IDEA StatiCa RCS – Diseño estructural de elementos de hormigón 1D

Dimensionamiento de secciones de hormigón armado según EN 1992-1-1 y EN 1992-2.

Flexión
Cortante
Torsión
Interacción
Verificación de limitación de tensiones
Control de fisuración
Diagrama N-M-κ
Literatura

Flexión

Métodos para la verificación de la capacidad seccional

Se pueden utilizar dos métodos bien conocidos para verificar el estado límite último en elementos de hormigón 1D. El primero nos proporciona la resistencia última de la sección transversal en forma de superficie de interacción o de diagrama de interacción (en el caso de momento flector en una dirección). La capacidad de la sección transversal puede determinarse como la relación entre los esfuerzos internos actuantes y los esfuerzos en estado límite. El segundo consiste en encontrar el equilibrio en una sección transversal, donde se busca el comportamiento real de la sección cargada, el aprovechamiento de los materiales en términos de tensiones y la identificación de las vulnerabilidades de la sección.

Hipótesis generales de cálculo para el Estado Límite Último 

1. La deformación ε en la armadura y el hormigón se supondrá directamente proporcional a la distancia al eje neutro (las secciones planas permanecen planas).
2. La interacción entre la armadura y el hormigón queda garantizada sin deslizamiento (la deformación ε de la armadura coincide con la deformación de las fibras adyacentes de hormigón).
3. Se desprecia la resistencia a tracción del hormigón (todas las tensiones de tracción son transmitidas por la armadura).
4. Las tensiones de compresión del hormigón en la zona comprimida se calculan en función de la deformación obtenida a partir de los diagramas tensión-deformación.
5. Las tensiones en la armadura se calculan en función de la deformación obtenida a partir de los diagramas tensión-deformación.
6. La deformación de compresión del hormigón con el límite de deformación última ε_cu2 (diagrama parábola-rectángulo para hormigón a compresión) y ε_cu3 (relación tensión-deformación bilineal), [2].
7. La deformación de compresión de la armadura no tiene limitación en el caso de la rama plástica horizontal superior; en el caso de la rama plástica inclinada superior, la deformación está limitada a ε_ud,[2].
8. Se considera el estado límite cuando el estado de al menos uno de los materiales supera la deformación última (si εu no está limitada, el hormigón comprimido es el condicionante).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Diagrama de interacción

La primera opción es verificar la sección transversal mediante una superficie de interacción (o diagrama de interacción). Se proporciona una explicación a partir de un ejemplo de las superficies de interacción para la sección cuadrada armada del ejemplo mostrado en la figura siguiente. Sobre la superficie de interacción se sitúan los puntos que definen el estado límite último de la sección transversal analizada. La superficie de interacción se traza a partir de los puntos (N, My, Mz), que se determinan mediante la integración de tensiones en la sección transversal, la cual ha alcanzado la deformación última en uno de los materiales. Para una interacción 3D, la superficie puede obtenerse a partir de un diagrama de interacción 2D, que es una curva cerrada correspondiente al estado tensional de un eje neutro en rotación continua.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

Para el caso de una sección transversal simétrica respecto al eje y, el diagrama de interacción es simétrico respecto al plano N-M_y. De igual forma, para el caso de una sección transversal simétrica respecto al eje z, el diagrama de interacción es simétrico respecto al plano N-M_z. La sección con armadura unilateral introduce una forma aplanada del diagrama de interacción.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

Los puntos que definen el estado límite último se obtienen mediante la integración de tensiones.  La figura siguiente muestra las deformaciones en el estado límite último.

Distribuciones de deformación en el estado límite último (tomado de [2]).

El diagrama de interacción muestra el agotamiento de la sección transversal bajo fuerza normal y momentos flectores. [1]

Considerando el problema del diagrama 2D (curva cerrada situada sobre la superficie de interacción), se puede determinar que el plano de deformaciones pasa por el eje neutro y el punto crítico [y, z, ε], considerado como punto crítico R.  El punto [y, z] define un punto en la sección transversal con el valor de deformación ε en el estado límite último. La inclinación del eje neutro es constante para todos los puntos del diagrama 2D.

En el caso de que la tensión de compresión en el hormigón sea condicionante para el cálculo, el punto R coincide con la fibra de hormigón comprimida más alejada o con el punto límite C. Sin embargo, esto solo es aplicable si la sección está compuesta por un único tipo de hormigón — no así en el caso de una sección transversal mixta.   

En el caso de que la tensión de tracción en la armadura sea condicionante para el cálculo (la deformación ε_ud se supera en el estado límite último en una o más barras), debe cumplirse la condición de que para el plano de deformaciones dado el valor ε_ud no se supere en ninguna otra barra.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

La figura anterior muestra que el diagrama puede dividirse en dos partes: la parte donde el agotamiento es causado por la fuerza de tracción y la parte que falla por una fuerza de compresión. Los puntos límite corresponden al caso anterior, donde también puede observarse la inclinación extrema del plano de deformaciones. Al trazar un diagrama de interacción, la inclinación del plano de deformaciones de la sección transversal varía en este intervalo, mientras se busca el punto R (véase más arriba). A partir de ese plano definido se realiza la integración para obtener la tensión en el estado límite último.

Verificación de la sección transversal sometida a fuerza axial y momento flector

La verificación de una sección transversal sometida a fuerza axial y momento flector consiste en comprobar que las solicitaciones verificadas (combinación N_d, M_yd, M_zd) se encuentran dentro o sobre la superficie de interacción. Esto puede realizarse mediante diferentes métodos. El siguiente ejemplo ilustra la verificación de una sección transversal rectangular sometida a los esfuerzos N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Método NuMuMu

Para definir la resistencia de una sección transversal se asumen variaciones proporcionales en todas las componentes de los esfuerzos internos (la excentricidad de la fuerza normal permanece constante) hasta alcanzar la superficie de interacción. La variación de los esfuerzos internos involucrados puede interpretarse como un desplazamiento a lo largo de la recta que une el origen del sistema de coordenadas (0,0,0) y el punto definido por los esfuerzos internos (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Las dos intersecciones de esta recta con la superficie de interacción representan dos conjuntos de esfuerzos en el estado límite último. En cada intersección, el programa determina tres esfuerzos en el estado límite: la resistencia de cálculo a esfuerzo axial N_Rd y los correspondientes momentos resistentes de cálculo M_Rdy, M_Rdz.

Método  NuMM

Para definir la resistencia de la sección transversal se asume una fuerza normal constante (igual a la fuerza normal de cálculo actuante) y variaciones proporcionales en los momentos flectores hasta alcanzar la superficie de interacción. La variación de los esfuerzos internos involucrados puede interpretarse como un desplazamiento en un plano horizontal a lo largo de la recta que une el punto (N_Ed,0,0) y el  punto definido por los esfuerzos internos actuantes (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Las dos intersecciones de esta recta con la superficie de interacción representan dos conjuntos de esfuerzos en el estado límite último. En cada intersección, el programa determina tres esfuerzos en el estado límite: los momentos resistentes de cálculo M_Rdy, M_Rdz y la fuerza normal de cálculo actuante (correspondiente) N_Ed.

