IDEA StatiCa RCS – 1D beton szerkezeti elemek szerkezeti tervezése

Vasbeton keresztmetszetek tervezése EN 1992-1-1 és EN 1992-2 szerint.

Hajlítás
Nyírás
Csavarás
Interakció
Feszültségkorlátozás ellenőrzése
Repedésellenőrzés
N-M-κ diagram
Irodalom

Hajlítás

Keresztmetszeti teherbírás-ellenőrzés módszerei

Két jól ismert módszer alkalmazható az 1D betonszerkezeti elemek végső határállapotának ellenőrzésére. Az első módszer a keresztmetszeti végső teherbírást interakciós felület vagy interakciós diagram formájában adja meg (egyirányú hajlítónyomaték esetén). A keresztmetszeti teherbírás meghatározható a ható belső erők és a határállapoti erők arányaként. A második módszer a keresztmetszetben fennálló egyensúly megkeresése, ahol a terhelt keresztmetszet tényleges viselkedését, az anyagok feszültség szerinti kihasználtságát és a keresztmetszet gyenge pontjait vizsgáljuk.

Általános tervezési feltételezések és számítási feltételezések a végső határállapotra vonatkozóan 

1. A vasalásban és a betonban keletkező ε alakváltozás feltételezhetően egyenesen arányos a semleges tengelytől mért távolsággal (a sík keresztmetszetek síkok maradnak).
2. A vasalás és a beton kölcsönhatása csúszás nélküli beton-vasalás együttdolgozással biztosított (az ε alakváltozás alátámasztja a szomszédos betonszálak azonos alakváltozását).
3. A beton húzószilárdságát elhanyagoljuk (az összes húzófeszültséget a vasalás veszi fel).
4. A nyomott zónában a beton nyomófeszültségeit a feszültség-alakváltozás diagramokból számított alakváltozáshoz viszonyítva számítjuk.
5. A vasalás feszültségeit a feszültség-alakváltozás diagramokból számított alakváltozáshoz viszonyítva számítjuk.
6. A beton nyomási alakváltozása az ε_cu2 végső alakváltozási határral (parabola-téglalap diagram nyomott beton esetén) és ε_cu3 (kétlineáris feszültség-alakváltozás összefüggés), [2].
7. A vasalás nyomási alakváltozása vízszintes képlékeny felső ág esetén korlátlan, ferde képlékeny felső ág esetén az alakváltozás korlátozott ε_ud,[2].
8. Határállapotot akkor tekintünk bekövetkezettnek, ha legalább az egyik anyag állapota meghaladja a végső határállapoti alakváltozást (ha εu nem korlátozott, a nyomott beton az irányadó).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Interakciós diagram

Az első lehetőség a keresztmetszet ellenőrzése interakciós felülettel (vagy interakciós diagrammal). A magyarázat az alábbi ábrán szereplő példából vett vasalt négyzetes keresztmetszet interakciós felületein szemléltethető. Az interakciós felületen találhatók a vizsgált keresztmetszet végső határállapotát meghatározó pontok. Az interakciós felület az (N, My, Mz) pontokból rajzolható meg, amelyeket a keresztmetszetben végzett feszültségintegrálással határozunk meg, ahol az egyik anyagban elérte a végső határállapoti alakváltozást. 3D interakció esetén a felület egy 2D interakciós diagramból vezethető le, amely egy zárt görbe, amely a folyamatosan elforgatott semleges tengelyhez tartozó feszültségállapotnak felel meg.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

Az y-tengelyre szimmetrikus keresztmetszet esetén az interakciós diagram szimmetrikus az N-M_y sík körül. Hasonlóképpen, a z-tengelyre szimmetrikus keresztmetszet esetén az interakciós diagram szimmetrikus az N-M_z sík körül. Az egyoldalasan vasalt keresztmetszet lapított alakú interakciós diagramot eredményez.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

A végső határállapotot meghatározó pontok feszültségintegrálásból adódnak.  Az alábbi ábra a végső határállapotbeli alakváltozást mutatja.

Alakváltozás-eloszlások a végső határállapotban (forrás: [2]).

Az interakciós diagram a keresztmetszet normálerő és hajlítónyomatékok hatására bekövetkező tönkremenetelét mutatja. [1]

A 2D diagram problémáját (az interakciós felületen fekvő zárt görbe) figyelembe véve megállapítható, hogy az alakváltozási sík átmegy a semleges tengelyen és a kritikus ponton [y, z, ε], amelyet R kritikus pontnak tekintünk.  Az [y, z] pont a keresztmetszet egy pontját jelöli, ahol az ε alakváltozás értéke a végső határállapotban adott. A semleges tengely dőlésszöge állandó a 2D diagram összes pontjára.

Abban az esetben, ha a betonban lévő nyomófeszültség az irányadó a méretezés szempontjából, az R pont a legtávolabbi nyomott betonszálhoz vagy a C határponthoz esik. Ez azonban csak akkor alkalmazható, ha a keresztmetszet egyféle betonból készült – nem vegyes keresztmetszet esetén.   

Abban az esetben, ha a vasalásban lévő húzófeszültség az irányadó a méretezés szempontjából (az ε_ud alakváltozást egy vagy több rúdban meghaladja a végső határállapotban), teljesíteni kell azt a feltételt, hogy az adott alakváltozási síkra vonatkozóan az ε_ud értéket egyetlen más rúdban sem haladja meg.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

A fenti ábra szemlélteti, hogy a diagram két részre osztható: az a rész, ahol a tönkremenetelt a húzóerő okozza, és az a rész, amely nyomóerő hatására megy tönkre. A határpontok a fenti esetnek felelnek meg, ahol az alakváltozási sík szélső dőlésszöge is látható. Az interakciós diagram megrajzolásakor a keresztmetszet síkbeli alakváltozásának dőlésszöge ebben az intervallumban változik, miközben az R pontot keressük (lásd fent). Az így meghatározott sík alapján elvégezzük az integrálást, hogy megkapjuk a feszültséget a végső határállapotban.

Normálerőnek és hajlítónyomatéknak kitett keresztmetszet ellenőrzése

A normálerőnek és hajlítónyomatéknak kitett keresztmetszet ellenőrzése annak igazolásán alapul, hogy az ellenőrzött feszültségek (N_d, M_yd, M_zd kombináció) az interakciós felületen belül vagy azon helyezkednek el. Ezt különböző módszerekkel lehet elvégezni. Az alábbi példa egy N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm erőknek kitett téglalap keresztmetszet ellenőrzését mutatja be.

