V praxi se inženýři mohou setkat s různými typy konečných prvků (od jednoduchých 1D prutových prvků až po složitější 3D objemové prvky), které se používají v řadě aplikací pro analýzu a návrh konstrukčních prvků. Společným rysem většiny výpočtů v praxi bývá lineární chování modelů. Jejich výhodami jsou nepochybně rychlost, přehlednost a také prostý fakt, že pro širokou škálu úloh je toto řešení naprosto dostačující.

Zejména v oblasti betonových konstrukcí se často stává, že lineární přístup nestačí, protože po vzniku prvních trhlin v zatíženém prvku dochází k přerozdělení napětí a úloha se stává výrazně nelineární.

V těchto případech je nutné zvolit některý z pokročilejších přístupů. Pro 1D případy lze často nalézt analytické metody definované přímo v normách. Pro 2D rovinné prvky a oblasti diskontinuity (D-oblasti) lze například sestavit oblíbené modely vzpěra-táhlo, nebo lze použít sofistikovanější metodu napěťových polí implementovanou v IDEA StatiCa Detail, CSFM.

Pokud však inženýr narazí na úlohu, kterou nelze zjednodušit na rovinné chování, jsou možnosti velmi omezené. Lze samozřejmě sestavit 3D model vzpěra-táhlo nebo pro přesnou analýzu použít poloodborný software. Tyto postupy jsou často časově náročné, nevyhovují normám a vyžadují inženýra znalého pokročilých metod modelování.

Z tohoto důvodu vyvinula společnost IDEA StatiCa a implementovala 3D CSFM (Compatible Stress Field Method) v aplikaci Detail. 3D CSFM rozšiřuje zavedenou metodu CSFM do třetího rozměru a nabízí rychlé řešení v souladu s normami, které je primárně použitelné pro běžného inženýra a dává mu jedinečnou novou možnost bezpečně řešit složité detaily betonových konstrukcí.

3D CSFM definuje chování betonu na základě modifikované Mohr-Coulombovy teorie plasticity pro monotónní zatěžování. Metoda uvažuje hlavní napětí v betonu v tlaku a napětí ve vyztužení (σ_sr) v trhlinách, přičemž zanedbává pevnost betonu v tahu (tension cut-off), s výjimkou jeho ztužujícího vlivu na vyztužení (Tahové zpevnění).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Pruty vyztužení jsou propojeny s objemovými konečnými prvky betonu pomocí prvků soudržnosti, které umožňují prokluz mezi betonem a vyztužením. Je třeba poznamenat, že 3D CSFM není vhodná pro simulaci prostého betonu z důvodu absence tahu, která může vést k zavádějícímu přetvoření a divergenci modelu. Mohr-Coulombova teorie obecně zahrnuje dvě základní vlastnosti, které řídí vývoj plochy plasticity v tlaku a částečně v tahu: úhel vnitřního tření φ a parametr koheze c. 3D CSFM předpokládá nulový úhel vnitřního tření (obr. 1.2.1e), což vede ke konzervativnímu návrhu, protože plocha plasticity se podobá modelu Tresca, který je nezávislý na prvním invariantu napětí.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

Beton 

Prezentovaný materiálový model je vícenásobný model plasticity daný kombinací modelů Mohr-Coulomb a Rankine pro monotónní zatěžování. Je důležité poznamenat, že tento model neřeší odtížení, a proto se neukládají stavové proměnné, jak je tomu u klasických modelů plasticity používaných pro cyklické zatěžování.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

Jak již bylo zmíněno, materiálový model je určen pro použití v aplikacích, které počítají odezvu železobetonu (není vhodný pro prostý beton). Důvodem je vyloučení betonu v tahu. Model proto není vhodný ani pro konstrukční prvky, u nichž nejsou splněna návrhová pravidla pro železobeton, například minimální stupeň vyztužení, maximální osová vzdálenost prutů apod. Je třeba také dodat, že z důvodu numerické stability je v modelu definována velmi malá tahová únosnost. Tahová část je omezena rovinami odpovídajícími modelu Rankine.

3D CSFM v IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení z hlediska přetvoření betonu v tlaku (tj. uvažuje nekonečně plastickou větev po dosažení maximálního napětí). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí porušujících se tlakem. Jejich mezní únosnost je však správně predikována, pokud se zohlední nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností pomocí redukčního součinitele 𝜂_𝑓𝑐 definovaného v fib Model Code 2010 následovně:

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

f_c je charakteristická válcová pevnost betonu (v MPa pro definici $\eta_{fc}$).

Hodnota f_c,red se pak porovnává s ekvivalentním hlavním napětím σ_c,eq v betonu, které bude definováno dále, samozřejmě s uvážením všech dílčích součinitelů spolehlivosti předepsaných normou.

Podrobný popis modelu betonu naleznete na následujícím odkazu:

• Materiálový model betonu pro 3D Detail

Vyztužení

Bilineární diagram napětí-přetvoření pro pruty vyztužení, jak jej definují návrhové normy (obr. 1.2.1d), představuje idealizovaný model. Tento model vyžaduje v návrhové fázi znalost základních vlastností vyztužení, konkrétně pevnosti a třídy tažnosti. Alternativně má uživatel možnost definovat vlastní vztah napětí-přetvoření.

Tahové zpevnění se uvažuje úpravou vztahu napětí-přetvoření holého prutu vyztužení tak, aby zachytil průměrnou tuhost prutů zabetonovaných v betonu (ε_m) (obr. 1.2.1b).

Kotvení

Soudržnost s prokluzem mezi vyztužením a betonem se v modelu konečných prvků zavádí uvažováním zjednodušeného tuhého ideálně plastického konstitutivního vztahu uvedeného na (obr. 1.2.1f), kde f_bd je návrhová hodnota (násobená součinitelem) mezního napětí v soudržnosti stanovená návrhovou normou pro konkrétní podmínky soudržnosti.

Jedná se o zjednodušený model, jehož jediným účelem je ověření ustanovení o soudržnosti podle návrhových norem (tj. kotvení vyztužení). Zkrácení kotevní délky při použití háků, smyček a podobných tvarů prutů lze uvážit definováním určité únosnosti na konci vyztužení, jak bude popsáno dále.

Kotvy

Prvek kotvy je definován tak, že je schopen přenášet normálové tahové nebo tlakové síly i smykové síly s uvážením ohybové tuhosti. 

K dispozici jsou následující typy kotev:

• Předem zabetonované kotvy

  • Vyztužení
  • Podložka
  • Spřahovací trn
• Předem zabetonované vyztužení

  • Vyztužení
  • Závitové tyče

Předem zabetonované kotvy - vyztužení

Modelováno jako žebírkové vyztužení zabetonované v betonu. Pevnost soudržnosti se vypočte podle pravidel zvolené normy stejným způsobem jako u standardního vyztužení. Na konci kotvy lze definovat typ kotvení, který funguje stejně jako u vyztužení – použije se kotevní pružina se součinitelem β nastaveným podle zvolené normy. K dispozici jsou tři geometrické tvary: přímý, tvar L, tvar U.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

Předem zabetonované kotvy - podložka a spřahovací trn

Podložka a hlava spřahovacího trnu jsou modelovány jako plechový skořepinový prvek z příslušného materiálu připojený přímo k dříku kotvy. Přenáší zatížení do betonu pomocí kontaktu působícího pouze v tlaku. Dostupné tvary: kruhový a čtvercový (u spřahovacího trnu pouze kruhový) s přizpůsobitelnými rozměry. Model podložky a hlavy je pružný a neposuzuje se na únosnost. 

Na úrovni modelu konečných prvků se přímo posuzuje vytažení kotvy. Tlakový kontakt má nastavena ukončovací kritéria tak, aby nebyl schopen přenést do betonu větší kontaktní napětí, než předepisuje zvolená norma. V praxi to znamená, že pokud by byla kotva zatížena silou, která nevyhovuje posouzení na vytažení, výsledkem by bylo předčasné ukončení výpočtu, protože by bylo toto ukončovací kritérium při dalším zatěžování překročeno.

Dřík kotvy má nulovou pevnost soudržnosti – veškeré zatížení se přenáší do betonu prostřednictvím plechu nebo hlavy.

Dodatečně instalované kotvy - vyztužení a závitová tyč

Navrženo jako pruty instalované do vyvrtaných otvorů a spojené lepidlem. Inženýr zadává návrhovou pevnost soudržnosti přímo z technické specifikace lepicího výrobku.

Materiálový model kotev ze šroubového materiálu

U kotev ze šroubového materiálu (závitové tyče a kotvy s podložkami) se dvě vlastnosti materiálového modelu liší od jmenovitých hodnot šroubového materiálu: modul pružnosti a tažnost. Obě popisují chování sestavy šroubu a geometrii zkušebních těles, na nichž se jmenovité hodnoty měří. Nezávisí na návrhové normě, a proto se použijí stejně pro všechny návrhové normy. Jmenovitý diagram napětí-přetvoření šroubového materiálu i diagram upravený součiniteli C_E a C_A jsou zobrazeny na kartě Materiály (obr. 1.2.4).

Pružná tuhost. Modul pružnosti šroubového materiálu se snižuje součinitelem C_E:

$$E_{b} = C_{E} \cdot E , C_E=0.8$$

• E - modul pružnosti šroubu
• E_b - modul pružnosti kotvy použitý v analýze

Tento přístup byl převzat na základě nejnovějšího výzkumu (dosud nepublikovaného; odkaz bude doplněn po publikaci), v němž byl efektivní modul pružnosti sestavy šroubu kalibrován analýzou metodou konečných prvků na rozsáhlé databázi zkoušek šroubů. Potvrzují to již publikované experimentální výsledky Janković a kol. (2025): v 66 zkouškách tahem závitových tyčí délky 1000 mm (M20 až M30, třídy 8.8 a 10.9) odpovídala naměřená počáteční tuhost hodnotě 0,8·E·A_s/L_b, při průměrném poměru predikované a naměřené tuhosti 0,98 a variačním koeficientu 7,9 %. U tyčí této délky je vliv matic a záběru závitu zanedbatelný, takže snížení představuje efektivní modul pružnosti samotné závitové tyče. Stejný součinitel je mimochodem obsažen i v tuhosti šroubu v tahu podle EN 1993-1-8 (součinitel 1,6 pro řadu šroubů se dvěma šrouby).

Tažnost. Tažnost šroubového materiálu je charakterizována poměrným prodloužením po přetržení A, typicky okolo 10 %. Tyto hodnoty se měří na krátkých zkušebních tělesech, kde lokální zúžení (krčkování) tvoří velkou část naměřeného prodloužení. Délka krčku nezávisí na délce tělesa, takže poměrné prodloužení s rostoucí délkou tělesa klesá. U kotev zabetonovaných do délky několika set milimetrů je podstatně nižší než předepsaná hodnota. Aplikace proto používá sníženou tažnost:

$$A_{red} = A/C_A$$

$$C_{A} = L_s / (0.177 \cdot L_s + 2.19)$$

• A - poměrné prodloužení šroubového materiálu po přetržení
• A_red - snížená tažnost použitá jako ukončovací kritérium přetvoření kotvy
• C_A - součinitel snížení tažnosti
• L_s - kotevní délka zabetonované části kotvy [mm]

Jakmile přetvoření v kotvě dosáhne hodnoty A_red, je splněno ukončovací kritérium a analýza se ukončí, stejně jako u ostatních ukončovacích kritérií 3D CSFM.

Rovnice byla převzata na základě nejnovějšího výzkumu (dosud nepublikovaného; odkaz bude doplněn po publikaci), který poskytuje aproximaci plastické deformace šroubu při jeho mezní únosnosti, kalibrovanou na rozsáhlé databázi zkoušek šroubů: Δ_u,p = A · (0,177 · L + 2,19), kde L je deformující se délka šroubu v mm. Člen úměrný délce představuje rovnoměrné prodloužení tyče a konstantní člen představuje lokální příspěvek krčkování. V aplikaci se jako tato délka uvažuje zabetonovaná délka kotvy L_s a vydělením Δ_u,p délkou L_s se získá přetvoření A/C_A. Součinitel C_A s délkou roste a blíží se limitní hodnotě 1/0,177 = 5,65. Pro zabetonované délky 200 mm a více překračuje hodnotu 5,3, takže tažnost kotvy se sníží přibližně na jednu pětinu jmenovité hodnoty, např. z 12 % na asi 2,2 % při L_s = 300 mm.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.4\qquad Stress-strain diagram of the bolt material in the Materials tab: nominal diagram and the diagram modified by the coefficients C_E and C_A}}}\]

Další informace o připojení jednotlivých typů kotev k patní desce nebo k předem zabetonovanému plechu naleznete v kapitole Typy konečných prvků - Prvky pro přenos zatížení. 

