Theoretischer Hintergrund RCS für 1D-Bauteile

Bemessung von Stahlbetonquerschnitten nach EN 1992-1-1 und EN 1992-2.

Biegung
Querkraft
Torsion
Interaktion
Spannungsbegrenzungsnachweis
Rissbreitenkontrolle
N-M-κ-Diagramm
Literatur

Biegung

Methoden zur Überprüfung der Querschnittstragfähigkeit

Zwei bekannte Methoden können zur Überprüfung des Grenzzustands der Tragfähigkeit für 1D-Betonbauteile verwendet werden. Die erste liefert die Querschnittstragfähigkeit in Form einer Interaktionsfläche oder eines Interaktionsdiagramms (im Fall eines Biegemoments in einer Richtung). Die Querschnittstragfähigkeit kann als Verhältnis der einwirkenden Schnittgrößen zu den Grenzzustandsschnittgrößen bestimmt werden. Die zweite Methode ist die Suche nach dem Gleichgewicht im Querschnitt, bei der das tatsächliche Verhalten des belasteten Querschnitts, die Materialausnutzung in Bezug auf Spannungen und Einblicke in die Schwachstellen des Querschnitts untersucht werden.

Allgemeine Bemessungsannahmen und Berechnungsannahmen für den Grenzzustand der Tragfähigkeit 

1. Die Dehnung ε in der Bewehrung und im Beton wird als direkt proportional zum Abstand von der Nulllinie angenommen (Ebenbleiben der Querschnitte).
2. Die Interaktion von Bewehrung und Beton wird durch den Verbund zwischen Beton und Bewehrung ohne Schlupf sichergestellt (die Dehnung ε der Bewehrung entspricht der Dehnung der angrenzenden Betonrandfasern).
3. Die Zugfestigkeit des Betons wird vernachlässigt (alle Zugspannungen werden von der Bewehrung übertragen).
4. Die Betondruckspannungen in der Druckzone werden in Abhängigkeit von der Dehnung aus den Spannung-Dehnung-Diagrammen berechnet.
5. Die Bewehrungsspannungen werden in Abhängigkeit von der Dehnung aus den Spannung-Dehnung-Diagrammen berechnet.
6. Die Betondruckdehnung mit einer Grenzdehnung ε_cu2 (Parabel-Rechteck-Diagramm für Beton unter Druck) und ε_cu3 (bilineares Spannung-Dehnung-Verhältnis), [2].
7. Die Druckdehnung der Bewehrung ist im Fall des horizontalen plastischen Astes unbegrenzt; im Fall des geneigten plastischen Astes ist die Dehnung auf ε_ud begrenzt,[2].
8. Ein Grenzzustand wird angenommen, wenn der Zustand mindestens eines der Materialien die Grenzdehnung überschreitet (wenn εu nicht begrenzt ist, ist der gedrückte Beton maßgebend).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Interaktionsdiagramm

Die erste Möglichkeit besteht darin, den Querschnitt anhand einer Interaktionsfläche (oder eines Interaktionsdiagramms) zu überprüfen. Eine Erläuterung wird anhand eines Beispiels der Interaktionsflächen für den bewehrten quadratischen Querschnitt aus dem Beispiel in der nachstehenden Abbildung gegeben. Auf der Interaktionsfläche befinden sich Punkte, die den Grenzzustand der Tragfähigkeit des untersuchten Querschnitts definieren. Die Interaktionsfläche wird aus den Punkten (N, My, Mz) gezeichnet, die durch Spannungsintegration im Querschnitt bestimmt werden, der die Grenzdehnung in einem der Materialien erreicht hat. Für eine 3D-Interaktion kann die Fläche aus einem 2D-Interaktionsdiagramm abgeleitet werden, das eine geschlossene Kurve ist, die dem Spannungszustand einer ständig gedrehten Nulllinie entspricht.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

Im Fall eines zur y-Achse symmetrischen Querschnitts ist das Interaktionsdiagramm symmetrisch zur Ebene N-M_y. Entsprechend ist im Fall eines zur z-Achse symmetrischen Querschnitts das Interaktionsdiagramm symmetrisch zur Ebene N-M_z. Der einseitig bewehrte Querschnitt führt zu einer abgeflachten Form des Interaktionsdiagramms.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

Die Punkte, die den Grenzzustand der Tragfähigkeit definieren, werden durch Spannungsintegration ermittelt.  Die nachstehende Abbildung zeigt die Dehnungsverteilung im Grenzzustand der Tragfähigkeit.

Dehnungsverteilungen im Grenzzustand der Tragfähigkeit (entnommen aus [2]).

Das Interaktionsdiagramm zeigt das Querschnittsversagen unter Normalkraft und Biegemomenten. [1]

Unter Berücksichtigung des 2D-Diagrammproblems (geschlossene Kurve auf der Interaktionsfläche) lässt sich feststellen, dass die Dehnungsebene durch die Nulllinie und den kritischen Punkt [y, z, ε] verläuft, der als kritischer Punkt R betrachtet wird.  Der Punkt [y, z] definiert einen Punkt im Querschnitt mit dem Wert der Dehnung ε im Grenzzustand der Tragfähigkeit. Die Neigung der Nulllinie ist für alle Punkte des 2D-Diagramms konstant.

Wenn die Druckspannung im Beton für die Bemessung maßgebend ist, entspricht Punkt R der am weitesten entfernten gedrückten Betonrandfaser oder dem Grenzpunkt C. Dies gilt jedoch nur, wenn der Querschnitt aus einem einzigen Betontyp besteht – nicht bei einem gemischten Querschnitt.   

Wenn die Zugspannung in der Bewehrung für die Bemessung maßgebend ist (die Dehnung ε_ud wird im Grenzzustand der Tragfähigkeit für einen oder mehrere Stäbe überschritten), muss die Bedingung erfüllt sein, dass für die gegebene Dehnungsebene der Wert ε_ud an keinem anderen Stab überschritten wird.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

Die obige Abbildung zeigt, dass das Diagramm in zwei Teile unterteilt werden kann: den Teil, bei dem das Versagen durch Zugkraft verursacht wird, und den Teil, der durch eine Druckkraft versagt. Die Grenzpunkte entsprechen dem oben beschriebenen Fall, bei dem auch die extreme Neigung der Dehnungsebene erkennbar ist. Beim Zeichnen eines Interaktionsdiagramms ändert sich die Ebenendehnung eines Querschnitts in diesem Intervall, während wir nach dem Punkt R suchen (siehe oben). Auf Basis der so definierten Ebene wird die Integration durchgeführt, um die Spannung im Grenzzustand der Tragfähigkeit zu erhalten.

Überprüfung des Querschnitts unter Normalkraft und Biegemoment

Die Überprüfung eines Querschnitts unter Normalkraft und Biegemoment beruht auf dem Nachweis, dass die nachzuweisenden Schnittgrößen (Kombination N_d, M_yd, M_zd) innerhalb oder auf der Interaktionsfläche liegen. Verschiedene Methoden können dies leisten. Das folgende Beispiel zeigt die Überprüfung eines rechteckigen Querschnitts unter den Kräften N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Methode NuMuMu

Zur Bestimmung der Tragfähigkeit eines Querschnitts wird eine proportionale Änderung aller Schnittgrößenkomponenten angenommen (die Exzentrizität der Normalkraft bleibt konstant), bis die Interaktionsfläche erreicht ist. Die Änderung der beteiligten Schnittgrößen kann als Bewegung entlang einer Linie interpretiert werden, die den Ursprung des Koordinatensystems (0,0,0) mit dem durch die Schnittgrößen definierten Punkt (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) verbindet. Die beiden Schnittpunkte dieser Linie mit der Interaktionsfläche, die gefunden werden können, stellen zwei Schnittgrößenkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit dar. An jedem Schnittpunkt bestimmt das Programm drei Schnittgrößen im Grenzzustand: den Bemessungswert des Normalkraftwiderstands N_Rd und die entsprechenden Bemessungswerte der Biegewiderstände M_Rdy, M_Rdz.

Methode  NuMM

Zur Bestimmung der Tragfähigkeit des Querschnitts wird eine konstante Normalkraft (gleich der einwirkenden Bemessungsnormalkraft) und eine proportionale Änderung der Biegemomente angenommen, bis die Interaktionsfläche erreicht ist. Die Änderung der beteiligten Schnittgrößen kann als Bewegung in einer horizontalen Ebene entlang der Linie interpretiert werden, die den Punkt (N_Ed,0,0) mit dem  durch die einwirkenden Schnittgrößen definierten Punkt (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) verbindet. Die beiden Schnittpunkte dieser Linie mit der Interaktionsfläche, die gefunden werden können, stellen zwei Schnittgrößenkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit dar. An jedem Schnittpunkt bestimmt das Programm drei Schnittgrößen im Grenzzustand: die Bemessungswerte der Biegewiderstände M_Rdy, M_Rdz und die (entsprechende) einwirkende Bemessungsnormalkraft N_Ed.

