IDEA StatiCa RCS – 1D beton szerkezeti elemek szerkezeti tervezése

Vasalt betonkeresztmetszetek tervezése EN 1992-1-1 és EN 1992-2 szerint.

Hajlítás
Nyírás
Csavarás
Kölcsönhatás
Feszültségkorlátozás ellenőrzése
Repedésellenőrzés
N-M-κ diagram
Irodalom

Hajlítás

Keresztmetszeti teherbírás-ellenőrzési módszerek

Két jól ismert módszer alkalmazható az 1D vasbeton szerkezeti elemek végső határállapotának ellenőrzésére. Az első módszer a keresztmetszeti végső teherbírást interakciós felület vagy interakciós diagram formájában adja meg (egyirányú hajlítónyomaték esetén). A keresztmetszeti teherbírás meghatározható a ható belső erők és a határállapoti erők arányaként. A második módszer a keresztmetszetben fennálló egyensúly meghatározása, amelynek során a terhelt keresztmetszet tényleges viselkedését, az anyagok feszültség szerinti kihasználtságát és a keresztmetszet gyenge pontjait vizsgáljuk.

Általános tervezési feltételezések és számítási feltételezések a végső határállapotra vonatkozóan 

1. A vasalásban és a betonban keletkező ε alakváltozás feltételezhetően egyenesen arányos a semleges tengelytől mért távolsággal (a sík keresztmetszetek síkok maradnak).
2. A vasalás és a beton együttműködése csúszás nélküli tapadással biztosított (az ε alakváltozás a szomszédos betonszálak alakváltozásával megegyezik).
3. A beton húzószilárdságát elhanyagoljuk (az összes húzófeszültséget a vasalás veszi fel).
4. A nyomott zónában a beton nyomófeszültségeit a feszültség-alakváltozás diagramból számított alakváltozás alapján határozzuk meg.
5. A vasalás feszültségeit a feszültség-alakváltozás diagramból számított alakváltozás alapján határozzuk meg.
6. A beton nyomási alakváltozása az ε_cu2 végső alakváltozási határértékkel (nyomott beton parabola-téglalap diagramja) és ε_cu3 (kétlineáris feszültség-alakváltozás összefüggés) értékekkel korlátozott, [2].
7. A vasalás nyomási alakváltozása vízszintes képlékeny felső ág esetén nem korlátozott, ferde képlékeny felső ág esetén az alakváltozás ε_ud értékre korlátozott,[2].
8. Határállapot akkor áll fenn, ha legalább az egyik anyag állapota meghaladja a végső határállapoti alakváltozást (ha εu nem korlátozott, a nyomott beton az irányadó).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Interakciós diagram

Az első lehetőség a keresztmetszet ellenőrzése interakciós felülettel (vagy interakciós diagrammal). A magyarázat az alábbi ábrán látható példán alapul, amely egy vasalt négyzetes keresztmetszet interakciós felületét mutatja be. Az interakciós felületen elhelyezkedő pontok a vizsgált keresztmetszet végső határállapotát határozzák meg. Az interakciós felületet az (N, My, Mz) pontokból rajzoljuk meg, amelyeket a keresztmetszetben végzett feszültségintegrálással határozunk meg, és amelyekben az egyik anyag elérte a végső határállapoti alakváltozást. A 3D interakciós felület a 2D interakciós diagramból vezethető le, amely egy zárt görbe, amely a folyamatosan forgatott semleges tengelyhez tartozó feszültségállapotnak felel meg.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

Az y-tengelyre szimmetrikus keresztmetszet esetén az interakciós diagram szimmetrikus az N-M_y síkra. Hasonlóképpen, a z-tengelyre szimmetrikus keresztmetszet esetén az interakciós diagram szimmetrikus az N-M_z síkra. Az egyoldalasan vasalt keresztmetszet lapított alakú interakciós diagramot eredményez.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

A végső határállapotot meghatározó pontokat feszültségintegrálással kapjuk meg.  Az alábbi ábra a végső határállapotbeli alakváltozást mutatja be.

Alakváltozás-eloszlások a végső határállapotban (forrás: [2]).

Az interakciós diagram a keresztmetszet tönkremenetelét mutatja normálerő és hajlítónyomatékok hatására. [1]

A 2D diagram (az interakciós felületen fekvő zárt görbe) vizsgálatakor megállapítható, hogy az alakváltozási sík átmegy a semleges tengelyen és a kritikus ponton [y, z, ε], amelyet R kritikus pontnak tekintünk.  Az [y, z] pont a keresztmetszet egy pontját jelöli, ahol az ε alakváltozás értéke a végső határállapotban adott. A semleges tengely dőlésszöge a 2D diagram összes pontjára állandó.

Ha a betonban keletkező nyomófeszültség az irányadó a méretezés szempontjából, az R pont a legtávolabbi nyomott betonszálhoz vagy a C határponthoz esik. Ez azonban csak akkor alkalmazható, ha a keresztmetszet egyféle betonból készül – nem vegyes keresztmetszet esetén.   

Ha a vasalásban keletkező húzófeszültség az irányadó a méretezés szempontjából (az ε_ud alakváltozás egy vagy több rúdban meghaladja a végső határállapoti értéket), teljesíteni kell azt a feltételt, hogy az adott alakváltozási síkban az ε_ud értéke egyetlen más rúdban sem haladható meg.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

A fenti ábra azt mutatja, hogy a diagram két részre osztható: az a rész, ahol a tönkremenetelt a húzóerő okozza, és az a rész, amely nyomóerő hatására megy tönkre. A határpontok a fenti esetnek felelnek meg, ahol az alakváltozási sík szélső dőlésszöge is látható. Az interakciós diagram megrajzolásakor a keresztmetszet síkbeli alakváltozásának dőlésszöge ebben az intervallumban változik, miközben az R pontot keressük (lásd fent). Az így meghatározott sík alapján elvégezzük az integrálást, hogy megkapjuk a végső határállapotbeli feszültséget.

Normálerőnek és hajlítónyomatéknak kitett keresztmetszet ellenőrzése

A normálerőnek és hajlítónyomatéknak kitett keresztmetszet ellenőrzése annak igazolásán alapul, hogy az ellenőrzött feszültségek (N_d, M_yd, M_zd kombináció) az interakciós felületen belül vagy azon helyezkednek el. Ezt különböző módszerekkel lehet elvégezni. Az alábbi példa egy téglalap keresztmetszet ellenőrzését mutatja be, amelyre N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm erők hatnak.

NuMuMu módszer

A keresztmetszet teherbírásának meghatározásához feltételezzük, hogy az összes belső erőkomponens arányosan változik (a normálerő excentricitása állandó marad) mindaddig, amíg az interakciós felület ki nem alakul. Az érintett belső erők változása értelmezhető úgy, mint mozgás a koordináta-rendszer origóját (0,0,0) és a belső erők által meghatározott pontot (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) összekötő egyenesen. Ennek az egyenesnek az interakciós felülettel való két metszéspontja a végső határállapotbeli erők két készletét képviseli. Minden metszéspontban a program három határállapoti erőt határoz meg: a méretezési normálerő-teherbírást N_Rd és a megfelelő méretezési nyomatéki teherbírásokat M_Rdy, M_Rdz.

NuMM módszer

A keresztmetszet teherbírásának meghatározásához feltételezzük, hogy a normálerő állandó (egyenlő a ható méretezési normálerővel), és a hajlítónyomatékok arányosan változnak mindaddig, amíg az interakciós felület ki nem alakul. Az érintett belső erők változása értelmezhető úgy, mint mozgás egy vízszintes síkban az (N_Ed,0,0) pontot és a ható belső erők által meghatározott  pontot (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) összekötő egyenesen. Ennek az egyenesnek az interakciós felülettel való két metszéspontja a végső határállapotbeli erők két készletét képviseli. Minden metszéspontban a program három határállapoti erőt határoz meg: a méretezési ellenálló nyomatékokat M_Rdy, M_Rdz és a (megfelelő) ható méretezési normálerőt N_Ed.

