W praktyce do projektowania stref nieciągłości w konstrukcjach żelbetowych i sprężonych standardowo stosuje się metody Strut-and-Tie (S&T) oraz Stress Fields Methods. Compatible Stress Field Method (CSFM) została opracowana poprzez rozwinięcie tych klasycznych teorii, umożliwiając wysoki stopień automatyzacji i zgodność z normą projektową. Pomimo swojej prostoty, metoda ta zapewnia bardzo realistyczny opis odpowiedzi konstrukcji betonowej zarówno w stanie granicznym nośności (SGN), jak i w stanie granicznym użytkowalności (SGU). CSFM jest zaimplementowana w IDEA StatiCa Detail.
Rys. 1 a) Ściana z otworami b) Tarcza ścinana c) Belka z podcięciami i otworami d) Filar mostowy e) Przepona mostowa
Standardowe procedury projektowania przekrojów konstrukcji betonowych mają zastosowanie w obszarach, gdzie obowiązuje hipoteza Bernoulliego-Naviera o płaskim rozkładzie odkształceń (obszar B). Miejsca, w których ta hipoteza nie ma zastosowania, nazywane są strefami nieciągłości (strefy D). Obejmują one części konstrukcji, w których występują obciążenia skupione lub gwałtowna zmiana przekroju, takie jak podcięcia (Rys. 1c), belki wysokie, ściany z otworami (Rys. 1a, 1b), a także wsporniki i oczepy pali. W dziedzinie inżynierii mostowej są to np. oczepy filarów (Rys. 1d), przepony (Rys. 1e), deviatory itp.
1. Metoda Strut and Tie
Podstawowym założeniem przy definiowaniu modelu S&T jest pominięcie wytrzymałości betonu na rozciąganie. Prosty model kratownicowy składa się z elementów pracujących na ściskanie i rozciąganie, reprezentujących zachowanie w SGN. Ogólnie rzecz biorąc, nie jest to złożone zagadnienie, a zdefiniowanie podstawowego modelu S&T (Rys. 2a) nie powinno stanowić problemu dla doświadczonego inżyniera. Jednak nawet w przypadku tego podstawowego zadania, prawidłowa ocena modelu zgodnie z normą projektową może być żmudnym, ręcznym i iteracyjnym procesem.
Rys. 2 a) Model S&T wariant 1 b) Model S&T wariant 2 c) Model S&T wariant 3
Należy ocenić cięgna, obszary węzłowe oraz odkształcenie poprzeczne rozciągające w krzyżulcach. Jeśli model nie przejdzie sprawdzenia, geometria S&T musi zostać zmodyfikowana lub należy wybrać inny model S&T (Rys. 2b, 2c). Często prowadzi to do sytuacji, w której inżynier konstruktor wybiera geometrię modelu S&T tylko raz, a następnie ocenia jedynie zbrojenie. Może to prowadzić do istotnego błędu. Wybór modelu zawsze jest kwestią doświadczenia. W przypadku bardziej złożonych detali konstrukcyjnych, wybór modelu S&T, który będzie wystarczająco dobrze odzwierciedlał rzeczywiste zachowanie konstrukcji, może nie być tak prosty jak w powyższym przypadku. Ponadto metoda S&T służy wyłącznie do projektowania w stanie granicznym nośności. Nie umożliwia projektowania w zakresie stanu granicznego użytkowalności (odkształcenia, zarysowania), które są kryteriami krytycznymi, szczególnie w konstrukcjach o znaczącej ważności, ponieważ mają bezpośredni wpływ na okres użytkowania konstrukcji.
2. Compatible Stress Field Method - CSFM
CSFM to nowoczesna nieliniowa metoda analizy stref D oraz elementów, których zachowanie można uprościć do stanu naprężenia płaskiego, czyli modelu 2D. Metoda ta wciąż jednak opiera się na podstawowym i bezpiecznym założeniu norm: beton nie pracuje na rozciąganie, a całe rozciąganie musi być przenoszone przez zbrojenie. Compatible Stress Field Method (CSFM) jest rozwinięciem metod S&T oraz stress field, eliminującym ich główne wady wymienione powyżej: niepewność w wyborze modelu, trudność w automatyzacji oraz brak możliwości oceny stanu granicznego użytkowalności.
