Teoretický manuál RCS pro 1D prvky

Návrh železobetonových průřezů podle EN 1992-1-1 a EN 1992-2.

Ohyb
Smyk
Kroucení
Interakce
Omezení napětí
Omezení šířky trhlin
N-M-κ diagram
Literatura

Ohýbání

Metody posouzení průřezové únosnosti

Pro posouzení mezního stavu únosnosti 1D betonových prvků lze použít dvě dobře známé metody. První z nich poskytuje průřezovou mezní únosnost ve formě interakční plochy nebo interakčního diagramu (v případě ohybového momentu v jednom směru). Průřezová únosnost může být stanovena jako poměr působících vnitřních sil k silám na mezním stavu. Druhá metoda spočívá v hledání rovnováhy v průřezu, kde sledujeme skutečné chování zatíženého průřezu, využití materiálů z hlediska napětí a odhalení slabých míst průřezu.

Obecné návrhové předpoklady a výpočetní předpoklady pro mezní stav únosnosti 

1. Přetvoření ε ve výztuži a betonu se předpokládá přímo úměrné vzdálenosti od neutrální osy (rovinné průřezy zůstávají rovinné).
2. Spolupůsobení výztuže a betonu je zajištěno jejich vzájemným působením bez prokluzu (přetvoření ε výztuže a přilehlých vláken betonu jsou stejná).
3. Tahová pevnost betonu se zanedbává (veškerá tahová napětí přenáší výztuž).
4. Tlaková napětí betonu v tlačené zóně se vypočítávají v závislosti na přetvoření stanoveném z diagramů napětí-přetvoření.
5. Napětí ve výztuži se vypočítávají v závislosti na přetvoření z diagramů napětí-přetvoření.
6. Tlakové přetvoření betonu s mezní hodnotou přetvoření ε_cu2 (parabolicko-obdélníkový diagram betonu v tlaku) a ε_cu3 (bilineární vztah napětí-přetvoření), [2].
7. Tlakové přetvoření výztuže není omezeno v případě vodorovné plastické větve; v případě skloněné plastické větve je přetvoření omezeno hodnotou ε_ud,[2].
8. Mezní stav nastane, pokud stav alespoň jednoho z materiálů překročí mezní přetvoření (pokud εu není omezeno, rozhoduje tlačený beton).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Interakční diagram

První možností je posouzení průřezu pomocí interakční plochy (nebo interakčního diagramu). Vysvětlení je uvedeno na příkladu interakčních ploch pro vyztužený čtvercový průřez z příkladu na obrázku níže. Na interakční ploše jsou umístěny body definující mezní stav únosnosti zkoumaného průřezu. Interakční plocha je vykreslena z bodů (N, My, Mz), které jsou stanoveny integrací napětí v průřezu, jenž dosáhl mezního přetvoření v jednom z materiálů. Pro 3D interakci lze plochu odvodit z 2D interakčního diagramu, který je uzavřenou křivkou odpovídající napjatosti při neustále otáčené neutrální ose.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

V případě průřezu symetrického podle osy y je interakční diagram symetrický kolem roviny N-M_y. Obdobně, v případě průřezu symetrického podle osy z, je interakční diagram symetrický kolem roviny N-M_z. Jednostranně vyztužený průřez zavádí zploštělý tvar interakčního diagramu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

Body definující mezní stav únosnosti jsou získány integrací napětí.  Obrázek níže zobrazuje přetvoření na mezním stavu únosnosti.

Rozdělení přetvoření na mezním stavu únosnosti (převzato z [2]).

Interakční diagram zobrazuje porušení průřezu při normálové síle a ohybových momentech. [1]

S ohledem na problém 2D diagramu (uzavřená křivka ležící na interakční ploše) lze zjistit, že rovina přetvoření prochází neutrální osou a kritickým bodem [y, z, ε], který je považován za kritický bod R.  Bod [y, z] definuje bod v průřezu s hodnotou přetvoření ε na mezním stavu únosnosti. Sklon neutrální osy je konstantní pro všechny body 2D diagramu.

Pokud je pro návrh rozhodující tlakové napětí v betonu, bod R odpovídá nejvzdálenějšímu tlačenému vláknu betonu nebo limitnímu bodu C. To však platí pouze tehdy, pokud je průřez tvořen jedním typem betonu – nikoli smíšeným průřezem.   

V případě, kdy je pro návrh rozhodující tahové napětí ve výztuži (přetvoření ε_ud je překročeno na mezním stavu únosnosti v jednom nebo více prutech), musí být splněna podmínka, že pro danou rovinu přetvoření není hodnota ε_ud překročena v žádném jiném prutu.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

Obrázek výše ukazuje, že diagram lze rozdělit na dvě části: část, kde dochází k porušení tahovou silou, a část, která se poruší tlakovou silou. Limitní body odpovídají výše uvedenému případu, kde lze vidět i krajní sklon roviny přetvoření. Při vykreslování interakčního diagramu se sklon roviny přetvoření průřezu mění v tomto intervalu, přičemž hledáme bod R (viz výše). Na základě takto definované roviny provádíme integraci pro získání napětí na mezním stavu únosnosti.

Posouzení průřezu namáhaného normálovou silou a ohybovým momentem

Posouzení průřezu namáhaného normálovou silou a ohybovým momentem spočívá v prokázání, že posuzovaná napětí (kombinace N_d, M_yd, M_zd) leží uvnitř nebo na povrchu interakční plochy. Toho lze dosáhnout různými metodami. Následující příklad demonstruje posouzení obdélníkového průřezu namáhaného silami N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Metoda NuMuMu

Pro stanovení únosnosti průřezu předpokládáme proporcionální změny všech složek vnitřních sil (excentricita normálové síly zůstává konstantní) až do dosažení interakční plochy. Změnu příslušných vnitřních sil lze interpretovat jako pohyb podél přímky spojující počátek souřadnicového systému (0,0,0) a bod definovaný vnitřními silami (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dva průsečíky této přímky s interakční plochou, které lze nalézt, představují dvě sady sil na mezním stavu únosnosti. V každém průsečíku program stanoví tři síly na mezním stavu: návrhovou únosnost v normálové síle N_Rd a odpovídající návrhové momenty únosnosti M_Rdy, M_Rdz.

Metoda  NuMM

Pro stanovení únosnosti průřezu předpokládáme konstantní normálovou sílu (rovnou působící návrhové normálové síle) a proporcionální změny ohybových momentů až do dosažení interakční plochy. Změnu příslušných vnitřních sil lze interpretovat jako pohyb v vodorovné rovině podél přímky spojující bod (N_Ed,0,0) a  bod definovaný působícími vnitřními silami (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dva průsečíky této přímky s interakční plochou, které lze nalézt, představují dvě sady sil na mezním stavu únosnosti. V každém průsečíku program stanoví tři síly na mezním stavu: návrhové odporové momenty M_Rdy, M_Rdz a (odpovídající) působící návrhovou normálovou sílu N_Ed.