NMuMu módszer

A keresztmetszet teherbírásának meghatározásához feltételezzük, hogy a normálerő állandó (egyenlő a ható méretezési normálerővel), és a hajlítónyomatékok arányosan változnak mindaddig, amíg az interakciós felület ki nem alakul. Az érintett belső erők változása értelmezhető úgy, mint mozgás egy vízszintes síkban az (N_Ed,0,0) pontot és a ható belső erők által meghatározott pontot (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z) összekötő egyenesen. Ennek az egyenesnek az interakciós felülettel való két metszéspontja a végső határállapotbeli erők két készletét képviseli. Minden metszéspontban a program három határállapoti erőt határoz meg: a méretezési ellenálló nyomatékokat M_Rdy, M_Rdz, és a (megfelelő) ható méretezési normálerőt N_Ed.

A keresztmetszeti válasz meghatározása

A keresztmetszet ellenőrzésének másik lehetősége a keresztmetszeti válasz meghatározása (azaz az alakváltozás és feszültség eloszlása a ható belső erőkből). Ezt a módszert határalakváltozás módszernek is nevezik. A ható feszültségek szintje minden szálban (síkhajlítás esetén minden rétegben) és minden vasalási rúdban az anyag feszültség-alakváltozás diagramjából számított alakváltozás függvényében kerül meghatározásra.
A keresztmetszeti válasz meghatározása a [6]-ban megadott numerikus módszerrel történik. Az elv a keresztmetszet fokozatos terhelésnövelésén alapul az át nem vitt erők egyensúlyhiányos komponenseivel. Ezeket a feszültség-alakváltozás diagramok segítségével a keresztmetszeten végzett feszültségintegrálással kapjuk. Ha a feszültség értéke megtalálható az alakváltozáshoz a feszültség-alakváltozás diagramban, lásd az alábbi ábra (a) esetét, a számított feszültség helyes, lineárisan rugalmas anyagot feltételezve. A (b) és (c) esetekben a lineáris számítás szerinti feszültség irreális értékeket ér el, és a (b) rész vagy a teljes érték (c) nem vihető át az anyagon. Az át nem vitt feszültségek integrálásával megkapjuk az át nem vitt belső erőket, amelyek eredőit hozzá kell adni a változó terhek belső erőihez. 

Át nem vitt feszültségek a feszültség-alakváltozás diagramokban. [4]

Át nem vitt belső erők. [4]

Ez a számítási módszer numerikus módszerek alkalmazását igényli a feszültség keresztmetszeti területen való integrálásához és az egyensúlyi egyenletek nemlineáris analíziséhez a keresztmetszetben. Az iteráció akkor ér véget, amikor a konvergencia kritériumok teljesülnek.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

ahol 

F_e a keresztmetszeti terhelés,

F_i a keresztmetszeti válasz (az alakváltozási sík alapján számított belső erők).

Ha a a közelítő (becsült) érték és b a pontos (valódi) érték, akkor az abszolút eltérést a következő egyenlet adja meg.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

A relatív eltérést a következő képlet adja meg:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

A legtöbb programban beállíthatók ezek a konvergencia kritériumok (alapértelmezett értékek: 1% relatív hiba, 100 N, 100 Nm mint a normálerő és a nyomatékok abszolút hibája). 

Tehát ha a bemeneti értékek N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm, és az iteráció utáni integrált erők N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, az értékelés a következőképpen alakul. Figyelembe véve, hogy N és Mz értéke 0, az abszolút eltéréssel való összehasonlítás elvégezhető:

A normálerő értéke 100N> | 70 | N
Az Mz hajlítónyomaték értéke 100Nm> | 20 | Nm
Az My hajlítónyomaték értéke

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Keresztmetszet ellenőrzése a keresztmetszeti válasz alapján

A keresztmetszetben fennálló egyensúly meghatározása esetén a síkbeli alakváltozás ismert. A síkbeli alakváltozásból a keresztmetszet bármely pontján kiszámítható az alakváltozás, majd az anyagok feszültség-alakváltozás diagramjai segítségével a vasalási rudakban, a keresztmetszetben vagy annak részeiben ébredő feszültség vagy belső erők. A számított feszültség- és alakváltozás értékeket összehasonlítjuk az alkalmazott anyagok feszültség-alakváltozás diagramjaiból vett határalakváltozás értékekkel.
Ennek a módszernek az előnye, hogy teljes képet kapunk a keresztmetszetre ható belső erők által keltett feszültség- és alakváltozás értékekről a keresztmetszetben.

Nyírás

A törékeny tönkremenetellel szemben a nyírási ellenőrzés a vasbeton keresztmetszet egyik fontos ellenőrzése.

Számítási eljárás

A nyírási ellenállás számítása több alapvető részből áll. Először meg kell vizsgálni, hogy az ellenőrzött helyen keletkeznek-e hajlítási repedések vagy sem. Ha igen, az EN 1992-1-1 [2] 6.2.2 (1) cikke szerinti számítást kell alkalmazni. Ellenkező esetben meg kell határozni, hogy vasalatlan betonról vagy gyengén vasalt betonról van-e szó, majd az EN 1992-1-1 12.6.3 cikke szerint kell eljárni.

Vasalt, repedésmentes beton esetén (nyírási vasalás nélkül) az EN 1992-1-1 6.2.2 (2) cikke szerint kell ellenőrizni. Azon szerkezeti elemeknél, ahol nyírási vasalás szükséges, a 6.2.3 cikk [2] szerint kell ellenőrizni.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Nyírási vasalás nélküli szerkezeti elemek nyírási ellenállása

Repedezett hajlítási zónában lévő szerkezeti elemek nyírási ellenállása (6.2.2 (1) cikk [2])

A nyírási vasalás nélküli vasbeton szerkezeti elemek nyírási ellenállása hajlítónyomaték hatására a következő:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Ezt az összefüggést egyszerű gerendákon végzett, reprezentatív számú kísérlet alapján határozták meg nyíróerő okozta tönkremenetel esetére. Mivel a fenti ellenállás nulla lehet hosszirányú vasalás (r_l) nélküli elemeknél, gyengén vasalt szerkezeti elemekre külön összefüggéseket vezettek le. Mivel a fenti ellenállás nulla lehet hosszirányú vasalás (r_l) nélküli szerkezeti elemeknél, a gyengén vasalt szerkezeti elemekre az ellenállást a következő összefüggéssel határozták meg:

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

A normálerő hatását figyelembe vevő nyírási ellenállást a következő összefüggéssel határozták meg:

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

A nyírási ellenállás teljes kifejezése, amely megfelel az EN 1992-1-1 6.2.2 (1) cikkének:

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Minimuma:

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

ahol  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          keresztmetszeti magassági tényező 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      hosszirányú vasalás vasalási aránya

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        a beton jellemző nyomószilárdsága hengereken 28 napos korban

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  MPa-ban

b_w        a keresztmetszet legkisebb szélessége a húzott zónában

d          a keresztmetszet hatékony magassága

υ_min      minimális egyenértékű nyírási szilárdság υ_min = 0,035 k^3/2 fck^1/2

Repedésmentes hajlítási zónában lévő szerkezeti elemek nyírási ellenállása (6.2.2 (2) cikk [2])

A repedésmentes hajlítási zónában lévő szerkezeti elemek nyírási ellenállása a Mohr-körből határozható meg. A következő összefüggésbe:

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

Behelyettesítve σ_x = σ_cp és τ_z = V_Rd,c S / (I b_w), majd V_Rd,c-t kifejezve, az EN 1992-1-1 6.2.2 (2) cikkének megfelelő összefüggést kapjuk.

ahol  

I           a másodrendű nyomaték,

b_w        a keresztmetszet szélessége a súlyvonali tengelynél

S          a súlyvonali tengely feletti és körüli statikai nyomaték,

f_ctd        a beton méretezési húzószilárdsága MPa-ban,

 s_cp       a beton nyomófeszültsége a súlyvonali tengelynél a terhelés és/vagy előfeszítés hatására,

a_l         átadási hossz tényező, általában 1,0.

