Approccio diretto alla rigidezza

Motivazione

Avere una profonda comprensione dell'Analisi agli Elementi Finiti (FEA) è fondamentale sia per garantire input accurati che per presentare i risultati nel modo corretto. L'obiettivo principale di questo articolo è spiegare come la matrice viene assemblata in background da ogni software FEA e come la rigidezza rotazionale può influenzare il comportamento globale di una struttura. Questo articolo costituisce un prerequisito per un articolo successivo, in cui tutti i risultati verranno applicati a una struttura utilizzando IDEA StatiCa Connection.

L'approccio diretto alla rigidezza – collegamenti rigidi

Esaminiamo il semplice esempio di struttura mostrato nella figura 1. La struttura è composta da un pilastro e una trave con proprietà di sezione trasversale identiche HEA 200. Ogni nodo ha tre gradi di libertà, incluse due traslazioni (X e Z) e una rotazione (Ry). Lo spazio di lavoro è 2D. Il materiale è acciaio con un modulo di elasticità di 200.000 MPa.

01) Modello a molla - SRC, geometria, assonometria + sezioni HEA 200

Matrice di rigidezza locale

La matrice di rigidezza governa la relazione tra la variazione degli spostamenti (e delle rotazioni) alle estremità della trave e le forze corrispondenti (reazioni). Vale la pena notare che ogni nodo nello spazio di lavoro 2D ha tre gradi di libertà (due traslazioni e una rotazione), risultando in una matrice locale con dimensioni 6x6. Questa matrice rappresenta la rigidezza normale, la rigidezza a taglio e la rigidezza flessionale dell'elemento.

02) Matrice di rigidezza locale di tutti gli elementi

Matrice di trasformazione

Nel 90% delle strutture, la matrice di rigidezza locale degli elementi non è allineata con il sistema di riferimento globale. Solo le travi semplici allineate in linea retta hanno lo stesso Sistema di Riferimento Locale (SRL) e Sistema di Riferimento Globale (SRG). Nel nostro caso, il terzo elemento è ruotato di 90 gradi attorno al nodo due. Questa trasformazione è necessaria per i calcoli successivi.

03) Matrice di trasformazione elemento 1,2; Matrice di trasformazione elemento 3

Trasformazione nel sistema di riferimento globale

Per un calcolo accurato degli spostamenti, è essenziale allineare i sistemi di riferimento di tutti gli elementi coinvolti. Un modo per ottenere ciò è utilizzare una matrice di trasformazione, che semplifica il processo e consente una transizione fluida al calcolo degli spostamenti. La trasformazione non modifica la matrice per gli elementi uno e due poiché il loro sistema di riferimento locale coincide con quello globale. Tuttavia, si può osservare una variazione nell'elemento tre, che è ruotato di circa 90 gradi. Le componenti per le traslazioni X e Z sono scambiate. Si possono notare piccoli valori non nulli nella matrice. Questi derivano dal processo numerico, ma poiché sono relativamente piccoli rispetto alla rigidezza complessiva, non influenzano i risultati in modo significativo.

04) Matrice globale elemento 1,2; Matrice globale elemento 3

Matrice globale - sommazione

Sono presenti quattro nodi e ogni nodo ha tre gradi di libertà. Ciò significa che la matrice risultante ha dimensioni 12x12. La parte cruciale del processo consiste nel sommare i valori nelle colonne e nelle righe delle singole matrici nella matrice globale.

05) Matrice di rigidezza globale dell'intero sistema

Condizioni al contorno e vettore dei carichi

Senza condizioni al contorno, il sistema è indeterminato (e si può ottenere solo la soluzione banale). In questo scenario, si considerano vincoli fissi ai nodi uno e tre. Gli spostamenti (e le rotazioni) nulli al contorno possono essere rappresentati eliminando le righe e le colonne corrispondenti. La soluzione è banale se non vengono applicate forze (spostamenti nulli). Nel nostro esempio, il nodo quattro è soggetto a una forza verticale di 50 kN.