V následující kapitole se podíváme na to, jak je Mohrova-Coulombova teorie implementována v 3D CSFM. Vysvětlíme, jak se zohledňuje účinek ovinutí (trojosá napjatost) a jak se vypočítá ekvivalentní hlavní napětí σ_c,eq, které se používá ke stanovení únosnosti z hlediska betonu.

Úvod do teorie

Mohrova–Coulombova teorie je matematický model popisující odezvu křehkých materiálů na smykové a normálové napětí. Většina klasických inženýrských materiálů se touto podmínkou řídí alespoň v části své obálky porušení smykem. Teorie obecně platí pro materiály, u nichž pevnost v tlaku výrazně přesahuje pevnost v tahu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.1\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}$$

Ve stavebním inženýrství se používá ke stanovení zatížení při porušení a také úhlu lomu pro posun lomové plochy v betonu a podobných materiálech. Coulombova hypotéza tření slouží ke stanovení kombinace smykového a normálového napětí, které způsobí lom materiálu. Mohrova kružnice se používá ke stanovení, jaká hlavní napětí vyvolají tuto kombinaci smykového a normálového napětí, a úhlu roviny, v níž k tomu dojde. Podle principu normality bude přetvoření vzniklé při porušení kolmé na čáru popisující podmínku lomu. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.2\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}$$

Lze ukázat, že u materiálu porušujícího se podle Coulombovy hypotézy tření svírá posun vzniklý při porušení s čarou lomu úhel rovný úhlu tření. Pevnost materiálu je tak možné určit porovnáním vnější mechanické práce vyvolané posunem a vnějším zatížením s vnitřní mechanickou prací vyvolanou přetvořením a napětím na čáře porušení. Podle zákona zachování energie musí být jejich součet nulový, což umožňuje vypočítat zatížení při porušení konstrukce.

Implementace v 3D CSFM

Obecně lze pro daný úhel vnitřního tření betonu, který se v literatuře [1], [2], [3], [4] pohybuje okolo φ = 30-40° , sestrojit Mohrovy kružnice pro pevnost betonu v tahu a v tlaku podle obrázku 1.3.3.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.3\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

Kde f_c je pevnost betonu v tlaku, f_ct je pevnost betonu v tahu, φ je úhel vnitřního tření a σ_c1, σ_c3 jsou hlavní napětí betonu při trojosém tlaku.

Je vidět, že s rostoucím hlavním napětím σ_c3 roste také maximální možný rozdíl mezi hodnotami σ_c3 a σ_c1, který definujeme jako maximální σ_c,eq (viz níže). Tento rozdíl odpovídá dvojnásobku deviatorického napětí, které je v literatuře definováno jako poloměr Mohrových kružnic.

V 3D CSFM implementovaném v IDEA StatiCa Detail se úhel vnitřního tření uvažuje jako φ = 0°, jak ukazuje obrázek 7.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.4\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

Praktickým důsledkem této implementace je, že maximální rozdíl mezi σ_c3 a σ_c1 zůstává s rostoucím σ_c3 konstantní. 

Ekvivalentní hlavní napětí vyjadřuje ekvivalentní jednoosé napětí pro obecnou trojosou napjatost.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Hodnotu σ_c,eq lze proto přímo porovnat s mezemi jednoosé pevnosti podle norem.

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Kde σ_c,lim je návrhová (redukovaná) jednoosá pevnost betonu f_c.

Porovnáme-li obrázek 1.3.3, kde je použit skutečný úhel vnitřního tření, s obrázkem 1.3.4, který ukazuje implementaci Mohrovy-Coulombovy teorie s nulovým úhlem vnitřního tření, je zřejmé, že přístup zvolený pro výpočty v aplikaci Detail je při posuzování trojosé napjatosti velmi konzervativní.

Pro lepší pochopení oblastí ovlivněných trojosým tlakovým napětím byl do aplikace IDEA StatiCa Detail přidán výraz pro nárůst účinné pevnosti materiálu vlivem trojosého tlaku, a to jako poměr σ_c3/σ_c,lim. Tento poměr najdete v normovém posouzení pevnosti.

V pomocných výsledcích může uživatel najít také součinitel κ, který vysvětluje trojosost jiným způsobem. 

$$\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}$$

Posouzení pevnosti betonu pak lze přepsat jako:

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Z uvedeného vyplývá, že pokud je prvek v hydrostatickém stavu napjatosti - σ_c3=σ_c2=σ_c1, bude mít ekvivalentní hlavní napětí σ_c,eq nulovou hodnotu a součinitel kappa dosáhne nekonečna.

Více informací najdete zde: Trojosé napětí – účinek aktivního ovinutí

Rovnice rovnováhy

Teorie malých deformací umožňuje sestavit rovnici rovnováhy na nedeformovaném objemu pomocí přístupu prvního řádu. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.1\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}$$

Podmínky kompatibility

Pevné těleso se skládá z infinitezimálních objemů neboli materiálových bodů, z nichž každý je spojen se sousedními bez mezer a překrytí. Aby při deformaci kontinua nevznikaly mezery ani překryvy, musí být splněny matematické podmínky.

Konstitutivní rovnice

Konstitutivní rovnice popisující chování 3D prvků hrají klíčovou roli při analýze chování materiálu v mechanice konstrukcí. Tyto rovnice jsou formulovány tak, aby zahrnovaly nelineární izotropní chování, které platí pro plné bloky v IDEA StatiCa Detail. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.2\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}$$

3D CSFM uvažuje spojitá pole napětí v betonu (3D konečné prvky), doplněná o diskrétní prvky typu „prut“ představující vyztužení (1D konečné prvky). Vyztužení proto není difuzně vloženo do 3D konečných prvků betonu, ale je modelováno explicitně a je s nimi propojeno. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.1.1\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}$$

Model nelineární (nepružné) analýzy metodou konečných prvků je tvořen několika typy konečných prvků, které slouží k modelování betonu, vyztužení a soudržnosti mezi nimi. Prvky betonu a vyztužení jsou nejprve generovány v samostatných sítích a následně propojeny pomocí vícebodových podpor (prvky MPC). Díky tomu může být vyztužení umístěno v libovolné poloze, nejen v uzlech čtyřstěnné sítě. Pro posouzení kotevní délky se mezi vyztužení a prvky MPC vkládají prvky soudržnosti a pružinové prvky kotevního konce.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.1\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}$$

Beton

Beton je analyzován pomocí smíšených čtyřstěnných prvků s uzlovými rotacemi. Čtyřstěnné prvky umožňují generovat síť v oblastech libovolné topologie a použitá formulace zaručuje přesné výsledky deformací (bez parazitního smykového napětí, známého jako efekt smykového zamykání) i při hrubé síti, která by pro formulaci lineárních čtyřstěnných prvků nebyla vhodná. 

Používá se plná integrace. To znamená, že každý prvek je vybaven čtyřmi integračními body umístěnými uvnitř objemu. Takové integrace poskytuje přesné pole přetvoření a napětí, což umožňuje dostatečné vyhodnocení a zobrazení výsledků v celém objemu. Zastavovací kritéria jsou následně stanovena na základě hodnoty v integračním bodě.

Vyztužení

Pruty výztuže jsou modelovány dvouuzlovými jednorozměrnými prvky „rod“ (CROD), které mají pouze osovou tuhost. Tyto prvky jsou připojeny ke speciálním prvkům soudržnosti („bond“), které byly vyvinuty pro modelování prokluzu mezi výztužným prutem a okolním betonem. Prvky soudržnosti jsou následně propojeny pomocí prvků MPC (vícebodová podpora) se sítí představující beton. Tento přístup umožňuje nezávislé generování sítě vyztužení a betonu, přičemž jejich propojení je zajištěno až následně.

Prvky soudržnosti

Kotevní délka se posuzuje zavedením smykových napětí soudržnosti mezi prvky betonu (3D) a prvky výztužných prutů (1D) v modelu metodou konečných prvků. Pro tento účel byl vyvinut typ konečného prvku „bond“.

Prvek soudržnosti je definován jako skořepinový konečný prvek, který je první vrstvou připojen k prvkům představujícím vyztužení a druhou vrstvou k síti betonu pomocí vícebodových podpor (prvky MPC). Je třeba poznamenat, že prvek soudržnosti je v tomto článku vždy zobrazen s nenulovou výškou, která je však v modelu definována jako nekonečně malá.

Chování tohoto prvku je popsáno napětím soudržnosti τ_b jako bilineární funkcí prokluzu mezi horním a dolním uzlem, δu, viz (Fig. 2.2.2).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.2\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}$$

Modul pružné tuhosti vztahu soudržnost-prokluz, Gb, je definován následovně:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

k_g            součinitel závisející na povrchu výztužného prutu (ve výchozím nastavení kg = 0,2)

E_c            modul pružnosti betonu (v případě EN se uvažuje jako Ecm)

Ø             průměr výztužného prutu

Pro posouzení kotevní délky se používají návrhové hodnoty (zvýšené o součinitele) mezního smykového napětí soudržnosti, f_bd, uvedené ve zvolených návrhových normách EN 1992-1-1 nebo ACI 318-19. Zpevnění plastické větve se ve výchozím nastavení vypočítá jako Gb/105.

Kotevní pružina

Zajištění kotevních konců výztužných prutů (tj. ohyby, háky, smyčky…), které splňuje požadavky návrhových norem, umožňuje snížit základní kotevní délku prutů (l_b,net) o určitý součinitel β (dále označovaný jako „kotevní součinitel“). Návrhová hodnota kotevní délky (lb) se pak vypočítá následovně:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.3\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}$$

Snížení kotevní délky je v modelu metodou konečných prvků zahrnuto pomocí pružinového prvku na konci prutu (Fig. 2.2.3a), který je definován konstitutivním modelem znázorněným na (Fig. 2.2.3b). Maximální síla přenášená touto pružinou (F_au) je:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

kde:

β             kotevní součinitel podle typu zakotvení

A_s            průřezová plocha výztužného prutu

f_yd           návrhová hodnota (zvýšená o součinitele) meze kluzu výztuže

Patní deska

Patní deska je modelována jako elastický skořepinový prvek. Ocel použitá pro patní desky se definuje na kartě Materiály. Jedinou fyzikální vlastností je modul pružnosti E.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.1\qquad The base plate material definition}}}$$

Patní desku lze zatížit bodovým zatížením (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) a skupinou sil (Fx, Fy, Fz), které se používají zejména pro zatěžovací modely exportované z IDEA StatiCa Connection. Bodové síly a bodové momenty zatěžují přímo příslušný uzel patní desky. To znamená, že nedochází k žádnému přerozdělení, pouze v závislosti na tuhosti patní desky. 

Tato implementace umožňuje importovat z IDEA StatiCa Connection účinky zatížení, které působí na patní desku v místě jednotlivých konečných prvků svaru. Jejich hodnota a směr se určují z celkového napětí daného konečného prvku svaru. Více informací naleznete v příslušné kapitole tohoto dokumentu.

Druhou možností zatížení je pahýl, který představuje krátký úsek sloupu nad patní deskou. Pahýl je modelován jako konstrukce z elastických skořepinových prvků a funguje jako fyzikálně přesné rozhraní mezi vnitřními silami a deskou. Uživatel vybere průřez pahýlu ze standardní databáze průřezů. Soubor vnitřních sil o 6 složkách (síly a momenty) se aplikuje v jediném bodě na spodní ploše pahýlu, tedy v patě sloupu. Podpory přenášejí síly na horní plochu pahýlu, odkud se přirozeně přerozdělují přes pahýl do patní desky, kotev a betonu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.2\qquad The load transfer through the stub}}}$$

Mechanismus přenosu smyku (z patní desky do betonového bloku)

Mezi patní deskou a betonem je definován třecí kontakt přenášející pouze tlak. Pro přenos smyku může uživatel zvolit jednu ze tří možností:

• Kotvami
• Třením
• Smykovou zarážkou

Software neumožňuje kombinaci těchto mechanismů přenosu smyku. 