Método  NMuMu

Para definir la resistencia de la sección transversal se asume una fuerza normal constante (igual a la fuerza normal de cálculo actuante) y variaciones proporcionales en los momentos flectores hasta alcanzar la superficie de interacción. La variación de los esfuerzos internos involucrados puede interpretarse como un desplazamiento en un plano horizontal a lo largo de la recta que une el punto (N_Ed,0,0) y el punto definido por los esfuerzos internos actuantes (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). Las dos intersecciones de esta recta con la superficie de interacción representan dos conjuntos de esfuerzos en el estado límite último. En cada intersección, el programa determina tres esfuerzos en el estado límite: los momentos resistentes de cálculo M_Rdy, M_Rdz, y la fuerza normal de cálculo actuante (correspondiente) N_Ed.

Determinación de la respuesta de la sección

Otra posibilidad para verificar la sección transversal consiste en determinar la respuesta de la sección transversal (es decir, la distribución de deformaciones y tensiones debida a los esfuerzos internos actuantes). Este método también se conoce como el método de la deformación límite. El nivel de tensiones actuantes en cada fibra (en el caso de flexión plana, en cada capa) y en cada barra de armadura se calcula en función de la deformación obtenida del diagrama tensión-deformación del material.
La determinación de la respuesta de la sección transversal se calcula mediante el método numérico especificado en [6]. El principio consiste en el incremento gradual de la carga sobre la sección mediante las componentes desequilibradas de los esfuerzos no transferidos. Estos se obtienen integrando las tensiones sobre la sección mediante los diagramas tensión-deformación. Si el valor de tensión puede encontrarse para la deformación en el diagrama tensión-deformación, véase la figura siguiente (a), la tensión calculada es correcta asumiendo un material elástico lineal. En los casos (b) y (c), la tensión para un cálculo lineal alcanza valores irreales, y una parte (b) o el valor total (c) no puede ser transmitido por el material. Integrando las tensiones no transferidas se obtienen los esfuerzos internos no transferidos, cuyas resultantes deben añadirse a los esfuerzos internos de las cargas variables. 

Tensiones no transferidas en los diagramas tensión-deformación. [4]

Esfuerzos internos no transferidos. [4]

Este método de cálculo requiere el uso de métodos numéricos para integrar las tensiones sobre el área de la sección transversal y para el análisis no lineal de las ecuaciones de equilibrio en la sección. La iteración se termina cuando se cumplen los criterios de convergencia.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

donde 

F_e es la carga sobre la sección,

F_i es la respuesta de la sección (esfuerzos internos calculados a partir del plano de deformaciones).

Si a es el valor aproximado y b es el valor exacto (real), la desviación absoluta viene dada por la siguiente ecuación.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

La desviación relativa viene dada por la siguiente fórmula:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

En la mayoría de los programas se pueden establecer estos criterios de convergencia (los valores por defecto son 1% como error relativo y 100 N, 100 Nm como error absoluto de la fuerza normal y los momentos). 

Así, si tenemos como datos de entrada N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm y los esfuerzos integrados tras la iteración son N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, la evaluación será la siguiente. Teniendo en cuenta que N y Mz son iguales a 0, puede realizarse una comparación con la desviación absoluta:

El valor de la fuerza normal 100N> | 70 | N
El valor del momento flector Mz 100Nm> | 20 | Nm
El valor del momento flector My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Verificación de la sección transversal mediante la respuesta

En el caso de encontrar el equilibrio en la sección transversal, el plano de deformaciones es conocido. A partir del plano de deformaciones se puede calcular la deformación en cualquier punto de la sección, y posteriormente las tensiones o esfuerzos internos en las barras de armadura, en la sección transversal o en sus partes, mediante los diagramas tensión-deformación de los materiales. Los valores de tensión y deformación calculados se comparan con el valor límite de deformación obtenido de los diagramas tensión-deformación de los materiales empleados.
La ventaja de este método es que se obtiene una imagen completa de los valores de tensión y deformación en la sección bajo los esfuerzos internos que actúan sobre la sección transversal.

Cortante

Con respecto al fallo frágil, la verificación normativa de cortante es una de las verificaciones importantes de una sección de hormigón armado.

Procedimiento de cálculo

El cálculo de la resistencia a cortante se compone de varias partes básicas. En primer lugar, se debe analizar si se producen o no fisuras por flexión en la sección verificada. En caso afirmativo, se utiliza el cálculo según EN 1992-1-1 [2], Artículo 6.2.2 (1). En caso contrario, se determina si se trata de hormigón en masa o de hormigón con armadura insuficiente, y se procede de acuerdo con EN 1992-1-1 Artículo 12.6.3.

Para el hormigón armado no fisurado (sin armadura de cortante) se verifica según EN 1992-1-1 Artículo 6.2.2 (2). Para los elementos en los que se requiere armadura de cortante, se verifica según el Artículo 6.2.3 [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Resistencia a cortante de elementos sin armadura de cortante

Resistencia a cortante de elementos en zonas de flexión fisuradas (art. 6.2.2 (1) [2])

La resistencia a cortante de elementos de hormigón armado sin armadura de cortante sometidos a momento flector viene dada por:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Esta expresión se definió a partir de ensayos realizados sobre un número representativo de vigas simples en caso de fallo por fuerza cortante. Dado que la resistencia anterior puede ser nula para elementos sin armadura longitudinal (r_l), se derivaron ecuaciones para elementos con armadura insuficiente. Dado que la resistencia anterior puede ser nula para elementos sin armadura longitudinal (r_l), para los elementos con armadura insuficiente se determinó mediante la ecuación

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Para la resistencia a cortante con influencia de la fuerza normal se determinó mediante la ecuación

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

La resistencia a cortante en su expresión completa, correspondiente a EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (1)

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Con un mínimo de

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

donde  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          factor de altura de la sección transversal 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      cuantía de armadura longitudinal

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        resistencia característica a compresión en probeta cilíndrica del hormigón a 28 días

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  en MPa

b_w        anchura mínima de la sección transversal en la zona traccionada

d          canto útil de la sección transversal

υ_min      resistencia mínima equivalente a cortante υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Resistencia a cortante de elementos en zonas de flexión no fisuradas (art. 6.2.2 (2) [2])

La resistencia a cortante de elementos en zonas de flexión no fisuradas puede determinarse a partir del círculo de Mohr. En la ecuación

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

Se sustituye σ_x = σ_cp y τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) y se despeja V_Rd,c, obteniéndose la ecuación correspondiente a la fórmula indicada en EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2)

donde  

I           es el momento de inercia de segundo orden,

b_w        es el ancho de la sección transversal en el eje centroidal

S          es el momento estático del área por encima y respecto al eje centroidal,

f_ctd        valor de cálculo de la resistencia a tracción axial del hormigón en MPa,

 s_cp       es la tensión de compresión del hormigón en el eje centroidal debida a las cargas y/o al pretensado,

a_l         factor de longitud de transmisión, normalmente 1,0.

