Klopení dlouhých předpjatých betonových nosníků při zdvihání

Zdvihání dlouhých předpjatých betonových nosníků je první z fází výstavby, během níž může dojít ke ztrátě stability mechanismem nazývaným klopení. Na straně projektanta jsou prvky obvykle posuzovány na příčnou stabilitu na dokončené konstrukci, což není vždy rozhodující podmínka, zejména proto, že nosníky bývají stabilizovány příčnými prvky, podlahou nebo samotnou střechou. Otázky stability během výstavby jsou ponechány výrobcům a zhotovitelům. Vzorce pro klopení obsažené v mnoha učebnicích nejsou dostatečně obecné pro dnešní potřeby, a proto nedokáží pokrýt požadavky moderního výrobce, který je tlačen zejména časem a cenami materiálů.

V tomto ověřovacím článku porovnáváme výsledky z IDEA StatiCa Beam a jeho modulu pro výpočet příčné stability s analytickým výpočtem vypracovaným Robertem F. Mastem 1989 [1] a Robertem F. Mastem 1993 [2]. V první části textu stručně představujeme analytickou metodu a uvádíme kompletní ukázkový výpočet pro jeden zatěžovací případ, včetně všech vzorců a mezivýpočtů. Poté jej porovnáváme s výsledkem z aplikace a nakonec podáváme přehled několika návrhových situací. 

Základní teorie rovnováhy při naklápění

Pokud nosník visí na pružných podporách, jako je zdvihací smyčka, může se volně naklápět. Střed otáčení je bod, ve kterém se pružná podpora spojuje s tuhým tělesem. Přímka procházející středem otáčení v každé podpoře tvoří osu naklápění. Počáteční excentricita e_i a posunutí závěsů vždy umístí těžiště mírně mimo osu naklápění. To způsobí, že se nosník nakloní kolem osy naklápění o malý úhel θ_i. 

\[\theta_{i}=tan\left(\frac{e_{i}}{y_{r}}\right)≈\frac{e_{i}}{y_{r}}\]

Toto mírné naklonění způsobí, že složka tíhy nosníku W sinθ_i působí ve směru slabé osy. Nosník se pak ohne, čímž se dále posune těžiště hmoty nosníku. To způsobí zvětšení úhlu naklonění θ, který zvyšuje příčné zatížení i průhyb. Tento proces pokračuje, dokud není dosaženo rovnováhy při úhlu θ mírně větším než θ_i, nebo dokud příčný průhyb není dostatečně velký, aby nosník zničil.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Beam free to roll and deflect laterally – perspective}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Beam free to roll and deflect laterally – end view and equilibrium diagram}}}\]

Složka vlastní tíhy působící kolem slabé osy W sinθ_i způsobila dodatečný příčný průhyb z těžiště. Pro nalezení rovnovážného úhlu θ je nutné najít z, ale z je určeno složkou tíhy W sinθ, která sama závisí na θ.

Problém lze vyřešit tak, že nejprve vypočítáme teoretický (fiktivní) průhyb z₀ těžiště při plném zatížení působícím kolem slabé osy. Protože složka ve směru slabé osy je W sinθ, lze z vyjádřit jako z=z₀ sinθ. Průhyb v polovině rozpětí rovnoměrně zatíženého prostého nosníku lze vypočítat pomocí dobře známého vzorce:

\[\beta_{y}=\frac{5}{384}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}\]

Avšak β_y je maximální průhyb oblouku nosníku a my potřebujeme z₀, což je vzdálenost těžiště průhybového oblouku nosníku. z₀ je přibližně 2/3 hodnoty β_y. Přesněji:

\[z_{0}=\frac{1}{120}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}=0.64\beta_{y}\]

Odvození tohoto vzorce lze nalézt v [1] Příloze F. Rovnici rovnováhy lze pak přepsat jako:

\[tan\theta=\frac{z_{0}sin\theta+e_{i}}{y_{r}}\]

Jedinou neznámou je nyní θ, které lze nalézt postupnou aproximací. Pro úhly θ < 0.2 rad lze použít aproximaci θ ≈ sinθ ≈ tanθ. Rovnice rovnováhy se pak zjednodušší na:

\[\theta=\frac{e_{i}}{y_{r}-z_{0}}\]

Vliv polohy zdvihacího bodu

Umístění zdvihacího bodu i jen na malou vzdálenost od konce nosníku může výrazně zlepšit stabilitu při příčném ohybu. Průhyb se nejen sníží přibližně na čtvrtou mocninu čistého rozpětí, ale z₀ se zlepší ještě více, protože tíha přesahujících konců působí na opačné straně osy naklápění.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Computation of z₀ including overhanging ends}}}\]

Rovnice pro z₀ byla získána integrací tvaru průhybové křivky za účelem nalezení jejího těžiště.

\[z_{0}=\frac{w}{12EI_{y}l}\left( \frac{1}{10}l_{1}^{5}-a^{2}l_{1}^{3}+3a^{4}l_{1}+\frac{6}{5}a^{5} \right)\]

Příklad pro porovnání

Účelem tohoto článku je prokázat správnost výpočtů příčné stability v IDEA StatiCa Beam pro případ zdvihání nosníku. Je třeba poznamenat, že stejný geometricky a materiálově nelineární řešič je používán pro všechny návrhové situace, mění se pouze okrajové podmínky nebo počáteční podmínka. Jako příklad pro porovnání výsledků s výše uvedenou analytickou metodou byl zvolen prizmatický nosník I-průřezu, centricky předpjatý tak, aby normálová síla byla přibližně N_p = 1600 kN. Nosník je dále vyztužen betonářskou výztuží B500B, jak je znázorněno, a je vyroben z betonu C40/50. Předpětí je zvoleno tak, aby za žádné z testovaných podmínek nedocházelo k trhlinám. 

