En la práctica, los ingenieros pueden encontrarse con distintos tipos de elementos finitos (desde simples elementos de barra 1D hasta elementos sólidos 3D más complejos) que se utilizan en una gran variedad de aplicaciones para el análisis y el cálculo de elementos estructurales. Una característica común de la mayoría de los cálculos en la práctica suele ser el comportamiento lineal de los modelos, cuyas ventajas son, sin duda, la rapidez, la claridad y, simplemente, el hecho de que para una gran variedad de problemas esta solución resulta suficiente.

Especialmente en el ámbito de las estructuras de hormigón, ocurre con frecuencia que el enfoque lineal no es suficiente, simplemente porque, tras la aparición de las primeras fisuras en el elemento cargado, las tensiones se redistribuyen y el problema pasa a ser significativamente no lineal.

Para estos casos, es necesario elegir uno de los enfoques más sofisticados. Para casos 1D, a menudo pueden encontrarse métodos analíticos definidos directamente en las normas. Por ejemplo, pueden construirse los populares modelos de Biela y Tirante para elementos planos 2D y regiones de discontinuidad (regiones D), o bien puede utilizarse el método de campos de tensiones más sofisticado implementado en IDEA StatiCa Detail, el CSFM.

Sin embargo, si el ingeniero se enfrenta a un problema que no puede simplificarse a un comportamiento plano, las opciones son muy limitadas. Por supuesto, puede construirse un modelo de Biela y Tirante 3D o utilizarse un software semicientífico para un análisis preciso. Estos procedimientos suelen requerir mucho tiempo, no cumplen las normas y exigen un ingeniero con conocimientos de métodos de modelización avanzados.

Por este motivo, IDEA StatiCa ha desarrollado e implementado el CSFM 3D (Método del Campo de Tensiones Compatible) en la aplicación Detail. El CSFM 3D amplía el CSFM establecido a una tercera dimensión y ofrece una solución rápida y conforme con las normas, aplicable principalmente al ingeniero de uso cotidiano, que le brinda una nueva capacidad única para abordar con seguridad los detalles complejos de las estructuras de hormigón.

El CSFM 3D define el comportamiento del hormigón basándose en la teoría de plasticidad de Mohr-Coulomb modificada para cargas monótonas. El método considera las tensiones principales del hormigón en compresión y las tensiones de la armadura (σ_sr) en las fisuras, despreciando la resistencia a tracción del hormigón (corte de tracción), excepto por su efecto de rigidización sobre la armadura (Rigidización a tracción).

σ_c1r, σ_c2r, σ_c3r ≤ 0 MPa

Las barras de armadura se vinculan a los elementos finitos volumétricos de hormigón mediante elementos de adherencia, lo que permite el deslizamiento entre el hormigón y la armadura. Debe tenerse en cuenta que el CSFM 3D no es adecuado para simular hormigón en masa debido a la ausencia de tracción, lo que puede dar lugar a deformaciones engañosas y a la divergencia del modelo. En general, la teoría de Mohr-Coulomb incluye dos propiedades fundamentales que gobiernan la evolución de la superficie de plasticidad en compresión y parcialmente en tracción: el ángulo de rozamiento interno φ y el parámetro de cohesión c. El CSFM 3D asume un ángulo de rozamiento interno nulo (Fig. 1.2.1e), lo que conduce a un cálculo conservador, ya que la superficie de plasticidad se asemeja al modelo de Tresca, que es independiente del primer invariante de tensiones.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.1\qquad Basic assumptions of the 3D CSFM: (a) principal stresses in concrete; (b) stresses in the reinforcement direction;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(c) stress-strain diagram of concrete in terms of maximum stresses; (d) stress-strain diagram of reinforcement}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{in terms of stresses at cracks and average strains; (e) Mohr's circles for concrete model in 3D CSFM; (f) bond shear stress-slip}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{relationship for anchorage length verifications.}}}$

Hormigón 

El modelo de material presentado es un modelo de plasticidad multisuperficie dado por la combinación de los modelos de Mohr-Coulomb y Rankine para cargas monótonas. Es importante señalar que este modelo no contempla la descarga; por ello, las variables de estado no se almacenan, como sí ocurriría en los modelos clásicos de plasticidad utilizados para cargas cíclicas.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.2\qquad Mohr-Coulomb multi-surface plasticity model for friction angle 0 degree}}}$$

Como ya se ha mencionado, el modelo de material está destinado a su uso en aplicaciones que calculan la respuesta del hormigón armado (no es adecuado para hormigón en masa). Esto se debe a la exclusión del hormigón en tracción. Por lo tanto, el modelo tampoco es adecuado para elementos estructurales en los que no se cumplen las reglas de cálculo del hormigón armado, como la cuantía mínima de armadura, la separación máxima entre barras, etc. Cabe añadir también que, por razones de estabilidad numérica, se define en el modelo una capacidad a tracción muy pequeña. La parte de tracción está limitada por planos correspondientes al modelo de Rankine.

El CSFM 3D en IDEA StatiCa Detail no considera un criterio de fallo explícito en términos de deformaciones para el hormigón en compresión (es decir, considera una rama plástica infinita una vez alcanzada la tensión máxima). Esta simplificación no permite verificar la capacidad de deformación de las estructuras que fallan por compresión. Sin embargo, su capacidad última se predice correctamente cuando se considera el aumento de la fragilidad del hormigón al aumentar su resistencia mediante el factor de reducción 𝜂_𝑓𝑐 definido en el Código Modelo fib 2010 como sigue:

$$f_{c,red} = \eta _{fc} \cdot f_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

donde:

f_c es la resistencia característica del hormigón en probeta cilíndrica (en MPa para la definición de $\eta_{fc}$).

A continuación, f_c,red se compara con la tensión principal equivalente σ_c,eq en el hormigón, que se definirá más adelante, teniendo en cuenta, por supuesto, todos los coeficientes de seguridad prescritos por la normativa.

Puede encontrar una descripción detallada del modelo de hormigón en el siguiente enlace:

• Modelo de material de hormigón para 3D Detail

Armadura

El diagrama tensión-deformación bilineal para las barras de armadura, tal como lo definen las normativas de cálculo (Fig. 1.2.1d), representa un modelo idealizado. Este modelo requiere conocer, en la fase de cálculo, las propiedades básicas de la armadura, concretamente la resistencia y la clase de ductilidad. Alternativamente, los usuarios pueden definir una relación tensión-deformación personalizada.

La rigidización a tracción se considera modificando la relación tensión-deformación de la barra de armadura desnuda para reflejar la rigidez media de las barras embebidas en el hormigón (ε_m) (Fig. 1.2.1b).

Anclaje

El deslizamiento por adherencia entre la armadura y el hormigón se introduce en el modelo de elementos finitos considerando la relación constitutiva simplificada rígido-perfectamente plástica presentada en la (Fig. 1.2.1f), siendo f_bd el valor de cálculo (valor mayorado) de la tensión de adherencia última especificada por la normativa de cálculo para las condiciones de adherencia concretas.

Se trata de un modelo simplificado cuyo único propósito es verificar las prescripciones de adherencia según las normativas de cálculo (es decir, el anclaje de la armadura). La reducción de la longitud de anclaje al utilizar ganchos, patillas y formas de barra similares puede considerarse definiendo una determinada capacidad en el extremo de la armadura, como se describirá más adelante.

Anclajes

El elemento de anclaje se define como capaz de transmitir fuerzas normales de tracción o compresión, así como fuerzas cortantes, considerando la rigidez a flexión. 

Están disponibles los siguientes tipos de anclajes:

• Anclajes hormigonados in situ

  • Armadura
  • Placa de arandela
  • Perno con cabeza
• Armadura hormigonada in situ

  • Armadura
  • Barras roscadas

Hormigonado in situ - Armadura

Se modela como armadura corrugada embebida en el hormigón. La resistencia de adherencia se calcula según las reglas de la normativa seleccionada, del mismo modo que para la armadura estándar. En el extremo del anclaje se puede definir un tipo de anclaje, que funciona de forma idéntica a la armadura: se aplica un muelle de anclaje con el factor β establecido según la normativa elegida. Están disponibles tres formas geométricas: recta, en L, en U.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.3\qquad Cast-in reinforcement anchor - shapes}}}$$

Hormigonado in situ - Placa de arandela y perno con cabeza

La placa de arandela y la cabeza del perno con cabeza se modelan como un elemento de placa-lámina del material correspondiente, unido directamente al vástago del anclaje. Transmite la carga al hormigón mediante un contacto que solo trabaja a compresión. Formas disponibles: circular y cuadrada (solo circular para el perno con cabeza), con dimensiones personalizables. El modelo de la placa de arandela y de la cabeza es elástico y no se verifica su resistencia. 

A nivel del modelo de elementos finitos, se verifica directamente el arrancamiento del anclaje. El contacto de compresión tiene criterios de parada definidos de modo que no pueda transmitir al hormigón una tensión de contacto mayor que la prescrita por la norma seleccionada. En términos prácticos, esto significa que, si el anclaje se cargara con una fuerza que no cumple la verificación de arrancamiento, el resultado sería la finalización prematura del cálculo, porque este criterio de parada se superaría durante la carga posterior.

El vástago del anclaje tiene una resistencia de adherencia nula: toda la carga se transmite al hormigón a través de la placa o de la cabeza.

Postinstalado - Armadura y barra roscada

Se diseñan como barras instaladas en taladros y adheridas con adhesivo. El ingeniero especifica la resistencia de adherencia de cálculo directamente a partir de la ficha técnica del adhesivo.

Modelo de material de anclajes de material de pernos

Para los anclajes de material de pernos (barras roscadas y anclajes con placas de arandela), dos propiedades del modelo de material difieren de los valores nominales del material del perno: el módulo de elasticidad y la ductilidad. Ambas describen el comportamiento del conjunto del perno y la geometría de las probetas de ensayo sobre las que se miden los valores nominales. No dependen de la normativa de cálculo, por lo que se aplican de forma idéntica para todas las normativas de cálculo. Tanto el diagrama tensión-deformación nominal del material del perno como el diagrama modificado por los coeficientes C_E y C_A se muestran en la pestaña Materials (Fig. 1.2.4).

Rigidez elástica. El módulo de elasticidad del material del perno se reduce mediante el coeficiente C_E:

$$E_{b} = C_{E} \cdot E , C_E=0.8$$

• E - módulo de elasticidad del perno
• E_b - módulo de elasticidad del anclaje utilizado en el análisis

Este planteamiento se adoptó a partir de las investigaciones más recientes (aún no publicadas; la referencia se añadirá tras su publicación), en las que el módulo de elasticidad efectivo del conjunto del perno se calibró mediante análisis por elementos finitos frente a una amplia base de datos de ensayos de pernos. Esto se confirma con los resultados experimentales ya publicados de Janković et al. (2025): en 66 ensayos de tracción de barras roscadas de 1000 mm de longitud (M20 a M30, clases 8.8 y 10.9), la rigidez inicial medida correspondió a 0,8·E·A_s/L_b, con una relación media entre la rigidez predicha y la medida de 0,98 y un coeficiente de variación del 7,9 %. En barras de esta longitud, la influencia de las tuercas y de la longitud de rosca engranada es despreciable, por lo que la reducción representa un módulo de elasticidad efectivo de la propia barra roscada. Cabe señalar que el mismo factor está contenido en la rigidez de un perno sometido a tracción en EN 1993-1-8 (coeficiente 1,6 para una fila de pernos de dos pernos).

Ductilidad. La ductilidad del material del perno se caracteriza por el alargamiento porcentual tras la rotura A, normalmente en torno al 10 %. Estos valores se miden en probetas cortas, en las que la estricción local constituye una gran parte del alargamiento medido. La longitud de la zona de estricción no depende de la longitud de la probeta, por lo que el alargamiento porcentual disminuye a medida que la probeta es más larga. En anclajes embebidos varios cientos de milímetros en el hormigón, este valor es sustancialmente inferior al especificado. Por ello, la aplicación utiliza la ductilidad reducida:

$$A_{red} = A/C_A$$

$$C_{A} = L_s / (0.177 \cdot L_s + 2.19)$$

• A - alargamiento porcentual tras la rotura del material del perno
• A_red - ductilidad reducida, utilizada como criterio de parada por deformación del anclaje
• C_A - coeficiente de reducción de la ductilidad
• L_s - longitud embebida del anclaje [mm]

Cuando la deformación del anclaje alcanza A_red, se cumple el criterio de parada y el análisis finaliza, del mismo modo que con los demás criterios de parada del CSFM 3D.

La ecuación se adoptó a partir de las investigaciones más recientes (aún no publicadas; la referencia se añadirá tras su publicación), que proporcionan una aproximación de la deformación plástica de un perno en su resistencia última, calibrada con una amplia base de datos de ensayos de pernos: Δ_u,p = A · (0.177 · L + 2.19), donde L es la longitud deformable del perno en mm. El término proporcional a la longitud representa el alargamiento uniforme de la barra, y el término constante representa la contribución local de la estricción. En la aplicación, esta longitud se toma igual a la longitud embebida del anclaje L_s, y al dividir Δ_u,p entre L_s se obtiene la deformación A/C_A. El coeficiente C_A aumenta con la longitud y se aproxima al límite 1/0,177 = 5,65. Para longitudes embebidas de 200 mm o más, supera 5,3, por lo que la ductilidad del anclaje se reduce aproximadamente a una quinta parte del valor nominal, por ejemplo, del 12 % a aproximadamente el 2,2 % con L_s = 300 mm.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.2.4\qquad Stress-strain diagram of the bolt material in the Materials tab: nominal diagram and the diagram modified by the coefficients C_E and C_A}}}\]

Puede encontrar más información sobre la conexión de los distintos tipos de anclajes a la placa base o a la placa embebida en el capítulo Tipos de elementos finitos - Dispositivos de transferencia de carga. 