Methode  NMuMu

Zur Bestimmung der Tragfähigkeit des Querschnitts wird eine konstante Normalkraft (gleich der einwirkenden Bemessungsnormalkraft) und eine proportionale Änderung der Biegemomente angenommen, bis die Interaktionsfläche erreicht ist. Die Änderung der beteiligten Schnittgrößen kann als Bewegung in einer horizontalen Ebene entlang der Linie interpretiert werden, die den Punkt (N_Ed,0,0) mit dem durch die einwirkenden Schnittgrößen definierten Punkt (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) verbindet. Die beiden Schnittpunkte dieser Linie mit der Interaktionsfläche, die gefunden werden können, stellen zwei Schnittgrößenkombinationen im Grenzzustand der Tragfähigkeit dar. An jedem Schnittpunkt bestimmt das Programm drei Schnittgrößen im Grenzzustand: die Bemessungswerte der Biegewiderstände M_Rdy, M_Rdz, und die (entsprechende) einwirkende Bemessungsnormalkraft N_Ed.

Ermittlung der Querschnittsreaktion

Eine weitere Möglichkeit zur Überprüfung des Querschnitts besteht in der Ermittlung der Querschnittsreaktion (d. h. Dehnungs- und Spannungsverteilung aus den einwirkenden Schnittgrößen). Diese Methode ist auch als Methode der Grenzdehnung bekannt. Das Niveau der einwirkenden Spannungen in jeder Faser (im Fall von einachsiger Biegung in jeder Schicht) und in jedem Bewehrungsstab wird in Abhängigkeit von der Dehnung aus dem Spannung-Dehnung-Diagramm des Materials berechnet.
Die Ermittlung der Querschnittsreaktion erfolgt mit der numerischen Methode gemäß [6]. Das Prinzip besteht in der schrittweisen Laststeigerung des Querschnitts durch die unausgeglichenen Anteile nicht übertragener Kräfte. Diese werden durch Integration der Spannung über den Querschnitt mithilfe von Spannung-Dehnung-Diagrammen ermittelt. Wenn der Spannungswert für die Dehnung im Spannung-Dehnung-Diagramm gefunden werden kann, siehe Abbildung unten (a), ist die berechnete Spannung korrekt unter der Annahme linear elastischen Materials. In den Fällen (b) und (c) erreicht die Spannung bei einer linearen Berechnung unrealistische Werte, und ein Teil (b) oder der gesamte Wert (c) kann vom Material nicht übertragen werden. Durch Integration der nicht übertragenen Spannungen erhält man nicht übertragene Schnittgrößen, deren Resultanten zu den Schnittgrößen aus veränderlichen Lasten addiert werden müssen. 

Nicht übertragene Spannungen in Spannung-Dehnung-Diagrammen. [4]

Nicht übertragene Schnittgrößen. [4]

Diese Berechnungsmethode erfordert den Einsatz numerischer Methoden zur Integration der Spannung über die Querschnittsfläche und zur nichtlinearen Analyse der Gleichgewichtsbedingungen im Querschnitt. Die Iteration wird beendet, wenn die Konvergenzkriterien erfüllt sind.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

wobei 

F_e die Querschnittsbelastung ist,

F_i die Querschnittsreaktion ist (Schnittgrößen, berechnet auf Basis der Dehnungsebene).

Wenn a der Näherungswert (approximierte Wert) und b der exakte (wahre) Wert ist, ergibt sich die absolute Abweichung aus folgender Gleichung.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

Die relative Abweichung ergibt sich aus folgender Formel:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

In den meisten Programmen können diese Konvergenzkriterien eingestellt werden (Standardwerte sind 1 % als relativer Fehler, 100 N, 100 Nm als absoluter Fehler der Normalkraft und der Momente). 

Wenn also die Eingabe N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm beträgt und die integrierten Kräfte nach der Iteration N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm ergeben, erfolgt die Auswertung wie folgt. Unter Berücksichtigung, dass N und Mz gleich 0 sind, kann ein Vergleich mit der absoluten Abweichung vorgenommen werden:

Der Wert der Normalkraft 100 N> | 70 | N
Der Wert des Biegemoments Mz 100 Nm> | 20 | Nm
Der Wert des Biegemoments My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Querschnittsnachweis über die Querschnittsreaktion

Im Fall der Ermittlung des Gleichgewichts im Querschnitt ist die Ebenendehnung bekannt. Aus der Ebenendehnung kann die Dehnung an jeder beliebigen Stelle des Querschnitts berechnet werden, anschließend die Spannung oder die Schnittgrößen in den Bewehrungsstäben, im Querschnitt oder in seinen Teilen mithilfe der Spannung-Dehnung-Diagramme der Materialien. Die berechneten Spannungs- und Dehnungswerte werden mit den Grenzdehnungswerten aus den Spannung-Dehnung-Diagrammen der verwendeten Materialien verglichen.
Der Vorteil dieser Methode besteht darin, dass ein vollständiges Bild der Spannungs- und Dehnungswerte im Querschnitt unter den einwirkenden Schnittgrößen gewonnen wird.

Querkraft

Im Hinblick auf sprödes Versagen ist der Querkraftnachweis einer der wichtigen Nachweise eines Stahlbetonquerschnitts.

Berechnungsverfahren

Die Berechnung des Querkraftwiderstands setzt sich aus mehreren grundlegenden Teilen zusammen. Zunächst ist zu analysieren, ob an der nachgewiesenen Stelle Risse infolge Biegung auftreten oder nicht. Falls ja, wird die Berechnung gemäß EN 1992-1-1 [2], Artikel 6.2.2 (1) angewendet. Andernfalls wird bestimmt, ob es sich um unbewehrten Beton oder schwach bewehrten Beton handelt, und dann gemäß EN 1992-1-1 Artikel 12.6.3 vorgegangen. 

Für bewehrten ungerissenen Beton (ohne Querkraftbewehrung) wird der Nachweis gemäß EN 1992-1-1 Artikel 6.2.2 (2) geführt. Für Bauteile, bei denen eine Querkraft- bewehrung erforderlich ist, wird der Nachweis gemäß Artikel 6.2.3 [2] geführt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Querkraftwiderstand von Bauteilen ohne Querkraftbewehrung

Querkraftwiderstand von Bauteilen in gerissenen Biegezonen (Art. 6.2.2 (1) [2])

Der Querkraftwiderstand von Stahlbetonbauteilen ohne Querkraftbewehrung unter Biegemoment ergibt sich zu:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Dieser Ausdruck wurde auf Grundlage von Versuchen an einer repräsentativen Anzahl einfacher Träger bei Versagen durch Querkraft abgeleitet. Da der oben genannte Widerstand für Bauteile ohne Längsbewehrung (r_l) null werden kann, wurden für schwach bewehrte Bauteile Gleichungen abgeleitet. Da der oben genannte Widerstand für Bauteile ohne Längsbewehrung (r_l) null werden kann, wurde für schwach bewehrte Bauteile der Widerstand durch folgende Gleichung bestimmt

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Für den Querkraftwiderstand unter Einfluss einer Normalkraft gilt folgende Gleichung

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

Der Querkraftwiderstand in seiner vollständigen Form entsprechend EN 1992-1-1 Art. 6.2.2 (1) lautet

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Mit dem Mindestwert

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

wobei  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          Querschnittshöhenfaktor 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      Bewehrungsgrad der Längsbewehrung

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        charakteristische Zylinderdruckfestigkeit des Betons nach 28 Tagen

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  in MPa

b_w        kleinste Breite des Querschnitts im Zugbereich

d          statische Nutzhöhe des Querschnitts

υ_min      minimale äquivalente Querkrafttragfähigkeit υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Querkraftwiderstand von Bauteilen in ungerissenen Biegezonen (Art. 6.2.2 (2) [2])

Der Querkraftwiderstand von Bauteilen in ungerissenen Biegezonen kann aus dem Mohrschen Spannungskreis bestimmt werden. In die Gleichung

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

wird σ_x = σ_cp und τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) eingesetzt und V_Rd,c ermittelt; dies ergibt eine Gleichung entsprechend der Formel in EN 1992-1-1 Art. 6.2.2 (2)

wobei  

I           das Flächenträgheitsmoment zweiter Ordnung ist,

b_w        die Breite des Querschnitts in der Schwerachse ist

S          das statische Moment der Fläche oberhalb und bezogen auf die Schwerachse ist,

f_ctd        Bemessungswert der zentrischen Betonzugfestigkeit in MPa,

 s_cp       die Betondruckspannung in der Schwerachse infolge Belastung und/oder Vorspannung ist,

a_l         Übertragungslängenfaktor, in der Regel 1,0.

