在实际工程中，拉压杆法（S&T）和应力场法是设计钢筋混凝土及预应力混凝土结构 D 区的标准方法。协调应力场法（CSFM）是在这些经典理论的基础上发展而来的，具有高度自动化的特点，并且符合设计规范的要求。尽管方法本身简单，但它能够非常真实地反映混凝土结构在承载能力极限状态（ULS）和正常使用极限状态（SLS）下的响应。CSFM 已在IDEA StatiCa Detail中实现。
图 1 a) 带开洞的墙 b) 剪力墙 c) 带企口端及开洞的梁 d) 桥墩 e) 桥梁横隔板
混凝土结构截面的标准设计方法适用于符合伯努利-纳维平截面假定（B 区）的部分。不适用该假定的部位称为不连续区（D 区）。这些区域包括存在集中荷载或截面突变的结构部位，例如企口端（图 1c）、深梁、带开洞的墙（图 1a、1b），以及牛腿或承台。在桥梁工程领域，则包括墩帽（图 1d）、横隔板（图 1e）、转向块等。
1. 拉压杆法
定义拉压杆模型时的基本假定是忽略混凝土的抗拉强度。一个简单的桁架模型由受压和受拉单元组成，用于表征承载能力极限状态下的行为。总体而言，这并非复杂问题，对于有经验的工程师来说，定义一个基本的拉压杆模型（图 2a）应该不成问题。然而，即使是这一基本任务，按照设计规范对模型进行正确评估也可能是一项繁琐、手工且反复迭代的过程。
图 2 a) 拉压杆模型方案 1 b) 拉压杆模型方案 2 c) 拉压杆模型方案
必须对拉杆、节点区以及压杆中的横向拉应变进行校核。若模型未通过校核，则须调整拉压杆几何形状，或选择不同的拉压杆模型（图 2b、2c）。这常常导致结构工程师只确定一次拉压杆模型的几何形状，而仅对钢筋进行校核。这可能带来重大误差。模型的选择始终取决于经验。对于更复杂的结构详图，选择能充分匹配结构实际行为的拉压杆模型，可能不像上述案例那样容易。此外，拉压杆法仅是一种用于承载能力极限状态设计的方法。它无法用于正常使用极限状态（变形、开裂）的设计，而这些恰恰是关键性指标，尤其对于重要结构而言，它们直接影响结构的使用寿命。
2. 协调应力场法 - CSFM
CSFM 是一种现代非线性方法，用于分析 D 区以及行为可简化为平面应力（即二维模型）的构件。 然而，它仍然基于规范中一个基本且安全的假定：混凝土不承受拉力，所有拉力必须由钢筋承担。协调应力场法（CSFM）是拉压杆法与应力场法的发展演变，消除了上述方法的主要缺点：模型选择的不确定性、难以实现自动化，以及无法评估正常使用极限状态。
图 3 a) 平面应变 b) 主应力 c) CSFM
CSFM 的原理可以通过钢筋混凝土结构基本平面单元的平面应力状态来说明。图 3a 展示了平面应力状态下的基本二维单元，这在所有弹性力学与材料力学教科书中都能见到。这是结构中某一点的应力状态，例如可通过有限单元法（FEM）的线弹性分析获得。该单元承受水平法向应力 σx、竖向法向应力 σz，以及剪应力 τxz。由这些应力可以确定所谓的主应力及其由角度 θ 定义的方向（图 3b）。此时该单元承受主拉应力 σ1 和主压应力 σ2。
那么，经 CSFM 分析后，同一单元的应变将呈现怎样的状态？应变如图 3c 所示。受压混凝土沿主压应力 σ2 方向出现，并生成应力为 σc2 的应力场。如前所述，基本假定是混凝土不承受拉力。因此，横向主拉应力 σ1 不会由混凝土承担，裂缝将垂直于该方向形成。因此应力 σc1r 必须为零。为避免二维单元发生破坏，所有拉应力必须由钢筋（图 3c 中蓝色标示）承担，钢筋必须作为计算模型的一部分。
如果使用 CSFM 对整个待求解二维区域进行连续应力分析，其结果是混凝土中形成连续的受压场，同时钢筋中产生拉应力与压应力。图 4 给出了 CSFM 应力场的简化图形表示。除混凝土与钢筋的承载比外，图中还给出了沿各区域计算所得应力 σc2 方向的变化。
图 4 IDEA StatiCa Detail 的整体计算结果
使用CSFM 对详图或结构进行分析基于有限单元法。混凝土采用二维墙单元建模，钢筋则采用一维构件单元建模（图 7）。由于这是一个非线性问题，分析并非一步完成。计算过程中荷载以增量方式施加，非线性方程组的求解则采用牛顿-拉夫逊法。
虚拟的弥散裂缝（ε1 为平均值）"形成"于垂直主应力方向，该方向可能在非线性计算过程中随每一级荷载增量下单元"逐步开裂"而发生变化。综上所述，本方法采用的是一种虚拟的无应力旋转裂缝模型。
基于 CSFM 的有限单元法求解结果是一个协调的应力场（即模型中混凝土不会分解为若干独立作用的压杆），以及在整个待求解二维区域内连续分布的应变状态。这是相较于经典拉压杆法的一大优势，并使计算模型能够实现自动化和精细化处理，具体内容将在以下各段中说明。
图 5 混凝土软化原理
