En pratique, les méthodes Bielle-et-tirant (B&T) et Champ de contraintes sont utilisées de manière standard pour dimensionner les régions de discontinuité dans les structures en béton armé et précontraint. La Méthode du Champ de Contraintes Compatible (CSFM) a été développée en étendant ces théories classiques, permettant un haut degré d'automatisation et étant conforme à la norme de calcul. Malgré sa simplicité, la méthode fournit une description très réaliste de la réponse d'une structure en béton aussi bien à l'état limite ultime (ELU) qu'à l'état limite de service (ELS). La CSFM est implémentée dans IDEA StatiCa Detail.
Fig. 1 a) Voile avec ouvertures b) Voile de cisaillement c) Poutre avec extrémités réduites et ouvertures d) Pile de pont e) Entretoise de pont
Les procédures standards de dimensionnement des sections de structures en béton sont applicables dans les parties où l'hypothèse de Bernoulli-Navier de distribution plane des déformations s'applique (région B). Les endroits où cette hypothèse ne s'applique pas sont appelés régions de discontinuité (régions D). Elles incluent les parties de structures où apparaissent des charges concentrées ou un changement brutal de section, comme les extrémités réduites (Fig. 1c), les poutres voiles, les voiles avec ouvertures (Fig. 1a, 1b), ou les corbeaux et semelles sur pieux. Dans le domaine des ponts, on trouve par exemple les chevêtres de pile (Fig. 1d), les entretoises (Fig. 1e), les déviateurs, etc.
1. Méthode Bielle et tirant
L'hypothèse de base lors de la définition d'un modèle B&T est que la résistance en traction du béton est négligée. Un modèle de treillis simple est constitué d'éléments travaillant en compression et en traction, représentant le comportement à l'ELU. En général, il ne s'agit pas d'un problème complexe, et définir un modèle B&T de base (Fig. 2a) ne devrait pas poser de difficulté à un ingénieur expérimenté. Cependant, même pour cette tâche de base, l'évaluation correcte du modèle conformément à la norme de calcul peut s'avérer un processus fastidieux, manuel et itératif.
Fig. 2 a) Modèle B&T option 1 b) Modèle B&T option 2 c) Modèle B&T option
Les tirants, les zones nodales et la déformation transversale de traction dans les bielles doivent être vérifiés. Si le modèle ne passe pas la vérification, la géométrie du modèle B&T doit être ajustée, ou un modèle B&T différent doit être sélectionné (Fig. 2b, 2c). Cela conduit souvent l'ingénieur structure à ne choisir la géométrie du modèle B&T qu'une seule fois, en ne vérifiant ensuite que le ferraillage. Cela peut entraîner une erreur substantielle. Le choix du modèle est toujours une question d'expérience. Pour des détails structurels plus complexes, choisir un modèle B&T qui correspondra suffisamment au comportement réel de la structure peut être moins évident que dans le cas ci-dessus. De plus, le modèle B&T est une méthode réservée uniquement au dimensionnement à l'état limite ultime. Elle ne permet pas le dimensionnement aux états limites de service (déformation, fissuration), qui sont des critères essentiels, notamment dans les structures d'importance significative, car ils impactent directement la durée de vie en service de la structure.
2. Méthode du Champ de Contraintes Compatible - CSFM
La CSFM est une méthode non linéaire moderne pour l'analyse des régions D et des éléments dont le comportement peut être simplifié en contraintes planes, c'est-à-dire un modèle 2D. Cependant, elle repose toujours sur une hypothèse de base et sécuritaire des normes : le béton ne travaille pas en traction, et toute la traction doit être reprise par le ferraillage. La Méthode du Champ de Contraintes Compatible (CSFM) est une évolution des méthodes B&T et du champ de contraintes, supprimant leurs principaux inconvénients mentionnés ci-dessus : incertitudes dans le choix du modèle, difficulté d'automatisation et incapacité à évaluer les états limites de service.
Fig. 3 a) Déformation plane b) Contrainte principale c) CSFM
Le principe de la CSFM peut être expliqué à partir de la contrainte plane de l'élément plan de base d'une structure en béton armé. La Fig. 3a montre l'élément 2D de base en contrainte plane tel que nous le connaissons dans tous les manuels d'élasticité et de résistance des matériaux. Il s'agit de la contrainte en un point de la structure, obtenue, par exemple, par une analyse élastique linéaire utilisant la méthode des éléments finis (MEF). L'élément est soumis à une contrainte normale horizontale σx, une contrainte normale verticale σz, et une contrainte de cisaillement τxz. À partir de ces contraintes, on peut déterminer les contraintes principales ainsi que leur direction définie par l'angle θ (Fig. 3b). L'élément est alors soumis à la contrainte principale de traction σ1 et à la contrainte principale de compression σ2.