En relación con lo anterior, debe señalarse que en zonas sin fisuras de flexión la resistencia V_Rd ,c puede ser significativamente mayor que en zonas fisuradas según el Artículo 6.2.2 (1) [2]. La figura siguiente muestra claramente que, aunque la fuerza cortante se verifica en su valor extremo (que no produce fisuras), no es necesariamente suficiente para garantizar que se transmita a lo largo de toda la longitud de la viga. Esto se debe a un cambio en el método de cálculo de la resistencia a cortante del hormigón. Del lado de la seguridad, la resistencia a cortante puede considerarse según el Artículo 6.2.2 (1) [2] también en los puntos donde no se producirán fisuras.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

Respecto a la expresión de V_Rd, c según el Artículo 6.2.2 (2)[2], debe señalarse también que en el caso general se debe basar la verificación en la fibra de tensión principal máxima de tracción del hormigón en la zona de tensión normal de compresión, y no en el centro de gravedad de la sección. En este punto es necesario calcular las características de la sección transversal (S y b_W). Para determinar la tensión principal máxima s₁ en el programa IDEA RCS se traza una línea a través del centro de gravedad en la dirección de la resultante de las fuerzas cortantes. Esta línea se divide en 20 sectores. Sobre esta línea se presentan los puntos más característicos (vértices del polígono de la sección transversal, centro de gravedad, eje neutro). En estos puntos se calculan S, b_w, σ_x, τ_yz y σ_1.  En el punto de tensión principal máxima de tracción se calcula la resistencia a cortante.

La fuerza cortante antes de aplicar el factor de reducción b requerido por el Artículo 6.2.2 (6) debe satisfacer la condición adicional

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

donde 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  donde f_ck está en MPa

Resistencia a cortante de elementos sin armadura o con armadura escasa (art. 12.6.3 [2])

La resistencia a cortante para hormigón en masa o con armadura escasa puede determinarse a partir de la expresión

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Donde

τ_cp se sustituye por

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

o bien

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

Los valores parciales utilizados en la fórmula anterior vienen dados por:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

donde  

f_cd,pl     Resistencia de cálculo a compresión para hormigón en masa o con armadura escasa,

f_ctd,pl    Resistencia de cálculo a tracción axial del hormigón en masa o con armadura escasa,

f_cvd       Resistencia de cálculo a cortante bajo compresión del hormigón.

Resistencia de elementos con armadura de cortante (art. 6.2.3 [2])

El cálculo de la resistencia de elementos de hormigón armado con armadura de cortante se basa en el método de la analogía de la celosía con diagonales de ángulo variable. La base de este método es el equilibrio de fuerzas en el triángulo determinado por la fuerza de la biela comprimida (diagonal), la fuerza de la armadura de cortante (estribo) y la fuerza de la armadura longitudinal.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

La sección transversal sometida a cortante se fisura con un ángulo θ, por lo que la biela comprimida de hormigón con el mismo ángulo que las fuerzas cortantes resiste la fuerza cortante. La fuerza de compresión de la diagonal puede expresarse como V_ed/sinθ. Esta fuerza debe ser transmitida por la superficie de hormigón perpendicular a la diagonal comprimida b_wzcosθ. La tensión de compresión del hormigón en la diagonal comprimida es entonces igual a:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

Sustituyendo \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  y \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] y despejando \[{{V}_{Rd,max}}\] se obtiene la ecuación para la resistencia a cortante de la diagonal:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Para equilibrar la componente vertical de la fuerza en la diagonal comprimida se utiliza la armadura de cortante. La magnitud de la fuerza vertical se basa en la tensión de compresión diagonal en el área de hormigón correspondiente a un único estribo - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. La fuerza límite del estribo viene dada por \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Introduciendo σ_c, comparando con la fuerza límite en la armadura y tras las modificaciones oportunas, se obtiene:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Expresando V_ed como V_RDs se obtiene la resistencia de la sección transversal con armadura de cortante vertical:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

La fuerza cortante longitudinal es transmitida por la armadura longitudinal y puede determinarse como V_edcotgθ. La derivación de las fórmulas anteriores puede encontrarse en [4].

Mediante el programa IDEA RCS es posible verificar únicamente elementos con armadura de cortante vertical. En general pueden utilizarse las siguientes ecuaciones:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Donde  

A_sw      es el área de la sección transversal de la armadura de cortante,

s           es la separación de los estribos,

f_ywd      es el valor de cálculo del límite elástico de la armadura de cortante,

b_w        es la anchura mínima entre los cordones de tracción y compresión. Para calcular la resistencia V_Rd,max , el valor del ancho de la sección debe reducirse al denominado ancho nominal de la sección transversal en caso de que la sección transversal esté debilitada por conductos de cables

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ para conductos metálicos inyectados

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ para conductos metálicos no inyectados           

υ          = 0,6 para f_ck ≤ 60MPa o para f_ck > 60MPa,

α_cw       es un coeficiente que tiene en cuenta el estado de tensiones en el cordón comprimido.

Carga	σcp = 0	0 < σcp≤0,25 fcd	0,25 fcd < σcp≤0,5 fcd	0,5 fcd < σcp≤1,0 fcd
Coeficiente acw	1,0	1+σcp/fcd	1,25	2,5(1 - σcp/fcd)

Tab. 1‑1 Determinación del coeficiente α_cw

El ángulo θ es el ángulo entre la biela comprimida de hormigón y el eje de la viga perpendicular a la fuerza cortante. Los valores límite de cotθ para su uso en cada país pueden encontrarse en el Anejo Nacional correspondiente. Los límites recomendados vienen dados por la expresión:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

La elección del valor del ángulo θ puede afectar al valor de las resistencias. La dependencia de las resistencias es visible en la Figura 1.15. La figura muestra que al aumentar el ángulo θ la resistencia V_Rd,max  aumenta, y la resistencia V_Rd,s disminuye. La resistencia V_Rd,c es constante, ya que se basa en el método de la analogía de la celosía.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Cálculo de las características de la sección transversal para cortante

Para calcular el cortante es importante determinar las variables de la sección transversal que afectan a la resistencia a cortante. Estas variables incluyen principalmente el ancho de la sección resistente a cortante b_w, el canto útil d y el brazo mecánico z. La norma [2] proporciona estos valores que se correlacionan directamente con el estado real de tensiones por flexión. Sin embargo, el problema surge al determinar estos valores cuando la dirección de los momentos flectores resultantes (o más exactamente la dirección de la resultante de la resistencia de la sección) difiere significativamente de la dirección de la resultante de las fuerzas cortantes. En este caso, la norma EC2 no proporciona ninguna recomendación.

Ancho de la sección transversal resistente a cortante b_w

El programa IDEA RCS calcula el ancho de la sección transversal resistente a cortante en la dirección perpendicular a la resultante de las fuerzas cortantes. Dependiendo del artículo del Eurocódigo, este ancho se calcula como:
-  La anchura mínima de la sección entre la resultante del hormigón comprimido y la armadura traccionada en la dirección perpendicular a la resultante de las fuerzas cortantes para el artículo 6.2.2 (a) y 6.2.3 (1)
- El ancho de la sección en la dirección perpendicular a la resultante de las fuerzas cortantes en el punto verificado según el artículo 6.2.2 (2)

Canto útil de la sección transversal

El canto útil se define habitualmente como la distancia desde la fibra de hormigón más comprimida hasta el centro de gravedad de la armadura. Dado que está directamente relacionado con la flexión, la distancia se expresa como la proyección perpendicular sobre la línea de gravedad del plano de deformación.

Esta definición puede precisarse de modo que, en lugar del centro de gravedad de la armadura traccionada, se utilice la posición de la resultante de fuerzas en la armadura. Durante el desarrollo del programa IDEA RCS se abordó el problema de cómo definir el canto útil de la sección transversal cuando el plano de las cargas de flexión no coincide con la dirección de la resultante de las fuerzas cortantes. Por ello, el canto útil se define como la distancia desde la fibra de hormigón más comprimida hasta la resultante de fuerzas en la armadura traccionada (basada en las tensiones de flexión) y en la dirección de la resultante de las fuerzas cortantes, véase la Figura 1.17.

