실무에서는 스트럿-타이 모델(S&T)과 응력장 방법이 철근콘크리트 및 프리스트레스트 콘크리트 구조물의 D영역(불연속 영역)을 설계하는 데 표준적으로 사용됩니다. 적합 응력장 방법(CSFM)은 이러한 고전 이론을 확장하여 개발되었으며, 높은 수준의 자동화를 가능하게 하고 설계 규정과 일치합니다. 이 방법은 단순함에도 불구하고 한계 상태(ULS)와 사용성 한계 상태(SLS) 모두에서 콘크리트 구조물의 거동을 매우 현실적으로 표현합니다. CSFM은 IDEA StatiCa 상세 모듈에 구현되어 있습니다.
그림 1 a) 개구부가 있는 벽체 b) 전단벽 c) 단부 절단부와 개구부가 있는 보 d) 교각 e) 교량 격벽
콘크리트 구조물의 단면을 설계하는 표준 절차는 평면 변형률 분포에 대한 베르누이-나비에 가정이 적용되는 부분(B영역)에서 적용 가능합니다. 이 가정이 적용되지 않는 부분을 불연속 영역(D영역)이라고 합니다. 여기에는 집중 하중이 작용하거나 단면이 급격히 변화하는 구조물의 부분, 예를 들어 단부 절단부(그림 1c), 딥 빔, 개구부가 있는 벽체(그림 1a, 1b), 코벨 또는 파일 캡 등이 포함됩니다. 교량 공학 분야에서는 예를 들어 교각 캡(그림 1d), 격벽(그림 1e), 편향기 등이 이에 해당합니다.
1. 스트럿-타이 모델
S&T 모델을 정의할 때의 기본 가정은 콘크리트의 인장 강도를 무시하는 것입니다. 단순 트러스 모델은 압축과 인장으로 작용하는 요소로 구성되며, 이는 ULS 거동을 나타냅니다. 일반적으로 이는 복잡한 문제가 아니며, 기본적인 S&T 모델(그림 2a)을 정의하는 것은 숙련된 엔지니어에게 어려운 일이 아닙니다. 그러나 이러한 기본적인 작업조차도 설계 규정에 따라 모델을 올바르게 평가하는 것은 번거롭고 수작업이며 반복적인 과정일 수 있습니다.
그림 2 a) S&T 모델 옵션 1 b) S&T 모델 옵션 2 c) S&T 모델 옵션
타이, 절점 영역, 그리고 스트럿의 횡방향 인장 변형률을 평가해야 합니다. 모델이 검토를 통과하지 못하면 S&T 형상을 조정하거나 다른 S&T 모델을 선택해야 합니다(그림 2b, 2c). 이로 인해 구조 엔지니어가 S&T 모델 형상을 한 번만 선택하고 철근만 평가하는 경우가 많습니다. 이는 상당한 오류로 이어질 수 있습니다. 모델의 선택은 항상 경험의 문제입니다. 더 복잡한 구조 상세의 경우, 구조물의 실제 거동과 충분히 일치하는 S&T를 선택하는 것이 위의 경우처럼 쉽지 않을 수 있습니다. 또한 S&T는 극한한계상태 설계만을 위한 방법입니다. 이는 특히 구조물의 사용 수명에 직접적인 영향을 미치는 중요한 구조물에서 중요한 기준인 사용성 한계 상태(변형, 균열) 설계를 허용하지 않습니다.
2. 적합 응력장 방법 - CSFM
CSFM은 평면 응력, 즉 2D 모델로 단순화할 수 있는 거동을 갖는 D영역 및 요소를 해석하기 위한 현대적인 비선형 방법입니다. 그러나 이 방법도 규정의 기본적이고 안전한 가정, 즉 콘크리트는 인장에 저항하지 않으며 모든 인장은 철근에 의해 전달되어야 한다는 가정에 기반합니다. 적합 응력장 방법(CSFM)은 S&T 및 응력장 방법의 발전된 형태로, 앞서 언급한 주요 단점들, 즉 모델 선택의 불확실성, 자동화의 어려움, 사용성 한계 상태 평가 불가능성을 제거합니다.