Metoda  NMuMu

Pro stanovení únosnosti průřezu předpokládáme konstantní normálovou sílu (rovnou působící návrhové normálové síle) a proporcionální změny ohybových momentů až do dosažení interakční plochy. Změnu příslušných vnitřních sil lze interpretovat jako pohyb v vodorovné rovině podél přímky spojující bod (N_Ed,0,0) a bod definovaný působícími vnitřními silami (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Dva průsečíky této přímky s interakční plochou, které lze nalézt, představují dvě sady sil na mezním stavu únosnosti. V každém průsečíku program stanoví tři síly na mezním stavu: návrhové odporové momenty M_Rdy, M_Rdz, a (odpovídající) působící návrhovou normálovou sílu N_Ed.

Hledání odezvy průřezu

Další možností posouzení průřezu je hledání odezvy průřezu (tj. rozdělení přetvoření a napětí od působících vnitřních sil). Tato metoda je také známa jako metoda mezních deformací. Úroveň působících napětí v každém vlákně (v případě rovinného ohybu v každé vrstvě) v každém prutu výztuže se vypočítává v závislosti na přetvoření z diagramu napětí-přetvoření materiálu.
Hledání odezvy průřezu se vypočítává pomocí numerické metody uvedené v [6]. Princip spočívá v postupném přírůstku zatížení průřezu nevyváženými složkami nepřenesených sil. Ty jsou získány integrací napětí přes průřez pomocí diagramů napětí-přetvoření. Pokud lze hodnotu napětí nalézt pro dané přetvoření v diagramu napětí-přetvoření, viz obrázek níže (a), je vypočítané napětí správné za předpokladu lineárně elastického materiálu. V případech (b) a (c) dosahuje napětí při lineárním výpočtu nerealistických hodnot a část (b) nebo celá hodnota (c) nemůže být přenesena materiálem. Integrací nepřenesených napětí získáme nepřenesené vnitřní síly a jejich výslednice je třeba přičíst k vnitřním silám od proměnného zatížení. 

Nepřenesená napětí v diagramech napětí-přetvoření. [4]

Nepřenesené vnitřní síly. [4]

Tato metoda výpočtu vyžaduje použití numerických metod pro integraci napětí přes plochu průřezu a pro nelineární analýzu rovnovážných rovnic v průřezu. Iterace je ukončena v okamžiku, kdy jsou splněna konvergenční kritéria.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

kde 

F_e je zatížení průřezu,

F_i je odezva průřezu (vnitřní síly vypočítané na základě roviny přetvoření).

Pokud a je přibližná (aproximovaná) hodnota a b je přesná (skutečná) hodnota, pak absolutní odchylka je dána následující rovnicí.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

Relativní odchylka je dána následujícím vzorcem:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

Ve většině programů lze tato konvergenční kritéria nastavit (výchozí hodnoty jsou 1 % jako relativní chyba, 100 N, 100 Nm jako absolutní chyba normálové síly a momentů). 

Pokud tedy máme vstupní hodnoty N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm a integrované síly po iteraci N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, vyhodnocení bude následující. S ohledem na to, že N a Mz se rovnají 0, lze provést porovnání pomocí absolutní odchylky:

Hodnota normálové síly 100 N> | 70 | N
Hodnota ohybového momentu Mz 100 Nm> | 20 | Nm
Hodnota ohybového momentu My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Posouzení průřezu pomocí odezvy

V případě hledání rovnováhy v průřezu je rovina přetvoření známa. Z roviny přetvoření lze vypočítat přetvoření kdekoliv v průřezu, dále napětí nebo vnitřní síly v prutech výztuže, průřezu nebo jeho částech pomocí diagramů napětí-přetvoření materiálů. Vypočítané hodnoty napětí a přetvoření porovnáváme s mezní hodnotou přetvoření z diagramů napětí-přetvoření použitých materiálů.
Výhodou této metody je, že získáme úplný obraz hodnot napětí a přetvoření v průřezu od vnitřních sil působících na průřez.

Smyk

S ohledem na křehké porušení je posouzení na smyk jedním z důležitých posouzení železobetonového průřezu.

Postup výpočtu

Výpočet smykové únosnosti se skládá z několika základních částí. Nejprve je třeba analyzovat, zda v posuzovaném místě vznikají trhliny od ohybu, či nikoli. Pokud ano, použijeme výpočet podle EN 1992-1-1 [2], článek 6.2.2 (1). V opačném případě určíme, zda se jedná o prostý beton nebo slabě vyztužený beton, a postupujeme v souladu s EN 1992-1-1 článek 12.6.3. 

Pro vyztužený neporušený beton (bez smykové výztuže) posuzujeme podle EN 1992-1-1 článek 6.2.2 (2). Pro prvky, kde je požadována smyková výztuž, posuzujeme podle článku 6.2.3 [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Smyková únosnost prvků bez smykové výztuže

Smyková únosnost prvků v oblasti trhlin od ohybu (čl. 6.2.2 (1) [2])

Smyková únosnost železobetonových prvků bez smykové výztuže namáhaných ohybovým momentem je dána vztahem:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Tento vztah byl stanoven na základě zkoušek provedených na reprezentativním počtu prostých nosníků při porušení smykovou silou. Protože výše uvedená únosnost může být nulová pro prvky bez podélné výztuže (r_l), byly pro slabě vyztužené prvky odvozeny rovnice. Protože výše uvedená únosnost může být nulová pro prvky bez podélné výztuže (r_l), pro slabě vyztužené prvky byla stanovena rovnicí

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Pro smykovou únosnost s vlivem normálové síly byl stanoven vztah

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

Smyková únosnost v úplném vyjádření odpovídající EN 1992-1-1 čl. 6.2.2 (1)

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

S minimem

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

kde  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          součinitel výšky průřezu 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      stupeň vyztužení podélnou výztuží

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        charakteristická válcová pevnost betonu v tlaku ve stáří 28 dní

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  v MPa

b_w        nejmenší šířka průřezu v tahové oblasti

d          účinná výška průřezu

υ_min      minimální ekvivalentní smyková pevnost υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Smyková únosnost prvků v oblasti bez trhlin od ohybu (čl. 6.2.2 (2) [2])

Smyková únosnost prvků v oblasti bez trhlin od ohybu může být stanovena z Mohrovy kružnice. Do rovnice

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

Dosadíme σ_x = σ_cp a τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) a vyjádříme V_Rd,c, čímž získáme rovnici odpovídající vzorci uvedenému v EN 1992-1-1 čl. 6.2.2 (2)

kde  

I           je moment setrvačnosti průřezu,

b_w        je šířka průřezu v těžišťové ose

S          je statický moment plochy nad těžišťovou osou a k ní,

f_ctd        návrhová pevnost betonu v osovém tahu v MPa,

 s_cp       je tlakové napětí betonu v těžišťové ose od zatížení a/nebo předpětí,

a_l         součinitel délky přenosu, obvykle 1,0.

