Hosszú előfeszített beton gerendák kifordulása emelés közben

A hosszú előfeszített beton gerendák emelése az egyik első építési fázis, amelynek során a stabilitás elveszhet egy kifordulásnak nevezett mechanizmus révén. A tervező oldalán az elemeket általában a kész szerkezeten értékelik az oldalirányú stabilitás szempontjából, ami nem mindig kritikus feltétel, különösen mivel a gerendákat általában a keresztirányú elemek, a padló vagy maga a tető stabilizálja. Az építés közbeni stabilitási kérdéseket a gyártókra és a kivitelezőkre hagyják. Sok tankönyvben megtalálható kifordulási képletek nem elég általánosak a mai igényekhez, és így nem fedik le a modern gyártó igényeit, akit különösen az idő és az anyagárak nyomnak.

Ebben az ellenőrző cikkben összehasonlítjuk az IDEA StatiCa Beam és annak keresztirányú stabilitásszámítási moduljának eredményeit Robert F. Mast 1989 [1] és Robert F. Mast 1993 [2] által kidolgozott analitikus számítással. A szöveg első részében röviden bemutatjuk az analitikus módszert, és egy teljes mintaszámítást mutatunk be egy teherkombinációra, beleértve az összes képletet és közbenső számítást. Ezt ezután összehasonlítjuk az alkalmazás eredményével, és végül összefoglalót adunk több méretezési szituációról. 

A billenési egyensúly alapelmélete

Amikor egy gerenda rugalmas támaszokról, például emelési hurkokról lóg, szabadon billenhet. A forgásközpont az a pont, ahol a rugalmas támasz a merev testhez csatlakozik. Az egyes támaszok forgásközpontján átmenő egyenes alkotja a billenési tengelyt. A kezdeti excentricitás e_i és a csuklók eltolódása mindig a tömegközéppontot kissé a billenési tengelyen kívülre helyezi. Ez azt okozza, hogy a gerenda kis θ_i szöggel megbillen a billenési tengely körül. 

\[\theta_{i}=tan\left(\frac{e_{i}}{y_{r}}\right)≈\frac{e_{i}}{y_{r}}\]

Ez a kis billentés azt okozza, hogy a gerenda súlyának W sinθ_i komponense a gyenge tengely irányában hat. A gerenda ekkor meghajlik, ami tovább tolja a gerenda tömegének tömegközéppontját. Ez a billentési szög θ növekedését okozza, ami növeli az oldalirányú terhelést és az elhajlást is. Ez addig folytatódik, amíg az egyensúly el nem éri a θ_i-nél valamivel nagyobb θ szögnél, vagy amíg a keresztirányú elhajlás nem elegendő a gerenda tönkremeneteléhez.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Beam free to roll and deflect laterally – perspective}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Beam free to roll and deflect laterally – end view and equilibrium diagram}}}\]

Az önsúly gyenge tengely körül ható komponense W sinθ_i egy további oldalirányú z elhajlást okozott a tömegközéppontban. Az egyensúlyi θ szög meghatározásához meg kell találni z-t, de z-t a W sinθ súlykomponens határozza meg, amely maga is θ-tól függ.

A feladat megoldható úgy, hogy először kiszámítjuk a tömegközépont elméleti (fiktív) z₀ elhajlását, amikor a teljes súly a gyenge tengely körül hat. Mivel a gyenge tengely komponense W sinθ, z meghatározható mint z=z₀ sinθ. Az egyenletesen terhelt egyszerű gerenda középső elhajlása a jól ismert képlettel számítható:

\[\beta_{y}=\frac{5}{384}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}\]

De β_y a gerenda ívének maximális elhajlása, és szükségünk van z₀-ra, amely a gerenda elhajlott ívének tömegközéppontjától mért távolság. z₀ közelítőleg β_y 2/3-a. Pontosabban:

\[z_{0}=\frac{1}{120}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}=0.64\beta_{y}\]

Ennek a képletnek a levezetése megtalálható az [1] F. függelékében. Az egyensúlyi egyenlet ekkor átírható:

\[tan\theta=\frac{z_{0}sin\theta+e_{i}}{y_{r}}\]

Az egyetlen ismeretlen most θ, amely egymást követő közelítéssel meghatározható. Mondjuk θ < 0.2 rad szögekre a θ ≈ sinθ ≈ tanθ közelítés alkalmazható. Az egyensúlyi egyenlet ekkor egyszerűsödik:

\[\theta=\frac{e_{i}}{y_{r}-z_{0}}\]

Az emelési pont helyzetének hatása

Az emelési pont akár kis távolságra való elhelyezése a végtől drámaian javíthatja az oldalirányú hajlítási stabilitást. Nemcsak az elhajlás csökken, közelítőleg a nettó fesztávolság negyedik hatványával, hanem z₀ még tovább javul, mivel a túlnyúló végeken lévő súly a billenési tengely ellentétes oldalán van.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Computation of z₀ including overhanging ends}}}\]

A z₀ egyenletét az elhajlási görbe alakjának integrálásával kaptuk, hogy megtaláljuk annak súlypontját.

\[z_{0}=\frac{w}{12EI_{y}l}\left( \frac{1}{10}l_{1}^{5}-a^{2}l_{1}^{3}+3a^{4}l_{1}+\frac{6}{5}a^{5} \right)\]

Összehasonlítási példa

Ennek a cikknek az a célja, hogy bemutassa az IDEA StatiCa Beam keresztirányú stabilitásszámításainak helyességét gerenda emelésének esetére. Érdemes megjegyezni, hogy ugyanazt a geometriailag és anyagilag nemlineáris megoldót használják az összes méretezési szituációhoz, csak a peremfeltételek vagy a kezdeti feltétel változik. A fent bemutatott analitikus módszerrel való összehasonlításhoz egy I-keresztmetszetű, prizmatikus gerendát választottak, amelyet centrikusan feszítettek elő úgy, hogy a normálerő közelítőleg N_p = 1600 kN. A gerenda továbbá B500B betonvasalással van megerősítve az ábrán látható módon, és C40/50 betonból készült. Az előfeszítés úgy van megválasztva, hogy a vizsgált feltételek egyike esetén sem lép fel repedés. 

