In de praktijk worden de Staafwerkmethode (Strut-and-Tie, S&T) en Stress Fields methoden standaard gebruikt om discontinuïteitsgebieden in gewapende en voorgespannen betonconstructies te ontwerpen. De Compatible Stress Field Method (CSFM) is ontwikkeld door deze klassieke theorieën uit te breiden, waardoor een hoge mate van automatisering mogelijk is en de methode consistent is met de ontwerpnorm. Ondanks de eenvoud biedt de methode een zeer realistische beschrijving van het gedrag van een betonconstructie, zowel in de uiterste grenstoestand (UGT) als de bruikbaarheidsgrenstoestand (BGT). De CSFM is geïmplementeerd in IDEA StatiCa Detail.
Fig. 1 a) Wand met openingen b) Schuifwand c) Ligger met tandopleggingen en openingen d) Brugpijler e) Brugdiafragma
Standaardprocedures voor het ontwerpen van doorsneden van betonconstructies zijn toepasbaar in delen waar de Bernoulli-Navier-hypothese van vlakke rekverdeling geldt (B-gebied). De plaatsen waar deze hypothese niet geldt, worden discontinuïteitsgebieden (D-gebieden) genoemd. Dit omvat delen van constructies waar geconcentreerde belastingen optreden of waar sprake is van een plotselinge verandering van doorsnede, zoals tandopleggingen (Fig. 1c), gedrongen liggers, wanden met openingen (Fig. 1a, 1b), of consoles en paalkoppen. In de bruggenbouw zijn dit bijvoorbeeld opleggingen van pijlers (Fig. 1d), diafragma's (Fig. 1e), deviatoren, enz.
1. Staafwerkmethode
De basisaanname bij het definiëren van een staafwerkmodel is dat de treksterkte van beton wordt verwaarloosd. Een eenvoudig vakwerkmodel bestaat uit elementen die op druk en trek werken en het gedrag in de UGT weergeven. In het algemeen is dit geen complex probleem, en het definiëren van een basis staafwerkmodel (Fig. 2a) zou voor een ervaren ingenieur geen probleem moeten zijn. Echter, zelfs voor deze basistaak kan de correcte beoordeling van het model in overeenstemming met de ontwerpnorm een tijdrovend, handmatig en iteratief proces zijn.
Fig. 2 a) Staafwerkmodel optie 1 b) Staafwerkmodel optie 2 c) Staafwerkmodel optie
Trekstaven, knoopvlakken en dwarse trekrek in drukdiagonalen moeten worden beoordeeld. Als het model niet aan de toetsing voldoet, moet de geometrie van het staafwerk worden aangepast, of moet een ander staafwerkmodel worden gekozen (Fig. 2b, 2c). Dit leidt er vaak toe dat de constructeur de geometrie van het staafwerkmodel slechts één keer kiest en alleen de wapening beoordeelt. Dit kan tot een aanzienlijke fout leiden. De keuze van het model is altijd een kwestie van ervaring. Voor complexere constructieve details is het kiezen van een staafwerk dat voldoende overeenkomt met het werkelijke gedrag van de constructie mogelijk niet zo eenvoudig als in het bovenstaande geval. Bovendien is de staafwerkmethode alleen een methode voor het ontwerp van uiterste grenstoestanden. Het maakt het ontwerp van bruikbaarheidsgrenstoestanden (vervorming, scheurvorming) niet mogelijk, wat kritische criteria zijn, vooral bij constructies van aanzienlijk belang, aangezien deze rechtstreeks van invloed zijn op de levensduur van de constructie.
2. Compatible Stress Field Method - CSFM
CSFM is een moderne niet-lineaire methode voor de analyse van D-gebieden en elementen waarvan het gedrag kan worden vereenvoudigd tot een vlakke spanningstoestand, d.w.z. een 2D-model. Toch is de methode nog steeds gebaseerd op een fundamentele en veilige aanname van de normen: beton werkt niet op trek, en alle trek moet door wapening worden overgedragen. De Compatible Stress Field Method (CSFM) is een verdere ontwikkeling van de staafwerk- en stress fields-methoden, waarbij de hierboven genoemde belangrijkste nadelen worden weggenomen: onzekerheden bij de modelkeuze, moeilijkheden bij automatisering en het onvermogen om bruikbaarheidsgrenstoestanden te beoordelen.
Fig. 3 a) Vlakke rek b) Hoofdspanning c) CSFM
Het principe van CSFM kan worden uitgelegd aan de hand van de vlakke spanningstoestand van het basisvlakelement van een gewapende betonconstructie. Fig. 3a toont het basis 2D-element in vlakke spanning zoals we dat kennen uit alle leerboeken over elasticiteit en sterkteleer. Dit is de spanning op één punt in de constructie, verkregen bijvoorbeeld door lineair-elastische analyse met de eindige-elementenmethode (FEM). Het element wordt onderworpen aan een horizontale normaalspanning σx, een verticale normaalspanning σz, en een schuifspanning τxz. Uit deze spanningen kunnen de zogenaamde hoofdspanningen en hun richting, gedefinieerd door de hoek θ, worden bepaald (Fig. 3b). Het element wordt vervolgens onderworpen aan de hoofdtrekspanning σ1 en de hoofddrukspanning σ2.
