Tri-axiale spanningstoestand – het effect van actieve omsluiting

Introductie

Het omsluitingseffect in betonconstructies verwijst naar het fenomeen waarbij de sterkte en ductiliteit van beton aanzienlijk worden verbeterd door laterale druk (actief) of omsluiting geboden door omringende materialen (passief), zoals wapeningsstaal of externe mantels. Dit effect is bijzonder belangrijk voor het verbeteren van de prestaties van beton onder druk, met name bij hoge belastingen. 

Hier volgen de belangrijkste aspecten van het omsluitingseffect in betonconstructies:

1. Verhoogde sterkte: Omsluiting verhoogt de druksterkte van beton. Wanneer laterale druk wordt toegepast, beperkt dit de laterale uitzetting van het beton, waardoor het hogere axiale belastingen kan weerstaan voordat het bezwijkt.
2. Verbeterde ductiliteit: Omsloten beton vertoont een grotere ductiliteit, wat betekent dat het grotere vervormingen kan ondergaan voordat het bezwijkt. 
3. Gedrag onder belasting: Omsluiting verandert het bezwijkgedrag van beton van een bros, plotseling bezwijken naar een meer ductief, geleidelijk bezwijken. Deze verandering in bezwijkgedrag is gunstig voor de veiligheid en integriteit van constructies onder extreme belastingsomstandigheden.
4. Ontwerpoverwegingen: Het ontwerp van omsloten betonelementen omvat het berekenen van de hoeveelheid en indeling van de omsluitende wapening om de gewenste sterkte en ductiliteit te bereiken. Normen en codes, zoals de EN (Eurocode) richtlijnen, bieden formules en richtlijnen voor het ontwerpen van omsloten betonelementen.
5. Toepassingen: Actieve omsluiting wordt in overweging genomen bij het ontwerpen van bijvoorbeeld gedeeltelijk belaste vlakken, betonscharnieren, enz.

In de volgende afbeelding kunt u zien hoe het spanning-rekdiagram en de draagcapaciteit kunnen verschillen voor niet-omsloten en omsloten beton.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1\qquad Confinement effect and influence on the bearing capacity of structures}}}$$

Voordat we ingaan op het voorbeeld zelf, laten we eerst herhalen hoe het betonmateriaal in de applicatie wordt gedefinieerd.

Definitie van betonmateriaal in IDEA StatiCa Detail

3D CSFM definieert het gedrag van beton op basis van de Mohr-Coulomb plasticiteitstheorie voor monotone belasting.

Voor een gegeven inwendige wrijvingshoek van het beton, die rond de φ = 30° ligt, kunnen de trek- en druksterktes van de Mohr-cirkels van het beton in het algemeen worden geconstrueerd zoals in Figuur 2.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2\qquad Mohr's circles for concrete}}}$$

Waarbij f_c de druksterkte van het beton is, f_ct de treksterkte van het beton, φ de inwendige wrijvingshoek, en σ_c1, σ_c3 de hoofdspanningen van beton onder triaxiale druk zijn.

Er is te zien dat naarmate de hoofdspanning σ_c3 toeneemt, het maximaal mogelijke verschil tussen de waarden van σ_c3 en σ_c1, dat we definiëren als maximale σ_c,eq (zie hieronder), ook toeneemt.

In het 3D CSFM zoals geïmplementeerd in IDEA StatiCa Detail wordt de inwendige wrijvingshoek beschouwd als φ = 0°, zoals weergegeven in Figuur 3.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3\qquad Mohr's circles for concrete implemented in IDEA StatiCa Detail}}}$$

Het praktische gevolg van deze implementatie is dat het maximale verschil tussen σ_c3 en σ_c1 constant blijft naarmate σ_c3 toeneemt. 

De equivalente hoofdspanning drukt de equivalente "beschadigende" uniaxiale spanning uit voor een algemene tri-axiale spanningstoestand.

$$\sigma_{c,eq} = \sigma_{c3} - \sigma_{c1}$$

De waarde van σ_c,eq kan daarom rechtstreeks worden vergeleken met de uniaxiale sterktegrenzen volgens de normen.

Als we Figuur 2, waarin de werkelijke inwendige wrijvingshoek wordt gebruikt, vergelijken met Figuur 3, die de implementatie van de Mohr-Coulomb-theorie met een inwendige wrijvingshoek van nul toont, is te zien dat de benadering die is gekozen voor de berekeningen in de Detail applicatie zeer conservatief is voor de beoordeling van de triaxiale spanningstoestand. Merk op dat het model met een wrijvingshoek van nul gelijkenis vertoont met het Tresca-model, met een trekafsnijding.

Lees meer in Structural design of concrete 3D discontinuities in IDEA StatiCa Detail

Triaxiale test – een voorbeeld van actieve omsluiting

In dit voorbeeld simuleren we een triaxiale test om uit te leggen hoe het triaxiale drukeffect is geïmplementeerd in het 3D CSFM in IDEA StatiCa Detail. Dit is dus een voorbeeld van actieve omsluiting. Alle berekeningen worden uitgevoerd met karakteristieke waarden.