그림 3 a) 평면 변형률 b) 주 응력 c) CSFM
CSFM의 원리는 철근콘크리트 구조물의 기본 평면 요소의 평면 응력으로 설명할 수 있습니다. 그림 3a는 탄성 및 강도에 관한 모든 교과서에서 알고 있는 평면 응력 상태의 기본 2D 요소를 보여줍니다. 이는 예를 들어 유한요소법(FEM)을 이용한 선형 탄성 해석으로 얻은 구조물 내 한 지점의 응력입니다. 이 요소에는 수평 법선 응력 σx, 수직 법선 응력 σz, 전단 응력 τxz가 작용합니다. 이러한 응력으로부터 이른바 주 응력과 각도 θ로 정의되는 그 방향을 결정할 수 있습니다(그림 3b). 그러면 이 요소에는 주 인장 응력 σ1과 주 압축 응력 σ2가 작용합니다.
CSFM으로 해석한 동일한 요소의 변형률은 어떻게 나타날까요? 변형률은 그림 3c에 나타나 있습니다. 압축된 콘크리트는 주 압축 응력 σ2의 방향으로 나타납니다. 그리고 응력 σc2를 갖는 응력장이 생성됩니다. 위에서 언급했듯이 기본 가정은 콘크리트가 인장에 저항하지 않는다는 것입니다. 따라서 횡방향 주 인장 응력 σ1은 콘크리트에 의해 전달되지 않으며, 그 방향에 수직으로 균열이 형성됩니다. 따라서 응력 σc1r은 0이어야 합니다. 우리의 2D 요소의 파괴를 방지하기 위해서는 모든 인장 응력이 철근(그림 3c에 파란색으로 표시)에 의해 전달되어야 하며, 이는 계산 모델의 일부여야 합니다.
이 응력 해석을 해석하고자 하는 전체 2D 영역에 걸쳐 CSFM을 사용하여 연속적으로 수행하면, 그 결과는 콘크리트의 연속 압축장과 철근의 인장 및 압축 응력으로 나타납니다. CSFM 응력장의 단순화된 그래픽 표현은 그림 4에 나와 있습니다. 이 그림은 콘크리트와 철근의 이용률뿐만 아니라 영역에 따라 계산된 응력 σc2의 방향 변화도 함께 나타냅니다.
그림 4 IDEA StatiCa 상세 모듈의 전체 결과
CSFM을 이용한 상세 또는 구조물의 해석은 유한요소법을 기반으로 합니다. 콘크리트는 2D 벽체 요소로 모델링되고, 철근은 1D 부재 요소로 모델링됩니다(그림 7). 이는 비선형 문제이므로 해석은 한 단계로 수행되지 않습니다. 계산 과정에서 하중이 단계적으로 적용되며, 비선형 방정식 시스템의 해는 뉴턴-랩슨 방법을 이용하여 구합니다.
가상의 분산 균열(ε1은 평균값)은 주 응력 방향에 수직으로 "형성"되며, 이 방향은 요소가 각 하중 증분에서 "점진적으로 균열"됨에 따라 비선형 계산 중에 변할 수 있습니다. 요약하면, 응력이 없는 가상의 회전 균열이 고려됩니다.
CSFM을 이용한 FEM 해석의 결과는 적합 응력장(즉, 콘크리트가 모델 내에서 개별적으로 독립적으로 작용하는 스트럿으로 분리되지 않음)과, 해석하고자 하는 2D 영역 전체에 걸쳐 연속적인 변형률 상태입니다. 이는 고전적인 S&T 접근법에 비해 큰 장점이며, 다음 단락에서 설명하는 바와 같이 계산 모델을 자동화하고 정교화할 수 있게 합니다.
