IDEA StatiCa RCS – Dimensionamento estrutural de elementos de betão 1D

Dimensionamento de secções de betão armado de acordo com EN 1992-1-1 e EN 1992-2.

Flexão
Corte
Torção
Interação
Verificação da limitação de tensões
Controlo da fendilhação
Diagrama N-M-κ
Bibliografia

Flexão

Métodos para verificação da capacidade seccional

Dois métodos bem conhecidos podem ser utilizados para verificar o estado limite último de elementos de betão 1D. O primeiro fornece a resistência última da secção transversal na forma de uma superfície de interação ou de um diagrama de interação (no caso de momento fletor numa direção). A capacidade da secção transversal pode ser determinada como a razão entre as forças internas atuantes e as forças do estado limite. O segundo consiste em encontrar o equilíbrio numa secção transversal, onde se procura o comportamento real da secção carregada, a utilização dos materiais em termos de tensões e a identificação das vulnerabilidades da secção.

Hipóteses gerais de dimensionamento e hipóteses de cálculo para o Estado Limite Último 

1. A deformação ε na armadura e no betão deve ser assumida como diretamente proporcional à distância ao eixo neutro (as secções planas permanecem planas).
2. A interação entre a armadura e o betão é assegurada pela aderência entre betão e armadura sem deslizamento (a deformação ε da armadura é igual à deformação das fibras adjacentes de betão).
3. A resistência à tração do betão é desprezada (todas as tensões de tração são transmitidas pela armadura).
4. As tensões de compressão no betão na zona comprimida são calculadas em função da deformação obtida a partir dos diagramas tensão-deformação.
5. As tensões na armadura são calculadas em função da deformação obtida a partir dos diagramas tensão-deformação.
6. A deformação de compressão do betão com limite de deformação última ε_cu2 (diagrama parábola-retângulo para betão sob compressão) e ε_cu3 (relação tensão-deformação bilinear), [2].
7. A deformação de compressão da armadura não tem limitação no caso do ramo plástico superior horizontal; no caso do ramo plástico superior inclinado, a deformação é limitada a ε_ud,[2].
8. Considera-se que ocorre estado limite quando o estado de pelo menos um dos materiais ultrapassa a deformação última do estado limite (se εu não for limitado, o betão comprimido é condicionante).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Diagrama de interação

A primeira opção consiste em verificar a secção transversal através de uma superfície de interação (ou diagrama de interação). É fornecida uma explicação com base num exemplo das superfícies de interação para a secção quadrada com armadura do exemplo apresentado na figura abaixo. Na superfície de interação estão localizados os pontos que definem o estado limite último da secção transversal em análise. A superfície de interação é traçada a partir dos pontos (N, My, Mz), que são determinados pela integração das tensões na secção transversal, a qual atingiu a deformação última do estado limite num dos materiais. Para uma interação 3D, a superfície pode ser derivada de um diagrama de interação 2D, que é uma curva fechada correspondente à tensão de um eixo neutro em rotação constante.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

No caso de uma secção transversal simétrica em relação ao eixo y, o diagrama de interação é simétrico em torno do plano N-M_y. De forma idêntica, no caso de uma secção transversal simétrica em relação ao eixo z, o diagrama de interação é simétrico em torno do plano N-M_z. A secção com armadura unilateral introduz uma forma achatada no diagrama de interação.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

Os pontos que definem o estado limite último são obtidos por integração das tensões.  A figura abaixo apresenta as deformações no estado limite último.

Distribuições de deformações no estado limite último (retirado de [2]).

O diagrama de interação mostra a rotura da secção transversal sob força normal e momentos fletores. [1]

Considerando o problema do diagrama 2D (curva fechada sobre a superfície de interação), podemos concluir que o plano de deformações passa pelo eixo neutro e pelo ponto crítico [y, z, ε], considerado como ponto crítico R.  O ponto [y, z] define um ponto na secção transversal com o valor de deformação ε no estado limite último. A inclinação do eixo neutro é constante para todos os pontos do diagrama 2D.

Caso a tensão de compressão no betão seja condicionante para o dimensionamento, o ponto R coincide com a fibra de betão comprimida mais afastada ou com o ponto limite C. No entanto, isto só pode ser aplicado se a secção for constituída por um único tipo de betão — não sendo válido para uma secção transversal mista.   

No caso em que a tensão de tração na armadura é condicionante para o dimensionamento (a deformação ε_ud é ultrapassada no estado limite último numa ou mais barras), deve ser verificada a condição de que, para o plano de deformações considerado, o valor ε_ud não é ultrapassado em nenhuma outra barra.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

A figura acima mostra que o diagrama pode ser dividido em duas partes: a parte em que a rotura é causada pela força de tração e a parte que rompe por uma força de compressão. Os pontos limite correspondem ao caso acima, onde também se pode observar a inclinação extrema do plano de deformações. Ao traçar um diagrama de interação, a inclinação do plano de deformações da secção transversal varia neste intervalo, enquanto se procura o ponto R (ver acima). Com base nesse plano definido, realiza-se a integração para obter a tensão no estado limite último.

Verificação de secção transversal sujeita a força axial e momento fletor

A verificação de uma secção transversal sujeita a força axial e momento fletor consiste em demonstrar que as tensões verificadas (combinação N_d, M_yd, M_zd) se encontram dentro ou sobre a superfície de interação. Diferentes métodos podem realizar esta verificação. O exemplo seguinte demonstra a verificação de uma secção transversal retangular sujeita a forças N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Método NuMuMu

Para definir a resistência de uma secção transversal, assume-se variações proporcionais em todas as componentes das forças internas (a excentricidade da força normal permanece constante) até que a superfície de interação seja desenvolvida. A variação das forças internas envolvidas pode ser interpretada como um movimento ao longo de uma reta que liga a origem do sistema de coordenadas (0,0,0) e o ponto definido pelas forças internas (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). As duas interseções desta reta com a superfície de interação, que podem ser encontradas, representam dois conjuntos de forças no estado limite último. Em cada interseção, o programa determina três forças no estado limite: o valor de cálculo da resistência à força axial N_Rd e os correspondentes momentos resistentes de cálculo M_Rdy, M_Rdz.

Método  NuMM

Para definir a resistência da secção transversal, assume-se força normal constante (igual à força normal de cálculo atuante) e variações proporcionais nos momentos fletores até que a superfície de interação seja desenvolvida. A variação das forças internas envolvidas pode ser interpretada como um movimento num plano horizontal ao longo da reta que liga o ponto (N_Ed,0,0) e o  ponto definido pelas forças internas atuantes (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). As duas interseções desta reta com a superfície de interação, que podem ser encontradas, representam dois conjuntos de forças no estado limite último. Em cada interseção, o programa determina três forças no estado limite: os momentos resistentes de cálculo M_Rdy, M_Rdz e a (correspondente) força normal de cálculo atuante N_Ed.

