Estabilidad lateral de vigas largas de hormigón pretensado durante el izado

El izado de vigas largas de hormigón pretensado es la primera de las fases de construcción durante la cual puede perderse la estabilidad mediante un mecanismo denominado pandeo lateral torsional. Por parte del proyectista, los elementos suelen verificarse para la estabilidad lateral en la estructura terminada, lo que no siempre constituye una condición crítica, especialmente porque las vigas tienden a estar estabilizadas por los elementos transversales, el forjado o la propia cubierta. Los problemas de estabilidad durante la construcción quedan en manos de fabricantes y contratistas. Las fórmulas de pandeo lateral que se encuentran en muchos libros de texto no son suficientemente generales para las necesidades actuales y, por tanto, no cubren las exigencias del fabricante moderno, que se ve presionado especialmente por los plazos y los precios de los materiales.

En este artículo de verificación, comparamos los resultados de IDEA StatiCa Beam y su módulo de cálculo de estabilidad transversal con el cálculo analítico elaborado por Robert F. Mast 1989 [1] y Robert F. Mast 1993 [2]. En la primera parte del texto, presentamos brevemente el método analítico y desarrollamos un cálculo de ejemplo completo para un caso de carga, incluyendo todas las fórmulas y los cálculos intermedios. A continuación, comparamos esto con el resultado de la aplicación y, finalmente, ofrecemos un resumen de varias situaciones de cálculo. 

Teoría básica del equilibrio de vuelco

Cuando una viga cuelga de apoyos flexibles, como un lazo de izado, es libre de girar. El centro de rotación es el punto en el que el apoyo flexible se une al cuerpo rígido. Una línea que pasa por el centro de rotación en cada apoyo forma un eje de vuelco. La excentricidad inicial e_i y el desplazamiento de las rótulas siempre situarán el centro de gravedad ligeramente fuera del eje de vuelco. Esto provoca que la viga se incline respecto al eje de vuelco un pequeño ángulo θ_i. 

\[\theta_{i}=tan\left(\frac{e_{i}}{y_{r}}\right)≈\frac{e_{i}}{y_{r}}\]

Esta ligera inclinación hace que la componente del peso propio de la viga W sinθ_i se aplique en la dirección del eje débil. La viga se flexiona entonces, desplazando adicionalmente el centro de gravedad de la masa de la viga. Esto provoca un aumento del ángulo de vuelco θ, que incrementa tanto la carga lateral como la flecha. Este proceso continúa hasta que se alcanza el equilibrio en un ángulo θ ligeramente mayor que θ_i, o hasta que la flecha transversal es suficiente para provocar el colapso de la viga.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Beam free to roll and deflect laterally – perspective}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Beam free to roll and deflect laterally – end view and equilibrium diagram}}}\]

La componente del peso propio que actúa sobre el eje débil W sinθ_i ha provocado una flecha lateral adicional z del centro de gravedad. Para encontrar el ángulo de equilibrio θ, es necesario determinar z, pero z viene determinado por la componente del peso W sinθ, que a su vez depende de θ.

El problema puede resolverse calculando primero una flecha teórica (ficticia) z₀ del centro de gravedad con el peso total aplicado sobre el eje débil. Entonces, dado que la componente del eje débil es W sinθ, z puede obtenerse como z=z₀ sinθ. La flecha en el centro del vano de una viga simple con carga uniforme puede calcularse mediante la conocida fórmula:

\[\beta_{y}=\frac{5}{384}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}\]

Pero β_y es la flecha máxima del arco de la viga, y necesitamos z₀, que es la distancia del centro de gravedad del arco deformado de la viga. z₀ es aproximadamente 2/3 de β_y. Más precisamente:

\[z_{0}=\frac{1}{120}\frac{wl^{4}}{EI_{y}}=0.64\beta_{y}\]

La deducción de esta fórmula puede encontrarse en [1] Apéndice F. La ecuación de equilibrio puede entonces reescribirse como:

\[tan\theta=\frac{z_{0}sin\theta+e_{i}}{y_{r}}\]

La única incógnita es ahora θ, que puede obtenerse por aproximaciones sucesivas. Para ángulos θ < 0.2 rad, puede utilizarse la aproximación θ ≈ sinθ ≈ tanθ. La ecuación de equilibrio se simplifica entonces a:

\[\theta=\frac{e_{i}}{y_{r}-z_{0}}\]

Efecto de la posición del punto de izado

Situar el punto de izado incluso a una pequeña distancia del extremo puede mejorar notablemente la estabilidad a flexión lateral. No solo se reduce la flecha, aproximadamente con la cuarta potencia de la luz neta, sino que z₀ mejora aún más, ya que el peso en los voladizos extremos actúa en el lado opuesto del eje de vuelco.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Computation of z₀ including overhanging ends}}}\]

La ecuación para z₀ se obtuvo integrando la forma de la curva de deformada para encontrar su centroide.

\[z_{0}=\frac{w}{12EI_{y}l}\left( \frac{1}{10}l_{1}^{5}-a^{2}l_{1}^{3}+3a^{4}l_{1}+\frac{6}{5}a^{5} \right)\]

Ejemplo de comparación

El objetivo de este artículo es demostrar la corrección de los cálculos de estabilidad transversal en IDEA StatiCa Beam para el caso de izado de vigas. Cabe destacar que el mismo solver no lineal geométrica y materialmente se utiliza para todas las situaciones de cálculo, modificándose únicamente las condiciones de contorno o la condición inicial. Como ejemplo para comparar los resultados con el método analítico presentado anteriormente, se eligió una viga prismática de sección en I, pretensada céntricamente de modo que la fuerza normal es aproximadamente N_p = 1600 kN. La viga está además armada con armadura de hormigón B500B según se indica y está fabricada con hormigón C40/50. El pretensado se elige de modo que no se produzca fisuración en ninguna condición bajo ensayo. 

