Na prática, os métodos Escora-e-tirante (S&T) e Campos de Tensão são normalmente utilizados para dimensionar regiões de descontinuidade em estruturas de betão armado e pré-esforçado. O Método do Campo de Tensões Compatível (CSFM) foi desenvolvido a partir da extensão destas teorias clássicas, permitindo um elevado grau de automação e sendo consistente com a norma de dimensionamento. Apesar da sua simplicidade, o método fornece uma descrição muito realista da resposta de uma estrutura de betão, tanto no estado limite último (ULS) como no estado limite de utilização (SLS). O CSFM está implementado na IDEA StatiCa Detail.
Fig. 1 a) Parede com aberturas b) Parede de corte c) Viga com extremidades rebaixadas e aberturas d) Pilar de ponte e) Carlinga de ponte
Os procedimentos padrão para o dimensionamento de secções transversais de estruturas de betão são aplicáveis nas partes onde se aplica a hipótese de Bernoulli-Navier de distribuição plana de extensões (região B). Os locais onde esta hipótese não se aplica são designados por regiões de descontinuidade (regiões D). Estas incluem partes de estruturas onde surgem cargas concentradas ou onde existe uma mudança brusca de secção transversal, como extremidades rebaixadas (Fig. 1c), vigas-parede, paredes com aberturas (Figs. 1a, 1b), ou consolos e maciços de encabeçamento de estacas. No domínio da engenharia de pontes, são exemplos os capitéis de pilares (Fig. 1d), carlingas (Fig. 1e), desviadores, etc.
1. Método Escora-e-tirante
O pressuposto básico na definição de um modelo S&T é que a resistência à tração do betão é desprezada. Um modelo de treliça simples é constituído por elementos que atuam em compressão e tração, representando o comportamento no ULS. Em geral, este não é um problema complexo, e definir um modelo S&T básico (Fig. 2a) não deverá constituir uma dificuldade para um engenheiro experiente. No entanto, mesmo para esta tarefa básica, a correta avaliação do modelo de acordo com a norma de dimensionamento pode ser um processo moroso, manual e iterativo.
Fig. 2 a) Modelo S&T opção 1 b) Modelo S&T opção 2 c) Modelo S&T opção
Os tirantes, as zonas nodais e a extensão de tração transversal nas escoras devem ser avaliados. Se o modelo não passar na verificação, a geometria do S&T deve ser ajustada, ou deve ser selecionado um modelo S&T diferente (Fig. 2b, 2c). Isto leva frequentemente a que o engenheiro estrutural escolha a geometria do modelo S&T apenas uma vez e avalie apenas a armadura. Isto pode originar um erro substancial. A escolha do modelo é sempre uma questão de experiência. Para detalhes estruturais mais complexos, escolher um S&T que corresponda suficientemente ao comportamento real da estrutura pode não ser tão fácil como no caso acima. Além disso, o S&T é um método apenas para o dimensionamento de estados limites últimos. Não permite o dimensionamento de estados limites de utilização (deformação, fendilhação), que são critérios fundamentais, especialmente em estruturas de importância significativa, uma vez que têm impacto direto na vida útil da estrutura.
2. Método do Campo de Tensões Compatível - CSFM
O CSFM é um método não linear moderno para a análise de regiões D e de elementos cujo comportamento pode ser simplificado a um estado plano de tensão, ou seja, um modelo 2D. No entanto, continua a basear-se num pressuposto básico e seguro das normas: o betão não resiste à tração, e toda a tração deve ser transferida pela armadura. O Método do Campo de Tensões Compatível (CSFM) é uma evolução dos métodos S&T e de campos de tensão, eliminando as suas principais desvantagens acima mencionadas: incertezas na seleção do modelo, dificuldade de automação e incapacidade de avaliar estados limites de utilização.
Fig. 3 a) Estado plano de deformação b) Tensão principal c) CSFM
O princípio do CSFM pode ser explicado através do estado plano de tensão do elemento plano básico de uma estrutura de betão armado. A Fig. 3a mostra o elemento 2D básico em estado plano de tensão, tal como o conhecemos de todos os manuais de elasticidade e resistência de materiais. Esta é a tensão num ponto da estrutura, obtida, por exemplo, por análise linear elástica utilizando o método dos elementos finitos (MEF). O elemento está sujeito a uma tensão normal horizontal σx, uma tensão normal vertical σz, e uma tensão de corte τxz. A partir destas tensões, podem ser determinadas as chamadas tensões principais e a sua direção definida pelo ângulo θ (Fig. 3b). O elemento fica então sujeito à tensão principal de tração σ1 e à tensão principal de compressão σ2.
