A gyakorlatban a mérnökök különböző típusú végeselemekkel találkozhatnak (az egyszerű 1D rúdelemektől a bonyolultabb 3D téglatest elemekig), amelyeket a szerkezeti elemek analízisében és tervezésében sokféle alkalmazásban használnak. A legtöbb gyakorlati számítás közös jellemzője a modellek lineáris viselkedése, amelynek előnyei kétségtelenül a sebesség, az áttekinthetőség, és egyszerűen az a tény, hogy a problémák széles körére ez a megoldás teljesen elegendő.

Különösen a betonszerkezetek világában fordul elő gyakran, hogy a lineáris megközelítés nem elegendő, egyszerűen azért, mert a terhelt elemben az első repedések megjelenése után a feszültségek átrendeződnek, és a feladat jelentősen nemlineárissá válik.

Ezekben az esetekben szükséges a kifinomultabb megközelítések egyikét választani. 1D esetekre a szabványokban közvetlenül meghatározott analitikus módszerek gyakran megtalálhatók. Például 2D síkbeli elemekhez és diszkontinuitási régiókhoz (D-régiókhoz) népszerű Strut and Tie modellek építhetők, vagy alkalmazható a kifinomultabb, az IDEA StatiCa Detail-ben implementált feszültségmező-módszer, a CSFM.

Ha azonban a mérnök olyan problémával találkozik, amely nem egyszerűsíthető síkbeli viselkedésre, a lehetőségek igen korlátozottak. Természetesen 3D Strut and Tie modell is felépíthető, vagy pontos analízishez féltudományos szoftver is használható. Ezek az eljárások azonban gyakran időigényesek, nem felelnek meg a szabványoknak, és fejlett modellezési módszerekben jártas mérnököt igényelnek.

Erre a célra az IDEA StatiCa kifejlesztette és implementálta a 3D CSFM-et (Compatible Stress Field Method) a Detail alkalmazásban. A 3D CSFM a bevált CSFM-et kiterjeszti a harmadik dimenzióba, gyors és szabványnak megfelelő megoldást kínálva, amely elsősorban a mindennapi mérnök számára alkalmazható, egyedülálló új lehetőséget adva nekik a betonszerkezetek összetett részleteinek biztonságos kezelésére.

1.2 A CSFM főbb feltételezései és korlátai 3D-ben

A 3D CSFM a beton viselkedését a módosított Mohr-Coulomb plaszticitáselmélet alapján határozza meg monoton terhelésre. A módszer figyelembe veszi a beton főfeszültségeit nyomásban és a vasalás feszültségeit (σ_sr) a repedéseknél, miközben elhanyagolja a beton húzószilárdságát (húzási levágás), kivéve annak a vasalásra gyakorolt merevítő hatását (Tension stiffening).

σ_c₁_r, σ_c₂_r, σ_c₃_r ≤ 0 MPa

A vasalásrudak kötőelemeken keresztül kapcsolódnak a beton térfogati végeselemekhez, lehetővé téve a csúszást a beton és a vasalás között. Megjegyzendő, hogy a 3D CSFM nem alkalmas vasalatlan beton szimulálására, mivel a húzás hiánya félrevezető alakváltozáshoz és a modell divergenciájához vezethet. Általánosságban a Mohr-Coulomb-elmélet két alapvető tulajdonságot tartalmaz, amelyek a plaszticitási felület fejlődését irányítják nyomásban és részben húzásban: a belső súrlódási szög φ és a kohéziós paraméter c. A 3D CSFM nulla belső súrlódási szöget feltételez (1e. ábra), ami konzervatív méretezéshez vezet, mivel a plaszticitási felület a Tresca-modellhez hasonlít, amely független az első feszültséginvariánstól.

\( \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}\) \( \textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}\)

Beton

A bemutatott anyagmodell egy többfelületes plaszticitási modell, amelyet a Mohr-Coulomb- és a Rankine-modellek kombinációja ad meg monoton terhelésre. Fontos megjegyezni, hogy ez a modell nem kezeli a tehermentesítést, ezért az állapotváltozók nem kerülnek tárolásra, ellentétben a ciklikus terhelésre használt klasszikus plaszticitási modellekkel.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}\]

Ahogy már említettük, az anyagmodell vasalt beton szerkezetek válaszának kiszámítására szolgáló alkalmazásokban való használatra készült (vasalatlan betonhoz nem alkalmas). Ennek oka a beton húzásának kizárása. Ezért a modell olyan szerkezeti elemeknél sem alkalmazható, ahol a vasalt betonra vonatkozó tervezési szabályok – mint például a minimális vasalási arány, a maximális rúdtávolság stb. – nem teljesülnek. Hozzá kell tenni, hogy numerikus stabilitási okokból a modellben egy nagyon kis húzókapacitás van definiálva. A húzási részt a Rankine-modellnek megfelelő síkok korlátozzák.