Para el análisis en la aplicación se utiliza un diagrama bilineal tensión-deformación de cálculo, donde es posible determinar de forma sencilla el módulo de elasticidad para la rama elástica E_cd=f_cd/ε_c3.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Perspective view of the beam under examination}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Geometry and reinforcement}}}\]

Nótese que los ejes están etiquetados de forma diferente en la Figura 5 respecto a la introducción teórica anterior, donde el etiquetado se basaba en [1] y [2].

La viga se suspenderá mediante ganchos de altura h_h = 150 mm. Esto significa que y_r = 0.5h + h_h = 600 + 150 = 750 mm.

Cálculo analítico

El principio de cálculo ya se ha mencionado al inicio de este artículo. Ahora examinaremos en detalle una de las situaciones de cálculo y la compararemos con el resultado de la aplicación. Las rótulas se situarán en a = 1.0 m y la excentricidad inicial será e_ig = 350 mm. Esta es la excentricidad inicial geométrica de la viga deformada, entendida como la flecha máxima del arco. Por tanto, no es la excentricidad inicial del centro de gravedad respecto al eje de vuelco e_i que se utiliza en los cálculos manuales anteriores. Por razones prácticas, el valor e_ig se utiliza como dato de entrada en la aplicación IDEA StatiCa Beam. Para todos los casos considerados, el valor e_ig se convirtió al valor e_i mediante el método gráfico en la aplicación CAD.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6\qquad Non-iterative approach}}}\]

Dado que hemos obtenido un ángulo θ > 0.2 rad, verificaremos la corrección de los resultados sin utilizar la aproximación mencionada anteriormente θ ≈ sinθ ≈ tanθ. Debemos entonces proceder con el cálculo iterativo, donde primero calculamos el ángulo de vuelco inicial θ_i y continuamos iterativamente hasta que el cálculo converge.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Iterative approach}}}\]

Veamos ahora cómo se ha calculado la misma tarea en IDEA StatiCa Beam y su módulo de estabilidad lateral. Los valores de entrada para el cálculo se presentan en la Figura 8. El coeficiente dinámico, así como los demás coeficientes de combinación, se establecen en 1.0.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 8\qquad Lateral stability data input}}}\]

Resultados de IDEA StatiCa Beam

A efectos de verificación, comparamos el valor de la rotación de la viga, ya que este valor es la salida básica del solver. Otras salidas, como la deformación y los esfuerzos internos, dependen directamente de la rotación de la viga y están relacionadas con ella. En primer lugar, observamos la rotación inicial θ_init = 220.4 mrad, que debería corresponder al valor de θ_i = 227 mrad del cálculo analítico.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9\qquad Initial rotation}}}\]

Finalmente, podemos comparar los resultados de la rotación total de la viga, que puede observarse en la Figura 10. Se destacan los valores tanto en el inicio de la viga como en su centro. Es posible, por tanto, observar el efecto de la rigidez torsional de la viga, que no queda recogido en el cálculo analítico.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 10\qquad Final rotation}}}\]

Todos los ejemplos

Este capítulo presenta todos los casos analizados para la viga estudiada con diferentes combinaciones de imperfección inicial y posiciones del lazo de izado.

θ_init es el valor de la rotación inicial obtenido de la aplicación y debe compararse con θ_i del cálculo analítico. θ_inc es el incremento de rotación calculado en la aplicación causado por la rotación adicional debida a la deformación lateral por peso propio, y θ_tot es la rotación resultante comparada con el valor θ del cálculo analítico.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 11\qquad Design situation 1}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 2}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 12\qquad Design situation 3}}}\]

Conclusión

En este artículo, hemos comparado los cálculos analíticos de la estabilidad transversal de vigas bajo el escenario de cálculo de izado según [1] y [2] con el análisis de elementos finitos completamente no lineal en material y geometría realizado en IDEA StatiCa Beam. Los resultados muestran que el análisis más sofisticado resultó ser muy preciso, fiable y suficientemente exacto. Gracias a su generalidad, también puede cubrir un portfolio significativamente más amplio de situaciones de cálculo sin simplificaciones ni tediosos cálculos manuales. Asimismo, podemos observar en qué posición de las rótulas se alcanza la posición de equilibrio de modo que la viga no gira. En este estado, los voladizos extremos generan un momento estabilizador igual al momento desestabilizador producido por la deformada de la viga.

Referencias

[1] Mast, R. F. (1989). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 1." PCI J. 34(1), 34–53. 

[2] Mast, R. F. (1993). "Lateral Stability of Long Prestressed Concrete Beams, Part 2." PCI J., 38(1), 70–88.