Método  NMuMu

Para definir a resistência da secção transversal, assume-se força normal constante (igual à força normal de cálculo atuante) e variações proporcionais nos momentos fletores até que a superfície de interação seja desenvolvida. A variação das forças internas envolvidas pode ser interpretada como um movimento num plano horizontal ao longo da reta que liga o ponto (N_Ed,0,0) e o ponto definido pelas forças internas atuantes (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). As duas interseções desta reta com a superfície de interação, que podem ser encontradas, representam dois conjuntos de forças no estado limite último. Em cada interseção, o programa determina três forças no estado limite: os momentos resistentes de cálculo M_Rdy, M_Rdz, e a (correspondente) força normal de cálculo atuante N_Ed.

Determinação da resposta da secção

Outra possibilidade de verificar a secção transversal consiste em determinar a resposta da secção transversal (ou seja, a distribuição de deformações e tensões devida às forças internas atuantes). Este método é também conhecido como o método da deformação limite. O nível das tensões atuantes em cada fibra (no caso de flexão plana, em cada camada) em cada barra de armadura é calculado em função da deformação do diagrama tensão-deformação do material.
A determinação da resposta da secção transversal é calculada utilizando o método numérico especificado em [6]. O princípio consiste no incremento gradual do carregamento da secção pelas componentes desequilibradas das forças não transferidas. Estas são obtidas pela integração das tensões sobre a secção utilizando os diagramas tensão-deformação. Se o valor de tensão puder ser encontrado para a deformação no diagrama tensão-deformação, ver figura abaixo (a), a tensão calculada está correta assumindo material com comportamento linear elástico. Nos casos (b) e (c), a tensão para um cálculo linear atinge valores irrealistas, e parte (b) ou o valor total (c) não pode ser transmitido pelo material. Integrando as tensões não transferidas obtêm-se as forças internas não transferidas, cujas resultantes devem ser adicionadas às forças internas das ações variáveis. 

Tensões não transferidas nos diagramas tensão-deformação. [4]

Forças internas não transferidas. [4]

Este método de cálculo requer a utilização de métodos numéricos para integrar as tensões sobre a área da secção transversal e para a análise não linear das equações de equilíbrio na secção. A iteração é terminada quando os critérios de convergência são satisfeitos.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

onde 

F_e é o carregamento da secção,

F_i é a resposta da secção (forças internas calculadas com base no plano de deformações).

Se a é o valor aproximado e b é o valor exato (verdadeiro), então o desvio absoluto é dado pela seguinte equação.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

O desvio relativo é dado pela seguinte fórmula:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

Na maioria dos programas, é possível definir estes critérios de convergência (os valores predefinidos são 1% como erro relativo, 100 N, 100 Nm como erro absoluto da força normal e dos momentos). 

Assim, se tivermos como dados de entrada N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm e as forças integradas após iteração N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, a avaliação será a seguinte. Tendo em conta que N e Mz são iguais a 0, pode ser feita uma comparação com o desvio absoluto:

O valor da força normal 100N> | 70 | N
O valor do momento fletor Mz 100Nm> | 20 | Nm
O valor do momento fletor My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Verificação da secção transversal pela resposta

No caso de encontrar o equilíbrio na secção transversal, o plano de deformações é conhecido. A partir do plano de deformações podemos calcular a deformação em qualquer ponto da secção, e depois as tensões ou forças internas nas barras de armadura, na secção transversal ou nas suas partes, utilizando os diagramas tensão-deformação dos materiais. Os valores de tensão e deformação calculados são comparados com o valor limite de deformação dos diagramas tensão-deformação dos materiais utilizados.
A vantagem deste método é que se obtém uma imagem completa dos valores de tensão e deformação na secção das forças internas que atuam na secção transversal.

Corte

No que diz respeito à rotura frágil, a verificação ao corte é uma das verificações importantes de uma secção de betão armado.

Procedimento de cálculo

O cálculo da resistência ao corte é composto por várias partes fundamentais. Em primeiro lugar, deve analisar-se se ocorrem ou não fissuras devidas à flexão na secção verificada. Em caso afirmativo, utiliza-se o cálculo de acordo com a EN 1992-1-1 [2], Artigo 6.2.2 (1). Caso contrário, determina-se se se trata de betão simples ou betão com armadura insuficiente, procedendo-se então de acordo com o Artigo 12.6.3 da EN 1992-1-1.

Para betão armado não fendilhado (sem armadura de corte) verifica-se de acordo com o Artigo 6.2.2 (2) da EN 1992-1-1. Para elementos onde é necessária armadura de corte, verifica-se de acordo com o Artigo 6.2.3 [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Resistência ao corte de elementos sem armadura de corte

Resistência ao corte de elementos em zonas de flexão fendilhadas (art. 6.2.2 (1) [2])

A resistência ao corte de elementos de betão armado sem armadura de corte sujeitos a momento fletor é dada por:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

A qual foi definida com base em ensaios realizados num número representativo de vigas simples em caso de rotura por força de corte. Uma vez que a resistência acima referida pode ser nula para elementos sem armadura longitudinal (r_l), foram deduzidas equações para elementos com armadura insuficiente. Uma vez que a resistência acima referida pode ser nula para elementos sem armadura longitudinal (r_l), para os elementos com armadura insuficiente foi determinada pela equação

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Para a resistência ao corte com influência da força normal foi determinada pela equação

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

A resistência ao corte na sua expressão completa, correspondente ao art. 6.2.2 (1) da EN 1992-1-1

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Com o mínimo de

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

onde  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          fator de altura da secção transversal 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      taxa de armadura longitudinal

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        valor característico da resistência à compressão em cilindro do betão aos 28 dias

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  em MPa

b_w        menor largura da secção transversal na zona tracionada

d          altura útil da secção transversal

υ_min      resistência mínima equivalente ao corte υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Resistência ao corte de elementos em zonas de flexão não fendilhadas (art. 6.2.2 (2) [2])

A resistência ao corte de elementos em zonas de flexão não fendilhadas pode ser determinada a partir do círculo de Mohr. Na equação

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

Substituímos σ_x = σ_cp e τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) e determinamos V_Rd,c, obtendo a equação correspondente à fórmula da EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2)

onde  

I           é o segundo momento de área,

b_w        é a largura da secção transversal no eixo centroidal

S          é o primeiro momento de área acima e em relação ao eixo centroidal,

f_ctd        valor de cálculo da resistência à tração axial do betão em MPa,

 s_cp       é a tensão de compressão do betão no eixo centroidal devida às ações e/ou pré-esforço,

a_l         fator do comprimento de transmissão, geralmente 1,0.

Em relação ao exposto, deve notar-se que em zonas sem fissuras de flexão a resistência V_Rd ,c pode ser significativamente superior à das zonas fendilhadas de acordo com o Artigo 6.2.2 (1) [2]. A figura abaixo mostra claramente que, embora a força de corte seja verificada no seu valor extremo (que não produz fissuras), tal não garante necessariamente que seja transferida ao longo de todo o comprimento da viga. Tal deve-se a uma alteração no método de cálculo da resistência ao corte do betão. Do lado da segurança, a resistência ao corte pode naturalmente ser considerada de acordo com o Artigo 6.2.2 (1) [2] também nos locais onde não ocorrerão fissuras.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

Relativamente à expressão de V_Rd, c de acordo com o Artigo 6.2.2 (2)[2], deve também notar-se que, no caso geral, a verificação deve basear-se na fibra de tensão principal máxima de tração do betão na zona de tensão normal de compressão, e não no centro de gravidade da secção. Neste ponto, é necessário calcular as características da secção transversal (S e b_W). Para determinar a tensão principal máxima s₁ no programa IDEA RCS, traça-se uma linha através do centro de gravidade na direção da resultante das forças de corte. Esta linha é dividida em 20 sectores. Nesta linha apresentam-se mais pontos característicos (pontos do polígono da secção transversal, centro de gravidade, eixo neutro). Entre estes pontos, calculam-se S, b_w, σ_x, τ_yz e σ_1.  No ponto de tensão principal máxima de tração calcula-se a resistência ao corte.

