In der Praxis werden für die Bemessung von D-Bereichen in Stahlbeton- und Spannbetonstrukturen üblicherweise die Strebe-und-Zugband-Methode (S&T) und Spannungsfeldmethoden verwendet. Die Compatible Stress Field Method (CSFM) wurde durch Erweiterung dieser klassischen Theorien entwickelt und ermöglicht einen hohen Automatisierungsgrad bei gleichzeitiger Übereinstimmung mit der Bemessungsnorm. Trotz ihrer Einfachheit liefert die Methode eine sehr realistische Beschreibung des Verhaltens einer Betonstruktur sowohl im Grenzzustand der Tragfähigkeit (GZT) als auch im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (GZG). Die CSFM ist in IDEA StatiCa Detail implementiert.
Abb. 1 a) Wand mit Öffnungen b) Schubwand c) Träger mit ausgeklinkten Enden und Öffnungen d) Brückenpfeiler e) Brückenquerträger
Standardverfahren zur Bemessung von Querschnitten von Betonstrukturen sind in den Bereichen anwendbar, in denen die Bernoulli-Navier-Hypothese der ebenen Dehnungsverteilung gilt (B-Bereich). Die Stellen, an denen diese Hypothese nicht gilt, werden als Diskontinuitätsbereiche (D-Bereiche) bezeichnet. Dazu gehören Teile von Strukturen, an denen konzentrierte Lasten auftreten oder an denen es zu einer plötzlichen Querschnittsänderung kommt, wie z. B. ausgeklinkte Enden (Abb. 1c), wandartige Träger, Wände mit Öffnungen (Abb. 1a, 1b) oder Konsolen und Pfahlkopfplatten. Im Bereich des Brückenbaus sind dies z. B. Pfeilerköpfe (Abb. 1d), Querträger (Abb. 1e), Umlenker usw.
1. Strebe-und-Zugband-Methode
Die grundlegende Annahme bei der Definition eines Strebe-und-Zugband-Modells besteht darin, dass die Zugfestigkeit des Betons vernachlässigt wird. Ein einfaches Fachwerkmodell besteht aus Elementen, die auf Druck und Zug wirken und das GZT-Verhalten darstellen. Im Allgemeinen ist dies kein komplexes Problem, und die Definition eines grundlegenden Strebe-und-Zugband-Modells (Abb. 2a) sollte für einen erfahrenen Ingenieur kein Problem darstellen. Aber auch bei dieser grundlegenden Aufgabe kann die korrekte Bewertung des Modells gemäß der Bemessungsnorm ein mühsamer, manueller und iterativer Prozess sein.
Abb. 2 a) Strebe-und-Zugband-Modell Option 1 b) Strebe-und-Zugband-Modell Option 2 c) Strebe-und-Zugband-Modell Option
Zugbänder, Knotenbereiche und transversale Zugdehnung in Streben müssen bewertet werden. Besteht das Modell die Prüfung nicht, muss die Geometrie des Strebe-und-Zugband-Modells angepasst oder ein anderes Strebe-und-Zugband-Modell gewählt werden (Abb. 2b, 2c). Dies führt häufig dazu, dass der Tragwerksplaner die Geometrie des Strebe-und-Zugband-Modells nur einmal wählt und lediglich die Bewehrung bewertet. Dies kann zu einem erheblichen Fehler führen. Die Wahl des Modells ist stets eine Erfahrungssache. Bei komplexeren Konstruktionsdetails ist die Wahl eines Strebe-und-Zugband-Modells, das dem tatsächlichen Verhalten der Struktur ausreichend entspricht, möglicherweise nicht so einfach wie im obigen Fall. Zudem ist die Strebe-und-Zugband-Methode nur eine Methode zur Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Sie ermöglicht keine Bemessung im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (Durchbiegung, Rissbildung), die vor allem bei Strukturen von erheblicher Bedeutung ein kritisches Kriterium darstellt, da sie sich direkt auf die Nutzungsdauer der Struktur auswirkt.