Rys. 3 a) Odkształcenie płaskie b) Naprężenie główne c) CSFM
Zasadę działania CSFM można wyjaśnić na przykładzie naprężenia płaskiego podstawowego elementu płaskiego konstrukcji żelbetowej. Rys. 3a przedstawia podstawowy element 2D w stanie naprężenia płaskiego, znany z podręczników z zakresu sprężystości i wytrzymałości materiałów. Jest to naprężenie w jednym punkcie konstrukcji, uzyskane na przykład poprzez liniowo-sprężystą analizę metodą elementów skończonych (MES). Element poddany jest poziomemu naprężeniu normalnemu σx, pionowemu naprężeniu normalnemu σz oraz naprężeniu ścinającemu τxz. Na podstawie tych naprężeń można wyznaczyć tzw. naprężenia główne oraz ich kierunek, określony kątem θ (Rys. 3b). Element poddany jest wówczas głównemu naprężeniu rozciągającemu σ1 oraz głównemu naprężeniu ściskającemu σ2.
Jak będzie wyglądać odkształcenie tego samego elementu analizowanego metodą CSFM? Odkształcenie przedstawiono na Rysunku 3c. Ściskany beton pojawia się w kierunku głównego naprężenia ściskającego σ2. Powstaje wówczas pole naprężeń o naprężeniu σc2. Jak wspomniano powyżej, podstawowym założeniem jest to, że beton nie pracuje na rozciąganie. Dlatego poprzeczne główne naprężenie rozciągające σ1 nie zostanie przeniesione przez beton, a prostopadle do tego kierunku powstanie rysa. Naprężenie σc1r musi więc być równe zero. Aby uniknąć zniszczenia naszego elementu 2D, całe naprężenie rozciągające musi zostać przeniesione przez zbrojenie (zaznaczone na niebiesko na Rys. 3c), które musi być częścią modelu obliczeniowego.
Jeśli ta analiza naprężeń zostanie przeprowadzona metodą CSFM w sposób ciągły w całym obszarze 2D podlegającym rozwiązaniu, wynikiem jest ciągłe pole ściskania w betonie oraz naprężenia rozciągające i ściskające w zbrojeniu. Uproszczone graficzne przedstawienie pola naprężeń CSFM pokazano na Rysunku 4. Oprócz stopni wykorzystania betonu i zbrojenia, rysunek wskazuje również zmieniające się kierunki obliczonych naprężeń σc2 wzdłuż poszczególnych obszarów.
Rys. 4 Ogólne wyniki z IDEA StatiCa Detail
Analiza detalu lub konstrukcji za pomocą CSFM opiera się na metodzie elementów skończonych. Beton jest modelowany za pomocą elementów powłokowych 2D, a zbrojenie za pomocą elementów prętowych 1D (Rys. 7). Analiza nie jest wykonywana w jednym kroku, ponieważ jest to zagadnienie nieliniowe. Obciążenia są przykładane przyrostowo podczas obliczeń, a rozwiązanie nieliniowego układu równań znajdowane jest za pomocą metody Newtona-Raphsona.
Fikcyjne rozmyte rysy (ε1 to wartość średnia) „powstają” prostopadle do kierunku naprężeń głównych, który może się zmieniać podczas obliczeń nieliniowych, gdy element „stopniowo pęka” w kolejnych przyrostach obciążenia. Podsumowując, rozważana jest fikcyjna, beznaprężeniowa obracająca się rysa.