Se presentarán casos excepcionales cuando no sea posible determinar la fibra comprimida o la resultante en la armadura traccionada. En este caso, se recomienda utilizar el valor 0,9 h (90% del canto de la sección en la dirección de la resultante de las fuerzas cortantes). Este valor puede definirlo el usuario en el programa IDEA RCS mediante la configuración de las variables normativas.

Brazo mecánico de las fuerzas internas

El brazo mecánico de las fuerzas internas se recoge en 6.2.3 (3) [2] y se define como la "distancia entre los cordones de tracción y compresión". La norma no define cómo proceder cuando el plano del momento flector actuante es diferente de la dirección de la resultante de las fuerzas cortantes. Por ello, al igual que en el caso del canto útil, se define la distancia en la dirección de la resultante de las fuerzas cortantes. También aquí pueden presentarse casos excepcionales similares, por ejemplo, cuando toda la sección está bajo compresión, etc. En este caso, se toma el valor 0,9 d (90% del canto útil de la sección). Este valor puede configurarlo el usuario en el programa IDEA RCS mediante la configuración de las variables normativas.

La dependencia entre la inclinación del plano de flexión y la resultante de la fuerza cortante es claramente visible en la Figura 1.18 y la Figura 1.19. Al aumentar la inclinación, los valores del canto útil, los brazos mecánicos y las resistencias asociadas disminuyen. El estado límite es 90°. Para esta inclinación el brazo mecánico de las fuerzas internas no puede calcularse, por lo que el brazo mecánico es igual a cero. En este caso, se considera el valor especificado en la configuración de las variables normativas. Esto provoca un salto al final del gráfico. Este estudio demuestra que la inclinación máxima recomendada es de aproximadamente 20°.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

Como parte de las pruebas de la aplicación RCS, se realizó un estudio sobre la dependencia de la resistencia a cortante respecto a la variación de la fuerza normal. La resistencia V_Rd,max se ve afectada únicamente por el coeficiente α_cw, véase la Fig. 1.20. La Fig. 1.21 muestra un valor constante de la resistencia V_Rds. Para la resistencia V_Rdc, las disminuciones son causadas por el aumento de la fuerza normal. La curva azul de la Fig. 1.21 muestra la resistencia V_Rdc sin considerar la influencia de las fisuras y se calculó utilizando la fórmula del apartado 6.2.2 (1) [2]. El salto en la transición entre compresión y tracción está causado por la contribución de la armadura traccionada. La curva roja se calcula utilizando la fórmula del apartado 6.2.2 (2) [2]. Tras la aparición de la primera fisura, la curva de dependencia es la misma que para 6.2.2 (1) [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]

Torsión

Hipótesis de cálculo

El comportamiento de una sección de hormigón armado sometida a torsión puede dividirse en dos categorías: antes y después del momento en que se espera que aparezcan las primeras fisuras. Antes de la fisuración, la sección transversal se comporta como un material elástico. La tensión de torsión puede expresarse mediante la fórmula   

 \[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\] 

donde W_t es el módulo resistente a torsión de la sección.

Las fisuras en el elemento sin armadura debidas a la tensión principal de tracción por torsión constituyen también un estado límite último. El comportamiento de una sección de hormigón armado sometida a torsión puede describirse a partir de una sección cerrada de pared delgada, véase la figura siguiente. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]

Procedimiento de cálculo

El proceso de verificación normativa de una sección de hormigón armado a torsión es muy similar al de la verificación a cortante. En primer lugar, se comprueba la resistencia del hormigón. Si se satisface la verificación del hormigón, la armadura puede dimensionarse aplicando las reglas de detallado. En caso contrario, es necesario verificar la armadura y la resistencia de la diagonal comprimida mediante cálculo.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]

Resistencia

El flujo de cortante en la pared de una sección de pared delgada sometida a torsión puede expresarse como:

\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

La fuerza cortante en la pared de una sección de pared delgada puede expresarse como:

\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]

Donde 

τ          Flujo de cortante en la pared,

t_ef         es el espesor efectivo de la pared,

z           es la longitud del lado de la pared,

T_Ed       es el momento torsor,

A_k        es el área encerrada por las líneas medias de las paredes conectadas, incluidas las áreas huecas interiores.

El momento torsor de fisuración puede determinarse sustituyendo f_ctd en la expresión anterior. De este modo se obtiene la expresión de la resistencia a torsión sin armadura de torsión.

\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]

donde  f_ctd       valor de cálculo de la resistencia a tracción axial del hormigón

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]

La resistencia del elemento con armadura de torsión se compone de la resistencia de las diagonales comprimidas de hormigón, que se basa de nuevo en el método de la analogía de la celosía. La tensión de compresión en la diagonal puede expresarse con ayuda de la fuerza cortante en la pared de una sección de pared delgada sobre la superficie de la pared considerada, es decir:

\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]

Sustituyendo σ_c=σ_cwf_cd y T_Ed=T_Rd,max y despejando T_Rd,max se obtiene la ecuación de la resistencia de la diagonal comprimida:

\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]

donde  

ν          = 0,6 para f_ck ≤ 60MPa o  para f_ck > 60MPa

α_cw       coeficiente que tiene en cuenta el estado de tensión de compresión en el cordón comprimido

f_cd        valor de cálculo de la resistencia a compresión del hormigón

la resistencia de la armadura transversal sometida a torsión se basa de nuevo en la tensión en la diagonal comprimida. La fuerza en el estribo es igual a la tensión en la diagonal comprimida sobre el área que corresponde a la línea de estribos considerada, es decir:

\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]

Sustituyendo T_Ed=T_Rd,s y despejando T_Rd,s  se obtiene la ecuación:

 \[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\] 

Si se conoce la cuantía de armadura longitudinal y transversal, el ángulo θ puede definirse mediante la expresión:

\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\] 

Sustituyendo en T_Rd,s se obtiene:

\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]  

Donde

A_sw      área de la armadura transversal

s           es la separación radial de los estribos de la armadura transversal

f_ywd      es la resistencia de cálculo efectiva de la armadura transversal

A_sl       área de la armadura longitudinal

u_k         es el perímetro exterior de la sección transversal

f_ywd      es la resistencia de cálculo efectiva de la armadura longitudinal

La fuerza en la armadura longitudinal puede deducirse de la fuerza cortante en la pared de una sección sometida a un momento torsor puro, que se expresa como:

\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]

Esa fuerza se transforma a la dirección longitudinal y se obtiene:

\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]

El rango permitido de valores para el ángulo θ es similar al de la verificación a cortante, es decir 1 < cot θ < 2,5. La dependencia entre las resistencias puede observarse en la figura siguiente. El diagrama muestra que al aumentar el ángulo θ, la resistencia T_Rd,max crece, la resistencia T_Rd.s disminuye y la resistencia T_Rd,c permanece constante, ya que no se basa en el método de la analogía de la celosía.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]

Cálculo de las características de la sección transversal para torsión

Para verificar la sección transversal a torsión es necesario establecer una sección cerrada equivalente de pared delgada. Para determinar las dimensiones de la sección equivalente de pared delgada se asume una forma rectangular. Para el área real de la sección rectangular se tiene A = b×h y para el perímetro del rectángulo u =2 (b +h). Utilizando estas dos ecuaciones se pueden obtener el área y el perímetro equivalentes de la sección original con forma rectangular de pared delgada. Resolviendo el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se obtiene:

\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]

El espesor de la pared de la sección efectiva puede definirse a partir del perímetro y el área de la sección como:

\[t=\text{A}/\text{u}\]

A continuación, el área y el perímetro definidos por la línea media de la sección efectiva:

\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]

El problema con este método se presenta en secciones transversales de tipo T con una losa ancha, cuando el área total y el perímetro se utilizan para calcular las dimensiones (incluyendo dicha losa). En versiones futuras del programa IDEA RCS se habilitará la selección de la parte más maciza de la sección transversal, que se utilizará para la verificación a torsión.

