Trójosiowy stan naprężenia – efekt aktywnego skrępowania

Wprowadzenie

Efekt skrępowania w konstrukcjach betonowych odnosi się do zjawiska, w którym wytrzymałość i ciągliwość betonu ulegają znacznemu zwiększeniu na skutek ciśnienia bocznego (skrępowanie aktywne) lub skrępowania zapewnianego przez materiały otaczające (skrępowanie pasywne), takie jak zbrojenie stalowe lub zewnętrzne płaszcze. Efekt ten jest szczególnie istotny w poprawie zachowania betonu przy ściskaniu, zwłaszcza pod wpływem wysokich obciążeń. 

Poniżej przedstawiono kluczowe aspekty efektu skrępowania w konstrukcjach betonowych:

1. Zwiększona wytrzymałość: Skrępowanie zwiększa wytrzymałość betonu na ściskanie. Gdy przyłożone jest ciśnienie boczne, ogranicza ono boczne rozszerzanie się betonu, umożliwiając mu przenoszenie wyższych obciążeń osiowych przed zniszczeniem.
2. Zwiększona ciągliwość: Skrępowany beton wykazuje większą ciągliwość, co oznacza, że może ulegać większym odkształceniom przed zniszczeniem. 
3. Zachowanie pod obciążeniem: Skrępowanie zmienia postać zniszczenia betonu z kruchego, nagłego zniszczenia na bardziej ciągliwe, stopniowe. Ta zmiana postaci zniszczenia jest korzystna dla bezpieczeństwa i integralności konstrukcji w warunkach obciążeń ekstremalnych.
4. Zagadnienia projektowe: Projektowanie skrępowanych elementów betonowych obejmuje obliczenie ilości i rozmieszczenia zbrojenia skrępowującego w celu uzyskania pożądanej wytrzymałości i ciągliwości. Normy i przepisy, takie jak wytyczne EN (Eurokod), zawierają wzory i zalecenia dotyczące projektowania skrępowanych elementów betonowych.
5. Zastosowania: Skrępowanie aktywne jest uwzględniane przykładowo przy projektowaniu obszarów obciążonych częściowo, przegubów betonowych itp.

Na poniższym rysunku widać, jak wykres naprężenie-odkształcenie oraz nośność mogą różnić się dla betonu nieskrępowanego i skrępowanego.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Confinement effect and influence on the bearing capacity of structures}}}$$

Zanim przejdziemy do samego przykładu, przypomnijmy, jak materiał betonowy jest definiowany w aplikacji.

Definicja materiału betonowego w IDEA StatiCa Detail

3D CSFM definiuje zachowanie betonu na podstawie teorii plastyczności Mohra-Coulomba dla obciążenia monotonicznego.

Ogólnie rzecz biorąc, dla danego kąta tarcia wewnętrznego betonu, wynoszącego około φ = 30°, koła Mohra dla wytrzymałości betonu na rozciąganie i ściskanie można skonstruować tak, jak pokazano na Rysunku 2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

Gdzie f_c to wytrzymałość betonu na ściskanie, f_ct to wytrzymałość betonu na rozciąganie, φ to kąt tarcia wewnętrznego, a σ_c1, σ_c3 to naprężenia główne betonu w trójosiowym stanie ściskania.

Można zauważyć, że w miarę wzrostu naprężenia głównego σ_c3, maksymalna możliwa różnica między wartościami σ_c3 i σ_c1, którą definiujemy jako maksymalne σ_c,eq (patrz poniżej), również wzrasta.

W modelu 3D CSFM zaimplementowanym w IDEA StatiCa Detail kąt tarcia wewnętrznego przyjmowany jest jako φ = 0°, jak pokazano na Rysunku 3.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

Praktyczną konsekwencją tej implementacji jest to, że maksymalna różnica między σ_c3 a σ_c1 jest stała w miarę wzrostu σ_c3. 

Równoważne naprężenie główne wyraża równoważne „niszczące” naprężenie jednoosiowe dla ogólnego trójosiowego stanu naprężenia.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

Wartość σ_c,eq można zatem bezpośrednio porównać z granicznymi wartościami wytrzymałości jednoosiowej według norm.

Porównując Rysunek 2, na którym zastosowano rzeczywisty kąt tarcia wewnętrznego, z Rysunkiem 3, przedstawiającym implementację teorii Mohra-Coulomba z zerowym kątem tarcia wewnętrznego, można zauważyć, że podejście przyjęte do obliczeń w aplikacji Detail jest bardzo konserwatywne w odniesieniu do oceny trójosiowego stanu naprężenia. Należy zauważyć, że model z zerowym kątem tarcia przypomina model Tresca z odcięciem na rozciąganie.

Więcej informacji można znaleźć w Structural design of concrete 3D discontinuities in IDEA StatiCa Detail

Test trójosiowy – przykład skrępowania aktywnego

W tym przykładzie przeprowadzimy symulację testu trójosiowego, aby wyjaśnić, w jaki sposób efekt ciśnienia trójosiowego jest zaimplementowany w modelu 3D CSFM w aplikacji IDEA StatiCa Detail. Będzie to zatem przykład skrępowania aktywnego. Wszystkie obliczenia będą wykonane dla wartości charakterystycznych.