Wynikiem rozwiązania MES metodą CSFM jest zgodne (kompatybilne) pole naprężeń (tzn. beton w modelu nie rozpada się na pojedyncze, niezależnie działające krzyżulce) oraz stan odkształcenia, które są ciągłe w całym rozwiązywanym obszarze 2D. Jest to główna zaleta w porównaniu z klasycznym podejściem S&T i pozwala na automatyzację oraz udoskonalenie modelu obliczeniowego, co zostało opisane w kolejnych akapitach.
Rys. 5 Zasada osłabienia betonu przy ściskaniu
Prosta formuła CSFM pozwala na zastosowanie standardowego jednoosiowego paraboliczno-prostokątnego wykresu naprężenie-odkształcenie dla betonu ściskanego, zgodnie z normą projektową. Jak powszechnie wiadomo, wytrzymałość betonu na ściskanie zmniejsza się, gdy beton jest uszkodzony przez rysy poprzeczne (Rys. 5). Ten tzw. efekt compression softening jest uwzględniony w metodzie poprzez automatyczne uwzględnienie efektywnej wytrzymałości betonu na ściskanie.
Na podstawie poziomu poprzecznych odkształceń rozciągających ε1, wyznaczany jest współczynnik redukcyjny kc, a wykres naprężenie-odkształcenie betonu jest odpowiednio korygowany (Rys. 5). Ponieważ pole odkształceń w całej konstrukcji jest znane, efektywna wytrzymałość betonu na ściskanie może zostać obliczona automatycznie w poszczególnych przekrojach, w zależności od lokalnego poziomu poprzecznych odkształceń rozciągających ε1.
Rys. 6 Zasada tension stiffening
Ponadto CSFM uwzględnia efekt usztywnienia rozciąganego betonu między rysami na zbrojenie, tzw. tension stiffening. W modelu obliczeniowym stosowany jest średni stopień zbrojenia εm. Następnie wykres naprężenie-odkształcenie zbrojenia jest odpowiednio modyfikowany (Rys. 6). Pozwala to na realistyczne odwzorowanie sztywności konstrukcji żelbetowej uszkodzonej przez rysy. Nadal jednak obowiązuje zasada, że wytrzymałość betonu na rozciąganie nie wpływa na nośność graniczną. Maksymalne naprężenie w zbrojeniu σsr w rysach jest kluczowe dla projektowania (Rys. 6).
CSFM wykorzystuje powszechnie stosowane jednoosiowe modele materiałowe (wykresy naprężenie-odkształcenie) zdefiniowane w normach projektowych. Do oceny SGN stosuje się wówczas standardowe podejście - metodę częściowych współczynników bezpieczeństwa. Prostota metody sprawia, że jest ona odpowiednia do praktyki inżynierskiej i zgodna z normami projektowymi.
Mimo że jest to nieliniowa analiza MES, inżynier konstruktor nie musi wprowadzać do obliczeń dodatkowych właściwości materiałowych i charakterystyk betonu, które mogą nie być nawet dostępne na etapie projektowania, a które są niezbędne np. w nieliniowych analizach MES opartych na mechanice pękania. Jak już wspomniano, główną zaletą analizy CSFM, oprócz stanów granicznych nośności, jest możliwość oceny stanów granicznych użytkowalności: ugięć, ograniczeń naprężeń, a w szczególności szerokości rys.
Rys. 7 Przykład reprezentacji modelu elementów skończonych w IDEA StatiCa Detail
(Rys. 7) Model MES w CSFM składa się z kilku typów elementów skończonych:
- Element 1D o sztywności osiowej dla zbrojenia
- Izoparametryczny element 2D dla betonu
- Sprężyny końcowe dla modelu zakotwienia zbrojenia z uwzględnieniem sposobu zakończenia
- Specjalny element 2D do modelowania przyczepności między zbrojeniem a betonem
- Sztywne i interpolacyjne więzy (Multi-Point Constraints, MPC) między elementami przyczepności a betonem
Jeśli zaprojektowane zbrojenie zapobiega kruchemu zniszczeniu elementu, wykazano, że CSFM daje bardzo dobre prognozy odpowiedzi i nośności granicznej konstrukcji, mimo prostoty sformułowania metody. Innymi słowy, metoda ta nie jest odpowiednia np. do projektowania belek bez poprzecznego zbrojenia na ścinanie, które wykazują potencjalnie kruche zachowanie. Weryfikacje metody, w tym eksperymenty, przedstawiono w [1]. Bardziej szczegółowy opis metody wykracza poza zakres niniejszego artykułu i można go znaleźć w Theoretical Background.
