IDEA StatiCa RCS – Constructief ontwerp van 1D betonnen staven

Ontwerp van gewapend betonnen doorsneden volgens EN 1992-1-1 en EN 1992-2.

Buiging
Afschuiving
Torsie
Interactie
Spanningsbegrenzing controle
Scheurbeheersing
N-M-κ diagram
Literatuur

Buiging

Methoden voor doorsnedecapaciteitscontrole

Twee bekende methoden kunnen worden gebruikt om de uiterste grenstoestand te controleren voor 1D betonnen staven. De eerste geeft ons de doorsnede-uiterste sterkte in de vorm van een interactieoppervlak of een interactiediagram (in het geval van buigend moment in één richting). De doorsnedecapaciteit kan worden bepaald als de verhouding van de werkende inwendige krachten tot de grensstoestandkrachten. De tweede methode is het vinden van evenwicht in een doorsnede, waarbij we kijken naar het werkelijke gedrag van de belaste doorsnede, het gebruik van materialen in termen van spanningen, en inzicht in de kwetsbaarheden van de doorsnede.

Algemene ontwerpveronderstellingen en rekenveronderstellingen voor de Uiterste Grenstoestand 

1. De rek ε in de wapening en het beton wordt verondersteld rechtstreeks evenredig te zijn met de afstand tot de neutrale lijn (vlakke doorsneden blijven vlak).
2. De interactie van de wapening en het beton wordt gewaarborgd door aanhechting tussen beton en wapening zonder glijding (de rek ε van de wapening is gelijk aan de rek in de aangrenzende betonvezels).
3. De treksterkte van beton wordt verwaarloosd (alle trekspanningen worden overgedragen door de wapening).
4. Betondrukspanningen in de drukzone worden berekend op basis van de rek uit spanning-rek diagrammen.
5. Wapeningsspanningen worden berekend op basis van de rek uit spanning-rek diagrammen.
6. Betondrukrek met een uiterste rekgrens ε_cu2 (Parabool-rechthoekdiagram voor beton onder druk) en ε_cu3 (Bilineaire spanning-rek relatie), [2].
7. De drukrek van de wapening is zonder begrenzing bij een horizontale plastische boventak; bij een hellende plastische boventak is de rek begrensd tot ε_ud,[2].
8. Een grenstoestand wordt bereikt wanneer de toestand van ten minste één van de materialen de uiterste grensrek overschrijdt (als εu niet begrensd is, is het gedrukte beton maatgevend).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Strain stress.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Stress-strain design diagram for reinforcing steel with inclined top branch.}}}\]

Interactiediagram

De eerste optie is het controleren van de doorsnede met behulp van een interactieoppervlak (of interactiediagram). Een toelichting wordt gegeven aan de hand van een voorbeeld van het interactieoppervlak voor de gewapende vierkante doorsnede uit het voorbeeld in de onderstaande figuur. Op het interactieoppervlak bevinden zich punten die de uiterste grenstoestand van de onderzochte doorsnede definiëren. Het interactieoppervlak wordt opgebouwd uit punten (N, My, Mz), die worden bepaald door spanningsintegratie in de doorsnede, waarbij de uiterste grensrek in één van de materialen is bereikt. Voor een 3D-interactie kan het oppervlak worden afgeleid uit een 2D-interactiediagram, dat een gesloten kromme is, die overeenkomt met de spanning bij een continu gedraaide neutrale lijn.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface shows failure conditions for all load cases of normal force and bending moments.}}}\]

Voor het geval van een doorsnede die symmetrisch is ten opzichte van de y-as, is het interactiediagram symmetrisch rond het vlak N-M_y. Op dezelfde wijze is voor een doorsnede die symmetrisch is ten opzichte van de z-as, het interactiediagram symmetrisch rond het vlak N-M_z. De eenzijdig gewapende doorsnede introduceert een afgeplatte vorm van het interactiediagram.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Single symmetrical reinforced cross-section.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Interaction surface for cross-section with single symmetric reinforcement.}}}\]

De punten die de uiterste grenstoestand definiëren worden verkregen uit spanningsintegratie.  De onderstaande figuur toont de rekken bij de uiterste grenstoestand.

Rekverdelingen bij de uiterste grenstoestand (overgenomen uit [2]).

Het interactiediagram toont het bezwijken van de doorsnede onder normaalkracht en buigende momenten. [1]

Met betrekking tot het 2D-diagramprobleem (gesloten kromme liggend op het interactieoppervlak) kunnen we vaststellen dat het rekvlak door de neutrale lijn en het kritieke punt [y, z, ε] gaat, dat wordt beschouwd als kritiek punt R.  Punt [y, z] definieert een punt in de doorsnede met de waarde van de rek ε bij de uiterste grenstoestand. De hellingshoek van de neutrale lijn is constant voor alle punten van het 2D-diagram.

Indien de drukspanning in het beton maatgevend is voor het ontwerp, valt punt R samen met de verst verwijderde gedrukte betonvezel of met het begrenzingspunt C. Dit is echter alleen van toepassing als de doorsnede is opgebouwd uit één type beton - niet zoals bij een gemengde doorsnede.   

Indien de trekspanning in de wapening maatgevend is voor het ontwerp (rek ε_ud wordt overschreden bij de uiterste grenstoestand voor één of meer staven), moet worden voldaan aan de voorwaarde dat voor het gegeven rekvlak de waarde ε_ud in geen enkele andere staaf wordt overschreden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Optimal use of cross-section material.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Characteristic strain plane positions calculated for purpose of interaction diagram.}}}\]

De bovenstaande figuur toont dat het diagram kan worden onderverdeeld in twee delen: het deel waarbij het bezwijken wordt veroorzaakt door een trek kracht en het deel dat bezwijkt door een druk kracht. De grenstoestandpunten komen overeen met het geval hierboven, waarbij ook de extreme hellingshoek van het rekvlak zichtbaar is. Bij het tekenen van een interactiediagram verandert de vlakke rekhelling van een doorsnede in dit interval, terwijl we zoeken naar het punt R (zie boven). Op basis van dat gedefinieerde vlak voeren we de integratie uit om de spanning bij de uiterste grenstoestand te verkrijgen.

Controle van doorsnede onderworpen aan normaalkracht en buigend moment

De controle van een doorsnede onderworpen aan normaalkracht en buigend moment berust op het aantonen dat de gecontroleerde spanningen (combinatie N_d, M_yd, M_zd) zich binnen of op het interactieoppervlak bevinden. Verschillende methoden kunnen dit uitvoeren. Het volgende voorbeeld demonstreert de controle van een rechthoekige doorsnede onderworpen aan krachten N_d = -500 kN, M_yd = 120 kNm, M_zd = 100 kNm.

Methode NuMuMu

Om de weerstand van een doorsnede te bepalen, veronderstellen we proportionele veranderingen in alle componenten van de inwendige krachten (de excentriciteit van de normaalkracht blijft constant) totdat het interactieoppervlak is bereikt. De verandering van de betrokken inwendige krachten kan worden geïnterpreteerd als een beweging langs een lijn die het beginpunt van het coördinatenstelsel (0,0,0) verbindt met het punt gedefinieerd door de inwendige krachten (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). De twee snijpunten van deze lijn met het interactieoppervlak, die kunnen worden gevonden, vertegenwoordigen twee sets van krachten bij de uiterste grenstoestand. Bij elk snijpunt bepaalt het programma drie krachten bij de grenstoestand: de rekenwaarde van de normaalkrachtweerstand N_Rd en de bijbehorende rekenwaarden van de buigmomentweerstand M_Rdy, M_Rdz.

Methode  NuMM

Om de weerstand van de doorsnede te bepalen, veronderstellen we een constante normaalkracht (gelijk aan de werkende rekenwaarde van de normaalkracht) en proportionele veranderingen in buigende momenten totdat het interactieoppervlak is bereikt. De verandering van de betrokken inwendige krachten kan worden geïnterpreteerd als een beweging in een horizontaal vlak langs de lijn die het punt (N_Ed,0,0) verbindt met het  punt gedefinieerd door de werkende inwendige krachten (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). De twee snijpunten van deze lijn met het interactieoppervlak, die kunnen worden gevonden, vertegenwoordigen twee sets van krachten bij de uiterste grenstoestand. Bij elk snijpunt bepaalt het programma drie krachten bij de grenstoestand: de rekenwaarden van de buigmomentweerstand M_Rdy, M_Rdz en de (bijbehorende) werkende rekenwaarde van de normaalkracht N_Ed.

Methode  NMuMu

Om de weerstand van de doorsnede te bepalen, veronderstellen we een constante normaalkracht (gelijk aan de werkende rekenwaarde van de normaalkracht) en proportionele veranderingen in buigende momenten totdat het interactieoppervlak is bereikt. De verandering van de betrokken inwendige krachten kan worden geïnterpreteerd als een beweging in een horizontaal vlak langs de lijn die het punt (N_Ed,0,0) verbindt met het punt gedefinieerd door de werkende inwendige krachten (N_Ed, M_Ed,y, M_Ed,z). De twee snijpunten van deze lijn met het interactieoppervlak, die kunnen worden gevonden, vertegenwoordigen twee sets van krachten bij de uiterste grenstoestand. Bij elk snijpunt bepaalt het programma drie krachten bij de grenstoestand: de rekenwaarden van de buigmomentweerstand M_Rdy, M_Rdz, en de (bijbehorende) werkende rekenwaarde van de normaalkracht N_Ed.

Bepaling van de doorsnederespons

Een andere mogelijkheid om de doorsnede te controleren is het bepalen van de doorsnederespons (d.w.z. rek- en spanningsverdeling op basis van de werkende inwendige krachten). Deze methode is ook bekend als de methode van de grensvervorming. Het niveau van de werkende spanningen in elke vezel (in het geval van vlakke buiging in elke laag) en in elke wapeningsstaaf wordt berekend afhankelijk van de rek uit het spanning-rek diagram van het materiaal.
De bepaling van de doorsnederespons wordt berekend met behulp van de numerieke methode beschreven in [6]. Het principe bestaat uit de geleidelijke belastingstoename van de doorsnede door de onevenwichtige componenten van niet-overgedragen krachten. Deze worden verkregen door integratie van de spanning over de doorsnede met behulp van spanning-rek diagrammen. Als de spanningswaarde kan worden gevonden voor de rek in het spanning-rek diagram, zie onderstaande figuur (a), is de berekende spanning correct uitgaande van lineair elastisch materiaal. In gevallen (b) en (c) bereikt de spanning voor een lineaire berekening onrealistische waarden, en een deel (b) of de volledige waarde (c) kan niet worden overgedragen door het materiaal. Door integratie van niet-overgedragen spanningen verkrijgen we niet-overgedragen inwendige krachten, en hun resultanten dienen te worden opgeteld bij de inwendige krachten van variabele belastingen. 