V souvislosti s výše uvedeným je třeba poznamenat, že v oblastech bez ohybových trhlin může být únosnost V_Rd ,c  výrazně vyšší než v oblastech s trhlinami podle článku 6.2.2 (1) [2]. Níže uvedený obrázek jasně ukazuje, že ačkoli je smyková síla posouzena v místě svého extrému (kde nevznikají trhliny), nemusí to nutně zaručit, že bude přenesena po celé délce nosníku. Je to způsobeno změnou metody výpočtu smykové únosnosti betonu. Na straně bezpečnosti lze samozřejmě smykovou únosnost uvažovat podle článku 6.2.2 (1) [2] i v místech, kde trhliny nevzniknou.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

K vyjádření V_Rd, c  podle článku 6.2.2 (2)[2] je také třeba poznamenat, že v obecném případě je třeba vycházet z posouzení ve vlákně s extrémním hlavním tahovým napětím betonu v oblasti normálového tlakového napětí, nikoli v těžišti průřezu. V tomto místě je nutné vypočítat průřezové charakteristiky (S a b_W). Pro stanovení maximálního hlavního napětí s₁ v programu IDEA RCS vedeme přímku těžištěm ve směru výslednice smykových sil. Tuto přímku rozdělíme na 20 úseků. Na této přímce vyznačíme charakteristické body (body polygonu průřezu, těžiště, neutrální osu). V těchto bodech vypočítáme S, b_w, σ_x, τ_yz a σ_1.  V místě maximálního hlavního tahového napětí vypočítáme smykovou únosnost.

Smyková síla před aplikací redukčního součinitele b požadovaného článkem 6.2.2 (6) musí splňovat dodatečnou podmínku

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

kde 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  kde f_ck je v MPa

Smyková únosnost prvků bez výztuže nebo slabě vyztužených (čl. 12.6.3 [2])

Smyková únosnost pro prostý nebo slabě vyztužený beton může být stanovena ze vztahu

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Kde

τ_cp dosadíme za

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

nebo

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

Dílčí hodnoty použité ve výše uvedeném vzorci jsou dány:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

kde  

f_cd,pl     Návrhová pevnost v tlaku  pro prostý nebo slabě vyztužený beton,

f_ctd,pl    Návrhová pevnost prostého nebo slabě vyztuženého betonu v osovém tahu,

f_cvd       Návrhová smyková únosnost při tlakovém namáhání betonu.

Únosnost prvků se smykovou výztuží (čl. 6.2.3 [2])

Výpočet únosnosti železobetonových prvků se smykovou výztuží je založen na metodě příhradové analogie s proměnným úhlem diagonál. Základem této metody je rovnováha sil v trojúhelníku určeném silou v tlakové vzpěře (diagonále), silou ve smykové výztuži (třmínku) a silou v podélné výztuži.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

Průřez namáhaný smykem je porušen trhlinami pod úhlem θ, z tohoto důvodu betonová diagonála se stejným úhlem jako smykové síly odolává smykové síle. Tlaková síla v diagonále může být vyjádřena jako V_ed/sinθ. Tato síla musí být přenesena betonovou plochou kolmou na tlakovou diagonálu b_wzcosθ. Tlakové napětí betonu v tlakové diagonále je pak rovno:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

Dosazením \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  a \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] a vyjádřením \[{{V}_{Rd,max}}\] získáme rovnici pro  smykovou únosnost diagonály:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Pro rovnováhu svislé složky síly v tlakové diagonále bude použita smyková výztuž. Velikost svislé síly vychází z tlakového napětí v diagonále v oblasti betonu odpovídající jednomu třmínku - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. Mezní síla v třmínku je dána jako \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Dosazením σ_c, porovnáním s mezní silou ve výztuži, po úpravách získáme:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Vyjádřením V_ed jako V_RDs získáme únosnost průřezu se svislou smykovou výztuží:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

Podélná smyková síla je přenášena podélnou výztuží a může být stanovena jako V_edcotgθ. Odvození výše uvedených vzorců lze nalézt v [4].

V programu IDEA RCS je možné posuzovat pouze prvky se svislou smykovou výztuží. Obecně lze použít následující rovnice:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Kde  

A_sw      je průřezová plocha smykové výztuže,

s           je rozteč třmínků,

f_ywd      je návrhová mez kluzu smykové výztuže,

b_w        je minimální šířka mezi taženým a tlačeným pásem. Pro výpočet únosnosti V_Rd,max musí být hodnota šířky průřezu redukována na tzv. nominální šířku průřezu v případě, že průřez je oslaben kabelovými kanálky

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ pro injektované kovové kanálky

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ pro neinjektované kovové kanálky           

υ          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa nebo  pro f_ck > 60MPa,

α_cw       je součinitel zohledňující stav napětí v tlačeném pásu.

Zatížení	σcp = 0	0 < σcp≤0,25 fcd	0,25 fcd < σcp≤0,5 fcd	0,5 fcd < σcp≤1,0 fcd
Součinitel acw	1,0	1+σcp/fcd	1,25	2,5(1 - σcp/fcd)

Tab. 1‑1 Stanovení součinitele α_cw

Úhel θ je úhel mezi tlakovou vzpěrou betonu a osou nosníku kolmou na smykovou sílu. Mezní hodnoty cotθ pro použití v dané zemi lze nalézt v příslušném Národním dodatku. Doporučené meze jsou dány výrazem:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

Volba velikosti úhlu θ může ovlivnit hodnotu únosností. Závislost únosností je patrná z obrázku 1.15. Z obrázku je vidět, že se zvyšujícím se úhlem θ únosnost V_Rd,max  roste a únosnost V_Rd,s klesá. Únosnost V_Rd,c je konstantní, protože vychází z metody příhradové analogie.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Výpočet průřezových charakteristik pro smyk

Pro výpočet smyku je důležité stanovit průřezové veličiny ovlivňující smykovou únosnost. Mezi tyto veličiny patří zejména šířka průřezu odolávající smyku b_w, účinná výška d a rameno vnitřních sil z. Norma [2] uvádí tyto hodnoty, které přímo souvisejí se skutečným ohybovým napětím. Problém však nastává při stanovení těchto hodnot, pokud se směr výslednice ohybových momentů (nebo přesněji směr výslednice odolnosti průřezu) výrazně liší od směru výslednice smykových sil. V tomto případě norma EC2 neposkytuje žádná doporučení.

Šířka průřezu odolávající smyku b_w

Program IDEA RCS vypočítává šířku průřezu odolávající smyku ve směru kolmém na výslednici smykových sil. V závislosti na článku Eurokódu je tato šířka vypočítána jako:
-  Nejmenší šířka průřezu mezi výslednicí tlačeného betonu a tahové výztuže ve směru kolmém na výslednici smykových sil pro článek 6.2.2 (a) a 6.2.3 (1)
- Šířka průřezu ve směru kolmém na výslednici smykových sil v posuzovaném místě podle článku 6.2.2 (2)

Účinná výška průřezu

Účinná výška je obvykle definována jako vzdálenost nejvíce tlačeného betonového vlákna od těžiště výztuže. Protože přímo souvisí s ohybem, vzdálenost je dána jako kolmý průmět na těžišťovou přímku roviny přetvoření. 

Tuto definici lze upřesnit tak, že místo těžiště tahové výztuže se použije poloha výslednice sil ve výztuži. Při vývoji programu IDEA RCS byl řešen problém: jak definovat účinnou výšku průřezu, pro který rovina ohybového zatížení neodpovídá směru výslednice smykových sil. Proto je účinná výška definována jako vzdálenost nejvíce tlačeného betonového vlákna  od výslednice sil v tahové výztuži  (na základě ohybového napětí) a ve směru výslednice smykových sil, viz obrázek 1.17.