Im Zusammenhang mit dem Vorstehenden ist anzumerken, dass in Bereichen ohne Biegerisse der Widerstand V_Rd ,c  deutlich höher sein kann als in gerissenen Bereichen gemäß Artikel 6.2.2 (1) [2]. Die nachfolgende Abbildung zeigt deutlich, dass obwohl die Querkraft an ihrem Extremwert nachgewiesen wird (der keine Risse erzeugt), dies nicht zwingend sicherstellt, dass sie über die gesamte Trägerlänge übertragen wird. Dies ist auf eine Änderung der Berechnungsmethode für den Querkraftwiderstand des Betons zurückzuführen. Auf der sicheren Seite kann der Querkraftwiderstand selbstverständlich gemäß Artikel 6.2.2 (1) [2] auch an Stellen angesetzt werden, an denen keine Risse auftreten werden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

Zum Ausdruck für V_Rd, c  gemäß Artikel 6.2.2 (2)[2] ist ferner anzumerken, dass im allgemeinen Fall der Nachweis an der Faser der maximalen Betonzug-Hauptspannung im Bereich der Normaldruckspannung zu führen ist, nicht im Schwerpunkt des Querschnitts. An diesem Punkt sind die Querschnittskennwerte (S und b_W) zu berechnen. Zur Bestimmung der maximalen Hauptspannung s₁ im Programm IDEA RCS wird eine Linie durch den Schwerpunkt in Richtung der resultierenden Querkräfte gezogen. Diese Linie wird in 20 Abschnitte unterteilt. Auf dieser Linie werden weitere charakteristische Punkte dargestellt (Punkte des Querschnittspolygons, Schwerpunkt, Nulllinie). Innerhalb dieser Punkte werden S, b_w, σ_x, τ_yz und σ₁  berechnet. Am Punkt der maximalen Zughauptspannung wird der Querkraftwiderstand berechnet.

Die Querkraft vor Anwendung des Abminderungsfaktors b gemäß Artikel 6.2.2 (6) muss die zusätzliche Bedingung erfüllen

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

wobei 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  kde f_ck je v MPa

Querkraftwiderstand von Bauteilen ohne Bewehrung oder schwach bewehrt (Art. 12.6.3 [2])

Der Querkraftwiderstand für unbewehrten oder schwach bewehrten Beton kann aus folgendem Ausdruck bestimmt werden

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Dabei wird

τ_cp ersetzt durch

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

oder

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

Die in der obigen Formel verwendeten Teilwerte sind gegeben durch:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

wobei  

f_cd,pl     Bemessungswert der Druckfestigkeit  für unbewehrten oder schwach bewehrten Beton,

f_ctd,pl    Bemessungswert der zentrischen Zugfestigkeit von unbewehrtem oder schwach bewehrtem Beton,

f_cvd       Bemessungswert des Querkraftwiderstands unter Betondruckbeanspruchung.

Widerstand von Bauteilen mit Querkraftbewehrung (Art. 6.2.3 [2])

Die Berechnung des Widerstands von Stahlbetonbauteilen mit Querkraftbewehrung basiert auf der Fachwerkanalogie mit variablem Druckstrebenwinkel. Die Grundlage dieser Methode ist das Kräftegleichgewicht im Dreieck, das durch die Druckstrebenkraft (Diagonale), die Querkraftbewehrungskraft (Bügel) und die Längsbewehrungskraft bestimmt wird.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

Der Querschnitt unter Querkraftbeanspruchung wird durch Risse unter dem Winkel θ aufgespalten; aus diesem Grund widersteht die Betondruckstrebe mit demselben Winkel wie die Querkräfte der Querkraft. Die Druckkraft der Diagonalen kann als V_ed/sinθ ausgedrückt werden. Diese Kraft muss durch die Betonfläche senkrecht zur Druckdiagonalen b_wzcosθ übertragen werden. Die Betondruckspannung in der Druckdiagonalen beträgt dann:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

Durch Einsetzen von \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  und \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] und Auflösen nach \[{{V}_{Rd,max}}\] ergibt sich die Gleichung für den Querkraftwiderstand der Druckstrebe:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Zum Gleichgewicht der vertikalen Kraftkomponente in der Druckdiagonalen wird die Querkraftbewehrung herangezogen. Die Größe der vertikalen Kraft ergibt sich aus der Druckspannung im Beton in dem Bereich, der einem einzelnen Bügel entspricht - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. Die Grenzkraft des Bügels ist gegeben als \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Durch Einsetzen von σ_c, Vergleich mit der Grenzkraft in der Bewehrung und nach Umformungen ergibt sich:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Durch Ausdrücken von V_ed als V_RDs ergibt sich der Widerstand des Querschnitts mit vertikaler Querkraftbewehrung:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

Die Längskraft wird durch die Längsbewehrung übertragen und kann als V_edcotgθ bestimmt werden. Die Herleitung der obigen Formeln ist in [4] zu finden.

Mit dem Programm IDEA RCS können nur Bauteile mit vertikaler Querkraftbewehrung nachgewiesen werden. Im Allgemeinen können folgende Gleichungen verwendet werden:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Dabei gilt  

A_sw      ist die Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung,

s           ist der Bügelabstand,

f_ywd      ist der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung,

b_w        ist die Mindestbreite zwischen Zug- und Druckgurt. Zur Berechnung des Widerstands V_Rd,max muss die Querschnittsbreite auf die sogenannte Nennbreite des Querschnitts reduziert werden, wenn der Querschnitt durch Hüllrohre geschwächt ist

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ für verpresste Metallhüllrohre

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ für nicht verpresste Metallhüllrohre           

υ          = 0,6 für f_ck ≤ 60MPa oder für f_ck > 60MPa,

α_cw       ist ein Beiwert, der den Spannungszustand im Druckgurt berücksichtigt.

Belastung	σcp = 0	0 < σcp≤0,25 fcd	0,25 fcd < σcp≤0,5 fcd	0,5 fcd < σcp≤1,0 fcd
Beiwert acw	1,0	1+σcp/fcd	1,25	2,5(1 - σcp/fcd)

Tab. 1‑1 Bestimmung des Beiwerts α_cw

Der Winkel θ ist der Winkel zwischen der Betondruckstrebe und der Trägerachse senkrecht zur Querkraft. Die Grenzwerte von cotθ für die Anwendung in einem Land können dem jeweiligen Nationalen Anhang entnommen werden. Die empfohlenen Grenzwerte sind durch folgenden Ausdruck gegeben:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

Die Wahl der Größe des Winkels θ kann den Wert der Widerstände beeinflussen. Die Abhängigkeit der Widerstände ist in Abbildung 1.15 dargestellt. Die Abbildung zeigt, dass mit zunehmendem Winkel θ der Widerstand V_Rd,max  zunimmt und der Widerstand V_Rd,s abnimmt. Der Widerstand V_Rd,c ist konstant, da er auf der Fachwerkanalogie basiert.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Berechnung der Querschnittskennwerte für die Querkraft

Für die Berechnung der Querkraft ist es wichtig, die querschnittsbezogenen Größen zu berechnen, die den Querkraftwiderstand beeinflussen. Zu diesen Größen gehören vor allem die querkrafttragfähige Querschnittsbreite b_w, die statische Nutzhöhe d und der innere Hebelarm z. Die Norm [2] gibt diese Werte an, die direkt mit der tatsächlichen Biegespannung korrelieren. Das Problem besteht jedoch darin, diese Werte zu bestimmen, wenn die Richtung der resultierenden Biegemomente (oder genauer gesagt die Richtung der Resultierenden des Querschnittswiderstands) sich deutlich von der Richtung der resultierenden Querkräfte unterscheidet. In diesem Fall gibt der EC2 keine Empfehlungen.

Querkrafttragfähige Querschnittsbreite b_w

Das IDEA RCS-Programm berechnet die querkrafttragfähige Querschnittsbreite in der Richtung senkrecht zur Resultierenden der Querkräfte. Je nach Artikel im Eurocode wird diese Breite wie folgt berechnet:
-  Die kleinste Breite des Querschnitts zwischen der Resultierenden der Betondruckkraft und der Zugbewehrung in der Richtung senkrecht zur Resultierenden der Querkräfte für Artikel 6.2.2 (a) und 6.2.3 (1)
- Die Querschnittsbreite in der Richtung senkrecht zur Resultierenden der Querkräfte im nachgewiesenen Punkt gemäß Artikel 6.2.2 (2)

Statische Nutzhöhe des Querschnitts

Die statische Nutzhöhe ist üblicherweise definiert als der Abstand der am stärksten gedrückten Betonrandfaser zum Schwerpunkt der Bewehrung. Da sie direkt mit der Biegung zusammenhängt, wird der Abstand als senkrechte Projektion auf die Schwerelinie der Ebenendehnung angegeben. 