Niet-overgedragen spanningen in spanning-rek diagrammen. [4]

Niet-overgedragen inwendige krachten. [4]

Deze rekenmethode vereist het gebruik van numerieke methoden voor de integratie van de spanning over het doorsnede-oppervlak en voor de niet-lineaire analyse van evenwichtsvergelijkingen in de doorsnede. De iteratie wordt beëindigd op het moment dat aan de convergentiecriteria is voldaan.

\[\frac{{{F_e} - {F_i}}}{{{F_e}}} \le max\left\{ {e,d} \right\}\]

waarbij 

F_e is de doorsnedelast,

F_i is de doorsnederespons (inwendige krachten berekend op basis van het rekvlak).

Als a de benaderde (geïnterpoleerde) waarde is en b de exacte (ware) waarde, dan wordt de absolute afwijking gegeven door de volgende vergelijking.

\[e = \left| {b - a} \right|\]

De relatieve afwijking wordt gegeven door de volgende formule:

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right|\]

In de meeste programma's kunt u deze convergentiecriteria instellen (standaardwaarden zijn 1% als relatieve fout, 100 N, 100 Nm als de absolute fout van normaalkracht en momenten). 

Als we de invoer hebben van N = 0 kN, My = 100 kNm, Mz = 0 kNm en geïntegreerde krachten na iteratie N = - 0,07 kN, My = 100,5 kNm, Mz = 0,02 kNm, is de beoordeling als volgt. Met inachtneming van N en Mz gelijk aan 0, kan een vergelijking met absolute afwijking worden gemaakt:

De waarde van de normaalkracht 100N> | 70 | N
De waarde van het buigend moment Mz 100Nm> | 20 | Nm
De waarde van het buigend moment My

\[d = \left| {\frac{{b - a}}{b}} \right| = \frac{{100 - 100,5}}{{100}} = 0,005\; < 0,01\]

Doorsnedeverificatie via de respons

In het geval van het vinden van een evenwicht in de doorsnede is het vlakke rekverloop bekend. Uit het vlakke rekverloop kunnen we de rek berekenen op elke willekeurige plaats in de doorsnede, vervolgens de spanning of inwendige krachten in wapeningsstaven, de doorsnede of delen daarvan met behulp van de spanning-rek diagrammen van de materialen. De berekende spannings- en rekwaarden vergelijken we met de grensrekwaarde uit de spanning-rek diagrammen van de gebruikte materialen.
Het voordeel van deze methode is dat we een volledig beeld krijgen van de spannings- en rekwaarden in de doorsnede bij de inwendige krachten die op de doorsnede inwerken.

Afschuiving

Met betrekking tot bros bezwijken is de afschuivingscontrole een van de belangrijke controles van een gewapend betonnen doorsnede.

Berekeningsprocedure

De berekening van de afschuivingsweerstand is opgebouwd uit verschillende basisonderdelen. Eerst dient te worden nagegaan of er scheuren door buiging optreden of niet op de gecontroleerde locatie. Indien van toepassing, gebruik de berekening conform EN 1992-1-1 [2], Artikel 6.2.2 (1). Anders wordt bepaald of het ongewapend beton of licht gewapend beton betreft, waarna wordt voortgegaan conform EN 1992-1-1 Artikel 12.6.3. 

Voor gewapend ongescheurd beton (zonder afschuivingswapening) wordt gecontroleerd conform EN 1992-1-1 Artikel 6.2.2 (2). Voor staven, waarbij afschuivingswapening vereist is, wordt gecontroleerd conform Artikel 6.2.3 [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for shear check.}}}\]

Afschuivingsweerstand van staven zonder afschuivingswapening

Afschuivingsweerstand van staven in gescheurde buigingszones (art. 6.2.2 (1) [2])

De afschuivingsweerstand van gewapend betonnen staven zonder afschuivingswapening onderworpen aan een buigend moment wordt gegeven door:

 \[{{V}_{Rd,cm}}=~{{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}~{{b}_{w}}d\]

Deze formule is bepaald op basis van proeven uitgevoerd op een representatief aantal enkelvoudige liggers bij bezwijken door dwarskracht. Omdat de bovenstaande weerstand nul kan zijn voor staven zonder langswapening (r_l), zijn voor licht gewapende staven vergelijkingen afgeleid. Omdat de bovenstaande weerstand nul kan zijn voor staven zonder langswapening (r_l), is voor de licht gewapende staven de weerstand bepaald door de vergelijking

\[{{V}_{Rd,c}}\ge ~{{\upsilon }_{min}}{{b}_{w}}d\]

Voor de afschuivingsweerstand met invloed van normaalkracht werd de vergelijking bepaald door

\[{{V}_{Rd,cn}}=~{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}}~{{b}_{w}}d\]

De afschuivingsweerstand in zijn volledige uitdrukking, overeenkomend met EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (1)

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left[ {{C}_{Rd.c}}k~{{\left( 100~{{\varrho }_{l}}{{f}_{ck}} \right)}^{{}^{1}/{}_{3}}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right]~{{b}_{w}}d\]

Met als minimum

\[{{V}_{Rd,c}}=~\left( {{\upsilon }_{min}}+{{k}_{1}}{{\sigma }_{cp}} \right){{b}_{w}}d\]

waarbij  

C_Rd,c    = 0,18 / γ_c,

k          hoogte-factor van de doorsnede 

\[k=1+\sqrt{\frac{200}{d}}<2,0\]

ρ₁      wapeningsverhouding voor langswapening

\[{{\varrho }_{l}}=\frac{{{A}_{sl}}}{{{b}_{w}}d}\le 0,02\]

f_ck        karakteristieke cilinderdruksterkte van beton op 28 dagen

k₁         = 0,15

σ_cp       = N_Ed / A_c < 0,2 f_cd  in MPa

b_w        kleinste breedte van de doorsnede in de trekzone

d          nuttige hoogte van een doorsnede

υ_min      minimale equivalente afschuivingssterkte υ_min = 0.035 k^3/2 fck^1/2

Afschuivingsweerstand van staven in ongescheurde buigingszones (art. 6.2.2 (2) [2])

De afschuivingsweerstand van staven in ongescheurde buigingszones kan worden bepaald uit de cirkel van Mohr. In de vergelijking

\[{{\sigma }_{1,2}}=\frac{{{\sigma }_{x}}+{{\sigma }_{y}}}{2}\pm \sqrt{{{\left( \frac{{{\sigma }_{x}}-{{\sigma }_{y}}}{2} \right)}^{2}}+\tau _{z}^{2}}\]

Substitueren we σ_x = σ_cp en τ_z = V_Rd,c S / (I b_w) en leiden we V_Rd,c af, wat resulteert in een vergelijking overeenkomend met de formule in EN 1992-1-1 art. 6.2.2 (2)

waarbij  

I           het tweede moment van oppervlak is,

b_w        de breedte van de doorsnede ter hoogte van de zwaartepuntsas is

S          het eerste moment van oppervlak boven en ten opzichte van de zwaartepuntsas is,

f_ctd        rekenwaarde van de axiale treksterkte van beton in MPa,

 s_cp       de drukspanning in het beton ter hoogte van de zwaartepuntsas ten gevolge van belasting en/of voorspanning is,

a_l         overdrachtslengtefactor, doorgaans 1,0.

In verband met het bovenstaande dient te worden opgemerkt dat in gebieden zonder buigscheuren de weerstand V_Rd ,c  aanzienlijk hoger kan zijn dan in gescheurde gebieden conform Artikel 6.2.2 (1) [2]. De onderstaande figuur toont duidelijk dat hoewel de dwarskracht wordt gecontroleerd op zijn extreme waarde (waarbij geen scheuren optreden), dit niet noodzakelijkerwijs garandeert dat deze over de gehele liggerlengte kan worden overgedragen. Dit is te wijten aan een verandering in de methode voor het berekenen van de afschuivingsweerstand van het beton. Aan de veilige kant kan de afschuivingsweerstand uiteraard worden beschouwd conform Artikel 6.2.2 (1) [2] ook op plaatsen waar geen scheuren zullen optreden.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Shear resistance comparison before and after the cracks occurred.}}}\]

Bij de uitdrukking van V_Rd, c  conform Artikel 6.2.2 (2)[2] dient ook te worden opgemerkt dat in het algemene geval de controle dient te worden gebaseerd op de vezel met de extreme hoofdtrekspanning in het beton in de zone met normale drukspanning, maar niet op het zwaartepunt van de doorsnede. Op dit punt is het noodzakelijk de doorsnede-eigenschappen (S en b_W) te berekenen. Om de maximale hoofdspanning s₁ in het programma IDEA RCS te bepalen, trekken we een lijn door het zwaartepunt in de richting van de resulterende dwarskrachten. Deze lijn verdelen we in 20 segmenten. Op deze lijn presenteren we meer karakteristieke punten (punten van het doorsnede-polygoon, zwaartepunt, de neutrale lijn). Binnen deze punten berekenen we S, b_w, σ_x, τ_yz en σ_1.  Op het punt van maximale hoofdtrekspanning berekenen we de afschuivingsweerstand.