2. Compatible Stress Field Method - CSFM
Die CSFM ist eine moderne nichtlineare Methode zur Analyse von D-Bereichen und Elementen, deren Verhalten auf einen ebenen Spannungszustand, d. h. ein 2D-Modell, vereinfacht werden kann. Sie basiert jedoch weiterhin auf einer grundlegenden und sicheren Annahme der Normen: Beton wirkt nicht auf Zug, und der gesamte Zug muss durch die Bewehrung übertragen werden. Die Compatible Stress Field Method (CSFM) ist eine Weiterentwicklung der Strebe-und-Zugband- und Spannungsfeldmethoden und beseitigt deren oben genannte Hauptnachteile: Unsicherheiten bei der Modellwahl, Schwierigkeiten bei der Automatisierung und die Unfähigkeit, Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit zu bewerten.
Abb. 3 a) Ebener Dehnungszustand b) Hauptspannung c) CSFM
Das Prinzip der CSFM lässt sich anhand des ebenen Spannungszustands des grundlegenden ebenen Elements einer Stahlbetonstruktur erklären. Abb. 3a zeigt das grundlegende 2D-Element im ebenen Spannungszustand, wie wir es aus allen Lehrbüchern zur Elastizitäts- und Festigkeitslehre kennen. Dies ist die Spannung an einem Punkt der Struktur, die z. B. durch lineare elastische Analyse mittels der Methode der finiten Elemente (FEM) ermittelt wird. Das Element wird durch eine horizontale Normalspannung σx, eine vertikale Normalspannung σz und eine Schubspannung τxz beansprucht. Aus diesen Spannungen lassen sich die sogenannten Hauptspannungen und ihre durch den Winkel θ definierte Richtung bestimmen (Abb. 3b). Das Element wird dann durch die Hauptzugspannung σ1 und die Hauptdruckspannung σ2 beansprucht.
Wie sieht die Dehnung desselben, mittels CSFM analysierten Elements aus? Die Dehnung ist in Abbildung 3c dargestellt. Der gedrückte Beton erscheint in Richtung der Hauptdruckspannung σ2. Und es wird ein Spannungsfeld mit der Spannung σc2 erzeugt. Wie oben erwähnt, besteht die grundlegende Annahme darin, dass der Beton nicht auf Zug wirkt. Daher wird die transversale Hauptzugspannung σ1 nicht vom Beton übertragen, und es entsteht ein Riss senkrecht zur Richtung. Die Spannung σc1r muss daher null sein. Um das Versagen unseres 2D-Elements zu vermeiden, muss die gesamte Zugspannung durch die Bewehrung übertragen werden (in Abb. 3c blau dargestellt), die Teil des Berechnungsmodells sein muss.
Wird diese Spannungsanalyse mittels CSFM kontinuierlich über den gesamten zu lösenden 2D-Bereich durchgeführt, ergibt sich ein kontinuierliches Druckfeld im Beton zuzüglich Zug- und Druckspannungen in der Bewehrung. Eine vereinfachte grafische Darstellung des CSFM-Spannungsfelds ist in Abbildung 4 gezeigt. Neben den Ausnutzungsgraden von Beton und Bewehrung zeigt die Abbildung auch die variierenden Richtungen der berechneten Spannungen σc2 entlang der Bereiche.
Abb. 4 Gesamtergebnisse von IDEA StatiCa Detail
Die Analyse eines Details oder einer Struktur mittels CSFM basiert auf der Methode der finiten Elemente. Der Beton wird mit 2D-Wandelementen modelliert, die Bewehrung mit 1D-Stabelementen (Abb. 7). Die Analyse erfolgt nicht in einem Schritt, da es sich um ein nichtlineares Problem handelt. Während der Berechnung werden die Lasten inkrementell aufgebracht, und die Lösung des nichtlinearen Gleichungssystems wird mit der Newton-Raphson-Methode gefunden.
Die fiktiven verschmierten Risse (ε1 ist der Mittelwert) werden senkrecht zur Richtung der Hauptspannungen „gebildet", die sich während der nichtlinearen Berechnung ändern können, da das Element mit jedem Lastinkrement „fortschreitend rissig wird". Zusammenfassend wird ein fiktiver spannungsfreier rotierender Riss angenommen.
