V praxi se pro návrh D-oblastí v železobetonových a předpjatých betonových konstrukcích standardně používají metody vzpěra-táhlo (S&T) a metody napěťových polí. Compatible Stress Field Method (CSFM) byla vyvinuta rozšířením těchto klasických teorií, což umožňuje vysoký stupeň automatizace a je v souladu s návrhovou normou. Přes svou jednoduchost poskytuje metoda velmi realistický popis chování betonové konstrukce jak v mezním stavu únosnosti (MSÚ), tak v mezním stavu použitelnosti (MSP). CSFM je implementována v IDEA StatiCa Detail.
Obr. 1 a) Stěna s otvory b) Smyková stěna c) Nosník s ozuby a otvory d) Mostní pilíř e) Mostní příčník
Standardní postupy pro návrh průřezů betonových konstrukcí jsou použitelné v částech, kde platí Bernoulli-Navierova hypotéza rovinného přetvoření (oblast B). Místa, kde tato hypotéza neplatí, se nazývají oblasti diskontinuit (D-oblasti). Patří sem části konstrukcí, kde se vyskytují soustředěná zatížení nebo kde dochází k náhlé změně průřezu, jako jsou ozuby (obr. 1c), vysoké nosníky, stěny s otvory (obr. 1a, 1b), nebo krátké konzoly a hlavice pilot. V oblasti mostního inženýrství jsou to např. hlavice pilířů (obr. 1d), příčníky (obr. 1e), deviátory atd.
1. Metoda vzpěra-táhlo
Základním předpokladem při definování modelu S&T je zanedbání tahové pevnosti betonu. Jednoduchý příhradový model se skládá z prvků působících v tlaku a tahu, které představují chování v MSÚ. Obecně se nejedná o složitý problém a definování základního modelu S&T (obr. 2a) by pro zkušeného inženýra nemělo být problémem. Nicméně i u tohoto základního úkolu může být správné posouzení modelu v souladu s návrhovou normou zdlouhavým, manuálním a iterativním procesem.
Obr. 2 a) Model S&T varianta 1 b) Model S&T varianta 2 c) Model S&T varianta 3
Je nutné posoudit táhla, uzlové oblasti a příčné tahové přetvoření ve vzpěrách. Pokud model neprojde posouzením, musí se upravit geometrie modelu S&T, nebo musí být zvolen jiný model S&T (obr. 2b, 2c). To často vede k tomu, že stavební inženýr zvolí geometrii modelu S&T pouze jednou a posuzuje pouze výztuž. To může vést k závažné chybě. Volba modelu je vždy věcí zkušenosti. U složitějších konstrukčních detailů nemusí být volba modelu S&T, který dostatečně odpovídá skutečnému chování konstrukce, tak snadná jako ve výše uvedeném případě. Metoda S&T je navíc metodou pouze pro návrh mezních stavů únosnosti. Neumožňuje návrh mezních stavů použitelnosti (přetvoření, trhliny), které jsou kritickými kritérii, zejména u konstrukcí zásadního významu, protože přímo ovlivňují životnost konstrukce.
2. Compatible Stress Field Method - CSFM
CSFM je moderní nelineární metoda pro analýzu D-oblastí a prvků, jejichž chování lze zjednodušit na rovinnou napjatost, tj. 2D model. Přesto stále vychází ze základního a bezpečného předpokladu norem: beton nepůsobí v tahu a veškerý tah musí být přenášen výztuží. Compatible Stress Field Method (CSFM) je pokračovatelem metod S&T a napěťových polí, přičemž odstraňuje jejich hlavní výše uvedené nevýhody: nejistotu při volbě modelu, obtížnou automatizaci a nemožnost posoudit mezní stavy použitelnosti.
Obr. 3 a) Rovinná napjatost b) Hlavní napětí c) CSFM
Princip CSFM lze vysvětlit na rovinné napjatosti základního rovinného prvku železobetonové konstrukce. Obr. 3a znázorňuje základní 2D prvek v rovinné napjatosti tak, jak jej známe ze všech učebnic pružnosti a pevnosti. Jedná se o napětí v jednom bodě konstrukce, získané například lineární pružnou analýzou pomocí metody konečných prvků (MKP). Prvek je vystaven vodorovnému normálovému napětí σx, svislému normálovému napětí σz a smykovému napětí τxz. Z těchto napětí lze určit tzv. hlavní napětí a jejich směr definovaný úhlem θ (obr. 3b). Prvek je pak vystaven hlavnímu tahovému napětí σ1 a hlavnímu tlakovému napětí σ2.