En el siguiente capítulo veremos cómo se implementa la teoría de Mohr-Coulomb en 3D CSFM. Explicaremos cómo se considera el efecto de confinamiento (tensión triaxial) y cómo se calcula la tensión principal equivalente σ_c,eq, que se utiliza para determinar la capacidad portante desde el punto de vista del hormigón.

Introducción a la teoría

La teoría de Mohr–Coulomb es un modelo matemático que describe la respuesta de los materiales frágiles a la tensión normal y a la tensión de cortante. La mayoría de los materiales de ingeniería clásicos siguen esta regla, al menos, en una parte de su envolvente de rotura por cortante. En general, la teoría se aplica a materiales cuya resistencia a compresión supera con creces su resistencia a tracción.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.1\qquad Mohr-Coulomb Plasticity Model }}}$$

En ingeniería estructural, se utiliza para determinar la carga de rotura, así como el ángulo de fractura correspondiente al desplazamiento de la superficie de fractura en el hormigón y en materiales similares. La hipótesis de rozamiento de Coulomb se emplea para determinar la combinación de tensión normal y de cortante que provocará la fractura del material. El círculo de Mohr se utiliza para determinar qué tensiones principales producirán esta combinación de tensión normal y de cortante, y el ángulo del plano en el que se producirá. Según el principio de normalidad, la tensión introducida en la rotura será perpendicular a la línea que describe la condición de fractura. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.2\qquad Meridian plane and tension cut-off}}}$$

Puede demostrarse que, en un material que rompe según la hipótesis de rozamiento de Coulomb, el desplazamiento introducido en la rotura forma con la línea de fractura un ángulo igual al ángulo de rozamiento. Esto permite determinar la resistencia del material comparando el trabajo mecánico externo introducido por el desplazamiento y la carga externa con el trabajo mecánico interno introducido por la deformación y la tensión en la línea de rotura. Por conservación de la energía, la suma de ambos debe ser cero, lo que permite calcular la carga de rotura de la construcción.

Implementación en 3D CSFM

En general, para un ángulo de rozamiento interno dado del hormigón, que ronda φ = 30-40° según las Referencias [1], [2], [3], [4], y para las resistencias a tracción y a compresión del hormigón, pueden construirse los círculos de Mohr como se muestra en la Figura 1.3.3.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.3\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

Donde f_c es la resistencia del hormigón a compresión, f_ct es la resistencia del hormigón a tracción, φ es el ángulo de rozamiento interno, y σ_c1, σ_c3 son las tensiones principales del hormigón bajo compresión triaxial.

Puede observarse que, a medida que aumenta la tensión principal σ_c3, también aumenta la diferencia máxima posible entre los valores de σ_c3 y σ_c1, que definimos como σ_c,eq máxima (véase más adelante). Esta diferencia corresponde al doble de la tensión desviadora, definida en la bibliografía como el radio de los círculos de Mohr.

En 3D CSFM, implementado en IDEA StatiCa Detail, el ángulo de rozamiento interno se considera φ = 0°, como se muestra en la Figura 7.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.3.4\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

La consecuencia práctica de esta implementación es que la diferencia máxima entre σ_c3 y σ_c1 es constante a medida que aumenta σ_c3. 

La tensión principal equivalente expresa la tensión uniaxial equivalente para un estado tensional triaxial general.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Por tanto, el valor de σ_c,eq puede compararse directamente con los límites de resistencia uniaxial según las normas.

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} \le 1$$

Donde σ_c,lim es la resistencia uniaxial de cálculo (minorada) del hormigón f_c.

Si se compara la Figura 1.3.3, en la que se utiliza el ángulo de rozamiento interno real, con la Figura 1.3.4, que muestra la implementación de la teoría de Mohr-Coulomb con ángulo de rozamiento interno nulo, se observa que el enfoque elegido para los cálculos en Detail es muy conservador para la evaluación del estado tensional triaxial.

Para comprender mejor las zonas afectadas por la tensión de compresión triaxial, se ha añadido a la aplicación IDEA StatiCa Detail la expresión del aumento de la resistencia efectiva del material debido a la compresión triaxial, como la relación σ_c3/σ_c,lim. Esta relación se encuentra en la verificación normativa de resistencia.

En los resultados auxiliares, el usuario también puede encontrar el factor κ, que explica la triaxialidad de otra manera. 

$$\kappa =   \frac{ \sigma_{c3}}{ \sigma_{c,eq}}$$

La verificación de la resistencia del hormigón puede reescribirse entonces como:

$$\frac{\sigma_{c,eq} }{ \sigma_{c,lim}} = \frac{\sigma_{c,3} }{ \kappa \cdot \sigma_{c,lim}} \le 1$$

De lo anterior se deduce que, si el elemento se encuentra bajo tensión hidrostática - σ_c3=σ_c2=σ_c1, la tensión principal equivalente σ_c,eq tendrá valor cero y el factor kappa tenderá a infinito.

Puede encontrar más información aquí: Tensión triaxial – el efecto de confinamiento activo

Ecuaciones de equilibrio

La teoría de pequeñas deformaciones permite plantear la ecuación de equilibrio sobre el volumen sin deformar mediante un enfoque de primer orden. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.1\qquad Equilibrium equations and graphical representation on infinitesimal element}}}$$

Ecuaciones de compatibilidad

Un cuerpo sólido está formado por volúmenes infinitesimales o puntos materiales, cada uno de los cuales está conectado con los demás sin huecos ni solapes. Deben cumplirse condiciones matemáticas para evitar la aparición de huecos o solapes cuando un cuerpo continuo experimenta deformación.

Ecuaciones constitutivas

Las ecuaciones constitutivas que rigen el comportamiento de los elementos 3D desempeñan un papel fundamental en el análisis del comportamiento del material en la mecánica estructural. Estas ecuaciones se formulan para contemplar el comportamiento isótropo no lineal, que es válido para los elementos de bloque sólido en IDEA StatiCa Detail. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1.4.2\qquad Linearly elastic isotropic compliance matrix}}}$$

El CSFM 3D considera campos de tensiones continuos en el hormigón (elementos finitos 3D), complementados con elementos discretos tipo «barra» que representan la armadura (elementos finitos 1D). Por tanto, la armadura no está embebida de forma difusa en los elementos finitos 3D del hormigón, sino que se modela de forma explícita y se conecta a ellos. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.1.1\qquad Rendering of the calculation model for concrete block and out-of-plane wall}}}$$

El modelo de análisis no lineal (inelástico) por elementos finitos se crea mediante varios tipos de elementos finitos utilizados para modelar el hormigón, la armadura y la adherencia entre ambos. Los elementos de hormigón y de armadura se mallan primero de forma independiente y después se interconectan mediante restricciones multipunto (elementos MPC). Esto permite que la armadura ocupe cualquier posición, sin limitarse a los nodos de la malla tetraédrica. Para verificar la longitud de anclaje, se insertan elementos de adherencia y de muelle de extremo de anclaje entre la armadura y los elementos MPC.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.1\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC and bond elements}}}$$

Hormigón

El hormigón se analiza mediante elementos tetraédricos mixtos con rotaciones nodales. Los elementos tetraédricos permiten mallar regiones de cualquier topología, mientras que la formulación implementada garantiza resultados de deformación precisos (sin tensiones cortantes espurias, conocidas como efecto de bloqueo por cortante) incluso con una malla gruesa que no sería adecuada para la formulación de elementos tetraédricos lineales. 

Se utiliza integración completa. Esto significa que cada elemento dispone de cuatro puntos de integración situados dentro del volumen. Dicha integración proporciona un campo de deformaciones y tensiones preciso, lo que permite evaluar y presentar adecuadamente los resultados en todo el volumen. A continuación, los criterios de parada se establecen a partir del valor en el punto de integración.

Armadura

Las barras de armadura se modelan mediante elementos unidimensionales de tipo "barra" de dos nodos (CROD), que solo tienen rigidez axial. Estos elementos se conectan a elementos especiales de "adherencia", desarrollados para modelar el comportamiento de deslizamiento entre una barra de armadura y el hormigón circundante. Posteriormente, estos elementos de adherencia se conectan mediante elementos MPC (restricción multipunto) a la malla que representa el hormigón. Este enfoque permite mallar de forma independiente la armadura y el hormigón, mientras que su interconexión se realiza después.

Elementos de adherencia

La longitud de anclaje se verifica implementando las tensiones cortantes de adherencia entre los elementos de hormigón (3D) y los elementos de barra de armadura (1D) en el modelo de elementos finitos. Para ello, se desarrolló el tipo de elemento finito de "adherencia".

El elemento de adherencia se define como un elemento finito de tipo lámina conectado, mediante su primera capa, a los elementos que representan la armadura y, mediante la segunda capa, a la malla de hormigón a través de restricciones multipunto (elementos MPC). Cabe señalar que en este artículo el elemento de adherencia se representa siempre con una altura distinta de cero, que sin embargo se define como infinitesimal en el modelo.

El comportamiento de este elemento se describe mediante la tensión de adherencia, τ_b, como una función bilineal del deslizamiento entre los nodos superior e inferior, δu, véase (Fig. 2.2.2).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.2\qquad (a) Conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) shear-deformation function}}}$$

El módulo de rigidez elástica de la relación adherencia-deslizamiento, Gb, se define de la siguiente manera:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

k_g            coeficiente que depende de la superficie de la barra de armadura (por defecto kg = 0,2)

E_c            módulo de elasticidad del hormigón (se toma como Ecm en el caso de EN)

Ø             el diámetro de la barra de armadura

Los valores de cálculo (valores mayorados) de la tensión cortante de adherencia última, f_bd, proporcionados en las normas de diseño seleccionadas, EN 1992-1-1 o ACI 318-19, se utilizan para verificar la longitud de anclaje. El endurecimiento de la rama plástica se calcula por defecto como Gb/105.

Muelle de anclaje

La disposición de extremos de anclaje en las barras de armadura (es decir, curvas, ganchos, lazos…), que cumpla las prescripciones de las normas de diseño, permite reducir la longitud de anclaje básica de las barras (l_b,net) mediante un determinado factor β (denominado a continuación "coeficiente de anclaje"). El valor de cálculo de la longitud de anclaje (lb) se calcula entonces de la siguiente manera:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.2.3\qquad Model for the reduction of the anchorage length: a) Anchorage force along the anchorage length of }}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{the reinforcement bar, b) slip-anchorage force constitutive law}}}$$

La reducción de la longitud de anclaje se incluye en el modelo de elementos finitos mediante un elemento de muelle en el extremo de la barra (Fig. 2.2.3a), que se define por el modelo constitutivo mostrado en (Fig. 2.2.3b). La fuerza máxima transmitida por este muelle (F_au) es:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

donde:

β             el coeficiente de anclaje según el tipo de anclaje

A_s            la sección transversal de la barra de armadura

f_yd           el valor de cálculo (valor mayorado) del límite elástico de la armadura

Placa base

La placa base se modela como un elemento tipo lámina elástico. El material de acero utilizado para las placas base se define en la pestaña Materiales. La única propiedad física es el módulo de elasticidad E.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.1\qquad The base plate material definition}}}$$

La placa base puede cargarse mediante cargas puntuales (Fx, Fy, Fz, Mx, My, Mz) y mediante un grupo de fuerzas (Fx, Fy, Fz), utilizado principalmente para cargar modelos exportados desde IDEA StatiCa Connection. Tenga en cuenta que las fuerzas y los momentos puntuales cargan directamente el nodo correspondiente de la placa base. Esto significa que no hay redistribución, salvo la debida a la rigidez de la placa base. 

Esta implementación permite importar efectos de carga desde IDEA StatiCa Connection que se aplican a la placa base en la ubicación de los elementos finitos de soldadura individuales, con el valor y la dirección determinados a partir de la tensión general de dicho elemento finito de soldadura. Puede encontrar más información en el capítulo correspondiente de este documento.

La segunda opción de carga es el muñón, que representa un tramo corto del pilar situado sobre la placa base. El muñón se modela como una estructura de elementos tipo lámina elásticos y se comporta como una interfaz físicamente precisa entre los esfuerzos internos y la placa. El usuario selecciona una sección transversal para el muñón de una base de datos de secciones normalizadas. El conjunto de esfuerzos internos de 6 componentes (fuerzas y momentos) se aplica en un único punto de la cara inferior del muñón, es decir, la base del pilar. Las restricciones transfieren las fuerzas a la cara superior del muñón, desde donde se redistribuyen de forma natural a través del muñón hacia la placa base, los anclajes y el hormigón.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.2\qquad The load transfer through the stub}}}$$

Mecanismo de transferencia del cortante (de la placa base al bloque de hormigón)

Entre la placa base y el hormigón se define un contacto con rozamiento que trabaja solo a compresión. Para la transferencia del cortante, el usuario puede elegir entre tres opciones:

• Mediante anclajes
• Mediante rozamiento
• Mediante llave de corte

El software no permite combinar estos mecanismos de transferencia del cortante. 

