직접 강성법

동기

유한요소해석(FEA)에 대한 깊은 이해는 정확한 입력값을 보장하고 결과를 올바르게 제시하는 데 있어 매우 중요합니다. 이 문서의 주요 목적은 모든 FEA 소프트웨어의 배경에서 행렬이 어떻게 조립되는지, 그리고 회전 강성이 구조물의 전체적인 거동에 어떻게 영향을 미치는지 설명하는 것입니다. 이 문서는 향후 게시될 문서의 선행 자료로, 해당 문서에서는 모든 연구 결과를 IDEA StatiCa Connection을 사용하여 구조물에 적용할 예정입니다.

직접 강성법 – 강접합

그림 1에 나타난 구조물의 간단한 예를 살펴보겠습니다. 이 구조물은 동일한 단면 HEA 200 특성을 가진 기둥과 보로 구성되어 있습니다. 각 노드는 두 개의 병진(X 및 Z)과 하나의 회전(Ry)을 포함하여 세 개의 자유도를 가집니다. 작업 공간은 2D입니다. 재료는 탄성계수 200,000 MPa의 강재입니다.

01) 스프링 모델-GCS, 형상, 축측도 + 단면 HEA 200

국부 강성 행렬

강성 행렬은 보 단부에서의 변위(및 회전) 변화와 이에 대응하는 힘(반력) 사이의 관계를 지배합니다. 2D 작업 공간에서 각 노드는 세 개의 자유도(두 개의 병진과 하나의 회전)를 가지므로, 국부 행렬의 차원은 6x6이 됩니다. 이 행렬은 요소의 축방향 강성, 전단력 강성 및 휨 강성을 나타냅니다.

02) 모든 부재의 국부 강성 행렬

변환 행렬

구조물의 90%에서 부재의 국부 강성 행렬은 전체 좌표계와 일치하지 않습니다. 직선으로 정렬된 단순 보만이 국부 좌표계(LCS)와 전체 좌표계(GCS)가 동일합니다. 본 예제에서 세 번째 요소는 노드 2를 중심으로 90도 회전되어 있습니다. 이 변환은 이후 계산을 위해 필요합니다.

03) 부재 1, 2의 변환 행렬; 부재 3의 변환 행렬

전체 좌표계로의 변환

정확한 변위 계산을 위해서는 관련된 모든 부재의 좌표계를 일치시키는 것이 필수적입니다. 이를 달성하는 한 가지 방법은 변환 행렬을 사용하는 것으로, 이는 과정을 단순화하고 변위 계산으로의 원활한 전환을 가능하게 합니다. 변환은 국부 좌표계가 전체 좌표계와 동일한 부재 1과 2의 행렬을 수정하지 않습니다. 그러나 약 90도 회전된 부재 3에서는 변화를 확인할 수 있습니다. X 및 Z 병진에 대한 항목이 변경됩니다. 행렬에서 작은 비영(非零) 숫자가 나타날 수 있습니다. 이는 수치 계산 과정에서 발생하지만, 전체 강성에 비해 상대적으로 작기 때문에 결과에 유의미한 영향을 미치지 않습니다.

04) 부재 1, 2의 전체 행렬; 부재 3의 전체 행렬

전체 행렬 - 합산

노드가 4개이고 각 노드에 세 개의 자유도가 있습니다. 따라서 결과 행렬의 차원은 12x12가 됩니다. 이 과정의 핵심은 개별 행렬의 열과 행 값을 전체 행렬에 합산하는 것입니다.

05) 전체 시스템의 전체 강성 행렬

경계 조건 및 하중 벡터

경계 조건이 없으면 시스템은 부정정(trivial solution만 얻을 수 있음)이 됩니다. 이 시나리오에서는 노드 1과 3에서 고정 구속이 고려됩니다. 영(零) 경계 변위(및 회전)는 해당 행과 열을 제거하여 나타낼 수 있습니다. 힘이 적용되지 않으면 해는 자명해(영 변위)입니다. 본 예제에서 노드 4에는 50 kN의 수직력이 작용합니다.