Diese Definition kann dahingehend präzisiert werden, dass anstelle des Schwerpunkts der Zugbewehrung die Lage der Resultierenden der Bewehrungskräfte verwendet wird. Bei der Entwicklung des IDEA RCS-Programms wurde folgendes Problem gelöst: Wie ist die statische Nutzhöhe des Querschnitts zu definieren, wenn die Ebene der Biegebelastung nicht mit der Richtung der Resultierenden der Querkräfte übereinstimmt. Daher wird die statische Nutzhöhe definiert als der Abstand der am stärksten gedrückten Betonrandfaser  zur Resultierenden der Kräfte in der Zugbewehrung  (basierend auf der Biegespannung) und in der Richtung der Resultierenden der Querkräfte, siehe Abbildung 1.17.

Ausnahmefälle treten auf, wenn die gedrückte Randfaser oder die Resultierende in der Zugbewehrung nicht bestimmt werden kann. In diesem Fall wird empfohlen, den Wert 0,9 h (90 % der Querschnittshöhe in der Richtung der Resultierenden der Querkräfte) zu verwenden. Diesen Wert kann der Benutzer im IDEA RCS-Programm über die Einstellung der Normvariablen festlegen.

Innerer Hebelarm

Der innere Hebelarm ist in 6.2.3 (3) [2] definiert als der „Abstand zwischen Zug- und Druckgurt".  Die Norm legt nicht fest, wie vorzugehen ist, wenn  die Ebene des wirkenden Biegemoments von der Richtung der Resultierenden der Querkräfte abweicht. Daher wird, wie im Fall der statischen Nutzhöhe, der Abstand in der Richtung der Resultierenden der Querkräfte definiert. Auch hier können ähnliche Ausnahmefälle auftreten, zum Beispiel wenn der gesamte Querschnitt unter Druck steht usw. In diesem Fall wird der Wert 0,9 d (90 % der statischen Nutzhöhe) angesetzt. Diesen Wert kann der Benutzer im IDEA RCS-Programm über die Einstellung der Normvariablen festlegen.

Die Abhängigkeit zwischen der Neigung der Biegeebene und der Resultierenden der Querkraft ist deutlich in Abbildung 1.18 und Abbildung 1.19 dargestellt. Mit zunehmender Neigung nehmen die Werte der statischen Nutzhöhe, der Hebelarme und der zugehörigen Widerstände ab. Der Grenzzustand liegt bei 90°. Bei dieser Neigung kann der innere Hebelarm nicht berechnet werden, folglich ist der Hebelarm gleich null. In diesem Fall wird der in den Normvariablen festgelegte Wert berücksichtigt. Dadurch entsteht ein Sprung am Ende des Diagramms. Diese Untersuchung belegt, dass die empfohlene maximale Neigung etwa 20° beträgt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

Im Rahmen der Überprüfung der RCS-Anwendung wurde eine Studie zur Abhängigkeit des Querkraftwiderstands von der Änderung der Normalkraft durchgeführt. Der Widerstand V_Rd,max wird nur durch den Beiwert α_cw beeinflusst, siehe Abb. 1.20. Abb. 1.21 zeigt einen konstanten Wert des Widerstands V_Rds. Beim Widerstand V_Rdc führt eine Zunahme der Normalkraft zu einer Abnahme. Die blaue Kurve in Abb. 1.21 zeigt den Widerstand V_Rdc unter Vernachlässigung des Einflusses von Rissen und wurde mit der Formel aus Abschnitt 6.2.2 (1) [2] berechnet. Der Sprung beim Übergang zwischen Druck und Zug wird durch die mitwirkende Zugbewehrung verursacht. Die rote Kurve wird mit der Formel aus Abschnitt 6.2.2 (2) [2] berechnet. Nach dem Auftreten des ersten Risses ist der Verlauf der Abhängigkeitskurve identisch mit dem für 6.2.2 (1) [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]

Torsion

Berechnungsannahmen

Das Verhalten eines Stahlbetonquerschnitts unter Torsion lässt sich in zwei Kategorien unterteilen – vor und nach dem Zeitpunkt, zu dem erstmals Risse erwartet werden können. Vor einem Riss verhält sich der Querschnitt wie ein elastisches Material. Die Torsionsspannung kann durch folgende Formel ausgedrückt werden:  

 \[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\] 

wobei W_t das Widerstandsmoment bei Torsion ist.

Risse im unbewehrten Bauteil infolge der maßgebenden Hauptzugspannung aus Torsion stellen ebenfalls einen Grenzzustand der Tragfähigkeit dar. Das Verhalten eines Stahlbetonquerschnitts unter Torsion kann auf der Grundlage eines dünnwandigen geschlossenen Querschnitts beschrieben werden, siehe Abb. unten. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]

Berechnungsablauf

Der Ablauf des Normnachweises eines Stahlbetonquerschnitts für Torsion ist dem Nachweis für Querkraft sehr ähnlich. Zunächst wird die Betonwiderstandsfähigkeit überprüft. Wenn der Betonnachweis erfüllt ist, kann die Bewehrung anhand der Konstruktionsregeln bemessen werden. Andernfalls müssen die Bewehrung und die Druckdiagonalentragfähigkeit rechnerisch nachgewiesen werden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]

Tragfähigkeit

Der Schubfluss in einer Wand eines dünnwandigen Querschnitts unter Torsion kann wie folgt ausgedrückt werden:

\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Die Querkraft in einer Wand eines dünnwandigen Querschnitts kann wie folgt ausgedrückt werden:

\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]

Dabei gilt 

τ          Schubfluss in der Wand,

t_ef         ist die effektive Wanddicke,

z           ist die Seitenlänge der Wand,

T_Ed       ist das Torsionsmoment,

A_k        ist die von den Mittellinien der verbindenden Wände eingeschlossene Fläche, einschließlich innerer Hohlbereiche.

Das Torsionsrissmoment kann bestimmt werden, indem f_ctd in den vorherigen Ausdruck eingesetzt wird. Damit ergibt sich der Ausdruck für die Torsionswiderstandsfähigkeit ohne Torsionsbewehrung.

\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]

wobei  f_ctd       Bemessungswert der zentrischen Zugfestigkeit des Betons

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]

Die Bauteilwiderstandsfähigkeit mit Torsionsbewehrung setzt sich aus der Tragfähigkeit der Druckbetondiagonalen zusammen, die wiederum auf der Fachwerkanalogiemethod basiert. Die Druckspannung in der Diagonalen kann mithilfe der Querkraft in der Wand eines dünnwandigen Querschnitts an der betrachteten Wandoberfläche ausgedrückt werden, d. h.

\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]

Durch Einsetzen von  σ_c=σ_cwf_cd und T_Ed=T_Rd,max und Auflösen nach T_Rd,max ergibt sich die Gleichung für die Druckdiagonalentragfähigkeit

\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]

wobei  

ν          = 0,6 für f_ck ≤ 60MPa oder  für f_ck > 60MPa

α_cw       Beiwert, der den Spannungszustand im Druckgurt berücksichtigt

f_cd        Bemessungswert der Betondruckfestigkeit

Die Querkrafttragfähigkeit der Bewehrung unter Torsion basiert ebenfalls auf der Spannung in der Druckdiagonalen. Die Bügelkraft ist gleich der Spannung in der gedrückten Diagonalen auf der Fläche, die dem jeweiligen Bügelabstand entspricht, d. h.

\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]

Durch Einsetzen von  T_Ed=T_Rd,s und Auflösen nach T_Rd,s  ergibt sich die Gleichung:

 \[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\] 

Wenn die Menge der Längs- und Querbewehrung bekannt ist, kann der Winkel θ durch folgenden Ausdruck bestimmt werden

\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\] 

Durch Einsetzen für T_Rd,s ergibt sich

\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]  

Dabei gilt

A_sw      Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung

s           ist der Abstand der Bügel der Querkraftbewehrung

f_ywd      ist die maßgebende Bemessungsstreckgrenze der Querkraftbewehrung

A_sl       Querschnittsfläche der Längsbewehrung

u_k         ist der äußere Umfang des Querschnitts

f_ywd      ist die maßgebende Bemessungsstreckgrenze der Längsbewehrung

Die Kraft in der Längsbewehrung kann aus der Querkraft in einer Wand eines Querschnitts unter reinem Torsionsmoment abgeleitet werden, die wie folgt angegeben wird:

\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]

Diese Kraft wird in Längsrichtung umgerechnet und ergibt:

\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]

Der zulässige Wertebereich für den Winkel θ ist ähnlich wie beim Querkraftnachweis, d. h. 1 < cot θ < 2,5. Die Abhängigkeit zwischen den Tragfähigkeiten ist in der Abb. unten dargestellt. Das Diagramm zeigt, dass mit zunehmendem Winkel θ die Tragfähigkeit T_Rd,max zunimmt, die Tragfähigkeit T_Rd.s abnimmt und die Tragfähigkeit T_Rd,c konstant bleibt, da sie nicht auf der Fachwerkanalogiemethod basiert.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]

Berechnung der Querschnittskennwerte für Torsion

Für den Torsionsnachweis des Querschnitts ist es erforderlich, einen sogenannten äquivalenten dünnwandigen geschlossenen Querschnitt zu ermitteln. Bei der Bestimmung der Abmessungen des äquivalenten dünnwandigen Querschnitts wird eine rechteckige Form angenommen. Für die tatsächliche Fläche des Rechtecks gilt A = b×h und für den Umfang des Rechtecks u =2 (b +h). Mithilfe dieser beiden Gleichungen können die äquivalente dünnwandige Rechteckfläche und der Umfang des ursprünglichen Querschnitts bestimmt werden. Durch Lösung von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten ergibt sich:

\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]

Die Wanddicke des effektiven Querschnitts kann aus dem Umfang und der Querschnittsfläche wie folgt bestimmt werden:

\[t=\text{A}/\text{u}\]

Dann werden die Fläche und der Umfang, definiert durch die Mittellinie des effektiven Querschnitts, wie folgt bestimmt:

\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]

Das Problem bei dieser Methode besteht bei T-förmigen Querschnitten mit einer breiten Platte, wenn die Gesamtfläche und der Gesamtumfang zur Berechnung der Abmessungen herangezogen werden (einschließlich dieser Platte). In zukünftigen Versionen des IDEA RCS-Programms wird die Auswahl des massivsten Querschnittsteils ermöglicht, der für den Torsionsnachweis verwendet wird.