Interacción

Interacción de la fuerza cortante y la torsión para la armadura de cortante

Determinación de la fuerza en la armadura de cortante debida a la fuerza cortante. 

El cálculo se basa en la fórmula para calcular la resistencia de la armadura de cortante definida en EN 1992-1-1. A partir de la ecuación 6.13 (cap. 6.2.3 (4)), la resistencia portante de una rama de estribo puede derivarse como:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . área de la sección transversal de una rama de estribo que resiste el cortante en la sección considerada

s .  .  .  .  . separación de la armadura de cortante en la dirección del eje longitudinal del elemento

a_sw,V .  .  . área de la sección transversal de la armadura de cortante por unidad de longitud

z .  .  .  .  . el brazo mecánico interior. Para un elemento de canto constante, correspondiente al momento flector en el elemento considerado. En el análisis a cortante de hormigón armado sin fuerza axial, normalmente puede utilizarse el valor aproximado z = 0,9d.

f_ywd .  .  .  el valor de cálculo del límite elástico de la armadura de cortante

θ .  .  .  .  . el ángulo entre la biela comprimida de hormigón y el eje del elemento perpendicular a la fuerza cortante

α .  .  .  .  . el ángulo entre la armadura de cortante y el eje del elemento perpendicular a la fuerza cortante

β .  .  .  .  . inclinación de la rama del estribo respecto a la resultante de la fuerza cortante aplicada

La fuerza cortante se redistribuye uniformemente entre las armaduras individuales que resisten la fuerza cortante en función del ángulo de la armadura y la rigidez axial de las ramas individuales del estribo.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Además, puede derivarse la deformación media de la armadura considerada en la dirección de la fuerza cortante resultante:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

La deformación real de la i-ésima armadura puede calcularse como:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

La tensión en una rama determinada de la armadura:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Determinación de la fuerza en cada estribo debida a la torsión

La resistencia a torsión de una sección puede calcularse sobre la base de una sección cerrada de pared delgada, en la que el equilibrio se satisface mediante un flujo de cortante cerrado. Las secciones macizas pueden modelarse mediante secciones equivalentes de pared delgada. Para secciones no macizas, el espesor equivalente de pared no debe superar el espesor real de la pared.

El flujo de cortante en las paredes de una sección cerrada de pared delgada debido a la torsión puede calcularse como:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

La fuerza cortante en una pared particular es entonces:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . longitud de la línea media de la pared considerada

Fuerza cortante en el alma: la longitud de la línea media del alma puede sustituirse por el valor del brazo mecánico "z".

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Fuerza en los estribos que resisten la torsión por metro de longitud del elemento (por unidad de longitud):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Descomposición de fuerzas para cada estribo

Si se define el mismo material para todos los estribos, la tensión resultante debida a la torsión en cada rama del estribo es constante. Entonces:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

donde a_sw,T es el área total de estribos que resisten la torsión por unidad de longitud.

En el caso de que los estribos individuales tengan materiales diferentes, debe tenerse en cuenta la rigidez axial de las barras individuales.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . número de ramas de armadura (grupos de armadura) que resisten la torsión

F_si,T .  .  . fuerza en el i-ésimo grupo de armadura resultante de la torsión por unidad de longitud

a_si,T .  .  . área de la sección transversal de la armadura de cortante que resiste la torsión por unidad de longitud 

E_si,T .  .  . módulo de elasticidad de Young del i-ésimo grupo de armadura que resiste la torsión

ε_sw,T .  .  deformación en la armadura debida a la torsión

La tensión resultante en cada estribo debida a la torsión aplicada se calcula como:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

Interacción V+T

El cálculo de las tensiones en los estribos debidas al cortante y a la torsión es la suma de las tensiones debidas a los componentes de carga individuales.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Fuerza resultante en la i-ésima armadura:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Interacción de cortante, torsión y flexión para la armadura longitudinal

Determinación de la fuerza en cada armadura longitudinal debida a la fuerza normal y al momento flector

La aplicación RCS se utiliza para calcular la respuesta de la sección transversal debida a la combinación de la fuerza normal y el momento flector, con el fin de determinar la tensión y la deformación en las barras longitudinales individuales y en la armadura de pretensado.

Determinación de la fuerza en la armadura longitudinal individual debida a la fuerza cortante

El incremento de la fuerza de tracción en la armadura longitudinal ΔF_td debida a la fuerza cortante depende de la geometría del modelo de biela y tirante. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  incremento de la fuerza de tracción en la armadura longitudinal debida a la fuerza cortante

V_ed .  .  .  . valor de cálculo de la fuerza cortante que actúa en la sección considerada

θ .  .  .  .  . el ángulo entre la biela comprimida de hormigón y el eje del elemento

α .  .  .  .  . el ángulo entre la armadura de cortante y el eje del elemento

Para la armadura longitudinal situada en el cordón traccionado, la fuerza resultante F_t en la armadura longitudinal debida a la combinación N+M+V no debe ser mayor que M_Ed,max/z (donde M_Ed,max es el momento máximo a lo largo de la viga)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

La fuerza ΔF_td es transmitida por todos los tendones de pretensado adherentes y la armadura situada en la parte de la sección transversal que resiste el cortante (el alma en el caso de un perfil en I). Del lado de la seguridad, la contribución de la armadura de pretensado puede considerarse 0. La hipótesis del cálculo es que el incremento de la deformación axial de la armadura longitudinal individual que resiste el cortante es constante (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). La derivación es válida para un diagrama de trabajo bilineal de la armadura con rama plástica horizontal. En el caso de un diagrama con rama inclinada, el cálculo debe modificarse.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . incremento de deformación en la armadura longitudinal debida a la fuerza cortante

n_s,V .  .  .  . número de armaduras longitudinales que resisten la fuerza cortante

A_sl,i,V .  .  . área de la i-ésima armadura longitudinal que resiste la fuerza cortante

E_sl,i,V .  .  . módulo de elasticidad de Young de la i-ésima armadura longitudinal que resiste la fuerza cortante

n_p,V .  .  .  . número de tendones que resisten la fuerza cortante

A_pl,i,V .  .  . área del i-ésimo tendón que resiste la fuerza cortante

E_pl,i,V .  .  . módulo de elasticidad de Young del i-ésimo tendón que resiste la fuerza cortante

Tras determinar el valor de la fuerza ΔF_td, puede calcularse la deformación media de la armadura Δε_V.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Incremento de tensión en las barras longitudinales individuales debida a la fuerza cortante aplicada:

para barra corrugada \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

para tendón \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Determinación de la fuerza en cada armadura longitudinal debida a la torsión

Es muy importante determinar la armadura longitudinal que resiste la torsión. Estas son las armaduras situadas en una sección transversal alternativa de pared delgada hueca equivalente que resiste la torsión.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

Según EN 1992-1-1, deben cumplirse varias condiciones para la armadura longitudinal resistente a la torsión:

- la armadura debe distribuirse uniformemente a lo largo de la longitud z_i, pero en secciones transversales pequeñas la armadura puede concentrarse en las esquinas del estribo

- la distancia axial máxima de la armadura longitudinal es de 350 mm

La contribución de la armadura de pretensado no se considera según EN 1992-1-1.