A fentiekkel összefüggésben meg kell jegyezni, hogy a hajlítási repedések nélküli területeken a V_Rd ,c ellenállás lényegesen nagyobb lehet, mint a repedezett területeken a 6.2.2 (1) cikk [2] szerint. Az alábbi ábra egyértelműen mutatja, hogy bár a nyíróerőt a szélső értékén ellenőrzik (ahol nem keletkeznek repedések), ez nem feltétlenül garantálja, hogy az átadódik a gerenda teljes hosszán. Ennek oka a beton nyírási ellenállásának számítási módszerében bekövetkező változás. A biztonságos oldal felé haladva természetesen a nyírási ellenállás a 6.2.2 (1) cikk [2] szerint is figyelembe vehető azokon a helyeken is, ahol repedések nem fognak keletkezni.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

A V_Rd, c kifejezésével kapcsolatban a 6.2.2 (2) cikk [2] szerint meg kell jegyezni, hogy az általános esetben az ellenőrzést a normál nyomófeszültség zónájában a beton szélső főhúzófeszültségének szálánál kell elvégezni, nem a keresztmetszet súlypontjánál. Ennél a pontnál szükséges a keresztmetszeti jellemzők (S és b_W) kiszámítása. A maximális főfeszültség σ₁ meghatározásához az IDEA RCS programban egy egyenest húzunk a súlyponton át az eredő nyíróerők irányában. Ezt az egyenest 20 szakaszra osztjuk. Ezen az egyenesen több jellemző pontot jelölünk ki (a keresztmetszeti sokszög pontjai, súlypont, semleges tengely). Ezeken a pontokon belül kiszámítjuk S, b_w, σ_x, τ_yz és σ₁ értékeit. A maximális főhúzófeszültség pontján számítjuk ki a nyírási ellenállást.

A nyíróerőnek a β csökkentő tényező alkalmazása előtt – amelyet a 6.2.2 (6) cikk ír elő – teljesítenie kell a következő kiegészítő feltételt:

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

ahol 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  ahol f_ck MPa-ban értendő

Vasalás nélküli vagy gyengén vasalt szerkezeti elemek nyírási ellenállása (12.6.3 cikk [2])

Vasalatlan vagy gyengén vasalt beton nyírási ellenállása a következő összefüggésből határozható meg:

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

ahol

τ_cp helyébe a következőt helyettesítjük:

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

vagy

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

A fenti képletben szereplő részértékek a következők:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

ahol  

f_cd,pl     Vasalatlan vagy gyengén vasalt beton méretezési nyomószilárdsága,

f_ctd,pl    Vasalatlan vagy gyengén vasalt beton méretezési húzószilárdsága,

f_cvd       Méretezési nyírási ellenállás beton nyomás alatt.

Nyírási vasalással rendelkező szerkezeti elemek ellenállása (6.2.3 cikk [2])

A nyírási vasalással rendelkező vasbeton szerkezeti elemek ellenállásának számítása a változó szögű átlókkal rendelkező rácsanalógia módszerén alapul. Ennek a módszernek az alapja az erők egyensúlya a nyomott rúd ereje (átló), a nyírási vasalás ereje (kengyel) és a hosszirányú vasalás ereje által meghatározott háromszögben.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

A nyíróerő hatásának kitett keresztmetszetet θ szögű repedések törik meg, ezért a nyíróerőkkel azonos szögű betonátló veszi fel a nyíróerőt. Az átló nyomóereje V_ed/sinθ-ként fejezhető ki. Ezt az erőt a nyomott átlóra merőleges betonfelületnek kell átvennie: b_wzcosθ. A nyomott átlóban ébredő beton nyomófeszültség ekkor egyenlő:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

Behelyettesítve \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  és \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] , majd \[{{V}_{Rd,max}}\] kifejezésével megkapjuk az átló nyírási ellenállásának összefüggését:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

A nyomott átló függőleges erőkomponensének egyensúlyához nyírási vasalást alkalmazunk. A függőleges erő nagysága az egyetlen kengyelnek megfelelő betonfelületen ébredő átlós nyomófeszültségen alapul: \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. A határkengyelrő a következőképpen adható meg: \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

σ_c behelyettesítésével, a vasalás határerejével való összehasonlítás és módosítások után a következőt kapjuk:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Majd V_ed-t V_RDs-ként kifejezve megkapjuk a függőleges nyírási vasalással rendelkező keresztmetszet ellenállását:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

A hosszirányú nyíróerőt a hosszirányú vasalás veszi fel, és V_edcotgθ-ként határozható meg. A fenti képletek levezetése megtalálható a [4] hivatkozásban.

Az IDEA RCS programban csak függőleges nyírási vasalással rendelkező szerkezeti elemek ellenőrzése lehetséges. Általánosan a következő összefüggések alkalmazhatók:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

ahol  

A_sw      a nyírási vasalás keresztmetszeti területe,

s           a kengyelek távolsága,

f_ywd      a nyírási vasalás méretezési folyáshatára,

b_w        a húzott és nyomott öv közötti minimális szélesség. A V_Rd,max ellenállás számításakor a keresztmetszet szélességét az úgynevezett névleges keresztmetszeti szélességre kell csökkenteni, amennyiben a keresztmetszetet kábelcsatornák gyengítik:

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ injektált fémcsatornák esetén

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ nem injektált fémcsatornák esetén           

υ          = 0,6 ha f_ck ≤ 60MPa vagy ha f_ck > 60MPa,

α_cw       a nyomott övben ébredő feszültségállapotot figyelembe vevő tényező.

Terhelés	σcp = 0	0 < σcp≤0,25 fcd	0,25 fcd < σcp≤0,5 fcd	0,5 fcd < σcp≤1,0 fcd
αcw tényező	1,0	1+σcp/fcd	1,25	2,5(1 - σcp/fcd)

1‑1. táblázat: Az α_cw tényező meghatározása

A θ szög a betonnyomott rúd és a nyíróerőre merőleges gerendatengely közötti szög. A cotθ határértékei az egyes országok Nemzeti Mellékletében találhatók. Az ajánlott határértékeket a következő összefüggés adja meg:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

A θ szög megválasztása befolyásolja az ellenállások értékét. Az ellenállások függése az 1.15. ábrán látható. Az ábra mutatja, hogy a θ szög növekedésével a V_Rd,max ellenállás növekszik, a V_Rd,s ellenállás pedig csökken. A V_Rd,c ellenállás állandó, mivel a rácsanalógia módszerén alapul.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Keresztmetszeti jellemzők számítása nyíráshoz

A nyírás számításához fontos meghatározni a nyírási ellenállást befolyásoló keresztmetszeti változókat. Ezek közé tartozik elsősorban a nyírást felvevő keresztmetszeti szélesség b_w, a hatékony magasság d és a karhossz z. A szabvány [2] ezeket az értékeket közvetlenül a tényleges hajlítási feszültséggel összefüggésben adja meg. A probléma azonban ezen értékek meghatározásában rejlik, amikor az eredő hajlítónyomatékok iránya (pontosabban a keresztmetszeti ellenállás eredőjének iránya) lényegesen eltér az eredő nyíróerők irányától. Ebben az esetben az EC2 szabvány nem ad ajánlásokat.

Nyírást felvevő keresztmetszeti szélesség b_w

Az IDEA RCS program a nyírási erők eredőjére merőleges irányban számítja a nyírást felvevő keresztmetszeti szélességet. Az Eurocode vonatkozó cikkétől függően ez a szélesség a következőképpen számítandó:
-  A nyomott beton eredője és a húzott vasalás közötti legkisebb keresztmetszeti szélesség a nyírási erők eredőjére merőleges irányban a 6.2.2 (a) és 6.2.3 (1) cikk esetén
- A keresztmetszeti szélesség a nyírási erők eredőjére merőleges irányban az ellenőrzött pontban a 6.2.2 (2) cikk szerint

Keresztmetszet hatékony magassága

A hatékony magasságot általában a legjobban nyomott betonszál és a vasalás súlypontja közötti távolságként definiálják. Mivel ez közvetlenül összefügg a hajlítással, a távolságot a síkalakváltozás gravitációs egyenesére vett merőleges vetületként adják meg.

