În practică, Metoda Bielă-tiranți (B&T) și Metodele Câmpurilor de Tensiuni sunt utilizate în mod standard pentru proiectarea zonelor de discontinuitate în structurile din beton armat și precomprimat. Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil (CSFM) a fost dezvoltată prin extinderea acestor teorii clasice, permițând un grad ridicat de automatizare și fiind conformă cu standardul de proiectare. În ciuda simplității sale, metoda oferă o descriere foarte realistă a răspunsului unei structuri din beton atât la starea limită ultimă (SLU), cât și la starea limită de serviciu (SLS). CSFM este implementată în IDEA StatiCa Detail.
Fig. 1 a) Perete cu goluri b) Perete de forfecare c) Grindă cu capete decupate și goluri d) Pilă de pod e) Diafragmă de pod
Procedurile standard de dimensionare a secțiunilor transversale ale structurilor din beton sunt aplicabile în zonele în care se aplică ipoteza Bernoulli-Navier privind distribuția plană a deformațiilor (regiunea B). Zonele în care această ipoteză nu se aplică se numesc zone de discontinuitate (zone D). Acestea includ părți ale structurilor unde apar încărcări concentrate sau unde există o schimbare bruscă de secțiune, cum ar fi capetele decupate (Fig. 1c), grinzile perete, pereții cu goluri (Fig. 1a, 1b), sau consolele și blocurile de fundație pentru piloți. În domeniul ingineriei podurilor, acestea sunt de exemplu capetele de pile (Fig. 1d), diafragmele (Fig. 1e), deviatorii etc.
1. Metoda Bielă-tiranți
Ipoteza de bază la definirea unui model B&T este că rezistența la întindere a betonului este neglijată. Un model simplu de grindă cu zăbrele constă din elemente care lucrează la compresiune și întindere, reprezentând comportamentul la SLU. În general, aceasta nu este o problemă complexă, iar definirea unui model B&T de bază (Fig. 2a) nu ar trebui să fie o problemă pentru un inginer experimentat. Cu toate acestea, chiar și pentru această sarcină de bază, evaluarea corectă a modelului în conformitate cu standardul de proiectare poate fi un proces manual, iterativ și laborios.
Fig. 2 a) Model B&T opțiunea 1 b) Model B&T opțiunea 2 c) Model B&T opțiunea 3
Tiranții, zonele nodale și deformația transversală de întindere din biele trebuie evaluate. Dacă modelul nu trece verificarea, geometria modelului B&T trebuie ajustată, sau trebuie ales un alt model B&T (Fig. 2b, 2c). Acest lucru duce adesea la situația în care inginerul structurist alege geometria modelului B&T o singură dată și evaluează doar armătura. Acest lucru poate conduce la o eroare substanțială. Alegerea modelului este întotdeauna o chestiune de experiență. Pentru detalii structurale mai complexe, alegerea unui model B&T care să corespundă suficient comportamentului real al structurii poate să nu fie la fel de simplă ca în cazul de mai sus. De asemenea, metoda B&T este o metodă destinată exclusiv proiectării la stările limită ultime. Aceasta nu permite proiectarea la stările limită de serviciu (deformație, fisurare), care sunt criterii critice, în special în structurile de importanță semnificativă, deoarece afectează direct durata de viață în exploatare a structurii.
2. Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil - CSFM
CSFM este o metodă neliniară modernă pentru analiza zonelor D și a elementelor al căror comportament poate fi simplificat la o stare plană de tensiune, adică un model 2D. Totuși, aceasta se bazează în continuare pe o ipoteză de bază și sigură a standardelor: betonul nu lucrează la întindere, iar toată întinderea trebuie preluată de armătură. Metoda Câmpului de Tensiuni Compatibil (CSFM) este o evoluție a metodelor B&T și a câmpurilor de tensiuni, eliminând principalele dezavantaje menționate mai sus: incertitudinile în alegerea modelului, dificultatea automatizării și imposibilitatea evaluării stărilor limită de serviciu.
Fig. 3 a) Stare plană de deformație b) Tensiune principală c) CSFM
Principiul CSFM poate fi explicat pe baza stării plane de tensiune a elementului plan de bază al unei structuri din beton armat. Fig. 3a arată elementul 2D de bază în stare plană de tensiune, așa cum este cunoscut din toate manualele de elasticitate și rezistența materialelor. Aceasta este tensiunea într-un punct al structurii, obținută, de exemplu, prin analiză liniar-elastică folosind metoda elementelor finite (FEM). Elementul este supus unei tensiuni normale orizontale σx, unei tensiuni normale verticale σz și unei tensiuni tangențiale τxz. Din aceste tensiuni pot fi determinate așa-numitele tensiuni principale și direcția lor, definită de unghiul θ (Fig. 3b). Elementul este apoi supus tensiunii principale de întindere σ1 și tensiunii principale de compresiune σ2.
