인양 중 장경간 프리스트레스트 콘크리트 보의 횡방향 안정성

장경간 프리스트레스트 콘크리트 보의 인양은 횡비틀림 좌굴이라는 메커니즘에 의해 안정성을 잃을 수 있는 첫 번째 시공 단계입니다. 설계자 측면에서 부재는 일반적으로 완성된 구조물에 대해 횡방향 안정성을 검토하는데, 이는 항상 임계 조건이 되는 것은 아닙니다. 특히 보가 횡방향 부재, 바닥판 또는 지붕 자체에 의해 안정화되는 경향이 있기 때문입니다. 시공 중 안정성 문제는 제작자와 시공자에게 맡겨집니다. 많은 교재에서 찾을 수 있는 횡좌굴 공식은 오늘날의 요구에 충분히 일반적이지 않으며, 특히 시간과 재료 가격에 의해 압박을 받는 현대 제작자의 요구를 충족시키지 못합니다.

본 검증 논문에서는 IDEA StatiCa 빔 모듈과 횡방향 안정성 계산 모듈의 결과를 Robert F. Mast 1989 [1] 및 Robert F. Mast 1993 [2]에 의해 정리된 해석적 계산과 비교합니다. 본문의 첫 번째 부분에서는 해석 방법을 간략히 소개하고, 모든 공식과 중간 계산을 포함한 하나의 하중 케이스에 대한 완전한 예제 계산을 제시합니다. 그런 다음 이를 애플리케이션의 결과와 비교하고, 마지막으로 여러 설계 상황에 대한 요약을 제공합니다. 

회전 평형의 기본 이론

보가 인양 루프와 같은 유연한 지지체에 매달려 있을 때, 보는 자유롭게 회전할 수 있습니다. 회전 중심은 유연한 지지체가 강체와 연결되는 지점입니다. 각 지지점의 회전 중심을 통과하는 선이 회전축을 형성합니다. 초기 편심 e_i와 힌지의 오프셋은 항상 무게 중심을 회전축에서 약간 벗어나게 합니다. 이로 인해 보는 회전축에 대해 작은 각도 θ_i만큼 기울어집니다. 

\[\theta_{i}=tan\left(\frac{e_{i}}{y_{r}}\right)≈\frac{e_{i}}{y_{r}}\]

이 약간의 기울어짐은 보 자중의 성분 W sinθ_i가 약축 방향으로 작용하게 합니다. 그러면 보가 휘어지고, 보 질량의 무게 중심이 더욱 이동합니다. 이로 인해 회전 각도 θ가 증가하고, 이는 횡방향 하중과 처짐을 모두 증가시킵니다. 이는 θ_i보다 약간 큰 각도 θ에서 평형에 도달하거나, 횡방향 처짐이 보를 파괴할 만큼 충분해질 때까지 계속됩니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Beam free to roll and deflect laterally – perspective}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Beam free to roll and deflect laterally – end view and equilibrium diagram}}}\]

약축에 대해 작용하는 자중 성분 W sinθ_i는 무게 중심의 추가적인 횡방향 처짐 z를 유발합니다. 평형 각도 θ를 구하려면 z를 구해야 하지만, z는 θ 자체에 의존하는 자중 성분 W sinθ에 의해 결정됩니다.

이 문제는 먼저 전체 자중이 약축에 대해 작용할 때 무게 중심의 이론적(가상) 처짐 z₀를 계산함으로써 풀 수 있습니다. 그런 다음, 약축 성분이 W sinθ이므로, z는 z=z₀ sinθ로 구할 수 있습니다. 등분포 하중을 받는 단순보의 경간 중앙 처짐은 잘 알려진 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다:

\[\beta_{y}=\frac{5}{384}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}\]

그러나 β_y는 보 호의 최대 처짐이며, 우리에게 필요한 것은 처짐된 보 호의 무게 중심까지의 거리인 z₀입니다. z₀는 β_y의 약 2/3입니다. 보다 정확하게는:

\[z_{0}=\frac{1}{120}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}=0.64\beta_{y}\]

이 공식의 유도는 [1] 부록 F에서 찾을 수 있습니다. 평형 방정식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다:

\[tan\theta=\frac{z_{0}sin\theta+e_{i}}{y_{r}}\]

이제 유일한 미지수는 θ이며, 이는 연속 근사법으로 구할 수 있습니다. 각도 θ < 0.2 rad에 대해 근사식 θ ≈ sinθ ≈ tanθ를 사용할 수 있습니다. 그러면 평형 방정식은 다음과 같이 단순화됩니다:

\[\theta=\frac{e_{i}}{y_{r}-z_{0}}\]

인양점 위치의 영향

인양점을 단부에서 약간만 떨어진 위치에 배치해도 횡방향 휨 안정성을 크게 향상시킬 수 있습니다. 유효 경간의 4제곱에 비례하여 처짐이 감소할 뿐만 아니라, 돌출 단부의 자중이 회전축의 반대편에 위치하므로 z₀도 더욱 개선됩니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Computation of z₀ including overhanging ends}}}\]

z₀에 대한 방정식은 처짐 곡선의 형상을 적분하여 도심을 구함으로써 얻었습니다.

\[z_{0}=\frac{w}{12EI_{y}l}\left( \frac{1}{10}l_{1}^{5}-a^{2}l_{1}^{3}+3a^{4}l_{1}+\frac{6}{5}a^{5} \right)\]

비교를 위한 예제

본 논문의 목적은 보 인양 케이스에 대한 IDEA StatiCa 빔 모듈의 횡방향 안정성 계산의 정확성을 입증하는 것입니다. 동일한 기하학적·재료적 비선형 해석기가 모든 설계 상황에 사용되며, 경계 조건 또는 초기 조건만 변경된다는 점을 주목할 필요가 있습니다. 위에서 제시한 해석적 방법과 결과를 비교하기 위한 예제로, 법선력이 약 N_p = 1600 kN이 되도록 중심 프리텐션이 적용된 I형 단면의 등단면 보를 선택하였습니다. 보는 도시된 바와 같이 B500B 콘크리트 철근으로 추가 보강되었으며, C40/50 콘크리트로 제작됩니다. 프리스트레싱은 시험 조건 하에서 어떠한 경우에도 균열이 발생하지 않도록 선택되었습니다. 