CSFM 简单的公式表述使得可以直接采用设计规范中标准的单轴抛物线-矩形受压应力-应变曲线来描述混凝土。众所周知，当混凝土受到横向裂缝损伤时，其抗压强度会降低（图 5）。这种所谓的压力软化效应通过自动考虑混凝土的有效抗压强度纳入本方法。
根据横向拉应变 ε1 的水平，确定折减系数 kc，并对混凝土的应力-应变曲线进行相应调整（图 5）。由于整个结构中的应变场是已知的，因此可根据局部横向拉应变 ε1 的水平，在各个截面自动计算混凝土的有效抗压强度。
图 6 拉力刚化原理
此外，CSFM 还考虑了裂缝间受拉混凝土对钢筋的刚化效应，即所谓的拉力刚化。在计算模型中，采用平均钢筋应变 εm。据此对钢筋的应力-应变曲线进行相应修正（图 6）。这使得能够真实反映因开裂而受损的钢筋混凝土结构的刚度。然而，混凝土的抗拉强度仍不计入极限承载力。裂缝处钢筋的最大应力 σsr 是设计中的关键控制指标（图 6）。
CSFM 使用设计规范中定义的常规单轴材料模型（应力-应变曲线）。随后采用标准方法——分项安全系数法——对承载能力极限状态进行评估。该方法简单实用，适合工程实践，并且符合设计规范的要求。
尽管这是一种非线性有限元分析，结构工程师却无需在计算中输入额外的材料属性和混凝土特性参数——这些参数在设计阶段可能根本无法获得，而基于断裂力学的非线性有限元分析则必须使用这些参数。如前所述，除了承载能力极限状态外，CSFM 分析的一大优势还在于能够评估正常使用极限状态：挠度、应力限值，尤其是裂缝宽度。
图 7 IDEA StatiCa Detail 中有限元模型表示示例
（图 7）CSFM 中的有限元模型由以下几种类型的有限单元组成：
- 用于钢筋的具有轴向刚度的一维单元
- 用于混凝土的二维等参单元
- 用于带端部处理的钢筋锚固模型的端部弹簧
- 用于模拟钢筋与混凝土间粘结作用的特殊二维单元
- 粘结单元与混凝土之间的刚性约束及插值约束（多点约束，MPC）
如果所设计的钢筋能够防止构件发生脆性破坏，则已证明尽管公式表述简单，CSFM 仍能对结构的响应和极限承载力给出非常良好的预测。换言之，该方法并不适用于例如无横向抗剪钢筋、可能表现出脆性行为的梁的设计。该方法的验证，包括相关试验，见文献 [1]。关于该方法更详细的说明超出了本文的范围，可参见理论背景。
显然，CSFM 的原理具有一般性，因此其应用并不限于 D 区，还可用于对整个构件（例如预制梁）进行建模，只要该构件可简化为平面二维模型。该方法及其在软件（IDEA StatiCa Detail）中的实现也已得到扩展，现已支持指定预应力及后张钢筋。
3. 墩帽设计示例
图 8 中的桥墩墩帽设计展示了 CSFM 的实际应用。该墩为一座三跨连续梁桥（跨径为 30.0 m、42.0 m、30.0 m）的第二个桥墩。该钢筋混凝土桥墩墩顶采用 C40/50 混凝土，其厚度（沿桥梁纵向）为 2.0 m。
图 8 墩帽：a) 设计汇总；b) 承载能力极限状态下混凝土的压应力； c) 承载能力极限状态下钢筋的拉应力；d) 正常使用极限状态下的裂缝宽度
在墩帽顶部，首先设计了一根横梁，配置 B500 钢筋 20xϕ28+20xϕ25——即顶部四层钢筋。图 8a 展示了承载能力极限状态下的设计汇总，显示了混凝土中的压应力、压应力方向以及钢筋中的应力。图 8b 和图 8c 则进一步给出了混凝土和钢筋中更详细的应力分布。横向钢筋的应力略低于屈服强度，混凝土的应力（及相应应变）在承载能力极限状态下也令人满意。然而，裂缝宽度计算结果（图 8d）表明，该设计不满足正常使用极限状态的要求：wmax = 0.36 mm > wlim = 0.3 mm。为满足裂缝宽度限值要求，需将横梁的钢筋增加至 20xϕ32+20xϕ28。若 wlim = 0.2 mm（例如靠近产生盐雾的道路旁的桥墩，环境作用等级为 XF2），则横梁钢筋甚至需增加至 24xϕ32+24xϕ28。
结论
CSFM 适合工程实践，因为它采用了设计规范中定义的简单材料模型。除承载能力极限状态外，该方法还可用于正常使用极限状态的设计，而这在以往采用拉压杆模型时是难以想象的。通过在IDEA StatiCa Detail中实现该方法，工程师能够真实地捕捉结构的响应，从而高效、安全地设计和评估不连续区及更大规模的构件组合。
CSFM 的开发主要得益于苏黎世联邦理工学院（ETH）结构工程系主任 Walter Kaufmann 教授的工作。他及其团队也对该方法及其软件实现进行了验证。
参考文献
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
作者
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.