Výjimečné případy nastanou, pokud nelze určit tlačené vlákno nebo výslednici v tahové výztuži. V tomto případě doporučujeme použít hodnotu 0,9 h (90 % výšky průřezu ve směru výslednice smykových sil). Tuto hodnotu může uživatel definovat v programu IDEA RCS prostřednictvím nastavení normových proměnných.

Rameno vnitřních sil

Rameno vnitřních sil je uvedeno v 6.2.3 (3) [2] a je definováno jako „vzdálenost mezi taženým a tlačeným pásem".  Norma nestanoví, jak postupovat, pokud  rovina působícího ohybového momentu se liší od směru výslednice smykových sil. Proto, stejně jako v případě účinné výšky, definujeme vzdálenost ve směru výslednice smykových sil. I zde se mohou vyskytnout podobné výjimečné případy, například celý průřez je tlačen apod. V tomto případě uvažujeme hodnotu 0,9 d (90 % účinné výšky průřezu). Tuto hodnotu může uživatel nastavit v programu IDEA RCS prostřednictvím nastavení normových proměnných.

Závislost mezi sklonem roviny ohybu a výslednicí smykové síly je zřetelně patrná z obrázku 1.18 a obrázku 1.19. Se zvyšujícím se sklonem hodnoty účinné výšky, ramene vnitřních sil a příslušných únosností klesají. Mezní stav nastává při 90°. Pro tento sklon nelze rameno vnitřních sil vypočítat, a proto je rameno rovno nule. V tomto případě se uvažuje hodnota zadaná v nastavení normových proměnných. Tím vzniká skok na konci grafu. Tato studie potvrzuje, že doporučený maximální sklon je přibližně 20°.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

V rámci testování aplikace RCS byla provedena studie o závislosti smykové únosnosti na změně normálové síly. Únosnost V_Rd,max je ovlivněna pouze součinitelem α_cw, viz obr. 1.20. Obr. 1.21 ukazuje konstantní hodnotu únosnosti V_Rds. U únosnosti V_Rdc způsobuje pokles zvyšování normálové síly. Modrá křivka na obr. 1.21 zobrazuje únosnost V_Rdc se zanedbáním vlivu trhlin a byla vypočítána pomocí vzorce v článku 6.2.2 (1) [2]. Skok při přechodu mezi tlakem a tahem je způsoben přispívající tahovou výztuží. Červená křivka je vypočítána pomocí vzorce v článku 6.2.2 (2) [2]. Po vzniku první trhliny je průběh závislosti stejný jako pro 6.2.2 (1) [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]

Kroucení

Předpoklady výpočtu

Chování železobetonového průřezu namáhaného kroucením lze rozdělit do dvou kategorií – před vznikem trhlin a po jejich vzniku. Před vznikem trhliny se průřez chová jako elastický materiál. Napětí od kroucení lze vyjádřit vzorcem   

 \[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\] 

kde W_t je průřezový modul v kroucení.

Trhliny v nevyztuženém prvku způsobené hlavním tahovým napětím od kroucení představují také mezní stav únosnosti. Chování železobetonového průřezu namáhaného kroucením lze popsat na základě tenkostěnného uzavřeného průřezu, viz obr. níže. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]

Postup výpočtu

Postup normového posouzení železobetonového průřezu na kroucení je velmi podobný posouzení na smyk. Nejprve se ověří únosnost betonu. Pokud je podmínka pro beton splněna, lze vyztužení navrhnout pomocí konstrukčních zásad. V opačném případě je nutné ověřit vyztužení a únosnost tlačené diagonály výpočtem.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]

Únosnost

Tok smykového napětí ve stěně tenkostěnného průřezu namáhaného kroucením lze vyjádřit jako:

\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Smyková síla ve stěně tenkostěnného průřezu lze vyjádřit jako:

\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]

Kde 

τ          tok smykového napětí ve stěně,

t_ef         je účinná tloušťka stěny,

z           je délka strany stěny,

T_Ed       je krouticí moment,

A_k        je plocha ohraničená střednicemi spojovacích stěn, včetně vnitřních dutých oblastí.

Moment trhlinového kroucení, který lze stanovit dosazením f_ctd do předchozího výrazu. Tím získáme výraz pro únosnost v kroucení bez výztuže na kroucení.

\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]

kde  f_ctd       návrhová hodnota osové pevnosti betonu v tahu

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]

Únosnost prvku s výztuží na kroucení je složena z únosnosti tlačených betonových diagonál, která je opět založena na příhradové analogii. Tlakové napětí v diagonále lze vyjádřit pomocí smykové síly ve stěně tenkostěnného průřezu na povrchu uvažované stěny, tj.

\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]

Dosazením  σ_c=σ_cwf_cd a T_Ed=T_Rd,max a vyjádřením T_Rd,max získáme rovnici pro únosnost tlačené diagonály

\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]

kde  

ν          = 0,6 pro f_ck ≤ 60MPa nebo  pro f_ck > 60MPa

α_cw       součinitel zohledňující stav tlakového napětí v tlačeném pásu

f_cd        návrhová hodnota pevnosti betonu v tlaku

únosnost smykové výztuže namáhané kroucením je opět založena na napětí v tlačené diagonále. Síla ve třmínku se rovná napětí v tlačené diagonále na ploše odpovídající příslušné řadě třmínků, tj.

\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]

Dosazením  T_Ed=T_Rd,s a vyjádřením T_Rd,s  získáme rovnici:

 \[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\] 

Je-li znám objem podélné a smykové výztuže, lze úhel θ definovat výrazem

\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\] 

Dosazením pro T_Rd,s získáme

\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]  

Kde

A_sw      plocha smykové výztuže

s           je osová vzdálenost třmínků smykové výztuže

f_ywd      je účinná návrhová pevnost smykové výztuže

A_sl       plocha podélné výztuže

u_k         je vnější obvod průřezu

f_ywd      je účinná návrhová pevnost podélné výztuže

Sílu v podélné výztuži lze odvodit ze smykové síly ve stěně průřezu namáhaného čistým krouticím momentem, která je dána jako:

\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]

Tato síla se transformuje do podélného směru a získáme:

\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]

Povolený rozsah hodnot úhlu θ je podobný jako při posouzení na smyk, tj. 1 < cot θ < 2,5. Závislost mezi únosnostmi je patrná z obr. níže. Diagram ukazuje, že s rostoucím úhlem θ únosnost T_Rd,max roste, únosnost T_Rd.s klesá a únosnost T_Rd,c je konstantní, protože není založena na příhradové analogii.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]

Výpočet charakteristik průřezu pro kroucení

Pro posouzení průřezu na kroucení je nutné stanovit tzv. náhradní tenkostěnný uzavřený průřez. Při stanovení rozměrů náhradního tenkostěnného průřezu se předpokládá obdélníkový tvar. Pro skutečnou plochu obdélníku platí A = b×h a pro obvod obdélníku u =2 (b +h). Pomocí těchto dvou rovnic lze stanovit plochu a obvod náhradního tenkostěnného obdélníkového průřezu odpovídající původnímu průřezu. Řešením dvou rovnic se dvěma neznámými získáme:

\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]

Tloušťku stěny účinného průřezu lze definovat z obvodu a plochy průřezu jako:

\[t=\text{A}/\text{u}\]

Plocha a obvod definované střednicí účinného průřezu jsou pak:

\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]

Problém s touto metodou nastává u průřezů typu T se širokou deskou, kdy se k výpočtu rozměrů používá celková plocha a obvod (včetně této desky). V budoucích verzích programu IDEA RCS bude umožněn výběr nejtlustší části průřezu, která bude použita pro posouzení na kroucení.