애플리케이션의 해석에는 이선형 응력-변형률 설계 다이어그램이 사용되며, 탄성 구간의 탄성계수 E_cd=f_cd/ε_c3를 간단히 결정할 수 있습니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Perspective view of the beam under examination}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Geometry and reinforcement}}}\]

그림 5의 축 표기는 앞서의 이론적 소개에서 [1] 및 [2]를 기반으로 한 표기와 다르게 표시되어 있음을 유의하시기 바랍니다.

보는 높이 h_h = 150 mm의 후크로 매달립니다. 이는 y_r = 0.5h + h_h = 600 + 150 = 750 mm를 의미합니다.

해석적 계산

계산 원리는 이미 본 논문의 서두에서 언급되었습니다. 이제 설계 상황 중 하나를 자세히 살펴보고 애플리케이션의 결과와 비교하겠습니다. 힌지는 a = 1.0 m에 배치되고 초기 편심은 e_ig = 350 mm로 설정됩니다. 이는 변형된 보의 기하학적 초기 편심으로, 호의 최대 처짐을 의미합니다. 따라서 이는 위의 수동 계산에서 사용된 회전축으로부터 무게 중심의 초기 편심 e_i가 아닙니다. 실용적인 이유로, e_ig 값이 IDEA StatiCa 빔 모듈 애플리케이션의 입력값으로 사용됩니다. 고려된 모든 케이스에 대해, e_ig 값은 CAD 애플리케이션의 그래픽 방법을 사용하여 e_i 값으로 변환되었습니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Non-iterative approach}}}\]

이제 각도 θ > 0.2 rad를 얻었으므로, 위에서 언급한 근사식 θ ≈ sinθ ≈ tanθ를 사용하지 않고 결과의 정확성을 확인하겠습니다. 그런 다음 초기 회전 각도 θ_i를 먼저 계산하고 계산이 수렴할 때까지 반복적으로 진행하는 반복 계산을 수행해야 합니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Iterative approach}}}\]

이제 IDEA StatiCa 빔 모듈과 횡방향 안정성 모듈에서 동일한 과제가 어떻게 계산되었는지 살펴보겠습니다. 계산을 위한 입력값은 그림 8에 제시되어 있습니다. 동적 계수와 기타 조합 계수는 모두 1.0으로 설정됩니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Lateral stability data input}}}\]

IDEA StatiCa Beam 결과

검증 목적으로, 해석기의 기본 출력값인 보 회전값을 비교합니다. 변형 및 내력과 같은 다른 출력값은 보 회전에 직접적으로 의존하고 관련되어 있습니다. 먼저 초기 회전 θ_init = 220.4 mrad를 살펴보는데, 이는 해석적 계산의 θ_i = 227 mrad 값에 대응해야 합니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Initial rotation}}}\]

마지막으로, 그림 10에서 볼 수 있는 전체 보 회전 결과를 비교할 수 있습니다. 보의 시작 부분과 중앙부의 값이 강조 표시되어 있습니다. 따라서 해석적 계산에서는 포착되지 않는 보의 회전 강성 효과를 관찰할 수 있습니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Final rotation}}}\]

모든 예제

본 장에서는 초기 불완전성과 인양 루프 위치의 다양한 조합으로 검토된 보에 대한 모든 시험 케이스를 제시합니다.

θ_init는 애플리케이션에서 얻은 초기 회전값으로, 해석적 계산의 θ_i와 비교해야 합니다. θ_inc는 자중에 의한 횡방향 변형으로 인한 추가 회전에 의해 애플리케이션에서 계산된 회전 증분이며, θ_tot는 해석적 계산의 θ 값과 비교되는 최종 회전값입니다.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Design situation 1}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 2}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 3}}}\]

결론

본 논문에서는 [1] 및 [2]에 따른 인양 설계 시나리오에서 보의 횡방향 안정성에 대한 해석적 계산과 IDEA StatiCa 빔 모듈에서 수행된 완전 재료 및 기하학적 비선형 유한요소 해석을 비교하였습니다. 결과는 보다 정교한 해석이 매우 정확하고 신뢰할 수 있으며 충분히 정밀한 것으로 입증되었음을 보여줍니다. 그 일반성으로 인해 단순화 및 번거로운 수동 계산 없이 훨씬 더 광범위한 설계 상황을 다룰 수 있습니다. 또한 보가 회전하지 않도록 평형 위치에 도달하는 힌지의 위치를 관찰할 수 있습니다. 이 상태에서 돌출 단부는 보의 처짐으로 인한 불안정화 모멘트와 동일한 안정화 모멘트를 갖습니다.

참고문헌

[1] Mast, R. F. (1989). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 1." PCI J. 34(1), 34–53. 

[2] Mast, R. F. (1993). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 2." PCI J., 38(1), 70–88.