06) Matrice ridotta, vettore dei carichi e condizioni al contorno applicate

Soluzione

Tenendo conto delle piccole deformazioni e del materiale linearmente elastico, è possibile risolvere agevolmente il vettore degli spostamenti incogniti in un unico passaggio. Questo approccio è rapido ed estremamente efficace, rendendolo un metodo conveniente per affrontare le problematiche legate agli spostamenti.

07) Spostamento nodale nel SRG

Verifica FEA

Dato che i valori forniti per i nodi sono precisi, è imperativo che l'output dell'analisi agli elementi finiti (FEA) corrisponda esattamente a quello dell'approccio diretto alla rigidezza (DSA). Questo requisito garantisce che i risultati analitici siano coerenti con il comportamento reale del sistema in esame. È quindi fondamentale assicurarsi che gli output FEA e DSA coincidano entro il livello di tolleranza accettabile.

08) Verifica e confronto dello spostamento nodale tra DSA e FEA

Approccio diretto alla rigidezza – collegamenti semi-rigidi

È fondamentale comprendere che i collegamenti sono tipicamente semi-rigidi e non completamente rigidi o cernierati. Trascurare la rigidezza di un collegamento potrebbe comportare un comportamento della struttura nel modello diverso da quello della struttura reale. Approfondiamo come la rigidezza viene considerata nei calcoli e come influenza il comportamento della struttura stessa.

Molla rotazionale e strutture civili

Le strutture civili in acciaio, come capannoni e telai, sono progettate per resistere in modo efficiente ai carichi flessionali trasferiti dalle travi. Quando la trave è caricata e la struttura è iperstatica, la rigidezza rotazionale del giunto svolge un ruolo cruciale nel garantire una corretta ridistribuzione dei carichi e una deformazione precisa. Per questo motivo è importante mantenere l'integrità strutturale del giunto per prevenire eventuali danni alla struttura.

09) Molla rotazionale - matrice locale

Per garantire la compatibilità in un giunto, è importante accoppiare le deformazioni. Questo accoppiamento deve essere incluso nella matrice di rigidezza globale per calcolare le deformazioni. Quando viene applicata la rigidezza rotazionale, gli altri gradi di libertà devono essere inclusi come ulteriore riga e colonna nella matrice di rigidezza globale. La matrice finale per questo tipo di giunto avrà una dimensione di 13x13, mentre una matrice per un collegamento rigido avrà una dimensione di 12x12.

Impatto della rigidezza rotazionale

La rigidezza rotazionale di una struttura ha un impatto significativo sulla distribuzione delle forze e sull'entità delle deformazioni. Ciò significa che una struttura con rigidezza rotazionale si comporterà diversamente da una struttura con collegamenti rigidi o cernierati. Se la rigidezza viene aumentata in modo sproporzionato, ciò può portare a ulteriori variazioni nel comportamento della struttura. In questo scenario, esploreremo gli effetti di un aumento della rigidezza rotazionale. Il modello utilizzato è quello del capitolo precedente, con la molla rotazionale collegata all'estremità (j) dell'elemento uno.

 10) Deformazioni per diverse rigidezze rotazionali

Il grafico indica che, in determinati intervalli di rigidezza, la deformazione varia in modo multilineare per un collegamento semi-rigido. Per i collegamenti semi-rigidi, sottostimare o sovrastimare la rigidezza porta a differenze significative nelle frecce e nella ridistribuzione delle forze interne. 

 11) Grafico rigidezza – deformazione 

 12) Zone di rigidezza per i collegamenti

Conclusioni e argomenti futuri

Per garantire il successo del nostro studio futuro, è necessario prima acquisire una profonda comprensione del problema in esame. Solo allora sarà possibile procedere con fiducia e determinazione. Il nostro studio è dedicato all'esplorazione di una serie di argomenti importanti rilevanti per la questione che stiamo analizzando. Attraverso un'attenta ricerca e analisi, speriamo di fare nuova luce su questo problema complesso e impegnativo, contribuendo in ultima analisi a una migliore comprensione di questa importante area di studio.

• Come viene calcolata la rigidezza rotazionale in IDEA StatiCa
• Come utilizzare la rigidezza per più elementi in uno strumento FEA
• Verifica della rigidezza rotazionale tra IDEA StatiCa e ABAQUS per un collegamento piastra-piastra