antes de a resistência ao arrancamento ser excedida.​ 

Ancoragem -  Tensão de aderência

A tensão de corte de aderência é avaliada de forma independente como a razão entre a tensão de aderência τ_b calculada pela análise por EF e a resistência de aderência f_bu.

Embora a resistência de aderência não esteja explicitamente definida na ACI 318-19, o cálculo do comprimento de amarração pode ser encontrado na Secção 25.4.2. No entanto, uma vez que a resistência de aderência é o dado de base para a determinação do comprimento de amarração, ver R25.4.1.1 e ACI Committee 408 1966, a resistência de aderência pode ser calculada da seguinte forma:

Admita-se que, se ancorarmos a barra de armadura num bloco de betão com um comprimento igual ou superior ao comprimento de amarração l_d, o arrancamento da armadura conduzirá à rotura da armadura e não ao arrancamento do betão. Isto pode ser escrito com a seguinte fórmula.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

em que:

d_b é o diâmetro da barra de armadura, l_d é o comprimento de amarração, f_bu é a resistência de aderência, f_y é a tensão de cedência da armadura e A_s é a área da barra de armadura.

A partir do exposto, a fórmula para o cálculo da resistência de aderência pode ser facilmente deduzida:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

O comprimento de amarração l_d é então determinado de acordo com a Tabela 25.4.2.3 da ACI 318-19 do seguinte modo:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

em que:

C = 25 (2,1 para unidades métricas) para barras n.º 6 e inferiores e fios nervurados, C = 20 (1,7 para unidades métricas) para barras n.º 7 e superiores, λ = 1,0 para betão de peso normal, ψ_t, ψ_e, ψ_g são determinados de acordo com a Tabela 25.4.2.3 da ACI 318-19. 

Apenas é suportada armadura sem revestimento ou com revestimento de zinco (galvanizada), pelo que ψ_e = 1,0. ψ_g é determinado automaticamente a partir da classe da armadura, e ψ_t é obtido automaticamente a partir da posição da armadura no modelo e da direção de betonagem, que pode ser definida na aplicação para cada elemento do projeto, do seguinte modo.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.1\qquad Direction of concreting}}}$$

Estas verificações são efetuadas em relação aos valores limite adequados para as respetivas partes da estrutura (ou seja, apesar de existir uma única classe tanto para o betão como para o material da armadura, os diagramas tensão-deformação finais diferem em cada parte da estrutura devido aos efeitos de enrijecimento à tração e de amolecimento à compressão).

Ancoragem -  Força total

Força total F_tot e força limite F_lim

A força total F_tot é um resultado da análise por elementos finitos e pode ser definida de duas formas.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

em que A_s é a área da barra de armadura e f_s é a tensão na barra.

Ou como a soma da força de ancoragem F_a e da força de aderência F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

em que F_a é a força real na mola de ancoragem e F_bond é a força de aderência, que pode ser obtida por integração da tensão de aderência τ_b ao longo do comprimento da barra de armadura l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s é o perímetro da barra de armadura.

A força limite F_lim é a força máxima no elemento da barra de armadura, considerando a resistência da barra e também as condições de ancoragem (aderência entre o betão e a armadura e ganchos de ancoragem, laços, etc.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

em que C_s é o perímetro da barra de armadura e l é o comprimento desde o início da barra de armadura até ao ponto de interesse.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.2\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

em que F_lim,add é a força adicional calculada a partir da amplitude do ângulo entre elementos vizinhos. F_lim,2 deve ser sempre inferior a F_u.

Os tipos de ancoragem disponíveis no CSFM incluem barra reta (isto é, sem redução na extremidade de ancoragem), gancho a 90 graus, gancho a 180 graus, aderência perfeita e barra contínua. Todos estes tipos, juntamente com os respetivos coeficientes de ancoragem β, são apresentados na Fig. 5.3.3 para armadura longitudinal. Os valores dos coeficientes de ancoragem adotados resultam da comparação da equação da secção 25.4.3.1 da ACI 318-19 com as equações da secção 25.4.2.3 da ACI 318-19. Note-se que, apesar das diferentes opções disponíveis, o CSFM distingue três tipos de extremidades de ancoragem: (i) sem redução do comprimento de ancoragem, (ii) uma redução de 30 % do comprimento de ancoragem no caso de uma ancoragem normalizada e (iii) aderência perfeita.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.3\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

O coeficiente de ancoragem para estribos é sempre - β = 1,0.

Para cumprir a ACI, deve ser utilizada a mola de ancoragem no cálculo; a mola de ancoragem é modificada pelo coeficiente β, pelo que o utilizador deve utilizar um dos tipos de ancoragem disponíveis ao definir as condições de início e de fim da armadura. 