El rozamiento: el coeficiente de rozamiento debe introducirse como valor de cálculo (mayorado). Si la fuerza de cortante resultante F_xy supera la fuerza de compresión F_z multiplicada por el coeficiente de rozamiento μ, el cálculo se detendrá y no se aplicarán todas las cargas al modelo. La condición se expresa de la siguiente forma:

$$\frac {F_{xy}}{ \mu \cdot F_{z}}\le 1$$

Esto puede verse en el siguiente ejemplo, en el que se consideran dos casos de carga. 

• LC1 - Tipo permanente - F_z = 100 kN
• LC2 - Tipo variable - F_x = 100 kN

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.3\qquad Load input for example explaining shear transfer by friction}}}$$

En el primer paso de cálculo se aplica toda la carga permanente. A continuación, la carga variable se aplica gradualmente hasta alcanzar el valor de la fuerza de compresión multiplicada por el coeficiente de rozamiento.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.4\qquad Results from example explaining shear transfer by friction}}}$$

El gráfico de la Figura 2.3.5 define el comportamiento del contacto con rozamiento entre la placa base y el hormigón.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.5\qquad Force-displacement graph describing the behavior of frictional contact}}}$$

El valor de F_zμ difiere en cada incremento del cálculo, mientras que el valor de la deformación máxima por cortante u_xy es constante. 

Si la fuerza normal de compresión F_z y la fuerza de cortante F_xy se introducen en un mismo tipo de caso de carga (por ejemplo, solo permanente) y no se cumple la condición F_xy / (F_zμ) ≤ 1, no se aplicará ninguna carga al modelo, ya que la condición no se cumple en ningún incremento del cálculo.

La llave de corte se conecta con la malla de hormigón mediante restricciones que permiten únicamente la transferencia de tensiones normales de compresión. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.6\qquad Shear lug transfer of shear mechanism}}}$$

La llave de corte se modela con elementos tipo lámina elásticos, donde el módulo de elasticidad E define el material.

No se evalúan ni se muestran los resultados de la placa base ni de la llave de corte.

 Opciones de la placa base  (separación, mortero de nivelación)

Se dispone del siguiente conjunto de opciones de separación, totalmente alineadas con la aplicación Connection.

• Directo
• Junta de mortero – tuercas por la parte superior
• Junta de mortero – tuercas por las partes superior e inferior
• Holgura

La capa de mortero se modela como un elemento tipo lámina, teniendo en cuenta su rigidez. Tenga en cuenta que los elementos tipo lámina son incompresibles en la dirección de su espesor. Esto ayuda a redistribuir las fuerzas locales al hormigón y es válido para los espesores de asiento habituales en la práctica, de 25-50 mm.

La diferencia entre tuercas solo en la parte superior (unión articulada entre el anclaje y la placa base) y tuercas en las partes superior e inferior (unión empotrada entre el anclaje y la placa base) influye notablemente en la resistencia a cortante desde el punto de vista del aplastamiento del hormigón.

Anclajes

Los elementos finitos que representan los anclajes se modelan para poder transferir fuerzas normales y de cortante al hormigón, teniendo en cuenta también la rigidez a flexión de los anclajes. Para modelar el deslizamiento entre el anclaje y el hormigón circundante se utilizan los mismos elementos de adherencia y MPC que para la armadura, con la diferencia de que:

• Para los anclajes postinstalados (adhesivos), es necesario especificar la resistencia de cálculo de adherencia.
• Para las placas de arandela y los pernos con cabeza, la adherencia se desprecia a lo largo del vástago del anclaje. Toda la carga axial se transfiere entonces al hormigón a través de la placa de arandela o de la cabeza del anclaje.

Adherencia dentro del recubrimiento de hormigón - En los anclajes conectados al hormigón por adherencia a lo largo del vástago, es decir, los anclajes de armadura hormigonados in situ y los anclajes postinstalados (adhesivos), los elementos de adherencia no están activos dentro del recubrimiento de hormigón. La aplicación determina el recubrimiento automáticamente como la distancia desde la superficie del hormigón hasta la cara de la armadura superficial (Fig. 2.3.7a). A lo largo de esta longitud, la resistencia de adherencia entre el anclaje y el hormigón es nula, y el anclaje solo se conecta al hormigón mediante elementos de adherencia por debajo del recubrimiento, en la parte restante de su profundidad de empotramiento (Fig. 2.3.7b). Por tanto, toda la carga transferida por adherencia se introduce en el hormigón confinado por la armadura superficial, y las tensiones de adherencia del anclaje dentro del recubrimiento son nulas en los resultados.

El motivo es el diferente comportamiento a fallo del recubrimiento de hormigón. 3D CSFM utiliza un modelo de material plástico para el hormigón que permite la redistribución de tensiones (véase el capítulo 1.2). Sin embargo, el recubrimiento de hormigón próximo a una superficie libre falla de forma frágil, regida por la mecánica de la fractura, sin ninguna reserva plástica. Si la adherencia estuviera activa dentro del recubrimiento, el modelo desarrollaría un campo de compresión en una zona que en la realidad no puede soportarlo de forma fiable, y sobrestimaría la contribución del recubrimiento a la resistencia del anclaje. Este error aumenta con el espesor del recubrimiento. Además, el recubrimiento es la parte del modelo expuesta al ambiente (carbonatación, cloruros, agentes agresivos), por lo que sus propiedades pueden degradarse durante la vida útil de la estructura. Despreciar la adherencia dentro del recubrimiento es, por tanto, una hipótesis conservadora, coherente con las hipótesis básicas de 3D CSFM.

Esta hipótesis se aplica únicamente a los anclajes que transfieren la carga al hormigón por adherencia a lo largo del vástago. Los pernos con cabeza y los anclajes con placas de arandela transfieren la carga axial a través de la cabeza o de la placa, con adherencia nula a lo largo del vástago, por lo que no se ven afectados. Tampoco se ve afectada la armadura ordinaria. La influencia sobre la resistencia es más acusada en los anclajes cuya resistencia está regida por la adherencia y que se instalan en elementos con un recubrimiento de hormigón grande, ya que una mayor parte de la profundidad de empotramiento no contribuye.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.7\qquad Anchor with bond along the shank}}}$$

Los anclajes pueden conectarse con las placas base. Para esta conexión se utiliza una restricción totalmente no lineal que une el extremo del anclaje con un nodo de la placa base. Esta restricción permite controlar todos los grados de libertad para garantizar, por ejemplo, que los anclajes no transfieran fuerza de compresión desde la placa base, o que el anclaje no transfiera cortante al modelar una llave de corte, etc. 

Las propiedades de Interconexión con la placa base de los anclajes permiten al usuario controlar si el anclaje se conectará con la placa base mediante la restricción mencionada anteriormente y de qué manera. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.8\qquad Interconnection with base plate settings}}}$$

La casilla Transferencia del cortante permite controlar si el anclaje y la placa base estarán conectados o no en lo que respecta al cortante. Tenga en cuenta que no se admite combinar mecanismos de transferencia del cortante, por lo que, para la transferencia por rozamiento y mediante llave de corte, esta casilla no es relevante. Por otro lado, para la transferencia del cortante mediante anclajes, este campo ofrece la opción de excluir algunos anclajes de la transferencia del cortante.

La casilla Transferencia de esfuerzos axiles permite controlar si el anclaje y la placa base estarán conectados o no en la dirección axial. Se utiliza principalmente para la exportación desde la funcionalidad Connection (véase el capítulo correspondiente). Para el modelado manual, tiene sentido mantener esta casilla siempre activada.

Cuando la casilla está desactivada, el anclaje queda desconectado tanto a tracción como a compresión (en el caso de un modelo exportado desde la aplicación Connection, la conexión se sustituye por un par de fuerzas). Si la casilla está activada, el anclaje siempre está conectado a la placa a tracción, pero la conexión a compresión depende del tipo de anclaje y del tipo de separación. Para más información, véase la Figura 2.3.8.

Roscas cortadas

Se controla mediante una casilla en las propiedades del anclaje y tiene 2 finalidades:

1. Define cómo se conecta el anclaje a la placa base:

• Para los pernos con cabeza y la armadura hormigonada in situ conectados a la placa base (no para las placas embebidas), distingue entre una unión atornillada (articulada) y una unión soldada (empotrada), visible en la escena 3D.
• Tenga en cuenta que la forma de conexión entre el anclaje y la placa influye de manera significativa en la resistencia a cortante desde el punto de vista del aplastamiento del hormigón.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.9\qquad Cut threads options}}}$$

2. En el caso del Eurocódigo, la resistencia del anclaje con roscas cortadas se reduce de acuerdo con EN 1993-1-8 3.6.1 (3). Puede configurarse en los ajustes del proyecto. Para las barras roscadas y las placas de arandela, se recomienda mantener este ajuste activado en todo momento.

Interconexión axial y a rotación entre el anclaje y la placa base

Como ya se ha mencionado en este capítulo, en función del tipo de anclaje, del ajuste de separación y de si se consideran o no las roscas cortadas, los anclajes se conectan a la placa base de diferentes maneras. En cuanto a la conexión a rotación, puede ser Articulada / Empotrada. En cuanto a la conexión axial, puede ser Tracción / Tracción + Compresión. Los tipos de conexión a rotación influyen notablemente en la resistencia a cortante desde el punto de vista del aplastamiento del hormigón. En una escena 3D es fácil distinguir si un anclaje está conectado como empotrado o articulado según la presencia de tuercas; véase la Figura 2.3.10.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.10\qquad Rotational constraints}}}$$

La siguiente tabla muestra todas las combinaciones posibles de uniones de la placa base con los anclajes y las correspondientes conexiones a rotación y axiales.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.11\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Placas embebidas

La placa embebida es un caso particular de placa base. Se modela de forma análoga, con las siguientes diferencias:

Dado que la placa está embebida dentro de un bloque de hormigón, no se puede especificar ningún tipo de separación. Se desprecia la profundidad de embebido de la placa. La placa, modelada mediante elementos tipo lámina, se coloca directamente sobre la superficie del hormigón. Por lo tanto, no se considera que las superficies laterales de la placa estén apoyadas por el hormigón.

Solo es posible utilizar armadura y pernos con cabeza que, al igual que los anclajes clásicos, pueden configurarse para estar conectados a la placa en las direcciones axial y de cortante. La experiencia práctica y algunos documentos nacionales indican la necesidad de dimensionar los pernos con cabeza únicamente para cortante y la armadura para la carga axial. Desde el punto de vista de las restricciones axiales y a rotación, los anclajes siempre se conectan como Empotrados y Tracción + Compresión.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.3.12\qquad Axial and rotational constraints between an anchor and a base plate}}}$$

Los elementos finitos se implementan internamente y el modelo de análisis se genera automáticamente, sin necesidad de que intervenga un usuario experto. Una parte importante de este proceso es el mallado.

Hormigón

Todos los elementos de hormigón se mallan conjuntamente. La aplicación calcula automáticamente un tamaño de elemento recomendado en función del tamaño y la forma de la estructura, teniendo en cuenta el diámetro de la barra de armadura más grande. Además, el tamaño de elemento recomendado garantiza que se generen al menos cuatro elementos en las partes delgadas de la estructura, como pilares esbeltos o muros delgados, para asegurar resultados fiables en estas zonas. El proyectista siempre puede seleccionar un tamaño de elemento de hormigón definido por el usuario modificando el multiplicador del tamaño de malla predeterminado.

Armadura

La armadura se divide en elementos con una longitud aproximadamente igual al tamaño del elemento de hormigón. Una vez generadas las mallas de armadura y de hormigón, se conectan entre sí mediante elementos de adherencia, como se muestra en la Fig. 2.2.1.

Refinamiento

La malla de hormigón se refina automáticamente alrededor de los anclajes, alrededor de las llaves de corte y bajo el muñón de carga. El tamaño de la malla refinada es aproximadamente la mitad del de la malla de hormigón básica. El radio de la zona refinada se define aproximadamente como el tamaño del elemento multiplicado por dos.

Se utiliza un algoritmo estándar completo de Newton-Raphson (NR) para obtener la solución de un problema no lineal del Método de los Elementos Finitos. 

En general, el algoritmo NR no suele converger cuando se aplica la carga completa en un único paso. Un enfoque habitual, que también se emplea aquí, consiste en aplicar la carga de forma secuencial en varios incrementos y utilizar el resultado del incremento de carga anterior como punto de partida de la solución de Newton del siguiente. Para ello, se implementó un algoritmo de control de carga sobre el método de Newton-Raphson. Si las iteraciones NR no convergen, el incremento de carga actual se reduce a la mitad de su valor y se repiten las iteraciones NR.

Un segundo objetivo del algoritmo de control de carga es determinar la carga crítica, que corresponde a ciertos “criterios de parada”: en concreto, la deformación máxima en el hormigón, el deslizamiento máximo en los elementos de adherencia, el desplazamiento máximo en los elementos de anclaje y la deformación máxima en las barras de armadura. La carga crítica se obtiene mediante el método de bisección. Si se supera el criterio de parada en cualquier punto del modelo, se descartan los resultados del último incremento de carga y se calcula un nuevo incremento de la mitad del tamaño del anterior. Este proceso se repite hasta que se obtiene la carga crítica con una determinada tolerancia de error.