Das Ergebnis der FEM-Lösung mittels CSFM ist ein kompatibles Spannungsfeld (d. h. der Beton zerfällt im Modell nicht in einzelne, unabhängig wirkende Streben) sowie ein Dehnungszustand, die im gesamten zu lösenden 2D-Bereich kontinuierlich sind. Dies ist ein wesentlicher Vorteil gegenüber klassischen Strebe-und-Zugband-Ansätzen und ermöglicht die Automatisierung und Verfeinerung des Berechnungsmodells, wie in den folgenden Abschnitten beschrieben.
Abb. 5 Prinzip der Betonerweichung
Die einfache Formulierung der CSFM ermöglicht die Verwendung des standardmäßigen einachsigen parabelförmig-rechteckigen Spannungs-Dehnungs-Diagramms für Beton unter Druck gemäß der Bemessungsnorm. Wie bekannt ist, nimmt die Druckfestigkeit des Betons ab, wenn der Beton durch transversale Risse geschädigt wird (Abb. 5). Dieser sogenannte Druckerweichungseffekt wird in der Methode berücksichtigt, indem die effektive Druckfestigkeit des Betons automatisch berücksichtigt wird.
Basierend auf dem Niveau der transversalen Zugdehnungen ε1 wird der Abminderungsfaktor kc bestimmt und das Spannungs-Dehnungs-Diagramm des Betons angepasst (Abb. 5). Da das Dehnungsfeld in der gesamten Struktur bekannt ist, kann die effektive Druckfestigkeit des Betons automatisch in einzelnen Abschnitten in Abhängigkeit vom lokalen Niveau der transversalen Zugdehnungen ε1 berechnet werden.
Abb. 6 Prinzip der Zugverfestigung
Darüber hinaus berücksichtigt die CSFM den Versteifungseffekt des Zugbetons zwischen den Rissen auf die Bewehrung, die sogenannte Zugverfestigung. Im Berechnungsmodell wird die durchschnittliche Bewehrungsdehnung εm verwendet. Anschließend wird das Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Bewehrung angepasst (Abb. 6). Dies ermöglicht eine realistische Darstellung der Steifigkeit einer durch Risse geschädigten Stahlbetonstruktur. Es gilt jedoch weiterhin, dass die Zugfestigkeit des Betons nicht zur Grenztragfähigkeit beiträgt. Die maximale Spannung in der Bewehrung σsr in den Rissen ist maßgebend für die Bemessung (Abb. 6).
Die CSFM verwendet übliche einachsige Materialmodelle (Spannungs-Dehnungs-Diagramme), die in den Bemessungsnormen definiert sind. Der Standardansatz, die Methode der Teilsicherheitsbeiwerte, wird dann zur Bewertung des GZT verwendet. Die Einfachheit der Methode macht sie für die Ingenieurpraxis geeignet und steht im Einklang mit den Bemessungsnormen.
Obwohl es sich um eine nichtlineare FE-Analyse handelt, muss der Tragwerksplaner keine zusätzlichen Materialeigenschaften und Betonkennwerte in die Berechnung eingeben, die im Bemessungsstadium möglicherweise noch gar nicht verfügbar sind und die z. B. für nichtlineare FE-Analysen auf Grundlage der Bruchmechanik erforderlich wären. Wie bereits erwähnt, besteht ein wesentlicher Vorteil der CSFM-Analyse neben den Grenzzuständen der Tragfähigkeit in der Möglichkeit, Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit zu bewerten: Durchbiegungen, Spannungsbegrenzungen und insbesondere die Rissbreite.
Abb. 7 Beispiel einer Darstellung des Finite-Elemente-Modells in IDEA StatiCa Detail
(Abb. 7) Das FE-Modell in der CSFM besteht aus mehreren Arten von finiten Elementen:
- 1D-Element mit axialer Steifigkeit für die Bewehrung
- 2D-isoparametrisches Element für Beton
- Endfedern für das Verankerungsmodell der Bewehrung mit Endbehandlung
- Spezielles 2D-Element zur Modellierung des Verbunds zwischen Bewehrung und Beton
- Starre und interpolierende Randbedingungen (Multi-Point Constraints, MPC) zwischen Verbundelementen und Beton
Wenn die bemessene Bewehrung ein sprödes Versagen des Elements verhindert, hat sich gezeigt, dass die CSFM trotz der Einfachheit der Formulierung sehr gute Vorhersagen des Verhaltens und der Grenztragfähigkeit der Struktur liefert. Mit anderen Worten: Die Methode ist beispielsweise nicht geeignet für die Bemessung von Trägern ohne Querkraftbewehrung, die ein potenziell sprödes Verhalten aufweisen. Verifizierungen der Methode, einschließlich Experimenten, sind in [1] angegeben. Eine detailliertere Beschreibung der Methode würde den Rahmen dieses Artikels sprengen und ist auch im Theoretischen Hintergrund zu finden.