Hoe ziet de rek van hetzelfde element, geanalyseerd met CSFM, eruit? De rek wordt getoond in Figuur 3c. Het gedrukte beton verschijnt in de richting van de hoofddrukspanning σ2. En er ontstaat een spanningsveld met spanning σc2. Zoals hierboven vermeld, is de basisaanname dat het beton niet op trek werkt. Daarom wordt de dwarse hoofdtrekspanning σ1 niet door het beton overgedragen, en ontstaat er een scheur loodrecht op de richting. De spanning σc1r moet daarom nul zijn. Om het bezwijken van ons 2D-element te voorkomen, moet alle trekspanning door de wapening worden overgedragen (in blauw aangegeven in Fig. 3c), die deel moet uitmaken van het rekenmodel.
Als deze spanningsanalyse met CSFM continu over het gehele op te lossen 2D-gebied wordt uitgevoerd, is het resultaat een continu drukveld in het beton plus trek- en drukspanningen in de wapening. Een vereenvoudigde grafische weergave van het CSFM-spanningsveld is te zien in Figuur 4. Naast de benuttingsgraden van beton en wapening geeft de figuur ook de variërende richtingen van de berekende spanningen σc2 langs de gebieden weer.
Fig. 4 Totaalresultaten van IDEA StatiCa Detail
De analyse van een detail of constructie met CSFM is gebaseerd op de eindige-elementenmethode. Het beton wordt gemodelleerd met 2D-wandelementen, en de wapening met 1D-staafelementen (Fig. 7). De analyse wordt niet in één stap uitgevoerd, omdat het een niet-lineair probleem betreft. Belastingen worden tijdens de berekening incrementeel opgelegd, en de oplossing van het niet-lineaire stelsel van vergelijkingen wordt gevonden met de Newton-Raphson-methode.
De fictieve gespreide scheuren (ε1 is de gemiddelde waarde) worden "gevormd" loodrecht op de richting van de hoofdspanningen, die tijdens de niet-lineaire berekening kunnen veranderen naarmate het element bij elke belastingstoename "geleidelijk scheurt". Samengevat wordt een fictieve, spanningsvrije roterende scheur beschouwd.
Het resultaat van de FEM-oplossing met CSFM is een compatibel spanningsveld (d.w.z. het beton breekt in het model niet op in afzonderlijke, onafhankelijk werkende drukdiagonalen) en de rektoestand, die continu zijn over het gehele op te lossen 2D-domein. Dit is een groot voordeel ten opzichte van klassieke staafwerkbenaderingen en maakt het mogelijk om het rekenmodel te automatiseren en te verfijnen, zoals beschreven in de volgende paragrafen.
Fig. 5 Principe van compression softening van beton
De eenvoudige formulering van de CSFM maakt het mogelijk om het standaard eenassige parabolisch-rechthoekige spanning-rekdiagram voor beton op druk volgens de ontwerpnorm te gebruiken. Zoals bekend, neemt de drukvastheid van beton af wanneer het beton beschadigd is door dwarsscheuren (Fig. 5). Dit zogenaamde compression softening-effect wordt in de methode meegenomen door automatisch rekening te houden met de effectieve drukvastheid van het beton.
Op basis van het niveau van de dwarse hoofdtrekrek ε1 wordt de reductiefactor kc bepaald en wordt het spanning-rekdiagram van het beton aangepast (Fig. 5). Aangezien het rekveld door de hele constructie bekend is, kan de effectieve drukvastheid van het beton automatisch worden berekend in individuele doorsneden, afhankelijk van het lokale niveau van de dwarse hoofdtrekrek ε1.
Fig. 6 Principe van tension stiffening
Bovendien houdt de CSFM rekening met het stiffening effect van het getrokken beton tussen de scheuren op de wapening, het zogenaamde tension stiffening. In het rekenmodel wordt de gemiddelde wapeningsrek εm gebruikt. Vervolgens wordt het spanning-rekdiagram van de wapening aangepast (Fig. 6). Dit maakt een realistische weergave mogelijk van de stijfheid van een gewapende betonconstructie die is aangetast door scheuren. Het blijft echter waar dat de treksterkte van beton niet bijdraagt aan de uiteindelijke draagkracht. De maximale spanning in de wapening σsr in de scheuren is bepalend voor het ontwerp (Fig. 6).
CSFM gebruikt gangbare eenassige materiaalmodellen (spanning-rekdiagrammen) zoals gedefinieerd in ontwerpnormen. De standaardaanpak, de partiële veiligheidsfactormethode, wordt vervolgens gebruikt om de UGT te beoordelen. De eenvoud van de methode maakt haar geschikt voor de ingenieurspraktijk en is consistent met de ontwerpnormen.