Para el hormigón, el criterio de parada se fijó en una deformación del 5 % a compresión (es decir, aproximadamente un orden de magnitud superior a la deformación real de rotura del hormigón) y del 7 % a tracción en los puntos de integración de los elementos de lámina. A tracción, el valor se fijó para permitir que se alcance primero la deformación límite de la armadura, que suele rondar el 5 % sin considerar la rigidización a tracción. A compresión, el valor se eligió entre varias alternativas por ser lo bastante grande como para que los efectos del aplastamiento sean visibles en los resultados, pero lo bastante pequeño como para no causar demasiados problemas de estabilidad numérica.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 2.5.1\qquad Constitutive law of bond and anchorage elements used for anchorage length verification: a) Bond shear stress}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{slip response of bond element, b) force-displacement response of an anchorage element}}}$$

Para la armadura, el criterio de parada se define en términos de tensiones. Dado que se modelan las tensiones en la fisura, el criterio a tracción corresponde a la resistencia a tracción de la armadura teniendo en cuenta el coeficiente de seguridad. Se utiliza el mismo valor para el criterio a compresión.

El criterio de parada en los elementos de adherencia y en los muelles de anclaje es α·δ_umax, donde δ_umax es el deslizamiento máximo utilizado en las verificaciones normativas y α = 10.

Otros criterios de parada para anclajes:

• Arrancamiento de anclajes con cabeza (tensión máxima de contacto a compresión en la cara superior de la cabeza del anclaje). 
• Fuerza cortante máxima que puede transmitir el anclaje desde el punto de vista del aplastamiento del hormigón.

Estos dos criterios dependen de la norma seleccionada. Puede encontrar más información sobre ellos en las secciones que explican las partes del análisis estructural que dependen de la norma en la aplicación.

Los resultados se presentan de forma independiente para el hormigón y para los elementos de armadura. Los valores de tensión y deformación en el hormigón se calculan en los puntos de integración de los elementos de volumen. Sin embargo, como no resulta práctico presentar los datos de esta manera, los resultados se presentan por defecto en los nodos, como el valor máximo de la tensión de compresión de los puntos de integración de Gauss adyacentes en los elementos conectados. Cabe señalar que esta representación puede subestimar localmente los resultados en los bordes comprimidos de los elementos cuando el tamaño del elemento finito es similar al canto de la zona comprimida.

Los resultados de los elementos finitos de armadura son constantes para cada elemento (un valor, p. ej., para las tensiones en el acero) o lineales (dos valores, para los resultados de adherencia). Para los elementos auxiliares, como los elementos de las placas de apoyo, solo se presentan las deformaciones.

El modelo de IDEA StatiCa Detail no siempre tiene que modelarse desde cero ni a partir de una plantilla. También existe la opción de importar el modelo, incluidos los efectos de carga, desde IDEA StatiCa Connection. En Connection, la superestructura de acero situada sobre el bloque de hormigón se analiza mediante un modelo 3D no lineal, mientras que el propio bloque de hormigón se representa de forma simplificada mediante una cimentación Winkler. En Detail, en cambio, el bloque de hormigón armado se modela de forma explícita y se verifica en detalle.

Al transferir el modelo, en Detail solo se importan la placa base, los anclajes y el bloque de hormigón; el elemento de acero en sí (y su rigidez global) no se importa. En el modelo de Connection, este elemento de acero está unido a la placa base mediante una soldadura. Las tensiones en los elementos finitos de la soldadura se integran y se convierten en un conjunto de fuerzas equivalentes que cargan la placa base en Detail. De este modo, el efecto del elemento de acero ausente se representa mediante fuerzas de soldadura aplicadas directamente a la placa base.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2.7.1\qquad Loads imported from IDEA StatiCa Connection}}}$$

Debido a la diferente definición de la rigidez entre Connection y Detail (elemento de acero ausente, distintos modelos de material y representación del hormigón), una unión directa entre la placa base y los anclajes en Detail conduciría, en general, a una redistribución de cargas diferente y, por tanto, a distintas fuerzas de tracción en los anclajes. Para evitarlo, los anclajes se importan desconectados axialmente de la placa base. En lugar de transferir las fuerzas axiales mediante el contacto físico, las tracciones en los anclajes obtenidas de Connection se aplican directamente a los anclajes en Detail. Al mismo tiempo, se aplica una fuerza igual y de sentido opuesto a la placa base en la posición de cada anclaje, de modo que se conserve el equilibrio global del modelo. Este par de fuerzas (una actúa sobre el anclaje y la otra sobre la placa base) representa la interacción entre la placa base y el anclaje sin permitir una redistribución adicional de las fuerzas axiales en Detail. Estas dos fuerzas opuestas se ilustran en la Figura 2.7.1.

Sin embargo, las fuerzas cortantes siguen transfiriéndose mediante la unión entre la placa base y los anclajes (o la llave de corte, o el rozamiento). Esto es posible porque se utiliza una restricción para conectar la placa base y los anclajes a cortante, lo que permite controlar los grados de libertad pertinentes de esta interconexión. Por tanto, en Detail el usuario puede modificar la trayectoria de transmisión del cortante (por ejemplo, liberando el cortante en dos de los cuatro anclajes y manteniendo solo los anclajes de borde activos a cortante), mientras que las fuerzas axiales permanecen tal como se importaron de Connection.

Para las placas hormigonadas in situ, adoptamos un enfoque diferente. Varias recomendaciones europeas de cálculo exigen que solo se considere que las barras de armadura resisten las fuerzas axiales, mientras que se supone que los pernos con cabeza transfieren únicamente cortante. Dado que IDEA StatiCa Connection no puede separar internamente durante la exportación las fuerzas axiales en los anclajes de armadura de las de los pernos con cabeza, los anclajes de las placas hormigonadas in situ se importan a Detail totalmente conectados, también en la dirección axial. Esto permite al usuario activar en Detail una opción de cálculo en la que los anclajes de armadura soportan únicamente la tracción axial y los pernos con cabeza soportan únicamente el cortante. En este flujo de trabajo, la fuerza axial asignada originalmente a los pernos con cabeza debe redistribuirse a los anclajes de armadura dentro del modelo de Detail. Dicha redistribución no sería posible si utilizáramos el enfoque del par de fuerzas opuestas descrito anteriormente, por lo que las placas hormigonadas in situ se tratan de forma diferente.

Estado límite último

Las distintas verificaciones requeridas por cada norma de cálculo se evalúan a partir de los resultados directos que proporciona el modelo. Las verificaciones en ELU se realizan para la resistencia del hormigón, la resistencia de la armadura y el anclaje (tensiones tangenciales de adherencia).

Para lograr un diseño eficiente de un elemento estructural, se recomienda encarecidamente realizar un análisis preliminar que tenga en cuenta los siguientes pasos:

• Elija una selección de las combinaciones de carga más críticas.
• Calcule únicamente las combinaciones de carga del estado límite último (ELU).
• Para reducir el tiempo de cálculo y detectar posibles problemas, considere utilizar una malla gruesa aumentando el multiplicador del tamaño de malla predeterminado en la Configuración (Fig. 3.1.1). Si el modelo funciona correctamente, restablezca el multiplicador a un factor de 1.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 3.1.1\qquad Mesh multiplier}}}$$

Un modelo de este tipo se calcula muy rápidamente, lo que permite a los proyectistas revisar de forma eficiente el detallado del elemento estructural y repetir el análisis hasta que se cumplan todos los requisitos de verificación para las combinaciones de carga más críticas. Una vez cumplidos todos los requisitos de verificación de este análisis preliminar, se recomienda incluir las combinaciones de carga últimas completas y utilizar un tamaño de malla fino (el tamaño de malla recomendado por el programa). Los usuarios pueden modificar el tamaño de malla mediante el multiplicador, que puede tomar valores de 0,5 a 5 (Fig. 3.1.1).

Los resultados y verificaciones básicos (tensión, deformación y utilización (es decir, el valor calculado/valor límite de la norma)), así como la dirección de las tensiones principales en el caso de los elementos de hormigón) se muestran mediante diferentes gráficos en los que la compresión se representa generalmente en rojo y la tracción en azul. Se pueden resaltar los valores mínimos y máximos globales de toda la estructura, así como los valores mínimos y máximos de cada parte definida por el usuario. En una pestaña independiente del programa se pueden mostrar resultados avanzados, como los valores tensoriales, las deformaciones de la estructura y las cuantías de armadura (efectiva y geométrica) utilizadas para calcular la rigidización a tracción de las barras de armadura. Además, se pueden presentar las cargas y las reacciones para las combinaciones o los casos de carga seleccionados.

Hormigón - ELU

El modelo de hormigón implementado en 3D CSFM se basa en las leyes constitutivas de compresión uniaxial prescritas por EN 1992-1-1 para el cálculo de secciones transversales, que solo dependen de la resistencia a compresión. En 3D CSFM se utiliza por defecto el diagrama parábola-rectángulo especificado en EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1) (Fig. 4.1.1a), aunque los proyectistas también pueden elegir una relación elástica-plástica ideal más simplificada según EN 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (2) (Fig. 4.1.1b). La resistencia a tracción se desprecia, como en el cálculo clásico de hormigón armado.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig 4.1.1\qquad The stress-strain diagrams of concrete for ULS: a) parabola-rectangle diagram; b) bilinear diagram}}}$$

La implementación de 3D CSFM en IDEA StatiCa Detail no considera un criterio de fallo explícito en términos de deformaciones para el hormigón a compresión (es decir, una vez alcanzada la tensión máxima, considera una rama plástica con ε_cu2 (ε_cu3) con un valor del 5 %, mientras que EN 1992-1-1 supone una deformación última inferior al 0,35 %). Esta simplificación no permite verificar la capacidad de deformación de las estructuras que fallan por compresión. Sin embargo, su capacidad última f_cd según EN 1992-1-1 3.1.3 se predice correctamente cuando se considera el aumento de la fragilidad del hormigón al aumentar su resistencia mediante el factor de reducción $\eta_{fc}$ definido en fib Model Code 2010 de la siguiente manera:

$$f_{cd}={\alpha_{cc}} \cdot \frac{f_{ck,red}}{γ_c} = {\alpha_{cc}} \cdot \frac{\eta _{fc} \cdot f_{ck}}{γ_c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f_{ck}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

donde:

α_cc es el coeficiente que tiene en cuenta los efectos a largo plazo sobre la resistencia a compresión y los efectos desfavorables derivados de la forma de aplicación de la carga. Se obtiene según EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (1). El valor por defecto es 1,0.

f_ck es la resistencia característica del hormigón medida en probeta cilíndrica (en MPa para la definición de $\eta_{fc}$).

Armadura

Por defecto, se considera el diagrama tensión-deformación bilineal idealizado para las barras de armadura desnudas definido en EN 1992-1-1, apartado 3.2.7 (Fig. 4.1.2). La definición de este diagrama solo requiere conocer las propiedades básicas de la armadura durante la fase de cálculo (resistencia y clase de ductilidad). Siempre que se conozca, puede considerarse la relación tensión-deformación real de la armadura (laminada en caliente, trabajada en frío, templada y autorrevenida, …). El diagrama tensión-deformación de la armadura puede ser definido por el usuario, pero en ese caso no es posible considerar el efecto de rigidización a tracción (no es posible calcular la anchura de fisura). El uso del diagrama tensión-deformación con una rama superior horizontal no permite verificar la durabilidad estructural. Por tanto, es necesaria la verificación manual de los requisitos normativos de ductilidad.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement: a) bilinear diagram with an inclined top branch; b) bilinear diagram}}}$$ $$\textsf{\textit{\footnotesize{with a horizontal top branch.}}}$$

La rigidización a tracción (Fig. 4.1.3) se tiene en cuenta automáticamente modificando la relación tensión-deformación de entrada de la barra de armadura desnuda para captar la rigidez media de las barras embebidas en el hormigón (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

El Método del Campo de Tensiones Compatible cumple con las normativas de diseño modernas. Como los modelos de cálculo solo utilizan propiedades de material estándar, el formato de coeficientes parciales de seguridad prescrito en las normativas puede aplicarse sin ninguna adaptación. De este modo, las cargas de entrada se mayoran y las propiedades características de los materiales se reducen mediante los coeficientes de seguridad correspondientes prescritos en las normativas, exactamente igual que en el análisis convencional del hormigón. Los valores de los coeficientes de seguridad de los materiales prescritos en EN 1992-1-1 cap. 2.4.2.4 y los coeficientes para anclajes prescritos en EN 1992-4, EN 1993-1-8 y EN 1994-1-1 se establecen por defecto, pero el usuario puede modificar los coeficientes de seguridad en la Normativa y configuración de cálculo (Fig. 4.2.1).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.1\qquad The setting of  material safety factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Los coeficientes de seguridad de las cargas deben ser definidos por el usuario en las Reglas de combinación para cada combinación no lineal de casos de carga (Fig. 4.2.2). Para todas las plantillas implementadas en Idea StatiCa Detail, los coeficientes parciales de seguridad ya están predefinidos.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.2.2\qquad The setting of  load partial factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Mediante combinaciones de coeficientes parciales de seguridad definidas adecuadamente por el usuario, también es posible calcular con CSFM 3D utilizando el método del coeficiente global de resistencia (Navrátil, et al. 2017), pero este enfoque se utiliza muy raramente en la práctica de diseño. Algunas guías recomiendan utilizar el método del coeficiente global de resistencia para el análisis no lineal. Sin embargo, en los análisis no lineales simplificados (como el CSFM 3D), que solo requieren las propiedades de los materiales utilizadas en los cálculos manuales convencionales, sigue siendo preferible utilizar el formato de coeficientes parciales de seguridad.