Jak bude vypadat přetvoření stejného prvku analyzovaného pomocí CSFM? Přetvoření je znázorněno na obr. 3c. Stlačený beton se objevuje ve směru hlavního tlakového napětí σ2. A vzniká napěťové pole s napětím σc2. Jak bylo uvedeno výše, základním předpokladem je, že beton nepůsobí v tahu. Příčné hlavní tahové napětí σ1 proto nebude přenášeno betonem a kolmo k tomuto směru vznikne trhlina. Napětí σc1r tedy musí být nulové. Aby nedošlo k porušení našeho 2D prvku, musí veškeré tahové napětí přenášet výztuž (znázorněná modře na obr. 3c), která musí být součástí výpočetního modelu.
Pokud se tato analýza napětí pomocí CSFM provede průběžně v celé řešené 2D oblasti, výsledkem je spojité tlakové pole v betonu plus tahová a tlaková napětí ve výztuži. Zjednodušené grafické znázornění napěťového pole CSFM je uvedeno na obr. 4. Kromě míry využití betonu a výztuže obrázek také znázorňuje měnící se směry vypočtených napětí σc2 v jednotlivých oblastech.
Obr. 4 Celkové výsledky z aplikace IDEA StatiCa Detail
Analýza detailu nebo konstrukce pomocí CSFM je založena na metodě konečných prvků. Beton je modelován pomocí 2D stěnových prvků a výztuž pomocí 1D prutových prvků (obr. 7). Analýza se neprovádí v jednom kroku, protože se jedná o nelineární úlohu. Zatížení je při výpočtu aplikováno po přírůstcích a řešení nelineární soustavy rovnic se hledá pomocí Newton-Raphsonovy metody.
Fiktivní rozetřené trhliny (ε1 je průměrná hodnota) se „tvoří“ kolmo na směr hlavních napětí, který se může během nelineárního výpočtu měnit, jak prvek s každým přírůstkem zatížení „postupně praská“. Souhrnně řečeno, uvažuje se fiktivní bezpnapěťová rotující trhlina.
Výsledkem řešení MKP pomocí CSFM je kompatibilní napěťové pole (tj. beton se v modelu nerozpadá na jednotlivé nezávisle působící vzpěry) a stav přetvoření, které jsou spojité v celé řešené 2D oblasti. To je zásadní výhoda oproti klasickým přístupům S&T a umožňuje automatizaci a zpřesnění výpočetního modelu, jak je popsáno v následujících odstavcích.
Obr. 5 Princip tlakového změkčení betonu
Jednoduchá formulace CSFM umožňuje použít standardní jednoosý parabolicko-rektangulární diagram napětí-přetvoření pro beton v tlaku podle návrhové normy. Jak je dobře známo, pevnost betonu v tlaku klesá, když je beton poškozen příčnými trhlinami (obr. 5). Tento tzv. efekt tlakového změkčení je do metody zahrnut automatickým zohledněním účinné pevnosti betonu v tlaku.
Na základě úrovně příčných tahových přetvoření ε1 se určí redukční součinitel kc a upraví se diagram napětí-přetvoření betonu (obr. 5). Jelikož je pole přetvoření v celé konstrukci známé, lze účinnou pevnost betonu v tlaku automaticky vypočítat v jednotlivých průřezech v závislosti na místní úrovni příčných tahových přetvoření ε1.
Obr. 6 Princip tahového zpevnění
CSFM dále zohledňuje ztužující vliv taženého betonu mezi trhlinami na výztuž, tzv. tahové zpevnění. Ve výpočtovém modelu se používá průměrné přetvoření výztuže εm. Diagram napětí-přetvoření výztuže je pak upraven (obr. 6). To umožňuje realistické zobrazení tuhosti železobetonové konstrukce poškozené trhlinami. Přesto stále platí, že tahová pevnost betonu nepřispívá k mezní únosnosti. Rozhodující pro návrh je maximální napětí ve výztuži σsr v trhlinách (obr. 6).
CSFM využívá běžné jednoosé materiálové modely (diagramy napětí-přetvoření) definované v návrhových normách. K posouzení MSÚ se pak používá standardní přístup, metoda dílčích součinitelů spolehlivosti. Jednoduchost metody ji předurčuje pro inženýrskou praxi a je v souladu s návrhovými normami.
