2.5 Finite-Elemente-Typen

Das nichtlineare (inelastische) Finite-Elemente-Berechnungsmodell wird durch mehrere Typen von finiten Elementen erstellt, die zur Modellierung von Beton, Bewehrung und dem Verbund zwischen ihnen verwendet werden. Beton- und Bewehrungselemente werden zunächst unabhängig voneinander vernetzt und anschließend über Mehrpunkt-Randbedingungen (MPC-Elemente) miteinander verbunden. Dies ermöglicht es der Bewehrung, eine beliebige, relative Position gegenüber dem Beton einzunehmen. Soll die Verankerungslänge nachgewiesen werden, werden Verbund- und Verankerungsend-Federelemente zwischen der Bewehrung und den MPC-Elementen eingefügt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite-Elemente-Modell: Bewehrungselemente, die über MPC-Elemente und Verbundelemente auf das Betonnetz abgebildet werden.}}}$$

Beton

Beton wird mithilfe von viereckigen und dreieckigen Schalenelementen, CQUAD4 und CTRIA3, modelliert. Diese werden jeweils durch vier bzw. drei Knoten definiert. In diesen Elementen wird nur ein ebener Spannungszustand angenommen, d. h. Spannungen oder Dehnungen in z-Richtung werden nicht berücksichtigt.

Jedes Element besitzt vier bzw. drei Integrationspunkte, die sich in etwa bei 1/4 seiner Größe befinden. An jedem Integrationspunkt in jedem Element werden die Richtungen der Hauptdehnungen α₁, α₂ berechnet. In beiden Richtungen werden die Hauptspannungen σ_c1, σ_c2 und die Steifigkeiten E₁, E₂ gemäß dem festgelegten Spannung-Dehnungs-Diagramm für Beton entsprechend Fig. 2 ausgewertet. Zu beachten ist, dass die Auswirkung des Druckerweichungseffekts das Verhalten der Hauptdruckrichtung mit dem tatsächlichen Zustand der anderen Hauptrichtung koppelt.

Bewehrung

Bewehrungsstäbe werden durch zweiknotige 1D-„Stab“-Elemente (CROD) modelliert, die ausschließlich axiale Steifigkeit besitzen. Diese Elemente sind mit speziellen „Verbund“-Elementen verbunden, die entwickelt wurden, um das Schlupfverhalten zwischen einem Bewehrungsstab und dem umgebenden Beton abzubilden. Diese Verbundelemente sind anschließend über MPC-Elemente (Mehrpunkt-Randbedingungen) mit dem das Betonvolumen darstellenden Netz verbunden. Dieser Ansatz ermöglicht die unabhängige Vernetzung von Bewehrung und Beton, während ihre gegenseitige Verbindung später sichergestellt wird.

Verbundelemente

Die Verankerungslänge wird durch die Implementierung der Verbundschubspannungen zwischen Betonelementen (2D) und Bewehrungsstabelementen (1D) im Finite-Elemente-Modell nachgewiesen. Zu diesem Zweck wurde ein „Verbund“-Finite-Elemente-Typ entwickelt.

Die Definition des Verbundelements ähnelt der eines Schalenelements (CQUAD4). Es wird ebenfalls durch 4 Knoten definiert, hat jedoch im Gegensatz zu einer Schale nur eine von Null verschiedene Steifigkeit in Schubrichtung zwischen den beiden oberen und den beiden unteren Knoten. Im Modell sind die oberen Knoten mit den die Bewehrung darstellenden Elementen und die unteren Knoten mit den den Beton darstellenden Elementen verbunden. Das Verhalten dieses Elements wird durch die Verbundspannung τ_b als bilineare Funktion des Schlupfs zwischen den oberen und unteren Knoten, δ_u, beschrieben, siehe Fig. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) konzeptionelle Darstellung der Verformung eines Verbundelements; (b) eine Spannung-Verformungs-Funktion.}}}$$

Der elastische Steifigkeitsmodul der Verbund-Schlupf-Beziehung, G_b, ist wie folgt definiert:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

wobei:

k_g            Koeffizient in Abhängigkeit von der Oberfläche des Bewehrungsstabs (standardmäßig k_g = 0,2)

E_c            Elastizitätsmodul des Betons (im Fall von EN als E_cm angenommen)

Ø             der Durchmesser des Bewehrungsstabs

Die Bemessungswerte der maximalen Verbundschubspannung, f_bd, gemäß den jeweils gewählten Bemessungsnormen EN 1992-1-1 oder ACI 318-19, werden zum Nachweis der Verankerungslänge verwendet. Die Verfestigung des plastischen Astes wird standardmäßig als G_b/10⁵ berechnet.

Verankerungsfeder

Das Vorsehen von Verankerungsenden an den Bewehrungsstäben (d. h. Abbiegungen, Haken, Schlaufen …), das die Vorgaben der Bemessungsnormen erfüllt, ermöglicht die Reduzierung der Grundverankerungslänge der Stäbe (l_b,net) um einen bestimmten Faktor β (im Folgenden als „Verankerungskoeffizient“ bezeichnet). Der Bemessungswert der Verankerungslänge (l_b) wird dann wie folgt berechnet:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

Die beabsichtigte Reduzierung von l_b,net entspricht der Aktivierung des Bewehrungsstabs an seinem Ende mit einem Prozentsatz seiner maximalen Tragfähigkeit, der durch den Verankerungsreduktionskoeffizienten gegeben ist, wie in Fig. 15a dargestellt.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Modell zur Reduzierung der Verankerungslänge:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) Verankerungskraft entlang der Verankerungslänge des Bewehrungsstabs; (b) konstitutive Beziehung zwischen Schlupf und Verankerungskraft.}}}$$

Die Reduzierung der Verankerungslänge wird im Finite-Elemente-Modell durch ein Federelement am Ende des Stabs berücksichtigt (Fig. 15), das durch das in Fig. 15b gezeigte konstitutive Modell definiert wird. Die maximale von dieser Feder übertragene Kraft (F_au) beträgt:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

wobei:

β             der Verankerungskoeffizient basierend auf dem Verankerungstyp,

A_s            der Querschnitt des Bewehrungsstabs,

f_yd           der Bemessungswert der Streckgrenze der Bewehrung.