A força de corte antes da aplicação do fator de redução b exigido pelo Artigo 6.2.2 (6) deve satisfazer a condição adicional

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

onde 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  onde f_ck é em MPa

Resistência ao corte de elementos sem armadura ou com armadura reduzida (art. 12.6.3 [2])

A resistência ao corte para betão simples ou com armadura reduzida pode ser determinada a partir da expressão

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Onde

τ_cp é substituído por

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

ou

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

Os valores parciais utilizados na fórmula acima são dados por:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

onde  

f_cd,pl     Valor de cálculo da resistência à compressão para betão simples ou com armadura reduzida,

f_ctd,pl    Valor de cálculo da resistência à tração axial do betão simples ou com armadura reduzida,

f_cvd       Valor de cálculo da resistência ao corte sob compressão do betão.

Resistência de elementos com armadura de corte (art. 6.2.3 [2])

O cálculo da resistência de elementos de betão armado com armadura de corte baseia-se no método da analogia da treliça com diagonais de ângulo variável. A base deste método é o equilíbrio de forças no triângulo determinado pela força da escora comprimida (diagonal), a força da armadura de corte (estribo) e a força da armadura longitudinal.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

A secção transversal sujeita a força de corte é atravessada por fissuras com um ângulo θ; por esta razão, a diagonal de betão com o mesmo ângulo que as forças de corte resiste à força de corte. A força de compressão da diagonal pode ser expressa como V_ed/sinθ. Esta força deve ser transferida pela superfície de betão, perpendicular à diagonal comprimida b_wzcosθ. A tensão de compressão do betão na diagonal comprimida é então igual a:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

Substituindo \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  e \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] e expressando \[{{V}_{Rd,max}}\] obtemos a equação para a resistência ao corte da diagonal:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Para equilibrar a componente vertical da força na diagonal comprimida, utiliza-se a armadura de corte. A magnitude da força vertical baseia-se na tensão de compressão diagonal na área de betão correspondente a um único estribo - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. A força limite do estribo é dada por \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Inserindo σ_c, comparando com a força limite na armadura, após modificações obtemos:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Expressando então V_ed como V_RDs obtemos a resistência da secção transversal com armadura de corte vertical:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

A força de corte longitudinal é transferida pela armadura longitudinal e pode ser determinada como V_edcotgθ. A dedução das fórmulas acima pode ser encontrada em [4].

Utilizando o programa IDEA RCS é possível verificar apenas elementos com armadura de corte vertical. Em geral, podem ser utilizadas as seguintes equações:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Onde  

A_sw      é a área da secção transversal da armadura de corte,

s           é o espaçamento dos estribos,

f_ywd      é o valor de cálculo da tensão de cedência da armadura de corte,

b_w        é a largura mínima entre os banzos de tração e de compressão. Para calcular a resistência V_Rd,max , o valor da largura da secção deve ser reduzido para a chamada largura nominal da secção transversal no caso de a secção transversal ser enfraquecida por bainhas de cabos

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ para bainhas metálicas injetadas

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ para bainhas metálicas não injetadas           

υ          = 0,6 para f_ck ≤ 60MPa ou para f_ck > 60MPa,

α_cw       é um coeficiente que tem em conta o estado de tensão no banzo comprimido.

Ação	σcp = 0	0 < σcp≤0,25 fcd	0,25 fcd < σcp≤0,5 fcd	0,5 fcd < σcp≤1,0 fcd
Coeficiente acw	1,0	1+σcp/fcd	1,25	2,5(1 - σcp/fcd)

Tab. 1‑1 Determinação do coeficiente α_cw

O ângulo θ é o ângulo entre a escora comprimida de betão e o eixo da viga perpendicular à força de corte. Os valores limite de cotθ para utilização num país podem ser encontrados no respetivo Anexo Nacional. Os limites recomendados são dados pela expressão:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

A escolha do valor do ângulo θ pode influenciar o valor das resistências. A dependência das resistências é visível na Figura 1.15. A figura mostra que com o aumento do ângulo θ a resistência V_Rd,max  aumenta, e a resistência V_Rd,s diminui. A resistência V_Rd,c é constante, uma vez que se baseia no método da analogia da treliça.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Cálculo das características da secção transversal para o corte

Para calcular o corte, é importante determinar as variáveis da secção transversal que influenciam a resistência ao corte. Estas variáveis incluem principalmente a largura da secção resistente ao corte b_w, a altura útil d e o braço do binário z. A norma [2] fornece estes valores que se correlacionam diretamente com a tensão de flexão real. No entanto, o problema consiste em determinar estes valores quando a direção do momento fletor resultante (ou, mais precisamente, a direção da resultante da resistência da secção) é significativamente diferente da direção das forças de corte resultantes. Neste caso, a norma EC2 não fornece quaisquer recomendações.

Largura da secção transversal resistente ao corte b_w

O programa IDEA RCS calcula a largura da secção transversal resistente ao corte na direção perpendicular à resultante das forças de corte. Dependendo do artigo do Eurocódigo, esta largura é calculada como:
-  A menor largura da secção entre a resultante do betão comprimido e a armadura tracionada na direção perpendicular à resultante das forças de corte para o artigo 6.2.2 (a) e 6.2.3 (1)
- A largura da secção na direção perpendicular à resultante das forças de corte no ponto verificado de acordo com o artigo 6.2.2 (2)

Altura útil da secção transversal

A altura útil é geralmente definida como a distância da fibra de betão mais comprimida ao centro de gravidade da armadura. Uma vez que está diretamente relacionada com a flexão, a distância é dada como a projeção perpendicular à linha de gravidade do plano de deformação.

Esta definição pode ser clarificada de modo a que, em vez do centro de gravidade da armadura tracionada, seja utilizada a posição da resultante das forças na armadura. Durante o desenvolvimento do programa IDEA RCS, foi resolvido o seguinte problema: como definir a altura útil da secção transversal quando o plano das ações de flexão não corresponde à direção da resultante das forças de corte. Por conseguinte, a altura útil é definida como a distância da fibra de betão mais comprimida à resultante das forças na armadura tracionada (com base na tensão de flexão) e na direção da resultante das forças de corte, ver Figura 1.17.

Ocorrerão casos excecionais se não for possível determinar a fibra comprimida ou a resultante na armadura tracionada. Neste caso, recomenda-se a utilização do valor 0,9 h (90% da altura da secção na direção da resultante das forças de corte). Este valor pode ser definido pelo utilizador no programa IDEA RCS através da configuração das variáveis normativas.