La norma EN 1992-2 establece que puede considerarse la contribución de la armadura de pretensado, pero el incremento máximo de tensión en la armadura de pretensado no debe superar Δσ_p ≤ 500MPa. La fórmula puede entonces modificarse:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Sin embargo, dado que el incremento de la armadura de pretensado puede considerarse, queda a elección del usuario. Actualmente, la armadura de pretensado no se considera en el cálculo. 

La hipótesis del cálculo es que el incremento de la deformación axial de cada armadura longitudinal que resiste el cortante es constante (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). La derivación es válida para un diagrama de trabajo bilineal de la armadura con rama plástica horizontal. En el caso de un diagrama con rama creciente, el cálculo debe modificarse.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . el valor de cálculo del torsor aplicado en la sección considerada

θ .  .  .  .  . inclinación de las diagonales comprimidas respecto al eje longitudinal de la viga (idéntica a la de la fuerza cortante)

u_k .  .  .  .  perímetro del área A_k

A_f .  .  .  .  el área definida por la línea media de la sección hueca de pared delgada equivalente

n_s,T .  .  .  .número de armaduras longitudinales de hormigón que resisten el torsor

A_sl,i,T .  .  . área de la i-ésima armadura longitudinal de hormigón que resiste el torsor

Δε_T .  .  .  .la variación de la deformación de la armadura longitudinal debida al torsor

Δσ_s,i,T .  .  variación de tensión en la i-ésima armadura longitudinal debida al torsor

E_sl,i,T .  .  . módulo de elasticidad de la i-ésima armadura longitudinal de hormigón que resiste el torsor

Incremento de tensión en cada armadura longitudinal debida al torsor aplicado:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]

Verificación del límite de tensiones

La verificación se basa en hipótesis generales, donde se resuelven dos estados de la sección transversal: la sección no fisurada (la resistencia a tracción del hormigón no se desprecia) y la sección totalmente fisurada (la resistencia a tracción del hormigón se desprecia). La solución con resistencia a tracción del hormigón despreciada se considera bajo las hipótesis del Artículo 7.1 (2) EN 1992-1-1.

Al calcular las tensiones y las flechas, se considera como sección no fisurada si la tensión de tracción en flexión no supera f_ct, eff. El valor de f_ct, eff puede considerarse como f_ctm o f_ctm,fl. El valor f_ctm se utiliza al calcular la abertura de fisura y la rigidización a tracción.

Como parte de esta verificación, se tratan cuatro casos básicos en términos de límite de tensión.

• 7.2 (2) La tensión de compresión en elementos expuestos a ambientes de clases de exposición XD, XF y XS debe limitarse:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{1}}=0,6\]

• 7.2 (3) La tensión en el hormigón bajo las cargas cuasipermanentes está limitada:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{2}}=0,45\]

• 7.2 (5) Las tensiones de tracción en la armadura bajo la combinación característica de cargas deben limitarse:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{3}}=0,8\]

• 7.2 (5) Cuando la tensión es causada por una deformación impuesta, la tensión de tracción no debe superar:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{4}}=1\]

Los valores k₁, k₂, k₃, k₄ para su uso en cada país pueden encontrarse en su Anejo Nacional. Los valores recomendados son 0,8; 1 y 0,75 respectivamente, tensión de fluencia característica de la armadura, f_ck resistencia característica a compresión en probeta cilíndrica f_ck determinada a 28 días.

Fisuras

La formación de fisuras

Una característica de las estructuras de hormigón armado sometidas a flexión o tracción es la aparición de fisuras en los puntos donde la tensión de tracción en el hormigón supera la resistencia a tracción del hormigón. Para la durabilidad de la estructura y también para la estética de la misma, es importante garantizar que las fisuras resultantes sean lo más pequeñas posible. El cálculo de las anchuras de fisura, así como las anchuras máximas permitidas para las diferentes clases de exposición, se recogen en EN 1992-1-1, Capítulo 7.3.

En el primer paso del cálculo, se determina si la sección transversal está fisurada o no. La anchura de fisura en sí siempre se calcula a partir de la combinación de carga cuasipermanente o frecuente (según el anejo nacional), pero la formación de fisuras debe verificarse a partir de todas las combinaciones ELS especificadas. Por tanto, pueden darse dos casos:

• La tensión de tracción máxima en las fibras de hormigón no superará la resistencia a tracción del hormigón para ninguna combinación de carga (cuasipermanente M_E,qp, frecuente M_E,fr, o característica M_E,k), y por tanto se considera la sección transversal sin fisuras.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Si se desarrollan fisuras para alguna de las combinaciones (cuasipermanente, frecuente o característica), es decir, el momento flector desarrollado a partir de la combinación de carga considerada es mayor que el momento crítico M_cr, la sección transversal está fisurada para esa combinación de carga, y deben calcularse las características de la sección transversal fisurada y la anchura de fisura.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   el momento flector obtenido de alguna combinación de carga ELS. Por tanto, puede ser M_E,qp, M_E,fr, o M_E,k. 

f_ct,ef   .   .  la resistencia a tracción del hormigón en el instante considerado. Si el hormigón tiene más de 28 días, se considera una resistencia igual a f_ctm.

Cálculo de la anchura de fisura

En un elemento cargado a flexión, la formación de fisuras se divide en 2 fenómenos:

• Fase de formación de fisuras (etapa número 2 en la Fig. 1)
• Desarrollo estabilizado de fisuras (etapa número 3 en la Fig. 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Etapa de desarrollo de fisuras

Esta es la parte inicial del proceso en la que las fisuras individuales siguen apareciendo gradualmente hasta que toda la zona traccionada del elemento está afectada por fisuras aproximadamente distribuidas de forma uniforme a lo largo de la longitud del elemento. La primera fisura se forma cuando la fuerza en la banda traccionada supera el valor de la fuerza crítica N_r (fuerza de tracción crítica, véase más adelante), y se desarrollan nuevas fisuras hasta un nivel de carga que ejerce una fuerza en la banda traccionada igual a aproximadamente 1,3N_cr (fase número 2 en la Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

Las fisuras que se desarrollan se dividen en 2 tipos: fisuras primarias y secundarias. Las fisuras primarias se producen en las fibras traccionadas cuando se alcanza la resistencia a tracción efectiva del hormigón (f_ct,eff). Las fisuras primarias representan el primer patrón de fisuras (Fig. 2). A continuación, se forman fisuras secundarias más cortas entre las fisuras primarias (Fig. 3). Para tensiones correspondientes a aproximadamente 1,2 a 1,5 σ_sr (normalmente se considera un valor medio de 1,3 σ_sr, donde σ_sr es la tensión en la armadura en el momento de la formación de las fisuras primarias en la zona traccionada del hormigón), el desarrollo de las fisuras secundarias también queda completado.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

La anchura de fisura en la etapa de formación de fisuras puede calcularse de la siguiente manera:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Etapa de fisuración estabilizada

Tras superar aproximadamente 1,3 veces la fuerza crítica en la zona traccionada, no se forman nuevas fisuras, el número de fisuras en el elemento se estabiliza, y solo la anchura de las fisuras existentes aumenta con la carga adicional (etapa número 3 en la Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