Ez a definíció pontosítható úgy, hogy a húzott vasalás súlypontja helyett a vasalás erőeredőjének helyzetét alkalmazzák. Az IDEA RCS program fejlesztése során megoldandó problémát jelentett: hogyan definiálható a keresztmetszet hatékony magassága, ha a hajlítási terhelések síkja nem egyezik meg az eredő nyíróerők irányával. Ezért a hatékony magasságot a legjobban nyomott betonszál és a húzott vasalásban ébredő erők eredője közötti távolságként definiálják (hajlítási feszültség alapján), az eredő nyíróerők irányában, lásd az 1.17. ábrát.

Kivételes esetek fordulhatnak elő, ha nem tudjuk meghatározni a nyomott szálat vagy a húzott vasalás eredőjét. Ebben az esetben a 0,9 h érték alkalmazása javasolt (a keresztmetszeti magasság 90%-a az eredő nyíróerők irányában). Ezt az értéket a felhasználó az IDEA RCS programban a szabványi változók beállításával adhatja meg.

Belső erők karja

A belső erők karja a 6.2.3 (3) cikkben [2] szerepel, és „a húzott és nyomott öv közötti távolságként" van definiálva. A szabvány nem határozza meg, hogyan kell eljárni, ha a hajlítónyomaték hatásának síkja eltér az eredő nyíróerők irányától. Ezért, a hatékony magassághoz hasonlóan, a távolságot az eredő nyíróerők irányában definiáljuk. Itt is előfordulhatnak hasonló kivételes esetek, például ha a teljes keresztmetszet nyomás alatt van stb. Ebben az esetben a 0,9 d értéket vesszük figyelembe (a hatékony keresztmetszeti magasság 90%-a). Ezt az értéket a felhasználó az IDEA RCS programban a szabványi változók beállításával adhatja meg.

A hajlítási sík dőlésszöge és a nyíróerő eredője közötti összefüggés jól látható az 1.18. és az 1.19. ábrán. A dőlésszög növekedésével a hatékony magasság, a karok és a kapcsolódó ellenállások értékei csökkennek. A határállapot 90°. Ennél a dőlésszögnél a belső erők karja nem számítható, következésképpen a kar értéke nulla. Ebben az esetben a szabványi változók beállításában megadott értéket vesszük figyelembe. Emiatt a diagram végén ugrás keletkezik. Ez a vizsgálat igazolja, hogy a dőlésszög ajánlott maximuma körülbelül 20°.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

Az RCS alkalmazás tesztelésének részeként vizsgálatot végeztek a nyírási ellenállás normálerőtől való függéséről. A V_Rd,max ellenállást kizárólag az α_cw tényező befolyásolja, lásd az 1.20. ábrát. Az 1.21. ábra a V_Rds ellenállás állandó értékét mutatja. A V_Rdc ellenállás csökkenését a normálerő növekedése okozza. Az 1.21. ábra kék görbéje a V_Rdc ellenállást mutatja a repedések hatásának elhanyagolásával, amelyet a 6.2.2 (1) cikk [2] képletével számítottak. A nyomás és húzás közötti átmenetnél tapasztalható ugrást a közreműködő húzott vasalás okozza. A piros görbe a 6.2.2 (2) cikk [2] képletével számított értékeket mutatja. Az első repedés megjelenése után a függési görbe megegyezik a 6.2.2 (1) cikk [2] szerintivel.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]

Csavarás

Számítási feltételezések

A csavarásnak kitett vasbeton keresztmetszet viselkedése két kategóriára osztható – a repedések várható megjelenése előtt és után. Repedés előtt a keresztmetszet rugalmas anyagként viselkedik. A csavarási feszültség a következő képlettel fejezhető ki:  

 \[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\] 

ahol W_t a csavarási keresztmetszeti modulus.

A vasalatlan szerkezeti elemben a főhúzó csavarási feszültség okozta repedések szintén végső határállapotot jelentenek. A csavarásnak kitett vasbeton keresztmetszet viselkedése vékonyfalú zárt szelvény alapján írható le, lásd az alábbi ábrát. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]

Számítási eljárás

A vasbeton csavarásra vonatkozó szabványellenőrzésének folyamata nagyon hasonló a nyírásra vonatkozó ellenőrzéshez. Először a beton ellenállását ellenőrizzük. Ha a beton szabványellenőrzése teljesül, a vasalás a szerkesztési szabályok alapján tervezhető. Ellenkező esetben a vasalás és a nyomott átlós ellenállást számítással kell igazolni.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]

Ellenállás

A vékonyfalú keresztmetszet falában csavarás hatására ébredő nyírási folyam a következőképpen fejezhető ki:

\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

A vékonyfalú keresztmetszet falában ébredő nyíróerő a következőképpen fejezhető ki:

\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]

ahol 

τ          nyírási folyam a falban,

t_ef         a hatékony falvastagság,

z           a fal oldalhossza,

T_Ed       a csavarónyomaték,

A_k        a csatlakozó falak tengelyvonalai által bezárt terület, beleértve a belső üreges területeket.

A csavarási repedési nyomaték meghatározható úgy, hogy f_ctd értékét behelyettesítjük az előző kifejezésbe. Így megkapjuk a csavarási vasalás nélküli csavarási ellenállás kifejezését.

\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]

ahol  f_ctd       a beton tervezési tengelyes húzószilárdsága

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]

A csavarási vasalással rendelkező szerkezeti elem ellenállása a nyomott beton átlók ellenállásából tevődik össze, amely szintén a rácsanalógia módszerén alapul. Az átlóban ébredő nyomófeszültség a vékonyfalú keresztmetszet vizsgált falfelületén ébredő nyíróerő segítségével fejezhető ki, azaz:

\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]

σ_c=σ_cwf_cd és T_Ed=T_Rd,max behelyettesítésével, majd T_Rd,max kifejezésével megkapjuk a nyomott átló ellenállásának egyenletét:

\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]

ahol  

ν          = 0,6 ha f_ck ≤ 60MPa, illetve ha f_ck > 60MPa

α_cw       együttható, amely figyelembe veszi a nyomott öv nyomási feszültségállapotát

f_cd        a beton nyomószilárdságának méretezési értéke

a csavarásnak kitett nyírási vasalás ellenállása szintén a nyomott átlóban ébredő feszültségen alapul. A kengyelerő egyenlő a nyomott átlóban ébredő feszültséggel az adott kengyelsorhoz tartozó területen, azaz:

\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]

T_Ed=T_Rd,s behelyettesítésével és T_Rd,s kifejezésével megkapjuk az egyenletet:

 \[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\] 

Ha a hosszirányú és nyírási vasalás mennyisége ismert, a θ szög a következő kifejezéssel határozható meg:

\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\] 

T_Rd,s behelyettesítésével megkapjuk:

\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]  

ahol

A_sw      nyírási vasalás területe

s           a nyírási vasalás kengyelei közötti sugárirányú távolság

f_ywd      a nyírási vasalás hatékony méretezési szilárdsága

A_sl       hosszirányú vasalás területe

u_k         a keresztmetszet külső kerülete

f_ywd      a hosszirányú vasalás hatékony méretezési szilárdsága

A hosszirányú vasalásban ébredő erő levezethető a tiszta csavarónyomatéknak kitett szelvény falában ébredő nyíróerőből, amely a következőképpen adható meg:

\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]

Ez az erő hosszirányba transzformálva a következőt adja:

\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]

A θ szög megengedett értéktartománya hasonló a nyírás ellenőrzéséhez, azaz 1 < cot θ < 2,5. Az ellenállások közötti összefüggés az alábbi ábrán látható. Az ábra mutatja, hogy a θ szög növekedésével a T_Rd,max ellenállás nő, a T_Rd.s ellenállás csökken, a T_Rd,c ellenállás pedig állandó marad, mivel az nem a rácsanalógia módszerén alapul.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]

A csavaráshoz szükséges keresztmetszeti jellemzők számítása

A keresztmetszet csavarásra való ellenőrzéséhez szükséges egy úgynevezett egyenértékű vékonyfalú zárt szelvény meghatározása. Az egyenértékű vékonyfalú keresztmetszet méreteit téglalap alakot feltételezve határozzuk meg. A téglalap valódi területe A = b×h, kerülete u =2 (b +h). E két egyenlet segítségével meghatározható az eredeti keresztmetszet területével és kerületével egyenértékű vékony téglalap alakú szelvény. Két egyenlet két ismeretlennel megoldva a következőt kapjuk:

\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]

A hatékony keresztmetszet falvastagsága a kerületből és a szelvényterületből a következőképpen határozható meg:

\[t=\text{A}/\text{u}\]

Ezután a hatékony keresztmetszet tengelyvonala által meghatározott terület és kerület:

\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]

Ezzel a módszerrel problémát jelent a széles lemezzel rendelkező T keresztmetszet, ahol a méretek számításához a teljes területet és kerületet veszik figyelembe (beleértve a lemezt is). Az IDEA RCS program jövőbeli verzióiban lehetővé válik a legmasszívabb keresztmetszeti rész kiválasztása, amelyet a csavarás ellenőrzéséhez fognak alkalmazni.