Interaktion

Interaktion von Querkraft und Torsion für die Querkraftbewehrung

Bestimmung der Kraft in der Querkraftbewehrung infolge Querkraft. 

Die Berechnung basiert auf der Formel zur Ermittlung des Widerstands der Querkraftbewehrung gemäß EN 1992-1-1. Auf Grundlage von Gleichung 6.13 (Abschn. 6.2.3 (4)) kann der Tragwiderstand eines Bügelschenkels abgeleitet werden als:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . Querschnittsfläche eines Bügelschenkels, der die Querkraft im betrachteten Schnitt aufnimmt

s .  .  .  .  . Abstand der Querkraftbewehrung in Richtung der Längsachse des Bauteils 

a_sw,V .  .  . Querschnittsfläche der Querkraftbewehrung je Längeneinheit

z .  .  .  .  . der innere Hebelarm. Bei einem Bauteil mit konstanter Höhe entspricht er dem Biegemoment im betrachteten Element. Bei der Querkraftbemessung von Stahlbeton ohne Normalkraft darf in der Regel der Näherungswert z = 0,9d verwendet werden.

f_ywd .  .  .  der Bemessungswert der Streckgrenze der Querkraftbewehrung

θ .  .  .  .  . der Winkel zwischen der Betondruckstrebe und der Bauteilachse senkrecht zur Querkraft

α .  .  .  .  . der Winkel zwischen der Querkraftbewehrung und der Bauteilachse senkrecht zur Querkraft

β .  .  .  .  . Neigung des Bügelschenkels gegenüber der Resultierenden der einwirkenden Querkraft

Die Querkraft wird gleichmäßig auf die einzelnen querkrafttragenden Bewehrungselemente verteilt, basierend auf dem Winkel der Bewehrung und der axialen Steifigkeit der einzelnen Bügelschenkel.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Daraus kann die mittlere Bewehrungsdehnung in Richtung der resultierenden Querkraft abgeleitet werden:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

Die tatsächliche Dehnung der i-ten Bewehrung kann berechnet werden als:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

Die Spannung in einem bestimmten Bügelschenkel der Bewehrung:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Bestimmung der Kraft im einzelnen Bügel infolge Torsion

Der Torsionswiderstand eines Querschnitts kann auf Grundlage eines dünnwandigen geschlossenen Querschnitts berechnet werden, bei dem das Gleichgewicht durch einen geschlossenen Schubfluss erfüllt wird. Vollquerschnitte können durch äquivalente dünnwandige Querschnitte modelliert werden. Bei nicht massiven Querschnitten darf die äquivalente Wanddicke die tatsächliche Wanddicke nicht überschreiten.

Der Schubfluss in den Wänden eines dünnwandigen geschlossenen Querschnitts infolge Torsion kann berechnet werden als:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Die Querkraft in einer bestimmten Wand beträgt dann:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . Länge der Mittellinie der betrachteten Wand

Querkraft im Steg – die Länge der Stegmittellinie kann durch den Wert des Hebelarms „z" ersetzt werden.

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Kraft in den torsionsabtragenden Bügeln je einem Meter Bauteilänge (je Längeneinheit):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Zerlegung der Kräfte für den einzelnen Bügel

Wenn für alle Bügel dasselbe Material definiert ist, ist die resultierende Spannung infolge Torsion in jedem Bügelschenkel konstant. Dann gilt:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

wobei a_sw,T die Gesamtfläche der torsionsabtragenden Bügel je Längeneinheit ist.

Falls einzelne Bügel unterschiedliche Materialien aufweisen, muss die axiale Steifigkeit der einzelnen Stäbe berücksichtigt werden.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . Anzahl der Bewehrungsschenkel (Bewehrungsgruppen), die Torsion abtragen

F_si,T .  .  . Kraft in der i-ten Bewehrungsgruppe infolge Torsion je Längeneinheit

a_si,T .  .  . Querschnittsfläche der torsionsabtragenden Querkraftbewehrung je Längeneinheit 

E_si,T .  .  . Elastizitätsmodul der i-ten torsionsabtragenden Bewehrungsgruppe

ε_sw,T .  .  Dehnung in der Bewehrung infolge Torsion

Die resultierende Spannung in jedem Bügel infolge der einwirkenden Torsion wird berechnet als:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

V+T Interaktion

Die Berechnung der Spannungen in den Bügeln infolge Querkraft und Torsion ergibt sich als Überlagerung der Spannungen aus den einzelnen Lastkomponenten.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Resultierende Kraft in der i-ten Bewehrung:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Interaktion von Querkraft, Torsion und Biegung für die Längsbewehrung

Bestimmung der Kraft in jeder Längsbewehrung infolge Normalkraft und Biegemoment

Die Anwendung RCS wird verwendet, um die Querschnittsreaktion infolge der Kombination aus Normalkraft und Biegemoment zu berechnen und die Spannung und Dehnung in den einzelnen Längsstäben und der Spannbewehrung zu ermitteln.

Bestimmung der Kraft in der einzelnen Längsbewehrung infolge Querkraft

Der Zuwachs der Zugkraft in der Längsbewehrung ΔF_td infolge der Querkraft hängt von der Geometrie des Strebe-und-Zugband-Modells ab. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  Zuwachs der Zugkraft in der Längsbewehrung infolge der Querkraft

V_ed .  .  .  . Bemessungswert der im betrachteten Schnitt wirkenden Querkraft

θ .  .  .  .  . der Winkel zwischen der Betondruckstrebe und der Bauteilachse 

α .  .  .  .  . der Winkel zwischen der Querkraftbewehrung und der Bauteilachse

Für die im Zuggurt befindliche Längsbewehrung darf die resultierende Kraft F_t in der Längsbewehrung infolge der Kombination N+M+V nicht größer sein als M_Ed,max/z (wobei M_Ed,max das maximale Moment entlang des Trägers ist)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

Die Kraft ΔF_td wird von allen verbundenen Spanngliedern und der Bewehrung übertragen, die sich in dem Teil des Querschnitts befinden, der die Querkraft aufnimmt (der Steg bei einem I-Profil). Auf der sicheren Seite liegend kann der Beitrag der Spannbewehrung mit 0 angesetzt werden. Die Berechnungsannahme lautet, dass der Zuwachs der axialen Dehnung der einzelnen querkrafttragenden Längsbewehrung konstant ist (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). Die Herleitung gilt für ein bilineares Bewehrungsarbeitsdiagramm mit einem horizontalen plastischen Ast. Bei einem Diagramm mit einem geneigten Ast muss die Berechnung angepasst werden.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . Dehnungszuwachs in der Längsbewehrung infolge der Querkraft

n_s,V .  .  .  . Anzahl der querkrafttragenden Längsbewehrungen

A_sl,i,V .  .  . Fläche der i-ten querkrafttragenden Längsbewehrung

E_sl,i,V .  .  . Elastizitätsmodul der i-ten querkrafttragenden Längsbewehrung

n_p,V .  .  .  . Anzahl der querkrafttragenden Spannglieder

A_pl,i,V .  .  . Fläche des i-ten querkrafttragenden Spannglieds

E_pl,i,V .  .  . Elastizitätsmodul des i-ten querkrafttragenden Spannglieds

Nach der Bestimmung des Kraftwerts ΔF_td kann die mittlere Bewehrungsdehnung Δε_V berechnet werden.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Spannungszuwachs in den einzelnen Längsstäben infolge der einwirkenden Querkraft:

für Bewehrungsstäbe \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

für Spannglieder \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Bestimmung der Kraft in jeder Längsbewehrung infolge Torsion

Es ist sehr wichtig, die Längsbewehrung zu bestimmen, die die Torsion aufnimmt. Dies ist die Bewehrung, die sich in einem torsionsabtragenden äquivalenten dünnwandigen Querschnitt befindet.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

Gemäß EN 1992-1-1 müssen für die torsionsabtragenden Längsbewehrungen mehrere Bedingungen erfüllt sein:

- die Bewehrung sollte gleichmäßig über die Länge z_i verteilt sein; bei kleinen Querschnitten darf die Bewehrung jedoch in den Ecken des Bügels konzentriert werden

- der maximale Achsabstand der Längsbewehrung beträgt 350 mm

Der Beitrag der Spannbewehrung wird gemäß EN 1992-1-1 nicht berücksichtigt.

