Přímá metoda tuhosti

Motivace

Hluboké porozumění metodě konečných prvků (MKP) je zásadní jak pro zajištění správných vstupů, tak pro správnou prezentaci výsledků. Hlavním cílem tohoto článku je vysvětlit, jak je matice sestavována na pozadí každého softwaru MKP a jak rotační tuhost může ovlivnit globální chování konstrukce. Tento článek slouží jako předpoklad pro nadcházející článek, kde budou všechna zjištění aplikována na konstrukci pomocí IDEA StatiCa Connection.

Přímá metoda tuhosti – tuhé přípoje

Podívejme se na jednoduchý příklad konstrukce znázorněné na obrázku 1. Konstrukce se skládá ze sloupu a nosníku se stejnými vlastnostmi průřezu HEA 200. Každý uzel má tři stupně volnosti, včetně dvou posunů (X a Z) a jedné rotace (Ry). Pracovní prostor je 2D. Materiál je ocel s modulem pružnosti 200 000 MPa.

01) Pružinový model – GCS, geometrie, axonometrie + průřezy HEA 200

Lokální matice tuhosti

Matice tuhosti určuje vztah mezi změnou posunů (a rotací) na koncích nosníku a odpovídajícími silami (reakcemi). Je třeba poznamenat, že každý uzel ve 2D prostoru má tři stupně volnosti (dva posuny a jednu rotaci), což vede k lokální matici o rozměrech 6×6. Tato matice představuje normálovou tuhost, smykovou tuhost a ohybovou tuhost prvku.

02) Lokální matice tuhosti všech prvků

Transformační matice

V 90 % konstrukcí lokální matice tuhosti prvků není shodná s globálním souřadnicovým systémem. Pouze jednoduché nosníky uspořádané v přímé linii mají stejný lokální souřadnicový systém (LCS) a globální souřadnicový systém (GCS). V našem případě je třetí prvek otočen o 90 stupňů kolem uzlu dva. Tato transformace je nezbytná pro nadcházející výpočty.

03) Transformační matice prvku 1, 2; transformační matice prvku 3

Transformace do globálního souřadnicového systému

Pro přesný výpočet posunů je nezbytné sjednotit souřadnicové systémy všech zahrnutých prvků. Jedním ze způsobů, jak toho dosáhnout, je použití transformační matice, která tento proces zjednodušuje a umožňuje plynulý přechod k výpočtu posunů. Transformace nemění matici pro prvky jedna a dva, protože jejich lokální souřadnicový systém je totožný s globálním. U prvku tři, který je otočen přibližně o 90 stupňů, lze však pozorovat změnu. Složky pro posuny X a Z jsou přehozeny. V matici si můžete všimnout malých nenulových čísel. Ta pocházejí z numerického procesu, ale protože jsou relativně malá vzhledem k celkové tuhosti, výsledky nijak významně neovlivňují.

04) Globální matice prvku 1, 2; globální matice prvku 3

Globální matice – sčítání

Máte čtyři uzly a každý uzel má tři stupně volnosti. To znamená, že výsledná matice má rozměry 12×12. Klíčovou částí procesu je sčítání hodnot ve sloupcích a řádcích z jednotlivých matic do globální matice.

05) Globální matice tuhosti celého systému

Okrajové podmínky a vektor zatížení

Bez okrajových podmínek je soustava neurčitá (a lze získat pouze triviální řešení). V tomto případě jsou uvažovány pevné podpory v uzlech jedna a tři. Nulové okrajové posuny (a rotace) lze reprezentovat odstraněním odpovídajících řádků a sloupců. Řešení je triviální, pokud nejsou aplikovány žádné síly (nulové posuny). V našem příkladu je uzel čtyři zatížen svislou silou 50 kN.

06) Redukovaná matice, vektor zatížení a aplikované okrajové podmínky

Řešení

Při uvažování malých deformací a lineárně elastického materiálu lze vektor neznámých posunů snadno vyřešit v jediném kroku. Tento přístup je rychlý a vysoce efektivní, což z něj činí vhodnou metodu pro řešení problémů souvisejících s posuny.