Qual será o aspeto da deformação do mesmo elemento analisado pelo CSFM? A deformação é apresentada na Figura 3c. O betão comprimido surge na direção da tensão principal de compressão σ2. E é gerado um campo de tensões com tensão σc2. Como referido acima, o pressuposto básico é que o betão não resiste à tração. Assim, a tensão principal de tração transversal σ1 não será transferida pelo betão, e formar-se-á uma fenda perpendicular a essa direção. A tensão σc1r deve, portanto, ser nula. Para evitar a rotura do nosso elemento 2D, toda a tensão de tração deve ser transferida pela armadura (indicada a azul na Fig. 3c), que deve fazer parte do modelo de cálculo.
Se esta análise de tensões for realizada com o CSFM de forma contínua em toda a região 2D a resolver, o resultado é um campo de compressão contínuo no betão, mais tensões de tração e compressão na armadura. Uma representação gráfica simplificada do campo de tensões do CSFM é apresentada na Figura 4. Além das taxas de utilização do betão e da armadura, a figura também indica as diferentes direções das tensões calculadas σc2 ao longo das regiões.
Fig. 4 Resultados globais do IDEA StatiCa Detail
A análise de um detalhe ou estrutura utilizando o CSFM baseia-se no método dos elementos finitos. O betão é modelado utilizando elementos de parede 2D, e a armadura utilizando elementos de barra 1D (Fig. 7). A análise não é realizada num único passo, uma vez que se trata de um problema não linear. As cargas são aplicadas em incrementos durante o cálculo, e a solução do sistema não linear de equações é encontrada utilizando o método de Newton-Raphson.
As fendas fictícias distribuídas (ε1 é o valor médio) são "formadas" perpendicularmente à direção das tensões principais, que podem mudar durante o cálculo não linear à medida que o elemento "fendilha progressivamente" a cada incremento de carga. Em suma, considera-se uma fenda rotativa fictícia sem tensão.
O resultado da solução por MEF utilizando o CSFM é um campo de tensões compatível (ou seja, o betão não se decompõe em escoras individuais que atuam de forma independente no modelo) e o estado de deformação, que são contínuos em todo o domínio 2D a resolver. Esta é uma grande vantagem em relação às abordagens clássicas de S&T e permite automatizar e refinar o modelo de cálculo, conforme descrito nos parágrafos seguintes.
Fig. 5 Princípio do amolecimento do betão
A formulação simples do CSFM permite utilizar o diagrama tensão-deformação uniaxial parabólico-retangular padrão para o betão à compressão, de acordo com a norma de dimensionamento. Como é sabido, a resistência à compressão do betão diminui quando o betão é danificado por fendas transversais (Fig. 5). Este efeito, designado por amolecimento à compressão, é incluído no método tendo automaticamente em conta a resistência efetiva à compressão do betão.
Com base no nível das extensões de tração transversais ε1, é determinado o fator de redução kc e o diagrama tensão-deformação do betão é ajustado (Fig. 5). Como o campo de extensões em toda a estrutura é conhecido, a resistência efetiva à compressão do betão pode ser calculada automaticamente em secções individuais, em função do nível local das extensões de tração transversais ε1.
Fig. 6 Princípio do enrijecimento à tração
Além disso, o CSFM considera o efeito de enrijecimento do betão tracionado entre as fendas sobre a armadura, o chamado enrijecimento à tração. No modelo de cálculo, é utilizada a taxa de armadura média εm. O diagrama tensão-deformação da armadura é então modificado (Fig. 6). Isto permite uma representação realista da rigidez de uma estrutura de betão armado danificada por fendas. No entanto, continua a ser válido que a resistência à tração do betão não contribui para a capacidade última. A tensão máxima na armadura σsr nas fendas é determinante para o dimensionamento (Fig. 6).
O CSFM utiliza modelos de material uniaxiais comuns (diagramas tensão-deformação) definidos nas normas de dimensionamento. A abordagem padrão, o método dos coeficientes parciais de segurança, é então utilizada para avaliar o ULS. A simplicidade do método torna-o adequado para a prática de engenharia e é consistente com as normas de dimensionamento.
