2.5 Typy konečných prvků

Model nelineární (neelastické) analýzy metodou konečných prvků je vytvořen pomocí několika typů konečných prvků použitých pro modelování betonu, výztuže a soudržnosti mezi nimi. Prvky betonu a výztuže jsou nejprve zasíťovány nezávisle na sobě a poté propojeny pomocí víceuzlových vazeb (prvky MPC). To umožňuje, aby výztuž zaujímala libovolnou relativní polohu vzhledem k betonu. Pokud má být provedeno posouzení kotevní délky, jsou mezi výztuž a prvky MPC vloženy prvky soudržnosti a koncové pružiny kotvení.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 13\qquad Finite element model: reinforcement elements mapped to concrete mesh using MPC elements and bond elements.}}}$$

Beton

Beton je modelován pomocí čtyřúhelníkových a trojúhelníkových skořepinových prvků CQUAD4 a CTRIA3. Ty jsou definovány čtyřmi, resp. třemi uzly. V těchto prvcích se předpokládá pouze rovinná napjatost, tj. napětí ani přetvoření ve směru z se neuvažují.

Každý prvek má čtyři nebo tři integrační body, které jsou umístěny přibližně v 1/4 jeho velikosti. V každém integračním bodě každého prvku se vypočítávají směry hlavních přetvoření α₁, α₂. V obou těchto směrech se hlavní napětí σ_c1, σ_c2 a tuhosti E₁, E₂ stanovují podle zadaného pracovního diagramu betonu napětí-přetvoření, viz obr. 2. Je třeba poznamenat, že vliv tlakového změkčení váže chování hlavního tlačeného směru na aktuální stav druhého hlavního směru.

Výztuž

Výztužné pruty jsou modelovány pomocí dvouuzlových 1D „tyčových“ prvků (CROD), které mají pouze osovou tuhost. Tyto prvky jsou propojeny se speciálními prvky „soudržnosti“, které byly vyvinuty pro modelování prokluzu mezi výztužným prutem a okolním betonem. Tyto prvky soudržnosti jsou následně propojeny pomocí prvků MPC (víceuzlová vazba) se sítí reprezentující beton. Tento přístup umožňuje nezávislé zasíťování výztuže a betonu, přičemž jejich vzájemné propojení je zajištěno později.

Prvky soudržnosti

Kotevní délka je posuzována pomocí smykových napětí soudržnosti mezi betonovými prvky (2D) a prvky výztužných prutů (1D) v modelu metody konečných prvků. Za tímto účelem byl vyvinut typ konečného prvku „soudržnost“.

Definice prvku soudržnosti je podobná definici skořepinového prvku (CQUAD4). Je rovněž definován 4 uzly, ale na rozdíl od skořepiny má nenulovou tuhost pouze ve smyku mezi dvěma horními a dvěma dolními uzly. V modelu jsou horní uzly propojeny s prvky reprezentujícími výztuž a dolní uzly s prvky reprezentujícími beton. Chování tohoto prvku je popsáno napětím soudržnosti τ_b jako bilineární funkcí prokluzu mezi horními a dolními uzly δ_u, viz obr. 14.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 14\qquad (a) conceptual illustration of the deformation of a bond element; (b) a stress-deformation function.}}}$$

Modul pružnosti (elastická tuhost) vztahu soudržnosti-prokluzu, G_b, je definován takto:

$$G_b = k_g \cdot \frac{E_c}{Ø}$$

kde:

k_g            součinitel závislý na povrchu výztužného prutu (výchozí hodnota k_g = 0,2)

E_c            modul pružnosti betonu (v případě EN se uvažuje jako E_cm)

Ø             průměr výztužného prutu

K posouzení kotevní délky se používají návrhové hodnoty mezního smykového napětí soudržnosti f_bd uvedené v příslušných vybraných návrhových normách EN 1992-1-1 nebo ACI 318-19. Zpevnění plastické větve se ve výchozím nastavení počítá jako G_b/10⁵.

Kotevní pružina

Provedení konců výztužných prutů (tj. ohyby, háky, smyčky…) v souladu s předpisy návrhových norem umožňuje zkrácení základní kotevní délky prutů (l_b,net) o určitý součinitel β (dále označovaný jako „kotevní součinitel“). Návrhová hodnota kotevní délky (l_b) se pak vypočítá takto:

$$l_b = \left(1 - \beta\right)l_{b,net}$$

Zamýšlené zkrácení l_b,net odpovídá aktivaci výztužného prutu na jeho konci na procentní úrovni jeho maximální únosnosti dané kotevním redukčním součinitelem, jak je znázorněno na obr. 15a.

$$\textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 15\qquad  Model for the reduction of the anchorage length:}}}$$

$$\textsf{\textit{\footnotesize{(a) anchorage force along the anchorage length of the reinforcing bar; (b) slip-anchorage force constitutive relationship.}}}$$

Zkrácení kotevní délky je do modelu metody konečných prvků zahrnuto pomocí pružinového prvku na konci prutu (obr. 15), který je definován konstitutivním modelem znázorněným na obr. 15b. Maximální síla přenášená touto pružinou (F_au) je:

$$F_{au} = \beta \cdot A_s \cdot f_{yd}$$

kde:

β             kotevní součinitel na základě typu kotvení,

A_s            plocha průřezu výztužného prutu,

f_yd           návrhová hodnota meze kluzu výztuže.