Es ist klar, dass die Prinzipien der CSFM allgemeingültig sind und ihre Anwendung somit nicht auf D-Bereiche beschränkt ist, sondern zur Modellierung ganzer Bauteile, z. B. Fertigteilträger, verwendet werden kann, sofern das Element auf ein ebenes 2D-Modell vereinfacht werden kann. Die Methode und ihre Implementierung in der Software (IDEA StatiCa Detail) wurden zudem erweitert, um die Angabe von vorgespannter und nachträglich gespannter Bewehrung zu ermöglichen.
3. Beispiel einer Pfeilerkopfbemessung
Die praktische Anwendung der CSFM wird anhand der Bemessung des Brückenpfeilerkopfes in Abbildung 8 gezeigt. Es handelt sich um den zweiten Pfeiler einer durchlaufenden Brücke mit drei Feldern von 30,0 m, 42,0 m und 30,0 m. Der Kopf des Stahlbetonpfeilers ist aus C40/50-Beton bemessen und seine Dicke (in Längsrichtung der Brücke) beträgt 2,0 m.
Abb. 8 Pfeilerkopf: a) Zusammenfassende Bemessung; b) Druckspannung im Beton im GZT; c) Zugspannung in der Bewehrung im GZT; d) Rissbreite im GZG
Am oberen Ende des Pfeilerkopfes wurde zunächst ein Querträger mit B500-Bewehrung 20xϕ28+20xϕ25 - die oberen vier Lagen - bemessen. Abbildung 8a zeigt eine zusammenfassende Bemessung im Grenzzustand der Tragfähigkeit mit den Druckspannungen im Beton, den Richtungen der Druckspannungen und den Spannungen in der Bewehrung. Eine detailliertere Spannungsverteilung im Beton und in der Bewehrung ist dann in den Abbildungen 8b und 8c dokumentiert. Die Querbewehrung liegt knapp unter der Streckgrenze, auch die Spannungen im Beton (und die relativen Dehnungen) sind im GZT zufriedenstellend. Das Ergebnis der Rissbreitenberechnung (Abb. 8d) zeigt jedoch, dass die Bemessung im GZG nicht erfüllt ist: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Um die zulässige Rissbreite einzuhalten, ist es notwendig, die Bewehrung des Querträgers auf 20xϕ32+20xϕ28 zu erhöhen. Im Fall von wlim = 0,2 mm (z. B. bei einem Pfeiler in der Nähe einer Straße, die Salzsprühnebel erzeugt, Umgebungsbedingung XF2) müsste die Bewehrung des Querträgers sogar auf 24xϕ32+24xϕ28 erhöht werden.
Fazit
Die CSFM eignet sich für die Ingenieurpraxis, da sie einfache, in einer Bemessungsnorm definierte Materialmodelle verwendet. Neben den Grenzzuständen der Tragfähigkeit ermöglicht sie auch die Bemessung der Grenzzustände der Gebrauchstauglichkeit. Deren Bewertung war bei der Verwendung von Strebe-und-Zugband-Modellen bisher kaum vorstellbar. Durch die Implementierung der Methode in IDEA StatiCa Detail ist es möglich, das Verhalten der Struktur realistisch zu erfassen und D-Bereiche sowie größere Baugruppen effizient und sicher zu bemessen und zu bewerten.
Die CSFM wurde hauptsächlich durch die Arbeit von Professor Walter Kaufmann, Leiter des Lehrstuhls für Tragwerksplanung an der Eidgenössischen Technischen Hochschule (ETH) Zürich, entwickelt. Er und sein Team haben die Methode und ihre softwareseitige Implementierung ebenfalls verifiziert.
Literatur
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Autor
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.