Las diferentes verificaciones requeridas por la norma EN 1992-1-1 se evalúan a partir de los resultados directos proporcionados por el modelo. Las verificaciones en ELU se realizan para la resistencia del hormigón, la resistencia de la armadura y el anclaje (tensiones tangenciales de adherencia).

Resistencia - Hormigón

La resistencia del hormigón a compresión se evalúa como la relación entre la tensión principal equivalente máxima σ_c,eq obtenida del análisis por EF y el valor límite σ_c,lim = f_cd.

La tensión principal equivalente expresa la tensión uniaxial equivalente para un estado tensional triaxial general.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Por tanto, el valor σ_c,eq puede compararse directamente con los límites de resistencia uniaxial según 1992-1-1 Cl. 3.1.7 (1).

Esta expresión se deriva de la implementación de la teoría de plasticidad de Mohr-Coulomb, suponiendo de forma conservadora un ángulo de rozamiento interno φ = 0°.

Resistencia - Armadura

La resistencia de la armadura se evalúa tanto a tracción como a compresión como la relación entre la tensión en la armadura en las fisuras σ_sr y el valor límite especificado σ_s,lim:

$σ_{s,lim} = \dfrac{k \cdot f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\textsf{\small{for bilinear diagram with inclined top branch}}$

$σ_{s,lim} = \dfrac{f_{yk}}{γ_s}\qquad\qquad\,\,\,\,\textsf{\small{for bilinear diagram with horizontal top branch}}$

donde:

f_yk        es el límite elástico de la armadura según EN 1992-1-1 Cl. 3.2.3,

k          es la relación entre la resistencia a tracción f_tk y el límite elástico,
            $k = \dfrac{f_{tk}}{f_{yk}}$

γ_s             es el coeficiente parcial de seguridad de la armadura.

Resistencia - Anclajes

Los anclajes se verifican frente a tensiones normales de forma similar a la armadura, determinando el valor límite σ_s,lim.

Además, se especifican para los anclajes los valores N_Ed y V_Ed, que se comparan con N_Rd,s y V_Rd,s según la norma seleccionada. La norma se elige en función del tipo de anclaje utilizado en la Configuración del proyecto.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.1\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Anchor check - Design code selection}}}$$

Dado que las distintas normas adoptan enfoques diferentes para la verificación de anclajes, el usuario puede elegir las siguientes normas para cada tipo de anclaje:

• Anclajes de material de pernos a tracción y/o cortante - EN 1992-4, EN 1993-1-8
• Pernos con cabeza a tracción y/o cortante - EN 1992-4, EN 1994-1-1
• Anclajes realizados a tracción y/o cortante - EN 1992-4, EN 1992-1-1
• Anclajes a compresión y/o flexión - EN 1993-1-1

Verificación a tracción según EN 1992-4 - 7.2.1.3

$$N_{Rd,s} = \frac{c \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

donde:

• c – reducción por roscas cortadas  
• f_uk – resistencia a tracción mínima del perno
• A_s – área resistente a tracción del perno de anclaje (reducida por la rosca en el caso de material de perno)
• $\gamma_{Ms} = 1.2 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.4$ – coeficiente parcial de seguridad para acero 
• f_yk – límite elástico mínimo del perno

Verificación a tracción según EN 1993-1-8 - 3.6.1

$$N_{Rd,s} = F_{t.Rd} = \frac{c \cdot k_2 \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$ 

donde:

• c – reducción de la resistencia a tracción de pernos con rosca cortada según EN 1993-1-8 – Cl. 3.6.1. (3) 
• k₂ = 0,9 – factor para anclajes no avellanados 
• f_ub – resistencia última a tracción del perno de anclaje 
• A_s – área resistente a tracción del perno de anclaje (reducida por la rosca en el caso de material de perno)
• γ_M2 =1,25 – coeficiente parcial de seguridad para pernos (EN 1993-1-8, Tabla 2.1) 

Verificación a tracción según EN 1992-1-1 - 3.2.7

$$N_{Rd,s} = \frac{kf_{yk}}{\gamma_{S}}$$

donde:

• $k=(f_{t}/f_{y})$ se indica en el Anexo C
• f_yk - límite elástico característico
• γ_M2 =1,15 – coeficiente parcial de seguridad para la armadura

Verificación a compresión según EN 1993-1-1 - 6.3

Se utiliza para todos los anclajes sometidos a una fuerza de compresión normal, independientemente de su material o del tipo de separación (stand-off). 

$$F_{c,Rd}=\frac{\chi\,A_s f_y}{\gamma_{M2}}$$

Donde:

• $\chi=\dfrac{1}{\Phi+\sqrt{\Phi^2-\bar{\lambda}^2}}\le 1$ – coeficiente de reducción por pandeo
• $\Phi=0.5\left[1+\alpha\left(\bar{\lambda}-0.2\right)+\bar{\lambda}^2\right]$ – valor para determinar el coeficiente de reducción por pandeo χ
• $\alpha=0.49$ – coeficiente de imperfección para la curva de pandeo c (correspondiente a la sección circular maciza)
• $\bar{\lambda}=\sqrt{\dfrac{A_s f_y}{N_{cr}}}$ – esbeltez relativa

  • A_s – el área del anclaje reducida por la rosca
• $N_{cr}=\dfrac{\pi^2 E I}{L_{cr}^2}$  – carga crítica de Euler
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – momento de inercia del perno

  • d_s – diámetro del anclaje reducido por la rosca
• $L_{cr}=2\,l$  – longitud de pandeo; del lado de la seguridad, se supone que el perno está empotrado en el hormigón y puede girar libremente en la placa base 
• $l=l_{a}$ – longitud del elemento de perno igual a la mitad del espesor de la placa base + holgura + la mitad del diámetro del perno; del lado de la seguridad, se supone que la arandela y la tuerca no están apretadas contra la superficie del hormigón (ETAG 001 – Anexo C – Cl. 4.2.2.4), véase la Figura 4.3.2.

Verificación a cortante según EN 1992-4 - 7.2.2.3

Para separación (stand-off) = directa, se supone el cortante sin brazo de palanca (EN 1992-4 – Cl. 7.2.2.3.1):

$$V_{Rd,s} = \frac{k_6 \cdot A_s \cdot f_{uk}}{\gamma_{Ms}}$$

Para separación (stand-off) = junta de mortero, se supone el cortante con brazo de palanca (EN 1992-4 – Cl. 7.2.2.3.2):

$$V_{Rd,s} = \frac{\alpha_M \cdot M_{Rk,s}}{\gamma_{Ms} \cdot l_a}$$

donde:

• k₆ = 0,6 para anclajes con fuk ≤ 500 MPa; k₆ = 0,5 en caso contrario
• A_s – área a cortante del anclaje reducida por la rosca
• f_uk – resistencia última del perno de anclaje
• α_M = 2 – se supone empotramiento total (EN 1992-4 – Cl. 6.2.2.3)
• $M_{Rk,s} = M^{0}_{Rk,s} \left(1 - \dfrac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)$ – resistencia característica a flexión del anclaje, reducida por la fuerza de tracción en el anclaje
•  $M^{0}_{Rk,s} = 1.2 \cdot W_{el} \cdot f_{ub}$ – resistencia característica a flexión del anclaje (ETAG 001, Anexo C – Ecuación (5.5b))
• $W_{el} = \dfrac{\pi d^{3}}{32}$ – módulo resistente del anclaje
• d – diámetro del perno de anclaje; si se selecciona el plano de cortante en la rosca (lo cual ocurre siempre en el caso de barra roscada), se utiliza el diámetro reducido por la rosca; en caso contrario, se utiliza el diámetro nominal, d_nom
• N_Ed – fuerza de tracción en el anclaje
• N_Rd,s – resistencia atracción del anclaje
• $l_{a} = 0.5\, d_{\mathrm{nom}} + t_{\mathrm{mortar}} + 0.5\, t_{\mathrm{bp}}$ – brazo de palanca
• t_mortar – espesor del mortero (grout)
• t_bp – espesor de la placa base
• $\gamma_{Ms} = 1.0 \cdot \dfrac{f_{uk}}{f_{yk}} \ge 1.25$ for $f_{uk} \le 800 \text{ MPa}$ and  $\dfrac{f_{yk}}{f_{uk}} \le 0.8$; γ_Ms = 1,5 en caso contrario – coeficiente parcial de seguridad para el fallo del acero (EN 1992-4 – Tabla 4.1)

Verificación a cortante según EN 1993-1-8 - 6.2.2

La resistencia a cortante del acero del anclaje se determina según EN 1993-1-8 – 6.2.2 (7) independientemente de que la separación (stand-off) sea directa o con junta de mortero. La resistencia y el espesor del mortero (grout) deben cumplir la Cl. 6.2.5 (7).

$$V_{Rd,s} = F_{v,b,Rd} = \min \left\{ F_{1v,b,Rd} ,\, F_{2v,b,Rd} \right\}$$

donde:

$$F_{1v,b,Rd} = \frac{\alpha_v \cdot f_{ub} \cdot A}{\gamma_{M2}}$$

• α_v = 0,6 para las clases 4.6, 5.6, 8.8, y 0,5 para las clases 4.8, 5.8, 6.8, 10.9
• f_ub – resistencia última a tracción del material del perno
• A – área resistente a tracción del perno, A = A_s, donde As es el área resistente a tracción del perno (reducida por la rosca)
• γ_M2 – coeficiente de seguridad - EN 1993-1-8 – Tabla 2.1

$$F_{2v,b,Rd} = \frac{\alpha_b \cdot f_{ub} \cdot A_s}{\gamma_{M2}}$$

• ​ $\alpha_b = 0.44 - 0.0003\, f_{yb}$
• α_b es un coeficiente que depende del límite elástico del perno de anclaje
• f_yb – límite elástico del anclaje; 235 MPa ≤ f_yb ​≤ 640 MPa
• f_ub – resistencia a tracción del anclaje 
• A_s – área resistente a tracción (reducida por la rosca)

Verificación a cortante según EN 1993-1-1 - 6.2.6

Estas verificaciones normativas se aplican a anclajes conectados a la placa base con una holgura o a un anclaje cargado directamente con una longitud saliente superior a 0,5 veces su diámetro.

$$V_{pl,Rd}=\frac{A_v f_y/\sqrt{3}}{\gamma_{M2}}$$

donde:

• A_V = 0,844 A_s – área a cortante
• A_s – área del perno reducida por la rosca
• f_y – límite elástico del perno
• γ_M2 – coeficiente parcial de seguridad (definido en la Configuración del proyecto)

Verificación a cortante según EN 1994-1-1 - 6.6.3.1

$$V_{Rd,s} = P_{Rd} = \frac{0.8 \, f_u \, \pi \, d^2}{4 \, \gamma_v}$$

donde:

• γ_v es el coeficiente parcial para la conexión a cortante según EN 1994-1-1 cap. 2.4.1.2. El valor recomendado para γ_v es 1,25
• d es el diámetro del fuste del perno, 16 mm ≤ d ≤ 25 mm;
• f_u es la resistencia última a tracción especificada del material del perno, pero no mayor que 500 MPa.

En EN 1994-1-1, la cláusula 6.6.3.1 también proporciona la Ecuación (6.19), que limita la resistencia a cortante de un perno por la capacidad de punzonamiento (aplastamiento) del hormigón. En IDEA StatiCa Detail, este modo de fallo no se verifica mediante una fórmula normativa independiente en el posprocesamiento. En su lugar, se incorpora directamente en el análisis no lineal por elementos finitos como criterio de parada: el análisis se interrumpe antes de que el esfuerzo cortante en un anclaje alcance el valor P_Rd correspondiente
de la Ecuación (6.19). Este enfoque se utiliza porque la Ecuación (6.19) solo es válida para pernos con cabeza soldados a la placa de acero y para diámetros de perno en el rango 16 mm ≤ d ≤ 25 mm, tal como se especifica en 6.6.3.1.

Para cubrir un rango más amplio de casos prácticos, creamos una serie de modelos de referencia 3D en Abaqus con diámetros de anclaje de 8 mm a 50 mm y resistencias del hormigón de C16/20 a C50/60. Los pernos se modelizaron soldados rígidamente a la placa base o conectados mediante una unión articulada. Los modelos de material y los parámetros de contacto en Detail se calibraron posteriormente con estas simulaciones de Abaqus, que a su vez se verificaron con la Ecuación (6.19) dentro de su rango de validez. Este criterio de parada es válido para todos los tipos de anclaje y todos los códigos EN.

