三向应力——主动约束效应

引言

混凝土结构中的约束效应是指由于侧向压力（主动约束）或周围材料（如钢筋或外部套箍）提供的约束（被动约束），混凝土的强度和延性显著提高的现象。这种效应对于提高混凝土在受压状态下，尤其是在高荷载作用下的性能尤为重要。 

以下是混凝土结构中约束效应的关键方面：

1. 强度提高：约束提高了混凝土的抗压强度。施加侧向压力后，会限制混凝土的侧向膨胀，使其在破坏前能承受更高的轴向荷载。
2. 延性增强：被约束的混凝土表现出更大的延性，即在破坏前能经历更大的变形。 
3. 受荷行为：约束改变了混凝土的破坏模式，使其从脆性突然破坏转变为更具延性的渐进破坏。这种破坏模式的转变对于极端荷载条件下结构的安全性和完整性是有利的。
4. 设计考虑：约束混凝土构件的设计涉及计算约束钢筋的数量和布置，以达到所需的强度和延性。EN（欧洲规范）等标准和规范提供了设计约束混凝土构件的公式和指南。
5. 应用：例如，在设计局部承压区域、混凝土铰等时，会考虑主动约束效应。

在下图中，可以看到无约束混凝土和有约束混凝土的应力-应变曲线和承载能力有何不同。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Confinement effect and influence on the bearing capacity of structures}}}$$

在深入具体示例之前，我们先回顾一下软件中混凝土材料的定义方式。

IDEA StatiCa Detail 中的混凝土材料定义

3D CSFM 基于用于单调加载的摩尔-库伦塑性理论定义混凝土的力学行为。

一般而言，对于给定的混凝土内摩擦角（约为 φ = 30°），可按图 2 构建混凝土的抗拉和抗压强度的摩尔圆。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

其中，f_c 为混凝土抗压强度，f_ct 为混凝土抗拉强度，φ 为内摩擦角，σ_c1、 σ_c3 为三向受压状态下混凝土的主应力。

可以注意到，随着主应力 σ_c3 增大，σ_c3 与 σ_c1 之间可能的最大差值——我们将其定义为最大 σ_c,eq （见下文）——也随之增大。

在 IDEA StatiCa Detail 所实现的 3D CSFM 中，内摩擦角取为 φ = 0°， 如图 3 所示。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

这种实现方式在实际中的结果是，随着 σ_c3 增大，σ_c3 与 σ_c1 之间的最大差值保持不变。 

等效主应力表示一般三向应力状态下等效的“损伤性”单轴应力。

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

因此，σ_c,eq 值可以直接与规范中规定的单轴强度限值进行比较。

比较采用真实内摩擦角的图 2 和采用内摩擦角为零的摩尔-库伦理论实现的图 3 可以看出，Detail 软件在计算中所采用的方法对于评估三向应力状态而言是非常保守的。请注意，内摩擦角为零的模型类似于带有受拉截止的特雷斯卡（Tresca）模型。

更多内容请参阅 IDEA StatiCa Detail 中混凝土三维不连续区域的结构设计

三向试验 ——主动约束示例

在本示例中，我们将模拟一个三向试验，以说明 IDEA StatiCa Detail 中 3D CSFM 是如何实现三向压力效应的。因此，这将是一个主动约束的示例。所有计算均采用标准值。

该模型为实体块类型，平面尺寸为 1.0 x 1.0 m，高度为 3.0 m，材料为 C30/37 混凝土，在 Z 方向上由刚性面支座支撑。仅为保证分析模型的稳定性，在 X 和 Y 方向上也施加了刚度可忽略的面支座。荷载分两步施加。第一步，对模型施加 20 MPa 的静水压力（σ_c,1 = σ_c,2 = σ_c,3）。选取这个相对于混凝土强度而言较高的数值，主要是为了证明计算模型的稳定性。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Triaxial test setup - model, load, and boundary conditions}}}$$

计算模型后，我们得到整个模型中的 σ_c,eq = 0 MPa。这与之前对 Detail 中摩尔-库伦塑性理论实现方式的定义相符。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Equivalent Principal Stress - first calculation step}}}$$

第二步，对模型上表面施加 50 MPa 的面荷载。请注意，该荷载高于所考虑的混凝土轴向抗压强度 30 MPa。此测试的目的是证明在该步骤中不会施加超过混凝土抗压强度的荷载。因此，计算应在施加荷载等于所得 σ_c,eq 值时停止。

现在我们来看结果。正如预期的那样，由于混凝土中的塑性应变准则（5%）被超过，计算被中止。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Calculation result after the second step}}}$$

综观所有结果，可以发现它们与上文所定义的假设相符。这表明 Detail 中的混凝土模型在主动约束方面的表现是正确的。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad a) Applied load in step 2; b) Equivalent principal stress; c) Principal stresses σc,3 a σc,1}}}$$

在上下表面观察到的应力峰值是由于面荷载和面支座施加于带有节点转角的四面体单元网格边缘的方式所致。同时，这也与 Detail 软件始终显示相邻有限单元的最大节点值这一事实有关。然而，本文的主题并非探讨该方法的具体细节，因此我们不再深入讨论。

ABAQUS 验证

接下来，我们将与在 ABAQUS 中建立的模型进行对比，该模型同样采用摩尔-库伦塑性理论定义混凝土。我们将把 Detail 的计算结果与内摩擦角为 30° 的真实混凝土模型进行比较，从而证明 3D CSFM 中所采用方法的保守性。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad ABAQUS model: a) Concrete mesh 2; b) Load definition; c) Principal stresses σc,3}}}$$

在 ABAQUS 中，我们建立了一个与 Detail 中相似的模型。材料定义、边界条件和荷载均相同。另一方面，混凝土网格进行了简化。下图给出了两种计算的结果，一种采用 φ = 0°；c = 15 MPa，另一种采用 φ = 30°；c = 8.65 MPa，并与其他内摩擦角 φ = 10°、20°、40° 的结果进行了比较。

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Comparison of 3D CSFM, an ABAQUS model with various angles of internal friction }}}$$

该图表明，在 φ = 0° 时，3D CSFM 与 ABAQUS 模型的结果是吻合的。同时也清楚地表明，3D CSFM 中混凝土材料定义的简化（应力-应变曲线的水平塑性段和水平摩尔-库伦线性包络线）虽然带来了更好的清晰度，更重要的是提高了计算速度，但至少就三向应力而言，这些简化也带来了保守的结果。 

最后值得一提的是，如果考虑高于 20 MPa 的静水应力，φ = 0° 模型与其他角度模型之间的差异将会更大。

结论

本文展示并解释了 3D CSFM 中的计算结果与 理论背景 中所述的假设是一致的。通过与 ABAQUS 模型的对比对此进行了验证，并证明了 3D CSFM 方法在处理三向应力现象时的保守性。