06) 축소 행렬, 하중 벡터 및 적용된 경계 조건

해석

소변형과 선형 탄성 재료를 고려하면, 미지 변위 벡터를 단일 단계로 손쉽게 풀 수 있습니다. 이 접근법은 신속하고 매우 효과적이어서 변위 관련 문제를 해결하는 편리한 방법입니다.

07) GCS에서의 노드 변위

FEA 검증

노드에 대해 제공된 값이 정확하므로, 유한요소해석(FEA) 결과는 직접 강성법(DSA)의 결과와 정확히 일치해야 합니다. 이 요건은 해석 결과가 연구 중인 시스템의 실제 거동과 일치함을 보장합니다. 따라서 FEA와 DSA의 결과가 허용 오차 범위 내에서 서로 일치하는지 확인하는 것이 중요합니다.

08) DSA와 FEA 간 노드 변위의 검증 및 비교

직접 강성법 – 반강접합

연결부는 일반적으로 반강접이며 완전한 강접이나 힌지가 아님을 이해하는 것이 중요합니다. 연결부의 강성을 무시하면 모델에서의 구조물 거동이 실제 구조물의 거동과 달라질 수 있습니다. 계산 시 강성이 어떻게 고려되는지, 그리고 이것이 구조물 자체의 거동에 어떤 영향을 미치는지 살펴보겠습니다.

회전 스프링과 토목 구조물

홀과 프레임과 같은 토목 강구조물은 보에 의해 효율적으로 전달되는 휨 하중을 견디도록 설계됩니다. 보에 하중이 작용하고 구조물이 부정정인 경우, 접합부의 회전 강성은 올바른 하중 재분배와 정확한 변형을 보장하는 데 중요한 역할을 합니다. 이것이 구조물에 대한 잠재적 손상을 방지하기 위해 접합부의 구조적 완전성을 유지하는 것이 중요한 이유입니다.

09) 회전 스프링 - 국부 행렬

접합부에서 적합성을 보장하려면 변형을 연성시키는 것이 중요합니다. 이 연성은 변형을 계산하기 위해 전체 강성 행렬에 포함되어야 합니다. 회전 강성이 적용되면 다른 자유도가 전체 강성 행렬의 추가 행과 열로 포함되어야 합니다. 이 유형의 접합부에 대한 최종 행렬은 13x13의 차원을 가지며, 강접합 행렬은 12x12의 차원을 가집니다.

회전 강성의 영향

구조물의 회전 강성은 힘의 분배와 변형 발생 방식에 상당한 영향을 미칩니다. 즉, 회전 강성이 있는 구조물은 강접합이나 힌지 연결부가 있는 구조물과 다르게 거동합니다. 강성이 불균형하게 증가하면 구조물의 거동에 추가적인 변화가 발생할 수 있습니다. 이 시나리오에서는 회전 강성 증가의 영향을 살펴보겠습니다. 작업 중인 모델은 이전 장의 것이며, 회전 스프링은 부재 1의 끝단(j)에 부착되어 있습니다.

 10) 다양한 회전 강성에 따른 변형

그래프는 특정 강성 범위에서 반강접합의 변형이 다중선형 방식으로 변화함을 나타냅니다. 반강접합의 경우, 강성을 과소평가하거나 과대평가하면 처짐과 내력 재분배에서 상당한 차이가 발생합니다. 

 11) 강성 – 변형 그래프 

 12) 연결부의 강성 구간

결론 및 향후 주제

향후 연구의 성공을 보장하려면 먼저 당면한 문제에 대한 깊은 이해를 갖추어야 합니다. 그래야만 확신과 목적을 가지고 나아갈 수 있습니다. 본 연구는 조사 중인 문제와 관련된 다양한 중요 주제를 탐구하는 데 전념합니다. 신중한 연구와 분석을 통해 이 복잡하고 도전적인 문제에 새로운 시각을 제시하고, 궁극적으로 이 중요한 연구 분야에 대한 더 나은 이해에 기여하고자 합니다.

• IDEA StatiCa에서 회전 강성이 어떻게 계산되는가
• FEA 도구에서 여러 부재에 대한 강성을 사용하는 방법
• IDEA StatiCa와 ABAQUS 간 플레이트-플레이트 연결의 회전 강성 검증