NuMuMu módszer

A keresztmetszet teherbírásának meghatározásához feltételezzük, hogy az összes belső erőkomponens arányosan változik (a normálerő excentricitása állandó marad) mindaddig, amíg az interakciós felület ki nem alakul. Az érintett belső erők változása értelmezhető úgy, mint mozgás a koordináta-rendszer origóját (0,0,0) és a belső erők által meghatározott (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) pontot összekötő egyenesen. Ennek az egyenesnek az interakciós felülettel való két metszéspontja a végső határállapotbeli erők két készletét képviseli. Minden metszéspontban a program három határállapoti erőt határoz meg: a méretezési normálerő-teherbírást N_Rd és a megfelelő méretezési nyomatéki teherbírásokat M_Rdy, M_Rdz.

NuMM módszer

A keresztmetszet teherbírásának meghatározásához feltételezzük, hogy a normálerő állandó (egyenlő a ható méretezési normálerővel) és a hajlítónyomatékok arányosan változnak mindaddig, amíg az interakciós felület ki nem alakul. Az érintett belső erők változása értelmezhető úgy, mint mozgás egy vízszintes síkban az (N_Ed,0,0) pontot és a ható belső erők által meghatározott (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) pontot összekötő egyenesen. Ennek az egyenesnek az interakciós felülettel való két metszéspontja a végső határállapotbeli erők két készletét képviseli. Minden metszéspontban a program három határállapoti erőt határoz meg: a méretezési ellenálló nyomatékokat M_Rdy, M_Rdz és a (megfelelő) ható méretezési normálerőt N_Ed.

NMuMu módszer

A keresztmetszet teherbírásának meghatározásához feltételezzük, hogy a normálerő állandó (egyenlő a ható méretezési normálerővel) és a hajlítónyomatékok arányosan változnak mindaddig, amíg az interakciós felület ki nem alakul. Az érintett belső erők változása értelmezhető úgy, mint mozgás egy vízszintes síkban az (N_Ed,0,0) pontot és a ható belső erők által meghatározott (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) pontot összekötő egyenesen. Ennek az egyenesnek az interakciós felülettel való két metszéspontja a végső határállapotbeli erők két készletét képviseli. Minden metszéspontban a program három határállapoti erőt határoz meg: a méretezési ellenálló nyomatékokat M_Rdy, M_Rdz, és a (megfelelő) ható méretezési normálerőt N_Ed.

A keresztmetszeti válasz meghatározása

A keresztmetszet ellenőrzésének másik lehetősége a keresztmetszeti válasz meghatározása (azaz az alakváltozás és feszültségeloszlás a ható belső erőkből). Ez a módszer a határalakváltozás módszereként is ismert. A ható feszültségek szintje minden szálban (sík hajlítás esetén minden rétegben) és minden vasalási rúdban az anyag feszültség-alakváltozás diagramjának alakváltozásától függően kerül kiszámításra.
A keresztmetszeti válasz meghatározása a [6]-ban megadott numerikus módszerrel történik. Az elv a keresztmetszet fokozatos terhelésnövelésén alapul az át nem vitt erők egyensúlyhiányos komponenseivel. Ezeket a feszültség keresztmetszeten való integrálásával kapjuk meg a feszültség-alakváltozás diagramok segítségével. Ha az alakváltozáshoz tartozó feszültségérték megtalálható a feszültség-alakváltozás diagramban, lásd az alábbi ábra (a) esetét, a számított feszültség helyes lineárisan rugalmas anyagot feltételezve. A (b) és (c) esetekben a lineáris számítás feszültsége irreális értékeket ér el, és a (b) rész vagy a teljes érték (c) nem vihető át az anyag által. Az át nem vitt feszültségek integrálásával megkapjuk az át nem vitt belső erőket, amelyek eredőit hozzá kell adni a változó terhek belső erőihez. 

Át nem vitt feszültségek a feszültség-alakváltozás diagramokban. [4]

Át nem vitt belső erők. [4]

Ez a számítási módszer numerikus módszerek alkalmazását igényli a feszültség keresztmetszeti területen való integrálásához és az egyensúlyi egyenletek&nbspnemlineáris elemzéséhez a keresztmetszetben. Az iteráció akkor ér véget, amikor a konvergencia kritériumok teljesülnek.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

ahol 

F_e a keresztmetszeti terhelés,

F_i a keresztmetszeti válasz (az alakváltozási sík alapján számított belső erők).

Ha a a közelítő (becsült) érték és b a pontos (valódi) érték, akkor az abszolút eltérést a következő egyenlet adja meg.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

A relatív eltérést a következő képlet adja meg:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

A legtöbb programban ezek a konvergencia kritériumok beállíthatók (alapértelmezett értékek: 1% relatív hiba, 100 N, 100 Nm mint a normálerő és a nyomatékok abszolút hibája). 

Tehát ha a bemeneti értékek N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm és az iteráció utáni integrált erők N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, az értékelés a következőképpen alakul. Figyelembe véve, hogy N és Mz értéke 0, az abszolút eltéréssel való összehasonlítás elvégezhető:

A normálerő értéke 100N> | 70 | N
Az Mz hajlítónyomaték értéke 100Nm> | 20 | Nm
Az My hajlítónyomaték értéke

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Keresztmetszet ellenőrzése a válasz alapján

A keresztmetszetben fennálló egyensúly meghatározása esetén a síkbeli alakváltozás ismert. A síkbeli alakváltozásból kiszámítható az alakváltozás a keresztmetszet bármely pontján, majd a feszültség vagy belső erők a vasalási rudakban, a keresztmetszetben vagy annak részeiben az anyagok feszültség-alakváltozás diagramjai segítségével. A számított feszültség- és alakváltozás-értékeket összehasonlítjuk a felhasznált anyagok feszültség-alakváltozás diagramjaiból vett határalakváltozás értékekkel.
Ennek a módszernek az előnye, hogy teljes képet kapunk a keresztmetszetre ható belső erők feszültség- és alakváltozás-értékeiről a keresztmetszetben.

Nyírás

A törékeny tönkremenetelt tekintve a nyírási ellenőrzés a vasbeton keresztmetszet egyik fontos ellenőrzése.

Számítási eljárás

A nyírási ellenállás számítása több alapvető részből áll. Először meg kell vizsgálni, hogy az ellenőrzött helyen keletkeznek-e hajlítás miatti repedések vagy sem. Ha igen, az EN 1992-1-1 [2] 6.2.2 (1) cikke szerinti számítást kell alkalmazni. Ellenkező esetben meg kell határozni, hogy vasalatlan betonról vagy gyengén vasalt betonról van-e szó, majd az EN 1992-1-1 12.6.3 cikke szerint kell eljárni.