Verificación a flexión según EN 1993-1-1 - 6.2.5

$$M_{pl,Rd}=\frac{W_{pl} f_y}{\gamma_{M2}}$$

Donde:

• $W_{pl}=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – módulo resistente del perno

  • d_s – diámetro del anclaje reducido por la rosca
• f_y – límite elástico del material
• γ_M2 – coeficiente parcial de seguridad (definido en la Configuración del proyecto)

Momento flector de cálculo actuante M_Ed - Si la carga de cortante actúa con brazo de palanca, debe tenerse en cuenta el momento flector que actúa sobre el elemento de fijación. El momento flector de cálculo que actúa sobre el elemento de fijación se calcula según la Fórmula (6.1) de EN 1993-1-1:

$$M_{Ed}=V_{Ed}\cdot\frac{l_a}{\alpha_M}$$

donde:

• V_Ed - es la carga de cortante que actúa sobre el elemento de fijación considerado
• l_a = a₃ + e₁

  • a₃ = 0,5d_nom, donde d_nom es el diámetro del anclaje
  • e₁ - es la distancia entre la carga de cortante y la superficie del hormigón, despreciando el espesor de cualquier mortero de nivelación
• α_M = 2 – se supone empotramiento total (EN 1992-4 – Cl. 6.2.2.3)

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.2\qquad Buckling length}}}$$

Interacción de tracción y cortante en el acero del anclaje

La interacción de tracción y cortante según EN 1993-1-8 está incluida implícitamente en la verificación a cortante del anclaje.

La interacción de tracción y cortante según EN 1992-4 se determina por separado para los modos de fallo del acero y del hormigón según la Tabla 7.3. La interacción en el acero se verifica para cada anclaje por separado.

$$\left( \frac{N_{Ed}}{N_{Rd,s}} \right)^{2}+\left( \frac{V_{Ed}}{V_{Rd,s}} \right)^{2}\le 1$$

EN 1994-1-1 establece en el Artículo 6.6.3.2 que, si la fuerza de tracción del anclaje es superior a 0,1P_Rd, la verificación no está cubierta por esta norma. En tal caso, la interacción se evalúa en la aplicación conforme a EN 1992-4. En tal caso, no debe considerarse la verificación a cortante según EN 1994-1-1.

Interacción de tracción o compresión y flexión en el acero del anclaje EN 1993-1-1 - 6.2.1

$$\frac{N_{Ed}}{N_{Rd}}+\frac{M_{Ed}}{M_{Rd}}\le 1$$

donde:

• N_Ed – fuerza de cálculo de tracción (positiva) o de compresión (signo negativo)
• N_Rd – resistencia de cálculo a tracción (positiva, F_t,Rd) o a compresión (signo negativo, F_c,Rd)
• M_Ed – momento flector de cálculo
• M_Rd = M_pl,Rd – resistencia de cálculo a flexión

Verificación de arrancamiento para anclajes con cabeza (placas de arandela y pernos con cabeza)

Para los anclajes con cabeza, se implementa un criterio de parada adicional para verificar el aplastamiento del hormigón sobre la cabeza del anclaje (arrancamiento). Durante el análisis, se monitoriza la fuerza de compresión transmitida a través del contacto entre la cabeza y el hormigón y se compara con el valor límite dado por EN 1992-4, Cláusula 7.2.1.5 (fallo por arrancamiento de fijaciones con cabeza).

$$N_{Rd,p} = k_2 \cdot A_h \cdot f_{ck} / \gamma_{Mp}$$

donde:

• A_h es el área de apoyo de la cabeza del elemento de fijación (sin el área del fuste). 
• f_ck es la resistencia característica a compresión del hormigón - EN 1992-1-1 Cl. 3.1.2
• γ_Mp se toma en la aplicación como γ_Mp = γ_c con el valor por defecto de 1,5
•  k₂​ se toma siempre igual a 7,5, es decir, el valor para hormigón fisurado. Esto es coherente con el enfoque CSFM utilizado en Detail, donde se desprecia la resistencia a tracción del hormigón y se supone que el hormigón está fisurado a tracción. 

Cuando la fuerza de contacto alcanza este límite normativo, se activa el criterio de parada y el análisis se interrumpe antes de que se supere la resistencia de cálculo al arrancamiento.

Anclaje -  Tensión de adherencia

La tensión tangencial de adherencia se evalúa de forma independiente como la relación entre la tensión de adherencia τ_b calculada mediante análisis por EF y la resistencia última de adherencia f_bd, según EN 1992-1-1 cap. 8.4.2:

$$\frac{τ_{b}}{f_{bd}}\le 1$$

$$f_{bd} = 2.25 \cdot η_1\cdot η_2\cdot f_{ctd}$$

donde:

• f_ctd      es el valor de cálculo de la resistencia a tracción del hormigón según EN 1992-1-1 Cl. 3.1.6 (2). Debido a la creciente fragilidad del hormigón de mayor resistencia, f_ctk,0.05 se limita al valor correspondiente a C60/75 según EN 1992-1-1 Cl. 8.4.2 (2)
• η₁       es un coeficiente relacionado con la calidad de las condiciones de adherencia y la posición de la barra durante el hormigonado (Fig. 4.3.3).
• η₁ = 1,0 cuando se obtienen condiciones «buenas» y
• η₁ = 0,7 para todos los demás casos y para barras en elementos estructurales construidos con encofrados deslizantes, a menos que pueda demostrarse que existen condiciones de adherencia «buenas»
• η₂        está relacionado con el diámetro de la barra:
  η₂ = 1,0 para Ø ≤ 32 mm
  η₂ = (132 - Ø)/100 para Ø > 32 mm

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.3\qquad EN 1992-1-1 Figure 8.2 - Description of bond conditions.}}}$$

En IDEA StatiCa Detail, las condiciones de adherencia se tienen en cuenta según la Fig. 4.3.3 c) y d). La dirección de hormigonado puede establecerse en la aplicación para cada elemento del proyecto de la siguiente manera:

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.4\qquad Direction of concreting}}}$$

Estas verificaciones se realizan con respecto a los valores límite adecuados para las respectivas partes de la estructura (es decir, a pesar de tener una única clase tanto para el hormigón como para el material de la armadura, los diagramas tensión-deformación finales diferirán en cada parte de la estructura debido a los efectos de rigidización a tracción y de ablandamiento a compresión).

Anclaje - Fuerza total

Fuerza total F_tot y fuerza límite F_lim

La fuerza total F_tot es un resultado del análisis por elementos finitos y puede definirse de dos maneras.

$$F_{tot}=A_{s}\cdot \sigma_{s}$$

donde A_s es el área de la barra de armadura y σ_s es la tensión en la barra.

O como la suma de la fuerza de anclaje F_a y la fuerza de adherencia F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

donde F_a es la fuerza real en el muelle de anclaje y F_bond es la fuerza de adherencia, que puede obtenerse integrando la tensión de adherencia τ_b a lo largo de la longitud de la barra de armadura l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s es el perímetro de la barra de armadura.

La fuerza límite F_lim es la fuerza máxima en el elemento de la barra considerando la resistencia última de la barra y también las condiciones de anclaje (adherencia entre el hormigón y la armadura, y ganchos, patillas, lazos, etc. de anclaje).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot k\cdot f_{yd}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bd}$$

donde C_s es el perímetro de la barra de armadura y l es la longitud desde el inicio de la barra hasta el punto de interés.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.5\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

donde F_lim,add es la fuerza adicional calculada a partir de la magnitud del ángulo entre elementos contiguos. F_lim,2 debe ser siempre inferior a F_u.

Tipos de anclaje en el extremo de la armadura (anclajes y barras)

Los tipos de anclaje disponibles en el CSFM 3D incluyen barra recta (es decir, sin reducción del extremo de anclaje), codo, gancho, lazo, barra transversal soldada, adherencia perfecta y barra continua. Todos estos tipos, junto con los respectivos coeficientes de anclaje β, se muestran en la Fig. 4.3.6 para la armadura longitudinal y en la Fig. 4.3.7 para los estribos. Los valores de los coeficientes de anclaje adoptados están de acuerdo con EN 1992-1-1, apartado 8.4.4, Tabla 8.2. Cabe señalar que, a pesar de las diferentes opciones disponibles, el CSFM 3D distingue tres tipos de extremos de anclaje: (i) sin reducción de la longitud de anclaje, (ii) una reducción del 30 % de la longitud de anclaje en el caso de un anclaje normalizado y (iii) adherencia perfecta.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.6\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in the 3D CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) bend; (c) hook; (d) loop; (e) welded transverse bar; (f) perfect bond; (g) continuous bar.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4.3.7\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for stirrups.}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Closed stirrups: (a) hook; (b) bend; (c) overlap. Open stirrups: (d) hook; (e) continuous bar.}}}$$

Para cumplir con EN 1992-1-1, debe utilizarse el muelle de anclaje en el cálculo; el muelle de anclaje se modifica mediante el coeficiente β, por lo que el usuario debe utilizar uno de los tipos de anclaje disponibles al definir las condiciones de inicio y final de la armadura. 

Hormigón - Resistencia

El modelo de hormigón implementado para los cálculos de resistencia en el CSFM se basa en la curva tensión-deformación parabólica-plástica para el hormigón de la Portland Cement Association, descrita en PCA’s Notes on ACI 318-99 Building Code Requirements for Structural Concrete, Figura 6-8. La resistencia a tracción se desprecia, como en el cálculo clásico de hormigón armado.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

La implementación del CSFM en IDEA StatiCa Detail no considera un criterio de fallo explícito en términos de deformaciones para el hormigón en compresión (es decir, una vez alcanzada la tensión máxima, considera una rama plástica con ε_c0 con un valor máximo del 5 %, mientras que ACI 318-19 Cl. 22.2.2.1 supone una deformación última inferior al 0,3 %). Esta simplificación no permite verificar la capacidad de deformación de las estructuras que fallan por compresión. Sin embargo, la resistencia se predice correctamente cuando se considera el aumento de la fragilidad del hormigón al aumentar su resistencia mediante el factor de reducción $\eta_{fc}$ definido en el Model Code 2010 de la fib del siguiente modo:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

donde:

α₁ es el factor de reducción de la resistencia a compresión del hormigón definido en ACI 318-19 Cl. 22.2.2.4.1. Al utilizar un diagrama tensión-deformación parábola-rectángulo , es necesario reducir la tensión máxima de compresión mediante este factor. Así se promedia la distribución de tensiones en la zona comprimida de modo que la resistencia a compresión resultante sea menor o igual que la resistencia a compresión calculada con un diagrama tensión-deformación con una rama plástica descendente. 

Φ_c es el factor de reducción de resistencia para el hormigón. El valor por defecto se establece según ACI 318-19 Tabla 24.2.1 (b)(f).

f'_c es la resistencia cilíndrica del hormigón (en MPa para la definición de $\eta_{fc}$).

Armadura

Se considera un diagrama tensión-deformación perfectamente elastoplástico con un límite elástico definido para la armadura no pretensada. Véase ACI 319-19 Cl. 20.2.1. La definición de este diagrama solo requiere conocer las propiedades básicas de la armadura: resistencia y módulo de elasticidad.

El diagrama tensión-deformación de la armadura también puede ser definido por el usuario, pero en este caso no es posible considerar el efecto de rigidización a tracción. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

donde:

Φ_s es el factor de reducción de resistencia para la armadura. El valor por defecto se establece según ACI 318-19 Tabla 24.2.1.

f_y es el límite elástico de la armadura

E_s es el módulo de elasticidad de la armadura

Se selecciona un 10 % como deformación límite a la que se detiene el cálculo. Esto se considera seguro según ASTM A955/A955M-20c Artículo 7.

La rigidización a tracción (Fig. 5.1.3)  se tiene en cuenta automáticamente modificando la relación tensión-deformación de entrada de la barra de armadura desnuda, con el fin de capturar la rigidez media de las barras embebidas en el hormigón (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

El Método del Campo de Tensiones Compatible es conforme con las normas de cálculo modernas. Dado que los modelos de cálculo solo utilizan propiedades estándar de los materiales, el formato de coeficientes parciales de seguridad prescrito en las normas de cálculo puede aplicarse sin ninguna adaptación. De este modo, las cargas de entrada se mayoran y las propiedades características de los materiales se reducen mediante los respectivos factores de reducción de resistencia, exactamente igual que en el análisis convencional del hormigón.

Los valores de los factores de reducción de resistencia están prescritos en el capítulo 21 de ACI 318-19 y, para los anclajes, en el capítulo 17 de ACI 318-19 y en los capítulos D, E, F y G de AISC 360-16. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.1\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Los factores de carga para las combinaciones de resistencia se definirán según la tabla 5.3.1 de ACI 318-19.

Salvo lo indicado en el capítulo 34, ACI 318-19 no define combinaciones de carga para el nivel de servicio. Se recomienda utilizar reglas de combinación basadas en el apéndice C de ASCE/SEI 7-16. En todas las plantillas, los factores de carga ya están predefinidos.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.2.3\qquad The setting of load factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Las diferentes verificaciones requeridas por ACI 318-19 se evalúan a partir de los resultados directos proporcionados por el modelo. Las verificaciones se realizan para la resistencia del hormigón, la resistencia de la armadura y el anclaje (tensiones tangenciales de adherencia).

Resistencia - Hormigón

La resistencia del hormigón a compresión se evalúa como la relación entre la tensión principal equivalente máxima f_c,eq (también σ_c,eq en el texto anterior) obtenida del análisis por elementos finitos y el valor límite f'_c,lim.