Pro analýzu v aplikaci je použit bilineární návrhový diagram napětí-přetvoření, kde je možné jednoduše stanovit modul pružnosti pro elastickou větev E_cd=f_cd/ε_c3.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Perspective view of the beam under examination}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Geometry and reinforcement}}}\]

Upozorňujeme, že osy jsou na obrázku 5 označeny odlišně než v předchozím teoretickém úvodu, kde bylo označení převzato z [1] a [2].

Nosník bude zavěšen na hácích s výškou h_h = 150 mm. To znamená, že y_r = 0.5h + h_h = 600 + 150 = 750 mm.

Analytický výpočet

Princip výpočtu byl již zmíněn na začátku tohoto článku. Nyní se podrobně podíváme na jednu z návrhových situací a porovnáme ji s výsledkem z aplikace. Závěsy budou umístěny v a = 1.0 m a počáteční excentricita bude e_ig = 350 mm. Jedná se o geometrickou počáteční excentricitu deformovaného nosníku, chápanou jako maximální průhyb oblouku. Není to tedy počáteční excentricita těžiště od osy naklápění e_i, která se používá ve výše uvedených ručních výpočtech. Z praktických důvodů je hodnota e_ig používána jako vstup do aplikace IDEA StatiCa Beam. Pro všechny uvažované případy byla hodnota e_ig převedena na hodnotu e_i pomocí grafické metody v CAD aplikaci.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Non-iterative approach}}}\]

Protože jsme získali úhel θ > 0.2 rad, ověříme správnost výsledků bez použití výše zmíněné aproximace θ ≈ sinθ ≈ tanθ. Musíme pak přistoupit k iteračnímu výpočtu, kde nejprve vypočítáme počáteční úhel naklonění θ_i a pokračujeme iterativně, dokud výpočet není stabilní.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Iterative approach}}}\]

Nyní se podívejme, jak byl stejný úkol vypočítán v IDEA StatiCa Beam a jeho modulu Příčná stabilita. Vstupní hodnoty pro výpočet jsou uvedeny na obrázku 8. Dynamický součinitel i ostatní kombinační součinitele jsou nastaveny na 1.0.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Lateral stability data input}}}\]

Výsledky IDEA StatiCa Beam

Pro účely ověření porovnáváme hodnotu pootočení nosníku, protože tato hodnota je základním výstupem řešiče. Ostatní výstupy, jako jsou deformace a vnitřní síly, jsou přímo závislé a vztahují se k pootočení nosníku. Nejprve se podíváme na počáteční pootočení θ_init = 220.4 mrad, které by mělo odpovídat hodnotě θ_i = 227 mrad z analytického výpočtu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Initial rotation}}}\]

Nakonec můžeme porovnat výsledky celkového pootočení nosníku, které je patrné na obrázku 10. Jsou zvýrazněny hodnoty jak na začátku nosníku, tak v jeho středu. Je tedy možné pozorovat vliv torzní tuhosti nosníku, který analytický výpočet nezachycuje.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Final rotation}}}\]

Všechny příklady

Tato kapitola představuje všechna testovaná zadání pro studovaný nosník s různými kombinacemi počáteční imperfekce a polohy zdvihacích smyček.

θ_init je hodnota počátečního pootočení získaná z aplikace a měla by být porovnána s θ_i z analytického výpočtu. θ_inc je přírůstek pootočení vypočítaný v aplikaci způsobený dodatečným pootočením vzniklým příčnou deformací od vlastní tíhy a θ_tot je výsledné pootočení porovnávané s hodnotou θ z analytického výpočtu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Design situation 1}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 2}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 3}}}\]

Závěr

V tomto článku jsme porovnali analytické výpočty příčné stability nosníků pro návrhový scénář zdvihání podle [1] a [2] s plně materiálově a geometricky nelineární analýzou metodou konečných prvků provedenou v IDEA StatiCa Beam. Výsledky ukazují, že sofistikovanější analýza se ukázala jako velmi přesná, spolehlivá a dostatečně přesná. Díky své obecnosti může pokrýt i výrazně širší portfolio návrhových situací bez zjednodušení a zdlouhavých ručních výpočtů. Lze také pozorovat, při jaké poloze závěsů je dosaženo rovnovážné polohy tak, aby se nosník neotáčel. V tomto stavu mají přesahující konce stabilizující moment rovný destabilizujícímu momentu od průhybu nosníku.

Reference

[1] Mast, R. F. (1989). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 1." PCI J. 34(1), 34–53. 

[2] Mast, R. F. (1993). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 2." PCI J., 38(1), 70–88.