Die Norm EN 1992-2 gibt an, dass der Beitrag der Spannbewehrung berücksichtigt werden darf, jedoch darf der maximale Spannungszuwachs in der Spannbewehrung Δσ_p ≤ 500 MPa nicht überschreiten. Die Formel kann dann wie folgt angepasst werden:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Da der Zuwachs der Spannbewehrung berücksichtigt werden kann, liegt dies jedoch im Ermessen des Anwenders. Derzeit wird die Spannbewehrung in der Berechnung nicht berücksichtigt. 

Die Berechnungsannahme lautet, dass der Zuwachs der axialen Dehnung jeder querkrafttragenden Längsbewehrung konstant ist (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). Die Herleitung gilt für ein bilineares Bewehrungsarbeitsdiagramm mit einem horizontalen plastischen Ast. Bei einem Diagramm mit einem ansteigenden Ast muss die Berechnung angepasst werden.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . der Bemessungswert des im betrachteten Schnitt einwirkenden Torsionsmoments

θ .  .  .  .  . Neigung der Druckdiagonalen gegenüber der Längsachse des Trägers (identisch mit der für die Querkraft)

u_k .  .  .  .  Umfang der Fläche A_k

A_f .  .  .  .  die durch die Mittellinie des Ersatz-Hohlquerschnitts definierte Fläche

n_s,T .  .  .  .Anzahl der torsionsabtragenden Längsbewehrungen aus Beton

A_sl,i,T .  .  . Fläche der i-ten torsionsabtragenden Längsbewehrung aus Beton

Δε_T .  .  .  .die Änderung der Längsbewehrungsverformung infolge des Torsionsmoments

Δσ_s,i,T .  .  Spannungsänderung in der i-ten Längsbewehrung infolge des Torsionsmoments

E_sl,i,T .  .  . Elastizitätsmodul der i-ten torsionsabtragenden Längsbewehrung aus Beton

Spannungszuwachs in jeder Längsbewehrung infolge des einwirkenden Torsionsmoments:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]

Spannungsbegrenzungsnachweis

Der Nachweis basiert auf allgemeinen Annahmen, wobei zwei Zustände des Querschnitts untersucht werden: der ungerissene Querschnitt (die Zugfestigkeit des Betons wird nicht vernachlässigt) und der vollständig gerissene Querschnitt (die Zugfestigkeit des Betons wird vernachlässigt). Die Lösung mit vernachlässigter Betonzugfestigkeit wird unter den Annahmen von Artikel 7.1 (2) EN 1992-1-1 betrachtet.

Bei der Berechnung der Spannung und Durchbiegung wird von einem ungerissenen Querschnitt ausgegangen, wenn die Biegezugspannung nicht überschreitet f_ct, eff. Der Wert von f_ct, eff kann als f_ctm oder f_ctm,fl angesetzt werden. Der f_ctm-Wert wird bei der Berechnung der Rissbreite und Zugverfestigung verwendet.

Im Rahmen dieses Nachweises werden vier grundlegende Fälle hinsichtlich der Spannungsbegrenzung behandelt.

• 7.2 (2) Die Druckspannung in Bauteilen, die Umgebungsbedingungen der Expositionsklassen XD, XF und XS ausgesetzt sind, ist zu begrenzen:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{1}}=0,6\]

• 7.2 (3) Die Spannung im Beton unter quasi-ständigen Lasten ist zu begrenzen:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{2}}=0,45\]

• 7.2 (5) Die Zugspannungen in der Bewehrung unter der charakteristischen Lastkombination sind zu begrenzen:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{3}}=0,8\]

• 7.2 (5) Wenn die Spannung durch eine aufgezwungene Verformung verursacht wird, sollte die Zugspannung nicht überschreiten:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{4}}=1\]

Die Werte k₁, k₂, k₃, k₄ für die Anwendung in einem Land können dem jeweiligen Nationalen Anhang entnommen werden. Die empfohlenen Werte sind 0,8; 1 bzw. 0,75, charakteristische Streckgrenze der Bewehrung, f_ck charakteristische Zylinderdruckfestigkeit f_ck bestimmt nach 28 Tagen.

Risse

Die Entstehung von Rissen

Ein charakteristisches Merkmal von Stahlbetonstruktur unter Biege- oder Zugbeanspruchung ist das Auftreten von Rissversagen an Stellen, an denen die Zugspannung im Beton die Zugfestigkeit des Betons überschreitet. Für die Dauerhaftigkeit der Struktur sowie für die Ästhetik der Struktur ist es wichtig sicherzustellen, dass die entstehenden Risse so klein wie möglich sind. Die Berechnung der Rissbreiten sowie die für die verschiedenen Expositionsklassen zulässigen Maximalbreiten sind in EN 1992-1-1, Kapitel 7.3 angegeben.

Im ersten Schritt der Berechnung wird bestimmt, ob der Querschnitt gerissen ist oder nicht. Die Rissbreite selbst wird stets aus der quasi-ständigen oder häufigen Lastkombination berechnet (abhängig vom nationalen Anhang), die Rissbildung muss jedoch aus allen angegebenen GZG-Kombinationen überprüft werden. Dabei können zwei Fälle auftreten:

• Die maximale Zugspannung in den Betonrandfasern überschreitet aus keiner Lastkombination (quasi-ständig M_E,qp, häufig M_E,fr oder charakteristisch M_E,k) die Zugfestigkeit des Betons, und daher wird der Querschnitt als ungerissen betrachtet.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Wenn für eine der Kombinationen (quasi-ständig, häufig oder charakteristisch) Risse entstehen, d. h. das aus der betrachteten Lastkombination resultierende Biegemoment größer als das kritische Moment M_cr ist, gilt der Querschnitt aus dieser Lastkombination als gerissen, und die Eigenschaften des gerissenen Querschnitts sowie die Rissbreite müssen berechnet werden.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   das Biegemoment aus einer GZG-Lastkombination. Es kann sich dabei um M_E,qp, M_E,fr oder M_E,k handeln. 

f_ct,ef   .   .  die Zugfestigkeit des Betons zum betrachteten Zeitpunkt. Ist der Beton älter als 28 Tage, wird eine Festigkeit gleich f_ctm angesetzt.

Berechnung der Rissbreite

Bei einem biegebeanspruchten Bauteil wird die Rissbildung in 2 Phänomene unterteilt:

• Rissbildungsphase (Phase Nr. 2 in Abb. 1)
• Abgeschlossenes Rissbild (Phase Nr. 3 in Abb. 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Rissbildungsphase

Dies ist der anfängliche Teil des Prozesses, in dem einzelne Risse noch allmählich entstehen, bis der gesamte Zugbereich des Bauteils von Rissen betroffen ist, die annähernd gleichmäßig über die Länge des Bauteils verteilt sind. Der erste Riss entsteht, wenn die Kraft im zugbeanspruchten Streifen den Wert der kritischen Kraft N_r (kritische Zugkraft, siehe unten) überschreitet, und weitere Risse entwickeln sich bis zu einem Belastungsniveau, bei dem die Kraft im zugbeanspruchten Streifen etwa 1,3N_cr beträgt (Phase Nr. 2 in Abb. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

Die entstehenden Risse werden in 2 Typen unterteilt – Primärrisse und Sekundärrisse. Primärrisse entstehen in den Zugrandfasern, wenn die effektive Zugfestigkeit des Betons (f_ct,eff) erreicht wird. Primärrisse stellen das erste Rissbild dar (Abb. 2). Kürzere Sekundärrisse bilden sich dann zwischen den Primärrissen (Abb. 3). Bei Spannungen, die etwa 1,2 bis 1,5 σ_sr entsprechen (üblicherweise wird ein Mittelwert von 1,3 σ_sr angesetzt, wobei σ_sr die Spannung in der Bewehrung bei der Bildung von Primärrissen in der Zugzone des Betons ist), ist auch die Entwicklung der Sekundärrisse abgeschlossen.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

Die Rissbreite in der Rissbildungsphase kann wie folgt berechnet werden:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Phase des abgeschlossenen Rissbilds

Nach Überschreiten von etwa dem 1,3-fachen der kritischen Kraft in der Zugzone entstehen keine neuen Risse mehr, die Anzahl der Risse im Bauteil stabilisiert sich, und mit weiterer Belastung nimmt nur noch die Breite der vorhandenen Risse zu (Phase Nr. 3 in Abb. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