La anchura de fisura durante el desarrollo estable puede calcularse como:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Fuerza de tracción crítica

El cálculo se basa en el Modelo de Banda Traccionada (TCM). La consideración básica es calcular la capacidad última de una banda de hormigón armado formada por una barra de armadura de área A_s,eff rodeada por un área efectiva de hormigón traccionado A_c,eff, que es capaz de resistir la tensión de tracción hasta que se supera la resistencia a tracción f_ct,eff (normalmente se considera f_ctm). Asumiendo una adherencia perfecta entre la armadura y el hormigón, se puede considerar que hasta que se produce la primera fisura, la deformación de la armadura y del hormigón circundante es idéntica. Entonces la fuerza máxima en la banda traccionada justo antes de la primera fisura N_r puede determinarse:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Introduciendo la sustitución

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

se obtiene:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Justo después de la formación de la primera fisura, la fuerza total N_r es transferida por la armadura y, por tanto, la tensión en la armadura que atraviesa la fisura recién formada puede calcularse como:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Cálculo de la anchura de fisura según EC 1992-1-1

La siguiente ecuación se utiliza para calcular la anchura de las fisuras en elementos de hormigón armado:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   separación máxima de fisuras

ε_sm  .   .   .   .   la deformación media de la armadura a partir de la combinación de carga, incluyendo los efectos de la rigidización a tracción.

ε_cm  .   .   .   .   deformación media del hormigón entre fisuras

Cálculo de la diferencia de deformaciones

La diferencia en la deformación de la armadura y el hormigón entre fisuras puede obtenerse a partir de la ecuación:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   la tensión en la armadura en la fisura a partir de la combinación de carga considerada

k_t      .   .   .   .   un coeficiente empírico que tiene en cuenta la deformación media, dependiente de la duración de la carga. Puede tomar valores de 0,6 para análisis a corto plazo. Para el análisis a largo plazo, se tiene en cuenta la reducción de la rigidez del elemento compuesto a aproximadamente el 70%, por lo que su valor es 0,4, lo que incluye la tasa de degradación de la cohesión entre la armadura y el hormigón con el tiempo.

α_e     .   .   .   . la relación efectiva de módulos elásticos

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   cuantía efectiva de armadura

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   el área efectiva del hormigón traccionado que rodea la armadura (determinación de A_c,eff más adelante)

A_s,_eff .   .   .   .   el área de armadura adherida situada en la zona de A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   es el área de tendones pretesados o postesados dentro de A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   es la relación ajustada de resistencia de adherencia, teniendo en cuenta los diferentes diámetros del acero de pretensado y del acero de armadura:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . la relación de resistencia de adherencia del acero de pretensado y del acero de armadura (Tabla 6.2)

ϕ_s   .   .  diámetro mayor de barra de acero de armadura

ϕ_p   .   .  el diámetro o diámetro equivalente del acero de pretensado

Para cordones en haz, A_p es el área de armadura en el tendón

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Para torones individuales de siete alambres donde φ_wire es el diámetro del alambre

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Para torones individuales de tres alambres donde φ_wire es el diámetro del alambre

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Si solo se utiliza armadura de pretensado para evitar la fisuración, entonces debe considerarse lo siguiente.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

En elementos pretensados, no se requiere un área mínima de armadura adherida siempre que, bajo la combinación característica de carga y el valor característico de la fuerza de pretensado, la tensión de tracción en cualquier fibra no sea mayor que la resistencia a tracción del hormigón, f_ct,eff. (véase EN 1992-1-1 ap. 7.3.2 para más detalles)

El área efectiva del hormigón traccionado

Un paso importante pero a la vez el más complejo del cálculo es determinar el área efectiva del hormigón traccionado que rodea la armadura. Tanto el Eurocódigo como el Model Code consideran modos simples de carga, donde el elemento de hormigón armado está cargado por flexión uniaxial o tracción. El valor de la altura efectiva se determina como:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

Normalmente, el valor h_c,eff = 2,5(h-d) es el crítico. Para elementos traccionados, el límite superior es h/2, mientras que para elementos flectados es (h-x)/3. Sin embargo, el área A_c,eff también está limitada por el ancho determinado a partir de la ecuación 5(c+ϕ/2). Si la separación entre armaduras es mayor que 5(c+ϕ/2), se considera el área efectiva del hormigón traccionado de ancho 5(c+ϕ/2) para las barras individuales.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Separación máxima de fisuras

Al calcular la separación máxima de fisuras s_r,max, pueden darse dos casos:

• La distancia axial de la armadura adherida no supera una distancia de 5(c+ϕ/2) - Fig. 9a
• La distancia axial de las armaduras adheridas es mayor que 5(c+ϕ/2) - Fig. 9b

El cálculo de la separación máxima de fisuras s_r,max para el caso en que las distancias axiales de las armaduras no superen el valor 5(c+ϕ/2) se define de la siguiente manera:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   valor del recubrimiento de hormigón en mm. Dado que el valor del recubrimiento puede ser diferente para la armadura de borde tanto en los bordes horizontales como verticales, se recomienda considerar el valor máximo de recubrimiento encontrado para la armadura considerada.

ϕ     .   .   .   .   diámetro de la armadura adherida. En el caso de diferentes diámetros de armadura, el diámetro equivalente se calculará de acuerdo con la Ecuación 7.12 de EN 1992-1-1.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . es un coeficiente que tiene en cuenta las propiedades de adherencia de la armadura adherida

• k₁ = 0,8 para barras de alta adherencia
• k₁ = 1,6 para barras con superficie efectivamente lisa (p. ej. tendones de pretensado)

k₂ .   .   .   . es un coeficiente que tiene en cuenta la distribución de deformaciones

• k₂ = 1,0 para flexión
• k₂ = 0,5 para tracción pura

Para casos de tracción excéntrica o para zonas locales, deben utilizarse valores intermedios de k₂, que pueden calcularse a partir de la relación:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  coeficiente que expresa la longitud de la zona próxima a una fisura donde se ha roto la adherencia entre el hormigón y la armadura. El valor recomendado del EC básico k₃ = 3,4 puede ser modificado por el Anejo Nacional. 

k₄      .   .   .   .   coeficiente que expresa la relación entre la adherencia y la resistencia a tracción del hormigón. El valor recomendado del EC básico k4 = 0,425 puede ser ajustado por el Anejo Nacional.

El cálculo de la separación máxima de fisuras s_r,max para el caso en que las distancias axiales de las armaduras superen el valor 5(c+ϕ/2) se define de la siguiente manera:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

Los valores de separación máxima de fisuras según la ecuación

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

siempre deben ser mayores que los valores determinados por la ecuación

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

en caso contrario, se recomienda considerar la mayor distancia obtenida de las ecuaciones anteriores. La ecuación para la deformación en el hormigón/armadura no se modifica para el caso de gran distancia axial entre armaduras. En zonas con anchuras de fisura controladas, la distancia axial entre armaduras individuales no debe ser mayor que 5(c+ϕ/2).

Cálculo de la anchura de fisura implementado en RCS

Determinación del área efectiva A_c,eff

Dado que no es tan sencillo determinar qué armadura puede considerarse como armadura longitudinal resistente a la fisuración, A_c,eff se determina mediante el siguiente proceso iterativo.