Vasalt, nem repedt beton esetén (nyírási vasalás nélkül) az EN 1992-1-1 6.2.2 (2) cikke szerint ellenőrzünk. Azon elemeknél, ahol nyírási vasalás szükséges, a 6.2.3 cikk [2] szerint ellenőrzünk.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Nyírási vasalás nélküli elemek nyírási ellenállása

Elemek nyírási ellenállása repedt hajlítási zónákban (6.2.2 (1) cikk [2])

A nyírási vasalás nélküli vasbeton elemek nyírási ellenállása hajlítónyomaték hatása esetén:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Ezt egyszerű gerendákon végzett, reprezentatív számú kísérlet alapján határozták meg nyíróerő miatti tönkremenetel esetére. Mivel a fenti ellenállás nulla lehet hosszirányú vasalás (r_l) nélküli elemeknél, gyengén vasalt elemekre egyenleteket vezettek le. Mivel a fenti ellenállás nulla lehet hosszirányú vasalás (r_l) nélküli elemeknél, a gyengén vasalt elemekre az ellenállást az alábbi egyenlettel határozták meg

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

A normálerő hatását figyelembe vevő nyírási ellenállást az alábbi egyenlettel határozták meg

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

A nyírási ellenállás teljes kifejezése, amely megfelel az EN 1992-1-1 6.2.2 (1) cikkének

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Minimuma

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

ahol  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          keresztmetszeti magassági tényező 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      hosszirányú vasalás vasalási aránya

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        a beton jellemző nyomószilárdsága hengereken 28 napos korban

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  MPa-ban

b_w        a keresztmetszet legkisebb szélessége a húzott zónában

d          a keresztmetszet hatékony magassága

υ_min      minimális egyenértékű nyírási szilárdság υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Elemek nyírási ellenállása nem repedt hajlítási zónákban (6.2.2 (2) cikk [2])

A nem repedt hajlítási zónákban lévő elemek nyírási ellenállása a Mohr-körből határozható meg. Az egyenletbe

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

Behelyettesítjük σ_x = σ_cp és τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) értékeket, és kifejezzük V_Rd,c-t, így az EN 1992-1-1 6.2.2 (2) cikkében megadott képletnek megfelelő egyenletet kapunk

ahol  

I           a másodrendű nyomaték,

b_w        a keresztmetszet szélessége a súlyvonali tengelynél

S          a súlyvonali tengely feletti és körüli elsőrendű nyomaték,

f_ctd        a beton méretezési tengelyi húzószilárdsága MPa-ban,

 s_cp       a beton nyomófeszültsége a súlyvonali tengelynél a terhelés és/vagy előfeszítés hatására,

a_l         átadási hossz tényező, általában 1,0.

A fentiekkel kapcsolatban meg kell jegyezni, hogy a hajlítási repedések nélküli területeken a V_Rd ,c  ellenállás lényegesen nagyobb lehet, mint a repedt területeken a 6.2.2 (1) cikk [2] szerint. Az alábbi ábra egyértelműen mutatja, hogy bár a nyíróerőt a szélső értékén ellenőrzik (amely nem okoz repedéseket), ez nem feltétlenül garantálja, hogy az átadódik a teljes gerenda hosszán. Ez a beton nyírási ellenállásának számítási módszerének változásából adódik. A biztonságos oldal felé haladva természetesen a nyírási ellenállás a 6.2.2 (1) cikk [2] szerint is figyelembe vehető azokon a helyeken is, ahol repedések nem keletkeznek.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

A 6.2.2 (2) cikk [2] szerinti V_Rd, c  kifejezésével kapcsolatban meg kell jegyezni, hogy az általános esetben a normál nyomófeszültség zónájában a szélső főhúzófeszültség szálánál kell az ellenőrzést elvégezni, nem pedig a keresztmetszet súlypontjánál. Ennél a pontnál szükséges a keresztmetszeti jellemzők (S és b_W) kiszámítása. A maximális főfeszültség s₁ meghatározásához az IDEA RCS programban egy vonalat húzunk a súlyponton át az eredő nyíróerők irányában. Ezt a vonalat 20 szakaszra osztjuk. Ezen a vonalon több jellemző pontot jelölünk meg (a keresztmetszeti sokszög pontjai, súlypont, semleges tengely). Ezeken a pontokon belül kiszámítjuk S, b_w, σ_x, τ_yz és σ₁ értékeket. A maximális főhúzófeszültség pontjában számítjuk ki a nyírási ellenállást.

A 6.2.2 (6) cikk által előírt β csökkentési tényező alkalmazása előtti nyíróerőnek teljesítenie kell az alábbi kiegészítő feltételt

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

ahol 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  ahol f_ck MPa-ban értendő

Vasalás nélküli vagy gyengén vasalt elemek nyírási ellenállása (12.6.3 cikk [2])

Vasalatlan vagy gyengén vasalt beton nyírási ellenállása az alábbi kifejezésből határozható meg

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Ahol

τ_cp helyébe behelyettesítjük

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

vagy

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

A fenti képletben használt részértékek:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

ahol  

f_cd,pl     Vasalatlan vagy gyengén vasalt beton méretezési nyomószilárdsága,

f_ctd,pl    Vasalatlan vagy gyengén vasalt beton méretezési tengelyi húzószilárdsága,

f_cvd       Méretezési nyírási ellenállás beton nyomás alatt.

Nyírási vasalással rendelkező elemek ellenállása (6.2.3 cikk [2])

A nyírási vasalással rendelkező vasbeton elemek ellenállásának számítása a változó szögű átlókkal rendelkező rácsanalógia módszerén alapul. Ennek a módszernek az alapja az erők egyensúlya a nyomott rúd ereje (átló), a nyírási vasalás ereje (kengyel) és a hosszirányú vasalás ereje által meghatározott háromszögben.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

A nyíróerő hatásának kitett keresztmetszetet θ szögű repedések törik meg, ezért a nyíróerővel azonos szögű betonátló ellenáll a nyíróerőnek. Az átló nyomóereje V_ed/sinθ-ként fejezhető ki. Ezt az erőt a nyomott átlóra merőleges betonfelületnek kell átvennie: b_wzcosθ. A nyomott átlóban a beton nyomófeszültsége ekkor egyenlő:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

Behelyettesítve \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  és \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] és kifejezve \[{{V}_{Rd,max}}\] értékét, megkapjuk az átló nyírási ellenállásának egyenletét:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

A nyomott átló függőleges erőkomponensének egyensúlyához nyírási vasalást alkalmazunk. A függőleges erő nagysága az egy kengyelnek megfelelő betonfelületen ébredő átlós nyomófeszültségen alapul - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. A határkengyel-erő értéke \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Behelyettesítve σ_c-t, összehasonlítva a vasalás határerejével, módosítások után kapjuk:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Majd V_ed-t V_RDs-ként kifejezve megkapjuk a függőleges nyírási vasalással rendelkező keresztmetszet ellenállását:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

A hosszirányú nyíróerőt a hosszirányú vasalás veszi fel, és V_edcotgθ-ként határozható meg. A fenti képletek levezetése megtalálható [4]-ben.