Braço do binário das forças internas

O braço do binário das forças internas está definido em 6.2.3 (3) [2] como a "distância entre os banzos de tração e de compressão". A norma não define como proceder quando o plano do momento fletor atuante é diferente da direção da resultante das forças de corte. Por conseguinte, tal como no caso da altura útil, define-se a distância na direção da resultante das forças de corte. Também aqui podem ocorrer casos excecionais semelhantes, por exemplo, toda a secção está sob compressão, etc. Neste caso, considera-se o valor 0,9 d (90% da altura útil da secção). Este valor pode ser definido pelo utilizador no programa IDEA RCS através da configuração das variáveis normativas.

A dependência entre a inclinação do plano de flexão e a resultante da força de corte é claramente visível na Figura 1.18 e na Figura 1.19. Com o aumento da inclinação, os valores da altura útil, dos braços do binário e das resistências associadas diminuem. O estado limite é de 90°. Para esta inclinação, o braço do binário das forças internas não pode ser calculado, sendo consequentemente igual a zero. Neste caso, considera-se o valor especificado na configuração das variáveis normativas. Daqui resulta uma descontinuidade no final do gráfico. Este estudo comprova que a inclinação máxima recomendada é de cerca de 20°.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

No âmbito dos testes da aplicação RCS, foi realizado um estudo sobre a dependência da resistência ao corte em função da variação da força normal. A resistência V_Rd,max é afetada apenas pelo coeficiente α_cw, ver Fig. 1.20. A Fig. 1.21 mostra um valor constante da resistência V_Rds. Para a resistência V_Rdc, as reduções são causadas pelo aumento da força normal. A curva azul na Fig. 1.21 mostra a resistência V_Rdc sem considerar a influência das fissuras, calculada utilizando a fórmula da secção 6.2.2 (1) [2]. A descontinuidade na transição entre compressão e tração é causada pela contribuição da armadura tracionada. A curva vermelha é calculada utilizando a fórmula da secção 6.2.2 (2) [2]. Após a ocorrência da primeira fissura, a curva de dependência é igual à da secção 6.2.2 (1) [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]

Torção

Pressupostos de cálculo

O comportamento de uma secção de betão armado sujeita a torção pode ser dividido em duas categorias — antes e depois do momento em que se espera que as fissuras possam ocorrer pela primeira vez. Antes da fissuração, a secção transversal comporta-se como um material elástico. A tensão de torção pode ser expressa pela fórmula   

 \[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\] 

onde W_t é o módulo de secção à torção.

As fissuras no elemento não armado devidas à tensão principal de tração por torção constituem também um estado limite último. O comportamento de uma secção de betão armado sujeita a torção pode ser descrito com base numa secção fechada de parede fina, ver Fig. abaixo. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]

Procedimento de cálculo

O processo de verificação normativa de uma secção de betão armado à torção é muito semelhante à verificação ao corte. Em primeiro lugar, verifica-se a resistência do betão. Se a verificação do betão for satisfeita, a armadura pode ser dimensionada utilizando as regras de pormenorização. Caso contrário, é necessário verificar a armadura e a resistência das diagonais comprimidas por cálculo.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]

Resistência

O fluxo de corte numa parede de uma secção transversal de parede fina sob torção pode ser expresso como:

\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

A força de corte numa parede de uma secção transversal de parede fina pode ser expressa como:

\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]

Onde 

τ          Fluxo de corte na parede,

t_ef         é a espessura efetiva da parede,

z           é o comprimento do lado da parede,

T_Ed       é o momento de torção,

A_k        é a área delimitada pelas linhas médias das paredes de ligação, incluindo as áreas ocas interiores.

O momento de fissuração por torção pode ser determinado substituindo f_ctd na expressão anterior. Obtém-se assim a expressão para a resistência à torção sem armadura de torção.

\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]

onde  f_ctd       valor de cálculo da resistência à tração axial do betão

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]

A resistência do elemento com armadura de torção é composta pela resistência das diagonais comprimidas de betão, baseada novamente no método da analogia de treliça. A tensão de compressão na diagonal pode ser expressa com o auxílio da força de corte na parede de uma secção transversal de parede fina na superfície da parede em consideração, ou seja:

\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]

Substituindo σ_c=σ_cwf_cd e T_Ed=T_Rd,max e expressando T_Rd,max obtém-se a equação para a resistência das diagonais comprimidas

\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]

onde  

ν          = 0,6 para f_ck ≤ 60MPa ou  para f_ck > 60MPa

α_cw       coeficiente que tem em conta o estado de tensão de compressão no banzo comprimido

f_cd        valor de cálculo da resistência à compressão do betão

a resistência da armadura de corte sujeita a torção baseia-se novamente na tensão na diagonal comprimida. A força no estribo é igual à tensão na diagonal comprimida na área correspondente à linha de estribos em causa, ou seja:

\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]

Substituindo  T_Ed=T_Rd,s e expressando T_Rd,s  obtém-se a equação:

 \[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\] 

Se a quantidade de armadura longitudinal e de corte for conhecida, pode-se definir o ângulo θ pela expressão

\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\] 

Substituindo em T_Rd,s obtém-se

\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]  

Onde

A_sw      área da armadura de corte

s           é o espaçamento radial dos estribos da armadura de corte

f_ywd      é a resistência de cálculo efetiva da armadura de corte

A_sl       área da armadura longitudinal

u_k         é o perímetro exterior da secção transversal

f_ywd      é a resistência de cálculo efetiva da armadura longitudinal

A força na armadura longitudinal pode ser deduzida da força de corte numa parede de uma secção sujeita a um momento de torção puro, que é dada por:

\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]

Essa força é transformada na direção longitudinal e obtém-se:

\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]

O intervalo permitido de valores para o ângulo θ é semelhante ao da verificação ao corte, ou seja 1 < cot θ < 2,5. A dependência entre as resistências pode ser observada na Fig. abaixo. O diagrama mostra que com o aumento do ângulo θ a resistência T_Rd,max cresce, a resistência T_Rd.s diminui e a resistência T_Rd,c é constante, uma vez que não se baseia no método da analogia de treliça.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]

Cálculo das características da secção transversal para a torção

Para verificar a secção transversal à torção é necessário estabelecer uma denominada secção fechada equivalente de parede fina. Na determinação das dimensões da secção transversal equivalente de parede fina assume-se uma forma retangular. Para a área real de um retângulo tem-se A = b×h e para o perímetro do retângulo u =2 (b +h). Utilizando estas duas equações é possível obter a área e o perímetro equivalentes de forma retangular de parede fina da secção transversal original. Resolvendo duas equações com duas incógnitas obtém-se:

\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]

A espessura da parede da secção transversal efetiva pode ser definida a partir do perímetro e da área da secção como:

\[t=\text{A}/\text{u}\]

A área e o perímetro definidos pela linha média da secção transversal efetiva são então:

\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]

O problema com este método ocorre para secções transversais do tipo T com uma laje larga, quando a área e o perímetro totais são utilizados para calcular as dimensões (incluindo essa laje). Em versões futuras do programa IDEA RCS, será possível selecionar a parte mais maciça da secção transversal, que será utilizada para verificar a torção.