De dwarskracht vóór toepassing van de reductiefactor b vereist door Artikel 6.2.2 (6) moet voldoen aan de aanvullende voorwaarde

\[ {{V}_{Ed}}\le 0,5~{{b}_{w}}d~\upsilon ~{{f}_{cd}}\]

waarbij 

 \[ {{ υ}}\le 0,6\left[ 1-\frac{{{f}_{ck}}}{250} \right]\]  waarbij f_ck in MPa

Afschuivingsweerstand van staven zonder wapening of licht gewapend (art. 12.6.3 [2])

De afschuivingsweerstand voor ongewapend beton of licht gewapend beton kan worden bepaald uit de uitdrukking

\[ {{\tau }_{cp}}\le k~{{V}_{Ed~}}/{{A}_{cc}}\]

Waarbij

τ_cp wordt vervangen door

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}\le {{\sigma }_{c,lim}}~\]

of

\[ {{f}_{cvd}}=\sqrt{f_{ctd,pl}^{2}+{{\sigma }_{cp}}{{f}_{ctd,pl}}-{{\left( \frac{{{\sigma }_{cp}}-{{\sigma }_{c,lim}}}{2} \right)}^{2}}}~pro~{{\sigma }_{cp}}>{{\sigma }_{c,lim}}~\]

De deelwaarden gebruikt in de bovenstaande formule worden gegeven door:

\[ {{\sigma }_{c,lim}}={{f}_{cd,pl}}-2\sqrt{{{f}_{ctd,pl}}\left( {{f}_{ctd,pl}}+{{f}_{cd,pl}} \right)}\]

waarbij  

f_cd,pl     Rekenwaarde van de druksterkte  voor ongewapend beton of licht gewapend beton,

f_ctd,pl    Rekenwaarde van de axiale treksterkte van ongewapend beton of licht gewapend beton,

f_cvd       Rekenwaarde van de afschuivingsweerstand onder betondruk.

De weerstand van staven met afschuivingswapening (art. 6.2.3 [2])

De berekening van de weerstand van gewapend betonnen staven met afschuivingswapening is gebaseerd op de vakwerk analogiemethode met variabele hoek van de diagonalen. De basis van deze methode is het evenwicht van krachten in de driehoek bepaald door de drukdiagonaalkracht (diagonaal), de afschuivingswapeningskracht (beugel) en de langswapeningskracht.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principe of Truss analogy for member under shear load.}}}\]

Een doorsnede onder afschuivingsbelasting wordt gebroken door scheuren onder een hoek θ, om deze reden weerstaat de betonnen diagonaal met dezelfde hoek als de dwarskrachten de dwarskracht. De druk kracht van de diagonaal kan worden uitgedrukt als V_ed/sinθ. Deze kracht moet worden overgedragen door het betonoppervlak, loodrecht op de drukdiagonaal b_wzcosθ. De betondrukspanning in de drukdiagonaal is dan gelijk aan:

\[ {{\sigma }_{c}}=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z~\sin \text{ }\!\!\theta\!\!\text{ }\cos \theta }=\frac{{{V}_{Ed}}}{{{b}_{w}}z}\left( \tan \theta +\cot \theta  \right)\]

Door substitutie van \[{{\sigma }_{c}}={{\alpha }_{cw}}{{\nu }_{1}}{{f}_{cd}}\]  en \[{{V}_{Ed}}={{V}_{Rd,max}}\] en het uitdrukken van \[{{V}_{Rd,max}}\] verkrijgen we de vergelijking voor de afschuivingsweerstand van de diagonaal:

\[ {{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}/\left( \cot \theta +\tan \theta  \right)\]

Om de verticale krachtcomponent in de drukdiagonaal te balanceren, wordt afschuivingswapening gebruikt. De grootte van de verticale kracht is gebaseerd op de diagonale drukspanning in het betonoppervlak dat overeenkomt met één enkele beugel - \[{{\sigma }_{c}}{{b}_{w}}s{{\sin }^{2}}\theta\]. De grensbeugel kracht is gegeven als \[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}/s\]. 

Door σ_c in te vullen, te vergelijken met de grenskracht in de wapening, na bewerkingen verkrijgen we:

\[ \frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}=\frac{{{V}_{Ed}}}{z}\tan \theta\]

Door vervolgens V_ed uit te drukken als V_RDs verkrijgen we de weerstand van de doorsnede met verticale afschuivingswapening:

\[ {{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\cot \theta\]

De langse dwarskracht wordt overgedragen door de langswapening en kan worden bepaald als V_edcotgθ. De afleiding van bovenstaande formules is te vinden in [4].

Met het programma IDEA RCS is het alleen mogelijk staven met verticale afschuivingswapening te controleren. In het algemeen kunnen de volgende vergelijkingen worden gebruikt:

\[{{V}_{Rd,s}}=~\frac{{{A}_{sw}}}{s}z~{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha\]

\[{{V}_{Rd,max}}=~{{\alpha }_{cw}}~{{b}_{w}}~z~{{\nu }_{1~}}{{f}_{cd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha   \right)/\left( 1+{{\cot }^{2}}\theta  \right)\]

Waarbij  

A_sw      is de doorsnede-oppervlakte van de afschuivingswapening,

s           is de hartafstand van de beugelwapening,

f_ywd      is de rekenwaarde van de vloeispanning van de afschuivingswapening,

b_w        is de minimale breedte tussen de trek- en drukflens. Voor de berekening van de weerstand V_Rd,max moet de waarde van de doorsnedebreedte worden gereduceerd tot de zogenaamde nominale breedte van de doorsnede indien de doorsnede is verzwakt door kabelkanalen

           b_w,nom=b_w-0,5ΣΦ voor injecteerbare metalen kabelkanalen

           b_w,nom=b_w-1,2ΣΦ voor niet-injecteerbare metalen kabelkanalen           

υ          = 0,6 voor f_ck ≤ 60MPa of  voor f_ck > 60MPa,

α_cw       is een coëfficiënt die rekening houdt met de spanningstoestand in de drukflens.

Belasting	σcp = 0	0 < σcp≤0,25 fcd	0,25 fcd < σcp≤0,5 fcd	0,5 fcd < σcp≤1,0 fcd
Coëfficiënt acw	1,0	1+σcp/fcd	1,25	2,5(1 - σcp/fcd)

Tab. 1‑1 Bepaling van coëfficiënt α_cw

Hoek θ is de hoek tussen de betonnen drukdiagonaal en de liggeraas loodrecht op de dwarskracht. De grenswaarden van cotθ voor gebruik in een land kunnen worden gevonden in de nationale bijlage. De aanbevolen grenzen worden gegeven door de uitdrukking:

\[1~\le ~\cot \theta \le 2,5\]

De keuze van de grootte van de hoek θ kan de waarde van de weerstanden beïnvloeden. De afhankelijkheid van de weerstanden is zichtbaar in Figuur 1.15. De figuur toont dat bij toenemende hoek θ de weerstand V_Rd,max  toeneemt, en de weerstand V_Rd,s afneemt. Weerstand V_Rd,c is constant, omdat deze is gebaseerd op de vakwerkanalogiemethod.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency between shear resistance and angle q.}}}\]

Berekening van doorsnede-eigenschappen voor afschuiving

Voor de berekening van de afschuiving is het belangrijk de doorsnede-variabelen te berekenen die de afschuivingsweerstand beïnvloeden. Deze variabelen omvatten voornamelijk de afschuivingsweerstandbiedende doorsnedebreedte b_w, de nuttige hoogte d en de inwendige momentarm z. De norm [2] geeft deze waarden die direct correleren met de werkelijke buigspanning. Het probleem is echter het bepalen van deze waarden wanneer de richting van het resulterende buigend moment (of nauwkeuriger de richting van de resultante van de doorsnedeweerstand) aanzienlijk afwijkt van de richting van de resulterende dwarskrachten. In dit geval geeft de EC2-norm geen aanbevelingen.

Doorsnedebreedte die weerstand biedt aan afschuiving b_w

Het IDEA RCS programma berekent de doorsnedebreedte die weerstand biedt aan afschuiving in de richting loodrecht op de resultante van de dwarskrachten. Afhankelijk van het artikel in de Eurocode wordt deze breedte berekend als:
-  De kleinste breedte van de doorsnede tussen de resultante van het gedrukte beton en de getrokken wapening in de richting loodrecht op de resultante van de dwarskrachten voor artikel 6.2.2 (a) en 6.2.3 (1)
- De doorsnedebreedte in een richting loodrecht op de resultante van de dwarskrachten in het gecontroleerde punt conform artikel 6.2.2 (2)

Nuttige hoogte van een doorsnede

De nuttige hoogte wordt doorgaans gedefinieerd als de afstand van de meest gedrukte betonvezel tot het zwaartepunt van de wapening. Omdat deze direct gerelateerd is aan de buiging, wordt de afstand gegeven als de loodrechte projectie op de zwaartekrachtlijn van het vlak van de vlakke doorsnede. 

Deze definitie kan worden verduidelijkt zodat in plaats van het zwaartepunt van de getrokken wapening de positie van de resultante van de wapeningskrachten wordt gebruikt. Tijdens de ontwikkeling van het IDEA RCS programma werd het probleem opgelost: hoe de nuttige hoogte van de doorsnede te definiëren, waarbij het vlak van de buigbelastingen niet overeenkomt met de richting van de resulterende dwarskrachten. Daarom wordt de nuttige hoogte gedefinieerd als de afstand van de meest gedrukte betonvezel  tot de resultante van de krachten in de getrokken wapening  (gebaseerd op buigspanning) en in de richting van de resulterende dwarskrachten, zie Figuur 1.17.

Uitzonderlijke gevallen doen zich voor als we niet in staat zijn de gedrukte vezel of de resultante in de getrokken wapening te bepalen. In dit geval adviseren we de waarde 0,9 h te gebruiken (90% van de doorsnedehoogte in de richting van de resulterende dwarskrachten). Deze waarde kan de gebruiker instellen in het IDEA RCS programma via de instelling van de norm-variabelen.

Inwendige momentarm

De inwendige momentarm is opgenomen in 6.2.3 (3) [2] en wordt gedefinieerd als de "afstand tussen de trek- en drukflens".  De norm definieert niet hoe te handelen wanneer  het vlak van het werkende buigend moment verschilt van de richting van de resulterende dwarskrachten. Daarom, zoals bij de nuttige hoogte, definiëren we de afstand in de richting van de resulterende dwarskrachten. Ook hier kunnen zich vergelijkbare uitzonderingsgevallen voordoen, bijvoorbeeld wanneer de gehele doorsnede onder druk staat, enz. In dit geval nemen we de waarde 0,9 d (90% van de nuttige doorsnedehoogte). Deze waarde kan de gebruiker instellen in het IDEA RCS programma via de instelling van de norm-variabelen.