Az IDEA RCS programban csak függőleges nyírási vasalással rendelkező elemek ellenőrzése lehetséges. Általánosan az alábbi egyenletek alkalmazhatók:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Ahol  

A_sw      a nyírási vasalás keresztmetszeti területe,

s           a kengyelek távolsága,

f_ywd      a nyírási vasalás méretezési folyáshatára,

b_w        a húzott és nyomott övek közötti minimális szélesség. A V_Rd,max ellenállás számításához a keresztmetszet szélességét a keresztmetszet úgynevezett névleges szélességére kell csökkenteni, amennyiben a keresztmetszetet kábelcsatornák gyengítik

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ injektált fémcsatornák esetén

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ nem injektált fémcsatornák esetén           

υ          = 0,6 ha f_ck ≤ 60MPa vagy ha f_ck > 60MPa,

α_cw       egy tényező, amely figyelembe veszi a nyomott öv feszültségállapotát.

Terhelés	σcp = 0	0 < σcp≤0,25 fcd	0,25 fcd < σcp≤0,5 fcd	0,5 fcd < σcp≤1,0 fcd
αcw tényező	1,0	1+σcp/fcd	1,25	2,5(1 - σcp/fcd)

1‑1. táblázat Az α_cw tényező meghatározása

A θ szög a beton nyomott rúd és a nyíróerőre merőleges gerendatengely közötti szög. A cotθ határértékei az egyes országok Nemzeti Mellékletében találhatók. Az ajánlott határértékeket az alábbi kifejezés adja meg:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

A θ szög nagyságának megválasztása befolyásolhatja az ellenállások értékét. Az ellenállások függése az 1.15. ábrán látható. Az ábra mutatja, hogy a θ szög növekedésével a V_Rd,max ellenállás növekszik, a V_Rd,s ellenállás pedig csökken. A V_Rd,c ellenállás állandó, mivel a rácsanalógia módszerén alapul.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Keresztmetszeti jellemzők számítása nyíráshoz

A nyírás számításához fontos meghatározni a nyírási ellenállást befolyásoló keresztmetszeti változókat. Ezek közé tartozik elsősorban a nyírásnak ellenálló keresztmetszeti szélesség b_w, a hatékony magasság d és a karhossz z. A szabvány [2] ezeket az értékeket közvetlenül a tényleges hajlítási feszültséggel összefüggésben adja meg. A probléma azonban ezen értékek meghatározása akkor, amikor az eredő hajlítónyomatékok iránya (vagy pontosabban a keresztmetszeti ellenállás eredőjének iránya) lényegesen eltér az eredő nyíróerők irányától. Ebben az esetben az EC2 szabvány nem ad ajánlásokat.

A nyírásnak ellenálló keresztmetszeti szélesség b_w

Az IDEA RCS program a nyírásnak ellenálló keresztmetszeti szélességet a nyíróerők eredőjére merőleges irányban számítja. Az Eurocode vonatkozó cikkétől függően ez a szélesség a következőképpen számítódik:
-  A nyomott beton eredője és a húzott vasalás közötti legkisebb keresztmetszeti szélesség a nyíróerők eredőjére merőleges irányban a 6.2.2 (a) és 6.2.3 (1) cikk esetén
- A keresztmetszeti szélesség a nyíróerők eredőjére merőleges irányban az ellenőrzött pontban a 6.2.2 (2) cikk szerint

A keresztmetszet hatékony magassága

A hatékony magasságot általában a legjobban nyomott betonszál és a vasalás súlypontja közötti távolságként definiálják. Mivel ez közvetlenül kapcsolódik a hajlításhoz, a távolságot a síkalakváltozás gravitációs vonalára vett merőleges vetületként adják meg.

Ez a definíció pontosítható úgy, hogy a húzott vasalás súlypontja helyett a vasalás erőeredőjének helyzetét alkalmazzák. Az IDEA RCS program fejlesztése során megoldandó probléma volt: hogyan definiálják a keresztmetszet hatékony magasságát, amelynél a hajlítási terhek síkja nem egyezik meg az eredő nyíróerők irányával. Ezért a hatékony magasságot a legjobban nyomott betonszál és a húzott vasalásban ébredő erők eredője közötti távolságként definiálják (hajlítási feszültség alapján), az eredő nyíróerők irányában, lásd az 1.17. ábrát.

Kivételes esetek fordulhatnak elő, ha nem tudjuk meghatározni a nyomott szálat vagy a húzott vasalás eredőjét. Ebben az esetben a 0,9 h érték (a keresztmetszet magasságának 90%-a az eredő nyíróerők irányában) alkalmazását javasoljuk. Ezt az értéket a felhasználó az IDEA RCS programban a szabványi változók beállításával adhatja meg.

A belső erők karja

A belső erők karja a 6.2.3 (3) [2] cikkben szerepel, és „a húzott és nyomott övek közötti távolságként" van definiálva. A szabvány nem határozza meg, hogyan kell eljárni, ha a hajlítónyomaték hatásának síkja eltér az eredő nyíróerők irányától. Ezért, a hatékony magasság esetéhez hasonlóan, a távolságot az eredő nyíróerők irányában definiáljuk. Itt is hasonló kivételes esetekkel találkozhatunk, például ha a teljes keresztmetszet nyomás alatt van stb. Ebben az esetben a 0,9 d értéket (a hatékony keresztmetszeti magasság 90%-át) vesszük figyelembe. Ezt az értéket a felhasználó az IDEA RCS programban a szabványi változók beállításával adhatja meg.

A hajlítási sík dőlése és a nyíróerő eredője közötti összefüggés jól látható az 1.18. ésaz 1.19. ábrán. A dőlés növekedésével a hatékony magasság, a karok és a kapcsolódó ellenállások értékei csökkennek. A határállapot 90°. Ennél a dőlésnél a belső erők karja nem számítható ki, következésképpen a kar értéke nulla. Ebben az esetben a szabványi változók beállításában megadott értéket vesszük figyelembe. Emiatt ugrás keletkezik a diagram végén. Ez a tanulmány igazolja, hogy az ajánlott maximális dőlés körülbelül 20°.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

Az RCS alkalmazás tesztelésének részeként tanulmányt készítettek a nyírási ellenállás normálerőtől való függéséről. A V_Rd,max ellenállást csak az α_cw tényező befolyásolja, lásd az 1.20. ábrát. Az 1.21. ábra a V_Rds ellenállás állandó értékét mutatja. A V_Rdc ellenállás esetén a csökkenést a normálerő növekedése okozza. Az 1.21. ábra kék görbéje a V_Rdc ellenállást mutatja a repedések hatásának elhanyagolásával, amelyet a 6.2.2 (1) [2] szakasz képletével számítottak. A nyomás és húzás közötti átmenetben tapasztalható ugrást a hozzájáruló húzott vasalás okozza. A piros görbe a 6.2.2 (2) [2] szakasz képletével számított értékeket mutatja. Az első repedés megjelenése után a függési görbe megegyezik a 6.2.2 (1) [2] szerintivel.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]

Csavarás

Számítási feltételezések

A csavarásnak kitett vasbeton keresztmetszet viselkedése két kategóriára osztható – a repedések várható megjelenése előtt és után. A repedés előtt a keresztmetszet rugalmas anyagként viselkedik. A csavarási feszültség a következő képlettel fejezhető ki:  

 \[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\] 

ahol W_t a csavarási keresztmetszeti modulus.