Interação

Interação da força de corte e torção para a armadura de corte

Determinação da força na armadura de corte devida à força de corte. 

O cálculo baseia-se na fórmula para o cálculo da resistência da armadura de corte definida na EN 1992-1-1. Com base na equação 6.13 (cap. 6.2.3 (4)), a resistência de um ramo de estribo pode ser derivada como:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . área da secção transversal de um ramo de estribo que resiste ao corte na secção considerada

s .  .  .  .  . espaçamento da armadura de corte na direção do eixo longitudinal do elemento

a_sw,V .  .  . área da secção transversal da armadura de corte por unidade de comprimento

z .  .  .  .  . o braço interno do binário. Para um elemento de altura constante, correspondente ao momento fletor no elemento em consideração. Na análise ao corte de betão armado sem força axial, pode normalmente utilizar-se o valor aproximado z = 0,9d.

f_ywd .  .  .  a tensão de cedência de cálculo da armadura de corte

θ .  .  .  .  . o ângulo entre a escora comprimida de betão e o eixo do elemento perpendicular à força de corte

α .  .  .  .  . o ângulo entre a armadura de corte e o eixo do elemento perpendicular à força de corte

β .  .  .  .  . inclinação do ramo do estribo relativamente à resultante da força de corte aplicada

A força de corte é redistribuída uniformemente entre as armaduras individuais que resistem à força de corte, com base no ângulo da armadura e na rigidez axial dos ramos individuais dos estribos.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Adicionalmente, pode derivar-se a extensão média da armadura considerada na direção da força de corte resultante:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

A extensão real da i-ésima armadura pode ser calculada como:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

A tensão num dado ramo da armadura:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Determinação da força em cada estribo devida à torção

A resistência à torção de uma secção pode ser calculada com base numa secção fechada de parede fina, em que o equilíbrio é satisfeito por um fluxo de corte fechado. As secções maciças podem ser modeladas por secções equivalentes de parede fina. Para secções não maciças, a espessura equivalente da parede não deve exceder a espessura real da parede.

O fluxo de corte nas paredes de uma secção fechada de parede fina devido à torção pode ser calculado como:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

A força de corte numa parede particular é então:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . comprimento da linha de eixo da parede em consideração

Força de corte na alma - o comprimento da linha de eixo da alma pode ser substituído pelo valor do braço do binário "z".

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Força nos estribos que resistem à torção por metro de comprimento do elemento (por unidade de comprimento):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Decomposição de forças para cada estribo

Se o mesmo material for definido para todos os estribos, a tensão resultante devida à torção em cada ramo de estribo é constante. Então:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

onde a_sw,T é a área total dos estribos que resistem à torção por unidade de comprimento.

No caso de os estribos individuais terem materiais diferentes, a rigidez axial das barras individuais deve ser tida em conta.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . número de ramos de armadura (grupos de armadura) que resistem à torção

F_si,T .  .  . força no i-ésimo grupo de armadura resultante da torção por unidade de comprimento

a_si,T .  .  . área da secção transversal da armadura de corte que resiste à torção por unidade de comprimento 

E_si,T .  .  . módulo de elasticidade de Young do i-ésimo grupo de armadura que resiste à torção

ε_sw,T .  .  deformação na armadura devida à torção

A tensão resultante em cada estribo devida à torção aplicada é calculada como:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

Interação V+T

O cálculo das tensões nos estribos devidas ao corte e à torção é então uma soma das tensões devidas às componentes de carga individuais. 

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Força resultante na i-ésima armadura:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Interação de corte, torção e flexão para a armadura longitudinal

Determinação da força em cada armadura longitudinal devida à força normal e ao momento fletor

A aplicação RCS é utilizada para calcular a resposta da secção transversal devida à combinação da força normal e do momento fletor, de modo a determinar a tensão e a deformação nas barras longitudinais individuais e na armadura de pré-esforço.

Determinação da força na armadura longitudinal individual devida à força de corte

O incremento da força de tração na armadura longitudinal ΔF_td devida à força de corte depende da geometria do modelo de escora-e-tirante. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  incremento da força de tração na armadura longitudinal devida à força de corte

V_ed .  .  .  . valor de cálculo da força de corte que atua na secção em consideração

θ .  .  .  .  . o ângulo entre a escora comprimida de betão e o eixo do elemento

α .  .  .  .  . o ângulo entre a armadura de corte e o eixo do elemento

Para a armadura longitudinal localizada no banzo tracionado, a força resultante F_t na armadura longitudinal devida à combinação N+M+V não deve ser superior a M_Ed,max/z (onde M_Ed,max é o momento máximo ao longo da viga)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

A força ΔF_td é transmitida por todos os tendões de pré-esforço aderentes e pela armadura localizada na parte da secção transversal que resiste ao corte (a alma no caso de um perfil em I). Do lado da segurança, a contribuição da armadura de pré-esforço pode ser considerada nula. O pressuposto do cálculo é que o incremento da extensão axial das armaduras longitudinais individuais que resistem ao corte é constante (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). A derivação é válida para um diagrama de trabalho bilinear da armadura com um ramo plástico horizontal. No caso de um diagrama com ramo inclinado, o cálculo deve ser modificado.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . incremento de deformação na armadura longitudinal devida à força de corte

n_s,V .  .  .  . número de armaduras longitudinais que resistem à força de corte

A_sl,i,V .  .  . área da i-ésima armadura longitudinal que resiste à força de corte

E_sl,i,V .  .  . módulo de elasticidade de Young da i-ésima armadura longitudinal que resiste à força de corte

n_p,V .  .  .  . número de tendões que resistem à força de corte

A_pl,i,V .  .  . área do i-ésimo tendão que resiste à força de corte

E_pl,i,V .  .  . módulo de elasticidade de Young do i-ésimo tendão que resiste à força de corte

Após a determinação do valor da força ΔF_td, pode então calcular-se a extensão média da armadura Δε_V.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Incremento de tensão nas barras longitudinais individuais devida à força de corte aplicada:

para armadura ordinária \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

para tendão \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Determinação da força em cada armadura longitudinal devida à torção

É muito importante determinar a armadura longitudinal que resiste à torção. Trata-se da armadura localizada numa secção transversal alternativa de parede fina efetiva que resiste à torção.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

De acordo com a EN 1992-1-1, devem ser satisfeitas várias condições para a armadura longitudinal resistente à torção:

- a armadura deve ser distribuída uniformemente ao longo do comprimento z_i, mas em secções transversais pequenas a armadura pode ser concentrada nos cantos do estribo

- a distância axial máxima da armadura longitudinal é de 350 mm

A contribuição da armadura de pré-esforço não é considerada de acordo com a EN 1992-1-1.

A norma EN 1992-2 estabelece que a contribuição da armadura de pré-esforço pode ser considerada, mas o incremento máximo de tensão na armadura de pré-esforço não deve exceder Δσ_p ≤ 500MPa. A fórmula pode então ser modificada:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

No entanto, uma vez que o incremento da armadura de pré-esforço pode ser considerado, fica ao critério do utilizador. Atualmente, a armadura de pré-esforço não é considerada no cálculo. 