De afhankelijkheid tussen de hellingshoek van het buigvlak en de resultante van de dwarskracht is duidelijk zichtbaar in Figuur 1.18 en Figuur 1.19. Bij toenemende hellingshoek nemen de waarden van de nuttige hoogte, de momentarmen en de bijbehorende weerstanden af. De grenstoestand is 90°. Voor deze hellingshoek kan de inwendige momentarm niet worden berekend, waardoor de momentarm gelijk is aan nul. In dit geval wordt de waarde gespecificeerd in de instelling van de norm-variabelen gehanteerd. Hierdoor ontstaat een sprong aan het einde van de grafiek. Deze studie bevestigt dat de aanbevolen maximale hellingshoek circa 20° bedraagt.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between effective depth, lever arm to the bending plane inclination and the resultant of shear forces.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependence between  resistance Vrds to the bending plane inclination and the resultant of shear.}}}\]

Als onderdeel van het testen van de RCS applicatie werd een studie uitgevoerd naar de afhankelijkheid van de afschuivingsweerstand bij verandering van de normaalkracht. Weerstand V_Rd,max wordt beïnvloed alleen door de coëfficiënt α_cw, zie Fig. 1.20. Fig. 1.21 toont een constante waarde van weerstand V_Rds. Voor V_Rdc weerstand veroorzaakt de toename van de normaalkracht een afname. De blauwe curve in Fig. 1.21 toont de weerstand V_Rdc waarbij de invloed van scheuren wordt verwaarloosd en deze werd berekend met de formule in paragraaf 6.2.2 (1) [2]. De sprong bij de overgang tussen druk en trek wordt veroorzaakt door de bijdragende getrokken wapening. De rode curve wordt berekend met de formule in paragraaf 6.2.2 (2) [2]. Na het optreden van de eerste scheur is de afhankelijkheidscurve gelijk aan die voor 6.2.2 (1) [2].

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency curve of shear resistance VRd,max to normal force.}}}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Dependency of shear resistances VRd,c a VRd,s to normal force.}}}\]

Torsie

Berekeningsaannames

Het gedrag van een gewapend betonnen doorsnede onderworpen aan torsie kan worden onderverdeeld in twee categorieën - vóór en na het moment waarop scheuren voor het eerst worden verwacht. Vóór een scheur gedraagt de doorsnede zich als een elastisch materiaal. De torsiespanning kan worden uitgedrukt met de formule   

 \[\tau =~\frac{{{T}_{Ed}}}{{{W}_{t}}}\] 

waarbij W_t het doorsnede-weerstandsmoment voor torsie is.

Scheuren in de ongewapende staaf als gevolg van de maatgevende hoofdtrekspanning door torsie vormen tevens een grenstoestand. Het gedrag van een gewapend betonnen doorsnede onderworpen aan torsie kan worden beschreven op basis van een dunwandige gesloten doorsnede, zie onderstaande figuur. 

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Equivalent thin-walled cross-section.}}}\]

Berekeningsmethode

Het proces van een normtoetsing van een gewapend betonnen doorsnede op torsie is zeer vergelijkbaar met de normtoetsing op afschuiving. Allereerst controleren we de betonweerstand. Als de betoncontrole voldoet, kan de wapening worden ontworpen aan de hand van de constructieve detailleringsregels. Anders moeten we de wapening en de weerstand van de drukdiagonaal rekenkundig verifiëren.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Process diagram for torsion check.}}}\]

Weerstand

De schuifstroom in een wand van een dunwandige doorsnede onder torsie kan worden uitgedrukt als:

\[ {{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}=~\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

De afschuifkracht in een wand van een dunwandige doorsnede kan worden uitgedrukt als:

\[ V={{\tau }_{t}}{{t}_{ef}}z\]

Waarbij 

τ          Schuifstroom in de wand,

t_ef         is de effectieve wanddikte,

z           is de zijlengte van de wand,

T_Ed       is het torsie-moment,

A_k        is het oppervlak omsloten door de hartlijnen van de verbindende wanden, inclusief inwendige holle gebieden.

Het torsie-scheurmoment kan worden bepaald door f_ctd in te vullen in de vorige uitdrukking. Zo verkrijgen we de uitdrukking voor de weerstand bij torsie zonder torsiebewapening.

\[ {{T}_{Rd,c}}=2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}{{f}_{ctd}}\]

waarbij  f_ctd       rekenwaarde van de axiale treksterkte van beton

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Principles of Truss analogy for member under torsion moment.}}}\]

De weerstand van de staaf met torsiebewapening is samengesteld uit de weerstand van de drukdiagonalen in het beton, die eveneens gebaseerd is op de vakwerkanalogie. De drukspanning in de diagonaal kan worden uitgedrukt met behulp van de afschuifkracht in de wand van een dunwandige doorsnede op het beschouwde wandoppervlak, d.w.z.

\[{{\sigma }_{c}}=\frac{\frac{{{T}_{Ed}}z}{2{{A}_{k}}\sin \theta }}{z~{{t}_{ef}}\cos \theta }=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }\]

Door substitutie van  σ_c=σ_cwf_cd en T_Ed=T_Rd,max en het uitdrukken van T_Rd,max verkrijgen we een vergelijking voor de weerstand van de drukdiagonaal

\[{{T}_{Rd,max}}=2~\nu ~{{\alpha }_{cw}}~{{f}_{cd}}~{{A}_{k}}~{{t}_{ef~\sin \theta ~\cos \theta }}\]

waarbij  

ν          = 0,6 voor f_ck ≤ 60MPa of  voor f_ck > 60MPa

α_cw       coëfficiënt die rekening houdt met de toestand van de drukspanning in de drukgordel

f_cd        rekenwaarde van de betondruksterkte

de weerstand van de beugelbewapening onderworpen aan torsie is eveneens gebaseerd op de spanning in de drukdiagonaal. De beugel kracht is gelijk aan de spanning in de gedrukte diagonaal op het oppervlak dat overeenkomt met de betreffende beugelrij, d.w.z.

\[{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}{{t}_{ef}}\sin \theta \cos \theta }~{{t}_{ef}}~s{{\sin }^{2}}\theta =\frac{{{T}_{Ed}}~s}{2{{A}_{k}}\cot \theta }~\]

Door substitutie van  T_Ed=T_Rd,s en het uitdrukken van T_Rd,s  verkrijgen we de vergelijking:

 \[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}~\cot \theta\] 

Als de hoeveelheid langswapening en beugelbewapening bekend is, kunnen we de hoek θ bepalen met de uitdrukking

\[{{\tan }^{2}}\theta =\frac{\frac{{{A}_{sw}}{{f}_{ywd}}}{s}}{\frac{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}{{{u}_{k}}}}\] 

Door substitutie voor T_Rd,s verkrijgen we

\[{{T}_{Rd,s}}=2{{A}_{k}}\sqrt{\frac{{{A}_{sw}}}{s}{{f}_{ywd~}}\frac{{{A}_{sl}}}{{{u}_{k}}}~{{f}_{yd}}}\]  

Waarbij

A_sw      oppervlak van de beugelbewapening

s           is de hartafstand van de beugels van de beugelbewapening

f_ywd      is de effectieve rekenwaarde van de sterkte van de beugelbewapening

A_sl       oppervlak van de langswapening

u_k         is de buitenomtrek van de doorsnede

f_ywd      is de effectieve rekenwaarde van de sterkte van de langswapening

De kracht in de langswapening kan worden afgeleid uit de afschuifkracht in een wand van een doorsnede onderworpen aan een zuiver torsie-moment, die als volgt wordt gegeven:

\[V=\frac{{{T}_{Ed}}}{2{{A}_{k}}}{{u}_{k}}\]

Die kracht wordt omgezet naar de langsrichting en we verkrijgen:

\[{{F}_{l}}=\frac{{{T}_{Ed}}{{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}~\tan \theta }\]

Het toegestane bereik van de waarden voor hoek θ is vergelijkbaar met de afschuivingscontrole, d.w.z. 1 < cot θ < 2,5. De afhankelijkheid tussen de weerstanden is te zien in onderstaande figuur. Het diagram toont dat bij toenemende hoek θ de weerstand T_Rd,max toeneemt, de weerstand T_Rd.s afneemt en de weerstand T_Rd,c constant blijft, omdat deze niet gebaseerd is op de vakwerkanalogie.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{\qquad Závislost únosnosti průřezu v kroucení na úhlu θ.}}}\]

Berekening van doorsnede-eigenschappen voor torsie

Om de doorsnede te controleren op torsie is het noodzakelijk een zogenaamde equivalente dunwandige gesloten doorsnede op te stellen. Bij het bepalen van de afmetingen van de equivalente dunwandige doorsnede wordt uitgegaan van een rechthoekige vorm. Voor het werkelijke oppervlak van een rechthoek geldt A = b×h en voor de omtrek van een rechthoek u =2 (b +h). Met behulp van deze twee vergelijkingen kan het alternatieve dunwandige rechthoekige oppervlak en de omtrek van de oorspronkelijke doorsnede worden bepaald. Door twee vergelijkingen met twee onbekenden op te lossen verkrijgen we:

\[b=\frac{-u\pm \sqrt{{{u}^{2}}-16A}}{-4}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[h=\frac{\left( u-2\text{b} \right)}{2}\]

De wanddikte van de effectieve doorsnede kan worden bepaald uit de omtrek en het doorsnede-oppervlak als:

\[t=\text{A}/\text{u}\]

Vervolgens het oppervlak en de omtrek bepaald door de hartlijn van de effectieve doorsnede:

\[{{A}_{k}}=\left( \text{h}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right)\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\]

\[{{u}_{k}}=2\left( \left( \text{h}-\text{t} \right)+\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\left( \text{b}-\text{t} \right) \right)\]

Het probleem met deze methode doet zich voor bij een T-vormige doorsnede met een brede plaat, waarbij het totale oppervlak en de omtrek worden gebruikt om de afmetingen te berekenen (inclusief deze plaat). In toekomstige versies van het IDEA RCS programma zal de selectie van het meest massieve doorsnededeel worden mogelijk gemaakt, dat zal worden gebruikt voor de torsiecontrole.

Interactie

Interactie van dwarskracht en torsie voor dwarskrachtwapening

Bepaling van de kracht in de dwarskrachtwapening ten gevolge van de dwarskracht. 