Cum va arăta deformația aceluiași element analizat prin CSFM? Deformația este prezentată în Figura 3c. Betonul comprimat apare în direcția tensiunii principale de compresiune σ2. Și se generează un câmp de tensiuni cu tensiunea σc2. După cum s-a menționat mai sus, ipoteza de bază este că betonul nu lucrează la întindere. Prin urmare, tensiunea principală de întindere transversală σ1 nu va fi preluată de beton, iar o fisură se va forma perpendicular pe direcția acesteia. Tensiunea σc1r trebuie deci să fie zero. Pentru a evita cedarea elementului nostru 2D, toată tensiunea de întindere trebuie preluată de armătură (indicată cu albastru în Fig. 3c), care trebuie să facă parte din modelul de calcul.
Dacă această analiză de tensiuni este efectuată folosind CSFM continuu pe întreaga regiune 2D care trebuie rezolvată, rezultatul este un câmp de compresiune continuu în beton, plus tensiuni de întindere și compresiune în armătură. O reprezentare grafică simplificată a câmpului de tensiuni CSFM este prezentată în Figura 4. Pe lângă gradele de utilizare ale betonului și armăturii, figura indică și direcțiile variabile ale tensiunilor calculate σc2 de-a lungul regiunilor.
Fig. 4 Rezultate generale din IDEA StatiCa Detail
Analiza unui detaliu sau a unei structuri folosind CSFM se bazează pe metoda elementelor finite. Betonul este modelat folosind elemente de perete 2D, iar armătura folosind elemente de tip bară 1D (Fig. 7). Analiza nu este efectuată într-un singur pas, deoarece este o problemă neliniară. Încărcările sunt aplicate incremental în timpul calculului, iar soluția sistemului neliniar de ecuații este găsită folosind metoda Newton-Raphson.
Fisurile fictive distribuite (ε1 este valoarea medie) se "formează" perpendicular pe direcția tensiunilor principale, care se pot schimba în timpul calculului neliniar pe măsură ce elementul "se fisurează progresiv" la fiecare increment de încărcare. Pe scurt, se consideră o fisură rotativă fictivă, fără tensiuni.
Rezultatul soluției FEM folosind CSFM este un câmp de tensiuni compatibil (adică betonul nu se descompune în biele individuale acționând independent în model) și starea de deformație, care sunt continue pe întregul domeniu 2D rezolvat. Acesta este un avantaj major față de abordările clasice B&T și permite automatizarea și rafinarea modelului de calcul, așa cum este descris în paragrafele următoare.
Fig. 5 Principiul reducerii rezistenței betonului comprimat
Formularea simplă a CSFM permite utilizarea diagramei standard uniaxiale parabolă-dreptunghi efort-deformație pentru betonul comprimat, conform standardului de proiectare. După cum se știe, rezistența la compresiune a betonului scade atunci când betonul este afectat de fisuri transversale (Fig. 5). Acest efect, numit rezistența redusă a betonului comprimat, este inclus în metodă prin luarea automată în considerare a rezistenței efective la compresiune a betonului.
Pe baza nivelului deformațiilor principale de întindere transversale ε1, se determină factorul de reducere kc și se ajustează diagrama efort-deformație a betonului (Fig. 5). Deoarece câmpul de deformații din întreaga structură este cunoscut, rezistența efectivă la compresiune a betonului poate fi calculată automat în secțiuni individuale, în funcție de nivelul local al deformațiilor principale de întindere transversale ε1.
Fig. 6 Principiul participării betonului întins
În plus, CSFM ia în considerare participarea betonului întins dintre fisuri asupra armăturii, așa-numitul efect de participare a betonului întins (tension stiffening). În modelul de calcul se utilizează deformația medie a armăturii εm. Astfel, diagrama efort-deformație a armăturii este modificată (Fig. 6). Acest lucru permite o reprezentare realistă a rigidității unei structuri din beton armat afectate de fisuri. Cu toate acestea, rămâne valabil faptul că rezistența la întindere a betonului nu contribuie la capacitatea ultimă. Tensiunea maximă din armătură σsr în fisuri este determinantă pentru dimensionare (Fig. 6).
CSFM utilizează modele de material uniaxiale comune (diagrame efort-deformație) definite în standardele de proiectare. Abordarea standard, metoda coeficienților parțiali de siguranță, este apoi utilizată pentru evaluarea SLU. Simplitatea metodei o face potrivită pentru practica inginerească și conformă cu standardele de proiectare.