Az alkalmazásban végzett elemzéshez bilineáris feszültség-alakváltozás méretezési diagramot alkalmaznak, ahol egyszerűen meghatározható a rugalmas ág rugalmassági modulusa E_cd=f_cd/ε_c3.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Perspective view of the beam under examination}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Geometry and reinforcement}}}\]

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a tengelyek jelölése az 5. ábrán eltér az előző elméleti bevezetéstől, ahol a jelölés [1] és [2] alapján történt.

A gerendát kampókkal fogják felfüggeszteni, amelyek magassága h_h = 150 mm. Ez azt jelenti, hogy y_r = 0,5h + h_h = 600 + 150 = 750 mm.

Analitikus számítás

A számítás elvét már a cikk elején ismertettük. Most részletesen megvizsgálunk egy méretezési szituációt, és összehasonlítjuk az alkalmazás eredményével. A csuklókat a = 1,0 m-re helyezzük el, és a kezdeti excentricitás e_ig = 350 mm lesz. Ez a deformált gerenda geometriai kezdeti excentricitása, amelyet az ív maximális elhajlásaként értünk. Tehát nem a tömegközéppont billenési tengelytől mért kezdeti excentricitása e_i, amelyet a fenti kézi számításokban használunk. Gyakorlati okokból az e_ig értéket használják bemenetként az IDEA StatiCa Beam alkalmazásban. Az összes vizsgált esetben az e_ig értéket a CAD alkalmazásban grafikus módszerrel konvertálták e_i értékké.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Non-iterative approach}}}\]

Mivel most θ > 0,2 rad szöget kaptunk, ellenőrizzük az eredmények helyességét a fent említett θ ≈ sinθ ≈ tanθ közelítés alkalmazása nélkül. Ekkor az iteratív számítással kell folytatni, ahol először kiszámítjuk a kezdeti billentési szöget θ_i, majd iteratívan folytatjuk, amíg a számítás stabilizálódik.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Iterative approach}}}\]

Most nézzük meg, hogyan számította el ugyanezt a feladatot az IDEA StatiCa Beam és annak Oldalirányú stabilitás modulja. A számítás bemeneti értékeit a 8. ábra mutatja. A dinamikus együttható, valamint a többi kombinációs együttható értéke 1,0.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Lateral stability data input}}}\]

IDEA StatiCa Beam eredmények

Ellenőrzési célból összehasonlítjuk a gerenda forgásértékét, mivel ez az érték a megoldó alapvető kimenete. Más kimenetek, mint például az alakváltozás és a belső erők, közvetlenül függnek és kapcsolódnak a gerenda forgásához. Először megvizsgáljuk a kezdeti forgást θ_init = 220,4 mrad, amelynek meg kell felelnie az analitikus számításból kapott θ_i = 227 mrad értéknek.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Initial rotation}}}\]

Végül összehasonlíthatjuk a gerenda teljes forgásának eredményeit, amelyek a 10. ábrán láthatók. A gerenda elejénél és közepénél lévő értékek ki vannak emelve. Így megfigyelhető a gerenda forgási merevségének hatása, amelyet az analitikus számítás nem vesz figyelembe.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Final rotation}}}\]

Összes példa

Ez a fejezet bemutatja az összes tesztelt feladatot a vizsgált gerendára, a kezdeti tökéletlenség és az emelési hurok pozíciójának különböző kombinációival.

θ_init az alkalmazásból kapott kezdeti forgás értéke, amelyet az analitikus számítás θ_i értékével kell összehasonlítani. θ_inc az alkalmazásban számított forgásnövekmény, amelyet az önsúlyból eredő oldalirányú alakváltozás által okozott további forgás okoz, és θ_tot az eredő forgás, amelyet az analitikus számítás θ értékével kell összehasonlítani.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Design situation 1}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 2}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 3}}}\]

Következtetés

Ebben a cikkben összehasonlítottuk a gerendák keresztirányú stabilitásának analitikus számításait az emelés méretezési szituációra [1] és [2] szerint, az IDEA StatiCa Beam programban elvégzett teljes anyagi és geometriai nemlineáris végeselem-elemzéssel. Az eredmények azt mutatják, hogy a kifinomultabb elemzés nagyon pontosnak, megbízhatónak és kellően precíznek bizonyult. Általánossága révén lényegesen nagyobb méretezési szituáció-portfóliót is lefedhet egyszerűsítések és fáradságos kézi számítások nélkül. Azt is megfigyelhetjük, hogy a csuklók mely pozíciójánál érhető el az egyensúlyi helyzet, amelynél a gerenda nem forog. Ebben az állapotban a túlnyúló végek stabilizáló nyomatéka egyenlő a gerenda elhajlásából eredő destabilizáló nyomatékkal.

Hivatkozások

[1] Mast, R. F. (1989). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 1." PCI J. 34(1), 34–53. 

[2] Mast, R. F. (1993). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 2." PCI J., 38(1), 70–88.