Součinitel tření se zadává jako návrhová (násobená součinitelem) hodnota. Pokud výsledná smyková síla F_xy překročí tlakovou sílu F_z vynásobenou součinitelem tření μ, výpočet se zastaví a na model nebudou aplikována všechna zatížení. Podmínka je zapsána následovně:

$$\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1$$

To je vidět na následujícím příkladu, ve kterém se uvažují dva zatěžovací stavy. 

• LC1 – stálé zatížení – F_z = 100 kN
• LC2 – proměnné zatížení – F_x = 100 kN

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.3\qquad Load input for example explaining shear transfer by friction}}}$$

V prvním kroku výpočtu se aplikuje celé stálé zatížení. Poté se postupně přidává proměnné zatížení, dokud nedosáhne hodnoty tlakového zatížení vynásobeného součinitelem tření.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.4\qquad Results from example explaining shear transfer by friction}}}$$

Graf na obrázku 2.3.5 definuje chování třecího kontaktu mezi patní deskou a betonem.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.5\qquad Force-displacement graph describing the behavior of frictional contact}}}$$

Hodnota F_zμ se v každém přírůstku výpočtu liší, zatímco hodnota maximálního smykového přetvoření u_xy je konstantní. 

Pokud jsou tlaková normálová síla F_z a smyková síla F_xy zadány v jednom typu zatěžovacího stavu (např. pouze stálém) a podmínka F_xy / (F_zμ) ≤ 1 není splněna, nebude na model aplikováno žádné zatížení, protože podmínka není splněna v žádném přírůstku výpočtu.

Smyková zarážka je s betonovou sítí spojena podporami, které umožňují přenos pouze tlakového normálového napětí. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.6\qquad Shear lug transfer of shear mechanism}}}$$

Smyková zarážka je modelována z elastických skořepinových prvků, přičemž materiál je definován modulem pružnosti E.

Výsledky se pro patní desku ani pro smykovou zarážku nevyhodnocují a nezobrazují.

 Možnosti patní desky  (vyrovnávací spára, podlití)

K dispozici je následující sada možností vyrovnávací spáry, plně sjednocená s aplikací Connection.

• Přímo
• Maltová spára – matice shora
• Maltová spára – matice shora a zdola
• Mezera

Vrstva malty je modelována jako skořepinový prvek s uvážením její tuhosti. Je třeba si uvědomit, že skořepinové prvky jsou ve směru své tloušťky nestlačitelné. To pomáhá přerozdělovat lokální síly do betonu a platí pro typické tloušťky podlití používané v praxi, tedy 25–50 mm.

Rozlišení mezi maticemi pouze shora (kloubové propojení mezi kotvou a patní deskou) a shora i zdola (tuhé propojení mezi kotvou a patní deskou) výrazně ovlivňuje smykovou únosnost z hlediska otlačení betonu.

Kotvy

Konečné prvky představující kotvy jsou modelovány tak, aby byly schopny přenášet normálové a smykové síly do betonu, a to i s ohledem na ohybovou tuhost kotev. Pro modelování prokluzu mezi kotvou a okolním betonem se používají stejné prvky soudržnosti a prvky MPC jako pro vyztužení. S tím rozdílem, že:

• Pro dodatečně instalované (lepené) kotvy je nutné zadat návrhovou pevnost v soudržnosti.
• U podložek a spřahovacích trnů se soudržnost podél dříku kotvy zanedbává. Veškeré osové zatížení se pak přenáší do betonu přes podložku nebo hlavu kotvy.

Soudržnost v krytí betonu - U kotev spojených s betonem soudržností podél dříku, tj. předem zabetonovaných kotev s výztuží a dodatečně instalovaných (lepených) kotev, nejsou prvky soudržnosti v krytí betonu aktivní. Aplikace určí krytí automaticky jako vzdálenost od povrchu betonu k líci povrchového vyztužení (obr. 2.3.7a). Podél této délky je pevnost v soudržnosti mezi kotvou a betonem nulová a kotva je s betonem spojena prvky soudržnosti pouze pod krytím, po zbývající části své kotevní hloubky (obr. 2.3.7b). Veškeré zatížení přenášené soudržností je tedy zavedeno do betonu uzavřeného povrchovým vyztužením a napětí v soudržnosti kotvy v oblasti krytí je ve výsledcích nulové.

Důvodem je odlišné chování betonového krytí při porušení. 3D CSFM používá pro beton plastický materiálový model, který umožňuje přerozdělování napětí (viz kapitola 1.2). Betonové krytí poblíž volného povrchu však selhává křehce, podle zákonitostí lomové mechaniky, bez jakékoli plastické rezervy. Pokud by byla soudržnost v krytí aktivní, model by vytvořil tlakové pole v oblasti, která jej ve skutečnosti nemůže spolehlivě přenést, a přecenil by příspěvek krytí k únosnosti kotvy. Tato chyba roste s tloušťkou krytí. Krytí je navíc částí modelu vystavenou vlivům prostředí (karbonatace, chloridy, agresivní látky), takže jeho vlastnosti se mohou během životnosti konstrukce zhoršovat. Zanedbání soudržnosti v krytí je proto konzervativním předpokladem, který je v souladu se základními předpoklady 3D CSFM.

Tento předpoklad se týká pouze kotev, které přenášejí zatížení do betonu soudržností podél dříku. Spřahovací trny a kotvy s podložkami přenášejí osové zatížení přes hlavu nebo podložku, s nulovou soudržností podél dříku, takže nejsou ovlivněny. Běžná výztuž také není ovlivněna. Vliv na únosnost je nejvýraznější u kotev, jejichž únosnost je určena soudržností a které jsou osazeny v prvcích s velkým betonovým krytím, protože větší část kotevní hloubky se nepodílí na přenosu zatížení.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.7\qquad Anchor with bond along the shank}}}$$

Kotvy lze propojit s patními deskami. Pro toto propojení se používá plně nelineární podpora, která spojuje konec kotvy s uzlem patní desky. Tato podpora umožňuje řídit všechny stupně volnosti, aby například kotvy nepřenášely tlakovou sílu z patní desky nebo aby kotva nepřenášela smyk při modelování smykové zarážky apod. 

Vlastnost kotev Propojení s patní deskou umožňuje uživateli řídit, zda bude kotva s patní deskou spojena výše uvedenou podporou, a jakým způsobem. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.8\qquad Interconnection with base plate settings}}}$$

Pomocí zaškrtávacího políčka Přenos smyku lze řídit, zda budou kotva a patní deska spojeny z hlediska smyku. Je třeba si uvědomit, že kombinace mechanismů přenosu smyku není podporována, takže pro přenos třením a smykovou zarážkou je toto políčko irelevantní. Naopak u přenosu smyku kotvami toto pole umožňuje vyloučit některé kotvy z přenosu smyku.

Pomocí zaškrtávacího políčka Přenos osových sil lze řídit, zda budou kotva a patní deska spojeny z hlediska osového směru. Používá se především pro export z funkce Connection (viz příslušná kapitola). Při ručním modelování má smysl mít toto políčko vždy zaškrtnuté.

Pokud je políčko odškrtnuto, je kotva odpojena v tahu i v tlaku (u modelu exportovaného z aplikace Connection je toto spojení nahrazeno dvojicí sil). Pokud je políčko zaškrtnuto, je kotva s deskou v tahu vždy spojena, ale spojení v tlaku je řízeno typem kotvy a typem vyrovnávací spáry. Další informace naleznete na obrázku 2.3.8.

Řezané závity

Řídí se zaškrtávacím políčkem ve vlastnostech kotvy a má 2 účely:

1. Definuje, jak je kotva připojena k patní desce:

• U spřahovacích trnů a předem zabetonované výztuže připojené k patní desce (nikoli u předem zabetonovaných plechů) rozlišuje mezi šroubovým připojením (kloubovým) a svařovaným připojením (tuhým) – viditelným ve 3D scéně.
• Je třeba si uvědomit, že způsob připojení kotvy k desce má významný vliv na smykovou únosnost z hlediska otlačení betonu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.9\qquad Cut threads options}}}$$

2. Podle Eurokódu se únosnost kotvy s řezanými závity snižuje v souladu s EN 1993-1-8 3.6.1 (3). Lze to nastavit v Nastavení projektu. U závitových tyčí a podložek se doporučuje ponechat toto nastavení vždy zapnuté.

Osové a rotační propojení mezi kotvou a patní deskou

Jak již bylo v této kapitole uvedeno, v závislosti na typu kotvy, nastavení vyrovnávací spáry a na tom, zda se uvažují řezané závity, jsou kotvy s patní deskou spojeny různými způsoby. Z hlediska rotačního připojení může jít o kloub / tuhé připojení. Z hlediska osového připojení může jít o tah / tah + tlak. Typy rotačního připojení výrazně ovlivňují smykovou únosnost z hlediska otlačení betonu. Ve 3D scéně lze snadno poznat, zda je kotva připojena tuze, nebo kloubově, podle přítomnosti matic, viz obrázek 2.3.10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.10\qquad Rotational constraints}}}$$

Následující tabulka uvádí všechny možné kombinace připojení patní desky ke kotvám a odpovídající rotační a osová připojení.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.11\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Předem zabetonované plechy

Předem zabetonovaný plech je zvláštním případem patní desky. Modeluje se obdobně, s následujícími rozdíly:

Protože je plech zabudován uvnitř betonového bloku, nelze zadat žádný typ vyrovnávací spáry. Hloubka zabudování plechu se zanedbává. Plech, modelovaný skořepinovými prvky, je umístěn přímo na povrchu betonu. Boční plochy plechu se proto neuvažují jako podepřené betonem.

Lze použít pouze vyztužení a spřahovací trny, které lze stejně jako klasické kotvy nastavit jako připojené k plechu v osovém a smykovém směru. Praktické zkušenosti a některé národní dokumenty ukazují na nutnost navrhovat spřahovací trny pouze na smyk a vyztužení na osové zatížení. Z hlediska osových a rotačních podpor jsou kotvy vždy připojeny jako tuhé a na tah + tlak.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.12\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Konečné prvky jsou implementovány interně a analytický model je generován automaticky, aniž by bylo nutné zapojení zkušeného uživatele. Důležitou součástí tohoto procesu je generování sítě.

Beton

Všechny betonové prvky jsou členěny na síť společně. Doporučenou velikost prvku automaticky vypočítá aplikace na základě velikosti a tvaru konstrukce a s ohledem na průměr největší výztužné vložky. Doporučená velikost prvku navíc zaručuje, že v tenkých částech konstrukce, jako jsou štíhlé sloupy nebo tenké stěny, vznikají alespoň čtyři prvky, aby byly v těchto oblastech zajištěny spolehlivé výsledky. Projektant může vždy zvolit vlastní velikost betonových prvků úpravou násobitele výchozí velikosti sítě.

Vyztužení

Vyztužení je rozděleno na prvky s přibližně stejnou délkou, jako je velikost betonových prvků. Po vygenerování sítě vyztužení a betonu jsou obě sítě vzájemně propojeny prvky soudržnosti, jak je znázorněno na obr. 2.2.1.

Zjemnění

Síť betonu je automaticky zjemněna kolem kotev, kolem smykových zarážek a pod pahýlem pro zatížení. Velikost zjemněné sítě je přibližně dvakrát menší než velikost základní sítě betonu. Poloměr zjemněné oblasti je definován přibližně jako velikost prvku vynásobená dvěma.

K nalezení řešení nelineární úlohy MKP se používá standardní úplný Newtonův-Raphsonův (NR) algoritmus. 

Obecně platí, že NR algoritmus při aplikaci plného zatížení v jednom kroku často nekonverguje. Obvyklým postupem, který se používá i zde, je aplikovat zatížení postupně v několika přírůstcích a výsledek z předchozího přírůstku zatížení použít jako výchozí bod Newtonova řešení následujícího přírůstku. Pro tento účel byl nad Newtonovou-Raphsonovou metodou implementován algoritmus řízení zatížení. Pokud NR iterace nekonvergují, aktuální přírůstek zatížení se zmenší na polovinu své hodnoty a NR iterace se zopakují.