A vasalatlan szerkezeti elemben a főhúzó csavarási feszültség miatti repedések szintén végső határállapotot jelentenek. A csavarásnak kitett vasbeton keresztmetszet viselkedése vékonyfalú zárt szelvény alapján írható le, lásd az alábbi ábrát. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]

Számítási eljárás

A vasbeton csavarásra való ellenőrzésének folyamata nagyon hasonló a nyírásra való ellenőrzéshez. Először a beton ellenállását ellenőrizzük. Ha a beton ellenőrzése teljesül, a vasalás a konstruktív szabályok alapján tervezhető. Ellenkező esetben a vasalás és a nyomott átló ellenállását számítással kell igazolni.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]

Ellenállás

A csavarás alatt álló vékonyfalú keresztmetszet falában a nyírási folyam a következőképpen fejezhető ki:

\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

A vékonyfalú keresztmetszet falában a nyíróerő a következőképpen fejezhető ki:

\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]

Ahol 

τ          Nyírási folyam a falban,

t_ef         a hatékony falvastagság,

z           a fal oldalhossza,

T_Ed       a csavarási nyomaték,

A_k        a csatlakozó falak tengelyvonalai által bezárt terület, beleértve a belső üreges területeket is.

A csavarási repedési nyomaték meghatározható az f_ctd behelyettesítésével az előző kifejezésbe. Így megkapjuk a csavarási vasalás nélküli csavarási ellenállás kifejezését.

\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]

ahol  f_ctd       a beton méretezési tengelyes húzószilárdsága

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]

A csavarási vasalással rendelkező szerkezeti elem ellenállása a nyomott betonátlók ellenállásából tevődik össze, amely szintén a rácsanalógia módszerén alapul. Az átlóban lévő nyomófeszültség a vékonyfalú keresztmetszet falában lévő nyíróerő segítségével fejezhető ki a vizsgált falfelületen, azaz

\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]

Az σ_c=σ_cwf_cd és T_Ed=T_Rd,max behelyettesítésével és T_Rd,max kifejezésével megkapjuk a nyomott átló ellenállásának egyenletét

\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]

ahol  

ν          = 0,6 f_ck ≤ 60MPa esetén vagy f_ck > 60MPa esetén

α_cw       együttható, amely figyelembe veszi a nyomott öv nyomófeszültségi állapotát

f_cd        a beton nyomószilárdsága méretezési értéke

a csavarásnak kitett nyírási vasalás ellenállása szintén a nyomott átlóban lévő feszültségen alapul. A kengyelerő egyenlő a nyomott átlóban lévő feszültséggel azon a területen, amely az adott kengyelsornak felel meg, azaz

\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]

T_Ed=T_Rd,s behelyettesítésével és T_Rd,s kifejezésével megkapjuk az egyenletet:

 \[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\] 

Ha a hosszirányú és nyírási vasalás mennyisége ismert, a θ szög a következő kifejezéssel határozható meg:

\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\] 

T_Rd,s behelyettesítésével megkapjuk:

\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]  

Ahol

A_sw      nyírási vasalás területe

s           a nyírási vasalás kengyelei közötti sugárirányú távolság

f_ywd      a nyírási vasalás hatékony méretezési szilárdsága

A_sl       hosszirányú vasalás területe

u_k         a keresztmetszet külső kerülete

f_ywd      a hosszirányú vasalás hatékony méretezési szilárdsága

A hosszirányú vasalásban ébredő erő levezethető a tiszta csavarási nyomatéknak kitett szelvény falában lévő nyíróerőből, amely a következőképpen adható meg:

\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]

Ez az erő hosszirányba transzformálva a következőt adja:

\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]

A θ szög megengedett értéktartománya hasonló a nyírás ellenőrzéséhez, azaz 1 < cot θ < 2,5. Az ellenállások közötti összefüggés az alábbi ábrán látható. Az ábra mutatja, hogy a θ szög növekedésével a T_Rd,max ellenállás növekszik, a T_Rd.s ellenállás csökken, a T_Rd,c ellenállás pedig állandó marad, mivel az nem a rácsanalógia módszerén alapul.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]

A keresztmetszet csavarási jellemzőinek számítása

A keresztmetszet csavarásra való ellenőrzéséhez szükséges egy úgynevezett egyenértékű vékonyfalú zárt szelvény meghatározása. Az egyenértékű vékonyfalú keresztmetszet méreteit téglalap alakot feltételezve határozzuk meg. A téglalap valódi területére A = b×h, kerületére u =2 (b +h) érvényes. E két egyenlet segítségével meghatározható az eredeti keresztmetszet területével és kerületével egyenértékű vékony téglalap alakú szelvény. Két egyenlet két ismeretlennel megoldva a következőt kapjuk:

\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]

A hatékony keresztmetszet falvastagsága a kerületből és a szelvény területéből a következőképpen határozható meg:

\[t=\text{A}/\text{u}\]

Ezután a hatékony keresztmetszet tengelyvonala által meghatározott terület és kerület:

\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]

Ennek a módszernek a problémája a széles lemezzel rendelkező T keresztmetszetek esetén merül fel, amikor a méretek kiszámításához a teljes területet és kerületet veszik figyelembe (beleértve ezt a lemezt is). Az IDEA RCS program jövőbeli verzióiban lehetővé válik a legmasszívabb keresztmetszeti rész kiválasztása, amelyet a csavarás ellenőrzéséhez fognak használni.

Kölcsönhatás

A nyíróerő és a csavarás kölcsönhatása a nyírási vasalásra

A nyírási vasalásban ébredő erő meghatározása nyíróerő hatására. 