Die Rissbreite bei abgeschlossenem Rissbild kann wie folgt berechnet werden:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Kritische Zugkraft

Die Berechnung basiert auf dem Tension Chord Model (TCM). Die grundlegende Überlegung besteht darin, die Grenztragfähigkeit eines Stahlbetonstreifens zu berechnen, der aus einem Bewehrungsstab mit der Fläche A_s,eff besteht, der von einer effektiven Zugbetonfläche A_c,eff umgeben ist, die in der Lage ist, die Zugspannung aufzunehmen, bis die Zugfestigkeit f_ct,eff überschritten wird (normalerweise wird f_ctm angesetzt). Unter der Annahme eines vollständigen Verbunds zwischen Bewehrung und Beton kann davon ausgegangen werden, dass bis zum Auftreten des ersten Risses die Verformung der Bewehrung und des umgebenden Betons identisch ist. Die maximale Kraft im Zugstreifen unmittelbar vor dem ersten Riss N_r kann dann bestimmt werden:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Durch Einführung der Substitution

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

ergibt sich:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Unmittelbar nach der Bildung des ersten Risses wird die gesamte Kraft N_r von der Bewehrung übertragen, und die Spannung in der Bewehrung, die durch den gerade entstandenen Riss verläuft, kann wie folgt berechnet werden:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Rissbreitenberechnung nach EC 1992-1-1

Zur Berechnung der Rissbreite an Stahlbetonbauteilen wird folgende Gleichung verwendet:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   maximaler Rissabstand

ε_sm  .   .   .   .   die mittlere Dehnung der Bewehrung aus der Lastkombination, einschließlich der Auswirkungen der Zugverfestigung.

ε_cm  .   .   .   .   mittlere Dehnung des Betons zwischen den Rissen

Berechnung der Dehnungsdifferenz

Die Differenz der Dehnung von Bewehrung und Beton zwischen den Rissen kann aus folgender Gleichung ermittelt werden:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   die Spannung in der Bewehrung im Riss aus der betrachteten Lastkombination

k_t      .   .   .   .   ein empirischer Koeffizient, der die mittlere Dehnung berücksichtigt und von der Lastdauer abhängt. Für die Kurzzeitanalyse kann er den Wert 0,6 annehmen. Für die Langzeitanalyse wird die Reduzierung der Steifigkeit des Verbundquerschnitts auf etwa 70 % berücksichtigt, sodass sein Wert 0,4 beträgt, was die zeitabhängige Degradation des Verbunds zwischen Bewehrung und Beton einschließt.

α_e     .   .   .   . das effektive Verhältnis der Elastizitätsmoduli

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   effektiver Bewehrungsgrad

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   die effektive Fläche des zugbeanspruchten Betons um die Bewehrung (Bestimmung von A_c,eff siehe unten)

A_s,_eff .   .   .   .   die Fläche der verbundenen Bewehrung, die sich im Bereich von A_c,_eff befindet

A_p´    .   .   .   .   ist die Fläche der vor- oder nachgespannten Spannglieder innerhalb von A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   ist das angepasste Verhältnis der Verbundfestigkeit unter Berücksichtigung der unterschiedlichen Durchmesser von Spann- und Bewehrungsstahl:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . das Verhältnis der Verbundfestigkeit von Spann- und Bewehrungsstahl (Tabelle 6.2)

ϕ_s   .   .  größter Stabdurchmesser des Bewehrungsstahls

ϕ_p   .   .  der Durchmesser oder äquivalente Durchmesser des Spannstahls

Bei Bündeln ist A_p die Fläche der Bewehrung im Spannglied

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Für einzelne Sieben-Draht-Litzen, bei denen φ_wire der Drahtdurchmesser ist

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Für einzelne Drei-Draht-Litzen, bei denen φ_wire der Drahtdurchmesser ist

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Wenn zur Rissverhinderung ausschließlich Spannbewehrung verwendet wird, ist Folgendes zu berücksichtigen.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

Bei vorgespannten Bauteilen ist eine Mindestfläche an verbundener Bewehrung nicht erforderlich, solange unter der charakteristischen Lastkombination und dem charakteristischen Wert der Vorspannkraft die Zugspannung in keiner Faser größer ist als die Zugfestigkeit des Betons, f_ct,eff. (siehe EN 1992-1-1 Abschn. 7.3.2 für weitere Einzelheiten)

Die effektive Fläche des zugbeanspruchten Betons

Ein wichtiger, aber gleichzeitig der schwierigste Schritt der Berechnung ist die Bestimmung der effektiven Fläche des zugbeanspruchten Betons um die Bewehrung. Sowohl der Eurocode als auch der Model Code betrachten einfache Belastungsfälle, bei denen das Stahlbetonbauteil durch einachsige Biegung oder Zug beansprucht wird. Der Wert der effektiven Höhe wird wie folgt bestimmt:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

In der Regel ist der Wert h_c,eff = 2,5(h-d) maßgebend. Für zugbeanspruchte Bauteile ist die Obergrenze h/2, während sie für biegebeanspruchte Bauteile (h-x)/3 beträgt. Die Fläche A_c,eff ist jedoch auch durch die aus Gleichung 5(c+ϕ/2) bestimmte Breite begrenzt. Wenn der Abstand der Bewehrungsstäbe größer als 5(c+ϕ/2) ist, wird für die einzelnen Stäbe die effektive Fläche des zugbeanspruchten Betons mit der Breite 5(c+ϕ/2) angesetzt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Maximaler Rissabstand

Bei der Berechnung des maximalen Rissabstands s_r,max können zwei Fälle auftreten:

• Der Achsabstand der verbundenen Bewehrung überschreitet nicht den Abstand 5(c+ϕ/2) – Abb. 9a
• Der Achsabstand der verbundenen Bewehrung ist größer als 5(c+ϕ/2) – Abb. 9b

Die Berechnung des maximalen Rissabstands s_r,max für den Fall, dass die Achsabstände der Bewehrung den Wert 5(c+ϕ/2) nicht überschreiten, ist wie folgt definiert:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   Betondeckungswert in mm. Da der Betondeckungswert für die Randbewehrung zu den horizontalen und vertikalen Rändern unterschiedlich sein kann, wird empfohlen, den maximalen Betondeckungswert der betrachteten Bewehrung anzusetzen.

ϕ     .   .   .   .   Durchmesser der verbundenen Bewehrung. Bei unterschiedlichen Bewehrungsdurchmessern ist der äquivalente Durchmesser gemäß EN 1992-1-1 Gleichung 7.12 zu berechnen.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . ist ein Koeffizient, der die Verbundeigenschaften der verbundenen Bewehrung berücksichtigt

• k₁ = 0,8 für Rippenstäbe
• k₁ = 1,6 für Stäbe mit effektiv glatter Oberfläche (z. B. Spannglieder)

k₂ .   .   .   . ist ein Koeffizient, der die Dehnungsverteilung berücksichtigt

• k₂ = 1,0 für Biegung
• k₂ = 0,5 für reinen Zug

Für Fälle mit außermittiger Zugbeanspruchung oder für lokale Bereiche sollten Zwischenwerte von k₂ verwendet werden, die aus folgender Beziehung berechnet werden können:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  Koeffizient, der die Länge des Bereichs nahe eines Risses ausdrückt, in dem der Verbund zwischen Beton und Bewehrung unterbrochen ist. Der empfohlene Grundwert des EC k₃ = 3,4 kann durch den Nationalen Anhang geändert werden. 

k₄      .   .   .   .   Koeffizient, der das Verhältnis zwischen Verbund- und Zugfestigkeit des Betons ausdrückt. Der empfohlene Grundwert des EC k4 = 0,425 kann durch den Nationalen Anhang angepasst werden.

Die Berechnung des maximalen Rissabstands s_r,max für den Fall, dass die Achsabstände der Bewehrung den Wert 5(c+ϕ/2) überschreiten, ist wie folgt definiert:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

Die maximalen Rissabstandswerte gemäß der Gleichung

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

sollten stets größer sein als die durch die Gleichung

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

ermittelten Werte; andernfalls wird empfohlen, den größeren Abstand aus den obigen Gleichungen anzusetzen. Die Gleichung für die Dehnung im Beton/in der Bewehrung wird für den Fall großer Achsabstände der Bewehrung nicht geändert. In Bereichen mit kontrollierten Rissbreiten sollte der Achsabstand der einzelnen Bewehrungsstäbe nicht größer als 5(c+ϕ/2) sein.

In RCS implementierte Rissbreitenberechnung

Bestimmung der effektiven Fläche A_c,eff

Da es nicht ohne Weiteres bestimmbar ist, welche Bewehrung als längsverlaufende risswiderstehende Bewehrung betrachtet werden kann, wird A_c,eff mithilfe des folgenden iterativen Verfahrens bestimmt.