Druhým účelem algoritmu řízení zatížení je nalezení kritického zatížení, které odpovídá určitým „zastavovacím kritériím“ – konkrétně maximálnímu přetvoření v betonu, maximálnímu prokluzu v prvcích soudržnosti, maximálnímu posunu v kotevních prvcích a maximálnímu přetvoření ve výztužných prutech. Kritické zatížení se hledá metodou půlení intervalu. Pokud je zastavovací kritérium překročeno kdekoli v modelu, výsledky posledního přírůstku zatížení se zahodí a vypočte se nový přírůstek o poloviční velikosti oproti předchozímu. Tento postup se opakuje, dokud není kritické zatížení nalezeno s danou tolerancí chyby.

Pro beton bylo zastavovací kritérium nastaveno na přetvoření 5 % v tlaku (tj. přibližně o řád větší než skutečné mezní přetvoření betonu) a 7 % v tahu v integračních bodech skořepinových prvků. V tahu byla hodnota nastavena tak, aby jako první mohlo být dosaženo mezní přetvoření ve výztuži, které je bez zohlednění tahového zpevnění obvykle kolem 5 %. V tlaku byla hodnota zvolena z několika alternativ jako taková, která je dostatečně velká, aby byly ve výsledcích patrné účinky drcení, ale dostatečně malá, aby nezpůsobovala příliš mnoho problémů s numerickou stabilitou.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 2.5.1\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}$$

Pro vyztužení je zastavovací kritérium definováno pomocí napětí. Protože se modeluje napětí v trhlině, odpovídá kritérium v tahu pevnosti výztuže v tahu zohledňující součinitel bezpečnosti. Stejná hodnota se používá pro kritérium v tlaku.

Zastavovací kritérium v prvcích soudržnosti a kotevních pružinách je α·δ_umax, kde δ_umax je maximální prokluz používaný při normových posouzeních a α = 10.

Další zastavovací kritéria pro kotvení:

• Vytažení kotev s hlavou (maximální kontaktní napětí v tlaku na horním líci hlavy kotvy). 
• Maximální smyková síla, kterou může kotva přenést z hlediska otlačení betonu.

Tato dvě kritéria závisejí na zvolené normě. Více informací o nich najdete v částech vysvětlujících normově závislé části konstrukční analýzy v aplikaci.

Výsledky se zobrazují samostatně pro beton a pro prvky vyztužení. Hodnoty napětí a přetvoření v betonu se počítají v integračních bodech objemových prvků. Protože však není praktické prezentovat data tímto způsobem, výsledky se standardně zobrazují v uzlech jako maximální hodnota tlakového napětí z přilehlých Gaussových integračních bodů ve spojených prvcích. Je třeba poznamenat, že toto zobrazení může lokálně podhodnocovat výsledky na tlačených okrajích prvků v případě, kdy je velikost konečného prvku podobná výšce tlačené oblasti.

Výsledky pro konečné prvky vyztužení jsou buď konstantní pro každý prvek (jedna hodnota – např. pro napětí v oceli), nebo lineární (dvě hodnoty – pro výsledky soudržnosti). Pro pomocné prvky, například prvky nosných plechů, se zobrazují pouze deformace.

Model v IDEA StatiCa Detail není vždy nutné vytvářet od začátku nebo ze šablony. Lze také importovat model včetně účinků zatížení z IDEA StatiCa Connection. V Connection se ocelová nadstavba nad betonovým blokem analyzuje pomocí nelineárního 3D modelu, zatímco samotný betonový blok je zjednodušeně představován Winklerovým základem. V Detail je naproti tomu železobetonový blok modelován explicitně a podrobně posuzován.

Při přenosu modelu se do Detail importuje pouze patní deska, kotvy a betonový blok – samotný ocelový prvek (a jeho globální tuhost) se neimportuje. V modelu Connection je tento ocelový prvek připojen k patní desce svarem. Napětí v konečných prvcích svaru se integrují a převádějí na soustavu ekvivalentních sil, které v Detail zatěžují patní desku. Tímto způsobem je vliv chybějícího ocelového prvku reprezentován silami ve svaru působícími přímo na patní desku.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.7.1\qquad Loads imported from IDEA StatiCa Connection}}}$$

Vzhledem k odlišné definici tuhosti v Connection a Detail (chybějící ocelový prvek, odlišné materiálové modely a odlišné znázornění betonu) by přímé propojení mezi patní deskou a kotvami v Detail obecně vedlo k jinému přerozdělení zatížení, a tedy k jiným tahovým silám v kotvách. Aby se tomu zabránilo, kotvy se importují osově odpojené od patní desky. Osové síly se nepřenášejí fyzickým kontaktem, ale tahové síly v kotvách získané z Connection se přikládají přímo na kotvy v Detail. Současně se v místě každé kotvy na patní desku přikládá stejně velká síla opačného směru, aby byla zachována globální rovnováha modelu. Tato dvojice sil (jedna působí na kotvu, druhá na patní desku) představuje interakci mezi patní deskou a kotvou, aniž by v Detail docházelo k dalšímu přerozdělení osových sil. Tyto dvě opačné síly jsou znázorněny na obrázku 2.7.1.

Smykové síly se však nadále přenášejí propojením mezi patní deskou a kotvami (nebo smykovou zarážkou, případně třením). Je to možné, protože pro propojení patní desky a kotev ve smyku je použita podpora, která umožňuje řídit příslušné stupně volnosti tohoto propojení. V Detail tak uživatel může upravit cestu přenosu smykového zatížení – například uvolněním smyku u dvou ze čtyř kotev a ponecháním smykového zapojení pouze u okrajových kotev – zatímco osové síly zůstávají tak, jak byly importovány z Connection.

U zabetonovaných plechů jsme zvolili jiný přístup. Několik evropských návrhových doporučení vyžaduje, aby se na přenosu osových sil podílely pouze výztužné pruty, zatímco spřahovací trny se uvažují jako přenášející pouze smyk. Protože IDEA StatiCa Connection při exportu nedokáže interně oddělit osové síly ve výztužných kotvách od sil ve spřahovacích trnech, kotvy zabetonovaných plechů se do Detail importují plně propojené, i v osovém směru. Uživatel tak může v Detail aktivovat návrhovou volbu, při které výztužné kotvy přenášejí pouze osový tah a spřahovací trny pouze smyk. V tomto postupu je nutné osovou sílu, která byla původně přiřazena spřahovacím trnům, v modelu Detail přerozdělit na výztužné kotvy. Takové přerozdělení by nebylo možné, pokud bychom použili výše popsaný přístup s dvojicí opačných sil, a proto se se zabetonovanými plechy zachází odlišně.

Mezní stav únosnosti

Jednotlivá posouzení požadovaná konkrétními návrhovými normami se vyhodnocují na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Posouzení MSÚ se provádějí pro pevnost betonu, pevnost vyztužení a kotvení (smyková napětí v soudržnosti).

Aby byl návrh konstrukčního prvku efektivní, důrazně doporučujeme provést předběžnou analýzu, která zahrnuje následující kroky:

• Vyberte nejkritičtější kombinace zatížení.
• Počítejte pouze kombinace zatížení pro mezní stav únosnosti (MSÚ).
• Pro zkrácení doby výpočtu a pro řešení případných problémů zvažte použití hrubé sítě zvýšením násobitele výchozí velikosti sítě v Nastavení (obr. 3.1.1). Pokud model funguje dobře, vraťte násobitel zpět na hodnotu 1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 3.1.1\qquad Mesh multiplier}}}$$

Takový model se počítá velmi rychle, což projektantům umožňuje efektivně posoudit konstrukční uspořádání prvku a opakovat analýzu, dokud nejsou splněny všechny požadavky na posouzení pro nejkritičtější kombinace zatížení. Jakmile jsou splněny všechny požadavky na posouzení v rámci této předběžné analýzy, doporučujeme zahrnout úplné kombinace zatížení pro mezní stav únosnosti a použít jemnou síť (velikost sítě doporučenou programem). Uživatelé mohou velikost sítě měnit pomocí násobitele, který může nabývat hodnot od 0,5 do 5 (obr. 3.1.1).

Základní výsledky a posouzení (napětí, přetvoření a využití (tj. vypočtená hodnota / mezní hodnota z normy)), stejně jako směr hlavních napětí u betonových prvků, se zobrazují pomocí různých grafů, v nichž je tlak obecně znázorněn červeně a tah modře. Lze zvýraznit globální minimální a maximální hodnoty pro celou konstrukci i minimální a maximální hodnoty pro každou uživatelsky definovanou část. Na samostatné záložce programu lze zobrazit pokročilé výsledky, například hodnoty tenzorů, deformace konstrukce a stupně vyztužení (efektivní a geometrické) použité při výpočtu tahového zpevnění výztužných prutů. Dále lze zobrazit zatížení a reakce pro vybrané kombinace nebo zatěžovací stavy.

Beton - MSÚ

Model betonu implementovaný v 3D CSFM vychází z jednoosých konstitutivních vztahů pro tlak předepsaných normou EN 1992-1-1 pro návrh průřezů, které závisí pouze na pevnosti v tlaku. Parabolicko-obdélníkový diagram uvedený v EN 1992-1-1 čl. 3.1.7 (1) (obr. 4.1.1a) se v 3D CSFM používá jako výchozí, uživatel však může zvolit také jednodušší pružně-plastický vztah s ideálním plastickým chováním podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.7 (2) (obr. 4.1.1b). Pevnost v tahu se zanedbává, stejně jako při klasickém návrhu železobetonu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 4.1.1\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}$$

Implementace 3D CSFM v IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení betonu v tlaku z hlediska přetvoření (tj. po dosažení maximálního napětí uvažuje plastickou větev s ε_cu2 (ε_cu3) o hodnotě 5 %, zatímco EN 1992-1-1 předpokládá mezní přetvoření menší než 0,35 %). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí, které se porušují tlakem. Jejich mezní únosnost f_cd podle EN 1992-1-1 3.1.3 je však predikována správně, pokud se nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností zohlední pomocí redukčního součinitele $\eta_{fc}$ definovaného v fib Model Code 2010 takto:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

α_cc je součinitel zohledňující dlouhodobé účinky na pevnost v tlaku a nepříznivé účinky vyplývající ze způsobu působení zatížení. Určuje se podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.6 (1). Výchozí hodnota je 1,0.

f_ck je charakteristická válcová pevnost betonu (v MPa pro definici $\eta_{fc}$).

Vyztužení

Ve výchozím nastavení se uvažuje idealizovaný bilineární diagram napětí-přetvoření pro holé výztužné pruty definovaný v EN 1992-1-1, kapitola 3.2.7 (obr. 4.1.2). Definice tohoto diagramu vyžaduje pouze znalost základních vlastností vyztužení ve fázi návrhu (pevnost a třída tažnosti). Je-li známa skutečná závislost napětí-přetvoření vyztužení (za tepla válcované, za studena tvářené, kalené a samopopouštěné, …), lze ji uvažovat. Diagram napětí-přetvoření vyztužení může definovat uživatel, v takovém případě však nelze uvažovat vliv tahového zpevnění (nelze vypočítat šířku trhlin). Použití diagramu napětí-přetvoření s vodorovnou horní větví neumožňuje ověření trvanlivosti konstrukce. Je proto nutné provést ruční ověření standardních požadavků na tažnost.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$$

Tahové zpevnění (obr. 4.1.3) se zohledňuje automaticky úpravou vstupního vztahu napětí-přetvoření holého výztužného prutu tak, aby vystihoval průměrnou tuhost prutů zabetonovaných v betonu (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method je v souladu s moderními návrhovými normami. Protože výpočetní modely používají pouze standardní materiálové vlastnosti, lze formát dílčích součinitelů spolehlivosti předepsaný v návrhových normách použít bez jakýchkoli úprav. Vstupní zatížení se tak násobí součiniteli zatížení a charakteristické materiálové vlastnosti se snižují pomocí příslušných součinitelů spolehlivosti předepsaných v návrhových normách, přesně jako při běžné analýze betonových konstrukcí. Hodnoty materiálových součinitelů spolehlivosti předepsané v EN 1992-1-1, kap. 2.4.2.4, a součinitele pro kotvy předepsané v EN 1992-4, EN 1993-1-8 a EN 1994-1-1 jsou nastaveny jako výchozí, uživatel však může součinitele spolehlivosti změnit v nastavení Normy a výpočtu (obr. 4.2.1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.1\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Součinitele zatížení musí uživatel definovat v Pravidlech kombinací pro každou nelineární kombinaci zatěžovacích stavů (obr. 4.2.2). Pro všechny šablony implementované v Idea StatiCa Detail jsou dílčí součinitele spolehlivosti již předdefinovány.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.2\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Pomocí vhodných uživatelsky definovaných kombinací dílčích součinitelů spolehlivosti mohou uživatelé počítat v 3D CSFM také metodou globálního součinitele spolehlivosti (Navrátil, et al. 2017), tento přístup se však v navrhování používá jen výjimečně. Některé směrnice doporučují použít metodu globálního součinitele spolehlivosti pro nelineární analýzu. U zjednodušených nelineárních analýz (například 3D CSFM), které vyžadují pouze ty materiálové vlastnosti, jež se používají při běžných ručních výpočtech, je však stále vhodnější použít formát dílčích součinitelů spolehlivosti.