À quoi ressemblera la déformation de ce même élément analysé par la CSFM ? La déformation est représentée à la Figure 3c. Le béton comprimé apparaît dans la direction de la contrainte principale de compression σ2. Et un champ de contraintes avec la contrainte σc2 est généré. Comme mentionné précédemment, l'hypothèse de base est que le béton ne travaille pas en traction. Par conséquent, la contrainte principale de traction transversale σ1 ne sera pas reprise par le béton, et une fissure se formera perpendiculairement à la direction. La contrainte σc1r doit donc être nulle. Pour éviter la rupture de notre élément 2D, toute contrainte de traction doit être reprise par le ferraillage (indiqué en bleu à la Fig. 3c), qui doit faire partie du modèle de calcul.
Si cette analyse de contraintes est réalisée avec la CSFM de manière continue sur l'ensemble de la région 2D à résoudre, le résultat est un champ de compression continu dans le béton, additionné de contraintes de traction et de compression dans le ferraillage. Une représentation graphique simplifiée du champ de contraintes CSFM est présentée à la Figure 4. En plus des taux de travail du béton et du ferraillage, la figure indique également les directions variables des contraintes calculées σc2 le long des régions.
Fig. 4 Résultats globaux depuis IDEA StatiCa Detail
L'analyse d'un détail ou d'une structure à l'aide de la CSFM repose sur la méthode des éléments finis. Le béton est modélisé à l'aide d'éléments de voile 2D, et le ferraillage à l'aide d'éléments barres 1D (Fig. 7). L'analyse n'est pas réalisée en une seule étape puisqu'il s'agit d'un problème non linéaire. Les charges sont appliquées par incréments au cours du calcul, et la solution du système d'équations non linéaires est trouvée à l'aide de la méthode de Newton-Raphson.
Les fissures fictives diffuses (ε1 est la valeur moyenne) sont « formées » perpendiculairement à la direction des contraintes principales, qui peuvent changer au cours du calcul non linéaire à mesure que l'élément « se fissure progressivement » à chaque incrément de charge. En résumé, une fissure rotative fictive sans contrainte est considérée.
Le résultat de la résolution par MEF utilisant la CSFM est un champ de contraintes compatible (c'est-à-dire que le béton ne se décompose pas en bielles individuelles agissant indépendamment dans le modèle) et un état de déformation, qui sont continus dans l'ensemble du domaine 2D résolu. C'est un avantage majeur par rapport aux approches classiques de Bielle-et-tirant et permet d'automatiser et d'affiner le modèle de calcul, comme décrit dans les paragraphes suivants.
Fig. 5 Principe de l'adoucissement du béton
La formulation simple de la CSFM permet d'utiliser le diagramme contrainte-déformation uniaxial parabole-rectangle standard pour le béton en compression conformément à la norme de calcul. Comme il est bien connu, la résistance en compression du béton diminue lorsque le béton est endommagé par des fissures transversales (Fig. 5). Cet effet dit d'adoucissement en compression est intégré dans la méthode en prenant automatiquement en compte la résistance en compression effective du béton.
En fonction du niveau des déformations principales de traction transversale ε1, le facteur de réduction kc est déterminé et le diagramme contrainte-déformation du béton est ajusté (Fig. 5). Comme le champ de déformations dans l'ensemble de la structure est connu, la résistance en compression effective du béton peut être calculée automatiquement dans les sections individuelles en fonction du niveau local des déformations principales de traction transversale ε1.
Fig. 6 Principe du raidissement en traction
De plus, la CSFM prend en compte l'effet de raidissement du béton tendu entre les fissures sur le ferraillage, appelé raidissement en traction. Dans le modèle de calcul, le taux moyen de ferraillage εm est utilisé. Le diagramme contrainte-déformation du ferraillage est alors modifié (Fig. 6). Cela permet une représentation réaliste de la rigidité d'une structure en béton armé endommagée par des fissures. Cependant, il reste vrai que la résistance en traction du béton ne contribue pas à la capacité ultime. La contrainte maximale dans le ferraillage σsr au niveau des fissures est déterminante pour le dimensionnement (Fig. 6).
La CSFM utilise des modèles de matériaux uniaxiaux courants (diagrammes contrainte-déformation) définis dans les normes de calcul. L'approche standard, la méthode des coefficients partiels de sécurité, est ensuite utilisée pour vérifier l'ELU. La simplicité de la méthode la rend adaptée à la pratique de l'ingénierie et conforme aux normes de calcul.