Interakce

Interakce posouvající síly a kroucení pro smykové vyztužení

Stanovení síly ve smykovém vyztužení od posouvající síly. 

Výpočet vychází ze vzorce pro výpočet únosnosti smykového vyztužení definovaného v EN 1992-1-1. Na základě rovnice 6.13 (kap. 6.2.3 (4)) lze odvodit únosnost jednoho ramene třmínku:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . průřezová plocha jednoho ramene třmínku odolávajícího smyku v uvažovaném průřezu

s .  .  .  .  . rozteč smykového vyztužení ve směru osy podélného prvku 

a_sw,V .  .  . průřezová plocha smykového vyztužení na jednotku délky

z .  .  .  .  . vnitřní rameno sil. Pro prvek s konstantní výškou odpovídá ohybovému momentu v uvažovaném místě. Při posouzení smyku železobetonového prvku bez normálové síly lze obvykle použít přibližnou hodnotu z = 0,9d.

f_ywd .  .  .  návrhová mez kluzu smykového vyztužení

θ .  .  .  .  . úhel mezi tlakovou vzpěrou betonu a osou prvku kolmou na posouvající sílu

α .  .  .  .  . úhel mezi smykovým vyztužením a osou prvku kolmou na posouvající sílu

β .  .  .  .  . sklon ramene třmínku vůči výslednici působící posouvající síly

Posouvající síla je rovnoměrně rozdělena mezi jednotlivá vyztužení odolávající posouvající síle na základě úhlu vyztužení a osové tuhosti jednotlivých ramen třmínků.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Dále lze odvodit průměrné přetvoření vyztužení uvažované ve směru výsledné posouvající síly:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

Skutečné přetvoření i-tého vyztužení lze vypočítat jako:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

Napětí v daném rameni vyztužení:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Stanovení síly v jednotlivém třmínku od kroucení

Torzní únosnost průřezu lze vypočítat na základě tenkostěnného uzavřeného průřezu, ve kterém je rovnováha zajištěna uzavřeným smykovým tokem. Plné průřezy lze modelovat jako ekvivalentní tenkostěnné průřezy. U necelistvých průřezů nesmí ekvivalentní tloušťka stěny překročit skutečnou tloušťku stěny.

Smykový tok ve stěnách tenkostěnného uzavřeného průřezu od kroucení lze vypočítat jako:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Posouvající síla v konkrétní stěně je pak:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . délka střednice uvažované stěny

Posouvající síla ve stojině – délku střednice stojiny lze nahradit hodnotou ramene sil „z".

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Síla v třmíncích odolávajících kroucení na jeden metr délky prvku (na jednotku délky):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Rozklad sil pro jednotlivé třmínky

Je-li pro všechny třmínky definován stejný materiál, je výsledné napětí od kroucení v každém rameni třmínku konstantní. Pak:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

kde a_sw,T je celková plocha třmínků odolávajících kroucení na jednotku délky.

V případě, že jednotlivé třmínky mají různé materiály, je nutné zohlednit osovou tuhost jednotlivých prutů.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . počet ramen vyztužení (skupin vyztužení) odolávajících kroucení

F_si,T .  .  . síla v i-té skupině vyztužení od kroucení na jednotku délky

a_si,T .  .  . průřezová plocha smykového vyztužení odolávajícího kroucení na jednotku délky 

E_si,T .  .  . Youngův modul pružnosti i-té skupiny vyztužení odolávajícího kroucení

ε_sw,T .  .  přetvoření vyztužení od kroucení

Výsledné napětí v každém třmínku od působícího kroucení se vypočítá jako:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

Interakce V+T

Výpočet napětí v třmíncích od smyku a kroucení je pak součtem napětí od jednotlivých složek zatížení.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Výsledná síla v i-tém vyztužení:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Interakce smyku, kroucení a ohybu pro podélné vyztužení

Stanovení síly v každém podélném vyztužení od normálové síly a ohybového momentu

Aplikace RCS se používá k výpočtu odezvy průřezu od kombinace normálové síly a ohybového momentu za účelem stanovení napětí a přetvoření v jednotlivých podélných prutech a předpínací výztuži.

Stanovení síly v jednotlivém podélném vyztužení od posouvající síly

Přírůstek tahové síly v podélném vyztužení ΔF_td od posouvající síly závisí na geometrii modelu vzpěra-táhlo. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  přírůstek tahové síly v podélném vyztužení od posouvající síly

V_ed .  .  .  . návrhová hodnota posouvající síly působící v uvažovaném průřezu

θ .  .  .  .  . úhel mezi tlakovou vzpěrou betonu a osou prvku 

α .  .  .  .  . úhel mezi smykovým vyztužením a osou prvku

Pro podélné vyztužení umístěné v tažené pásnici nesmí výsledná síla F_t v podélném vyztužení od kombinace N+M+V překročit hodnotu M_Ed,max/z (kde M_Ed,max je maximální moment podél nosníku)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

Síla ΔF_td je přenášena všemi soudržnými předpínacími kabely a vyztužením umístěným v části průřezu odolávající smyku (stojina v případě I-profilu). Na straně bezpečnosti lze příspěvek předpínací výztuže uvažovat jako 0. Předpokladem výpočtu je, že přírůstek osového přetvoření jednotlivých podélných výztuží odolávajících smyku je konstantní (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = konst.). Odvození platí pro bilineární pracovní diagram vyztužení s vodorovnou plastickou větví. V případě diagramu se skloněnou větví je nutné výpočet upravit.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . přírůstek přetvoření v podélném vyztužení od posouvající síly

n_s,V .  .  .  . počet podélných výztuží odolávajících posouvající síle

A_sl,i,V .  .  . plocha i-tého podélného vyztužení odolávajícího posouvající síle

E_sl,i,V .  .  . Youngův modul pružnosti i-tého podélného vyztužení odolávajícího posouvající síle

n_p,V .  .  .  . počet kabelů odolávajících posouvající síle

A_pl,i,V .  .  . plocha i-tého kabelu odolávajícího posouvající síle

E_pl,i,V .  .  . Youngův modul pružnosti i-tého kabelu odolávajícího posouvající síle

Po stanovení hodnoty síly ΔF_td lze vypočítat průměrné přetvoření vyztužení Δε_V.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Přírůstek napětí v jednotlivých podélných prutech od působící posouvající síly:

pro prut výztuže \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

pro kabel \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Stanovení síly v každém podélném vyztužení od kroucení

Je velmi důležité určit podélné vyztužení odolávající kroucení. Jedná se o vyztužení umístěné v náhradním efektivním tenkostěnném průřezu odolávajícím kroucení.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

Podle EN 1992-1-1 musí být pro podélné vyztužení odolávající kroucení splněno několik podmínek:

- vyztužení by mělo být rovnoměrně rozloženo po délce z_i, avšak v malých průřezech může být vyztužení soustředěno v rozích třmínků

- maximální osová vzdálenost podélného vyztužení je 350 mm

Příspěvek předpínací výztuže se podle EN 1992-1-1 neuvažuje.