Jednotlivá posouzení požadovaná normou EN 1992-1-1 se vyhodnocují na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Posouzení v MSÚ se provádějí pro pevnost betonu, pevnost vyztužení a kotvení (smyková napětí soudržnosti).

Pevnost - beton

Pevnost betonu v tlaku se vyhodnocuje jako poměr mezi maximálním ekvivalentním hlavním napětím σ_c,eq získaným z analýzy metodou konečných prvků a mezní hodnotou σ_c,lim = f_cd.

Ekvivalentní hlavní napětí vyjadřuje ekvivalentní jednoosé napětí pro obecný trojosý stav napětí.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Hodnotu σ_c,eq lze proto přímo porovnat s mezními hodnotami jednoosé pevnosti podle 1992-1-1 čl. 3.1.7 (1).

Tento vztah je odvozen z implementace Mohrovy-Coulombovy teorie plasticity, přičemž se na straně bezpečné uvažuje úhel vnitřního tření φ = 0°.

Pevnost - vyztužení

Pevnost vyztužení se vyhodnocuje v tahu i v tlaku jako poměr mezi napětím ve vyztužení v trhlinách σ_sr a stanovenou mezní hodnotou σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \dfrac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \dfrac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

kde:

f_yk        je mez kluzu vyztužení podle EN 1992-1-1 čl. 3.2.3,

k          je poměr pevnosti v tahu f_tk k mezi kluzu,
            $k = \dfrac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             je dílčí součinitel spolehlivosti vyztužení.

Pevnost - kotvy

Kotvy se posuzují na normálová napětí obdobným způsobem jako vyztužení, přičemž se stanoví mezní hodnota σ_s,lim.

Dále se pro kotvy určují hodnoty N_Ed a V_Ed, které se posuzují vůči N_Rd,s a V_Rd,s podle zvolené normy. Norma se volí podle typu použité kotvy v Nastavení projektu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.1\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Anchor check - Design code selection}}}$$

Protože se pro posouzení kotev v různých normách volí odlišné přístupy, může uživatel pro jednotlivé typy kotev zvolit následující normy:

• Kotvy z materiálu šroubu v tahu a/nebo smyku - EN 1992-4, EN 1993-1-8
• Spřahovací trny v tahu a/nebo smyku - EN 1992-4, EN 1994-1-1
• Kotvy v tahu a/nebo smyku - EN 1992-4, EN 1992-1-1
• Kotvy v tlaku a/nebo ohybu - EN 1993-1-1

Posouzení tahu podle EN 1992-4 - 7.2.1.3

$$N_{Rd,s} = \frac{c \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

kde:

• c – redukce pro řezaný závit  
• f_uk – minimální pevnost šroubu v tahu
• A_s – tahová plocha kotevního šroubu (v případě materiálu šroubu redukovaná o závit)
• $\gamma_{Ms} = 1.2 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.4$ – dílčí součinitel spolehlivosti pro ocel 
• f_yk – minimální mez kluzu šroubu

Posouzení tahu podle EN 1993-1-8 - 3.6.1

$$N_{Rd,s} = F_{t.Rd} = \frac{c \cdot k_2 \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$ 

kde:

• c – snížení tahové únosnosti šroubů s řezaným závitem podle EN 1993-1-8 – čl. 3.6.1 (3) 
• k₂ = 0,9 – součinitel pro kotvy bez zapuštěné hlavy 
• f_ub – mezní pevnost kotevního šroubu v tahu 
• A_s – tahová plocha kotevního šroubu (v případě materiálu šroubu redukovaná o závit)
• γ_M2 =1,25 – dílčí součinitel spolehlivosti šroubů (EN 1993-1-8, tabulka 2.1) 

Posouzení tahu podle EN 1992-1-1 - 3.2.7

$$N_{Rd,s} = \frac{kf_{yk}}{\gamma_{S}}$$

kde:

• $k=(f_{t}/f_{y})$ je uvedeno v příloze C
• f_yk - charakteristická mez kluzu
• γ_M2 =1,15 – dílčí součinitel spolehlivosti vyztužení

Posouzení tlaku podle EN 1993-1-1 - 6.3

Používá se pro všechny kotvy namáhané normálovou tlakovou silou bez ohledu na jejich materiál nebo typ stand-off. 

$$F_{c,Rd}=\frac{\chi\,A_s f_y}{\gamma_{M2}}$$

Kde:

• $\chi=\dfrac{1}{\Phi+\sqrt{\Phi^2-\bar{\lambda}^2}}\le 1$ – redukční součinitel boulení
• $\Phi=0.5\left[1+\alpha\left(\bar{\lambda}-0.2\right)+\bar{\lambda}^2\right]$ – hodnota pro stanovení redukčního součinitele boulení χ
• $\alpha=0.49$ – součinitel imperfekce pro křivku boulení c (odpovídající plnému kruhovému průřezu)
• $\bar{\lambda}=\sqrt{\dfrac{A_s f_y}{N_{cr}}}$ – poměrná štíhlost

  • A_s – plocha kotvy redukovaná o závit
• $N_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L_{cr}^2}$  – Eulerova kritická síla
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – moment setrvačnosti šroubu

  • d_s – průměr kotvy redukovaný o závit
• $L_{cr}=2\,l$  – délka boulení; na straně bezpečné se předpokládá, že šroub je v betonu votknutý a u patní desky se může volně natáčet 
• $l=l_{a}$ – délka prvku šroubu rovnající se polovině tloušťky patní desky + mezera + polovina průměru šroubu; na straně bezpečné se předpokládá, že podložka a matice nejsou přitaženy k povrchu betonu (ETAG 001 – příloha C – čl. 4.2.2.4), viz obrázek 4.3.2.

Posouzení smyku podle EN 1992-4 - 7.2.2.3

Pro stand-off = direct se uvažuje smyk bez působení páky (EN 1992-4 – čl. 7.2.2.3.1):

$$V_{Rd,s} = \frac{k_6 \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

Pro stand-off = mortar joint se uvažuje smyk s působením páky (EN 1992-4 – čl. 7.2.2.3.2):

$$V_{Rd,s} = \frac{\alpha_M \cdot M_{Rk,s}}{\gamma_{Ms} \cdot l_a}$$

kde:

• k₆ = 0,6 pro kotvy s fuk ≤ 500 MPa; k₆ = 0,5 v ostatních případech
• A_s – smyková plocha kotvy redukovaná o závit
• f_uk – mezní pevnost kotevního šroubu
• α_M = 2 – předpokládá se plné vetknutí (EN 1992-4 – čl. 6.2.2.3)
• $M_{Rk,s} = M^{0}_{Rk,s} \left(1 - \dfrac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)$ – charakteristická ohybová únosnost kotvy snížená o tahovou sílu v kotvě
•  $M^{0}_{Rk,s} = 1.2 \cdot W_{el} \cdot f_{ub}$ – charakteristická ohybová únosnost kotvy (ETAG 001, příloha C – rovnice (5.5b))
• $W_{el} = \dfrac{\pi d^{3}}{32}$ – průřezový modul kotvy
• d – průměr kotevního šroubu; pokud je zvolena smyková rovina v závitu (což platí vždy pro závitovou tyč), použije se průměr redukovaný o závit; jinak se použije jmenovitý průměr d_nom
• N_Ed – tahová síla v kotvě
• N_Rd,s – tahová únosnost kotvy
• $l_{a} = 0.5\, d_{\mathrm{nom}} + t_{\mathrm{mortar}} + 0.5\, t_{\mathrm{bp}}$ – rameno páky
• t_mortar – tloušťka malty (podlití)
• t_bp – tloušťka patní desky
• $\gamma_{Ms} = 1.0 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.25$ pro $f_{uk} \le 800 \text{ MPa}$ a  $\dfrac{f_{yk}}{f_{uk}} \le 0.8$; γ_Ms = 1,5 v ostatních případech – dílčí součinitel spolehlivosti pro porušení oceli (EN 1992-4 – tabulka 4.1)

Posouzení smyku podle EN 1993-1-8 - 6.2.2

Smyková únosnost oceli kotvy se stanoví podle EN 1993-1-8 – 6.2.2 (7) bez ohledu na stand-off typu direct nebo mortar joint. Pevnost a tloušťka podlití by měly odpovídat čl. 6.2.5 (7).

$$V_{Rd,s} = F_{v,b,Rd} = \min \left\{ F_{1v,b,Rd} ,\, F_{2v,b,Rd} \right\}$$

kde:

$$F_{1v,b,Rd} = \frac{\alpha_v \cdot f_{ub} \cdot A}{\gamma_{M2}}$$

• α_v = 0,6 pro třídy 4.6, 5.6, 8.8 a 0,5 pro třídy 4.8, 5.8, 6.8, 10.9
• f_ub – mezní pevnost materiálu šroubu v tahu
• A – tahová plocha šroubu, A = A_s, kde As je tahová plocha šroubu (redukovaná o závit)
• γ_M2 – součinitel spolehlivosti - EN 1993-1-8 – tabulka 2.1

$$F_{2v,b,Rd} = \frac{\alpha_b \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$

• ​ $\alpha_b = 0.44 - 0.0003\, f_{yb}$
• α_b je součinitel závislý na mezi kluzu kotevního šroubu
• f_yb – mez kluzu kotvy; 235 MPa ≤ f_yb ​≤ 640 MPa
• f_ub – pevnost kotvy v tahu 
• A_s – tahová plocha (redukovaná o závit)

Posouzení smyku podle EN 1993-1-1 - 6.2.6

Tato normová posouzení se používají pro kotvy, které jsou k patní desce připojeny s mezerou, nebo pro přímo zatížené kotvy s vyčnívající délkou větší než 0,5násobek jejich průměru.

$$V_{pl,Rd}=\frac{A_v f_y/\sqrt{3}}{\gamma_{M2}}$$

kde:

• A_V = 0,844 A_s – smyková plocha
• A_s – plocha šroubu redukovaná o závit
• f_y – mez kluzu šroubu
• γ_M2 – dílčí součinitel spolehlivosti (definovaný v Nastavení projektu)

Posouzení smyku podle EN 1994-1-1 - 6.6.3.1

$$V_{Rd,s} = P_{Rd} = \frac{0.8 \, f_u \, \pi \, d^2}{4 \, \gamma_v}$$

kde:

• γ_v je dílčí součinitel pro spřažení podle EN 1994-1-1 kap. 2.4.1.2. Doporučená hodnota γ_v je 1,25
• d je průměr dříku trnu, 16 mm ≤ d ≤ 25 mm;
• f_u je specifikovaná mezní pevnost materiálu trnu v tahu, nejvýše však 500 MPa.

V EN 1994-1-1 čl. 6.6.3.1 je rovněž uveden vztah (6.19), který omezuje smykovou únosnost trnu únosností betonu v protlačení (otlačení). V IDEA StatiCa Detail se tento způsob porušení neposuzuje samostatným normovým vztahem v postprocesingu. Je zabudován přímo do nelineární analýzy metodou konečných prvků jako ukončovací kritérium: analýza je ukončena dříve, než smyková síla v kotvě dosáhne odpovídající hodnoty P_Rd
ze vztahu (6.19). Tento přístup se používá, protože vztah (6.19) platí pouze pro spřahovací trny přivařené k ocelovému plechu a pro průměry trnů v rozsahu 16 mm ≤ d ≤ 25 mm, jak je stanoveno v čl. 6.6.3.1.