Oczywiste jest, że zasady CSFM mają charakter ogólny, a zatem jej zastosowanie nie ogranicza się do stref D, lecz może być wykorzystywane do modelowania całych elementów, np. belek prefabrykowanych, tam gdzie element można uprościć do płaskiego modelu 2D. Metoda i jej implementacja w oprogramowaniu (IDEA StatiCa Detail) zostały również rozszerzone o możliwość definiowania zbrojenia sprężającego i sprężanego kablami sprężającymi po wykonaniu betonu.
3. Przykład projektowania oczepu filaru
Praktyczne zastosowanie CSFM przedstawiono na przykładzie projektowania oczepu filaru mostowego na Rysunku 8. Jest to drugi filar mostu ciągłego o trzech przęsłach: 30,0 m, 42,0 m i 30,0 m. Głowica żelbetowego filaru zaprojektowana jest z betonu C40/50, a jej grubość (w kierunku podłużnym mostu) wynosi 2,0 m.
Rys. 8 Oczep filaru: a) Podsumowanie projektu; b) Naprężenie ściskające w betonie w SGN; c) Naprężenie rozciągające w zbrojeniu w SGN; d) Szerokość rys w SGU
Na górze oczepu filaru najpierw zaprojektowano belkę poprzeczną ze zbrojeniem B500 20xϕ28+20xϕ25 - cztery górne warstwy. Rysunek 8a przedstawia podsumowanie projektu w stanie granicznym nośności, pokazując naprężenia ściskające w betonie, kierunki naprężeń ściskających oraz naprężenia w zbrojeniu. Bardziej szczegółowy rozkład naprężeń w betonie i zbrojeniu przedstawiono następnie na Rysunkach 8b i 8c. Zbrojenie poprzeczne znajduje się tuż poniżej granicy plastyczności, a naprężenia w betonie (oraz odpowiadające im odkształcenia względne) są zadowalające w SGN. Jednak wynik obliczenia szerokości rys (Rys. 8d) pokazuje, że projekt nie spełnia wymagań w SGU: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Aby spełnić graniczną szerokość rys, konieczne jest zwiększenie zbrojenia belki poprzecznej do 20xϕ32+20xϕ28. W przypadku wlim = 0,2 mm (np. filar w pobliżu drogi generującej mgłę solną, poziom oddziaływania środowiskowego XF2), zbrojenie belki poprzecznej musiałoby zostać zwiększone nawet do 24xϕ32+24xϕ28.
Podsumowanie
CSFM jest odpowiednia do praktyki inżynierskiej, ponieważ wykorzystuje proste modele materiałowe zdefiniowane w normie projektowej. Oprócz stanów granicznych nośności, umożliwia również projektowanie w zakresie stanów granicznych użytkowalności. Ich ocena była wcześniej trudna do wyobrażenia przy zastosowaniu modeli S&T. Dzięki implementacji metody w IDEA StatiCa Detail możliwe jest realistyczne odwzorowanie odpowiedzi konstrukcji oraz efektywne i bezpieczne projektowanie i ocena stref nieciągłości oraz większych zespołów konstrukcyjnych.
CSFM została opracowana głównie dzięki pracy profesora Waltera Kaufmanna, kierownika Katedry Inżynierii Konstrukcyjnej Szwajcarskiego Federalnego Instytutu Technologii (ETH) w Zurychu. On i jego zespół również zweryfikowali metodę i jej implementację w oprogramowaniu.
Literatura
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Autor
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.