Model jest typu bryła pełna o wymiarach w rzucie 1,0 x 1,0 m i wysokości 3,0 m, wykonany z betonu C30/37, podparty sztywną podporą powierzchniową w kierunku Z. Wyłącznie ze względu na stabilność modelu obliczeniowego, w podporze powierzchniowej uwzględniono również kierunki X i Y z pomijalną wartością sztywności. Obciążenie przyłożone jest w dwóch krokach. W pierwszym kroku do modelu przykładane jest ciśnienie hydrostatyczne (σ_c,1 = σ_c,2 = σ_c,3) o wartości 20 MPa. Ta wysoka wartość, w odniesieniu do wytrzymałości betonu, została dobrana głównie w celu wykazania stabilności modelu obliczeniowego.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Triaxial test setup - model, load, and boundary conditions}}}$$

Po obliczeniu modelu otrzymujemy wartość σ_c,eq = 0 MPa w całym modelu. Odpowiada to opisanej wcześniej definicji implementacji teorii plastyczności Mohra-Coulomba w Detail.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Equivalent Principal Stress - first calculation step}}}$$

W drugim kroku do górnej powierzchni modelu przykładane jest obciążenie powierzchniowe o wartości 50 MPa. Należy zauważyć, że obciążenie to jest wyższe niż przyjęta wytrzymałość betonu na ściskanie osiowe wynosząca 30 MPa. Celem testu jest wykazanie, że w tym kroku nie zostanie przyłożone obciążenie większe niż wytrzymałość betonu na ściskanie. Obliczenia powinny zatem zatrzymać się w momencie, gdy przyłożone obciążenie zrówna się z wynikową wartością σ_c,eq.

Przyjrzyjmy się teraz wynikom. Zgodnie z oczekiwaniami, obliczenia zostały zatrzymane, ponieważ przekroczone zostało kryterium odkształcenia plastycznego betonu, wynoszące 5%.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Calculation result after the second step}}}$$

Analizując wyniki, stwierdzamy, że są one zgodne z powyższymi założeniami. Wskazuje to, że model betonu w Detail działa poprawnie pod względem skrępowania aktywnego.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad a) Applied load in step 2; b) Equivalent principal stress; c) Principal stresses σc,3 a σc,1}}}$$

Szczyty naprężeń widoczne na powierzchniach górnej i dolnej wynikają ze sposobu przykładania obciążenia powierzchniowego i podpory powierzchniowej do krawędzi siatki złożonej z elementów czworościennych z obrotami węzłowymi. Wynikają one także z faktu, że w aplikacji Detail zawsze wyświetlane są maksymalne wartości węzłowe z sąsiadujących elementów skończonych. Jednak przedmiotem niniejszego artykułu nie jest szczegółowe omówienie tej metody, więc nie będziemy się nią dalej zajmować.

Weryfikacja w ABAQUS

W kolejnym kroku przyjrzymy się porównaniu z modelami stworzonymi w programie ABAQUS, w którym do zdefiniowania betonu również zastosowano teorię plastyczności Mohra-Coulomba. Porównamy wyniki z Detail z rzeczywistym modelem betonu o kącie tarcia wewnętrznego wynoszącym 30°. W ten sposób wykażemy konserwatywność podejścia zastosowanego w 3D CSFM.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad ABAQUS model: a) Concrete mesh 2; b) Load definition; c) Principal stresses σc,3}}}$$

W programie ABAQUS stworzyliśmy model podobny do modelu w Detail. Definicje materiału, warunków brzegowych i obciążeń są identyczne. Z drugiej strony, siatka betonu jest uproszczona. Wyniki dwóch obliczeń, jednego z zastosowaniem φ = 0°; c = 15 MPa oraz drugiego φ = 30°; c = 8,65 MPa, przedstawiono na wykresie poniżej wraz z porównaniem z innymi kątami tarcia wewnętrznego φ = 10°, 20°, 40°.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Comparison of 3D CSFM, an ABAQUS model with various angles of internal friction }}}$$

Wykres pokazuje zgodność między modelami 3D CSFM i ABAQUS dla φ = 0°. Wyraźnie widać również, że uproszczenia w definicji materiału betonowego w 3D CSFM (poziomy odcinek plastyczny wykresu naprężenie-odkształcenie oraz poziomy, liniowy obwiednia Mohra-Coulomba), które prowadzą zarówno do większej przejrzystości, jak i, co ważniejsze, do szybszych obliczeń, prowadzą również, przynajmniej w zakresie trójosiowego stanu naprężenia, do wyników konserwatywnych. 

Na koniec warto wspomnieć, że przy rozpatrywaniu naprężenia hydrostatycznego wyższego niż 20 MPa różnica między modelem φ = 0° a innymi kątami byłaby jeszcze większa.

Podsumowanie

Wykazano i wyjaśniono, że obliczenia w 3D CSFM są zgodne z założeniami przedstawionymi w Theoretical Background. Zostało to zweryfikowane poprzez porównanie z modelami ABAQUS oraz wykazano konserwatywność podejścia 3D CSFM w odniesieniu do zjawiska trójosiowego stanu naprężenia.