Betão - Resistência

O modelo de betão implementado para os cálculos de resistência no 3D CSFM baseia-se nos pressupostos de dimensionamento à resistência da AASHTO LRFD, relativos ao equilíbrio e à compatibilidade das deformações. De acordo com o Artigo 5.6.2.1 da AASHTO LRFD (2024), a resistência à tração do betão é desprezada.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

A implementação do 3D CSFM no IDEA StatiCa Detail não considera um critério de rotura explícito em termos de deformações para o betão à compressão (ou seja, após ser atingida a tensão máxima, considera um ramo plástico com ε_c0 com valor máximo de 5%, enquanto o Artigo 5.6.2.1 da AASHTO LRFD (2024) assume uma deformação última inferior a 0,3%). Esta simplificação não permite verificar a capacidade de deformação das estruturas que atingem a rotura por compressão. No entanto, a resistência é prevista corretamente quando o aumento da fragilidade do betão com o aumento da sua resistência é considerado através do fator de redução $\eta_{fc}$ definido no fib Model Code 2010, da seguinte forma:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

em que:

α₁ é o fator de redução da resistência à compressão do betão definido no Artigo 5.6.2.2 da AASHTO LRFD (2024). Ao utilizar um diagrama tensão-deformação parábola-retângulo, é necessário reduzir a tensão máxima de compressão por este fator. Isto uniformiza a distribuição de tensões na zona comprimida, de modo que a resistência à compressão resultante seja inferior ou igual à resistência à compressão calculada com um diagrama tensão-deformação com ramo plástico decrescente.

Φ_c é o fator de redução da resistência do betão. O valor por defeito é definido de acordo com o Artigo 5.5.4.2 da AASHTO LRFD (2024).

f'_c é a resistência do betão em cilindro (em MPa para a definição de $\eta_{fc}$).

Armadura

Considera-se um diagrama tensão-deformação perfeitamente elastoplástico, com um ponto de cedência definido, para a armadura não pré-esforçada. Ver o Artigo 5.4.3 da AASHTO LRFD (2024). A definição deste diagrama requer apenas o conhecimento das propriedades básicas da armadura - resistência e módulo de elasticidade.

O diagrama tensão-deformação da armadura também pode ser definido pelo utilizador, mas, neste caso, não é possível considerar o efeito de enrijecimento à tração. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

em que:

Φ_s é o fator de redução da resistência da armadura. O valor por defeito é definido de acordo com o Artigo 5.5.4.2 da AASHTO LRFD (2024).

f_y é a tensão de cedência da armadura

E_s é o módulo de elasticidade da armadura

Seleciona-se 10% como a deformação limite na qual o cálculo é interrompido. Considera-se que este valor é seguro com base no Artigo 7 da ASTM A955/A955M-20c.

O enrijecimento à tração (Fig. 6.1.3)  é considerado automaticamente através da modificação da relação tensão-deformação de entrada do varão de armadura nu, de modo a captar a rigidez média dos varões embebidos no betão (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

O Método do Campo de Tensões Compatível está em conformidade com as normas de cálculo modernas. Como os modelos de cálculo utilizam apenas propriedades de materiais normalizadas, o formato de coeficientes parciais de segurança prescrito nas normas pode ser aplicado sem qualquer adaptação. Desta forma, as cargas de entrada são majoradas e as propriedades características dos materiais são reduzidas através dos respetivos coeficientes de redução de resistência, exatamente como na análise convencional de betão.

Os valores dos coeficientes de redução de resistência estão prescritos no AASHTO LRFD (2024), Artigo 5.5.4, e, para as âncoras, no ACI 318-19, Capítulo 17, e no AASHTO LRFD (2024), Artigo 6.5.4.2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.1\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Os coeficientes de majoração das ações e as combinações de ações devem ser definidos de acordo com as AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Artigo 3.4.1 e Tabelas 3.4.1-1 a 3.4.1-6. O AASHTO LRFD especifica explicitamente as combinações de ações para o estado limite de resistência (Strength I a Strength V), incluindo os respetivos coeficientes de majoração para cada caso.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.2\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

As diferentes verificações exigidas pela AASHTO são avaliadas com base nos resultados diretos fornecidos pelo modelo. As verificações são realizadas para a resistência do betão, a resistência da armadura e a ancoragem (tensões de corte de aderência).

Resistência - Betão

A resistência do betão à compressão é avaliada como a relação entre a tensão principal equivalente máxima f_c,eq (também σ_c,eq no texto anterior), obtida da análise por EF, e o valor limite f'_c,lim.

A tensão principal equivalente exprime a tensão uniaxial equivalente para um estado de tensão triaxial geral.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

O valor de f_c,eq pode, portanto, ser comparado diretamente com os limites de resistência uniaxiais. Esta expressão é derivada da implementação da teoria da plasticidade de Mohr-Coulomb, assumindo de forma conservativa o ângulo de atrito interno φ = 0°.

Resistência - Armadura

A resistência da armadura é avaliada tanto à tração como à compressão, como a relação entre a tensão na armadura nas fendas f_s e o valor limite especificado f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Resistência - Ancoragens

As ancoragens são verificadas para tensões normais de forma semelhante à armadura, sendo determinado o valor limite f_y,lim. 

Para facilitar a consulta do texto seguinte, começamos por dividir a ancoragem em três grupos no que respeita à verificação normativa segundo a AASHTO ou o ACI.