O pressuposto do cálculo é que o incremento da extensão axial de cada armadura longitudinal que resiste ao corte é constante (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). A derivação é válida para um diagrama de trabalho bilinear da armadura com um ramo plástico horizontal. No caso de um diagrama com ramo crescente, o cálculo deve ser modificado.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . o valor de cálculo do momento torsor aplicado na secção em consideração

θ .  .  .  .  . inclinação das diagonais comprimidas em relação ao eixo longitudinal da viga (idêntica à da força de corte)

u_k .  .  .  .  perímetro da área A_k

A_f .  .  .  .  a área definida pela linha de eixo da secção oca equivalente de parede fina

n_s,T .  .  .  .número de armaduras longitudinais de betão que resistem ao momento torsor

A_sl,i,T .  .  . área da i-ésima armadura longitudinal de betão que resiste ao momento torsor

Δε_T .  .  .  .a variação da deformação da armadura longitudinal devida ao momento torsor

Δσ_s,i,T .  .  variação de tensão na i-ésima armadura longitudinal devida ao momento torsor

E_sl,i,T .  .  . módulo de elasticidade da i-ésima armadura longitudinal de betão que resiste ao momento torsor

Incremento de tensão em cada armadura longitudinal devida ao momento torsor aplicado:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]

Verificação do limite de tensão

A verificação baseia-se em pressupostos gerais, onde são resolvidos dois estados da secção transversal: a secção não fendilhada (a resistência à tração do betão não é ignorada) e a secção totalmente fendilhada (a resistência à tração do betão é ignorada). A solução com resistência à tração do betão ignorada é considerada de acordo com os pressupostos do Artigo 7.1 (2) da EN 1992-1-1.

No cálculo das tensões e das deformações, considera-se como secção não fendilhada se a tensão de tração à flexão não exceder f_ct, eff. O valor de f_ct, eff pode ser considerado como f_ctm ou f_ctm,fl. O valor f_ctm é utilizado no cálculo da largura de fenda e do enrijecimento à tração.

No âmbito desta verificação, são tratados quatro casos básicos em termos de limite de tensão.

• 7.2 (2) A tensão de compressão em elementos expostos a ambientes das classes de exposição XD, XF e XS deve ser limitada:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{1}}=0,6\]

• 7.2 (3) A tensão no betão sob as ações quase-permanentes é limitada:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{2}}=0,45\]

• 7.2 (5) As tensões de tração na armadura sob a combinação característica de ações devem ser limitadas:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{3}}=0,8\]

• 7.2 (5) Quando a tensão é causada por uma deformação imposta, a tensão de tração não deve exceder:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{4}}=1\]

Os valores k₁, k₂, k₃, k₄ a utilizar num País podem ser encontrados no respetivo Anexo Nacional. Os valores recomendados são 0,8; 1 e 0,75, respetivamente, tensão de cedência característica da armadura, f_ck resistência característica à compressão em cilindro f_ck determinada aos 28 dias.

Fissuras

A formação de fissuras

Uma característica das estruturas de betão armado sujeitas a flexão ou tração é a ocorrência de rotura por fissuração nos pontos em que a tensão de tração no betão excede a resistência à tração do betão. Para a durabilidade da estrutura e também para a sua estética, é importante garantir que as fissuras resultantes sejam tão pequenas quanto possível. O cálculo das larguras de fissura, bem como as larguras máximas admissíveis para as diferentes classes de exposição, são fornecidos na EN 1992-1-1, Capítulo 7.3.

Na primeira etapa do cálculo, determina-se se a secção transversal está fissurada ou não. A largura de fissura em si é sempre calculada a partir da combinação de ações quase-permanente ou frequente (dependendo do anexo nacional), mas a formação de fissuras deve ser verificada a partir de todas as combinações SLS especificadas. Assim, podem ocorrer dois casos:

• A tensão de tração máxima nas fibras de betão não excede a resistência à tração do betão para nenhuma combinação de ações (quase-permanente M_E,qp, frequente M_E,fr, ou característica M_E,k), pelo que se considera a secção transversal sem fissuras.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Se se desenvolverem fissuras para qualquer das combinações (quase-permanente, frequente ou característica), ou seja, se o momento fletor desenvolvido a partir da combinação de ações considerada for superior ao momento crítico M_cr, a secção transversal está fissurada para essa combinação de ações, e as características da secção transversal fissurada e a largura de fissura têm de ser calculadas.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   o momento fletor obtido de alguma combinação de ações SLS. Assim, pode ser M_E,qp, M_E,fr, ou M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  a resistência à tração do betão no instante considerado. Se o betão tiver mais de 28 dias, considera-se uma resistência igual a f_ctm.

Cálculo da largura de fissura

Num elemento sujeito a flexão, a formação de fissuras divide-se em 2 fenómenos:

• Fase de formação de fissuras (fase número 2 na Fig. 1)
• Desenvolvimento estabilizado de fissuras (fase número 3 na Fig. 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Fases do comportamento da secção transversal de betão armado durante o carregamento}}}\]

Fase de desenvolvimento de fissuras

Esta é a parte inicial do processo em que fissuras individuais ainda vão surgindo gradualmente até que toda a zona tracionada do elemento seja afetada por fissuras aproximadamente igualmente distribuídas ao longo do comprimento do elemento. A primeira fissura forma-se quando a força na faixa tracionada excede o valor da força crítica N_r (força de tração crítica, ver abaixo), e novas fissuras desenvolvem-se até um nível de carga que exerce uma força na faixa tracionada igual a aproximadamente 1,3N_cr (fase número 2 na Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Deformações do betão e da armadura no momento da primeira fissura}}}\]

As fissuras em desenvolvimento dividem-se em 2 tipos — fissuras primárias e secundárias. As fissuras primárias ocorrem nas fibras tracionadas quando é atingida a resistência à tração efetiva do betão (f_ct,eff). As fissuras primárias representam o primeiro padrão de fissuras (Fig. 2). Fissuras secundárias mais curtas formam-se então entre as fissuras primárias (Fig. 3). Para tensões correspondentes a cerca de 1,2 a 1,5 σ_sr (normalmente considera-se um valor médio de 1,3 σ_sr, onde σ_sr é a tensão na armadura na formação das fissuras primárias na zona tracionada do betão), o desenvolvimento das fissuras secundárias também fica concluído.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Fissuras primárias e secundárias}}}\]

A largura de fissura na fase de formação de fissuras pode ser calculada da seguinte forma:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Características do comprimento de transmissão para a primeira fissura}}}\]

Fase de fissuração estabilizada

Após exceder aproximadamente 1,3 vezes a força crítica na zona tracionada, não se formam novas fissuras, o número de fissuras no elemento estabiliza, e apenas a largura das fissuras existentes aumenta com o carregamento adicional (fase número 3 na Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Deformações do betão e da armadura na fase de fissuração estabilizada}}}\]

A largura de fissura durante o desenvolvimento estável pode ser calculada como:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Fissuração estabilizada}}}\]

Força de tração crítica

O cálculo baseia-se no Modelo de Corda em Tração (TCM). A consideração fundamental é calcular a capacidade última de uma faixa de betão armado formada por uma barra de armadura de área A_s,eff envolvida por uma área efetiva de betão tracionado A_c,eff, capaz de resistir à tensão de tração até que a resistência à tração f_ct,eff seja excedida (normalmente considera-se f_ctm). Assumindo uma aderência perfeita entre a armadura e o betão, pode considerar-se que até à ocorrência da primeira fissura, a deformação da armadura e do betão envolvente é idêntica. A força máxima na faixa tracionada imediatamente antes da primeira fissura N_r pode então ser determinada:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Introduzindo a substituição

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

obtém-se:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Imediatamente após a formação da primeira fissura, toda a força N_r é transferida pela armadura e, assim, a tensão na armadura que atravessa a fissura recém-formada pode ser calculada como:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Cálculo da largura de fissura segundo a EC 1992-1-1

A seguinte equação é utilizada para calcular a largura das fissuras em elementos de betão armado:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   espaçamento máximo de fissuras

ε_sm  .   .   .   .   a deformação média da armadura a partir da combinação de ações, incluindo os efeitos do enrijecimento à tração.