Norma EN 1992-2 uvádí, že příspěvek předpínací výztuže lze uvažovat, avšak maximální přírůstek napětí v předpínací výztuži nesmí překročit Δσ_p ≤ 500 MPa. Vzorec lze pak upravit:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Přírůstek předpínací výztuže lze sice uvažovat, avšak záleží na volbě uživatele. V současné době předpínací výztuž ve výpočtu uvažována není. 

Předpokladem výpočtu je, že přírůstek osového přetvoření každého podélného vyztužení odolávajícího smyku je konstantní (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = konst.). Odvození platí pro bilineární pracovní diagram vyztužení s vodorovnou plastickou větví. V případě diagramu se vzestupnou větví je nutné výpočet upravit.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . návrhová hodnota krouticího momentu působícího v uvažovaném průřezu

θ .  .  .  .  . sklon tlakových diagonál vůči podélné ose nosníku (shodný s hodnotou pro posouvající sílu)

u_k .  .  .  .  obvod plochy A_k

A_f .  .  .  .  plocha definovaná střednicí náhradního dutého tenkostěnného průřezu

n_s,T .  .  .  .počet podélných betonářských výztuží odolávajících kroucení

A_sl,i,T .  .  . plocha i-té podélné betonářské výztuže odolávající kroucení

Δε_T .  .  .  .změna přetvoření podélného vyztužení od krouticího momentu

Δσ_s,i,T .  .  změna napětí v i-tém podélném vyztužení od krouticího momentu

E_sl,i,T .  .  . modul pružnosti i-té podélné betonářské výztuže odolávající kroucení

Přírůstek napětí v každém podélném vyztužení od působícího krouticího momentu:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]

Posouzení omezení napětí

Posouzení vychází z obecných předpokladů, kde jsou řešeny dva stavy průřezu: neporušený průřez (pevnost betonu v tahu není zanedbána) a plně porušený průřez (pevnost betonu v tahu je zanedbána). Řešení se zanedbáním pevnosti betonu v tahu je uvažováno v souladu s předpoklady článku 7.1 (2) EN 1992-1-1.

Při výpočtu napětí a průhybů je průřez uvažován jako neporušený, pokud tahové napětí při ohybu nepřekročí f_ct, eff. Hodnotu f_ct, eff lze uvažovat jako f_ctm nebo f_ctm,fl. Hodnota f_ctm se používá při výpočtu šířky trhlin a tahového zpevnění.

V rámci tohoto posouzení jsou řešeny čtyři základní případy z hlediska omezení napětí.

• 7.2 (2) Tlakové napětí v prvcích vystavených prostředí tříd expozice XD, XF a XS musí být omezeno:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{1}}=0,6\]

• 7.2 (3) Napětí v betonu při kvazistálém zatížení je omezeno:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{2}}=0,45\]

• 7.2 (5) Tahová napětí ve vyztužení při charakteristické kombinaci zatížení musí být omezena:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{3}}=0,8\]

• 7.2 (5) Pokud je napětí způsobeno nucenou deformací, tahové napětí nesmí překročit:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{4}}=1\]

Hodnoty k₁, k₂, k₃, k₄ pro použití v dané zemi lze nalézt v příslušném národním dodatku. Doporučené hodnoty jsou 0,8; 1 a 0,75, charakteristická mez kluzu vyztužení, f_ck charakteristická válcová pevnost f_ck stanovená ve stáří 28 dní.

Trhliny

Vznik trhlin

Charakteristickým rysem železobetonových konstrukcí namáhaných ohybem nebo tahem je vznik trhlin v místech, kde tahové napětí v betonu překročí jeho pevnost v tahu. Pro trvanlivost konstrukce i její estetiku je důležité zajistit, aby výsledné trhliny byly co nejmenší. Výpočet šířek trhlin i maximální povolené šířky pro různé třídy prostředí jsou uvedeny v EN 1992-1-1, kapitola 7.3.

V prvním kroku výpočtu se stanoví, zda je průřez roztrhaný nebo ne. Šířka trhliny se vždy počítá z kvazistálé nebo časté kombinace zatížení (v závislosti na národní příloze), avšak vznik trhlin musí být posouzen ze všech stanovených kombinací MSP. Mohou tedy nastat dva případy:

• Maximální tahové napětí v betonových vláknech nepřekročí pevnost betonu v tahu pro žádnou kombinaci zatížení (kvazistálá M_E,qp, častá M_E,fr nebo charakteristická M_E,k), a průřez tedy považujeme za neporušený trhlinami.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Pokud se trhliny vyvinou pro některou z kombinací (kvazistálou, častou nebo charakteristickou), tj. ohybový moment z uvažované kombinace zatížení je větší než kritický moment M_cr, je průřez z dané kombinace zatížení roztrhaný a je nutné vypočítat charakteristiky roztrhaného průřezu a šířku trhlin.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   ohybový moment získaný z některé kombinace zatížení MSP. Může tedy být M_E,qp, M_E,fr nebo M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  pevnost betonu v tahu v uvažovaném čase. Pokud je beton starší než 28 dní, uvažuje se pevnost rovná f_ctm.

Výpočet šířky trhlin

U prvku namáhaného ohybem se vznik trhlin rozděluje na 2 jevy:

• Fáze vzniku trhlin (fáze č. 2 na obr. 1)
• Stabilizovaný rozvoj trhlin (fáze č. 3 na obr. 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Fáze rozvoje trhlin

Jedná se o počáteční část procesu, kdy se jednotlivé trhliny postupně objevují, dokud není celá tahová část prvku postižena trhlinami přibližně rovnoměrně rozloženými po délce prvku. První trhlina vzniká, když síla v taženém pásu překročí hodnotu kritické síly N_r (kritická tahová síla, viz níže), a další trhliny se rozvíjejí až do úrovně zatížení, při němž síla v taženém pásu dosahuje přibližně 1,3N_cr (fáze č. 2 na obr. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

Vznikající trhliny se dělí na 2 typy – primární a sekundární. Primární trhliny vznikají v tahových vláknech při dosažení efektivní pevnosti betonu v tahu (f_ct,eff). Primární trhliny představují první vzor trhlin (obr. 2). Mezi primárními trhlinami se pak tvoří kratší sekundární trhliny (obr. 3). Při napětích odpovídajících přibližně 1,2 až 1,5 σ_sr (obvykle se uvažuje střední hodnota 1,3 σ_sr, kde σ_sr je napětí ve výztuži při vzniku primárních trhlin v tahové zóně betonu) je rozvoj sekundárních trhlin také dokončen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

Šířku trhliny ve fázi vzniku trhlin lze vypočítat takto:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Fáze stabilizovaného trhlinování

Po překročení přibližně 1,3násobku kritické síly v tahové zóně se již nevznikají nové trhliny, počet trhlin v prvku se stabilizuje a s dalším zatěžováním se zvětšuje pouze šířka stávajících trhlin (fáze č. 3 na obr. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

Šířku trhliny při stabilizovaném rozvoji lze vypočítat jako:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Kritická tahová síla

