Výpočet šířky trhlin a tahové zpevnění

Výpočet šířky trhlin

Existují dva způsoby výpočtu šířky trhlin - stabilizované a nestabilizované vznikání trhlin. Podle geometrického stupně vyztužení v jednotlivých částech konstrukce se rozhoduje, který typ modelu výpočtu trhlin bude použit (TCM pro stabilizované vznikání trhlin a POM pro nestabilizovaný model vznikání trhlin).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 20 \qquad Crack width calculation: (a) considered crack kinematics; (b) projection of crack kinematics into the principal}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{directions of the reinforcing bar; (c) crack width in the direction of the reinforcing bar for stabilized cracking; (d) cases with}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{local non-stabilized cracking regardless of the reinforcement amount; (e) crack width in the direction of the reinforcing bar}}}$$\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking.}}}$

Zatímco CSFM poskytuje přímý výsledek pro většinu posouzení (např. únosnost prvku, průhyby…), výsledky šířky trhlin se počítají z hodnot přetvoření výztuže přímo poskytovaných MKP analýzou podle metodiky popsané na obr. 20. Uvažuje se kinematika trhliny bez skluzu (čisté otevírání trhliny) (obr. 20a), což je v souladu s hlavními předpoklady modelu. Hlavní směry napětí a přetvoření definují sklon trhlin (θ_r = θ_s= θ_e). Podle (obr. 20b) lze šířku trhliny (w) promítnout ve směru výztužné tyče (w_b), což vede k:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(θ_r + θ_b - \frac{π}{2}\right)}$$

kde θ_b je sklon výztužné tyče.

Upozorňujeme, že program zobrazuje hodnoty θ_r a θ_b < π/2. To znamená, že předchozí rovnice platí pro případy, kdy výztuž a trhlina procházejí různými kvadranty kartézského souřadnicového systému, jak je znázorněno na obr. 20, kde výztuž prochází I. a III. kvadrantem a trhlina II. a IV. Pro případy, kdy výztuž a trhlina procházejí stejnými kvadranty, je nutné rovnici upravit následovně:

$$w = \frac{w_b}{\cos\left(-θ_r + θ_b + \frac{π}{2}\right)}$$

Složka w_b se důsledně počítá na základě modelů tahového zpevnění integrací přetvoření výztuže. Pro oblasti s plně vyvinutým obrazcem trhlin se vypočtená průměrná přetvoření (e_m) podél výztužných tyčí přímo integrují podél rozteče trhlin (s_r), jak je uvedeno na (obr. 20c). Ačkoli tento přístup k výpočtu směrů trhlin neodpovídá skutečné poloze trhlin, stále poskytuje reprezentativní hodnoty, které vedou k výsledkům šířky trhlin, jež lze porovnat s hodnotami šířky trhlin požadovanými normou v místě výztužné tyče.

Zvláštní situace se pozorují v konkávních rozích posuzované konstrukce. V tomto případě roh předurčuje polohu jediné trhliny, která se chová nestabilizovaným způsobem, než se vyvinou další sousední trhliny. Tyto další trhliny se obecně vyvíjejí až po dosažení rozsahu mezních stavů použitelnosti (Mata-Falcón 2015), což opravňuje k výpočtu šířky trhlin v takové oblasti, jako by byly nestabilizované (obr. 21).

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 21\qquad Definition of the region at concave corners in which the crack width is computed as if it were non-stabilized.}}}$$

Tahové zpevnění

Implementace tahového zpevnění rozlišuje mezi případy stabilizovaného a nestabilizovaného obrazce trhlin. V obou případech se beton standardně považuje za zcela porušený trhlinami před zatížením.

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 22\qquad Tension stiffening model: (a) tension chord element for stabilized cracking with distribution of bond shear,}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{steel and concrete stresses, and steel strains between cracks, considering average crack spacing); (b) pull-out assumption}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{for non-stabilized cracking with distribution of bond shear and steel stresses and strains around the crack; (c) resulting}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{tension chord behavior in terms of reinforcement stresses at the cracks and average strains for European B500B steel;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(d) detail of the initial branches of the tension chord response.}}}$

Stabilizované vznikání trhlin

U plně vyvinutých obrazců trhlin se tahové zpevnění zavádí pomocí modelu tahového pásu (Tension Chord Model, TCM) (Marti et al. 1998; Alvarez 1998) – obr. 22a – který, jak se ukázalo, poskytuje výborné předpovědi chování i přes svou jednoduchost (Burns 2012). TCM předpokládá stupňovitý, tuze-plastický vztah mezi smykovým napětím soudržnosti a skluzem s τ_b = τ_b0 =2 f_ctm pro σ_s ≤ f_y a τ_b =τ_b1 = f_ctm pro σ_s > f_y. Při uvažování každé výztužné tyče jako tahového pásu ­– obr. 22b a obr. 22a – lze pro libovolnou danou hodnotu maximálního napětí (nebo přetvoření) výztuže v trhlinách určit rozdělení smykového napětí soudržnosti, napětí v oceli a betonu, a tedy i rozdělení přetvoření mezi dvěma trhlinami.

