V praxi se pro navrhování oblastí diskontinuit v železobetonových a předpjatých betonových konstrukcích standardně používají metody vzpěra-táhlo (S&T) a metody napěťových polí. Compatible Stress Field Method (CSFM) byla vyvinuta rozšířením těchto klasických teorií, což umožňuje vysokou míru automatizace a je v souladu s návrhovou normou. Přestože je metoda jednoduchá, poskytuje velmi realistický popis chování betonové konstrukce jak v mezním stavu únosnosti (MSÚ), tak v mezním stavu použitelnosti (MSP). CSFM je implementována v IDEA StatiCa Detail.
Obr. 1 a) Stěna s otvory b) Smyková stěna c) Nosník s ozuby a otvory d) Pilíř mostu e) Příčník mostu
Standardní postupy pro navrhování průřezů betonových konstrukcí jsou použitelné v místech, kde platí Bernoulli-Navierova hypotéza rovinného přetvoření (oblast B). Místa, kde tato hypotéza neplatí, se nazývají oblasti diskontinuit (D-oblasti). Patří sem části konstrukcí, kde se vyskytuje soustředěné zatížení nebo kde dochází k náhlé změně průřezu, jako jsou ozuby (obr. 1c), vysoké nosníky, stěny s otvory (obr. 1a, 1b) nebo krátké konzoly a hlavy pilot. V oblasti mostního inženýrství se jedná např. o hlavy pilířů (obr. 1d), příčníky (obr. 1e), deviátory apod.
1. Metoda vzpěra-táhlo
Základním předpokladem při definování modelu S&T je, že tahová pevnost betonu se neuvažuje. Jednoduchý příhradový model se skládá z prvků působících v tlaku a tahu, které představují chování v MSÚ. Obecně se nejedná o složitý problém a definování základního modelu S&T (obr. 2a) by pro zkušeného inženýra neměl být problém. I u tohoto základního úkolu však může být správné posouzení modelu v souladu s návrhovou normou zdlouhavým, manuálním a iterativním procesem.
Obr. 2 a) Model S&T varianta 1 b) Model S&T varianta 2 c) Model S&T varianta
Táhla, uzlové oblasti a příčné tahové přetvoření ve vzpěrách musí být posouzeny. Pokud model neprojde posouzením, musí být upravena geometrie S&T nebo musí být vybrán jiný model S&T (obr. 2b, 2c). To často vede k tomu, že stavební inženýr zvolí geometrii modelu S&T pouze jednou a posuzuje pouze výztuž. To může vést k podstatné chybě. Volba modelu je vždy otázkou zkušenosti. U složitějších konstrukčních detailů nemusí být volba S&T, který dostatečně odpovídá skutečnému chování konstrukce, tak snadná jako v uvedeném případě. S&T je také metoda určená pouze pro navrhování mezních stavů únosnosti. Neumožňuje navrhování mezních stavů použitelnosti (přetvoření, trhliny), které jsou kritickými kritérii zejména u konstrukcí velkého významu, protože přímo ovlivňují životnost konstrukce.
2. Compatible Stress Field Method - CSFM
CSFM je moderní nelineární metoda pro analýzu D-oblastí a prvků, jejichž chování lze zjednodušit na rovinné napětí, tj. 2D model. Přesto stále vychází ze základního a bezpečného předpokladu norem: beton nepůsobí v tahu a veškerý tah musí přenášet výztuž. Compatible Stress Field Method (CSFM) je pokročilejší verzí metod S&T a napěťových polí, která odstraňuje jejich hlavní výše zmíněné nevýhody: nejistoty při volbě modelu, obtížnost automatizace a nemožnost posouzení mezních stavů použitelnosti.
Obr. 3 a) Rovinné přetvoření b) Hlavní napětí c) CSFM
Princip CSFM lze vysvětlit na rovinném napětí základního rovinného prvku železobetonové konstrukce. Obr. 3a ukazuje základní 2D prvek v rovinném napětí, jak jej známe ze všech učebnic pružnosti a pevnosti. Jde o napětí v jednom bodě konstrukce, získané například lineární pružnou analýzou metodou konečných prvků (MKP). Prvek je zatížen vodorovným normálovým napětím σx, svislým normálovým napětím σz a smykovým napětím τxz. Z těchto napětí lze určit tzv. hlavní napětí a jejich směr definovaný úhlem θ (obr. 3b). Prvek je pak zatížen hlavním tahovým napětím σ1 a hlavním tlakovým napětím σ2.