De berekening is gebaseerd op de formule voor het berekenen van de weerstand van de dwarskrachtwapening zoals gedefinieerd in EN 1992-1-1. Op basis van vergelijking 6.13 (hfdst. 6.2.3 (4)) kan de draagkracht van één beugelbeen worden afgeleid als:

\[{{V}_{Rd,s}}=\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}z{{f}_{ywd}}\left( \cot \theta +\cot \alpha  \right)\sin \alpha \cos \beta \]

\[\frac{{{A}_{sw,V}}}{s}={{a}_{sw,V}}\]

A_sw,V .  .  . doorsnede-oppervlak van één beugelbeen dat de dwarskracht weerstaat in de beschouwde doorsnede

s .  .  .  .  . hartafstand van de dwarskrachtwapening in de richting van de longitudinale staafas 

a_sw,V .  .  . doorsnede-oppervlak van de dwarskrachtwapening per lengte-eenheid

z .  .  .  .  . de inwendige momentarm. Voor een staaf met constante hoogte, overeenkomend met het buigend moment in het beschouwde element. Bij de dwarskrachtanalyse van gewapend beton zonder normaalkracht mag normaal gesproken de benaderende waarde z = 0,9d worden gebruikt.

f_ywd .  .  .  de rekenwaarde van de vloeigrens van de dwarskrachtwapening

θ .  .  .  .  . de hoek tussen de betonnen drukdiagonaal en de staafas loodrecht op de dwarskracht

α .  .  .  .  . de hoek tussen de dwarskrachtwapening en de staafas loodrecht op de dwarskracht

β .  .  .  .  . helling van het been van de beugel ten opzichte van de resultante van de aangrijpende dwarskracht

De dwarskracht wordt gelijkmatig verdeeld over de afzonderlijke wapening die de dwarskracht weerstaat, op basis van de hoek van de wapening en de axiale stijfheid van de afzonderlijke beugelsbenen.

\[{{V}_{ed}}={{V}_{ed,1}}+{{V}_{ed,2}}+...+{{V}_{ed,n}}\]

\[{{V}_{ed}}={{\varepsilon }_{sw,V}}\cdot z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}\]

Verder kan de gemiddelde wapeningstrek in de richting van de resulterende dwarskracht worden afgeleid:

\[{{\varepsilon }_{sw,V}}=\frac{{{V}_{ed}}}{z\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{V}}}{{{a}_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{sw,i,V}}\cdot \left( \cot \theta +\cot {{\alpha }_{i}} \right)\cdot {{\cos }^{2}}{{\beta }_{i}}}}\]

De werkelijke rek van de i-de wapening kan worden berekend als:

\[{{\varepsilon }_{sw,i,V}}=\frac{{{\varepsilon }_{sw,V}}}{\sin {{\alpha }_{i}}}\cdot \cos {{\beta }_{i}}\]

De trek in een bepaald been van de wapening:

\[{{\sigma }_{sw,i,V}}={{\varepsilon }_{sw,i,V}}\cdot {{E}_{si,V}}\]

Bepaling van de kracht in afzonderlijke beugelsbenen ten gevolge van torsie

De torsiestijfheid van een doorsnede kan worden berekend op basis van een dunwandige gesloten doorsnede, waarbij het evenwicht wordt gewaarborgd door een gesloten schuifstroom. Massieve doorsneden kunnen worden gemodelleerd door equivalente dunwandige doorsneden. Voor niet-massieve doorsneden mag de equivalente wanddikte de werkelijke wanddikte niet overschrijden.

De schuifstroom in de wanden van een dunwandige gesloten doorsnede ten gevolge van torsie kan worden berekend als:

\[{{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\]

De dwarskracht in een bepaalde wand is dan:

\[{{V}_{i}}={{\tau }_{t}}\cdot {{t}_{ef}}\cdot {{l}_{i}}\]

l_i .  .  .  . lengte van de hartlijn van de beschouwde wand

Dwarskracht in de lijf – de lengte van de hartlijn van het lijf kan worden vervangen door de waarde van de momentarm "z".

\[{{V}_{ed,T}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot z\]

Kracht in beugelsbenen die torsie weerstaan per meter staaflengte (per lengte-eenheid):

\[{{F}_{sw,T}}=\frac{{{V}_{ed,T}}}{z\cdot \cot \theta }=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cdot tg\theta\]

Ontbinding van krachten voor afzonderlijke beugelsbenen

Als voor alle beugelsbenen hetzelfde materiaal is gedefinieerd, is de resulterende spanning ten gevolge van torsie in elk beugelbeen constant. Dan geldt:

\[{{\sigma }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{{{a}_{sw,T}}}\]

waarbij a_sw,T het totale oppervlak is van beugelsbenen die de torsie per lengte-eenheid weerstaan.

In het geval dat afzonderlijke beugelsbenen verschillende materialen hebben, moet de axiale stijfheid van de afzonderlijke staven in rekening worden gebracht.

\[{{F}_{sw,T}}={{F}_{s1,T}}+{{F}_{s2,T}}+{{F}_{s3,T}}+...+{{F}_{sn,T}}=\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{F}_{si,T}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sw,T}}=\frac{{{F}_{sw,T}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{\left( {{a}_{si,T}}\cdot {{E}_{si,T}} \right)}}\]

n_T .  .  .  . aantal benen van de wapening (groepen wapening) die torsie weerstaan

F_si,T .  .  . kracht in de i-de groep wapening ten gevolge van torsie per lengte-eenheid

a_si,T .  .  . doorsnede-oppervlak van de dwarskrachtwapening die torsie weerstaat per lengte-eenheid 

E_si,T .  .  . elasticiteitsmodulus van de i-de groep wapening die torsie weerstaat

ε_sw,T .  .  rek in de wapening ten gevolge van torsie

De resulterende spanning in elk beugelbeen ten gevolge van de aangrijpende torsie wordt berekend als:

\[{{\sigma }_{sw,i,T}}={{\varepsilon }_{sw,T}}\cdot {{E}_{si,T}}\]

V+T interactie

De berekening van de spanningen in beugelsbenen ten gevolge van dwarskracht en torsie is dan een sommatie van de spanningen ten gevolge van de afzonderlijke belastingscomponenten.  

\[{{\sigma }_{sw,i}}={{\sigma }_{sw,i,V}}+{{\sigma }_{sw,i,T}}\]

Resulterende kracht in de i-de wapening:

\[{{F}_{sw,i}}={{a}_{sw,i}}\cdot {{\sigma }_{sw,i}}\]

Interactie van dwarskracht, torsie en buiging voor langswapening

Bepaling van de kracht in elke langswapening ten gevolge van de normaalkracht en het buigend moment

De RCS applicatie wordt gebruikt om de doorsnedereactie te berekenen ten gevolge van de combinatie van de normaalkracht en het buigend moment, om de spanning en rek in de afzonderlijke langsstaven en voorspanningswapening te bepalen.

Bepaling van de kracht in de afzonderlijke langswapening ten gevolge van de dwarskracht

De toename van de trekkracht in de langswapening ΔF_td ten gevolge van de dwarskracht is afhankelijk van de geometrie van het Staafwerk model. 

\[\Delta {{F}_{td}}={{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\]

ΔF_td .  .  .  toename van de trekkracht in de langswapening ten gevolge van de dwarskracht

V_ed .  .  .  . rekenwaarde van de dwarskracht die aangrijpt in de beschouwde doorsnede

θ .  .  .  .  . de hoek tussen de betonnen drukdiagonaal en de staafas 

α .  .  .  .  . de hoek tussen de dwarskrachtwapening en de staafas

Voor de langswapening in de trekrand mag de resulterende kracht F_t in de langswapening ten gevolge van de combinatie N+M+V niet groter worden genomen dan M_Ed,max/z (waarbij M_Ed,max het maximale moment langs de ligger is)

\[{{F}_{t}}=\frac{{{M}_{Ed}}}{z}+0,5{{V}_{ed}}\left( \cot \theta -\cot \alpha  \right)\le \frac{{{M}_{Ed,\max }}}{z}\]

De kracht ΔF_td wordt overgedragen door alle gehechte voorspanningselementen en wapening die zich bevinden in het deel van de doorsnede dat de dwarskracht weerstaat (het lijf in het geval van een I-profiel). Aan de veilige kant kan de bijdrage van de voorspanningswapening als 0 worden beschouwd. De aanname van de berekening is dat de toename van de axiale rek van de afzonderlijke langswapening die de dwarskracht weerstaat constant is (Δε_s1,V = Δε_s2,V = .... =Δε_p1,V = Δε_p2,V = ... = Δε_V = const.). De afleiding is geldig voor een bilineair wapeningstrekdiagram met een horizontale plastische tak. In het geval van een diagram met een hellende tak moet de berekening worden aangepast.

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{F}_{s}}+\Delta {{F}_{s}}\]

\[\Delta {{F}_{td}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}\]

Δε_V .  .  .  . rektoename in de langswapening ten gevolge van de dwarskracht

n_s,V .  .  .  . aantal langswapeningsstaven die de dwarskracht weerstaan

A_sl,i,V .  .  . oppervlak van de i-de langswapening die de dwarskracht weerstaat

E_sl,i,V .  .  . elasticiteitsmodulus van de i-de langswapening die de dwarskracht weerstaat

n_p,V .  .  .  . aantal spannelementen die de dwarskracht weerstaan

A_pl,i,V .  .  . oppervlak van het i-de spanelement die de dwarskracht weerstaat

E_pl,i,V .  .  . elasticiteitsmodulus van het i-de spanelement die de dwarskracht weerstaat

Na het bepalen van de waarde van de kracht ΔF_td kan vervolgens de gemiddelde wapeningstrek Δε_V worden berekend.

\[\Delta {{\varepsilon }_{V}}=\frac{\Delta {{F}_{td}}}{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{s,V}}}{{{A}_{sl,i,V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}}+\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{p,V}}}{{{A}_{pl,i,V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}}}\]

Spanningstoename in de afzonderlijke langsstaven ten gevolge van de aangrijpende dwarskracht:

voor wapeningsstaal \[\Delta {{\sigma }_{sl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{sl,i,V}}\]

voor spanelement \[\Delta {{\sigma }_{pl,i,V}}=\Delta {{\varepsilon }_{V}}\cdot {{E}_{pl,i,V}}\]

Bepaling van de kracht in elke langswapening ten gevolge van torsie

Het is zeer belangrijk om de langswapening te bepalen die de torsie weerstaat. Dit is de wapening die zich bevindt in een torsieresistente vervangende effectieve dunwandige doorsnede.