A 3D CSFM az IDEA StatiCa Detail programban nem vesz figyelembe explicit tönkremeneteli kritériumot alakváltozás szempontjából a nyomott betonra vonatkozóan (azaz a csúcsfeszültség elérése után végtelen plasztikus ágat feltételez). Ez az egyszerűsítés nem teszi lehetővé a nyomásban tönkremenő szerkezetek alakváltozási kapacitásának ellenőrzését. Az összesített kapacitás azonban megfelelően becsülhető, ha a beton ridegségének szilárdság növekedésével arányos növekedését figyelembe vesszük a 𝜂_𝑓𝑐 redukciós tényező segítségével, amelyet az fib Model Code 2010 az alábbiak szerint definiál:

\[f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}\]

\[{\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1\]

ahol:

f_c a beton hengeres karakterisztikus szilárdsága (MPa-ban, a \( \eta_{fc} \) definíciójához).

Az f_c,red értéket ezután az ekvivalens főfeszültség σ_c,eq betonban mért értékével hasonlítják össze, amelyet a továbbiakban definiálunk, természetesen a szabvány által előírt összes biztonsági tényező figyelembevételével.

A betonmodell részletes leírása az alábbi linken található:

Concrete Material Model for 3D Detail

Vasalás

A vasalásrudak kétlineáris feszültség-alakváltozás diagramja, ahogyan azt a tervezési szabványok meghatározzák (1d. ábra), egy idealizált modellt képvisel. Ez a modell megköveteli a vasalás alapvető tulajdonságainak – különösen a szilárdság és a képlékenységi osztály – ismeretét a tervezési fázisban. Alternatívaként a felhasználók egyéni feszültség-alakváltozás összefüggést is megadhatnak.

A húzási merevítő hatást a szabad vasalásrúd feszültség-alakváltozás összefüggésének módosításával veszik figyelembe, hogy visszaadják a betonba ágyazott rudak átlagos merevségét (ε_m) (1b. ábra).

Lehorgonyzás

A vasalás és a beton közötti kötés-csúszás a végeselem-modellben az (1f. ábrán) bemutatott egyszerűsített merev–tökéletesen képlékeny alkotóösszefüggés figyelembevételével kerül bevezetésre, ahol f_bd a tervezési szabvány által az adott tapadási feltételekre előírt végső tapadási feszültség méretezési értéke (szorzott értéke).

Ez egy egyszerűsített modell, amelynek egyetlen célja a tervezési szabványok szerinti tapadási előírások ellenőrzése (azaz a vasalás lehorgonyzása). A lehorgonyzási hossz csökkentése kampók, hurkok és hasonló rúdalakzatok alkalmazásakor a vasalás végén meghatározott kapacitás definiálásával vehető figyelembe, ahogyan azt a továbbiakban leírjuk.

Horgonyok

A horgonyelem úgy van definiálva, hogy képes normál húzó- vagy nyomóerőket, valamint nyíróerőket átvinni, figyelembe véve a hajlítási merevséget.

A következő horgonytípusok állnak rendelkezésre:

Helyszínen öntött horgonyok
- Vasalás
- Alátétlemez
- Fejes csap
Helyszínen öntött vasalás
- Vasalás
- Menetes rudak

Helyszínen öntött – Vasalás

Betonba ágyazott bordás vasalásként modellezve. A tapadási szilárdság a kiválasztott szabvány előírásai szerint kerül kiszámításra, ugyanúgy, mint a szokásos vasalásnál. A horgony végén Lehorgonyzási típus definiálható, amely azonos módon működik, mint a vasalásnál – egy lehorgonyzási rugó kerül alkalmazásra, amelynek β-tényezője a kiválasztott szabvány szerint van beállítva. Három geometriai alak áll rendelkezésre: Egyenes, L-alak, U-alak.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}\]

Helyszínen öntött – Alátétlemez és fejes csap

Az alátétlemez és a fejes csap feje lemez-héj elemként van modellezve a megfelelő anyagból, közvetlenül a horgányszárhoz csatlakoztatva. A terhet csak nyomásos érintkezésen keresztül adja át a betonnak. Elérhető alakzatok: kör és négyzet (fejes csapnál csak kör), testreszabható méretekkel. Az alátétlemez és a fej modellje rugalmas, és ellenállásra nem kerül ellenőrzésre.