Jak bude vypadat přetvoření téhož prvku analyzovaného pomocí CSFM? Přetvoření je zobrazeno na obrázku 3c. Tlačený beton se objevuje ve směru hlavního tlakového napětí σ2. A vzniká napěťové pole s napětím σc2. Jak bylo uvedeno výše, základním předpokladem je, že beton nepůsobí v tahu. Příčné hlavní tahové napětí σ1 tedy nebude přenášeno betonem a ve směru kolmém na něj vznikne trhlina. Napětí σc1r musí být tedy nulové. Aby se zabránilo porušení našeho 2D prvku, musí veškeré tahové napětí přenášet výztuž (na obr. 3c vyznačena modře), která musí být součástí výpočetního modelu.
Pokud se tato analýza napětí provede pomocí CSFM kontinuálně v celé řešené 2D oblasti, výsledkem je kontinuální tlakové pole v betonu plus tahová a tlaková napětí ve výztuži. Zjednodušené grafické znázornění napěťového pole CSFM je uvedeno na obrázku 4. Kromě míry využití betonu a výztuže obrázek také ukazuje proměnlivé směry vypočtených napětí σc2 v jednotlivých oblastech.
Obr. 4 Celkové výsledky z IDEA StatiCa Detail
Analýza detailu nebo konstrukce pomocí CSFM je založena na metodě konečných prvků. Beton je modelován pomocí 2D stěnových prvků a výztuž pomocí 1D prutových prvků (obr. 7). Analýza se neprovádí v jednom kroku, protože se jedná o nelineární problém. Zatížení je při výpočtu aplikováno po přírůstcích a řešení nelineárního systému rovnic je nalezeno pomocí Newton-Raphsonovy metody.
Fiktivní rozetřené trhliny (ε1 je průměrná hodnota) se „vytvářejí“ ve směru kolmém na směr hlavních napětí, který se může během nelineárního výpočtu měnit, jak se prvek „postupně trhá“ s každým přírůstkem zatížení. Souhrnně řečeno, uvažuje se fiktivní bezpnutá rotující trhlina.
Výsledkem řešení MKP pomocí CSFM je kompatibilní napěťové pole (tj. beton se v modelu nerozpadá na jednotlivé samostatně působící vzpěry) a stav přetvoření, které jsou kontinuální v celé řešené 2D oblasti. Jde o hlavní výhodu oproti klasickým přístupům S&T a umožňuje automatizaci a zpřesnění výpočetního modelu, jak je popsáno v následujících odstavcích.
Obr. 5 Princip tlakového změkčení betonu
Jednoduchá formulace CSFM umožňuje použít standardní jednoosý parabolicko-rektangulární diagram napětí-přetvoření pro beton v tlaku podle návrhové normy. Jak je dobře známo, tlaková pevnost betonu se snižuje, když je beton porušen příčnými trhlinami (obr. 5). Tento tzv. efekt tlakového změkčení je do metody zahrnut automatickým zohledněním efektivní tlakové pevnosti betonu.
Na základě úrovně příčného tahového přetvoření ε1 se určí redukční součinitel kc a upraví se diagram napětí-přetvoření betonu (obr. 5). Protože je známo pole přetvoření v celé konstrukci, lze efektivní tlakovou pevnost betonu automaticky vypočítat v jednotlivých průřezech v závislosti na místní úrovni příčného tahového přetvoření ε1.
Obr. 6 Princip tahového zpevnění
Kromě toho CSFM zohledňuje ztužující vliv tažného betonu mezi trhlinami na výztuž, tzv. tahové zpevnění. Ve výpočtovém modelu se používá průměrné přetvoření výztuže εm. Diagram napětí-přetvoření výztuže je poté upraven (obr. 6). To umožňuje realistické zobrazení tuhosti železobetonové konstrukce porušené trhlinami. Nicméně platí, že tahová pevnost betonu nepřispívá k výsledné únosnosti. Rozhodující pro návrh je maximální napětí ve výztuži σsr v trhlinách (obr. 6).
CSFM využívá běžné jednoosé materiálové modely (diagramy napětí-přetvoření) definované v návrhových normách. Pro posouzení MSÚ se pak používá standardní přístup, metoda dílčích součinitelů bezpečnosti. Jednoduchost metody ji dělá vhodnou pro inženýrskou praxi a je v souladu s návrhovými normami.