ε_cm  .   .   .   .   deformação média do betão entre fissuras

Cálculo da diferença de deformações

A diferença na deformação da armadura e do betão entre fissuras pode ser obtida a partir da equação:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   a tensão na armadura na fissura a partir da combinação de ações em consideração

k_t      .   .   .   .   um coeficiente empírico que tem em conta a deformação média, dependente da duração da ação. Pode tomar valores de 0,6 para análise de curta duração. Para a análise de longa duração, é tida em conta a redução da rigidez do composto para cerca de 70%, pelo que o seu valor é 0,4, o que inclui a taxa de degradação da coesão entre a armadura e o betão ao longo do tempo.

α_e     .   .   .   . a razão efetiva dos módulos de elasticidade

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   taxa efetiva de armadura

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   a área efetiva do betão tracionado que envolve a armadura (determinação de A_c,eff abaixo)

A_s,_eff .   .   .   .   a área da armadura aderente localizada na área de A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   é a área dos tendões de pré ou pós-tensão dentro de A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   é a razão ajustada da resistência de aderência, tendo em conta os diferentes diâmetros do aço de pré-esforço e do aço de armadura:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . a razão da resistência de aderência do aço de pré-esforço e do aço de armadura (Tabela 6.2)

ϕ_s   .   .  maior diâmetro de barra do aço de armadura

ϕ_p   .   .  o diâmetro ou diâmetro equivalente do aço de pré-esforço

Para feixes, A_p é a área da armadura no tendão

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Para cordoalhas individuais de sete fios onde φ_wire é o diâmetro do fio

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Para cordoalhas individuais de três fios onde φ_wire é o diâmetro do fio

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Se apenas armadura de pré-esforço for utilizada para prevenir a fissuração, deve então ser considerado o seguinte.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

Em elementos pré-esforçados, não é necessária uma área mínima de armadura aderente desde que, sob a combinação característica de ações e o valor característico da força de pré-esforço, a tensão de tração em qualquer fibra não seja superior à resistência à tração do betão, f_ct,eff. (ver EN 1992-1-1 cap. 7.3.2 para mais detalhes)

A área efetiva do betão tracionado

Um passo importante mas simultaneamente o mais complexo do cálculo é a determinação da área efetiva do betão tracionado que envolve a armadura. Tanto o Eurocódigo como o Model Code consideram modos simples de carregamento, em que o elemento de betão armado é carregado por flexão uniaxial ou tração. O valor da altura efetiva é determinado como:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determinação de Ac,eff para elementos fletidos (esquerda) e elementos tracionados (direita)}}}\]

Normalmente, o valor h_c,eff = 2,5(h-d) é crítico. Para elementos tracionados, o limite superior é h/2, enquanto para elementos fletidos é (h-x)/3. No entanto, a área A_c,eff é também limitada pela largura determinada a partir da equação 5(c+ϕ/2). Se o espaçamento das armaduras for superior a 5(c+ϕ/2), considera-se a área efetiva do betão tracionado de largura 5(c+ϕ/2) para as barras individuais.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determinação de Ac,eff com base no espaçamento da armadura}}}\]

Distância máxima entre fissuras

No cálculo da distância máxima entre fissuras s_r,max, podem ocorrer dois casos:

• A distância axial da armadura aderente não excede uma distância de 5(c+ϕ/2) - Fig. 9a
• A distância axial das armaduras aderentes é superior a 5(c+ϕ/2) - Fig. 9b

O cálculo da distância máxima entre fissuras s_r,max para o caso em que as distâncias axiais das armaduras não excedem o valor 5(c+ϕ/2) é definido da seguinte forma:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   valor do cobrimento em mm. Uma vez que o valor do cobrimento pode ser diferente para a armadura de bordo relativamente às faces horizontal e vertical, recomenda-se considerar o valor máximo de cobrimento encontrado para a armadura em consideração.

ϕ     .   .   .   .   diâmetro da armadura aderente. No caso de diferentes diâmetros de armadura, o diâmetro equivalente deve ser calculado de acordo com a Equação 7.12 da EN 1992-1-1.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . é um coeficiente que tem em conta as propriedades de aderência da armadura aderente

• k₁ = 0,8 para barras de alta aderência
• k₁ = 1,6 para barras com superfície efetivamente lisa (por exemplo, tendões de pré-esforço)

k₂ .   .   .   . é um coeficiente que tem em conta a distribuição de deformações

• k₂ = 1,0 para flexão
• k₂ = 0,5 para tração pura

Para casos de tração excêntrica ou para zonas locais, devem ser utilizados valores intermédios de k₂, que podem ser calculados a partir da relação:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  coeficiente que exprime o comprimento da zona próxima de uma fissura onde a aderência entre o betão e a armadura está interrompida. O valor recomendado do EC base k₃ = 3,4 pode ser modificado pelo Anexo Nacional. 

k₄      .   .   .   .   coeficiente que exprime a relação entre a aderência e a resistência à tração do betão. O valor recomendado do EC base k4 = 0,425 pode ser ajustado pelo Anexo Nacional.

O cálculo da distância máxima entre fissuras s_r,max para o caso em que as distâncias axiais das armaduras excedem o valor 5(c+ϕ/2) é definido da seguinte forma:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

Os valores da distância máxima entre fissuras segundo a equação

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

devem ser sempre superiores aos valores determinados pela equação

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

caso contrário, recomenda-se considerar a maior distância obtida a partir das equações acima. A equação para a deformação no betão/armadura não é modificada para o caso de grande distância axial da armadura. Em zonas com larguras de fissura controladas, a distância axial das armaduras individuais não deve ser superior a 5(c+ϕ/2).

Cálculo da largura de fissura implementado no RCS

Determinação da área efetiva A_c,eff

Uma vez que não é tão simples determinar qual a armadura que pode ser considerada como armadura longitudinal de resistência à fissuração, A_c,eff é determinada utilizando o seguinte processo iterativo.

