La contrainte tri-axiale – l'effet de confinement actif

Introduction

L'effet de confinement dans les structures en béton fait référence au phénomène par lequel la résistance et la ductilité du béton sont considérablement améliorées grâce à une pression latérale (confinement actif) ou à un confinement fourni par les matériaux environnants (confinement passif), tels que le ferraillage en acier ou des chemisages externes. Cet effet est particulièrement important pour améliorer les performances du béton en compression, notamment sous des charges élevées. 

Voici les principaux aspects de l'effet de confinement dans les structures en béton :

1. Augmentation de la résistance : le confinement augmente la résistance en compression du béton. Lorsqu'une pression latérale est appliquée, elle limite l'expansion latérale du béton, lui permettant de supporter des charges axiales plus élevées avant la rupture.
2. Ductilité améliorée : le béton confiné présente une plus grande ductilité, ce qui signifie qu'il peut subir des déformations plus importantes avant la rupture. 
3. Comportement sous charge : le confinement modifie le mode de rupture du béton, qui passe d'une rupture fragile et soudaine à une rupture plus ductile et progressive. Ce changement de mode de rupture est bénéfique pour la sécurité et l'intégrité des structures soumises à des conditions de chargement extrêmes.
4. Considérations de dimensionnement : le dimensionnement des éléments en béton confiné implique de calculer la quantité et la disposition du ferraillage de confinement nécessaires pour atteindre la résistance et la ductilité souhaitées. Les normes et codes, tels que les directives EN (Eurocode), fournissent des formules et des recommandations pour le dimensionnement des éléments en béton confiné.
5. Applications : le confinement actif est pris en compte lors du dimensionnement, par exemple, des zones partiellement chargées, des articulations en béton, etc.

Sur la figure suivante, vous pouvez remarquer comment le diagramme contrainte-déformation et la capacité portante peuvent différer entre le béton non confiné et le béton confiné.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Confinement effect and influence on the bearing capacity of structures}}}$$

Avant d'aborder l'exemple lui-même, rappelons comment le matériau béton est défini dans l'application.

Définition du matériau béton dans IDEA StatiCa Detail

Le CSFM 3D définit le comportement du béton sur la base de la théorie de plasticité de Mohr-Coulomb pour un chargement monotone.

En général, pour un angle de frottement interne donné du béton, qui est d'environ φ = 30°, les résistances en traction et en compression du béton peuvent être construites à l'aide des cercles de Mohr comme indiqué dans la Figure 2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

Où f_c est la résistance du béton en compression, f_ct est la résistance du béton en traction, φ est l'angle de frottement interne, et σ_c1, σ_c3 sont les contraintes principales du béton sous compression triaxiale.

On peut remarquer que lorsque la contrainte principale σ_c3 augmente, la différence maximale possible entre les valeurs de σ_c3 et σ_c1, que nous définissons comme la valeur maximale de σ_c,eq (voir ci-dessous), augmente également.

Dans le CSFM 3D tel qu'implémenté dans IDEA StatiCa Detail, l'angle de frottement interne est considéré comme φ = 0°, comme indiqué dans la Figure 3.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

La conséquence pratique de cette implémentation est que la différence maximale entre σ_c3 et σ_c1 reste constante lorsque σ_c3 augmente. 

La contrainte principale équivalente exprime la contrainte uniaxiale « dommageable » équivalente pour un état de contrainte triaxial général.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

La valeur σ_c,eq peut donc être directement comparée aux limites de résistance uniaxiale selon les codes.

En comparant la Figure 2, où l'angle de frottement interne réel est utilisé, et la Figure 3, qui montre l'implémentation de la théorie de Mohr-Coulomb avec un angle de frottement interne nul, on constate que l'approche choisie pour les calculs dans l'application Detail est très conservatrice pour l'évaluation de l'état de contrainte triaxial. Notez que le modèle avec un angle de frottement nul ressemble au modèle de Tresca, avec un seuil de traction.

Pour en savoir plus, consultez le dimensionnement structurel des discontinuités 3D en béton dans IDEA StatiCa Detail

Essai triaxial – un exemple de confinement actif

Dans cet exemple, nous allons simuler un essai triaxial pour expliquer comment l'effet de pression triaxiale est implémenté dans le CSFM 3D dans IDEA StatiCa Detail. Il s'agira donc d'un exemple de confinement actif. Tous les calculs seront effectués avec des valeurs caractéristiques.