I když se jedná o nelineární MKP analýzu, stavební inženýr nemusí do výpočtu zadávat další materiálové charakteristiky a vlastnosti betonu, které nemusí být ve fázi návrhu ani k dispozici a které jsou nutné např. u nelineárních MKP analýz založených na lomové mechanice. Jak již bylo zmíněno, velkou výhodou analýzy CSFM je kromě mezních stavů únosnosti také možnost posoudit mezní stavy použitelnosti: průhyby, omezení napětí a zejména šířku trhlin.
Obr. 7 Příklad znázornění modelu konečných prvků v IDEA StatiCa Detail
(Obr. 7) Model MKP v CSFM se skládá z několika typů konečných prvků:
- 1D prvek s osovou tuhostí pro výztuž
- 2D izoparametrický prvek pro beton
- Koncové pružiny pro model kotvení výztuže s koncovou úpravou
- Speciální 2D prvek pro modelování soudržnosti mezi výztuží a betonem
- Tuhé a interpolační vazby (Multi-Point Constraints, MPC) mezi prvky soudržnosti a betonem
Pokud navržená výztuž zabraňuje křehkému porušení prvku, bylo prokázáno, že CSFM poskytuje velmi dobré předpovědi odezvy a únosnosti konstrukce, a to i přes jednoduchost formulace. Jinými slovy, metoda není vhodná například pro návrh nosníků bez příčné smykové výztuže, které vykazují potenciálně křehké chování. Ověření metody, včetně experimentů, jsou uvedena v [1]. Podrobnější popis metody přesahuje rámec tohoto článku a lze jej také nalézt v Teoretickém základu.
Je zřejmé, že principy CSFM jsou obecné, a proto její použití není omezeno pouze na D-oblasti, ale lze ji použít i k modelování celých prvků, např. prefabrikovaných nosníků, a to tam, kde lze prvek zjednodušit na rovinný 2D model. Metoda a její implementace v softwaru (IDEA StatiCa Detail) byly také rozšířeny o možnost zadávat předpjatou a dodatečně předpjatou výztuž.
3. Příklad návrhu hlavy pilíře
Praktická aplikace CSFM je znázorněna na návrhu hlavy mostního pilíře na obrázku 8. Jedná se o druhý pilíř spojitého mostu se třemi poli o délce 30,0 m, 42,0 m a 30,0 m. Hlava železobetonového pilíře je navržena z betonu C40/50 a její tloušťka (v podélném směru mostu) je 2,0 m.
Obr. 8 Hlava pilíře: a) Souhrnný návrh; b) Tlakové napětí v betonu v MSÚ; c) Tahové napětí ve výztuži v MSÚ; d) Šířka trhlin v MSP
Na horní straně hlavy pilíře byl nejprve navržen příčný nosník s výztuží B500 20xϕ28+20xϕ25 - horní čtyři vrstvy. Obrázek 8a ukazuje souhrnný návrh v mezním stavu únosnosti, zobrazující tlaková napětí v betonu, směry tlakových napětí a napětí ve výztuži. Podrobnější rozložení napětí v betonu a výztuži je pak dokumentováno na obrázcích 8b a 8c. Příčná výztuž je jen těsně pod mezí kluzu, také napětí v betonu (a relativní přetvoření) jsou v MSÚ vyhovující. Výsledek výpočtu šířky trhlin (obr. 8d) však ukazuje, že návrh nevyhovuje v MSP: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Aby byla splněna limitní šířka trhlin, je nutné zvýšit výztuž příčného prvku na 20xϕ32+20xϕ28. V případě wlim = 0,2 mm (např. pilíř v blízkosti silnice vytvářející solný postřik, stupeň vlivu prostředí XF2) by bylo nutné zvýšit výztuž příčného prvku až na 24xϕ32+24xϕ28.
Závěr
CSFM je vhodná pro inženýrskou praxi, protože využívá jednoduché materiálové modely definované v návrhové normě. Kromě mezních stavů únosnosti umožňuje také návrh mezních stavů použitelnosti, jejichž posouzení bylo dříve při použití modelů S&T obtížně představitelné. Implementací metody do IDEA StatiCa Detail je pak možné realisticky zachytit odezvu konstrukce a efektivně a bezpečně navrhovat a posuzovat oblasti diskontinuit i větší celky konstrukcí.
CSFM byla vyvinuta zejména díky práci profesora Waltera Kaufmanna, vedoucího Katedry stavebního inženýrství na Švýcarském federálním technologickém institutu (ETH) v Zurichu. On a jeho týmu také ověřili metodu a její softwarovou implementaci.
Literatura
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Autor
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.