Pro pokrytí širšího rozsahu praktických případů jsme vytvořili sérii 3D referenčních modelů v programu Abaqus s průměry kotev od 8 mm do 50 mm a pevnostmi betonu od C16/20 do C50/60. Trny byly modelovány buď jako tuze přivařené k patní desce, nebo připojené kloubově. Materiálové modely a kontaktní parametry v aplikaci Detail byly poté kalibrovány vůči těmto simulacím v Abaqus, které byly samy ověřeny vůči vztahu (6.19) v rozsahu jeho platnosti. Toto ukončovací kritérium platí pro všechny typy kotev a všechny normy EN.

Posouzení ohybu podle EN 1993-1-1 - 6.2.5

$$M_{pl,Rd}=\frac{W_{pl} f_y}{\gamma_{M2}}$$

Kde:

• $W_{pl}=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – průřezový modul šroubu

  • d_s – průměr kotvy redukovaný o závit
• f_y – mez kluzu materiálu
• γ_M2 – dílčí součinitel spolehlivosti (definovaný v Nastavení projektu)

Působící návrhový ohybový moment M_Ed - Působí-li smykové zatížení s ramenem páky, musí se uvažovat ohybový moment působící na spojovací prvek. Návrhový ohybový moment působící na spojovací prvek se vypočte podle EN 1993-1-1, vztah (6.1):

$$M_{Ed}=V_{Ed}\cdot\frac{l_a}{\alpha_M}$$

kde:

• V_Ed - je smykové zatížení působící na posuzovaný spojovací prvek
• l_a = a₃ + e₁

  • a₃ = 0,5d_nom, kde d_nom je průměr kotvy
  • e₁ - je vzdálenost mezi smykovým zatížením a povrchem betonu, přičemž se zanedbává tloušťka případného vyrovnávacího podlití
• α_M = 2 – předpokládá se plné vetknutí (EN 1992-4 – čl. 6.2.2.3)

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.2\qquad Buckling length}}}$$

Interakce tahu a smyku v oceli kotvy

Interakce tahu a smyku podle EN 1993-1-8 je implicitně zahrnuta v posouzení kotvy na smyk.

Interakce tahu a smyku podle EN 1992-4 se stanoví samostatně pro porušení oceli a porušení betonu podle tabulky 7.3. Interakce v oceli se posuzuje pro každou kotvu samostatně.

$$\left( \frac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)^{2}+\left( \frac{V_{Ed}}{V_{Rd,s}} \right)^{2}\le 1$$

EN 1994-1-1 v článku 6.6.3.2 uvádí, že pokud je tahová síla v kotvě větší než 0,1P_Rd, není posouzení touto normou pokryto. V takovém případě se interakce v aplikaci posuzuje podle EN 1992-4. V takovém případě se nemá uvažovat posouzení smyku podle EN 1994-1-1.

Interakce tahu nebo tlaku a ohybu v oceli kotvy EN 1993-1-1 - 6.2.1

$$\frac{N_{Ed}}{N_{Rd}}+\frac{M_{Ed}}{M_{Rd}}\le 1$$

kde:

• N_Ed – návrhová tahová (kladná) nebo tlaková (záporné znaménko) síla
• N_Rd – návrhová tahová (kladná, F_t,Rd) nebo tlaková (záporné znaménko, F_c,Rd) únosnost
• M_Ed – návrhový ohybový moment
• M_Rd = M_pl,Rd – návrhová ohybová únosnost

Posouzení vytržení hlavových kotev (podložky a spřahovací trny)

Pro hlavové kotvy je implementováno dodatečné ukončovací kritérium pro posouzení otlačení (drcení) betonu nad hlavou kotvy - vytržení. Během analýzy se sleduje tlaková síla přenášená kontaktem hlavy s betonem a porovnává se s mezní hodnotou danou EN 1992-4, čl. 7.2.1.5 (porušení vytržením u kotev s hlavou).

$$N_{Rd,p} = k_2 \cdot A_h \cdot f_{ck} / \gamma_{Mp}$$

kde:

• A_h je únosná plocha hlavy spojovacího prvku (bez plochy dříku). 
• f_ck je charakteristická pevnost betonu v tlaku - EN 1992-1-1 čl. 3.1.2
• γ_Mp se v aplikaci uvažuje jako γ_Mp = γ_c s výchozí hodnotou 1,5
•  k₂​ se vždy uvažuje jako 7,5, tj. hodnota pro beton s trhlinami. To je v souladu s přístupem CSFM používaným v aplikaci Detail, kde se zanedbává pevnost betonu v tahu a předpokládá se, že beton je v tahu popraskaný. 

Jakmile kontaktní síla dosáhne této normové mezní hodnoty, spustí se ukončovací kritérium a analýza je ukončena dříve, než je překročena návrhová únosnost při vytržení.

Kotvení -  Napětí v soudržnosti

Při smykovém napětí soudržnosti se vyhodnocuje samostatně jako poměr mezi napětím v soudržnosti τ_b vypočteným analýzou metodou konečných prvků a mezní pevností soudržnosti f_bd, podle EN 1992-1-1 kap. 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\le 1$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

kde:

• f_ctd      je návrhová hodnota pevnosti betonu v tahu podle EN 1992-1-1 čl. 3.1.6 (2). Vzhledem ke zvyšující se křehkosti betonu vyšších pevností je f_ctk,0.05 omezena na hodnotu pro C60/75 podle EN 1992-1-1 čl. 8.4.2 (2)
• η₁       je součinitel související s kvalitou podmínek soudržnosti a polohou prutu při betonáži (obr. 4.3.3).
• η₁ = 1,0 při „dobrých“ podmínkách a
• η₁ = 0,7 ve všech ostatních případech a pro pruty v konstrukčních prvcích betonovaných do posuvného bednění, pokud nelze prokázat, že existují „dobré“ podmínky soudržnosti
• η₂        souvisí s průměrem prutu:
  η₂ = 1,0 pro Ø ≤ 32 mm
  η₂ = (132 - Ø)/100 pro Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.3\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

V IDEA StatiCa Detail se podmínky soudržnosti uvažují podle obr. 4.3.3 c) a d). Směr betonáže lze v aplikaci nastavit pro každou položku projektu následovně:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.4\qquad Direction of concreting}}}$$

Tato posouzení se provádějí vzhledem k příslušným mezním hodnotám pro jednotlivé části konstrukce (tj. přestože je pro beton i pro materiál vyztužení zadána pouze jedna třída, výsledné pracovní diagramy napětí-přetvoření se v jednotlivých částech konstrukce liší v důsledku tahového zpevnění a tlakového změkčení).

Kotvení - celková síla

Celková síla F_tot a mezní síla F_lim

Celková síla F_tot je výsledkem analýzy metodou konečných prvků a lze ji určit dvěma způsoby.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

kde A_s je plocha prutu vyztužení a σ_s je napětí v prutu.

Nebo jako součet kotevní síly F_a a síly v soudržnosti F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

kde F_a je skutečná síla v kotevní pružině a F_bond je síla v soudržnosti, kterou lze získat integrací napětí v soudržnosti τ_b po délce prutu vyztužení l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s je obvod prutu vyztužení.

Mezní síla F_lim je maximální síla v prvku výztuže s ohledem na mezní pevnost výztuže a také na podmínky kotvení (soudržnost mezi betonem a vyztužením a kotevní háky, smyčky apod.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

kde C_s je obvod prutu vyztužení a l je délka od začátku prutu po posuzované místo.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.5\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

kde F_lim,add je přídavná síla vypočtená z velikosti úhlu mezi sousedními prvky. F_lim,2 musí být vždy menší než F_u.

Typy kotvení na konci vyztužení (kotvy a pruty)

Dostupné typy kotvení ve 3D CSFM zahrnují rovný prut (tj. bez redukce na konci kotvy), ohyb, hák, smyčku, přivařený příčný prut, dokonalou soudržnost a průběžný prut. Všechny tyto typy spolu s příslušnými součiniteli kotvení β jsou znázorněny na obr. 4.3.6 pro podélnou výztuž a na obr. 4.3.7 pro třmínky. Hodnoty použitých součinitelů kotvení odpovídají EN 1992-1-1, kap. 8.4.4, tab. 8.2. Je třeba poznamenat, že přes různé dostupné možnosti rozlišuje 3D CSFM tři typy konců kotvení: (i) bez redukce kotevní délky, (ii) redukce kotevní délky o 30 % v případě normalizovaného kotvení a (iii) dokonalou soudržnost.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.6\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the 3D CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.7\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Aby byla splněna norma EN 1992-1-1, musí se při výpočtu použít kotevní pružina. Kotevní pružina se upravuje součinitelem β, proto musí uživatel při zadávání podmínek začátku a konce vyztužení použít jeden z dostupných typů kotvení. 

Beton – pevnost

Model betonu implementovaný pro výpočty pevnosti v CSFM vychází z parabolicko-plastického pracovního diagramu betonu (napětí-přetvoření) podle parabolického diagramu napětí-přetvoření Portland Cement Association, popsaného v PCA's Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, obr. 6-8. Tahová pevnost se zanedbává, stejně jako v klasickém návrhu železobetonu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementace CSFM v IDEA StatiCa Detail neuvažuje explicitní kritérium porušení betonu v tlaku z hlediska přetvoření (tj. po dosažení maximálního napětí uvažuje plastickou větev s ε_c0 s maximální hodnotou 5 %, zatímco ACI 318-19 čl. 22.2.2.1 předpokládá mezní přetvoření menší než 0,3 %). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí, které selhávají v tlaku. Pevnost je však předpovídána správně, pokud se zohlední nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností pomocí redukčního součinitele $\eta_{fc}$ definovaného v fib Model Code 2010 následovně:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

α₁ je redukční součinitel tlakové pevnosti betonu definovaný v ACI 318-19 čl. 22.2.2.4.1. Při použití pracovního diagramu parabola-obdélník je nutné maximální tlakové napětí tímto součinitelem snížit. Tím se průběh napětí v tlačené oblasti zprůměruje tak, že výsledná tlaková pevnost je menší nebo rovna tlakové pevnosti vypočtené z diagramu napětí-přetvoření s klesající plastickou větví. 

Φ_c je redukční součinitel pevnosti betonu. Výchozí hodnota je nastavena podle ACI 318-19, tab. 24.2.1 (b)(f).

f'_c je válcová pevnost betonu (v MPa pro definici $\eta_{fc}$).

Vyztužení

Uvažuje se dokonale pružnoplastický diagram napětí-přetvoření s definovanou mezí kluzu pro nepředpjaté vyztužení. Viz ACI 319-19 čl. 20.2.1. Definice tohoto diagramu vyžaduje pouze znalost základních vlastností vyztužení – pevnosti a modulu pružnosti.

Diagram napětí-přetvoření vyztužení může definovat také uživatel, v takovém případě však není možné uvažovat vliv tahového zpevnění. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

kde:

Φ_s je redukční součinitel pevnosti vyztužení. Výchozí hodnota je nastavena podle ACI 318-19, tab. 24.2.1.

f_y je mez kluzu vyztužení

E_s je modul pružnosti vyztužení

Jako mezní přetvoření, při kterém se výpočet zastaví, je zvoleno 10 %. To je považováno za bezpečné na základě ASTM A955/A955M-20c, článek 7.

Tahové zpevnění (obr. 5.1.3)  se zohledňuje automaticky úpravou vstupního vztahu napětí-přetvoření holého betonářského prutu tak, aby zachytilo průměrnou tuhost prutů zabetonovaných v betonu (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method je v souladu s moderními návrhovými normami. Protože výpočetní modely používají pouze standardní materiálové vlastnosti, lze formát dílčích součinitelů spolehlivosti předepsaný v návrhových normách použít bez jakýchkoli úprav. Vstupní zatížení se tak násobí součiniteli zatížení a charakteristické materiálové vlastnosti se snižují příslušnými redukčními součiniteli pevnosti, přesně jako při konvenční analýze betonu.

Hodnoty redukčních součinitelů pevnosti jsou předepsány v ACI 318-19, kapitola 21, a pro kotvy v ACI 318-19, kapitola 17, a AISC 360-16, kapitoly D, E, F, G. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.1\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Součinitele zatížení pro kombinace únosnosti se definují podle ACI 318-19, tabulka 5.3.1.