Mesmo sendo uma análise não linear por elementos finitos, o engenheiro estrutural não precisa de introduzir no cálculo propriedades adicionais do material e características do betão que podem nem estar disponíveis na fase de dimensionamento e que são necessárias, por exemplo, em análises não lineares por MEF baseadas na mecânica da fratura. Como já foi indicado, uma grande vantagem da análise por CSFM, além dos estados limites últimos, é a capacidade de avaliar estados limites de utilização: deformações, limitações de tensão e, em particular, a largura de fenda.
Fig. 7 Exemplo de representação do modelo de elementos finitos no IDEA StatiCa Detail
(Fig. 7) O modelo MEF no CSFM é composto por vários tipos de elementos finitos:
- Elemento 1-D com rigidez axial para a armadura
- Elemento isoparamétrico 2-D para o betão
- Molas de extremidade para o modelo de ancoragem da armadura com tratamento de extremidade
- Elemento 2-D especial para modelar a coesão entre a armadura e o betão
- Restrições rígidas e de interpolação (Multi-Point Constraints, MPC) entre os elementos de coesão e o betão
Se a armadura dimensionada previne a rotura frágil do elemento, demonstrou-se que o CSFM fornece muito boas previsões da resposta e da capacidade última da estrutura, apesar da simplicidade da formulação. Por outras palavras, o método não é adequado, por exemplo, para o dimensionamento de vigas sem armadura de esforço transverso transversal, que apresentam comportamento potencialmente frágil. As verificações do método, incluindo experimentos, são apresentadas em [1]. Uma descrição mais detalhada do método está fora do âmbito deste artigo e pode também ser encontrada em Theoretical Background.
É claro que os princípios do CSFM são gerais e, portanto, a sua aplicação não se limita a regiões D, podendo ser utilizada para modelar elementos inteiros, por exemplo, vigas pré-fabricadas, e onde o elemento pode ser simplificado a um modelo plano 2D. O método e a sua implementação em software (IDEA StatiCa Detail) foram também alargados, com a possibilidade de especificar armadura pré-esforçada e pós-tensionada.
3. Exemplo de dimensionamento de um capitel de pilar
A aplicação prática do CSFM é demonstrada no dimensionamento do capitel do pilar de ponte na Figura 8. Trata-se do segundo pilar de uma ponte contínua com três vãos de 30,0 m, 42,0 m e 30,0 m. A cabeça do pilar de betão armado é dimensionada em betão C40/50 e a sua espessura (na direção longitudinal da ponte) é de 2,0 m.
Fig. 8 Capitel do pilar: a) Dimensionamento resumido; b) Tensão de compressão no betão no ULS; c) Tensão de tração na armadura no ULS; d) Largura de fenda no SLS
No topo do capitel do pilar, foi primeiro dimensionada uma viga transversal com armadura B500 20xϕ28+20xϕ25 - as quatro camadas superiores. A Figura 8a mostra um dimensionamento resumido no estado limite último, apresentando as tensões de compressão no betão, as direções das tensões de compressão, e as tensões na armadura. A distribuição de tensões mais detalhada no betão e na armadura está documentada nas Figuras 8b e 8c. A armadura transversal está apenas ligeiramente abaixo da tensão de cedência e as tensões no betão (e as deformações relativas) são também satisfatórias no ULS. No entanto, o resultado do cálculo da largura de fenda (Fig. 8d) mostra que o dimensionamento não satisfaz o SLS: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Para cumprir a largura de fenda limite, é necessário aumentar a armadura do elemento transversal para 20xϕ32+20xϕ28. No caso de wlim = 0,2 mm (por exemplo, um pilar próximo de uma estrada que gera projeção de sais, nível de influência ambiental XF2), a armadura do elemento transversal teria de ser aumentada até 24xϕ32+24xϕ28.
Conclusão
O CSFM adequa-se à prática de engenharia porque utiliza modelos de material simples definidos numa norma de dimensionamento. Além dos estados limites últimos, permite também o dimensionamento de estados limites de utilização. Cuja avaliação era anteriormente difícil de imaginar quando se utilizavam modelos S&T. Ao implementar o método no IDEA StatiCa Detail, é então possível captar de forma realista a resposta da estrutura e dimensionar e avaliar regiões de descontinuidade e conjuntos maiores de forma eficiente e segura.
O CSFM foi desenvolvido principalmente através do trabalho do Professor Walter Kaufmann, Diretor da Cátedra de Engenharia Estrutural do Instituto Federal Suíço de Tecnologia (ETH) de Zurique. Ele e a sua equipa também verificaram o método e a sua implementação em software.
Literatura
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Autor
Eng. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.