La tensión principal equivalente expresa la tensión uniaxial equivalente para un estado tensional triaxial general.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Por tanto, el valor de f_c,eq puede compararse directamente con los límites de resistencia uniaxial. Esta expresión se deriva de la implementación de la teoría de plasticidad de Mohr-Coulomb, suponiendo de forma conservadora un ángulo de rozamiento interno φ = 0°.

Resistencia - Armadura

La resistencia de la armadura se evalúa tanto a tracción como a compresión como la relación entre la tensión en la armadura en las fisuras f_s y el valor límite especificado f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Resistencia - Anclajes

Los anclajes se verifican frente a tensiones normales de forma similar a la armadura, determinándose el valor límite f_y,lim. 

Para facilitar la lectura del texto siguiente, primero dividiremos los anclajes en tres grupos en cuanto a la verificación normativa según ACI o AISC.

Grupo 1

• Tipos de anclaje

  • Placa embebida
  • Placa base - Separación = directa 
  • Placa base - Separación = junta de mortero - espesor de mortero inferior a 0,5 veces el diámetro del anclaje
  • Anclaje individual con longitud proyectada inferior a 0,5 veces el diámetro del anclaje
• Verificaciones normativas de anclajes (ACI / AISC)

  • Tracción/compresión

    • Todos los tipos de anclaje a tracción – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Todos los tipos de anclaje a compresión – AISC 360-16 cap. E
  • Cortante sin brazo de palanca

    • Material del perno – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
    • Pernos con cabeza – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)
    • Armadura – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
  • Interacción de tracción y cortante - ACI 318-19 cap. 17.8

Grupo 2

• Tipos de anclaje

  • Placa base - Separación = junta de mortero - espesor de mortero superior a 0,5 veces el diámetro del anclaje
• Verificaciones normativas de anclajes (ACI / AISC)

  • Tracción/compresión

    • Todos los tipos de anclaje a tracción – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Todos los tipos de anclaje a compresión – AISC 360-16 cap. E
  • Cortante con brazo de palanca

    • Material del perno – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Pernos con cabeza – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Armadura – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
  • Interacción de tracción y cortante - ACI 318-19 cap. 17.8

Grupo 3

• Tipos de anclaje

  • Placa base - Separación = hueco
  • Anclaje individual con longitud proyectada superior a 0,5 veces el diámetro del anclaje
• Verificaciones normativas de anclajes (ACI / AISC)

  • Tracción/compresión (con pandeo)

    • Todos los tipos de anclaje a tracción – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2
    • Todos los tipos de anclaje a compresión – AISC 360-16 cap. E3
  • Flexión

    • Para todos los tipos de anclaje – AISC 360-16 cap. F11
  • Cortante

    • Para todos los tipos de anclaje – AISC 360-16 cap. G
  • Interacción de axil y flexión

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Resistencia a tracción del anclaje según ACI 318-19 cap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

donde:

• ϕ_a,t  – factor de reducción de resistencia para anclajes a tracción según ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – área resistente a tracción (reducida por la rosca)
• f_uta – resistencia a tracción especificada del acero del anclaje, que no debe ser superior a 1,9 f_ya ni a 860 MPa

Resistencia a cortante del anclaje según ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)

La resistencia del acero a cortante para pernos con cabeza se determina como:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

donde:
ϕ_a,v – factor de reducción de resistencia para anclajes a tracción según ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
A_se,V – área resistente a tracción (reducida por la rosca)
f_uta – resistencia a tracción especificada del acero del anclaje, que no debe ser superior a 1,9 f_ya ni a 860 MPa

Resistencia a cortante del anclaje según ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)

La resistencia del acero a cortante para anclajes de material de perno y armadura se determina como:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

donde:

• ϕ_a,v  – factor de reducción de resistencia para anclajes a tracción según ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – área resistente a tracción (reducida por la rosca)
• f_uta – resistencia a tracción especificada del acero del anclaje, que no debe ser superior a 1,9 f_ya ni a 860 MPa

Resistencia a cortante del anclaje conectado a una base con mortero - ACI 318-19 cap. 17.7.1.2.1

Si los anclajes se utilizan con almohadillas de mortero de nivelación (Grupo 2), la resistencia de cálculo obtenida conforme a 17.7.1.2 se multiplicará por 0,80.

Interacción de tracción y cortante según ACI 318-19 cap. 17.8

Se permite despreciar la interacción entre tracción y cortante si se cumple (a) o (b).
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Si N_ua/(ϕN_n) > 0,2 para la resistencia condicionante a tracción y V_ua/(ϕV_n) > 0,2 para la resistencia condicionante a cortante, se debe satisfacer la Ec. (17.8.3).

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Resistencia a compresión del anclaje según AISC 360-16 cap. E3

$$P_n =\phi_{a,c}\, F_{cr}\, A_{g}$$

donde:

• ϕ_a,t  – el factor de reducción de resistencia para anclajes a compresión según AISC 360-16 cap. E1
  
• (a) Cuando: $\dfrac{L_c}{r} \le 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  o     $\dfrac{F_y}{F_e}\le 2.25$

  • $F_{cr}=\left(0.658^{\,F_y/F_e}\right)F_y$
    
• (b) Cuando: $\dfrac{L_c}{r} > 4.71\sqrt{\dfrac{E}{F_y}}\quad$  o     $\dfrac{F_y}{F_e}> 2.25$

  • $F_{cr}=0.877F_e$
    
• A_g​ – área bruta de la sección transversal del elemento
• E – módulo de elasticidad del acero
• $F_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{L_c}{r}\right)^2}$ - tensión crítica elástica de pandeo
• F_y – tensión de límite elástico mínima especificada del tipo de acero utilizado
• $r=\sqrt{\dfrac{I}{A_s}}$ – radio de giro
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – momento de inercia del perno 

Resistencia a flexión del anclaje según AISC 360-16 cap. F11

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$

donde:

• $Z=\dfrac{d_s^{3}}{6}$ – módulo resistente plástico del perno
• $S_x=\dfrac{2I}{d_s}$ – módulo resistente elástico del perno

Resistencia a cortante del anclaje según AISC 360-16 cap. G

$$V_n=\phi_{a,v}\,0.6\,A_v\,F_y$$

donde:

• A_V = 0.844As – el área de cortante
• A_s – el área del perno reducida por la rosca

Aplastamiento del hormigón en la interfaz anclaje-hormigón

La resistencia a cortante del anclaje también está limitada desde el punto de vista del aplastamiento del hormigón en la interfaz anclaje-hormigón. Los valores límite y el método para determinarlos se describen en detalle en el artículo - Shear behaviour of anchors in reinforced concrete. Una vez que la fuerza de contacto alcanza este límite, se activa el criterio de parada y el análisis se interrumpe antes de que se supere la resistencia.​ 

Verificación de arrancamiento de anclajes con cabeza (placas de arandela y pernos con cabeza)

Para los anclajes con cabeza, se implementa un criterio de parada adicional para verificar el apoyo del hormigón (aplastamiento) sobre la cabeza del anclaje - arrancamiento. Durante el análisis, se monitoriza la fuerza de compresión transmitida a través del contacto entre la cabeza y el hormigón y se compara con el valor límite dado por ACI 318-19, apartado 17.6.3.2.2a (fallo por arrancamiento de las fijaciones con cabeza).

$$N_{pn} = \Phi \cdot \Psi_{c,p} \cdot 8 \cdot A_{brg} \cdot f'_c$$
​

donde:

• $\Phi$ es el factor de reducción de resistencia - Tabla 17.5.3(c)
• A_brg es el área neta de apoyo de la cabeza del perno, del perno de anclaje o de la barra corrugada con cabeza (sin el área del vástago). 
• f'_c es la resistencia a compresión especificada del hormigón
• $\Psi_{c,p}$ es el factor de fisuración por arrancamiento según 17.6.3.3, y se toma siempre igual a 1,0, es decir, el valor para hormigón fisurado. Esto es coherente con el enfoque CSFM utilizado en Detail, donde se desprecia la resistencia a tracción del hormigón y se supone que el hormigón está fisurado a tracción.

Una vez que la fuerza de contacto alcanza este límite normativo, se activa el criterio de parada y el análisis se interrumpe antes de que se supere la resistencia al arrancamiento.​ 

Anclaje -  Tensión de adherencia

La tensión tangencial de adherencia se evalúa de forma independiente como la relación entre la tensión de adherencia τ_b calculada mediante el análisis por elementos finitos y la resistencia de adherencia f_bu.

Aunque la resistencia de adherencia no está definida explícitamente en ACI 318-19, el cálculo de la longitud de desarrollo se encuentra en la sección 25.4.2. Sin embargo, dado que la resistencia de adherencia es el dato básico para determinar la longitud de desarrollo, véanse R25.4.1.1 y ACI Committee 408 1966, la resistencia de adherencia puede calcularse de la siguiente manera:

Supongamos que, si se ancla una barra de armadura en un bloque de hormigón con una longitud de desarrollo l_d o superior, el arrancamiento de la armadura conducirá a la rotura de la armadura y no al arrancamiento del hormigón. Esto puede expresarse con la siguiente fórmula.

$$\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} \cdot f_{bu}=f_{y}\cdot A_{s}$$

donde:

d_b es el diámetro de la barra de armadura, l_d es la longitud de desarrollo, f_bu es la resistencia de adherencia, f_y es el límite elástico de la armadura y A_s es el área de la barra de armadura.

De lo anterior, se puede deducir fácilmente la fórmula para calcular la resistencia de adherencia:

$$f_{bu}=\frac{f_{y}\cdot A_{s}}{\pi\cdot d_{b} \cdot l_{d} }$$

La longitud de desarrollo l_d se determina entonces según la Tabla 25.4.2.3 de ACI 318-19 de la siguiente manera:

$$l_{d}=\left( \frac{f_{y}\cdot\psi_{t}\cdot\psi_{e}\cdot\psi_{g}}{C\cdot\lambda\sqrt{f'_{c}}} \right)\cdot d_{b}$$

donde:

C = 25 (2,1 en unidades métricas) para barras del n.º 6 y menores y alambres corrugados, C = 20 (1,7 en unidades métricas) para barras del n.º 7 y mayores, λ = 1,0 para hormigón de peso normal, ψ_t, ψ_e, ψ_g se determinan según la Tabla 25.4.2.3 de ACI 318-19. 

Solo se admite armadura sin recubrir o recubierta de zinc (galvanizada), por lo que ψ_e = 1,0. ψ_g se determina automáticamente a partir de la calidad de la armadura, y ψ_t se obtiene automáticamente a partir de la posición de la armadura en el modelo y de la dirección de hormigonado, que puede establecerse en la aplicación para cada elemento del proyecto de la siguiente manera.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.1\qquad Direction of concreting}}}$$

Estas verificaciones se realizan con respecto a los valores límite apropiados para las partes respectivas de la estructura (es decir, a pesar de tener una única calidad tanto para el hormigón como para el material de la armadura, los diagramas tensión-deformación finales serán diferentes en cada parte de la estructura debido a los efectos de rigidización a tracción y ablandamiento a compresión).

Anclaje -  Fuerza total

Fuerza total F_tot y fuerza límite F_lim

La fuerza total F_tot es un resultado del análisis por elementos finitos y puede definirse de dos maneras.

$$F_{tot}=A_{s} \cdot f_{s}$$

donde A_s es el área de la barra de armadura y f_s es la tensión en la barra.

O como la suma de la fuerza de anclaje F_a y la fuerza de adherencia F_bond.

$$F_{tot}=F_{a}+F_{bond}$$

donde F_a es la fuerza real en el muelle de anclaje y F_bond es la fuerza de adherencia que se puede obtener integrando la tensión de adherencia τ_b a lo largo de la longitud de la barra de armadura l.

$$F_{bond}=C_{s} \cdot \int_{0}^{l}\tau_{b}\left( x \right)dx$$

C_s es el perímetro de la barra de armadura.

La fuerza límite F_lim es la fuerza máxima en el elemento de la barra de armadura considerando la resistencia de la barra y también las condiciones de anclaje (adherencia entre el hormigón y la armadura y ganchos, lazos, etc. de anclaje).

$$F_{lim}=min\left( F_{lim,bond}+F_{au},F_{u} \right)$$

$$F_{u}=f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{au}=\beta\cdot f_{y,lim}\cdot A_{s}$$

$$F_{lim,bond}=C_{s}\cdot l \cdot f_{bu}$$

donde C_s es el perímetro de la barra de armadura y l es la longitud desde el inicio de la barra hasta el punto de interés.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.2\qquad Definition of the limit force Flim}}}$$

$$F_{lim,2}=F_{lim,1}+F_{lim,add}$$

donde F_lim,add es la fuerza adicional calculada a partir de la magnitud del ángulo entre elementos contiguos. F_lim,2 debe ser siempre inferior a F_u.