Het model is van het type solid block met plattegrondafmetingen van 1,0 x 1,0 m en een hoogte van 3,0 m, gemaakt van C30/37-beton, ondersteund door een stijve vlakoplegging in de Z-richting. Uitsluitend voor de stabiliteit van het rekenmodel zijn de X- en Y-richtingen ook opgenomen in de vlakoplegging met een verwaarloosbare stijfheidswaarde. De belasting wordt in twee stappen aangebracht. In de eerste stap wordt een hydrostatische druk (σ_c,1 = σ_c,2 = σ_c,3) van 20 MPa op het model aangebracht. Deze hoge waarde, ten opzichte van de betonsterkte, is voornamelijk gekozen om de stabiliteit van het rekenmodel aan te tonen.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4\qquad Triaxial test setup - model, load, and boundary conditions}}}$$

Na het doorrekenen van het model verkrijgen we de waarde σ_c,eq = 0 MPa in het gehele model. Dit komt overeen met de eerder gegeven definitie van de implementatie van de Mohr-Coulomb plasticiteitstheorie in Detail.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5\qquad Equivalent Principal Stress - first calculation step}}}$$

In de tweede stap wordt een vlaklast van 50 MPa aangebracht op het bovenvlak van het model. Merk op dat deze belasting hoger is dan de beschouwde axiale druksterkte van het beton van 30 MPa. Het doel van de test is om aan te tonen dat er in deze stap geen belasting groter dan de druksterkte van het beton zal worden toegepast. De berekening zou daarom moeten stoppen zodat de toegepaste belasting gelijk is aan de resulterende waarde van σ_c,eq.

Laten we nu naar de resultaten kijken. Zoals verwacht werd de berekening gestopt omdat het criterium voor plastische rek in het beton, dat 5% bedraagt, werd overschreden.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Calculation result after the second step}}}$$

Als we de resultaten doornemen, zien we dat ze overeenkomen met de hierboven gedefinieerde aannames. Dit toont aan dat het betonmodel in Detail correct werkt met betrekking tot actieve omsluiting.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad a) Applied load in step 2; b) Equivalent principal stress; c) Principal stresses σc,3 a σc,1}}}$$

De spanningspieken die te zien zijn op het boven- en ondervlak worden veroorzaakt door de manier waarop de vlaklast en vlakoplegging worden toegepast op de randen van de mesh van tetraëder-elementen met knooprotaties. En ook door het feit dat de maximale knoopwaarden van aangrenzende eindige elementen altijd worden weergegeven in de Detail applicatie. Het onderwerp van dit artikel is echter niet de specificatie van deze methode, dus we zullen hier niet verder op ingaan.

ABAQUS-verificatie

In de volgende stap kijken we naar een vergelijking met modellen die zijn gemaakt in ABAQUS, waarbij eveneens de Mohr-Coulomb plasticiteitstheorie wordt gebruikt om beton te definiëren. We vergelijken de resultaten van Detail met een reëel betonmodel met een inwendige wrijvingshoek van 30°. Zo tonen we de conservativiteit van de benadering in het 3D CSFM aan.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad ABAQUS model: a) Concrete mesh 2; b) Load definition; c) Principal stresses σc,3}}}$$

In ABAQUS hebben we een model gemaakt dat vergelijkbaar is met het model in Detail. De definities van materiaal, randvoorwaarden en belastingen zijn identiek. De betonmesh is daarentegen vereenvoudigd. De resultaten voor twee berekeningen, één met φ = 0°; c = 15 MPa en de tweede φ = 30°; c = 8,65 MPa, worden weergegeven in onderstaande grafiek, samen met de vergelijking met andere inwendige wrijvingshoeken φ = 10°, 20°, 40°.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 7\qquad Comparison of 3D CSFM, an ABAQUS model with various angles of internal friction }}}$$

De grafiek toont de overeenkomst tussen het 3D CSFM en de ABAQUS-modellen voor φ = 0°. Ook wordt duidelijk geïllustreerd dat de vereenvoudigingen in de definitie van het betonmateriaal in het 3D CSFM (de horizontale plastische tak van het spanning-rekdiagram en de horizontale lineaire Mohr-Coulomb-omhullende), die leiden tot zowel meer duidelijkheid als, wat belangrijker is, snellere berekeningen, ook leiden, althans wat betreft tri-axiale spanning, tot conservatieve resultaten. 

Tot slot is het vermeldenswaard dat als we een hydrostatische spanning hoger dan 20 MPa beschouwen, het verschil tussen de modellen φ = 0° en andere hoeken nog groter zou zijn.

Conclusie

Er is aangetoond en uitgelegd dat de berekening in het 3D CSFM consistent is met de aannames die zijn beschreven in de Theoretical Background. Dit is geverifieerd door vergelijking met ABAQUS-modellen, en de conservativiteit van de benadering van het 3D CSFM ten aanzien van het tri-axiale spanningsfenomeen werd aangetoond.