Kromě případů uvedených v kapitole 34 nejsou kombinace zatížení pro provozní úroveň v ACI 318-19 definovány. Doporučuje se použít pravidla pro kombinace založená na příloze C normy ASCE/SEI 7-16. U všech šablon jsou součinitele zatížení již předdefinovány.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.3\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Jednotlivá posouzení požadovaná normou ACI 318-19 se vyhodnocují na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Posouzení se provádějí pro pevnost betonu, pevnost vyztužení a kotvení (smyková napětí v soudržnosti).

Pevnost – beton

Pevnost betonu v tlaku se vyhodnocuje jako poměr mezi maximálním ekvivalentním hlavním napětím f_c,eq (v předchozím textu také σ_c,eq ) získaným z analýzy metodou konečných prvků a mezní hodnotou f'_c,lim.

Ekvivalentní hlavní napětí vyjadřuje ekvivalentní jednoosé napětí pro obecný trojosý stav napětí.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Hodnotu f_c,eq lze proto přímo porovnat s mezními hodnotami jednoosé pevnosti. Tento vztah je odvozen z implementace Mohr-Coulombovy teorie plasticity při konzervativním předpokladu úhlu vnitřního tření φ = 0°.

Pevnost – vyztužení

Pevnost vyztužení se vyhodnocuje v tahu i v tlaku jako poměr mezi napětím ve vyztužení v trhlinách f_s a stanovenou mezní hodnotou f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Pevnost – kotvy

Kotvy se posuzují na normálová napětí obdobným způsobem jako vyztužení, přičemž se stanoví mezní hodnota f_y,lim. 

Pro snazší orientaci v následujícím textu nejprve rozdělíme kotvení do tří skupin z hlediska normového posouzení podle ACI nebo AISC.

Skupina 1

• Typy kotvení

  • Předem zabetonovaná kotevní deska
  • Patní deska – vzdálenost = přímo 
  • Patní deska – vzdálenost = maltová spára – tloušťka malty menší než 0,5násobek průměru kotvy
  • Jednotlivá kotva s vyčnívající délkou menší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normová posouzení kotev (ACI / AISC)

  • Tah/tlak

    • Všechny typy kotev v tahu – ACI 318-19 kap. 17.6.1.2  
    • Všechny typy kotev v tlaku – AISC 360-16 kap. E
  • Smyk bez ramene síly

    • Materiál šroubu – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b)
    • Spřahovací trny – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (a)
    • Vyztužení – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b)
  • Interakce tahu a smyku – ACI 318-19 kap. 17.8

Skupina 2

• Typy kotvení

  • Patní deska – vzdálenost = maltová spára – tloušťka malty větší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normová posouzení kotev (ACI / AISC)

  • Tah/tlak

    • Všechny typy kotev v tahu – ACI 318-19 kap. 17.6.1.2  
    • Všechny typy kotev v tlaku – AISC 360-16 kap. E
  • Smyk s ramenem síly

    • Materiál šroubu – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b) + kap. 17.7.1.2.1.
    • Spřahovací trny – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (a) + kap. 17.7.1.2.1.
    • Vyztužení – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b) + kap. 17.7.1.2.1.
  • Interakce tahu a smyku – ACI 318-19 kap. 17.8

Skupina 3

• Typy kotvení

  • Patní deska – vzdálenost = mezera
  • Jednotlivá kotva s vyčnívající délkou větší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normová posouzení kotev (ACI / AISC)

  • Tah/tlak (s boulením)

    • Všechny typy kotev v tahu – ACI 318-19 kap. 17.6.1.2
    • Všechny typy kotev v tlaku – AISC 360-16 kap. E3
  • Ohyb

    • Pro všechny typy kotev – AISC 360-16 kap. F11
  • Smyk

    • Pro všechny typy kotev – AISC 360-16 kap. G
  • Interakce osové síly a ohybu

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Únosnost kotvy v tahu podle ACI 318-19 kap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

kde:

• ϕ_a,t  – součinitel redukce pevnosti pro kotvy v tahu podle ACI 318-19 kap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – tahová plocha průřezu (redukovaná o závit)
• f_uta – specifikovaná pevnost oceli kotvy v tahu, která nesmí být větší než 1,9 f_ya a 860 MPa

Únosnost kotvy ve smyku podle ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (a)

Pevnost oceli ve smyku pro spřahovací trny se stanoví jako:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

kde:
ϕ_a,v – součinitel redukce pevnosti pro kotvy v tahu podle ACI 318-19 kap. 17.5.3 (a)
A_se,V – tahová plocha průřezu (redukovaná o závit)
f_uta – specifikovaná pevnost oceli kotvy v tahu, která nesmí být větší než 1,9 f_ya a 860 MPa

Únosnost kotvy ve smyku podle ACI 318-19 kap. 17.7.1.2 (b)

Pevnost oceli ve smyku pro kotvy z materiálu šroubu a vyztužení se stanoví jako:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

kde:

• ϕ_a,v  – součinitel redukce pevnosti pro kotvy v tahu podle ACI 318-19 kap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – tahová plocha průřezu (redukovaná o závit)
• f_uta – specifikovaná pevnost oceli kotvy v tahu, která nesmí být větší než 1,9 f_ya a 860 MPa

Únosnost kotvy připojené k podkladu s maltou ve smyku – ACI 318-19 kap. 17.7.1.2.1

Pokud se kotvy použijí s vyrovnávací maltovou podlívkou (skupina 2), návrhová pevnost vypočtená podle 17.7.1.2 se vynásobí součinitelem 0,80.

Interakce tahu a smyku podle ACI 318-19 kap. 17.8

Interakci mezi tahem a smykem je dovoleno zanedbat , pokud je splněna podmínka (a) nebo (b).
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Pokud je N_ua/(ϕN_n) > 0,2 pro rozhodující pevnost v tahu a V_ua/(ϕV_n) > 0,2 pro rozhodující pevnost ve smyku, musí být splněna rovnice (17.8.3).

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Únosnost kotvy v tlaku podle AISC 360-16 kap. E3

$$P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}$$

kde:

• ϕ_a,t  – součinitel redukce pevnosti pro kotvy v tlaku podle AISC 360-16 kap. E1
  
• (a) Pokud: $\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  nebo     $\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25$

  • $F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y$
    
• (b) Pokud: $\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  nebo     $\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25$

  • $F_{cr}=0.877F_e$
    
• A_g​ – celková plocha průřezu prvku
• E – modul pružnosti oceli
• $F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}$ – kritické napětí při pružném boulení
• F_y – specifikovaná minimální mez kluzu použitého typu oceli
• $r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}$ – poloměr setrvačnosti
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – moment setrvačnosti šroubu 

Únosnost kotvy v ohybu podle AISC 360-16 kap. F11

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

kde:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – plastický modul průřezu šroubu
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – pružný modul průřezu šroubu

Únosnost kotvy ve smyku podle AISC 360-16 kap. G

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

kde:

• A_V = 0,844As – smyková plocha
• A_s – plocha šroubu redukovaná o závit

Drcení betonu na rozhraní kotva–beton

Únosnost kotvy ve smyku je rovněž omezena z hlediska drcení betonu na rozhraní kotva–beton. Mezní hodnoty a způsob jejich stanovení jsou podrobně popsány v článku - Chování kotev ve smyku v železobetonu. Jakmile kontaktní síla dosáhne této meze, aktivuje se kritérium zastavení a analýza se ukončí dříve, než je únosnost překročena.​ 

Posouzení vytržení kotev s hlavou (podložky a spřahovací trny)

U kotev s hlavou je implementováno doplňkové kritérium zastavení pro posouzení otlačení (drcení) betonu nad hlavou kotvy – vytržení. Během analýzy se sleduje tlaková síla přenášená kontaktem hlavy s betonem a porovnává se s mezní hodnotou podle ACI 318-19, článek 17.6.3.2.2a (porušení vytržením u kotev s hlavou).

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

kde:

• $\Phi$ je součinitel redukce pevnosti – tabulka 17.5.3(c)
• A_brg je čistá nosná plocha hlavy trnu, kotevního šroubu nebo žebírkové výztužné tyče s hlavou (bez plochy dříku). 
• f'_c je specifikovaná pevnost betonu v tlaku
• $\Psi_{c,p}$ je součinitel vlivu trhlin při vytržení podle 17.6.3.3 a vždy se uvažuje hodnotou 1,0, tj. hodnotou pro beton s trhlinami. To je v souladu s přístupem CSFM používaným v aplikaci Detail, kde se pevnost betonu v tahu zanedbává a předpokládá se, že beton je v tahu porušen trhlinami.

Jakmile kontaktní síla dosáhne této normové meze, aktivuje se kritérium zastavení a analýza se ukončí dříve, než je únosnost při vytržení překročena.​ 

Kotvení -  Napětí v soudržnosti

Smykové napětí v soudržnosti se vyhodnocuje samostatně jako poměr mezi napětím v soudržnosti τ_b vypočteným analýzou metodou konečných prvků a pevností soudržnosti f_bu.

Ačkoli pevnost soudržnosti není v ACI 318-19 explicitně definována, výpočet kotevní délky lze nalézt v kapitole 25.4.2. Protože je však pevnost soudržnosti základním vstupem pro stanovení kotevní délky, viz R25.4.1.1 a ACI Committee 408 1966, lze pevnost soudržnosti vypočítat následujícím způsobem:

Předpokládejme, že pokud výztužnou tyč zakotvíme do betonového bloku na kotevní délku l_d nebo větší, povede vytahování výztuže k přetržení výztuže, nikoli k vytržení z betonu. To lze zapsat následujícím vztahem.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

kde:

d_b je průměr výztužné tyče, l_d je kotevní délka, f_bu je pevnost soudržnosti, f_y je mez kluzu výztuže a A_s je plocha průřezu výztužné tyče.

Z předchozího lze snadno odvodit vztah pro výpočet pevnosti soudržnosti:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

Kotevní délka l_d se poté stanoví podle ACI 318-19, tabulka 25.4.2.3, následovně:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

kde:

C = 25 (2,1 pro metrické jednotky) pro tyče č. 6 a menší a žebírkové dráty, C = 20 (1,7 pro metrické jednotky) pro tyče č. 7 a větší, λ = 1,0 pro beton běžné objemové hmotnosti, ψ_t, ψ_e, ψ_g se stanoví podle ACI 318-19, tabulka 25.4.2.3. 

Podporováno je pouze vyztužení bez povrchové úpravy nebo pozinkované, proto ψ_e = 1,0. Součinitel ψ_g se určí automaticky podle třídy výztuže a ψ_t se odvodí automaticky z polohy vyztužení v modelu a ze směru betonáže, který lze v aplikaci nastavit pro každou položku projektu následovně.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.1\qquad Direction of concreting}}}$$

Tato posouzení se provádějí vzhledem k příslušným mezním hodnotám pro jednotlivé části konstrukce (tj. přestože je pro beton i pro vyztužení zadána jediná třída materiálu, výsledné pracovní diagramy napětí-přetvoření se budou v jednotlivých částech konstrukce lišit v důsledku vlivu tahového zpevnění a tlakového změkčení).

Kotvení -  Celková síla

Celková síla F_tot a mezní síla F_lim

Celková síla F_tot je výsledkem analýzy metodou konečných prvků a lze ji definovat dvěma způsoby.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

kde A_s je plocha průřezu výztužné tyče a f_s je napětí v tyči.

Nebo jako součet kotevní síly F_a a síly v soudržnosti F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

kde F_a je skutečná síla v kotevní pružině a F_bond je síla v soudržnosti, kterou lze získat integrací napětí v soudržnosti τ_b po délce výztužné tyče l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s je obvod výztužné tyče.

Mezní síla F_lim je maximální síla v prvku výztužné tyče s ohledem na pevnost tyče a také na podmínky kotvení (soudržnost mezi betonem a vyztužením a kotevní háky, smyčky apod.).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

kde C_s je obvod výztužné tyče a l je vzdálenost od počátku tyče k posuzovanému bodu.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.2\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

kde F_lim,add je dodatečná síla vypočtená z velikosti úhlu mezi sousedními prvky. F_lim,2 musí být vždy menší než F_u.