그림 5 콘크리트 연화의 원리
CSFM의 단순한 정식화는 설계 규정에 따른 표준 일축 포물선-직사각형 응력-변형률 선도를 압축 콘크리트에 사용할 수 있게 합니다. 잘 알려진 바와 같이, 콘크리트가 횡방향 균열로 손상되면 콘크리트의 압축 강도는 감소합니다(그림 5). 이러한 이른바 압축 연화 효과는 콘크리트의 유효 압축 강도를 자동으로 고려함으로써 이 방법에 포함됩니다.
횡방향 인장 변형률 ε1의 수준을 바탕으로 감소 계수 kc가 결정되고, 콘크리트의 응력-변형률 선도가 조정됩니다(그림 5). 구조물 전체의 변형률장이 알려져 있으므로, 콘크리트의 유효 압축 강도는 국부적인 횡방향 인장 변형률 ε1 수준에 따라 개별 단면에서 자동으로 계산될 수 있습니다.
그림 6 인장 강성 효과의 원리
또한 CSFM은 균열 사이의 인장 콘크리트가 철근에 미치는 강성 증대 효과, 이른바 인장 강성 효과를 고려합니다. 계산 모델에서는 평균 철근 변형률 εm이 사용됩니다. 그런 다음 철근의 응력-변형률 선도가 수정됩니다(그림 6). 이를 통해 균열로 손상된 철근콘크리트 구조물의 강성을 현실적으로 표현할 수 있습니다. 그러나 콘크리트의 인장 강도가 극한 내력에 기여하지 않는다는 사실은 여전히 유효합니다. 균열부에서 철근의 최대 응력 σsr이 설계에서 중요합니다(그림 6).
CSFM은 설계 규정에 정의된 일반적인 일축 재료 모델(응력-변형률 선도)을 사용합니다. 그런 다음 표준적인 방법인 부분안전계수법을 사용하여 ULS를 평가합니다. 이 방법의 단순성 덕분에 실무에 적합하며 설계 규정과 일치합니다.
비선형 FEA 해석임에도 불구하고, 구조 엔지니어는 파괴역학에 기반한 FEA 비선형 해석 등에 필요하지만 설계 단계에서는 이용할 수 없을 수도 있는 추가적인 재료 물성치와 콘크리트 특성치를 계산에 입력할 필요가 없습니다. 이미 언급했듯이, CSFM 해석의 주요 장점은 극한한계상태 외에도 사용성 한계 상태: 처짐, 응력 제한, 특히 균열폭을 평가할 수 있다는 점입니다.
그림 7 IDEA StatiCa 상세 모듈에서의 유한요소 모델 표현 예시
(그림 7) CSFM의 FEM 모델은 여러 종류의 유한요소로 구성됩니다:
- 철근용 축강성을 갖는 1D 요소
- 콘크리트용 2D 등매개변수 요소
- 단부 처리를 포함한 철근 정착 모델용 단부 스프링
- 철근과 콘크리트 사이의 부착을 모델링하기 위한 특수 2D 요소
- 부착 요소와 콘크리트 사이의 강체 및 보간 구속(다점 구속, MPC)
설계된 철근이 요소의 취성 파괴를 방지하는 경우, CSFM은 정식화의 단순성에도 불구하고 구조물의 거동과 극한 내력에 대해 매우 우수한 예측 결과를 제공하는 것으로 나타났습니다. 다시 말해, 이 방법은 예를 들어 취성 거동을 보일 가능성이 있는 횡방향 전단 철근이 없는 보의 설계에는 적합하지 않습니다. 실험을 포함한 이 방법의 검증은 [1]에 제시되어 있습니다. 이 방법에 대한 더 자세한 설명은 이 글의 범위를 벗어나며 이론적 배경에서도 확인할 수 있습니다.