Deși este o analiză FEA neliniară, inginerul structurist nu trebuie să introducă în calcul proprietăți suplimentare ale materialului și caracteristici ale betonului care ar putea să nu fie nici măcar disponibile în etapa de proiectare și care sunt necesare, de exemplu, la analizele FEA neliniare bazate pe mecanica ruperii. Așa cum s-a menționat deja, un avantaj major al analizei CSFM, pe lângă stările limită ultime, este capacitatea de a evalua stările limită de serviciu: săgeți, limitări de tensiune și, în special, deschiderea fisurilor.
Fig. 7 Exemplu de reprezentare a modelului cu elemente finite în IDEA StatiCa Detail
(Fig. 7) Modelul FEM din CSFM este compus din mai multe tipuri de elemente finite:
- Element 1D cu rigiditate axială pentru armătură
- Element izoparametric 2D pentru beton
- Arcuri la capete pentru modelul de ancorare a armăturii cu tratarea capătului
- Element special 2D pentru modelarea aderenței dintre armătură și beton
- Constrângeri rigide și de interpolare (Multi-Point Constraints, MPC) între elementele de aderență și beton
Dacă armătura proiectată previne cedarea fragilă a elementului, s-a demonstrat că CSFM oferă predicții foarte bune ale răspunsului și capacității ultime a structurii, în ciuda simplității formulării. Cu alte cuvinte, metoda nu este potrivită, de exemplu, pentru proiectarea grinzilor fără armătură transversală la forfecare, care prezintă un comportament potențial fragil. Verificările metodei, inclusiv experimentele, sunt prezentate în [1]. O descriere mai detaliată a metodei depășește scopul acestui articol și poate fi găsită și în Fundamentare teoretică.
Este clar că principiile CSFM sunt generale și, prin urmare, aplicarea sa nu se limitează la zonele D, ci poate fi utilizată pentru a modela elemente întregi, de exemplu grinzi prefabricate, și acolo unde elementul poate fi simplificat la un model plan 2D. Metoda și implementarea sa în software (IDEA StatiCa Detail) au fost, de asemenea, extinse, cu posibilitatea de a specifica armătură pretensionată și post-tensionată.
3. Exemplu de proiectare a unei culei/capete de pilă
Aplicarea practică a CSFM este prezentată la proiectarea capului de pilă de pod din Figura 8. Aceasta este a doua pilă a unui pod continuu cu trei deschideri de 30,0 m, 42,0 m și 30,0 m. Capul pilei din beton armat este proiectat din beton C40/50, iar grosimea sa (pe direcția longitudinală a podului) este de 2,0 m.
Fig. 8 Cap de pilă: a) Proiectare rezumativă; b) Tensiune de compresiune în beton la SLU; c) Tensiune de întindere în armătură la SLU; d) Deschiderea fisurilor la SLS
În partea superioară a capului de pilă a fost proiectată mai întâi o grindă transversală din armătură B500 20xϕ28+20xϕ25 - primele patru straturi superioare. Figura 8a arată o proiectare rezumativă la starea limită ultimă, prezentând tensiunile de compresiune din beton, direcțiile tensiunilor de compresiune și tensiunile din armătură. O distribuție mai detaliată a tensiunilor în beton și armătură este apoi documentată în Figurile 8b și 8c. Armătura transversală este chiar sub limita de curgere, iar tensiunile din beton (și deformațiile relative) sunt satisfăcătoare la SLU. Cu toate acestea, rezultatul calculului deschiderii fisurilor (Fig. 8d) arată că proiectarea nu satisface la SLS: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Pentru a respecta limita deschiderii fisurii, este necesar să se mărească armătura grinzii transversale la 20xϕ32+20xϕ28. În cazul în care wlim = 0,2 mm (de exemplu, o pilă situată lângă un drum care generează pulverizare de sare, nivel de expunere la mediu XF2), armătura grinzii transversale ar trebui mărită chiar până la 24xϕ32+24xϕ28.
Concluzie
CSFM este potrivită pentru practica inginerească deoarece utilizează modele de material simple definite într-un standard de proiectare. Pe lângă stările limită ultime, permite și proiectarea la stările limită de serviciu, a căror evaluare era anterior dificil de imaginat atunci când se utilizau modele B&T. Prin implementarea metodei în IDEA StatiCa Detail, devine posibilă surprinderea realistă a răspunsului structurii, precum și proiectarea și evaluarea eficientă și sigură a zonelor de discontinuitate și a ansamblurilor mai mari.
CSFM a fost dezvoltată în principal prin munca profesorului Walter Kaufmann, șeful Catedrei de Inginerie Structurală de la Institutul Federal Elvețian de Tehnologie (ETH) Zurich. El și echipa sa au verificat, de asemenea, metoda și implementarea sa software.
Bibliografie
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Autor
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.