Pro s_r = s_r0 se nová trhlina může, ale nemusí vytvořit, protože uprostřed mezi dvěma trhlinami σ_c1 = f_ct. V důsledku toho se rozteč trhlin může lišit faktorem dva, tj. s_r = λs_r0, s l = 0,5…1,0. Za předpokladu určité hodnoty λ lze průměrné přetvoření pásu (ε_m) vyjádřit jako funkci maximálního napětí ve výztuži (tj. napětí v trhlinách, σ_sr). Pro idealizovaný bilineární diagram napětí-přetvoření pro holé výztužné tyče standardně uvažovaný v CSFM se získají následující analytické výrazy v uzavřeném tvaru (Marti et al. 1998):

$$\varepsilon_m = \frac{\sigma_{sr}}{E_s} - \frac{\tau_{b0}s_r}{E_s Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\sigma_{sr} \le f_y$$

$${\varepsilon_m} = \frac{{{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}^2}Ø}}{{4{E_{sh}}{\tau _{b1}}{s_r}}}\left( {1 - \frac{{{E_{sh}}{\tau_{b0}}}}{{{E_s}{\tau_{b1}}}}} \right) + \frac{{\left( {{\sigma_{sr}} - {f_y}} \right)}}{{{E_s}}}\frac{{{\tau_{b0}}}}{{{\tau_{b1}}}} + \left( {{\varepsilon_y} - \frac{{{\tau_{b0}}{s_r}}}{{{E_s}Ø}}} \right)$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad{f_y} \le {\sigma _{sr}} \le \left( {{f_y} + \frac{{2{\tau _{b1}}{s_r}}}{Ø}} \right)$$

$$\varepsilon_m = \frac{f_s}{E_s} + \frac{\sigma_{sr}-f_y}{E_{sh}} - \frac{\tau_{b1} s_r}{E_{sh} Ø}$$

$$\textrm{for}\qquad\qquad\left(f_y + \frac{2\tau_{b1}s_r}{Ø}\right) \le \sigma_{sr} \le f_t$$

kde:
E_sh           modul zpevnění oceli E_sh = (f_t – f_y)/(ε_u – f_y /E_s) ,

E_s            modul pružnosti výztuže,

Ø            průměr výztužné tyče,

s_r                rozteč trhlin,

σ_sr           napětí ve výztuži v trhlinách,

σ_s            skutečné napětí ve výztuži,

f_y                mez kluzu výztuže.

Implementace CSFM v aplikaci Idea StatiCa Detail standardně uvažuje průměrnou rozteč trhlin při provádění výpočetní analýzy tahových polí (stress field analysis). Průměrná rozteč trhlin se uvažuje jako 2/3 maximální rozteče trhlin (λ = 0,67), což vychází z doporučení učiněných na základě ohybových a tahových zkoušek (Broms 1965; Beeby 1979; Meier 1983). Je třeba poznamenat, že výpočty šířky trhlin uvažují maximální rozteč trhlin (λ = 1,0), aby byly získány konzervativní hodnoty.

Použití TCM závisí na stupni vyztužení, a proto je klíčové přiřazení odpovídající plochy betonu působící v tahu mezi trhlinami ke každé výztužné tyči. Byl vyvinut automatický numerický postup pro definování odpovídajícího efektivního stupně vyztužení (ρ_eff = A_s/A_c,eff) pro libovolnou konfiguraci, včetně šikmé výztuže (obr. 23).

$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 23\qquad Effective area of concrete in tension for stabilized cracking: (a) maximum concrete area that can be activated;}}}$ $\textsf{\textit{\footnotesize{(b) cover and global symmetry condition; (c) resultant effective area.}}}$

Nestabilizované vznikání trhlin

Trhliny existující v oblastech s geometrickým stupněm vyztužení nižším než ρ_cr, tj. minimálním množstvím výztuže, při kterém je výztuž schopna přenést zatížení při vzniku trhlin bez dosažení meze kluzu, vznikají buď v důsledku nemechanických účinků (např. smršťování), nebo šíření trhlin řízeného jinou výztuží. Hodnota tohoto minimálního vyztužení se získá takto:

$${\rho _{cr}} = \frac{{{f_{ct}}}}{{{f_y} - \left( {n - 1} \right){f_{ct}}}}$$

kde:

f_y              mez kluzu výztuže,

f_ct             pevnost betonu v tahu,

n              poměr modulů pružnosti, n = E_s / E_c .

Pro konvenční beton a betonářskou ocel činí ρ_cr přibližně 0,6 %.

U třmínků se stupněm vyztužení nižším než ρ_cr se vznikání trhlin považuje za nestabilizované a tahové zpevnění se zavádí pomocí modelu vytažení (Pull-Out Model, POM) popsaného na obr. 22b. Tento model analyzuje chování jediné trhliny bez uvažování mechanické interakce mezi jednotlivými trhlinami, zanedbává deformovatelnost betonu v tahu a předpokládá stejný stupňovitý, tuze-plastický vztah mezi smykovým napětím soudržnosti a skluzem, jaký používá TCM. To umožňuje získat rozdělení přetvoření výztuže (ε_s) v okolí trhliny pro libovolné maximální napětí v oceli v trhlině (σ_sr) přímo z podmínek rovnováhy. Vzhledem k tomu, že rozteč trhlin není u ne zcela vyvinutého obrazce trhlin známa, počítá se průměrné přetvoření (ε_m) pro libovolnou úroveň zatížení na vzdálenosti mezi body s nulovým skluzem, kdy výztužná tyč dosáhne v trhlině své meze pevnosti v tahu (f_t) (l_ε,avg na obr. 22b), což vede k následujícím vztahům:

Navržené modely umožňují výpočet chování soudržné výztuže, které je nakonec zohledněno v analýze. Toto chování (včetně tahového zpevnění) pro nejběžnější evropskou betonářskou ocel (B500B, s f_t / f_y = 1,08 a ε_u = 5 %) je znázorněno na obr. 22c-d.