A végeselem-modell szintjén a horgony kihúzódása közvetlenül ellenőrzésre kerül. A nyomásos érintkezéshez leállási kritériumok vannak beállítva, amelyek megakadályozzák, hogy a betonra a kiválasztott szabvány által előírtnál nagyobb érintkezési feszültség adódjon át. Gyakorlatilag ez azt jelenti, hogy ha a horgonyt olyan erővel terhelnék, amely nem felel meg a kihúzódási ellenőrzésnek, a számítás idő előtt leállna, mivel ez a leállási kritérium a további terhelés során túllépésre kerülne.

A horgányszárnak nulla tapadási szilárdsága van – az összes terhet a lemezen vagy a fejen keresztül adja át a betonnak.

Utólag beépített – Vasalás és menetes rúd

Fúrt lyukakba beépített és ragasztóval rögzített rudakként tervezve. A mérnök közvetlenül a ragasztótermék műszaki specifikációjából adja meg a méretezési tapadási szilárdságot.

Az egyes horgonytípusok talplemezhez vagy beépített lemezhez való csatlakoztatásával kapcsolatos további információk a Végeselem-típusok – Teherátadó eszközök fejezetben találhatók.

1.3 Mohr-Coulomb plaszticitáselmélet implementációja a 3D CSFM-ben

A következő fejezetben megvizsgáljuk, hogyan van implementálva a Mohr-Coulomb elmélet a 3D CSFM-ben. Elmagyarázzuk, hogyan veszi figyelembe a befoglaló hatást (háromtengelyű feszültség), és hogyan számítják az Egyenértékű Főfeszültséget σ_c,eq, amelyet a beton teherbírásának meghatározásához használnak.

Bevezetés az elméletbe

A Mohr–Coulomb elmélet egy matematikai modell, amely a törékeny anyagok nyírási és normálfeszültségre adott válaszát írja le. A klasszikus mérnöki anyagok többsége legalább a nyírási tönkremeneteli burkoló egy részén követi ezt a szabályt. Az elmélet általában olyan anyagokra alkalmazható, amelyeknél a nyomószilárdság messze meghaladja a húzószilárdságot.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}\]

A szerkezeti mérnöki gyakorlatban a tönkremeneteli terhelés, valamint a betonban és hasonló anyagokban bekövetkező törési felület elmozdulásának törési szögének meghatározására használják. A Coulomb-féle súrlódási hipotézist az anyag törését okozó nyírási és normálfeszültség kombinációjának meghatározására alkalmazzák. A Mohr-kör segítségével meghatározható, hogy mely főfeszültségek hozzák létre ezt a nyírási és normálfeszültség kombinációt, valamint a sík szöge, amelyen ez bekövetkezik. A normalitás elve szerint a tönkremenetelkor bevezetett feszültség merőleges lesz a törési feltételt leíró egyenestre.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}\]

Kimutatható, hogy a Coulomb-féle súrlódási hipotézis szerint tönkremenő anyagnál a tönkremenetelkor bevezetett elmozdulás a súrlódási szöggel egyenlő szöget zár be a törési egyenessel. Ez lehetővé teszi az anyag szilárdságának meghatározását az elmozdulás és a külső terhelés által bevezetett külső mechanikai munka, valamint a tönkremeneteli egyenesen ébredő alakváltozás és feszültség által bevezetett belső mechanikai munka összehasonlításával. Az energiamegmaradás elvéből következően ezek összege nulla, ami lehetővé teszi a szerkezet tönkremeneteli terhének kiszámítását.

Implementáció a 3D CSFM-ben

Általánosan, a beton adott belső súrlódási szögéhez – amely az [1], [2], [3], [4] hivatkozásokban φ = 30-40° körüli értékű –, a beton húzási és nyomási szilárdságához tartozó Mohr-körök a 6. ábrán látható módon szerkeszthetők meg.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Mohr's circles for concrete}}}\]

Ahol f_c a beton nyomószilárdsága, f_ct a beton húzószilárdsága, φ a belső súrlódási szög, σ_c₁, σ_c₃ pedig a beton háromtengelyű nyomás alatti főfeszültségei.

Megfigyelhető, hogy ahogy a σ_c₃ főfeszültség növekszik, a σ_c₃ és σ_c₁ értékek közötti maximálisan lehetséges különbség – amelyet maximális σ_c,eq-ként definiálunk (lásd alább) – szintén növekszik. Ez a különbség megfelel az irodalomban a Mohr-körök sugaraként definiált deviatorikus feszültség kétszeresének.