Dostupné typy kotvení v CSFM zahrnují přímou tyč (tj. bez redukce na konci kotvení), 90° hák, 180° hák, dokonalou soudržnost a průběžnou tyč. Všechny tyto typy spolu s příslušnými součiniteli kotvení β jsou pro podélnou výztuž znázorněny na obr. 5.3.3. Hodnoty použitých součinitelů kotvení jsou odvozeny porovnáním vztahu z ACI 318-19, článek 25.4.3.1, a vztahů z ACI 318-19, článek 25.4.2.3. Je třeba poznamenat, že přes různé dostupné možnosti rozlišuje CSFM tři typy konců kotvení: (i) bez redukce kotevní délky, (ii) redukce kotevní délky o 30 % v případě normalizovaného kotvení a (iii) dokonalá soudržnost.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.3\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

Součinitel kotvení pro třmínky je vždy β = 1,0.

Aby byl výpočet v souladu s ACI, musí se použít kotevní pružina; kotevní pružina je upravena součinitelem β, a uživatel proto musí při definování počátečních a koncových podmínek vyztužení použít jeden z dostupných typů kotvení. 

Beton - Únosnost

Model betonu implementovaný pro výpočty únosnosti v 3D CSFM vychází z předpokladů rovnováhy a slučitelnosti přetvoření podle AASHTO LRFD pro návrh na únosnost. V souladu s AASHTO LRFD (2024), článek 5.6.2.1, se tahová pevnost betonu zanedbává.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

Implementace 3D CSFM v IDEA StatiCa Detail nezohledňuje explicitní kritérium porušení betonu v tlaku z hlediska přetvoření (tj. po dosažení maximálního napětí uvažuje plastickou větev s ε_c0 s maximální hodnotou 5 %, zatímco AASHTO LRFD (2024), článek 5.6.2.1, předpokládá mezní přetvoření menší než 0,3 %). Toto zjednodušení neumožňuje ověřit deformační kapacitu konstrukcí, které selhávají v tlaku. Únosnost je však správně predikována, pokud se nárůst křehkosti betonu s rostoucí pevností zohlední pomocí redukčního součinitele $\eta_{fc}$ definovaného v fib Model Code 2010 takto:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

kde:

α₁ je redukční součinitel pevnosti betonu v tlaku definovaný v AASHTO LRFD (2024), článek 5.6.2.2. Při použití pracovního diagramu napětí-přetvoření typu parabola-obdélník je nutné maximální tlakové napětí tímto součinitelem snížit. Tím se zprůměruje rozložení napětí v tlačené oblasti tak, že výsledná pevnost v tlaku je menší nebo rovna pevnosti v tlaku vypočtené z diagramu napětí-přetvoření s klesající plastickou větví.

Φ_c je redukční součinitel únosnosti betonu. Výchozí hodnota je nastavena podle AASHTO LRFD (2024), článek 5.5.4.2.

f'_c je válcová pevnost betonu (v MPa pro definici $\eta_{fc}$).

Vyztužení

Uvažuje se dokonale pružnoplastický diagram napětí-přetvoření s definovanou mezí kluzu pro nepředpjaté vyztužení. Viz AASHTO LRFD (2024), článek 5.4.3. Definice tohoto diagramu vyžaduje pouze znalost základních vlastností vyztužení - pevnosti a modulu pružnosti.

Diagram napětí-přetvoření vyztužení může definovat také uživatel, ale v tomto případě nelze uvažovat tahové zpevnění. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

kde:

Φ_s je redukční součinitel únosnosti vyztužení. Výchozí hodnota je nastavena podle AASHTO LRFD (2024), článek 5.5.4.2.

f_y je mez kluzu vyztužení

E_s je modul pružnosti vyztužení

Jako mezní přetvoření, při kterém se výpočet zastaví, je zvoleno 10 %. To je považováno za bezpečné na základě ASTM A955/A955M-20c, článek 7.

Tahové zpevnění (obr. 6.1.3)  je zohledněno automaticky úpravou vstupního vztahu napětí-přetvoření holé výztužné vložky tak, aby odpovídal průměrné tuhosti prutů zabetonovaných v betonu (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

Compatible Stress Field Method je v souladu s moderními návrhovými normami. Protože výpočetní modely používají pouze standardní materiálové vlastnosti, lze formát dílčích součinitelů spolehlivosti předepsaný v návrhových normách použít bez jakýchkoli úprav. Vstupní zatížení se tak násobí součiniteli zatížení a charakteristické materiálové vlastnosti se redukují příslušnými redukčními součiniteli pevnosti, přesně jako při konvenčním posouzení betonových konstrukcí.

Hodnoty redukčních součinitelů pevnosti jsou předepsány v AASHTO LRFD (2024), článek 5.5.4, a pro kotvy v ACI 318-19, kapitola 17, a v AASHTO LRFD (2024), článek 6.5.4.2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.1\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Součinitele zatížení a kombinace zatížení se definují podle AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), článek 3.4.1 a tabulky 3.4.1-1 až 3.4.1-6. AASHTO LRFD výslovně stanovuje kombinace zatížení pro mezní stav únosnosti (Strength I až Strength V), včetně odpovídajících součinitelů zatížení pro každý případ.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.2\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Různá ověření požadovaná normou AASHTO se posuzují na základě přímých výsledků poskytnutých modelem. Ověření se provádějí pro pevnost betonu, pevnost výztuže a kotvení (smyková napětí v soudržnosti).

Pevnost – beton

Pevnost betonu v tlaku se vyhodnocuje jako poměr mezi maximálním ekvivalentním hlavním napětím f_c,eq (v předchozím textu také σ_c,eq ), získaným z analýzy metodou konečných prvků, a mezní hodnotou f'_c,lim.

Ekvivalentní hlavní napětí vyjadřuje ekvivalentní jednoosé napětí pro obecný trojosý stav napětí.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Hodnotu f_c,eq lze proto přímo porovnat s mezními hodnotami jednoosé pevnosti. Tento výraz je odvozen z implementace Mohr-Coulombovy teorie plasticity, přičemž se konzervativně uvažuje úhel vnitřního tření φ = 0°.

Pevnost – vyztužení

Pevnost vyztužení se vyhodnocuje v tahu i v tlaku jako poměr mezi napětím ve vyztužení v trhlinách f_s a předepsanou mezní hodnotou f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Pevnost – kotvy

Kotvy se posuzují na normálová napětí podobně jako vyztužení, přičemž se stanoví mezní hodnota f_y,lim . 

Pro snazší orientaci v následujícím textu nejprve rozdělíme kotvení do tří skupin z hlediska normového posouzení podle AASHTO nebo ACI.

Skupina 1

• Typy kotvení

  • Předem zabetonovaný plech
  • Patní deska – vzdálenost od podkladu (stand-off) = přímo 
  • Patní deska – vzdálenost od podkladu (stand-off) = maltová spára – tloušťka malty menší než 0,5násobek průměru kotvy
  • Samostatná kotva s volnou délkou menší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normová posouzení kotev (AASHTO / ACI)

  • Tah/tlak

    • Všechny typy kotev v tahu – ACI 318-19, kap. 17.6.1.2  
    • Všechny typy kotev v tlaku – AASHTO, článek 6.9.2
  • Smyk bez ramene síly

    • Materiál šroubu – ACI 318-19, kap. 17.7.1.2 (b)
    • Spřahovací trny – ACI 318-19, kap. 17.7.1.2 (a)
    • Vyztužení – ACI 318-19, kap. 17.7.1.2 (b)
  • Interakce tahu a smyku – ACI 318-19, kap. 17.8

Skupina 2

• Typy kotvení

  • Patní deska – vzdálenost od podkladu (stand-off) = maltová spára – tloušťka malty větší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normová posouzení kotev (AASHTO / ACI)

  • Tah/tlak

    • Všechny typy kotev v tahu – ACI 318-19, kap. 17.6.1.2  
    • Všechny typy kotev v tlaku – AASHTO, článek 6.9.2
  • Smyk s ramenem síly

    • Materiál šroubu – ACI 318-19, kap. 17.7.1.2 (b) + kap. 17.7.1.2.1.
    • Spřahovací trny – ACI 318-19, kap. 17.7.1.2 (a) + kap. 17.7.1.2.1.
    • Vyztužení – ACI 318-19, kap. 17.7.1.2 (b) + kap. 17.7.1.2.1.
  • Interakce tahu a smyku – ACI 318-19, kap. 17.8

Skupina 3

• Typy kotvení

  • Patní deska – vzdálenost od podkladu (stand-off) = mezera
  • Samostatná kotva s volnou délkou větší než 0,5násobek průměru kotvy
• Normová posouzení kotev (AASHTO / ACI)

  • Tah/tlak (s boulením)

    • Všechny typy kotev v tahu – ACI 318-19, kap. 17.6.1.2
    • Všechny typy kotev v tlaku – AASHTO LRFD, článek 6.9.2
  • Ohyb

    • Pro všechny typy kotev – AAHTO LRFD, článek 6.12.2.2.7
  • Smyk

    • Pro všechny typy kotev – AASHTO LRFD, článek 6.10.9
  • Interakce osové síly a ohybu

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Únosnost kotvy v tahu podle ACI 318-19, kap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

kde:

• ϕ_a,t  – redukční součinitel pevnosti pro kotvy v tahu podle ACI 318-19, kap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – účinná plocha průřezu v tahu (zmenšená o závit)
• f_uta – specifikovaná pevnost oceli kotvy v tahu, která nesmí být větší než 1,9 f_ya a 860 MPa

Smyková únosnost kotvy podle ACI 318-19, kap. 17.7.1.2 (a)

Pevnost oceli ve smyku pro spřahovací trny se stanoví jako:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

kde:
ϕ_a,v – redukční součinitel pevnosti pro kotvy v tahu podle ACI 318-19, kap. 17.5.3 (a)
A_se,V – účinná plocha průřezu v tahu (zmenšená o závit)
f_uta – specifikovaná pevnost oceli kotvy v tahu, která nesmí být větší než 1,9 f_ya a 860 MPa

Smyková únosnost kotvy podle ACI 318-19, kap. 17.7.1.2 (b)

Pevnost oceli ve smyku pro kotvy z materiálu šroubu a vyztužení se stanoví jako:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

kde:

• ϕ_a,v  – redukční součinitel pevnosti pro kotvy v tahu podle ACI 318-19, kap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – účinná plocha průřezu v tahu (zmenšená o závit)
• f_uta – specifikovaná pevnost oceli kotvy v tahu, která nesmí být větší než 1,9 f_ya a 860 MPa

Smyková únosnost kotvy spojené s podkladem pomocí malty – ACI 318-19, kap. 17.7.1.2.1

Pokud se kotvy používají s vyrovnávací maltovou vrstvou (Skupina 2), návrhová pevnost vypočtená podle 17.7.1.2 se vynásobí součinitelem 0,80.

Interakce tahu a smyku podle ACI 318-19, kap. 17.8

Interakci mezi tahem a smykem je dovoleno zanedbat , pokud je splněna podmínka (a) nebo (b).
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Pokud N_ua/(ϕN_n) > 0,2 pro rozhodující pevnost v tahu a V_ua/(ϕV_n) > 0,2 pro rozhodující pevnost ve smyku, musí být splněna rovnice (17.8.3).

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Únosnost kotvy v tlaku podle AASHTO LRFD, článek 6.9.2

$$P_r =\phi_{a,c}\, P_{n}$$

kde:

• ϕ_a,c  – redukční součinitel pevnosti pro kotvy v tlaku podle AASHTO LRFD, článek 6.5.4.2

• Pokud $\dfrac{P_o}{P_e} \le 2.25$,  pak: $P_{n}=\left(0.658^{\,P_o/P_e}\right)P_o$,   Jinak: $P_n=0.877\,P_e$

• A_g​ – celková plocha průřezu prvku (in²)
• F_y – specifikovaná minimální mez kluzu použitého typu oceli (ksi)
• $P_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{K\,l}{r_s}\right)^2}A_g$ – pružná kritická únosnost při boulení (kip)
• E – modul pružnosti oceli (ksi)
• K = 2 – součinitel účinné délky podle článku 4.6.2.5 
• l – délka mezi rozpěrami v rovině boulení (in) 
• $r_s=\sqrt{\dfrac{I}{A_g}}$ – poloměr setrvačnosti
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – moment setrvačnosti šroubu 

Ohybová únosnost kotvy podle AASHTO LRFD, článek 6.12.2.2.7

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

kde:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – plastický průřezový modul šroubu
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – pružný průřezový modul šroubu