Bien qu'il s'agisse d'une analyse EF non linéaire, l'ingénieur structure n'a pas à saisir dans le calcul des propriétés de matériaux et des caractéristiques du béton supplémentaires qui pourraient même ne pas être disponibles au stade du dimensionnement et qui sont nécessaires, par exemple, pour les analyses EF non linéaires basées sur la mécanique de la rupture. Comme déjà indiqué, un avantage majeur de l'analyse CSFM, en plus des états limites ultimes, est la capacité à vérifier les états limites de service : flèches, limitations de contraintes, et en particulier, l'ouverture des fissures.
Fig. 7 Exemple de représentation du modèle éléments finis dans IDEA StatiCa Detail
(Fig. 7) Le modèle EF dans la CSFM est composé de plusieurs types d'éléments finis :
- Élément 1D avec rigidité axiale pour le ferraillage
- Élément isoparamétrique 2D pour le béton
- Ressorts d'extrémité pour le modèle d'ancrage du ferraillage avec traitement d'extrémité
- Élément 2D spécial pour modéliser l'adhérence entre le ferraillage et le béton
- Contraintes rigides et d'interpolation (contraintes multi-points, MPC) entre les éléments d'adhérence et le béton
Si le ferraillage dimensionné empêche la rupture fragile de l'élément, il a été démontré que la CSFM donne de très bonnes prédictions de la réponse et de la capacité ultime de la structure malgré la simplicité de la formulation. En d'autres termes, la méthode n'est pas adaptée, par exemple, au dimensionnement de poutres sans armature de cisaillement transversale présentant un comportement potentiellement fragile. Les vérifications de la méthode, y compris les expérimentations, sont présentées dans [1]. Une description plus détaillée de la méthode dépasse le cadre de cet article et se trouve également dans Theoretical Background.
Il est clair que les principes de la CSFM sont généraux et que son application n'est donc pas limitée aux régions D, mais peut être utilisée pour modéliser des éléments entiers, par exemple des poutres préfabriquées, et lorsque l'élément peut être simplifié en un modèle 2D plan. La méthode et son implémentation logicielle (IDEA StatiCa Detail) ont également été étendues, avec la possibilité de spécifier des armatures précontraintes et post-tendues.
3. Exemple de dimensionnement d'un chevêtre de pile
L'application pratique de la CSFM est illustrée par le dimensionnement du chevêtre de pile de pont de la Figure 8. Il s'agit de la deuxième pile d'un pont continu à trois travées de 30,0 m, 42,0 m et 30,0 m. La tête de la pile en béton armé est dimensionnée en béton C40/50 et son épaisseur (dans le sens longitudinal du pont) est de 2,0 m.
Fig. 8 Chevêtre de pile : a) Dimensionnement global ; b) Contrainte de compression dans le béton à l'ELU ; c) Contrainte de traction dans le ferraillage à l'ELU ; d) Ouverture de fissure à l'ELS
En tête de chevêtre de pile, une poutre transversale d'armature B500 20xϕ28+20xϕ25 - les quatre lits supérieurs - a d'abord été dimensionnée. La Figure 8a montre un dimensionnement global à l'état limite ultime, présentant les contraintes de compression dans le béton, les directions des contraintes de compression, et les contraintes dans le ferraillage. Une distribution des contraintes plus détaillée dans le béton et le ferraillage est ensuite documentée dans les Figures 8b et 8c. Le ferraillage transversal est juste en dessous de la limite d'élasticité et les contraintes dans le béton (ainsi que les déformations relatives) sont également satisfaisantes à l'ELU. Cependant, le résultat du calcul d'ouverture de fissure (Fig. 8d) montre que le dimensionnement ne satisfait pas à l'ELS : wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Pour respecter l'ouverture de fissure limite, il est nécessaire d'augmenter le ferraillage de la traverse à 20xϕ32+20xϕ28. Dans le cas où wlim = 0,2 mm (par exemple pour une pile proche d'une route générant des projections de sel, niveau d'exposition environnementale XF2), le ferraillage de la traverse devrait même être augmenté à 24xϕ32+24xϕ28.
Conclusion
La CSFM convient à la pratique de l'ingénierie car elle utilise des modèles de matériaux simples définis dans une norme de calcul. En plus des états limites ultimes, elle permet également le dimensionnement aux états limites de service. Pour lesquels la vérification était auparavant difficile à envisager avec les modèles B&T. En implémentant la méthode dans IDEA StatiCa Detail, il est alors possible de capturer de manière réaliste la réponse de la structure et de dimensionner et vérifier efficacement et en toute sécurité les régions de discontinuité et les assemblages plus importants.
La CSFM a été développée principalement grâce aux travaux du Professeur Walter Kaufmann, responsable de la chaire de génie structurel à l'École Polytechnique Fédérale de Zurich (ETH Zurich). Lui et son équipe ont également vérifié la méthode et son implémentation logicielle.
Littérature
[1] KAUFMANN, Walter, et al. : Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P. : Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12) : 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L. : Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Auteur
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.