07) Uzlové posuny v GCS

Ověření pomocí MKP

Vzhledem k tomu, že uvedené hodnoty pro uzly jsou přesné, je nezbytné, aby výstup metody konečných prvků (MKP) přesně odpovídal výstupu přímé metody tuhosti (DSA). Tento požadavek zajišťuje, že analytické výsledky jsou v souladu se skutečným chováním studovaného systému. Proto je zásadní zajistit, aby výstupy MKP a DSA byly vzájemně shodné v rámci přijatelné tolerance.

08) Ověření a porovnání uzlových posunů mezi DSA a MKP

Přímá metoda tuhosti – polotuhé přípoje

Je zásadní pochopit, že přípoje jsou zpravidla polotuhé a nejsou zcela tuhé ani kloubové. Zanedbání tuhosti přípoje může vést k tomu, že chování konstrukce v modelu se bude lišit od chování skutečné konstrukce. Pojďme se podívat na to, jak je tuhost zohledněna při výpočtech a jak ovlivňuje chování samotné konstrukce.

Rotační pružina a stavební konstrukce

Ocelové stavební konstrukce, jako jsou haly a rámy, jsou navrženy tak, aby účinně přenášely ohybová zatížení prostřednictvím nosníků. Pokud je nosník zatížen a konstrukce je hyperstatická, rotační tuhost styčníku hraje klíčovou roli při zajištění správného přerozdělení zatížení a přesné deformace. Proto je důležité zachovat konstrukční integritu styčníku, aby se předešlo případnému poškození konstrukce.

09) Rotační pružina – lokální matice

Pro zajištění kompatibility ve styčníku je důležité provázat deformace. Toto provázání musí být zahrnuto v globální matici tuhosti pro výpočet deformací. Při aplikaci rotační tuhosti musí být ostatní stupně volnosti zahrnuty jako další řádek a sloupec v globální matici tuhosti. Výsledná matice pro tento typ styčníku bude mít rozměr 13×13, zatímco matice tuhého přípoje bude mít rozměr 12×12.

Vliv rotační tuhosti

Rotační tuhost konstrukce má významný vliv na to, jak jsou rozloženy síly a jak dochází k deformacím. To znamená, že konstrukce s rotační tuhostí se bude chovat odlišně než konstrukce s tuhými nebo kloubovými přípoji. Pokud je tuhost neúměrně zvýšena, může to vést k dalším změnám v chování konstrukce. V tomto případě prozkoumáme účinky zvýšené rotační tuhosti. Model, se kterým pracujeme, pochází z předchozí kapitoly a rotační pružina je připojena ke konci (j) prvku jedna.

 10) Deformace pro různé rotační tuhosti

Graf ukazuje, že v určitých rozsazích tuhosti se deformace mění multilineárně pro polotuhý přípoj. U polotuhých přípojů vede podhodnocení nebo nadhodnocení tuhosti k výrazným rozdílům v průhybech a přerozdělení vnitřních sil. 

 11) Graf tuhost – deformace 

 12) Zóny tuhosti pro přípoje

Závěr a nadcházející témata

Aby bylo naše nadcházející studium úspěšné, musíte nejprve získat hluboké porozumění danému problému. Teprve poté můžete postupovat vpřed s jistotou a záměrem. Naše studie je věnována zkoumání řady důležitých témat, která jsou relevantní pro zkoumanou problematiku. Prostřednictvím pečlivého výzkumu a analýzy doufáme, že osvětlíme tento složitý a náročný problém a přispějeme k lepšímu pochopení této důležité oblasti studia.

• Jak je rotační tuhost vypočítána v IDEA StatiCa
• Jak použít tuhost pro více prvků v nástroji MKP
• Ověření rotační tuhosti mezi IDEA StatiCa a ABAQUS pro přípoj plech na plech