Los tipos de anclaje disponibles en CSFM incluyen barra recta (es decir, sin reducción del extremo de anclaje), gancho a 90 grados, gancho a 180 grados, adherencia perfecta y barra continua. Todos estos tipos, junto con los respectivos coeficientes de anclaje β, se muestran en la Fig. 5.3.3 para la armadura longitudinal. Los valores adoptados de los coeficientes de anclaje se derivan de la comparación de la ecuación de la sección 25.4.3.1 de ACI 318-19 y las ecuaciones tomadas de la sección 25.4.2.3 de ACI 318-19. Cabe señalar que, a pesar de las diferentes opciones disponibles, CSFM distingue tres tipos de extremos de anclaje: (i) sin reducción de la longitud de anclaje, (ii) una reducción del 30 % de la longitud de anclaje en el caso de un anclaje normalizado y (iii) adherencia perfecta.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5.3.3\qquad  Available anchorage types and respective anchorage coefficients for longitudinal reinforcing bars in CSFM:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) straight bar; (b) 90-degree hook; (c) 180-degree hook; (d) perfect bond; (e) continuous bar}}}$$

El coeficiente de anclaje para estribos es siempre β = 1,0.

Para cumplir con ACI, se debe utilizar el muelle de anclaje en el cálculo; el muelle de anclaje se modifica mediante el coeficiente β, por lo que el usuario debe utilizar uno de los tipos de anclaje disponibles al definir las condiciones de inicio y fin de la armadura. 

Hormigón - Resistencia

El modelo de hormigón implementado para los cálculos de resistencia en 3D CSFM se basa en las hipótesis de equilibrio y compatibilidad de deformaciones del diseño por resistencia de AASHTO LRFD. De acuerdo con el Artículo 5.6.2.1 de AASHTO LRFD (2024), se desprecia la resistencia a tracción del hormigón.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.1\qquad The stress-strain diagram of concrete for Strength analysis}}}$$

La implementación del 3D CSFM en IDEA StatiCa Detail no considera un criterio de fallo explícito en términos de deformaciones para el hormigón en compresión (es decir, una vez alcanzada la tensión máxima, considera una rama plástica con ε_c0 con un valor máximo del 5 %, mientras que el Artículo 5.6.2.1 de AASHTO LRFD (2024) asume una deformación última inferior al 0,3 %). Esta simplificación no permite verificar la capacidad de deformación de las estructuras que fallan por compresión. Sin embargo, la resistencia se predice correctamente cuando se considera el aumento de la fragilidad del hormigón al aumentar su resistencia mediante el factor de reducción $\eta_{fc}$ definido en el Model Code 2010 de la fib de la siguiente manera:

$$f'_{c,lim}=\alpha_{1}\cdot\phi_{c}\cdot \eta _{fc}\cdot f'_{c}$$

$${\eta _{fc}} = {\left( {\frac{{30}}{{{f'_{c}}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} \le 1$$

donde:

α₁ es el factor de reducción de la resistencia a compresión del hormigón definido en el Artículo 5.6.2.2 de AASHTO LRFD (2024). Al utilizar un diagrama tensión-deformación parábola-rectángulo , es necesario reducir la tensión máxima de compresión mediante este factor. Con ello se promedia la distribución de tensiones en la zona comprimida de modo que la resistencia a compresión resultante sea menor o igual que la resistencia a compresión calculada con un diagrama tensión-deformación con rama plástica descendente.

Φ_c es el factor de reducción de resistencia del hormigón. El valor por defecto se establece según el Artículo 5.5.4.2 de AASHTO LRFD (2024).

f'_c es la resistencia cilíndrica del hormigón (en MPa para la definición de $\eta_{fc}$).

Armadura

Se considera un diagrama tensión-deformación perfectamente elastoplástico, con un límite elástico definido, para la armadura no pretensada. Véase el Artículo 5.4.3 de AASHTO LRFD (2024). La definición de este diagrama solo requiere conocer las propiedades básicas de la armadura: resistencia y módulo de elasticidad.

El diagrama tensión-deformación de la armadura también puede ser definido por el usuario, pero en este caso no es posible considerar el efecto de rigidización a tracción. 

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.2 \qquad Stress-strain diagram of reinforcement}}}$$

donde:

Φ_s es el factor de reducción de resistencia de la armadura. El valor por defecto se establece según el Artículo 5.5.4.2 de AASHTO LRFD (2024).

f_y es el límite elástico de la armadura

E_s es el módulo de elasticidad de la armadura

Se selecciona un 10 % como deformación límite a la que se detiene el cálculo. Esto se considera seguro según el Artículo 7 de ASTM A955/A955M-20c.

La rigidización a tracción (Fig. 6.1.3)  se tiene en cuenta automáticamente modificando la relación tensión-deformación de entrada de la barra de armadura desnuda, con el fin de reflejar la rigidez media de las barras embebidas en el hormigón (ε_m).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.1.3\qquad Scheme of tension stiffening.}}}$$

El Método del Campo de Tensiones Compatible cumple con las normas de cálculo modernas. Dado que los modelos de cálculo solo utilizan propiedades estándar de los materiales, el formato de coeficientes parciales de seguridad prescrito en las normas de cálculo puede aplicarse sin ninguna adaptación. De este modo, las cargas de entrada se mayoran y las propiedades características de los materiales se reducen mediante los respectivos factores de reducción de resistencia, exactamente igual que en el análisis convencional de hormigón.

Los valores de los factores de reducción de resistencia están prescritos en AASHTO LRFD (2024) Artículo 5.5.4 y, para los anclajes, en ACI 318-19 Capítulo 17 y AASHTO LRFD (2024) Artículo 6.5.4.2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.1\qquad The setting of strength reduction factors in IDEA StatiCa Detail.}}}$$

Los factores de carga y las combinaciones de carga se definirán conforme a las AASHTO LRFD Bridge Design Specifications (2024), Artículo 3.4.1 y Tablas 3.4.1-1 a 3.4.1-6. AASHTO LRFD especifica explícitamente las combinaciones de carga del estado límite de resistencia (Strength I a Strength V), incluidos los factores de carga correspondientes a cada caso.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6.2.2\qquad The setting of load factors in Idea StatiCa Detail.}}}$$

Las distintas verificaciones requeridas por AASHTO se evalúan a partir de los resultados directos proporcionados por el modelo. Las verificaciones se realizan para la resistencia del hormigón, la resistencia de la armadura y el anclaje (tensiones tangenciales de adherencia).

Resistencia - Hormigón

La resistencia del hormigón a compresión se evalúa como el cociente entre la tensión principal equivalente máxima f_c,eq (también σ_c,eq en el texto anterior) obtenida del análisis por elementos finitos y el valor límite f'_c,lim.

La tensión principal equivalente expresa la tensión uniaxial equivalente para un estado tensional triaxial general.

$$f_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Por tanto, el valor de f_c,eq puede compararse directamente con los límites de resistencia uniaxial. Esta expresión se deriva de la implementación de la teoría de plasticidad de Mohr-Coulomb, suponiendo de forma conservadora un ángulo de rozamiento interno φ = 0°.

Resistencia - Armadura

La resistencia de la armadura se evalúa tanto a tracción como a compresión como el cociente entre la tensión en la armadura en las fisuras f_s y el valor límite especificado f_y,lim.

$$f_{y,lim} = \phi_{s} \cdot f_{y}$$

Resistencia - Anclajes

Los anclajes se verifican frente a tensiones normales de forma similar a la armadura, determinando el valor límite f_y,lim. 

Para facilitar la lectura del texto siguiente, dividiremos primero los anclajes en tres grupos en cuanto a la verificación normativa según AASHTO o ACI.

Grupo 1

• Tipos de anclaje

  • Placa hormigonada in situ
  • Placa base - Separación = directa 
  • Placa base - Separación = junta de mortero - espesor del mortero inferior a 0,5 veces el diámetro del anclaje
  • Anclaje individual con longitud libre inferior a 0,5 veces el diámetro del anclaje
• Verificaciones normativas de anclajes (AASHTO / ACI)

  • Tracción/compresión

    • Todos los tipos de anclaje a tracción – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Todos los tipos de anclaje a compresión – AASHTO artículo 6.9.2
  • Cortante sin brazo de palanca

    • Material del perno – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
    • Pernos con cabeza – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)
    • Armadura – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)
  • Interacción de tracción y cortante - ACI 318-19 cap. 17.8

Grupo 2

• Tipos de anclaje

  • Placa base - Separación = junta de mortero - espesor del mortero superior a 0,5 veces el diámetro del anclaje
• Verificaciones normativas de anclajes (AASHTO / ACI)

  • Tracción/compresión

    • Todos los tipos de anclaje a tracción – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2  
    • Todos los tipos de anclaje a compresión – AASHTO artículo 6.9.2
  • Cortante con brazo de palanca

    • Material del perno – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Pernos con cabeza – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a) + cap. 17.7.1.2.1.
    • Armadura – ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b) + cap. 17.7.1.2.1.
  • Interacción de tracción y cortante - ACI 318-19 cap. 17.8

Grupo 3

• Tipos de anclaje

  • Placa base - Separación = hueco
  • Anclaje individual con longitud libre superior a 0,5 veces el diámetro del anclaje
• Verificaciones normativas de anclajes (AASHTO / ACI)

  • Tracción/compresión (con pandeo)

    • Todos los tipos de anclaje a tracción – ACI 318-19 cap. 17.6.1.2
    • Todos los tipos de anclaje a compresión – AASHTO LRFD artículo 6.9.2
  • Flexión

    • Para todos los tipos de anclaje – AAHTO LRFD artículo 6.12.2.2.7
  • Cortante

    • Para todos los tipos de anclaje – AASHTO LRFD artículo 6.10.9
  • Interacción de axil y flexión

    • $\dfrac{N}{P_n}+\dfrac{M}{M_n}\le 1$ 

Resistencia a tracción del anclaje según ACI 318-19 cap. 17.6.1.2

$$\phi N_{sa}=\phi_{a,t}\,A_{se,N}\,f_{uta}$$

donde:

• ϕ_a,t  – factor de reducción de resistencia para anclajes a tracción según ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,N – área resistente a tracción (reducida por la rosca)
• f_uta – resistencia a tracción especificada del acero del anclaje, que no debe ser superior a 1,9 f_ya ni a 860 MPa

Resistencia a cortante del anclaje según ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (a)

La resistencia del acero a cortante para pernos con cabeza se determina como:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

donde:
ϕ_a,v – factor de reducción de resistencia para anclajes a tracción según ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
A_se,V – área resistente a tracción (reducida por la rosca)
f_uta – resistencia a tracción especificada del acero del anclaje, que no debe ser superior a 1,9 f_ya ni a 860 MPa

Resistencia a cortante del anclaje según ACI 318-19 cap. 17.7.1.2 (b)

La resistencia del acero a cortante para anclajes de material de pernos y de armadura se determina como:

$$\phi V_{sa}=\phi_{a,V}\,0.6\,A_{se,V}\,f_{uta}$$

donde:

• ϕ_a,v  – factor de reducción de resistencia para anclajes a tracción según ACI 318-19 cap. 17.5.3 (a)
• A_se,V – área resistente a tracción (reducida por la rosca)
• f_uta – resistencia a tracción especificada del acero del anclaje, que no debe ser superior a 1,9 f_ya ni a 860 MPa

Resistencia a cortante del anclaje conectado a una base con mortero - ACI 318-19 cap. 17.7.1.2.1

Si los anclajes se utilizan con almohadillas de mortero de nivelación (Grupo 2), la resistencia de cálculo obtenida conforme a 17.7.1.2 se multiplicará por 0,80.

Interacción de tracción y cortante según ACI 318-19 cap. 17.8

Se permite despreciar la interacción entre tracción y cortante si se satisface (a) o (b).
(a) N_ua/(ϕN_n) ≤ 0,2
(b) V_ua/(ϕV_n) ≤ 0,2 

Si N_ua/(ϕN_n) > 0,2 para la resistencia determinante a tracción y V_ua/(ϕV_n) > 0,2 para la resistencia determinante a cortante, deberá satisfacerse la Ec. (17.8.3).

$$\frac{N_{ua}}{\phi N_n}+\frac{V_{ua}}{\phi V_n}\le 1.2$$

Resistencia a compresión del anclaje según AASHTO LRFD artículo 6.9.2

$$P_r =\phi_{a,c}\, P_{n}$$

donde:

• ϕ_a,c  – el factor de reducción de resistencia para anclajes a compresión según AASHTO LRFD artículo 6.5.4.2

• Si $\dfrac{P_o}{P_e} \le 2.25$,  entonces: $P_{n}=\left(0.658^{\,P_o/P_e}\right)P_o$,   En caso contrario: $P_n=0.877\,P_e$

• A_g​ – área de la sección transversal bruta del elemento (in²)
• F_y – límite elástico mínimo especificado del tipo de acero utilizado (ksi)
• $P_e=\dfrac{\pi^2 E}{\left(\dfrac{K\,l}{r_s}\right)^2}A_g$ - resistencia crítica elástica de pandeo (kip)
• E – módulo de elasticidad del acero (ksi)
• K = 2 – factor de longitud efectiva según el artículo 4.6.2.5 
• l – longitud no arriostrada en el plano de pandeo (in) 
• $r_s=\sqrt{\dfrac{I}{A_g}}$ – radio de giro
• $I=\dfrac{\pi d_s^4}{64}$ – momento de inercia del perno 

Resistencia a flexión del anclaje según AASHTO LRFD artículo 6.12.2.2.7

$$M_n=\phi_{a,b}\, Z\, F_y\, \le 1.6\,\phi_{a,b}\, S_x\, F_y$$