Výpočet vychází z modelu tahového pásu (TCM). Základní úvahou je výpočet mezní únosnosti železobetonového pásu tvořeného výztužnou tyčí průřezu A_s,eff obklopenou efektivní plochou tahového betonu A_c,eff, která je schopna odolávat tahovému napětí až do překročení pevnosti v tahu f_ct,eff (obvykle se uvažuje f_ctm). Za předpokladu dokonalé soudržnosti mezi výztuží a betonem lze uvažovat, že až do vzniku první trhliny je přetvoření výztuže a okolního betonu totožné. Maximální síla v taženém pásu těsně před vznikem první trhliny N_r pak může být stanovena:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Zavedením substituce

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

dostaneme:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Těsně po vzniku první trhliny je celá síla N_r přenášena výztuží, a napětí ve výztuži procházející právě vzniklou trhlinou lze tedy vypočítat jako:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Výpočet šířky trhlin podle EC 1992-1-1

Pro výpočet šířky trhlin na železobetonových prvcích se používá následující rovnice:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   maximální rozteč trhlin

ε_sm  .   .   .   .   průměrné přetvoření výztuže z kombinace zatížení, včetně vlivu tahového zpevnění.

ε_cm  .   .   .   .   průměrné přetvoření betonu mezi trhlinami

Výpočet rozdílu přetvoření

Rozdíl přetvoření výztuže a betonu mezi trhlinami lze získat z rovnice:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   napětí ve výztuži v trhlině z uvažované kombinace zatížení

k_t      .   .   .   .   empirický součinitel zohledňující průměrné přetvoření v závislosti na době trvání zatížení. Pro krátkodobou analýzu může nabývat hodnoty 0,6. Pro dlouhodobou analýzu se uvažuje snížení tuhosti kompozitu na přibližně 70 %, takže jeho hodnota je 0,4, což zahrnuje míru degradace soudržnosti mezi výztuží a betonem v čase.

α_e     .   .   .   . efektivní poměr modulů pružnosti

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   efektivní stupeň vyztužení

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   efektivní plocha betonu v tahu obklopující výztuž (stanovení A_c,eff níže)

A_s,_eff .   .   .   .   plocha soudržné výztuže umístěné v oblasti A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   plocha předpínacích nebo dodatečně předpínaných kabelů v oblasti A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   upravený poměr pevností soudržnosti zohledňující různé průměry předpínací a betonářské výztuže:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . poměr pevností soudržnosti předpínací a betonářské výztuže (tabulka 6.2)

ϕ_s   .   .  největší průměr prutu betonářské výztuže

ϕ_p   .   .  průměr nebo ekvivalentní průměr předpínací výztuže

Pro svazky je A_p plocha výztuže v kabelu

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Pro jednotlivá sedmidrátková lana, kde φ_wire je průměr drátu

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Pro jednotlivá třídrátková lana, kde φ_wire je průměr drátu

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Pokud se k omezení trhlin používá pouze předpínací výztuž, je nutné uvažovat následující.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

U předpjatých prvků není vyžadována minimální plocha soudržné výztuže za předpokladu, že při charakteristické kombinaci zatížení a charakteristické hodnotě předpínací síly tahové napětí v žádném vlákně nepřekročí pevnost betonu v tahu f_ct,eff. (viz EN 1992-1-1 čl. 7.3.2 pro podrobnosti)

Efektivní plocha betonu v tahu

Důležitým, avšak zároveň nejsložitějším krokem výpočtu je stanovení efektivní plochy tahového betonu obklopujícího výztuž. Eurocode i Model Code uvažují jednoduché způsoby zatížení, kdy je železobetonový prvek namáhán jednoosým ohybem nebo tahem. Hodnota efektivní výšky se stanoví jako:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

Obvykle je rozhodující hodnota h_c,eff = 2,5(h-d). Pro tažené prvky je horní mez h/2, zatímco pro ohýbané prvky je to (h-x)/3. Plocha A_c,eff je však také omezena šířkou stanovenou z rovnice 5(c+ϕ/2). Pokud je rozteč výztuží větší než 5(c+ϕ/2), uvažuje se pro jednotlivé pruty efektivní plocha taženého betonu šířky 5(c+ϕ/2).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Maximální rozteč trhlin

Při výpočtu maximální rozteče trhlin s_r,max mohou nastat dva případy:

• Osová vzdálenost soudržné výztuže nepřekračuje vzdálenost 5(c+ϕ/2) – obr. 9a
• Osová vzdálenost soudržné výztuže je větší než 5(c+ϕ/2) – obr. 9b

Výpočet maximální rozteče trhlin s_r,max pro případ, kdy osové vzdálenosti výztuží nepřekračují hodnotu 5(c+ϕ/2), je definován takto:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   hodnota krytí betonu v mm. Protože hodnota krytí může být různá pro krajní výztuž k vodorovným i svislým hranám, doporučuje se uvažovat maximální nalezenou hodnotu krytí pro posuzovanou výztuž.

ϕ     .   .   .   .   průměr soudržné výztuže. V případě různých průměrů výztuže se ekvivalentní průměr vypočítá v souladu s EN 1992-1-1, rovnice 7.12.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . součinitel zohledňující vlastnosti soudržnosti soudržné výztuže

• k₁ = 0,8 pro pruty s vysokou soudržností
• k₁ = 1,6 pro pruty s efektivně hladkým povrchem (např. předpínací kabely)

k₂ .   .   .   . součinitel zohledňující rozdělení přetvoření

• k₂ = 1,0 pro ohyb
• k₂ = 0,5 pro čistý tah

Pro případy excentrického tahu nebo pro lokální oblasti je třeba použít mezilehlé hodnoty k₂, které lze vypočítat ze vztahu:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  součinitel vyjadřující délku oblasti v blízkosti trhliny, kde je porušena soudržnost mezi betonem a výztuží. Doporučená hodnota základního EC k₃ = 3,4 může být upravena národní přílohou. 

k₄      .   .   .   .   součinitel vyjadřující vztah mezi pevností soudržnosti a pevností betonu v tahu. Doporučená hodnota základního EC k4 = 0,425 může být upravena národní přílohou.

Výpočet maximální rozteče trhlin s_r,max pro případ, kdy osové vzdálenosti výztuží překračují hodnotu 5(c+ϕ/2), je definován takto:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

Hodnoty maximální rozteče trhlin podle rovnice

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

by měly být vždy větší než hodnoty stanovené rovnicí

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

v opačném případě se doporučuje uvažovat větší vzdálenost získanou z výše uvedených rovnic. Rovnice pro přetvoření betonu/výztuže se pro případ velké osové vzdálenosti výztuže nemění. V oblastech s řízenou šířkou trhlin by osová vzdálenost jednotlivých výztuží neměla být větší než 5(c+ϕ/2).

Výpočet šířky trhlin implementovaný v RCS

Stanovení efektivní plochy A_c,eff

Protože není zcela jednoznačné určit, která výztuž může být považována za podélnou výztuž odolávající trhlinám, stanovuje se A_c,eff pomocí následujícího iteračního postupu.