A számítás az EN 1992-1-1 szabványban meghatározott nyírási vasalás ellenállásának kiszámítására vonatkozó képleten alapul. A 6.13 egyenlet alapján (6.2.3 (4) fejezet) egy kengyel szár teherbírási ellenállása a következőképpen vezethető le:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . a vizsgált keresztmetszetben nyírást felvevő egy kengyel szár keresztmetszeti területe

s .  .  .  .  . a nyírási vasalás távolsága a hosszirányú szerkezeti elem tengelyének irányában 

a_sw,V .  .  . a nyírási vasalás keresztmetszeti területe egységnyi hosszra vetítve

z .  .  .  .  . a belső karhossz. Állandó magasságú szerkezeti elemnél a vizsgált elem hajlítási momentumának megfelelő érték. Axiális erő nélküli vasbeton nyírási vizsgálatánál általában a z = 0,9d közelítő érték alkalmazható.

f_ywd .  .  .  a nyírási vasalás méretezési folyáshatára

θ .  .  .  .  . a beton nyomott rúd és a nyíróerőre merőleges szerkezeti elem tengely közötti szög

α .  .  .  .  . a nyírási vasalás és a nyíróerőre merőleges szerkezeti elem tengely közötti szög

β .  .  .  .  . a kengyel szárának dőlésszöge az alkalmazott nyíróerő eredőjéhez képest

A nyíróerő egyenletesen oszlik el az egyes nyíróerőt felvevő vasalások között a vasalás szöge és az egyes kengyel szárak axiális merevsége alapján.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Továbbá, az eredő nyíróerő irányában figyelembe vett átlagos vasalási alakváltozás a következőképpen vezethető le:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

Az i-edik vasalás tényleges alakváltozása a következőképpen számítható:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

A vasalás adott szárában ébredő húzás:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Az egyes kengyelekben ébredő erő meghatározása csavarás hatására

Egy keresztmetszet csavarási ellenállása vékonyfalú zárt szelvény alapján számítható, amelyben az egyensúlyt zárt nyírási folyam biztosítja. A tömör keresztmetszetek egyenértékű vékonyfalú szelvényekkel modellezhetők. Nem tömör keresztmetszetek esetén az egyenértékű falvastagság nem haladhatja meg a tényleges falvastagságot.

A vékonyfalú zárt szelvény falában csavarás hatására ébredő nyírási folyam a következőképpen számítható:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Az egyes falban ébredő nyíróerő ekkor:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . a vizsgált fal tengelyvonalának hossza

Nyíróerő a gerinclemeznél – a gerinc tengelyvonalának hossza helyettesíthető a „z" karhossz értékével.

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

A csavarást felvevő kengyelekben ébredő erő a szerkezeti elem egy méter hosszára vetítve (egységnyi hosszra):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Az erők felbontása az egyes kengyelekre

Ha minden kengyelnél ugyanaz az anyag van megadva, a csavarásból eredő feszültség minden kengyel szárban állandó. Ekkor:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

ahol a_sw,T a csavarást felvevő kengyelek egységnyi hosszra eső teljes területe.

Abban az esetben, ha az egyes kengyelek különböző anyagból készülnek, az egyes rudak axiális merevségét figyelembe kell venni.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . a csavarást felvevő vasalás szárainak száma (vasaláscsoportok)

F_si,T .  .  . az i-edik vasaláscsoportban csavarásból eredő erő egységnyi hosszra vetítve

a_si,T .  .  . a csavarást felvevő nyírási vasalás keresztmetszeti területe egységnyi hosszra vetítve 

E_si,T .  .  . a csavarást felvevő i-edik vasaláscsoport rugalmassági modulusa

ε_sw,T .  .  a vasalás alakváltozása csavarás hatására

Az egyes kengyelekben az alkalmazott csavarásból eredő feszültség a következőképpen számítható:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

V+T kölcsönhatás

A kengyelekben nyírás és csavarás hatására ébredő feszültségek számítása az egyes terhelési összetevőkből eredő feszültségek összegzésével történik.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Az i-edik vasalásban ébredő eredő erő:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

A nyírás, csavarás és hajlítás kölcsönhatása a hosszirányú vasalásra

Az egyes hosszirányú vasalásokban ébredő erő meghatározása normálerő és hajlítási nyomaték hatására

Az RCS alkalmazás a normálerő és hajlítási nyomaték kombinációjából eredő keresztmetszetiválasz kiszámítására szolgál, az egyes hosszirányú rudakban és feszítővasalásban ébredő feszültség és alakváltozás meghatározása céljából.

Az egyes hosszirányú vasalásokban ébredő erő meghatározása nyíróerő hatására

A hosszirányú vasalásban a nyíróerő hatására fellépő húzóerő-növekmény ΔF_td a Strut-and-tie modell geometriájától függ. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  a hosszirányú vasalásban nyíróerő hatására fellépő húzóerő-növekmény

V_ed .  .  .  . a vizsgált keresztmetszetben ható nyíróerő méretezési értéke

θ .  .  .  .  . a beton nyomott rúd és a szerkezeti elem tengelye közötti szög 

α .  .  .  .  . a nyírási vasalás és a szerkezeti elem tengelye közötti szög

A húzott övben elhelyezett hosszirányú vasalás esetén az N+M+V kombináció hatására a hosszirányú vasalásban ébredő eredő F_t erő nem lehet nagyobb, mint M_Ed,max/z (ahol M_Ed,max a gerenda mentén fellépő maximális nyomaték)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

A ΔF_td erőt az összes tapadó feszítőkábel és a nyírást felvevő keresztmetszeti részben (I-profil esetén a gerinc) elhelyezett vasalás veszi fel. A biztonságos oldal felé haladva a feszítővasalás hozzájárulása 0-nak tekinthető. A számítás feltételezése az, hogy a nyírást felvevő egyes hosszirányú vasalások axiális alakváltozásának növekménye állandó (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). A levezetés vízszintes képlékeny ággal rendelkező bilineáris vasalási munkadiagramra érvényes. Ferde ágú diagram esetén a számítást módosítani kell.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . a hosszirányú vasalás alakváltozás-növekménye nyíróerő hatására

n_s,V .  .  .  . a nyíróerőt felvevő hosszirányú vasalások száma

A_sl,i,V .  .  . a nyíróerőt felvevő i-edik hosszirányú vasalás területe

E_sl,i,V .  .  . a nyíróerőt felvevő i-edik hosszirányú vasalás rugalmassági modulusa

n_p,V .  .  .  . a nyíróerőt felvevő feszítőkábelek száma

A_pl,i,V .  .  . a nyíróerőt felvevő i-edik feszítőkábel területe

E_pl,i,V .  .  . a nyíróerőt felvevő i-edik feszítőkábel rugalmassági modulusa

A ΔF_td erő értékének meghatározása után az átlagos vasalási alakváltozás Δε_V a következőképpen számítható.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Feszültség-növekmény az egyes hosszirányú rudakban az alkalmazott nyíróerő hatására:

betonacél esetén \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

feszítőkábel esetén \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Az egyes hosszirányú vasalásokban ébredő erő meghatározása csavarás hatására

Rendkívül fontos meghatározni a csavarást felvevő hosszirányú vasalásokat. Ezek azok a vasalások, amelyek a csavarást felvevő helyettesítő hatékony vékonyfalú keresztmetszetben helyezkednek el.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

Az EN 1992-1-1 szerint a hosszirányú csavarásálló vasalásra több feltételnek kell teljesülnie:

- a vasalást egyenletesen kell elosztani a z_i hossz mentén, de kis keresztmetszetekben a vasalás a kengyel sarkaiban koncentrálható

- a hosszirányú vasalás maximális tengelytávolsága 350 mm

A feszítővasalás hozzájárulása az EN 1992-1-1 szerint nem vehető figyelembe.