Hoewel het om een niet-lineaire FEA-analyse gaat, hoeft de constructeur geen aanvullende materiaaleigenschappen en betonkarakteristieken in de berekening in te voeren die in de ontwerpfase mogelijk nog niet eens beschikbaar zijn en die nodig zijn voor bijvoorbeeld niet-lineaire FEA-analyses op basis van breukmechanica. Zoals reeds aangegeven, is een groot voordeel van CSFM-analyse, naast de uiterste grenstoestanden, de mogelijkheid om bruikbaarheidsgrenstoestanden te beoordelen: doorbuigingen, spanningsbeperkingen, en met name scheurwijdte.
Fig. 7 Voorbeeld van een weergave van het eindige-elementenmodel in IDEA StatiCa Detail
(Fig. 7) Het FEM-model in CSFM bestaat uit verschillende typen eindige elementen:
- 1D-element met axiale stijfheid voor wapening
- 2D-isoparametrisch element voor beton
- Eindveren voor het verankeringsmodel van de wapening met eindbehandeling
- Speciaal 2D-element om de aanhechting tussen wapening en beton te modelleren
- Stijve en interpolerende randvoorwaarden (Multi-Point Constraints, MPC) tussen aanhechtingselementen en beton
Als de ontworpen wapening bros bezwijken van het element voorkomt, is aangetoond dat de CSFM zeer goede voorspellingen geeft van het gedrag en de uiteindelijke draagkracht van de constructie, ondanks de eenvoud van de formulering. Met andere woorden, de methode is bijvoorbeeld niet geschikt voor het ontwerp van liggers zonder dwarskrachtwapening, die potentieel bros gedrag vertonen. Verificaties van de methode, inclusief experimenten, zijn te vinden in [1]. Een meer gedetailleerde beschrijving van de methode valt buiten het bestek van dit artikel en is ook te vinden in Theoretical Background.
Het is duidelijk dat de principes van CSFM algemeen zijn en dat de toepassing ervan dus niet beperkt is tot D-gebieden, maar kan worden gebruikt om hele staven te modelleren, bijvoorbeeld prefab liggers, en waar het element kan worden vereenvoudigd tot een vlak 2D-model. De methode en de implementatie ervan in software (IDEA StatiCa Detail) zijn ook uitgebreid, met de mogelijkheid om voorgespannen en nagerekt voorgespannen wapening te specificeren.
3. Voorbeeld van het ontwerp van een pijleroplegging
De praktische toepassing van CSFM wordt getoond in het ontwerp van de brugpijleroplegging in Figuur 8. Dit is de tweede pijler van een doorgaande brug met drie overspanningen van 30,0 m, 42,0 m en 30,0 m. De kop van de gewapend betonnen pijler is ontworpen in beton C40/50 en de dikte ervan (in de langsrichting van de brug) is 2,0 m.
Fig. 8 Pijleroplegging: a) Samenvatting ontwerp; b) Drukspanning in beton in UGT; c) Trekspanning in wapening in UGT; d) Scheurwijdte in BGT
Bovenaan de pijleroplegging werd eerst een dwarsligger van B500-wapening 20xϕ28+20xϕ25 - de bovenste vier lagen - ontworpen. Figuur 8a toont een samenvattend ontwerp in de uiterste grenstoestand, met de drukspanningen in het beton, de richtingen van de drukspanningen, en de spanningen in de wapening. Een meer gedetailleerde spanningsverdeling in het beton en de wapening wordt vervolgens gedocumenteerd in Figuur 8b en 8c. De dwarswapening zit net onder de vloeigrens; ook de spanningen in het beton (en de bijbehorende rekken) zijn bevredigend in UGT. Het resultaat van de scheurwijdteberekening (Fig. 8d) laat echter zien dat het ontwerp niet voldoet in BGT: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Om aan de grenswaarde van de scheurwijdte te voldoen, is het noodzakelijk de wapening van de dwarsligger te vergroten naar 20xϕ32+20xϕ28. In het geval van wlim = 0,2 mm (bijvoorbeeld een pijler nabij een weg met zoutsproei, milieuklasse XF2), zou de wapening van de dwarsligger zelfs moeten worden vergroot naar 24xϕ32+24xϕ28.
Conclusie
CSFM is geschikt voor de ingenieurspraktijk omdat het eenvoudige materiaalmodellen gebruikt die in een ontwerpnorm zijn gedefinieerd. Naast de uiterste grenstoestanden maakt het ook het ontwerp van bruikbaarheidsgrenstoestanden mogelijk. Iets waarvan de beoordeling voorheen moeilijk voor te stellen was bij gebruik van staafwerkmodellen. Door de methode te implementeren in IDEA StatiCa Detail is het vervolgens mogelijk om het gedrag van de constructie realistisch vast te leggen en discontinuïteitsgebieden en grotere samenstellingen efficiënt en veilig te ontwerpen en te beoordelen.
De CSFM is voornamelijk ontwikkeld door het werk van professor Walter Kaufmann, hoofd van de leerstoel Constructietechniek aan de Swiss Federal Institute of Technology (ETH) Zürich. Hij en zijn team hebben ook de methode en de softwareimplementatie ervan geverifieerd.
Literatuur
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Auteur
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.