Kölcsönhatás

Nyíróerő és csavarás kölcsönhatása a nyírási vasalásra

A nyírási vasalásban ébredő erő meghatározása nyíróerő hatására. 

A számítás az EN 1992-1-1 szabványban meghatározott nyírási vasalás teherbírási képletén alapul. A 6.13 egyenlet (6.2.3 (4) fejezet) alapján egy kengyel szár teherbírása a következőképpen vezethető le:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . a vizsgált keresztmetszetben nyírást felvevő egy kengyel szár keresztmetszeti területe

s .  .  .  .  . a nyírási vasalás osztásköze a hosszirányú szerkezeti elem tengelyének irányában 

a_sw,V .  .  . a nyírási vasalás egységnyi hosszra jutó keresztmetszeti területe

z .  .  .  .  . a belső erőkar. Állandó magasságú szerkezeti elemnél a vizsgált elem hajlítási momentumának megfelelő érték. Tengelyerő nélküli vasbeton nyírási vizsgálatánál általában alkalmazható a z = 0,9d közelítő érték.

f_ywd .  .  .  a nyírási vasalás méretezési folyáshatára

θ .  .  .  .  . a beton nyomott rúd és a nyíróerőre merőleges szerkezeti elem tengely közötti szög

α .  .  .  .  . a nyírási vasalás és a nyíróerőre merőleges szerkezeti elem tengely közötti szög

β .  .  .  .  . a kengyel szárának dőlésszöge az alkalmazott nyíróerő eredőjéhez képest

A nyíróerőt a vasalás szöge és az egyes kengyel szárak axiális merevsége alapján egyenletesen osztják el a nyíróerőt felvevő egyes vasalások között.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Ezután levezethető az eredő nyíróerő irányában figyelembe vett átlagos vasalási alakváltozás:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

Az i-edik vasalás tényleges alakváltozása a következőképpen számítható:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

A vasalás adott szárában ébredő húzófeszültség:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Az egyes kengyelekben csavarás hatására ébredő erő meghatározása

Egy keresztmetszet csavarási teherbírása vékonyfalú zárt szelvény alapján számítható, amelyben az egyensúlyt zárt nyírási folyam biztosítja. A tömör szelvények egyenértékű vékonyfalú szelvényekkel modellezhetők. Nem tömör szelvények esetén az egyenértékű falvastagság nem haladhatja meg a tényleges falvastagságot.

A vékonyfalú zárt szelvény falában csavarás hatására ébredő nyírási folyam a következőképpen számítható:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

Az egyes falban ébredő nyíróerő ekkor:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . a vizsgált fal tengelyvonalának hossza

Nyíróerő a gerinc lemezben – a gerinc tengelyvonalának hossza helyettesíthető a „z" erőkar értékével.

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

A csavarást felvevő kengyelekben ébredő erő a szerkezeti elem egységnyi hosszára (egységnyi hosszra):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Az erők felbontása az egyes kengyelekre

Ha minden kengyelnél azonos anyag van megadva, a csavarásból eredő feszültség minden kengyel szárban állandó. Ekkor:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

ahol a_sw,T a csavarást felvevő kengyelek egységnyi hosszra jutó összes területe.

Abban az esetben, ha az egyes kengyelek különböző anyagból készülnek, az egyes rudak axiális merevségét figyelembe kell venni.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . a csavarást felvevő vasalás szárainak száma (vasaláscsoportok)

F_si,T .  .  . az i-edik vasaláscsoportban csavarásból eredő erő egységnyi hosszra

a_si,T .  .  . a csavarást felvevő nyírási vasalás egységnyi hosszra jutó keresztmetszeti területe 

E_si,T .  .  . a csavarást felvevő i-edik vasaláscsoport rugalmassági modulusa

ε_sw,T .  .  csavarásból eredő alakváltozás a vasalásban

Az egyes kengyelekben alkalmazott csavarásból eredő feszültség a következőképpen számítható:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

V+T kölcsönhatás

A kengyelekben nyírás és csavarás hatására ébredő feszültségek számítása az egyes teherkombinációkból eredő feszültségek összegzésével történik.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Az i-edik vasalásban ébredő eredő erő:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Nyírás, csavarás és hajlítás kölcsönhatása a hosszirányú vasalásra

Az egyes hosszirányú vasalásokban normálerő és hajlítási nyomaték hatására ébredő erő meghatározása

Az RCS alkalmazás a normálerő és hajlítási nyomaték kombinációjából eredő keresztmetszeti választ számítja az egyes hosszirányú rudakban és feszítővasalásban ébredő feszültség és alakváltozás meghatározásához.

Az egyes hosszirányú vasalásokban nyíróerő hatására ébredő erő meghatározása

A hosszirányú vasalásban nyíróerő hatására ébredő húzóerő-növekmény ΔF_td a Strut-and-tie modell geometriájától függ. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  a hosszirányú vasalásban nyíróerő hatására ébredő húzóerő-növekmény

V_ed .  .  .  . a vizsgált keresztmetszetben ható nyíróerő méretezési értéke

θ .  .  .  .  . a beton nyomott rúd és a szerkezeti elem tengelye közötti szög 

α .  .  .  .  . a nyírási vasalás és a szerkezeti elem tengelye közötti szög

A húzott övben elhelyezett hosszirányú vasalás esetén az N+M+V kombináció hatására a hosszirányú vasalásban ébredő F_t eredő erő nem haladhatja meg az M_Ed,max/z értéket (ahol M_Ed,max a gerenda mentén ébredő maximális nyomaték)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

A ΔF_td erőt az összes tapadó feszítőkábel és a nyírást felvevő keresztmetszeti részen (I-szelvény esetén a gerinc lemezben) elhelyezett vasalás veszi fel. A biztonságos oldal felé közelítve a feszítővasalás hozzájárulása 0-nak tekinthető. A számítás feltételezése szerint a nyírást felvevő egyes hosszirányú vasalások axiális alakváltozás-növekménye állandó (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). A levezetés vízszintes képlékeny ággal rendelkező bilineáris vasalási munkadiagramra érvényes. Ferde ágú diagram esetén a számítást módosítani kell.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . a hosszirányú vasalásban nyíróerő hatására ébredő alakváltozás-növekmény

n_s,V .  .  .  . a nyíróerőt felvevő hosszirányú vasalások száma

A_sl,i,V .  .  . a nyíróerőt felvevő i-edik hosszirányú vasalás területe

E_sl,i,V .  .  . a nyíróerőt felvevő i-edik hosszirányú vasalás rugalmassági modulusa

n_p,V .  .  .  . a nyíróerőt felvevő feszítőkábelek száma

A_pl,i,V .  .  . a nyíróerőt felvevő i-edik feszítőkábel területe

E_pl,i,V .  .  . a nyíróerőt felvevő i-edik feszítőkábel rugalmassági modulusa

A ΔF_td erő értékének meghatározása után az átlagos vasalási alakváltozás Δε_V a következőképpen számítható.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Az egyes hosszirányú rudakban alkalmazott nyíróerő hatására ébredő feszültség-növekmény:

betonacél esetén \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

feszítőkábel esetén \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Az egyes hosszirányú vasalásokban csavarásból ébredő erő meghatározása

Rendkívül fontos meghatározni a csavarást felvevő hosszirányú vasalásokat. Ezek azok a vasalások, amelyek a csavarást felvevő helyettesítő hatékony vékonyfalú keresztmetszetben helyezkednek el.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

Az EN 1992-1-1 szerint a hosszirányú csavarást felvevő vasalásra több feltételnek kell teljesülnie:

- a vasalást egyenletesen kell elosztani a z_i hossz mentén, de kis keresztmetszetű elemekben a vasalás a kengyel sarkaiban koncentrálható

- a hosszirányú vasalás maximális tengelytávolsága 350 mm

A feszítővasalás hozzájárulása az EN 1992-1-1 szerint nem vehető figyelembe.