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta \]

Volgens EN 1992-1-1 moet aan een aantal voorwaarden worden voldaan voor langswapening die torsie weerstaat:

- de wapening moet gelijkmatig verdeeld zijn over de lengte z_i, maar bij kleine doorsneden mag de wapening worden geconcentreerd in de hoeken van de beugel

- de maximale hartafstand van de langswapening bedraagt 350 mm

De bijdrage van de voorspanningswapening wordt niet in aanmerking genomen conform EN 1992-1-1.

De norm EN 1992-2 stelt dat de bijdrage van de voorspanningswapening in aanmerking mag worden genomen, maar de maximale spanningstoename in de voorspanningswapening mag niet groter zijn dan Δσ_p ≤ 500MPa. De formule kan dan worden aangepast:

\[\frac{\sum{{{A}_{sl}}{{f}_{yd}}+\sum{{{A}_{p}}\Delta {{\sigma }_{p}}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

Hoewel de toename van de voorspanningswapening in aanmerking kan worden genomen, is dit een keuze van de gebruiker. Momenteel wordt voorspanningswapening niet meegenomen in de berekening. 

De aanname van de berekening is dat de toename van de axiale rek van elke langswapening die de dwarskracht weerstaat constant is (Δε_s1,T = Δε_s2,T = .... =Δε_p1,T = Δε_p2,T = ... = Δε_T = const.). De afleiding is geldig voor een bilineair wapeningstrekdiagram met een horizontale plastische tak. In het geval van een diagram met een stijgende tak moet de berekening worden aangepast.

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\sigma }_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\frac{\sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot \Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}{{{u}_{k}}}=\frac{{{T}_{ed}}}{2{{A}_{k}}}\cot \theta\]

\[\Delta {{\varepsilon }_{T}}=\frac{{{T}_{ed}}\cdot {{u}_{k}}}{2{{A}_{k}}\cdot \sum\limits_{i=1}^{{{n}_{T}}}{{{A}_{sl,i,T}}\cdot {{E}_{s,i,T}}}}\cot \theta\]

T_ed .  .  .  . de rekenwaarde van het torsiekoppel dat aangrijpt in de beschouwde doorsnede

θ .  .  .  .  . helling van de drukdiagonalen ten opzichte van de langsas van de ligger (identiek aan die voor de dwarskracht)

u_k .  .  .  .  omtrek van het oppervlak A_k

A_f .  .  .  .  het oppervlak begrensd door de hartlijn van de vervangende holle dunwandige doorsnede

n_s,T .  .  .  .aantal langse betonwapeningsstaven die het torsiekoppel weerstaan

A_sl,i,T .  .  . oppervlak van de i-de langse betonwapening die het torsiekoppel weerstaat

Δε_T .  .  .  .de verandering in de vervorming van de langswapening ten gevolge van het torsiekoppel

Δσ_s,i,T .  .  spanningsverandering in de i-de langswapening ten gevolge van het torsiekoppel

E_sl,i,T .  .  . elasticiteitsmodulus van de i-de langse betonwapening die het torsiekoppel weerstaat

Spanningstoename in elke langswapening ten gevolge van het aangrijpende torsiekoppel:

\[\Delta {{\sigma }_{sl,i,T}}=\Delta {{\varepsilon }_{T}}\cdot {{E}_{sl,i,T}}\]

Spanningsbegrenzingscontrole

De controle is gebaseerd op algemene aannames, waarbij twee toestanden van de doorsnede worden onderscheiden: de ongescheurde doorsnede (de treksterkte van het beton wordt niet verwaarloosd) en de volledig gescheurde doorsnede (de treksterkte van het beton wordt verwaarloosd). De oplossing met verwaarloosde beton treksterkte wordt beschouwd onder de aannames van Artikel 7.1 (2) EN 1992-1-1.

Bij het berekenen van de spanning en doorbuigingen wordt uitgegaan van een ongescheurde doorsnede, als de trekspanning door buiging niet groter is dan f_ct, eff. De waarde van f_ct, eff kan worden beschouwd als f_ctm of f_ctm,fl. De f_ctm waarde wordt gebruikt bij het berekenen van de scheurwijdte en tension stiffening.

Als onderdeel van deze controle worden vier basisgevallen behandeld met betrekking tot de spanningsbegrenzing.

• 7.2 (2) De drukspanning in stavven die worden blootgesteld aan omgevingen van blootstellingsklassen XD, XF en XS dient te worden begrensd:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{1}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{1}}=0,6\]

• 7.2 (3) De spanning in het beton onder de quasi-permanente belastingen is begrensd:

\[\left| {{s}_{c}} \right|\le {{k}_{2}}{{f}_{ck}}\]

\[{{k}_{2}}=0,45\]

• 7.2 (5) Trekspanningen in de wapening onder de karakteristieke combinatie van belastingen dienen te worden begrensd:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{3}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{3}}=0,8\]

• 7.2 (5) Wanneer de spanning wordt veroorzaakt door een opgelegde vervorming, mag de trekspanning niet groter zijn dan:

\[\left| {{s}_{s}} \right|\le {{k}_{4}}{{f}_{yk}}\]

\[{{k}_{4}}=1\]

Waarbij de waarden k₁, k₂, k₃, k₄ voor gebruik in een land kunnen worden gevonden in de Nationale Bijlage. De aanbevolen waarden zijn respectievelijk 0,8; 1 en 0,75, karakteristieke vloeigrens van de wapening, f_ck karakteristieke cilindersterkte f_ck bepaald na 28 dagen.

Scheuren

De vorming van scheuren

Een kenmerkend verschijnsel van gewapend betonconstructies onder buiging of trekspanning is het optreden van scheurvorming op plaatsen waar de trekspanning in het beton de treksterkte van het beton overschrijdt. Voor de duurzaamheid van de constructie en ook voor de esthetiek van de constructie is het belangrijk ervoor te zorgen dat de gevormde scheuren zo klein mogelijk zijn. De berekening van de scheurwijdten alsmede de maximaal toegestane wijdten voor de verschillende omgevingsklassen zijn opgenomen in EN 1992-1-1, Hoofdstuk 7.3.

In de eerste stap van de berekening wordt bepaald of de doorsnede gescheurd is of niet. De scheurwijdte zelf wordt altijd berekend uit de quasi-permanente of frequente belastingscombinatie (afhankelijk van de nationale bijlage), maar de scheurvorming moet worden gecontroleerd vanuit alle opgegeven BGT-combinaties. Er kunnen zich dus twee gevallen voordoen:

• De maximale trekspanning in de betonvezels overschrijdt de treksterkte van het beton niet voor enige belastingscombinatie (quasi-permanent M_E,qp, frequent M_E,fr, of karakteristiek M_E,k), en derhalve beschouwen we de doorsnede zonder scheuren.

\[{{M}_{E,i}}\le {{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

• Als er scheuren ontstaan voor een van de combinaties (quasi-permanent, frequent of karakteristiek), d.w.z. het buigend moment dat ontstaat uit de beschouwde belastingscombinatie groter is dan het kritieke moment M_cr, is de doorsnede gescheurd vanuit die belastingscombinatie en moeten de eigenschappen van de gescheurde doorsnede en de scheurwijdte worden berekend.

\[{{M}_{E,i}}>{{M}_{cr}}={{f}_{ct,ef}}\frac{{I}_{I}}{h-{{a}_{I}}}\]

M_E,i   .   .   het buigend moment verkregen uit een BGT-belastingscombinatie. Dit kan dus M_E,qp, M_E,fr, of M_E,k zijn. 

f_ct,ef   .   .  de treksterkte van het beton op het beschouwde tijdstip. Als het beton ouder is dan 28 dagen, wordt een sterkte gelijk aan f_ctm aangehouden.

Berekening van de scheurwijdte

Bij een op buiging belast element wordt de scheurvorming onderverdeeld in 2 verschijnselen:

• Scheurvormingsfase (fase nummer 2 in Fig. 1)
• Gestabiliseerde scheurontwikkeling (fase nummer 3 in Fig. 1)

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 1  Stages of the behavior of the reinforced concrete cross-section during loading}}}\]

Scheurontwikkelingsfase

Dit is het beginstadium van het proces waarbij afzonderlijke scheuren nog geleidelijk verschijnen totdat het gehele trekgedeelte van de staaf wordt beïnvloed door scheuren die min of meer gelijkmatig verdeeld zijn over de lengte van de staaf. De eerste scheur ontstaat wanneer de kracht in de getrokken strook de waarde van de kritieke kracht N_r (kritieke trek kracht, zie hieronder) overschrijdt, en verdere scheuren ontwikkelen zich tot een belastingsniveau waarbij de kracht in de getrokken strook gelijk is aan ongeveer 1,3N_cr (fase nummer 2 in Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 2  Strains of concrete and reinforcement at the moment of the first crack}}}\]

De zich ontwikkelende scheuren worden onderverdeeld in 2 typen - primaire en secundaire scheuren. Primaire scheuren ontstaan in de trekvezel wanneer de effectieve treksterkte van het beton (f_ct,eff) wordt bereikt. Primaire scheuren vormen het eerste scheurpatroon (Fig. 2). Kortere secundaire scheuren worden vervolgens gevormd tussen de primaire scheuren (Fig. 3). Bij spanningen die overeenkomen met ongeveer 1,2 tot 1,5 σ_sr (gewoonlijk wordt een gemiddelde waarde van 1,3 σ_sr aangehouden, waarbij σ_sr de spanning in de wapening is bij de vorming van primaire scheuren in de trekzone van het beton), is ook de ontwikkeling van secundaire scheuren voltooid.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 3  Primary and secondary cracks}}}\]

De scheurwijdte in de scheurvormingsfase kan als volgt worden berekend:

\[{{w}_{k}}=2{{l}_{s,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 4  Characteristics of the transmission length for the first crack}}}\]

Gestabiliseerde scheurontwikkelingsfase

Na het overschrijden van ongeveer 1,3 maal de kritieke kracht in de trekzone worden er geen nieuwe scheuren gevormd, het aantal scheuren in het element is gestabiliseerd en alleen de wijdte van de bestaande scheuren neemt toe bij verdere belasting (fase nummer 3 in Fig. 1).