Grupo 1

• Tipos de ancoragem

  • Placa embebida
  • Placa de base - Distância ao betão = direta 
  • Placa de base - Distância ao betão = junta de argamassa - espessura da argamassa inferior a 0,5 vezes o diâmetro da âncora
  • Âncora isolada com comprimento livre inferior a 0,5 vezes o diâmetro da âncora
• Verificações normativas das âncoras (AASHTO / ACI)

  • Tração/compressão

    • Todos os tipos de âncora à tração – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Todos os tipos de âncora à compressão – AASHTO artigo 6.9.2
  • Corte sem braço de alavanca

    • Material do parafuso – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
    • Pinos com cabeça – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)
    • Armadura – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
  • Interação entre tração e corte - ACI 318-19 cap. 17.8

Grupo 2

• Tipos de ancoragem

  • Placa de base - Distância ao betão = junta de argamassa - espessura da argamassa superior a 0,5 vezes o diâmetro da âncora
• Verificações normativas das âncoras (AASHTO / ACI)

  • Tração/compressão

    • Todos os tipos de âncora à tração – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Todos os tipos de âncora à compressão – AASHTO artigo 6.9.2
  • Corte com braço de alavanca

    • Material do parafuso – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Pinos com cabeça – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Armadura – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
  • Interação entre tração e corte - ACI 318-19 cap. 17.8

Grupo 3

• Tipos de ancoragem

  • Placa de base - Distância ao betão = folga
  • Âncora isolada com comprimento livre superior a 0,5 vezes o diâmetro da âncora
• Verificações normativas das âncoras (AASHTO / ACI)

  • Tração/compressão (com encurvadura)

    • Todos os tipos de âncora à tração – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2
    • Todos os tipos de âncora à compressão – AASHTO LRFD artigo 6.9.2
  • Flexão

    • Para todos os tipos de âncora – AAHTO LRFD artigo 6.12.2.2.7
  • Corte

    • Para todos os tipos de âncora – AASHTO LRFD artigo 6.10.9
  • Interação entre esforço axial e flexão

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Resistência à tração da âncora segundo ACI 318-19 cap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

em que:

• ϕ_a,t  – coeficiente de redução de resistência para âncoras à tração segundo ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – área resistente à tração (reduzida pela rosca)
• f_uta – resistência à tração especificada do aço da âncora, que não deve ser superior a 1,9 f_ya nem a 860 MPa

Resistência ao corte da âncora segundo ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)

A resistência do aço ao corte para pinos com cabeça é determinada como:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

em que:
ϕ_a,v – coeficiente de redução de resistência para âncoras à tração segundo ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
A_se,V – área resistente à tração (reduzida pela rosca)
f_uta – resistência à tração especificada do aço da âncora, que não deve ser superior a 1,9 f_ya nem a 860 MPa

Resistência ao corte da âncora segundo ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)

A resistência do aço ao corte para âncoras de material de parafuso e armadura é determinada como:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

em que:

• ϕ_a,v  – coeficiente de redução de resistência para âncoras à tração segundo ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – área resistente à tração (reduzida pela rosca)
• f_uta – resistência à tração especificada do aço da âncora, que não deve ser superior a 1,9 f_ya nem a 860 MPa

Resistência ao corte da âncora ligada a uma base com argamassa - ACI 318-19 cap. 17.7.1.2.1

Se as âncoras forem utilizadas com almofadas de argamassa de nivelamento (Grupo 2), a resistência de cálculo determinada de acordo com 17.7.1.2 deve ser multiplicada por 0,80.

Interação entre tração e corte segundo ACI 318-19 cap. 17.8

Pode desprezar-se a interação entre tração e corte se (a) ou (b) for satisfeita.
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Se N_ua/(ϕN_n) > 0,2 para a resistência condicionante à tração e V_ua/(ϕV_n) > 0,2 para a resistência condicionante ao corte, então deve ser satisfeita a Eq. (17.8.3).

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Resistência à compressão da âncora segundo AASHTO LRFD Artigo 6.9.2

$$P_r =\phi_{a,c}\, P_{n}$$

em que:

• ϕ_a,c  – o coeficiente de redução de resistência para âncoras à compressão segundo AASHTO LRFD artigo 6.5.4.2

• Se $\dfrac{P_o}{P_e} \le 2.25$,  então: $P_{n}=\left(0.658^{\,P_o/P_e}\right)P_o$,   Caso contrário: $P_n=0.877\,P_e$

• A_g​ – área da secção transversal bruta do elemento (in²)
• F_y – tensão de cedência mínima especificada do tipo de aço utilizado (ksi)
• $P_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{K\,l}{r_s}\right)^2}A_g$ - resistência crítica elástica de encurvadura (kip)
• E – módulo de elasticidade do aço (ksi)
• K = 2 – coeficiente de comprimento efetivo segundo o Artigo 4.6.2.5 
• l – comprimento não contraventado no plano de encurvadura (in) 
• $r_s=\sqrt{\dfrac{I}{A_g}}$ – raio de giração
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – momento de inércia do parafuso 

Resistência à flexão da âncora segundo AASHTO LRFD Artigo 6.12.2.2.7

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$