Az EN 1992-2 szabvány szerint a feszítővasalás hozzájárulása figyelembe vehető, de a feszítővasalásban ébredő maximális feszültség-növekmény nem haladhatja meg a Δσ_p ≤ 500MPa értéket. Ekkor a képlet módosítható:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Mivel azonban a feszítővasalás növekménye figyelembe vehető, ez a felhasználó döntésétől függ. Jelenleg a feszítővasalás nem kerül figyelembevételre a számításban. 

A számítás feltételezése szerint az egyes hosszirányú nyírást felvevő vasalások axiális alakváltozás-növekménye állandó (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). A levezetés vízszintes képlékeny ággal rendelkező bilineáris vasalási munkadiagramra érvényes. Növekvő ágú diagram esetén a számítást módosítani kell.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . a vizsgált keresztmetszetben alkalmazott csavarónyomaték méretezési értéke

θ .  .  .  .  . a nyomott átlók dőlésszöge a gerenda hossztengelyéhez képest (azonos a nyíróerőnél alkalmazottal)

u_k .  .  .  .  az A_k terület kerülete

A_f .  .  .  .  a helyettesítő üreges vékonyfalú szelvény tengelyvonala által bezárt terület

n_s,T .  .  .  .a csavarónyomatékot felvevő hosszirányú betonvasalások száma

A_sl,i,T .  .  . a csavarónyomatékot felvevő i-edik hosszirányú betonvasalás területe

Δε_T .  .  .  .a hosszirányú vasalás csavarónyomatékból eredő alakváltozás-változása

Δσ_s,i,T .  .  az i-edik hosszirányú vasalásban csavarónyomaték hatására ébredő feszültségváltozás

E_sl,i,T .  .  . a csavarónyomatékot felvevő i-edik hosszirányú betonvasalás rugalmassági modulusa

Az egyes hosszirányú vasalásokban alkalmazott csavarónyomatékból ébredő feszültség-növekmény:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]

Feszültségkorlátozás ellenőrzése

Az ellenőrzés az általános feltételezéseken alapul, ahol a keresztmetszet két állapotát vizsgálják: a repedésmentes keresztmetszetet (a beton húzószilárdsága nem hanyagolható el) és a teljesen repedt keresztmetszetet (a beton húzószilárdsága elhanyagolható). A beton húzószilárdságát elhanyagoló megoldást az EN 1992-1-1 7.1 (2) cikkének feltételezései alapján veszik figyelembe.

A feszültség és az elhajlások számításakor repedésmentes keresztmetszetként vesszük figyelembe, ha a hajlításból eredő húzófeszültség nem haladja meg a f_ct, eff értéket. Az f_ct, eff értéke f_ctm vagy f_ctm,fl lehet. Az f_ctm értéket a repedésszélesség és a húzási merevítő hatás számításakor alkalmazzák.

Az ellenőrzés részeként négy alapvető esetet vizsgálunk a feszültséghatár szempontjából.

• 7.2 (2) Az XD, XF és XS kitettségi osztályú környezetnek kitett szerkezeti elemekben a nyomófeszültséget korlátozni kell:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{1}}=0,6\]

• 7.2 (3) A betonban a kvázitartós terhek alatt ébredő feszültség korlátozott:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{2}}=0,45\]

• 7.2 (5) A vasalásban a terhek karakterisztikus kombinációja alatt ébredő húzófeszültségeket korlátozni kell:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{3}}=0,8\]

• 7.2 (5) Ha a feszültséget kényszerdeformáció okozza, a húzófeszültség nem haladhatja meg:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{4}}=1\]

A k₁, k₂, k₃, k₄ értékek az egyes országokban alkalmazandó Nemzeti Mellékletben találhatók. Az ajánlott értékek rendre 0,8; 1 és 0,75, a vasalás karakterisztikus folyáshatára, f_ck a 28 napos karakterisztikus hengerszilárdság f_ck.

Repedések

A repedések kialakulása

A hajlításnak vagy húzófeszültségnek kitett vasbeton szerkezetek jellemző tulajdonsága, hogy repedési tönkremenetel lép fel azokon a pontokon, ahol a betonban ébredő húzófeszültség meghaladja a beton húzószilárdságát. A szerkezet tartóssága és esztétikája szempontjából fontos, hogy a keletkező repedések a lehető legkisebbek legyenek. A repedésszélességek számítása, valamint az egyes kitettségi osztályokra megengedett maximális szélességek az EN 1992-1-1 szabvány 7.3. fejezetében találhatók.

A számítás első lépésében meghatározásra kerül, hogy a keresztmetszet repedt-e vagy sem. A repedésszélesség maga mindig a kvázi-állandó vagy a gyakori teherkombinációból számítandó (a nemzeti melléklettől függően), de a repedés kialakulását az összes megadott SLS kombinációból ellenőrizni kell. Így két eset fordulhat elő:

• A betonszálakban ébredő maximális húzófeszültség egyetlen teherkombinációból sem haladja meg a beton húzószilárdságát (kvázi-állandó M_E,qp, gyakori M_E,fr, vagy karakterisztikus M_E,k), ezért a keresztmetszetet repedésmentesnek tekintjük.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Ha bármely kombinációra (kvázi-állandó, gyakori vagy karakterisztikus) repedések alakulnak ki, azaz a vizsgált teherkombinációból adódó hajlítónyomaték nagyobb, mint a kritikus nyomaték M_cr, akkor a keresztmetszet az adott teherkombinációból repedt, és a repedt keresztmetszet jellemzőit, valamint a repedésszélességet ki kell számítani.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   valamely SLS teherkombinációból kapott hajlítónyomaték. Így lehet M_E,qp, M_E,fr, vagy M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  a beton húzószilárdsága a vizsgált időpontban. Ha a beton 28 napnál idősebb, f_ctm-mel egyenlő szilárdságot veszünk figyelembe.

Repedésszélesség számítása

Hajlítással terhelt szerkezeti elemnél a repedés kialakulása 2 jelenségre osztható:

• Repedésképződési fázis (1. ábra 2. szakasza)
• Stabilizált repedésfejlődés (1. ábra 3. szakasza)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Repedésfejlődési szakasz

Ez a folyamat kezdeti része, amikor az egyes repedések még fokozatosan jelennek meg, amíg a szerkezeti elem teljes húzott zónáját az elem hossza mentén közel egyenletesen elosztott repedések nem érintik. Az első repedés akkor keletkezik, amikor a húzott sávban ébredő erő meghaladja a kritikus erő N_r értékét (kritikus húzóerő, lásd alább), és további repedések fejlődnek ki egészen addig a terhelési szintig, amely a húzott sávban körülbelül 1,3N_cr-rel egyenlő erőt fejt ki (1. ábra 2. fázisa).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

A kialakuló repedések 2 típusra oszthatók – elsődleges és másodlagos repedések. Az elsődleges repedések a húzott szálakban keletkeznek, amikor elérik a beton effektív húzószilárdságát (f_ct,eff). Az elsődleges repedések alkotják a repedések első mintázatát (2. ábra). Ezt követően az elsődleges repedések között rövidebb másodlagos repedések alakulnak ki (3. ábra). Körülbelül 1,2–1,5 σ_sr-nek megfelelő feszültségeknél (általában 1,3 σ_sr átlagértékét veszik figyelembe, ahol σ_sr a vasalásban ébredő feszültség az elsődleges repedések kialakulásakor a beton húzott zónájában) a másodlagos repedések fejlődése is befejeződik.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

A repedésképződési szakaszban a repedésszélesség a következőképpen számítható:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Stabilizált repedési szakasz

A húzott zónában a kritikus erő körülbelül 1,3-szorosának meghaladása után új repedések már nem keletkeznek, a szerkezeti elemben lévő repedések száma stabilizálódik, és a további terhelés hatására csak a meglévő repedések szélessége növekszik (1. ábra 3. szakasza).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