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 5  Strains of concrete and reinforcement at the stabilized cracking stage}}}\]

De scheurwijdte tijdens gestabiliseerde ontwikkeling kan worden berekend als:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Stabilized cracking}}}\]

Kritieke trek kracht

De berekening is gebaseerd op het Tension Chord Model (TCM). De basisoverweging is het berekenen van de uiterste capaciteit van een gewapend betonstrook gevormd door een wapeningsstaf met oppervlak A_s,eff omgeven door een effectief oppervlak van getrokken beton A_c,eff, dat in staat is de trekspanning te weerstaan totdat de treksterkte f_ct,eff wordt overschreden (normaal gesproken wordt f_ctm aangehouden). Uitgaande van een perfecte aanhechting tussen de wapening en het beton, kan worden aangenomen dat tot het optreden van de eerste scheur de vervorming van de wapening en het omringende beton identiek is. De maximale kracht in de trekstrook vlak voor de eerste scheur N_r kan dan worden bepaald:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}+{{A}_{s,eff}}\cdot {{\sigma }_{s}}\]

Door de substitutie in te voeren

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}};{{\rho }_{p,eff}}={}^{{{A}_{s,eff}}}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

verkrijgen we:

\[{{N}_{r}}={{A}_{c,eff}}\cdot {{f}_{ctm}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Direct na de vorming van de eerste scheur wordt de volledige kracht N_r overgedragen door de wapening en kan de spanning in de wapening die door de zojuist gevormde scheur loopt worden berekend als:

\[{{\sigma }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\Rightarrow {{\varepsilon }_{sr}}=\frac{{{f}_{ctm}}}{{{E}_{s}}\cdot {{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\]

Berekening van de scheurwijdte volgens EC 1992-1-1

De volgende vergelijking wordt gebruikt voor de berekening van de scheurwijdte van gewapend betonelementen:

\[{{w}_{k}}={{s}_{r,\max }}\left( {{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}} \right)\]

s_r,max   .   .   .   maximale scheurafstand

ε_sm  .   .   .   .   de gemiddelde rek van de wapening uit de belastingscombinatie, inclusief de effecten van tension stiffening.

ε_cm  .   .   .   .   gemiddelde rek van het beton tussen de scheuren

Berekening van het rekverschil

Het verschil in rek van wapening en beton tussen scheuren kan worden verkregen uit de vergelijking:

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\cdot \frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\cdot \left( 1+{{\alpha }_{e}}\cdot {{\rho }_{p,eff}} \right)\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

σ_s      .   .   .   .   de spanning in de wapening in de scheur uit de beschouwde belastingscombinatie

k_t      .   .   .   .   een empirische coëfficiënt die rekening houdt met de gemiddelde rek, afhankelijk van de duur van de belasting. Voor kortdurende analyse kan een waarde van 0,6 worden aangehouden. Voor de langdurige analyse wordt de vermindering van de stijfheid van het samengestelde element tot ongeveer 70% in rekening gebracht, zodat de waarde 0,4 is, wat de mate van degradatie van de aanhechting tussen de wapening en het beton in de tijd omvat.

α_e     .   .   .   . de effectieve verhouding van elasticiteitsmoduli

\[{{\alpha }_{e}}={}^{{{E}_{s}}}/{}_{{{E}_{cm}}}\]

ς_p,_eff  .   .   .   .   effectieve wapeningsgraad

\[{{\rho }_{p,eff}}={}^{\left( {{A}_{s,eff}}+{{\xi }^{2}_{1}}A_{p}^{\acute{\ }} \right)}/{}_{{{A}_{c,eff}}}\]

A_c,_eff .   .   .   .   het effectieve oppervlak van het beton in trek rondom de wapening (bepaling van A_c,eff hieronder)

A_s,_eff .   .   .   .   het oppervlak van de aangehechte wapening gelegen in het gebied van A_c,_eff

A_p´    .   .   .   .   het oppervlak van voor- of nagerekte spanelementen binnen A_c,_eff

ξ₁  .   .   .   .   .   de gecorrigeerde verhouding van hechtsterkte, rekening houdend met de verschillende diameters van voorspanstaal en wapeningsstaal:

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,\cdot \,\frac{{{\phi }_{s}}}{{{\phi }_{p}}}}\]

ξ  .   .   . de verhouding van hechtsterkte van voorspanstaal en wapeningsstaal (Tabel 6.2)

ϕ_s   .   .  grootste staafdiameter van wapeningsstaal

ϕ_p   .   .  de diameter of equivalente diameter van voorspanstaal

Voor bundels is A_p het oppervlak van de wapening in het spanelement

\[{{\phi }_{p}}=1,6\sqrt{{{A}_{p}}}\]

Voor enkelvoudige zevenwire strengen waarbij φ_wire de draaddiameter is

\[{{\phi }_{p}}=1,75\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Voor enkelvoudige driewire strengen waarbij φ_wire de draaddiameter is

\[{{\phi }_{p}}=1,20\,\,{{\phi }_{wire}}\]

Als alleen voorspanwapening wordt gebruikt om scheurvorming te voorkomen, moet het volgende in aanmerking worden genomen.

\[{{\xi }_{1}}=\sqrt{\xi \,}\]

Bij voorgespannen elementen is een minimaal oppervlak aan aangehechte wapening niet vereist, zolang onder de karakteristieke belastingscombinatie en de karakteristieke waarde van de voorspankracht de trekspanning in elke vezel niet groter is dan de treksterkte van het beton, f_ct,eff. (zie EN 1992-1-1 par. 7.3.2 voor meer details)

Het effectieve oppervlak van beton in trek

Een belangrijke maar tegelijkertijd de meest gecompliceerde stap van de berekening is het bepalen van het effectieve oppervlak van het getrokken beton rondom de wapening. Zowel de Eurocode als de Model Code beschouwen eenvoudige belastingsgevallen, waarbij het gewapend betonelement wordt belast door enkelvoudige buiging of trek. De waarde van de effectieve hoogte wordt bepaald als:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 6  Determination of Ac,eff for bent members (left) and members in tension (right)}}}\]

Gewoonlijk is de waarde h_c,eff = 2,5(h-d) maatgevend. Voor getrokken elementen is de bovengrens h/2, terwijl voor gebogen elementen dit (h-x)/3 is. Het oppervlak A_c,eff wordt echter ook begrensd door de breedte bepaald uit vergelijking 5(c+ϕ/2). Als de onderlinge afstand van de wapeningsstaven groter is dan 5(c+ϕ/2), wordt het effectieve oppervlak van het getrokken beton met breedte 5(c+ϕ/2) beschouwd voor de afzonderlijke staven.

\[ \textsf{\textit{\footnotesize{Fig. 9  Determination of Ac,eff based on reinforcement spacing}}}\]

Maximale scheurafstand

Bij de berekening van de maximale scheurafstand s_r,max kunnen twee gevallen optreden:

• De hartafstand van de aangehechte wapening overschrijdt een afstand van 5(c+ϕ/2) niet - Fig. 9a
• De hartafstand van de aangehechte wapening is groter dan 5(c+ϕ/2) - Fig. 9b

De berekening van de maximale scheurafstand s_r,max voor het geval dat de hartafstand van de wapening de waarde 5(c+ϕ/2) niet overschrijdt is als volgt gedefinieerd:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

c  .    .   .   .   .   waarde van de betondekking in mm. Omdat de dekking kan verschillen voor de randwapening ten opzichte van zowel de horizontale als verticale randen, wordt aanbevolen de maximale gevonden dekking voor de beschouwde wapening aan te houden.

ϕ     .   .   .   .   diameter van de aangehechte wapening. Bij verschillende wapeningstaven diameters moet de equivalente diameter worden berekend overeenkomstig EN 1992-1-1 vergelijking 7.12.

\[{{\phi }_{eq}}=\frac{{{n}_{1}}\phi _{1}^{2}+{{n}_{2}}\phi _{2}^{2}}{{{n}_{1}}{{\phi }_{1}}+{{n}_{2}}{{\phi }_{2}}}\]

k₁ .   .   .   . is een coëfficiënt die rekening houdt met de hechtingseigenschappen van de aangehechte wapening

• k₁ = 0,8 voor staven met hoge hechting
• k₁ = 1,6 voor staven met een effectief glad oppervlak (bijv. voorspanstrengen)

k₂ .   .   .   . is een coëfficiënt die rekening houdt met de rekverdeling

• k₂ = 1,0 voor buiging
• k₂ = 0,5 voor zuivere trek

Voor gevallen van excentrische trek of voor lokale gebieden moeten tussenliggende waarden van k₂ worden gebruikt, die kunnen worden berekend uit de relatie:

\[{{k}_{2}}=\frac{{{\varepsilon }_{1}}+{{\varepsilon }_{2}}}{2{{\varepsilon }_{1}}}\]

k₃      .   .   .   .  coëfficiënt die de lengte uitdrukt van het gebied nabij een scheur waar de aanhechting tussen het beton en de wapening is verbroken. De aanbevolen basiswaarde EC k₃ = 3,4 kan worden gewijzigd door de Nationale Bijlage. 

k₄      .   .   .   .   coëfficiënt die de verhouding tussen de hecht- en treksterkte van beton uitdrukt. De aanbevolen basiswaarde EC k4 = 0,425 kan worden aangepast door de Nationale Bijlage.

De berekening van de maximale scheurafstand s_r,max voor het geval dat de hartafstand van de wapening de waarde 5(c+ϕ/2) overschrijdt is als volgt gedefinieerd:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

Maximale scheurafstandwaarden volgens de vergelijking

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

moeten altijd groter zijn dan de waarden bepaald door de vergelijking

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}{\phi }/{{{\rho }_{p,eff}}}\;\]

anders wordt aanbevolen de grotere afstand uit bovenstaande vergelijkingen aan te houden. De vergelijking voor de rek in het beton/de wapening wordt niet gewijzigd voor het geval van de grote hartafstand van de wapening. In gebieden met gecontroleerde scheurwijdten mag de hartafstand van afzonderlijke wapeningsstaven niet groter zijn dan 5(c+ϕ/2).

Scheurwijdteberekening geïmplementeerd in RCS

Bepaling van het effectieve oppervlak A_c,eff

Omdat het niet eenvoudig is te bepalen welke wapening als langsvormige scheurwerende wapening kan worden beschouwd, wordt A_c,eff bepaald met behulp van het volgende iteratieve proces.