• De toda a armadura que atua em tração, determina-se o centro da força de tração C_g,s,1. A altura útil da armadura d é a distância entre C_g,s e a fibra de betão mais comprimida, calculada na direção do momento fletor resultante. Simultaneamente, determinam-se a posição do eixo neutro e a altura da zona comprimida x para a secção transversal fissurada. Isto permite determinar a altura efetiva h_c,eff:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Excluindo toda a armadura que se encontra fora de A_c,eff,1, determina-se o novo centro da armadura C_g,s,2, juntamente com a nova altura útil da armadura d; a altura efetiva h_c,eff é determinada da mesma forma que no passo anterior, apenas com valores de entrada alterados.

Verifica-se novamente que toda a armadura tracionada em consideração se encontra em A_c,eff,2. Se esta condição for satisfeita, a iteração pode ser terminada e os valores de h_c,eff,2, A_c,eff,2 e A_s,eff,2 são apresentados como valores resultantes no IDEA StatiCa RCS.

Casos possíveis de cálculo da largura de fissura

Em geral, podem ocorrer três casos no cálculo das larguras de fissura:

• A armadura tracionada encontra-se na região A_c,eff, sendo a distância axial das armaduras individuais inferior a 5(c+ϕ/2). Neste caso, utilizam-se as seguintes definições para o cálculo:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• A armadura tracionada encontra-se em A_c,eff, sendo a distância axial das armaduras individuais superior à distância 5(c+ϕ/2). Neste caso, utilizam-se as seguintes definições para o cálculo:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• A armadura tracionada não se encontra em A_c,eff (o que pode ser causado, por exemplo, por um cobrimento espesso). 

Neste caso não seria possível calcular a largura das fissuras. Por conseguinte, o cálculo da altura efetiva h_c,eff é modificado da seguinte forma:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Simultaneamente, é apresentada a seguinte não conformidade:

A área efetiva do betão tracionado que envolve a armadura ou os tendões de pré-esforço de altura h_c,eff, onde h_c,eff é o menor de 2,5(h – d) ou h/2. Considerando o valor como (h – x)/3, a armadura encontra-se fora da área efetiva do betão tracionado, pelo que não seria possível calcular a largura de fissura de acordo com a cláusula 7.3.4.

Diagrama N-M-κ

O diagrama N-M-κ mostra a curvatura de um elemento (rigidez à flexão) em função do momento fletor aplicado e da força normal. Existem três tipos de diagramas N-M-κ:
- curto prazo,
- longo prazo
- ULS.
Estes diagramas diferem nos tipos de diagramas tensão-deformação utilizados no cálculo (explicado abaixo).

O cálculo da rigidez para estados característicos selecionados da secção transversal é utilizado para determinar o diagrama N-M-κ. Em geral, pode ser qualquer estado de secção transversal a partir do qual a resposta é calculada e do qual a rigidez à flexão e a curvatura são derivadas. No IDEA RCS, consideramos quatro pontos característicos (M_r, M_c, M_s e M_u)

M_r - o momento de fendilhação 

A secção transversal está sujeita à força normal definida pelo utilizador e o plano de deformação começa a rodar (na direção do momento fletor especificado) até que a resistência última à tração do betão seja atingida numa fibra de betão (para a classe de betão C30/37, f_ctm = 2,896 MPa). Para o cálculo é utilizado um diagrama tensão-deformação bilinear com ramo plástico horizontal tanto para a armadura como para o betão.

M_c - o momento fletor quando a resistência à compressão do betão é atingida

A partir do passo anterior, identifica-se a fibra de betão mais utilizada em compressão. Para esta fibra, é definida a deformação correspondente à resistência última do betão (f_ck/E_cm para curto prazo, f_ck/E_ceff para longo prazo e f_cd/E_cm para o diagrama ULS). Com base na força normal definida e na direção do momento fletor, é executado o processo iterativo para encontrar o plano de deformação que estabelece o equilíbrio entre a resposta da secção transversal e a força normal definida.  Para o cálculo é utilizado um diagrama tensão-deformação bilinear com ramo plástico horizontal tanto para a armadura como para o betão.

M_s - o momento fletor quando a tensão de cedência na barra de armadura mais utilizada é atingida

Outro ponto característico do diagrama N-M-κ é o estado de tensão da secção transversal quando a tensão de cedência na barra de armadura mais utilizada é atingida (a deformação da barra é igual a f_yk/E_s para os diagramas de curto e longo prazo, f_yd/E_s para o diagrama ULS). O processo iterativo encontra o equilíbrio das forças normais na secção transversal rodando o plano de deformação em torno do ponto especificado pela posição da barra de armadura mais utilizada. Para o cálculo é utilizado um diagrama tensão-deformação bilinear com ramo plástico horizontal tanto para a armadura como para o betão.

M_u - o momento fletor no estado limite último

Esta é a capacidade de carga última de uma secção transversal à flexão, quando a secção transversal está sujeita à força normal de cálculo definida N_ed. Para o cálculo da capacidade da secção transversal, assume-se que a resistência à compressão na fibra de betão mais utilizada e a resistência à tração na barra de armadura mais utilizada são atingidas (deformação máxima para o betão ε_cu = 0,1 e para a armadura ε_s,max = 0,5). Para o cálculo são utilizados um diagrama tensão-deformação bilinear com ramo plástico horizontal para a armadura e um diagrama parábola-retângulo para o betão.

A rigidez e a curvatura resultantes devidas à combinação de força normal e momento fletor definida pelo utilizador ( Md) são então calculadas por interpolação linear dos pontos característicos individuais do diagrama N-M-κ.

Cálculo das rigidezes e curvaturas

As rigidezes e curvaturas para cada estado de tensão da secção transversal (M_r, M_c, M_s ou M_u) são calculadas diretamente a partir da rotação do plano de deformação. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    rigidez axial do elemento

N . .   .   . a força normal especificada

ε_x .   .   .  deformação axial no centro de gravidade da secção transversal de betão

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   rigidez à flexão do elemento

M .   .   .    o momento fletor calculado M_r, M_c, M_s ou M_u

κ .   .   .   . a curvatura do elemento, calculada como a tangente do ângulo entre o plano de deformação e o eixo longitudinal do elemento

Exemplo prático

Uma secção transversal de betão (classe de betão C30/37) é armada com armadura ϕ32 (classe B500B). A combinação quase-permanente definida é N = -730 kN e M_y = 557 kNm.

O plano de deformação para o ponto característico M_s é determinado pelo IDEA RCS da seguinte forma:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

Diagramas tensão-deformação utilizados no cálculo

Armadura - M_r, M_c, M_s e M_u

Betão - M_r, M_c, M_s

Betão - M_u

Literatura

[1] Bradáč Betonové konstrukce (estruturas de betão), 1.ª parte: Dimensionamento de elementos de betão armado e betão simples, EXPERT Ostrava, 1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurocódigo 2: Projeto de estruturas de betão - Parte 1-1: Regras gerais e regras para edifícios, inc. alteração NA ed. A (2007) e revisão 1 (2009)

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, 2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I, Vysoké učení technické v Brně, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 1999

[6] Vondráček, R. Numerical Methods in Nonlinear Concrete Design, Diplomová práce, ČVUT, Praha, 2000

[7] Zich, M. a kolektiv Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů, livro online http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/, Verlag Dashöfer, 2010