A stabil fejlődési szakaszban a repedésszélesség a következőképpen számítható:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Kritikus húzóerő

A számítás a Tension Chord Model (TCM) alapján történik. Az alapgondolat egy vasbeton sáv teherbírásának meghatározása, amelyet egy A_s,eff keresztmetszetű betonacél alkot, körülvéve A_c,eff effektív húzott beton területtel, amely képes ellenállni a húzófeszültségnek egészen addig, amíg az f_ct,eff húzószilárdságot meg nem haladja (általában f_ctm-et vesszük figyelembe). Tökéletes tapadást feltételezve a vasalás és a beton között, az első repedés kialakulásáig a vasalás és a körülvevő beton alakváltozása azonosnak tekinthető. Ekkor a húzott sávban az első repedés előtt közvetlenül ébredő maximális N_r erő meghatározható:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

A következő helyettesítés bevezetésével

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

a következőt kapjuk:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Az első repedés kialakulása után az N_r teljes erőt a vasalás veszi át, így az éppen kialakult repedésen átmenő vasalásban ébredő feszültség a következőképpen számítható:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Repedésszélesség számítása EC 1992-1-1 szerint

A vasbeton szerkezeti elemek repedésszélességének számításához a következő összefüggést alkalmazzák:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   maximális repedéstávolság

ε_sm  .   .   .   .   a vasalás átlagos alakváltozása a teherkombinációból, beleértve a húzási merevítő hatás hatásait.

ε_cm  .   .   .   .   a beton átlagos alakváltozása a repedések között

Az alakváltozás-különbség számítása

A vasalás és a beton alakváltozásának különbsége a repedések között a következő összefüggésből kapható:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   a vasalásban a repedésben ébredő feszültség a vizsgált teherkombinációból

k_t      .   .   .   .   empirikus együttható, amely az átlagos alakváltozást veszi figyelembe, a terhelés időtartamától függően. Rövid távú vizsgálatnál értéke 0,6. Hosszú távú vizsgálatnál a kompozit merevségének kb. 70%-ra való csökkenését veszik figyelembe, ezért értéke 0,4, amely magában foglalja a vasalás és a beton közötti tapadás időbeli romlásának mértékét.

α_e     .   .   .   . a rugalmassági modulusok effektív aránya

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   effektív vasalási arány

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   a vasalást körülvevő húzott beton effektív területe (A_c,eff meghatározása alább)

A_s,_eff .   .   .   .   az A_c,_eff területen belül elhelyezkedő tapadó vasalás területe

A_p´    .   .   .   .   az A_c,_eff területen belüli elő- vagy utófeszített feszítőkábelek területe

ξ₁  .   .   .   .   .   a tapadási szilárdság korrigált aránya, amely figyelembe veszi a feszítő- és betonacél eltérő átmérőit:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . a feszítő- és betonacél tapadási szilárdságának aránya (6.2. táblázat)

ϕ_s   .   .  a betonacél legnagyobb szálátmérője

ϕ_p   .   .  a feszítőacél átmérője vagy egyenértékű átmérője

Kötegek esetén A_p a feszítőkábelben lévő vasalás területe

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Egyszeres hétszálas pászmák esetén, ahol φ_wire a huzal átmérője

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Egyszeres háromszálas pászmák esetén, ahol φ_wire a huzal átmérője

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Ha a repedések megelőzésére csak feszítővasalást alkalmaznak, akkor a következőt kell figyelembe venni.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

Feszített szerkezeti elemeknél nem szükséges minimális tapadó vasalás, amennyiben a terhelés karakterisztikus kombinációja és a feszítőerő karakterisztikus értéke esetén bármely szálban ébredő húzófeszültség nem haladja meg a beton húzószilárdságát, f_ct,eff. (részletekért lásd EN 1992-1-1 7.3.2. fejezet)

A húzott beton effektív területe

A számítás fontos, ugyanakkor legbonyolultabb lépése a vasalást körülvevő húzott beton effektív területének meghatározása. Mind az Eurocode, mind a Model Code egyszerű terhelési eseteket vesz figyelembe, ahol a vasbeton szerkezeti elemet egytengelyű hajlítás vagy húzás terheli. Az effektív magasság értéke a következőképpen határozható meg:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

Általában a h_c,eff = 2,5(h-d) érték a mérvadó. Húzott elemeknél a felső korlát h/2, míg hajlított elemeknél (h-x)/3. Az A_c,eff terület azonban az 5(c+ϕ/2) összefüggésből meghatározott szélességre is korlátozott. Ha a vasalások tengelytávolsága nagyobb, mint 5(c+ϕ/2), akkor az egyes szálakhoz 5(c+ϕ/2) szélességű húzott beton effektív területét kell figyelembe venni.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Maximális repedéstávolság

A maximális repedéstávolság s_r,max számításakor két eset fordulhat elő:

• A tapadó vasalás tengelytávolsága nem haladja meg az 5(c+ϕ/2) értéket – 9a. ábra
• A tapadó vasalás tengelytávolsága nagyobb, mint 5(c+ϕ/2) – 9b. ábra

A maximális repedéstávolság s_r,max számítása arra az esetre, amikor a vasalások tengelytávolsága nem haladja meg az 5(c+ϕ/2) értéket, a következőképpen definiált:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   a betonfedés értéke mm-ben. Mivel a szélső vasalás betonfedése eltérő lehet a vízszintes és a függőleges szélekhez képest, ajánlott a vizsgált vasaláshoz tartozó maximális betonfedési értéket figyelembe venni.

ϕ     .   .   .   .   a tapadó vasalás átmérője. Eltérő vasalási átmérők esetén az egyenértékű átmérőt az EN 1992-1-1 7.12. egyenlete szerint kell számítani.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . együttható, amely a tapadó vasalás tapadási tulajdonságait veszi figyelembe

• k₁ = 0,8 nagy tapadású betonacélok esetén
• k₁ = 1,6 hatékonyan sima felületű betonacélok esetén (pl. feszítőkábelek)

k₂ .   .   .   . együttható, amely az alakváltozás eloszlását veszi figyelembe

• k₂ = 1,0 hajlítás esetén
• k₂ = 0,5 tiszta húzás esetén

Excentrikus húzás vagy helyi területek esetén k₂ közbülső értékeit kell alkalmazni, amelyek a következő összefüggésből számíthatók:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  együttható, amely a repedés közelében lévő azon zóna hosszát fejezi ki, ahol a beton és a vasalás közötti tapadás megszakad. Az EC alapértelmezett k₃ = 3,4 ajánlott értékét a Nemzeti Melléklet módosíthatja. 

k₄      .   .   .   .   együttható, amely a beton tapadási és húzószilárdsága közötti összefüggést fejezi ki. Az EC alapértelmezett k4 = 0,425 ajánlott értékét a Nemzeti Melléklet módosíthatja.

A maximális repedéstávolság s_r,max számítása arra az esetre, amikor a vasalások tengelytávolsága meghaladja az 5(c+ϕ/2) értéket, a következőképpen definiált:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

A maximális repedéstávolság értékeinek az összefüggés szerint

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

mindig nagyobbnak kell lenniük a következő összefüggésből meghatározott értékeknél

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

ellenkező esetben ajánlott a fenti összefüggésekből kapott nagyobb távolságot figyelembe venni. A beton/vasalás alakváltozására vonatkozó összefüggés a vasalás nagy tengelytávolságának esetére nem módosul. A repedésszélesség-korlátozott területeken az egyes vasalások tengelytávolsága nem lehet nagyobb, mint 5(c+ϕ/2).

Repedésszélesség számítása az RCS-ben

Az A_c,eff effektív terület meghatározása

Mivel nem egyértelmű, hogy melyik vasalás tekinthető hosszirányú repedésálló vasalásnak, az A_c,eff meghatározása a következő iteratív eljárással történik.

