Directe stijfheidsbenadering

Motivatie

Een goed begrip van Finite Element Analysis (FEA) is cruciaal voor zowel het garanderen van nauwkeurige invoer als het op de juiste manier presenteren van de resultaten. Het hoofddoel van dit artikel is om uit te leggen hoe de matrix in de achtergrond van elke FEA-software in elkaar zit en hoe rotatiestijfheid het globale gedrag van een constructie kan beïnvloeden. Dit artikel dient als voorbereiding op een volgend artikel, waarin alle bevindingen worden toegepast op een constructie met IDEA StatiCa Connection.

De directe stijfheidsbenadering - stijve verbindingen

Laten we eens kijken naar het eenvoudige voorbeeld van een constructie in figuur 1. De constructie bestaat uit een kolom en een ligger met identieke doorsnede HEA 200 eigenschappen. Elk knooppunt heeft drie vrijheidsgraden, waaronder twee translaties (X en Z) en één rotatie (Ry). De werkruimte is 2D. Het materiaal is staal met een elasticiteitsmodulus van 200.000 MPa.

01) Veermodel-GCS, geometrie, axonometrie + doorsneden HEA 200

Plaatselijke stijfheidsmatrix

De stijfheidsmatrix bepaalt de relatie tussen de verandering van verplaatsingen (en rotaties) aan de uiteinden van de balk en de bijbehorende krachten (reacties). Het is vermeldenswaard dat elk knooppunt in het 2D-werkveld drie vrijheidsgraden heeft (twee translaties en één rotatie), wat resulteert in een lokale matrix met afmetingen van 6x6. Deze matrix vertegenwoordigt de normaalstijfheid. Deze matrix vertegenwoordigt de normaalstijfheid, afschuifstijfheid en buigstijfheid van het element.

02) Lokale stijfheidsmatrix van alle elementen

Transformatie matrix

In 90% van de constructies komt de lokale stijfheidsmatrix van balken niet overeen met het globale coördinatensysteem. Alleen eenvoudige balken die in een rechte lijn zijn uitgelijnd, hebben hetzelfde lokale coördinatensysteem (LCS) en globale coördinatensysteem (GCS). In ons geval wordt het derde element 90 graden geroteerd rond knooppunt twee. Deze transformatie is nodig voor de volgende berekeningen.

03) Transformatie matrix lid 1,2; Transformatie matrix lid 3

Transformatie naar een globaal coördinatenstelsel

Voor een nauwkeurige verplaatsingsberekening is het essentieel om de coördinatensystemen van alle betrokken leden uit te lijnen. Een manier om dit te bereiken is door een transformatiematrix te gebruiken, die het proces vereenvoudigt en een soepele overgang naar een verplaatsingsberekening mogelijk maakt. De transformatie wijzigt de matrix niet voor leden één en twee, aangezien hun lokale coördinatensysteem hetzelfde is als het globale. Je kunt echter een verandering waarnemen in lid drie, dat ongeveer 90 graden wordt geroteerd. De entries voor X- en Z-vertalingen zijn. Je merkt misschien de kleine niet-nul getallen op in de matrix. Deze komen van het numerieke proces, maar omdat ze relatief klein zijn ten opzichte van de totale stijfheid, hebben ze geen significante invloed op de resultaten.

04) Globale matrix lid 1,2; Globale matrix lid 3

Globale matrix - sommatie

Je hebt vier knooppunten en elk knooppunt heeft drie vrijheidsgraden. Dit betekent dat de resulterende matrix afmetingen heeft van 12x12. Het cruciale deel van het proces is het optellen van de waarden in kolommen en rijen van de individuele matrices tot de globale matrix.

05) Globale stijfheidsmatrix van alle systemen

Randvoorwaarde en belastingsvector

Zonder randvoorwaarden is het systeem ondergedetermineerd (en kan alleen de triviale oplossing worden verkregen. In dit scenario worden vaste randvoorwaarden beschouwd op knooppunten één en drie. De nulgrensverplaatsingen (en rotaties) kunnen worden voorgesteld door de corresponderende rijen en kolommen te verwijderen. De oplossing is triviaal als er geen krachten worden uitgeoefend (nulverplaatsingen). In ons voorbeeld wordt knoop vier onderworpen aan een verticale kracht van 50 kN.

06) Verminderde matrix, belastingsvector en toegepaste randvoorwaarden

Oplossing

Door rekening te houden met kleine vervormingen en lineair elastisch materiaal kunnen we de vector van onbekende verplaatsingen moeiteloos in één stap oplossen. Deze aanpak is snel en zeer effectief, waardoor het een handige methode is om verplaatsingsgerelateerde problemen aan te pakken.