• Aus der gesamten auf Zug beanspruchten Bewehrung wird der Zugkraftmittelpunkt C_g,s,1 bestimmt. Die statische Höhe der Bewehrung d ist der Abstand zwischen C_g,s und der am stärksten gedrückten Betonrandfaser, berechnet in Richtung des resultierenden Biegemoments. Gleichzeitig werden die Lage der Nulllinie und die Höhe der Druckzone x für den gerissenen Querschnitt bestimmt. Damit kann die effektive Höhe h_c,eff bestimmt werden:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Durch Ausschluss aller Bewehrungsstäbe, die außerhalb von A_c,eff,1 liegen, wird der neue Schwerpunkt der Bewehrung C_g,s,2 bestimmt, zusammen mit der neuen statischen Höhe der Bewehrung d; die effektive Höhe h_c,eff wird auf dieselbe Weise wie im vorherigen Schritt bestimmt, jedoch mit geänderten Eingangswerten.

Es wird erneut überprüft, ob die gesamte betrachtete zugbeanspruchte Bewehrung in A_c,eff,2 liegt. Ist diese Bedingung erfüllt, kann die Iteration abgebrochen werden, und die Werte h_c,eff,2, A_c,eff,2 und A_s,eff,2 werden als Ergebniswerte in IDEA StatiCa RCS angezeigt.

Mögliche Fälle der Rissbreitenberechnung

Bei der Berechnung von Rissbreiten können grundsätzlich drei Fälle auftreten:

• Die Zugbewehrung liegt im Bereich A_c,eff, wobei der Achsabstand der einzelnen Bewehrungsstäbe kleiner als 5(c+ϕ/2) ist. Dann werden für die Berechnung folgende Definitionen verwendet:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Die Zugbewehrung liegt in A_c,eff, wobei der Achsabstand der einzelnen Bewehrungsstäbe den Abstand 5(c+ϕ/2) überschreitet. Dann werden für die Berechnung folgende Definitionen verwendet:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• Die Zugbewehrung liegt nicht in A_c,eff (dies kann beispielsweise durch eine große Betondeckung verursacht werden). 

In diesem Fall wäre es nicht möglich, die Rissbreite zu berechnen. Daher wird die Berechnung der effektiven Höhe h_c,eff wie folgt geändert:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Gleichzeitig wird folgende Nichtkonformität angezeigt:

Die effektive Zugbetonfläche um die Bewehrung oder Spannglieder mit der Tiefe h_c,eff, wobei h_c,eff der kleinere Wert aus 2,5(h – d) oder h/2 ist. Unter Berücksichtigung des Wertes (h – x)/3 liegt die Bewehrung außerhalb der effektiven Zugbetonfläche, sodass eine Berechnung der Rissbreite gemäß Abschnitt 7.3.4 nicht möglich wäre.

N-M-κ-Diagramm

Das N-M-κ-Diagramm zeigt die Krümmung (Biegesteifigkeit) eines Elements als Funktion des aufgebrachten Biegemoments und der Normalkraft. Es gibt drei Arten von N-M-κ-Diagrammen:
- kurzfristig,
- langfristig
- GZT.
Diese Diagramme unterscheiden sich in den für die Berechnung verwendeten Spannung-Dehnung-Diagrammen (nachfolgend erläutert).

Die Steifigkeitsberechnung für ausgewählte charakteristische Zustände des Querschnitts wird zur Bestimmung des N-M-κ-Diagramms verwendet. Im Allgemeinen kann es sich um einen beliebigen Querschnittszustand handeln, aus dem die Reaktion berechnet und aus dem die Biegesteifigkeit und Krümmung abgeleitet werden. In IDEA RCS werden vier charakteristische Punkte berücksichtigt (M_r, M_c, M_s und M_u)

M_r - das Rissmoment 

Der Querschnitt wird mit einer benutzerdefinierten Normalkraft beaufschlagt, und die Dehnungsebene beginnt sich zu drehen (in Richtung des angegebenen Biegemoments), bis die Betonzugfestigkeit in einer Betonfaser erreicht wird (für die Betongüte C30/37 gilt f_ctm = 2,896 MPa). Für die Berechnung wird ein bilineares Spannung-Dehnung-Diagramm mit einem horizontalen plastischen Ast sowohl für die Bewehrung als auch für den Beton verwendet.

M_c - das Biegemoment beim Erreichen der Betondruckfestigkeit

Aus dem vorherigen Schritt wird die am stärksten ausgenutzte Betonfaser auf Druck ermittelt. Für diese Faser wird die Dehnung bei der Betongrenzfestigkeit (f_ck/E_cm für kurzfristig, f_ck/E_ceff für langfristig und f_cd/E_cm für das GZT-Diagramm) festgelegt. Basierend auf der definierten Normalkraft und der Richtung des Biegemoments wird der Iterationsprozess zur Ermittlung der Dehnungsebene gestartet, um ein Gleichgewicht zwischen der Reaktion des Querschnitts und der definierten Normalkraft zu finden. Für die Berechnung wird ein bilineares Spannung-Dehnung-Diagramm mit einem horizontalen plastischen Ast sowohl für die Bewehrung als auch für den Beton verwendet.

M_s - das Biegemoment beim Erreichen der Streckgrenze im am stärksten ausgenutzte Bewehrungsstab

Ein weiterer charakteristischer Punkt des N-M-κ-Diagramms ist der Spannungszustand des Querschnitts, wenn die Streckgrenze im am stärksten ausgenutzte Bewehrungsstab erreicht wird (Bewehrungsdehnung gleich f_yk/E_s für die kurz- und langfristigen Diagramme, f_yd/E_s für das GZT-Diagramm). Der Iterationsprozess findet ein Gleichgewicht der Normalkräfte im Querschnitt, indem die Dehnungsebene um den durch die Position des am stärksten ausgenutzte Bewehrungsstabs definierten Punkt gedreht wird. Für die Berechnung wird ein bilineares Spannung-Dehnung-Diagramm mit einem horizontalen plastischen Ast sowohl für die Bewehrung als auch für den Beton verwendet.

M_u - das Biegemoment im Grenzzustand der Tragfähigkeit

Dies ist die maximale Biegetragfähigkeit eines Querschnitts, wenn der Querschnitt mit der definierten Bemessungsnormalkraft N_ed beansprucht wird. Für die Berechnung der Querschnittstragfähigkeit wird angenommen, dass die Druckfestigkeit in der am stärksten ausgenutzte Betonfaser und die Zugfestigkeit im am stärksten ausgenutzte Bewehrungsstab erreicht werden (maximale Dehnung für Beton ε_cu = 0,1 und für Bewehrung ε_s,max = 0,5). Für die Berechnung wird ein bilineares Spannung-Dehnung-Diagramm mit einem horizontalen plastischen Ast für die Bewehrung und ein Parabel-Rechteck-Diagramm für den Beton verwendet.

Die resultierende Steifigkeit und Krümmung infolge der benutzerdefinierten Kombination aus Normalkraft und Biegemoment (Md) werden dann mittels linearer Interpolation der einzelnen charakteristischen Punkte des N-M-κ-Diagramms berechnet.

Berechnung von Steifigkeiten und Krümmungen

Die Steifigkeiten und Krümmungen für jeden Querschnittsspannungszustand (M_r, M_c, M_s oder M_u) werden direkt aus der Rotation der Dehnungsebene berechnet. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    axiale Steifigkeit des Elements

N . .   .   . die angegebene Normalkraft

ε_x .   .   .  axiale Dehnung im Schwerpunkt des Betonquerschnitts

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   Biegesteifigkeit des Elements

M .   .   .    das berechnete Biegemoment M_r, M_c, M_s oder M_u

κ .   .   .   . die Krümmung des Elements, berechnet als Tangens des Winkels zwischen der Dehnungsebene und der Längsachse des Elements

Praktisches Beispiel

Ein Betonquerschnitt (Betongüte C30/37) ist mit ϕ32-Bewehrung (Güte B500B) bewehrt. Die definierte quasi-ständige Kombination ist N = -730 kN und M_y = 557 kNm.

Die Dehnungsebene für den charakteristischen Punkt M_s wird von IDEA RCS wie folgt bestimmt:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

Für die Berechnung verwendete Spannung-Dehnung-Diagramme

Bewehrung - M_r, M_c, M_s und M_u

Beton - M_r, M_c, M_s

Beton - M_u

Literatur

[1] Bradáč Betonové konstrukce (concrete structures), 1.part: Dimensioning of members from reinforced and plainconcrete, EXPERT Ostrava, 1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurocode 2: Design of concrete structures - Part 1-1: General rules and rules for buildings, inc. change NA ed. A (2007) and revision 1 (2009)

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, 2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I, Vysoké učení technické v Brně, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 1999

[6] Vondráček, R. Numerical Methods in Nonlinear Concrete Design, Diplomová práce, ČVUT, Praha, 2000

[7] Zich, M. a kolektiv Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů, on-line book http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/, Verlag Dashöfer, 2010