• Az összes húzásban lévő vasalásból meghatározásra kerül a húzóerő súlypontja C_g,s,1. A vasalás effektív mélysége d a C_g,s és a legjobban nyomott betonszál közötti távolság, amelyet az eredő hajlítónyomaték irányában mérnek. Egyidejűleg meghatározásra kerül a semleges tengely helyzete és a nyomott zóna magassága x a repedt keresztmetszetre. Ez lehetővé teszi az effektív magasság h_c,eff meghatározását:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Az A_c,eff,1 területen kívül eső vasalások kizárásával meghatározásra kerül a vasalás új súlypontja C_g,s,2, valamint az új effektív mélység d; az effektív magasság h_c,eff ugyanúgy kerül meghatározásra, mint az előző lépésben, csak megváltozott bemeneti értékekkel.

Ismét ellenőrzésre kerül, hogy a vizsgált összes húzott vasalás az A_c,eff,2 területen belül helyezkedik-e el. Ha ez a feltétel teljesül, az iteráció leállítható, és a h_c,eff,2, A_c,eff,2 és A_s,eff,2 értékek eredményértékként jelennek meg az IDEA StatiCa RCS-ben.

A repedésszélesség-számítás lehetséges esetei

A repedésszélesség számításakor általában három eset fordulhat elő:

• A húzott vasalás az A_c,eff területen belül helyezkedik el, az egyes vasalások tengelytávolsága kisebb, mint 5(c+ϕ/2). Ekkor a számításhoz a következő összefüggések alkalmazandók:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• A húzott vasalás az A_c,eff területen belül helyezkedik el, az egyes vasalások tengelytávolsága meghaladja az 5(c+ϕ/2) távolságot. Ekkor a számításhoz a következő összefüggések alkalmazandók:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• A húzott vasalás nem helyezkedik el az A_c,eff területen belül (ezt okozhatja például a nagy betonfedés). 

Ebben az esetben a repedésszélesség számítása nem lenne lehetséges. Ezért az effektív magasság h_c,eff számítása a következőképpen módosul:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Egyidejűleg a következő meg nem felelés jelenik meg:

A vasalást vagy feszítőkábeleket körülvevő húzott beton effektív területe h_c,eff mélységig, ahol h_c,eff a 2,5(h – d) és h/2 közül a kisebb érték. Az (h – x)/3 értéket figyelembe véve a vasalás a húzott beton effektív területén kívül esik, ezért a repedésszélesség számítása a 7.3.4. szakasz szerint nem lenne lehetséges.

N-M-κ diagram

Az N-M-κ diagram egy szerkezeti elem görbületét (hajlítási merevségét) mutatja az alkalmazott hajlítónyomaték és normálerő függvényében. Az N-M-κ diagramnak három típusa van:
- rövid távú,
- hosszú távú
- ULS.
Ezek a diagramok a számításhoz használt feszültség-alakváltozás diagramok típusában különböznek egymástól (lásd alább).

Az N-M-κ diagram meghatározásához a keresztmetszet kiválasztott jellemző állapotaihoz tartozó merevségszámítást alkalmazzuk. Általánosan ez bármely keresztmetszeti állapot lehet, amelyből a válasz kiszámítható, és amelyből a hajlítási merevség és a görbület levezethető. Az IDEA RCS négy jellemző pontot vesz figyelembe (M_r, M_c, M_s és M_u)

M_r - a repesztőnyomaték 

A keresztmetszetet a felhasználó által megadott normálerő terheli, és az alakváltozási sík elkezd forogni (a megadott hajlítónyomaték irányában), amíg a beton húzási szilárdsága el nem éri a beton egy szálában (C30/37 betonminőség esetén ez f_ctm = 2,896 MPa). A számításhoz mindkét anyagnál (vasalás és beton) vízszintes képlékeny ággal rendelkező bilineáris feszültség-alakváltozás diagramot alkalmazunk.

M_c - a hajlítónyomaték, amelynél a beton nyomószilárdsága eléri a határértéket

Az előző lépésből azonosítjuk a nyomásban legjobban igénybe vett betonszálat. Ehhez a szálhoz beállítjuk a beton végső szilárdságához tartozó alakváltozást (rövid távú esetén f_ck/E_cm, hosszú távú esetén f_ck/E_ceff, ULS diagram esetén f_cd/E_cm). A megadott normálerő és a hajlítónyomaték iránya alapján iterációs folyamatot futtatunk az alakváltozási sík meghatározásához, hogy egyensúlyt találjunk a keresztmetszet válasza és a megadott normálerő között.  A számításhoz mindkét anyagnál (vasalás és beton) vízszintes képlékeny ággal rendelkező bilineáris feszültség-alakváltozás diagramot alkalmazunk.

M_s - a hajlítónyomaték, amelynél a legjobban igénybe vett vasalásban eléri a folyáshatárt

Az N-M-κ diagram egy másik jellemző pontja a keresztmetszet feszültségállapota, amikor a legjobban igénybe vett vasalásban eléri a folyáshatárt (a betonacél alakváltozása egyenlő f_yk/E_s-sel a rövid és hosszú távú diagramoknál, f_yd/E_s az ULS diagramnál). Az iterációs folyamat a normálerők egyensúlyát keresi a keresztmetszetben úgy, hogy az alakváltozási síkot a legjobban igénybe vett vasalásrúd helyzetével meghatározott pont körül forgatja. A számításhoz mindkét anyagnál (vasalás és beton) vízszintes képlékeny ággal rendelkező bilineáris feszültség-alakváltozás diagramot alkalmazunk.

M_u - a hajlítónyomaték a végső határállapotnál

Ez a keresztmetszet végső teherbírása hajlításban, amikor a keresztmetszetet a megadott méretezési normálerő N_ed terheli. A keresztmetszeti teherbírás számításánál feltételezzük, hogy a beton legjobban igénybe vett szálában eléri a nyomószilárdságot, és a legjobban igénybe vett vasalásrúdban eléri a húzószilárdságot (beton maximális alakváltozása ε_cu = 0,1, vasalásé ε_s,max = 0,5). A számításhoz a vasalásnál vízszintes képlékeny ággal rendelkező bilineáris feszültség-alakváltozás diagramot, a betonnál parabola-téglalap diagramot alkalmazunk.

Az eredő merevség és görbület a felhasználó által megadott normálerő és hajlítónyomaték ( Md) kombinációjára ezután az N-M-κ diagram egyes jellemző pontjainak lineáris interpolációjával kerül kiszámításra.

Merevségek és görbületek számítása

Az egyes keresztmetszeti feszültségállapotokhoz (M_r, M_c, M_s vagy M_u) tartozó merevségek és görbületek közvetlenül az alakváltozási sík elfordulásából számíthatók. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    a szerkezeti elem tengelymenti merevsége

N . .   .   . a megadott normálerő

ε_x .   .   .  tengelymenti alakváltozás a betonkeresztmetszet súlypontjában

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   a szerkezeti elem hajlítási merevsége

M .   .   .    a számított hajlítónyomaték M_r, M_c, M_s vagy M_u

κ .   .   .   . a szerkezeti elem görbülete, amelyet az alakváltozási sík és a szerkezeti elem hossztengelye közötti szög tangenseként számítunk

Gyakorlati példa

Egy betonkeresztmetszetet (C30/37 betonminőség) ϕ32 vasalással erősítünk meg (B500B minőség). A megadott kvázi-állandó kombináció N = -730 kN és M_y = 557 kNm.

Az M_s jellemző ponthoz tartozó alakváltozási síkot az IDEA RCS a következőképpen határozza meg:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

A számításhoz használt feszültség-alakváltozás diagramok

Vasalás - M_r, M_c, M_s és M_u

Beton - M_r, M_c, M_s

Beton - M_u

Irodalom

[1] Bradáč Betonové konstrukce (beton szerkezetek), 1. rész: Vasalt és vasalatlan beton szerkezeti elemek méretezése, EXPERT Ostrava, 1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurocode 2: Betonszerkezetek tervezése - 1-1. rész: Általános szabályok és épületekre vonatkozó szabályok, beleértve a NA ed. A (2007) módosítást és az 1. felülvizsgálatot (2009)

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, 2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I, Vysoké učení technické v Brně, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 1999

[6] Vondráček, R. Numerical Methods in Nonlinear Concrete Design, Diplomová práce, ČVUT, Praha, 2000

[7] Zich, M. a kolektiv Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů, on-line book http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/, Verlag Dashöfer, 2010