Le modèle est un bloc massif de dimensions en plan 1,0 x 1,0 m et de hauteur 3,0 m, réalisé en béton C30/37, supporté par un appui surfacique rigide dans la direction Z. Uniquement dans un souci de stabilité du modèle d'analyse, les directions X et Y sont également incluses sur l'appui surfacique avec une valeur de rigidité négligeable. La charge est appliquée en deux étapes. Dans la première étape, une pression hydrostatique (σ_c,1 = σ_c,2 = σ_c,3) de 20 MPa est appliquée au modèle. Cette valeur élevée, par rapport à la résistance du béton, a été choisie principalement pour démontrer la stabilité du modèle de calcul.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Triaxial test setup - model, load, and boundary conditions}}}$$

Après le calcul du modèle, nous obtenons la valeur σ_c,eq = 0 MPa dans l'ensemble du modèle. Cela correspond à la définition précédente de l'implémentation de la théorie de plasticité de Mohr-Coulomb dans Detail.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Equivalent Principal Stress - first calculation step}}}$$

Dans la deuxième étape, une charge surfacique de 50 MPa est appliquée à la surface supérieure du modèle. Notez que cette charge est supérieure à la résistance en compression axiale du béton considérée, qui est de 30 MPa. L'objectif de l'essai est de démontrer qu'aucune charge supérieure à la résistance en compression du béton ne sera appliquée à cette étape. Le calcul doit donc s'arrêter de sorte que la charge appliquée soit égale à la valeur résultante de σ_c,eq.

Examinons maintenant les résultats. Comme prévu, le calcul s'est arrêté car le critère de déformation plastique dans le béton, qui est de 5 %, a été dépassé.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Calculation result after the second step}}}$$

Si nous examinons les résultats, nous constatons qu'ils correspondent aux hypothèses définies ci-dessus. Cela montre que le modèle de béton dans Detail fonctionne correctement en ce qui concerne le confinement actif.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad a) Applied load in step 2; b) Equivalent principal stress; c) Principal stresses σc,3 a σc,1}}}$$

Les pics de contrainte observables sur les surfaces supérieure et inférieure sont dus à la manière dont la charge surfacique et l'appui surfacique sont appliqués aux bords du maillage à partir d'éléments tétraédriques avec rotations nodales. Ainsi qu'au fait que les valeurs nodales maximales des éléments finis adjacents sont toujours affichées dans l'application Detail. Cependant, le sujet de cet article n'étant pas la spécification de cette méthode, nous ne l'approfondirons pas davantage.

Vérification ABAQUS

Dans l'étape suivante, nous allons examiner une comparaison avec des modèles créés dans ABAQUS, où la théorie de plasticité de Mohr-Coulomb est également utilisée pour définir le béton. Nous comparerons les résultats de Detail avec un modèle de béton réel avec un angle de frottement interne de 30°. Ainsi, nous démontrons le caractère conservateur de l'approche dans le CSFM 3D.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad ABAQUS model: a) Concrete mesh 2; b) Load definition; c) Principal stresses σc,3}}}$$

Dans ABAQUS, nous avons créé un modèle similaire à celui de Detail. Les définitions du matériau, des conditions aux limites et des charges sont identiques. En revanche, le maillage du béton est simplifié. Les résultats de deux calculs, l'un utilisant φ = 0° ; c = 15 MPa et le second φ = 30° ; c = 8,65 MPa, sont présentés dans le graphique ci-dessous, ainsi que la comparaison avec d'autres angles de frottement interne φ = 10°, 20°, 40°.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Comparison of 3D CSFM, an ABAQUS model with various angles of internal friction }}}$$

Le graphique montre la correspondance entre les modèles CSFM 3D et ABAQUS pour φ = 0°. Il illustre également clairement que les simplifications dans la définition du matériau béton dans le CSFM 3D (la branche plastique horizontale du diagramme contrainte-déformation et l'enveloppe linéaire horizontale de Mohr-Coulomb), qui conduisent à la fois à une meilleure clarté et, surtout, à un calcul plus rapide, conduisent également, du moins en ce qui concerne la contrainte tri-axiale, à des résultats conservateurs. 

Enfin, il convient de mentionner que si l'on considère une contrainte hydrostatique supérieure à 20 MPa, la différence entre le modèle φ = 0° et les autres angles serait encore plus importante.

Conclusion

Il a été démontré et expliqué que le calcul dans le CSFM 3D est cohérent avec les hypothèses présentées dans le contexte théorique. Cela a été vérifié par comparaison avec des modèles ABAQUS, et le caractère conservateur de l'approche du CSFM 3D face au phénomène de contrainte tri-axiale a été démontré.