Az IDEA StatiCa Detail-ben implementált 3D CSFM-ben a belső súrlódási szöget φ = 0°-nak tekintik, ahogy a 7. ábrán látható.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}\]

Ennek az implementációnak a gyakorlati következménye, hogy a σ_c₃ és σ_c₁ közötti maximális különbség állandó marad, ahogy σ_c₃ növekszik.

Az Egyenértékű Főfeszültség az általános háromtengelyű feszültségállapot egyenértékű egytengelyű feszültségét fejezi ki.

\[\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}\]

A σ_c,eq érték ezért közvetlenül összehasonlítható a szabványok szerinti egytengelyű szilárdsághatárokkal.

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Ahol σ_c_,lim a beton méretezési (szorzótényezővel csökkentett) egytengelyű szilárdsága f_c.

A 6. ábra – ahol a valódi belső súrlódási szöget alkalmazzák – és a 7. ábra – amely a nulla belső súrlódási szöggel megvalósított Mohr-Coulomb elmélet implementációját mutatja – összehasonlításából látható, hogy a Detail számításaihoz választott megközelítés a háromtengelyű feszültségállapot értékelése szempontjából igen konzervatív.

A háromtengelyű nyomási feszültség által érintett területek jobb megértése érdekében a háromtengelyű nyomás miatti effektív anyagszilárdság-növekedés kifejezése σ_c₃/σ_c,lim arányként hozzáadásra került az IDEA StatiCa Detail alkalmazáshoz. Ez az arány a Szilárdság szabványellenőrzésben található meg.

A Kiegészítő eredményekben a felhasználó megtalálhatja a κ tényezőt is, amely a háromtengelyűséget más módon fejezi ki.

\[\kappa = \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}\]

A beton szilárdságellenőrzés ekkor a következőképpen írható át:

\[\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1\]

Az előzőekből következik, hogy ha az elem hidrosztatikus feszültség alatt van – σ_c₃=σ_c₂=σ_c₁, az Egyenértékű Főfeszültség σ_c,eq értéke nulla lesz, a kappa tényező pedig végtelenbe tart.

További információ itt található: Háromtengelyű feszültség – az aktív befoglaló hatás

1.4 Általános mechanikai feltételezések a 3D CSFM-hez

Egyensúlyi egyenletek

A kis alakváltozások elmélete lehetővé teszi az egyensúlyi egyenlet felállítását az el nem deformált térfogat alapján, elsőrendű megközelítéssel.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}\]

Kompatibilitási egyenletek

A szilárd test végtelen kis térfogatokból vagy anyagpontokból áll, amelyek hézagok vagy átfedések nélkül kapcsolódnak egymáshoz. Matematikai feltételeket kell teljesíteni annak érdekében, hogy a kontinuum test deformációja során ne keletkezzenek hézagok vagy átfedések.

Anyagegyenletek

A 3D elemek viselkedését leíró anyagegyenletek meghatározó szerepet játszanak az anyagviselkedés elemzésében a szerkezeti mechanikában. Ezeket az egyenleteket a nemlineáris izotróp viselkedés figyelembevételével fogalmazták meg, amely érvényes az IDEA StatiCa Detail tömör blokk szerkezeti elemeire.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}\]

2 Az IDEA StatiCa 3D Detail analízismodellje

2.1 Bevezetés a végeselem-módszer implementációjába

A 3D CSFM folytonos feszültségmezőket vesz figyelembe a betonban (3D végeselemek), kiegészítve a vasalást reprezentáló diszkrét „rúd" elemekkel (1D végeselemek). Ezért a vasalás nem diffúzan van beágyazva a beton 3D végeselemeibe, hanem explicit módon modellezve és azokhoz csatlakoztatva.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}\]

2.2 Általános végeselem-típusok

A nemlineáris (inelasztikus) végeselem-analízis modellje több végeselem-típusból áll, amelyek a betont, a vasalást és a köztük lévő tapadást modellezik. A beton- és vasaláselemeket először egymástól függetlenül hálózzák be, majd többpontos kényszerfeltételekkel (MPC elemek) kapcsolják össze. Ez lehetővé teszi, hogy a vasalás a tetraéderes háló csomópontjaitól független pozícióban helyezkedjen el. A lehorgonyzási hossz, a tapadás és a horgonyzati végek ellenőrzéséhez rugóelemeket illesztenek be a vasalás és az MPC elemek közé.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}\]