• Ze vší výztuže působící v tahu se stanoví těžiště tahové výztuže C_g,s,1. Účinná výška výztuže d je vzdálenost mezi C_g,s a nejvíce tlačeným betonovým vláknem, vypočtená ve směru výsledného ohybového momentu. Zároveň se stanoví poloha neutrální osy a výška tlačené oblasti x pro roztrhaný průřez. To umožňuje stanovit efektivní výšku h_c,eff:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Vyloučením veškeré výztuže ležící mimo A_c,eff,1 se stanoví nové těžiště výztuže C_g,s,2 spolu s novou účinnou výškou výztuže d; efektivní výška h_c,eff se stanoví stejným způsobem jako v předchozím kroku, pouze se změněnými vstupními hodnotami.

Opět se ověří, že veškerá uvažovaná tažená výztuž leží v oblasti A_c,eff,2. Pokud je tato podmínka splněna, lze iteraci ukončit a hodnoty h_c,eff,2, A_c,eff,2 a A_s,eff,2 jsou zobrazeny jako výsledné hodnoty v IDEA StatiCa RCS.

Možné případy výpočtu šířky trhlin

Při výpočtu šířky trhlin mohou obecně nastat tři případy:

• Tahová výztuž leží v oblasti A_c,eff a osová vzdálenost jednotlivých výztuží je menší než 5(c+ϕ/2). Pro výpočet se pak používají následující definice:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Tahová výztuž leží v oblasti A_c,eff a osová vzdálenost jednotlivých výztuží překračuje vzdálenost 5(c+ϕ/2). Pro výpočet se pak používají následující definice:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Tahová výztuž neleží v oblasti A_c,eff (to může být způsobeno například velkým krytím). 

V tomto případě by nebylo možné vypočítat šířku trhlin. Proto je výpočet efektivní výšky h_c,eff upraven takto:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Zároveň se zobrazí následující upozornění na nesoulad:

Efektivní plocha betonu v tahu obklopující výztuž nebo předpínací kabely o výšce h_c,eff, kde h_c,eff je menší z hodnot 2,5(h – d) nebo h/2. Při uvažování hodnoty (h – x)/3 leží výztuž mimo efektivní plochu betonu v tahu, a proto by nebylo možné vypočítat šířku trhlin podle článku 7.3.4.

N-M-κ diagram

Diagram N-M-κ zobrazuje křivost průřezu (ohybová tuhost) jako funkci působícího ohybového momentu a normálové síly. Existují tři typy diagramů N-M-κ:
- krátkodobý,
- dlouhodobý
- MSÚ.
Tyto diagramy se liší typy diagramů napětí-přetvoření použitých pro výpočet (vysvětleno níže).

Pro stanovení diagramu N-M-κ se využívá výpočet tuhosti pro vybrané charakteristické stavy průřezu. Obecně se může jednat o libovolný stav průřezu, ze kterého se vypočítá odezva a ze které se odvozuje ohybová tuhost a křivost. V IDEA RCS uvažujeme čtyři charakteristické body (M_r, M_c, M_s a M_u)

M_r - moment vzniku trhlin 

Průřez je zatížen uživatelem definovanou normálovou silou a rovina přetvoření se začíná otáčet (ve směru zadaného ohybového momentu), dokud není v betonovém vlákně dosaženo pevnosti betonu v tahu (pro třídu betonu C30/37 je f_ctm = 2,896 MPa). Pro výpočet se používá bilineární diagram napětí-přetvoření s vodorovnou plastickou větví pro výztuž i beton.

M_c - ohybový moment při dosažení pevnosti betonu v tlaku

Z předchozího kroku je identifikováno nejvíce využité betonové vlákno v tlaku. Pro toto vlákno je nastaveno přetvoření při dosažení pevnosti betonu (f_ck/E_cm pro krátkodobý, f_ck/E_ceff pro dlouhodobý a f_cd/E_cm pro diagram MSÚ). Na základě definované normálové síly a směru ohybového momentu je spuštěn iterační proces hledání roviny přetvoření tak, aby byla nalezena rovnováha mezi odezvou průřezu a definovanou normálovou silou.  Pro výpočet se používá bilineární diagram napětí-přetvoření s vodorovnou plastickou větví pro výztuž i beton.

M_s - ohybový moment při dosažení meze kluzu v nejvíce využité výztuži

Dalším charakteristickým bodem diagramu N-M-κ je napjatostní stav průřezu při dosažení meze kluzu v nejvíce využité výztuži (přetvoření prutu se rovná f_yk/E_s pro krátkodobý a dlouhodobý diagram, f_yd/E_s pro diagram MSÚ). Iterační proces hledá rovnováhu normálových sil v průřezu otáčením roviny přetvoření kolem bodu určeného polohou nejvíce využité výztuže. Pro výpočet se používá bilineární diagram napětí-přetvoření s vodorovnou plastickou větví pro výztuž i beton.

M_u - ohybový moment na mezním stavu únosnosti

Jedná se o mezní únosnost průřezu v ohybu, kdy je průřez zatížen definovanou návrhovou normálovou silou N_ed. Pro výpočet únosnosti průřezu se předpokládá, že je dosaženo pevnosti v tlaku v nejvíce využitém vláknu betonu a pevnosti v tahu v nejvíce využité výztuži (maximální přetvoření betonu ε_cu = 0,1 a výztuže ε_s,max = 0,5). Pro výpočet se používá bilineární diagram napětí-přetvoření s vodorovnou plastickou větví pro výztuž a parabolicko-obdélníkový diagram pro beton.

Výsledná tuhost a křivost pro uživatelem definovanou kombinaci normálové síly a ohybového momentu (Md) jsou poté vypočítány lineární interpolací jednotlivých charakteristických bodů diagramu N-M-κ.

Výpočet tuhostí a křivostí

Tuhosti a křivosti pro každý napjatostní stav průřezu (M_r, M_c, M_s nebo M_u) jsou vypočítány přímo z natočení roviny přetvoření. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    osová tuhost prvku

N . .   .   . zadaná normálová síla

ε_x .   .   .  osové přetvoření v těžišti betonového průřezu

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   ohybová tuhost prvku

M .   .   .    vypočítaný ohybový moment M_r, M_c, M_s nebo M_u

κ .   .   .   . křivost prvku, vypočítaná jako tangens úhlu mezi rovinou přetvoření a podélnou osou prvku

Praktický příklad

Betonový průřez (třída betonu C30/37) je vyztužen výztuží ϕ32 (třída B500B). Definovaná kvazistálá kombinace je N = -730 kN a M_y = 557 kNm.

Rovina přetvoření pro charakteristický bod M_s je určena programem IDEA RCS takto:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

Diagramy napětí-přetvoření použité pro výpočet

Výztuž - M_r, M_c, M_s a M_u

Beton - M_r, M_c, M_s

Beton - M_u

Literatura

[1] Bradáč Betonové konstrukce (concrete structures), 1.part: Dimensioning of members from reinforced and plainconcrete, EXPERT Ostrava, 1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings, inc. change NA ed. A (2007) and revision 1 (2009)

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, 2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I, Vysoké učení technické v Brně, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 1999

[6] Vondráček, R. Numerical Methods in Nonlinear Concrete Design, Diplomová práce, ČVUT, Praha, 2000

[7] Zich, M. a kolektiv Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů, on-line book http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/, Verlag Dashöfer, 2010