• De toda la armadura que trabaja a tracción, se determina el centro de la fuerza de tracción C_g,s,1. El canto útil de la armadura d es la distancia entre C_g,s y la fibra de hormigón más comprimida, calculada en la dirección del momento flector resultante. Al mismo tiempo, se determinan la posición del eje neutro y la altura de la zona comprimida x para la sección transversal fisurada. Esto permite determinar la altura efectiva h_c,eff:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Excluyendo toda la armadura que queda fuera de A_c,eff,1, se determina el nuevo centro de la armadura C_g,s,2, junto con el nuevo canto útil de la armadura d; la altura efectiva h_c,eff se determina de la misma manera que en el paso anterior, solo con valores de entrada modificados.

De nuevo, se comprueba que toda la armadura traccionada considerada se encuentra en A_c,eff,2. Si se cumple esta condición, la iteración puede darse por terminada y los valores de h_c,eff,2, A_c,eff,2 y A_s,eff,2 se muestran como valores resultantes en IDEA StatiCa RCS.

Posibles casos de cálculo de la anchura de fisura

En general, pueden darse tres casos al calcular las anchuras de fisura:

• La armadura traccionada se encuentra en la región A_c,eff, con la distancia axial entre armaduras individuales inferior a 5(c+ϕ/2). En ese caso se utilizan las siguientes definiciones para el cálculo:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• La armadura traccionada se encuentra en A_c,eff, con la distancia axial entre armaduras individuales superior a la distancia 5(c+ϕ/2). En ese caso se utilizan las siguientes definiciones para el cálculo:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• La armadura traccionada no se encuentra en A_c,eff (esto puede deberse, por ejemplo, a un recubrimiento excesivo). 

En este caso no sería posible calcular la anchura de las fisuras. Por tanto, el cálculo de la altura efectiva h_c,eff se modifica de la siguiente manera:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Al mismo tiempo, se muestra la siguiente no conformidad:

El área efectiva del hormigón traccionado que rodea la armadura o los tendones de pretensado de canto h_c,eff, donde h_c,eff es el menor de 2,5(h – d) o h/2. Considerando el valor como (h – x)/3, la armadura queda fuera del área efectiva del hormigón traccionado y, por tanto, no sería posible calcular la anchura de fisura según el apartado 7.3.4.

Diagrama N-M-κ

El diagrama N-M-κ muestra la curvatura (rigidez a flexión) de un elemento en función del momento flector aplicado y la fuerza normal. Existen tres tipos de diagramas N-M-κ:
- a corto plazo,
- a largo plazo
- ELU.
Estos diagramas difieren en los tipos de diagramas tensión-deformación utilizados para el cálculo (explicados a continuación).

El cálculo de la rigidez para los estados característicos seleccionados de la sección transversal se utiliza para determinar el diagrama N-M-κ. En general, puede ser cualquier estado de la sección transversal a partir del cual se calcula la respuesta y del que se derivan la rigidez a flexión y la curvatura. En IDEA RCS se consideran cuatro puntos característicos (M_r, M_c, M_s y M_u)

M_r - el momento de fisuración 

La sección transversal está sometida a la fuerza normal definida por el usuario y el plano de deformación comienza a girar (en la dirección del momento flector especificado) hasta que se alcanza la resistencia última a tracción del hormigón en una fibra de hormigón (para la clase de hormigón C30/37 esto es f_ctm = 2,896 MPa). Para el cálculo se utiliza un diagrama tensión-deformación bilineal con rama plástica horizontal tanto para la armadura como para el hormigón.

M_c - el momento flector cuando se alcanza la resistencia a compresión del hormigón

A partir del paso anterior, se identifica la fibra de hormigón más solicitada a compresión. Para esta fibra, se establece la deformación en la resistencia última del hormigón (f_ck/E_cm para el corto plazo, f_ck/E_ceff para el largo plazo y f_cd/E_cm para el diagrama ELU). Con base en la fuerza normal definida y la dirección del momento flector, se ejecuta el proceso iterativo para encontrar el plano de deformación que establezca el equilibrio entre la respuesta de la sección transversal y la fuerza normal definida.  Para el cálculo se utiliza un diagrama tensión-deformación bilineal con rama plástica horizontal tanto para la armadura como para el hormigón.

M_s - el momento flector cuando se alcanza el límite elástico en la barra de armadura más solicitada

Otro punto característico del diagrama N-M-κ es el estado tensional de la sección transversal cuando se alcanza el límite elástico en la barra de armadura más solicitada (la deformación de la barra es igual a f_yk/E_s para los diagramas a corto y largo plazo, f_yd/E_s para el diagrama ELU). El proceso iterativo encuentra el equilibrio de fuerzas normales en la sección transversal girando el plano de deformación alrededor del punto especificado por la posición de la barra de armadura más solicitada. Para el cálculo se utiliza un diagrama tensión-deformación bilineal con rama plástica horizontal tanto para la armadura como para el hormigón.

M_u - el momento flector en el estado límite último

Esta es la capacidad portante última de una sección transversal a flexión, cuando la sección transversal está sometida a la fuerza normal de cálculo definida N_ed. Para el cálculo de la capacidad de la sección transversal se supone que se alcanzan la resistencia a compresión en la fibra de hormigón más solicitada y la resistencia a tracción en la barra de armadura más solicitada (deformación máxima para el hormigón ε_cu = 0,1 y para la armadura ε_s,max = 0,5). Para el cálculo se utiliza un diagrama tensión-deformación bilineal con rama plástica horizontal para la armadura y un diagrama parábola-rectángulo para el hormigón.

La rigidez y la curvatura resultantes debidas a la combinación de fuerza normal y momento flector definida por el usuario (Md) se calculan mediante interpolación lineal de los puntos característicos individuales del diagrama N-M-κ.

Cálculo de rigideces y curvaturas

Las rigideces y curvaturas para cada estado tensional de la sección transversal (M_r, M_c, M_s o M_u) se calculan directamente a partir de la rotación del plano de deformación. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    rigidez axial del elemento

N . .   .   . la fuerza normal especificada

ε_x .   .   .  deformación axial en el centro de gravedad de la sección transversal de hormigón

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   rigidez a flexión del elemento

M .   .   .    el momento flector calculado M_r, M_c, M_s o M_u

κ .   .   .   . la curvatura del elemento, calculada como la tangente del ángulo entre el plano de deformación y el eje longitudinal del elemento

Ejemplo práctico

Una sección transversal de hormigón (clase de hormigón C30/37) está armada con armadura ϕ32 (grado B500B). La combinación cuasipermanente definida es N = -730 kN y M_y = 557 kNm.

El plano de deformación para el punto característico M_s es determinado por IDEA RCS de la siguiente manera:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

Diagramas tensión-deformación utilizados para el cálculo

Armadura - M_r, M_c, M_s y M_u

Hormigón - M_r, M_c, M_s

Hormigón - M_u

Literatura

[1] Bradáč Betonové konstrukce (estructuras de hormigón), 1.ª parte: Dimensionamiento de elementos de hormigón armado y hormigón en masa, EXPERT Ostrava, 1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurocódigo 2: Proyecto de estructuras de hormigón - Parte 1-1: Reglas generales y reglas para edificación, incl. cambio NA ed. A (2007) y revisión 1 (2009)

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, 2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I, Vysoké učení technické v Brně, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 1999

[6] Vondráček, R. Numerical Methods in Nonlinear Concrete Design, Diplomová práce, ČVUT, Praha, 2000

[7] Zich, M. a kolektiv Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů, libro en línea http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/, Verlag Dashöfer, 2010