• Van alle wapening die op trek werkt, wordt het trekkrachtzwaartepunt C_g,s,1 bepaald. De effectieve hoogte van de wapening d is de afstand tussen C_g,s en de meest gedrukte betonvezel, berekend in de richting van het resulterende buigend moment. Tegelijkertijd worden de positie van de neutrale lijn en de hoogte van het gedrukte gebied x voor de gescheurde doorsnede bepaald. Dit maakt het mogelijk de effectieve hoogte h_c,eff te bepalen:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);\frac{\left( h-x \right)}{3};{}^{h}/{}_{2} \right\}\]

• Door alle wapening die buiten A_c,eff,1 valt uit te sluiten, wordt het nieuwe zwaartepunt van de wapening C_g,s,2 bepaald, samen met de nieuwe effectieve hoogte van de wapening d; de effectieve hoogte h_c,eff wordt op dezelfde wijze bepaald als in de vorige stap, maar met gewijzigde invoerwaarden.

Opnieuw wordt gecontroleerd of alle beschouwde getrokken wapening binnen A_c,eff,2 valt. Als aan deze voorwaarde is voldaan, kan de iteratie worden beëindigd en worden de waarden van h_c,eff,2, A_c,eff,2 en A_s,eff,2 weergegeven als resulterende waarden in IDEA StatiCa RCS.

Mogelijke gevallen bij de berekening van de scheurwijdte

In het algemeen kunnen er drie gevallen optreden bij de berekening van scheurwijdten:

• De trekwapening bevindt zich in het gebied A_c,eff, waarbij de hartafstand van de afzonderlijke wapeningsstaven kleiner is dan 5(c+ϕ/2). Dan worden de volgende definities gebruikt voor de berekening:

\[{{s}_{r,\max }}={{k}_{3}}c+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{k}_{4}}\frac{\phi }{{{\rho }_{p,eff}}}\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• De trekwapening bevindt zich in A_c,eff, waarbij de hartafstand van de afzonderlijke wapeningsstaven de afstand 5(c+ϕ/2) overschrijdt. Dan worden de volgende definities gebruikt voor de berekening:

\[{{s}_{r,\max }}=1,3\left( h-x \right)\]

\[{{\varepsilon }_{sm}}-{{\varepsilon }_{cm}}=\frac{{{\sigma }_{s}}-{{k}_{t}}\,\cdot \,\frac{{{f}_{ct,eff}}}{{{\rho }_{p,eff}}}\,\cdot \,\left( 1+\,{{\alpha }_{e}}\cdot \,{{\rho }_{p,eff}} \right)\,\,}{{{E}_{s}}}\ge 0,6\frac{{{\sigma }_{s}}}{{{E}_{s}}}\]

• De trekwapening bevindt zich niet in A_c,eff (dit kan bijvoorbeeld worden veroorzaakt door een grote betondekking). 

In dit geval zou het niet mogelijk zijn de scheurwijdte te berekenen. Daarom wordt de berekening van de effectieve hoogte h_c,eff als volgt aangepast:

\[{{h}_{c,eff}}=\min \left\{ 2,5\left( h-d \right);h/2 \right\}\]

Tegelijkertijd wordt de volgende non-conformiteit weergegeven:

Het effectieve betonoppervlak in trek rondom de wapening of voorspanstrengen met hoogte h_c,eff, waarbij h_c,eff de kleinste is van 2,5(h – d) of h/2. Bij beschouwing van de waarde als (h – x)/3 bevindt de wapening zich buiten het effectieve oppervlak van het beton in trek, en zou het derhalve niet mogelijk zijn de scheurwijdte te berekenen overeenkomstig paragraaf 7.3.4.

N-M-κ diagram

Het N-M-κ diagram toont de kromming (buigstijfheid) van een element als functie van een aangebracht buigend moment en normaalkracht. Er zijn drie typen N-M-κ diagrammen:
- korte termijn,
- lange termijn
- UGT.
Deze diagrammen verschillen in de typen spanning-rek diagrammen die worden gebruikt voor de berekening (hieronder toegelicht).

De stijfheidsberekening voor geselecteerde karakteristieke toestanden van de doorsnede wordt gebruikt om het N-M-κ diagram te bepalen. In het algemeen kan dit elke doorsnedestoestand zijn waaruit de respons wordt berekend en waaruit de buigstijfheid en kromming worden afgeleid. In IDEA RCS worden vier karakteristieke punten beschouwd (M_r, M_c, M_s en M_u)

M_r - het scheurmoment 

De doorsnede wordt belast door een door de gebruiker gedefinieerde normaalkracht en het vlak van de rek begint te roteren (in de richting van het opgegeven buigend moment) totdat de uiterste treksterkte van het beton wordt bereikt in een betonvezel (voor betonsterkteklasse C30/37 is dit f_ctm = 2,896 MPa). Voor de berekening wordt een bilineair spanning-rek diagram met een horizontale plastische tak gebruikt voor zowel wapening als beton.

M_c - het buigend moment waarbij de druksterkte van het beton wordt bereikt

Vanuit de vorige stap wordt de meest belaste betonvezel op druk geïdentificeerd. Voor deze vezel wordt de rek bij de uiterste sterkte van beton ingesteld (f_ck/E_cm voor korte termijn, f_ck/E_ceff voor lange termijn en f_cd/E_cm voor het UGT diagram). Op basis van de gedefinieerde normaalkracht en de richting van het buigend moment wordt het iteratieproces uitgevoerd om het vlak van de rek te vinden dat evenwicht geeft tussen de respons van de doorsnede en de gedefinieerde normaalkracht.  Voor de berekening wordt een bilineair spanning-rek diagram met een horizontale plastische tak gebruikt voor zowel wapening als beton.

M_s - het buigend moment waarbij de vloeigrens in de meest belaste wapeningsstaf wordt bereikt

Een ander karakteristiek punt van het N-M-κ diagram is de spanningstoestand van de doorsnede wanneer de vloeigrens in de meest belaste wapeningsstaf wordt bereikt (rekwaarde van de wapening is gelijk aan f_yk/E_s voor de korte- en lange-termijn diagrammen, f_yd/E_s voor het UGT diagram). Het iteratieproces vindt een evenwicht van normaalkrachten in de doorsnede door het vlak van de rek te roteren rond het punt dat wordt bepaald door de positie van de meest belaste wapeningsstaf. Voor de berekening wordt een bilineair spanning-rek diagram met een horizontale plastische tak gebruikt voor zowel wapening als beton.

M_u - het buigend moment bij de uiterste grenstoestand

Dit is de uiterste draagkracht van een doorsnede op buiging, wanneer de doorsnede wordt belast door de gedefinieerde rekenwaarde van de normaalkracht N_ed. Voor de berekening van de doorsnedecapaciteit wordt aangenomen dat de druksterkte in de meest belaste betonvezel en de treksterkte in de meest belaste wapeningsstaf worden bereikt (maximale rek voor beton ε_cu = 0,1 en voor wapening ε_s,max = 0,5). Voor de berekening worden een bilineair spanning-rek diagram met een horizontale plastische tak voor de wapening en een parabool-rechthoekig diagram voor het beton gebruikt.

De resulterende stijfheid en kromming als gevolg van de door de gebruiker gedefinieerde combinatie van normaalkracht en buigend moment ( Md) worden vervolgens berekend met lineaire interpolatie van de afzonderlijke karakteristieke punten van het N-M-κ diagram.

Berekening van stijfheden en krommingen

De stijfheden en krommingen voor elke doorsnedespanningstoestand (M_r, M_c, M_s of M_u) worden rechtstreeks berekend uit de rotatie van het vlak van de rek. 

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}\]

E_Ax .   .    axiale stijfheid van het element

N . .   .   . de opgegeven normaalkracht

ε_x .   .   .  axiale rek in het zwaartepunt van de betonnen doorsnede

\[E{{I}_{y}}=\frac{M}{\kappa }\]

E_Iy .   .   .   buigstijfheid van het element

M .   .   .    het berekende buigend moment M_r, M_c, M_s of M_u

κ .   .   .   . de kromming van het element, berekend als de tangens van de hoek tussen het vlak van de rek en de lengterichting van het element

Praktisch voorbeeld

Een betonnen doorsnede (betonsterkteklasse C30/37) is gewapend met ϕ32 wapening (klasse B500B). De gedefinieerde quasi-permanente combinatie is N = -730 kN en M_y = 557 kNm.

Het vlak van de rek voor het karakteristieke punt M_s wordt door IDEA RCS als volgt bepaald:

\[E{{A}_{x}}=\frac{N}{{{\varepsilon }_{x}}}=\frac{730}{6,9471\cdot {{10}^{-4}}}=1050,798MN\]

\[\kappa =\frac{28,4386\cdot {{10}^{-4}}}{0,463}=61,422\cdot {{10}^{-4}}{{m}^{-1}}\]

\[E{{I}_{y}}=\frac{{{M}_{s}}}{\kappa }=\frac{2277,4}{61,422\cdot {{10}^{-4}}}=370,776MN{{m}^{2}}\]

Spanning-rek diagrammen gebruikt voor de berekening

Wapening - M_r, M_c, M_s en M_u

Beton - M_r, M_c, M_s

Beton - M_u

Literatuur

[1] Bradáč Betonové konstrukce (betonconstructies), deel 1: Dimensionering van elementen van gewapend en ongewapend beton, EXPERT Ostrava, 1996

[2] ČSN EN 1992-1-1 (73 1201) Eurocode 2: Ontwerp van betonconstructies - Deel 1-1: Algemene regels en regels voor gebouwen, incl. wijziging NA ed. A (2007) en revisie 1 (2009)

[3] ČSN EN 1992-2 (73 6208) Eurokód 2: Navrhování betonových konstrukcí - Část 2: Betonové mosty - Navrhování a konstrukční zásady

[4] Navrátil, J. Předpjaté betonové konstrukce. 2. vydání, Akademické nakladatelství CERM, Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební, 2008

[5] Šmiřák, S. Pružnost a plasticita I, Vysoké učení technické v Brně, Akademické nakladatelství CERM, Brno, 1999

[6] Vondráček, R. Numerical Methods in Nonlinear Concrete Design, Diplomová práce, ČVUT, Praha, 2000

[7] Zich, M. a kolektiv Konstrukční Eurokódy - Příklady posouzení betonových prvků dle Eurokódů, on-line boek http://www.stavebniklub.cz/konstrukcni-eurokody-onbecd/, Verlag Dashöfer, 2010