Přestože se jedná o nelineární MKP analýzu, nemusí stavební inženýr do výpočtu zadávat další materiálové vlastnosti a charakteristiky betonu, které nemusí být ani ve fázi návrhu k dispozici a jsou nezbytné např. pro nelineární MKP analýzy založené na lomové mechanice. Jak již bylo naznačeno, hlavní výhodou analýzy CSFM je kromě mezních stavů únosnosti také možnost posouzení mezních stavů použitelnosti: průhybů, omezení napětí a zejména šířky trhlin.
Obr. 7 Příklad znázornění modelu konečných prvků v aplikaci IDEA StatiCa Detail
(Obr. 7) Model MKP v CSFM se skládá z několika typů konečných prvků:
- 1D prvek s osovou tuhostí pro výztuž
- 2D izoparametrický prvek pro beton
- Koncové pružiny pro model kotvení výztuže s úpravou konců
- Speciální 2D prvek pro modelování soudržnosti mezi výztuží a betonem
- Tuhé a interpolační vazby (Multi-Point Constraints, MPC) mezi prvky soudržnosti a betonem
Pokud navržená výztuž zabraňuje křehkému porušení prvku, bylo prokázáno, že CSFM poskytuje velmi dobré predikce chování a mezní únosnosti konstrukce navzdory jednoduchosti formulace. Jinými slovy, metoda není vhodná např. pro návrh nosníků bez příčné smykové výztuže, které vykazují potenciálně křehké chování. Ověření metody, včetně experimentů, jsou uvedena v [1]. Podrobnější popis metody přesahuje rámec tohoto článku a lze jej nalézt také v Teoretickém základu.
Je zřejmé, že principy CSFM jsou obecné, a proto její použití není omezeno pouze na D-oblasti, ale lze ji použít k modelování celých prvků, např. prefabrikovaných nosníků, a to tam, kde lze prvek zjednodušit na rovinný 2D model. Metoda a její implementace v softwaru (IDEA StatiCa Detail) byly také rozšířeny o možnost zadání předpjaté a dodatečně předpjaté výztuže.
3. Příklad návrhu hlavice pilíře
Praktická aplikace CSFM je znázorněna na návrhu hlavice mostního pilíře na obr. 8. Jedná se o druhý pilíř spojitého mostu o třech polích 30,0 m, 42,0 m a 30,0 m. Hlava železobetonového pilíře je navržena z betonu C40/50 a její tloušťka (v podélném směru mostu) je 2,0 m.
Obr. 8 Hlavice pilíře: a) Souhrnný návrh; b) Tlakové napětí v betonu v MSÚ; c) Tahové napětí ve výztuži v MSÚ; d) Šířka trhlin v MSP
V horní části hlavice pilíře byl nejprve navržen příčný nosník z výztuže B500 20xϕ28+20xϕ25 - horní čtyři vrstvy. Obr. 8a ukazuje souhrnný návrh v mezním stavu únosnosti, znázorňující tlaková napětí v betonu, směry tlakových napětí a napětí ve výztuži. Podrobnější rozložení napětí v betonu a výztuži je pak dokumentováno na obr. 8b a 8c. Příčná výztuž je těsně pod mezí kluzu, také napětí v betonu (a relativní přetvoření) jsou v MSÚ vyhovující. Výsledek výpočtu šířky trhlin (obr. 8d) však ukazuje, že návrh nevyhovuje v MSP: wmax = 0,36 mm > wlim = 0,3 mm. Pro splnění limitní šířky trhlin je nutné zvýšit výztuž příčného nosníku na 20xϕ32+20xϕ28. V případě wlim = 0,2 mm (např. pilíř v blízkosti silnice generující solný postřik, stupeň vlivu prostředí XF2) by bylo nutné zvýšit výztuž příčného nosníku dokonce na 24xϕ32+24xϕ28.
Závěr
CSFM je vhodná pro inženýrskou praxi, protože využívá jednoduché materiálové modely definované v návrhové normě. Kromě mezních stavů únosnosti umožňuje také návrh mezních stavů použitelnosti. Jejichž posouzení bylo dříve při použití modelů S&T obtížně představitelné. Implementací metody v aplikaci IDEA StatiCa Detail je pak možné realisticky zachytit chování konstrukce a efektivně a bezpečně navrhovat a posuzovat D-oblasti a rozsáhlejší sestavy.
CSFM byla vyvinuta zejména díky práci profesora Waltera Kaufmanna, vedoucího katedry stavebního inženýrství na Švýcarském federálním technologickém institutu (ETH) v Curychu. On a jeho tým také ověřili metodu a její softwarovou implementaci.
Literatura
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
Autor
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.