CSFM의 원리는 일반적이므로 그 적용이 D영역에 국한되지 않고, 예를 들어 프리캐스트 거더와 같이 평면 2D 모델로 단순화할 수 있는 요소에 대해 부재 전체를 모델링하는 데 사용될 수 있다는 것이 분명합니다. 이 방법과 소프트웨어(IDEA StatiCa 상세 모듈)에서의 구현도 확장되어, 프리스트레스 및 후장 긴장 철근을 지정할 수 있게 되었습니다.
3. 교각 캡 설계 예시
CSFM의 실제 적용 사례는 그림 8의 교량 교각 캡 설계에서 확인할 수 있습니다. 이는 30.0m, 42.0m, 30.0m의 3경간으로 이루어진 연속 교량의 두 번째 교각입니다. 철근콘크리트 교각의 상부는 C40/50 콘크리트로 설계되었으며, 두께(교량 종방향)는 2.0m입니다.
그림 8 교각 캡: a) 설계 요약; b) ULS에서의 콘크리트 압축 응력; c) ULS에서의 철근 인장 응력; d) SLS에서의 균열폭
교각 캡 상부에는 먼저 B500 철근 20xϕ28+20xϕ25 - 상부 4개 층 - 로 이루어진 횡방향 보가 설계되었습니다. 그림 8a는 극한한계상태에서의 설계 요약을 보여주며, 콘크리트의 압축 응력, 압축 응력의 방향, 철근의 응력을 나타냅니다. 콘크리트와 철근의 보다 상세한 응력 분포는 그림 8b와 8c에 나타나 있습니다. 횡방향 철근은 항복 강도 바로 아래이며, 콘크리트의 응력(및 상대 변형률) 또한 ULS에서 만족스럽습니다. 그러나 균열폭 계산 결과(그림 8d)는 이 설계가 SLS를 만족하지 못함을 보여줍니다: wmax = 0.36mm > wlim = 0.3mm. 한계 균열폭을 만족시키기 위해서는 횡부재의 철근을 20xϕ32+20xϕ28로 증가시켜야 합니다. wlim = 0.2mm인 경우(예: 염분비산이 발생하는 도로 인근의 교각, 환경 영향 등급 XF2), 횡부재의 철근을 24xϕ32+24xϕ28까지 증가시켜야 합니다.
결론
CSFM은 설계 규정에 정의된 단순한 재료 모델을 사용하기 때문에 실무에 적합합니다. 극한한계상태 외에도 사용성 한계 상태의 설계를 가능하게 합니다. 이는 S&T 모델을 사용할 때는 이전에 평가하기 어려웠던 부분입니다. IDEA StatiCa 상세 모듈에 이 방법을 구현함으로써 구조물의 거동을 현실적으로 파악하고, 불연속 영역 및 더 큰 조립체를 효율적이고 안전하게 설계 및 평가할 수 있습니다.
CSFM은 주로 스위스 취리히 연방공과대학교(ETH) 구조공학과 학과장인 Walter Kaufmann 교수의 연구를 통해 개발되었습니다. 그와 그의 연구팀은 또한 이 방법과 소프트웨어 구현을 검증했습니다.
참고문헌
[1] KAUFMANN, Walter, et al.: Compatible stress field design of structural concrete, ETH Zurich, 2020, ISBN 978-3-906916-95-8,
[2] KAUFMANN, W., MARTI, P.: Structural Concrete: Cracked Membrane Model. Journal of Structural Engineering 124 (12): 1467-75, 1998 https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:12(1467)
[3] KRAUS, M., M. WEBER, W. KAUFMANN, W, BOBEK, L.: Numerical analysis of experimentally tested frame corners with opening moments using the Compatible Stress Field Method (CSFM). In: Computational Modelling of Concrete and Concrete Structures, pp. 694-03. CRC Press, 2022 https://doi.org/10.1201/9781003316404
저자
Ing. Pavel Kaláb, Ph.D.
IDEA StatiCa s.r.o.