2.5 Type eindige elementen

Het niet-lineaire (inelastische) eindige-elementenmodel wordt opgebouwd uit verschillende typen eindige elementen die worden gebruikt om beton, wapening en de aanhechting daartussen te modelleren. Beton- en wapeningselementen worden eerst onafhankelijk van elkaar gemesht en vervolgens met elkaar verbonden met behulp van multi-point constraints (MPC-elementen). Hierdoor kan de wapening een willekeurige, relatieve positie ten opzichte van het beton innemen. Als de verankeringslengte moet worden geverifieerd, worden aanhechtings- en verankeringseinde-veerelementen ingevoegd tussen de wapening en de MPC-elementen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Beton

Beton wordt gemodelleerd met behulp van vierhoekige en driehoekige schaalelementen, CQUAD4 en CTRIA3. Deze kunnen respectievelijk worden gedefinieerd door vier of drie knopen. In deze elementen wordt uitsluitend vlakke spanning verondersteld, d.w.z. spanningen of rekken in de z-richting worden niet in beschouwing genomen.

Elk element heeft vier of drie integratiepunten die op ongeveer 1/4 van de elementgrootte zijn geplaatst. Op elk integratiepunt in elk element worden de richtingen van de hoofdrekken α₁, α₂ berekend. In beide richtingen worden de hoofdspanningen σ_c1, σ_c2 en stijfheden E₁, E₂ geëvalueerd volgens het opgegeven spanning-rekdiagram van beton, zoals weergegeven in Fig. 2. Opgemerkt moet worden dat het effect van compression softening het gedrag in de belangrijkste drukrichting koppelt aan de actuele toestand van de andere hoofdrichting.

Wapening

Wapeningsstaven worden gemodelleerd met tweeknoops 1D “staaf”-elementen (CROD), die alleen axiale stijfheid hebben. Deze elementen zijn verbonden met speciale “bond”-elementen die zijn ontwikkeld om het slipgedrag tussen een wapeningsstaaf en het omringende beton te modelleren. Deze bond-elementen worden vervolgens door middel van MPC-elementen (multi-point constraint) verbonden met de mesh die het beton weergeeft. Deze aanpak maakt onafhankelijke mesh-vorming van wapening en beton mogelijk, terwijl hun onderlinge verbinding later wordt gewaarborgd.

Aanhechtingselementen

De verankeringslengte wordt geverifieerd door de aanhechtingsschuifspanningen tussen betonelementen (2D) en wapeningsstaafelementen (1D) in het eindige-elementenmodel te implementeren. Hiertoe is een “bond”-eindig-elementtype ontwikkeld.

De definitie van het bond-element is vergelijkbaar met die van een schaalelement (CQUAD4). Het wordt ook gedefinieerd door 4 knopen, maar in tegenstelling tot een schaal heeft het alleen een niet-nul stijfheid in afschuiving tussen de twee bovenste en twee onderste knopen. In het model zijn de bovenste knopen verbonden met de elementen die de wapening voorstellen en de onderste knopen met die welke het beton voorstellen. Het gedrag van dit element wordt beschreven door de aanhechtingsspanning, τ_b, als een bilineaire functie van de slip tussen de bovenste en onderste knopen, δ_u, zie Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

De elastische stijfheidsmodulus van de bond-slip-relatie, G_b, is als volgt gedefinieerd:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

waarbij:

k_g            coëfficiënt afhankelijk van het oppervlak van de wapeningsstaaf (standaard k_g = 0,2)

E_c            elasticiteitsmodulus van beton (genomen als E_cm in geval van EN)

Ø             de diameter van de wapeningsstaaf

De rekenwaarden (gefactoreerde waarden) van de uiterste aanhechtingsschuifspanning, f_bd, opgegeven in de betreffende geselecteerde ontwerpnormen EN 1992-1-1 of ACI 318-19, worden gebruikt om de verankeringslengte te verifiëren. De verharding van de plastische tak wordt standaard berekend als G_b/10⁵.

Verankeringsveer

Het aanbrengen van verankeringseinden aan de wapeningsstaven (d.w.z. bochten, haken, lussen…), die voldoen aan de voorschriften van ontwerpnormen, maakt het mogelijk de basisverankeringslengte van de staven (l_b,net) te verminderen met een bepaalde factor β (hieronder aangeduid als de ‘verankeringscoëfficiënt’). De rekenwaarde van de verankeringslengte (l_b) wordt vervolgens als volgt berekend:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

De beoogde reductie van l_b,net komt overeen met de activering van de wapeningsstaaf aan het uiteinde ervan bij een percentage van zijn maximale capaciteit dat wordt gegeven door de verankeringsreductiecoëfficiënt, zoals weergegeven in Fig. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

De reductie van de verankeringslengte wordt in het eindige-elementenmodel opgenomen door middel van een veerelement aan het uiteinde van de staaf (Fig. 15), dat wordt gedefinieerd door het constitutieve model weergegeven in Fig. 15b. De maximale kracht die door deze veer wordt overgebracht (F_au) is:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

waarbij:

β             de verankeringscoëfficiënt op basis van het verankeringstype,

A_s            de doorsnede van de wapeningsstaaf,

f_yd           de rekenwaarde (gefactoreerde waarde) van de vloeigrens van de wapening.