Az EN 1992-2 szabvány kimondja, hogy a feszítővasalás hozzájárulása figyelembe vehető, de a feszítővasalásban a maximális feszültség-növekmény nem haladhatja meg a Δσ_p ≤ 500MPa értéket. Ekkor a képlet módosítható:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Mivel azonban a feszítővasalás növekménye figyelembe vehető, ez a felhasználó döntésétől függ. Jelenleg a feszítővasalás nem kerül figyelembevételre a számításban. 

A számítás feltételezése az, hogy az egyes hosszirányú nyírást felvevő vasalások axiális alakváltozásának növekménye állandó (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). A levezetés vízszintes képlékeny ággal rendelkező bilineáris vasalási munkadiagramra érvényes. Növekvő ágú diagram esetén a számítást módosítani kell.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . a vizsgált keresztmetszetben alkalmazott csavarónyomaték méretezési értéke

θ .  .  .  .  . a nyomott átlók dőlésszöge a gerenda hossztengelyéhez képest (azonos a nyíróerőnél alkalmazottal)

u_k .  .  .  .  az A_k terület kerülete

A_f .  .  .  .  a helyettesítő üreges vékonyfalú szelvény tengelyvonala által meghatározott terület

n_s,T .  .  .  .a csavarónyomatékot felvevő hosszirányú betonvasalások száma

A_sl,i,T .  .  . a csavarónyomatékot felvevő i-edik hosszirányú betonvasalás területe

Δε_T .  .  .  .a hosszirányú vasalás alakváltozásának változása a csavarónyomaték hatására

Δσ_s,i,T .  .  az i-edik hosszirányú vasalásban ébredő feszültségváltozás csavarónyomaték hatására

E_sl,i,T .  .  . a csavarónyomatékot felvevő i-edik hosszirányú betonvasalás rugalmassági modulusa

Feszültség-növekmény az egyes hosszirányú vasalásokban az alkalmazott csavarónyomaték hatására:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]

Feszültségkorlátozás ellenőrzése

Az ellenőrzés az általános feltételezéseken alapul, ahol a keresztmetszet két állapotát vizsgálják: a repedésmentes keresztmetszetet (a beton húzószilárdsága nem hanyagolható el) és a teljesen repedt keresztmetszetet (a beton húzószilárdsága elhanyagolható). A beton húzószilárdságát figyelmen kívül hagyó megoldást az EN 1992-1-1 7.1 (2) cikkének feltételezései alapján veszik figyelembe.

A feszültség és az elhajlások számításakor repedésmentes keresztmetszetnek tekintik, ha a hajlítási húzófeszültség nem haladja meg az f_ct, eff értéket. Az f_ct, eff értéke f_ctm vagy f_ctm,fl lehet. Az f_ctm értéket a repedésszélesség és a húzási merevítő hatás számításakor alkalmazzák.

Az ellenőrzés részeként négy alapvető esettel foglalkozunk a feszültséghatár szempontjából.

• 7.2 (2) Az XD, XF és XS kitettségi osztályú környezetnek kitett szerkezeti elemekben a nyomófeszültséget korlátozni kell:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{1}}=0,6\]

• 7.2 (3) A betonban a kvázi-állandó terhek alatt ébredő feszültség korlátozott:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{2}}=0,45\]

• 7.2 (5) A vasalásban a terhek jellemző kombinációja alatt ébredő húzófeszültségeket korlátozni kell:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{3}}=0,8\]

• 7.2 (5) Ha a feszültséget kényszerdeformáció okozza, a húzófeszültség nem haladhatja meg:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{4}}=1\]

A k₁, k₂, k₃, k₄ értékek az egyes országokban az adott Nemzeti Mellékletben találhatók. Az ajánlott értékek rendre 0,8; 1 és 0,75, a vasalás jellemző folyáshatára, f_ck a 28 napon meghatározott jellemző hengerszilárdság f_ck.

Repedések

A repedések kialakulása

A hajlításnak vagy húzófeszültségnek kitett vasbeton szerkezetek jellemző tulajdonsága, hogy repedési tönkremenetel lép fel azokon a pontokon, ahol a betonban ébredő húzófeszültség meghaladja a beton húzószilárdságát. A szerkezet tartóssága és esztétikája szempontjából fontos, hogy a keletkező repedések a lehető legkisebbek legyenek. A repedésszélességek számítása, valamint az egyes kitettségi osztályokra megengedett maximális szélességek az EN 1992-1-1 szabvány 7.3. fejezetében találhatók.

A számítás első lépésében meghatározásra kerül, hogy a keresztmetszet repedt-e vagy sem. Maga a repedésszélesség mindig a kvázi-állandó vagy a gyakori teherkombinációból számítandó (a nemzeti melléklettől függően), de a repedés kialakulását az összes megadott SLS kombinációból ellenőrizni kell. Így két eset fordulhat elő:

• A betonszálakban ébredő maximális húzófeszültség egyetlen teherkombináció esetén sem haladja meg a beton húzószilárdságát (kvázi-állandó M_E,qp, gyakori M_E,fr, vagy karakterisztikus M_E,k), ezért a keresztmetszetet repedésmentesnek tekintjük.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Ha bármely kombináció esetén (kvázi-állandó, gyakori vagy karakterisztikus) repedések keletkeznek, azaz a vizsgált teherkombinációból adódó hajlítónyomaték nagyobb, mint a kritikus nyomaték M_cr, akkor a keresztmetszet az adott teherkombinációból repedt, és a repedt keresztmetszet jellemzőit, valamint a repedésszélességet ki kell számítani.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   valamely SLS teherkombinációból kapott hajlítónyomaték. Tehát lehet M_E,qp, M_E,fr, vagy M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  a beton húzószilárdsága a vizsgált időpontban. Ha a beton 28 napnál idősebb, f_ctm-mel egyenlő szilárdságot veszünk figyelembe.