07) Nodale verplaatsing in GCS

FEA-verificatie

Aangezien de opgegeven waarden voor de knooppunten nauwkeurig zijn, is het noodzakelijk dat de uitvoer van de eindige-elementenanalyse (FEA) exact overeenkomt met die van de directe stijfheidsbenadering (DSA). Deze vereiste zorgt ervoor dat de analytische resultaten consistent zijn met het werkelijke gedrag van het bestudeerde systeem. Daarom is het cruciaal om ervoor te zorgen dat de uitvoer van de FEA en de DSA met elkaar overeenkomen binnen het aanvaardbare tolerantieniveau.

08) Verificatie en vergelijking van de knikverplaatsing tussen DSA en FEA

Directe stijfheidsbenadering - halfstijve verbindingen

Het is van cruciaal belang om te begrijpen dat verbindingen meestal halfstijf zijn en niet volledig stijf of penachtig. Het verwaarlozen van de stijfheid van een verbinding kan ertoe leiden dat het gedrag van een constructie in een model afwijkt van dat van een echte constructie. Laten we eens kijken hoe stijfheid wordt meegenomen in berekeningen en hoe dit het gedrag van de constructie zelf beïnvloedt.

Rotatieveren en civiele constructies

Civiele staalconstructies, zoals hallen en frames, zijn ontworpen om buigbelastingen te weerstaan die efficiënt worden overgebracht door de liggers. Wanneer de ligger wordt belast en de constructie hyperstatisch is, speelt de rotatiestijfheid van de verbinding een cruciale rol in het garanderen van een correcte herverdeling van de belasting en een nauwkeurige vervorming. Daarom is het belangrijk om de structurele integriteit van de verbinding te behouden om mogelijke schade aan de constructie te voorkomen.

09) Rotatieveer - lokale matrix

Om compatibiliteit in een verbinding te garanderen, is het belangrijk om de vervormingen te koppelen. Deze koppeling moet worden opgenomen in de globale stijfheidsmatrix om de vervormingen te berekenen. Wanneer rotatiestijfheid wordt toegepast, moeten andere vrijheidsgraden worden opgenomen als een andere rij en kolom in de globale stijfheidsmatrix. De uiteindelijke matrix voor dit type verbinding zal een afmeting hebben van 13x13, terwijl een matrix voor een stijve verbinding een afmeting zal hebben van 12x12.

Invloed van rotatiestijfheid

De rotatiestijfheid van een constructie heeft een significante invloed op hoe krachten worden verdeeld en vervormingen optreden. Dit betekent dat een constructie met rotatiestijfheid zich anders zal gedragen dan een constructie met stijve verbindingen of penverbindingen. Als de stijfheid onevenredig wordt verhoogd, kan dit leiden tot verdere veranderingen in het gedrag van de constructie. In dit scenario zullen we de effecten van een verhoogde rotatiestijfheid onderzoeken. Het model waar we mee werken komt uit het vorige hoofdstuk, en de rotatieveer is bevestigd aan het uiteinde (j) van lid één.

10) Vervormingen voor verschillende rotatiestijfheid

De grafiek geeft aan dat in bepaalde stijfheidsbereiken de vervorming op een multilineaire manier verandert voor een halfstijve verbinding. Voor halfstijve verbindingen leidt het onderschatten of overschatten van de stijfheid tot significante verschillen in doorbuigingen en herverdeling van interne krachten.

11) Stijfheid - vervormingsgrafiek

12) Stijfheidszone voor verbindingen

Conclusie en komende onderwerpen

Om het succes van onze komende studie te garanderen, moet je eerst het probleem goed begrijpen. Alleen dan kun je met vertrouwen en doelgericht verder. Onze studie is gewijd aan het verkennen van een reeks belangrijke onderwerpen die relevant zijn voor het probleem dat we onderzoeken. Door zorgvuldig onderzoek en analyse hopen we nieuw licht te werpen op dit complexe en uitdagende probleem en uiteindelijk bij te dragen aan een beter begrip van dit belangrijke studiegebied.

• Hoe wordt rotatiestijfheid berekend in IDEA StatiCa?
• Hoe gebruik je stijfheid voor meerdere staven in een FEA tool
• Verificatie van de rotatiestijfheid tussen IDEA StatiCa en ABAQUS voor een plaat-plaat verbinding