Repedésszélesség számítása

Hajlítással terhelt elemnél a repedés kialakulása 2 jelenségre osztható:

• Repedésképződési fázis (1. ábra 2. szakasza)
• Stabilizált repedésfejlődés (1. ábra 3. szakasza)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Repedésfejlődési szakasz

Ez a folyamat kezdeti része, amikor az egyes repedések még fokozatosan jelennek meg, amíg az elem teljes húzott része nem érintett olyan repedésekkel, amelyek közelítőleg egyenletesen oszlanak el az elem hossza mentén. Az első repedés akkor keletkezik, amikor a húzott sávban ébredő erő meghaladja a kritikus erő N_r értékét (kritikus húzóerő, lásd alább), és további repedések fejlődnek ki egészen addig a terhelési szintig, amely a húzott sávban körülbelül 1,3N_cr-rel egyenlő erőt fejt ki (1. ábra 2. fázisa).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

A kialakuló repedések 2 típusra oszthatók – elsődleges és másodlagos repedésekre. Az elsődleges repedések a húzott szálakban keletkeznek, amikor elérik a beton effektív húzószilárdságát (f_ct,eff). Az elsődleges repedések képviselik a repedések első mintázatát (2. ábra). Ezután rövidebb másodlagos repedések keletkeznek az elsődleges repedések között (3. ábra). Az approximately 1,2–1,5 σ_sr-nek megfelelő feszültségeknél (általában 1,3 σ_sr átlagértéket vesznek figyelembe, ahol σ_sr a vasalásban ébredő feszültség az elsődleges repedések kialakulásakor a beton húzott zónájában), a másodlagos repedések fejlődése is befejeződik.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

A repedésképződési szakaszban a repedésszélesség a következőképpen számítható:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics ofthe transmission length for the first crack}}}\]

N-M-κ diagram

Az N-M-κ diagram egy elem görbületét (hajlítási merevségét) mutatja az alkalmazott hajlítónyomaték és normálerő függvényében. Az N-M-κ diagramoknak három típusa van:
- rövid távú,
- hosszú távú
- ULS.
Ezek a diagramok a számításhoz használt feszültség-alakváltozás diagramok típusában különböznek egymástól (az alábbiakban részletezve).

Az N-M-κ diagram meghatározásához a keresztmetszet kiválasztott jellemző állapotainak merevségszámítása szolgál. Általánosságban ez bármely keresztmetszeti állapot lehet, amelyből a válasz kiszámítható, és amelyből a hajlítási merevség és a görbület levezethető. Az IDEA RCS-ben négy jellemző pontot veszünk figyelembe (M_r, M_c, M_s és M_u)

M_r - a repesztőnyomaték 

A keresztmetszetet a felhasználó által megadott normálerő terheli, és az alakváltozási sík elkezd forogni (a megadott hajlítónyomaték irányában), amíg a beton húzási szilárdsága el nem éri a határértéket egy betonszálban (C30/37 betonosztály esetén ez f_ctm = 2,896 MPa). A számításhoz mindkét anyagnál (vasalás és beton) vízszintes képlékeny ággal rendelkező bilineáris feszültség-alakváltozás diagramot alkalmazunk.

M_c - a hajlítónyomaték, amikor a beton nyomószilárdsága eléri a határértéket

Az előző lépésből azonosítjuk a nyomásban legjobban igénybe vett betonszálat. Ennél a szálnál beállítjuk a beton határszilárdságához tartozó alakváltozást (f_ck/E_cm rövid távú, f_ck/E_ceff hosszú távú és f_cd/E_cm az ULS diagram esetén). A megadott normálerő és a hajlítónyomaték iránya alapján iterációs folyamat fut az alakváltozási sík megkeresésére, hogy egyensúlyt találjon a keresztmetszet válasza és a megadott normálerő között.  A számításhoz mindkét anyagnál (vasalás és beton) vízszintes képlékeny ággal rendelkező bilineáris feszültség-alakváltozás diagramot alkalmazunk.

M_s - a hajlítónyomaték, amikor a legjobban igénybe vett vasalásban eléri a folyáshatárt

Az N-M-κ diagram egy másik jellemző pontja a keresztmetszet feszültségállapota, amikor a legjobban igénybe vett vasalásban eléri a folyáshatárt (a betonacél alakváltozása egyenlő f_yk/E_s a rövid és hosszú távú diagramok esetén, f_yd/E_s az ULS diagram esetén). Az iterációs folyamat a keresztmetszet normálerőinek egyensúlyát keresi az alakváltozási sík forgatásával a legjobban igénybe vett vasalásrúd helyzetével meghatározott pont körül. A számításhoz mindkét anyagnál (vasalás és beton) vízszintes képlékeny ággal rendelkező bilineáris feszültség-alakváltozás diagramot alkalmazunk.

M_u - a hajlítónyomaték a végső határállapotnál

Ez a keresztmetszet végső teherbírása hajlításban, amikor a keresztmetszetet a megadott méretezési normálerő N_ed terheli. A keresztmetszeti teherbírás számításánál feltételezzük, hogy a beton legjobban igénybe vett szálában a nyomószilárdság és a legjobban igénybe vett vasalásrúdban a húzószilárdság egyidejűleg eléri a határértéket (a beton maximális alakváltozása ε_cu = 0,1, a vasalásé ε_s,max = 0,5). A számításhoz a vasalásnál vízszintes képlékeny ággal rendelkező bilineáris feszültség-alakváltozás diagramot, a betonnál parabolikus-téglalap diagramot alkalmazunk.

Az eredő merevség és görbület a felhasználó által megadott normálerő és hajlítónyomaték kombinációja (Md) alapján az N-M-κ diagram egyes jellemző pontjainak lineáris interpolációjával kerül kiszámításra.

Merevségek és görbületek számítása

Az egyes keresztmetszeti feszültségállapotokhoz (M_r, M_c, M_s vagy M_u) tartozó merevségek és görbületek közvetlenül az alakváltozási sík elfordulásából számíthatók. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    az elem tengelyi merevsége

N . .   .   . a megadott normálerő

ε_x .   .   .  tengelyi alakváltozás a betonkeresztmetszet súlypontjában

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   az elem hajlítási merevsége

M .   .   .    a számított hajlítónyomaték M_r, M_c, M_s vagy M_u

κ .   .   .   . az elem görbülete, amelyet az alakváltozási sík és az elem hossztengelye közötti szög tangenseként számítunk

Gyakorlati példa

Egy betonkeresztmetszetet (C30/37 betonosztály) ϕ32 vasalással (B500B osztály) erősítettünk meg. A megadott kvázi-állandó kombináció N = -730 kN és M_y = 557 kNm.

Az M_s jellemző ponthoz tartozó alakváltozási síkot az IDEA RCS a következőképpen határozza meg:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

A számításhoz használt feszültség-alakváltozás diagramok

Vasalás - M_r, M_c, M_s és M_u

Beton - M_r, M_c, M_s

Beton - M_u

Irodalom

[1] Bradáč Betonové konstrukce (beton szerkezetek), 1. rész: Vasalt és vasalatlan beton elemek méretezése, EXPERT Ostrava, 1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurocode 2: Betonszerkezetek tervezése - 1-1. rész: Általános szabályok és épületekre vonatkozó szabályok, beleértve az NA ed. A (2007) módosítást és az 1. felülvizsgálatot (2009)

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, 2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I, Vysoké učení technické v Brně, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 1999

[6] Vondráček, R. Numerical Methods in Nonlinear Concrete Design, Diplomová práce, ČVUT, Praha, 2000

[7] Zich, M. a kolektiv Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů, on-line könyv http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/, Verlag Dashöfer, 2010